Моделирование динамических систем

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева Кафедра «Электроэнергетика» Горелов Ю.И. доцент, доцент КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине учебной дисциплины (модуля) «Моделирование динамических систем» Уровень профессионального образования: высшее образование – бакалавриат Направление (специальность) подготовки: 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» Профиль (специализация) подготовки: Электроснабжение Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: (очная, заочная) Тула 2015 г. Рассмотрено на заседании кафедры «Электроэнергетика» института высокоточных систем им. В.П. Грязева, протокол заседания кафедры № 6 от "03" июня 2015 г. Зав. кафедрой________________В.М. Степанов 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ ...................................... 5 1.1. Решение задач и моделирование .................................................................................... 5 1.2. Классификация моделей .................................................................................................. 6 1.3. Переменные в математических моделях........................................................................ 8 1.4. Адекватность и эффективность математических моделей ........................................ 11 1.5. Свойства объектов моделирования .............................................................................. 13 1.6. Математические модели на микроуровне.................................................................... 16 1.7. Моделирование на макроуровне................................................................................... 17 1.8. Моделирование на метауровне ..................................................................................... 20 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЭС ...................................................... 22 2.1. Линия электропередачи ................................................................................................. 22 2.1.1. Конструктивное выполнение и свойства линии электропередачи .................... 22 2.1.2. Математическая модель линии с распределенными параметрами .................... 23 2.1.3. Математические модели линии в виде схем замещения .................................... 27 2.1.4. Упрощенные модели ЛЭП ..................................................................................... 28 2.2. Силовой трансформатор ................................................................................................ 30 2.2.1. Конструктивное выполнение и принцип действия силового трансформатора 30 2.2.2. Электрические и магнитные свойства и параметры силового трансформатора .................................................................................................................................................. 32 2.2.3. Математические модели силового трансформатора ........................................... 33 2.2.4. Г-образная и П-образная схемы замещения силового трансформатора ........... 35 2.2.5. Построение внешней характеристики трансформатора ..................................... 37 2.3. Электрическая нагрузка ................................................................................................. 39 2.3.1. Статические характеристики электрической нагрузки....................................... 39 2.3.2. Моделирование электрических нагрузок ............................................................. 42 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ....................................... 47 3.1. Основы теории графов ................................................................................................... 47 3.2. Применение теории графов для моделирования электрических сетей .................... 50 3.3. Матричные формы моделей электрических сетей и их режимов ............................. 53 3.4. Узловые уравнения установившегося режима ............................................................ 54 3.5. Формы линейных уравнений установившегося режима и их решение .................... 57 3.6. Нелинейные уравнения установившегося режима ..................................................... 58 3.7. Моделирование генераторных узлов электрической сети ......................................... 60 3.8. Эквивалентирование схем электрических сетей ......................................................... 61 3.9. Моделирование схем электрических сетей с помощью четырехполюсников ......... 64 3.10. Использование четырехполюсников для эквивалентирования схем электрических сетей ............................................................................................................................................. 66 4. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ……………………………………70 4.1. Процесс описания объектов моделирования ............................................................... 71 3 4.2. Аналитический метод построения математических моделей.................................... 73 4.3. Методы идентификации технических объектов ......................................................... 74 4.4. Выбор структуры математической модели и вычисление ее параметров ................ 78 5. МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ .................................. 82 5.1. Физические процессы и их характеристики ................................................................ 82 5.1.1. Классификация физических процессов ................................................................ 82 5.1.2. Детерминированные процессы ............................................................................. 83 5.1.3. Случайные процессы .............................................................................................. 86 5.2. Методологические основы прогнозирования.............................................................. 88 5.3. Экспоненциальная модель прогнозирования .............................................................. 91 5.4. Логистическая модель прогнозирования ..................................................................... 92 5.5. Прогнозирование случайных процессов ...................................................................... 94 5.6. Прогнозирование суточных графиков нагрузки ......................................................... 96 5.7. Анализ временных рядов............................................................................................... 98 Библиографический список .................................................................................................... 140 ................................................................................................................................................... 1 4 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ 1.1. Решение задач и моделирование Любой материальный объект характеризуется бесчисленным множеством свойств, признаков и характеристик, но наши знания о материальном объекте конечны и относительны на любом этапе развития. В процессе познания у человека (субъекта) формируется мысленный образ объекта, который обладает присущими этому объекту свойствами (цвет, запах, размеры, вес, изменчивость во времени и др.). Такой мысленный образ есть мысленная (идеальная) модель объекта (рис. 1.1). Рисунок. 1.1. Схема формирования модели Познавательный процесс человека носит целенаправленный характер, а именно: во всех случаях субъект решает некоторую задачу для достижения своих целей. Задача выделяет из бесконечного множества свойств объекта конечную совокупность и дает возможность перейти к обозримому по своим масштабам «заместителю» объекта – модели. Задача – это фильтр, позволяющий отсеять из всей информации об объекте несущественную. Таким образом, задача определяет характер формируемой модели. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1.Сконструируем трансформатор заданной мощности с возможным диапазоном изменения напряжений на первичной и вторичной обмотках. В качестве ограничений учтем требования по допустимым потерям холостого хода и работе на линейной части характеристики намагничивания сердечника и габаритам трансформатора. В этом случае необходимо учитывать электрические, магнитные, конструктивные, геометрические, тепловые свойства трансформатора. Вводить понятие модели без четкого указания задачи или задач неправомерно. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла. Фундаментальным свойством модели является простота по отношению к объекту. Модель всегда «беднее» объекта в информационном отношении. «Точная модель» недоступна, как и сам оригинал. Задача своими условиями и требованиями позволяет определить ограничения и допущения в построении любой модели. Пример 2. Рассмотрим маятник – груз, подвешенный на нити. Модель (геометрическая) дана на рис. 1.2. 5 Рисунок. 1.2.Геометрическая модель маятника Модель (математическая) движения маятника в общем является довольно сложным нелинейным дифференциальным уравнением, но при принятых допущениях, «дозволенных» задачей, это уравнение становится достаточно простым и легко решается. Перечислим допущения, которые принимаются при этом:  размерами маятника пренебрегаем, и его масса сосредоточена в одной точке (пренебрегаем сопротивлением воздуха);  растяжением нити пренебрегаем;  массой нити пренебрегаем. Вводится также ограничение: амплитуда колебаний пренебрежимо мала по сравнению с длиной нити. При таких допущениях и ограничениях получается модель – математический маятник. Период малых колебаний математического маятника не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний. Уравнение движения маятника записывается в виде d 2s g  s, (1.1) 2 l dt где s – длина дуги, по которой маятник совершает движение; g – ускорение свободного падения; l– длина нити. Как известно, наблюдения над колебаниями маятников используются для определения ускорения g силы тяжести в разных широтах Земного шара. Человечество за свою жизнь накопило огромное количество теорий и законов. Это практически достоверное обобщенное описание объектов реального мира. Иногда для решения частных задач вводятся еще большие ограничения и допущения, которые упрощают известные теории и законы. В этом случае появляются модели моделей, в которые переходят все допущения и ограничения исходных моделей. 1.2. Классификация моделей Существуют разные способы классификации моделей:  по классам задач;  по области использования;  по способу представления и др. Из классов задач, по которым разделяют модели, можно назвать: анализ, синтез, конструирование, проектирование, управление, утилизация и т. п. По области использования модели разделяют: 6  учебные – наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы;  опытные – копии объектов, которые используются для исследования объекта и прогнозирования его характеристик в будущем;  научно-технические, используемые для исследования процессов и явлений (различные стенды, моделирующие физические и природные явления);  игровые – военные, экономические, спортивные и деловые игры;  имитационные, которые моделируют с той или иной точностью работу объекта в различных условиях и, как правило, с учетом случайных факторов. Алгоритм (компьютерная программа), реализующий имитационную модель, воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные события, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательностью протекания во времени. Это позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Примером имитационной модели может служить программа расчета аварийного переходного процесса в электроэнергетической системе, когда во время протекания процесса имитируются события срабатывания различной автоматики и коммутации оборудования системы. Способ представления модели – наиболее важный признак классификации моделей. Все модели можно разделить на две группы: материальные и идеальные (информационные). В свою очередь физические модели разделяют на физические, аналоговые и геометрически подобные (макеты) (рис. 1.3). Рисунок. 1.3. Классификация моделей по способу представления Физические модели имеют ту же природу, что и моделируемые объекты. Это, как правило, уменьшенные копии объектов, сохраняющие его основные физические свойства. Так, например, работу гидравлической турбины можно исследовать на лабораторной установке, воспроизводящей в масштабе настоящую турбину. Исследование работы генератора электростанции также можно выполнить на малой электрической машине переменного тока. Модели автомобилей, судов, самолетов, луноходов и других машин, которые являются физическими моделями, помогают инженерам исследовать механические, тепловые, электрические, магнитные, химические и другие свойства различных машин. Иногда исследования проводятся на моделях, которые имеют отличную от исходного объекта физическую природу. Так, механические свойства движения вращающегося объекта (вала) можно исследовать на электрической модели, и, наоборот, токи и напряжения электрической цепи можно моделировать с помощью сил и скоростей элементов механической системы. Такие модели называют аналоговыми. Получило развитие направление моделирования с помощью специальных аналоговых вычислительных машин (АВМ), в отличие от цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Многие физические и аналоговые модели исследуются в динамике, т. е. изменении их параметров и свойств во времени. Моделирование предусматривает масштабирование не только по переменным модели, но и по времени; таким образом, процессы, протекающие в моделях, воспроизводятся в замедленном или ускоренном движении. 7 Геометрически подобные модели – это макеты зданий, сооружений и природных объектов. Они изготавливаются для решения учебных, архитектурных, экологических и инженерных задач. Идеальные модели носят информационный характер. Они возникают и строятся в сознании людей и используются как любая информация. Можно сказать, что информация – это модель окружающего нас мира. Идеальные модели в зависимости от средств их изображения, передачи, хранения и использования подразделяются на знаковые и вербальные. Знаковые модели используют какой-либо формализованный язык – литературный, математический, алгоритмический и др. Вербальными можно считать образные модели в сознании людей и передаваемые ими посредством разговорной речи. Знаковые и вербальные модели взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в знаковую форму, и, наоборот, знаковая модель позволяет сформировать в сознании верный мысленный образ. Знаковые модели, записанные на каком-либо носителе (бумажном, магнитном, электрическом, оптическом и др.), передаются между людьми, обрабатываются на компьютерах и сохраняются для следующих поколений. В зависимости от этого можно выделить несколько видов знаковых моделей: дескриптивные, имитационные, алгоритмические, математические, базы данных и знаний. Математическое представление об объекте должно согласовываться с возможностью дальнейшего анализа и исследования объекта по его математической модели. Каждый объект и система могут моделироваться на разных иерархических уровнях восприятия человеком окружающего мира. Принято разделять моделирование технических объектов по трем уровням: микро-, макро- и метауровень. На каждом из этих уровней применимы свои классы моделей, различающиеся главным образом представлением пространства и времени. Описание моделей разных иерархических уровней дано в разд. 1.6–1.8. 1.3. Переменные в математических моделях Переменные величины, входящие в математическую модель, различают по нескольким признакам. По роли, которую переменные играют по отношению к объекту моделирования. На рис. 1.4 X = (x1, x2,…, xn) – вектор входных переменных, Y = (y1, y2,…, ym) – вектор выходных переменных. В связи с разделением переменных на входные и выходные рассматриваются прямые и обратные задачи исследования объекта по его математической модели. В прямых задачах по данным о выходах объекта иссле-дуется его поведение в различных условиях (режимах работы), т. е. входные переменные, структура и параметры модели относятся к исходным данным, а выходные переменные представляют результат исследования: Y =f(X) или F(X, Y) = 0, где известны характеристики X и f или F. x1 x2 ... xn y1 y2 Объект xм1 xм2 ... ... ym yм1 yм2 Модель xмn ... yмn а б Рисунок 1.4. Переменные в объекте и его модели В обратных задачах считаются известными X и Y (доступны для измерения и исследования), а определению подлежат неизвестные структура и параметры модели (f или F). Такие задачи называют задачами идентификации. 8 Входные переменные разделяют на управляемые (управляющие воздействия) и неуправляемые (возмущения) Первые позволяют выполнять регулирование режима работы объекта, а вторые меняются самопроизвольно, например погодные условия. По подверженности воздействию случайным факторам. Детерминированная (определенная) переменная означает, что для нее исключено влияние случайных факторов – она задается вполне определенным значением или меняется во времени по определенному закону. Некоторые переменные по своей природе или по влиянию на них случайных факторов являются случайными величинами. Процесс изменения такой величины во времени называется случайным или стохастическим процессом. К этим переменным можно отнести мощность нагрузки тяговой подстанции, которая зависит от загрузки контактной транспортной сети, или величину активного сопротивления провода ЛЭП, в большой степени подверженного влиянию температуры окружающей среды. В основе описания случайных переменных лежат методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. По свойствам непрерывности и дискретности. Изменения непрерывных переменных во времени описываются непрерывными функциями, которые могут принимать континуальное множество значений в некоторых практически всегда имеющихся пределах (рис. 1.5, а). Непрерывность, порожденная инерционностью материальных систем, является их неотъемлемым свойством. Однако на практике возможности разрешения близких значений функций и ее аргументов всегда ограничены; для каждого конкретного случая можно указать определенную область, в пределах которой эти значения становятся неразличимыми для наблюдателей или инструментальных средств. Очевидно, что такую область достаточно характеризовать единственным значением, что приводит к понятию дискретных переменных (рис. 1.5, б, в, г). Дискретные переменные подразделяются на три типа: 1) дискретные относительно значений переменной (рис. 1.5, б); 2) дискретные относительно времени (рис. 1.5, в); 3) дискретные относительно значений переменной и относительно времени (рис. 1.5, г). Множество дискретных значений, которые принимает переменная, как правило, является конечным: положение выключателя (включено, выключено), количество включенных генераторов на электростанции (0, 1, 2, … ), значения целых чисел, представленных в цифровой вычислительной машине (например, от –32 768 до +32 767). С помощью дискретных переменных относительно значений удобно представлять некоторые процессы (графики нагрузок или напряжений по часам суток или месяцам года), распределение вероятностей (гистограмма) и т. п. Дискретность во времени связана с отсчетом или замером переменных в отдельные дискретные моменты времени. Так, в автоматизированных системах управления измерения переменных выполняются с заданной периодичностью, например, через каждые 5 минут. 9 x xmax xi xmax xmin xmin t t а б x xmax xi xmax б а xmin xmin n в n г Рисунок 1.5. Виды переменных по свойствам непрерывности и дискретности Дискретность по времени и по значению дополнительно к измерениям в отдельные моменты времени предполагает использование дискретных значений переменных. По способу получения переменные подразделяются на наблюдаемые и ненаблюдаемые. Главное свойство наблюдаемых переменных – доступность для наблюдения. Однако наблюдаемость сама по себе еще не обеспечивает возможности полного исследования и описания переменной. Необходимо, чтобы последняя обладала еще свойством измеримости, т. е. возможностью построения для исследуемой величины метрики. Этому требованию удовлетворяют непосредственно измеряемые переменные. Они представляют собой количественные характеристики свойств и параметров всевозможных материальных объектов и процессов (напряжение, ток, скорость, линейные размеры и пр.), которые определяются на основе прямого измерения, т. е. сравнения с мерой, обеспечены средствами измерения и охвачены существующей системой метрологического обеспечения. Тесно связан с непосредственно измеряемыми и следующий класс переменных – косвенно измеряемые. Косвенно измеряемая переменная x сама по себе не является объектом измерения, а часто и в принципе не может быть непосредственно измерена. Вместо нее непосредственному измерению подвергаются другие, вспомогательные переменные (α, β, γ,…), которые связаны с исследуемой переменной функциональной зависимостью x = f(α, β, γ,…). Это позволяет вычислить значение искомой переменной по результатам прямых наблюдений вспомогательных величин, например, вычислить объем тела по результатам измерения его линейных размеров. При испытаниях силовых трансформаторов в электрических сетях температуру его обмоток определяют методом измерения их сопротивлений постоянному току, т. е. температура – косвенно измеряемая переменная. К косвенно измеряемым переменным относят такие искусственно сконструированные идеальные образования, которые вообще не наблюдаемы: математическое ожидание, дисперсия, энтропия и др. Существует класс переменных, которые при их количественном оценивании не имеют материальной эталонной базы и находятся вне сферы метрологии. К ним относятся все виды непосредственно или косвенно измеряемых переменных, приведенных к безразмерной форме и выраженных в относительных единицах. Например, некоторые величины материальной природы (интенсивность сейсмических явлений, интенсивность облачности в метеорологии, твердость материалов по Бринеллю и некоторые другие), а также искусственные идеальные конструкции, характеризующие в количественном отношении сложные и массовые объекты 10 и явления (рентабельность, прибыль, эффективность и др.). Такие переменные называют условно измеряемыми, так как меры или единицы измерения, используемые при их количественном оценивании, носят конвенционный характер. Существует еще один класс наблюдаемых переменных – условно количественно оцениваемые. Они представляют сложные многофакторные явления, интенсивность которых может быть различной, но для количественного оценивания этой интенсивности не удается ввести ни объективной единицы измерения, ни способа измерения. Однако в целом ряде случаев между интенсивностями рассматриваемого явления удается установить отношение порядка (равны – не равны, больше – меньше и т. д.), а затем отобразить эти отношения, вообще говоря, произвольным образом на некоторое множество (систему) чисел. Результатом такой процедуры являются, например, численные оценки качества усвоения учащимися и студентами учебного материала, степень удовлетворения работой членов некоторого производственного коллектива, степень качества исполнения музыкального произведения или выполнения спортивного упражнения. Условное количественное оценивание основано на опыте и интуиции и по сути своей субъек-тивно. Ненаблюдаемые переменные подразделяют на принципиально ненаблюдаемые и технически ненаблюдаемые. Принципиально ненаблюдаемые переменные не существуют как компоненты реального мира и поэтому поддаются определению только косвенными методами, в частности на основе косвенных измерений (статистические характеристики). Технически ненаблюдаемые переменные характеризуют такие материальные явления, которые либо не обеспечены техническими средствами, необходимыми для измерения и оценивания, либо протекают в условиях, когда инструментальный доступ к ним невозможен. Характерным примером переменной, не наблюдаемой из-за практической недоступности, является количество угля для помола в шаровой мельнице на электростанции. Каждая переменная, связанная с материальным объектом, может изменять свои значения лишь в некоторых конечных пределах, которые обусловлены физическими свойствами объекта и характером решаемой задачи. Данные об этих пределах – ограничения на переменные – существенны при построении и использовании всех видов моделей, а в оптимизационных задачах, где необходимо найти оптимальное значение так называемой целевой функции, ограничения являются главной частью самой модели. С математической точки зрения различают ограничения типа простых неравенств: Xmin ≤ X ≤ Xmax, Ymin ≤ Y ≤ Ymax – параллепипедные ограничения и функциональные ограничения, фиксирующие предельные значения некоторой величины в функции от других переменных: fmin(X) ≤ Z ≤ fmax(X) и т. п. В практике моделирования выделяют так называемые жесткие ограничения, которые являются абсолютными (например, угол поворота лопатки турбины – «до упора»), и ограничения мягкие, допускающие кратковременные нарушения установленной границы значений переменной (например, верхнего предела рабочего напряжения на электродвигателе). В общем случае данные об ограничениях на переменные входят в состав модели как обязательная составная часть. 1.4. Адекватность и эффективность математических моделей Математическое описание объекта может иметь различную степень соответствия (адекватность) объекту-оригиналу. Как правило, исследователь стремится к более полному и точному отражению в модели свойств объекта. Это естественное стремление объясняется неопределенностью, которая неизбежно присутствует при построении моделей. Нельзя заранее точно знать, какие свойства объекта важны для решаемой задачи, а какие – несущественны. Такая неопределенность тем больше, чем меньше исследователь знает исследуемый объект и меньше его опыт в решении подобных задач. 11 Таким образом, требование полноты соответствия модели объекту-оригиналу является одним из ее качеств. Мало того, излишняя полнота модели в большинстве случаев даже вредна, так как приводит к такому усложнению модели, что ее использование становится невозможным. Поэтому другое качество модели – это ее простота. Нетрудно понять, что качества адекватности и простоты противоречат друг другу, т. е. с улучшением одного из них происходит ухудшение другого. Отыскание оптимального сочетания (как говорят, «золотой середины») этих двух качеств при построении модели есть отдельная задача, решение которой лежит на исследователе. Здесь необходимы опыт, интуиция и соответствующий уровень подготовки исследователя. Идеальная квалификационная подготовка последнего не только весьма обширна, но и в значительной мере противоречива. С одной стороны, исследователь должен досконально представлять себе задачу и глубоко изучить объект моделирования. Но, с другой стороны, исследователю, строящему модель, необходимо хорошо владеть аппаратом современной математики, представлять себе весь арсенал модельных конструкций, иметь опыт формализации знаний и использования современных вычислительных средств. Кроме того, во многих случаях от исследователя требуются знания в области планировании и проведения эксперимента на объекте-оригинале или на более сложной модели (вычислительный эксперимент). Модель с оптимальным сочетанием качеств адекватности и простоты можно назвать эффективной (практически полезной) моделью. Математически такое сочетание соответствует максимуму так называемой «функции полезности», и, если эта функция может быть записана, отыскание ее максимума возможно известными оптимизационными методами. Употребляя термин «точность математического моделирования», можно иметь в виду адекватность модели, например, говорят: точная или приближенная формула, линеаризованная (т. е. приближенно замененная линейной) зависимость и т. д. Но реализация математической модели, т. е. проведение «вычислителем» одного или нескольких расчетов, результатом которых будут численные значения переменной, вектора, таблицы, содержит погрешности вычислений из-за ошибок округления, прерывания итерационного процесса вычислений и ошибок в данных, которые переходят (распространяются) на результаты. Дальнейшая обработка реализаций математической модели предполагает и подсчет погрешности исследований. В связи с этим, рассматривая вопрос об эффективности математических моделей, следует иметь в виду погрешности реализаций, которые иногда являются причиной дополнительных упрощений модели, так как учет некоторых факторов может, например, сказаться на результатах в меньшей степени, чем погрешности в исходных данных. Рассмотрим математическую модель линии электропередачи (ЛЭП) высокого напряжения. В нее входят такие параметры, как активное сопротивление, индуктивность самоиндукции и взаимоиндукции проводов, а также емкости между проводами и проводами и землей. Высота подвеса проводов и заземленных грозозащитных тросов на линии влияет на величину емкостей между проводами и землей. Следует ли в расчетах режимов ЛЭП учитывать близость земли? В некоторых случаях при достаточно длинных ЛЭП определение емкостных параметров требует уточнения в части влияния земли, а при небольших длинах линий это не обязательно. При анализе адекватности, эффективности и точности отдельных математических моделей используются некоторые численные оценки. Получение этих оценок почти всегда связано с большими трудностями, так как требует проведения натурных (на объекте-оригинале) или вычислительных (по реализациям по более точной модели) экспериментов. Иногда такие эксперименты требуют больших материальных и временных затрат, но проводить их необходимо, поскольку это единственный способ оценить качество математических моделей. Истинные значения параметров обычно отождествляются с экспериментально полученными. Однако погрешности натурного эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математических моделей, а иногда заметно их превышают. 12 Пусть на выходе объекта измеряются m переменных Y (рис. 1.4, а). При исследовании на математической модели получились m модельных переменных Yм. Вектор погрешностей есть разница полученных векторов Δ = Y – Yм. В целом погрешность математической модели можно оценить по норме вектора погрешностей Δ: Δ 1  max i . (1.2) i[1...m] Часто используют евклидову норму и среднеквадратическую погрешность m m   i2 и    i2 i 1 . (1.3) m В качестве других характеристик математических моделей иногда называют экономичность (по затратам) и универсальность (применимость к группе объектов). Δ 2 i 1 1.5. Свойства объектов моделирования Технические объекты имеют самые разнообразные внутренние свойства и взаимодействия с окружающим миром. Рассмотрим внутренние свойства объектов моделирования, которые необходимо учитывать при построении моделей. Под структурой объекта обычно понимают совокупность элементов, входящих в состав объекта, и связей между ними. Структура математической модели – это совокупность переменных и параметров, записанных в математическом выражении, например, z  ax2  bx  cy 2  dy  exy . (1.4) Здесь переменными являются величины x, y и z, а параметрами – коэффициенты a, b, c, d, e. Параметры – это количественные характеристики внутренних свойств объекта, которые отражаются его структурой, а в математической модели они являются коэффициентами, входящими в математическое выражение. Рассмотрим свойства объектов с точки зрения моделирования. 1) Непрерывность и дискретность Подавляющее большинство различных технических объектов имеет свойство непрерывности переменных, т. е. свойство принимать несчетное множество сколь угодно близких значений. Состояния этих объектов описываются макроскопическими физическими величинами: температурой, скоростью, давлением, пространственными координатами, электрическим током и т. п. Математические структуры, адекватно описывающие такие объекты, очевидно, тоже должны быть непрерывными. Поэтому при модельном описании объектов с непрерывными переменными используют главным образом аппараты дифференциальных и интегральных уравнений, передаточные функции, частотные характеристики и др. Дискретные переменные могут принимать некоторое, практически всегда конечное, число наперед заданных значений. Характерными примерами объектов с дискретными переменными являются релейные переключательные схемы, коммутационные системы АТС, цифровые вычислительные машины. Основой формализованного описания объектов с дискретными переменными является аппарат математической логики. Дискретные методы анализа в настоящее время получили широкое распространение для описания и исследования объектов с непрерывными переменными. При этом вследствие конечности разрядной сетки ЦВМ значения непрерывных величин округляются до дискретных значений, а исходные дифференциальные уравнения в частных производных заменяются эквивалентными конечно-разностными. В отличие от моделей с дискретными переменными по своей сути модели с непрерывными переменными, представленные дискретно, называют дискретизированными. 2) Стационарность и нестационарность 13 Строго говоря, какие-то изменения имеют место в любом реальном объекте, однако в тех случаях, когда они настолько малы, что могут не учитываться при моделировании, объект рассматривается как стационарный. Стационарность предполагает неизменность и структуры, и параметров объекта. Поэтому стационарный объект описывается математическим выражением, которое включает в себя только постоянные коэффициенты. Нестационарные объекты имеют в общем случае изменяющиеся во времени структуру и параметры. В технических объектах приходится сталкиваться с нестационарностью как структуры, так и параметров объекта. Так, например, в электроэнергетической системе в течение времени отключаются и включаются отдельные элементы (линии, трансформаторы, генераторы) и изменяются их параметры в зависимости от различных внешних факторов (температура, влажность, старение изоляции и др.). Принципиальных затруднений учет нестационарности относительно параметров в математическом описании объекта не вызывает, хотя усложняет модель и ее исследование. В тех случаях, когда появляется необходимость исследовать объекты переменной структуры, общую нестационарную задачу, как правило, расчленяют на ряд стационарных относительно структуры подзадач, решения которых отыскивают отдельно, а затем объединяют в одно. 3) Распределенность и сосредоточенность параметров В пространственно протяженных объектах, в частности включающих в себя непрерывные среды (газы, жидкости, твердые среды), когда время распространения физических, например колебательных явлений, оказывается соизмеримым с инерционными эффектами, адекватное описание процессов требует учета как временных, так и пространственных координат. Объекты такого рода, средством описания которых служат дифференциальные уравнения в частных производных, относятся к классу объектов с распределенными параметрами. С математической точки зрения объекты с распределенными параметрами представляют собой поле, существующее в пространственно-временном континууме, а переменные соответствующих моделей в общем случае суть функции времени и пространственных координат. Типичными примерами одномерных объектов с распределенными параметрами служат всевозможные «длинные линии»: проводные линии связи, длинные трубопроводы, линии электропередачи на большие расстояния. Примерами моделей двухмерного объекта с распределенными параметрами являются сечения различных трубопроводов, кабелей, проводов, где рассматриваются в плоскостях поля температур, плотностей и напряженностей. И, наконец, пространственное электромагнитное поле с его математической моделью – уравнениями Максвелла – представляет собой классический пример трехмерного объекта с распределенными параметрами. Если пространственной протяженностью можно пренебречь и считать, что независимой переменной протекающих в нем процессов является только время, принято говорить об объекте с сосредоточенными параметрами. К числу таких объектов, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, относится подавляющее большинство механизмов, машин, устройств, а также все системы, у которых расстояния между отдельными элементами практически не влияют на исследуемые свойства. Математический аппарат, строго описывающий объекты с распределенными параметрами, существенно сложнее, чем аппарат объекта с сосредоточенными параметрами. Поэтому на практике всегда, где это возможно, прибегают к аппроксимации, т. е. заменяют распределенные параметры на сосредоточенные, например, разбивая пространство на небольшие элементы (подпространства) или делая корректировку сосредоточенных параметров. 4) Одномерные и многомерные объекты Обычно под количеством измерений понимают число выходов (выходных переменных). Для моделирования многомерных объектов используют векторно-матричное представление. 5) Статические и динамические объекты 14 Статические объекты находятся в «застывшем» состоянии или рассматриваются в какой-либо момент времени безотносительно того, каким было его состояние в прошлом или будет в будущем. Динамика рассматривает причинно-следственные цепочки и возможность прогнозирования будущих состояний объектов. Каждый динамический объект имеет свойство последствия (инерции) – состояние движущегося тела в некоторый момент времени определяется не только силами, действующими в тот момент, но и предшествующими воздействиями: состояние объекта имеет предысторию его движения. В дифференциальных уравнениях предыстория объекта задается начальными условиями. Развитие механики пространственных протяженных сред, а также теории колебаний и волн выявило еще один источник последствия, не связанный непосредственно с инерционными эффектами. Речь идет о конечной скорости распространения механических возмущений, например колебательных в сплошной среде, результатом чего является зависимость текущего состояния некоторой точки от прошлых состояний других точек и, следовательно, объекта в целом. Нельзя связывать последствия только с традиционными представлениями об инерционных эффектах. Явление последствия имеет более общий характер. Существуют и другие физические явления, например резонанс и запаздывание в каналах связи, которые дают последствия в материальных объектах. Существуют также информационные запаздывания в управляемых системах. Н. Винер ввел обобщенное представление о зависимости между входной и выходной переменными произвольного объекта в форме ˆ u  t t   , t  t  t , (1.5) x(t )  A i  i  где u(t), x(t) – вектор-функции входов и соответственно выходов; Â – обобщенный оператор объекта; ti– t0 = θ – интерпретируемый как внутренняя память объекта интервал времени, в пределах которого прошлые состояния объекта влияют на текущее значение x(ti). При этом очевидно, что условием физической реализуемости объекта является неравенство t ≤ ti, ибо следствие (выход) в реальной системе не может предшествовать причине (входу).