Методика преподавания математики в основной школе

Методика преподавания математики в основной школе Курс лекций Часть I 1 ОГЛАВЛЕНИЕ От автора………………………………………………………………..3 1.1. КУРС ЛЕКЦИЙ……………………………………………………...4 Предмет методики преподавания математики………………………4 Цели и содержание обучения математике………………..………..15 Принципы и методы обучения математике………………………...22 Формы мышления в процессе обучения математике…….………..30 Формы обучения математике…………………..……………………43 Контроль знаний по математике…………………………………….51 Задачи как средство обучения математике…………………………58 Формирование алгоритмической культуры учащихся……..……..67 1.2. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ВНЕАУДИТОРНОГО ИЗУЧЕНИЯ………. 74 Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения……………………………………………………… … 74 Основополагающие особенности личностно-ориентированной технологии обучения………………………………………… ….. ..79 Понятие индивидуализации обучения…………………… …….84 Технология модульного обучения……………………...………….90 Применение компьютерных технологий …………………….…...95 Прикладная и практическая направленность обучения математике………………………………….……………………….99 2 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ От автора Одна из главных задач подготовки студентов к будущей профессиональной деятельности связана с формированием практических умений и навыков, составляющих основу технологии труда учителя. Настоящее учебное пособие ориентировано на творческое осмысление студентами теоретических знаний по методике преподавания математики. Учебная дисциплина «Методика преподавания математики» относится к числу педагогических дисциплин и изучается студентами, уже получившими определенную философскую, педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку. Эти знания студентов систематически используются в курсе методики преподавания математики и находят свой выход в практике обучения школьников. Значительное место в методическом пособии занимают вопросы, связанные с формированием творческого подхода к обучению математике, умением оценивать различные системы изложения материала с точки зрения педагогики, психологии, дидактики. Особое внимание в пособии уделяется рассмотрению вопросов по выработке профессиональных навыков и приемов работы, умению вести научно-исследовательскую деятельность, обращаться с техническими средствами обучения. Пособие содержит теоретический материал по общим вопросам методики преподавания математики, материалы для внеаудиторной работы, вопросы для самопроверки, достаточный список литературы, который поможет приготовиться к семинарским занятиям по методике преподавания математики, к экзаменам, а также позволит студентам и учителям школ познакомиться с различными точками зрения по актуальным вопросам методики. 3 1.1. КУРС ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Тема: Предмет методики преподавания математики. Цели: ознакомить студентов с понятиями: математика как наука, математика как учебный предмет, взаимосвязь методики математики с другими науками и др. Вопросы: 1. Математика как наука. 2. Математика как учебный предмет. 3. Предмет методики преподавания математики. 4. Взаимосвязь методики преподавания математики и других областей знаний. 5. Методы методики обучения математике. 6. Противоречия процесса обучения математике. 7. Проблемы преподавания математики. МАТЕМАТИКА КАК НАУКА Математика — слово, пришедшее к нам из Древней Греции: mathema переводится как «познание, наука». Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях. Математика изучает математические модели — логические структуры, у которых описан ряд отношений между их элементами. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Математика возникла из практических нужд людей, ее связи с практикой становятся все более и более многообразными и глубокими. Особенно велико значение математики в развитии современной 4 физики, астрономии, химии. Значительное место занимает математика и в таких науках, как экономика, биология, медицина. В истории развития математики выделяют 4 периода. (Сообщение студента, учебник, с.6-9) Период зарождения математики связан с практическими вычислениями и измерениями, с формированием понятия числа и фигуры. Изучаются простые геометрические фигуры, величины — длина, площадь, объем и т.д. Область применения математики — счет, торговля, земляные работы, астрономия, архитектура. Зарождающиеся математические знания представляют собой правила для решения практических задач, установки или руководства к действию, которые не формулируются, а поясняются на частных примерах. Превращение математики в формализованную науку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского. Второй период — период элементарной математики (математики постоянных величин) — продолжался приблизительно до конца XVII в., когда довольно далеко зашло развитие новой — высшей математики. Начало ему положили математики Древней Греции (VI - V вв. до н. э.). Этот период характеризуется тем, что математика выступает как самостоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фигура) и свои методы исследования. Появилась новая математическая дисциплина — алгебра, имеющая специальную символику. Возникли знаменитые задачи древности — квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Евклид в своих «Началах» заложил основы теории чисел. Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов различных фигур и тел (в том числе площадей сегмента параболы, поверхности шара, объема сегмента шара и параболоида). Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах. Написан первый систематический учебник геометрии. Значительного развития математика достигла в древних Китае и Индии. Китайским математикам были свойственны высокая техника произведения вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Индийским математикам принадлежат заслуги введения десятичной нумерации, употребления нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, а также и более широкого развития алгебры, оперирующей не только положительными рациональными числами, но и отрицательными и иррациональными числами. 5 Интенсивные торговые отношения между арабскими территориями привели к расцвету математики: впервые была изложена алгебра как самостоятельная наука; многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку; были введены в рассмотрение тригонометрические функции, десятичные дроби, вычислено число п с семнадцатью верными десятичными знаками. Третий период - это период математики переменных величин (с XVII в. до середины XIX в.). Он характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла, к возникновению новой математической дисциплины — математического анализа. Введение и систематическое употребление координат дало универсальный метод перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа, в результате чего возникли новые ветви геометрии — аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия. Методы математического анализа, в особенности дифференциальные уравнения, стали основой математического описания законов механики и физики, а также технических процессов; с ними неразрывно связан прогресс естествознания и техники. Под влиянием математического анализа складываются новые области в смежных дисциплинах — аналитическая механика, математическая физика и т.д. Широкое применение в приложениях математики получило вариационное исчисление. Четвертый период — это период создания математики переменных отношений (XIX —XX вв.). Он характеризуется возникновением и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии. Широко используется метод моделирования. Возникли различные разделы математики. Основная черта данного периода — это интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики. Крупнейшими событиями, в значительной мере послужившими началу больших сдвигов в понимании всей структуры математики, явились исследования российского ученого Н.И. Лобачевского. Дальнейшие исследования по основаниям геометрии привели к формулировке полного списка аксиом геометрии, созданию общего понятия пространства, элементами которого могут быть объекты любой природы. Изучение наиболее общих свойств геометрических фигур и пространств, интерес к которому был вызван развитием неевклидовых геометрий, привел к созданию новой области 6 математики - топологии. В XIX в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. В качестве основного аппарата возникших в XIX в. областей механики (механики непрерывных сред, баллистики) и физики (электродинамики, теории магнетизма, термодинамики) усиленно развивается теория дифференциальных уравнений, в особенности дифференциальных уравнений с частными производными. В XVIII в. были решены отдельные уравнения такого вида. Общие методы начали развиваться лишь в XIX в. и продолжают развиваться сейчас в связи с задачами физики и механики. Возникли новые ветви математики: вычислительная математика, математическая логика, теория вероятности. Математика находится в непрерывном развитии, что обусловлено, во-первых, потребностями жизненной практики, а вовторых — внутренними потребностями становления математики как науки. Математика оказывает существенное влияние на развитие техники, экономики и управления производством. «Математизация» различных областей знаний, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности человека, быстрый рост вычислительной техники — все это повлекло за собой создание целого ряда математических дисциплин: теории игр, теории информации, математической статистики, теории вероятности и т.д. МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ В школьный курс математики должна быть отобрана та часть математических знаний (обязательная), которая даст общее представление о науке, поможет овладеть математическими методами и будет способствовать необходимому развитию математического мышления у школьников. Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи с расширением целей образования, появлением новых требований к школьной подготовке, изменением стандартов образования. Математика как учебный предмет в школе представляет собой элементы арифметики, алгебры, начал математического анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитической геометрии, тригонометрии. Обучение учащихся математике направлено: на овладение ими системой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов 7 решения практических задач; на развитие логического мышления пространственного воображения, устной и письменной математической речи; на формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, а также инструментальных и графических навыков. От математики как науки математика как учебный предмет отличается не только объемом, системой и глубиной изложения, но и прикладной направленностью изучаемых вопросов. Учебный курс математики постоянно оказывается перед необходимостью преодолевать противоречие между математикой — развивающейся наукой — и стабильным ядром математики — учебным предметом. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания математического образования, сближения учебного предмета с наукой, соответствия его содержания социальному заказу общества. Для современного этапа развития математики как учебного предмета характерны: - жесткий отбор основ содержания; - четкое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения; - усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью; - систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям. Дальнейшее совершенствование содержания школьного математического образования связано с требованиями, которые предъявляет к математическим знаниям учащихся практика, — промышленность, производство, военное дело, сельское хозяйство, социальное переустройство. ПРЕДМЕТ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Слово методика в переводе с древнегреческого означает способ познания, путь исследования. Метод — это путь достижения какой-либо цели, решения конкретной учебной задачи. Существуют разные точки зрения на содержание понятия методика. Приведем несколько определений: - методика преподавания математики — наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп и способностей; 8 - методика обучения математике — это педагогическая наука о задачах, содержании и методах обучения математике. Она изучает и исследует процесс обучения математике в целях повышения его эффективности и качества. Методика обучения математике рассматривает вопрос о том, как надо преподавать математику; - методика преподавания математики — раздел педагогики, исследующий закономерности обучения математике на определенном уровне ее развития в соответствии с целями обучения подрастающего поколения, поставленными обществом. Методика обучения математике призвана исследовать проблемы математического образования, обучения математике и математического воспитания. Цель методики обучения математике заключается в исследовании основных компонентов системы обучения математике в школе и связей между ними. Под основными компонентами понимают цели, содержание, методы, формы и средства обучения математике. Предметом методики обучения математике являются цели и содержание математического образования, методы, средства и формы обучения математике. На функционирование системы обучения математике оказывает влияние ряд факторов: общие цели образования, гуманизация и гуманитаризация образования, развитие математики как науки, прикладная и практическая направленность математики, новые образовательные идеи и технологии, результаты исследований в психологии, дидактике, логике и т.