Начертательная геометрия и чертеж

ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Чертеж – международный язык общения техников, а начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа). Первый учебник по начертательной геометрии вышел в 1798г. во Франции. Автор Гаспар Монж. В России курс начертательной геометрии начали изучать в 1810г. в С.Петербурге в Корпусе инженеров путей сообщения (ныне СПб ГУПС). Дисциплина «Начертательная геометрия и инженерная графика» относится к базовой части блока 1 внесенной в план изучения по направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия» (уровень бакалавриата). Направлена на формирование следующих компетенций: ОПК-3, ОПК-5, ПК-5, ПК-7. Дисциплина «Начертательная геометрия и инженерная графика» является первой инженерной дисциплиной, дающей базовые знания для изучения других общетехнических дисциплин, таких как теоретическая механика, теория машин и механизмов, детали машин, сопротивление материалов, являющихся основой инженерного образования, а также дисциплин профильной направленности. Цели освоения дисциплины «Начертательная геометрия» является:  развить пространственное воображение и получить навыки правильного логического мышления,  образование базы знаний о начертательной геометрии, помогающие в дальнейшем в изучении инженерной графики;  изучение способов начертательной геометрии, необходимых для исследования практических и теоретических вопросов науки и техники. «Методические указания и задания» помогут обучающемуся изучить дисциплину «Начертательная геометрия» и подготовиться к экзамену. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА Обозначения 1. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрам: A, B, C, D, …. 1, 2, 3, 4, …. 2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …. Линии уровня обозначают: h - горизонталь, f - фронталь, p - профильная прямая. Для прямых используют также следующие обозначения: (АВ) - прямая, проходящая через точки А и В; IABI - длина отрезка АВ (расстояние между точками А и В). 3. Поверхности (плоскости) обозначают прописными буквами греческого алфавита (кроме буквы П): для кривых поверхностей - Ω, Φ, … для плоскостей - Γ, Δ, Λ, Τ,… 4. Углы обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, δ, φ, ψ,… 5. Прямой угол на эпюре отмечают дугой с точкой внутри сектора. 6. Плоскости проекций обозначают прописными буквами П (пи) греческого алфавита с добавлением подстрочного индекса: Основные: П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2 - фронтальная плоскость проекций, П3 - профильная плоскость проекций Дополнительные: П4 , П5 , П6 , … Для аксонометрических проекций: Пк . 7. Проекции точек, линий, произвольных поверхностей (плоскостей), поверхностей геометрических фигур обозначают теми же буквами (цифрами), что и оригинал, но с добавлением подстрочного индекса соответствующей плоскости проекций, на которой они получены: горизонтальные проекции: А1 ,В1 ,С1 ,…11 ,21 ,31 ,…a1 ,b1 ,c1 ,…Φ1 ,Ω1 ,…Δ1 ,Λ1 ,Σ1 … фронтальные проекции: А2 ,В2 ,С2 ,…12 ,22 ,32 ,…a2 ,b2 ,c2 ,…Φ2 ,Ω2 ,…Δ2 ,Λ2 ,Σ2 … профильные проекции: А3 ,В3 ,С3 ,…13 ,23 ,33 ,…a3 ,b3 ,c3 ,…Φ3 ,Ω3 ,…Δ3 ,Λ3 ,Σ3 … 1 Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами Обозначение = ~ ≡ Содержание Равны, результат действия Подобие Тождественны, совпадают  Конгруэнтны   Параллельны Перпендикулярны Скрещиваются Пример символической записи АВ = CD – длины отрезков АВ и CD равны. К = m∩n – точка К является точкой пересечения прямых m и n Ф1 ~ Ф – фигура Ф1 подобна фигуре Ф А≡В – точка А тождественна (совпадает с) точке В ∆ABC  ∆DEF – треугольники ABC и DEF подобны по форме и равны по величине – конгруэнтны m||n – прямая m параллельна прямой n l Т – прямая l перпендикулярна плоскости Т m n – прямые m и n скрещиваются Обозначения теоретико-множественные Обозначение Содержание  Принадлежит, является элементом Включает, содержит ∩ Пересечение множеств  Объединение множеств  Пример символической записи Am – точка А принадлежит прямой m l  Г – прямая l принадлежит плоскости Г. К = m∩n – точка К является точкой пересечения прямых m и n a Т – прямую a объединяем с плоскостью Т (заключаем в плоскость) Символы, обозначающие логические операции Обозначение   Содержание Конъюнкция предложений; соответствует союзу «и» Дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или»  Импликация – логическое следствие  Эквивалентность  Квантор общности читается – для всякого, любого Пример символической записи (А1l1) (А2l2) – если точка А1 принадлежит линии l1 и точка А2 принадлежит линии l2 (m∩n)  (m–n) – если прямые m и n пересекаются или скрещиваются ((aс)  (bc))  ab – если две прямые a