Моделирование

Введение   Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом. То есть при моделировании экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который называют моделью. Методы моделирования применяются практически во всех областях деятельности человека, при решении научно-технических задач, для изучения социальных, экономических, медицинских, военных или экологических проблем. В любой сфере деятельности человека моделирование находит свое применение. Общеизвестно, что изучение аэродинамических свойств самолета производится, кроме всего прочего, в аэродинамической трубе, куда помещается сначала уменьшенная копия самолета, а на заключительном этапе исследований и сам самолет. При воздействии на объект воздушного потока проверяется, как на разных скоростях полета воздух обтекает самолет. Таким образом, устанавливают - оптимальна ли форма самолета, и надо ли ее дорабатывать. Другое применение аэродинамических труб, это продувка автомобилей (с гоночными понятно, но и обычным автомобилям желательно придавать более обтекаемую форму, чем добиваются уменьшения лобового сопротивления и, следовательно, уменьшения расхода топлива, т.е. повышения экономичности эксплуатации), продувка макетов кораблей также позволяет судить об их ветровых качествах, хотя скорость корабля намного меньше, чем у самолета или автомобиля, но и ветер на водной поверхности достигает большего значения и может либо сильно замедлить скорость хода (придется увеличивать расход топлива), либо вообще перевернуть корабль. Еще одно интересное применение аэродинамической трубы - продувание макета здания, с целью проверки на ветроустойчивость. Примером служит история, произошедшая в г. Бостон (США), где после строительства нового 60-и этажного здания пришлось сменить все окна, что обошлось в 7 млн. долларов. Как исправить просчет проектировщиков выявили после испытания макета здания в аэродинамической трубе, изучив особенности ветровых нагрузок на стены здания. В конце 80-х годов было проведено моделирование ситуации, которая могла наступить вследствие массированного применения ядерного оружия, хотя моделирование проводилось независимо нашими и американскими учеными, был получен одинаковый результат: ядерная зима и т.д. Насколько менее страшными были бы последствия в Чернобыле, если бы экспериментировали не с «живым» ядерным реактором, а с его моделью. Здесь можно отметить, что очень похожая по сценарию авария произошла незадолго до этого на химическом предприятии в Бхопале (Индия), ее результаты не были приняты во внимание специалистами в Чернобыле (хотя авария в Индии могла служить моделью подобного обращения с опасной техникой). Моделями человек начал пользоваться с незапамятных времен. Исторически первыми моделями как заместителями некоторых объектов были, видимо, символические условные модели. Это языковые знаки, которые в ходе развития составили разговорный язык. Применение символических условных моделей другого типа связано, вероятно, с возникновением обмена: сначала предметы раскладывались в два ряда, друг напротив друга, чем и добивались однозначного соответствия, потом было установлено, что соответствия объектов одного рода объектам второго рода можно добиться сравнивая их с объектами третьего рода, сначала с естественными объектами - пальцы рук и ног, затем с искусственными - специально изготовленные палочки. Эти первые логические условные модели постепенно привели к формированию понятию числа. Следующий этап развития логического моделирования - возникновение знаковых числовых обозначений. В глубокой древности возник и получил развитие метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называется умозаключением по аналогии. Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики, а это относится примерно к 2000г. до н. э., время расцвета цивилизаций Египта и Вавилона. Некоторые данные позволяют полагать, что вавилоняне уже пользовались таким важным для моделирования понятием, как подобие в форме элементарного геометрического подобия прямоугольных треугольников. Развитие моделирование получает в Древней Греции в V - III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы, греческий врач Гиппократ для изучения глаза человека пользовался глазом быка, его физической аналогичной моделью, математик Евклид построил учение о геометрическом подобии. Более 400-т лет назад, в середине XV в. обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи, не различая достаточно в своих работах геометрического и механического подобия он не получает общих законов подобия, но делает серьезные шаги в их создании. Одновременно, он пользуется аналогиями: сравнение полета птицы и плавания под водой. Им ставится актуальный до сих пор вопрос о соответствии практики и теории, о необходимости проверки и обобщения результатов опыта и его роли в познании. Вопросы подобия в связи с созданием различных конструкций и их моделированием часто возникают в XVI - XVII вв. О том, что подобию стали уделять много внимания в XVII в. пишет Г. Галилей в своем сочинении «Разговоры о двух новых науках». Например, при постройке в Венеции галеры с увеличенными размерами подпорки с сечениями, выбранными исходя из геометрического подобия, оказались недостаточно прочными, и размеры их пришлось корректировать на основе физических соотношений. Галилей констатировал, что «прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел». Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. И. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Основы современного учения о подобии заложили, сформулированные И. Ньютоном, прямая теорема подобия и основные положения подобия, указав свойства подобных механических систем и критерии, характеризующие движения систем, подобие которых обеспечено. И. Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Им построена наглядная механическая модель для объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), математическая модель для объяснения явления тяготения и мн. др. Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не получали развития, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах проводились многочисленные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода. Одним из первых теоретически обоснованно применил статическое подобие И.П. Кулибин при разработке проекта арочного моста, пролетом 300 м. Исследования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины. В них было впервые учтено, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собственный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов - в k2 раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния собственного веса в модели возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Предложенный метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» моделей в центрифугах. В 1822 г. появились работа Ж. Фурье «Аналитическая теория теплопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность, это свойство получило название правила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Ж.Л.Ф. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вскоре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к различным механическим явлениям. Например, законы звуковых явлений в геометрически подобных телах из уравнения движения упругих тел; условия подобия гидродинамических явлений. Появились работы в области строительной механики, в области упругости. Однако, практическое применение теории подобия и моделирования, зачастую встречало серьезные препятствия, трагическим примером чему служит история с английским броненосцем «Кэптен». Этот корабль построили в 1870 году. В то же время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию моделирования кораблей, исследование модели броненосца показало, что он должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не придали значения опытам ученых с «игрушечной» моделью, в результате при выходе в море «Кэптен» перевернулся, и 523 моряка погибли. Примером удачного применения методов моделирования является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы и все раскосы, и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления моста. Развитие учения о подобии долгое время шло путем определения частных условий подобия  для явлений только определенной физической природы. Наконец, в 1909 - 1914 гг. В результате работ Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции пи - теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия, становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании. Параллельно с развитием физического моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме. История развития знакового моделирования - это, прежде всего история развитие математики. В конце XVI в. Д. Непер изобрел логарифмы, В XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими методами получают развитие численные методы решения различных задач. Все это привело к распространению учения о подобии на величины и процессы различной физической природы, но имеющие определенную аналогию или хотя бы какое-то математическое соответствие. При этом стали различать подобие математическое и аналоговое. Постепенно моделирование стало охватывать все большие области научной и технической деятельности человека. Например, для отработки антисейсмичности конструкций зданий модели иногда имели довольно внушительные размеры площадью до 20 м2 и массой до 30 т. Гидроэнергетические объекты, такие как плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская, Братская, Асуанская ГЭС, исследовались на физических моделях, изображающих в уменьшенном масштабе эти сооружения. Широко распространены специальные модели, сочетающие в себе физическую и математическую модели с натурными приборами. Эти модели применяются для наладки приборов управления и тренировки персонала, в первом случае такие модели стали называться испытательными стендами, во втором - тренажерами. Физическое моделирование основано на изучении явлений на моделях одной физической природы с оригиналом. При физическом моделировании сохраняют особенности поведения объекта исследования, что существенно облегчает получение требуемых результатов, так как для модели выбирают наиболее удобные геометрические размеры и диапазоны изменения физических величин. Метод физического моделирования имеет очень важное значение, когда в комплекс явлений, характеризующих исследуемый процесс, входят такие явления, которые не поддаются математическому описанию. Одним из примеров физического моделирования является исследование переходных процессов в энергетических системах на моделях этих систем, где мощные генераторы и трансформаторы заменены малогабаритными электрическими машинами и трансформаторами, а дальние линии электропередачи - соответствующими эквивалентами. Однако во многих случаях использование метода физического моделирования приводит к необходимости изготовления дорогостоящих моделей, пригодных для решения ограниченного круга задач. Математическое моделирование основано на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих явление в оригинале и модели, отличающихся по своей природе. Например, математическое моделирование переходных процессов в энергетической системе может быть выполнено на электронной вычислительной машине. Главное преимущество математического моделирования перед физическим заключается в возможности исследования явлений природы, трудно поддающихся изучению, используя хорошо изученные явления. При математическом моделировании более наглядно, чем при физическом, осуществляется индикация и регистрация результатов исследований: можно просто варьировать в широких пределах исходные данные задачи для выбора оптимальных (по заданному критерию) параметров исследуемой системы, время решения задачи, по желанию исследователя, может быть изменено в широких пределах.   Глава 1     Основные понятия и определения   Моделирование - это изучение реальной системы (оригинала) путем замещения его новым объектом (моделью), имеющим с ней определенные объектные соответствия и позволяющим прогнозировать ее функциональные особенности. Процесс моделирования включает  несколько этапов: 1 этап. Постановка задачи  и  определение свойств реального объекта, подлежащих исследованию. 2 этап. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта. 3 этап. Выбор модели, хорошо фиксирующей основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающейся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть громоздкой. 4 этап. Исследование модели в соответствии с поставленной целью (проведение экспериментов). 5 этап. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре этапа .  6 этап.    Окончательный выбор модели. Таким образом, моделирование состоит в выявлении основных свойств исследуемого процесса, построении моделей и их применении для прогнозирования поведения натуры. Критерием правильности моделирования является практика. При машинном моделировании на АВМ или ЦВМ динамические характеристики, интересующие исследователя, легко и быстро воспроизводятся на устройствах отображения (осциллограф или дисплей). Этот вид моделирования можно представить как проведение определенного рода опытов средствами вычислительной техники. Поэтому термин моделирование отражает и интерактивную форму связи человека с вычислительной машиной. Цели моделирования:              обоснование достоверности математических описаний;              получение функциональных связей между величинами;           сравнение конечного числа стратегий решения индивидуальной проблемы, т.е. ответ на вопросы: что будет, если...?;              идентификация моделируемой системы;              оптимизация модели. Выбор целевых функций;              применение моделирования для обучения и тренировки. Таблица 1 Задачи, решаемые при машинном моделировании   Задачи Уравнение Параметр Воздействие Реакция Анализ - прямая    ? Анализ - обратная   ?  Синтез - обратная  ?   Индуктивная ? ?     Оригинал - объект, определенные свойства которого подлежат изучению методом моделирования. Здесь необходимо обострить внимание на том, что все практические исследования имеют определенную направленность, при этом изучаются определенные свойства объекта, поэтому модель копирует оригинал не полностью, а частично с необходимой для проведения для исследования точностью. Поэтому при создании модели следует выделять существенные и не существенные свойства, которые требуется моделировать, например, при исследовании движения маятника, образованного тяжелым грузом, подвешенным на конце нити, существенным является то, что колебания маятника носят регулярный характер, а несущественным обстоятельство - то, что нить белая, а груз черный. Оригиналом может быть как реально существующие, так и проектируемые объекты (системы, подсистемы, элементы, а также явления и процессы, происходящие в них). Оригинал - замещаемый (моделируемый) объект. Модель - это вспомогательный объект позволяющий отображать, оценивать, рассчитывать и замещать оригинал. В общем случае модель - это явление, техническое устройство, знаковое образование, которые находятся в определенном соответствии с изучаемым объектом - оригиналом и способны замещать оригинал в процессе исследования, давая о нем необходимую информацию. Модель всегда проще натуры, т.е. точных моделей натуры принципиально быть не может. Модель - это заместитель оригинала, позволяющий изучить или фиксировать некоторые свойства оригинала. Система – целенаправленное множество взаимосвязанных объектов любой природы, совокупность компонентов, которая рассматривается, как единое целое и организована для решения определенных функциональных задач. Подсистемы - относительно самостоятельные части системы, функционально связанные между собой. Элемент - компонент системы, принимаемый в данной постановке задачи как неделимый на более мелкие составляющие. Явление - совокупность процессов, сопутствующих работе системы и проявляющихся в виде изменений состояний или режимов этой системы. Режим - состояние системы, определяющееся множеством различных процессов и зависящее от собственных параметров системы и параметров возмущающих воздействий. Режим бывает переходным и установившимся. Процесс - закономерное последовательное изменение относительно самостоятельной группы параметров режима, называемой параметрами процесса. Внешняя среда – множество существующих вне объекта элементов, оказывающих влияние на исследуемый объект. Существуют классический и системный подходы к решению задач моделирования.   Классический  подход Рис.1 Схема, используемая при классическом подходе   Суть метода заключается в следующем: реальный объект, подлежащий исследованию, разбивается на отдельные компоненты Дi, и выбираются определенные цели формирования отдельных компонентов модели. Затем, на основе исходных данных, создаются компоненты модели, совокупность которых  с учетом их взаимоотношений объединяется в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему (от отдельных компонентов к полной модели). Классический подход используется для моделирования относительно простых систем (например, САУ).   Системный подход Рис.2 Схема, используемая при системном подходе   Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему, и в соответствии с поставленной целью формируются требования к модели объекта. На базе этих требований строятся подсистемы моделей, которые в свою очередь набираются из элементов модели. С помощью критериев выбора осуществляют выбор наилучшей модели. Формирование модели происходит сверху, общая цель разбивается на определенные требования, по каждому  требованию формируется подсистема. Системный подход очень удобен и реализуем для сложных систем. Таблица 2 Способы создания моделей     Теоретический –предполагает создание модели на основе известных законов физики, механики, описывающих основные с точки зрения поставленной цели процессы, происходящие  в объекте.   Экспериментальный (или идентификация) предполагает построение модели на основе результатов эксперимента, проведенного с реальным объектом.          