Модели управления запасами

3.7. Модели управления запасами Управляя запасами, необходимо ответить на вопросы: Когда заказывать? Сколько заказать? Сколько иметь в резерве? Чем меньше запас, тем меньше издержки хранения (арендная плата), но при этом больше издержки заказа (транспортировка материалов). Кроме того, возрастает риск сбоя производства из-за задержек в поставках. К задачам управления запасами сводится решение проблемы: что выгоднее – быстро, но дороже, или медленно, но дешевле. Аналогичные рассуждения характерны для партии выпускаемой продукции. Если производить продукцию мелкими партиями, издержки хранения готовой продукции будут минимальны, но возрастут издержки переналадки оборудования. Оптимальной будет такая стратегия управления запасами, которая минимизирует сумму всех расходов, связанных с созданием, хранением и нехваткой запасов в единицу времени или за определенный (в том числе бесконечный) промежуток времени. Это достигается установлением последовательности процедур снабжения пополнения запасов. Различают два основных метода управления запасами: 1. запас пополняют до определенного уровня максимального объема через фиксированные промежутки времени t; 2. запас пополнят при достижении им минимального уровня до максимального объема. Величина затрат нелинейно зависит от величины запасов. Методы управления запасами определяются природой хранимых товарно-денежных ценностей и организацией процесса их доставки и хранения. Различают однопродуктовые (запас одного вида изделий) и многопродуктовые системы управления запасами. Модели управления запасами различаются так же по характеру изменяющейся информации о свойствах моделируемой системы. Когда величина параметров носит определенный характер, соответственно математическая модель является детерминированной. Если параметры системы величины случайные с известным распределением вероятностей, модели являются вероятностными (стохастическими). Если нельзя установить стохастические закономерности изменения параметров системы, приходится решать задачу управления запасами в условиях неопределенности. В общем случае, задача управления запасами сводится к нахождению такого размера запаса 𝑉𝑡 в момент времени 𝑡, который минимизирует общую функцию затрат 𝑓(𝑉𝑡 ) → min . Это, как правило, динамические нелинейные задачи (как например, динамическая транспортная задача), для решения которых используются различные численные методы или имитационные. На практике наибольшее распространение получили 4 модели определения оптимального размера закупочной партии 𝑄 ∗ . 1. Модель экономического заказа (EOQ – Economic Order Quantity, модель Уилсона) 2𝐷𝑆 𝑄∗ = √ 𝐻 , где 𝐷 – спрос в продукте за исследуемый период, 𝑆 – затраты заказа (по транспортировке, оформлению заказа), д.