и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой A  (Al , l) – если точка А принадлежит поверхности , то она принадлежит какой-либо линии l, принадлежащей этой поверхности и наоборот (А) (A)  (Al , l) – для любой точки А справедливо выражение – если точка А принадлежит поверхности , то она принадлежит какой-либо линии l, принадлежащей этой поверхности и наоборот 2 БАЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ ОЦЕНКА ЗНАНИЙ И РАБОТЫ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ (БРО) Рейтинговые составляющие № 1 2 Раздел БРС Вид итогового контроля Виды учебной работы и контроля с распределением баллов Содержание раздела БРС Экзамен 3 Критерии допуска к итоговому контролю (экзамену). Студенты, написавшие все проверочные работы и набравшие общую сумму баллов за работу в семестре, попадающую в один из указанных ниже пределов, могут получить оценку за экзамен без сдачи экзамена. Оценка за экзамен ставится в соответствии с набранной суммой баллов. Процент от максимальной Оценка за экзамен суммы баллов за семестр 88 – 100% «отлично» 74 – 87% «хорошо» 61 – 73% «удовлетворительно» Студенты, написавшие все проверочные работы и набравшие общую сумму баллов за работу в семестре, попадающую в один из указанных пределов, но желающие повысить оценку, сдают экзамен. Студенты, набравшие за работу в течение семестра менее 61 процента от установленной максимальной суммы баллов, обязательно сдают экзамен для получения удовлетворительной оценки. Студент имеет право сдавать экзамен только 3 (три) раза. 1.Работа в аудитории на одном практическом занятии и выполнение домашних заданий из рабочей тетради. Решенные самостоятельно задачи из числа указанных к выполнению оцениваются 5 баллов. 2.Проверочные работы по основным темам (текущий контроль). ТК2 Точка + Прямая max 60 баллов. ТК3 Плоскость - max 60 баллов. Проверочные работы (текущий контроль) не переписываются. БАЗОВЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Точка – абстрактное математическое понятие. Нульмерный объект (не имеет измерений). Линия - непрерывное одномерное множество точек (цепочка точек). Измерение: только длина. Толщины нет. Поверхность – непрерывное двумерное множество точек. Измерения: длина, ширина, площадь. Толщины и объема нет. 3 МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ Все изображения, построенные на основе метода проецирования, называются проекционными. ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОЕЦИРОВАНИЯ Пк - плоскость проекций, к-индекс плоскости(1,2,..) S - центр проецирования, А - объект (точка) SA - проецирующая прямая, SAПк= Ак Ак - проекция объекта (точки) проецирование параллельное центральное косоугольное Центральное проецирование S-центр проецирования-реальная точка прямоугольное Параллельное проецирование S- центр проецирования- несобственная точка (направление проецирования) ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К ПРОЕКЦИОННОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ 1. НАГЛЯДНОСТЬ - свойство, которое дает возможность по изображению представить внешнюю форму заданного объекта. 2. ОБРАТИМОСТЬ - свойство, на основе которого по изображению можно восстановить реальную форму объекта, его размеры и, если необходимо, положение заданного объекта в пространстве. 3. ЕДИНСТВО ПРАВИЛ построения изображения и правил его графического оформления. 4 Перспективная проекция Аксонометрическая проекция Ортогональные проекции Выводы • Выбор того или иного вида проекции определяется функциональным назначением получаемого изображения. • Для презентаций определяющим свойством является наглядность изображения (перспективная или аксонометрическая проекция). • Для разработки технологического процесса изготовления (строительства) объекта определяющим свойством является обратимость изображения (ортогональные проекции). СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ Общие свойства 1. 2. 3. 1. Проекция точки – точка. 2. Проекция прямой, в общем случае, - прямая. 3. Если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям этой линии. Al  Ak lk Инвариантные свойства параллельного проецирования 1. 2. 3. 1. Если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении 2. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны. (m  n)  (mk  nk). 