Классификация моделей Рис.3 Классификация моделей   В основу классификации положены наиболее важные признаки моделей: 1. Закон функционирования и характерные особенности выражения свойств и отношений оригинала; 2. Основания для преобразования свойств и отношений модели в свойства и отношения оригинала. По первому признаку модели разделяют на логические - образные, знаковые, образно - знаковые и материальные - функциональные, геометрические, функционально - геометрические. Логические модели функционируют по законам логики в сознании человека. Материальные - по объективным законам природы. Логические модели: *                   Образные (иконические) модели - выражают свойства оригинала с помощью наглядных чувственных образов, имеющих прообразы среди элементов оригинала или объектов материального мира. Пример, частицы газа в виде упругих шаров (кинетическая теория газа). *                   Знаковые (символические) модели - выражают свойства оригинала с помощью условных знаков и символов. Пример, математические выражения и уравнения, физические и химические формулы и т.п. *                   Образно - знаковые модели - обладают признаками образных и знаковых моделей. Пример: схемы, графики, чертежи, графы, структурные формулы, иероглифы и т.п. Материальные модели: *                   Функциональные модели - отражают основные функциональные свойства оригинала. Пример, моделью маятника, совершающего колебательное движение,  может служить RLC-цепочка. *                   Геометрические модели - отражают пространственные свойства оригинала. Пример, глобус. *                   Функционально - геометрические модели - отражают одновременно функциональные и пространственные свойства оригинала. Пример, макет самолета в аэродинамической трубе. В зависимости от физической однородности и разнородности с оригиналом функциональные и функционально - геометрические модели разделяются на физические и формальные. Пример, работу электрического генератора необходимо исследовать на активно - емкостной потребитель, подключение к которому по каким-либо причинам невозможно, потребитель можно заместить на последовательную цепь из резистора и конденсатора. В этом случае эта цепь является физической моделью потребителя. Если оригинал - маятник, то электрический колебательный контур является его формальной моделью. По второму признаку модели делятся на условные, аналогичные и математические. *                   Условные модели - выражают свойства и отношения оригинала на основании принятого условия (соглашения). Сходство с оригиналом у таких моделей может совершенно отсутствовать. К ним относятся все знаковые и образно - знаковые модели. *                   Аналогичные модели - обладают сходством с оригиналом, достаточным для перехода к оригиналу на основании умозаключения по аналогии, т.е. на основании логического вывода, что, оригинал, возможно, обладает некоторым признаком, имеющимся у модели, так как другие признаки оригинала сходны с признаками модели. Пример, все виды макетов кораблей, самолетов и т.д. *                   Математические модели – модели, в которых основные функциональные свойства объекта заменяются математическими выражениями. Они обеспечивают переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов. Математические модели делятся на расчетные и соответствующие: Расчетные - выражают свойства и отношения оригинала с помощью математических представлений - формул, уравнений, графиков, таблиц, операторов, алгоритмов и т.д. Пример, объект Z=X*Y – модель выходная координата.  Соответствующие – модели, в которых переменные величины модели связаны с соответствующими переменными величинами оригинала определенными математическими зависимостями. Пример, если две функции Z=XY и z=x+y, а также их независимые переменные связаны соотношениями x= lgX, y =lgY, z = lgZ, то каждый из таких объектов может служить соответственной моделью другого. Математические модели имеют признаки условных моделей и могут обладать признаками аналогичных. Среди соответствующих моделей можно выделить важнейший класс – подобные модели, которые как класс формируются на основе теории подобия. Подобные модели - переменные величины, в которых пропорциональны соответствующим переменным оригинала. Подобные модели также могут быть логическими и материальными. Подобные материальные модели подразделяются на аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные и гибридные), это зависит от того, какие величины связывает их математическое описание - непрерывные, дискретные или те и другие вместе. Аналоговые  -  модели, в которых основные функциональные свойства объекта заменяются подобными функциональными свойствами модели любой природы. Цифровые -  модели, в которых основные функциональные свойства объекта моделируются дискретно. Аналогово-дискретные – модели, которые сочетают в себе аналоговую и дискретную части (одни свойства объекта выражаются аналоговыми, другие – дискретными моделями). Подобие оригинала и его материальной модели позволяет использовать последнюю в качестве вычислительного устройства для решения уравнений, описывающих оригинал. Согласно общей теории моделирования, все вычислительные устройства являются материальными подобными моделями соответствующих материальных или логических оригиналов. В зависимости от характера математического описания эти устройства могут быть аналоговыми, цифровыми и аналого-цифровыми.     Классификация методов моделирования Рис. 4 Классификация методов моделирования   Моделирование систем включает в себя модели объекта с одной стороны и способы отражения их функционирования с другой. По характеру изучаемых процессов моделирование может классифицироваться по следующим признакам: детерминированность, динамичность, непрерывность и форма-представление. С точки зрения детерминированности различают: детерминированное и стохастическое моделирование. При детерминированном моделировании используются детерминированные методы без учета случайных воздействий внешней среды. Стохастическое моделирование отображает вероятностные и случайные процессы в объекте. При этом используется математический аппарат статистики и вероятностных процессов. С точки зрения динамичности разделяют статическое и динамичное моделирование. Динамичное моделирование процессы, происходящие в объекте, рассматривает во времени. Статическоемоделирование изучает особые статические режимы, когда процессы, происходящие в объекте, не зависят от времени. По признаку непрерывности различают: непрерывное, дискретное и непрерывно-дискретное моделирование. Непрерывное моделирование рассматривает процессы, происходящие в объекте, непрерывно в течение всего времени исследования. Математическим аппаратом данного типа моделирования являются дифференциальные уравнения. Дискретное моделирование изучает процессы в определенные моменты времени, математический аппарат – разностные уравнения. Непрерывно-дискретное моделирование сочетает в себе свойства непрерывного и дискретного моделирования. По формам представления моделирование может быть мысленное (логическое) и реальное (материальное). Мысленное моделирование применяется при исследовании систем, которые по каким-либо причинам не может быть реализовано физически. Мысленное моделирование в свою очередь разбивается на три крупных класса: Наглядное моделирование -  это создание наглядных моделей на базе представлений человека об объекте. Наглядное моделирование подразделяется на гипнотическое, аналоговое и  макетирование.  Гипотетическое моделирование – это исследование модели в виде черного ящика, при  этом структура и функциональные особенности объекта представляются гипотезой. После выдвижения гипотезы она либо принимается, либо нет.  Аналоговое моделирование применяется в том случае, когда любое функциональное свойство объекта заменяется аналоговым.  Макетирование применяется в случае, если невозможна физическая реализация объекта. Модель представляет собой полную аналогию с исследуемым объектом, но в другом масштабе. Символьное моделирование – замена реального объекта неким набором символов (любому объекту ставится в соответствие символ). Выделяют языковое и знаковое моделирование.  При знаковом моделировании  вводятся символьные обозначения определенных понятий, однородные понятия объединяются в отдельные множества. Все знаковое моделирование сводится к теории множеств и операциям между ними.  При языковом моделировании объекту и процессам, происходящим  в нем, ставится в соответствие тезаурус – язык, лишенный двусмысленности, т.е. его символика похожа на символику нашего языка, но все однозначно. Математическое моделирование подразделяется на аналитическое, имитационное и комбинированное.  Аналитическое моделирование – определенному объекту ставится в соответствие система уравнений и методы ее решения (высшая математика). Применяется  при исследовании относительно несложных систем, к которым относится САУ.  Имитационное моделирование – отдельные свойства объекта имитируются  конкретными математическими способами (нет конкретной модели), используется для исследования сложных систем. Как правило, применяется к стохастическим моделям и системам массового обслуживания. Для имитационного моделирования применяется пакет GPSS.  Комбинированное моделирование – это моделирование, в котором используются элементы аналитического и имитационного. Реальное моделирование может быть натурным и физическим. Натурное моделирование – это проведение исследований с реальными объектами с последующей обработкой результатов эксперимента. В нем выделяют:  производственный эксперимент – воспроизведение на натурном объекте основных режимов производственного процесса для дальнейшего исследования.  научный эксперимент – воспроизведение на натурном объекте качественно новых режимов, увеличение технических границ.  комплексный эксперимент – сочетает в себе элементы научного и производственного эксперимента При постановке научного эксперимента реальный объект используется в качественно новых  условиях функционирования или при воздействии новых факторов внешней среды с последующей обработкой результатов. Физическое моделирование:                в реальном масштабе времени – осуществляют постановку эксперимента в одинаковых масштабах времени как для объекта, так и для модели.                в нереальном масштабе времени – при постановке эксперимента масштабы времени для модели и объекта различаются на некоторую величину.   Иерархия математических моделей и формы их представления При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО) описать его поведение одной математической моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов. Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, - геометрические математические модели. Среди функциональных математических моделей иерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень. Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых - только от времени. Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 104-105, то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характеристики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число (разовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для математических моделей метауровня. ММ метауровня обычно относят к высшему уровню иерархии, ММ макроуровня - к среднему, а ММ микроуровня - к низшему.  Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюционной) математической модели микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия. В свою очередь, краевые условия держат начальные условия - распределения искомых фазопеременных в некоторый момент времени, принимаемый начальный, в пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО или его элементу, граничные условия на границах этой области. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменными (независимые и искомые) и коэффициенты уравнений, сократив число параметров. ММ микроуровня называют одномерной, двумерной трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровня. Одномерная микроуровня; фазовые переменные в которой не зависят от имени, имеет представление в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия). Поскольку краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку то и ММ микроуровня также может быть представлена в интегральной форме. При определенных условиях интегралы формул краевой задачи удается привести к вариационной формулировке в виде функционала, который допустимо  сматривать на некотором множестве функций, содержат искомую функцию. В этом случае говорят о вариационной форме модели микроуровня.  Искомая функция обращается в нуль вариацию функционала, т.е. является его стационарной точкой. Построение функционала и соответствующей ему вариационной формы модели микроуровня обычно основано на некотором содержательном с физической точки зрения вариационном принципе механики или электродинамики сплошной среды (например, па принципе минимума потенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принципе минимума времени прохождения светового луча между двумя точками оптически неоднородной среды). В этом случае стационарная точка функционала соответствует его экстремальному (в частности, минимальному) значению на допустимом множестве функций. Такая форма модели микроуровня, называемая экстремальной вариационной, позволяет, сравнивая значения функционала на любых двух функциях из допустимого множества, оценивать в интегральном смысле близость этих функций к искомой. Это свойство экстремальной вариационной формы модели важно при качественном анализе ММ и при сравнении различных приближенных решений соответствующей краевой задачи. При выполнении некоторых ограничений можно построить двойственную вариационную форму модели микроуровня, включающую пару функционалов, достигающих в одной и той же стационарной точке равных между собой альтернативных экстремальных значений (минимума и максимума). Такая форма ММ дает возможность по разности значении этих функционалов, вычисленных на некоторой функции из допустимого множества, количественно оценить погрешность, возникающую при выборе этой функции в качестве искомой. Основной формой динамической (эволюционной) ММ макроуровня являются ОДУ или их системы вместе с заданными начальными условиями. Независимым переменным в таких ММ будет время, а искомыми - фазовые переменные, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости ускорения элементов механических устройств, а также приложенные к этим элементам силы и моменты; давление и pacxод жидкости или газа в трубопроводе; напряжения и силы тока электрических цепях и т.п.).   Выводы по 1 главе: Модель — способ нахождения ответов на вопросы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, модель должна быть преобразована по правилам, обеспечивающим её эквивалентность, к виду, соответствующему ответу на вопрос. Это означает, что модель должна быть сформирована по правилам определённой алгебры (алгебра есть правила преобразования). А процедура, которая помогает применить такие правила к модели, называется методом. Рассмотрим пример. Модель падения тела под углом к горизонту содержит информацию о координатах траектории, заданных в осях (x, y): y = –x2 + 4 · x – 3 (координаты тела в полете) — см. рис. 1.5. Рис. 1.5. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту Модель связывает две переменные y и x законом f(y, x) = 0. Модель может быть расширена некоторыми исходными данными, например, так: y = –x2 + 4 · x – 3,y = 0 (интересуют не все возможные значения y, а только точки на поверхности Земли). y = 0 — это тоже закон, но более мелкого масштаба. Такие уравнения могут появляться и исчезать в зависимости от исследуемой проблемы. Обычно их называют гипотезами. Вопрос: x = ? Теперь модель и вопрос вместе образовали задачу: y = –x2 + 4 · x – 3,  y = 0,  x = ? Трактовать задачу можно так: при каких значениях x тело окажется на поверхности Земли? Модель подразумевает, что исследователь может решать с её помощью прямые и обратные задачи. Прямая задача не требует алгебраических преобразований, достаточно только арифметических подстановок: x = 2, y = –x2 + 4 · x – 3, y = ?. Ответ: y = 1. То есть, если на вход модели подать значение 2, то на выходе модели будет значение 1 — см. рис. 1.6. Рис. 1.6. Вид модели для решения прямой задачи Обратная задача: y = 0, y = –x2 + 4 · x – 3, x = ? Ответ: x = 1, x = 3. То есть ответ говорит: чтобы на выходе модели обеспечить значение 0, надо, чтобы на вход модели было подано значение 1 (или 3). И в первом, и во втором случае мы в разной мере преобразовывали модель, но всегда так, чтобы на входе у неё была известная величина, а на выходе — неизвестная. В первом варианте y := –x2 + 4 · x – 3. Во втором варианте модель преобразуется к виду: 0 = –x2 + 4 · x – 3. Здесь мы опустили ряд преобразований, известных из курса средней школы, а именно: D := b2 – 4 · a · c, где a = –1, b = 4, c = –3.  x := (–b ± sqrt(D))/(2 · a).  