Методы прогнозирования

Источник: Проскурякова Е.А., Яхно А.Д. Социально-экономическое прогнозирование: учеб. пособие – СПб.: ПГУПС, 2009. – 92 с. Глава 3 МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 3.1 Классификация методов прогнозирования Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. В настоящее время, по оценкам зарубежных и отечественных систематиков прогностики, насчитывается более 150 методов прогнозирования. Конечно, они не являются равноценными, а различаются по своему инструментарию, области применения и научной обоснованности. Прогнозированию обычно сопутствует одно из следующих условий: – наличие формальной модели; – отсутствие формальной модели, но наличие статистических данных, на основе которых можно построить модель; – отсутствие модели и необходимых для ее построения статистических данных. Вследствие этого методы прогнозирования классифицируются по различным основаниям. Наиболее универсальной является следующая классификационная схема (см. рис. 3.1.1). Рис. 3.1.1. Классификация методов прогнозирования Выбор метода прогнозирования в общем случае зависит от характера имеющихся исходных данных, специфики объекта прогнозирования, периода упреждения прогноза. На практике часто используются комбинированные методы прогнозирования, сочетающие различные подходы к получению прогнозов. 3.2 Экспертные методы прогнозирования Эвристические методы прогнозирования основаны на интуи­тивном мышлении экспертов, экспертные оценки получили назва­ние эвристических методов прогнозирования в связи с однородностью форм мышления экспертов при экспертизе и использовании ими специфических приемов, приводящих к правдоподобным умозаключениям. Экспертные оценки, базируясь на научно-технических зна­ниях, производственном опыте и интуиции экспертов, являются субъективными умозаключениями. Задача эвристического прогно­зирования состоит в том, чтобы на базе субъективных оценок по­лучить более или менее объективное представление об объекте прогноза. Это достигается четко обоснованными способами форми­рования анкет и вопросников для экспертов, порядком работы с экспертами и алгоритмами обработки прогностической информации. В научно-техническом прогнозировании применяют индивиду­альные и коллективные экспертные оценки. Методы индивидуальных экспертных оценок включают оценки путем интервью (анкетирования) экспертов и аналитические оцен­ки. Аналитические оценки эксперты излагают в специальных док­ладных записках или выполняют морфологическим способом. Пер­вый способ предусматривает основательную проработку вопроса экспертом и изложение ее результатов в специальной докладной записке. При морфологическом способе эксперту предлагают го­товые варианты ответов на вопросы, и он должен выбрать из них наиболее правильные ответы. Индивидуальные оценки выполняются как одним экспертом, так и группой экспертов, не обменивающих­ся между собой мнениями. В последнем случае оценки разных экс­пертов обобщаются. Такая групповая экспертиза надежнее мнения одного эксперта. Коллективные экспертные оценки достигаются методом комиссии, методом «отнесенной оценки», методом Дельфы и методом кол­лективной генерации идей. Метод комиссии предусматривает систе­матическое проведение дискуссии экспертов о путях развития объ­екта прогнозирования. Метод «отнесенной оценки» налагает запрет критики высказанных положений во время таких дискуссий. Метод Дельфы предусматривает итерационное сближение точек зрения раз­личных экспертов. Метод коллективной генерации идей предполага­ет «свободное парение» мыслей экспертов с целью сбора «урожая» новых идей. Два последних метода рассмотрены ниже. Преимуществом индивидуальных методов являются максималь­ное использование индивидуальных способностей и незначительное внешнее психологическое давление на экспертов, а недостатками – слабое использование научных связей и ограниченные возможности разработки общего мнения. Преимущество коллективных методов за­ключается в том, что коллективное обсуждение сужает область су­бъективизма и вызывает лавинообразность рождения идей, а недо­статок состоит в сильном внешнем психологическом давлении на экспертов: влияние авторитетов, мнение большинства, трудность публичного отказа от своей точки зрения и т. п. Метод Дельфы в известной степени сочетает в себе преимущества и устраняет не­достатки индивидуальных и коллективных экспертных оценок. Как правило, чем сложнее метод, тем выше достоверность прогноза, но тем больше длительность прогнозных исследований и затраты на них. Поэтому на выбор метода экспертных оценок накладываются определенные организационные и финансовые ограничения. Метод Дельфы разработан О. Хелмером и опубликован в 1964 г. Он назван так по имени древнегреческого города, в котором дель­фийские мудрецы-оракулы после тщательного совместного обсужде­ния оглашали свои предсказания. Метод Дельфы полезен в первую очередь для того, чтобы составить себе лучшее представление о бу­дущих целях и потребностях. При использовании метода Дельфы опрос экспертов производит­ся в несколько туров. В первом туре эксперты сообщают свое перво­начальное мнение по изучаемому вопросу, после чего определяются медиана, нижний и верхний квартили группового мнения. Под медиа­ной понимается та величина прогнозируемого параметра, которая имеет серединное значение во всем ряду экспертных оценок. Нижний квартиль представляет собой тот параметр, который имеет cеpeдинное значение в интервале между минимальным уровнем и медиа­ной, а верхний квартиль – параметр, имеющий серединное значе­ние в интервале между медианой и максимальным уровнем в ряду экспертных оценок. Предпочтительными считаются сценки экспертов, лежащие внутри диапазона оценок между нижним и верхним квартилями. Тех экспертов, чьи оценки выходят за пределы указанного предпочтительного диапазона, знакомят с мнением большинства и просят обосновать причины отличия их суждений. С их обоснованиями и выводами анонимно