3. Eсли плоская фигура параллельна плоскости проекций, то ее проекция на этой плоскости конгруэнтна самой фигуре. (Ф(АВС)  Пk)  (Фк (АкВкСк)  Ф(АВС)) 5 ПОЛУЧЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Спроецируем точку А на плоскость проекций Пк по направлению s. Вывод: Одна проекция точки не определяет её положение в пространстве, а чертеж не имеет обратимости, его называют неполным. Сориентируем в пространстве ортогональную систему координат Oxyz так, чтобы одна из координатных плоскостей, например xOy, расположилась параллельно плоскости проекций П1. Ортогонально спроецируем систему координат Oxyz и связанную с ней точку А на плоскость проекций П1. В этом случае на проекции мы имеем две координаты точки А – xA и yA, отображаемые в истинную величину. Координата ZA отсутствует. Т.е. полученная таким образом проекция не является обратимой. Введем вторую плоскость проекций П2, перпендикулярную плоскости П1. П1  П2 Ортогонально спроецируем точку А совместно с ортогональной системой координат Oxyz на обе плоскости проекций. В этом случае на полученных проекциях мы имеем все три координаты точки А относительно выбранной системы координат, которые отображаются в истинную величину. Следовательно: ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости однозначно определяют положение точки в пространстве и делают изображения обратимыми. ТЕМА 1. МЕТОД МОНЖА Ортогональная система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций x1,2 П2 П1 П1 – горизонтальная плоскость проекций. П2 – фронтальная плоскость проекций. Пространство делится на четыре четверти - I, II, III, IV. 6 _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ На чертежах в безосной системе, пользуются не абсолютными координатами точек, а относительными - приращениями. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ В ортогональной системе двух плоскостей проекций Точка в I-ой четверти ВЫВОД: Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной оси х12; А1А2х12. Расстояние от оси х12 до горизонтальной проекции точки определяет расстояние от самой точки до фронтальной плоскости проекций (ВЫСОТА). Расстояние от оси х12 до фронтальной проекции точки определяет расстояние от самой точки до горизонтальной плоскости проекций (ГЛУБИНА). 7 Ортогональная система трех плоскостей проекций П3 - профильная плоскость проекций. Пространство делится тремя плоскостями на восемь октантов. Проецирование точки в ортогональной системе трех плоскостей проекций Точка в первом октанте Условия, которым должен удовлетворять эпюр точки, расположенной в любой части пространства, в системе трех ортогональных плоскостей проекций: • А1А2  Х1,2 ______________________________________________________________ • А2А3  Z2,3 ______________________________________________________________ • (A1,Х1,2) = (A3,Z2,3) ________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 8 Тема 1. Точка. 1.1. По заданным координатам построить эпюры точек А, В, С, D, E и указать их положение в пространстве. z2 3 O x1 2 A B C D E y3 x 15 25 40 30 y 10 40 25 z положение 20 35 25 y1 1.2. Построить недостающие проекции точек, если : - удаление точки А от плоскости проекций П1 равно 35 мм (А,П1 ) =35 мм; - удаление точки В от плоскости проекций П2 равно 30 мм (В,П2 ) =30мм; - удаление точки С от плоскости проекций П3 равно 25 мм (С,П3 ) =25мм; - удаление точки D от плоскости проекций П1 равно 17 мм (D,П1 ) = 17мм, а от П2 - 14 мм (D,П2 ) = 14 мм. - Положение остальных точек задано графически. z2 3 z2 3 Е=Е2 N2 B2 F=F2 C3 x1 2 x1 2 Dx O M=M3 O y3 N1 S=S1 A1 y1 y1 9 ТЕМА 2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ Способы задания прямой на эпюре В s l l П х1,2 2 П1 А lk Ак П sk Вк Пк к Через две точки х1,2 С Ск П2 П1 lk Через точку параллельно заданному направлению Положение прямой относительно плоскости проекций ПРЯМЫЕ частного положения общего положения уровня проецирующие l || Пк и l Пк l || Пк l Пк _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Прямая общего положения Это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций 10 Прямые частного положения Это прямые параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Прямая уровня - это прямая параллельная одной из плоскостей проекций. Горизонталь - это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций l II П1  l  h П2 A2   х1,2 h2 B2 A h A1 х1,2 B h1 П2 П1 B1 П1 Фронталь - это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций l II П2  l  f П2 B2 f2  х1,2 A2  B f A х1,2 f1 П2 П1 B1 П 1 A1 Профильная прямая - это прямая параллельная профильной плоскости проекций l II П3 l  p z2,3 z2,3 П2 B2 П3 p2 А2 х1,2 A1 П1 p B p3 B3 А А3 p1 B1 х1,2 y3 y1 y1,3 Проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций m  П1 Фронтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций m  П2 П2 A2 П2 m2 m A B2 B х1,2 m2 х1,2 П2 П1 А2 B2 B х1,2 B1 m1 А1B1 П1 П1 11 A m A1 m1 х1,2 П2 П1 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые x1,2 П 2 П1 x1,2 П 2 П1 x1,2 П 2 П1 1.Прямые пересекаются - __________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2.