д. Основными задачами методики преподавания математики являются: - определение конкретных целей изучения математики по классам, темам, урокам; - отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными возможностями учащихся; - разработка наиболее рациональных методов и организационных форм обучения, направленных на достижение поставленных целей; - выбор необходимых средств обучения и разработка методики их применения в практике работы учителя математики. Методика преподавания математики призвана дать ответы на три вопроса: Зачем надо учить математике? Что надо изучать? Как надо обучать математике? Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое 9 основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными. Каждый раздел, вошедший в это ядро, имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. Вопросы изучения подробно рассматриваются в специальной методике преподавания математики. Выделенное ядро школьного курса математики составляет основу его базисной программы, которая является исходным документом для разработки тематических программ. В тематической программе для средней школы, кроме распределения учебного материала по классам, излагаются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся, раскрываются межпредметные связи, даются примерные нормы оценок. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ДРУГИХ ОБЛАСТЕЙ ЗНАНИЙ Методика обучения математике связана с такими науками, как философия, психология, педагогика, логика, информатика, история математики и математического образования, физиология человека, и прежде всего с математикой — ее базовой дисциплиной. Цель методики - отобрать основные данные математической науки и, дидактически обработав и адаптировав их, включить в содержание школьных курсов математики. Философия разрабатывает методы познания, которые используются в педагогических, методических исследованиях и в обучении математике: системный подход (компоненты методики преподавания математики и их взаимосвязь); методы научного познания (аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование и т. д.); философские законы; диалектический метод познания. Логика исследует законы «правильного» мышления. Такие понятия, как выражение, теорема, доказательство, уравнение, правило вывода, являются логическими понятиями. Доказательства математических утверждений базируются на логических действиях. Формирование математических понятий осуществляется на основе логических законов. Методика преподавания математики тесно связана с педагогикой, в частности с дидактикой. В дидактике основным отношением, характеризующим обучение, является «преподавание — учение», в методике — «преподавание — учебный материал — 10 учение». Педагогика определяет методы обучения, цели воспитания, методы научного исследования. Взяв за основу эти методы и цели из педагогики, методика вносит как в учебный процесс, так и в научные исследования свое конкретное математическое содержание. Методика обучения математике ориентируется на особенности учащихся определенных возрастных групп с использованием закономерностей индивидуальных особенностей школьников в определенном возрасте (память, мышление, внимание и т. д.). Влияние психологии на методику обучения математике усиливается в связи с внедрением личностно ориентированного образования, характеризующегося усилением внимания к ученику, его саморазвитию, самопознанию, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни. Методика обучения математике связана с историей математики. Она обращает внимание учителя на трудности, с которыми он может встретиться при изучении школьного курса математики, придает математическим знаниям личностно значимый характер. Информатика — наука, изучающая проблемы получения, хранения, преобразования, передачи и использования информации. В последнее время, в связи с развитием информатики, усиливается ее влияние на методику обучения математике: формируется определенный стиль мышления, связанный с использованием компьютера, кодированием информации; применяются информационные технологии, ориентированные на повышение эффективности обучения математике. Методика обучения математике не может не учитывать данных физиологии, особенно в исследованиях, например, при изучении рефлексов, связанных с сигналами, поступающими как от материальных предметов и явлений, так и от слов, символов, знаков. МЕТОДЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Для решения проблем методического характера используют следующие методы: эксперимент; изучение и использование отечественного и зарубежного опыта обучения учащихся; анкетирование, беседы с учителями и учащимися; анализ; синтез, моделирование, ранжирование, шкалирование и т.д. Для доказательства предполагаемых суждений в методике обучения математике используют эксперимент — организуемое обучение с целью проверки гипотезы, фиксации реального уровня 11 знаний, умений, навыков, развития ученика, сравнения результативности предлагаемых методик и традиционно используемых, обоснования различных утверждений. На этапе обоснования гипотезы используют констатирующий эксперимент, позволяющий выявить состояние объекта исследования или проверить предположение, а также уточнить отдельные факты. В процессе проверки гипотезы проводят обучающий (поисковый, формирующий) эксперимент, который проводится с целью выявить эффективность разработанной методики. Отбираются экспериментальные и контрольные классы. В контрольных классах обучение ведется по традиционной схеме, а в экспериментальных — по разработанной исследователем модели или схеме. В организации эксперимента используются: наблюдение, анкетирование, качественный и количественный анализ результатов обучения. Качественный анализ результатов исследования осуществляется с помощью контрольных работ, тестирования школьников, а количественный — по результатам статистической обработки контрольных работ, тестов. ПРОТИВОРЕЧИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Российской школой накоплен огромный опыт активизации обучения школьников. Однако проблема воспитания творческой активности школьников до сих пор не теряет своей актуальности. Ее решение связано с преодолением присущих процессу обучения противоречий: - между объемом и содержанием учебного материала, которые жестко определены программой, и естественным стремлением творчески работающего учителя выйти за ее границы, рассмотреть тот или иной вопрос в трактовке, отличной от принятой в учебнике; - между экономичностью (проявляющейся в сообщении учащимся готовых знаний и приводящих часто к формальному их усвоению) и неэкономичностью во времени индуктивных методов (широко используемых в проблемном обучении и активизирующих самостоятельную познавательную деятельность школьников); - между повседневной коллективной учебной работой школьников и индивидуальными особенностями усвоения ими знаний, формирования их умений и навыков, их темпом и характером работы; между массовостью школьного математического образования, неизбежно приводящей к известной стандартизации, и подчеркнуто индивидуальным характером познания (выход из этого 12 противоречия в дифференциации обучения на основе вариативности образования и обучения); - между развитием математики и методикой преподавания математики: если математика развивается необычайно быстро, приобретая все новые и новые знания, находящие свое отражение в школьных курсах, то методика преподавания математики, особенно в условиях массового обучения, развивается намного медленнее. ПРОБЛЕМЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Актуальными для методики преподавания математики являются следующие проблемы: стандартизация образования; дифференциация содержания образования; методическое обеспечение преподавания математики в связи с постоянным обновлением содержания школьного математического образования; нарушение межпредметных связей; несовершенная система контроля и оценки знаний учащихся при обучении математике; кадровое обеспечение учебного процесса; региональные особенности математического образования и др. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Охарактеризуйте содержание понятий: обучение, процесс обучения, учебный процесс, образование, воспитание. Рассмотрите основные этапы развития математики как науки. Раскройте взаимосвязь и соотношение математики как науки и как учебного предмета в истории развития математики. Назовите факторы, влияющие на формирование системы обучения математике, раскройте их содержание. Назовите компоненты внешней среды системы обучения математике, раскройте их содержание. Сформулируйте цели и задачи методики преподавания математики, раскройте их содержание. Покажите связь методики обучения математике с философией, 13 педагогикой, математикой и историей математики, физиологией, информатикой. 8. Охарактеризуйте методы исследования в методике обучения математике. В чем суть деятельностного подхода в обучении математике? 9. Каковы основные противоречия процесса обучения математике? 10. Перечислите актуальные проблемы методики преподавания математики и раскройте их содержание. 14 Лекция 2 Тема: Цели и содержание обучения математике. Цели: ознакомить студентов с понятиями: современное математическое образование, рассмотреть цели и функции обучения математике и содержание математического образования. Вопросы: 1. Современное школьное математическое образование. 2. Цели обучения математике. 3. Функции обучения математике. 4. Гуманизация и гуманитаризация математического образования. 5. Содержание математического образования. СОВРЕМЕННОЕ ШКОЛЬНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Образование — это организованный процесс постоянной передачи предшествующими поколениями последующим социально значимого опыта. Это понятие используется в философии, психологии, педагогической науке и в практике школьного обучения. Современное образование характеризуется усилением внимания к ученику, к его саморазвитию и самопознанию, общечеловеческим знаниям, обращенность ученика к окружающему миру и себе, к воспитанию умения искать находить свое место в жизни. Математическое образование — процесс и результат овладения учащимися системой математических знаний, познавательных умений и навыков, формирования на этой основе мировоззрения, нравственных и других качеств личности, развития ее творческих сил и способностей. Образование рассматривается в двух аспектах: социальном (отражающем требования общества к образованию); личностном (определяющем цели образования для каждой личности индивидуально). Образованную личность характеризуют: определенность, широта и гибкость мышления; умение ориентироваться в широком круге проблем и желание решать их; разнообразие потребностей; способность прогнозировать развитие событий и моделировать свою 15 деятельность; высокая работоспособность и т.д. Основной целью математического образования является воспитание у школьников умения рассматривать явления реального мира с математической точки зрения, видеть практическую направленность математики и ее приложений. Основами современной перестройки системы математического образования являются:  демократизация (обеспечение права каждому ученику на получение полноценного математического образования);  гласность (наличие открытой и полной информации о состоянии преподавания и результативности обучения математике);  децентрализация (право регионов и школ на выбор программ, учебных пособий, на самостоятельное решение проблем математического образования);  реализм (реальная политика в области математического образования). ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Цели образования — один из определяющих компонентов педагогической системы. Они зависят от современных условий, социального заказа общества на образование граждан. Основные цели обучения математике (в широком смысле): • овладение всеми учащимися элементами мышления и деятельности, которые наиболее ярко проявляются в математической ветви человеческой культуры и которые необходимы каждому для полноценного развития в современном обществе; • создание условий для зарождения интереса к математике и развития математических способностей одаренных школьников. Соответственно целям обучения выделяются уровни обучения математике: 1 — общекультурный; 2 — общеобразовательный; 3 — творческий. Цели обучения математике (в узком смысле): общеобразовательные: овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о 16 предмете математики, о математических приемах и методах познания, применяемых в математике; воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, ответственности; нравственности, культуры общения; эстетической культуры, графической культуры школьников; развивающие: формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, алгоритмического мышления; развитие пространственного воображения. Достижение целей обучения математике определяется функциями обучения математике. ФУНКЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Обучение математике включает функции: образовательную, воспитательную и развивающую, а также: информационную, эвристическую, прогностическую, эстетическую, практическую, контрольно- оценочную, корректирующую и интегрирующую. Образовательная функция предполагает овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях. Образовательная функция во многом обусловливает развитие мировоззрения школьников, которое представляет собой синтез знаний, умений и убеждений. Воспитательная функция характеризуется формированием интереса к изучению математики, развитием устойчивой мотивации к учебной деятельности. Развивающая функция заключается в формировании познавательных психических процессов и свойств личности, таких как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, способности, а также в формировании логических приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и т. п.), общеучебных приемов. Информационная функция заключается в том, что в процессе обучения ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения на те или иные концепции. В процессе обучения математике ученик получает достаточно большой объем информации, знакомится с различными приложениями математики, новыми открытиями в области математики. Эвристическая функция предполагает создание учителем в 17 процессе обучения условий, которые обеспечивают развитие способностей ребенка. К эвристической функции обучения относится применение учителем эвристических приемов и методов в обучении математике, умение применять их в различных конкретных ситуациях. Прогностическая функция математики ориентирована на формирование у школьников прогностических умений: обнаруживать нерешенные проблемы, выдвигать гипотезы, видеть альтернативное решение проблем и др. Эстетическая функция предусматривает приобщение школьников к красоте, воспитание у них эстетических вкусов. Учебный материал должен быть изложен логически последовательно, системно и привлекательно. Практическая функция заключается в ориентации обучения на решение задач, на формирование умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность учебного материала. Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач. Контрольно-оценочная функция предполагает осуществление контроля, коррекции, оценки знаний и умений школьников. Сегодня в школах с этой целью проводят тестирования. Корректирующая функция понимается как корректировка информации, получаемой учащимися. Значение и сущность информации, полученной из различных источников, может быть различной. Учитель должен предлагать учащимся откорректированную информацию. Он должен помочь ученику правильно разобраться в ней и оценить ее. Интегрирующая функция заключается в формировании системности знаний, в понимании взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами. Все функции обучения математике взаимосвязаны, они зависят друг от друга и реализуются на практике в различных сочетаниях. Обучение при реализации функций математики обеспечивает достижение основных целей обучения. Перечисленные выше цели математического образования составляют основу отбора его содержания. ГУМАНИЗАЦИЯ И ГУМАНИТАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Слово гуманизм произошло от латинского humanus — человечный. Гуманизация образования предполагает 18 «очеловечивание» знания, необходимость дифференциации и индивидуализации обучения. Гуманизация математического образования — это, прежде всего, воспитание четких представлений об этических нормах и осознание невозможности отступления от них. Появление различных типов школ, классов с углубленным изучением математики представляют собой проявления гуманизации образования. Появилась необходимость новых подходов в осмыслении проблем, целей, содержания, форм, методов и средств обучения математике в школе, ее места и роли в системе школьных предметов. Гуманитаризация (от лат. Humanitas — человеческая природа, духовная культура) математического образования проявляется в приобщении школьников к духовной культуре, истории развития науки, творческой деятельности, что, в конечном счете, реализуется в увеличении числа часов в учебных планах на изучение гуманитарных дисциплин. Гуманизация и гуманитаризация обучения математике предполагают особые отношения между учителем и учеником, в ходе которых происходит вовлечение школьников в содержание учебного процесса; используются диалогические приемы общения между учителем и учащимися; реализуются творческие начала каждого школьника. СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Содержание математического школьного образования отражается в ряде нормативных документов, учебниках, учебных планах, учебных программах, методических пособиях. Базисный учебый план является обязательным для всех учебных заведений, дающих среднее образование. Это основной документ для разработки учебных программ, учебно-тематического планирования. Учебные программы по математике включают перечень тем изучаемого материала, рекомендации по количеству времени на каждую тему, перечень знаний, умений и навыков по предмету. Существуют три варианта расположения математического материала в учебных программах: • линейное (материал располагается последовательно); • концентрическое (некоторые разделы изучаются с повтором на новом уровне); • спиральное (материал располагается последовательно по циклам). Составными частями содержания образования являются: знания, 19 умения, навыки. Знания — это понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить и применять на практике основные научные факты и теоретические обобщения. Любое знание выражается в понятиях, категориях, принципах, законах, закономерностях, фактах, идеях, символах, концепциях, теориях, гипотезах. Математические знания представляют собой математические понятия, законы, символику, математический язык и т.д. Умения — это владение способами, приемами применения усваиваемых знаний на практике. Умения включают знания и навыки. Формирование знаний, умений и навыков зависит от способностей человека. Навыки — элементы умения, т.е. автоматизированные действия, доведенные до высокой степени совершенства. Содержание образования строится с учетом факторов, доминирующих на современном этапе развития общества. К ним относятся: — соответствие логике математики как науки; —соответствие таким принципам обучения, как научность, последовательность, системность и др.; —учет психологических возможностей и возрастных особенностей школьников разных ступеней обучения (младший, средний, старший школьник); —адекватность потребности личности в образовании (дифференцированное обучение, коррекционное обучение и т.д.); —формирование профессиональной направленности школьников. Вопросы для самопроверки 1.Охарактеризуйте роль математического образования в развитии личности. 2. Какие принципы лежат в основе перестройки системы математического образования? 3. Охарактеризуйте цели обучения математике. Как соотносятся цели oбразования и цели обучения математике? 4. Какие уровни обучения математике выделяются? 5. Охарактеризуйте функции обучения математике. 20 6. Раскройте содержание понятий гуманизация и гуманитаризация математического образования. 7.Назовите компоненты содержания математического образования, pacкройте их содержание. 8. Охарактеризуйте варианты расположения математического материала в учебных программах по математике. Приведите примеры. 9. В чем заключается различие между терминами умение и навыки? 10.Что является основой проектирования содержания образования учебного предмета математики? 11. Каким основным требованиям должно отвечать содержание обучения математике? 21 Лекция 3 Тема: Принципы и методы обучения математике. Цели: ознакомить студентов с основными дидактическими принципами; рассмотреть методы обучения математике и их классификацию. Вопросы: 1. Основные дидактические принципы обучения математике. 2. Методы обучения математике и их классификация. 3. Проблемное обучения. 4. Программированное обучение. 5. Математическое моделирование. 6. Аксиоматический метод. ОСНОВНЫЕ ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ В ОБУЧЕНИИ MATEMATИКЕ Дидактика (от греч. didaktikos — поучающий) – отрасль педагогики, разрабатывающая теорию образования и обучения. Предметом дидактики являются закономерности и принципы обучения, его цели, научные основы содержания образования, методы, формы и средства обучения. Принципы обучения — это руководящие идеи, нормативные требования к организации и проведению дидактического процесса. Они носят характер общих указаний, правил, норм, peгулирующих процесс обучения. Дидактические принципы обучения математике это совокупность единых требований, которым должно удовлетворять обучение математике. В основу концепции математического образования положены принципы: научности; сознательности, активности и самостоятельности; доступности; наглядности; всеобщности и непрерывности математического образования на всех ступенях средней школы; преемственности и перспективности содержания образования, организационных форм и методов обучения; систематичности и последовательности; 22 системности математических знаний; дифференциации и индивидуализации математического образования, гуманизации; усиления воспитательной функции; практической направленности обучения математике; применения альтернативного учебно-методического обеспечения; компьютеризации обучения и т.д. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ Метод (от греч. methodos — путь исследования) — способ достижения цели. Метод обучения — упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, с помощью которых реализуются цели обучения и воспитания. Методы обучения включают взаимосвязанные, последовательно чередующиеся способы целенаправленной деятельности учителя и учащихся. Любой метод обучения предполагает цель, систему действий, средства обучения и намеченный результат. Объектом и субъектом метода обучения является ученик. Какой-либо один метод обучения используется в чистом виде лишь в специально спланированных учебных или исследовательских целях. Обычно преподаватель сочетает различные методы обучения. Сегодня существуют разные подходы к современной теории методов обучения. Классификация методов обучения проводится по различным основаниям. По характеру познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративные (рассказ, лекция, беседа, демонстрация и т.д.); репродуктивные (решение задач, повторение опытов и т.д.); проблемные (проблемные задачи, познавательные задачи и т.д.); частично-поисковые — эвристические; исследовательские. По компонентам деятельности: организационно-действенные — методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности; стимулирующие — методы стимулирования и мотивации 23 учебно-познавательной деятельности; контрольно-оценочные — методы контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности. По дидактическим целям: методы изучения новых знаний; методы закрепления знаний; методы контроля. По способам изложения учебного материала: — монологические — информационно-сообщающие (рассказ, лекция, объяснение); — диалогические (проблемное изложение, беседа, диспут). По формам организации учебной деятельности. По уровням самостоятельной активности учащихся. По источникам передачи знаний: — словесные (рассказ, лекция, беседа, инструктаж, дискуссия); — наглядные (демонстрация, иллюстрация, схема, показ материала, график); - практические (упражнение, лабораторная работа, практикум). По учету структуры личности: - сознание (рассказ, беседа, инструктаж, иллюстрирование и др.); - поведение (упражнение, тренировка и т.д.); - чувства - стимулирование (одобрение, похвала, порицание, кон троль и т.д.). Выбор методов обучения — дело творческое, однако оно основано на знании теории обучения. Методы обучения невозможно разделить, универсализировать или рассматривать изолированно. Кроме того, один и тот же метод обучения может оказаться эффективным или неэффективным в зависимости от условий его применения. Новое содержание образования порождает новые методы в обучении математике. Необходимы комплексный подход в применении методов обучения, их гибкость и динамичность. Основными методами математического исследования являются: наблюдение и опыт; сравнение; анализ и синтез; обобщение и специализация; абстрагирование и конкретизация. Современные методы обучения математике: проблемный (перспективный), лабораторный, программированного обучения, эври24 стический, построения математических моделей, аксиоматический и др. Рассмотрим классификацию методов обучения : Информационно-развивающие методы делятся на два класса: Передача информации в готовом виде (лекция, объяснение, демонстрация учебных кинофильмов и видеофильмов, слушание магнитозаписей и др.); Самостоятельное добывание знаний (самостоятельная работа с книгой, с обучающей программой, с информационными базами данных — использование информационных технологий). Проблемно-поисковые методы: проблемное изложение учебного материала (эвристическая беседа), учебная дискуссия, лабораторная поисковая работа (предшествующая изучению материала), организация коллективной мыслительной деятельности в работе малыми группами, организационно-деятельностная игра, исследовательская работа. Репродуктивные методы: пересказ учебного материала, выполнение упражнения по образцу, лабораторная работа по инструкции, упражнения на тренажерах. Творчески-репродуктивные методы: сочинение, вариативные упражнения, анализ производственных ситуаций, деловые игры и другие виды имитации профессиональной деятельности. Составной частью методов обучения являются приемы учебной деятельности учителя и учащихся. Методические приемы — действия, способы работы, направленные на решение конкретной задачи. За приемами учебной работы скрыты приемы умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение и обобщение, доказательство, абстрагирование, конкретизация, выявление существенного, формулирование выводов, понятий, приемы воображения и запоминания). Современные методы обучения, главным образом, ориентированы на обучение не готовым знаниям, а деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, т.е. познавательной деятельности. Специальные методы — это адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности (построение математических моделей, способы абстрагирования, 25 используемые при построении таких моделей, аксиоматический метод). ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ Проблемное обучение — это дидактическая система, основанная на закономерностях творческого усвоения знаний и способов деятельности, включающая сочетание приемов и методов преподавания и учения, которым присущи основные черты научного поиска. Проблемный метод обучения — обучение, протекающее в виде снятия (разрешения) последовательно создаваемых в учебных целях проблемных ситуаций. Проблемная ситуация — осознанное затруднение, порождаемое несоответствием между имеющимися знаниями и теми знаниями, которые необходимы для решения предложенной задачи. Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемой, или проблемной задачей. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся, а ее формулировка — вызывать интерес и желание учащихся ее разрешить. Следует различать проблемную задачу и проблему. Проблема шире, она распадается на последовательную или разветвленную совокупность проблемных задач. Проблемную задачу можно рассматривать как простейший, частный случай проблемы, состоящей из одной задачи. Например, можно поставить проблему изучения ромба. Одна из проблемных задач, входящих в эту учебную задачу, состоит в открытии свойства диагоналей ромба. Проблемное обучение ориентировано на формирование и развитие способности учащихся к творческой деятельности и потребности в ней. Проблемное обучение целесообразно начинать с проблемных задач, подготавливая тем самым почву для постановки учебных задач. ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ Программированное обучение — это такое обучение, когда решение задачи представлено в виде строгой последовательности элементарных операций, в обучающих программах изучаемый материал подается в форме строгой последовательности кадров. В эпоху компьютеризации программированное обучение 26 осуществляется с помощью обучающих программ, которые определяют не только содержание, но и процесс обучения. Существуют две различные системы программирования учебного материала — линейная и разветвленная. В качестве преимуществ программированного обучения можно отметить: дозированность учебного материала, который усваивается безошибочно, что ведет к высоким результатам обучения; индивидуальное усвоение; постоянный контроль усвоения; возможность использования технических автоматизированных устройств обучения. Существенные недостатки применения этого метода: не всякий учебный материал поддается программированной обработке; метод ограничивает умственное развитие учащихся репродуктивными операциями; при его использовании наблюдается дефицит общения учителя с учащимися; отсутствует эмоционально-чувственная компонента обучения. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное на языке математической теории (с помощью алгебраических функций или их систем, дифференциальных или интегральных уравнений или неравенств, системы геометрических предложений или других математических объектов). Метод математического моделирования состоит из четырех этапов: Поиск языка и средств для перевода задачи в математическую, т.е. построение математической модели. Изучение математической модели, ее исследование, расширение теоретических знаний учащихся. Поиск решения математической задачи, рассмотрение различных способов решения, выбор наиболее рационального пути решения. Перевод результата решения математической задачи в 27 исходный, анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели, а в будущем — построение новой, более совершенной математической модели. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Математическая модель — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования. Методом математического моделирования решаются многие задачи межпредметного характера. С помощью метода математического моделирования раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас реального мира, с другой - сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики и направляет это развитие. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Математика изучает формы и отношения, отвлекаясь от их содержания, все математические доказательства проводятся путем логического рассуждения. Но если теорема А выводится из теоремы В, а теорема В из теоремы С и т.д., то получается «бесконечное возвращение назад». Аналогичная ситуация возникает при попытке давать определения новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях. Чтобы избежать такого «бесконечного возвращения назад», применяют аксиоматический метод. Первой дошедшей до нас попыткой такого изложения математической дисциплины была книга Евклида «Начала». Аксиоматический метод можно рассматривать как метод построения теорий, как научный метод познания, как метод обучения математике. Сущность аксиоматического метода. Метод установления истинности предложений заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), устанавливается с помощью логического доказательства. Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложений специфическим для 28 математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся. Вопросы для самопроверки 1.Охарактеризуйте содержание понятия метода обучения в дидактике и теории и методике обучения математике. 2.Что такое принцип обучения? Охарактеризуйте основные дидактические принципы в обучении математике. 3.Охарактеризуйте классификацию методов обучения математике. Какие классификации методов обучения существуют? 4.Проанализируйте работу учителей математики с целью использования ими методов обучения математике. Всегда ли выбранные ими методы отвечают специфике ситуации? 5.Что представляет собой проблемное обучение, в чем его суть? Какие условия необходимы для реализации проблемного обучения? Назовите преимущества и недостатки проблемного обучения. 8.Охарактеризуйте программированное обучение и средства его реализации. 9.Что представляет собой математическое моделирование? Назовите основные этапы метода математического моделирования. Приведите примеры из школьного курса математики, где используется математическое моделирование. 10.В чем суть аксиоматического метода в обучении математике? Приведите примеры из школьного курса математики на применение аксиоматического метода в обучении. 29 Лекция 4 Тема: Формы мышления в процессе обучения математике. Цели: ознакомить студентов с качествами научного мышления; рассмотреть пути формирования понятий, их классификацию; рассмотреть понятие теоремы, виды теорем и методы их доказательств. Вопросы: 1.Качества научного мышления. 2.Математическое мышление. 3.Математическое понятие и его характеристики 4.Пути формирования понятий. Классификация понятий. 5.Определение понятия. Виды определений. 6.Теорема. Виды теорем. Методы доказательства теорем. КАЧЕСТВА НАУЧНОГО МЫШЛЕНИЯ Современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения. Научное мышление характеризуют следующие качества: гибкость — умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; способность выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблемы при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта; оригинальность — высший уровень развития нешаблонного мышления, необычность способов решения учащимися известных задач. Оригинальность мышления — следствие глубины мышления; глубина — способность проникать в сущность каждого изучаемого факта, в его взаимосвязь с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале; умение конструировать модели конкретных ситуаций и т.д.; целесообразность — стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремление отыскать кратчайшие пути ее достижения; рациональность — склонность к экономии времени и средств 30 для решения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения; широта — способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом, обобщить ее, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения; а также умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты и использовать аналогию и обобщение как методы решения задач; активность — постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить данную проблему, изучить различные подходы к ее решению и др.; критичность — умение оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности и значимости; умение найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы выявить противоречие, помогающее понять причину ошибки; доказательность — умение терпеливо относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремление к обоснованию каждого шага решения задачи; умение отличать достоверные результаты от правдоподобных; организованность памяти — способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению учебного материала. При обучении учащихся математике следует развивать как оперативную, так и долговременную память, обучать учащихся запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательству теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт. Организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на их понимании. Не нуждаются в комментариях такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность устной и письменной речи. Совокупность всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления. 31 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников, тесно связанное с формированием приемов мышления в процессе учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение и др.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике как одного из базовых школьных предметов. Основными целевыми компонентами математического образования в школе являются: усвоение учениками системы математических знаний; овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; развитие мышления учащихся. Мыслительная деятельность школьников выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Сравнение — это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Сравнение лежит в основе всех других мыслительных операций. Анализ — это мысленное расчленение предмета познаний на части. Синтез — мысленное соединение отдельных элементов в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Абстракция — это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак становится предметом мышления. Обобщение рассматривают как мысленное выделение: — общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности; — существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов (научнотеоретическое обобщение). Конкретизация также выступает в двух формах: - как мысленный переход от общего к единичному, частному; — как восхождение от абстрактно-общего к частному, путем 32 выявления различных свойств и признаков объекта. Различают три вида мышления: 1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами). 2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов). 3. Теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений). С развитием математики как науки и методики преподавания математики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие математическое мышление, существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике. Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков. Математические способности — это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных в процессе математической деятельности. Математическая одаренность школьников характеризуется быстрым схватыванием математического материала; тенденцией мыслить сокращенно, свернутыми структурами, стремлением к своеобразной экономии умственных усилий; наличием ярких пространственных представлений. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОНЯТИЕ И ЕГО Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы — формирование понятийного аппарата темы. Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий. Содержание понятия — это множество всех существенных признаков данного понятия. 33 Объем понятия — множество объектов, к которым применимо данное понятие. Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия). Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами. Для понятия параллелограмм содержание будет представлено следующими свойствами: — противоположные стороны равны и параллельны; — противоположные углы равны; — диагонали в точке пересечения делятся пополам и др. Объем понятия параллелограмм представлен множествами следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты. Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам 34 добавится трапеция). Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем: — указывается род, в который входит определяемое понятие; — указываются видовые отличия и связь между ними. Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон). В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содержится в объеме другого понятия. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ Формирование понятий — сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по следующей схеме: ощущения -> восприятие -> представление -> понятие. Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов: — мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории); — выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия); — формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, 35 конструирование объектов, относящихся к объему понятия). Выделяют два пути формирования понятий. Индуктивный Дедуктивный. Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделение множества на классы с помощью некоторого свойства. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение следующих условий: — классификация проводится по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации; — понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые; — сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия; — в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду. Пр. Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и составное число. Такая классификация натуральных чисел, а также классификация треугольников по сторонам и углам позволяют наблюдать выполнение этих условий. Остроугольные Прямоугольные Тупоугольные Четырехугольник Трапеция Прямоугольник Параллелограмм Ромб Квадрат ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ. ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие — значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию. Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на 36 существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» — дескрипция числа п). Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Номинальные и реальные определения. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С помощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х2 =а». Индуктивными и контекстуальные. Например, по индукции вводится определение натурального числа в математике. Аксиоматические определения. Определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются неопределенными, например, точка, плоскость и расстояние в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства. Определения через род и видовые отличия. Это классические определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторонами»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Параллелограммом называется 37 четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». В школьном курсе математики через род и видовое отличие определяются: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектриса угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и параллельные прямые. Генетические определения. Это такие определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра». В школьном курсе математики можно выделить следующие генетические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний треугольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга. Остенсивные определения. Это определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением. Определение считается корректным, если выполняются два условия: 1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»); 2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого. 38 ТЕОРЕМА. ВИДЫ ТЕОРЕМ. МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты). Аксиома (от греч. axioma — авторитетное предложение, «то, что приемлемо») — предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории. При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, т.е. на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. Существуют два вида формулирования теоремы: условный и категорический. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы) (схема 6). Теорема: В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам Если четырехугольник — параллелограмм, то……………….. Условие Р четырехугольник — параллелограмм, диагонали его пересекаются Заключение G точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам Схема 6. Структура теоремы Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т.е., приняв, что Р истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно в целом. 39 Доказательство включает в себя три основных элемента: 1.Тезис (главная цель доказательства — установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса — суждение. 2.Аргументы (основания) доказательства — положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов — суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы. 3.Демонстрация — логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. Известно, что, имея некоторую (прямую) теорему (Р =» G), можно образовать новые теоремы, и не одну: G => Р — обратная; Не Р => не G — противоположная; Не G => не Р — контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная). Между этими видами теорем существует тесная связь: а) (Р=> G) и (не G => не Р) — одновременно истинны или ложны; б) (G=> Р) и (не Р => не G) — одновременно истинны или ложны. При изучении теорем школьного курса математики учитель придерживается следующей последовательности: 1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации). 2. Обращение к опыту учащихся. 3. Высказывание предположения. 4. Поиск возможных путей решения. 5. Доказательство найденного факта. 6. Проведение доказательства в максимально простой форме. 7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных. Процесс изучения школьниками теоремы включает этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами. 40 МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения называется доказательством. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: К косвенным приемам поиска доказательств относят: • метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения); • разделительный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения. К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относят: 1. Метод геометрических преобразований. 2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований). 3. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры. 4. Координатный метод — способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системе координат или какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем). При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы. Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений: 1. Искать доказательство; 2. Проводить доказательство; 3. Оформлять доказательство теоремы. 41 Вопросы для самопроверки 1. Какова роль мышления в учебном процессе? Охарактеризуйте качества научного мышления. Что такое математическое мышление? Назовите основные мыслительные операции. 2. Что такое понятие? Охарактеризуйте главные логические характеристики понятия. Что значит «определить понятие»? Термин, род, вид, логическая связь. Что представляют собой компоненты понятия (существенные и несущественные свойства)? 3. Каково соотношение между объемом и содержанием понятия? 4. Каковы способы определения понятий? Приведите примеры: а) через ближайший род и видовое отличие; б) генетический; в) индуктивный; г) абстрактный. 5. Охарактеризуйте методику введения понятий: а) абстрактно-дедуктивным методом; б) конкретно-индуктивным методом. 6. Какова роль определений в процессе усвоения понятий? Назовите виды определений и охарактеризуйте их. 7. Раскройте содержание этапов формирования математических понятий и проиллюстрируйте их на конкретных примерах. 8. Назовите структурные элементы теоремы. Формы теорем (категоричная и условная). Приведите примеры. 9. Какова взаимосвязь между прямой, обратной, противоположной, обратной противоположной теоремами? 10. Охарактеризуйте методы доказательства теорем. 11. Что представляют собой основные этапы работы над теоремой? 12. Дайте логико-математический анализ теоремы (по выбору). 42 Лекция 5 Тема: Формы обучения математике. Цели: ознакомить студентов с классификацией форм обучения математике; рассмотреть типы уроков, требования к современному уроку; добиться усвоения видов анализа урока. Вопросы: 1. Классификация форм обучения математике. 2. Урок – основная форма обучения. 3. Типы уроков. 4. Требования к современному уроку. 5. Организация современного урока. 6. Анализ урока. Его роль в интенсификации учебного процесса. КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Важную роль в учебном процессе играют формы организации или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса. Формы обучения — виды учебных занятий, способы организации учебной деятельности школьников, учителя и учащихся, направленные на овладение учащимися знаниями, умениями и навыками, на воспитание и развитие их в процессе обучения (схема 7). Формы обучения лекция семинар конференция экскурсия консультация Формы контроля контрольная работа зачет коллоквиум защита реферата переводные экзамены выпускные экзамены УРОК — ОСНОВНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися в школе является урок. Урок — логически законченный, целостный, ограниченный определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного 43 процесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации). Урок представляет собой форму организации деятельности учителя и учащихся. Урок — это занятие с классом учеников, продолжительностью 40-45 минут. Количество таких занятий определяет учебный план школы, а их содержание — госстандарт и школьные программы. Понятие урок имеет характерные черты (основные характеристики), позволяющие рассматривать его с разных позиций. Иначе, урок состоит из компонентов: цель; содержание; средства и методы обучения; организация учебной деятельности. Главную роль среди основных характеристик урока играют цели урока: образовательные, воспитательные и развивающие. В соответствии с целью урока отбирается содержание обучения, и прежде всего содержание урока. Определить цель урока, рационально отобрать учебный материал учителю помогают учебные программы, методические пособия, дидактические материалы, методические рекомендации и др. Учитель управляет всей учебной деятельностью на уроке, используя при этом различные формы организации деятельности учащихся: общие (работа со всем классом), групповые (звено, группа и др.), индивидуальные. Формы организации учебной деятельности выступают на уроке в различных сочетаниях и последовательностях. Огромная роль здесь принадлежит коллективным формам работы, которые позволяют уплотнять время урока, создают ситуации взаимообучения учащихся и существенно влияют на развитие личности школьника. Рассматривая урок с точки зрения логики процесса обучения, мы приходим к понятию структура урока: Актуализация прежних знаний и способов действий. Формирование новых знаний и способов действий. Применение полученных знаний на практике. Используя понятие структура урока математики, важно выделить из множества возможных основные этапы урока: 1.Постановка цели урока перед учащимися. 2.Ознакомление с новым материалом. 3.Закрепление нового материала: а) на уровне воспроизведения информации и способов 44 деятельности; б) на уровне творческого применения и добывания знаний. 4. Проверка знаний, умений и навыков. 5.Систематизация и обобщение изученного материала. Отдельный урок — это только одно звено в цепи других уроков по данной теме или разделу школьного курса. Но, с другой стороны, урок и даже каждый его этап, — это нечто целое, законченное. ТИПЫ УРОКОВ Тип урока — понятие, связанное с варьированием структуры урока, его содержательных элементов. В дидактике наиболее разработанными являются следующие классификации: по месту урока в системе уроков по учебной теме; по признаку основной дидактической цели; по способу проведения урока. На разных уроках ставится разная дидактическая цель и дидактические задачи не могут иметь одинаковые объем и значение, поэтому различают: урок обычный, на котором решается лишь одна дидактическая задача (изучение нового материала, или закрепление изученного, или контроль); урок комбинированный (смешанный), где последовательно решаются несколько дидактических задач; урок синтетический, на котором решаются одновременно несколько дидактических задач. В практике обучения наиболее часто проводятся комбинированные уроки. Структура такого урока включает: Организационный момент. Проверку знаний и умений учащихся. Изучение нового материала. Закрепление изученного. Выделяют четыре основных типа уроков: урок по ознакомлению с новым материалом; урок по закреплению изученного материала; урок проверки знаний, умений и навыков; урок по систематизации и обобщению изученного материала. 45 В практике обучения часто говорят как о самостоятельных видах об уроках-лекциях, уроках самостоятельной работы учащихся, уроках общественного смотра знаний и др. При рассмотрении этих уроков с точки зрения их основной дидактической цели можно увидеть, что все они являются лишь разновидностями одного из четырех указанных выше основных типов. Урок-лекция — это урок по ознакомлению с новым материалом, а урок общественного смотра знаний - урок проверки знаний, умений и навыков и т.д. Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификация по способам проведения уроков (урок повторения, урок-беседа, урок — контрольная работа, комбинированный урок и т.д.). Кроме того, в практике обучения учащихся математике встречаются специальные уроки: урок в компьютерном классе, урок по измерениям на местности, урок вычислений на счетных приборах, киноурок и другие. Характеризуя какой либо конкретный урок, часто исходят из двух классификаций - по основной его дидактической цели и по способам проведения. Например, в самом названии урок-лекция усматриваются и его основная дидактическая цель, и способ его проведения. Ни одна из классификаций не может всесторонне и исчерпывающе охарактеризовать урок. В качестве совета начинающему учителю можно рекомендовать как можно чаще посещать уроки опытных учителей, анализировать их опыт работы и практиковать наиболее рациональные приемы в своей деятельности. ТРЕБОВАНИЯ К СОВРЕМЕННОМУ УРОКУ Урок заранее продумывается учителем во всех деталях и нюансах: распределение всей работы на уроке во времени и распределение этой работы между исполнителями — учителем и учащимися, различными категориями учащихся; содержание и размещение записей на классной доске и в тетрадях учащихся. До урока должны быть отобраны (изготовлены) необходимые технические средства обучения, проверена их готовность к использованию. Современный урок отличают: целенаправленность, наличие основной дидактической цели, подчинение всех элементов урока (частных учебных задач) одной цели; рациональное построение содержания урока; оптимальный выбор средств, методов и приемов обучения и воспитания на уроке математики, обеспечивающих 46 активное учение школьников; разнообразие форм организации учебной деятельности учащихся. Реализация перечисленных требований обеспечивает организационную четкость урока. Такая организация урока достигается, когда учитель свободно владеет материалом урока, учебным предметом в целом, не тратит времени на размышления и припоминания на уроке при изложении материала, а также знает методику каждого очередного вопроса, весь арсенал вариантов, приемов и средств его изучения; знает индивидуальные особенности учащихся класса, предвидит их возможные затруднения и пути их преодоления, располагает материалом для «загрузки» более сильных учащихся. К современному уроку математики предъявляются требования:  отбор главного, существенно значимого материала;  научность и достоверность изучаемых фактов;  мотивация и дифференцированность;  соответствие педагогического замысла задачам урока;  соответствие типа урока средствам и замыслам;  познавательная активность учащихся;  полноценность содержания;  воспитание интереса к предмету математика;  единство деятельности учителя и учащихся. ОРГАНИЗАЦИЯ СОВРЕМЕННОГО УРОКА Для подготовки урока учителю необходимо иметь хорошие теоретические знания по методике, подготовке и планированию урока. Система планирования урока включает: Годовое или полугодовое планирование. Тематическое планирование. Поурочное планирование. Урок должен быть нацелен на высокие конечные результаты, на повышение качества и эффективности обучения. Подготовка учителя к урокам состоит из двух этапов: Изучение педагогической, методической литературы, анализ учебных программ, передового педагогического опыта. Конструирование содержания учебного материала, планирование занятий и создание дидактических условий. При подготовке к современному уроку целесообразно придерживаться последовательности: Сформулировать цель урока. 