x := 1 или x := 3. Преобразования происходили с учётом правил алгебры. Если бы правила алгебры были нам неизвестны, то решить обратную задачу нам бы не удалось. А значит, не удалось бы ответить на поставленный вопрос: «x = ?». Способность модели преобразовываться с помощью алгебры даёт возможность в дальнейшем использовать её многократно для решения различных задач, делать на ней прогнозы. Сравните: телефонный справочник — это тоже своеобразная модель, но какие прогнозы вы можете сделать, какие обратные задачи решить? Как вычислить фамилию абонента по номеру телефона? Какую алгебру вы используете? Поэтому, создавая модель, следует обязательно думать о том, какой алгеброй она будет преобразовываться. Создавать алгебру следует параллельно с моделью или использовать уже готовую алгебру и не отходить при построении модели от её правил. Ещё один тип задач, который приходится решать на моделях — задачи настройки модели. Приведём пример. При каких значениях параметра a модель y = a · x2 + 4 · x – 3 обеспечит y = 9 при x = 2? Решаем систему уравнений: y = a · x2 + 4 · x – 3  y = 9  x = 2   или 9 = a · 22 + 4 · 2 – 3   Далее, по правилам арифметики и алгебры, получим ответ: a = 1. От показанного на рис. 1.7 структурного изображения модели можно перейти к другому, математическому, её виду: Y = M(X). Рис. 1.7. Структурное изображение модели в среде моделирования Модель — закономерность, преобразующая входные значения в выходные. Ряд моделей может быть недоопределён — это означает, что вариантов ответов много (два, три, сто или бесконечное множество). Если нужен один ответ, то проблему надо доопределять, дополнять условиями. «Недоопределён» означает, что можно произвольно, кроме гипотез, законов, ответа, потребовать дополнительно выполнение ещё каких-то условий. Возможно, при построении модели что-то не было учтено, не хватает каких-то законов. Рецепт понятен: модель надо достроить. Но может быть и по-другому. Решений много и есть, видимо, лучшие решения, и есть похуже. Тогда для нахождения лучшего решения следует сузить область решений, накладывая определённые ограничения, чтобы отсеять остальные. Такие задачи часто называют задачами управления. Часть определений, которым надо безусловно удовлетворить, называются ограничениями. Часть определений, относительно которых высказывают только пожелания («быть как можно больше или меньше»), называются критериями. В целом получается обратная задача. А то, что надо определить — управляемая переменная. То есть интересуются: как следует изменить входной параметр (управление), чтобы обеспечить выполнение законов, не выйти за ограничения и чтобы при этом критерий принял наилучшее значение? Пример. Модель: y = –x2 + 4 · x – 3. Вопрос: x = ? Доопределение модели: y должен быть максимизирован, x ≥ 2.5. Так как y должен быть максимизирован, то мы должны стараться двигаться вверх вдоль графика функции (рис. 1.8) и следить, чтобы значение x не стало меньше 2.5. Как видно из рисунка, значение y станет максимальным при x = 2.5. Ответ: y = 0.75, x = 2.5. Рис. 1.8. Графическая иллюстрация решения задачи с ограничениями Отметим, что создать модель бывает проще, чем сразу дать себе ответ на интересующий вопрос. Наверное, на практике вы замечали, что часто гораздо проще составить уравнения, чем угадать решение задачи. Например: решено разделить огромный шар размером с Землю на две половинки, полученную половинку снова поделить пополам и так далее. Попробуйте ответить на вопрос: сколько раз (n) надо провести такую операцию, чтобы размер делимой частички в результате достиг размера атома? Наверняка, сразу ответить на этот вопрос не удастся, интуиция подводит, придётся составить модель. Пусть D = 6 400 км = 6 400 000 м — диаметр шара (Земли), а d = 10–9 м — диаметр атома. Тогда модель есть выражение: 2n = D/d или 2n = 6 400 000/10–9. Отсюда получаем: 2n = 6.4 · 1015 или n = log2(6.4 · 1015). Итак, приближённо, n = 53. Неожиданный результат, не правда ли?! Можно ли было его предугадать? Ещё несколько примеров. Тривиальные модели: x = 5°; телефон друга Сидорова — 912–36–54. Такие модели не несут в себе прогностических свойств, поскольку на основе известной информации невозможно вычислить каким-либо образом другую информацию. Зная телефон одного друга Сидорова, невозможно вычислить телефон другого его друга. Это так называемые пра-модели (pra-model). Фактически это данные. Заметим, что недооценка в современных условиях понятия моделирования ведёт к использованию в АРМах коммерческого назначения только данных. Именно поэтому такие АРМы не способны решать прогностические задачи и решают, в основном, только учётные задачи (см. рис. 1.9).   Рис. 1.9. Типовая схема взаимодействия АРМов в АСУ (без решения задач прогнозирования) Чтобы проиграть ситуацию на предприятии на будущее, узнать, к чему приведёт то или иное решение, следует в состав АРМов включать модели (см. рис. 1.10). Рис. 1.10. Схема взаимодействия АРМов в АСУ (при постановке задач прогнозирования) На рис. 1.11 показана пирамида моделей, различных по степени прогностичности. Рис. 1.11. Соотношение типов моделей по степени прогностичности Обратите внимание: уровень «Модель» «питается» информацией, структурированной по типу предыдущего уровня «Пра-модель», то есть она потребляет на входе данные, перерабатывает их и возвращает тоже данные, то есть модели более низкого уровня (пра-модели). Подчеркнём ещё раз, что данные — это тоже модели! Уровень «Супра-модель» потребляет на входе модели в виде объектов и операций, перерабатывает их и возвращает модели (примером таких супра-моделей могут служить грамматики, способные преобразовывать модели (уравнения). Данный принцип справедлив и для всех последующих (вышестоящих) уровней. Пирамида на рис. 1.11 представлена в виде функциональных уровней; это означает, что каждый последующий уровень мощнее предыдущего, то есть он позволяет получить больший, более мощный качественный результат.   Глава 2   Теоретические основы моделирования   2.1 Условное моделирование   Условное моделирование - это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря договоренности о смысле, приписанном этой модели. Прежде всего - знаковые модели. Знак или символ - искусственный образ, чисто условно изображающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства. Отдельный знак (т.е. простейшая условная модель) обладает ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство, связь или отношение вещей, явлений, свойств и т.д. Однако, в случае применения системы знаков, эти возможности резко возрастают. Сформулировать общие правила построения знаковых моделей невозможно, так как формирование их имеет поисковый эвристический характер. Основные требования, предъявляемые к таким моделям:        необходимость - невозможность использовать имеющиеся символы;        простота - простое при равных условиях предпочтительнее сложного;        наглядность - хотя бы самое отдаленное сходство с оригиналом;        индивидуальность - достаточное отличие от других символов;        однозначность - недопустимость обозначения одним символом различных объектов;        единообразие - при моделировании однородных объектов;        определенность - сопровождение четким указанием о принятом решении;        учет установившихся традиций. Пример: запись кубического уравнения вида Дx3 + x2 + Ox +  = 0 явно неудачна. Более удачно Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0, еще лучше A0x3 + A1x2 + A2x + A3 = 0, самая удачная A3x3 + A2x2 + A1x + A0 = 0, которую легко записать в сокращенной форме Aixi = 0. Если знаковая модель выбрана удачно, она получает всеобщее признание, примером этого служат русские и латинские буквы, примерами неудачных - немецкие готические и иероглифы. Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом. Например, структурные схемы, направленные графы систем автоматизированного управления наглядно показывают число звеньев, связи звеньев, переменные величины, действующие на входах и выходах звеньев и системы в целом. К знаковым и образно-знаковым моделям относятся все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, неравенства, графики, номограммы, таблицы, алгоритмы и т.д.). Практически при применении математических методов приходится иметь дело с математическим описанием материальных объектов, являющимися условными логическими моделями количественных отношений между размерами и числовыми значениями физических величин. В общем случае физическая величина Х - это некоторое свойство материального объекта, допускающее количественное выражение, например, длина L, объем V, масса M, вообще. Количественное значение физической величины Х в конкретном материальном объекте х - это размер физической величины Х. Для определения размера х физической величины Х данного объекта требуется сравнить ее размер с размером {x} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу. В результате измерения устанавливается числовое значение х размера х: х = х / {x}                                                         (1) и размер выражается через числовое значение х и единицу измерения {x}: х = х{x}                                                            (2) Символы х, х, {x} в формуле (2) как условной знаковой модели моделируют размер, числовое значение и единицу физической величины Х. Знак = означает равенство объектов - оригиналов, символические модели которых расположены справа и слева от него. Эти символы называются членами формулы. Размер х не зависит от единицы измерения {x}, от нее зависит только числовое значение х размера х. Каждый материальный объект обладает несколькими свойствами, допускающими количественное выражение. Между различными свойствами объективно существуют конкретные связи. Они обуславливают определенные соотношения между размерами физических величин, которые можно выразить в виде формулы. Поэтому, если выбрать произвольно единицы некоторых физических величин, то через эти единицы можно выразить единицы всех остальных физических величин. Основные физические величины - размеры единиц, которых выбираются произвольно. Единицы измерения основных физических величин также называются основными. Производные единицы измерения - единицы измерения остальных физических величин, которые выражены через основные на основе физических законов между величинами исходного объекта  величинами и величинами единиц измерения, которые приняты в качестве основных. [] = [L][T-1]        F = am[F] = [L][T-2][M] Система единиц измерения - совокупность основных и производных единиц. В системе «СИ» основные физические величины - длина, масса, время, сила электрического тока, сила света, количество вещества, температура. Основные единицы этой системы - метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А), кандела (кд), моль (моль), кельвин (К).   Пусть для физических величин Y1, Y2,... выбраны независимые основные единицы {y1}, {y2},... и для другой величины X требуется установить производную единицу {x}. Для этого выбирается материальный объект, в котором размеры X, Y1, Y2,... связаны уравнением: x = k F(y1, y2,...), (3) где k - коэффициент пропорциональности, или x {x} = k F(y1{y1}, y2{y2}, ...)      (4) Положив x = y1 = y2 = ... = 1, можно выразить производную единицу через основные: {x} = k F({y1}, {y2},...).         (5) Для обеспечения идентичности выражений, размеры и числовые значения X, Y1, Y2 ,..., аналогичной (3) должна быть зависимость: x = k F( y1, y2,...).     (6) Подставляя выражения (5), (6) в (4) получим: k F( y1, y2,...) k F({y1}, {y2},...) = k F(y1{y1}, y2{y2}, ...), равносильное системе двух уравнений: k2 = k,        (7) F(y1{y1}, y2{y2}, ...) = F( y1, y2,...) F({y1}, {y2},...)         (8) Алгебраическое уравнение (7) имеет два корня (0, 1), смысл имеет k = 1. Выражение (7) функциональное, в котором неизвестен вид функции F. По смыслу выражения (3) эта функция должна быть непрерывной, единственной функцией удовлетворяющей условию (7) является произведение степеней y1, y2, ..., т.е. функция: F(y1, y2, ... ) = y11 y22 ... ,     (9) в которой показатели степени могут быть любыми числами, и которая называется - степенным комплексом. Вывод - для установления производных единиц измерения пригодны только физические формулы в виде степенных комплексов с постоянным коэффициентом, равным единице. Определяющее уравнение - степенной комплекс, выбранный для установления производной единицы измерения. В общем случае производная единица физической величины выражается не только через основные, но и через, ранее установленные - производные единицы других величин. Общее символическое выражение производной единицы: {x} = {y1}1{y2} 2 ... {x1} 1{x2} 2 ...      (10) Для простоты определяющего уравнения, как правило, уравнение выбирается так, чтобы оно содержало не более 3- 4-х физических величин, а модули степеней ,  были бы равны единице или двум. Выражение производной единицы через основные не раскрывает ее физического смысла, но отличается определенной общностью для всех физических величин. Эту форму представления производной физической величины называют размерностью и обозначают - [x]. Так как размер {x} и размерность выражают по-разному, но одну и ту же единицу измерения, то {x} = [x].    (11) Основная единица обозначается либо символом соответствующей физической величины Y, например, длина L, время T, либо специальным символом, представляющим сокращенно ее название, например, единица длины метр - м, единица времени секунда - с. Первое обозначение преимущественно используется в формулах размерностей [y] = Y, второе - при конкретизации единиц физических величин. Производная единица обозначается, либо символом представляющем ее название {x} = «название» (единица силы ньютон - Н, работа джоуль - Дж), либо - символом единиц определяющего уравнения (единица скорости м/с, давления Н/м2). В формулах размерностей используется общее обозначение [x]. Если в правой части определяющего уравнения содержаться только размеры основных физических величин, то из {x} = {y1}1{y2} 2 ... {x1} 1{x2} 2 ... при условии {x} = [x] и 1 = 2 = ... = 0 получим формулу размерности: [x] = [y1]1[y2] 2 ...        (12) Например, для единицы скорости {v} = {l} {t}-1,     [v] = [l] [t]-1 В общем случае формулы размера и размерности различны, например, для единицы силы в СИ {F} = кг*(м/с)/с, [F] = LMT-2. Размерность - символическое выражение единицы величины через основные единицы, показывающее соотношение между их размерами без указания этих размеров. Различают физические величины однородные, одноименные и безразмерные: Однородные - имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл. Пример, координаты точек тела и его физический размер. Одноименные - имеют одинаковую размерность, но разный физический смысл. Пример, работа A = Fscos(), энергия Ек = 1/2mv2 или Еп=mgh, момент силы M=Fr sin() имеют вид [ML2T-2]. Безразмерные - размерность равна единице [x] = [y1]0[y2]0 ... =1, x = x и не зависят от выбора системы единиц. Пример, относительные изменения любой величины - безразмерная величина x/x, отношение дуги окружности к радиусу и т.д. Все величины, не являющимися безразмерными, называются размерными. Формула размерности (соотношение между единицами измерения величины и основными единицами) любой физической величины однозначно определяется выбором основных единиц измерения и определяющего уравнения. В то же время, одна и та же формула размерности может соответствовать различным физическим величинам.   Дополнительный материал к главе 1.     1. Роль математического моделирования в технике   Совершенство большинства технических устройств определяется главным образом эффективностью преобразования и перемещения ограниченного числа субстанций: массы, энергии, импульса, электрического заряда, информации. Эти процессы подчинены фундаментальным законам природы, составляющим предмет изучения механики, физики, химии и других естественно-научных дисциплин. Не всегда в развитии техники эти законы играли первичную роль. Много примеров изобретения технических устройств, которые, наоборот, натолкнули на открытие или уточнение фундаментальных научных положений. Видимо, такие ситуации возможны и в настоящее время. Но магистральная линия создания принципиально новых и совершенствования существующих технических устройств - это реализация возможностей, открывающихся при использовании результатов фундаментальных исследований. Этим, в частности, объясняется и современный акцент в инженерном образовании на фундаментальную научную подготовку. Решающую роль при реализации результатов таких исследований играет математическое моделирование. 1.1. Моделирование и технический прогресс На пути реализации в технике наиболее перспективных научных открытий и разработок обычно стоят препятствия, связанные с отсутствием или ограниченными возможностями конструкционных или функциональных материалов и с недостаточностью достигнутого технологического уровня. Поэтому процесс реализации научных и технических идей - это процесс поиска разумного компромисса между желаемым и возможным, что доказывает история развития таких быстро прогрессирующих технических отраслей, как ядерная энергетика, ракетно-космическая техника, ведущие отрасли приборостроения и вычислительная техника. При создании технических устройств и систем различного назначения обычно рассматривают несколько возможных вариантов проектных решений, ведущих к намеченной цели. Эти варианты принято называть альтернативами. Учет противоречивых требований и поиск компромисса в решении комплекса возникающих при этом взаимосвязанных проблем предполагают наличие достаточно полной и достоверной количественной информации об основных параметрах, которые характеризуют возможные для выбора альтернативы. В складывавшейся десятилетиями последовательности основных этапов разработки технических устройств в большинстве отраслей машиностроения и приборостроения некоторый начальный объем необходимой информации формировался путем так называемых проектировочных расчетов, степень достоверности которых должна была обеспечивать лишь довольно грубый отбор альтернатив. Основная часть необходимой для принятия окончательного решения количественной информации (как по степени подробности, так и по уровню достоверности) формировалась на стадии экспериментальной отработки технических устройств. По мере их усложнения и удорожания, а также удлинения стадии их экспериментальной отработки значимость проектировочных расчетов стала расти. Возникла необходимость в повышении достоверности таких расчетов, обеспечивающей более обоснованный отбор альтернатив на начальной стадии проектирования и формулировку количественных критериев для структурной и параметрической оптимизации. Развитие сверхзвуковой авиации, возникновение ракетно-космической техники, ядерной энергетики и ряда других быстро развивающихся наукоемких отраслей современного машиностроения и приборостроения привели к дальнейшему усложнению разрабатываемых и эксплуатируемых технических устройств и систем. Их экспериментальная отработка стала требовать все больших затрат времени и материальных ресурсов, а в ряде случаев ее проведение в полном объеме превратилось и проблему, не имеющую приемлемого решения. В этих условиях существенно увеличилось значение расчетно-теоретического анализа характеристик таких устройств и систем. Этому способствовал и прорыв в совершенствовании вычислительной техники, приведший к появлению современных ЭВМ с большим объемом памяти и высокой скоростью выполнения арифметических операций. В результате возникла материальная база для становления и быстрого развития математического моделирования и появились реальные предпосылки для использования вычислительного эксперимента не только в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработки технического устройства, по и при его проектировании, подборе и оптимизации его эксплуатационных режимов, анализе его надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, а также при оценке возможностей форсирования характеристик и модернизации технического устройства. Так вычислительный эксперимент позволил снизить затраты на проведение натурных аэродинамических испытаний созданного в США аэробуса и добиться уменьшения аэродинамического сопротивления па 20% по сравнению с существовавшими аналогами. Известны примеры математического моделирования условий, возникающих при автомобильных авариях и более крупных техногенных катастрофах. На основе математической модели (ММ) биосферы Земли составлен прогноз последствий ядерных взрывов при возможном военном конфликте, приводящих к так называемой, ядерной зиме. Отметим, что определенные предпосылки к широкому применению математического моделирования и вычислительного эксперимента в технике были созданы благодаря разработке методов аналогового моделирования*1 . Основу большинства этих методов составляло использование электрических моде лей-аналогов для исследования процессов в механических, тепловых и гидравлических системах.  