θварьируется в переделах от 10–9 до десятков и сотен лет (табл. 1.1). Т а б л и ц а 1.1 Время внутренней памяти объекта Память Тип системы (объекта) Единица Порядок измерения 10–3 … Радиоэлектронные системы с 10–9 Механические и электромеханические системы (машины, агрегаты, с 10–2 … 10 генераторы и др.) Крупные транспортные системы (суда, ж/д транспорт, нефте- и газомин 1 … 10 проводы) Крупные термические агрегаты (меч 1 …102 таллургические печи, котлы) Производственно-экономические Месяцы 10–1 …10 системы Крупные производственноМесяцы, – экономические системы годы Крупные экосистемы, биосферные Годы, – 15 процессы десятилетия Массовые социальнопсихологические явления (ценностСтолетия ные установки, убеждения, мировоззрения) – 6) Виды физических объектов Рассматривая объекты моделирования, часто ограничиваются исследованием физических свойств одного рода: тепловых, электрических, магнитных, механических и т. д. Но в тех случаях, когда в объекте происходит передача или преобразование энергии, требуется учет свойств различного рода, например электромагнитных, теплоэлеткрических, тепломехенических, электромеханических и др. Математический аппарат, используемый для моделирования различных физических систем, может оказаться одинаковым. Так, например, вращательная механическая система и электрическая цепь с источником ЭДС и конденсатором описываются одинаковыми с точки зрения математики уравнениями. 1.6. Математические модели на микроуровне Рассмотрим модели технических систем на микроуровне. В большинстве случаев это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных. При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира. Фундаментальными физическими законами в первую очередь являются законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема. Субстанцией служат масса, количество движения, энергия. Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др. Если внутри элементарного объема происходит генерация или уничтожение рассматриваемой субстанции, то к сумме притока-стока нужно добавить соответствующий член, отражающий данное явление. В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей, будет следующим:  d  div J  G , (1.6) dt где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергию и т. п.);  J – поток фазовой переменной; G – скорость генерации субстанции; t – время.  Поток фазовой переменной φ есть вектор J = (Jx,Jy,Jz). Дивергенция (расходимость) этого вектора определяется общим соотношением  J J y J z div J  x   , (1.7) x y z является скалярной величиной и характеризует сумму притока-стока через поверхность элементарного объема. Рассмотрим основные уравнения некоторых физических процессов. 1) Уравнение непрерывности гидродинамики 16 В течении жидкости или газа имеем в любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное поле скорости. Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке:     div v . (1.8) t Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности. При одномерном исполнении  v   . (1.9) t x 2) Уравнение теплопроводности Связь изменения температуры во времени и пространстве со свойствами среды описывается с помощью уравнения теплопроводности. Это уравнение вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стока теплоты и изменения теплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме:  Q  div J Q  GQ , (1.10) t где Q – количество теплоты;  J Q – вектор плотности теплового потока; GQ – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме. 2) Уравнение непрерывности электрического тока Движение электрических зарядов через поверхность элементарного объема записывается в виде    div  , (1.11) t где ρ – объемная плотность электрических зарядов;   – вектор плотности тока проводимости и смещения. Приведенные примеры показывают однотипность математических моделей на микроуровне, но в то же время использование математических моделей объектов в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно для простых технических систем, так как их решение наталкивается на значительные трудности. Методы дискретизации пространства (конечных разностей и конечных элементов), которые используются для приближенного решения этих уравнений, приводят к решению систем с числом уравнений 106 и более. 1.7. Моделирование на макроуровне Модели макроуровня получаются, когда происходит переход от распределенных параметров к сосредоточенным – выделяются крупные элементы объектов и их параметры сосредоточиваются в одной точке: масса балки оказывается сосредоточенной в центре тяжести, поле потенциалов характеризуется величиной одного напряжения, поток электронов моделируется электрическим током и т. п. Происходит дискретизация пространства, однако время – по-прежнему непрерывная величина. Математическими моделями на макроуровне являются обыкновенные дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения. Поведение (состояние) моделируемых объектов, состоящих из физически однородных элементов, в которых описываются процессы определенной физической природы (механиче17 ские, электрические, гидравлические, тепловые), можно характеризовать с помощью фазовых переменных двух типов – типа потенциала и типа потока. В табл. 1.2 приведены типы фазовых переменных для объектов разной физической природы. Т а б л и ц а 1.2 Фазовые переменные для различных физических систем Фазовые переменные Система типа потенциала типа потока Электрическое наЭлектрическая Электрический ток пряжение Механическая Скорость Сила Механическая Вращательный моУгловая скорость вращательная мент Тепловая Температура Тепловой поток Гидравлическая и пневматичеДавление Расход ская В большинстве технических объектов можно выделить три типа пассивных простейших элементов:  типа R – элемент рассеивания (диссипации) энергии (как правило, преобразования энергии втепловую и ее рассеивания);  типа C и типа L – элементы накопления потенциальной и кинетической энергии. Кроме пассивных элементов, существуют два активных элемента – источник напряжения и источник тока. Уравнения, описывающие свойства элементов объекта, называют компонентными. В них входят переменные типа потенциала и типа потока. Способ связи элементов отражается с помощью других уравнений, которые называют топологическими. В них входят переменные одного типа: либо потенциала, либо потока. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия непрерывности, равновесия, баланса и т. п. Математические модели объектов есть совокупность компонентных и топологических уравнений. Рассмотрим примеры компонентных и топологических уравнений для некоторых разных по своей физической природе объектов. 1) Электрические системы Основными фазовыми переменными электрических систем являются напряжения и токи в различных элементах систем. Компонентные уравнения элементов имеют вид dI dI U  RI , I  C , U  L , (1.12) dt dt где U – напряжение; I – ток; R – сопротивление; C – емкость; L – индуктивность. При соединении резисторов, емкостей, индуктивностей между собой образуется схема, соединение элементов в которой отражается топологическими уравнениями. Ими являются законы Кирхгофа: (1.13)  I j  0,  U i  0 , j i где уравнения токов записываются для узлов, а уравнения напряжений для контуров. В ЭЭС имеются достаточно сложные элементы, и при их моделировании применяют схемы замещения, состоящие из сопротивлений, емкостей и индуктивностей. 2) Механическая система Элементами механических поступательных систем являются: 18  элементы механического сопротивления, отражающие потери механической энергии на разные виды трения;  элементы масс, отражающие свойства инерционности;  элементы гибкости, отражающие свойства упругости. Роль фазовых переменных в механических системах выполняют либо силы и скорости, либо силы и перемещения. Компонентные уравнения имеют вид dV dF V  Rm F , F  m , V  Lm , (1.14) dt dt где V – скорость; F – сила; R – коэффициент, учитывающий зависимость силы трения от скорости; m – масса-аналог электрической емкости; Lm – гибкость – параметр, являющийся аналогом электрической индуктивности. Первое выражение в (1.14) указывает на связь скорости и силы через коэффициент 1 вязкого трения kт  . Второе выражение является вторым законом Ньютона. Третье выRm ражение в (1.14) получено из уравнения перемещения пружины x под действием силы F = kx, где k – коэффициент жесткости пружины. После дифференцирования последнего выражения получаем dF dx k  kV . (1.15) dt dt 1 Если обозначить Lm  (механическая гибкость), то получим третье выражение в k (1.14). Топологические уравнения механической системы выражают уравнение равновесия сил, являющееся аналогом первого закона Кирхгофа, и уравнение сложения скоростей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю (аналог второго закона Кирхгофа). (1.16)  F j  0,  Vi  0 . j i 3) Механические вращательные системы Для механических вращательных систем наиболее просто выглядит аналогия с механическими поступательными системами. Поступательной скорости V соответствует угловая скорость Ω, силе F – вращательный момент M. Аналогиями параметров m, Lm и R будут соответственно: J – момент инерции относительно оси вращения со скоростью Ω; Lвр – вращательная гибкость; Rвр – сопротивление вращению. Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид d dM   Rвр M , M  J ,   Lвр . (1.17) dt dt Топологические уравнения механической вращательной системы выражают закон равенства суммы моментов сил и закон сложения скоростей вокруг оси вращения: (1.18)  M j  0,  i  0 . j i 4) Гидравлические и пневматические системы Фазовыми переменными гидравлических систем являются поток жидкости (расход) q и давление p – аналоги электрического тока и напряжения соответственно. Компонентные уравнения участков трубопровода и резервуаров гидросистемы связывают фазовые переменные при ламинарном и турбулентном движении жидкости. Топологические уравнения гидравлической системы близки по своему смыслу и идентичны по форме топологическим уравнениям электрических систем, а именно сумма 19 потоков в любом узле системы и сумма давлений вдоль любого контура системы равны нулю. Фазовые переменные пневматических систем – потоки газа и давления – аналогичны по смыслу фазовым переменным гидравлических систем. Также одинаковы в гидравлических и пневматических системах компонентные и топологические уравнения. 5) Тепловые системы Для этих систем основные фазовые переменные – температура T и тепловой поток gт. Одно компонентное уравнение тепловой системы связывает разность температур на участке элемента и тепловой поток через тепловое сопротивление Rт, которое определяется теплоотдачей посредством теплопроводности, конвекции и лучеиспускания, другое уравнение через теплоемкость Cт связывает тепловой поток и температуру элемента системы. Уравнения с понятием «тепловой гибкости» в тепловых системах нет. Топологические уравнения для сумм тепловых потоков и разностей температур тепловых систем также аналогичны законам Кирхгофа в электрических системах. Топологические уравнения для любых из рассмотренных выше систем строго определены только для установившихся режимов. В тех случаях, когда время распределения возбуждений (изменений фазовых переменных) по ветвям системы соизмеримо с длительностью интервалов времени, на которых ведется исследование, или превышает их, применять такие уравнения в приведенной выше форме нельзя. Границы применимости топологических уравнений определяются скоростями распространения возбуждений, размерами компонентов системы и частотами изменения фазовых переменных. Например, для электрических систем скорость распространения возбуждений есть скорость света или электромагнитных волн в соответствующей среде, а для механических, гидравлических и пневматических – это скорость распространения звука в соответствующей среде. 1.8. Моделирование на метауровне Математические модели на микроуровне учитывали распределенностью параметров объекта в пространстве. Переход на макроуровень характеризуется дискретизацией пространства – параметры объекта считаются сосредоточенными в отдельных точках пространства. Метауровень имеет математические модели, где вводятся еще большие допущения и упрощения, что позволяет получать доступные для исследования математические модели больших объектов и систем. Существует несколько способов построения математических моделей на метауровне, к ним относятся: 1) дискретизация времени, т. е. наряду с введением сосредоточенных параметров переменные и параметры модели считаются независящими непрерывно от времени; 2) потери энергии в объекте не учитываются; 3) переход к факторным моделям; 4) переход к функциональным моделям, в которых используется только один вид фазовой переменной – сигнал; 5) эквивалентирование – замена больших систем их упрощенными моделями – эквивалентами, созданными на основе специальных критериев, и др. Так, например, решать задачи регулирования частоты и обменной мощности в Единой энергосистеме (ЕЭС) России можно с помощью модели, которая может обозримо представить все составные части этого большого и сложного объекта с учетом пропускной способности межу объединениями энергосистем (ОЭС). На рис. 1.6 показаны связи между отдельными ОЭС, входящими в ЕЭС России. Параметрами такой модели могут служить значения пропускной способности связей, мощности отдельных ОЭС и «коэффициенты жесткости» (отношения предела статической устойчивости связи к меньшей мощности из соединяемых 20 частей ОЭС). В такой модели параметры и переменные могут считаться неизменными на длительных интервалах времени и потери электрической энергии не учитываются. ОЭС Северо-Запада ОЭС Центра ОЭС Средней Волги ОЭС Урала ОЭС Сибири ОЭС Северного Кавказа ОЭС Востока Рисунок 1.6. Схема связей между ОЭС ЕЭС России Переход к факторным моделям может быть выполнен методами идентификации объектов или с использованием методов планирования эксперимента. Идентификация технических объектов рассматривается в разделе 4. Функциональное моделирование является предметом изучения отдельной дисциплины – теории автоматического регулирования. Эквивалентирование – это преобразование электрической схемы на основе специальных критериев с целью ее упрощения. Обычно в сложной ЭЭС выделяется часть схемы сети, для которой выполняется анализ режимов работы, все остальные преобразуются в эквивалентные схемы. Так, рассматривая режимы работы отдельной ЭЭС, все соседние энергосистемы представляют их эквивалентами или в большом энергообъединении сохраняются только мощные высоковольтные линии и подстанции, а сети более низкого напряжения представляются эквивалентами. Вопросы для самопроверки 1. Какое свойство модели является фундаментальным? 2. Как классифицируются модели? 3. По каким признакам различают переменные в математических моделях? 4. Чем различаются прямые и обратные задачи исследования объекта при его моделировании? 5. Как подразделяются дискретные переменные в математических моделях? 6. Поясните свойство адекватности математической модели. 7. Назовите попарно противоположные свойства объектов с точки зрения моделирования. 8. Что представляют собой математические модели на микро-уровне? 9. Что представляют собой математические модели на макро-уровне? 10. Что представляют собой математические модели на метауровне? 21 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЭС 2.1. Линия электропередачи 2.1.1. Конструктивное выполнение и свойства линии электропередачи В простейшем представлении линия электропередачи – это проводники, протянутые на большое расстояние, по которым передается электрическая энергия. Возможность передачи электроэнергии обусловлена главным образом большим напряжением, при котором потери при передаче снижаются до приемлемого уровня. Конструктивно воздушные ЛЭП представляет собой провода, подвешенные на безопасном расстоянии от земли, или кабели, в которых проводящие жилы изолированы друг от друга и от внешней среды и защищены различными покровами и броней. В зависимости от конструкции ЛЭП называют воздушными (ВЛ) или кабельными линиями (КЛ). Практически во всем мире для передачи электрической энергии принята система трехфазного переменного тока 50 или 60 Гц. Однако в некоторых случаях применяются другие системы переменного тока и передачи постоянного тока. Будем рассматривать только трехфаз-ные воздушные линии переменного тока высокого напряжения (до 1150 кВ), передающие электроэнергию на большие расстояния (до нескольких тысяч километров). Передача электроэнергии по ЛЭП переменного тока обусловлена распространением электромагнитного поля в проводах и окружающем пространстве. Возникновение переменного электростатического поля приводит к появлению токов смещения – зарядных токов (рис. 2.1). Зарядные токи, накладываясь на нагрузочный ток, определяют постепенное изменение тока вдоль линии. Магнитное поле, обусловленное током линии, характеризуется напряженностью, также изменяющейся вдоль линии. Это приводит к наведению ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, неравных для различных участков линии. Неравенство этих ЭДС определяет сложный закон изменения напряжения вдоль линии, в свою очередь определяющий изменение токов смещения вдоль линии. u1 u2 i1 i2 Рисунок. 2.1. Условное изображение распределения токов вдоль провода ЛЭП В общем случае ЛЭП следует рассматривать как объект с распределенными вдоль одной пространственной координаты параметрами (вдоль линии). Параметры линии электропередачи, к которым относятся активное сопротивление, индуктивность, активная проводимость и емкость на единицу длины, считают равномерно распределенными вдоль ее длины. Такое свойство линий называют однородностью. Провода ВЛ имеют в качестве проводящего материала алюминий или его сплав. Практически всегда используются сталеалюминиевые провода марки АС. Их удельное сопротивление постоянному току в среднем равно  = 29,1 Ом мм2 / км. Активное сопротивление переменному току больше сопротивления постоянному току вследствие поверхностного эффекта, однако для частоты 50 Гц это различие несущественно. Активное сопротивление в электрических схемах ЛЭП является параметром, определяющим процесс диссипации (рассеивания) энергии в виде отдачи тепла в окружающее пространство. Индуктивность ЛЭП вызвана явлениями самоиндукции и взаимоиндукции фаз линии и определяется в зависимости от диаметра проводов фазы и расстояния между фазами. В 22 практике расчетов электрических сетей используют индуктивное сопротивление фаз ЛЭП. Погонное индуктивное сопротивление ВЛ 330–1150 кВ x0 в среднем равно 0,31 Ом / км. Вследствие несовершенства изоляции ВЛ и явления короны в местах присоединения проводов к гирляндам изоляторов ВЛ имеют место потери электроэнергии от токов утечки по изоляторам ВЛ и короны. Большое влияние на эти потери оказывают влажность и загрязнение окружающего воздуха. В зависимости от погоды потери от токов утечки и на корону могут изменяться в десятки раз. Моделирование потерь в изоляции ВЛ можно выполнить с помощью введения активной проводимости g0, величина которой определяется по экспериментальным данным, полученным в результате наблюдений и расчетов существующих ВЛ. Для большинства ВЛ 330– 1150 кВ погонная активная проводимость задается в пределах 0,01…0,1 мкСм / км. Емкостные проводимости между фазами и между проводами и землей, грозозащитными тросами и заземленными частями опоры моделируются одним параметром – емкостной проводимостью фазы b0. Величина погонной емкостной проводимости ВЛ 330–1150 кВ в среднем составляет 3,5 мкСм / км. В цепи с распределенными параметрами интервал времени распространения электромагнитных волн вдоль линии сопоставим с интервалом времени, в течение которого токи и напряжения изменяются на заметную величину от полного их изменения. Другими свойствами линии электропередачи можно считать:  непрерывность переменных;  стационарность;  одномерность в отношении пространства и многомерность в отношении переменных, характеризующих работы линии в разных точках линии;  статизм или динамичность (в зависимости от исследуемых процессов);  линейность или нелинейность (в зависимости от уравнений, описывающих режим работы линии) – при этом параметры линии считаются постоянными величинами. В отношении детерминированности и стохастичности рассматриваются разные подходы к моделированию линии – параметры и переменные могут быть представлены также и случайными величинами. 2.1.2. Математическая модель линии с распределенными параметрами Элементы ЭЭС являются, как правило, трехфазными устройствами переменного тока, и ЛЭП имеет три фазы, которые присоединяются к другим трехфазным элементам сети, например, повышающим и понижающим трансформаторам (рис. 2.2, а). Здесь и далее будем рассматривать только симметричные трехфазные системы, которые вследствие симметрии можно графически изображать в однолинейном виде (рис. 2.2, б), имея в виду, что протекающий по фазе переменный ток замыкается через две другие фазы. Кроме того, трехфазная система имеет нейтраль N, которая технически может отсутствовать, но токи утечки и емкостные токи в линии могут моделироваться посредством введения нейтральной точки (линии, плоскости). На рис. 2.2 соединение обмоток трансформаторов в звезду дает нейтральные точки трехфазной системы, которые могут иметь соединение с землей (заземление). Выделим в линии на расстоянии x от начала линии (рис. 2.2, а, точка 1) участок бесконечно малой длиныdx. На этом участке линии электрические параметры можно считать сосредоточенными (рис. 2.3). 23 Повышающий трансформатор Понижающий трансформатор ЛЭП N N а а 1 2 N x dx l б б Рисунок. 2.2. Трехфазная линия электропередачи (а) и ее однолинейное изображение (б) Составим уравнения Кирхгофа для электрической цепи на выделенном участке линии: u i  u    u  dx    r0 dxi  L0 dx   0, x   t   (2.1) u   i    i    i  dx    g0 dxu  C0 dx   0 t   x   или u i   r0i  L0 , x t (2.2) i u   g 0 u  C0 . x t Здесь в C0 и L0 учтены влияния соседних фаз линии. i r0 i L0 u g0 C0 i dx x u u dx x dx Рисунок 2.3. Элементарный отрезок линии Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных – моделью участка линии на микроуровне. Независимые переменные в них – это время t и одна пространственная координата x. Используя символический метод представления синусоидальных функций времени комплексными величинами, для действующих значений токов и напряжений можно записать: 24 dU  r0 I  jL0 I   r0  jL0  I  z 0 I , dx (2.3) dI   g 0U  jC0U   g 0  jC0  U  y 0U . dx Полученная система уравнений уже имеет одну независимую переменную x. Обозначим напряжения и токи по концам линии: U1 и I1 при x = 0 и U2 и I2 при x = l. Тогда из решения системы дифференциальных уравнений (2.3) получим связь между напряжениями и токами по концам линии:      1 I1  sh   0l  U 2ф  ch   0l  I 2 , ZC U 1ф  ch  0l U 2ф  Z C sh  0l I 2 , (2.4)  r0  jx0  – волновое сопротивление линии;  g0  jb0   r0  jx0  g0  jb0   0  j0 – коэффициент распространения волны;α0 – коэффициент где Z C  0  затухания волны;β0 – коэффициент фазы. Полученные уравнения называются уравнениями длинной линии или телеграфными уравнениями. В (2.4) напряжения записаны в фазных значениях. Однако в трехфазных системах принято указывать линейные значения напряжений, что приводит к пересчету на 3 некоторых слагаемых:     (2.5) 1 I1  sh   0l  U 2  ch   0l  I 2 . Z 3 U 1  ch  0l U 2  3 Z C sh  0l I 2 , C Чтобы не вводить в запись уравнений константу 3 и в то же время использовать линейные значения напряжений, используют увеличенное в 3 значение тока линии. Таким образом, математическая модель длинной линии имеет вид     (2.6) 1 I1  sh   0l  U 2  ch   0l  I 2 . ZC U 1  ch  0l U 2  Z C sh  0l I 2 , Здесь I1 и I2 – фазные токи линии, увеличенные в 3 . Когда необходимо вычислить напряжение и ток в какой-либо другой точке линии, находящейся на расстоянии x от начала линии (рис. 2.4), по напряжению и току в конце, используют модель: U x  ch   0  l  x   U 2  Z C sh   0  l  x   I 2 , (2.7) 1 Ix  sh   0  l  x   U 2  ch   0  l  x   I 2 . ZC 25 ЛЭП U1 1 I1 I2 2 U2 N l–x x l Рисунок 2.4. Определение напряжения и тока в точке на линии Формально напряжение и ток в любой точке линии можно рассматривать как результат наложения двух волн, движущихся в противоположные стороны. С течением времени волна напряжения перемещается от начала линии к ее концу; она носит название прямой или падающей волны. Волна напряжения, которая перемещается от конца линии к ее началу, носит название обратной или отраженной волны. Расчеты показывают, что для воздушных линий электропередачи при частоте f = 50 Гц коэффициент фазы β0 ≈ 0,001 рад/км (0,06 град/км). С помощью этого значения можно найти длину прямой и обратной волн. Введем понятие длины волны напряжения и тока λ, равной расстоянию между двумя точками линии, в которых фазы напряжения (тока) падающей или отраженной волны напряжения (тока) различаются на 2π. 2  , (2.8) 0   где 0  Im  0 – коэффициент фазы. Скорость перемещения падающей волны вдоль линии называется фазовой скоростью волны. Это скорость перемещения точки, фаза колебания в которой остается постоянной: dx   vф  . (2.9) dt 0 Из этого соотношения с учетом ω = 2πfполучим более точное значение коэффициента фазы  314 0    1, 0466 103 рад/км (2.10) vф 300 000 и длины волны vф 300 000 2 vф    6000 км . (2.11)  f 50 Линии с длиной l = λ = 6000 км называют волновыми, а с l = λ / 2 = = 3000 км – полуволновыми линиями. Для упрощения исследований режимов работы ЛЭП сверхвысокого напряжения иногда пользуются уравнениями идеальной линии, в которой активные параметры считаются равными нулю: r0 = 0, g0 = 0. Очевидно, что при этом α0 = 0. С учетом sh( j0l )  j sin  0l  , (2.12) ch( j0l )  cos(0l ) получим математическую модель идеальной линии: U 1  cos  0l  U 2  jZ C sin  0l  I 2 , (2.13) 1 I1  j sin  0l  U 2  cos  0l  I 2 . ZC  26 2.1.3. Математические модели линии в виде схем замещения Систему уравнений (2.6) можно представить как уравнения четырехполюсника (рис. 2.5). U 1  AU 2  BI 2 , I 1  CU 2  DI 2 . (2.14) I1 I2 U1 U2 Рисунок 2.5. Четырехполюсник Здесь A  D  ch(  0l ); B  Z C sh(  0l ); C  1 sh(  0l ) , что позволяет считать данный ZC четырехполюсник симметричным. В практике расчетов удобно пользоваться П-образной схемой замещения линии (рис. 2.6). Z 1 2 Y1 Y2 N Рис. 2.6. П-образная схема замещения ЛЭП Найдем соотношения, связывающие параметры П-образной схемы замещения Z, Y1 и Y2 с параметрами модели длинной линии (2.6). Запишем выражение, связывающее напряжения в начале U1 и конце U2 П-образной схемы замещения: U 1  U 2  U  U 2  Z I Z , (2.15) где ΔU – падение напряжения в продольной ветви на параметреZ схемы замещения;IZ – ток в ветви с параметром Z. Соотношения между токами в ветвях схемы замещения получаются из первого закона Кирхгофа: I Z  I 2  I Y2 , (2.16) I 1  I Z  I Y1 . Токи в поперечных ветвях с Y1 и Y2 вычисляются по формулам: I Y1  Y 1U 1, (2.17) I Y2  Y 2U 2 . Подставим ток IZ из (2.16) в (2.15) и с учетом (2.17) будем иметь: U 1  U 2  Z I 2  U 2  Z I 2  I Y2     U 2  Z I 2  ZY 2U 2  1  ZY 2 U 2  Z I 2 . (2.18) 27 Теперь запишем соотношение для тока в начале схемы замещения I1, выразив его также через напряжение и ток конца схемы замещения. Подставив в выражение для тока I1 из (2.16) выражения для тока IZ и тока IY1, получим I 1  I Z  I Y1  I 2  I Y1  I Y2   I 2  Y 1U 1  Y 2U 2 . (2.19) Подставим в это выражение U1 из (2.18), будем иметь: I 1  I 2  Y 1 1  ZY 2 U 2  Z I 2   Y 2U 2   Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2  U 2  1  ZY 1  I 2 . (2.20) Окончательно получаем систему уравнений для П-образной схемы замещения: U 1  1  ZY 2 U 2  Z I 2 , (2.21) I 1  Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2 U 2  1  ZY 1  I 2 . Модель (2.21) по своей структуре совпадает с уравнениями четырехполюсника (2.14). Из этого с учетом вида модели длинной линии (2.6) следует, что A  1  ZY 2   ch(  0l ), B  Z  Z C sh(  0l ), C  Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2   (2.22) 1 sh(  0l ), ZC D  1  ZY 1   ch(  0l ). Решение (2.22) относительно параметров П-образной схемы замещения дает: Z  Z C sh(  0l ), Y1  Y 2  ch(  0l )  1 (2.23) . Z C sh(  0l ) Используя известные математические соотношения  x  x sh( x)  2sh   ch   , 2 2 (2.24) 2 x ch  x   2sh    1, 2 получаем Z  Z C sh(  0l ),  l (2.25) 1 th 0 . ZC 2 Для идеальной линии параметры П-образной схемы замещения получаются в виде Z  jZ C sin(0l ),  l (2.26) 1 Y1  Y 2  j tg 0 . ZC 2 Y1  Y 2  2.1.4. Упрощенные модели ЛЭП Для П-образной схемы замещения ЛЭП (см. рис. 2.6) в п. 2.1.3 было получено Z  Z C sh(  0l ), (2.27) 28  l 1 th 0 . ZC 2 Величины составляющих комплексного параметра γ0 = α0 + jβ0 для линий сверхвысокого напряжения имеют порядок: α0 – 10–5 и β0 – 10–3. Поэтому когда длина линии l невелика, приближенно можно принять sh(  0l )   0l , Y1  Y 2   0l (2.28) . 2 2 Следовательно, для параметров П-образной схемы замещения с математической моделью длинной линии получаем: z0 Z z 0 y  l  z 0l   r0  jx0  l , y0 th Y1  Y 2  1 z0 y0  0l z0 y 2  l y0 2   g0  jb0  2 (2.29) l. Подставим в уравнения для П-образной схемы замещения (2.21) полученные значения (2.29):  z 0l y 0l  U 1  1  ZY 2  U 2  Z I 2  1   U 2  z 0l I 2 ,  2   I 1  Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2 U 2  1  ZY 1  I 2  (2.30) y l z 0l y 0l    z 0l y 0l    y 0l  0 U 2  1   I2    4 2     или окончательно  z0 y l 2  0  U 1  1  U  z 0l I 2 ,  2  2   (2.31)  z0 y l 2   z0 y l 2  0  0  I 1  y 0l  1  U 2  1  I 2.   4  2      Полученные уравнения являются упрощенной математической моделью ЛЭП, в которой не учитывается распределенность параметров, а сосредоточенные сопротивления и проводимости вычисляются по (2.29).  z0 y l 2  0  является Для совсем коротких линий второе слагаемое в выражении 1   2    очень маленьким вследствие того, что проводимость y 0 имеет порядок 10–6 … 10–4. Тогда уравнения (2.31) приобретают еще более простой вид: U 1  U 2  z 0l I 2 , I 1  y 0lU 2  I 2 . (2.32) Такая модель соответствует Г-образной схеме замещения линии, в которой только одна поперечная ветвь Y 1  y 0l . 29 Все математические модели ЛЭП удобно сопоставлять в табличной форме записи параметров четырехполюсника (табл. 2.3). Распределенность параметров в двух последних моделях не учитывается. В других случаях пренебрегают либо сопротивлениями токоведущих жил линии (активным или реактивным), либо емкостной проводимостью между фазами линии. Т а б л и ц а 2.3 Коэффициенты четырехполюсника моделей ЛЭП Модель A B C D 1 Уравнения длинsh(  0l ) ch(  0l ) Z C sh( 0l ) ch(  0l ) ной линии ZC 1 Уравнения иде- cos( l ) j sin(0l ) jZC sin(0l ) cos(0l ) альной линии ZC Модель с сосредоточенными пара z0 y l 2  z0 y l 2 z0 y l 2 0  y 0l  1  z 0l метрами П- 1  1   4 2 2 образной схемы   замещения Модель с сосредоточенными параy 0l z 0l метрами Г1 1 образной схемы замещения 2.2. Силовой трансформатор 2.2.1. Конструктивное выполнение и принцип действия силового трансформатора Трансформатором называют статическое электромагнитное устройство, имеющее две (или более) индуктивно связанные обмотки и предназначенное для преобразования посредством электромагнитной индукции одной системы переменного тока в другую систему переменного тока. При этом число фаз, форма кривой напряжения (тока) и частота остаются неизменными. Силовые трансформаторы применяются в системах передачи и распределения электроэнергии; для установок с преобразователями переменного тока в постоянный (выпрямители) или постоянного в переменный (инверторы); для получения требуемых напряжений питания у электроприемников. Силовые трансформаторы устанавливаются на электростанциях, на понижающих подстанциях, в центрах питания потребителей и непосредственно у потребителей электрической энергии. В электрических сетях используются трехфазные трансформаторы или группы из трех однофазных трансформаторов. Силовые трансформаторы выполняют двухобмоточными и трехобмоточными. Существуют также трехобмоточные автотрансформаторы и двухобмоточные трансформаторы с расщепленной вторичной обмоткой. Основными элементами силовых трансформаторов являются: магнитопровод, обмотки, изоляция, бак, расширитель и высоковольтные вводы. Другие части – это элементы системы охлаждения, устройства регулирования напряжения, а также защитные и измерительные устройства. Магнитопровод является магнитной системой силового трансформатора и служит конструктивным основанием для установки и крепления обмоток, отводов от обмоток и других деталей (рис. 2.7). Магнитопровод выполняется из электротехнической стали. 30 Обмотки являются частью электрической цепи и состоят из обмоточного провода (медного или алюминиевого) и изоляционных деталей. К обмоткам также относят вводные концы обмоток, ответвления для регулирования напряжения и регулировочную обмотку, емкостные кольца и электростатические экраны емкостной защиты от перенапряжений. Обмотки состоят из последовательно соединенных катушек, которые могут наматываться непрерывно, т. е. без паек. Между катушками ставятся прокладки из электрокартона. Фазы обмоток одного напряжения соединяются между собой в звезду или треугольник. Рисунок 2.7. Магнитопровод с обмотками силового трансформатора В трансформаторах с масляным охлаждением магнитопровод с обмотками помещают в бак с трансформаторным маслом (рис. 2.8). Омывая обмотки и магнитопровод, трансформаторное масло отбирает от них тепло и, обладая большей теплопроводностью, чем воздух, через стенки радиатора отдает ее в окружающую среду. Существуют также сухие трансформаторы. Вводы предназначены для присоединения к сборным шинам распределительных устройств станций и подстанций. Ввод состоит из токопроводящей части, металлического фланца, служащего для крепления на крышке бака, и фарфорового изолятора. Для компенсации температурных изменений применяется расширитель, помещенный в верхней части бака трансформатора или отдельным выносным баком (рис. 2.8). Рисунок 2.8. Общий вид силового трансформатора Принцип действия трансформатора основан на явлении электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки к источнику переменного тока c напряжением u1 в витках этой обмотки протекает переменный ток i1, который создает в магнитопроводе переменный магнитный поток Ф. Замыкаясь на магнитопроводе, этот поток сцепляется с обеими обмотками (первичной и вторичной) и индуктирует в них ЭДС: 31 d , dt (2.33) d e2   w2 , dt где w1 и w2 – число витков в первичной и вторичной обмотках трансформатора. При подключении нагрузки к выводам вторичной обмотки трансформатора под действием ЭДС е2 в цепи этой обмотки создается ток i2, а на выводах вторичной обмотки устанавливается напряжение u2. Из (2.33) следует, что ЭДС е1 и е2 отличаются друг от друга числом витков обмоток, в которых они наводятся. Поэтому, применяя обмотки с требуемым соотношением витков, можно изготовить трансформатор на любое отношение напряжений. Обмотку трансформатора, подключенную к сети с более высоким напряжением, называют обмоткой высшего напряжения (ВН); обмотку, присоединенную к сети меньшего напряжения, – обмоткой низшего напряжения (НH). Трансформаторы обладают свойством обратимости; один и тот же трансформатор можно использовать в качестве повышающего и понижающего. Но обычно трансформатор имеет определенное назначение: либо он является повышающим, либо понижающим. Трансформатор – это аппарат переменного тока. Если же его первичную обмотку подключить к источнику постоянного тока, то магнитный поток и магнитопроводе трансформатора также будет постоянным как по величине, так и по направлению (dΦ/dt = 0). Поэтому и в обмотках трансформатора не будет наводиться ЭДС. e1   w1 2.2.2. Электрические и магнитные свойства и параметры силового трансформатора Основными электрическими элементами силового трансформатора являются обмотки, имеющие электрическое сопротивление. Ток, протекая по этим обмоткам, вызывает их нагрев. Потоки рассеивания обмоток обусловливают собственные индуктивности обмоток. Следовательно, в обмотках трансформатора, по которым протекают токи, имеются активные и индуктивные сопротивления. Процесс намагничивания активной стали магнитопровода характеризуется кривой намагничивания B = f(H). Эта зависимость является нелинейной: на кривой имеется участок, после которого дальнейший рост напряженности магнитного поля практически не приводит к увеличению индукции в стали. Эта зона характеризует насыщение электротехнической стали. Отношение индукции к напряженности поля в любой точке кривой намагничивания называют магнитной проницаемостью (µ), которая характеризует способность материала к намагничиванию. Зависимость магнитной проницаемости электротехнической стали от индукции является также нелинейной. Вследствие непрерывного изменения величины и направления намагничивающего тока, протекающего в первичной обмотке трансформатора, в магнитопроводе создается переменный магнитный поток, изменение которого приводит к перемагничиванию электротехнической стали. Электрическая энергия, затраченная на перемагничивание, преобразуется в тепловую энергию, приводящую к нагреву магнитопровода трансформатора. Потери в активной части магнитопровода обусловливаются природой процессов намагничивания ферромагнитных материалов и состоят из трех частей: потерь на гистерезис (Рг), потерь на вихревые токи (Рв) и потерь на магнитное последействие (Pп) Потери на гистерезис при перемагничивании вызываются затратой энергии на перестройку границ доменов, и направления их самопроизвольной намагниченности в электротехнической стали зависят от ее микроструктуры и параметров внешнего магнитного поля. 32 Потери на вихревые токи вызываются затратой энергии на нагрев активной стали от вихревых токов, наводимых в ней переменным магнитным потоком. Вихревые токи циркулируют в листах в плоскостях, перпендикулярных направлению магнитного потока, т. е. в плоскостях поперечного сечения магнитопровода. Величина потерь на вихревые токи пропорциональна квадрату толщины и обратно пропорциональна удельному электрическому сопротивлению активного материала, поэтому для уменьшения потерь на вихревые токи магнитопровод набирается из тонких, изолированных друг от друга слоев, толщина которых в основном определяется толщиной электротехнической стали. Слои магнитопровода выполняются из отдельных пластин или лент. Измеренные потери в стали всегда больше, чем расчетная сумма потерь на гистерезис и на вихревые токи, за счет наличия потерь на магнитное последействие или, как их иногда называют, «дополнительных» потерь. Природа этих потерь в настоящее время недостаточно ясна, и они не поддаются аналитическому расчету. Увеличение общих потерь в стали магнитопровода может быть вызвано также за счет механических воздействий на нее при технологической обработке и несовершенства межлистовой изоляции. Кроме того, потоки рассеивания обмоток частично замыкаются через бак и другие стальные элементы трансформатора, что вызывает дополнительные потери на перемаг-ничивание и вихревые токи. Для снижения этих потерь стальные баки трансформатора экранируют пакетами электротехнической стали или пластинами из немагнитных материалов (меди, алюминия). Ток намагничивания и ток, вызывающий потери в стали трансформатора, также протекает по первичной обмотке. Вследствие нелинейности характеристики намагничивания ток намагничивания не является синусоидальным – зависимость тока намагничивания от времени является периодической функцией, но с несколько вытянутой по отношению к функции синуса формой кривой. Так как нагрузочный ток обычно в десятки раз больше тока намагничивания, то суммарный ток (намагничивания и нагрузочный) первичной обмотки является практически синусоидальным. В режимах работы трансформатора, близких к холостому ходу, следует считаться с несинусоидальностью тока трансформатора. Несинусоидальность тока трансформатора сильно увеличивается при возрастании тока намагничивания, что происходит при превышении напряжения, поданного на трансформатор. 