Прямые параллельны - __________________________________________________________ 3.Прямые скрещиваются - _________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Взаимно перпендикулярные прямые 1. Всякий плоский угол независимо от его величины (острый, прямой, тупой) проецируется на плоскость в натуральную величину в том случае, когда обе его стороны параллельны этой плоскости проекций. 2. Прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций. Прямая n параллельна плоскости проекций, а значит, её проекция равна истинной величине. 1. Построить две проекции горизонтали 2. Построить две проекции фронтали К истинным величинам построить перпендикуляр. На второй проекции перпендикуляра нет прямого угла 12 13 2.4. Прямые АВ и CD пересечь прямой l, отстоящей от плоскостей проекций: а) от плоскости П1 на 10мм A2 A2 б) от плоскости П2 на 20мм C2 D2 C2 B2 C1 D2 B2 D1 B1 D1 A1 B1 A1 C1 2.6. Построить фронтальную проекцию отрезка АВ, параллельного горизонтальной плоскости проекций П1 и отстоящей от П1 на 25мм. Определить взаимное расположение прямых. 2.5. Построить проекции прямой l, параллельной фронтальной плоскости проекций П2 , проходящей через точку А и пересекающей прямую ВС.. D2 B2 C2 A2 x1 2 x1 2 C1 A1 C2 A1 D1 C1 B1 B1 2.7. Через точку С провести прямую l, пересекающую прямую АВ и ось y. z23 C2 B2 A2 O x1 2 A1 C1 B1 14 y1 15 ТЕМА 3. ПЛОСКОСТЬ Плоскость – плоская поверхность. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ Т(А, В, С) (А, b) (a  b) (m n) (ABC) Изображение плоскости на эпюре _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ плоскости общего положения частного положения проецирующие уровня ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ - это плоскости не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций. Вывод: Ни одна из проекций плоскости общего положения не имеет форму прямой линии (см. способы задания и изображение плоскостей). 16 ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ Проецирующие плоскости – это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Горизонтально проецирующая плоскость -________________________________________ Фронтально проецирующая плоскость -____________________________________________ Плоскости уровня – это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость уровня -_______________________________________________ Фронтальная плоскость уровня -__________________________________________________ Вывод: У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии. 17 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ПЛОСКОСТЬ Прямые в плоскости Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости l (1,2) Т  (1m; m T)  (2n; n T) или одна точка прямой принадлежит плоскости и она параллельна прямой лежащей в плоскости. l (А,d) Т  (АT;)  (l II d; d  T) В качестве примера плоскость Т задаем треугольником АВС. Требуется построить произвольную прямую l, принадлежащую плоскости Т. Первый вариант Второй вариант ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ К главным линиям плоскости относятся прямые уровня - горизонталь, фронталь, профильная прямая, и линии наибольшего наклона плоскости. Прямые уровня плоскости 1) Горизонталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций. 2) Фронталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций. 18 ТОЧКА НА ПЛОСКОСТИ Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости. АТ  Аl ; lT Построить проекции произвольной точки А, принадлежащей плоскости Т(m, n) Первый вариант Второй вариант А l; l(1, 2) T; задаем (1m); (2n) Al; l(1, S) задаем (1n), (lm) ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Параллельные плоскости Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Через точку А провести плоскость Р параллельную плоскости Т. T(ab); P(cd); провести: c  a  d  b  T  P 19 Пересекающиеся плоскости Частный случай: одна из двух пересекающихся – плоскостей плоскость частного положения. Т – фронтально-проецирующая плоскость. Р(АВС) – плоскость общего положения ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойлибо прямой, принадлежащей этой плоскости. l ‖Ф  l ‖ m ; m Ф Прямая пересекает плоскость, если она пересекает какуюлибо прямую, принадлежащую этой плоскости. l ∩Ф  l ∩ m ; m Ф Прямая принадлежит плоскости, если она тождественна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. l Ф  l ≡ m ; m Ф Так как во всех представленных вариантах определения взаимного положения прямой и плоскости прямая рассматривается не по отношению к самой плоскости, а по отношению какой-то прямой, принадлежащей этой плоскости, то необходимо сформулировать способ нахождения такой дополнительной прямой. Параллельность, пересечение и совпадение (тождественность) двух прямых возможно только при условии, что обе прямые лежат в одной общей плоскости. 