Момент количества движения электрона в теории Дирака. Cпин. Полный момент количества движения. Шаровые спиноры

Лекция №10 § 15. Момент количества движения электрона в теории Дирака. Cпин. Полный момент количества движения. Шаровые спиноры При исследовании свободного движения частицы, удовлетворяющей уравнению Дирака было показано, что состояние свободного движения с определенным импульсом можно характеризовать знаком E/Eр и проекцией вектора спина, оператор которой изображается матрицей ℏ Ŝz = 2 ∑z. (10.1) Введём по аналогии два других оператора ℏ Ŝx = 2 ∑x, ℏ Ŝy = 2 ∑y (10.2) и определим физический смысл вектора, соответствующего оператору 𝐒̂ = (Ŝx , Ŝy , Ŝz ). (10.3) Пользуясь свойствами матриц Паули σj , можно установить перестановочные соотношения [Ŝj , Ŝj ] = 0, [Ŝj , Ŝk ] = iℏŜ𝑙 , [Ŝj , Ŝk ] = iℏℰjk𝑙 Ŝ𝑙 . (10.4) Квадрат оператора спинового момента сводится к диагональной матрице Ŝ 2 = ∑j Ŝj2 = ℏ2 4 ∑j(∑j)2 = 3ℏ2 4 1000 0100 ( ). 0010 0001 (10.5) Следовательно, собственные значения квадрата спинового момента всегда равны одной величине 3 S 2 = 4 ℏ2 . (10.6) Оператор Ŝz коммутирует с Ŝ 2 и его собственные функции Ψ′ и Ψ′′ со спиновыми функциями 1 φ1 = ( ) и φ2 = ( ) 1 (10.7) одновременно являются собственными функциями оператора Ŝ 2 . Известно, что в нерелятивисткой теории Шредингера оператор орбитального момента количества движения ̂ = [𝐫 ∙ 𝐩 ̂] 𝐋 (10.8) коммутирует с оператором Гамильтона свободного нерелятивисткого движения частицы без спина. Следовательно, в этом случае сохраняется орбитальный момент количества движения 𝐋. Однако в теории Дирака, где учитывается также и спин электрона, оператор орбитального количества движения не коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака ̂ D = c𝛂𝐩 ̂ + mc2 β. H (10.9) Из определения оператора L̂z следует ̂ D ] = [L̂z , 𝛂𝐩 ̂] = 𝑖ℏc(αx p̂y − αy p̂x ). [L̂z , H (10.10) ̂ . Таким образом, момент количества Аналогично для других компонент оператор 𝐋 движения не является более интегралом движения. Определим, следующий коммутатор ̂ D ] = ℏc [∑z, 𝛂𝐩 ̂] = iℏc(αy px − αx py ). [𝑆̂z , H 2 (10.11) Отсюда следует, что проекция 𝑆̂z оператора спинового момента в общем случае не является интегралом движения. Только в состояниях с определённым значением ̂ = α𝑧 p, проекция спинового момента импульса, направленного вдоль оси z, когда 𝛂𝐩 𝑆̂z является интегралом движения. Складывая соотношения (10.10) и (10.11) получим ̂ D ] = 0. [(L̂z + 𝑆̂z ), H (10.12) Таким образом, в общем случае сохраняющейся величиной будет сумма проекций орбитального и спинового момента. Эта сумма называется проекцией полного момента частицы. Этой проекции соответствует оператор Ĵz = L̂z + 𝑆̂z . (10.13) ̂ D коммутируют и две другие Аналогично, можно показать, что с оператором H проекции Ĵх = L̂х + Ŝх , Ĵy = L̂y + Ŝy . (10.14) Откуда ̂ + 𝐒̂. 𝐉̂ = 𝐋 (10.15) ̂ и 𝐒̂ коммутируют между собой, поскольку эти Следует отметить, что операторы 𝐋 операторы носят совершенно различный и независимый характер (производные и матрицы). Отсюда получаем Ĵх Ĵy − Ĵy Ĵх = iℏĴz [Ĵ𝑗, Ĵk ] = iℏℰjk𝑙 Ĵ𝑙 . и т. д. (10.16) Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин описывается двухрядными матрицами 𝛔 Паули. Квадрат полного момента количества движения будет равен 1 J 2 = ℏ2 j(j + 1), где j = 𝑙 ± . 