знакомят остальных экспертов. Во втором туре всем экспертам предлагают повторно рассмотреть те пункты, по которым первоначально не было достиг­нуто существенного согласия. Процедура рассмотрения может повторяться несколько туров. Как правило, после второго и последующих туров диапазон оценок группы экспертов существен­но сужается. В основу метода Дельфы заложены следующие главные принципы: 1) благодаря письменному опросу исключается непосредственное взаимодействие экспертов, которое может вызвать такие нежелательные явления, как внешнее внушение и приспособление к мнению большинства; 2) обеспечивается управляемая обратная связь в виде сообщения экспертам обработанной информации о согласованной точке зрения в предыдущих турах опроса. Основное преимущество дельфийской техники прогноза заключается в том, что она позволяет сузить диапазон расхождений прогнозных оценок, данных различными экспертами. Метод коллективной генерации идей, иначе называемый методом мозговой атаки, предусматривает коллективное мышление группы специалистов во время сессии «мозговой атаки» по обсуждаемой проблеме. Этот метод предполагает тот факт, что коллективное мышление намного продуктивнее суммы индивидуальных мышлений. Этот метод реализует эффект лавинообразности: каждая новая идея порождает творческую или критическую реакцию слушателей, но вследствие запре­та на критику новых идей даже негативная реакция на них порождает продуктивные результаты. Метод мозговой атаки основан на гипотезе, что среди боль­шого числа идей имеется по меньшей мере несколько хороших. Сессия мозговой атаки проводится с учетом следующих условий. Фор­мулируется проблема, причем выделяется единственный ее цент­ральный пункт. Заранее подготовленные предложения не зачиты­ваются. Запрещается критика любых новых прогностических идей, ни одна идея не объявляется ложной, приветствуются свободное «парение» мыслей и появление необычных идей. Подхватываются идеи любого рода, даже если их уместность кажется сомнитель­ной в настоящее время. Приветствуются усовершенствование и объединение (комбинирование) разных идей. Создается обстанов­ка, освобождающая участников сессии от скованности. С целью уменьшения психологического давления к сессии мозговой ата­ки привлекаются эксперты по возможности примерно равного «ран­га». Свои предложения они могут подавать и после сессии. Оцен­ка высказанных предложений производится после сессии. Ни одно предложение не персонифицируется, так как все они являются ре­зультатом коллективного творчества. Поскольку характер мышления отдельных специалистов разли­чается, в состав участников сессии мозговой атаки рекомендуется включать не только «генераторов» идей, но и специалистов, обладающих развитым дедуктивным мышлением (усилителей) и ас­социативным мышлением (подавителей), а также способных изби­рательно оценивать идеи (селекторов) и состояние и тенденции по рассматриваемой проблеме (аналитиков). Наиболее продуктивными считаются группы из 10–15 специалистов, но возможен и более широкий их состав. По результатам сессии может быть построено «дерево целей» проблемы. Оно уточняется с помощью экспертных оценок и используется для планирования разработок. Применяются и другие варианты коллективной генерации идей. Если целью прямой мозговой атаки является сбор «урожая» новых идей, то метод «обмена мнениями» направлен на достижение согласия между участниками сессии. При применении метода «операционального творчества» вводится следующее условие: только руководитель группы знает истинный характер проблемы и орга­низует обсуждение таким образом, чтобы найти решение, причем предполагается, что имеется единственное решение. Полезность мозговой атаки несомненна в том случае, ког­да уже имеются обобщенные экспертные оценки. При этом основ­ная ее задача будет состоять не в появлении новых прогности­ческих идей, а в противоположном – в «разносе», критике имеющихся экспертных оценок и достижении согласованности мнений. В таком случае эксперты должны иметь право на защиту своих оценок. Свободная дискуссия экспертов и их оппонентов даст более полную характеристику экспертных оценок. Метод психоинтеллектуальной генерации предусматривает, что эксперты работают изолированно друг от друга, но с каждым из них предиктор ведет диалог на основе специальной психоэвристической программы с целью выяснения всех вопросов проблемы. Результаты такого диалога используются в планировании раз­работок. Эвристика экспертных оценок предусматривает определен­ную систему логических приемов и методических правил, кото­рые позволяют подойти к объективно обоснованным умозаключе­ниям. Наряду с выбором и обоснованием метода экспертизы, эв­ристика экспертных оценок включает решения ряда других воп­росов. Среди них важное значение имеет порядок опроса экс­пертов. Анкетный опрос экспертов может быть заочным (по почте) или очным. Заочный опрос, требует минимальных затрат, но при нем возможно неправильное заполнение экспертами анкет. При личной беседе этот недостаток исключается, но увеличиваются затраты труда и, кроме того, интервьюер может сознательно или бессознательно повлиять на ответы эксперта. Личное ин­тервью может быть стандартизированным (по заранее подготов­ленному вопроснику) или свободным. Свободное интервью поз­воляет лучше узнать уровень познаний эксперта и уточнить понимание вопроса интервьюером. Применяют анкеты закрытого и открытого типа, а также с готовыми вариантами ответов. Анкеты закрытого типа, в кото­рых предусматриваются ответы типа «да» или «нет» содержат минимальную информацию. Анкеты открытого типа, в которых эксперт полностью отвечает на поставленный вопрос, требуют боль­ших затрат на их обработку, не поддающуюся автоматизации. Наиболее предпочтительны анкеты с готовыми несколькими вариантами ответов на каждый вопрос. Они дают достаточно развернутую информацию и могут быть обработаны с помощью ЭВМ. Успех экспертных оценок во многом зависит от того, как