Методы расчета статически определимых систем на постоянную нагрузку

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ Важной задачей расчета сооружений является определение их напряженно-деформированного состояния (НДС). Эта задача состоит из: – определения опорных реакций и внутренних усилий; – определения напряжений; – определения перемещений и деформаций. Перед расчетом должны быть установлены геометрические размеры и формы элементов сооружения, физические характеристики материала, внешняя нагрузка и особенности ее воздействия. Наиболее простым является расчет статически определимых систем. Статически определимой называется система, внутренние усилия которой можно определить только из уравнений статики (равновесия). Статически определимые системы (СОС) имеют свои особенности: 1) их внутренние усилия не зависят от упругих характеристик материала, форм сечений и площадей элементов; 2) воздействие температуры, осадки опор, неточность изготовления элементов не вызывают внутренних усилий; 3) если нет внешних нагрузок, все внутренние усилия равны нулю. 1. Определение опорных реакций Сооружение, воспринимая внешнюю нагрузку, через свои элементы передает ее опорам, вызывая в них опорные реакции. При определении опорных реакций используется принцип освобождения от связей: всякое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями. После этого из уравнений равновесия можно определять величины опорных реакций. Уравнения равновесия плоской системы записываются в трех формах: 1) X = 0, Y = 0, MA = 0 (X и Y – суммы проекций на взаимно-пересекающиеся оси x и y, MA – сумма моментов всех сил относительно любой точки A на плоскости); 2) X = 0, MA = 0, MB = 0 (точки A и B не должны лежать на одном перпендикуляре к оси x); 3) MA = 0, MB = 0, MC = 0 (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой). 2. Внутренние усилия стержневой системы В элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Для любого поперечного сечения стержня они определяются как на рис. 1. Рис. 1 Изгибающий момент – это сумма моментов всех сил, лежащих слева (или справа) от сечения относительно оси z: M   M iz  –  M jz . лев пр В строительной механике знак изгибающего момента обычно не устанавливается, а эпюра M изображается на стороне растянутого волокна. Поперечная сила – это сумма проекций на ось y всех сил, лежащих слева (или справа) от сечения: Q   Piy  –  Pjy . лев пр Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки. Продольная сила – это сумма проекций всех сил на ось x, лежащих слева (или справа) от сечения: N   Pix  –  Pjx . лев пр Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его. Между M и Q существует дифференциальная зависимость: Q= dM . dx Исходя из геометрического смысла первой производной, величина Q равняется тангенсу угла между осью эпюры M и касательной к ней. По эпюре M можно определить знак Q. Для этого ось эпюры M нужно повернуть до совпадения с касательной к ней. Если поворот будет по часовой стрелке, Q будет со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». Эпюры поперечных и продольных сил можно изображать на любой стороне от оси стержня, но эпюру изгибающего момента нужно обязательно изображать на стороне растянутого волокна. 3. Методы определения внутренних усилий Внутренние усилия статически определимых систем определяются методами простых сечений, совместных сечений, вырезания узла, замены связей и др. 3.1. Метод простых сечений Этот метод позволяет рассматривать внутреннее усилие как внешнюю силу и определять его из уравнений статики (равновесия). Например, внутренние усилия балки (рис. 2 а) в сечении К определяются как на рис. 2 б. Рис. 2 Алгоритм метода простых сечений: 1) поделить систему на участки; 2) выбрать участок и провести поперечное сечение; 3) выбрать одну (наиболее простую) из отсеченных частей; 4) составить три уравнения равновесия; 5) из них определить внутренние усилия M, Q, N; 6) для данного участка построить эпюры M, Q, N; 7) повторить пункты 2-6 для остальных участков. 3.2. Метод совместных сечений Этот метод используется при расчете многодисковых систем. Например, для расчета трехдисковой рамы (рис. 3 а) проводятся три совместных сечения I, II, III. В результате выявляются девять неизвестных реакций (рис. 3 б): опорные реакции R1, R2, H и междисковые реакции X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3. Составив для каждого диска по три уравнения равновесия, т.