2 (10.17) Проекция полного момента частицы Jz = ℏm, 1 где m = m𝑙 ± 2 . (10.18) Найдем собственные функции операторов 𝐉̂ 2 и Ĵz , т. е. угловую часть волновой функции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного момента. Поскольку полный момент равняется сумме орбитального и спинового, подобная задача называется задачей на сложение моментов. Решение будем искать в виде двухкомпонентной матрицы Ψ Ψ = ( 1 ). Ψ2 (10.19) Так как выполняется закон сохранения полного момента количества движения Ψ ̂ + 𝐒̂)2 (Ψ1 ) = ℏ2 j(j + 1) (Ψ1 ) Ĵ 2 ( 1 ) = (𝐋 Ψ2 Ψ2 Ψ2 Ψ Ψ Ψ Ĵz ( 1 ) = (L̂z + Ŝz ) ( 1 ) = ℏmj ( 1 ) . Ψ2 Ψ2 Ψ2 (10.20) Решение системы уравнений ищем в виде ′ Ψ1 = c1 Y𝑙m (θ, φ), Ψ2 = c2 Y𝑙m (θ, φ), (10.21) где Y𝑙m (θ, φ) − шаровые функции. Выбор такого решения означает, что сохраняется лишь квадрат орбитального момента, но не его проекция на оси z. Тогда Ψ Ψ L̂2 ( 1 ) = ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) ( 1 ). Ψ2 Ψ2 (10.22) Из первого уравнения системы (10.20) имеем ̂ 𝐒̂) + Ŝ 2 ] (Ψ1 ) = ℏ2 j(j + 1) (Ψ1 ). [L̂2 + 2(𝐋 Ψ2 Ψ2 (10.23) Учитывая, что S 2 = S(S + 1)ℏ2 , (10.25) а также соотношение (10.22), получим ̂ 𝐒̂) (Ψ1 ) = ℏ2 [j(j + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) − 3⁄ ] (Ψ1 ). 2(𝐋 4 Ψ2 Ψ2 (10.26) ̂ 𝐒̂) на двухкомпонентную волновую функцию, Раскрывая действия оператора (𝐋 получим 1 [(L̂x − iL̂y )Ψ2 + L̂z Ψ1 ] = qΨ1 , ℏ 1 [(L̂x + iL̂y )Ψ1 + L̂z Ψ2 ] = qΨ2 , ℏ (10.27) где q = j(j + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) − 3⁄4. Воспользуемся далее соотношением L̂z Y𝑙m = mℏY𝑙m , (L̂x + iL̂y )Y𝑙m = −ℏ√(𝑙 + 1 ± m)(𝑙 ∓ m)Y𝑙m+1 . (10.28) Отсюда видно, что мы можем сократить в левых и правых частях уравнений (10.27) шаровые функции, если положим m′ = m − 1. Тогда получим следующие соотношения между коэффициентами. (q − m − 1)c1 + √(𝑙 + 1 − m)(𝑙 + m)c2 = 0, (10.29) √(𝑙 + 1 − m)(𝑙 + m)c1 + (q + m)c2 = 0. Из условия равенства нулю определителя системы (10.29) находим два значения величины q, соответствующую двум возможным типам решения q = 𝑙, 1 j=𝑙+ , 2 q = −(𝑙 + 1), c2 = −√ 1 j=𝑙− , 2 𝑙−m+1 c1 , 𝑙+m (10.30) 𝑙+m c2 = √ c . 𝑙−m+1 1 Коэффициенты c1 и c2 , носят название коэффициентов Клебша – Гордона. Воспользовавшись также условием нормировки 𝑐12 + 𝑐22 = 1, решение первого типа, когда j = 𝑙 + 1/2, 𝑙 = 0, 1, … , запишется в виде Ψ(j=𝑙+1/2) = 𝑙 + m m−1 √ Y 2𝑙 + 1 𝑙 𝑙+1−m m √ Y𝑙 ( 2𝑙 + 1 ) (j=𝑙+1/2) = Y𝑙,m . (10.31) В случае, если j = 𝑙 − 1/2, 𝑙 = 1, 2, … (второй тип решения), волновая функция равна 1 Ψ (j=𝑙−2) √ = ( 𝑙 − m + 1 m−1 Y 2𝑙 + 1 𝑙 𝑙+m m √ Y 2𝑙 + 1 𝑙 = 1 (j=𝑙− ) Y𝑙,m 2 , (10.32) ) (j) где Y𝑙,m − так называемые шаровые спиноры, для которых условие ортонормированности имеет вид (j′ )+ (j) ∫ Y𝑙′ m′ Y𝑙m dΩ = δjj′ , δee′ , δmm′ , (10.33) 4π где j = l + 1/2соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный моменты параллельны, а j = l − 1/2 − когда они антипараллельны. Условие (10,33) может легко (j)+ получено, если учесть, что шаровой спинор Y𝑙m представляет собой матрицу с одной строкой, и также принять во внимание условие ортонормированности шаровых функций. Шаровые спиноры (10.31) и (10.32) являются спинорным обобщением обычных шаровых функций и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полуцелым спином в поле центральных сил. Ψ Подставляя эти решения функции Ψ = ( 1 ) в (10.20) находим, что проекция Jz Ψ2 полного момента импульса принимает значения Jz = ℏmj , причём квантовое число mj 1 1 равно mj = ± 2. Для решения первого типа (j = 𝑙 + 2), m может изменяться в пределах – 𝑙 до 𝑙 + 1. Для решений второго типа m может изменяться в пределах от −(𝑙 + 1) до 𝑙.