Методы принятия решений в системах управления

МФТИ МФТИ Методы обработки информации и принятия решений в системах управления Кварацхелия Нина Георгиевна Кандидат технических наук, доцент Тел: +7-916-392-68-20 Эл.почта: [email protected] Московский физико-технический институт МФТИ Программа курса, часть 2 • Методы принятия решений в системах управления • Оптимальное управление. Вариационные методы • Метод множителей Лагранжа • Метод Эйлера-Лагранжа • Принцип максимума Понтрягина • • • • 04.05.2021 Теорема разделения Линейный регулятор Игровые задачи управления Методы выбора (принятия решений) Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 2 МФТИ Поиск оптимального управления Y U F Х X, Y, F – известны Xц – цель управления задана J – критерий оптимизации задан Нужно найти оптимальное управление U* 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 3 МФТИ Метод Эйлера-Лагранжа Задача динамической оптимизации с фиксированными концами U(t) F Х(t) 𝒙(𝒕) - параметры состояния объекта управления 𝒖(𝒕) - управление (управляющие воздействия) 𝑭 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 = 𝟎 – модель системы 𝑱= 𝒕𝒌 𝝋 𝒕𝟎 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 - критерий оптимизации 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 , 𝒙 𝒕𝒌 = 𝒙𝒌 – граничные условия 𝒖* - оптимальное управление 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 4 МФТИ Метод Эйлера-Лагранжа Вводится лагранжиан 𝑳 = 𝝋 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 + 𝝀т𝑭(𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕) Дополняется критерий ∗ 𝒕𝒌 𝑱 = 𝒕𝒌 𝑳𝒅𝒕 = 𝒕𝟎 {𝝋 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 + 𝝀т𝑭 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 } 𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 𝒕𝟎 Условие экстремума (из уравнений Эйлера): 𝝏𝑳(𝒙,𝒙,𝒖,𝒕) 𝒅 𝝏𝑳(𝒙,𝒙,𝒖,𝒕) 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒙 =0 При решении уравнений Эйлера используются граничные условия 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 , 𝒙 𝒕𝒌 = 𝒙𝒌 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 5 МФТИ Посадка на планету Пример 1: Посадка на планету Модель движения: 𝒙 𝒕 =𝒗 𝒗 𝒕 =𝒂 𝒖 = 𝒎𝒂 – сила тяги х Граничные условия: 𝒙 𝟎 = 𝒙𝟎 𝒗 𝟎 = 𝒗𝟎 𝒙 𝒕𝒌 = 𝟎, 𝒗 𝒕𝒌 = 𝟎 Критерий оптимизации: 𝒕𝒌 J= 𝟎 𝒌𝒖𝟐𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 – расход топлива Найти оптимальное управление 𝒖*(𝒕) 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 6 МФТИ Посадка на планету Модель движения: 𝒙 − 𝒗 = 𝟎, 𝒗 − 𝒂 = 𝟎 Запишем в векторной форме 𝑭 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝑿=0 𝒙 𝟎 −𝟏 𝟎 𝑿 = 𝒗 𝑨 = 𝟎 𝟎 −𝟏 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝑩= 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝝋 = 𝒌𝒖𝟐 = 𝒌𝒎𝟐𝒂𝟐 - функция критерия 𝝀= 𝝀𝟏 𝝀𝟐 𝝀𝟑 - множители Лагранжа 𝑳=𝒌𝒎𝟐𝒂𝟐+ 𝝀т(𝑨𝑿 + 𝑩𝑿) - лагранжиан 𝑳=𝒌𝒎𝟐𝒂𝟐+ 𝝀𝟏(𝒙 − 𝒗)+ 𝝀𝟐(𝒗 − 𝒂)+ 𝝀𝟑*0 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 7 МФТИ Посадка на планету 𝑳=𝒌𝒎𝟐𝒂𝟐+ 𝝀𝟏(𝒙 − 𝒗)+ 𝝀𝟐(𝒗 − 𝒂) Уравнения Эйлера 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒗 𝒅𝒕 𝝏𝒗 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒂 𝒅𝒕 𝝏𝒂 𝒅 = 0 → - 𝝀𝟏=0 → -𝝀𝟏=0 → 𝝀𝟏=c1 𝒅𝒕 𝒅 = 0→-𝝀𝟏- 𝝀𝟐=0→ 𝝀𝟐= -𝝀𝟏 → 𝝀𝟐=c2-c1t 𝒅𝒕 =0 →2𝒌𝒎𝟐𝒂- 𝝀𝟐=0 → 𝝀𝟐 c2−c1t 𝒂= 𝟐= 2𝒌𝒎 2𝒌𝒎𝟐 𝒖 = 𝒎𝒂 c2−c1t 𝒖= 2𝒌𝒎 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 8 МФТИ Посадка на планету Используем модель объекта для 𝒗 𝒕 и граничные условия 𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒕 𝒂(t)𝒅𝒕=𝒗𝟎 𝟎 + 𝒕− 𝒕𝟐 c2 c1 𝒕 c2−c1t ( )𝒅𝒕 𝟎 2𝒌𝒎𝟐 2𝒌𝒎 4𝒌𝒎 c2 c1 𝟐=0 𝒗 𝒕𝒌 = 𝒗𝟎 + 𝒕 − 𝒕 2𝒌𝒎𝟐 𝒌 4𝒌𝒎𝟐 𝒌 𝟏 c1 𝒕𝒌 − c2= 2𝒌𝒎2𝒗𝟎/𝒕𝒌 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 c 𝒕 𝟐 1 𝒌 − 2𝒌𝒎2𝒗𝟎/𝒕𝒌 𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + − 𝟐 𝒕𝒌𝒕−𝒗𝟎 c2= 04.05.2021 c1 4𝒌𝒎 𝒕 𝒕𝒌 c1 𝟐=𝒗 𝒕 𝟐 𝟎 4𝒌𝒎 𝒕𝒌−𝒕 𝒕𝒌 + c1 4𝒌𝒎 𝟐 𝒕(𝒕𝒌 − 𝒕) Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 9 МФТИ Посадка на планету Используем модель объекта для 𝒙 𝒕 и граничные условия 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝒙𝟎 + 𝒙 𝒕 = 𝒙𝟎 + 𝒙 𝒕𝒌 =0 c1= − (𝒙𝟎 + c2= 04.05.2021 𝟎 𝒕 𝒕𝒌−𝒕 (𝒗 𝟎 𝟎 𝒕𝒌 𝒙 𝒕 = 𝒙𝟎 + 𝟏 c1 𝒕𝒌 𝟐 𝒗(t)𝒅𝒕 + c1 4𝒌𝒎 𝟏𝟐𝒌𝒎𝟐 𝒗𝟎𝒕𝒌) 3 𝒕𝒌 − =− 𝟎 𝒕𝒌 𝒕(𝒕𝒌 − 𝒕)) 𝒅𝒕 c1 2 𝒕+ (𝟑𝒕 − 𝟐𝒕)𝒕 𝒌 12𝒌𝒎𝟐 𝟐𝒕𝒌−𝒕 𝒗𝟎 𝒕𝒌 2𝒌𝒎2𝒗 𝟐 𝟔𝒌𝒎𝟐 𝒙𝟎 2 𝒕𝒌 − 𝟖𝒌𝒎𝟐 𝒗𝟎 𝒕𝒌 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 10 МФТИ Посадка на планету c2−c1t 𝒖 𝒕 = 2𝒌𝒎 Подставляем c1 и c2 𝒖 𝒕 =− 𝟑𝒎 𝒙𝟎 2 𝒕𝒌 − 𝟒𝒎 𝒗𝟎 −(𝒙𝟎 𝒕𝒌 + 𝟔𝒎 𝒗𝟎𝒕𝒌) 2 𝒕 𝒕𝒌 Оптимальное управление 𝒖 ∗ 04.05.2021 𝒕 =− 𝟑𝒎 𝒙𝟎 3 (𝒕𝒌 𝒕𝒌 + 𝟐𝒕)− 𝟐𝒎 𝒗𝟎 2 (𝟐𝒕𝒌 𝒕𝒌 +𝟑𝒕) Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 11 МФТИ Оптимальная траектория Пример 2: Оптимальная траектория Модель движения: 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒙𝟐 = 𝒖 Граничные условия: 𝒙𝟏 𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 𝟎 = 𝟎 𝒙𝟏 𝟏 = −𝟏, 𝒙𝟐 𝟏 = 𝟎 Критерий оптимизации: 𝟏 𝟐 J= 𝟎 𝒖 𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 – расход топлива Найти оптимальное управление 𝒖*(𝒕) 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 12 МФТИ Оптимальная траектория 𝑳=𝒖𝟐+ 𝝀𝟏(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐+2)+ 𝝀𝟐(𝒙𝟐 − 𝒖) Уравнения Эйлера 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒗 𝒅𝒕 𝝏𝒗 𝒅 = 0 → - 𝝀𝟏=0 → -𝝀𝟏=0 → 𝝀𝟏=c1 𝒅𝒕 𝒅 = 0→-𝝀𝟏- 𝝀𝟐=0→ 𝝀𝟐= -𝝀𝟏 → 𝝀𝟐=c2-c1t 𝒅𝒕 c2−c1t = 0 →2𝒖- 𝝀𝟐=0 → 𝒖= = 2 2 c2−c1t 𝒖= 2 𝝏𝑳 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝒂 𝒅𝒕 𝝏𝒂 04.05.2021 𝝀𝟐 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 13 МФТИ Оптимальная траектория Используем модель объекта для 𝒙𝟐 𝒕 и граничные условия 𝒙𝟐 𝒕 = 𝒕 𝒕 c2−c1t 𝒖(t)𝒅𝒕= 𝟎 ( )𝒅𝒕 𝟎 2 c2 c1 𝟐 𝒙𝟐 𝒕 = 𝒕 − 𝒕 2 4 c2 c1 𝒙𝟐 𝟏 = − =0 2 4 c2= 𝟏 c1 𝟐 c1 c1 𝟐 c1 𝒙𝟐 𝒕 = 𝒕− 𝒕 = (𝒕 − 𝒕𝟐) 4 4 4 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 14 МФТИ Оптимальная траектория Используем модель объекта для 𝒙𝟏 𝒕 и граничные условия 𝒕 𝒙𝟏 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 = 𝟎 (𝒙𝟐(t) − 𝟐)𝒅𝒕 𝒕 c1 ( (𝒕 𝟎 4 c1 𝒙𝟏 𝒕 = 4 𝒙 𝟏 =-1 − 𝒕𝟐)−2) 𝒅𝒕 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐 𝟏 𝟑 − 𝒕 𝟑 c1 𝟏 𝟏 − 4 𝟐 𝟑 − 𝟐𝒕 − 𝟐=-1 c1= 𝟐𝟒 c2= 𝟏𝟐 ∗ 𝒖 =6-1𝟐𝒕 𝒙𝟏 𝒕 =-2𝒕𝟑 +3𝒕𝟐 𝒙𝟐 𝒕 =-6𝒕𝟐+6𝒕 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 15 МФТИ 04.05.2021 Оптимальная траектория Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 16 МФТИ 04.05.2021 Оптимальная траектория Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 17 МФТИ 04.05.2021 Оптимальная траектория Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 13. 18