Явления считают математически аналогичными, если их описывают одинаковые по форме уравнения. Математическая аналогия между процессами в электрических цепях и другими физическими явлениями позволяет создать моделирующие установки, которые, по существу, являются специализированными аналоговыми вычислительными машинами2 (АВМ). Так, па основе электротепловой аналогии были разработаны и изготовлены многочисленные установки для моделирования процессов теплопроводности и теплообмена применительно к различным элементам конструкций и технологического оборудования в машиностроении, энергетике, металлургии, химической промышленности и других отраслях техники3. Но, несмотря на простоту проведения вычислительного эксперимента и достаточную для инженерной практики точность получаемых результатов, со временем АВМ были вытеснены более универсальными и производительными ЭВМ. Тем не менее и сейчас при разработке ММ параду с электротепловой аналогией электромеханическую и электрогидравлическую аналогии используют в методических целях для построения эквивалентных схем проектируемых и исследуемых технических объектов. В настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ стали составными частями общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что математическое моделирование позволило объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ „во много рал быстрее, точнее и лучше человека делать формальные, арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта - интуицией, способностью к ассоциациям и т.д.. Не менее важно и то, что современные средства отображения информации дают возможность вести с ЭВМ диалог - анализировать альтернативы, проверять предположения, экспериментировать с ММ. Практическая реализация возможностей математического моделирования и вычислительного эксперимента существенно повышает эффективность инженерных разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук. Отмеченные возможности математического моделирования и вычислительного эксперимента еще далеко не исчерпаны, представляются достаточно перспективными и поэтому заслуживают детального рассмотрения.   1.2. Основные этапы математического моделирования Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических устройств и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1}. определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента. Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве. Рис. 1.1 На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме [PC). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин содержательная модель ТО, а в некоторых случаях - концептуальная модель. В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики РС разработаны специальный приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии формирования. При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в РС свойств ТО существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделировании. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой РС может обесценить все последующие этапы исследования. Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании РС. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими РС ТО, и называют математической моделью (ММ). Надо сказать, что для некоторых типовых РС существуют банки ММ, что упрощает провидение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать РС из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых РС и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком пауки. На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра РС (штриховая линия на рис. 1.1).  Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключи» из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случаев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ (греческое слово lepapxia происходит от iepos - священный и apxn - власть и в данном случае означает упорядочение ММ по признаку их сложности и полноты). Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ. Итог анализа па рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области. Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а. пятый этап - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ. Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду «модель - алгоритм – программа» можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТС), что составляет содержание седьмого, завершающего технологический цикл этапа математического моделирования. Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного "технологического цикла. 1.3. Математические модели в инженерных дисциплинах Осуществление отдельных этапов математического моделирования, требует определенных знаний, навыков и практической подготовки. Если первый, седьмой и частично шестой этапы применительно к моделированию технических объектов (ТО) типичны для амплуа инженера, то второй, третий и четвертый этапы предполагают наличие серьезной математической подготовки, а пятый - навыков в разработке и отладке ЭВМ-программ. Поэтому к математическому моделированию сложных ТО приходится привлекать и инженеров, и математиков, и программистов. Однако для координации их усилий необходимы специалисты, способные осуществить каждый из рассмотренных этапов на высоком профессиональном уровне. Подготовка таких специалистов составляет одну из ключевых проблем, от успешного решения которой зависит эффективное использование возможностей математического моделирования при создании технических устройств и их систем. Решение этой проблемы, вероятно, по силам ряду созданных в последние годы технических университетов. Успех в решении указанной проблемы в значительной степени зависит от укрепления междисциплинарных связей между курсами высшей математики, физики, теоретической механики, химии, информатики и инженерными дисциплинами. Связующим звеном при этом могут быть математические модели (ММ) явлений и процессов, являющихся предметом изучения в дисциплинах естественно-научного цикла и лежащих в основе функционирования ТО в конкретных областях техники. Эта связь может обеспечить методическое единство и преемственность циклов математической, естественно-научной и специальной подготовки будущего инженера. Такие инженерные дисциплины, как прикладная механика (в частности, сопротивление материалов), гидравлика, теория тепломассообмена, электротехника, электроника и некоторые другие, можно с определенных позиций рассматривать как упорядоченное множество расчетных схем (PC) и ММ соответствующих ТО. Прежде всего в инженерных дисциплинах изучают PC и ММ так называемых типовых элементов, часто встречающихся в данной отрасли техники. Например, в электротехнике роль простейших типовых элементов играют пассивные электрические двухполюсники: резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Но даже каждому из таких, казалось бы, простых элементов в зависимости от условий его работы соответствуют несколько PC, и можно говорить об иерархии ММ. В электротехнике и электронике, по существу, сформирован так называемый банк PC и ММ типовых элементов, что в сочетании с принятой системой наглядного графического представления связей между этими элементами позволяет строить ММ достаточно сложных устройств. Аналогичная ситуация существует в инженерных дисциплинах, предметом изучения которых являются механические, тепловые, пневмогидравлические системы и системы, в которых одновременно протекают процессы различной физической природы. Так. в сопротивлении материалов банк PC построен с учетом формы типовых элементов на основе принятых предположений (гипотез) о распределении перемещений или механических напряжений в этих элементах. Причем каждой PC (стержню, балке, пластине, оболочке) соответствует ММ, область применения которой ограничена принятыми гипотезами. Следует отметить определяющую роль гипотез при формировании PC типовых элементов". При этом целесообразно отдавать предпочтение более простым гипотезам но сравнению с искусственными и обычно трудно проверяемыми. Если простая гипотеза верна, то ее обычно легко аргументировать и подтвердить экспериментально, и, наоборот, если она вызывает сомнение, то ее нетрудно опровергнуть либо на основе экспериментов и непосредственных наблюдений, либо исходя из соответствующим образом поставленных экспериментов, либо при получении противоречивых результатов уже на стадии количественного анализа ММ, построенной с использованием этой гипотезы. Однако принятие простой гипотезы не всегда равносильно построению простых PC и ММ изучаемого ТО. Остановимся на особенностях построения ММ в инженерных дисциплинах. Математик-теоретик обычно выбирает для исследования уже построенную ММ, т.е. начинает работу с формулировки математической задачи и затем уже не подвергает сомнению эту формулировку, а лишь обосновывает свои преобразования и этапы решения задачи. При этом в некоторых случаях полученные результаты удается применить непосредственно к конкретному ТО. Но в технике ни одну достаточно сложную задачу нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является условным. Если некоторое следствие формулировки такой задачи неверно или неприемлемо, то задачу приходится переформулировать, так как любая последовательность математических символов, записанных при построении ММ, является в действительности последовательностью утверждений содержательного характера, связанных с конкретным исследуемым ТО. Поэтому при математическом моделировании ТО необходимо учитывать как математическую, так и содержательную сторону задачи, связывая одну с другой. Забвение относительного соответствия ММ реальному ТО может привести к ошибкам, связанным с приписыванием ТО свойств его ММ. В этом отношении характерны слова отечественного математика, механика и кораблестроителя А.Н. Крылова (1863-1945): «Сколько бы ни было точно математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, па коих оно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудь грубое приближенное предположение ил допущение, часто даже не оговорив таковое, а затем придаю полученной формуле гораздо большее доверие, нежели она заслуживает». Отмеченные особенности дают повод для того, чтобы еще раз подчеркнуть важность умения согласовывать этап формирования PC с этапом построения ММ изучаемого ТО (этапы I и II па рис. 1.1). Это умение обычно складывается у студентов при выполнении междисциплинарных курсовых работ  проектов, при самостоятельном решении прикладных математических задач, имеющих конкретное техническое содержание. Для формирования таких навыков необходимы специальные учебные пособия, в которых на примерах ТО, изучаемых и инженерных дисциплинах, была бы детально и аргументирована раскрыта взаимная связь рассматриваемых этапов. В качестве примера такого пособия можно назвать выдержавшую пять изданий книгу В.И. Феодосьева "Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов", содержание и методически значение которой для углубленного понимания особенностей математического моделирования ТО существенно шире ее на звания. Акцент па взаимной связи этапов формирования PC и по строения ММ исследуемого ТО не противоречит, а дополняет выдвинутый и обоснованный А.А. Самарским и его сотрудниками методологический императив (от латинского слов; imperative  повелительный) - совершенствование триад] « модель - алгоритм – программа» и ее внедрение в современные информационные технологии. В этой триаде основное внимание уделено проблемам анализа построенных ММ методами вычислительной математики при помощи средств вычислительной техники (т.е. этапам IV и V на рис. 1.1). Подчеркнуто что изолирование этапов, связанных с построением ММ или разработкой алгоритмов и пакетов программ, как и обучение выполнению этих этапов по отдельности, не достаточно для эффективного использования преимуществ математического моделирования. Наличие современных ЭВМ само по себе еще не решает проблему. Необходимо "интеллектуальное ядро'' вычислительной техники, которым является ее математическое обеспечение, составляющее, по оценкам, не менее 80% общей стоимости разработки информационных технологий. Удобства, предоставляемые программным обеспечением современных ЭВМ их пользователям, часто приводят к стремлению обратиться при количественном анализе ММ к существующим и постоянно совершенствуемым универсальным пакетам типа Mathcad, Matlab и т.п. Более того, универсальность ММ и формирование банков типовых ММ позволяют создавать программные комплексы типа NASTRAN или ANSYS, в которые исходная информация вводится даже не в виде ММ, а в виде PC изучаемого ТО. Однако метод, который годится для решения многих стандартных задач, часто не является наилучшим при решении конкретной задачи, особенно нестандартной, а нередко и вообще не применим. Но в инженерной практике решать приходится в основном нестандартные задачи, потому что стандартные почти все решены или могут быть решены без особых творческих усилий. При решении новых и сложных задач, не имеющих близких аналогов, путь формального обращения к универсальным пакетам и программным комплексам может привести к получению результатов, которые не удастся интерпретировать применительно к рассматриваемому ТО. В таких случаях анализ ММ нужно строить на умелом сочетании качественных оценок, аналитических методов и применения ЭВМ, помня, что цель расчетов - не числа, а понимание.  Все это говорит о том, что ЭВМ, освобождая нас от многих забот и обязанностей, не освобождает во всяком случае от двух из них - от необходимости владеть математикой и творчески мыслить.         2. Математическая модель Из последовательности основных этапов математического моделирования (см. рис. 1.1) следует, что определяющую роль в нем играет математическая модель (ММ) изучаемого технического объекта. Поэтому, прежде всего, следует уделить внимание основным свойствам ММ и требованиям к ней, а также классификации ММ. 2.1. Понятие математической модели Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой. По-видимому, к этому сводится смысл замечания Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. Этапы развития многих естественнонаучных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники – это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Не за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании, В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ. допускающих исчерпывающий количественный анализ. Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами. При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона 2u(M) + f(M) = 0,                                    (2.1) где  - дифференциальный оператор Лапласа, а u(М) и f(M) - искомая и заданная функции положения точки М  V в некоторой области V, можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции u(М) и f(M) приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (2.1). Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие.  Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре (1854 - 1912) определил всего одной фразой: „Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем". 2.2. Структура математической модели В достаточно общем случае изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами х  Rk, g  Rm и y  Rn внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров. Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними - сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними - сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов. Но если в качестве ТО рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя. При создании ТО значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования. В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТО может представлять собой соотношение y = f(x,g), х  Rk, g  Rm и y  Rn,                              (2.2) где f - векторная функция векторного аргумента. Модель в виде (2.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием па проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует так называемый проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция f в (2.2) обычно заранее не известна и се предстоит установить. Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ (от латинского слова identifico - отождествляю, которому в данном случае придают смысл «распознаю»). Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа [XVII]. Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного ящика - устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия. Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, х и g в виде операторного уравнения L(u(z)) = 0,                                              (2.3) где L, - некоторый оператор (в общем случае нелинейный), О нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, z - вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а и - вектор фазовых переменных включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние. Но даже если возможно получить решение (2.3) и найти зависимость u(z) от 2, то далеко не всегда удается представить ММ ТО в явном относительно вектора у виде (2.2). Поэтому именно (2.3) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (2.2) является более простым частным случаем такой модели. 