2.2.3. Математические модели силового трансформатора Рассмотрим математические модели силовых трансформаторов, которые применяются в задачах, связанных с расчетом установившихся режимов схем электрических сетей. В таких моделях не учитываются емкостные связи между витками каждой из обмоток, между самими обмотками и обмотками и землей, а также распределенность электрических и магнитных параметров. Кроме того, ограничимся рассмотрением симметричных режимов нагрузки трансформаторов. Получим математическую модель однофазного двухобмоточного трансформатора. Вначале предположим, что трансформатор не имеет магнитопровода (воздушный трансформатор), тогда он может быть представлен схемой рис. 2.9, в которой активные сопротивления обмоток изображены отдельно. Полярности обмоток на схеме отмечены звездочками. i1 M R1 u1 Первичная обмотка R2 * * L1 L2 i2 u2 Вторичная обмотка 33 Рисунок 2.9. Схема трансформатора без магнитопровода При обходе контуров на схеме рис. 2.9 в соответствии с заданными направлениями по второму закону Кирхгофа получим уравнения трансформатора в дифференциальной форме: di di u1  R1i1  L1 1  M 2 , dt dt (2.34) di2 di u2  R2i2  L2 M 1. dt dt Так как направления токов на схеме ориентированы не одинаково по отношению к di di звездочкам, то полярность M 1 не совпадает с i2 и, наоборот, полярность M 2 не совпаdt dt дает с i1. При синусоидальных токах и напряжениях уравнения (2.34) в комплексной форме записываются следующим образом: U 1  R1 I 1  jL1 I 1  jM I 2 , (2.35) U 2  R2 I 2  jL2 I 2  jM I 1. Эти уравнения равносильны следующим: U 1  R1 I 1  j  L1  M  I 1  jM  I 1  I 2  , (2.36) U 2  R2 I 2  j  L2  M  I 2  jM  I 1  I 2  . Последним уравнениям соответствует схема замещения рис. 2.10. В отличие от рис. 2.9 в схеме замещения первичная и вторичная цепи трансформатора связаны не индуктивно, а гальванически. I1 R1 L1 – M R2 L2 – M I2 I1 – I2 U1 M U2 Рисунок 2.10. Схема замещения трансформатора без магнитопровода Входящие в схему рис. 2.10 разности L1 – M и L2 – M имеют физический смысл только при одинаковом числе витков первичной w1 и вторичной w2 обмоток (w1 = w2). В этом случае они представляют собой индуктивности рассеяния Ls1 и Ls2 первичной и вторичной обмоток трансформатора. В реальных трансформаторах для моделирования потерь в стали в схему замещения трансформатора вводят активную проводимость Gμ. Для моделирования эффекта намагничивания сердечника вводят реактивную проводимость Bμ. Если взять за основу математической модели трансформатора так называемый идеw альный трансформатор с коэффициентом трансформации n  1 , для которого относительw2 ная магнитная проницаемость равна бесконечности и ток намагничивания равен нулю, то добавлением к нему элементов, учитывающих основные паразитные эффекты, можно получить полную схему замещения трансформатора (рис 2.11). 34 R1 I1 X1 n R2 X2 I2 I U1 G U2 B Совершенный трансформатор Идеальный трансформатор Рисунок 2.11. Полная Т-образная схема замещения трансформатора Потери энергии в обмотках трансформатора при протекании по ним токов учитываются активными сопротивлениями R1 и R2, последовательно с ними включены индуктивности рассеяния, которые учитывают эффект запасания энергии и наведения напряжения в обмотках от потоков рассеяния. Этим индуктивностям соответствуют индуктивные сопротивления обмоток X1 и X2. Ток намагничивания обусловливает намагничивающую силу, которая создает поток взаимной индукции. Величина тока намагничивания Iµ пропорциональна напряжению первичной обмотки. Параллельно индуктивной проводимости намагничивания Bµ включают активную проводимость Gµ, учитывающую потери в сердечнике. Таким образом, идеальным трансформатором является трансформатор, для которого U I при любых условиях 1  2  n . U 2 I1 U1 Трансформатор, для которого при любой нагрузке  n , называется совершенным U2 трансформатором (рис. 2.11). Во многих случаях пользуются приведенной Т-образной схемой замещения трансформатора (рис 2.12). Получается она приведениям сопротивлений вторичной обмотки к напряжению первичной обмотки по соотношениям: I1 R1 X1 R'2 X'2 I'2 n I2 I U1 G B U'2 U2 Рисунок 2.12. Приведенная Т-образная схема замещения трансформатора На схеме рис. 2.12 отмечены ток и напряжение: 1 U 2  nU 2 , I 2  I 2 . (2.37) n 2.2.4. Г-образная и П-образная схемы замещения силового трансформатора Обычно для силовых трансформаторов более целесообразна так называемая Гобразная схема замещения, элементы которой имеют простой физический смысл и могут быть вычислены или измерены. Получается она следующим образом. Ветвь намагничивания переносится на зажимы первичной обмотки и оказывается включенной на напряжение U1. Это вносит погрешность в математическую модель, так как в действительности ток намагничивания (ток холостого хода) протекает по первичной обмотке. Обычно ток холостого хода силовых трансформаторов меньше одного процента от номинального тока трансформатора, и такое упрощение считается допустимым. Сопротивления 35 первичной обмотки оказываются последовательно включенными с приведенными сопротивлениями вторичной обмотки, и при их сложении получаются так называемые сопротивления трансформатора Rт и Xт (рис. 2.13): Rт  R1  R2 , X т  X1  X 2 . Xт Rт I1 I'2 n I2 I U1 G  U'2 B U2 Рисунок 2.13. Г-образная схема замещения трансформатора Полученная схема носит название Г-образной схемы замещения трансформатора и применяется для выполнения расчетов схем электрических сетей, где она еще больше упрощается посредством представления ветви холостого хода в виде постоянных величин потерь активной и реактивной мощности на холостой ход (рис 2.14). U1 Xт Rт I1 I'2 U'2 n I2 U2 Px + jQx Рисунок 2.14. Упрощенная Г-образная схема замещения трансформатора Все полученное выше для однофазных трансформаторов можно распространить на каждую фазу трехфазного трансформатора. Сопротивления и проводимости Г-образной схемы замещения трансформатора, приведенные к напряжению обмотки первичного напряжения, определяются по формулам: PU2 U U2 Rт  к 21ном ; X т  к 1ном ; 100Sном Sном (2.38) I х Sном Pх Qх Gμ  2 ; Bμ   2 . 2 U1ном 100U1ном U1ном Моделирование элементов схем электрических сетей при использовании специальных программ для расчета их режимов работы удобно выполнять по П-образным схемам замещения. Такую схему замещения можно получить и для трансформатора. Получим параметры П-образной схемы замещения (см. рис. 2.6) на основе Г-образной схемы замещения двухобмоточного понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации n> 1 (рис. 2.13). Найдем напряжение и ток первичной обмотки: I U 1  nU 2  U т  nU 2   Rт  jX т  2 , (2.39) n I I I 1  I   2  G  jB U 1  2 . (2.40) n n После подстановки (2.39) в (2.40) получим 1 I 1  n G  jB U 2   Rт  jX т  G  jB  1 I 2 . (2.41) n         36 Сопоставляя выражения (2.39) и (2.41) с уравнениями четырехполюсника U 1  AU 2  BI 2 , (2.42) I 1  CU 2  DI 2 и учитывая соотношения между коэффициентами четырехполюсника и параметрами Побразной схемы замещения [см. (2.22)]: A  1  ZY 2 , B  Z, (2.43) C  Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2 , D  1  ZY 1 , будем иметь: A  1  ZY 2  n, Zт , n (2.44) C  Y 1  Y 1 ZY 2  Y 2  nY  , BZ  1 1 Z тY  . n Из полученных соотношений можно найти параметры П-образной схемы замещения трансформатора: 1 Z , Zт D  1  ZY 1  Y1    1 (1  n)  Y  , (2.45) Zт n  n  1 . Zт П-образная схема замещения трансформатора в отличие от П-об-разной схемы замещения ЛЭП является несимметричной, т. е. Y1 ≠ Y2. Y2  2.2.5. Построение внешней характеристики трансформатора Внешней характеристикой трансформатора называют зависимость изменения вторичного напряжения U2 от тока нагрузки I2 при постоянном коэффициенте мощности приемника cos φ = const и номинальном первичном напряжении U1 = Uном. Сопоставляя внешние характеристики, полученные для различных математических моделей трансформатора, с экспериментально найденной характеристикой трансформатора, можно оценить величину погрешности различных моделей и определить, таким образом, область их использования. Построим внешнюю характеристику силового трансформатора по его математической модели при изменении тока вторичной обмотки от нуля до Iном для трех различных коэффициентов мощности: 0,8; 0,9 и 1,0. Внешнюю характеристику U2 = f(I2) построим по уравнению U 1  AU 2  3 BI 2 . (2.46) Примем U1 = U1 = const (совместим с вещественной осью), тогда векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора будет иметь вид, как на рис. 2.15. 37 U1 U2 I2 Рисунок 2.15. Векторная диаграмма токов и напряжений 1 Выразим из (2.46) напряжение U2: U  3 BI 2 U2  1 . (2.47) A Здесь ток I2 имеет угол сдвига относительно вещественной оси –(δ + φ), а напряжение вторичной обмотки представлено в комплексном виде: |U2| и δ, где δ входит в левую часть уравнения: U2 = U2e–jδ и в правую: I2 = I2e–j(φ + δ). Чтобы получить зависимость величины (модуля) U2 от величины (модуля) I2, необходимо перейти к уравнениям с вещественными переменными. Для удобства примем совмещенным с действительной осью вектор U2, тогда векторная диаграмма токов и напряжений примет вид, показанный на рис. 2.16. Рисунок 2.16. Векторная диаграмма токов и напряжений 2 Тогда напряжение U2: U2  U 1  3 BI 2 , (2.48) A гдеU1 = U1ejδ; I2 = I2e–jφ. Разделим уравнение (2.48) на два уравнения с вещественными переменными. С учетом A = A = n и B = B' + jB'' будем иметь систему уравнений: 1 U 2  U1  3  BI 2  BI 2   , A (2.49) 1 0  U1  3  BI 2  BI 2   . A Так как I 2  I 2 cos  , I 2  I 2 sin  и U1  U12  U12 , то получаем систему уравнений 1 U1  3  BI 2 cos   BI 2 sin    , A 1 0  U1  3  BI 2 cos   BI 2 sin    , (2.50) A U12  U12  U12 с неизвестными U2, U1′ и U1′′. Изменяя ток I2 в пределах от нуля до I2ном, будем искать решение системы уравнений (2.50) для каждого значения I2 и строить зависимость U2 = f(I2). U2  38 2.3. Электрическая нагрузка 2.3.1. Статические характеристики электрической нагрузки Процесс потребления электрической энергии отождествляется с понятием электрической нагрузки, которая характеризуется мощностью и энергией. Нагрузкой может быть один электроприемник, группа однотипных электроприемников или совокупность различных электроприемников – смешанная нагрузка. К основным электроприемникам в электрической системе относятся:  асинхронные двигатели,  синхронные двигатели,  лампы накаливания,  люминесцентные лампы,  печи сопротивления,  дуговые печи. Существует также большое число устройств и бытовых приборов, в которых сочетаются различные по типу электроприемники. В задачах анализа установившихся режимов электрических систем необходима величина активной и реактивной мощности нагрузки. Физическая природа потребления энергии электрической нагрузкой такова, что ее активная и реактивная мощности зависят от подведенного напряжения и частоты в электрической системе. Такие зависимости носят название статических характеристик нагрузок по частоте и по напряжению. Разные типы электрических нагрузок имеют различные статические характеристики. В совокупности различных типов электроприемников рассматриваются статические характеристики смешанной нагрузки. Статические характеристики используются при регулировании частоты и напряжения в ЭЭС. В общем они записываются как P  ( f , U ), Q  ( f , U ) . Здесь мы будем рассматривать зависимости мощности нагрузки только от напряжения – статические характеристики нагрузки по напряжению P(U ) и Q(U ) . При этом будем считать частоту в ЭЭС неизменной величиной. По статическим характеристикам, построенным в относительных номинальных единицах, могут быть определены регулирующие эффекты P Q , нагрузки – как производные в какой-либо рабочей точке характеристики, например U U при U = Uном. Регулирующий эффект показывает степень снижения активной и реактивной нагрузки при изменении напряжения. Чем больше регулирующий эффект, тем сильнее изменяется мощность, потребляемая нагрузкой при изменении напряжения или частоты. Для различных электроприемников и их сочетаний статические характеристики получаются разными и зависящими от их рабочих режимов. Практически приходится пользоваться статическими характеристиками, полученными экспериментально. В некоторых случаях их удается получить расчетным путем. Статические характеристики изображают в координатах относительных величин – активной и реактивной мощности от частоты и напряжения (рис. 2.17). 39 2,0 1,8 1,6 P ,Q * * 1,4 Q* 1,2 1,0 P* 0,8 0,6 0,4 0,7 0,8 0,9 1,0 U 1,1 1,2 * Рисунок 2.17. Средние статические нагрузки по напряжению для смешанной нагрузки На рис. 2.17 относительная величина напряжения U* = U / Uном, а относительные мощности определяются по отношению к номинальной или какой либо выбранной величине мощности нагрузки: P* = P / Pном, Q* = Q / Qном. Следует отметить, что в ЭЭС и конкретно у потребителей устанавливаются специальные автоматические регулирующие устройства, которые компенсируют изменение напряжения на электроприемниках, что в значительной мере снижает регулирующие эффекты нагрузки. В простейшем случае это стабилизаторы напряжения, а в высоковольтных сетях – мощные регулируемые компенсирующие устройства реактивной мощности и регуляторы напряжения силовых трансформаторов. Рассмотрим статические характеристики отдельных видов нагрузки. Асинхронные двигатели Принцип действия асинхронного двигателя основан на явлении электромагнитной индукции. В неподвижную трехфазную обмотку статора асинхронного двигателя подается переменный ток, который формирует в статоре вращающееся магнитное поле. Это поле пересекает проводники замкнутой обмотки ротора и наводит в них ЭДС, под действием которых по обмотке ротора будет протекать ток. Взаимодействие этого тока с полем статора создает на проводниках обмотки ротора электромагнитные силы – вращающий момент, направление которого определяется по правилу «левой руки». Эти силы увлекают ротор в сторону вращения магнитного потока. Скорость вращения ротора всегда меньше скорости вращения магнитного поля статора. Если предположить, что в какой-то момент времени частота вращения ротора оказалась равной частоте вращения поля статора, то проводники обмотки ротора не будут пересекать магнитное поле статора и тока в роторе не будет. В этом случае вращающий момент станет равным нулю, и частота вращения ротора уменьшится по сравнению с частотой вращения поля статора, пока не возникнет вращающий момент, уравновешивающий момент нагрузки на валу двигателя и момент сил трения в подшипниках. Асинхронные двигатели имеют различные статические характеристики. Активная мощность двигателей в значительной мере зависит от характеристик машин, приводимых во вращение двигателями. Реактивная мощность имеет разную зависимость от напряжения, обусловленную номинальной мощностью двигателя. Маломощные двигатели имеют более крутые характеристики по сравнению с мощными двигателями. 40 Реактивная мощность, потребляемая асинхронными двигателями, складывается из намагничивающей мощности, связанной с намагничивающим током, и мощности рассеяния, связанной с созданием полей рассеяния в статоре и роторе. При снижении напряжения реактивная мощность рассеяния растет, а намагничивающая мощность снижается. Суммарная мощность вначале снижается, а затем вновь начинает расти. При определенном напряжении, называемом критическим, дви-гатель останавливается и его дальнейшая работа становиться невозможной. Синхронные двигатели Вращающееся магнитное поле статора синхронной машины увлекает за собой ротор, который является электромагнитом-индуктором. Разноименные полюса магнитного поля статора и ротора притягиваются, и ротор вращается с постоянной скоростью. Для того чтобы ротор стал электромагнитом, на него подается постоянный ток – ток возбуждения. Этот ток при вращении ротора вызывает магнитное поле в статоре – реакцию якоря. В зависимости от величины тока возбуждения синхронный двигатель может работать в режиме перевозбуждения или недовозбуждения. Режим перевозбуждения – это нормальный режим работы двигателя. Мощные синхронные двигатели изготавливают с номинальным коэффициентом мощности 0,9 и 0,8 при работе с перевозбуждением. В режиме перевозбуждения синхронный двигатель выдает реактивную мощность, т. е. имеет емкостный характер реактивной мощности по отношению к сети. При недовозбуждении синхронный двигатель имеет реактивную мощность индуктивного характера, но вследствие ограничений по устойчивости работы и перегреву лобовых частей машины максимально возможная потребляемая реактивная мощность не превышает 30 % от номинальной реактивной мощности при перевозбуждении. Синхронные двигатели используются как источники реактивной мощности в ЭЭС и применяются для регулирования напряжения. Ток возбуждения синхронных машин изменяется в соответствии с законом регулирования напряжения в сети, поэтому статические характеристики синхронного двигателя по реактивной мощности зависят от закона регулирования напряжения в узле нагрузки, к которому он присоединен. В целом синхронные двигатели имеют положительный регулирующий эффект как по активной, так и по реактивной мощности. Осветительная нагрузка Установки электрического освещения с лампами накаливания, люминесцентными, дуговыми ртутными, натриевыми, ксеноновыми применяются на всех предприятиях для внутреннего и наружного освещения, для бытовых потребителей, нужд городского освещения и т. д. Лампы накаливания излучают свет за счет свечения нити накаливания при большой температуре. При этом значительная часть потребляемой лампами накаливания энергии тратится на превращение в тепловую энергию. Если считать сопротивление R нити накаливания неизменным, а индуктивным сопротивлением пренебречь, то активная мощность лампы будет пропорциональна квадрату подведенного напряжения: U2 P (U )  . (2.51) R Однако с изменением тока, протекающего по нити накаливания, ее температура и сопротивление меняются: с увеличением тока растет температура и увеличивается сопротивление нити и, наоборот, при снижении напряжения нить остывает и сопротивление снижается. Экспериментально установлено, что потребляемая лампами накаливания мощность пропорциональна напряжению в степени 1,5…1,6. Реактивная мощность лампами накаливания практически не потреб-ляется. Люминесцентные лампы менее чувствительны к отклонениям напряжения. При повышении напряжения потребляемая мощность и световой поток увеличиваются, а при снижении – уменьшаются, но не в такой степени, как у ламп накаливания. Однако при снижении 41 напряжения на люминесцентных лампах до величины 0,9Uном они начинают мерцать, а при величине напряжения 0,8Uном просто не загораются. Регулирующий эффект люминесцентных ламп по схеме с расщепленной фазой равен примерно 1,9 для активной мощности, а для реактивной мощности может быть оценен величиной 1,5. Печи сопротивления Они имеют характеристики, схожие с характеристиками ламп накаливания. Дуговые печи Дуговые печи представляют собой сложную и тяжелую нагрузку для энергосети – это крупный несимметричный и в высокой степени нестабильный потребитель по реактивной мощности. Флуктуации реактивной мощности, особенно выраженные на стадии расплава, приводят к падениям напряжения, уменьшающим активную мощность, поступающую к электропечи и другим электрическим нагрузкам, подсоединенным к тем же шинам распределительного устройства. Активная мощность, потребляемая печью, меняется пропорционально квадрату напряжения. Компенсирующие устройства Устройства типаиндуктивности и емкости имеют квадратичные зависимости реактивной мощности от напряжения (если их реактивные сопротивления постоянны). Емкостная нагрузка имеет отрицательный регулирующий эффект. Большинство компенсирующих устройств в настоящее время выпускаются с регулирующими устройствами, т. е. при изменении напряжения на шинах, где подключены компенсирующие устройства, последние изменяют свою мощность в соответствии с законом регулирования. Чаще всего компенсирующие устройства стабилизируют напряжение, т. е. поддерживают его на заданном уровне, что эквивалентно положительному регулирующему эффекту. 2.3.2. Моделирование электрических нагрузок Статические характеристики для каждого типа электрической нагрузки и их совокупностей могут быть получены экспериментально. Однако в каждом конкретном случае это затруднительно и чаще всего пользуются так называемыми типовыми характеристиками. Так, например, можно выделить статические характеристики асинхронных двигателей малой, средней и большой мощности или статические характеристики определенного состава смешанной нагрузки. Полученные по таким нагрузкам статические характеристики обобщаются и представляются в виде математических моделей. В общем случае статические характеристики нагрузки по напряжению могут быть представлены в виде   U 2   U  P (U )  P0 P* (U )  P0  aP    bP    cP  ;   U ном    U ном    (2.52)   U 2   U  Q(U )  Q0Q* (U )  Q0  aQ    bQ    cQ  . U   U ном    ном    где P0 и Q0 – активная и реактивная мощности нагрузки при номинальном напряжении; P*(U) и Q*(U) – статические характеристики нагрузок в относительных единицах; Uном – номинальное напряжение нагрузки или сети; aP, aQ, bP, bQ, cP и cQ – коэффициенты (параметры) моделей, полученные в результате обработки экспериментальных данных. Средние статические характеристики примерно соответствуют следующему составу нагрузки, %: Крупные асинхронные двигатели ........................ 15 Мелкие асинхронные двигатели .......................... 35 42 Крупные синхронные двигатели .......................... 9 Печи и ртутные выпрямители .............................. 11 Освещение и бытовая нагрузка ............................ 22 Потери в сетях ........................................................ 8 Обычно принимается aP = 0, т. е. линейная зависимость активной нагрузки от напряжения. Коэффициенты bP и cP в зависимости от характеристики узла нагрузки приведены в табл. 2.4. Т а б л и ц а 2.4 Значения коэффициентов bP и cP Статические характеристики Характер нагрузки пологие средние крутые bP cP bP cP bP cP Преобладают крупные про0,3 0,7 0,6 0,4 0,9 0,1 мышленные предприятия В среднем – 0,4 0,6 0,9 0,1 1,4 0,4 Крупных промышленных – – 0,9 0,1 1,2 1,5 предприятий нет 0,2 0,5 Коэффициенты aQ, bQ и cQ в зависимости от коэффициента мощности приведены в табл. 2.5. Т а б л и ц а 2.5 Коэффициент мощности 0,83…0,87 0,88…0,90 0,91…0,93 Значения коэффициентов aQ,bQ и cQ Статические характеристики пологие средние крутые aQ bQ cQ aQ bQ cQ aQ bQ – 6, – 10 –18 9 9,6 10 15,3 7 14,4 11, – 10, 11, – 8, 11, – 9 21,8 9 4 18,5 1 9 17,4 14, – 13, 13, – 9, 14, –21 1 26,2 1 5 22,2 7 1 cQ 5,4 6,5 7,9 Моделирование электрических нагрузок статическими характеристиками по напряжению в расчетах установившихся режимов считается наиболее точным способом учета потребляемой мощности нагрузки. Однако для получения действительных статических характеристик требуются экспериментальные исследования, а для подбора типовых статических характеристик должен быть известен состав нагрузки, который может сильно изменяться во времени. Кроме того, в этом случае в расчетах непременно следует учитывать действие регуляторов напряжения, что значительно усложняет подготовку данных и требует знания законов регулирования. Поэтому в большинстве случаев пользуются самой простой моделью нагрузки – постоянными значениями активной и реактивной мощности: P = const, Q = const. В некоторых задачах, в которых выполняются расчеты установившихся режимов, токов короткого замыкания в электрической сети или расчеты устойчивости ЭЭС, нагрузки принято представлять схемами замещения. Такое представление является точным в том слу43 чае, если для нагрузки известны ее статические характеристики и величина подведенного напряжения. В других случаях такие модели являются приближенными. Рассмотрим электрическую цепь, в которой имеется нагрузка, представленная в виде сопротивления Zн. Это сопротивление в общем случае является переменной величиной – получается нелинейная электрическая цепь. Даже если считать мощность, потребляемую нагрузкой, постоянной, сопротивление будет меняться в зависимости от напряжения по формуле U2 (2.53) Z н  *н . Sн Кроме того, мощность также зависит от напряжения по статической характеристике и поэтому U н2 . (2.54) Zн  Pн (U н )  jQн (U н ) Нагрузка может быть представлена в виде двух схем замещения: с последовательным и параллельным соединением элементов (рис. 2.18). Rн Uн Uн Gн Bн Xн а б Рисунок 2.18. Схемы замещения нагрузки При последовательном соединении: U н2 U н2 (2.55) Zн  *   cos   j sin    Rн  jX н , S н Sн а при параллельном: S *н Sн (2.56)  cos   j sin    Gн  jBн . U н2 При постоянной величине заданного сопротивления или проводимости моделирование с помощью выражений (2.55) и (2.56) дает характеристики: S2 S2 Pн (U н )  н2 Rн , Qн (U н )  н2 X н , Uн Uн Yн  U н2  Pн (U н )  U н2Gн , Qн (U н )  U н2 Bн . (2.57) Моделирование постоянным сопротивлением дает обратную квад-ратичную зависимость от напряжения, а постоянной проводимостью – зависимость пропорционально квадрату напряжения. Вторая модель хорошо согласуется с моделью статической характеристики реактивной мощности нагрузки (2.52), поэтому для реактивной мощности вполне приемлема. Для активной мощности можно, например, воспользоваться линейной моделью, тогда будем иметь: Pн (U н )  U нU номGн , Qн (U н )  U н2 Bн , (2.58) где Gн и Bн вычислены при номинальном напряжении нагрузки. На рис. 2.19 представлены действительные статические характеристики нагрузки (сплошные линии) и характеристики, полученные по моделям (2.58) – пунктирные линии. 44 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 Рисунок 2.19. Действительные статические характеристики нагрузки и зависимости мощностей от напряжения при моделировании нагрузки схемой замещения Иногда в качестве данных по нагрузке бывают известны измеренные токи нагрузки. Принимая какое-либо значение коэффициента мощности нагрузки, ее можно моделировать постоянными значениями токов Iн: Pн (U н )  3  U н I н cos ; (2.59) Qн (U н )  3  U н I н sin , что дает линейные статические характеристики как активной, так и реактивной мощности. Такие модели нагрузки используются в низковольтных сетях и сетях среднего напряжения. Все математические модели электрических нагрузок, рассмотренные выше, сведены в табл. 2.6. Т а б л и ц а 2.6 Математические модели электрических нагрузок Математические Мощность нагрузки Примечания модели Статические Получаются по характериданным эксперистики на- P  (U ), Q   (U ) мента или подбон н н н грузки ром типовых харакпо напряжетеристик нию Постоянные значения Pн  const, Qн  const мощности нагрузки Схема заме- P  U 2G или P  U U G , S н н н н н ном н Y н  2н0  cos   j sin  щения: U ном Qн  U н2 Bн Yн = Gн – jBн = 45 = const S2 Схема замеPн (U н )  н02 Rн , U2 щения: Uн Z н  ном  cos   j sin  Zн = Rн + jXн Sн0 2 Sн0 = Qн (U н )  2 X н = const Uн Постоянное значение тоSн0 Pн  3 Uн Iн cos , Iн  ка нагрузки: 3U ном Qн  3 U н Iн sin  Iн = const (φ = const) П р и м е ч а н и е . Во всех формулах Sн0 – полная мощность нагрузки, которая может быть принята равной номинальной или максимальной мощности, а также мощности некоторого исходного или начального режима работы электроприемника или потребителя. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Вопросы для самопроверки Назовите основные электрические и магнитные свойства ЛЭП. Поясните физический смысл параметров ВЛ. Какие уравнения называются уравнениями длинной линии? Как можно вычислить напряжение и ток в произвольной точке на линии? Как получаются уравнения идеальной линии? Какие линии называются волновыми (полуволновыми)? Как найти параметры П-образной схемы замещения линии? В каких случаях можно пользоваться упрощенными моделями ВЛ? Поясните физический смысл параметров схемы замещения трансформатора. Запишите уравнения трансформатора в дифференциальной форме записи. Какой трансформатор называется идеальным и совершенным? Нарисуйте Г-образную схему замещения трансформатора. Как определяются параметры П-образной схемы замещения трансформатора? Как построить внешнюю характеристику трансформатора? Что такое статические характеристики нагрузки? Что такое регулирующий эффект нагрузки? Какие существуют основные виды электрических нагрузок? Какие нагрузки не потребляют реактивной мощности? Какой регулирующий эффект имеют печи сопротивления и лампы накалива- ния? 20. Как изменяется регулирующий эффект по реактивной мощности асинхронного двигателя при снижении напряжения? 21. Какие математические модели используются для моделирования электрической нагрузки в установившихся режимах? 22. Что такое типовые статические характеристики? 23. Какие схемы замещения используются для моделирования нагрузки? 46 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 3.1. Основы теории графов Графы широко используются в различных областях науки и техники для моделирования отношений между объектами. На макроуровне графы применяются для графического изображения топологических уравнений. Считается, что теория графов зародилась в XVIII столетии в г. Кенигсберге (ныне г. Калининград), жители которого пытались решить задачу о переходе мостов города (река Прегель) по такому маршруту, в котором бы были пройдены все мосты, но каждый мост был пройден только один раз (рис. 3.1, а). Эту задачу удалось решить Эйлеру. Он показал, каким условиям должен удовлетворять граф, полученный по схеме мостов, (рис. 3.1, б), чтобы такая задача имела решение. 2 4 1 3 а б Рисунок 3.1. Схема мостов (а) и граф маршрутов (б) Графом называется совокупность вершин (узлов) и связанных с ними ребер (ветвей). Граф можно задать в виде G = , где V – множество вершин; E– отношение на V(EVV) – множество ребер. На рис. 3.2, а показан граф G, в котором множество ребер E есть {a,b, c,d,e,f,g}, а множество вершин V = {1, 2, 3, 4, 5}. Подграфом называют такую часть графа, которая включает в себя некоторые вершины и ребра графа, причем среди ребер могут быть только те, которые связывают вершины подграфа. На рис. 3.2, б показан подграф G' графа G. 1 a 2 c a 1 2 c d d b 3 e 4 3 f g а 5 б Рисунок 3.2. Граф G (а) и его подграф G' (б) Направленный (ориентированный) граф имеет ребра, на которых указаны направления. Ребра направленного графа называют дугами. На рис. 3.3, а показан ориентированный граф. 47 4 a c b 3 4 1 d 2 e а a 1 d c 3 e 2 b б Рисунок 3.3. Ориентированный граф (а), сечения дерева графа (б) Степенью вершины Vi графа называют число ребер, инцидентных этой вершине. Термин «инцидентность» означает отношение объектов типа «проходят через…», «соединены с…». Две вершины называют смежными, если они соединены ребром. Например, на рис. 3.3, а вершина 4 смежна с вершиной 2, так как они соединены посредством ребра с. Граничные вершины ребра – вершины, инцидентные этому ребру. Кратные ребра – ребра с одинаковыми граничными вершинами. Маршрутом (путем) S называют любую последовательность ребер, в которой соседние ребра инцидентны одной и той же вершине. В графе на рис. 3.2, а последовательности (a,d,e,g) и (b,g) – маршруты, а последовательность (d, g) маршрутом не является, так как ребра d и g инцидентны разным вершинам. Если в маршруте нет повторяющихся ребер, то он называется цепью. Если цепь начинается и кончается в одной и той же вершине, то она называется циклом-контуром. Количество ребер в S называют длиной маршрута. Если каждому ребру графа приписано какое-то число (вес), то граф называют взвешенным. Связным называют граф, в котором можно указать маршрут, связывающий любые вершины. В задаче о кенигсбергских мостах (см. рис. 3.1) Эйлер показал, что такой граф не представляет собой единого цикла; иными словами, с какой бы вершины мы ни начали обход, мы не сможем обойти весь граф и вернуться обратно, не проходя никакого ребра дважды. Если бы такой цикл существовал, то, выйдя из начальной вершины, нужно было туда вернуться, а для всех промежуточных вершин нужно в них войти и выйти – степени всех вершин должны быть четными числами. Это условие не выполняется для кенигсбергских мостов. Если на графе можно найти цикл, содержащий все его ребра, причем каждое ребро в точности по одному разу, то такой цикл называется эйлеровой линией, а граф, обладающий эйлеровой линией, – эйлеровым графом. Если необходимо найти путь S в связанном графе, содержащий все его ребра по одному разу, в котором начальная и конечная вершины не совпадают, необходимо и достаточно, чтобы начальная и конечная вершины были единственными вершинами с нечетными степенями. Деревом связного графа называют наименьший связный подграф данного графа. Ветвями дерева называют ребра графа, вошедшие в дерево, а хордами – ребра графа, не вошедшие в дерево. Для одного и того же графа в общем случае можно указать несколько деревьев. Контуром k-й хорды называют множество ребер, образующих цикл в графе, который получается при добавлении k-й хорды к дереву. Сечением ветви дерева называют множество ребер, пересекаемых линией сечения, если: а) среди ветвей дерева пересекается единственная; 48 б) линия сечения замкнутая и любое ребро может пересекаться не более одного раза. Для графа, показанного на рис. 3.3, б, сечения ветвей его дерева записываются: a – (a,e); b – (b,d,e); c – (c,d,e). Графы можно представить с помощью различных матриц, что является удобным при использовании алгебраических методов решения многих задач теории графов. Наиболее важными матричными представлениями являются матрицы инциденций (соединений) и смежности. Первая матрица инциденций M для неориентированного графа представляет собой матрицу, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – ребрам. Элемент матрицы равен единице, если вершина инцидентна ребру. В противном случае элемент матрицы принимает значение ноль. Для ориентированного графа элемент матрицы инциденций M равен +1, если вершина, инцидентная дуге, является начальной вершиной дуги (т. е. дуга исходит из этой вершины). Элемент равен –1, когда дуга входит в вершину. Если вершина не инцидентна дуге, то элемент матрицы равен 0. Так, для графа на рис. 3.3, а матрица M имеет следующий вид: a b c d e 1  1 0 0 1 0  2  0 0 1 1 1 (3.1) M . 3  0 1 0 0 1    4 1 1 1 0 0  В каждом столбце матрицы M находится две единицы – одна положительная, а другая отрицательная, так как каждое ребро инцидентно только двум вершинам. В каждой строке имеется столько единиц, сколько ребер инцидентно соответствующей вершине. Вторая матрица инциденций N устанавливает соответствие между ребрами графа и независимыми контурами графа. В зависимости от выбранной системы независимых контуров – дерева графа можно составить разные матрицы N. Число независимых контуров обозначают через k. Каждой строке матрицы N ставят в соответствие контур, таким образом, число строк в матрице N равно числу независимых контуров k; каждому столбцу матрицы N ставят в соответствие ребро, и число столбцов матрицы N равно числу ребер – m. Матрица N составляется по следующим правилам. Независимые контуры нумеруют от 1до k; выбирают направления обхода контуров; начиная с первого выполняют обход контуров в соответствии с выбранными направлениями; проверяют, совпадает ли направление очередного ребра с направлением обхода контура: если да, то в соответствующем столбце матрицы N ставится +1, в противном случае –1; для ребер, не вошедших в рассматриваемый контур, в соответствующие столбцы проставляют нули. Так, если в качестве дерева графа на рис. 3.3, а взять подграф с ребрами (a, b,c), то при добавлении хорды d образуется контур (a, d, c), а при добавлении хорды e – контур (c, e, b). Для такой системы независимых контуров матрица N имеет вид: a b c d e 1  1 0 1 1 0  . (3.2) N   2  0 1 1 0 1 Матрица смежности A является квадратной матрицей и для невзвешенного графа состоит из нулей и единиц: Ai,j = 1, если (i,j)E, и Ai,j = 0 в противном случае. Для взвешенного графа Ai,j равно весу соответствующего ребра, а отсутствие ребра в ряде задач удобно обозначать бесконечностью. Если граф ориентированный, то для каждого ребра ставится Ai,j = 1, если направление от i к j, а Aj,i= – 1 и наоборот. Для неориентированных графов матрица смежности всегда симметрична относительно главной диагонали. Для графа на рис 2.14, а матрица A имеет следующий вид: 49  0 1 0 1    1 0 1 1 A . (3.3)  0 1 0 1    1 1 1 0 С помощью матриц M и A легко проверить, существует ли в графе ребро, соединяющее вершину i с вершиной j. Основной недостаток этих матриц заключается в том, что они требуют, чтобы объем памяти был достаточен для хранения соответственно nm и n2 значений. Этого недостатка лишены такие способы хранения графа, как одномерный массив длины n списков или множеств вершин. В таком массиве каждый элемент соответствует одной из вершин и содержит список или множество вершин, смежных с ней. Для реализации некоторых алгоритмов более удобным является описание графа перечислением его ребер. В этом случае его можно хранить в двумерном массиве из двух строк и длиной m, каждый столбец которого содержит номер начальной вершины и номер конечной вершины графа. При работе с графами на компьютере удобно вершины графа сопоставлять с числами от 1 до n, где n = |V| – количество вершин графа, и рассматривать V = {1, 2, … n}. Ребра нумеруют числами от 1 до m, где m = |E|. В дальнейшем ребра будем именовать не буквами, а цифрами. 3.2. Применение теории графов для моделирования электрических сетей Электрические сети современных ЭЭС насчитывают сотни и даже тысячи ЛЭП и трансформаторов. Расчеты режимов сложных схем электрических сетей требуют специальных моделей представления схем и компактной записи уравнений. Такими моделями являются графы и матрицы. Линии, трансформаторы и другие элементы электрической сети представляются в расчетах своими схемами замещения, состоящими из ветвей с сопротивлениями и проводимостями. Все шины электрических станций и подстанций являются узловыми точками сети. Количество этих узловых точек или узлов схемы сети обозначим буквой n, а количество ветвей, соединяющих эти шины, m. Если сеть не содержит замкнутых контуров, то количество узлов и ветвей различается на 1: n = m + 1. При наличии контуров n = m + 1 – k, где k – количество независимых контуров. Графы являются топологическими моделями схем электрических цепей. По сути, изображение электрической схемы в виде графа повторяет графическое изображение схемы, но без элементов, из которых состоит электрическая цепь. Узлы (вершины графа) соединяются непрерывными линиями (ребрами), на которых при необходимости указывается положительное направление тока или потока мощности. Элементами ЭЭС, которые моделируются ребрами графа, являются ЛЭП, трансформаторы, реакторы, батареи конденсаторов и др. Как правило, все они представляются Побразными схемами замещения и поэтому имеют элемент связи между двумя граничными узлами – продольная ветвь, и элементы, связывающие узлы с нейтральной точкой системы N, – поперечные ветви (рис. 3.4). Z i Y1 j j i Y2 N а N б 50 Рисунок 3.4. П-образная схема замещения (а) и ее граф (б) Для ЛЭП: Z  Z C sh(  0l ) ,  l 1 th  0  . ZC sh(  0l ) Z C  2   g  jb0  l Обычно Z = (r0 + jx0)l и Y 1  Y 2  0 . 