составлены анкеты (таблицы экспертных оценок). Главное требо­вание к вопросам в анкетах состоит в том, чтобы возможные от­веты на поставленные вопросы содержали в явном или неявном ви­де прогностическую информацию. Анкета может содержать вопросы, требующие численной оцен­ки или выбора одного из нескольких точно сформулированных ответов, или ответ, который должен кратко или развернуто сформулировать сам эксперт (например, о желательности или необходи­мости свершения каких-либо событий для достижения рассматривае­мых целей). Среди численных оценок могут быть: оценки относи­тельной важности различных объектов (например, путем их ран­жирования или с помощью балльных оценок), оценки удельного ве­са (соотношения) различных подцелей (критериев, факторов, иссле­дований и т. д.) в достижении генеральной цели, оценка времени свершения тех или иных событий, оценка вероятности свершения событий в определенный срок и, конечно, количественная оцен­ка параметров возможных технических средств. Анкета может также содержать вопросы, истинная цель ко­торых замаскирована для экспертов. Например, подобные вопро­сы позволяют аналитикам проверить адекватность ответов экс­перта на предыдущие вопросы или измерить соотношения харак­теристик, не поддающихся обычному количественному измерению. Вопросы могут сопровождаться вступительным текстом, раскрывающим цель анкетирования и акцентирующим внимание эксперта на тех или иных задачах. Эксперт должен знать, кем и для ка­ких целей выполняется прогноз. Вопросы в анкете должны быть сформулированы осмысленно, ясно и точно. Они не должны допускать двойственного их толкования. Излишняя конкретизация вопросов может снизить эффективность экспертизы. Вопросы рекомендуется располагать в анкете по принципу: от общего к частному. Они могут сопровождаться указанием на источник аргументации ответа эксперта (выполнен­ный теоретический анализ, производственный опыт, обобщение ра­бот отечественных или зарубежных авторов, личное знакомство с состоянием проблемы за рубежом и, наконец, интуиция). Программа эвристического прогнозирования на основе экс­пертных оценок состоит из следующих элементов: выбора группы экспертов по данной проблеме и порядка оценки их компетентно­сти, формулирования вопросов в анкетах, набора эвристических приемов для экспертов, инструкции для заполнения экспертами анкет, порядка работы предикторской группы с экспертами (нап­ример, по методу Дельфы), алгоритмов нахождения обобщенных экспертных оценок на основе индивидуальных экспертиз, программ обработки экспертных оценок на ЭВМ, синтеза прогнозных моделей для взаимосвязанных объектов и, наконец, способа верификации (выявления достоверности) полученных прогнозов. 3.3 Методы прогнозной экстраполяции 3.3.1 Инерционность социально-экономического развития Процессы развития в экономике сочетают в себе черты устойчивости (инерционности) и изменчивости этого развития. Инерционность социально-экономических процессов проявляется двояко: как сохранение в основных чертах взаимосвязей прогнозируемого явления с другими явлениями, объектами и процессами и как сохранение общей тенденции развития явления во времени. Степень инерционности будет зависеть в первую очередь от таких факторов, как размер или масштаб изучаемой системы и ее возраст. Благодаря инерционности социально-экономического развития правомерно с достаточной степенью вероятности ожидать сохранения в будущем уже выявившихся черт и характера процесса развития. На этом допущении основано применение метода прогнозной экстраполяции. Однако наличие инерционности не означает, что явление в своем развитии будет жестко следовать уже наметившейся тенденции. Несомненно, различные факторы будут в большей или меньшей степени воздействовать на явления, приводя к отклонениям от тенденции. 3.3.2 Суть метода экстраполяции Экстраполяция – это продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе к прогнозированию изменение значений исследуемого показателя связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени. Предполагается, что в будущем будут сохранены основные условия, которые определили тенденцию развития процесса в прошлом. Метод экстраполяции широко применяется на практике в силу его простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, ясности принятых допущений. Отсутствие иной информации, помимо отдельно рассматриваемого ряда динамики, часто оказывается решающим при выборе этого метода прогнозирования. В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приемы экстраполяции могут быть простыми и сложными. Простые приемы исходят из предположения относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста. Сложные приемы основаны на выявлении тренда. Методы прогнозной экстраполяции также можно разделить на аналитические и адаптивные. Аналитические приемы базируются на выделении тренда. При этом вид и параметры уравнения остаются неизменными в течение исследуемого периода. Адаптивные приемы заключаются в вычислении последовательных во времени значений прогнозного показателя с учетом степени влияния предшествующих уровней. 