2.3. Свойства математических моделей Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств. Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы U = IR закона Ома обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление R резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано U, то I будет выходным параметром, a. U - внешним параметрам, и наоборот. Точность MM дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор у = (y1  y2   …  yi  … yn)T   Rn, Пусть  и   - найденное при помощи ММ и реальное значения i-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна В качестве скалярной оценки вектора  = (1  2   …  i  … n)T   Rn, можно принять какую-либо его норму, например Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, то е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов х и д. Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор хном, из условия минимума  путем решения задачи конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор gном и обеспечивающие минимальное значение min относительной погрешности ММ. Тогда при фиксированном векторе gном можно построить множество X = {xRk:  ≤ } Rk называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что X =  при  < min, а чем больше заданное значение  > min, тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО. В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание поведения изучаемых объектов или их систем.  Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность па стадии отладки алгоритма или ЭВМ-программы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с расчетной схемой ТО, Робастность ММ (от английского слова robust - крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния па результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению се робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точностью или входящих в слишком приближенные соотношения. Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ос применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными. Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее, использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.   1.2 Аналогия.   Аналогия - сходство различных объектов по некоторым признакам. Аналоги - объекты сходные по соответствующим признакам. Сходственные признаки - признаки, по которым объекты оказываются аналогами. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественныйхарактер. В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии. Основное значение аналогий - перенос сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключений по аналогии. Умозаключение по аналогии - основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме:              Установлено, что объект O1 обладает свойствами C0, C1, ... , CN, C’1, ..., C’n1.              Установлено, что объект O2 обладает свойствами C1, ... , CN, C’’1, ..., C’’n2.              Вывод: возможно, что объект O2 обладает свойством C0, как объект O1. Если среди C’’ есть хотя бы одно свойство C’’i несовместное с C0 , то сходство объектов по свойствам C1, ... , CN не имеет никакого значения. Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер, может привести либо к истинному, либо - ложному выводу. Пример, аналогия между движением жидкости и процессом распространения тепла привела к неправильному выводу о существовании теплорода. Суждение, полученное по аналогии, нуждается в специальной проверке. Вероятность правильности этого суждения тем больше, чем сильнее связь между свойствами C, чем слабее связь между C и C’ и между C и C’’, чем больше N и чем меньше n1  n2. Умозаключение по аналогии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов C1, ... , CN обуславливают свойство C0. Умозаключение по аналогии - является основой аналогичного моделирования, пример, замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия новых лекарств, что неоценимо важно для развития медицины. Общенаучное значение аналогий - прежде всего для придания наглядности, аналогия электрического тока с движением жидкости, для формирования понятий и для иллюстрации. Примеры понятий, введенных по аналогии, - теплоемкость, запоминающее устройство, электродвижущая сила. Пример иллюстрации по аналогии - иллюстрацией понятия устойчивости служит система - шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения. Кроме того, аналогия может служить и как активизатор мышления, и как источник идей. Пример: соотношения 11 + 21 = 31 , 32 + 42 = 52 по аналогии привели математика П. Ферма к уравнению xn + yn = zn с тремя неизвестными и к формулировке «великой теоремы» теории чисел, согласно которой это уравнение при любом целом n>2 не имеет целых положительных решений. Справедливость теоремы Ферма доказана для всех n  100, но в общем виде она остается недоказанной. Подробный пример: известно, что если все корни алгебраического уравнения a0+ a1x + a2x2 + ... + anxn = 0, a > 0, вещественные отрицательные и разные, | x1 | < | x2| < ... < | xn |, то | xi | = ai-1/ai. Если модуль каждого корня значительно превышает модуль предыдущего, т.е. | xi-1 | << | xi |, то ao/a1 0                       (1.14) устойчива, то алгебраические уравнения A0 + A2y + A4y2 + ... = 0 A1 + A3Y + A5Y2 + ... = 0 имеют только вещественные отрицательные чередующиеся корни |y1| < |Y1| < |y2| < |Y2| < ... Если модуль каждого из этих корней значительно превышает модуль предыдущего, т.е. | yi-1 | << | Yi | << | yi+1 |, то аналогично (1.13) A0/A2 < A1/A3 < A2/A4 < ... < An-2/An .                         (1.15) Эта аналогия приводит к идее использовать ряд отношений четных и нечетных коэффициентов (1.15) для анализа устойчивости непрерывных линейных стационарных систем и к грубому критерию устойчивости. Этот критерий требует составления ряда (1.15) и нахождения значений i = Ai / Ai+2, ki = i / i-1 = (Ai / Ai+2) / (Ai-1 / Ai+1) = AiAi+1 / Ai-1Ai+2, а также определяет достаточные условия устойчивости (все ki  2.15) и неустойчивости (хотя бы одно ki  1). Простота критерия позволяет обойтись в некоторых случаях без всяких расчетов и констатировать устойчивость или неустойчивость, основываясь на простом обозрении ряда (1.15). Условие неустойчивости ki  1 или соответствующее ему Ai-1Ai+2  AiAi+1 может быть установлено простым обозрением уравнения (1.14). «Стандартным» методом генерации идей на основании аналогии является обобщение. Например, переход от биквадратных уравнений к бикубическим и биалгебраическим, от комплексных чисел к гиперкомплексным, от обычного преобразования Лапласа к многомерному и двустороннему. Существенное значение аналогии заключается в возможности использовать ее для строгих выводов и доказательств. Аналогия позволяет перейти к понятию подобия. Вид количественной аналогии - аналогия математическая - сходство объектов по их математическому описанию. Сходственные функции - функции, различающиеся только аргументами и ненулевыми постоянными. Пример, z = x cos y и u = 2v cos 3w или r = 4s cos (5t + 6) и q = 7p cos (8l + 9)являются  сходственными. Сходственные переменные - переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом. Сходственные постоянные - аналогично сходственным переменным. Сходственные функции  содержит сходственные переменные х и y, x1 и y1, x2 и y2, сходственные постоянные a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3. Сходственные уравнения - получают приравниванием нулю или друг другу сходственных функций. Наиболее полная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходственными функциями и уравнениями.   2. Аналогичное моделирование   Аналогичное моделирование - замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключений по аналогии. Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения об его свойствах носят только качественный характер. Вывод: при удачном выборе модели аналогичное моделирование позволяет получить весьма интересные и важные результаты. К сожалению, общая методика аналогичного моделирования невозможна, и требуется поиск модели. Во многих случаях целесообразно использовать аналогичные формальные модели, основанные на механических, электрических, акустических аналогиях.   3. Элементы теории подобия   3.1 Понятие подобия   Особое место среди математических моделей занимают подобные. Если при аналогии двух объектов распространение свойств одного объекта на другой носит характер предположения и нуждается в проверке, то при подобии знание свойств одного объекта значит знание свойств другого объекта. Подобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям. Впервые понятие «подобие» появилось в геометрии. Геометрическое подобие – определяют подобность геометрических фигур по сходственным характеристикам. Многоугольник с определенным количеством сторон n, подобен другому  многоугольнику с таким же количеством сторон n, если соответствующие углы многоугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Определение геометрического подобия многоугольников, на примере треугольников, состоит в следующем: треугольники подобны, если у них сходственные стороны пропорциональны, а сходственные углы равны и, т. е. выполняются следующие равенства:   Рис.5 Подобие треугольников   ,                                        (1)   где mL и m - масштабные коэффициенты (масштабы) величин сторон и углов, характеризующие пропорциональность сходственных параметров. (Оговорка: если mL и m называются масштабными коэффициентами, то величины обратные им , т.е. 1/mL и 1/m будут называться масштабами и обозначаться, соответственно, ML и M или наоборот, или вообще не делается различия между терминами «масштаб» и «масштабный коэффициент»). На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их координаты. Если ввести систему прямоугольных координат X, Y, то при геометрическом подобии все координаты xiA, yiA первого многоугольника пропорциональны соответствующим координатам xiB, yiB второго многоугольника, т.е. выполняются соотношения xiA, / xiB =mx;  yiA / yiB = my; mx = my, где xi и yi координаты любой точки, находящейся на отрезках прямых, определяющих контуры соответствующего многоугольника; mx и my - масштабы. Данный вид подобия может существовать и в пространстве большей размерности: трех - и более мерном. Дальнейшее развитие понятия подобие является - аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям.   Рис.6 Превращение параллелепипеда в куб.   При аффинном подобии для сходственных точек в трехмерном координатном пространстве будут справедливы следующие соотношения: xiA / xiB = mx; yiA / yiB = my; ziA / ziB = mz; mx my  mz. При этом требуется введения специальных преобразующих функций, осуществляющих взаимосвязь между координатами моделей и объекта, часто - нелинейных. Пример: установить условия аффинного подобия на рис. 4, отрезки линий e1 - l1являются не линейно сходственными линиями e2 - l2, точки e1, f1, g1, h1, i1соответствуют точкам e2, f2, g2, h2, i2.   Рис.7 Нелинейное преобразование   Уравнения для контуров e1 - i1 и e2 - i2 имеет вид: x1 + y1 = 6;                         x22 + y22 = 24. Вводятся масштабные коэффициенты Fx = x1 / X1 и Fy = y1 / Y1, вид которых пока неизвестен, для уравнения первого контура можно записать: X1 Fx + Y1 Fy = 6, где X1 и Y1 преобразованные в область B значения x1 и y1 из области A. После тождественных преобразований уравнение выглядит: [(2X1 /  x1) Fx]2 + [(2Y1 /  y1) Fy]2 = 24, таким образом Fx =  x1 / 2; Fy =  y1 / 2 и, следовательно : x2 = 2 x1 и y2 = 2 y1. В приведенном примере функции преобразования Fx и Fy имеют одинаковый вид, но нелинейный характер. Следующий пример: даны две сходственные функции: , если масштабы my = y1 / y2: mx = x1 /x2, соответственно равны 2 и 4, то функции подобны.   Рис.8 Подобные функции (пример)   В этом примере переменные имеют различные масштабные коэффициенты по координатным осям. Пример. Имеются два генератора переменного тока. Их описывает функция зависимости напряжения от времени:  и . Выражения для масштабов имеют вид mu = u1 / u2, mt = t1 / t2. Время, входящее в одну формулу и время, входящее в другую формулу имеют вполне определенный физический смысл, так как t1 и t2 такие различные значения одной и то же величины t, при которых фиксируются значения различных зависимых переменных u1(t) и u2(t). Физическое и временное подобие имеет место при mu = 10 и mt = 2. Масштаб muпоказывает отношение амплитуд напряжений u1 и u2, масштаб mt - отношение периодов T1 = 4c и T2 = 2c. Рис.9 Подобие генераторов (пример)   В общем случае временного подобия безразмерный масштаб времени представляет отношение сходственных временных интервалов, которым соответствует неизменное отношение значений или приращений подобных временных функций. Этими параметрами могут быть периоды колебаний (как в примере), постоянные времени, длительности переходных процессов, временные задержки и т.д. Если, например, имеются две подобные САУ, то, установив время переходного процесса одной из них 1 и зная временной масштаб mt, можно найти время переходного процесса другой системы: 2 = 1 / mt.   3.2 Подобие физических процессов (объектов)   Любой конкретный физический процесс 0 характеризуется функциональной зависимостью F между параметрами P1, P2, ..., Pj, …, Pn. Эту функциональную зависимость Д0 = F(P1, P2, ..., Pj…, Pn) можно графически отобразить в соответствующем n - мерном координатном пространстве x1, ...,.xj, ..., xn. В этом координатном пространстве каждый параметр соотнесен с определенной координатной осью. Аналогично в том же координатном пространстве может быть отображен другой процесс Ф0 = F(R1, ..., Rj, …, Rn), который характеризуется сходными с Д0параметрами. Два физических процесса будут подобны, если сходственные параметры пропорциональны, т.е. если , а функциональные зависимости идентичны. В этом случае Д0 и Ф0 подобны. Не все масштабные коэффициенты m1, ..., mj, ..., mn могут принимать независимые значения, вследствие того, что зависимы параметры, которые характеризуют процесс. Это делает возможным введение обобщенных характеристик подобных процессов - критериев подобия. Критерии подобия - это функции групп зависимых и независимых параметров. Если масштабные коэффициенты, в общем случае численно различны, то критерии подобия принимают одинаковые значения в сходственных точках обобщенного пространства параметров x1, ...,.xj, ..., xn. Пропорциональность параметров - частный случай подобия физических процессов. Понятие сходственных точек и величин значительно сложнее в теории подобия физических явлений, нежели в геометрии. Сходственные точки пространства, времени и параметров процесса - это такие величины, при которых их значениям в одной системе так или иначе соответствуют значения в другой системе. Сходственные функции –отличаются друг от друга аргументами и постоянными x1 = a sin(x2t+c)               и        y1 = b sin(y2t+d). Сходственные переменные – это переменные величины, которые входят в сходственные функции: x1и y1 , x2 и y2 . Сходственные уравнения получаются из сходственных функций путем преобразования к однородному уравнению и приравниванию между собой.  Подобие - это взаимооднозначное соответствие между объектами (процессами), при котором функции или правила перехода от параметров, характеризующих один из объектов, к параметрам, в том же смысле характеризующих другой объект, известны, а математические описания допускают их преобразования к тождественному виду.       3.3 Виды подобия.     Рис.10 Виды подобия   Виды подобия различаются по двум основным признакам:  I. степень соответствия параметров оригинала и модели (абсолютное и неабсолютное или практическое подобие, которое может быть полным, неполным и приближенным);  II. адекватность физической природы подобных явлений (математическое подобие и физическое подобие, которое может быть механическим, тепловым, электрическим и т.п.) Сходственные величины (точки) – это величины, которые, так или иначе, соответствуют величинам другого объекта. Сходственные функции отличаются друг от друга аргументом и постоянными. Сходственные переменные – переменные величины, которые входят в сходственные функции. x2  y2 Сходственные уравнения – получаются из сходственных функций путем преобразования к однородному (равному нулю) уравнению при дальнейшем приравнивании между собой. Два объекта абсолютно подобны друг другу, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства  параметры одного объекта Pi находятся в некотором соответствии с параметрами другого объекта Ri . Pi/ Ri = mi     а) mi = const    геометрическое подобие б) mi  const      аффинное или физическое подобие mi = f(bi) Абсолютное подобие в значительной мере носит абстрактный характер. Реализуется только в геометрических построениях и в отдельных видах математического подобия. Практическое подобие отличается от абсолютного тем, что рассматриваются не все процессы в сравниваемых объектах. В зависимости от того какие процессы рассматриваются. Различают полное, неполное и  приближенное подобие.    Полное практическое (слово «практическое» далее опускается) подобие - подобие протекания во времени и в пространстве только тех процессов, которые существенны для данного исследования. (Если, например, электромеханические явления в синхронных генераторах полностью подобны, то все процессы изменения во времени токов, напряжений, вращающих моментов и изменение во времени и в пространстве распределения магнитных и электрических полей отличаются только масштабами. При этом тепловые явления могут быть неподобными, так как они не влияют на подобие исследуемых электромеханических процессов).   Неполное подобие - подобие протекания процессов только во времени или только в пространстве. (Например, есть подобие электромеханических процессов во времени, но нет подобия распространения полей).    Приближенное подобие - характеризуется наличием допущений, приводящих к допустимым искажениям одного из процессов. Приближенное подобие бывает также полным и неполным. (Например, подобие генераторов, устанавливаемое по упрощенным уравнениям, которые не учитывают апериодическую составляющую тока статора и периодическую составляющую тока ротора.) По II признаку различают математическое и физическое подобие.    