ед./заказ, 𝐻 – затраты хранения затраты хр./ в ед. времени. Модель экономического заказа используется при коротком цикле изготовления партии поставки. 2. Модель производственного заказа (производство для собственного потребления) 𝑄∗ = √ 2𝐷𝑆 𝐷 𝐻(1−𝑀) , где 𝑀 – мощность производителя. Модель производственного заказа используется при длительном цикле изготовления партии деталей. 3. Модель заказа с резервным запасом 2𝐷𝑆 𝐻+𝐵 𝑄∗ = √ 𝐻 ∙ 𝐵 , где 𝐵 – затраты резервирования. Модель используется при необходимости создания резервного запаса на случай сбоя поставок. 4. Модель заказа с дисконтом 2𝐷𝑆 𝑄 ∗ = √ ℎЦ , где Ц – закупочная цена, ℎ – затраты на хранение в процентах от цены. Модель применяется при наличии скидок с цены за покупку большой партии. Самой основной является первая модель. Модель «Экономического заказа» имеет ряд допущений: 1) расход ресурсов непрерывный и равномерный; 2) период между двумя смежными поставками постоянен; 3) спрос удовлетворяется полностью и мгновенно; 4) транзитный и страховой взносы отсутствуют; 5) емкость склада не ограничена; 6) затраты на размещение и выполнение запаса не зависят от размера заказа и постоянны в течение планового периода; 7) цена поставляемой продукции в течении планового периода постоянна; 8) затраты на содержание единицы продукции в течении единицы времени постоянные и не зависят от суммы вложенных в запасы средств и сроков. Заказ на поставку очередной партии делается при уменьшении размера запаса до установленного критического уровня – «точки заказа», и как только размер запаса доходит до нуля, мгновенно поступает новая партия. 3.7.1. Модель экономического заказа Пример 1. Компания ежегодно закупает 𝐷 = 8000 штук деталей по цене Ц = 10 руб./шт. и использует их на сборке. Затраты хранения одной детали в течении года 𝐻 = 3 руб./шт. затраты заказа 𝑆 = 30 руб./заказ. Эффективный фонд времени работы за год Ф = 200 рабочих дней. Доставка заказа от поставщиков занимает 𝐿 = 2 рабочих дня. Производственная мощность поставщика 10 670 транзисторов в год. Затраты резервирования 7 руб./шт. в год. Построить график изменения запаса во времени и определить, используя модель экономического заказа (EOQ): 𝑄 ∗ –оптимальный размер закупочной партии; 𝑁 – число заказов за год; 𝑇 – время между заказами; 𝑑 – интенсивность потребления заказов (дневную потребность ); 𝑅𝑂𝑃 – точку перезаказа; 𝐶 – общие затраты. Таблица 3.2. Размер закупочной партии 8000 4000 500 400 300 200 100 Затраты хранения Затраты заказа 8000/2∙3=12 000 6000 750 600 450 300 150 8000/8000∙30=30 60 480 600 800 1200 2400 Затраты хранения и заказа 12 030 6060 1230 1200 1250 1500 2550 Решение. Рассмотрим влияние размера закупочной партии на суммарные затраты хранения и запаса (табл. 3.2). Если все 8 000 деталей закупаются