2 Для трансформатора: Z Z т, kт Y1  Y 2  Y1  ch(  0l )  1 (3.4) (3.5)  1 1  k т   Y  , Zт (3.6) kт  k т  1 Zт при kт> 1. Если kт = 1, то из (3.6) получается Г-образная схема замещения трансформатора. Для реакторов и батарей конденсаторов, включенных в виде продольных элементов сети, параметры схемы замещения: Z = jXр и Z = jXc. Y1 = Y2 = 0 (Y1 или Y2 может быть отлично от нуля и моделировать потери активной мощности в реакторе или батарее конденсаторов). В случае их включения в виде поперечных ветвей: Z = 0, а Y1 и Y2 представляются од1 1 ной поперечной ветвью – Y шунта: Y   j иY j . Аналогично могут представлятьXр Xс Y2  ся своими схемами замещения электрические нагрузки . Рассмотрим пример схемы электрической сети, состоящей изЛЭП и трансформатора (рис. 3.5, а). Ее схема замещения есть две соединенные между собой П-образные схемы замещения – ЛЭП и трансформатора, а граф будет состоять из двух графов П-образных схем (рис. 3.5, б). 1 2 Т 3 1 3 2 ЛЭП а N б Рисунок 3.5. Схема простой электрической сети (а) и ее граф (б) Для более сложных схем, например, схемы на рис. 3.6, а, удобно ввести в рассмотрение нейтральную плоскость в сети и рассматривать узлы графа сети «висящими» над нейтральной плоскостью N и соединенными с ней поперечными ветвями (рис. 3.6, б). Так как в общем случае каждая вершина графа инцидентна хотя бы одному ребру, связанному с вершиной (плоскостью) N, то при изображении графа эти ребра не изображаются (рис. 3.7). Для моделирования топологии схем электрических сетей используют матричные модели, отражающие свойства графов. Это матрицы инциденций и смежности. В практических расчетах более удобной является компактная форма записи, например в виде перечисления ребер графа. Так, для графа рис. 3.7 массив имен ребер L может быть записан в следующем виде: 51 1 2 3 1 1 7 4 5 6 7 L (3.7) . 2 3 4 5 6 4 8 6 7 8 В первой строке массива L указывается номер (имя) начального узла, а во второй того же столбца – номер (имя) конечного узла. Пара номеров узлов в столбце образует имя ветви, например, для ветви b это 2 – 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 а 1 2 3 6 5 4 7 8 N б Рисунок 3.6. Схема электрической сети из восьми узлов и десяти ветвей (а) и ее граф (б) a 1 d 5 b 2 с 3 e f h i 6 4 g j 7 8 Рисунок 3.7. Граф сети без изображения ребер, связанных с нейтральной плоскостью 1 2 5 6 8 4 3 7 Рисунок 3.8. Многослойный граф В некоторых случаях можно использовать многослойные графы, в которых сеть каждого напряжения располагается в отдельном слое. Получается, что в горизонтальных слоях находятся ветви, моделирующие линии электропередачи, а между ними вертикально изо52 бражаются трансформаторные связи (рис. 3.8). Таких слоев может быть столько, сколько ступеней номинального напряжения имеется в сети. 3.3. Матричные формы моделей электрических сетей и их режимов Каждая продольная ветвь в графе электрической сети характеризуется сопротивлением Zj= Rj + jXj, а поперечная ветвь – проводимостью Yi = Gi + jBi (j = 1, 2,…, m; i = 1, 2,…, n), которые образуют матрицы параметров электрической сети – матрицу сопротивлений продольных ветвей и матрицу-столбец проводимостей поперечных ветвей – шунтов:  Z в11   Y N1      Z в22 Y N2     (3.8) Zв  , YN  .    ...  ...     Z вmm    Y Nn  Здесь Zвjj=Zj, а YNi = Yi . Недиагональные элементы матрицы Zв обычно равны нулю, хотя в некоторых случаях учитывают взаимные сопротивления ветвей, которые могут быть отличны от нуля, например для близко расположенных ЛЭП возможно наличие взаимной индукции. Кроме пассивных ветвей в сети существуют активные ветви, включающие источники ЭДС и тока. Эти ветви, как правило, являются поперечными и моделируют генераторы электрических станций (ЭДС) и потребителей электрической энергии (источники тока), – рис. 3.9, а.  J1   E1      J E2   (3.9) E , J   2 .  ...   ...       En  Jn  Ветвь с ЭДС в действительности содержит еще и сопротивление и по сути является источником напряжения, которое зависит от нагрузки. В установившемся режиме достигается постоянство значения напряжения генераторов электростанций посредством специальных устройств регулирования и можно пренебречь влиянием сопротивлений генераторов на их напряжение. В дальнейшем будем считать эти ветви источниками ЭДС. Принято не изображать на графе сети не только шунтирующие проводимости, но и активные поперечные ветви с ЭДС и источником тока, однако источник тока все же задают упрощенным изображением в виде стрелочки, направленной в узел (рис. 3.9, б). Это показывает, что в сеть «вливается» извне ток генерации или нагрузки (с обратным знаком). Такие токи называются токами инъекции (injectioncurrent) или задающими токами. i Y Ni Ei i Ji Ji N а б Рисунок 3.9. Изображения поперечных ветвей Матрицы E и J задают режим работы электрической сети и являются векторами независимых переменных. Они относятся к режимным параметрам электрической сети. Другие режимные параметры называются зависимыми переменными. К ним относятся напряжения в узлах, токи и напряжения в продольных ветвях и ряд других параметров режима: U – матрица напряжений в узлах (узловые напряжения); I – матрица токов ветвей; 53 U – матрица напряжений в ветвях (падения напряжения на сопротивлениях вет- вей); Sв(н) Sв(к) Sв – матрица потоков мощности в начале ветвей; – матрица потоков мощности в конце ветвей; – матрица потерь мощности в ветвях. 3.4. Узловые уравнения установившегося режима Рассмотрим пример направленного графа электрической сети, изображенного на рис. 3.10. Для удобства записи в матричной форме параметров ветвей присвоим каждой ветви ее порядковый номер (на рис. 3.10 курсив). Составим матрицу соединений M для этого графа:  1 1 0 0 0    0 1 0 1 1 M . (3.10)  0 0 1 1 0    1 0 1 0 1 1 2 1 4 2 5 3 4 3 Рисунок 3.10. Пример графа электрической сети Умножим эту матрицу на матрицу токов ветвей, будем иметь:  I1   1 1 0 0 0      I 1  I 2   J 1   0 1 0 1 1  I 2    I  I  I   J    I    2 4 5    2  . (3.11) M I    0 0 1 1 0   3    I 3  I 4   J 3       I 4    1 0 1 0 1   I   I1  I 3  I 5   J 4   5 Полученное соотношение является первым законом Кирхгофа в матричной форме записи (3.12) M  I  J. Так как к узлам графа электрической сети еще присоединены другие поперечные ветви с ЭДС и проводимостью шунта, то задающий ток в (3.12) включает в себя также токи данных ветвей J  J г  J н  JY . (3.13) Здесь: Jг – матрица токов генерации (ветви с ЭДС), которые определяются через мощности генерации; Jн – матрица токов нагрузки, которые определяются через мощности нагрузки (имеет обратное направление – от узла); JY – матрица токов в проводимостях шунтов, которые зависят от проводимости шунта из матрицы YN и напряжения в узле из матрицы U (также имеет обратное направление – от узла, так как моделирует потребление мощности). 54 Умножим транспонированную матрицу соединений МT на матрицу узловых напряжений, получим:  U 1  U 4   U 1   1 0 0 1     U 1   U  U   U  2   2  1 1 0 0   U   1 2  T  M  U   0 0 1 1   U 3  U 4    U 3  (3.14)      U 3    0 1 1 0   U   U 2  U 3   U 4   0 1 0 1   4   U  U   U    5 4   2 или  U  MT  U . По закону Ома в матричной форме записи имеем  U  Zв  I (3.15) (3.16) или I  Zв1   U. (3.17) Подставим в (3.12) выражение для матрицы токов ветвей (3.17) и затем (3.15), получим M  Zв1  MT  U  J. (3.18) Y  M  Zв1  M T , (3.19) Введем обозначение тогда (3.18) приобретет вид (3.20) Y  U  J. Полученное соотношение является уравнением узловых напряжений (потенциалов) в матричной форме записи. Матрицу Y называют матрицей узловых проводимостей электрической сети. Рассмотрим структуру этой матрицы, для чего выполним матричные перемножения в (3.19). Заметим, что обратная матрица сопротивлений ветвей легко получается в силу своего диагонального вида – ее элементы суть обратные величины к сопротивлениям ветвей и являются проводимостями продольных ветвей. Вначале перемножим первые две матрицы матричного произведения (3.19):  1  Z   1    1   Z2  1 1 0 0 0        1  1  1 1  M  Zв1     0 0 1 1 0   Z3     1 1 1 1    Z4    1    Z 5   55 1  1  0   Z Z2 1    1 1 1      0 Z Z Z 5  2 4  . (3.21)    1 1  0   0 Z Z 3 4    1 1 1    Z3 Z5   Z1 Полученную матрицу умножим справа на матрицу MT. В результате получим: Y  1 1       Z1 Z 2    1   1   Z2  Z2        1  Z1      1 1  1 1        Z4 Z5  Z4 Z5  . (3.22)  1  1 1  1       Z4 Z4  Z3  Z3   1 1 1 1 1         Z5 Z3 Z3 Z 5    Z1 Из полученной матрицы можно сделать следующие выводы о вычислении ее элемен 1 Z2  1 Z1 тов. 1. Элементы, расположенные на главной диагонали матрицы, вычисляются как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу: 1 Y ii   , (3.23) ji Z j где Yii – диагональный элемент матрицы Y;Zj – сопротивление j-й ветви;i – множество номеров узлов, связанных с i-м узлом. 2. Недиагональные элементы равны проводимостям ветвей, имя каждой из которых состоит из номеров узлов, соответствующих номеру строки и номеру столбца, на пересечении которых находится данный элемент, и взятых с противоположным знаком. Матрица Y является симметричной матрицей. 1 Y ij   . (3.24) Z ij Запишем уравнение узловых напряжений для узла с номером i: Y i1U 1  Y i 2U 2  ...  Y ii U i  ...  Y in U n  J i   J Гi  J Нi  J Yi  J Гi  J Нi  Y Ni U i . (3.25) Объединив подобные члены, получим, что в диагональные элементы матрицы Y войдут дополнительные слагаемые YNi: 1 Y ii    Y Ni , (3.26) ji Z j т. е. диагональный элемент будет равен сумме проводимостей всех подходящих к i-му узлу ветвей, включая поперечную ветвь – шунт YNi. Задающие токи узлов в (3.20) будут состоять только из токов генерации и токов нагрузки. 56 В случае отсутствия связей с нейтральной плоскостью N система уравнений (3.20) не имеет единственного решения, так как в этом случае определитель матрицы Y равен нулю. Сумма всех задающих токов в такой сети равна нулю: n  J i  0. (3.27) i 1 Следовательно, среди всех n узлов можно выделить узел, например с номером n, ток в котором равен n 1 J n    Ji . (3.28) i 1 Для уравнений узловых напряжений это означает, что одно уравнение лишнее, т. е. зависит от остальных уравнений и может быть получено через сумму всех остальных уравнений. Так как ток в этом узле может быть получен из баланса токов в сети (3.28), то его называют балансирующим. Обычно это шины мощной электростанции или системы. Таким образом, из системы (2.20) исключается одно уравнение и тогда получается система независимых линейных уравнений порядка n – 1. Однако, поскольку число неизвестных напряжений по-прежнему равно n, в одном из узлов следует задать напряжение по величине и фазе так, чтобы все напряжения вычислялись относительно этого известного напряжения. Такой узел в сети называется базисным. Обычно фазу напряжения базисного узла принимают равной нулю, т. е. вектор напряжения базисного узла совмещают с действительной осью. Остальные узлы называют независимыми узлами. Во многих случаях балансирующий узел и базисный узел совмещают, и в дальнейшем будем считать, что это один и тот же узел. Таким образом, с исключением уравнения для базисного балансирующего узла с номером n будем иметь систему уравнений (3.20) с числом уравнений n – 1, однако в эти уравнения будет входить слагаемое с заданным напряжением базисного узла. Изменим номер базисного балансирующего узла. Пусть его номер есть 0 (ноль). Тогда уравнение (3.20) приобретет следующий вид: Y  U  Y0U 0  J , (3.29) где Y0 – матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;U0 – напряжение базисного узла (скаляр). Матрица узловых проводимостей в (3.29) имеет порядок n – 1 и определется через матрицу инциденций M, в которой нет одной строки, соответствующей балансирующему узлу. Необходимо заметить, что во всех уравнениях, где одновременно присутствуют токи и напряжения (3.16), (3.17), (3.18), (3.20), (3.25) и (3.29), напряжения даны в фазных значениях, хотя индекс (буква «ф») для простоты не записывался. Эти же уравнения можно считать записанными и для линейных напряжений, однако токи будут увеличенными в 3 раз, и для вычисления истинных токов их следует уменьшать в 3 . 3.5. Формы линейных уравнений установившегося режима и их решение Известными независимыми переменными в уравнениях установившегося режима могут быть задающие токи узлов и напряжение базисного узла. В этом случае решение уравнения (3.29) может быть записано в виде U  Y 1  J  Y 0U 0   Z  J  Y 0U 0  . (3.30) Здесь Z – матрица узловых сопротивлений. Численное решение системы уравнений (3.29) выполняется методом Гаусса или другим методом решения системы линейных алгебраических уравнений. 57 В случае, когда известны мощности в узлах сети – задающие мощности Si, токи можно S *i вычислить приближенно через номинальные напряжения J i  (i = 1,…, n – 1). За3U ном дающие мощности так же, как и токи, складываются из мощности генерации и мощности нагрузки: S  Sг  Sн . (3.31) Другой приближенный подход связан с представлением задающих токов через напряжения и проводимости J i  U i Y Si , где YSi – проводимость генерации и/или нагрузки (схема замещения). Для i-го узла имеем: Y i1U 1  Y i 2U 2  ...  Y ii U i  ...  Y in 1U n 1  Y i 0U 0  J i  Y Si U i . (3.32) Объединив подобные члены, получим Y i1U 1  Y i 2U 2  ...  Y ii U i  ...  Y in1U n1  Y i 0U 0  0, (3.33) где в элемент Yii входит проводимость YSi. Знак перед этой проводимостью зависит от того, какая мощность преобладает в узле: плюс, если нагрузка, и минус, если генерация. В матричной форме записи: Y  U  Y0U 0  0. (3.34) Решение матричного уравнения (3.34) запишется в виде U  Y 1  Y0U 0  Z  Y0U 0 . (3.35) Комплексную матрицу узловых проводимостей Y иногда представляют в блочной форме через ее вещественную G и мнимую B составляющие, и тогда система уравнений (3.34) становится системой с вещественными величинами: (3.36)  G  jB  U  jU   G0  jB0 U0  0. После перемножения двучленов в (3.35) будем иметь:  G  U  B  U  j  B  U  G  U  G0U0  jB0U0  0. (3.37) Приравняем отдельно вещественные и мнимые части полученного уравнения и получим два матричных уравнения с вещественными величинами: G  U  B  U  G 0U 0  0, (3.38) B  U  G  U  B0U 0  0 или в компактной форме записи:  G  B   U   G 0  (3.39)  B G   U    B  U 0  0.     0  Решение (3.39) запишется в виде 1  U   G B   G 0  U 0 .         U   B G   B0  (3.40) 3.6. Нелинейные уравнения установившегося режима Так как во многих случаях расчеты ведутся при заданных мощностях нагрузок и генерации, то их следует ввести в уравнения установившегося режима. Мощность в трехфазной сети в симметричных режимах выражается суммарной мощностью всех трех фаз: S i  3 U i J *i . (3.41) 58 В матричной форме это выражение можно записать, используя операцию диагонализации матрицы U. Матрица diag{U} есть квадратная матрица, в которой элементы матрицы U расположены по главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю. Тогда S  3  diag{U}  J*. (3.42) Уравнение установившегося режима Y  U  Y0U 0  J записано для фазных токов и напряжений. Умножим обе части этого уравнения на 3 и применим к величинам этого уравнения операцию сопряжения, получим Y*  U*  Y*0U 0  3  J*. (3.43) В левой части этого уравнения после умножения на 3 напряжения стали линейны- ми. Умножим левую и правую части уравнения (3.43) слева на матрицу diag{U}, получим   diag U Y* U*  Y*0U 0  3  diag U J*  S. (3.44) Система уравнений (3.44) является системой нелинейных уравнений установившегося режима. В зависимости от формы представления комплексных величин применяют две основные формы этой системы уравнений. Вначале рассмотрим алгебраическую форму записи. Для i-го узла имеем: n 1 U i  jU i   Gij  jBij U j  jU j   Pi  jQi . (3.45) j 0 После перемножения двучленов и разделения уравнения на два уравнения с вещественными величинами получим систему 2(n – 1) алгебраических уравнений n 1  n 1    U i  GijU j  BijU j  U i  BijU j  GijU j  Pi , j 0 n 1  j 0 n 1  (3.46)   U i  BijU j  GijU j  U i  GijU j  BijU j  Qi . j 0 j 0 Здесьi = 1,…, n – 1. Тригонометрическая форма нелинейных уравнений установившегося режима может быть получена, если комплексные величины в уравнении (3.44) записать в виде U i  U1e ji , Y *ij  Yij e  jij , U *j  U j e  j j . (3.47) Тогда n 1 U i  YijU j e j ( i ij  j )  Pi  jQi . (3.48) j 0 Уравнение (3.48) в тригонометрической форме запишется как n 1     U i  YijU j cos(i   j  ij )  j sin(i   j  ij )  Pi  jQi , (3.49) j 0 n 1 U i  YijU j cos(i   j  ij )  j sin(i   j  ij )  Pi  jQi , (3.50) j 0 и после разделения на два вещественных уравнения n 1 U i  YijU j cos( i   j   ij )  Pi , j 0 n 1 (3.51) U i  YijU j sin(i   j   ij )  Qi . j 0 Обычно вместо угла ij используют дополняющий до 90 угол ij. ij = 90 ij, ij = 90 ij. 59 Тогда cos(δi – δj – ij) = cos(δi – δj – 90 + ψij), а с учетом четности функции косинус cos(δi – δj – 90+ ψij) = cos(90 – δi + δj – ψij). Имея в виду, что cos(90 – δ) = sin(δ), получим cos(90 – δi + δj – ψij) = = sin(δi – δj + ψij). Аналогично sin(δi – δj – ij) = sin(δi – δj – 90 + ψij) = –sin(90 – δi + δj – ψij), в силу нечетности функции синус. Так как sin(90 – δ) = = cos(δ), получим –sin(90 – δi + δj – ψij) = – cos(δi – δj + ψij). Подставляя полученные соотношения в (3.51), будем иметь: n 1 U i  YijU j sin(i   j  ij )  Pi , j 0 n 1 (3.52) U i  YijU j cos(i   j  ij )  Qi . j 0 В полученной системе нелинейных уравнений установившегося режима искомыми переменными являются модули и фазовые углы напряжений, в то время как в уравнениях (3.46) неизвестными являются вещественная и мнимая составляющие напряжений. 3.7. Моделирование генераторных узлов электрической сети Генераторными узлами называют узлы, в которых генерируется активная мощность. Реактивная мощность, как правило, также генерируется в узлах. Генераторные узлы – это шины электрических станций или шины мощной системы, схема которой не входит в модель для расчетной схемы. Моделируются генераторные узлы по-разному:  так же, как и узел нагрузки, – постоянными значениями активной и реактивной мощности, но с противоположным знаком;  постоянным значением активной мощности и фиксированным значением модуля напряжения в узле. Реактивная мощность не известна и подлежит расчету;  генераторный узел – это базисный и балансирующий узел одновременно. Активная и реактивная мощности узла подлежат вычислению;  генераторный узел – это базисный узел, но с известными значениями активной и реактивной мощности – заданы все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, ;  генераторный узел – это балансирующий узел, но напряжение в нем не известно ни по модулю, ни по фазе. Подлежат определению все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, . При фиксации активной мощности и модуля напряжения обычно в уравнения установившегося режима входит уравнение для активной мощности узла (3.46) и уравнение вида: U i2  U i2  U i2 , где Ui задано, а U i и U i подлежат определению. В тех случаях, когда для одного из узлов требуется задать все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, (базисный узел), то в сети должен появиться узел, в котором не известен ни один из этих четырех параметров – балансирующий узел. Происходит разделение балансирующего и базисного узлов. Форма уравнений установившегося режима меняется, а именно –перестраивается матрица узловых проводимостей. Так, например, если для графа сети на рис. 3.10 базисным стал узел 2, а балансирующим остался узел 0, то матрица Y принимает вид:  1  1  1      Z1   Z1 Z 2     1 1 1  Y      Z2 Z5 Z4   1  1 1        Z 3  Z 3 Z 4    60 3.8. Эквивалентирование схем электрических сетей Эквивалентирование широко применяется в расчетах режимов сложных электроэнергетических систем. Так, рассматривая режимы работы отдельной ЭЭС, все соседние энергосистемы представляем их эквивалентами, полученными на основании так называемых критериев эквивалентности. Число таких критериев и их содержание зависят от задачи, применительно к которой выполняется эквивалентирование. Рассмотрим ЭЭС, состоящую из двух подсистем: подсистемы I, которая не подлежит преобразованию, и подсистемы II, которую следует преобразовать в эквивалент (рис. 3.12, а). 1 2 Подсистема I 1 Подсистема II 2 Подсистема I p а p Преобразуемая часть схемы б Эквивалентная схема Рисунок 3.12. Условное изображение ЭЭС с эквивалентируемой частью: а – до эквивалентирования; б – после эквивалентирования Узлы, в которых соединяются две подсистемы, называются узлами примыкания, а ветви, подходящие к ним со стороны сохраняемой части схемы, – ветвями примыкания. После преобразования подсистемы II в ней могут сохраниться некоторые узлы, имеющие принципиальное значение для режимов системы, или не сохраниться ни одного узла, как на рис. 3.12, б, и вся схема эквивалента представляет собой многоугольник, построенный на узлах примыкания 1, 2,…, p. Следует отметить, что эквивалент имеет также поперечные ветви на нейтральную плоскость системы как пассивные – проводимости, так и активные – задающие мощности нагрузки и генерации (на рис. 3.12 не показаны). Рассчитанные напряжения в узлах примыкания эквивалента должны быть равны в исходной схеме и после ее преобразования. Потоки мощности в ветвях примыкания эквивалента должны быть равны в исходной схеме и после ее преобразования. U j  U эj , j  a, Sij  Sijэ , i  b. (3.53) где a – множество номеров узлов примыкания; b – множество номеров узлов в непреобразуемой части сети, имеющих смежную ветвь с узлами примыкания. Добиться выполнения критериев эквивалентности можно, как правило, для какогото одного режима работы электрической сис-темы. Изменение режима требует и изменения (корректировки) эквивалента. Рассмотрим пример эквивалентирования части электрической схемы сети (рис. 3.13, а). В этом примере: множество номеров узлов примыкания (a) = {4, 7, 11}; множество номеров узлов из неэквивалентируемой части схемы, смежных с узлами примыкания (б) = {3, 6, 10}. Исключаемые узлы: {12, 13, 14, 15, 16}. 61 1 2 3 4 5 9 10 11 13 14 7 6 8 12 15 16 а б Рисунок 3.13. Граф сети с эквивалентируемой частью: а – до эквивалентирования; б – после эквивалентирования В данном примере в эквиваленте не сохранено ни одного узла и граф эквивалента представляет собой многоугольник, опирающийся вершинами на узлы примыкания (рис. 3.14). По сути – это последовательно-параллельные преобразования, а также преобразования звезды в многоугольник и обратно. Формализуется исключением переменных методом Гаусса. Рисунок 3.14. Эквивалентирование схемы в многоугольник При построении модели эквивалента, адекватно представляющего преобразованную часть электрической системы для множества режимов, требуется учет нелинейности уравнений установившегося режима. В этом случае, а также в случаях эквивалентирования посредством расчета проводимостей нагрузки через номинальное напряжение неизбежна погрешность моделирования. Минимизация погрешности может быть выполнена поиском минимума некоторой целевой функции: m   2 C1 (R )    yj  yjэ (R ) / yj  ,   j 1 (3.54) гдеy'jи y''jэ – компоненты вектора выходных переменных исходной и эквивалентной моделей, которые должны воспроизводится правильно; R – вектор параметров эквивалентной модели; m – число выходных переменных. Пример. Для схемы на рис 3.15 выполним исключение узлов номер 4 и 5. 62 Рисунок 3.15. Пример эквивалентирования схемы сети Разделим на блоки матрицы в линейных уравнениях установившегося режима (3.28) – выделим блоки для сохраняемых и исключаемых узлов.  J1    Обозначим вектор задающих токов сохраняемых узлов: J с   J 2  , а вектор токов исJ   3  U1  J4 U    ключаемых узлов J и    . Соответственно и для напряжений U с   U 2  U и   4  .  J5  U 5  U   3 Уравнение узловых напряжений для электрической сети YU  Y0U 0  J запишется в виде  Y cc Ycи   U с   Y 0с   Jс   U    U 0   J  .  Y ис Y ии   и   Y 0и   и Или в раскрытой форме:   Y 11 Y 12 0    0    Y 21 Y 22   0 0 Y 33   0    Y 41 0     0 Y 52 Y 53    J1   0     U 1     Y 01    Y 14           J 2   0 Y 25     U 2     0    0 Y     U      Y  U    J   . 35      3     03   0   3    J 4   Y 44 Y 45     U 4     Y 04             Y 54 Y 55     U 5     0    J5  В соответствии с правилом умножения матриц получим  Ycc U с  Ycи U и  Y0сU 0   J с      ,  Y ис U с  Y ии U и  Y 0иU 0   J и  откуда следует система двух матричных уравнений Y cc U с  Y cи U и  Y 0сU 0  J с , Y ис U с  Y ии U и  Y 0иU 0  J и . Исключим из этой системы U и , для чего умножим правую и левую части второго 1 уравнения на матрицу Y ии и получим 1 1 1 Y ии Y ис Uс  U и  Y ии Y 0иU 0  Y ии Jи , откуда следует 1 1 1 Uи  Y ии J и  Yии Y ис U с  Yии Y 0иU 0 . Подставляя теперь полученное выражение в уравнение Ycc Uс  Ycи Uи   Y0сU 0  J с , находим   1 1 1 Y cc U с  Y cи Y ии J и  Y ии Y иc Uс  Y ии Y0иU 0  Y 0сU 0  J с , откуда 63 Y cc U с    1 1 1  Y cи Yии Yис Uс  Y 0с  Y cи Y ии Y 0и U 0  J с  Y cи Yии Jи или Y U  Y0U 0  J и в развернутой форме Y  J  Y 12 Y 13   U   Y 01   11  1    1   Y Y 22 Y 23   U 2    Y 02  U 0   J 2  .  21      U     Y      Y 32 Y 33  3  Y 03 J   31     3 Полученная система уравнений описывает новую схему, где по отношению к исходной отсутствуют два узла 4 и 5. При этом в данном примере изменились все параметры сети и задающие токи узлов. Эквивалентирование части ЭЭС обычно выполняется не для одного, а для ряда режимов непреобразуемой подсистемы, поэтому удовлетворение критериев эквивалентности должно обеспечить тождественность режима узлов и ветвей примыкания исходной и преобразованной схем не только для исходного, но и для всех других анализируемых режимов. 3.9. Моделирование схем электрических сетей с помощью четырехполюсников Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к двум парам ее выводов, называется четырехполюсником. Ранее здесь использовалось представление четырехполюсником ЛЭП и трансформаторов, однако существует возможность представления в виде четырехполюсника и соединений этих элементов – схем электрических сетей. Моделирование четырехполюсником удобно применять тогда, когда предметом исследования являются токи (потоки мощности) и напряжения на его выводах, а не токи и напряжения внутри самого четырехполюсника. По свойству линейности элементов четырехполюсники разделяют налинейные и нелинейные. Схема замещения (внутренняя схема соединений) четырехполюсника может быть: Гобразная (рис. 3.16, а), Т-образная (рис. 3.16, б), П-образная (рис. 3.16, в), четырехплечая (рис. 3.16, г), П-образная мостовая (рис. 3.16, д), Т-образная мостовая (рис. 3.16, е) и др. Четырехполюсник называется активным, если он внутри содержит источники электрической энергии, и пассивным, если внутри него нет источников энергии. Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Симметричным называют четырехполюсник, когда перемена мест его входа и выхода не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен. Основной смысл теории четырехполюсников заключается в том, что, пользуясь обобщенными параметрами четырехполюсников, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Из множества соединений четырехполюсников в электрических сетях применимы только две: каскадное (рис. 3.16, а) и параллельное (рис. 3.16, б). 64 а б в г д е Рисунок 3.16. Схемы замещения четырехполюсника Электрическая сеть, имеющая в общем случае множество узлов и ветвей, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Отличительной чертой четырехполюсников, моделирующих элементы электрической сети, является наличие у них всех одного общего полюса – нейтральной плоскости, и по сути они могут считаться трехполюсниками. Сложность схемы соединения электрической сети и нелинейность, вносимая нагрузками и генераторами, не позволяют широко использовать четырехполюсники для моделирования электрических сетей. Возможны два принципиально различающихся подхода к использованию четырехполюсников:  моделирование отдельных элементов или их каскадно-парал-лельного соединения при отсутствии в них источника энергии или нагрузки, заданных нелинейными математическими моделями;  приближенное представление части электрической сети при наличии нелинейных моделей генерации или нагрузки в виде эквивалентного четырехполюсника. Последний подход распространяется на моделирование электрических сетей с помощью многополюсников. 1 1 2 2 а б 65 Рисунок 3.17. Соединения четырехполюсников: а – каскадное; б – параллельное Рассмотрим первый подход. Для получения параметров эквивалентного (результирующего) четырехполюсника, составленного из простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной формой записи: U 1   A B  U 2  U 2  (3.55)  I   I   A  I .   1  C D 2   2 Запись уравнений четырехполюсника (3.54) называется А-формой записи. Другие формы уравнений четырехполюсника могут быть получены из (3.55) выражением в левой части тех или других пар токов и напряжений. Всего возможно шесть форм записи – число сочетаний из четырех по два. Можно выделить еще две формы записи: это Y-форма (3.56) и Z-форма (3.57). U   I 1   Y 1,1 Y 1,2   U 1   Y  1  , (3.56)    I   Y  2   2,1 Y 2,2   U 2  U 2   U 1   Z 1,1 Z 1,2   I 1   I1  (3.57)    Z  . U    Z I2   2   2,1 Z 2,2   I 2  При каскадном соединении четырехполюсников (рис. 3.17, а) параметры эквивалентного четырехполюсника получаются перемножением матриц коэффициентов четырехполюсников в A-форме (3.55), а при параллельном соединении (рис. 3.17, б) – сложением матриц коэффициентов четырехполюсников в Y-форме (3.56): A  A1 A 2 , (3.58) Y  Y1  Y 2 . (3.59) 3.10. Использование четырехполюсников для эквивалентирования схем электрических сетей В некоторых случаях для эквивалентирования схем электрических сетей удобно использовать четырехполюсники. Рассмотрим простые примеры упрощения электрических сетей с помощью четырехполюсников. Вначале рассмотрим соединение двух элементов: линий электропередач и трансформатора. На рис. 3.18 изображены две схемы с двумя элементами. На первой схеме есть две линии, а на второй линия и трансформатор. В обоих случаях модели сетей с четырехполюсниками имеют их каскадное соединение и эквивалентный четырехполюсник имеет матрицу коэффициентов, вычисляемую по выражению A E  A I A II . (3.60) в 66 Рисунок 3.18. Схема сети с каскадным соединением двух элементов: а – две линии; б – линия и трансформатор; в – каскадное соединение и эквивалентирование четырехполюсников Рисунок 3.19. Упрощенное обозначение схем из четырехполюсников в электрических сетях Далее для простоты вследствие того, что один полюс на входе и на выходе четырехполюсника в схемах электрических систем отождествляют с нейтралью трехфазной системы, четырехполюсники, моде-лирующие элементы электрических сетей, будем обозначать, как на рис. 3.19. В схеме с параллельными соединениями элементов будем всегда полагать соединение однотипных элементов: две или более параллельно включенных линии, два или более параллельно включенных трансформатора и т. п. Коэффициенты эквивалентного четырехполюсника в этом случае определяются через матрицы проводимостей уравнений четырехполюсника, записанных в Y-форме (3.56). Рассмотрим пример схемы, содержащий электрическую нагрузку, заданную мощностью (рис. 3.20). Sн Л1 Sн Вход Л2 Выход Л3 а Sн б Рисунок 3.20. Схема сети с промежуточной нагрузкой: а – схема электрической сети; б – модель сети с четырехполюсниками Четырехполюсники I и II нельзя считать соединенными каскадно; есть еще один элемент – нагрузка. Рассмотрим этот фрагмент сети отдельно (рис. 3.21). 67 Рисунок 3.21. Фрагмент модели сети с промежуточной нагрузкой Запишем известные соотношения для шин нагрузки: U 1II  U I2  U н , (3.61) I 1II  I 2I  J н . Ток нагрузки J н  S *н 3  U *н при подстановке его в (3.61) делает эти выражения нели- нейными. Перейдем к модели электрической нагрузки в виде схемы замещения (рис. 3.22) S *н S *н (3.62) Yн  2  2 U н U ном Рисунок 3.22. Модель сети с представлением промежуточной нагрузки схемой замещения и запишем для нее уравнения четырехполюсника: U1  U 2, (3.63) I 1  I 2  I Y  Y нU 2  I 2 или  U 1   1 0  U 2  (3.64)     .  I1   Y н 1   I 2  В результате получим каскадное соединение трех четырехполюсников (рис. 3.23). I Y II Рисунок 3.23. Схема сети с представлением промежуточной нагрузки четырехполюсником A Eq  A I AY A II (3.65) В схеме сети с двумя промежуточными нагрузками аналогично получим (рис. 3.24). 68 а L1 Y1 L2 Y2 L3 б Рисунок 3.24. Схема сети из трех линий с промежуточными нагрузками: а – схема сети; б – модель сети с четырехполюсниками A Eq  A L1 AY1 A L2 AY 2 A L3 (3.66) Аналогично нагрузке в схеме электрической сети представляются и другие элементы, включенные в виде шунта (поперечной ветви). К таким элементам относятся компенсирующие устройства и шунтирующие реакторы. Следует подчеркнуть, что шунтирующие элементы и нагрузки, которые могут быть представлены схемой замещения с линейными элементами (сопротивления и проводимости не зависят от напряжения или тока, протекающего по ним), не вносят погрешности в эквивалентную модель и являются пассивными элементами сети. Нагрузки в электрических сетях, как правило, не могут с достаточной степенью точности моделироваться схемами замещения с постоянными параметрами. По своей сущности нагрузка – это активный элемент сети, хотя не является источником энергии, а ее потребителем. В большинстве случаев нагрузка задается постоянной мощностью или статическими характеристиками, что вносит погрешность при представлении их в виде схем замещения (сопротивления и проводимости зависят от напряжения, приложенного к ним). Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. Как задается граф? Какой граф называется связным? Что называется деревом графа? Как составить первую матрицу инциденций направленного 5. Как инциденций направленного графа? составить вторую матрицу графа? 6. Как с помощью графов моделируются элементы электрической сети: линия электропередачи, трансформатор и др.? 7. Перечислите матрицы параметров схемы электрической сети. 8. Как записывается первый закон Кирхгофа в матричной форме? 9. Как записывается система уравнений узловых напряжений в матричной форме? 10. Как составить матрицу узловых проводимостей по схеме электрической сети? 11. Какой узел схемы электрической сети называется балансирующим? 12. Какой узел схемы электрической сети называется базисным? 13. Какие существуют формы записи линейных уравнений установившегося режима? 14. Как получить систему нелинейных уравнений установившегося режима электрической сети? 15. Какие узлы в схеме электрической сети относят к генераторным узлам? 16. Какие существуют критерии эквивалентности исходной и эквивалентной схем электрических сетей? 17. Какие формы записи уравнений четырехполюсников используются в расчетах схем электрических сетей? 69 18. В каких случаях для расчетов схем электрических сетей удобно использовать четырехполюсники? 19. Как эквивалентируется нагрузка, заданная мощностью, с помощью четырехполюсников? 70 4. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 4.1. Процесс описания объектов моделирования Моделирование как основной научный метод в начальной стадии своего развития был главным образом предметом искусства исследователя. Процесс построения моделей определялся теоретическим багажом исследователя, его неформальными представлениями о цели работы, опытом, экспериментаторским мастерством и интуицией. Вместе с тем опыт модельных исследований все более сложных объектов убедительно показывал, что качество модели и особенно трудоемкость ее создания решающим образом зависят от того, сколь целесообразно организован процесс изучения объекта, построения, проверки и практического использования его модельного описания. Возникла задача оптимизации процесса моделирования. Наибольшее развитие методика и практика планирования и осуществления модельных исследований получили в рамках таких направлений, как исследование операций и прикладной системный анализ. В сложных случаях, когда невозможно составить модели с помощью известных теоретических представлений, получили развитие экспериментальные исследования, названные идентификацией объектов. Применительно к этим исследованиям зародилась и стала стремительно развиваться теория оптимального планирования эксперимента, обеспечивающая получение необходимой экспериментальной информации об объекте при минимальной затрате сил и средств. В модельном исследовании можно выделить основные этапы: постановку задачи, построение модели, отыскание решения, проверку модели и оценку решения, внедрение модели и контроль ее правильности. Рассмотрим процесс модельного исследования с помощью его графического представления в форме блок-схемы (рис. 4.1). Постановка задачи следует за выявлением некоторых противоречий и возникновением проблемы: потребности изменить в лучшую сторону существующее положение вещей в той или иной области. В озникновение проблемы В ы явление противоречий Ф ормулировка целей О смы сление и конкретизация результата б удущ ей деятельности Соотнесение с реальны ми возмож ностями Ф ормулировка задачи : непротиворечивая система целей , объект моделирования Ф ормирование критериев качества модели В ы бор класса моделей А налитическое описание о бъекта И дентиф икация Ф ормализация М одели-заготовки и э мпирические данны е П ланирование натурного эксперимента П ланирование вы числительного эксперимента П олучение и обработка экспериментальны х данны х Ф иксация условий применимости модели О ценка качества модели О пы тная проверка в у словиях задачи П олучение результата для задачи П рактическое и спользование модели Рисунок 4.1. Схема формирования модели 71 Так, огромное большинство технических и технологических проблем формируется в сфере экономики и экологии – верхних по отношению к технике уровнях системы природа–общество. Осмысление и конкретизация проблемы приводят к формулировке целей или системы целей как желательного результата будущей деятельности по решению проблемы. Однако поставленная цель, естественно, должна быть соотнесена с реальными возможностями ее достижения или, иными словами, с ресурсами (материальными и другими), которые могут быть использованы для решения данной проблемы. Сопоставление первоначально намеченных целей с ресурсными ограничениями (обычно приводящими к корректировке первых в сторону их сужения) приводит к формулировке задачи исследования, которая помимо непротиворечивой системы целей, учитывающих ресурсные возможности, включает в себя объект моделирования. Данные о целях исследования, уточненные в формулировке задачи, а также исходная информация об объекте моделирования служат для определения критерия качества создаваемой модели – количественной меры степени ее совершенства. При традиционной постановке задачи исследования критерий обычно не носит формального характера и представляет собой некоторую систему количественных требований, которым должна отвечать будущая модель. В случае вполне формализованной оптимизационной постановки критерий приобретает вид некоторого функционала от переменных и параметров модели, значение которого достигает экстремума при оптимальных ее характеристиках (например, среднеквадратическая погрешность модельных переменных). Следующим шагом в построении модели является основанный на априорных данных содержательный анализ системы и выбор класса, или точнее, способа формирования модели. Если объект не слишком сложен, достаточно изучен и комплекс подлежащих модельному исследованию свойств и характеристик объекта может быть выявлен на основе теоретических представлений и данных (дополняемых необходимым объемом эмпирической информации), то целесообразно избрать аналитический путь построения модели. Однако на практике часто оказывается, что из-за сложности, слабой изученности объекта или отсутствия соответствующих теоретических разработок (например, применительно к комплексным системам, содержащим технические, информационные, биологические компоненты) этот путь не может быть реализован. Альтернативным является путь идентификации объекта, т. е. экспериментального определения существенных для решаемой задачи свойств и характеристик объекта специально ради построения его модели. Эксперимент, как правило, достаточно сложный и трудоемкий, осуществляется в соответствии со специально разрабатываемым оптимальным планом, данные эксперимента обрабатываются и становятся основой для формализованного описания объекта в виде математической модели вход–выход. Формализованная модель, построенная теоретическим путем или идентифицированная, оценивается в соответствии с выбранным ранее критерием и либо признается удовлетворительной (принимается), либо отвергается как недостаточно совершенная. В последнем случае возникает необходимость в ее корректировке и итеративном обращении к ранее выполненным этапам. Решение о принятии модели (в общем случае после i-го итерационного цикла) влечет за собой переход к следующему этапу – опытной проверке непосредственно в условиях той задачи, для решения которой она построена. При этом нередко возникают дополнительные требования (например, связанные с удобством использования модели) и необходимость ее дополнительной корректировки. Наконец, следует заключительный этап процесса: использование модели по ее прямому назначению – для решения задачи, причем и на этом этапе возможны дальнейшие уточнения и корректировки. Остановимся на наиболее важных особенностях процесса моделирования в целом. 