Физическое подобие - когда одинакова физическая природа подобных явлений. Бывает полное, неполное и приближенное. Например: механически подобным процессам ставятся в соответствие - механические, электрическим - электрические, тепловым - тепловые и т.д., т. е. модель функционирует на тех же физических законах, что и сам объект.    Математическое подобие - когда сходственные параметры сравниваемых процессов различной физической природы соответствуют друг другу. Бывает полное, неполное и приближенное. Пример математического подобия: 1) Уравнение переходного процесса в электрической цепи (последовательное соединение резистора R, индуктивности L и конденсатора C), включенной на переменное напряжение u, изменяющееся во времени t по синусоидальному закону с угловой скоростью . Где q заряд на пластинах конденсатора С. 2) Уравнение процесса вынужденных механических колебаний в вязкой среде груза массы M на пружине жесткостью с, под действием возмущающей силы F = sin t и пропорциональной скорости движения груза v силы сопротивления вязкой среды F = - kv, где l - расстояние, на которое перемещается груз, а k – коэффициент вязкости среды, в которой перемещается маятник. Сходственными параметрами в данном случае будут M и L, k и R, c и C, u и F, а электрический колебательный контур может служить аналоговой моделью объекта - оригинала (колеблющегося на пружине груза), наблюдаемый процесс в колебательном контуре будет одновременно решением дифференциального уравнения, описывающего движение груза. Таким образом, теория подобия позволяет установить наличие подобия между двумя процессами или разработать способы получения этого подобия. Основными составляющими теории подобия являются: 1.      Теория размерности; 2.      3 теоремы подобия.   Подобное моделирование   Подобная модель - модель, свойства, параметры и значения переменных которой, пропорциональны соответствующим свойствам, параметрам и значениям переменных оригинала. Для подобного моделирования некоторого объекта - оригинала - требуются исходные данные. В общем случае к ним относятся следующее: 1. Математическое описание оригинала в виде уравнения F(yo, xoi, toj, POi) =0, при этом y0 – выходная переменная объекта; x0i – входные переменные объекта; t0 –временная переменная объекта; P0i – параметры объекта (материальные). 2. Пределы переменных величин yo, xoi, toj, если это возможно. 3. Условия однозначности решения соответствующих уравнений. 4. Задание функциональных зависимостей xoi = fi(toj).   Этапы процесса подобного моделирования   1. Выбирается из числа существующих или создается специальный объект - модель с математическим описанием F(yм, xмi, tмj, PMi) =0, сходственным с описанием оригинала. 2. Определяются критерии подобия для оригинала и модели о и м. 3. Составляются в общем виде масштабные уравнения на основе выражений для критериев подобия о / м = 1 4. Вводятся масштабы сходственных переменных yo и yм, xoi и xмi, toj и tмj и масштабным уравнениям придается окончательный вид. Масштабы можно принять равными my = yO / yM; mxi = xOi / xMi; mtj = tOj / tMj 5. Анализируется система масштабных уравнений. Зависимые уравнения из системы исключаются. Установление противоречивости системы масштабных уравнений означает невозможность подобия. 6. Выбираются конкретные численные значения масштабов с учетом реальных предельных значений сходственных переменных. 7. Устанавливаются условия однозначности модели, подобные условиям однозначности оригинала. 8. Рассчитываются функциональные зависимости xМi = xМi(tМj, xОi = xОi(tОj).   Пример: требуется подвергнуть моделированию некоторый материальный объект, описываемый уравнением ,  (2.71) где 1 и 2 - угловые величины, измеряемые в радианах; t - время в секундах. 1. В качестве объекта - модели выбирается математический аналог (генератор линейно изменяющегося напряжения), описываемый сходственным уравнением ,     (2.72) где u1, u2 - напряжения постоянного тока, измеряемые в вольтах; t - время в секундах. Полагаем в (2.71) t = tO, а в (2.72) t = tМ и вводим операторы дифференцирования DO = d /dtO, DM = d / dtM. Тогда уравнения (2.71) и (2.72) примут вид дифференциальных уравнений первого порядка DO2 = 1,     DMu2 = -2u1 с нулевыми начальными условиями. Множитель при 1 в первом уравнении, равный единице, имеет размерность 1/с (!). 2. Приведя дифференциальные уравнения к безразмерной форме определяем критерии подобия . 3. Составляется в общем виде масштабное уравнение . Отсюда следует, что в одной из двух пар сходственных переменных 1 и u1 или 2 и u2 переменные должны иметь разные знаки. 4. Вводим масштабы и получаем масштабное уравнение в окончательном виде 5. Полученное единственное масштабное уравнение, конечно, непротиворечиво. 6. Согласно полученному масштабному уравнению можно принять m1 = 2B-1,m2 = 10B-1. Тогда mt = 10. При таком масштабе времени процессы, происходящие в модели, аналогичны по форме процессам в оригинале, но протекают в 10 раз быстрее. 7. Нулевые начальные условия являются подобными условиями однозначности при любых масштабах. 8. Для расчета функции u1 = u2(tM), подобной заданной функции 1 = 2(tO), имеем или окончательно В данном случае материальная подобная модель, согласно вышеприведенной терминологии, является формальной.   Классификация видов подобия и моделирования   Схема классификации (рис.10) основывается на взаимосвязи понятий моделирования и подобия, в соответствии с которой модель и оригинал находятся между собой в отношении подобия (подобны друг другу). Классификация указывает, какие виды подобия и соответствующего им моделирования могут быть использованы при решении практических задач. Первоначально виды подобия и моделирования разделяются по признаку полноты учёта и воспроизведения на модели параметров оригинала и процессов в нём. То есть разделяются на полное и неполное подобие, и на соответствующие им виды моделирования (полное и неполное). Как полное, так и неполное виды подобия могут быть приближёнными. Далее виды моделирования разделяются на мысленное (I. Теоретическое, II. Аналитическое) и материальное в зависимости от способа их материальной реализации. I. Мысленное теоретическое моделирование – это моделирование на основе мысленных представлений, т.е. построение модели происходит в сознании человека. II. Мысленное аналитическое – это моделирование использующее аппаратуру для подтверждения мысленных представлений. Материальное моделирование – это реально-практический вид моделирования. Как мысленное, так и материальное виды моделирования могут быть либо детерминированными, т.е. предполагающие отсутствие случайных воздействий (возмущений); либо стохастическими, т.е. отображающие вероятностные события; либо обобщёнными, т.е. отображающие оригинал (явления происходящие в нём) условно. В свою очередь мысленное моделирование подразделяется на наглядное, знаковое и математическое мысленное. Наглядное моделирование – создание наглядных моделей, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. К этому виду моделирования относятся: гипотезы (это мысленные представления) в форме воображаемых моделей. Например, модели атомов. Гипотетическое моделирование используется, для построения формальных моделей.      Практическая реализация моделирования   На практике наибольшее распространение получили модели, построенные на аналоговой и цифровой технике.   Аналоговое моделирование   Сравнительные характеристики аналоговых и цифровых вычислительных устройств   Вычислительные устройства (ВУ) - это различные технические средства, предназначенные для автоматического или полуавтоматического выполнения соответствующих математических операций. В основном они разделяются на аналоговые (АВУ) и цифровые (ЦВУ). Они существенно отличаются друг от друга по представлению математических величин, возможностям изменения их, принципу действия, точности.   Представление математических величин.   В АВУ математические величины x, y, z, ... представляются в аналоговой форме в виде подобных им различных физических величин, например, электрического напряжения, электрического сопротивления, углового перемещения. В ЦВУ математические величины представляются в цифровой форме, как правило, в двоичной системе счисления. Цифра каждого разряда символически изображается самостоятельно определенным состоянием некоторого простейшего элемента.   Возможности изменения математических величин.   В АВУ возможно непрерывное изменение математической величины x в пределах определенного диапазона, при котором каждое значение отличается от ближайшего на бесконечно малую величину, равную дифференциалу dx. В ЦВУ значения x изменяются только дискретно, когда каждое значение отличается от ближайшего на некоторую конечную величину x, равную, например, единице, десятой, сотой и т.д.   Принцип выполнения математических операций   В АВУ выполнение операций над математическими величинами основано на подобии уравнений, описывающих эти операции, и уравнений, описывающих поведение или состояние некоторых элементов этих устройств как физических систем. В ЦВУ математические операции сводятся к арифметическому сложению или вычитанию, как это делается вручную.   Быстродействие   В АВУ результат математической операции получается сразу же после ввода исходных данных и изменяется непрерывно по мере изменения этих данных. В ЦВУ математические операции выполняются в течение определенного промежутка времени, длительность которого зависит от их сложности. В процессе выполнения операции значение исходных данных, как правило, изменяться не могут. Новые данные могут быть введены только после окончания вычислений при прежних данных.   Точность   В АВУ точность выполнения математических операций ограничена технологией изготовления различных элементов, реализующих эти операции. Практически достижимая наименьшая погрешность АВУ 0.1 ... 0.01%. В ЦВУ точность математических операций определяется в основном количеством разрядов при числовом представлении математических величин.   Аналоговые вычислительные машины (АВМ)   Аналоговое моделирование представляет собой математическое моделирование систем на аналоговых вычислительных машинах (АВМ). В этих машинах информация представляется в непрерывной форме в виде меняющихся во времени аналоговых величин (напряжений). Конструктивно АВМ состоит из отдельных операционных блоков, каждый из которых выполняет одну математическую операцию.   Рис. 24 Конструктив АВМ.   Коммутационное поле АВМ обеспечивает коммутацию между отдельными операционными блоками. Для решения задачи блоки коммутируются в определённой последовательности. В аналоговых моделях отражение структуры объекта достигается моделированием по структурным схемам. Достоинства АВМ: 1.                         Высокое быстродействие; 2.                         Простота программирования, т.к. не требуется специальный язык программирования; 3.                         Невысокая стоимость АВМ. Недостатки АВМ: 1.                         Невысокая точность решения (обусловлена свойствами функциональных преобразователей и их температурной нестабильностью); 2.                         Одна независимая переменная; 3.                         Ограниченный класс задач (решаются только обыкновенные дифференциальные уравнения); 4.                         Трудность перехода от одной задачи к другой (необходимо менять схему набора); 5.                         Низкая степень автоматизации получения результатов.       Цифровое моделирование.   Цифровое моделирование на современном этапе развивается наиболее динамично. Это связано с интенсивным развитием математического обеспечения, формирующегося в виде пакетов прикладных программ. Использование этих пакетов повышает производительность моделирования и одновременно упрощает его. Достоинства метода цифрового моделирования: 1.                         Решается любой класс задач подлежащих математической интерпретации; 2.                         Высокая точность решения (ограничена только временем решения задачи); 3.                         Легкость перехода от одной задачи к другой (необходимо лишь перезапустить программу); 4.                         Возможность исследования объектов высокой размерности. Недостаток метода цифрового моделирования – конечное время моделирования, которое может не совпадать с реальным временем. Цифровая вычислительная машина - это комплекс технических устройств, в которых могут протекать процессы, отображающие (моделирующие) действия с числами. Именно действия над числами составляют суть вычислительных операций при численном решении различных математических задач. Моделирование процесса численного решения математической задачи на ЦВМ практически означает автоматическое решение ее с помощью ЦВМ. Числа могут не только выражать значение постоянных и переменных величин, но и являться символическими условными моделями самых разнообразных других объектов - букв, слов, предметов, явлений и т.д. Это позволяет свести к действиям над числами различные невычислительные задачи, например, определение числа объектов с заданными свойствами. Благодаря этому возможно моделирование на ЦВМ процедуры решения невычислительной задачи, т.е. машинная реализация этого решения. Процесс функционирования любого материального объекта представляет последовательную смену его состояний во времени, каждое из которых определяют конкретные значения некоторых физических величин. Если объект является непрерывной системой, то эти величины - непрерывные функции непрерывного времени. Математическое описание объекта составляют различные математические формы выражения количественных соотношений между переменными и постоянными. Это различные функции, уравнения, системы уравнений, условия однозначности их решений, неравенства и другие математические представления. Если известно математическое описание функционирования объекта-оригинала, согласно этому описанию определен процесс над числами, выражающими значения величин, характеризующих состояние объекта, и этот процесс отображен в ЦВМ, то процесс, реализуемый ЦВМ, является материальной функциональной формальной математической подобной цифровой моделью оригинала. Дискретная природа функционирования ЦВМ требует, как правило, приведение исходного математического описания оригинала к виду, удобному для цифрового моделирования. Прежде всего необходима дискретизация непрерывных величин. При этом непрерывные функции подвергаются квантованию по уровню и аргументу. В результате непрерывная функция непрерывного аргумента y = f( t ) превращается в дискретную функцию дискретного аргумента Tyky = f ( Tk ), где k и ky - числа принимающие значения 0,  1,  2,  3, ... ; T и Ty - кванты переменных t и y. Квантование по уровню - это замена значения y соответствующим числом определенной разрядности, сопровождающаяся погрешностью округления y  Ty/2. Поскольку в современных ЦВМ число разрядов велико 32 и более и погрешность пренебрежимо мала, поэтому практически можно считать, что функционирование ЦВМ описывается решетчатыми функциями вида y = f ( Tk ) = f [ k ] и моделирует их. Для цифрового моделирование оригинала необходима алгоритмизация математического описания оригинала. Алгоритм - это точно определенное правило выполнения расчетных операций над числами, последовательность которых составляет общий процесс преобразования исходных данных в результат решения соответствующей задачи. Алгоритмизация математического описания заключается в получении соответствующего этому описанию алгоритма. Если, например, функционирование оригинала описывается дифференциальным уравнением, то алгоритмизация заключается в составлении алгоритма численного решения этого уравнения. По существу алгоритмизация математического описания и заключается в приведении его к виду, удобному для цифрового моделирования. Она выполняется на основе выбранного численного метода решения задачи, который позволяет свести решение к арифметическим действиям. При этом часто оказывается полезным применение аппарата решетчатых функций Алгоритм может быть представлен в трех основных формах: аналитической, словесной и структурной. Аналитическая форма алгоритма - это выражение его в виде явной функции соответствующих аргументов или в виде рекуррентной формулы. Форма отличается большой компактностью, но возможности применения ее ограничены. Словесная форма алгоритма - это его описание его на естественном языке, обстоятельная инструкция для лица, решающего задачу вручную на бумаге. Форма является универсальной, но отличается громоздкостью и отсутствием наглядности. Структурная форма алгоритма - это его описание в виде структурной схемы, состоящей из отдельных блоков, соединенных прямыми линиями. Каждый блок соответствует некоторой операцией над числами. Форма является универсальной, компактной и наглядной. Поэтому она используется наиболее часто. В целом процесс моделирования на ЦВМ состоит из следующих этапов: 1.   Составление исходного алгоритма, т.е. алгоритмизация математического описания оригинала. 2.   Составление промежуточного алгоритма на алгоритмическом языке. 3.   Получение машинного алгоритма. 4.   Отладка программы. 5.   Машинная реализация решения задачи. Первые четыре подготовительных этапа значительно упрощаются благодаря применению типовых алгоритмов и соответствующих им стандартных программ, заранее составленных и многократно используемых для решения таких задач, как вычисление элементарных функций, определение нулей полиномов, перевод чисел из одной системы счисления в другую и др. Комплекс программных средств, предназначенных для снижения трудоемкости подготовительной работы, повышения эффективности использования машины и облегчения ее эксплуатации, называется математическим обеспечением ЦВМ. При цифровом моделировании наиболее часто приходится иметь дело с решетчатыми функциями f[k], соответствующими непрерывным функциям непрерывного аргумента. Непрерывная функция, совпадающая с дискретами решетчатой функции, называется огибающей этой решетчатой функции. Каждая непрерывная функция f(t) может служить огибающей различных решетчатых функций fi[k] = f(Tik), отличающихся параметром Ti - периодом дискретизации функции f(t). Каждая решетчатая функция может иметь множество различных огибающих. Различным математическим формам и представлениям, характеризующим или определяющим непрерывную функцию f(t), можно поставить в соответствие аналоги, характеризующие или определяющие решетчатую функцию f(k). Аналогом первой производной функции f(t) являются первое разностное уравнение функции f[k] , т.