47 Подготовить содержание учебного материала. Определить дидактические задачи урока. Выбрать наиболее эффективные приемы и методы обучения. Составить план урока. Проанализировать использование дидактических средств. В подготовке учителя к уроку центральное место занимает тематическое планирование. Возможная форма тематического планирования урока представлена в таблице 3. При подготовке учителя к конкретному уроку возможно использование следующей формы конспекта урока (табл. 4): АНАЛИЗ УРОКА. ЕГО РОЛЬ В ИНТЕНСИФИКАЦИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА Анализ урока — разбор и оценка урока в целом или отдельных его сторон. Анализ урока необходим: для повышения профессионального мастерства учителя; как средство улучшения преподавания и внедрения чего-то нового в практику работы учителей школы; как средство контроля и обучения учителя в работе; для методической подготовки студентов; с целью оценки всех возможных сторон учебно-воспитательного процесса на уроке. 1. Анализ урока включает следующие положения: 2. Школа, класс, предмет, фамилия учителя. 3. Тема, образовательно-воспитательные задачи урока, последовательность изложения, средства обучения, организация обучения. 4. Организационное начало урока. 5. Организационная структура урока. 6. Анализ содержания учебного материала урока. 7. Общепедагогические и дидактические требования к уроку и их выполнение. 8. Деятельность учителя. 9. Деятельность учащихся. 10. Общая оценка урока. Выводы. Существуют следующие виды анализа уроков: комплексный, структурный, краткий, аспектный, самоанализ. Комплексный анализ — это всесторонний анализ, позволяющий рассматривать в единстве и взаимосвязи основные характеристики урока — цели, содержание обучения, средства и методы обучения, организацию деятельности на уроке и основные 48 структурные элементы урока. Структурный анализ представляет собой анализ урока с позиции построения его структуры, обоснованности и необходимости выбора определенного этапа урока в целях реализации основной цели урока. Анализируется каждый этап урока, рассматриваются его полезность и значимость в общей структуре учебного занятий. Краткий анализ — анализ работы всех компонентов урока на реализацию основной цели урока, соответствие формы, средств, содержания урока, цели урока. Аспектный анализ — глубокое рассмотрение урока по одному направлению, основанию, аспекту. Аспекты анализа бывают разнообразными. Укажем некоторые из них: — реализация цели урока (образовательная, воспитывающая, развивающая); научный уровень математического содержания урока.; анализ общей структуры урока; методы обучения на уроке; формирование учебных умений и навыков учащихся; эмоциональность подачи учебного материала; соответствие учебного материала содержанию и требованиям про граммы и др. Самоанализ — расчленение и разбор урока учителем в целях построения целостной системы обучения и достижения оптимального результата обучения в оптимальных условиях. Проводя самоанализ урока, каждый учитель должен ответить на следующие вопросы: 1. Характеристика урока, его место в разделе учебного курса. 2. Каков тип урока? 3. Какие цели, задачи решались на уроке? 4. Мотивы выбора структуры урока. 5. Как распределялось время на уроке? 6. Базовое содержание учебного материала. 7. Как сочетаются выбранные формы обучения с целью урока? 8. Почему выбраны именно эти методы обучения? 9. Как осуществлялся дифференцированный подход к учащимся? 10. В каких формах и методах осуществлялся контроль знаний? 49 11. Какие средства обучения использовались? 12. За счет чего обеспечивалась высокая работоспособность учащихся? 13. Реализованы ли все поставленные задачи на уроке? 14. Какова интенсивность и эффективность урока? Умение анализировать уроки является важной составляющей методической подготовки учителя математики. В учебной литературе, дидактике, методике обучения математике содержится немало различных вариантов анализа урока. Любой вид анализа урока должен быть тесно связан с анализом его математического содержания. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Что такое формы обучения? Что является основной формой обучения в современной школе? Рассмотрите определения урока с различных позиций. Назовите и охарактеризуйте компоненты урока. Какие цели решаются на уроке? Охарактеризуйте различные формы организации деятельности учащихся (общие, групповые, индивидуальные). От чего зависит структура урока математики? Каким должен быть современный урок математики? Какие требования предъявляются к учителю на уроке математики? Какие типологии уроков существуют? Охарактеризуйте их. Из каких этапов состоит подготовка учителя к уроку математики? Как правильно организовать современный урок математики? Что такое анализ урока и какую роль он играет в интенсификации учебного процесса? Перечислите виды анализа урока и расскажите о каждом из них. 50 Лекция 6. Тема: Контроль знаний по математике. Цели: ознакомить студентов с целями и задачами контроля знаний; рассмотреть формы и методы контроля; уметь планировать различные контрольные уроки. Вопросы: 1. Цели и задачи контроля знаний. 2. Функции контроля и проверки знаний учащихся. 3. Методы контроля знаний учащихся. 4. Формы контроля знаний учащихся. 5. Средства контроля. Тестовый контроль. 6. Зачетная система контроля. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ В процессе изучения математики учащиеся должны овладеть множеством математических понятий, их свойств, отношений, а также должны уметь обнаруживать и обосновывать эти свойства, применять их при решении практических задач. Достижение этих целей учащимися подлежит систематическому контролю со стороны учителя и самоконтролю. Контроль в учебном процессе называется диагностикой. Целями диагностирования являются выявление, оценивание, анализ и коррекция учебного процесса для его эффективности. Контроль является частью процесса обучения. Контроль знаний и умений конкретного ученика предусматривает оценку этих знаний и умений только по результатам его личной учебной деятельности. Составной компонент контроля — проверка знаний. Кроме проверки контроль включает оценивание и выставление отметки. В зависимости от того, кто именно осуществляет контроль за результатами учебной деятельности учащегося, выделяют три типа контроля: внешний (осуществляет учитель); взаимный (осуществляют учащиеся); самоконтроль (осуществляет сам ученик). Основная цель контроля и оценки знаний учащихся по математике - определение качества усвоения учащимися учебного материала, уровня овладения ими знаниями, умениями и навыками, предусмотренными учебной программой. 51 Диагностировать, контролировать, проверять и оценивать знания и умения учащихся по математике нужно последовательно, согласно порядку изучения математического материала. Систематический контроль знаний учащихся по математике является одним из основных условий повышения качества обучения. Умелое владение учителем различными формами контроля знаний способствует повышению заинтересованности учащихся в изучении предмета математики, предупреждает отставание, обеспечивает активность учащихся на занятиях. ФУНКЦИИ КОНТРОЛЯ И ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Контролю знаний учащихся по математике присущи следующие функции: Контролирующая и диагностическая функция: выявление и диагностика результатов обучения. Образовательная (обучающая) функция: повышение качества знаний, их систематизация, формирование приемов учебной работы. Стимулирующая (развивающая) функция: создание необходимой основы для развития познавательной активности школьников. Воспитательная функция: воспитание у каждого школьника чувства ответственности за результаты учения, формирование познавательной мотивации учения. Прогностическая функция: управление процессом усвоения знаний, умений и его коррекция. При разных целях и видах проверки эти функции могут проявляться по-разному. Например, при текущей проверке усвоения учебного материала по математике доминирующей должна быть обучающая функция, а при итоговом контроле — контролирующая. Предъявляются следующие педагогические требования к контролю знаний учащихся. Контроль знаний учащихся должен быть: мотивированным; систематическим и регулярным; разнообразным по формам, включающим всех учащихся в работу; всесторонним и объективным на основе дифференцированного подхода к учащимся; базироваться на единстве требований учителей, осуществляющих контроль за учебной работой учащихся. 52 МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ Методы контроля — способы, с помощью которых определяется результативность учебно-познавательной деятельности учителя и учащихся. Существуют различные классификации методов и приемов контроля знаний учащихся по математике. По одной из них выделяют следующие методы контроля: устные (опрос, устная контрольная работа); письменные (математический диктант, контрольная работа, тематический реферат); практические (опыт, практическая работа, лабораторная работа, экспериментальное задание); зачеты; экзамены. По другой классификации методы контроля знаний учащихся по математике делят на группы: текущий контроль (различные формы устного опроса, проверка домашнего задания, проверка тетрадей, проверка с помощью перфокарт, проверка с помощью компьютера, текущие тесты на компьютере); тематический контроль (тематическая контрольная работа, тематический смотр знаний); периодический контроль (итоговая контрольная работа, экзамены, зачеты). ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ В соответствии с формами обучения — массовой и индивидуальной — выделяют формы контроля: фронтальный, групповой, индивидуальный, комбинированный, самоконтроль. Формы контроля не должны сводиться только к воспроизводящей, репродуктивной деятельности учащихся. При выборе форм контроля необходимо учитывать индивидуальные особенности учащихся по математике и их математические способности. СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ. ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ Говоря о средствах контроля знаний и умений учащихся, чаще всего имеют в виду задания, которые предлагаются ученикам с целью 53 выявления результатов обучения. В основу классификации таких средств может быть положена форма вывода ответа на контролирующее задание. В этом случае выделяются два задания свободного выбора ответа и задания-тесты. Тестовая форма проверки и оценки знаний учащихся в последнее время получила наибольшее распространение. Ее оперативность и четкость позволяют проверить знания учащихся по объемному содержанию образования. Тесты делят на два вида: тесты на припоминание и дополнение; избирательные тесты. Тесты на припоминание и дополнение представляют собой задания учащимся заполнить пропуски в предложенном им связном тексте. Существуют два способа подачи тестов на дополнение: запись текста с пропусками на переносной доске или на обычной карточке; использование специализированных перфокарт. В первом случае все пропуски нумеруются, а учащиеся записывают ответы под соответствующими номерами. Во втором случае тест записывается на карточке, а на месте каждого пропуска вырезаются «окна», получается перфокарта. Под нее подкладывается бумага, ответы записываются в прорезях. Избирательные тесты делят на альтернативные, перекрестного выбора и множественного выбора. Избирательный тест, например, состоит из задания и нескольких вариантов ответа, среди которых, помимо правильного и полного, есть правильные, но неполные, а также неправильные ответы. Проверка производится с помощью дешифратора — точной копии тестовой карточки, изготовленной из прозрачного материала. В ней заранее отмечены клетки с правильными ответами. Альтернативный тест — это задание, при выполнении которого ученик из двух предложенных ему ответов должен выбрать один (по его мнению, правильный). При отборе и составлении средств контроля знаний и умений учащихся учителю, прежде всего, следует иметь в виду, что содержание задания должно соответствовать цели контроля. Наряду с тестовой формой контроля, на уроках математики могут применяться разного рода игры, в частности чайнворды, кроссворды, криптограммы. Они вошли в практику обучения сравнительно недавно, опыт их применения основательно не изучен и не обобщен, но польза, приносимая ими, их влияние на усвоение учебного материала совершенно очевидны и реально ощутимы. 