3.3.3 Простые приемы экстраполяции «Наивные» экстраполяционные модели Наивным прогнозом для каждого периода является непосредственно предшествующее ему наблюдение: , где – прогноз, сделанный в момент времени t для момента времени t + 1; – фактическое значение показателя в момент времени t. Наивный прогноз можно назвать «прогнозом без изменений». Экстраполяция на основе простой средней Если средний уровень ряда не имеет тенденции к изменению или если это изменение незначительно (стационарный ряд), можно принять, что прогнозируемый уровень ряда равен среднему значению уровней в прошлом: или . Т. е. выполняется усреднение (вычисляется среднее значение) начальных данных и по полученной средней строится прогноз на следующий период. Экстраполяция на основе скользящей средней При использовании метода простой средней прогнозирование выполняется на основе усреднения всех существующих данных. Иногда аналитика больше интересуют самые последние наблюдения. Тогда можно фиксировать число точек данных, подлежащих усреднению, и ограничиться только последними наблюдениями. Скользящее среднее порядка k, СС(k) определяется выражением: , где – прогнозируемая величина на следующий период; yt – значение величины в текущем периоде; k – число членов в скользящей средней. Всем наблюдениям присваиваются одинаковые весовые коэффициенты. Каждое новое наблюдение включается в среднее по мере его появления, а наиболее старое исключается. Экстраполяция на основе среднего темпа роста Если в основу прогностического расчета положен средний темп роста, то экстраполируемое значение уровня получают по формуле: , где – средний темп роста, рассчитанный по формуле средней геометрической: , где y1 – первый уровень ряда; yn – последний уровень ряда. В общем виде для получения прогноза на любой период упреждения могут быть использованы следующие формулы; или , где m = n + L; L – период упреждения прогноза. Применение среднего темпа роста для экстраполяции предполагает только один тип развития – развитие по показательной (экспоненциальной) кривой. Экстраполяция на основе среднего абсолютного прироста Данный способ используется на практике, если значения показателя изменяются по уравнению прямой. Прогнозное значение может быть получено по следующей формуле: , где – средний абсолютный прирост: , где n – число уровней ряда. 3.3.4 Сложные приемы экстраполяции: экстраполяция тренда Тренд – это основная тенденция развития явления во времени, некоторое общее направление развития. Экстраполяция тренда базируется на следующих допущениях: – развитие явления может быть охарактеризовано плавной траекторией (трендом); – общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем. Вычисление прогнозного значения зависимой переменной y осуществляется подстановкой в выбранное уравнение тренда y = f(t) значения независимой переменной t, соответствующей величине периода упреждения прогноза. В большинстве случаев период упреждения не должен превышать третьей части длины базы прогноза. В каждом конкретном исследовании значения длин базы прогноза и срока упреждения необходимо обосновать, используя имеющуюся информацию об особенностях изучаемого объекта. Прогнозирование на основе экстраполяции тренда включает ряд последовательных этапов: 1) анализ и обработка исходной информации; 2) выбор вида функции, наилучшим образом описывающей временной ряд; 3) определение параметров прогнозной функции с помощью МНК; 4) расчет точечных и интервальных прогнозов. 3.3.5 Доверительный интервал прогноза Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Поэтому целесообразно определить доверительный интервал прогноза – интервал, в который с определенным уровнем вероятности может попасть фактическое значение прогнозируемого показателя. В основу расчета доверительного интервала положены: – измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака – среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании временного ряда; – степень вероятности попасть в доверительный интервал (обычно берется Р = 0,95 – «почти наверняка»). Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: , где yi – фактические уровни ряда; – расчетные уровни ряда; (n – m) – число степеней свободы; n – количество наблюдений; m – количество параметров функции. В общем виде доверительный интервал определяется по формуле: – tα σ ≤ ≤ + tα σ, где tα – табличное значение t-статистики Стьюдента с (n – m) степенями свободы и заданным уровнем вероятности P; – значение точечного прогноза, полученное по уравнению тренда. В общем случае с увеличением периода упреждения прогноза возрастает степень его неопределенности, т. е. расширяется доверительный интервал прогноза при той же вероятности его осуществления (рис. 3.3.1). Рис. 3.3.1. Расширяющийся доверительный интервал прогноза Границы расширяющегося доверительного интервала рассчитывают с помощью следующей стандартной ошибки прогноза (S): , где – среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от расчетных значений; n – число наблюдений (длина временного ряда); Т – номер прогнозного периода (времени, для которого составляется прогноз); – середина временного ряда: = (n + 1)/2; t – время. – tα S ≤ ≤ + tα S . 3.3.6 Адаптивные приемы экстраполяции 3.3.6.1 Сущность адаптивных методов прогнозирования Рассмотренные приемы экстраполяции базируются на предположении об инерционности социально-экономического развития. В современных условиях подвижность социально-экономических систем возрастает. Наиболее ценной при анализе временных рядов оказывается информация последнего периода, т. к. важнее знать, как будет развиваться тенденция, сложившаяся на данный момент, а не тенденция, существовавшая на всем периоде исследования. В связи с этим для прогнозирования требуется более гибкий инструментарий, позволяющий учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных. Это реализуется с помощью адаптивных методов прогнозирования. Термин адаптация происходит от лат. adaptatio – приспособление. В адаптивных методах прогнозирования различная ценность уровней в зависимости от «возраста» учитывается с помощью системы весов, придаваемых этим уровням. Важнейшее достоинство адаптивных методов – построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Адаптация осуществляется итеративно с получением каждого нового фактического значения. Модель постоянно учитывает новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент. Адаптивные методы обычно используются при оперативном и краткосрочном прогнозировании. Одним из наиболее распространенных методов адаптивного прогнозирования является экспоненциальное сглаживание. 