е. совершается переход к численным методам решения. Итак, окончательно, *                   первым этапом является при проектировании является выбор наиболее подходящей математической модели. Этот этап должен обеспечить получение наиболее удачной математической модели и выработке требований к условиям модели; *                   вторым этапом процесса проектирования является подготовка математической модели для моделирования. Задача решается приведением к структурной схеме дискретного процесса и приведением системы уравнений к дискретной форме. Этот этап завершается двумя результатами: математическим описанием и структурной схемой всей дискретной системы. Структурная схема полученной дискретной системы должна быть идентична структурной схеме непрерывной системы по потоку информации; *                   третьим этапом является написание программы для осуществления математического моделирования. Это решающий этап, содержащий строгое соблюдение временных соотношений в синтезируемой математической модели, как правило наибольшее число проблем возникает при переходе от задач 2го этапа к задачам 3го этапа; *                   четвертый этап испытание, проверка и отладка модели, после которого получается законченная модель.   Приведение дифференциальных уравнений к виду, удобному для цифрового моделирования   При цифровом моделировании важным является выбор способа математического описания моделируемой системы. Чаще этот выбор является многовариантным и зависит от многих, в том числе и субъективных факторов. Например, динамические системы автоматического регулирования в качестве математического описания используют дифференциальные уравнения, которые могут быть:         Составлены непосредственно по элементам системы;         Составлены по передаточным функциям;         Основаны на понятиях пространства состояний. Выбор формы дифференциальных уравнений определяется, во-первых, тем, что без «физического чутья» моделируемого процесса и понимания процедуры его математизации, трудно осуществить эффективное проектирование. Во-вторых, необходимо учитывать этап реализации.   Структурирование при цифровом моделировании.   Как уже отмечалось, для успешного моделирования (особенно сложных систем) желательно в той или иной мере структурировать объект. Для этого объект разбивается на блоки. Разумеется, можно использовать традиционный путь: используя структурную схему системы регулирования, свернуть её по правилам теории автоматического регулирования (ТАУ), получить общую передаточную функцию, а затем получить общее уравнение. Однако это не будет наглядной моделью отражающей физическую реальность. Для сравнения выберем два варианта составления дифференциальных уравнений: по отдельным звеньям и по связи их в общую цифровую модель.   Рис. 55 Система регулирования в свёрнутом виде.   В качестве примера возьмём систему второго порядка состоящую из двух апериодических звеньев, которая можнт быть представлена в свёрнутом (рис. 37) и развёрнутом (рис. 38) виде.   Рис. 56 Система регулирования в развёрнутом виде.   I.   Выведем передаточную функцию системы представленной на рисунке 37:                             (79)   или                 (80)   Известно, что уравнение высшего порядка может быть сведено к системе уравнений первого порядка. Переход во временную область:                                (81)   Введём вспомогательную переменную:                                                            (82)   с учётом вспомогательной переменной перепишем уравнение (81)                                  (83)   Таким образом, записав передаточную функцию и выполнив подстановку вспомогательной переменной, получим систему дифференциальных уравнений описывающих свернутую систему второго порядка:                            (84)   Аналогично можно составить систему уравнений для более высоких порядков. Необходимо отметить, что замена переменной справедлива в том случае, если в числителе передаточной функции нет оператора , его наличие вызывает осложнение при выводе общего уравнения. II. Запишем систему уравнений для развёрнутой системы представленной на рисунке 38.                                         (85)   Используя передаточные функции (см. (85)) выведем математическое описание в операторной форме:                                          (86)   Переход во временную область для представления математического описания в форме дифференциальных уравнений:                                                        (87)   Математические описания (84) и (87) по форме эквивалентны. Для доказательства эквивалентности необходимо ввести в систему (87) промежуточную переменную . После соответствующих преобразований система (87) будет полностью эквивалентна системе уравнений (84). Составление уравнений по звеньям имеет преимущество, т.к. не требуется вводить вспомогательные переменные; и составление уравнений по звеньям имеет наглядность физических процессов протекающих в отдельных структурах.         Гибридное моделирование   Преимущества аналогового и цифрового моделирования могут быть объединены принципом аналого-цифровым моделированием (или как его еще называют - гибридным). Суть данного вида моделирования заключается в том, что уравнения описывающие объект решаются аналоговым способом, а коэффициенты - цифровым моделированием. Области применения гибридного моделирования: 1) Там, где с вместе с высоким быстродействием предъявляются высокие требования к точности; 2) Там, где требуется автоматизация получения результатов; 3) Тенденция перехода к гибридному моделированию связанно с широким применением вычислительных машин в контурах регулирования.   Система MATLAB   Поскольку в настоящее время имеется большое количество пакетов программного обеспечения для решения задач связанных с математическими вычислениями и моделированием разнообразных динамических систем, рассмотрим более подробно один из них, а именно систему высокопроизводительных численных вычислений и визуального представления результатов Matlab, в которую входят программные средства моделирования динамических систем Simulink.   Краткая характеристика системы   Matlab - среда технической обработки для высокопроизводительного числового вычисления и визуального представления. Matlab объединяет численный анализ, матричное вычисление, обработку сигналов и построение графиков, в легко используемой операционной среде, где задачи и решения выражаются так же, как они записываются математически - минуя традиционное программирование. Наименование Matlab означает «матричная лаборатория». Первоначально Matlabбыл написан для того, чтобы обеспечить легкий доступ  к программному матричному обеспечению, разработанному в проектах LINPACK и EISPACK, которые вместе представляют состояние искусства в программном обеспечении для матричных вычислений. Matlab также предлагает ряд специальных прикладных решений, которые разработчики назвали комплектами инструментальных средств (toolboxes). Комплекты инструментальных средств содержат наборы функций Matlab -а (М-файлы). Эти комплекты охватывают различные дисциплины. Signal Processing Toolbox - обработки сигналов, одно и двумерная цифровая обработка сигналов (анализ временных рядов). Содержит функции для разработки и анализа цифровых фильтров и спектральная оценка мощности (анализ на основе быстрого преобразования Фурье). System Identification Toolbox - идентификация параметров. Он специализирован на оценке моделей систем основанных на входных выходных данных или на временных рядах. (вводный курс см. в доп. материале) Control System Toolbox - системы управлений.     Имитационное моделирование.   1. Сущность имитационного моделирования.   Почему необходим двойной термин «имитационное моделирование». Слова имитация и моделирование являются почти синонимами. Фактически все расчетные методы на ЭВМ во всех областях науки и техники являются моделями реальных процессов. Чтобы отличить математические модели друг от друга, исследователи стали давать им дополнительные названия. Термин «имитационное моделирование» означает, что мы имеем дело с такими математическими моделями, с помощью которых результат нельзя заранее вычислить или предсказать, поэтому для предсказания поведения реальной сложной системы необходим эксперимент (имитация) на модели при заданных исходных данных. Имитация представляет собой численный метод проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение заданного времени. Поведение компонент сложной системы (СС) и их взаимодействие в имитационной модели чаще всего описывается набором алгоритмов, реализуемых на некотором языке моделирования. Все эти описания представляют собой программную имитационную модель, которую необходимо сначала отладить и испытать, а затем использовать для постановки эксперимента на ЭВМ. Поэтому под процессом имитации на ЭВМ понимают: 1. конструирование модели; 2. испытание модели; 3. применение модели для изучения некоторого явления или проблемы. При построении имитационной модели исследователя интересует прежде всего возможность вычисления некоторого функционала, заданного на множестве реализаций процесса функционирования изучаемой сложной системы и характеризующего поведения объекта имитации. Наиболее важным для исследователя функционалом является показатель эффективности системы. Имитируя различные реальные ситуации на имитационных моделях, исследователь получает возможность решения следующих задач: 1. оценка эффективности различных принципов управления системой; 2. сравнение вариантов структуры системы; 5. определение степени влияния изменений параметров системы и начальных условий имитации ее поведения на показатель эффективности системы.   2. Цифровое моделирование больших систем.   2.1 Характерные особенности больших систем.   При проектировании таких сложных объектов, как, например, технологических комплексов, АСУ производством, вычислительных комплексов и т.д., возникают задачи, требующие исследования количественных закономерностей функционирования этих объектов. Для решения таких задач используются расчётные и экспериментальные методы. Ранее от расчетов не требовалось особо высокой точности, т.к. погрешность вычислений компенсировалась увеличением объема натурного эксперимента, созданием ряда опытных образцов и «доведения» изделия в результате доработок. Если проводится разработка большого комплекса, то использование натурного эксперимента становится проблематичным из-за колоссального роста затрат временем и средств. Особенности больших систем: 1.      наличие большого числа элементов системы; 2.      сложный характер связей между элементами; 3.      сложность функций выполняемых системой; 4.      наличие сложноорганизованного управления; 5.      необходимость учёта воздействия с окружающей средой и воздействия случайных факторов; 6.      высокая степень автоматизации работ в системе и применение ЭВМ в качестве основного управляющего звена. В существующем многообразии созданных и проектируемых систем выделить с достаточной точностью класс сложных систем невозможно. Отнесение какой либо системы к разряду сложных или простых весьма условно и, в основном, определяются той задачей, которая ставится перед исследователем при ее изучении. Таким образом, одна и та же система в зависимости от целей ее анализа рассматривается как сложная или как простая.   2.2 Аналитические модели   В аналитических моделях – процессы функционирования элементов сложной системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных) или логических условий. Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов: 1.      аналитический способ –получение в обобщённом виде явных зависимостей для искомых величин; 2.      численный способ – если нет возможности решить имеющиеся уравнение в общем виде, но можно получить численный результат при конкретных начальных данных; 3.      качественный способ –нет решения в явном виде, но можно найти некоторые свойства решения, например, оценить его устойчивость. При моделировании на ЭВМ вместо аналитического способа исследования используется алгоритмическое описание процесса функционирования модели. Наиболее полное, а в некоторых случаях и исчерпывающее исследование можно провести в том случае, если получены явные зависимости, связывающие искомые величины с параметрами системы и начальными условиями. Однако, их удается получить лишь для сравнительно простых систем. Поскольку обобщенная система достаточно сложна, аналитическое исследование сталкивается с непреодолимыми трудностями. Поэтому, стремясь получить аналитическое решение, идут на упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучать некоторые общие свойства системы. В отдельных случаях исследователя могут удовлетворить и те выводы, которые можно получить при качественных методах анализа математической модели. При исследовании сложной системы, часто для получения аналитического решения задачи приходится вводить жесткие ограничения на ее модель и прибегать к упрощениям. При этом приходится пренебрегать некоторыми особенностями системы, от чего созданная модель уже перестает быть средством изучения рассматриваемой большой системы. И все же, часто стремятся к построению такой аналитической модели, которая обеспечивает хотя бы и грубое, но простое и достаточно удобное решение рассматриваемой задачи. Оно обычно используется как ориентировочное до получения более точных решений другими методами. Численные методы применимы к значительно более широкому классу функциональных уравнений, однако получаемые решения носят частный характер, и не всегда есть возможность получить из них выводы общего характера. В зависимости от используемого математического аппарата и применяемых методов формализации различают следующие виды аналитических моделей: модели математического программирования, сетевые модели, модели физических явлений, модели массового обслуживания, модели теории игр и т.д.   2.3 Имитационные модели.   В имитационных моделях моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит процесс-оригинал в смысле его функционирования во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Сущность рассматриваемого метода моделирования состоит в реализации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит формализованный процесс сложной системы. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии процесса (входной информации) и его параметрах, получить информацию о состояниях процесса в произвольные моменты времени. В моделирующем алгоритме можно выделить три основных типа подалгоритмов, выполняющих одну из следующих функций: 1. моделирование какого-либо элементарного подпроцесса исследуемого процесса; 2. учет взаимодействия элементарных подпроцессов и объединение их в единый процесс; 3. обеспечение согласованной работы отдельных подалгоритмов при реализации модели на ЭВМ.   2.3.1 Влияние случайных факторов.   Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется с помощью случайных чисел с заданными или вырабатываемыми в процессе моделирования вероятностными характеристиками.   2.4 Пример имитационной модели.   При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин. В ряде случаев достаточно имитировать сами явления, описываемые математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, а иногда и физического содержания, с помощью моделирующих установок или ЭВМ. В противоположность аналитическим и численным методам содержание операций, осуществляемых при имитационном моделировании, слабо зависит от того, какие величины выбрали в качестве искомых.   Модель стратегии обслуживания автобуса.   Пусть Е - основное состояние автобуса (исправен и осуществляется N-рейсов за смену); A - состояние, когда автобус нуждается в мелком профилактическом ремонте в продолжение времени одного рейса; B - состояние, когда автобус нуждается в немедленном текущем ремонте длительностью в одну смену. Предположим, что а - вероятность перехода автобуса из состояния Е в состояние А, b - вероятность перехода автобуса из состояния А в состояние В. Требуется выбрать одну из следующих стратегий обслуживания автобуса: 1. стратегия  - как только автобус переходит в состояние А он ремонтируется; 2. стратегия  - автобус работает до тех пор пока не перейдет в состояние В. Лучшая стратегия та, которая даёт наибольшее число рейсов в день. Предполагается, что каждый день автобус выходит на линию в состояние Е, т.е. при любой стратегии автобус заканчивающий N рейсов в состояние А или В ночью ремонтируется. При моделирование формируется выборка случайного числа  и с помощью соответствующей таблицы имитируется состояние, в котором находился автобус в конце рейса. В начале имитируется один рейс при стратегии , потом при  и т.д., после чего подсчитывается среднее число рейсов в день, фактически выполненных автобусом при стратегиях  и  и их разность. Метод имитации позволяет производить изменения в модели простым изменением схемы алгоритма. Полученные результаты обрабатываются статистическими методами, и на основе статистических данных принимается решения о преимуществе одной стратегии перед другой.   2.5 Условия использования имитационных моделей.   Использовать имитационную модель большой системы, при решении задач проектирования, возможно в следующих случаях: 1.      не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели; 2.      аналитические методы существуют, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает болеем простой способ решения задачи; 3.      кроме оценки выходных параметров, требуется осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течении определенного периода времени; 4.      имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью при постановке экспериментов и наблюдения явлений в реальных условиях (например: изучения поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов); 5.      