72 1. Построение модели представляет собой не однократный акт, а процесс последовательных приближений, в основе которого лежит самообучение исследователя. 2. Процесс моделирования соединяет в себе требования к ясно понимаемому существу решаемой задачи, с одной стороны, и активному владению теорией, математическим аппаратом и методами – с другой стороны. Кроме того, необходимы хорошие знания возможностей вычислительной техники и ее использования. 3. Процесс построения модели является познавательной деятельностью и представляет собой важнейшую составную часть решения задачи в целом. 4. 4.2. Аналитический метод построения математических моделей В распоряжении исследователя, решающего на основе моделирования конкретную задачу, сегодня находится огромное множество моделей-«заготовок», которые могут и должны быть использованы. Все эти заготовки получены на основе универсальных законов, таких, как закон сохранения вещества и энергии, начала термодинамики, закон всемирного тяготения. Однако вопрос о том, каким может быть удельный вес теоретической составляющей при построении каждой конкретной модели, целиком определяется требованиями задачи и характером объекта моделирования. Возможность и рациональность теоретического подхода к моделированию некоторого объекта определяются целым рядом практически не поддающихся формальному анализу факторов, к числу которых относятся:  степень изученности данного класса объектов и наличие теоретической базы, достаточной для модельного описания объекта в соответствии с требованиями решаемой задачи;  приемлемость ограничений и допущений, содержащихся в исходных теоретических построениях, применительно к условиям и требованиям решаемой задачи;  специфические свойства объекта-оригинала (степень сложности и размерность модели, возможность линеаризации, возможность и удобство применения стандартных, например частотных, методов для исследования модели объекта и т. п.);  возможность и удобство введения в теоретическую модель необходимой дополнительной информации, получаемой опытным путем;  возможность экспериментального исследования объекта-оригинала. В основе аналитических моделей, как правило, лежат балансовые соотношения, связывающие входные и выходные переменные. Эти соотношения представляют собой частные проявления законов сохранения вещества и энергии. Пример 1. В простейшей ЭЭС генератор электрической станции Г (рис. 4.2) работает с мощностью PГ, которая посредством линии электропередачи передается на шины нагрузки, где установлен электродвигатель Д. В такой ЭЭС при неизменной частоте сохраняется баланс активной мощности: (8.1) PГ  PД  P , где PД – мощность, с которой работает электродвигатель; ΔP – потери мощности в линии электропередачи. Г Л Д М Рисунок 4.2. Схема простейшей ЭЭС Выражение (4.1) является балансовым соотношением, вытекающим из закона сохранения энергии, однако для полного описания модели работы ЭЭС требуются дополнитель73 ные экспериментальные данные. К ним относятся характеристики элементов, входящих в ЭЭС: генератора, линии электропередачи и двигателя. Эти элементы являются техническими объектами со своими, свойственными только им, характеристиками. Для получения этих характеристик требуется эксперимент, который проводится непосредственно для этих объектов, либо используются данные экспериментов, выполненные над типичными объектами. К характеристикам электрических объектов относятся, например, статические характеристики генераторов и двигателей по напряжению, а для линии электропередачи – зависимость потерь мощности от напряжения. Пример 2. При протекании тока по проводу воздушной ЛЭП в соответствии с законом Джоуля–Ленца происходит нагревание проводника: Q  I 2 Rt , (8.2) где ΔQ – количество теплоты, выделяемое в проводнике с сопротивлением R при протекании по нему тока I в течение времени Δt. Если бы не было отвода тепла от проводника, температура проводника возрастала бы неограниченно. Охлаждение проводника происходит лучеиспусканием, конвекцией и теплопередачей из-за наличия теплопроводности окружающей среды. По условиям сохранения физико-механических характеристик проводов воздушных линий электропередачи температура, до которой могут нагреваться провода, ограничена некоторым значением (как правило 70 ºС). Это связано с ограничением тока, протекающего по проводу Iдоп. Вычислить значение Iдоп позволяет математическое соотношение, выведенное из баланса количества теплоты, создаваемого в отрезке проводника, и отведенного количества теплоты в единицу времени. Лучеиспускание при θ < 100 ºС незначительно, а теплопроводность окружающего проводник воздуха мала, следовательно, в основном охлаждение идет за счет конвекции воздуха: Q  kS  max  0  t , (8.3) где S – поверхность проводника; θmax и θ0 – максимальная и начальная температура провода;k – коэффициент пропорциональности. Приравняем количество создаваемой и количество отводимой теплоты, получим 2 I max Rt  kS  max  0  t , (8.4) откуда kS  max  0  I max  . (8.5) R 4.3. Методы идентификации технических объектов В основе всех весьма многочисленных методов идентификации лежит идея эксперимента с «черным ящиком», которая была введена в оборот Нобертом Винером и обстоятельно развита Россом Эшби. Идентификация является инструментом моделирования тех объектов, которые из-за сложности или недостаточной изученности, а также из-за обилия случайных факторов не могут быть исследованы на основе существующих теоретических представлений. С помощью определенных вычислительных средств и программного обеспечения (алгоритма идентификации) строится модель объекта. На принципиальной схеме идентификации (рис. 4.3) приведены результаты наблюдений за входами x1, x2, …, xn и выходами y1, y2, …, ym объекта, и по ней с помощью алгоритма идентификации строится модель объекта. В предельном (теоретическом) случае «черный ящик» представляет собой некоторую систему, о структуре и внутренних свойствах которой неизвестно решительно ничего. Зато 74 Алгоритм идентификации входы, т. е. внешние воздействия (факторы), и выходы, представляющие собой реакции на внешние воздействия, доступны для наблюдения (измерений) в течение неограниченного времени. Задача идентификации заключается в том, чтобы по наблюдениям за входами и выходами выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить его модель. Решение задачи допускает применение двух различных стратегий. x1 x2 ... xn Объект y1 y2 xм1 xм2 ... ... ym xмn Модель yм1 yм2 ... yмn Рисунок 4.3. Принципиальная схема идентификации объекта В первом случае осуществляется так называемый активный эксперимент, когда на вход объекта подаются специально сформированные тестовые воздействия, характер и последовательность которых определяется заранее разработанным планом. Подобный подход обладает тем преимуществом, что за счет оптимально спланированного эксперимента позволяет получить необходимую информацию о свойствах и характеристиках объекта при минимальном объеме экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоемкости опытных работ. Однако цена, которую приходится платить за это преимущество, достаточно высока – объект выводится из его обычного состояния, что на практике далеко не всегда возможно по принципиальным и экономическим соображениям. Альтернативный подход заключается в том, что проводится пассивный эксперимент. Объект исследования не подвергается искусственным возмущениям и функционирует в своем естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрации значений его входных и выходных переменных. Обработка полученных подобным путем данных в принципе позволяет получить ту же самую информацию о свойствах объекта, что и при активном эксперименте, однако необходимый объем данных существенно (на дватри порядка) больше, чем в первом случае. Естественно, что и алгоритмы обработки данных оказываются более сложными и громоздкими. Отметим, что на практике при построении идентифицируемых моделей часто целесообразна смешанная стратегия эксперимента. По тем входным переменным объекта, которые это допускают (по условиям безопасности, техническим, экономическим соображениям и пр.), проводится активный эксперимент. Его результаты дополняются данными пассивного эксперимента, охватывающего все прочие значимые переменные. Опыт показывает, что такой подход заметно снижает трудоемкость исследований по сравнению с методикой пассивного эксперимента в чистом виде. Ситуация «черного ящика» представляет собой теоретический граничный случай, когда о структуре объекта неизвестно абсолютно ничего. На деле исследователь всегда располагает той или иной априорной информацией об объекте идентификации, часть которой вполне достоверна (например, действие закона сохранения и других универсальных закономерностей), часть (например, сведения о структуре объекта) может носить гипотетический характер. Объем информации зависит от характера конкретной задачи и свойств объекта мо75 делирования. Он может варьироваться в очень широких пределах, но сам факт наличия исходной информации обязателен – иначе будет невозможна осознанная постановка задачи исследования. Поэтому на практике приходится иметь дело не с «черным ящиком», а с «серым», отчасти «прозрачным» ящиком, причем можно указать три более или менее типовых уровня «прозрачности» и, следовательно, три основных класса постановки задачи идентификации объекта. В первом, наиболее общем случае, типичном для весьма сложных и слабо изученных объектов системного характера (экологические системы, экономические процессы больших масштабов и пр.), достоверные исходные данные о внутренних свойствах и структурных особенностях объекта исчезающе малы, почти отсутствуют. Поэтому задача идентификации, казалось бы, должна включать в себя, с одной стороны, определение зависимостей, связывающих входы и выходы, с другой стороны – определение внутренней структуры объекта. Однако в такой постановке эта задача неразрешима даже теоретически. Дело в том, что непосредственным результатом идентификации объекта является только определение зависимостей входы–выходы, причем в непараметрической форме: в виде таблиц или отображающих содержание этих таблиц кривых. Для того чтобы говорить о структуре модели, необходимо перейти к параметрической форме их представления. Однако, как известно, однозначной связи между функциональной зависимостью и порождающей эту зависимость математической структурой не существует. Каждую непараметрическую зависимость вход–выход можно аппроксимировать различными способами и соответственно построить ряд практически равноценных моделей объекта, характеризующихся собственной структурой, собственным набором параметров и их значений. Основанием для предпочтения той или иной параметрической модели и, следовательно, фиксации модельной структуры идентифицируемого объекта могут быть только данные, внешние по отношению к процессу идентификации, полученные, например, из теоретических соображений. Если таких данных нет, то в рассматриваемой ситуации мы получаем чисто функциональную модель, которая воспроизводит с тем или иным приближением характеристики объекта, но не содержит никакой информации о его реальной структуре. Следует отметить, что это обстоятельство, существенно ограничивающее возможности идентифицируемых моделей применительно к задачам исследования сложного объекта, далеко не всегда следует рассматривать как недостаток. Например, в задачах автоматического управления, для которых существенны именно функциональные характеристики объекта, возможность отвлечься от его реальной структуры позволяет воспроизводить необходимые характеристики объекта управления с помощью простейших одношаговых итеративных алгоритмов, которые заведомо не соответствуют протекающим в объекте реальным явлениям, но позволяют наиболее рациональным образом организовать вычислительный процесс на ЭВМ. Любопытно, что идентифицируемые модели этого класса нередко используют и в тех случаях, когда объект в принципе поддается аналитическому описанию, но последнее получается чрезмерно сложным, громоздким и неудобным для анализа. Опыт показывает, что сознательное абстрагирование от реальной структуры подобных объектов и переход к идентификации их функциональных характеристик позволяют получить вполне обозримые компактные модели, которые с достаточной точностью описывают свойства сложного объектаоригинала. Второй класс задач идентификации характеризуется тем, что априорные данные о структуре моделируемого объекта, полученные теоретическим путем или определенные из конструктивных соображений, в принципе имеются. Однако какой вклад в характеристики объекта или его модели вносит тот или иной структурный компонент, наперед неизвестно, и это надлежит определить на основе эксперимента наряду со значениями соответствующих параметров. Задачи этого класса, связанные с уточнениями структуры и оцениванием параметров, часто встречаются на практике и характерны для объектов и процессов средней сложности, в частности технологических, когда определенные теоретические сведения о 76 процессе имеются, но они неполны и носят в какой-то мере гипотетический характер, так что полное аналитическое описание объекта только на основании этих данных невозможно. Третий класс задач связан с относительно простыми и хорошо изученными объектами, структура которых известна точно, и речь идет только о том, чтобы по экспериментальным данным оценить значения всех или некоторых входящих в исследуемую структуру параметров (параметрическая идентификация). Примером такой идентификации является определение параметров четырехполюсника A, B, C, D в уравнениях U1  AU 2  BI 2 , (8.6) I1  CU 2  DI 2 , которые представляют собой модели таких объектов ЭЭС, как ЛЭП, трансформатор и пр. Задача экспериментального оценивания или уточнения значений параметров модели возникает при исследовании подавляющего большинства реальных объектов, даже несложных и хорошо изученных. Общую структурную схему идентификации можно представить, как показано на рис. 4.4. Независимо от характера решаемой на основе идентификации объекта-оригинала задачи построение модели этого класса базируется на результатах измерений соответствующих величин переменных, с чем связано два существенных обстоятельства. Во-первых, эксперимент должен быть обеспечен необходимыми средствами измерения надлежащей точности (датчиками, преобразователями, приборами). Опыт показывает, что при идентификации даже несложных, но типовых объектов, создание измерительного комплекса, прежде всего в части первичных преобразователей (датчиков) и их привязки к объекту, часто перерастает в серьезную техническую проблему. Необходимые разработки специализированных средств измерения и их компонентов, следовательно, и проведение соответствующих опытно-конструкторских работ являются в подобных случаях скорее правилом, чем исключением, а это, естественно, усложняет работы и увеличивает их стоимость. Физические законы Ошибки моделирования Нелинейные ДУ в частных производных Ошибки линеаризации Линейные ДУ в частных производных Линеаризация Ошибки агрегирования Обыкновенные ДУ Редукция Априорная информация о структуре модели Объект Квантование (АЦП) Измерения Структура Апостериорная информация об измерениях Обработка данных Данные измерений Структура модели Модель объекта Оценка параметров модели Параметры Ошибки измерения Ошибки квантования Рисунок 4.4. Структурная схема идентификации объекта Во-вторых, используемый в процессе эксперимента измерительный комплекс со всеми его компонентами требует материального обеспечения, т. е. градуировки, аттестации и периодической проверки в соответствии с нормативно узаконенным требованием. Реальная ситуация с метрическим обеспечением экспериментальной аппаратуры зависит от характера величин, подлежащих измерению в каждом конкретном случае. 77 Таким образом, даже при условии вполне современного технического и технологического оборудования путь от принципиальной возможности построения модели на основе идентификации до практической реализации этой возможности в большинстве случаев оказывается длинным, сложным и трудоемким. Кроме того, проведение одного эксперимента само по себе не может требовать значительных затрат, и в этом случае возникает необходимость сокращать число возможных опытов в эксперименте без ущерба для точности математической модели. Во многих случаях этому помогает оптимальное планирование эксперимента. 4.4. Выбор структуры математической модели и вычисление ее параметров Непосредственными результатами наблюдений (опытов) в процессе проведения эксперимента являются зависимости между входами x и выходами y, представленные, как правило, в табличной форме. Построение математической модели в параметрической форме требует обработки табличных данных. При этом следует учесть, что экспериментальные данные могут содержать систематические, случайные и грубые погрешности. Обычно погрешности измерений принято представлять в виде среднеквадратической погрешности σ и двумя границами интервала, в пределах которого истинное значение измеряемого параметра находится с заданной вероятностью (Δi, Δh). На первом этапе построения математической модели необходимо выбрать вид (структуру) математической модели. Второй этап требует специальных вычислительных средств для определения параметров выбранной математической модели. Рассмотрим общий подход к подбору вида математической модели без использования каких-либо теоретических представлений о внутренней структуре моделируемого объекта. В математике такая задача носит название задачи о приближении функций. Для простоты примем объект с одним входом x и одним выходом y. Пусть на некотором множестве задана система функций φ0(x), φ1(x), …, φm(x), которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми) функциями. Назовем эту систему основной. Функции вида Qm ( x)  c00 ( x)  c11 ( x)  ...  cm m ( x), (8.7) где c0, c1, …, cm – постоянные коэффициенты, называются обобщенными многочленами прядка m. В частности, если основная система состоит из целых неотрицательных степеней переменной x, т. е. φ0(x) = 1, φ1(x) = x, …, φm(x) = xm, то Qm ( x)  c0  c1x  ...  cm x m (8.8) есть обычный полином степени m. Если 0 ( x)  1, 1 ( x)  cos x, 2 ( x)  sin x, ... (8.9) 2 m1 ( x)  cos mx, 2 m ( x)  sin mx, то Qm ( x)  a0  a1 cos x  b1 sin x...  am cos mx  bm sin mx (8.10) называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим многочленом) порядка m. Задача о приближении функций ставится следующим образом: данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным многочленом Qm(x) заданного порядка m так, чтобы откло78 нение (в смысле σ или (Δi, Δh)) функции f(x) от обобщенного многочлена Qm(x) на указанном множестве {x} было наименьшим. При этом многочлен Qm(x) в общем случае называется аппроксимирующим. Если множество {x} состоит из отдельных точек x0, x1, …, xn,то приближение называется дискретным. Если же {x} есть отрезок a ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным. На практике часто пользуются приближениями функций обычным и тригонометрическим полиномами. В теории дискретного приближения функций имеет место задача интерполяции функций. В случае обычного полинома задача интерполяции формулируется следующим образом. Для данной функции f(x) найти полином Qm(x) возможно низшей степени m, принимающей в заданных точках xi (i = 0, 1, 2, …, n; xi ≠ xj при i ≠ j) те же значения, что и f(x), т. е. такой, что Qm(xi) = f(xi) (i = 0, 1, 2, …, n). Такой полином называют интерполяционным, а точки xi (i = 0, 1, 2, …, n) – узлами интерполяции. Как известно, существует единственный полином степени не выше n, принимающий в точках xi (i = 0, 1, 2, …, n) заданные значения. Поэтому можно положить n = m. Коэффициенты a0, a1, …, an полинома Qn(x) можно определить из системы уравнений: XA  Y, (8.11)  1 x0 x02 ... x0n   a0   y0    a    2 n  1 x1 x1 ... x1   1  ; Y   y1  ; где X   ; A    ...   ...   ... ... ... ... ...       1 x x 2 ... x n  an    yn  n n n  yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, …, n). Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений есть так называемый определитель Вандермонда Δ ≠ 0, и, следовательно, система (4.11) имеет единственное решение. Интерполяция дает возможность вычислить значения функции y = = f(x) между заданными точками xi – 1 и xi (i = 1, 2, …, n). Интерполяция является частным случаем аппроксимации, когда степень интерполяционного полинома равна числу измерений без единицы и n = m (число измерений равно n + 1, а число неизвестных коэффициентов модели равно m + 1). Когда n>m, в общем случае имеем задачу аппроксимации. Для данной функции f(x) найти полином Qm(x) степени m, который в заданных точках xi (i = 0, 1, 2, …, n; xi ≠ xj при i ≠ j) доставляет минимум некоторой функции коэффициентов ai (i = 0, 1, 2, …, m): Sm(a0, a1, …, am). Такой полином называют аппроксимирующим. В общем случае Qm(x) есть обобщенный многочлен вида (4.7). Функцию Sm(a0, a1, …, am) можно выбрать в соответствии с методом наименьших квадратов как сумму квадратов отклонений полинома Qm(x) от функции f(xi) на заданном множестве точек n 2 S m   Qm ( xi )  f ( xi )  . (8.12) i 0 Такой способ носит название квадратичной аппроксимации. Коэффициенты аппроксимирующего полинома Qm(x) вычисляют посредством решения системы линейных уравнений: XT XA  XT Y, (8.13) 79  1 x0 x02 ... x0m   a0   y0    a  y  2 m  1 x1 x1 ... x1  1   1 где X    ; A   ...  ; Y   ...  ;  ... ... ... ... ...       1 x x 2 ... x m   am   yn  n n n   yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, …, n) и верхний индекс T означает операцию транспонирования матрицы. Система уравнений (4.13) получена дифференцированием критерия квадратичной аппроксимации (4.12) по искомым коэффициентам и приравниванию нулю полученных выражений. В случае обобщенного полинома (4.7) с произвольными функциями φ0(x), φ1(x), …, φm(x) в системе уравнений (4.13) вместо значений степеней x требуется подстановка значений соответствующих функций φ0(x), φ1(x), …, φm(x), вычисленных в заданных точках x. Существуют модели, которые не являются многочленами вида (4.7) и нелинейно зависят от параметров, как, например, функция 1 y ebx . (8.14) ax Здесь y нелинейно зависит от параметров a и b. К некоторым функциям такого вида применимо приведение нелинейной задачи к линейной по следующему способу. Пусть задана система точек Mi(xi, yi). Вводятся новые переменные X и Y так, чтобы преобразованные точки Ni(Xi, Yi) лежали на одной прямой. Например, степенная зависимость y = cxa посредством логарифмирования приводится к линейной: lg y  a lg x  lg c (8.15) и линейная модель в новых координатах: Y  aX  b. (8.16) Здесь Ni(Xi, Yi) = Ni(lg xi, lg yi). Некоторые функции, которые приводятся к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, представлены в табл. 4.1. Т а б л и ц а 4.1 Некоторые функции, допускающие преобразование к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации ИсходЛинейСоотношения ная ная п/п для преобразования функция функция Y=α+ Y = lg y; X = y = axb bX lg x; α = lg a Y=α+ Y = ln y; α = y = abx βx ln a; β = ln b b y a Y  ax  b Y  yx x y 1 ax  b Y  ax  b Y 1 y y x ax  b Y  ax  b Y x y y  a lg x  b Y  aX  b X  lg x 80 В тех случаях, когда невозможно перейти к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, выводятся подобные (4.13) нелинейные уравнения аналогичным способом, и их решение дает искомые коэффициенты. Вопросы для самопроверки 1. Какие основные этапы можно выделить в модельном исследовании (построении модели)? 2. Какие существуют два основных способа формирования модели? 3. В чем заключается аналитический способ построения модели? 4. В чем заключается задача идентификации технических объектов? 5. Какой эксперимент называют активным; пассивным? 6. Какие выделяют три класса задачи идентификации технических объектов? 7. Как формулируется задача интерполяции функций? 8. Как формулируется задача аппроксимации функций? 9. Как вычислить коэффициенты полинома степени m при квадратичной аппроксимации? 10. Какие функции допускают приведение задачи приближения функций к линейной ? 81 5. МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 5.1. Физические процессы и их характеристики 5.1.1. Классификация физических процессов Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления и изменения состояний объектов, можно классифицировать в самом общем виде как детерминированные и недетерминированные. К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точными математическими соотношениями. Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное на упругой пружине (рис. 5.1, а). Пусть m – масса тела, а k – коэффициент жесткости пружины. Предположим, что тело получает начальное смещение Xm из положения равновесия (рис. 5.1, б) и освобождается в момент времени t = 0. На основе фундаментальных законов механики или с помощью повторных наблюдений можно установить справедливость следующего соотношения:  k  (5.1) x(t )  X m cos  t  , t  0 .  m  Формула (5.1) достаточно точно описывает положение тела в любой момент времени в недалеком будущем. Для более точного предсказания положения тела в течение длительного времени требуется учесть затухание колебаний. Следовательно, физический процесс, характеризующий движение данного тела, относится к детерминированным. На практике встречается много физических процессов, которые с высокой точностью могут быть описаны математическими соотношениями. Например, движение спутника по околоземной орбите, изменение напряжения на конденсаторе, который разряжается через сопротивление, вибрация несбалансированного ротора генератора или изменение температуры воды при охлаждении. Детерминированные процессы можно классифицировать, как показано на рис. 5.2. Положение равновесия m m а Xm б Рисунок 5.1. Тело, подвешенное на пружине Детерминированные процессы Периодические Гармоноческие Полигармонические Непериодические Почти гармонические Переходные Рисунок 5.2. Классификация детерминированных процессов 82 Существует много процессов, имеющих недетерминированный, т. е. случайный характер. Например, изменение уровня сигнала в канале связи, температура воздуха, мощность, потребляемая из сети в заводском цехе. Точное значение такого процесса в некоторый момент времени в будущем предсказать невозможно. Эти процессы случайны по своей природе и должны описываться не точными уравнениями, а при помощи осредненных статистических характеристик. Будем обозначать случайный процесс x(t) случайной функцией от независимой переменной t. Случайные процессы можно классифицировать, как показано на рис. 5.3. Случайные процессы Стационарные Эргодические Нестационарные Неэргодические Частные случаи нестационарных процессов Рисунок 5.3. Классификация случайных процессов Во многих случаях трудно решить, относится рассматриваемый физический процесс к детерминированным или случайным. Можно, например, считать, что в действительности ни один физический процесс не является строго детерминированным, поскольку всегда существует возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут носить характер иной, чем предполагалось ранее. С другой стороны, можно утверждать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как если достаточно хорошо знать механизм изучаемого процесса, его можно описать точными математическими соотношениями. Практически решение о детерминированном или случайном характере процесса принимается исходя из возможности либо невозможности воспроизведения его при заданных условиях. Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до ошибки измерения), то можно, вообще говоря, считать процесс детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к разным исходам, то природа процесса полагается случайной. 5.1.2. Детерминированные процессы Детерминированные периодические процессы подразделяются на гармонические и полигармонические. Гармоническими называют процессы, которые могут быть описаны функцией x(t )  X m sin  2f0t    , (5.2) где Xm – амплитуда; f0 – циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу времени;  – начальная фаза, рад. Соотношение (5.2) может быть представлено графически в функции времени и в амплитудно-частотном изображении (спектре), как показано на рис. 5.4. x(t) Амплитуда Xm Xm t f –Xm f0 T а б 83 Рисунок 5.4. Гармонический процесс и его спектр 1 Циклическая частота f0  , где T – период гармонических колебаний. T Полигармонические процессы описываются функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы: x(t )  x(t  iT ), i  1, 2, 3... (5.3) Число циклов в единицу времени называется основной частотой f1. Полигармонический процесс может быть представлен рядом Фурье  a (5.4) x (t )  0    ai cos 2if1t  bi sin 2if1t , 2 i 1 где 1 2T f1  , fi  if1 , i  2, 3... ; ai   x(t ) cos 2if1tdt , i  0, 1, 2,...; T0 T bi  2T  x(t )sin 2if1tdt , i  1, 2, 3, .... T0 Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:  x(t )  X 0   X i cos  2if1  i , (5.5) i 1 b  a0 ; X i  ai2  bi2 ; i  1, 2, 3...;   arctg  i  ; i  1, 2, 3... . 2  ai  Как видно из (5.5), полигармонические процессы состоят из постоянной составляющей X0 и бесконечного числа синусоидальных составляющих, называемых гармониками, с амплитудами Xi и начальными фазами i. Частоты всех гармоник кратны основной частоте f1 . Полигармонический процесс может имеет вид, показанный на рис. 5.5, а, и соответствующий формуле (5.5) дискретный спектр, показанный на рис. 5.5, б. где X 0  Амплитуда x(t) X1 X2 t X3 X0 T а f1 f2 f3 X4 f f4 б Рисунок 5.5. Полигармонический процесс и его спектр В других случаях составляющая с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных функций с частотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5 Гц, поэтому период результирующего периодического процесса составляет 0,2 с. Следовательно, при разложении в ряд Фурье значения Xi будут равны нулю при всех i, кроме i = 12, i = 15, i = 20. Физические процессы полигармонического типа встречаются гораздо чаще простых гармонических процессов. В действительности, когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, напряжение на 84 выходе генератора переменного тока содержит небольшие колебания с частотами высших гармоник. Однако процессы, образованные при суммировании двух или более гармонических функций с произвольными частотами, не будут, вообще говоря, периодическими. Сумма двух или более синусоидальных функций образует периодический процесс только в том случае, если отношение всех возможных пар частот представляет собой рациональные числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле (5.3). Так, процесс x(t )  X1 sin(22t  1 )  X 2 sin(23t  2 )  X 3 sin(27t  3 ) (5.6) является периодическим, поскольку 2/3, 3/7 и 2/7 – рациональные числа (с основным периодом, равным единице). С другой стороны, процесс x(t )  X1 sin(22t  1)  X 2 sin(23t  2 )  X 3 sin(2 50t  3 ) (5.7) не является периодическим, поскольку числа 2 / 50 и 3 / 50 иррациональные и основной период равен бесконечности. В этом случае процесс является почти периодическим, но соотношение (5.3) не удовлетворяется при любых конечных значениях T. Таким образом, к почти периодическим относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени:  x (t )   X i sin  2fi t  i  , (5.8) i 1 имеющей хотя бы одно отношение fi / fj, которое не является рациональным числом. Дискретный спектр почти периодического процесса аналогичен спектру полигармонического процесса. К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными выше. Другими словами, переходные процессы включают в себя все не рассмотренные ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими функциями времени. Три примера распространенных переходных процессов приведены на рис. 5.6. x(t) a A  Ae x(t )    0 t t а x(t) б A  Ae  x(t )    bt t  t б 85 x(t) в A A x(t )   0 0  с в Рисунок 5.6. Примеры переходных процессов Физические переходные процессы весьма многочисленны и разнообразны. Например, процесс, изображенный на рис. 5.6, а, может описывать изменение во времени температуры проводника после отключения протекавшего по нему тока. Кривая на рис. 5.6, б может характеризовать свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы. График |X(f)| A a |X(f)| cA а |X(f)| A 2 2 f a +b f f б в Рисунок 5.7. Спектры переходных процессов на рис. 5.6, в может описывать изменение во времени механического напряжения в тросе, который подвешен на опорах линии электропередачи и разрывается в момент c. Важное отличие переходных процессов отпериодических и почти периодических состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье  x( f )   x(t )e 2it dt.  Спектр Фурье X(f) в общем случае является комплексной функцией, которая может быть записана в показательной форме: X ( f )  X ( f ) e  j( f ) . (5.9) Здесь X ( f )  модуль, а (f) – аргумент. Модули X ( f ) преобразования Фурье трех переходных процессов, изображенных на рис. 5.6, показаны на рис. 5.7. 5.1.3. Случайные процессы Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайные функции времени называют случайными процессами. Реализацией случайной функции X(t) (выборочной функцией) называется конкретный вид, который она принимает в результате опыта. Реализация случайного процесса может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случайного процесса (рис. 5.8). Совокупность реализаций случайного процесса называется ансамблем 86 реализаций. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса. X(t) x1(t) x2(t) x3(t) t Сечение случайного процесса Рисунок 5.8. Реализации случайного процесса В любом сечении случайный процесс есть случайная величина. Математическое ожидание случайного процесса есть функция времени m X (t )  M [ X (t )]. (5.10) Второй центральный момент для двух сечений случайного процесса называется ковариационной функцией    RX (t , t )  M  X (t ) X (t )  , (5.11)    где X (t )  X (t )  mX (t ) – центрированный случайный процесс. При t = t′ ковариационная функция равна дисперсии случайного процесса RX (t , t )  DX (t )  D  X (t ). (5.12) Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса могут быть найдены по реализациям случайного процесса – осреднением по реализациям: 1 N m X (t )  lim  xk (t ), N  N k 1 (5.13)  1 N  RX (t , t )  lim  x k (t ) x k (t ), N  N k 1 где N – число реализаций случайного процесса. Если математическое ожидание и ковариационная функция не зависят от времени t, то процесс является стационарным: m X (t )  m X , RX (t , t )  RX (), (5.14) где τ = t′ – t. В (5.14) ковариационная функция зависит только от величины τ, а не от места его расположения на оси времени (рис. 5.9). 87 X(t)  t t t' Рисунок 5.9. Время между двумя сечениями случайного процесса Возможный вид ковариационной функции показан на рис. 5.10. Во многих случаях используется нормированная ковариационная (или корреляционная) функция. Для стационарного случайного процесса R ( ) (5.15) rX ()  X . DX Величина корреляционной функции |rX(τ)| ≤ 1. Возможно осреднение по времени отдельных выборочных функций (реализаций). Для k-й выборочной функции имеем: 1T m X  lim  xk (t ) dt , T  T 0 (5.16)  1 T   RX ()  lim  x k (t ) x k (t  )dt. T  T   0 RX() DX  Рисунок 5.10. Ковариационная функция случайного процесса Если случайный процесс X(t) стационарен и характеристики mX и RX(τ) одинаковы для различных выборочных функций, то такой процесс называют эргодическим. Эргодические процессы представляют важный класс случайных процессов. Нестационарными случайными процессами являются все случайные процессы, не обладающие свойствами стационарности. Эти процессы сложны в исследованиях, и зачастую в задачах по анализу их разбивают на интервалы стационарности или приближенно аппроксимируют стационарными процессами. 5.2. Методологические основы прогнозирования Прогноз научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем и/или об альтернативных путях и сроках их осуществления. 