54 Содержание, вкладываемое в игры, может быть различным. В основном это математическая терминология, не исключены и отдельные цифровые данные. Процесс контроля знаний и умений учащихся связан с оценкой и отметкой. Оценка — это процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как внешнее выражение оценки. Оценка и отметка определяются знаниями и умениями ученика, которые он показал в процессе контроля. Одним из показателей, по которому учитель имеет возможность судить о знаниях и умениях ученика, служат погрешности, допущенные им при работе со средствами контроля, предложенными учителем. Погрешности делят на ошибки и недочеты. Всякая оценка складывается под влиянием двух факторов: объективного и субъективного. Объективный фактор - это фактический результат контроля (проверки) учебных действий ученика, а субъективный - это отношение оценивающего субъекта (учителя, ученика) к оцениваемому субъекту (ученику), а также цель самого действия оценивания. При оценивании учебных действий ученика производится сравнение этих действий с одним из следующих: с прошлыми действиями этого же ученика; с аналогичными действиями других учеников; с установленной нормой этих действий. Соответственно можно выделить способы оценивания: личностный, сопоставительный, нормативный. Оценка должна ставиться за уровень и характер знаний по математике. Чем больше объективности в оценке знаний, тем больше это стимулирует учащихся и активизирует для дальнейшей учебной деятельности по предмету. Совершенно недопустимо влияние на оценку личностно-негативного отношения учителя к отдельным учащимся. ЗАЧЕТНАЯ СИСТЕМА КОНТРОЛЯ С целью систематического контроля за уровнем обучения в ходе учебного процесса учителю целесообразно выбрать такую систему контроля, как зачет. От стандартных форм контроля зачетная система отличается по характеру проведения, по системе оценивания. Зачет — это специальный этап контроля, целью которого является проверка достижения учащимися уровня обязательной подготовки. Оценка результатов сдачи зачета дается по двухбалльной шкале: 55 «зачтено» — «не зачтено». Зачеты необходимо проводить по каждой теме школьного курса математики. Каждый учащийся сдает все предусмотренные программой зачеты. Зачет считается сданным, если учащийся решил все соответствующие обязательному уровню задачи и упражнения. Зачет подлежит пересдаче, если оценка «зачтено» не выставляется, причем пересдается не весь зачет целиком, а лишь те виды задач, с которыми учащийся не справился. Итоговое оценивание знаний ученика непосредственно зависит от результатов сдачи зачетов. Оценка является положительной при условии, если все зачеты за этот период учеником сданы. Условия организации зачетов повышают содержательность и объективность итогового оценивания. Систему зачетов учитель может строить по-разному. Аналогично видам контроля зачеты можно разделить на тематические и текущие. Тематические зачеты проводятся в конце изучения темы и направлены на проверку усвоения материала в целом. Текущие зачеты проводятся систематически, в ходе изучения темы по небольшим, законченным по смыслу порциям учебного материала. При любой форме зачета наиболее эффективна такая организация, когда ученик в ходе проведения зачета узнает результаты своей деятельности: успешно ли он справился с работой, какие ошибки допустил и над какими разделами учебного материала ему предстоит еще работать. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. Каковы цели и задачи контроля знаний по математике? Дайте характеристику понятиям диагностика, контроль, проверка, оценивание, оценка, отметка. Каковы важнейшие функции проверки и оценки знаний учащихся по математике? Охарактеризуйте функции контроля знаний. Какие педагогические требования предъявляются к оценке знаний учащихся? Какие типы контроля существуют? Охарактеризуйте методы контроля знаний по математике. 56 Назовите и дайте характеристику формам контроля знаний. 8. Что представляет собой тестовая форма проверки и оценки знаний учащихся? Дайте характеристику избирательным тестам, альтернативным тестам, тестам с выборочными ответами. Расскажите о методике проведения тестирования по математике. 9. Чем отличается оценка от отметки? 10. Что представляет собой зачетная система контроля знаний по математике? Назовите условия организации зачетов по математике. 7. 57 Лекция 7. Тема: Задачи как средство обучения математике Цели: ознакомить студентов с ролью задач в обучении математике; изучить классификацию, виды и функции задач; рассмотреть основные компоненты и этапы решения задачи; организовать обучение решению текстовых задач. Вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Роль задач в обучении математике Классификация задач Виды задач и их функции Основные компоненты задачи Этапы решения задачи Организация обучения решению математических задач Индивидуальное решение задач РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ При обучении математике задачи имеют образовательное, практическое, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектикоматериалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал. При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими. В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами. 58 С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т.д. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования: — задачи на доказательство; — задачи на построение; — задачи на вычисление. По функциональному назначению: — задачи с дидактическими функциями; — задачи с познавательными функциями; — задачи с развивающими функциями. По величине проблемности: — стандартные (известны все компоненты задачи); — обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); — поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); — проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи). В соответствии с тем, какие компоненты задачи (А — условие, В — заключение, К— решение, С — базис решения задачи) неизвестны решающему, сформировалась следующая типология: 1-й тип — известны все компоненты (АСКВ); 2-й тип — неизвестен один компонент: а) ...СКВ; б) А...КВ; в) АС...В; г) АСК...; 3-й тип — неизвестны два компонента: а) А......В; б) ...СК... и т.д.; 4-й тип — неизвестны три компонента: а).........В; б) А.........; в) ...С......; г)......К.... По методам решения: — задачи на геометрические преобразования; — задачи на векторы и др. 59 По числу объектов в условии задачи и связей между ними: — простые; — сложные. По компонентам учебной деятельности: — организационно-действенные; — стимулирующие; — контрольно-оценочные. Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, дву-шаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д. ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи). Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений. В системе задач, направленных на усвоение нового понятия и его определения, выделяют задачи: — на раскрытие практической значимости понятия или его значимости для дальнейшего продвижения в изучении математики; — на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании понятия; — на выделение существенных признаков понятия; — на распознавание понятия; — на усвоение текста определения понятия; — на использование математической символики; — на установление свойств понятия; — на применение понятия; — на усвоение математических понятий; — на овладение математической символикой. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ В задаче выделяют основные компоненты: 1. Условие — начальное состояние; 2. Базис решения — теоретическое обоснование решения; 60 3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого; 4. Заключение — конечное состояние. Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3). Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей. На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д. Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны. Стандартной называется задача, в которой четко определено уело вне, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной. В литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д. Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: 61 — алгоритмические задачи; — полуалгоритмические задачи; — эвристические задачи. Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату. Полуалгоритмические задачи — задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найти периметр треугольника. Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях. Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника. При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Решение задачи осуществляется в несколько этапов. 1. Ознакомление с содержанием задачи. — Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели). — Поиск необходимой информации в сложной системе памяти. — Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д. 62 2. Поиск решения — выдвижение плана решения задачи. — Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых. — Попытки подвести задачу под известный тип. — Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных). — Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д. 3. Процесс решения — реализация плана решения. — Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д. 4. Проверка решения задачи. — Фиксация конечного результата решения. — Критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д. Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны, главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые задачи на составление уравнения. При решении текстовой задачи с помощью составления уравнения необходимо придерживаться следующей последовательности действий: 1. Вычленить условие и требование задачи. 2.Установить зависимость между данными и искомыми. 3. Выявить способ составления уравнения и т.д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются: — преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения; — моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме; — преобразование модели отношения для изучения его свойств; 63 — построение системы частных задач, решаемых общим способом. Решение задач в 5 — 6 классах осуществляется, в основном, тремя способами: — арифметическим, при котором все логические операции при решении задачи проводятся над конкретными числами и основой рассуждения является знание смысла арифметических действий; — алгебраическим, при котором составляется уравнение (система уравнений), его решение основано на свойствах уравнений; — комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач — решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной. Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использовать таблички, компьютер, интерактивную доску и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок математики. Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем или учащимися на уроках применяют: — при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; — при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; — при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения; — при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т.д. Письменное самостоятельное решение задач — наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно 64 разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различными. Комментирование решения математических задач: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Учениккомментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Исключительное значение имеют самостоятельные работы учащихся по устранению пробелов в знаниях. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, при решении задач на уроке или дома. Положительные результаты по устранению пробелов в знаниях дают работы над ошибками, коррекционные самостоятельные уроки. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Домашнее задание имеет целью не только повторение, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. Необходимо учитывать различие индивидуальных особенностей школьников и индивидуализировать домашние задания. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся к математике и развить их. Часто в качестве индивидуального домашнего задания могут выступать реферативные доклады, сообщения, анализ статей и публикаций математического характера, практические задания и др. 65 Вопросы для самопроверки 1.Какова роль задач в обучении математике? Какие функции выполняют задачи в процессе обучения школьников математике? 2.Объясните смысл принципа «обучение через задачи». 3.Охарактеризуйте виды задач и опишите их. Приведите примеры задач разных видов. 4.Назовите и охарактеризуйте основные компоненты задачи. Произведите разбор какой-либо задачи покомпонентно. 5. Раскройте содержание этапов решения задач: — анализ условия задачи; — поиск способа решения задачи; — реализация способа решения задачи; — оценка различных способов решения задачи; — использование задачи и ее решения для составления новых задач. 6.Выберите любую задачу и разработайте поэтапную методику ее решения. 7. Как организовать работу учителя по формированию у школьников умения решать математические задачи? 8. Как индивидуализировать процесс решения задачи? 66 Лекция 8 Тема: Формирование алгоритмической культуры учащихся. Цели: ознакомить студентов с алгоритмизацией обучения математике; рассмотреть программированное обучение как средство формирования алгоритмического стиля мышления. Вопросы: 1. Алгоритмизация обучения. 