для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку время протекания процесса или явления может быть ускоренно или замедленно по желанию; 6.      дополнительное преимущество имитационного моделирования состоит в том, что использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и «разыгрывать» на модели реальные процессы и ситуации. Это позволяет понять и прочувствовать проблему, что стимулирует процесс поиска нововведений в большой системе; 7.      имитацию можно использовать для изучения новых ситуаций, относительно которых или не известно ничего, или известно очень мало. Таким образом, имитация может служить для предварительной проверки новых стратегий и правил принятия решений перед проведением экспериментов на реальной системе; 8.      для некоторых типов стохастических моделей особые значения имеет последовательность событий. Данные только об ожидаемых значениях могут оказаться недостаточными для описания процесса. В этих условиях единственным удовлетворительным способом получения нужной информации может служить имитационная модель. Имитацию можно использовать для предсказания узких мест и других трудностей возникающих в поведении больших систем при введении в нее новых элементов.   2.6 Недостатки имитационных моделей.   Имитационные модели обладают рядом существенных недостатков: 1. Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого и требует больших затрат времени. 2. Иногда кажется, что имитационная модель отражает реальное положение вещей, хотя в действительности это не так. Если не учитывать этого, то некоторые свойственные имитации особенности могут привести к неверному решению. 3. Имитационная модель в принципе неточна, и нет возможности измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров. 4. На имитационной модели можно получить ответ только после очередного имитационного эксперимента и возможности прогнозирования имитационного моделирования значительно меньше, чем аналитического моделирования. Тем не менее, имитационное моделирование широко используется при решение задач синтеза больших систем, т.к. позволяет производить детализацию систем любого уровня сложности и исследовать динамику развития процесса процессов.     3. Технология моделирования сложных систем.   Технологические этапы создания и использования имитационных моделей.   Независимо от способа проектирования сложной системы и назначения моделирования можно выделить следующие этапы создания и использования математических моделей: 1.      Составление содержательного описания объекта моделирования - определение объекта имитации, установление границ и ограничений моделирования, выбор показателей для сравнения эффективности вариантов системы; 2.      Составление концептуальной модели - формулировка замысла модели, переход от реальной системы к логической схеме ее функционирования; 3.      Составление формального описания объекта - реализация описания объекта в терминах математических понятий и алгоритмизация функционирования ее компонент; 4.      Составление описания имитационной модели - преобразование формального описания объекта в описание имитационной модели; 5.      Программирование модели - программирование и отладка модели; 6.      Испытание и исследование модели - проверка модели, оценка ее свойств и затрат ресурсов на имитацию; 7.      Эксплуатация модели - организация модельного эксперимента на ЭВМ; 8.      Анализ результатов - интерпретация результатов моделирования и их использование в ходе проектирования сложной системы.                                                                                                                 Наглядные аналоги. Например, модель атома созданная мысленно, но реализована материально.   Рис.15 Классификация видов подобия и моделирования   Макеты. Например, уменьшенная копия здания, т.е. макет – это модель, дающая геометрическое подобие. Знаковое моделирование – создание модели, основные свойства которой выражаются с помощью системы знаков или символов, т.е. вводятся условные обозначения от дельных понятий знаками. Например, формула химического соединения. Знаковое моделирование разделяется:         Моделирование на основе условно-знаковых представлений. Например, если состояние или соотношение химических элементов во время реакции описать в виде условных знаков, то получим модель химической реакции, которая будет представлена условно;         Моделирование на основе топологических представлений;         Моделирование на основе графовых представлений.   Математическое мысленное моделирование – это моделирование на основе схем замещения, алгоритмов и программ, а также структурных схем. Этот вид моделирования устанавливает связь между логическим и чувственным, т.е. подкрепляет абстрактное мышление привычными образами, которые помогают исследователю воспринять и анализировать явления. Схемы замещения. Например, схемы замещения трансформаторов и электродвигателей, которые отображают математические уравнения и их физическую интерпретацию с помощью более простых и наглядных объектов. Возьмём, к примеру, схему замещения преобразователь - двигатель постоянного тока: Рис. 16 Схема замещения преобразователь – ДПТ   где eд – противо-ЭДС двигателя. Структурные схемы – это схемы, отражающие функциональные связи между подсистемами сложных систем. Например, структурная схема ДПТ: якорная цепь       механическое звено     Рис. 17 Структурная схема преобразователь – ДПТ.               Алгоритмы и программы – моделирование условными знаками процессов описанных дифференциальными уравнениями. Например, система дифференциальных уравнений описывающих преобразователь – ДПТ:              (4)   Натурное моделирование – это моделирование предполагающее проведение исследований на реальном объекте. По виду подразделяются на:         производственный эксперимент – эксперимент, проводимый во время производственного процесса на действующем предприятии, может рассматриваться как модель, отвечающая задачам производства, его развития и совершенствования;         обработку и обобщение натурных данных, т.е. сведений о явлениях или процессах, происходящих в натуре, с целью построения соответствующих моделей;         моделирование путём обобщения производственного опыта, в отличии от моделирования на основе производственного эксперимента (который специально организуют) пользуются имеющимся материалом. Например, в отделах главных энергетиков любого предприятия скапливаются данные о потреблении предприятием электрической энергии. Накопление этих данных специально не планировалось, но на их основе можно построить модель динамики потребления электроэнергии предприятием. Физическое моделирование – это вид моделирования, при котором исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. 1.                         временное моделирование – если исследуются процессы протекающие во времени; 2.                         пространственный вид моделирования – если моделирование предназначено для изучения процессов, действие которых не рассматривается во времени, а только в пространстве; 3.                         временное - пространственное – объединяет в себе понятия временного и пространственного видов моделирования. Математическое материальное. Это вид моделирования, при котором физика процессов не сохраняется. Основа его состоит в способности математических уравнений описывать объекты, процессы и т.д.   Подобное моделирование САУ   Важнейшей характеристикой САУ являются динамические характеристики. Рассмотрим связь критериев подобия САУ с временными характеристиками , при этом динамика процессов описывается уравнением следующего вида: Используя метод интегральных аналогов, приводим вышеуказанное уравнение к следующему виду: Получаем следующее уравнение: , в итоге получили критериальное уравнение. Выбор критерия (n+m – всего критериев): Рассмотрим последний критерий: . Если в качестве начальных условий x = 1, то y(t) = h(t) – условие однозначности. Тогда этот критерий будет выглядеть как , следовательно, одним из критериев подобия линейных САУ является переходная характеристика: Если перейти к относительной переходной характеристике h* , то мы получаем общий критерий подобия для линейных САУ – это относительная переходная характеристика. Пример: Пусть дана САУ, которая описана уравнением второго порядка . В качестве модели заменим Рис. 18 Схема модели   Модель: . Суть: зная численные значения объекта а0, а1, а2, получить численные значения параметров R, L, c, чтобы эти параметры были подобны. Составим критериальные уравнения: По данным выражения для критерия составляют следующие масштабные уравнения: Первые два уравнения показывают, что L можно задаться произвольно, оставшиеся R, c определяются как функции коэффициентов а0, а1, а2 и масштаба времени mt. Допустим: а0 = а2 = 2, а1 = 5, mt = 0,01, т.е. в модели процессы будут происходить в 100 раз быстрее, нежели в объекте. mx = 0,5 Задавшись L = 1 Гн, получаем значения для R = 250 Ом и для с = 10-4 Ф. Выходная характеристика , позволяет при моделировании сэкономить во времени.   Методы идентификации   Идентификацией называется оптимальная в некотором смысле модель, построенная по результатам наблюдений над входными и выходными переменными объекта. Задачей идентификации называется обратная задача системного синтеза.     Рис. 19 Задача идентификации   Среди задач идентификации выделяют два типа: 1.    Структурная идентификация (в широком смысле слова); 2.    Параметрическая идентификация (идентификация в узком смысле слова).   Структурная идентификация   Подразумевает построение модели типа «черный ящик», т.е. об объекте мы ничего не знаем. Главная задача: определение структуры модели. Рекомендации по решению задач структурной идентификации: 1.      Определить тип (класс) моделей. а) Начинать построение модели с физической модели (по известным законам физики, не забывая о цели построения модели); б) Начинать с самых простых моделей (линейная, непрерывная, одномерная и т.д.); в) Постараться преобразовать модель к виду линейной регрессии: 2.      Определение размера или порядка модели (определение количества внутренних переменных модели). Определение ковариационных (зависимость от шумовых характеристик) и корреляционных (взаимосвязь между определенными двумя внутренними переменными) матриц. На сегодняшний момент существует несколько методов исследования ковариационных и корреляционных матриц, которые позволяют определить недостаточность или избыточность модели. 3.      Параметрическая идентификация (способ параметризации модели).     Рис. 20 Общая схема идентификации модели   Текущие данные   Могут быть получены в результате пассивного или активного эксперимента. Пассивный эксперимент, когда исследователь не влияет на процедуру регистрации (изменения) данных. Активный эксперимент, когда исследователь формирует программу эксперимента. Методы программирования эксперимента исследует специальная область в ТАУ. В результате активного эксперимента упрощается процедура идентификации.   Выбор класса модели   Сначала определяются параметры: F=(L, H, M), где L – линейность, H – непрерывность, M – многомерность. Любое из этих значений может принимать либо 0, либо 1. Самая простая модель - F=(1, 1, 0).     Параметрическая идентификация   Свойства идентификации: управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость. Управляемость – система управляема, если для любого момента времени при любых состояниях существует такое управление u,  которое переводит начальное состояние системы в конечное. , где n – порядок системы; А – матрица коэффициентов при х; В – матрица коэффициентов при r. Условием управляемости системы является то, чтобы  не был равен нулю. Наблюдаемость – система наблюдаема, если любое или все ее состояния можно непосредственно или косвенно определить по выходному вектору системы. , где С – матрица выхода, коэффициенты при у. Хотя бы один минор не должен быть равен нулю, в этом случае система наблюдаема. Идентифицируемость – система идентифицируема, если по изменениям координат состояния системы можно определить ее параметры. , где V(0) – вектор начальных условий; Ап – матрица перехода. , где АR – расширенная матрица; I – единичная матрица. Система идентифицируема, если .   Схемы параметрической идентификации   Существует две схемы идентификации – явная и итерационная. Таблица 5       Явная схема               1.       2.      Явные методы (использование явных методов). 3.      Требует дополнительных затрат на накопление информации. 4.      Результаты идентификации (матрица коэффициентов) получается сразу же в процессе вычислений.   Итерационная схема               1.       2.      Итерационные методы.   3.      Их нет.   4.         Идентификация линейной регрессионной модели   Рис. 21 Схема одномерной системы   Обозначим  и получим классическую модель: В течении времени будет снято к измерений, а так же матрица Выходной вектор  Используем ошибку , методом наименьших квадратов ее минимизируем. Здесь yi – реальная переменная; ymi – выходная переменная с модели. Для того чтобы получить а0, исходная матрица Х дополняется единичным столбцом:   Линейный регрессионный анализ для многомерных систем Искомая модель, параметры которой надо определить, становится матрицей: , где n – количество входных переменных, е – количество выходных переменных. Измерения с входов и выходов сформируем в следующих матрицах: Требования к к (количество измерений) состоят в том, что для адекватности модели необходимо, чтобы .   Идентификация динамических систем   Допустим, динамическая система описана передаточной функцией следующего вида: 1. Получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка из n - уравнений где Y – выходные переменные, U(t) – входные переменные, Х – внутренние переменные. Как получить эту систему? I. а)     б)     в) Замена переменной     г) получаем систему n – го порядка дифференциальных уравнений первого порядка. II. C помощью методов пространства состояния. 2. От дифференциальных уравнений переходим к разностным уравнениям где - обобщенный вектор. 3. получаем матрицу перехода: , при этом V(к) при е измерений примет значение: Если , то при Количество измерений определяется по аналогичной формуле для линейного регрессионного анализа.     Планирование эксперимента   Пассивным экспериментом называют эксперимент, в котором регистрация входных и выходных данных осуществляется в рабочем режиме, не используя дополнительных вмешательств. Он применяется тогда, когда структура модели хорошо известна и ее адекватность не вызывает сомнений (когда решаются задачи параметрической идентификации). Активный эксперимент предполагает особую программу проведения наблюдений таких, что позволяют по результатам исследований дополнительно оценить структуру модели.   Активный эксперимент   Факторами активного эксперимента называют переменные, по которым возможно проводить управление и которые участвуют в построении модели (хi). Каждый из факторов может принимать различные значения, которые называются уровнями. На практике, количество уровней – это бесконечное количество или непрерывный ряд уровней . В теории активного эксперимента этот ряд дискретизируется, и выбираются отдельные уровни: Фиксированный набор уровней называется состоянием факторов. План – это программа проведения эксперимента, позволяющая использовать все факторы на всех уровнях. Если план содержит всевозможные сочетания факторов и уровней, то такой план называют полным. Если р – общее количество уровней; к – количество факторов, то полный план эксперимента будет включать в себя следующее количество экспериментов: . Пример: к = 3, р = 4, то N = 43 = 64 - эксперимента. Полный план позволяет построить адекватную модель, но требует большого количества экспериментов. Поэтому на практике применяют усеченные планы, так называемые дробные планы, которые имеют количество экспериментов меньше, чем полный план, но с достаточной долей точности могут определить адекватность модели. Любая модель определяется по формуле: , где [XXT]-1 = M – называется информационной матрицей. 1.      Если информационная матрица ставится по принципу минимизации определителя, то выбранный план эксперимента будет называться D – планом. 2.      Если минимизируется след матрицы, то такой план называется А – планом. 3.      Условием задания Е – плана является выбор плана таким, чтобы максимальное собственное число матрицы М было минимальным. На практике чаще строятся D – планы.   Построение D – плана   Основным условием D – плана является то, что план будет отвечать условию оптимальности, если информационная матрица М будет диагональной. Пример: р = 2, к = 3,  Соответственно, полный план будет иметь вид: 23 = 8 x1 x2 x3 -1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 Тогда, с учетом этого условия, выбирается некий дробный план: 23-1 = 4 x1 x2 x3 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 т.е. откидываем любую переменную (x3) и план уменьшается на 4 единицы. Для оставшихся двух переменных строится полный план, а x3 считается равной . Построенный по такому принципу D – план отвечает условиям D – оптимальности, при этом переменная x3 называется генератором дробного плана. Для двухуровневой систем количество экспериментов равно 2к-N , где N<к, а оставшиеся генераторы плана составляются следующим образом: как результаты поэлементного умножения основных факторов, при этом количество множителей составляет от 2 до N-к. Пример: 26-4 x1 x2 x3 x1x3 x2x3 x1x2x3 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Выбор двух уровней из непрерывного ряда уровней: -1 – начало уровней x0i; +1 – конец уровней xni.   Оценка адекватности модели   Оценка адекватности модели определяется статистическими методами по следующему алгоритму: 1.      Выбор структуры модели А, определение ее порядка к. 2.      Ставится N экспериментов по какому – либо плану и определяется параметр модели А. 3.      Этот план экспериментов повторяется l раз. 4.      По результатам определяем . 5.      Определяем , где . 6.      Определяем полную сумму квадратов по следующему признаку  и степень свободы . 7.      Определяется коэффициент где . 8.      Определяется критерий . 9.      Выбирается Fкр по таблице Фишера. 10.  Проверяется, если , то модель адекватна; если , то модель неадекватна.