88 Можно выделить два вида прогнозируемых характеристик системы, зависящих от времени: переменные состояния и переменные интенсивности. Переменная состояния определяется периодически, и ее значение в течение небольшого интервала времени не зависит от времени, прошедшего с начала наблюдения. Переменная интенсивности также определяется периодически, но ее значение пропорционально времени, прошедшему с момента предыдущего наблюдения. Такие характеристики системы, как температура, скорость, число подписчиков на журнал или цена, являются примерами переменных состояния. В качестве примеров переменной интенсивности можно привести количество выпавших осадков, количество переданной электроэнергии, количество проданных экземпляров или спрос. Если переменная состояния характеризует количество, то переменная интенсивности – скорость его изменения. Если прогноз делается в момент времени t0, то используются данные о течении процесса до этого момента. Такие данные называются ретроспективой и могут быть описаны какой-либо математической моделью физического процесса. Время, в течение которого были собраны данные о процессе, называется временем ретроспективы Lрет. Время, на которое делается прогноз, называется временем упреждения – Lупр (рис. 5.11). x(t) Lрет Lупр t0 t Рисунок 5.11. Время ретроспективы и упреждения Процессы прогнозирования переменных состояния и интенсивности отличаются друг от друга следующими особенностями:  если измерения характеристик системы проводятся через равные интервалы времени, то величину интервала необходимо учитывать при оценке переменных интенсивности, в то время как при оценке переменных состояния эта величина не имеет значения;  так как прогнозы обычно осуществляются для нескольких последовательных интервалов времени в пределах некоторого времени упреждения, по истечении которого становятся важными результаты реализации принятых решений, то правильный прогноз переменной состояния должен определять ее значение в конце времени упреждения, а прогноз переменной интенсивности должен представлять собой сумму прогнозов на протяжении времени упреждения;  функция распределения во времени вероятностей ошибок прогноза для переменной состояния должна соответствовать функции распределения вероятностей ошибок в исходных данных, тогда как для переменной интенсивности закон распределения вероятностей ошибок прогноза во времени стремится к нормальному при любом законе распределения вероятностей ошибок в исходных данных, поскольку эти ошибки представляют собой сумму ошибок прогноза в отдельные интервалы времени. Объектами прогнозирования могут быть процессы, явления, события. Здесь рассматриваются вопросы прогнозирования физических процессов. Прогноз разделяют на текущий, краткосрочный и долгосрочный. Сравнительная характеристика этих прогнозов дана в табл. 5.1. Методы прогнозирования можно подразделить на три вида:  статистические (описательные);  причинно-следственные; 89  комбинированные. Статистические методы не вскрывают внутренних связей в системе и влияния внешней среды и по существу экстраполируют детерминированный или стохастический процесс по подобранной математической модели. Причинно-следственные модели прогноза учитывают влияние окружающей среды и позволяют выделить причины изменений в системе. Прогноз, полученный по такой модели, объясняет будущее сис-темы. Т а б л и ц а 5.1 Характеристика различных видов прогноза Вид прогноза Признак краткосрочдолгосрочоперативный ный ный Время упреж1…2 суток До 1…2 лет На 5…20 лет дения Соотношение Lупр и Lрет Тип испольИнтервальНепрерывные Интервальзуемой инфорная качестпроцессы ная мации венная СтационарНеустойчиность, эргоУстойчивость и неОсновные гидичность, вость тенравномерпотезы устойчивость денций ность развисредних тия Системные, Определяющие Физические, причинноЭволюционзаконы функвероятностследственные ционирования ные ные Если процесс является периодическим, то частота наблюдений должна быть, по крайней мере, вдвое больше частоты изучаемого процесса. Важное значение имеет анализ исходных данных для прогнозирования. Данные являются результатами выборочных наблюдений, в которых возможны выбросы, т. е. значения, которые появились в результате аномальных эффектов (чрезвычайно большая температура в помещении вследствие поломки кондиционера, большой спрос на продукцию во время забастовок, изменение потребления электроэнергии Спрос на продукцию Начальная фаза роста Фаза наивысшего уровня Фаза спада (продукция исчезает с рынка) t Рисунок 5.12. Кривые жизненного цикла продукции в период экономических и социальных перемен и т. п.). Поэтому не всякая совокупность является подходящим временным рядом, и перед построением модели прогноза необходимо из данных исключить выбросы, которые не характеризуют прогнозируемый процесс. Некоторые процессы поддаются графоаналитическому описанию в силу некоторых физических, экологических и даже экономических закономерностей, Так, например, замечена закономерность появления и спада спроса на некоторую продукцию на рынке (рис. 5.12). 90 Известны и хорошо подтверждаются на практике экологические модели размножения и гибели популяций. 5.3. Экспоненциальная модель прогнозирования Во многих случаях в качестве математического описания физических процессов используется экспоненциальная функция. Рассмотрим такую модель на примере процесса распада радиоактивного элемента. Известно, что скорость распада любого радиоактивного элемента прямо пропорциональна наличной его массе: dx  kx, k  0 . (5.17) dt Знак минус указывает на убывание массы. Разделим переменные в дифференциальном уравнении (5.17): dx  kdt (5.18) x и после интегрирования получим (5.19) ln x   kt  C. При t = 0 из (5.19) будем иметь C = lnx0, где x0 – количество массы в начальный момент времени, тогда x (5.20) ln x  ln x0  kt и ln   kt , x0 откуда x(t )  x0e kt , t  0 , (5.21) где k – константа, которая может быть определена экспериментальным путем. Пусть за время t = t – t0 распалось % радиоактивного элемента, тогда остаток (рис. 5.14).      k t    k t . (5.22) и 1  1   x0  x0e e  100   100  x x0 x0/100 x0(1 - /100) t t0 t t Рисунок 5.14. Определение параметра модели распада радиоактивного элемента Логарифмируя полученное выражение и выражая коэффициент k, получим 1    (5.23) k   ln 1  . t  100  Для элемента радия k = 0,00044 1/год. Во многих случаях экспоненциальная модель зарекомендовала себя очень хорошо как в случае убывания некоторой субстанции, так и для роста субстанции. В общем случае модель формулируется следующим образом: скорость изменения некоторой субстанции (роста, спада) пропорциональна уже имеющемуся количеству. Так, например, скорость увеличения выработанной электрической энергии 91 dW  W ,   0 , (5.24) dt т. е. прирост показателя в единицу времени пропорционален уже имеющемуся количеству (достигнутому уровню) с неизменным коэффициентом пропорциональности = const. В логарифмических координатах зависимость ln W(t) – прямая линия. ln W (t )  t  ln C. (5.25) В случае начала отсчета t = t0 (t0 ≠ 0), W = W0 и ln W0  t0  ln C , (5.26) откуда ln C  ln W0  t0 (5.27) и ln W (t )  ln W0  (t  t0 ). (5.28) Окончательно получаем модель W (t )  W0e (t t0 ) . (5.29) В некоторых случаях оказывается более удобной модель с постоянным коэффициентом : W (t )  W0e (t t0 )  . (5.30) 5.4. Логистическая модель прогнозирования Экспоненциальная модель достаточно хорошо описывает процесс на этапах развития без влияния каких-либо мешающих внешних факторов, при этом темп роста (спада) остается неизменным. Однако во многих случаях на протяжении достаточно большого времени темп процесса не может считаться постоянным. Рассмотрим модель процесса производства электроэнергии. Замечено, что темп роста производства электроэнергии непостоянен и с увеличением времени снижается. Это связано со многими факторами, среди которых главные: стремление к экономии электроэнергии, появление новых энергосберегающих технологий и ограничение энергетических ресурсов (рис. 5.14). ln W Прямая линия при постоянстве темпов роста Реальная зависимостьтемп роста снижается ln W(t0) ln W(0) t t0 Рисунок 5.14. Процесс выработки электроэнергии в логарифмических координатах Для описания целого ряда массовых явлений, где одна группа факторов способствует развитию процесса, а другая, напротив, его тормозит, причем тем значительнее, чем дальше продвинулся процесс, используется так называемая логистическая (s-образная) кривая. 92 В случае, когда  = const, процесс производства электрической энергии выражается формулой (5.29) и в логарифмических координатах записывается как ln W (t )  ln W0  (t  t0 ). (5.31) Возьмем производную от (5.31) по времени d ln W (t )  . (5.32) dt Если на всем рассматриваемом интервале времени производная (5.32) постоянна, то это экспоненциальная модель, в противном случае d ln W (t )  (t ). (5.33) dt Так как со временем темп роста уменьшается, то можно предположить, что (t) есть монотонно убывающая функция, и также использовать для нее экспоненциальную модель (t )   0et ,   0 . (5.34) Логарифмируя выражение (5.34), получаем ln   ln 0  t. (5.35) Таким образом, в логарифмических координатах (5.35) есть прямая линия (рис. 5.15). t ln 0 ln  Рисунок 5.15. Зависимость темпа роста процесса в логарифмических координатах Эта модель также могла быть получена из решения дифференциального уравнения (скорость уменьшения темпа  пропорциональна имеющейся величине) d  . (5.36) dt При начальных условиях t = t0 и (t0) = 0 уравнение (5.36) имеет решение: (t )  0e (t t0 ) . (5.37) Подставляя (5.37) в (5.32), будем иметь дифференциальное уравнение d ln W (t )   0e (t t0 ) , (5.38) dt решить которое можно разделением переменных d ln W (t )  0e (t t0 ) dt (5.39) и интегрированием от момента времени t0 до момента t: ln W (t )  t d ln W (t )  0  e (t t0 ) dt ln W (t0 ) (5.40) t0 и ln W (t )  ln W (t0 )   0  (t t0 )  (t0 t0 ) e e .    (5.41) 93 Имея в виду, что W0  W (t0 ) и e (t0 t0 )  1 , получаем   0 e (t t0 ) 1    W (t )  W0 e . (5.42) Полученное выражение (5.42) является логистической моделью процесса. С помощью этой модели достаточно хорошо описывается процесс годовой выработки электроэнергии во многих странах мира за последние десятилетия. В СССР в 1960-е годы прирост электроэнергии составлял 5…6 % в год, в 80-е годы он снизился до 2…3 % в год. Аналогичная картина имеется и в некоторых других странах. В тех случаях, когда зависимость ln (t) не является прямой линией, логистическая модель не может быть использована. 5.5. Прогнозирование случайных процессов Прогнозирование случайных процессов использует статистические характеристики процессов, такие как математическое ожидание M[X(t)] и ковариационная функция RX(τ). Особое значение имеет время, в течение которого между сечениями случайного процесса сохраняется статистическая связь – τ0. Иногда 0 – это половина ширины основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля rX(τ) – корреляционной функции случайного процесса: 1  (5.43) 0   rX () d  . 2  Если τ0 = 0, то процесс представляет собой «белый шум». Для тепловой электростанции можно оценить время τ0 некоторых процессов:  флуктуация яркости факела в топке – доли секунды;  температура перегретого пара – минуты;  нагрузка генератора и расход топлива – десятки минут;  теплотворная способность твердого топлива – десятки суток. Время τ0 называют еще интервалом корреляции процесса. Ошибка прогноза есть разница действительного и прогнозного значений процесса:  (5.44) e()  X (t0  )  X (t0  ) . Дисперсия ошибки прогноза может быть получена как математическое ожидание квадрата ошибки процесса, так как математическое ожидание стационарного случайного процесса неизменно во времени: 2      2 (5.45) e ()  M   X (t0  )  X (t0  )   ,     где t0 – момент времени, в который выполняется прогноз;  – время упреждения; X(t0 + ) –  истинное значение процесса на момент прогноза; X (t0  )  прогнозное значение. Существует три основных метода прогнозирования случайного процесса:  по последнему значению,  по математическому ожиданию,  по условному математическому ожиданию (статистический прогноз). Прогноз по последнему значению Прогнозное значение принимается равным последнему значению  X (t0  )  X (t0 ). (5.46) Ошибка прогноза e()  X (t0  )  X (t0 ). (5.47) 94 Дисперсия ошибки e2  M  X (t 2   )  X (t 0 )    2X  2 RX ()  2X  2 2X  RX ()  . (5.48)   Дисперсия ошибки растет от 0 при θ = 0 до удвоенной дисперсии процесса при θ → ∞, но на отдельных, близких к начальному моменту времени интервалах, может превышать удвоенную дисперсию процесса, что объясняется возможной отрицательной корреляцией сечений процесса. Прогноз по математическому ожиданию Прогнозное значение принимается равным математическому ожиданию процесса  (5.49) X (t0  )  m X . Ошибка прогноза равна e()  X (t0  )  mX . Дисперсия ошибки e2  M  X (t (5.50) 2  )  m X   2 X . (5.51) Статистический прогноз В качестве прогнозного значения берется условное математическое ожидание процесса в сечении на момент времени t0 + θ. Обозначим случайный процесс в сечении на момент времени t0 через X, а в момент времени t0 + θ через Y и рассмотрим их как систему двух случайных величин (X,Y). Таким образом,  X (t0  )  mY / X . (5.52) Ошибка прогноза e()  X (t0  )  mY / X . (5.53) Дисперсия ошибки есть условная дисперсия случайной величины Y:  2 e2  M Y  mY / X   2 Y/X . (5.54) Условное математическое ожидание случайной величины Y:  (5.55) mY / X  mY  rX ,Y Y  x  mX  , X где rX,Y– коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y; mX и mY – безусловные математические ожидания случайных величин X и Y; σX и σY – среднеквадратические отклонения случайных величин X и Y. Таким образом, с учетом mX = mY = m и σX = σY = σ имеем прогнозное значение  (5.56) X (t0  )  m  rX ()  X (t0 )  m  и дисперсию ошибки прогноза e2  2 1  rX2 ()  , (5.57)   где σ = σX – среднеквадратическое отклонение процесса. Сопоставление методов прогноза Сравнивая методы прогноза, можно сделать следующие заключения.  Прогнозное значение не зависит от времени упреждения для первого и второго методов.  Ошибка прогноза в методе по последнему значению в сильной мере зависит от времени упреждения. При малом θ дисперсия ошибки невелика (рис. 5.16, кривая 1), но с ростом θ стремится к удвоенному значению дисперсии процесса и при отрицательной корре95 ляции между сечениями процесс может превышать удвоенное значение дисперсии процесса. Поэтому первый метод хорошо использовать для прогнозирования на малые периоды времени.  e2 1  X2 2  X2 3  Рисунок 5.16. Погрешности трех методов прогноза  Третий, статистический, метод при малом времени упреждения приближается к методу по последнему значению (рис. 5.16, кривая 3), а с ростом θ имеет наименьшую погрешность из всех рассмотренных методов. С ослаблением статистической связи между сечениями процесса ошибка статистического прогноза приближается к ошибке метода по математическому ожиданию (рис. 5.16, кривая 2). Поэтому для краткосрочного и долгосрочного прогноза случайная составляющая процесса никак не влияет на прогноз.  5.6. Прогнозирование суточных графиков нагрузки Оперативный прогноз суточных графиков нагрузки энергосистемы выполняется на следующие сутки и на несколько суток вперед. На режим потребления электрической энергии огромное влияние оказывают состав потребителей ЭЭС, продолжительность рабочей недели (количество смен в сутки), степень загрузки смен промышленных предприятий, метеорологические факторы, а также некоторые другие. Существенное значение в составе нагрузки имеет соотношение между промышленными потребителями и коммунально-бытовым сектором (рис. 5.17). % P 100 % 100 P Зима Зима 70...80 Лето 50...60 Лето t 24 ч t 24 ч б б Рисунок 5.17. Суточные графики нагрузки: а – со значительной составляющей бытовой нагрузки; б – с преобладанием промышленной нагрузки а a Если система имеет значительную бытовую нагрузку, то вечерний максимум значительно больше утреннего (рис. 5.17, а). Эта разница особенно заметна в летнее время. Летом максимум наступает намного позже, чем зимний. Летом максимум – пикообразный, а зимой – пологий. Минимальная нагрузка составляет 50…60 % от максимальной нагрузки. 96 В энергосистемах с преобладанием промышленной нагрузки имеется два явно выраженных максимума: утренний и вечерний (рис. 5.17, б). Суточный график таких систем более ровный, и минимальная нагрузка составляет 70…80 % от максимальной. В некоторых энергосистемах нагрузка утреннего максимума может быть больше, чем вечернего. Характер суточного графика нагрузки зависит от освещенности и температуры воздуха (рис. 5.18). При малой освещенности в дневное время нагрузка возрастает и утренний пик становится более продолжительным (рис. 5.18, а). При низкой температуре воздуха нагрузка также возрастает, особенно днем (рис. 5.18, б). P P Пасмурный день Холодный день Ясный день Теплый день t а 24 ч а t 24 ч б б Рисунок 5.18. Суточные графики нагрузки: а – при разной освещенности; б – при разной температуре Наиболее важные графики нагрузки – в период зимнего максимума и летнего минимума, когда следует заботиться о достаточном резерве мощности и соответственно иметь маневренные станции с малым технологическим минимумом. В настоящее время соотношение нагрузок в ЭЭС составляет 0,5…0,8. Суточные графики реактивной мощности ЭЭС в основном определяются потреблением реактивной мощности асинхронными двигателями (примерно 70 % все потребляемой реактивной мощности) и потерями в трансформаторах (около 20 %). На суммарные суточные графики реактивной нагрузки ЭЭС влияют режимы работы линий напряжением 220 кВ и выше, а также общий уровень компенсации реактивной мощности в системе. На рис. 5.19 показаны суточные графики активной и реактивной нагрузки для двух энергосистем: с преобладанием промышленной нагрузки (рис. 5.19, а) и с преобладанием бытовой нагрузки (рис. 5.19, б). Системы имеют примерно одинаковые активные нагрузки в утренний и вечерний максимум, но в первой системе утренний максимум реактивной мощности выше вечернего, что объясняется преобладанием в составе нагрузки асинхронных двигателей. Во втором случае вечерняя активная нагрузка выше утренней и вечерний максимум реактивной мощности больше утреннего. Оперативное прогнозирование суточных графиков нагрузки рабочего дня ЭЭС производится на основании графика предыдущего дня, графика соответствующего дня предыдущей недели и прогноза по-годы. P,Q P,Q P P Q Q t 24 ч а t 24 ч б 97 Рисунок 5.19. Суточные графики активной и реактивной мощности в ЭЭС: а – с преобладанием промышленной нагрузки; б – с преобладанием бытовой нагрузки Графики нагрузки выходных дней (суббота, воскресенье), а также послевыходного дня (понедельник) существенно отличаются от графиков обычных выходных дней (рис. 5.20). Они составляются на основании графиков предыдущих выходных и послевыходных дней, прогноза погоды и других влияющих факторов. Погрешность прогноза обычно составляет 2…3 %. Рисунок 5.20. Недельный график мощности нагрузки ЕЭС РФ Для суточного графика нагрузки различают следующие показатели:  максимум активной и реактивной нагрузок Pmax и Qmax;  коэффициент мощности максимума нагрузки cos φmax;  суточный расход активной и реактивной энергии Wа.сут и Wр.сут;  средневзвешенный за сутки коэффициент реактивной мощности Wр.сут tg сут  ; Wа.сут  коэффициенты заполнения суточного графика активной и реактивной энергии Wа.сут Wр.сут а  , р  . 24 Pmax 24Qmax Эти показатели полезно иметь как при эксплуатации (оперативный и краткосрочный прогноз), так и при проектировании (долгосрочный прогноз) ЭЭС. При проектировании ЭЭС суточные графики нагрузок позволяют правильно выбрать суммарную установленную мощность новых электрических станций и их состав. При прогнозировании суточных графиков нагрузки в проектной постановке используются в основном два подхода: статистический и синтетический. Статистический подход основан на экстраполяции графиков нагрузки прошлых лет. Для сопоставимости суточных графиков за разные годы часовые нагрузки представляются в относительных единицах. Для каждого характерного дня недели каждого месяца строится столько графиков, сколько лет рассматривается. Вначале прогнозируется форма графика – график в относительных единицах. Затем отдельно рост средней суточной мощности. После этого получается график нагрузки в именованных единицах. При синтетическом подходе анализируется структура электропотребления каждой группы потребителей и посредством суммирования нагрузок по отдельным группам получается суммарный график ЭЭС. 5.7. Анализ временных рядов 98 Графики нагрузки в ЭЭС являются последовательностями наблюдений или расчетных значений, показывающих изменения мощности в течение определенного периода времени. В суточных, недельных и годовых графиках отображается периодичность процесса изменения мощности нагрузки, связанная с режимом работы людей, сменой дня и ночи, недельными циклами и сезонными изменениями в течение года. Суточные графики дней недели в общем повторяются изо дня в день с небольшими случайными различиями и режимами выходных и праздничных дней. Средний рост или снижение нагрузки в течение недели или нескольких недель связан с сезонными изменениями, в особенности в осенний и весенний периоды. Такие изменения, происходящие в среднем, относят к трендовым (непериодическим) составляющим графика нагрузки. Эти изменения для годовых графиков обусловлены естественным ростом нагрузки потребителей. Суточные, недельные и годовые графики нагрузки часто прогнозируют посредством разделения их на трендовую, периодическую и случайную составляющие: X (t )  Q(t )  S (t )  U (t ), (5.58) где Q(t) – тренд – устойчивые систематические изменения;S(t) – периодическая составляющая – колебания относительно тренда;U(t) – нерегулярная составляющая – случайный шум. Подобный подход справедлив, если принять гипотезу о том, что резких изменений во временном ряду не произойдет. Пусть имеется временной ряд значений месячных максимумов мощности нагрузки за несколько лет (рис. 5.21). 700 600 wi 500 y(x) 400 300 10 20 30 40 50 60 70 80 i x Рисунок 5.21. Ретроспектива временного ряда Для выделения трендовой составляющей часто используют полиномиальную модель до третьего порядка включительно: Q0 (t )  a0 , Q1 (t )  a0  a1t , Q2 (t )  a0  a1t  a2t 2 , (5.59) Q3 (t )  a0  a1t  a2t 2  a3t 3 . Иногда при выделении тренда предварительно применяют процедуру сглаживания, которая устраняет периодическую и случайную составляющие. После вычитания из X(t) трендовой составляющей получается временной ряд, имеющий периодическую составляющую, которая вызвана суточными, недельными и сезонными периодами. 99 200 100 wi v(x) 100 200 10 20 30 40 50 60 70 80 i x Рисунок 5.22. Временной ряд без трендовой составляющей Если имеется N результатов наблюдений за период T (N = 12 в годовом цикле, N = 7 – в недельном и N = 24 – в суточном), то периодическая модель процесса может быть представлена рядом Фурье n S (t )    ak cos 2f1kt  bk sin 2f1kt , (5.60) k 1 где n – количество частот, включенных в модель. В общем случае наивысшая частота гармонического разложения дискретного ряда, называемая частотой Найквиста, определяется половиной интервала между наблюдениями, например при N = 12, n = 24. 1 f1  – основная частота гармонического ряда. N Дисперсия, учитываемая i-й гармоникой: a 2  bi2 (5.61) Di  i . 2 Суммарная дисперсия D   Di . Как правило, первые три гармоники описывают до i 90 % всей дисперсии. Случайная составляющая U (t )  X (t )  S (t )  S (t ). (5.62) Для U(t) определяются статистические характеристики. Прогноз случайной составляющей ведется по одной из моделей прогноза случайного процесса. Сразу следует оценить интервал корреляции, и если прогноз ведется на время упреждения больше, чем интервал корреляции, то фактически по случайной составляющей оценивается лишь ошибка прогноза, так как после вычитания регулярных составляющих математическое ожидание процесса равно нулю. Оценка коэффициентов моделей регулярных составляющих Тренд Оценка коэффициентов полиномиальной модели тренда может быть сделана разными способами: 1) спомощьюфункций Mathcad c := regress(k,P,m) иQm(t) := in-terp(c,k,P,t). Здесь c – вектор коэффициентов, используемый функцией interp; k – вектор дискретных моментов времени, для которых заданы значения ретроспективы; P – вектор значений ретроспективы; m – порядок полинома (как 0, 1, 2 или 3); t – аргумент функции тренда. Можно также записать Qm(t) = interp(regress(k,P,m), k,P,t); 2) как решение системы линейных уравнений по методу наименьших квадратов A = m (VTV)–1VTP. Функция тренда: Qm (t )   Ai t i . Здесь V – матрица, первый столбец которой i 0 100 состоит из единиц, второй – вектор k, третий вектор из элементов k в квадрате и т. д. Vi,j = = kij–1( i = 1…n, j = 1… m + 1), где n – количество данных ретроспективы. Экспоненциальная модель тренда может быть получена с помощью функции expfit(k,P,vg), которая возвращает вектор коэффициентов модели Q(t )  aebt  c . Здесь вектор vg – начальные приближения для искомых коэффициентов модели. Периодическая составляющая Коэффициенты полигармонической составляющей процесса являются коэффициентами гармонического полинома вида (5.60). Вектор коэффициентов модели получается как решение системы линейных уравнений B = (VTV) –1VTW. Здесь V – матрица из n строк и 2m столбцов; n – количество данных ретроспективы; m – количество частот, включенных в модель. Каждая последовательная пара столбцов матрицы V соответствует одной частоте и состоит из коэффициентов, вычисляемых как функции косинуса и синуса из выражения (5.60): j j   Vi ,2 j 1  cos  2i  ; Vi ,2 j  sin  2i  i  1...n; j  1...m, (5.63) N N   W – вектор, полученный из P вычитанием трендовой составляющей. Возможно моделирование периодической составляющей с помощью другого представления ряда Фурье: m S (t )   X i cos  2if1t  i  , (5.64) i 1 b где искомыми параметрами являются X i  ai2  bi2 , i  arctg  i  ai  .  Вопросы для самопроверки 1. Как подразделяются детерминированные физические процессы? 2. Как подразделяются случайные физические процессы? 3. Что такое прогноз? 4. Какие два вида переменных, зависящих от времени, выделяют при прогнозировании? 5. Как подразделяют прогноз по времени упреждения? 6. Дайте определение экспоненциальной модели прогнозирования. 7. В чем принципиальное различие логистической и экспоненциальной моделей прогнозирования? 8. Какие основные методы используют для прогнозирования случайных процессов? 9. Какие факторы влияют на прогноз суточных графиков нагрузки электроэнергетической системы? 10. В чем заключается прогноз графиков нагрузки методом анализа временных рядов? 101 6 Естественно-научные основы теории подобия 6.1 Системный подход к изучению явлений природы В основе научного подхода к изучению явлений природы лежат четыре принципа: принцип объективности - существует объективный мир, не зависящий от присутствия наблюдателя и данный нам в ощущениях, правильно отражающих его суть; принцип детерминизма - все явления взаимообусловливают друг друга, выступая по отношению друг к другу в роли причин и следствий; причина определяет следствие, прошлое и настоящее определяют будущее; как следствие принцип антителеологичности - все, что кажется целенаправленным, можно объяснить действием естественных «слепых» законов; принцип редукционизма - первопричины всех явлений лежат в поведении элементов, из которых построено явление; знание законов микромира определяет уровень наших знаний макроявлений; принцип экспериментальности и повторяемости - научным считается только результат, который может быть экспериментально подтвержден во многих научных лабораториях; все можно измерить, дать количественную оценку; неизмеряемым сущностям нет места в науке. В настоящее время эти принципы дополнены принципами системного подхода к изучению природы. При этом природа рассматривается как сложная система. Слово «система» означает «целое, составленное из частей». Под системой понимают совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность. Известно, что в свойствах и поведении сложных систем независимо от природы составляющих их элементов прослеживаются четкие аналогии, что позволяет сформулировать общесистемные принципы, являющиеся наиболее фундаментальными законами природы: • Принцип единства Вселенной: все явления Вселенной находятся в тесной и неразрывной взаимосвязи. Другими словами все явления мира информационно связаны друг с другом (с учетом конечной скорости передачи информации). Наиболее ярко это проявляется в квантовой механике, описывающей элементарные частицы в виде полей вероятности, взаимопроникающих друг в друга. Принцип дуальности: любое явление в природе рождается в паре со своим отрицанием. Частные случаи принципа дуальности: закон Дао (инь-ян); закон единства и борьбы противоположностей (Гегель); принцип дополнительности Н.Бора: понять явление можно, только применив для этого взаимоисключающие классы понятий, которые могут использоваться обособленно в зависимости от конкретных условий, но только взятые вместе дают полное знание о данном явлении; Принцип ЛеШателье - Брауна: на любое изменение Вселенная откликается возникновением процессов, тормозящих данное изменение. Принцип иерархичности: любая система состоит из элементов, каждый из которых сам является системой; сама система одновременно является элементом системы более высокого уровня. Принцип подобия: часть является миниатюрной копией целого и повторяет его историю. К частным случаям принципа подобия можно отнести: изоморфизм законов природы: различные по природе явления, базирующиеся на различных материальных носителях, описываются одними и теми же по форме уравнениями (наука всегда занималась не столько постижением сути явлений, сколько выяснением формы отношений между величинами, характеризующими явления; именно изоморфизм уравнений лежит в основе теории подобия и моделирования); биогенетический закон Ф. Мюллера и Э. Геккеля: онтогенез, то есть индивидуальное развитие особи (биосистемы), повторяет филогенез - эволюцию вида; 102 геогенетический закон Д.В. Рундквиста: минералогические процессы в короткие интервалы времени повторяют (в измененном виде, со своими «акцентами») общую историю геологического развития Земли; системогенетический закон Н.Ф. Реймерса: все системы в индивидуальном развитии повторяют в сокращенной и нередко закономерно измененной и обобщенной форме эволюционный путь развития данного вида систем; закон экологического соответствия: строение организмов соответствует условиям среды обитания; закон естественного отбора Ч. Дарвина: наибольшие шансы на выживание имеют системы, наилучшим образом адаптированные к условиям окружающей среды. Аксиома эмерджентности: целое всегда обладает особыми свойствами, отсутствующими у его частей, и не равно сумме элементов, не объединенных системообразующими связями. Другими словами, при объединении элементов в систему сама система в целом приобретает дополнительные свойства, не присущие ни одному из ее элементов, а потому не разложимые на отдельные составляющие. Принцип системной целостности: элементы, объединенные системообразующими связями, приобретают новые свойства, обеспечивающие системное единство. Принцип оптимальности: любая система стремится к равновесным состояниям с наименьшим количеством напряжений. Принцип оптимальности можно свести к двум положениям: - любая система стремится занять состояние, вариации которого (локальные изменения) практически не влияют на состояние системы в целом (на величину интегральных параметров); - из всех возможных состояний в каждый момент времени реализуется то состояние, с которым связано наименьшее количество изменений. Частные случаи принципа оптимальности: вариационные принципы (принцип наименьшего действия, принцип минимизации энергии, принцип минимума прироста энтропии и т.п.); законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и т.п.; принцип роста энтропии (второй закон термодинамики) - замкнутая термодинамическая система стремится к равновесному состоянию, характеризующемуся максимальным значением энтропии. С учетом перечисленных общесистемных законов можно сформулировать дополнительные принципы, после чего научный подход формулируется уже как системный подход к изучению природы: дедуктивность - постулируются осуществимые модели, и уже из них в виде теорем выводятся законы, позволяющие существовать таким моделям; то есть могут существовать и такие явления, понять механику которых мы пока не в состоянии, а также явления, которые ввиду своей редкости или других особенностей невозможно исследовать в лаборатории; рекуррентность - свойства системы данного уровня выводятся исходя из постулируемых свойств и связей элементов (тем самым узаконивается постулируемая эмерджентность систем, к которой неприменим принцип редукционизма); телеологичность - свойства элементов системы могут быть подчинены системной целесообразности, то есть закон природы может диктоваться «сверху», от системной целостности, а не только от свойств элементов. Особенности научного метода познания Под аналогиями (подобием) понимается тождественность форм различных по сути явлений. В основе аналогий лежит единство природы, а потому одни и те же законы определяют характер самых различных на первый взгляд явлений. К наиболее характерным примерам аналогий в природе можно отнести явление резонанса, то есть избирательного накопления энергии за счет положительной обратной связи. Так, 103 радиоприемник из радиоволн различной частоты выбирает и усиливает именно ту несущую частоту, которая отвечает параметрам его резонансного контура. Именно на аналогиях построена способность человека познавать мир. Так, периодическая повторяемость некоторых событий дает человеку ощущение предсказуемости, порождая стереотип - элементарную мысленную конструкцию, на которую человек может опереться как на нечто знакомое, некую аксиому, принимаемую без доказательства. Стереотип нельзя разложить на элементарные составляющие, его нельзя понять, его можно только принять на веру как данность. Если при изучении явления человек обнаруживает в нем присутствие некоторой реальности, которую можно соотнести с каким-то стереотипом, то рождается ощущение знакомости. Данное явление уже не кажется чем-то непредсказуемым. В этом состоит суть понимания. Понять явление - значит соотнести его с одним или несколькими стереотипами. Стереотип - это явление субъективного мира человека, являющееся отражением некой особенности объективной реальности - архетипа, существующего независимо от познающего субъекта. Внешняя, формальная сторона этой особенности (феномен), определяющая ее повторяемость, предсказуемость, а также возможность локализовать, выделить ее из окружающей реальности как нечто относительно законченное, целостное, может быть отражена в стереотипе достаточно полно. Однако внутренняя суть, природа этой особенности (ноумен) в стереотипе не присутствует. Поэтому можно сказать, что стереотип - это чистая форма, лишенная содержания. Формальная природа стереотипа, отсутствие в нем внутреннего содержания, позволяет соотносить его с формой различных по сути явлений окружающей реальности. При этом человек способен отмечать общность их форм. Таким образом человек создает абстракции, то есть особые стереотипы, содержащие в себе результат обобщения отдельных формальных сторон различных явлений, объединенных по принципу аналогии, подобия в едином понятии (рис. 6.1). Рисунок 6.1 Научный метод познания Познавая мир, человек строит познавательный базис в форме системы абстракций, составляющей основу его мировоззренческой платформы. В дальнейшем любое новое явление соотносится с этой системой. Если какая-то абстракция резонирует с одной из особенностей изучаемого явления, то из памяти вызываются соответствующие стереотипы и возникает понимание. 104 Обычно любое изначально целостное и неразложимое явление природы соотносится в человеческом мышлении не с одним, а с целым комплексом абстракций, каждая из которых соответствует лишь какой- то особенности данного явления. Такой метод работы мыслительного аппарата человека называется анализом (рис. 6.2). В процессе анализа человек раскладывает в своем мышлении единое явление на составляющие по принципу подобия каждой из них с аналогичными составляющими (сторонами, особенностями) других явлений. Рисунок 6.2. Анализ и синтез в познании Но одного анализа для понимания явления оказывается недостаточно. Второй ступенью познания является синтез. Из выделенных в процессе анализа абстракций человек строит мысленные конструкции, которые в основных аспектах подобны реальным явлениям. Таким образом человек создает мысленные модели (образы). Эти модели дополняют мировоззренческую платформу человека, становясь отправной точкой для дальнейшей познавательной деятельности. Модель повторяет лишь наиболее существенные стороны моделируемого явления и не учитывает (абстрагируется от) второстепенных. Поэтому приведенный алгоритм процесса познания несет в себе вероятность огрубления моделей. Такое добровольное самоограничение во многом разгружает мыслительный аппарат, позволяя добиться четкого понимания некоторых конкретных механизмов реальных явлений. В то же время в модели не находят отражение такие стороны явлений, которые человек либо посчитал несущественными, либо упустил из внимания, например, потому что в его стереотипной базе не нашлось соответствующих аналогов (см. рис. 6.2). То есть в модели находит отражение только часть природы явления. Кроме того, в ней могут присутствовать и лишние («мусорные») элементы, соответствия которым отсутствуют в оригинале, что еще более огрубляет модель. Пренебрежение тонкими, слабо проявленными особенностями реального явления рождает иллюзию локальности, изолированности данного явления от своего окружения. В результате в понимании человека формируется так называемая множественная картина мира, суть которой в том, что мир представляется как нечто, состоящее из множества явлений, событий, объектов. Эти объекты кажутся обособленными друг от друга, обладающими собственными характеристиками (например, размерами, массой, энергией и т.п.), определенным образом взаимодействующими с другими обособленными явлениями. Вообще говоря, это заблуждение. Согласно принципу единства Вселенной все явления мира информационно связаны друг с другом, то есть представляют собой некое энергоинформационное единство. Мир представляет собой нечто органичное, целостное и неделимое, на чем настаивает холизм (от слова холо - целостность), представляющий собой особый стиль познания, признающий, что наряду с очевидной множественностью миру присуще свойство единства и неделимости. Таким образом, научный метод познания опирается на стереотипное огрубленное отражение объективной реальности, о чем нельзя забывать при интерпретации результатов науч105 ных исследований. Человеку свойственно абсолютизировать свои модели. Однако только природа является критерием истины, подтверждая или опровергая то или иное утверждение. Поэтому любые теоретические результаты должны быть подтверждены в эксперименте. При этом даже экспериментально проверенное знание не является истиной в последней инстанции и может быть опровергнуто или откорректировано в последующих исследованиях. 