3.3.6.2 Экспоненциальное сглаживание Экспоненциально взвешенное среднее (ЭВС) находится по формуле: (3.3.1) где – прогнозируемое значение показателя на следующий период; –постоянная сглаживания: 0< <1; – фактическое значение показателя в момент времени t; – прежний сглаженный прогноз показателя, сделанный на период t. Чтобы прояснить смысл постоянной , уравнение (3.3.1) можно переписать в следующем виде: . Т. е. новый прогноз получается путем корректировки предыдущего прогноза () с учетом его ошибки ( –). В этом и состоит суть адаптации модели. Раскроем в формуле (3.3.1) содержание: . Тогда: . Раскроем содержание: . Тогда: Или в общем виде (3.3.2) Таким образом, величина оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина названа экспоненциально взвешенной средней. При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают некоторые затруднения. Основными из них являются выбор значения сглаживающего параметра и определение начального значения , предшествующего y1 (см. формулу 3.3.2). – это величина, характеризующая некоторые начальные условия. В качестве можно использовать: – исходное (первое) значение уровня ряда динамики ; – среднюю арифметическую всех имеющихся уровней ряда динамики или его части; – значение, полученное с помощью экспертных оценок. От величины будет зависеть, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживающий (прогнозируемый) уровень. Чем больше , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие ЭВС. При = 0, =. Это случай полного отсутствия адаптации. При = 1, = . Это случай так называемой «наивной» модели, в соответствии с которой прогноз на следующий период равен фактическому значению ряда. Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания («фильтрации») случайных отклонений значение нужно уменьшать. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели. Автор метода экспоненциального сглаживания английский ученый Р. Г. Браун предложил следующую формулу расчета : = 2/(t + 1), где t – число наблюдений, по которым строится прогноз (входящих в интервал сглаживания). В качестве удовлетворительного практического компромисса он рекомендовал брать в пределах от 0,1 до 0,3. На самом деле достаточная точность прогноза может быть получена при любом допустимом значении . В табл. 3.3.1 представлен расчет значений весовых коэффициентов уровней ряда при различных значениях . На рис. 3.3.2 приведен пример экспоненциального сглаживания временного ряда при = 0,1 и = 0,6. Т а б л и ц а 3.3.1 Сравнение значений весовых коэффициентов уровней ряда при различных значениях Период = 0,1 = 0,3 = 0,6 = 0,9 Расчет Вес Расчет Вес Расчет Вес Расчет Вес t t – 1 t – 2 t – 3 t – 4 Остальные* Всего 0,1(1 – 0,1) 0,1(0,9)2 0,1(0,9)3 0,1(0,9)4 0,100 0,090 0,081 0,073 0,066 0,590 1,000 0,3(1 – 0,3) 0,3(0,7)2 0,3(0,7)3 0,3(0,7)4 0,300 0,210 0,147 0,103 0,072 0,168 1,000 0,6(1 – 0,6) 0,6(0,4)2 0,6(0,4)3 0,6(0,4)4 0,600 0,240 0,096 0,038 0,015 0,011 1,000 0,9(1 – 0,9) 0,9(0,1)2 0,9(0,1)3 0,9(0,1)4 0,900 0,090 0,009 0,0009 0,00009 0,00001 1,000 * Суммарное значение весовых коэффициентов, которые будут принадлежать остальным уровням ряда, находят путем вычитания из единицы суммы весовых коэффициентов уровней t, t – 1, t – 2, t – 3, t – 4. Например, при = 0,1: 1 – (0,100 + 0,090 + 0,081 + 0,073 + 0,066) = 0,590. Рис. 3.3.2. Экспоненциальное сглаживание 3.4 Методы экономико-математического моделирования 3.4.1 Суть прогнозирования на основе регрессионных моделей В случаях, когда может быть определено влияние одного или нескольких факторов на исследуемый объект, для прогнозирования используются методы экономико-математического моделирования. Форма взаимосвязи прогнозного явления с другими явлениями, объектами и процессами может быть представлена в виде регрессионного уравнения типа: y = ƒ(x1, x2, ..., xn), где y – зависимая (результативная, объясняемая) переменная; xi – независимая (факторная, объясняющая) переменная, i = 1…n. Если объясняемая переменная зависит только от одного фактора, то это однофакторная модель, парная регрессия. Если объясняемая переменная зависит от двух и более факторов, то это многофакторная модель, множественная регрессия. Регрессионное уравнение связывает изменение одного экономического показателя (зависимой переменной – y) с влиянием на него одного или ряда факторов-аргументов (независимых переменных – xi). Прогноз получают путем подстановки в регрессионное уравнение с численно оцененными параметрами ожидаемых на периоде упреждения значений независимых переменных. Таким образом, прогноз на основе уравнения регрессии базируется на утверждениях типа «если независимые переменные будут равны таким-то величинам, то зависимая переменная составит такую-то величину». Именно способность регрессионного уравнения отобразить взаимосвязь между явлениями нашла себе практическое применение в прогностических расчетах. Прогнозирование на основе регрессионных моделей включает в себя следующие основные этапы: – отбор факторов (независимых переменных), оказывающих существенное влияние на изучаемую величину; – выбор формы связи зависимой переменной с отобранными факторами, т. е. построение соответствующего уравнения регрессии; – расчет параметров уравнения регрессии; – верификация модели; – расчет точечных прогнозов и построение доверительных интервалов. 3.4.2 Элементы корреляционно-регрессионного анализа Между социально-экономическими явлениями определенная зависимость проявляется не в каждом конкретном случае, а в среднем, при большом числе наблюдений. Такая зависимость называется стохастической (или статистической). Частным случаем стохастической зависимости является корреляционная связь, при которой изменение значений факторов влечет за собой изменение среднего значения зависимой переменной. Корреляционная зависимость исследуется с помощью методов корреляционного и регрессионного анализов. Корреляционный и регрессионный анализы тесно связаны между собой. Корреляционный анализ позволяет оценить тесноту (силу) связи между показателями. Регрессионный анализ позволяет установить аналитическое выражение (форму) зависимости условного среднего значения зависимой переменной (y) от факторов (x1, x2,..., xn). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициента корреляции, который характеризует степень линейной зависимости между двумя переменными. Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по следующей формуле: . Свойства коэффициента корреляции. 1. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1: –1 ≤ r ≤ 1. Чем ближе |r| к единице, тем теснее связь. 2. При r = ± 1 связь между величинами линейная. 3. При r = 0 линейная связь между величинами отсутствует. 4. При r > 0 связь между величинами положительная (прямая), т. е. с увеличением (уменьшением) x соответственно увеличивается (уменьшается) y. 5. При r < 0 связь между величинами отрицательная (обратная), т. е. с увеличением x уменьшается y и наоборот. На рис. 5.1 приведены две корреляционные зависимости переменной y от x. Очевидно, что в случае а зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б. а б Рис. 3.4.1. Корреляционные зависимости 3.4.3 Некоторые вопросы практического использования регрессионных моделей 3.4.3.1 Мультиколлинеарность Под мультиколлинеарностью понимается высокая корреляционная зависимость между объясняющими переменными. Одним из условий построения уравнения множественной регрессии является независимость факторных переменных (xi). Поэтому при наличии мультиколлинеарности полученные уравнения регрессии, как правило, не имеют реального смысла (некоторые коэффициенты могут иметь неправильные с экономической точки зрения знаки и неоправданно большие значения) и не могут иметь дальнейшего применения, например, для построения прогнозов. Один из методов выявления мультиколлинеарности заключается в анализе корреляционной матрицы между объясняющими переменными x1, x2, ..., xn (см. табл. 3.4.1) и выявлении пар переменных, имеющих высокие коэффициенты корреляции (обычно больше 0,8). Если такие переменные существуют, то говорят о мультиколлинеарности между ними. Т а б л и ц а 3.4.1 Корреляционная матрица Переменные 1 2 3 1 r11 r12 r13 2 r21 r22 r23 3 r31 r32 r33 Корреляционная матрица составляется из коэффициентов корреляции, вычисленных для каждой возможной пары переменных. В ней через r12 обозначен коэффициент корреляции, показывающий взаимосвязь между переменными 1 и 2. Такой подход позволяет легко проанализировать взаимозависимость, существующую между двумя любыми переменными. Корреляция, например, между переменными 1 и 2 точно такая же, как и между переменными 2 и 1, а значит, r12= r21. Следовательно, для анализа достаточно рассмотреть только половину корреляционной матрицы. Кроме того, корреляция каждой переменной с самой собой всегда равна 1, так что r11 = r22 = r33 = 1. Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности используется ряд методов. Один из них заключается в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтения, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной. 3.4.3.2 Автокорреляция В качестве исходной информации для построения экономико-математических моделей применяются два типа выборочных данных: – пространственные; – временные. Пространственные данные – это совокупность экономической информации, характеризующей разные объекты и полученной за определенный период или момент времени. Временные данные – это совокупность экономической информации, характеризующей определенный объект за различные периоды или моменты времени. Модели временных рядов, как правило, оказываются сложнее моделей пространственной выборки, т. к. в рядах динамики социально-экономических процессов между уровнями, особенно близко расположенными, существует взаимосвязь. Корреляционная зависимость между последовательными (соседними) уровнями временного ряда называется автокорреляцией. Классические методы математической статистики применимы в случае независимости отдельных членов ряда между собой. Поэтому при анализе нескольких взаимосвязанных рядов динамики важно установить наличие автокорреляции и исключить (уменьшить) ее влияние. Различают два вида автокорреляции: – автокорреляцию в наблюдениях; – автокорреляцию ошибок: в отклонениях фактических уровней от тренда или уравнения регрессии. Существует ряд приемов обнаружения автокорреляции. Чаще оценивается корреляция не самих уровней, а отклонений. Автокорреляция ошибок возникает по следующим причинам: – в модели не учтен существенный фактор; – в модели не учитывается несколько факторов, влияние каждого из которых в отдельности несущественно, но при совпадении изменения этих факторов по направлению и по фазе в отклонениях может возникнуть автокорреляция; – неправильно выбрана форма связи между зависимой и независимой переменными; – вследствие особенностей внутренней структуры случайной компоненты. Наиболее распространенным приемом выявления наличия автокорреляции в отклонениях является критерий Дарбина-Уотсона (d), который рассчитывается по следующей формуле: , где εt – случайные отклонения фактических данных от тренда или регрессионной модели. Существуют пороговые значения d1 и d2 (нижняя и верхняя границы критерия Дарбина-Уотсона), зависящие от числа наблюдений (длины временного ряда), числа переменных в модели и уровня значимости. Для применения критерия Дарбина-Уотсона величина d, рассчитанная по формуле, сравнивается со значениями d1 и d2, приводимыми в специальных таблицах. Возможны три случая: 1) если d < d1, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в отклонениях отвергается (есть положительная автокорреляция); 2) если d > d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в отклонениях принимается (нет положительной автокорреляции); 3) если d1 ≤ d ≤ d2, то необходимы дальнейшие исследования (например, по большему числу наблюдений). Если в данных временных рядов обнаружена автокорреляция, ее необходимо исключить или как-то учесть, прежде чем полученное уравнение регрессии можно будет использовать для прогнозирования. Существуют следующие подходы к решению проблемы автокорреляции: – включение времени в уравнение множественной регрессии в качестве дополнительного фактора; – использование модели авторегрессии. Введение фактора времени исключает основную тенденцию развития всех явлений, представленных исследуемыми рядами динамики. Введение времени аналогично использованию отклонений фактических данных от тренда (или уравнения регрессии). Авторегрессионная модель – модель, в которой в качестве факторных переменных используются предыдущие значения результативной переменной. Пример модели авторегрессии: . Это авторегрессионная модель 1-го порядка: значение переменной yt определяется ее значением только в предшествующий период yt–1. 