20 Пример 1. l2 В2 ф2 А2 С2 С1 А1 l1 Пример 1. 1.Выбрано l1≡ m1 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m2. 4. Определяем взаимное положение прямых m2 и l2 m2 ≡ l2 5. Следовательно, l Ф Ф1 В1 Пример 2. Пример 2. 1.Выбрано l2≡ m2 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m1. 4. Определяем взаимное положение прямых m1 и l1 m1 l1 5. Следовательно, l Ф Пример 3. Пример 3. 1.Выбрано l1≡ m1 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m2. 4. Определяем взаимное положение прямых m2 и l2 m2 ∩ l2 = К2 5. Следовательно, l ∩Ф=К 21 22 3.5. Определить взаимное положение прямой l и плоскости (АВС). Указать видимость прямой. B2 B2 l2 l2 A2 A2 A1 A1 C2 C2 C1 C1 l1 l1 B1 B1 3.6. Построить проекции линии пересечения плоских фигур ABCD и GEF. Определить видимость фигур. Е2 В2 F2 С2 А2 G2 D1 E1 D2 F1 A1 G1 B1 23 C1 ТЕМА 4. ПОВЕРХНОСТИ В качестве основного метода формирования поверхности принят кинематический. Поверхность – это непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону g - образующая поверхности d - направляющая поверхности Если образующая является прямой, то поверхность линейчатая Если образующая является кривой, то поверхность не линейчатая ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Образующая поверхности – прямая линия С одной направляющей и вершиной (S) - ТОРСОВЫЕ поверхности Направляющая имеет форму кривой линии: Ф{g(d,s)(g∩d, gIIs)}– Ф{g(d,S)(g∩d, S g)}- ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КОНИЧЕСКАЯ S- реальная точка S - несобственная точка  s – направление проецирования Направляющая имеет форму прямой линии. Поверхность плоская – ПЛОСКОСТЬ Направляющая имеет форму ломаной линии. Каждая грань – это ПЛОСКОСТЬ Линии пересечения граней – это РЕБРО Точки пересечения ребер – это ВЕРШИНА 24 ГРАННЫЕ поверхности. S- реальная точка. Ф{g(d,S)(g∩d, S g)}- ПИРАМИДАЛЬНАЯ поверхность S - несобственная точка  s – направление проецирования. Ф{g(d,s)(g∩d, gIIs)}– ПРИЗМАТИЧЕСКАЯ поверхность ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Основные элементы поверхности вращения Поверхность вращения можно рассматривать как непрерывное множество точек, принадлежащих образующей при её вращении вокруг оси. 25 НЕ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Тор открытый R  t - открытый тор Тор закрытый Сфера R  t – закрытый тор t = 0 – сфера Глобоид ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии принадлежащей этой поверхности. АФ  Аl; l  Ф Для повышения точности и упрощения геометрических построений линия l должна на проекциях иметь наиболее простую геометрическую форму: прямой или окружности (по возможности). ТОЧКА НА ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ Так как образующей линейчатой поверхности является прямая линия, то условие принадлежности точки линейчатой поверхности можно сформулировать как принадлежность точки образующей этой поверхности. Построить недостающие проекции указанных точек, принадлежащих поверхностям, заданных определителями. Указать наименование поверхностей. Фg(F,d)(Fg, gd) 26 ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Линейчатая поверхность. На линейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка, может иметь форму как прямой линии (образующая), так и окружности (параллель) Нелинейчатая поверхность. На нелинейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка, должна иметь форму только окружности (параллели). F2 i2 i2 d2 A2 A2 d2 g2 d1 F1 i1 g1 d1 i1 B1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой заданной поверхности и положением плоскости относительно этой поверхности. Для кривой поверхности, в общем случае, линия пересечения - это плоская кривая линия. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – это ломаная линия, каждый участок которой – отрезок прямой, представляющий собой линию пересечения грани поверхности (отсека плоскости) с секущей плоскостью, а точки излома – точки пересечения ребер гранной поверхности (отрезков прямых) с той же секущей плоскостью. Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения сводится к определению точек пересечения ребер гранной поверхности с принятой секущей плоскостью. 27 F2 Ф2 А2 P2 С2 С1 В2 F1 А1 В1 Ф1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Форма линии пересечения прямой круговой конической поверхности плоскостью определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности. Ф – прямая круговая коническая поверхность. Т – секущая плоскость. Ф ∩ Т = m – линия пересечения. 