е. 33=9 уравнений, из их решения определяются все 9 реакций. Рис. 3 Алгоритм метода совместных сечений: 1) совместными сечениями разделить систему на части (диски); 2) обозначить опорные и междисковые реакции; 3) для каждого диска записать уравнения равновесия; 4) решить систему полученных уравнений; 5) каждый диск рассчитать отдельно и построить эпюры; 6) объединить все эпюры в общие эпюры M, Q, N. 3.3. Метод вырезания узла Используется для определения усилий простых систем. Сущность метода: вырезается узел с не более чем двумя неизвестными усилиями; силы, действующие в узле, проецируются на две оси; из этих уравнений определяются искомые усилия. Например, при расчете балочно-ферменной системы (рис. 4 а), после того как определены опорные реакции (рис. 4 б), вырезается узел А (рис. 3.4 в) и составляются уравнения равновесия: X = N2 cos45– N1 cos45= 0, Y = N1 sin45+ N2 sin45+ P/2 = 0. Из них определяются искомые продольные силы: N1  N2  – P . 4 sin 45 Рис. 4 3.4. Метод замены связей Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами. Сущность метода: сложная система превращается в более простую путем перестановки связи (или нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами. Например, для расчета рамы (рис. 5 а) удалим правый вертикальный стержень заданной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим так называемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 5 б). Рис. 5 Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С: MC=0. По принципу суперпозиции этот момент равняется сумме моментов от силы X и внешней нагрузки: MC=MC,X + MC,P =0. Теперь рассмотрим два состояния ОС: 1) единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 5 в); 2) грузовое состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 5 г). Тогда предыдущее уравнение примет вид M C  X + MC,P =0, где M C =1a=a – момент в точке С в единичном состоянии; MC,P= qa 2 / 2 – момент в точке С в грузовом состоянии. Теперь неизвестное усилие легко вычисляется: M qa X  – C ,P   . 2 MC После этого можно перейти к расчету более простой системы (рис. 5 д). В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же условий эквивалентности: s11X1+s12X2++ s1nXn+S1P=0, s21X1+s22X2++ s2nXn+S2P=0, . . . . . . . . . . . . . . . . . sn1X1+sn2X2++ snnXn+SnP=0. Здесь 1, 2, , n – заменяемые связи; X1, X2, , Xn – неизвестные внутренние усилия в этих связях; sij – усилие в связи i в j-ом единичном состоянии; SiP – усилие в i-ой связи в грузовом состоянии. Из этой системы уравнений определяются неизвестные X1, X2, , Xn. Общий вывод. Расчет любой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если определитель полученной системы уравнений отличен от нуля (det0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же определитель равняется нулю (det=0), то внутренние усилия определить нельзя. В этом случае система является мгновенно изменяемой. 4. Расчет ферм Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис. 6 а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 6 б). Рис. 6 Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие 2nУ  nС  nС0 . При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия. Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 7 а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 7 б). Рис. 7 При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Здесь рассмотрим только два метода. Метод вырезания узлов основан на последовательном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы. Сущность метода: вырезается узел, в котором не более двух неизвестных; составляются уравнения равновесия X=0 и Y=0; из них определяются неизвестные продольные усилия. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет. В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 8 а) сначала вырежем узел A (рис. 8 б) и запишем уравнения равновесия: X = NA-10+NA-1 cos=0; Y = NA-1 sin+1,5P=0. Из них: NA-1= –1,5P/sin; NA-10=1,5P/tg . Рис. 8 Теперь вырежем узел 10 (рис. 8 в) и запишем условия равновесия: X = N9-10 –NA-10=0; Y = N1-10=0. Из них получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tg; N1-10=0. После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5. У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле  Ni li   Px  x  Py  y , где Ni – усилия в стержнях, li – длины стержней, Px и Py – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок. Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм: 1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 9 а), то оба усилия равны нулю: N1= N2=0; 2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 9 б), то N1=P, N2=0; 3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 9 в), то усилия в двух стержнях равны: N1= N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3=0; 4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 9 г), то усилия также попарно равны между собой: N1= N2, N3= N4. Рис. 9 Используя эти признаки легко определяются некоторые усилия рассмотренной фермы (рис. 8а): – по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0; – по 3-му признаку NA-10=N9-10=N8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5. Метод сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из одного уравнения. Сущность метода: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтобы появилось не более трех неизвестных усилий; в точке пересечения направлений двух из них составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие. Точка, в которой составляется уравнение момента, называется моментной точкой. В качестве примера рассмотрим же ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 8а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 10), составим уравнение момента в точке 1: M1 = N9-10 a –1,5Pa=0. ту 3 Отсюда получаем: N9-10=4,5P . Рис. 10 Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Поэтому M9 = –N1-2 b –1,5P2a=0. Так как b=2asin, получаем N1-2=–1,5P/ sin . Для N1-9: MA = –N1-9c=0. Отсюда получаем N1-9=0. Иногда (например, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В этом случае вместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням. У метода сквозных сечений есть один недостаток: в сложных фермах не удается провести такое сквозное сечение, чтобы появились только три неизвестных усилия. В этом случае некоторые неизвестные нужно определять заранее или использовать другие методы (методы совместных сечений или замены связей). 5. Расчет разрезных балок В зависимости от расположения опор и шарниров, разрезные балки могут быть разными (рис. 11). Рис. 11 Для геометрической неизменяемости и статической определимости разрезных балок должно выполняться условие nШ  nС0  3 . Взаимодействие частей разрезной балки легче изучать путем составления их этажных схем. Для этого выявляются те части балки, которые могут самостоятельно нести внешнюю нагрузку (назовем их главными балками). Все главные балки изображаются на нижнем этаже. Те части балки, которые примыкают к главным балкам (подвесные балки) и могут нести нагрузку только при опирании на главные балки, изображаются этажом выше и т.д. В результате получается этажная схема балки. Например, рассмотренные на рис. 11 разрезные балки можно представить в виде следующих этажных схем (рис. 12). Рис. 12 Расчет разрезных балок начинается с самого верхнего этажа: определяются опорные реакции и внутренние усилия этой части балки от ее нагрузки. После этого переходим к нижележащему этажу. Однако, кроме своей нагрузки, к нему следует приложить и давление от вышележащего этажа (которое равно реакции вышележащего этажа, но направлено в противоположную сторону). Затем определяются его реакции и внутренние усилия. Далее расчет продолжается до самого нижнего этажа. Рассмотрим пример (рис. 13 а). Вначале строим этажную схему (рис. 13 б), проводим расчет подвесной балки (рис. 13 в), а затем главной балки (рис. 13 г). Полученные эпюры для отдельных частей балки объединяем в общие эпюры M и Q (рис. 13 д, е). Рис. 13 6. Расчет трехшарнирных систем Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные (рис. 14 а) и подвесные системы (рис. 14 б). Рис. 14 Их расчет мало отличается друг от друга. Поэтому остановимся на арочных системах, которые бывают трех типов: трехшарнирные рамы (рис. 4.10 а), трехшарнирные арочные фермы (рис. 15 б) и трехшарнирные арки (рис. 15 в): Рис. 15 Особенность трехшарнирных систем состоит в том, что в них возникает распор (боковое давление) даже от вертикальной нагрузки. Опорные реакции таких систем (рис. 16 а) можно определять методом совместных сечений. В результате появляются независимые две части с шестью неизвестными (четыре опорные реакции RA, RB, HA, HB и две междисковые реакции XC, YC (рис. 16 б). Рис. 16 Составив для каждого диска по три уравнения равновесия (всего шесть уравнений), можно определить все эти реакции. Далее каждый диск рассчитывается самостоятельно.