одновременно, то время между заказами – год, общие затраты 12 030 руб., максимальный запас 8 000 шт., среднегодовой запас 𝑄max + 𝑄min 8000 + 0 𝑄ср = = = 4000 шт. 2 2 Если детали закупаются двумя партиями, то время между заказами – полгода, общие затраты составляют 6 060 руб., максимальный запас 4 000 4000+0 шт., среднегодовой запас 𝑄ср = 2 = 2000 шт (рис. 3.11 и рис. 3.12). Рисунок 3.11 – Модель экономического заказа Рисунок 3.12 – Модель экономического заказа Общие затраты хранения и заказа минимальны, если затраты хранения (𝐶𝐻 ) равны затратам заказа (𝐶𝑆 ), т.е. общие затраты хранения зависят от величины затрат хранения одной штуки и размера среднего запаса: 𝑄 +𝑄 𝑄∗ 𝐶𝐻 = 𝐻 ∙ max 2 min = 𝐻 ∙ 2 . Общие затраты заказа зависят от величины удельных затрат заказа и количества заказов за год: 𝐷 𝐶𝑆 = 𝑆 ∙ 𝑄∗. Затраты хранения равны затратам заказа при условии: 𝑄∗ 𝐷 𝐻 ∙ 2 = 𝑆 ∙ 𝑄∗ . Отсюда оптимальный размер закупочной партии (формула Уилсона): 2∙𝐷∙𝑆 2 ∙ 8000 ∙ 30 =√ = 400 штук. 𝐻 3 Количество заказов за год: 𝐷 8000 𝑁= ∗= = 20. 𝑄∗ = √ 𝑄 400 Время между заказами: Ф 𝑇=𝑁= 200 20 = 10 дней. Интенсивность потребления: 𝐷 8000 𝑑 = Ф = 200 = 40 штук в день. Точка перезаказа – критический уровень заказа, по достижении которого нужно сделать перезаказ, тогда новая партия поступит вовремя: 𝑅𝑂𝑃 = 𝑑 ∙ 𝐿 = 40 ∙ 2 = 80 шт. Общие затраты на хранение, заказ и закупку запасов составляют: 𝑄∗ 𝐷 𝐶 = 𝐶𝐻 + 𝐶𝑆 + 𝐶ц = 𝐻 ∙ +𝑆∙ ∗+Ц∙𝐷 = 2 𝑄 400 8000 = 2 ∙ 3 + 400 ∙ 30 + 10 ∙ 8 000 = 81 200 руб. 3.7.2. Модель производственного заказа Как изменяются параметры задачи, если заказ пополняется по мере изготовления партии? Каков при этом максимальный уровень заказ и интенсивность его пополнения? 2∙𝐷∙𝑆 𝑄∗ = √ 2∙8000∙30 𝐷 𝐻∙(1−𝑀 ) 𝐷 𝑁 = 𝑄∗ = Ф 𝑇=𝑁= 𝐻 200 Интенсивность 𝑝 = Ф = = √3∙(1− 8000 = 800 штук. 10 670) 8000 800 = 10 заказов в год. = 20 дней между заказами. 10 10670 200 = 53 штуки в день производится. На производство всей партии потребуется 𝑇1 = 𝑄∗ 𝑝 = 800 53 = 15 дней (рис. 3.13). Если бы запас одновременно с пополнением не потреблялся бы, то максимальный запас был бы 800 штук, а так: 𝑄max = 𝑄 ∗ − 𝑇1 ∙ 𝑑 𝑄max = 800 шт. −15 дней ∙ 40 шт. в день = 200 шт. 800 8000 𝐶 = 2 ∙ 3 + 800 ∙ 30 + 10 ∙ 8000 = 81 500 руб. Рисунок 3.13 – Модель производственного заказа 3.7.3. Модель заказа с резервным запасом Обычно заказ расходуется неравномерно, а время между подачей заказа и поступлением очередной партии колеблется, поэтому на случай сбоя в поставках создается резервный запас (рис. 3.14). Рисунок 3.14 ‒ Модель заказа с резервным запасом Как изменятся параметры задачи (EOQ), если часть закупочного партии расходуется на создание резервного запаса? Каков при этом оптимальный размер резервного запаса? 