28 29 В общем случае решение задачи на построение линии пересечения конической поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения образующих поверхности с принятой секущей плоскостью. Положение точек на поверхности конуса определяется через образующие g(FA, FB) или по параллелям m (R). Радиус (R) параллели изменяется в зависимости от высоты положения точки на поверхности конуса (чем выше, тем меньше). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Форма линии пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности. Ф – прямая круговая цилиндрическая поверхность; Т – секущая плоскость; Ф ∩ Т = m – линия пересечения. 30 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ При пересечении сферической поверхности плоскостью фигура сечения всегда имеет форму окружности. На проекциях фигура сечения может иметь форму окружности, эллипса или прямой линии, в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к той плоскости проекций, на которой строится проекция фигуры сечения. Окружность, по которой плоскость пересечет сферу, проецируется на П 1 в виде эллипса. Для построения сечения используются не образующие, а параллели и меридианы. Две точки этого эллипса 1 и 2 – на главном меридиане. Точки 3 и 4 – на экваторе (они определяют видимость горизонтальной проекции сечения). Точки 5 и 6 определяют положение большой оси эллипса, длина которой равна диаметру окружности сечения, т.е. отрезок 51-61 равен отрезку 12-22. Остальные точки эллипса находятся на параллелях и берутся произвольно. Например, точки 7 и 8. Определим на фронтальной проекции радиус окружности параллели и построив её на горизонтальной плоскости проекций. Р2 31 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Прямая пересекает поверхность, если она пересекает какую-либо линию, принадлежащую этой поверхности l ∩ Φ ═ {K1,K2,…}; {K1,K2,…}= l ∩ m; m  Φ Последовательность действий при построении точек пересечения прямой с поверхностью аналогична действиям, выполняемым при построении точки пересечения прямой линии с плоскостью, так как плоскость является одной из разновидностей поверхности. 1. 2. 3. 4. 5. Последовательность действий при построении точек пересечения прямой линии с поверхностью Определить вид заданной поверхности для выявления возможных простых форм сечений плоскостью (ломаная линия или окружность), и установить при каком положении секущей плоскости эти простые формы сечений могут быть получены. Прямую l заключить в выбранную секущую плоскость, например, Т. lТ Наиболее часто применяют проецирующие плоскости. Для этого на эпюре нужно одну из проекций прямой l совместить с одноименной проекцией плоскости Т. Т  Пк  lкТк Построить линию пересечения, например, m, заданной поверхности Ф и принятой вспомогательной плоскости Т. Так как рассматриваемая поверхность Ф является кривой, то и линия пересечения в общем случае будет кривой. Т ∩ Ф = m{1,2,3,…} Определить точки пересечения {K1,K2,…} прямой l и линии m. l ∩ m = {K1,K2,…} Определить видимость участков прямой l. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ F2 l2 A2 B2 D2 D1 C2 l1 C1 A1 F1 B1 FABCD – четырехгранная пирамида. Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью пирамиды. l ∩ Φ (FABCD) = {К1, К2} Заданная поверхность является гранной. При пересечении такой поверхности любой плоскостью фигурой сечения всегда будет многоугольник (ломаная линия). Поэтому применяем проецирующую вспомогательную секущую плоскость. Заключаем прямую во фронтально-проецирующую плоскость. Строим горизонтальную проекцию m1, при условии, что m  Φ (FABCD); m{1,2,3,4}; 1=FA∩T; 2=FB∩T; 3=FC∩T; 4=FD∩T. Определяем точки К11 и К21 пересечения линии m1 с l1. m1 ∩ l1={K11 , К21}Строим фронтальные проекции К12 и К22 точек К1 и К2. Определяем видимость участков прямой l. 32 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Задан прямой круговой конус. Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью конуса. l ∩ Φ = {К1, К2} Ф2 l2 Ф1 У круговой конической поверхности есть две простые формы сечения плоскостью – две прямые (образующие) и окружность. Заданная прямая – горизонталь. Следовательно, заключив прямую l в горизонтальную секущую плоскость перпендикулярную оси вращения конической поверхности, получим сечение в форме окружности. Заключаем прямую l в горизонтальную плоскость уровня Т. Строим проекции горизонтальную проекцию сечения. Определяем точки пересечения сечения с прямой l. Определяем видимость участков прямой l. l1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ С КОНУСОМ. 1. 2. 3. 