7 Основные понятия теории моделирования 7.1 Понятие моделирования Исследуемое явление в теории моделирования называется оригиналом. Явление, в котором повторяются существенные стороны реального явления, называется моделью. Под моделированием понимают построение и исследование модели какой-либо системы (процесса, явления) и распространение полученных выводов на оригинал. Моделирование это один из мощнейших инструментов науки. Сравнение достоинств и недостатков моделирования приведено в табл. 7.1. Таблица 7.1. Достоинства и недостатки моделирования Достоинства моделирования Недостатки моделирования Пренебрежение связями позволяет выдеЭто же рождает ощущение локальности, лить (локализовать) явление из окружающей среды и исследовать его как самостоятель- изолированности оригинала от своего окруженый объект, например, в лабораторных усло- ния, что противоречит основам современной науки и может приводить к заблуждениям виях Аналогичным образом мы локализуем и характерные свойства оригинала. Эти свой- Ощущение наличия физических величин ства учитываются введением разного рода появляется лишь в местах мысленных разрыпараметров или физических величин, кото- вов связей исследуемого явления с окружаюрые можно измерить количественно и вос- щим миром. Физические величины - это абстпроизвести их в модели в тех же пропорциях ракции, к которым мы привыкаем, считая их объективной реальностью. Это заблуждение* В модели находят отражение только наи- Модель не равна оригиналу. Модель - это более существенные стороны исследуемого лишь один из возможных способов описания явления и не учитываются второстепенные, явлений. Одно и то же явление может быть что разгружает модель от несущественных описано разными моделями с разной механидеталей, позволяя добиться четкого понима- кой. «Отвергнутые» модели при определенных ния механизмов явлений условиях могут быть более удачными, чем общепринятые** Абстрагирование от второстепенных де- Модель всегда отражает процессы, протеталей обеспечивает достаточную для техни- кающие в оригинале, лишь с определенной ческих задач точность и однозначность по- степенью точности. Все модели в той или иной лучаемых результатов мере являются приближенными*** Возможности масштабирования по- Простого геометрического подобия оригизволяют исследовать явления в труд- нала и модели оказывается недостаточно. Для нодоступных зонах реальных объектов (в достижения подобия требуется выполнение мелких, крупных узлах машин и т.п.) дополнительных условий, что усложняет модель**** 106 Изоморфизм уравнений, описывающих Необходимо еще раз отметить, что модель явления природы, позволяет одни и те же от- не равна оригиналу. Особенно опасно забывать ношения между величинами реализовывать об этом при математическом моделировании. на различных по природе моделях. Отсутст- Так, преувеличение роли математических мовие жесткой привязки к материальной основе делей в физике уже приводило к кризису непоявления позволяет исследовать трудновос- нимания сути явлений в конце XIX - начале XX производимые явления (ядерные взрывы, со- веков. Современная физика также стоит на поциальные потрясения) роге кризиса, вызванного формальным отноФормальный характер научного знания шением к уравнениям, описывающим микропозволяет вообще абстрагироваться от мате- мир. Невозможность понятной интерпретации риальной основы явления и перенести выыв- квантовых эффектов приводит к нарастающему ленные отношения на идеальные носители, усложнению уравнений, в которых появляются например, мысленные образы, математиче- новые слагаемые, соответствующие новым ские или информационные объекты. Ис- частицам, которые теперь открываются уже не пользование компьютера позволяет получать экспериментально, а теоретически* **** сложные, дешевые и легко деформируемые модели Человеческое мышление есть частный Соответственно, как любому моделислучай моделирования - мысленное рованию, нашему мышлению свойственны все перечисленные выше недостатки. То есть любое устоявшееся знание может быть ошибочным Примечания к табл. 7.1. * Например, масса тела - это всего лишь коэффициент пропорциональности в формуле второго закона Ньютона. Согласно принципу Маха, массивность (инертность) тел рождается вследствие гравитационного притяжения этого тела со стороны всех объектов Вселенной. Другими словами, природу массивности тел следует искать в гравитационном поле, окружающем данное тело. В то же время можно наблюдать наличие в науке устойчивого стереотипа, что масса - это нечто, объективно присутствующее в самом теле. В настоящее время даже теоретически предсказано наличие частиц, отвечающих за массивность тел - бозонов Хиггса. Это своего рода носители массы. Выделены миллиарды долларов на построение Большого адронногоколлайдера, который должен подтвердить или опровергнуть эту гипотезу, порожденную абсолютизацией наших моделей. ** Например, современная термодинамика во многом была построена на основе отвергнутой в настоящее время модели тепловых явлений, предполагающей наличие в природе теплорода - невесомой тонкой субстанции, являющейся носителем тепла. Теплород уже отвергнут, уступив место молекулярно-кинетической теории, но модели, построенные на его основе, до сих пор успешно используются в технике. *** Однозначность результатов моделирования не всегда является достоинством, так как природа изначально противоречива, что редко находит отражение в моделях (см. принцип дуальности). Наука «не любит» противоречивых моделей, так как непротиворечивые модели более предсказуемы, а значит, несут больший положительный эффект для человека, оставаясь при этом ущербными в плане полноты отражения объективной реальности. **** Например, известный русский изобретатель И.П. Кулибин еще в 17751776 гг. при моделировании моста через Неву установил, что уменьшение линейных размеров модели по сравнению с оригиналом в k раз приводит в этой модели к напряжениям, в k раз меньшим, 107 чем в оригинале. Действующая полезная нагрузка в оригинале должна быть в k2раз меньше полученной при моделировании. ***** Показательным в этом смысле является модель мира, предложенная Птолемеем. Вокруг Земли вращается Луна, Меркурий, затем Венера, потом Солнце, Марс и т.д. Нестыковки этой модели с практикой наблюдений за движением планет по небосводу устранялись введением дополнительных движений. Так, считалось, что по круговой орбите вокруг Земли (деференту) движется не сама планета, а некоторый центр тяжести, вокруг которого собственно и вращается планета по локальной круговой орбите (эпициклу). Чтобы эта модель давала более точное совпадение с наблюдениями, вводились дополнительные смещения, колебания и т.п. Теперь мы понимаем, что, несмотря на совпадение расчета с наблюдениями, модель была в принципе ошибочна. Нечто подобное сейчас наблюдается, по-видимому, в теории элементарных частиц. 7.2 Классификация моделей Существуют различные классификации моделей. Мы рассмотрим лишь одну из возможных (рис. 7.1). В теории моделирования выделяются две основные группы моделей: физические и математические. При физическом моделировании модель и проходящие в ней процессы имеют полностью или в основном одинаковую с оригиналом физическую природу. Физическая модель может представлять собой более или менее точную копию оригинала или какого-то его элемента (узла). Физическое моделирование облегчает проведение эксперимента, что особенно важно для исследования слишком мелких или слишком крупных объектов, явлений в труднодоступных зонах и т.п., так как для модели выбираются обычно наиболее приемлемые размеры и диапазоны изменения физических величин. При математическом моделировании природа процессов в модели и оригинале различна, но сами процессы должны подчиняться одним и тем же уравнениям. Под математической моделью понимается математический формализм (система логических предложений, построенных из уравнений, неравенств, логических операторов, функций и т.п.), определяющий отношения между характеризующими явление или процесс величинами. 108 Рисунок 7.1 Классификация моделей Изоморфизм физических законов позволяет соотнести друг с другом процессы разной природы. Например, колебания пружины, на которой подвешен груз, описываются такими же дифференциальными уравнениями, что и колебательные процессы в электрической цепи, содержащей индуктивность, емкость и сопротивление. Поэтому при определенных условиях, формулируемых в теории подобия, выводы, полученные при изучении электрической цепи, могут быть справедливы и для механической системы с пружиной. Несмотря на то, что оба процесса имеют физическую реализацию, такое моделирование будет математическим, так как в нем определяющую роль играет одинаковость форм уравнений, описывающих эти оба процесса. Как мы выясним позднее, физическое моделирование строится либо на основе анализа уравнений связи (первая теорема подобия), либо на основе анализа размерностей (вторая теорема подобия). Причем первый способ более предпочтителен и надежен, так как позволяет более уверенно судить о правильности полученных результатов. Другими словами, даже при физическом моделировании требуется знание системы уравнений, описывающих процессы в оригинале. То есть, строго говоря, почти любая физическая модель может считаться лишь разновидностью математической модели. Поэтому математическая модель не является информационно более бедной по сравнению с физической. Любая принципиально новая информация, полученная из физической модели сверх того, что способна дать изначально заложенная в ней математическая модель, должна быть поставлена под сомнение и изучена дополнительно. Установка, выдающая такую информацию, строго говоря, уже не является моделью. Это самостоятельный технический объект, который не может служить основанием для однозначных выводов, касающихся оригинала. Мысленное моделирование в некотором смысле является частным случаем математического моделирования. Природа человеческого мышления до сих пор относится к числу наименее исследованных проблем науки. Тем не менее общность мышления с моделированием проявляется достаточно четко. С помощью своих органов чувств человек собирает информацию о внешнем мире и строит в своем внутреннем мире (микрокосме) модель внешнего мира 109 (макрокосма). Насколько адекватной оказывается эта модель, настолько успешным будет и результат отношений человека с внешним миром. Знание деталей явления и совокупности протекающих в нем процессов позволяет строить модели на основе принципа подобия путем повторения известных связей и отношений на других материальных носителях. Иногда проще определить конечный результат или конечное состояние изучаемого процесса или явления, чем его детали. В этом случае моделирование строится на основе принципа оптимальности с использованием вариационных принципов. Простым примером таких моделей являются задачи о соударении двух тел, решаемые на основе закона сохранения энергии и импульса. В этом случае задача решается даже без сложного моделирования явлений деформации тел. Наиболее часто моделирование на основе принципа оптимальности используется при решении поисковых задач, например, задач оптимизации. Комбинированные модели, в которых задействованы оба принципа, можно отнести к моделям на основе принципа дуальности. В электротехнических задачах существует два крайних подхода к моделированию: на основе теории поля (уравнений Максвелла) и на основе теории цепей (уравнений Кирхгофа). Соответственно, различают полевые и цепные модели. Существует и «срединный путь», основанный на сочетании двух названных подходов, который можно считать наиболее прогрессивным. Так, самым распространенным способом моделирования процессов в электрических машинах является построение схем замещения с сосредоточенными параметрами (цепные модели). В то же время сами эти параметры могут быть точно рассчитаны только на основании расчета поля. В зависимости от основы (субстрата), на которой реализуется математическая модель, различают аналоговые и цифровые модели. В аналоговых моделях используется подобие формальных описаний различных физических процессов. Аналоговое моделирование похоже на физическое, но здесь допускается несовпадение природы процессов в модели и оригинале. Наиболее часто аналоговые модели строятся на основе электрических схем замещения. Специально для реализации аналоговых моделей в свое время были разработаны аналоговые вычислительные машины. Цифровые модели основываются на принципах числовой обработки информации. Они точнее аналоговых, и могут быть реализованы с помощью различных устройств дискретной логики. Наиболее мощным устройством, предназначенным для цифрового моделирования, является компьютер, позволяющий воплощать формализм законов природы в принципах взаимодействия информационных (виртуальных) объектов. Под компьютерной моделью понимается особая математическая модель, реализованная на цифровых ЭВМ с использованием визуальных, акустических и прочих способов передачи информации, рассчитанных на присутствие человека, непосредственно вовлеченного в процесс моделирования в качестве подсистемы, реализующей интуитивно - творческие неформализованные процедуры. По характеру отображаемых свойств все модели можно разделить на структурные и функциональные. Структурные модели делятся на топологические и геометрические. В топологических моделях отражаются состав и взаимосвязи объектов. Для этого могут применяться графы, матрицы и т.п. Такой способ моделирования используется, например, для формализации электрических цепей. В геометрическом моделировании отображаются геометрические свойства объектов, их узлов и деталей. Здесь особое внимание уделяется геометрической форме объектов, их взаимному расположению в пространстве, способам взаимодействия друг с другом. Такой способ моделирования используется, например, для решения задач на основе теории поля (триангуляция). Функциональные модели предназначены для отображения процессов, протекающих в моделируемом объекте при его функционировании или изготовлении. При моделировании 110 электромеханических устройств применяются функциональные модели, которые отображают, в первую очередь, электрические, магнитные, механические и тепловые процессы. По принадлежности к тому или иному иерархическому уровню все математические модели можно разделить на модели микро-, макро- и метауровня. Типичными функциональными моделями микроуровня являются модели, построенные на основе систем дифференциальных уравнений в частных производных. Эти модели позволяют решать задачи расчета физических полей с учетом деталей и особенностей, отраженных в геометрических моделях. Эти модели отличаются повышенной точностью, но требуют значительных компьютерных ресурсов. Типичными моделями макроуровня являются модели, построенные на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Мелкие детали моделируемых объектов объединяются по функциональному признаку, образуя дискретные элементы, поведение которых описывается известными законами (например, сопротивления, индуктивности, емкости и т.п.). Если количество таких элементов существенно возрастает, приводя к росту порядка системы уравнений, то переходят к формированию моделей метауровня, в которых системы дискретных элементов объединяются в метаэлементы, поведение которых описывается известной системой уравнений. Примерами таких моделей могут служить структурные схемы систем автоматического управления, построенные из динамических звеньев, заданных своими передаточными функциями. По способу представления свойств объекта все математические модели делятся на аналитические, алгоритмические и имитационные. Аналитические модели могут быть представлены системой уравнений вида Y = F (X, Q), где Y, X, Q - векторы выходных, внутренних и внешних параметров. Такая форма позволяет использовать для решения систем уравнений инвариантные математические процедуры. Поэтому аналитические модели оказываются экономичней алгоритмических и имитационных. К такой форме удается привести как цепные, так и полевые модели. В алгоритмических моделях связь между выходными, внутренними и внешними величинами задается в форме алгоритма. Частным случаем таких моделей является обычно модель, реализующая методику проектирования электромеханического устройства. К имитационным моделям относятся математические модели, отражающие поведение исследуемого объекта во времени при изменяющихся внешних воздействиях. Для описания поведения объектов вводятся правила, которые могут быть как эвристическими, так и основанными на объективных физических законах. 8 Изоморфизм физических законов 8.1 Цепные модели Физические величины Построению любой модели предшествует процесс изучения реального объекта. В результате мы выявляем его наиболее существенные стороны, свойства. Этот процесс называется анализом. Анализируя другие явления, мы обнаруживаем в них присутствие аналогичных свойств. Если эти свойства к тому же удается сравнить друг с другом с использованием количественных оценок, то в этом случае говорят, что они имеют одинаковый физический смысл. Свойства явлений объективного мира, для которых определен физический смысл, а также эталон, сравнивая с которым можно получить количественную оценку данных свойств, называются физическими величинами. Таким образом, физический анализ позволяет представить явле- 111 ние в форме совокупности физических величин, между которыми установлены связи, представленные в форме математических выражений. Затем мы воспроизводим выявленные величины и связи между ними в модели, после чего модель оказывается подобной оригиналу с точностью до несущественных деталей. Этот процесс называется синтезом. В процессе синтеза подбирается субстрат, на котором реализуются выявленные величины и связи. Таким образом, структура синтезированной модели нам, как правило, известна - мы сами ее создаем, синтезируем. Правда, сама модель тоже является объектом природы, и в этом объекте могут присутствовать явления, к реализации которых мы не стремились при создании модели. Эти «лишние» явления искажают процесс моделирования, нагружая нашу модель свойствами, которые могут и не присутствовать в оригинале. Например, электрическое сопротивление часто моделируется с помощью резистора. Но в реальности резистор тем не менее обладает малой индуктивностью, которая при моделировании может оказаться «паразитной», не соответствующей структуре оригинала, о чем не следует забывать, если требуется большая точность моделирования. Под черным ящиком понимают исследуемый объект, внутренняя структура которого неизвестна, о функциях которого можно судить по его реакциям на внешние воздействия. Черный ящик можно представить функциональным звеном F (рис. 8.1), преобразующим совокупность входных сигналов u в совокупность выходных сигналов у. Структура звена нам неизвестна, но мы можем исследовать его реакцию на входные воздействия и построить зависимость у = F(u). Рисунок 8.1 Черный ящик Аналогичным образом строится любая модель, но ситуация оказывается вывернутой наизнанку (рис. 8.2). То есть структура модели нам известна, так как модель мы строим сами. Зато вся окружающая среда отсекается, и ее воздействие на модель заменяется некими функциональными элементами, структура которых нам, как правило, неизвестна. Каждый из подобных элементов рождается как следствие реальной связи модели со всей Вселенной. Но мы оперируем ими как принадлежностью модели, называя их параметрами модели. Это создает иллюзию оторванности модели от Вселенной, после чего модель выглядит как изолированный объект, характеризующийся параметрами, принадлежащими этому объекту (рис. 8.3). Рисунок 8.2 Строение модели 112 Рисунок 8.3. Модель как изолированный объект Рассмотрим наиболее характерные параметры подобного рода: параметры инертности, диссипации (рассеяния) и концентрации. С точки зрения теории систем эти параметры рождаются вследствие действия общесистемных законов. Введем понятие степени (меры) неравновесия системы, то есть величины, характеризующей удаление системы от состояния равновесия. В случае груза, подвешенного на пружине, в качестве степени неравновесия может выступать координата xконца пружины по отношению к равновесному положению. В случае электрической RLC-цепи это может быть заряд конденсатора q. 8.2 Параметры инертности Принцип ЛеШателье - Брауна, являющийся следствием принципа единства Вселенной и принципа дуальности, гласит: на любое изменение Вселенная реагирует возникновением процессов, пытающихся затормозить данное изменение. Например, попытка изменить положение массивного тела приводит к явлению инертности, мерой которого является масса m (принцип Маха). То есть если на тело с массой m воздействует сторонняя сила Fc,то Вселенная отвечает на это возникновением силы инерции Fu   dp dv d 2x  m  m 2 dt dt dt (8.1) где p - импульс тела; t - время; v - скорость тела. Таким образом, баланс сил выглядит следующим образом: Fc  Fu  Fc  m dv d 2x  Fc  m 2  0 dt dt (8.2) Частный случай принципа Ле Шателье - Брауна - принцип Ленца: изменение магнитного поля сопровождается наведением ЭДС, под действием которой в замкнутом проводящем контуре текут токи, которые своим магнитным полем тормозят исходное изменение магнитного поля. В электрических цепях инертность оценивается величиной ЭДС гласно закону Фарадея EL , которая со- d di d 2q EL    L  L 2 dt dt dt (8.3) где  - потокосцепление контура с магнитным полем; L- индуктивность контура; i- сила тока. Таким образом, согласно второму уравнению Кирхгофа 113 di d 2q E  EL  E  L  E  L 2  0 dt dt (8.4) где E - ЭДС внешнего источника тока. Мерой электромагнитной инерции является индуктивность L. Ввиду общности принципа Ле Шателье - Брауна любое изменение сталкивается с противодействием независимо от того, какова природа изменяющегося явления. Это позволяет в любом реальном процессе выявить параметр инертности, который является коэффициентом пропорциональности между силой инерции и второй производной от меры неравновесия по времени. Таким образом, масса тела т, как и индуктивность контура с током L, вовсе не является принадлежностью тела, а лишь отражает действие связи исследуемого явления со всей Вселенной. Так, индуктивность L рождается вследствие особенности полевых электромагнитных явлений, описываемых уравнениями Максвелла. Аналогично, если и искать где-то присутствие массы тела, то не в самом теле, а в том гравитационном поле, посредством которого данное тело взаимодействует со всем веществом Вселенной, что соответствует принципу Маха (инертные свойства каждого физического тела определяются всеми остальными физическими телами во Вселенной). Параметры диссипации энергии Одним из самых фундаментальных законов природы является второй закон термодинамики или принцип диссипации (рассеяния) энергии: любой реальный процесс сопровождается рассеянием энергии, то есть ростом энтропии. Наибольшей степенью рассеяния обладает тепловая энергия. Поэтому любой реальный процесс сопровождается потерей части энергии в тепло. Это значит, что ни один процесс не может протекать с КПД=1. В механике за диссипацию энергии отвечают силы трения Fm   rv  r dx dt (8.5) то есть в уравнении баланса сил появляется новое слагаемое dv d 2x dx Fc  Fu  Fm  Fc  m  rv  Fc  m 2  r  0 dt dt dt (8.6) Параметром диссипации здесь является коэффициент трения r . В электрических схемах мы также можем выделить параметр, отвечающий за диссипацию энергии, - активное сопротивление R. С учетом диссипации энергии уравнение ЭДС выглядит следующим образом: di d 2q dq E  EL  ER  E  L  Ri  E  L 2  R 0 dt dt dt (8.7) Аналогично любой процесс независимо от его природы сопровождается рассеянием энергии. Это позволяет в любом реальном процессе выявить параметр диссипации, являющийся коэффициентом пропорциональности между силой трения (диссипации энергии) и первой производной от меры неравновесия по времени. Параметры жесткости системы Помимо рассеяния энергии реальные процессы зачастую сопровождаются обратными процессами концентрации энергии (самоорганизацией), накоплением ее с последующим вы114 свобождением (рассеянием). За это отвечает один из фундаментальных принципов, сформулированных Л. Пригожиным, получивший название принципа минимума диссипации энергии (минимума производства энтропии): из всех возможных сценариев протекания процессов, разрешенных связями, наложенными на систему, в реальности осуществляется тот, который сопровождается минимальной скоростью роста энтропии, то есть минимальной скоростью диссипации энергии. Так как рост энтропии сдерживается, в частности, возникновением в системе упорядоченных структур, то данный принцип можно назвать принципом самоорганизации в природе. Примером аккумулятора механической энергии может служить маховик или пружина. При наличии концентрации энергии в механической системе уравнение сил примет вид t dv d 2x dx Fc  Fu  Fm  Fk  Fc  m  rv  k  vdt  Fc  m 2  r  kx  0 dt dt dt (8.8) Параметром, связанным с процессом концентрации энергии в системе, служит коэффициент жесткости пружины k . Аналогичным аккумулятором электрической энергии является конденсатор. При наличии конденсатора с емкостью С уравнение напряжений электрической цепи выглядит следующим образом: t di 1 d 2q dq 1 E  EL  ER  EC  E  L  Ri   idt  E  L 2  R  q  0 dt C0 dt dt C (8.9) при этом коэффициент жесткости электрической цепи (параметр жесткости системы) k 1 C (8.10) Параметр жесткости системы можно выделить в любом реальном процессе. Он является коэффициентом пропорциональности между силой упругости и мерой неравновесия системы. Уравнения (8.8) и (8.9) являются изоморфными, то есть формально одинаковыми, или, как говорят еще, буквенно одинаковыми. Аналогичными дифференциальными уравнениями описываются тепловые, гидравлические, аэродинамические процессы, а также динамические процессы в экосистемах, человеческом социуме и т.д. Таким образом, при моделировании любого реального процесса мы вправе искать проявление упомянутых законов природы. Схемы замещения Единство природы параметров позволяет формировать модели процессов на любом удобном для нас материальном носителе. Особенно часто в качестве подобных моделей используются электрические схемы замещения. При этом мы обычно стремимся к созданию таких элементов электрических схем, в которых наиболее четко проявлялся только один из рассмотренных параметров, а остальными можно было бы пренебречь. Это катушки индуктивности, резисторы и конденсаторы. Так появляется понятие сосредоточенных параметров, что еще больше закрепляет иллюзию их локальности. Подобные элементы называются пассивными, так как через них в систему не поступает энергия. Практически любой процесс можно смоделировать электрической схемой замещения. Рассмотрим схемы механического узла и электрической цепи, представленные на рис. 8.4. Динамика механического узла описывается уравнением (3.8), динамика электрической цепи - уравнением (8.9). Так как уравнения (8.8) и (8.9) изоморфны, то электрическая цепь при определенных условиях может служить моделью механического узла. 115 Однако приведенная на рис. 8.4 электрическая цепь не является единственно возможным вариантом электрической схемы замещения. Так, на рис. 8.5 показаны еще два возможных варианта. Рис. 8.4. Механический узел (а) и его схема замещения (б) Рис. 8.5. Ортогональные схемы замещения механического узла Для схемы замещения, изображенной на рис. 8.5,а, характерно параллельное соединение элементов, поэтому вместо условия выполняется условие U  0 , характерного для схемы на рис. 8.4,б, здесь  I  0 , то есть t 1 1 dU I  I L  I R  I C  I   Udt  U  C 0 L0 R dt (8.11) Здесь I, IL, IR, IC - токи, протекающие в соответствующих ветвях электрической цепи; Uнапряжение на ветвях. U Вводя величину  из условия, что ференциальное уравнение второго порядка d dt ,данное уравнение можно записать как диф- 1 1 d d 2 I  I L  I R  IC  I    C 2 0 L R dt dt (8.12) Таким образом, электрическая цепь принимает вид рис. 8.5,б, то есть построена из последовательно соединенных элементов, имеющих природу проводимости. Исторически сложилось, что для нас более понятна физика схем, изображенных на рис. 8.4,б и рис. 8.5,а, хотя всю электротехнику можно вывести и из схемы, изображенной на рис. 8.5,б, которая подобна схеме рис. 8.4,б, но в то же время абсолютно противоположна ей, точнее сказать, ортогональна. Особенно эта ортогональность видна при сопоставлении двух схем, изображенных на рис. 8.5. Подобная ортогональность может быть обнаружена в любом процессе. Причина этого в том, что любой процесс характеризуется двумя ортогональными величинами, которые мы будем называть параметрами процесса. Помимо прочего ортогональность схем рис. 8.4,б и рис. 8.5,б выражается в том, что параметры жесткости и инерции меняются местами, а параметры диссипации обеих схем обратно 116 пропорциональны друг другу. То есть, если емкость C служит аккумулятором заряда q, а индуктивность L препятствует изменению заряда, что характерно для схем на рис. 8.4,б и рис. 8.5,а, то для схемы на рис. 3.5,б характерно то, что аккумулятором меры неравновесия  становится индуктивность L, а емкость Cпрепятствует изменению этой величины. Большое сопротивление Rв первой схеме способствует большему рассеянию энергии, во второй схеме, наоборот, большему рассеянию энергии способствует малая величина R, так как малое сопротивление сильнее шунтирует источник тока. Энергетика физических систем Энергия - есть способность совершать работу. Под полной энергией понимают сумму потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия , или энергия взаимодействия тел, - это скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Кинетическая энергия - это скалярная физическая величина, зависящая от скоростей движения тела, точнее от квадрата скорости. Однако не каждая порция полной энергии способна совершать работу. Помимо полной энергии принято говорить еще, например, о так называемой свободной энергии. Для полной энергии справедлив закон сохранения, для свободной энергии он не выполняется. То есть свободную энергию можно генерировать (создавать) и расходовать. Именно свободная энергия способна совершать работу, но не каждая порция полной энергии способна совершить работу. Помимо количественной характеристики любая порция энергии характеризуется еще и показателем качества, который называется негэнтропией, или информацией I. Обратная величина, характеризующая степень деградации энергии, называется энтропией S. Согласно второму закону термодинамики, все реальные процессы в замкнутых системах dS 0 идут в направлении роста энтропии всей системы: dt Состояние системы с максимальS  S max называется равновесным состоянием. Если S  Smax ,то ным значением энтропии такое состояние называется неравновесным. Движение системы из неравновесного состояния к равновесному называется релаксацией. Энтропия Sи негэнтропия I замкнутой системы связаны отношением I  Smax  S . (8.13) Как установил Больцман, энтропия является мерой хаоса, неопределенности, непредсказуемости энергетического состояния системы. Наоборот, информация есть мера упорядоченности, предсказуемости энергетического состояния системы. Как уже говорилось, степень неравновесия (упорядоченности) энергетического состояния системы можно оценить количественно. Для пружины - это величина смещения свободного конца х, для электрической цепи - это величина заряда конденсатора q, равного превышению количества одноименных зарядов на каждой из обкладок. В физических процессах важное значение имеет величина, пропорциональная половине квадрата степени неравновесия энергетического состояния системы, называемая в физике потенциальной энергией, которую можно назвать также количеством неравновесия состояния: q2 x2 x2 W0  ;W0  k  2C 2 2  CM (8.14) 117 Здесь емкость конденсатора С характеризует количество неравновесия, которое способна k 1/ C C M - коэффициент жесткости пружины; M - ее механичевместить в себя система; ская емкость. Согласно второму закону термодинамики, любая замкнутая система стремится к равновесному состоянию. Причем чем больше степень неравновесия, тем сильнее это стремление, F  f I  которое мы обозначаем понятием силы . Таким образом, сила (первый из двух активных параметров системы) - это величина, характеризующая степень удаленности системы от состояния равновесия. Сила упругости, вызванная неравновесием состояния системы, стремящаяся вывести систему из этого состояния в сторону уменьшения степени неравновесия, пропорциональна степени неравновесия состояния системы: UC   q ; Fy   kx C (8.15) Наличие силы приводит к возникновению движения, то есть процесса, в ходе которого происходит изменение степени неравновесия состояния. Интенсивность изменения степени неравновесия конденсатора, возникающая при соединении его обкладок проводником, назы- dq dt . Если отпустить сжатую пружину, то ее свободный ковается электрическим током dx v dt . В первом случае осуществлянец придет в движение с интенсивностью (скоростью) i ется перенос заряда, во втором случае - перенос координаты свободного конца пружины. Интенсивность процесса, равная скорости изменения степени неравновесия системы, является вторым активным параметром системы. Таким образом, любой элементарный процесс может быть описан с помощью пяти параметров: два активных (сила и интенсивность процесса) и три пассивных (коэффициенты инерции, диссипации и жесткости системы). Это значит, в частности, что любой элементарный процесс может быть смоделирован схемой замещения, в которой присутствуют сопротивление, индуктивность и емкость (пассивные элементы), а также источники ЭДС и тока (активные элементы). Потенциальная энергия (количество неравновесия состояния) передается процессу (движению) в форме кинетической энергии, которая пропорциональна половине суммы квадратов интенсивности элементарных процессов: 1 n W0  W1   Lk ik2 , 2 k 1 (8.16) W0  W1  1 n mk vk2  2 k 1 (8.17) Lk – индуктивность k-го элементарного тока ik ; mk – масса k-й частицы механиv ческой системы, движущейся со скоростью k ; n – количество элементарных процессов. здесь Строго говоря, формулы (8.16) и (8.17) справедливы только для частных случаев. В общем случае они принимают вид W1  1 n n Lkjik2  2 k 1 j 1 (8.18) 118 W1  1 n n mkj vk2  2 k 1 j 1 (8.19) L m где kj - коэффициент магнитной связи k-го и j-го элементарных токов; kj - коэффициент гравитационной связи k-го и j-го тел (ввиду слабости гравитационных сил на макрорасстояниях, при k  j коэффициент взаимного гравитационного влияния между отдельными mkj  0 частями механической системы , что приводит уравнение (8.19) к частному виду (8.17); то же самое можно сказать и в отношении уравнений (8.18) и (8.16), но здесь не всегда L k j удается пренебречь элементами kj при являющимися по природе взаимными индуктивностями k-го и j-го контуров с токами. Как и состояние, процесс также можно оценить величиной степени неравновесия, которая тем больше, чем более упорядочен процесс. Так, упорядоченность движения зарядов в разных направлениях (растекание тока) меньше, чем упорядоченность движения зарядов в одном направлении (например, вдоль проводника). Упорядоченность механического движения можно оценить вектором суммарного импульса:  n  p   mk vk k 1 (8.20) Проиллюстрировать это можно с помощью двух механических систем (рис. 8.6). Допус- v тим, все шарики имеют одинаковую по абсолютной величине скорость k . Но на первом рисунке шарики разлетаются в разные стороны, а на втором они летят в одну сторону. Суммарная энергия шариков и в первом, и во втором случаях одна и та же, но импульс различается (в первом случае он равен нулю). Если напути этих шариков встретится поршень, то во втором случае вся энергия шариков может быть передана поршню, который при этом совершит определенную работу. Если же шарики разлетаются в разных направлениях, то только часть шариков ударится в поршень и передаст ему часть исходной энергии системы. В этом и состоит суть второго закона термодинамики: полное превращение одного вида энергии в другой происходит только, если при этом ухудшается качество (упорядоченность) энергии; превращение энергии низкого качества (например, хаотичное движение молекул вещества) в энергию высокого качества (например, упорядоченное механическое движение или электрический ток) никогда не бывает полным, то есть КПД любого реального процесса всегда меньше единицы. Рис. 8.6. Импульс и энергия системы тел при взрыве (а) и упорядоченном движении (б) В электротехнике упорядоченность потока зарядов оценивается магнитным потокосцеплением n      Lk ik k 1 (8.21) Строго говоря, формулы (8.20) и (8.21) справедливы только для частных случаев. В общем случае они принимают вид 119  n n  p   mkj vk k 1 j 1 (8.22) n n      Lkj ik k 1 j 1 (8.23) Величина, пропорциональная половине квадрата степени неравновесия процесса, в некотором роде аналогична потенциальной энергии состояния системы: W1  2 p2 ;W1  2L 2m (8.24) Здесь L, m- интегральные коэффициенты инерции соответствующих систем. По отношению к процессу они выступают в роли емкости, так как характеризуют способность системы накапливать упорядоченное движение (изменение). Эту часть кинетической энергии, отличающуюся упорядоченностью, называют свободной энергией. Ее можно также назвать количеством неравновесия изменения состояния или количеством неравновесия процесса. Так же как и потенциальная энергия, она способна совершать полезную работу. Остальная часть кинетической энергии является платой принципу роста энтропии: W1  W1. (8.25) Таким образом, не вся запасенная в системе энергия способна совершать работу, а только та ее часть, которая упорядочена. Это одно из следствий второго закона термодинамики. При анализе процесса справедливы все рассуждения, приведенные для энергетического состояния. Неравновесие процесса порождает своего рода «вторичные процессы», направленные в сторону уменьшения данного неравновесия. Интенсивность вторичного процесса определяется скоростью изменения степени неравновесия первичного процесса. Вторичный процесс по природе совпадает с исходным неравновесием энергетического состояния системы, а по знаку противоположен ему. По отношению к исходному неравновесию состояния интенсивность вторичного процесса выступает в форме сил инерции: EL   d dp ; Fu   . dt dt (8.26) Собственно, это и есть принцип Ле Шателье - Брауна. В частном случае упорядоченных процессов     p  mv ;   Li следовательно (8.29)      d di d  dq  d 2q EL    L  L    L 2 dt dt dt  dt  dt     dp dv d  dx  d 2x Fu    m   m    m 2 dt dt dt  dt  dt (8.30) (8.31) Так как, строго говоря, замкнутых систем не существует, то, согласно принципу роста энтропии, часть энергии исходного неравновесия теряется из системы, рассеивается в окружающую среду (энергия диссипации): n " 1 n 2 k k W   R i ;W   rk vk2 ; k 1 " 1 k 1 (8.32) где сопротивление R и коэффициент трения r- параметры диссипации (рассеяния) энергии. 120 Это проявляется в возникновении сил диссипации, в частности силы трения Fm и ЭДС ER .Эти силы пропорциональны интенсивности первичного процесса: n n ER   Rk ik   Rk k 1 k 1 n n Fm   rk vk   rk k 1 k 1 dqk dt (8.33) dxk dt (8.34) Баланс энергий любого реального процесса можно представить как W0  W1  W1  W1" (8.35) Таким образом, расширенное понимание категории энергии позволяет подвести единую формальную базу под явления разной природы. Особенности полевых моделей С помощью цепной модели можно описать любой процесс, в котором присутствует направленный перенос вещества или энергии. Если известны параметры инертности, диссипации и жесткости системы, то смоделировать процесс можно, даже не вдаваясь в тонкости его физического описания. Если же учесть механизмы этих процессов, то иногда удается понять и смоделировать природу самих параметров. При этом они исчезают из рассмотрения. В качестве примера рассмотрим вариант электрогидродинамической модели (рис. 8.7). Эта модель представляет собой бассейн, заполненный жидкостью (глубина бассейна незначительная). На дне бассейна имеются два отверстия, соединенные друг с другом трубой, в которую встроен насос. Насос перекачивает жидкость, забирая ее из одного отверстия и подавая в другое. При этом на поверхности жидкости формируется рельеф, показанный на рис. 8.7. Топология этого рельефа совпадает с картиной растекания тока от двух электродов по слабопроводящей пластине, а также с картиной электрического поля двух заряженных шаров, или с картиной магнитного поля двух проводников с током (рис. 8.8). Рис. 8. 