2∙𝐷∙𝑆 𝐻+𝐵 𝑄∗ = √ 𝐻 ∙ 𝐵 𝐵 2∙8 000∙30 3+7 =√ 3 ∙ 7 = 478 шт. 7 𝑄рез = 𝑄 ∗ ∙ (1 − 𝐵+𝐻) = 478 ∙ (1 − 7+3) = 143 шт. Превышение резервного запаса = 478 − 143 = 335 шт. 𝐷 8 000 𝑁 = 𝑄∗ = 478 = 17 заказов в год. Ф 200 = 12 дней между заказами. 𝑄∗ 𝐷 𝐶 = 𝐶𝐻 + 𝐶𝑆 + 𝐶𝐵 + 𝐶ц = 𝐻 ∙ + 𝑆 ∙ ∗ + 𝑄рез ∙ 𝐵 + Ц ∙ 𝐷 = 2 𝑄 478 8000 = 2 ∙ 3 + 477 ∙ 30 + 143 ∙ 7 + 10 ∙ 8000 = 82 220 руб. 3.7.4. Модель заказа с дисконтом Как изменятся параметры задачи (модель EOQ): оптимальный размер закупочной партии и общие затраты, если поставщики установили дисконтные скидки для оптовых покупателей: партия 400 штук по 10 руб./шт.; 600 штук – 9,5 руб./шт.; 2 000 штук – 9,3 руб./шт.? Затраты на хранение 30 % от цены. Какое заказываемое количество минимизирует общие затраты? 𝑇= 𝑄 ∗400 = √ 𝑁 = 17 2 ∙𝐷∙𝑆 2 ∙ 8 000 ∙ 30 =√ = 400 шт. ℎ∙Ц 0,3 ∙ 10 𝑄 ∗ 600 = √ 2 ∙ 8 000 ∙ 30 = 410 шт. 0,3 ∙ 9,5 𝑄 ∗ 200 = √ 2 ∙ 8 000 ∙ 30 = 415 шт. 0,3 ∙ 9,3 Корректируем в сторону увеличения 𝑄 ∗ , который ниже допустимого дисконтного диапазона и рассчитываем общие затраты. 𝑄∗ 𝐷 𝐶400 = 𝐶𝐻 + 𝐶𝑆 + 𝐶ц = ℎ ∙ ∙Ц+𝑆∙ ∗+Ц∙𝐷 = 2 𝑄 = 400 2 𝐶600 = ∙ 0,3 ∙ 10 + 600 8 000 ∙ 30 + 10 ∙ 8000 = 81 200 руб. 400 8 000 ∙ 0,3 ∙ 9,5 + 2 2 000 ∙ 30 + 9,5 ∙ 8000 = 77 225 руб. 600 8 000 𝐶2000 = ∙ 0,3 ∙ 9,3 + ∙ 30 + 9,3 ∙ 8000 = 77 310 руб. 2 2000 3.7.5. Модель управления запасами при случайном спросе Пусть в целые моменты времени 1,2. . , 𝑛, … поступают заявки на некоторый товар. Размеры этих заявок носят случайный характер: спрос в момент 𝑘 есть случайная величина 𝜉𝑘 . Будем считать, что величины 𝜉𝑘 при разных 𝑘 независимы и одинаково распределены с плотностью 𝑝(𝑥), при 𝑥 > 0 , 𝑝(𝑥) > 0. Для удовлетворения спроса мы имеем возможность запастись некоторым количеством товара заранее, т.е. в момент 0, и в каждый момент 𝑘 можем сделать дополнительный заказ 𝑞𝑘 , которые мы получим в момент 𝑘 + 1. Товар заказанный заранее, который доставляют через единицу времени после заказа, обходится в ℎ денежных единиц за единицу товара. Если в какой-то момент спрос превышает имеющееся количество товаров, то мы имеем возможность получить товар тотчас же и тем самым удовлетворить спрос. Однако в этом случае товар поступает по цене 𝐻 за единицу товара. Естественно, 𝐻 > ℎ. Наша задача состоит в выборе, такого управления, т.е. такой политике предварительных заказов 𝑞0 , 𝑞1 , … , 𝑞𝑁−1 , в течении 𝑁 единиц времени , чтобы удовлетворить спрос с наименьшими общими затратами. Обозначим 𝑥𝑛 – количество товаров, оставшихс после удовлетворения -й заявки 𝜉𝑘 . Тогда 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑞𝑛 , при условии 𝑥𝑛 + 𝑞𝑛 ≥ 0. Если спрос 𝜉𝑛+1 в момент 𝑛 + 1 превышает количество товаров 𝑥𝑛 + 𝑞𝑛 , имеющихся к моменту 𝑛 + 1, то недостаток товаров покрывается за счет немедленной закупки по штрафной цене, и в этом случае 𝑥𝑛+1 = 0. Если условиться обозначить 𝑓 ∗ (𝑥) функцию, равную 𝑓(𝑥) при 𝑓(𝑥) > 0 и нулю при 𝑓(𝑥) ≤ 0 , то связь 𝑥𝑛+1 и 𝑥𝑛 можно записать так: 𝑥𝑛+1 = (𝑥𝑛 + 𝑞𝑛 – 𝜉𝑛+1 )∗ При фиксированной последовательности 𝑞 = (𝑞0 , 𝑞1 , … , 𝑞𝑁−1 ) предварительных закупок наши затраты составят следующие сумму: 𝑁−1 𝑁−1 ℎ ∑ 𝑞𝑘 + 𝐻 ∑ (𝜉𝑘+1 − 𝑥𝑘 − 𝑞𝑘 )∗ = 𝑙𝑁 [𝑞 ] 𝑘=0 𝑘=0 Первое слагаемое этой суммы есть плата за предварительно заказанные товары, второе слагаемое – стоимость штрафных закупок. Вся сумма 𝑙𝑁 [𝑞] – случайная величина. В качестве характеристики последовательности 𝑞 принять среднее значение этой случайной величины 𝑙𝑁 [𝑞] = 𝑀(𝑙𝑁 [𝑞]). Наша цель состоит в выборе такого доступного управления 𝑞 = (𝑞0 , 𝑞1 , … , 𝑞𝑁−1 ), чтобы минимизировать среднюю стоимость товаров за рассматриваемый период [0; 𝑁]. Допустимые управления для данной задачи: 1) все компоненты вектора 𝑞 – неотрицательные величины, так как заказ не может быть отрицательным; 2) величина заказа в 𝑘 момент времени 𝑞𝑘 вычисляется, только по ходу процесса до 𝑘 момента включительно, но есть по 𝜉0 , 𝜉1 , … , 𝜉𝑘 .. Это последнее требование очень существенно , т.к. ход процесса после момента k определяется величинами 𝜉1 , 𝜉2 , … , который до момента 𝑘 невозможно определить, поэтому управление , которое вычисляется с учетом будущего не может быть физически осуществлено. Переходим к вычислению оптимального управления. Для этого рассмотрим чуть более общую задачу. Будем допускать, что в начальный момент уже было некоторое количество 𝑥0 товаров. Обозначим 𝑓𝑛 (𝑥) ожидаемую стоимость товаров за 𝑛 этапов при начальном количестве 𝑥0 , если используется оптимальная n-этапная стратегия. Таким образом, 𝑙[𝑞̅] = 𝑓𝑛 (0).Используя принцип оптимальности, для функций 𝑓𝑛 (𝑥) можно получить следующие соотношения: ∞ 𝑓1 (𝑥) = 𝑚𝑖𝑛 [ℎ(𝑦 − 𝑥 ) + 𝐻 ∫ (𝑥 − 𝑦)𝑝(𝑞)𝑑𝑞 ] , 𝑦≥𝑥 𝑌 ∞ 𝑓𝑛+1 (𝑥) = 𝑚𝑖𝑛 [ℎ(𝑦 − 𝑥) + 𝐻 ∫ (𝑥 − 𝑦)𝑝(𝑥)𝑑𝑠 𝑦≥𝑥 𝑌 ∞ 𝑌 + 𝑓𝑛 (0) ∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠 + ∫ 𝑓𝑛 (𝑦 − 𝑠)𝑝(𝑠)𝑑𝑠 ] Поясним эти равенства. Предполагая, что заказ в момент 0 есть 𝑞0 = 𝑦 − 𝑥. Его стоимость ℎ (𝑦 − 𝑥). Если спрос 𝜉1 ‒ превзойдет 𝑦, то мы должны ещё приобрести 𝜉1 – 𝑦 единиц товара по штрафной стоимости; на это в среднем мы тратим ∞ 𝐻 ∫ (𝑠 − 𝑦 )𝑝(𝑠)𝑑𝑠. 𝑦 Итак, мы получим для 𝑓𝑛 (𝑥) функциональные уравнения. Прежде чем преступать к их расследованию, сделаем простое замечание относительно соотношения вида 𝑞 (𝑥 ) = min 𝐺 (𝑥, 𝑦). 𝑦≥𝑥 Если минимум достигается во внутренней точке полупрямой 𝑦 ≥ 𝑥 и 𝐺 (𝑥; 𝑦) – гладкая функция, то при минимизирующем значении 𝑦 частная производная 𝐺 ′ 𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0. Это последнее равенство определяет функцию 𝑦 ∗ = 𝑦 ∗ (𝑥). 