Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод Якоби

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Метод Якоби Лекция 5 Метод простой итерации (метод Якоби) (теория) Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения 𝑥 (0) (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу A, вектор B системы уравнений и 𝑥 (0) , приводит к новому вектору 𝑥 (1) : (1) Затем процесс повторяется, только вместо 𝑥 (0) используется новое значение 𝑥 (1) . На k +1-м шаге итерационного процесса получают: (2) Метод простой итерации (метод Якоби) (теория) При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при 𝑘 → ∞. Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A: (3) Заданная точность достигается при выполнении условия: (4) Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров Пример 7. Преобразовать систему уравнений к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации. Решение. Достаточное условие сходимости (3) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым. Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров В i -ом уравнении все члены, кроме xi , переносятся в правую часть: (0) (0) (0) Задается начальное приближение 𝑥 (0) = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 правую часть. Если (0) 𝑥1 = (0) 0, 𝑥2 = (0) 0, 𝑥3 , которое подставляется в = 0, то результаты первой итерации: Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров (1) (1) (1) Результаты первой итерации 𝑥 (1) = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 часть и получают результаты второй итерации: Результаты второй итерации (2) (2) (2) 𝑥 (2) = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации: подставляют в правую Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров Итак далее, пока не будет достигнуто условие: Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров Пример 8. Решить систему уравнений методом Якоби с помощью программы Excel с точностью 𝜀 = 0,001: Порядок решения 1) Представить систему в виде: Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 2) Ввести в ячейки A1:C1 заголовки столбцов 3) В ячейки A2:C2 – начальное приближение 0, 0, 0; Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 4) В ячейку A3 – формулу x1 5) В ячейку B3 – формулу x2 6) В ячейку C3 – формулу x3 =(7-4*B2+C2)/7 =(-2-2*A2-3*C2)/6 =(4+A2-B2)/4 Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 7) Выделить столбцы A, B, C, вызвать контекстное меню Формат ячеек, установить формат числовой и указать число десятичных знаков, соответствующее необходимой точности, т.е. 4; или Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 7) Выделить столбцы A, B, C, вызвать контекстное меню Формат ячеек, установить формат числовой и указать число десятичных знаков, соответствующее необходимой точности, т.е. 4; Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 8) Внести данные в ячейки E2:H3, как показано на рисунке Находим разницу между значениями соседних переменных Находим максимум из данных в ячейках E3:F2 Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 9) Выделить столбец G и установить условия, использую Условное форматирование: Метод простой итерации (метод Якоби) Решение примеров 10) Выделить ячейки A3:C3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:C4, A5:C5 и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения; 11) Продолжать копирование, пока результат в столбце G не окрасится в розовый цвет; 12) Ячейки A21, B21, C21 содержат решение системы уравнений, соответствующее заданной точности. Приближенное решение системы с точностью 𝜀 = 0,001: 𝑥1 = 2,6610; 𝑥2 = −2,3452; 𝑥3 = 2,2511