3.4.3.3 Нелинейные модели регрессии На практике при исследовании взаимосвязей между социально-экономическими явлениями встречаются не только линейные, но и нелинейные регрессионные модели. Линейные регрессионные модели – это модели, в которых переменные имеют первую степень (модель, линейная по переменным), а параметры выступают в виде коэффициентов при этих переменных (модель, линейная по параметрам). Модель множественной линейной регрессии можно представить в виде: , Нелинейные регрессионные модели делятся на модели, нелинейные по факторным переменным, и модели, нелинейные по параметрам. К моделям регрессии, нелинейным по факторным переменным, можно отнести: – полиномиальные функции второго и выше порядка, например, параболу: ; – гиперболическую функцию: . К моделям регрессии, нелинейным по параметрам, можно отнести: – степенную функцию: ; – экспоненциальную функцию: . В большинстве случаев нелинейные формы зависимости приводятся к линейному виду путем линеаризации. 3.4.4 Производственные функции Производственная функция – это экономико-математическая модель, характеризующая зависимость результатов производственной деятельности предприятия, отрасли или национальной экономики в целом от объемов затрачиваемых ресурсов. Существуют различные виды производственных функций: одно- и многофакторные, линейные и нелинейные. На практике чаще используются двухфакторные производственные функции y = f(K, L), описывающие зависимость объема выпускаемой продукции (y) от затрат двух видов ресурсов: основных производственных фондов (K) и труда (L). Среди них важное место занимают степенные функции. Степенные производственные функции впервые были использованы американскими учеными К. Коббом и П. Дугласом в 1920-х гг. для изучения связей между национальным доходом и двумя важнейшими факторами производства – рабочей силой и основными производственными фондами. Поэтому степенные производственные функции принято называть функциями Кобба–Дугласа. Производственная функция Кобба–Дугласа имеет следующий вид: , где А, α, β – числовые параметры функции: 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤1, А > 0, α + β = 1. Расчет ее параметров на основе статистических данных за период с 1898 по 1922 гг. по обрабатывающей промышленности США дал следующие результаты: . При исследовании производственных функций практический интерес представляют следующие аспекты: – на сколько процентов изменится выпуск продукции при увеличении затрат одного производственного ресурса на один процент и сохранении значения другого ресурса; – на сколько следует увеличить затраты одного ресурса при уменьшении затрат другого ресурса, чтобы выпуск продукции остался прежним (взаимозаменяемость ресурсов). 3.4.5 Прогнозирование на основе эконометрических моделей Раздельное прогнозирование социально-экономических показателей с помощью трендов или уравнений регрессии приводит к тому, что полученные оценки не будут сбалансированными. Прогнозы, увязанные в единую логически непротиворечивую систему, получают с помощью эконометрических моделей. Основу эконометрической модели составляет система регрессионных уравнений, каждое из которых отображает одну из зависимостей, закономерностей изменения свойств изучаемого сложного объекта. В полученной системе отдельные уравнения связаны между собой, благодаря чему эконометрическая модель позволяет совместно определять множество значений зависимых переменных через величины нескольких независимых переменных. В этом и заключается отличие от обычной регрессии, в которой одно уравнение дает прогноз значения одной зависимой переменной по величинам одной или нескольких независимых. Помимо регрессий в модель могут быть включены выражения, описывающие тренды развития отдельных явлений, тождества или уравнения, увязывающие между собой отдельные характеристики модели во времени. Эконометрическая модель содержит так называемые эндогенные и экзогенные переменные, а также различного рода параметры (коэффициенты), которые определяются в ходе статистического оценивания путем обработки имеющейся информации. Эндогенные переменные – зависимые переменные, их значения определяются на основе модели. Экзогенные переменные – независимые переменные, их значения устанавливаются вне модели. Основные этапы разработки эконометрических моделей следующие. 1. Подготовительный этап: определение цели создания модели; определение уровня детализации; определение эндогенных и экзогенных переменных; разработка вариантов структур эконометрических функций (уравнений). 2. Теоретический этап: определение и анализ параметров функций; анализ математических свойств регрессионных уравнений; отбор лучших вариантов функций; формирование собственно системы уравнений. 