𝑑𝑦∗ При этом 𝑞 (𝑥 ) = 𝐺 (𝑥; 𝑦 ∗ ) и 𝑞 ′(𝑥) = 𝐺 ′ 𝑥 + 𝐺 ′ 𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 ′ 𝑥 (𝑥; 𝑦 ∗ ), так как 𝐺 (𝑥; 𝑦 ∗ ) = 0. Итак, функция 𝑦 ∗ = 𝑦 ∗ (𝑥), доставляющая минимум 𝐺 (𝑥; 𝑦), удовлетворяет уравнению 𝐺 ′ 𝑦 (𝑥, 𝑦 ∗ ) = 0, а и 𝑞 ′(𝑥) = 𝐺 ′ 𝑥 (𝑥; 𝑦 ∗ ). Применим это замечание к нашей задаче покажем, что существующая убывающая последовательность 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑁−1 такая, что оптимальная стратегия на -м этапе 𝑞̂𝑘 устроена так, если количество товаров 𝑥, оставшееся после удовлетворения (𝑘 − 1)-го требования, больше 𝑎𝑘 , то ничего заказывать не надо (𝑞̂𝑘 = 0), если же 𝑎𝑘 − 𝑥 > 0, то нужно сделать заказ 𝑞̂𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑥. Начнем рассмотрение с последнего этапа. Если после удовлетворения 𝑁– 1 требования остается 𝑥 единиц товара, то при оптимальном заказе 𝑞̂𝑁−1 наши средние затраты на последнем этапе составят𝑓1 (𝑥). Применяя к этому равенству приведенное выше замечание, получим, что минимум достигается или при 𝑦 = 𝑥, или же при некотором 𝑦 для которого частная производная по 𝑦 от выражения, стоящего в квадратных скобках обращается в ноль. Таким образом, для минимизирующего значения 𝑦 получим уравнение ∞ ∞ 𝑑 [ℎ (𝑦 − 𝑥 ) + 𝐻 ∫ (𝑥 − 𝑦 )𝑝(𝑠)𝑑𝑠] = ℎ − 𝐻 ∫ 𝑝 (𝑠)𝑑𝑠 = 0. 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 Легко проверить, что это уравнение имеет единственное решение. Обозначим его 𝑦 = 𝑎𝑁−1 . Это число и есть то критическое количество товаров, которое нужно иметь перед последним этапом, чтобы минимизировать затраты на последнем этапе. Поэтому 𝑞̂𝑁−1 = (𝑎𝑁−1 − 𝑥)∗, где 𝑥 − количество товаров, оставшееся после удовлетворения предпоследней заявки. Используя наше замечание, можно выписать выражение для 𝑓1 (𝑥). Для определения 𝑎𝑁−2 нужно рассмотреть последние два этапа: оптимальные и средние затраты на последних двух этапах 𝑓1 (𝑥). Минимум в этом соотношении достигается или при 𝑦 = 𝑥 или при 𝑦 = 𝑎𝑁−2 , где 𝑎𝑁−2 – корень уравнения 𝑦 ∞ ′ ℎ − 𝐻 ∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠 − ∫ 𝑓𝑁−𝑘+1 (𝑦 − s)𝑝(𝑠)𝑑𝑠 = 0 𝑦 Можно показать что это уравнение также имеет единственное решение 𝑦 = 𝑎𝑁−2 ; при этом 𝑎𝑁−2 > 𝑎𝑁−1 . Остальные числа 𝑎𝑁−𝑘 определяются последовательно из уравнений: ∞ 𝑦 ′ ℎ − 𝐻 ∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠 − ∫ 𝑓𝑁−𝑘+1 (𝑦 − s)𝑝(𝑠)𝑑𝑠 𝑦 C увеличением 𝑘 эти числа возрастают. Таким образом, оказалось, что в нашей задаче существует простая оптимальная стратегия предварительных заказов. На основе интуитивных соображений довольно просто прийти к выводу, что оптимальное управление должно иметь ту структуру, которую мы получили путем вычислений – существует свой на каждом этапе критический запасов, и политика заказов должна сводиться к поддержанию этого уровня. Критический уровень тем ниже, чем ближе к заключительному этапу. Однако величины оптимальных запасов 𝑎𝑘 конечно, нельзя найти без вычислений.