4. Через прямую провести плоскость, проходящую через вершину конуса. l(l;S) или (ab) Построить горизонтальные следы C и D прямых: C=aП1 D=bП1 – прямая «m» Построить сечение ELS: E=md, L=md. K1, K2= ELS  l - точки пересечения прямой линии с сечением. Точки пересечения поверхности конуса с прямой линией. Показать видимость прямой относительно поверхности конуса. S2 l2 S1 l1 33 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 1.Заключить прямую l в секущую плоскость, идущую вдоль образующих цилиндра. l(l  а \\ g); прямая «a» проходит вдоль образующих цилиндра и пересекает прямую «l» в точке А. l(l  b \\ g) – «b» пересекает «l» в точка В. 2. с = Ф – для построения сечения «с» определить положение горизонтальных следов прямых, образующих секущую плоскость (точки С и D). Прямая «m» пересекает основание цилиндра в точках Е, L. Построить сечение. 3. К1,К2 = l  с – определить точки пересечения прямой с цилиндром. Точки наложения прямой на сечение. 4. Показать видимость прямой относительно поверхности цилиндра. l2 l1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТОРА С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ. l2 1. Заключить прямую l во фронтально проецирующую плоскость Т. 2. Построить сечение тора плоскостью Т, задав точки на фронтальной проекции плоскости (1,2,3,4,5). 3. Измерить на фронтальной плоскости радиусы параллелей и начертить на горизонтальной плоскости окружности. Спроецировать точки на свои параллели. Соединить точки между собой. 4. Определить положение точек М и N (точки пересечения прямой с поверхностью тора). 12 M2 22 32 42 41 31 21 N1 51 11 M1 21 l1 34 52 N2 31 41 Т2 35 36 37 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ МНОГОГРАННИКОВ Линией пересечения двух многогранников является замкнутая ломаная линия при неполном пересечении или две замкнутые ломаные линии при полном пересечении, точками излома которых являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, соединяемые отрезками прямых линий. Т.е. вся задача на построение линии пересечения двух многогранников сводится к многократному решению задачи на определение точки пересечения прямой линии (ребра) с плоскостью (гранью). ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью представляет собой замкнутую ломаную линию при неполном пересечении или две замкнутые ломаные линии при полном пересечении, точками излома которых являются точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, соединяемых дугами кривых или прямых линий в зависимости от взаимного положения кривой поверхности и грани многогранника. Задача на построение линии пересечения многогранника с кривой поверхностью сводится к многократному решению двух задач:  Построение точек пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью (пересечение прямой линии с поверхностью).  Построение линии пересечения грани многогранника с кривой поверхностью (пересечение поверхности плоскостью). ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линией пересечения двух кривых поверхностей является одна или две пространственные (возможны и плоские) кривые при полном или неполном пересечении соответственно. Для получения таких линий должны быть введены вспомогательные секущие поверхностипосредники как плоские, так и кривые. Обязательные требования, предъявляемые к секущим поверхностям-посредникам: • каждая из секущих поверхностей-посредников должна пересекать обе заданные поверхности; • линии, получаемые в результате пересечения должны иметь наиболее простую геометрическую форму и попарно пересекаться между собой. Общий алгоритм построения Φ ∩ Ω = l {K1, K2, K3,… Ki} i - секущая поверхность-посредник i ∩ Φ = mi ; i ∩ Ω = ni mi ∩ ni = Кi 38 4.6 Достроить горизонтальную и построить профильную проекцию пирамиды, имеющей призматический вырез 4.7. Достроить горизонтальную и построить профильную проекции конуса и цилиндра, имеющих призматический вырез 39 4.8 Достроить горизонтальную и построить профильную проекцию половины сферы имеющей сложный вырез. 40 ТЕМА 5. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аксонометрическая проекция – это наглядное изображение объекта, представляющее собой проекцию на одну плоскость объекта, отнесенного в пространстве к системе координат 0xyz. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ s – направление проецирования; П – плоскость проекций (картина); Ox, Oy, Oz – аксонометрические оси координат; Точка Аxy – вторичная проекция точки А; φ = s ^ П – угол между направлением проецирования и плоскостью проекций. В зависимости от выбранного направления проецирования параллельные аксонометрические проекции подразделяются на: • прямоугольные (φ = 90º) • косоугольные (φ ≠ 90º) АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ГОСТ 2.317-2011 Прямоугольные аксонометрические проекции: Большие оси эллипсов перпендикулярны к аксонометрическим осям 1. Изометрическая проекция: коэффициенты искажения по всем трем осям приняты за 1 kx = kу = kz= 1 z  90 30 120 х у 2. Диметрическая проекция: коэффициенты искажения по двум осям одинаковые приняты за 1, по одной оси, принят - 0,5. kx =kz=1 kу=0,5 х  90 710 ' z 4125' у Окружности, лежащие в плоскостях, параллельным плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы. Большие оси эллипсов перпендикулярны к аксонометрическим осям. 41 Косоугольные аксонометрические проекции: На одну из плоскостей проекций окружность проецируется без искажений 1. Фронтальная изометрическая проекция: Плоскость xOz ║П’. Коэффициенты искажения по всем трем осям приняты за 1. kx = kу = kz= 1 z  90 45 х у 2.Фронтальная диметрическая проекция: коэффициенты искажения по двум осям одинаковые приняты за 1, по одной оси, принят - 0,5. kx =kz=1 kу=0,5 z  90 45 х у Окружность, лежащая в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируется на аксонометрическую плоскость в окружность, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы. 3.Горизонтальная изометрическая проекция. Плоскость xOу ║П’. Коэффициенты искажения по всем трем осям приняты за 1 kx = kу = kz= 1 z  90 30 х 90 у Окружность, лежащая в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций, - в эллипсы. 42 Аксонометрические проекции строятся следующими способами: 1.По координатам точек, используя ортогональные проекции. Пример: построить аксонометрическую проекцию точки А (прямоугольную изометрию) А2 Z23 Z А Х12 Ах О А х Х А1 Y А1 Y1 2.Срединным сечением Пример: построить аксонометрическую проекцию прямого конуса с сечением (прямоугольную изометрию) 43 .Способ вторичных проекций Пример: построить аксонометрическую проекцию прямой призмы цилиндрическим вырезом (фронтальную косоугольную изометрию). Z X y 44 Тема 5 Аксонометрические проекции 5.1. Построить прямоугольную изометрическую проекцию параллелепипеда, имеющего сквозное отверстие призматической формы. z o y x 5.2. Достроить горизонтальную и построить профильную проекции четырехгранной усеченной пирамиды. Построить прямоугольную диметрическую проекцию. z O x y 45 5.3. Достроить горизонтальную и построить профильную проекции прямого кругового конуса, имеющего сложный вырез. Построить прямоугольную изометрическую проекцию тела. z O x y 5.4. Построить косоугольную горизонтальную изометрическую проекцию заданного тела. z y x 46 47 Рекомендуемая литература 1. Гордон В. О. Курс начертательной геометрии : учеб. Пособие для втузов / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский; под ред. Ю. Б. Иванова. – М.: Наука, 1988, 1989, 2000. 2. Фролов С. А. Начертательная геометрия / С. А. Фролов. – 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1983. 3. Тарасов Б. Ф. Начертательная геометрия / Б. Ф. Тарасов, Л. А. Дудкина, С. О. Немолотов. – 2-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2002. 4. ЕСКД ГОСТ 2.317-2011. Аксонометрические проекции. 5. http://cadinstructor.org/eg/ Авторы: доцент Бочков А. Л., профессор Голдобина Л. А. Инженерная графика. 2014-2015. ОГЛАВЛЕНИЕ Тема 1 Тема 2. Тема 3. Тема 4 Тема 5 Введение. Историческая справка …………………………………………………………. Условные обозначения и символика……………………………………………………... Бально-рейтинговая оценка знаний и работы обучающегося ………………………….. Базовые геометрические элементы начертательной геометрии………………………... Метод проецирования……………………………………………………………………… Свойства проецирования………………………………………………………………….. Метод Монжа……………………………………………………………………………… Точка………………………………………………………………………………………… Прямая линия……………………………………………………………………………….. Прямая……………………………………………………………………………………….. Плоскость……………………………………………………………………………………. Положение плоскости относительно плоскостей проекций……………………………... Прямая линия и плоскость…………………………………………………………………. Точка на плоскости…………………………………………………………......................... Взаимное положение двух плоскостей……………………………………………………. Взаимное положение прямой линии и плоскости………………………………………... Плоскость…………………………………………………………………………………… Поверхности………………………………………………………………………………… Обобщенные позиционные задачи………………………………………………………… Точка на поверхности………………………………………………………………………. Пересечение поверхности плоскостью……………………………………………………. Пересечение прямой линии с поверхностью……………………………………………... Поверхности………………………………………………………………………………… Взаимное пересечение поверхностей…………………………………………………….. Аксонометрические проекции ГОСТ 2.317-2011………………………………………… Аксонометрические проекции…………………………………………………………….. Рекомендуемая литература………………………………………………………………… 48 1 1 3 3 4 5 6 9 10 13 16 16 18 19 19 20 22 24 26 26 27 32 35 38 41 45 48