3. Проверочный этап: проверка адекватности модели на базовом периоде; оценка качества модели; корректировка модели в случае необходимости. Могут существовать различные формы эконометрических моделей (систем уравнений). Приведенная форма модели: система разрешена относительно эндогенных переменных, т. е. зависимые переменные одних уравнений не выступают в качестве независимых переменных других уравнений: y1 = α11 x1 + … + α1m xm + ε1; y2 = α21 x1 + … + α2m xm + ε2; …………………………………… yn = αn1 x1 + … + αnm xm + εn. Система рекурсивна, т. е. зависимая переменная предшествующего уравнения выступает в качестве независимой переменной следующих уравнений: y1 = α11 x1 + … + α1m xm + ε1; y2 = β21 y1 + α21 x1 + … + α2m xm + ε2; …………………………………………… yn = βn1 y1 +…+ βn, n–1 yn-1 +…+ αn1 x1 + … + αnm xm + εn. Структурная форма модели: взаимозависимые модели – одни и те же переменные в одних уравнениях системы входят в левую часть, а в других – в правую: y1 = β12 y2 +…+ β1n yn + α11 x1 + … + α1m xm + ε1; y2 = β21 y1 +…+ β2n yn + α21 x1 + … + α2m xm + ε2; ………………………………………………………… yn = βn1 y1 +…+ βn, n–1 yn–1 +…+ αn1 x1 + … + αnm xm + εn , где yi – эндогенные переменные; xj – экзогенные переменные; αij – параметры при экзогенных переменных; βij – параметры при эндогенных переменных; εi – случайные возмущения; i = 1,…n; j = 1,…m. Структурная форма модели создается в процессе формирования самой модели при стремлении отразить причинно-следственный механизм, существующий в реальности. 3.5 Оценка точности и надежности прогнозов Для оценки качества прогнозов используют показатели точности и надежности. Точность прогноза определяется величиной погрешности (ошибки) прогноза, т. е. разностью между прогнозируемым и фактическим значением (реализацией) исследуемой переменной, т. е. для оценки точности прогноза необходимо располагать информацией о фактических значениях величин, которые оценивались в ходе разработки прогноза. Такой подход к оценке точности возможен в двух случаях, когда: – период упреждения уже наступил; – прогноз разрабатывается ретроспективно, т. е. прогнозирование осуществляется для некоторого момента времени в прошлом, для которого уже имеются фактические данные. При этом имеющаяся информация делится на две части. Одна из них, охватывающая более ранние данные, служит для оценивания параметров прогностической модели, а более поздние данные рассматриваются как реализация соответствующих прогностических оценок. Для апостериорной оценки точности прогноза может быть использован целый ряд статистических показателей. Абсолютная ошибка: , где yt – фактическое значение показателя в момент времени t; – прогнозируемое значение показателя на момент времени t. Средняя абсолютная ошибка: , где n – период упреждения прогноза. Средняя квадратическая ошибка: . Недостатком рассмотренных показателей является то, что их значения существенно зависят от масштаба исследуемых явлений, поэтому прибегают к расчету ошибок в относительном выражении. Относительная ошибка: . Средняя относительная ошибка: . Типичные значения εt для среднесрочных и краткосрочных прогнозов даны в таблице 3.5.1. Т а б л и ц а 3.5.1 Интерпретация значений относительной ошибки прогноза εt, % Интерпретация < 10 Высокая точность 10–20 Хорошая точность 20–50 Удовлетворительная точность > 50 Неудовлетворительная точность Таким образом, точность прогноза тем выше, чем меньше величина ошибки, т. е. разность между прогнозными и фактическими значениями исследуемой величины. Следует отметить, что точность единичного прогноза, как правило, мало что может сказать исследователю. На формирование изучаемого явления влияет множество разнообразных факторов, поэтому полное совпадение или значительное расхождение прогноза и его реализации может быть следствием просто особо благоприятных (или неблагоприятных) стечений обстоятельств. Единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, и наоборот. Поэтому о качестве прогнозов, применяемых методик и моделей лучше судить на основе сопоставления целого ряда прогнозов и их реализаций. Наиболее простой мерой качества прогнозов при условии, что имеются данные об их реализации, может быть относительное число случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числу прогнозов, т. е. , где p – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными; q – число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными. 0 ≤ η ≤ 1. Когда все прогнозы подтверждаются, q = 0 и η = 1. Если же все прогнозы не подтвердились, то р, а следовательно и η, равны нулю. Рассмотренные апостериорные оценки точности прогнозов основаны на том, что получены фактические значения величин, которые были оценены при разработке прогнозов. Однако в практической работе проблему точности надо решать, когда период упреждения еще не наступил и истинные значения прогнозируемой переменной неизвестны. Эта проблема решается на основе получения априорных оценок. Априорные оценки точности прогноза по своей сути являются оценками используемых моделей. С помощью различных статистических показателей оценивается степень приближения модели к исходным данным. Считается, что чем адекватнее модель, тем выше вероятность получения с ее помощью более точного прогноза. Поэтому важным средством повышения точности прогнозов является повышение адекватности модели. На этот процесс влияет весь комплекс условий, в которых были получены фактические данные и расчетные значения показателей, а именно: – стабильность социально-экономических факторов, влияющих на изучаемый объект; – существенность, информативность факторных признаков по отношению к результативному показателю; – достоверность информации; – репрезентативность выборки; – адекватность способа построения модели. Надежность прогноза определяется вероятностью наступления прогнозируемого события, т. е. реализации соответствующей прогностической оценки. Чем она выше, тем выше и надежность. Вероятность реализации прогноза может быть оценена: – субъективно (экспертно); – через доверительные интервалы прогноза. Рассмотрим пример эконометрической модели: Qt = α0 + α1Pt + α2It + εt Pt = β0 + β1Qt + β2Lt + γt , где Qt – величина спроса (количество проданного товара); Pt – величина цены; It – размер дохода на душу населения; Lt– затраты на производство; εt, γt – независимые слагаемые ошибок. Цена товара и величина спроса на него – это эндогенные переменные, значения которых определяются в системе; доход населения и затраты на производство – экзогенные переменные, их значения определяются вне системы.