7. Электрогидродинамическая модель 121 Рис. 8.8. Эквипотенциали поля растекания токов по слабопроводящей пластине, моделирующей электрическое поле Следует отметить, что после включения насоса показанная на рис. 8.7 топология формируется не сразу. Если давление, создаваемое насосом, невелико и течение жидкости можно считать ламинарным, то нарастание потока жидкости в трубе во времени i(t)будет происходить по экспоненте (рис. 8.9), что соответствует уравнению P  Ri  L di dt ,(8.36) R где P- давление, создаваемое насосом; P i гидродинамическое сопротивление систе- i мы;  - установившееся значение потока. Здесь присутствует также некая величина L, являющаяся по смыслу коэффициентом инерции процесса. Вычислить этот коэффициент можно по формуле L  TR , (8.37) где T- постоянная времени, которую можно определить графически по кривой переходного процесса (см. рис. 8.9). Рисунок 8.9 Картина переходного процесса в электрогидродинамической системе За время переходного процесса на поверхности жидкости формируется и впоследствии остается неподвижным во времени характерный рельеф (см. рис. 8.7). На поддержание этого рельефа в гравитационном поле затрачивается Li2 W 2 (8.38) Эта та потенциальная энергия, которая была накоплена в системе за время переходного процесса. Если отключить насос, то перепад давления исчезнет и рельеф на поверхности воды разгладится. При этом накопленная в нем энергия перейдет в тепло. Особенность приведенных выше рассуждений в том, что их можно повторить для любого процесса, описываемого уравнением (8.36). Однако в данном примере очевидной становится механика инертности. Из данного примера можно понять, что коэффициент инерции L является лишь вспомогательной величиной, удобной для расчетов, когда нет возможности точно смоделировать происходящие в системе процессы. Если же удается смоделировать сам процесс формирования рельефа, то потребность в коэффициенте L исчезает, так как на первый план выступают другие закономерности, называемые уравнениями поля. Как и в случае 122 уравнений цепей, эти закономерности также обладают свойством изоморфизма, то есть могут быть применены к физическим полям разной природы. Так, процессы в бассейне, представленном на рис. 8.7, могут быть описаны уравнениями в интегральной форме     vdS   i S (8.39) где S - некоторая мысленная цилиндрическая поверхность с основанием произвольной формы, опирающаяся на дно бассейна; ρ - плотность жидкости; v- скорость течения жидкости в данной элементарной области; i- поток жидкости из отверстия на дне бассейна. Это уравнение говорит о том, что сколько жидкости втекает в бассейн через трубы на дне, столько же и вытекает через произвольную мысленную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на дно. Уравнение (8.39) изоморфно с уравнением Гаусса для электрического поля:   DdS  q  S (8.40) где S - некоторая мысленная замкнутая поверхность; q- заряды, окруженные поверхностью S. Аналогичным образом можно подвести под гидродинамическую модель и другие уравнения поля. Моделирование физических полей позволяет понять механику явлений и рассчитать параметры для цепных моделей, достоинство которых в их простоте и быстродействии. 9 Математический аппарат теории подобия Основные определения теории подобия Согласно геометрическим представлениям, две геометрические фигуры подобны, если они могут стать тождественными вследствие однородного изменения их размеров, то есть путем одинакового растяжения или сжатия осей координат. Такое подобие называется геометрическим. При этом коэффициент подобия, или масштаб т, одинаков для всех одноименных размеров: mx= my= mz= т, (9.1) то есть для некоторой функции y(x,y,z)справедливо соотношение y(m(x,y,z)) = y(x’, y’, z’), (9.2) где x,y,z - координаты фигуры-оригинала; x’,y’,z’- координаты фигуры- модели. Если тождество двух фигур может быть достигнуто путем неодинаковой деформации одной из фигур по разным осям координат, то имеет место аффинное подобие, при котором mx  m y  mz , (9.3) или   mx x, m y y, mz z     x, y, z  . (9.4) Если величины, характеризующие процессы, проходящие в системе, отличаются от соответствующих величин в другой системе постоянными коэффициентами, то имеет место подобие явлений. То есть условием подобия является постоянство всех масштабов подобия. Если соответствующие пары величин характеризуют процессы одинаковой физической природы, то имеет место физическое подобие систем. Если между соответствующими изменяющимися величинами имеется пропорциональность, но эти величины имеют различную природу, то говорят о математическом подобии, 123 или об аналогии. При этом общим в сравниваемых явлениях будут не их качественные свойства, а формальные отношения между элементами систем. Для достижения математического подобия необходимо, чтобы обе системы описывались одинаковыми по виду уравнениями. Путь  группа величин, характеризующих физическое явление, представляется в виде вектора X в n -мерном фазовом пространстве: n           X  X 1  X 2  X 3     X n  e1 X 1  e2 X 2  e3 X 3      en X n   ei X i i 1 (9.5)  e X где i - единичные векторы базиса системы координат; i - величины, характеризующие явление. Явление, аналогичное данному, будет характеризоваться вектором n n    X    mi X i   ei mi X i i 1 i 1 (9.6) Если масштабы подобия mi  X i Xi (9.7) безразмерные, то имеет место физическое подобие, в противном случае - математическое. Два явления можно считать подобными, если все масштабы подобия представляют собой постоянные величины, то есть mi  const. (9.8) Условие подобия явлений может быть определено и другим образом: через выражение величин в относительной, безразмерной форме. Для этого за единицу измерения каждой из величин принимают какое-то характерное ее значение в оригинале, которое называется базисным значением: Xi6.Тогда соответствующие величины в модели будут измеряться безразмерными числами X i*  X i X iб (9.9) а в оригинале X i*  Xi X iб (9.10) В силу существования подобия между явлениями X i X iб   mi X i X iб (9.11) следовательно X i*  X iб X  i  X i* X iб X iб (9.12) Поэтому штрихи у величин модели в данном случае можно отбросить, так как относительные значения у подобных явлений численно одинаковы. Такие относительные величины, одинаковые в оригинале и модели, называются критериями подобия, что обозначается следующим образом: X i*  idem . (9.13) 124 Слово idem означает сокращенную запись: соответственно одинаково для рассматриваемых систем. В отличие от масштабов критерии подобия изменяются при переходе из одной точки системы в другую. Но при переходе от одной точки оригинала к сходственной точке модели и обратно в сходственные моменты времени критерии подобия сохраняют свои значения. Отсюда следует определение сходственных точек: две точки, одна из которых принадлежит модели, вторая - оригиналу, называются сходственными, если они связаны друг с другом условиями подобия (например, геометрического или аффинного) и критерии подобия в них принимают одинаковые численные значения. Это определение можно распространить и на понятие сходственных моментов времени, если момент времени рассматривать в качестве одной из координат сходственных точек. В общем смысле под критериями подобия понимаются не только конкретные величины в относительных единицах, но и некоторые сочетания величин, составленные из параметров режима и параметров системы. Так, одним из основных критериев подобия движений материальных точек под действием приложенных к ним сил является критерий Ньютона, определяемый как  Ne Ft 2  Ml (9.14) где F- сила; t- время; M- масса; l- линейный размер. Под независимыми критериями понимают критерии, которые нельзя получить из других критериев при помощи элементарных математических операций (деления, умножения, возведения в степень, извлечения корня и т.п.). Первая теорема подобия Формулировка и доказательство первой теоремы подобия Первая, или прямая, теорема подобия была впервые сформулирована И. Ньютоном, затем спустя 250 лет доказана Ж. Бертраном. Одна из формулировок гласит, что у подобных явлений критерии подобия численно одинаковы. В наиболее общем виде первая теорема была доказана Т.А. Эренфест-Афанасьевой. Рассмотрим сначала доказательство, а затем приведем наиболее полную формулировку. Доказательство будем вести для наиболее общего случая. Пусть существуют два подобных явления. Одно из них - оригинал, другое - модель. Пусть оригинал характеризуется вектором величин n   X   ei X i i 1 . (9.15) Данный вектор можно представить также в виде множества  X   X 1. X 2 ,..., X n  .(9.16) Тогда, согласно определению подобия, модель будет характеризоваться вектором n n    X    ei X i   ei mi X i , i 1 i 1 (9.17) или  множеством X    X 1, X 2 ,..., X n    m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n  . (9.18) В общем виде отношения между величинами оригинала могут быть представлены в виде системы (множества) логических выражений 125     L X  L1 X , L2 X ,..., Lm X . (9.19)  Li X            может содержать равенства (уравнения) и нераКаждое логическое выражение венства, соединенные знаками логических операций  (логическое И),  (логическое ИЛИ)  X и ~ (логическое НЕ). В качестве величин в эти выражения входят элементы множества . Так как модель и оригинал должны описываться изоморфными отношениями, то отношения между величинами модели должны быть представлены в виде такого же множества выражений L , что и оригинал, за тем исключением, что в эти выражения должны входить ве личины из множества X  :     L X   L1 X  , L2 X  ,..., Lm X           . (9.20) Таким образом, оригинал может быть представлен кортежем, состоящим из двух множеств   M  X , L X    , (9.21) а модель -   M   X , L X     . (9.22)  L X   можно разложить на два независимых множества: систему   X  X  уравнений (равенств) и систему ограничений (неравенств) .Для модели также     X    X  можно осуществить аналогичное разложение на и .     X    X  Дальнейшие рассуждения будем вести для систем уравнений и . Анало  X  X  гичные рассуждения можно провести и для систем неравенств и . Множество отношений Пусть зависимости между величинами оригинала выражены в виде системы из ний p уравне- Sj   p  j X   j X  0 j 1 .      1 В наиболее общем виде каждое уравнение Sj (9.23) j может быть представлено в виде суммы из слагаемых, в которую входят:  1) степенные комплексы, образованные из самих величин из множества X , например  r X 1q X 1q X 2r X 3 , их производных, например X 2r , интегралов, например  X r 1 X 2q dX 3dX 4 ; 2) трансцендентные (неалгебраические, то есть которые не могут быть представлены в sin r  X 1p X 2q  ,ln r  X 1q X 2  виде степенных комплексов) и сложные функции величин типа и т.п. Разделим все члены каждого из уравнений (9.23) на один из его членов, заведомо не равный нулю, чтобы все члены уравнений стали безразмерными, получим 126  Sj Sj  j X    p  j X 1    1    j X  j X  0 j 1   2  j1 X  2 , (9.24)    j X  j X               где - трансцендентные функции величин, а - безразмерные степенные комплексы, образованные из величин, их производных и интегралов. Аналогично для модели получим j Sj    p X   1    j X   j X   0 j 1       2 , (9.25) или Sj p  j  X 1, X 2 ,..., X n   1    j  X 1, X 2 ,..., X n  j  X 1, X 2 ,..., X n   0 j 1  2 , (9.26) или  j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n   Sj p  1    j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X nn  j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n   0 j 1  2 (9.27) Вынесем все масштабные коэффициенты за скобки:  j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n   Sj  1    j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n  j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n    2 Sj      p  1   m1 j 1 m2 j 2    mn j n  j  X 1 , X 2 ,...,n X n  j  m1 X 1 , m2 X 2 ,..., mn X n  0 j 1  2 (9.28)  Здесь j i - показатели степеней в степенных комплексах. Системы уравнений (9.24) и (9.28) становятся тождественными при выполнении следующих двух условий:    S m1 j 1 m2 j 2    mn j n  1 j 1 p j 1 (9.29) - равенство единице всех степенных комплексов, образованных из масштабов при всех величинах;  j    X   j  X 1 ,..., X n    j  m1 X 1 ,...,m n X n    j X     n Sj i 1  1 p j 1 , (9.30) - равенство всех трансцендентных функций для оригинала и модели. Формулы для степенных комплексов, составленных из масштабов, выводятся из формул  для соответствующих степенных комплексов  j  X  , например: 127 i  X 1,.., X n   X 1r  q X 2 X 4 dX 5dX 6  X 3q  D   m1r m2 m3q m4 m5m6  X 1r q X 2 X 4 dX 5dX 6   m1r m2 m3q m4 m5m6  i  X 1 ,.., X n  q  X 3 D (9.31) Если условия (9.29) и (9.30) выполнены, то p  j  X 1 ,.., X n    j  m1 X 1 ,.., mn X n  j 1 . (9.32) Свойства этих уравнений оставаться неизменными при умножении каждой из величин X m на соответствующий масштаб i называется инвариантностью по отношению к подобному преобразованию входящих в них величин. Условия инвариантности трансцендентных функций сводятся к инвариантности их аргу-  ментов. Так, если  j    X    j X    j  X    sin  X 1X 2 X 3   j  X   sin  X 1 X 2 X 3  и   X    j X   . Равенство   j , то в общем случае   возможно только в случае, когда выполня- X 1X 2 X 3  X 1 X 2 X 3 . Аргументы этих функций должны быть безразмерными  функциями величин X . ется условие Таким образом, мы доказали первую теорему подобия, которую можно сформулировать следующим образом: подобные явления описываются буквенно одинаковыми уравнениями, которые инвариантны по отношению к подобным преобразованиям входящих в них величин. Доказательство осуществлялось путем подстановки в систему уравнений оригинала условий подобия, в результате чего мы получили для оригинала и модели тождественные системы уравнений. Но это тождество достигается только при выполнении двух отмеченных нами условий. Эти условия и определяют критерии подобия. Подставив вместо масштабов соответствующие величины, получим критерии подобия, являющиеся безразмерными соотношениями величин, то есть   j 1  j 2 m1 m2   X  j 1 X  j 2 X  j n S  1 j 1 2 j 2    n j n  1 j 1 X1 X2 Xn  j n    mn p , j 1 (9.33) следовательно,  j 1  j  X 1  j 2 X 2  j n    X n    S  X 1 j 1 X 2 j 2   X n j n  idem  j 1 p . j 1 (9.34) Аналогичные выражения можно записать для критериев подобия, обеспечивающих идентичность трансцендентных функций. Они выводятся из условия равенства единице степенных комплексов, образованных из масштабов при безразмерных членах аргументов трансцендентных функций. При этом получаем еще ряд дополнительных критериев. Выведенные таким образом критерии подобия называются критериями, полученными из анализа уравнений связи. В зависимости от того, на какой из членов разделено исходное уравнение при переходе к безразмерной форме, запись критериев может быть различной. Критерии и масштабы подобия механической и электрической цепей Доказательство первой теоремы подобия, данное в предыдущем разделе, одновременно показывает, в какой последовательности необходимо осуществлять анализ уравнений связи, для того чтобы вывести выражения для критериев и масштабов подобия в частных случаях. 128 Применение первой теоремы подобия рассмотрим на примере анализа уравнений связи механической и электрической цепей, изображенных на рис. 8.4. Механическая цепь на рис. 8.4,а описывается уравнением t dv F  m  rv  k  vdt  0 dt . (9.35) Электрическая цепь на рис. 3.5,б описывается уравнением  di 1 EL  Ri   id  0 d C0 (9.36) Рассмотрим, при каких условиях электрическая цепь рис. 8.4,б может являться моделью механической цепи рис. 8.4,а. Для этого выполним определенные действия в следующем порядке: 1. Определим соответствие величин оригинала и модели: F  E , m  L, r  R , k  1 , v  i, t   . C (9.37) 2. Введем масштабы подобия: mF  E L R 1 i  , mm  , mr  , mk  , mv  , mt  . F m r Ck v t (9.38) 3. Приведем оба уравнения к безразмерному виду: t m dv r k 1  v   vdt  0 F dt F F0 , (9.39)  1 L di R 1  i id  0 E d E CE 0 , (9.40) 4. Подставим во второе уравнение величины из первого уравнения с соответствующими масштабными коэффициентами: t m mm dv mr r mk 1 m v  mv v  k mv mt  vdt  0 mF Fmt dt mF F mF F , (9.41) получим t m m m dv mr mv r mmm k 1 m v  v  k v t  vdt  0 mF mt F dt mF F mF F 0 . (9.42) 5. Уравнение (4.42) тождественно уравнению (4.39) при выполнении следующих условий: mm mv mm mmm  1, r v  1, k v t  1. mF mt mF mF (4.43) 6. Подставив вместо масштабов выражения (9.38), получим выражения для трех критериев подобия 129 LiFt Li mv  1  1    idem, mvE E Ft RiF Ri rv 1 2    idem, Erv E F i F i kvt 1 3    idem. CkvtE CE F (9.44) 7. Если разделить все слагаемые уравнений (9.35)-(9.36) не на первое слагаемое, а на второе, то получим еще три критерия E Ft R rt  2 kt 2 4   , 5   , 6   . Li mv L m CL m (9.45) При делении на третье слагаемое получим E F L m  kt  , 8   , 9   . Ri rv R tr CR r 7  (9.46) При делении на четвертое слагаемое получим  10  EC F CL m CR R  ,  11  2  2 ,  12   . i kvt  kt  kt (9.47) Анализ двенадцати критериев позволяет выявить повторяющиеся критерии и оставить  , , , , , всего шесть критериев: 1 2 3 5 6 9 . Три из этих критериев являются независимыми, а три остальные - зависимыми. То есть дополнительные три критерия подобия можно было получить также путем комбинации трех изначально полученных критериев: 5   2 R rt    idem; 1 L m  3  2 kt 2 5     idem;  1 LC m   kt 9  3    idem.  2 RC r (9.48) Из шести масштабов подобия три масштаба являются независимыми, то есть их значения можно выбрать произвольным образом. В качестве независимых удобнее всего выбрать m ,m ,m масштабы m F k . То есть при моделировании механической цепи электрической схемой замещения величины сопротивления, индуктивности и емкости можно выбрать произвольным образом. Остальные три масштаба оказываются зависимыми, то есть их значения должны быть получены на основе независимых масштабов решением системы уравнений (9.43). 130 mm mv m m  1  mv  F t ; mF mt mm mk mv mt mm m m mm  1  k t F t  1  mt  ; mF mF mm mk mv  mF mm mm mF  ; mk mm mk mr mv m  1  mr  F  mm mk . mF mv (9.49) Вторая теорема подобия. Формулировка и доказательство второй теоремы подобия Вторая теорема подобия принадлежит А. Федерману и Е. Букингему. Она устанавливает возможности и пути такого преобразования физических уравнений, описывающих два явления, которые обеспечивали бы их подобие. Если первая теорема указывает на то, что в природе существуют подобные явления, характеризующиеся некоторыми одинаковыми соотношениями, называемыми критериями подобия, то вторая теорема говорит о том, какие именно критерии и масштабы подобия можно считать независимыми (их значения можно выбирать произвольно), а какие должны рассчитываться исходя из уравнений связи. Из нее следует, в частности, что число независимых критериев подобия при моделировании не может быть больше числа основных единиц системы измерений, принятой при описании данного явления. Вторая теорема справедлива для явлений, в отношении которых уже известно, что они подобны, то есть для которых справедлива первая теорема подобия. Вторая теорема подобия утверждает: любое уравнение физического явления, записанное в определенной системе единиц, может быть выражено в виде зависимости между безразмерными соотношениями, представляющими собой критерии подобия и составленными из входящих в уравнение величин. Для доказательства теоремы представим уравнения оригинала и модели в относительных величинах, которые, как известно, являются критериями подобия. Такой способ доказательства теоремы и получения критериев подобия называется анализом размерностей, так как выбор базисных величин подчинен определенным соотношениям между их размерностями. Пусть подобные явления описываются системой безразмерных уравнений (9.24), то есть Sj p  j  X 1 ,...,X n   1    j  X 1 ,...,X n  j  X 1 ,...,X n   0 j 1 .  1 (9.50) Учтем, что относительные величины определяются следующим образом: X 1*  X1 X ,..., X n*  n . X 1б X nб (9.51) Подставим в уравнения вместо величин их выражения через относительные единицы X 1  X 1*  X 1б ,..., X n  X n*  X nб .(9.52) Получим 131  j  X 1 ,...,X n   1  Sj    p    X 1бj 1   X nбj n  j X 1* ,...,X*n  j  X 1* X1б ,..., X n* X nб   0 j 1 .  1   (9.53) Эта система уравнений может быть выражена в виде зависимости между относительными единицами, представляющими собой критерии подобия, при выполнении двух условий: 1) степенные комплексы, образованные из базисных величин при всех членах уравнений, при безразмерных членах аргументов трансцендентных функций единице, то есть  S  X 1бj 1    X nбj n  1 j 1  j и т.п. должны равняться p ; j 1 (9.54) 2) базисные величины модели и оригинала должны быть связаны между собой масштабами подобия: *   mn X nб X 1б  m1 X 1*б ,..., X nб . (9.55) При этом система уравнений (9.53) принимает вид Sj p  j  X ,..., X   1    j  X * ,...,X*n  j  X 1* ,..., X n*   0 j 1 . * 1 * n 1  1 (9.56) То есть мы доказали, что исходная система может быть выражена в виде зависимости между безразмерными параметрами, но при определенных условиях (9.54) и (9.55). Остается выяснить, как должны быть выражены базисные величины для того, чтобы удовлетворялась система уравнений из относительных величин. Некоторые из базисных величин можно выбрать произвольно, остальные должны быть выражены через них с помощью анализа размерностей. Под независимыми единицами измерения величин понимаются такие единицы, формулы размерности которых не могут быть получены посредством умножения, деления или возведения в степень размерностей остальных независимых единиц. Количество k независимых q единиц меньше или равно числу основных единиц измерения в выбранной системе единиц k  q измерения . В любой системе измерения можно выбрать несколько комбинаций из k независимых X ,..., X k мы единиц измерения. Им будет соответствовать k величин исходного уравнения 1 будем называть их независимыми величинами. Размерности остальных n  k зависимых величин выражаются через формулы размерности независимых величин:   k 11      X k   k 1 k                                 .     X n    X 1  n1     X k  nk  (9.57)  X k 1    X 1  X ,..., X 1б kб выбираются Базисные значения величин с независимыми размерностями произвольным образом. Выбор базисных значений зависимых величин должен быть подчинен системе уравнений, построенной на основе системы формул размерностей: 132   k 11   k 1 k                                .  X nб  X 1б  n1   X kб  nk  (9.58) X  k 1б  X 1б   X kб При таком выборе величин первое условие (9.54), необходимое для справедливости второй теоремы подобия, всегда выполняется. Таким образом, если базисные величины будут выбраны в соответствии с приведенной здесь методикой анализа размерностей, а в качестве критериев подобия выбраны безразмерные отношения (9.51), то действительно исходное размерное уравнение может быть выражено в виде данных безразмерных соотношений. При этом выбор масштабов подобия, которые удовлетворяли бы второму условию, необходимому для справедливости второй теоремы подобия, также должен быть подчинен соответствующей методике. Масштабы для k независимых величин могут быть выбраны произвольно, так как базисные значения k независимых величин как оригинала, так и модели выбираются произвольно: m1  X 1б X ,..., mk  kб . X 1б X kб (9.59) Выбор масштабов для остальных n  k зависимых величин должен быть произведен в соответствии с анализом размерностей: X k 1б     m1  k 11    mk  k 1 k  X  k 1б                                 .  X  mnб  nб  m1 n1    mk nk X nб   (9.60) m k 1б  Покажем теперь, что исходные уравнения связи могут быть выражены в виде зависимо-  стей между критериями подобия j , полученными путем анализа исходной системы уравнений. Любой критерий может быть выражен степенным комплексом  j 1  j  X 1     X n j n . (9.61) То есть  * j 1  j  X 1б *    X nб j n  X  j 1 1б     X nбj n . (9.62) При условии   X 1бj 1   X nбj n  1 (9.63) справедливо также  * j 1  j  X 1б *     X nб j n . (9.64)  Значит, всегда можно выразить относительные величины через критерии подобия j , то есть исходное уравнение связи всегда можно записать в виде зависимости между критериями подобия. 133 Таким образом, мы разобрали два способа определения критериев подобия: с помощью анализа уравнений связи и с помощью анализа размерностей. Способ анализа уравнений требует знания уравнений явления. Он проще и надежнее. Поэтому в тех случаях, когда имеется математическое описание явления, следует предпочесть этот способ. С помощью анализа размерностей иногда удается найти критерии подобия, не имея математической записи уравнений, а зная лишь, какие величины в него входят. В чистом виде этот способ следует применять лишь в том случае, когда уравнения связей не могут быть установлены. Правильность критериев подобия, полученных методом анализа размерностей, может быть получена только экспериментальным путем. При неправильном выборе величин анализ размерностей может привести к неверным заключениям. Однако анализ размерностей, примененный в сочетании с анализом уравнений, облегчает выбор масштабов подобия, позволяет проконтролировать правильность полученных критериев подобия и выделить из их числа независимые и определяющие критерии подобия. Вывод уравнения механической и электрической цепей в относительных величинах Воспользуемся последовательностью действий, данной при доказательстве второй теоремы подобия для вывода критериального уравнения, в которое в качестве величин входят критерии подобия и которое справедливо как для электрической, так и для механической цепей, изображенных на рис. 8.4, для которых уже установлено, что они подобны. Для этого выполним определенные действия в следующем порядке: 134 1. Выберем базисные величины оригинала и модели: Fб , mб , rб , kб , vб , tб и Eб , Lб , Rб , Cб , iб , б , связанные друг с другом масштабами mF  Eб L R , mm  б , mr  б , Fб mб rб mk  1 i  , mv  б , mt  б . Cб kб vб tб (9.65) 2. Введем относительные величины оригинала и модели: F*  E*  F * m * r * k * v * t ,m  , r  , k  ,v  ,t  , Fб mб rб kб vб tб (9.66) E * L * R * C * i *  , L  , R  , C  , i  ,  . Eб Lб Rб Cб iб б (9.67) 3. Выразим именованные величины оригинала и модели через относительные и базисные величины: F  F * Fб , m  m*mб , r  r *rб , k  k *kб , v  v*vб , t  t *tб , * * * * * E  E Eб , L  L Lб , R  R Rб , C  C Cб , i  i iб ,    б . mF  Так как Аналогично (9.68) * (9.69) E Eб F E  F*    E* F Fб , то Fб Eб . m*  L* , r *  R* , k *  1 * * * , v  i , t   *. * C (9.70) 4. В уравнения для оригинала (9.39) и модели (9.40), приведенные к безразмерному виду, вместо именованных величин подставим выражения (9.68) и (9.69). Получим t* mб vб m* dv* rб vб r * * kб vб tб k * * * 1  v  v dt  0; Fб tб F * dt * Fcб Fc* Fcб F * 0  (9.71) * Lб iб L* di* Rб iб R* * iб б 1 1  i  i*d *  0. * * * * *  Eб б E d Eб E Cб Eб C E 0 (9.72) 5. Уравнения (9.71) тождественно (9.39), а (9.72) тождественно (9.40) при выполнении следующих условий: mб vб rv kvt  1, б б  1, б б б  1, Fб tб Fcб Fcб (9.73) Lб iб Ri i  1, б б  1, б б  1. Eб б Eб Cб Eб (9.74) При этом уравнения (9.71) – (9.72) принимают вид t* m* dv* r * * k * * * 1  * *  * v  *  v dt  0; F dt Fc F 0 (9.75) 135 * L* di* R* 1 1  * *  * i*  * *  i*d *  0. E d E CE 0 (9.76) Уравнения (9.75) - (9.76), записанные в относительных величинах, по виду совпадают с уравнениями (9.39) - (9.40), в которые входят именованные величины. Из шести базисных величин оригинала три величины являются независимыми, то есть их значения можно выбрать произвольным образом. В качестве независимых удобнее всего выбрать величины оригинала mб , Fб , kб , масштабы mm , mF , mk и соответственно величины мо- L , E ,C дели б б б . Остальные три базисные величины оригинала и три базисные величины модели должны быть получены путем решения систем уравнений (9.73) - (9.74), аналогично тому, как были получены выражения для зависимых масштабов (9.49). В результате получим б  mб Fб , vб  , rб  mб kб , kб mб kб tб  Lб Cб , Rб  (9.77) Lб Cб , iб  Eб . Cб Lб (9.78) При таком выборе базисных величин и при выполнении условий (9.65) уравнения (9.75) и (4.76) дают численно одинаковые решения. Используя преобразования (9.68) и (9.69), все полученные значения можно пересчитать в именованные величины. Вывод критериев подобия механической и электрической цепей из анализа размерностей Ранее вывод критериев подобия был осуществлен на основе анализа уравнений связи. Если уравнения связи, характеризующие процессы в оригинале и модели, известны, то этот путь является предпочтительным. Однако одним из следствий второй теоремы подобия является то, что критерии подобия могут быть выведены даже в тех случаях, когда уравнения связи неизвестны, а известны лишь величины, характеризующие исследуемые процессы. Для выводов критериев подобия в этом случае используют метод анализа размерностей. Для вывода критериев подобия на основе анализа размерностей необходимо осуществить следующие действия: 1. Выявляем n параметров, характеризующих изучаемый процесс. Для механической цепи - это F, m, г, к, v, t, для электрической цепи — это E, L, R, C, v, п. Причем между величинами оригинала и модели имеется соответствие (9.37). Существующие связи между параметрами оригинала и модели можно представить функциями f  m, v, t , F , r , k   0, f  L, i, , E , R, C   0. (9.79) При записи в относительных единицах эти уравнения принимают вид  m v t F r k  f  , , , , ,   f  m* , v* , t * , F * , r * , k *   0,  mб vб tб Fб rб kб   L i  E R C  f  , , , , ,   f  L* , i* , * , E * , R* , C *   0.  Lб iб  б Eб Rб Cб  (9.80) 2. Определяем размерности величин оригинала и модели: 136 кг  м кг  кг1 м1с 2 ,  m   кг1 ,  r    кг1с 1 , 2 с с кг м  k   2  кг1с 2 ,v    м1с 1,t   с1. с с Вс В  В1 А1с1 ,  R   Ом   В1 А1 ,  E   В1 , L   А А Кл А  с  В 1 А1с1 , i   А1 ,    с1. C    В В F   H  (9.81) (9.82) 3. Анализ размерностей показывает, что все шесть размерностей оригинала могут быть построены из k  3 независимых размерностей. Примем в качестве независимых размерностей       . Остальные размерности можно выразить через них: m, v ,t 1 1 1  F    m  t   v  , 1 1  r    m  t  , 1 2  k    m  t  . (9.83) В качестве независимых размерностей модели примем мерности можно выразить через них: 1 1  L,i ,   . Остальные раз- 1  E    L   i  , 1 1  R    L    , 1 2 C    L   . (9.84) 4. Поскольку k  3 независимые базисные величины можно выбрать произвольно, то примем mб  m, vб  v, tб  t , Lб  L, iб  i, б   . (9.85) Остальные базисные величины рассчитываем на основе (9.83) –(9.84): Fб  mб1  tб1  vб1 , rб  mб1  tб1 , kб  mб1  tб2 . 1 б 1 б 1 б 1 б 1 б 1 б 2 б Eб  L    i , Rб  L   , Cб  L   . (9.86) (9.87) При этом уравнения (9.80) принимают вид   F r k  F r k  f 1,1,1, , ,   f 1,1,1, 1 1 1 , 1 1 , 1 2   0, Fб rб kб  mб  tб  vб mб  tб mб  tб      E R C  E R C  f 1,1,1, , ,   f 1,1,1, 1 1 1 , 1 1 , 1 2   0. Eб Rб Cб  Lб   б  iб Lб   б Lб   б    (9.88) 5. Таким образом, анализ размерностей позволяет выявить три критерия подобия: 137  1  F E  1 1 1  idem, 1 1 m  tб  vб Lб   б  iб  2  r R  1 1  idem, 1 m  tб Lб   б  3  k C   idem. m1б  tб2 Lб1   б2 1 б 1 б (9.89) В дополнение к критериям подобия (9.44) и (9.48), выведенных на основе анализа уравнений связи, анализ размерностей позволил вывести еще три дополнительных критерия. Критерии, полученные на основе анализа размерностей, оказываются более удачными с точки зрения построения уравнений, дающих одинаковые численные решения для оригинала и модели. Из критериев, полученных на основе анализа уравнений связей, также можно построить критериальные уравнения, аналогичные уравнениям в относительных единицах. Но это довольно трудоемкий процесс. В то же время знание уравнений связей существенно упрощает моделирование, так как позволяет не упустить из вида закономерности, присутствующие в изучаемых процессах. Третья теорема подобия. Дополнительные положения к теоремам подобия Третья теорема подобия, доказанная М.В. Кирпичевым, дополняя две первые теоремы, говорит о признаках, необходимых и достаточных для того, чтобы иметь право считать явления подобными. Первая и вторая теоремы дают условия для определения, подобны ли рассматриваемые явления, но они не выделяют того наименьшего количества признаков, по которым можно узнать о наличии подобия. Третья теорема утверждает, что подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы. Условиями однозначности называют уравнения, связывающие величины явления, которые нужно добавить к общим уравнениям, охватывающим весь класс явлений, для того чтобы выделить из этого класса одно определенное явление. Так, при изучении физических полей общие уравнения задаются в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных, например, уравнений Максвелла. Условия однозначности в этом случае состоят из следующих уравнений: уравнений поверхностей, ограничивающих тела в рассматриваемом поле; уравнений, определяющих распределение начальных значений величин по всему объему поля (начальные условия); уравнений, определяющих распределение и изменение во времени параметров сред в каждой точке области поля; уравнений, определяющих зависимость переменных параметров сред в каждой точке области поля от соответствующих переменных величин; уравнений, определяющих перемещение тел в области поля; уравнений, связывающих величины поля на границах сред с величинами в средах, расположенных по другую сторону границы или с заданными извне величинами. Условия однозначности невозможно сформулировать в общем виде, они должны быть увязаны с данной конкретной задачей и математической структурой дифференциального уравнения. Поэтому на третью теорему следует смотреть как на указание метода исследования. Доказательство третьей теоремы проводится рассуждениями от противного. Представим себе, что явления в оригинале описываются известной системой уравнений связи и условиями однозначности. Предположим, что с помощью первой и второй теорем подобия определены условия, которым должен быть подчинен выбор масштабов подобия всех величин для 138 того, чтобы некоторое другое явление было подобно явлению в оригинале. Первая и вторая теорема говорят о том, что такие явления существуют, причем каждому из них соответствует своя система масштабов подобия. Вопрос в том, какое из этих явлений воспроизводится в данной конкретной модели. Развитие основных теорем подобия дается в дополнительных положениях, сформулированных В.А. Вениковым и имеющих особенно существенное значение при установлении подобия и моделирования электрических явлений: Сложные системы, составленные из нескольких систем, соответственно подобных в отдельности, подобны и в целом, если соответственно подобны все их элементы, являющиеся общими для соответствующих систем, то есть если имеет место подобие граничных условий отдельных систем. Условия подобия, справедливые для линейных, изотропных и однородных систем, могут быть распространены и на нелинейные, анизотропные и неоднородные системы, а также на системы с гистерезисом, при дополнительном условии совпадения относительных характеристик проявления нелинейности, анизотропии неоднородности и гистерезиса. Абсолютно полного подобия, охватывающего все процессы двух сравниваемых явлений, добиться никогда не удается. Для практических целей это совсем не обязательно. Теория подобия работает и в тех случаях, когда пропорциональность соблюдается не по всем, а только по наиболее важным величинам. При этом учитываются не все множители, определяющие подобие, а только их часть. Это соответствует частичному преобразование векторов фазовых пространств, при котором искажения несущественны. Поэтому под полным подобием мы будем понимать подобие временного и пространственного протекания всех процессов, непосредственно связанных с изучаемым явлением. Это дает возможность исследовать все основные стороны данного явления. Неполное подобие - это подобие между отдельными сторонами изучаемого явления. При этом часть процессов, относящихся к неподобной стороне явления, может искажаться, но эти искажения не должны существенно влиять на изучаемую часть явления. Приближенное подобие - это подобие при некоторых упрощающих допущениях, заведомо известных и заранее оцениваемых количественно на основании аналитических или экспериментальных исследований. На практике обычно осуществляют неполное подобие с определенными степенями приближения. Например, два электрических процесса, имеющих неподобные мгновенные значения переменных величин, могут иметь подобные огибающие этих мгновенных значений. 139 Библиографический список 1. Лыкин А.В. Математическое моделирование электрических систем и их элементов: учеб.пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 2. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. – Л.: Наука, 1984. 3. Лыкин А.В. Mathcad в задачах электроэнергетики: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. 4. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. – М.: Высшая школа, 1981. 5. Лыкин А.В. Электрические системы и сети: учеб.пособие. – М.: Университетская книга; Логос, 2006. 6. Общая электротехника: учеб. пособие / Под ред. А.Т. Блажкина. – Л.: Энергоатомиздат, 1986. 7. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: учеб.пособие. – М.: Энергоатомиздат, 1983. 8. Электротехника: учебник для вузов / Х.Э. Зайдель, В.В. Коген-Далин, В.В. Крымов и др. – М.: Высшая школа, 1985. 9. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: учеб.пособие. – М.: Высш. шк., 1972. 10. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Линейные электрические цепи: учебник для вузов. – М.: Энергия, 1978. 11. Совалов С.А. Режимы единой энергосистемы. – М.: Энергоатомиздат, 1983. 12. Жуков Л.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. Методы расчетов. – М.: Энергия, 1979. 13. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1967. 14. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов / Пер. с англ. – М.: Мир, 1971. 15. Кадомская К.П. Основы теории случайных процессов: учеб.пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999. 16. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высш. шк., 1971. 17. Исследование операций: В 2 т. Т. 2. Модели и приложения / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. 18. Гужов Н.П. Статистическое прогнозирование режимов электропотребления предприятиями: учеб.пособие / Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1992. 19. Использование методов теории подобия в прогнозировании выработки электроэнергии / Ю.Н. Астахов, К.К. Зубанов, В.В. Кавченков, Т.Е. Пашенкова // Электричество, 1973. – № 3. – С. 13 – 21. 20. Ефимов А.Н. Предсказание случайных процессов. – М.: 1976. 21. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. – М.: Мир, 1974. 22. Электрические системы. Режимы работы электрических систем и сетей / Под ред. В.А. Веникова. – М.: Высш. шк., 1975. 140