2. Алгоритмическая культура учащихся. 3. Принципы обучения алгоритмам. 4. Пути формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. 5. Программированное обучение как средство формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ Алгоритм — одно из фундаментальных понятий математики. Алгоритм — общепринятое и однозначное предписание, определяющее процесс последовательного преобразований исходных данных в искомый результат. Обучение математике на любом уровне обязательно включает обучение алгоритмам. Алгоритмический подход — это обучение учащихся какому-либо общему методу решения посредством алгоритма, выражающего этот метод. Школьный курс математики предлагает большой выбор алгоритмов. Это алгоритмы: — приведения дробей к общему знаменателю; — построения биссектрисы угла; — решения задачи на построение; — исследования функции и построения ее графика; —вычисления площади криволинейной трапеции и др. Умение формулировать и применять алгоритмы важно не только для развития математического мышления и математических умений, оно означает также и умение формулировать и выполнять правила. Алгоритмизация обучения понимается в двух смыслах: обучение учащихся алгоритмам, построение и использование алгоритмов в обучении. 67 Существуют два способа обучения алгоритмам: • сообщение готовых алгоритмов; • подведение учащихся к самостоятельному открытию необходимых алгоритмов. Второй способ является вариантом эвристического метода обучения и предполагает реализацию трех этапов изучения математического материала: 1. Выявление отдельных шагов алгоритма. 2. Формулировка алгоритма. 3. Применение алгоритма. Построение алгоритмов обучения представляет собой описание обучающей деятельности учителя, включающее предписания, правила, последовательность действий алгоритмического типа, с помощью которых учитель решает определенные дидактические задачи. Тогда часть процесса обучения учащихся конкретному содержанию может быть представлена в виде так называемого алгоритма обучения, отражающего методическую характеристику учения. Для построения этого алгоритма нужно проанализировать содержание и цели обучения, деятельность учащихся по его усвоению и деятельность учителя по организации этого усвоения, а также особенности учащихся данного класса. Алгоритмы обучения являются составной частью педагогических технологий. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА УЧАЩИХСЯ Проблема формирования .алгоритмической культуры учащихся особенно актуальна в современном образовательном процессе. Математике принадлежит ведущая роль в формировании совокупности знаний, умений и навыков работы с алгоритмами у подростков. В ходе изучения математики систематически и последовательно формируются навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. Формирование алгоритмической культуры учащихся способствует осознанному восприятию математического материала, что предполагает обязательное наличие общих представлений: — об алгоритме и его свойствах; — о языковых средствах записи алгоритмов (развернутая форма, табличная форма, блок-схема); — об алгоритмических процессах (линейном, 68 разветвляющемся, циклическом). Язык блок-схем — самый наглядный из всех человеческих языков, используемых для записи алгоритмов. Алгоритмическая культура учащегося должна содержать следующие компоненты:  понимание сущности алгоритма и его свойств;  понимание сущности языка как средства для записи алгоритма;  владение приемами и средствами для записи алгоритмов;  понимание алгоритмического характера методов математики и их приложений;  владение алгоритмами школьного курса математики;  понимание элементарных основ программирования на компьютере. Повышение алгоритмической культуры учащихся зависит от целей формирования основных компонентов алгоритмической культуры, которая на современном этапе развития общества должна составлять часть общей культуры каждого человека. Понимание языковых и алгоритмических аспектов общения составляет элемент культуры современного человека. Алгоритмы являются неотъемлемой составляющей деятельности людей в различных областях науки: филологии, истории, педагогике и др. Результат деятельности человека любой области знаний зависит от того, насколько четко он осознает алгоритмическую сущность своих действий: что он делает, в какой последовательности и каков ожидаемый результат его действий. Все это определяет аспект культуры мышления человека, характеризующийся умением составлять и использовать в своей деятельности различные алгоритмы. ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ АЛГОРИТМАМ Математические навыки у учащихся закрепляются успешнее при введении в учебный процесс специальных предписаний и правил, что служит пропедевтикой формирования в дальнейшем алгоритмической культуры школьников. Постоянное использование в работе алгоритмов и предписаний должно ориентировать учащихся не на простое запоминание определенного плана или последовательности действий, а на понимание и осознание этой последовательности, необходимости каждого ее шага. 69 Обучение алгоритмам должно строиться с учетом принципов: создание у учащихся полной ориентировочной основы применения алгоритмов;  использование приемов, раскрывающих происхождение алгоритмов;  алгоритмизация всего процесса обучения математике в школе;  развитие логической культуры учащихся;  обеспечение взаимосвязи алгоритмов;  формирование основных компонентов алгоритмической культуры учащихся. Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся заменить предложенный алгоритм более простым и обосновать целесообразность такой замены, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Алгоритмизация обучения предполагает единство между анализом и синтезом и активно влияет на развитие творческого мышления учащихся. Свободное творчество возможно только на базе осознанных алгоритмов.  ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В учебном процессе необходимо чаще практиковать перевод учебного теоретического материала на язык схем и алгоритмов, что позволит избежать негативных явлений в обучении:  отсутствие четкого разделения между шагами действий;  трудности в определении последовательности решения задач;  сложность или невозможность изложения учебного материала четко и алгоритмически. В процессе преподавания математики необходимо использовать методы, формирующие алгоритмическую культуру учащихся: выполнение заданий по алгоритму, выработка последовательности действий с обоснованием, составление и апробация алгоритмов, конструирование алгоритмов и др. Ученики, хорошо усвоившие необходимые алгоритмы, могут оперировать свернутыми знаниями при решении алгоритмических задач, в том числе и сложных, при этом они не затрачивают усилия на поиск решения частичных проблем, применяя алгоритмы. Умение учащихся оформить свои рассуждения и весь ход 70 решения задачи в виде таблицы или блок-схемы существенно дисциплинирует мышление, становится необходимым практическим качеством, способствует более быстрому и сознательному овладению алгоритмическим языком в будущем. Составление алгоритмов активизирует умственную деятельность школьников и развивает их математические способности. В современном обучении появилась новая школьная дисциплина — алгоритмика, направленная на формирование и развитие алгоритмического мышления учащихся. Алгоритмика — часть математики, она изучается в 5 — 7 классах и носит пропедевтический характер. Алгоритмика предусматривает изучение основных алгоритмических конструкций и построение алгоритмов различных типов. Осуществление требуемых операций возможно только с помощью четкого ого выполнения последовательных шагов. При систематическом применении учителем в своей работе алгоритмов у учащихся вырабатываются элементы алгоритмической культуры. ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ Программированием называется процесс подготовки задач для ре-шения на компьютере. Он включает: — Составление алгоритма решения задачи. — Описание алгоритма решения задачи на языке программирования (составление программы). — Трансляция программы на машинный язык в виде последова-тельности команд. Программированное обучение — метод, в котором изучаемый материал подается в строгой логической последовательности — «кадрами», каждый кадр содержит, как правило, порцию нового материала и контрольный вопрос. Основой такой обучающей программы является некоторый алгоритм обучения. Существуют две системы программирования учебного материала— линейная и разветвленная. Эта системы были разработаны в 50 — 60 г XX в., когда возникло и получило большую популярность программированное обучение. Линейная программа предполагает подачу учебного материала очень небольшими порциями, содержащими простой вопрос по этому материалу. Ученик, внимательно прочитавший этот материал, 71 может легко, быстро и безошибочно ответить на вопрос. При переходе к следующей порции ученик узнает, правильно ли он ответил на вопрос предыдущего кадра, сравнивая свой ответ с верным ответом. Вопросы простые, они имеют обучающий, а не контролирующий характер. Разветвленная программа характеризуется разделением учебного материала на порции со значительно объемной информацией. В конце кадра содержится вопрос с выборочными ответами. Из нескольких, вариантов ответов только один правильный. Против каждого ответа указывается страница, к которой можно обратиться за справкой, если допущена ошибка. После этого предлагается вернуться к последнему кадру. И так до тех пор, пока ученик не поймет свою ошибку и не даст правильный ответ. Разветвленная программа ближе к реальному процессу обучения, подходит для индивидуального обучения. Программированное обучение обладает рядом достоинств, способствующих лучшей реализации принципов дидактики. Для него характерны; — правильный отбор учебного материала; — рациональная дозировка подачи учебного материала; —активная самостоятельная деятельность ученика по усвоению учебного материала; — обеспечение возможности каждому ученику работать со свойственной ему скоростью; — высокая степень контроля за результатами обучения. Успехи в развитии компьютерной техники привели к возрастанию роли компьютеров во всех областях жизни современного общества и сделали процесс компьютеризации обучения на основе его программирования необратимым. Вопросы для самопроверки 1. Что такое алгоритм? 2. Какую роль в процессе обучения математике играют алгоритмы? Приведите примеры алгоритмов из школьного курса математики. 3. Назовите и охарактеризуйте способы обучения алгоритмам. Какой из способов связан с эвристическим характером процесса обучения математике? 4. Что понимается под алгоритмизацией обучения? В чем смысл алгоритмического подхода к обучению? 5. Назовите принципы обучения алгоритмам учащихся. 72 6. Охарактеризуйте компоненты алгоритмической культуры учащихся. 7. В чем проявляется алгоритмический стиль мышления? 8. Каковы пути формирования алгоритмического стиля мышления у учащихся при обучении математике? 9. Охарактеризуйте функции учащихся по составлению алгоритмов. 10. Какую роль в профессиональной деятельности учителя играют алгоритмы? 11. Что представляет собой программированное обучение? 73 1.2. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ВНЕАУДИТОРНОГО ИЗУЧЕНИЯ Тема 1. Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения Уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом. Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа. Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия); работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина). Говоря о первом направлении внеклассной работы, отметим следующее. Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики. 1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучаемости. 2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому). 3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней 74 работой учащихся по индивидуальному плану. 4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме. 5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа. 6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными. Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике – занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям: 1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям. 2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу. 3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научноисследовательского характера. 4. Воспитание высокой культуры математического мышления. 5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой. 6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства. 7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о ведущей роли советской математической школы в мировой науке. 8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной. 9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. 10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике 75 всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся). Окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида. Между учебно-воспитательной работой, проводимой на уроках, и внеклассной работой существует тесная взаимосвязь: учебные занятия, развивая у учащихся интерес к знаниям, содействуют развертыванию внеклассной работы, и, наоборот, внеклассные занятия, позволяющие учащимся применить знания на практике, расширяющие и углубляющие эти знания, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однако внеклассная работа не должна дублировать учебную работу, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия. Говоря о содержании внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, отметим следующее. За последние десятилетия в математике возникли новые направления, имеющие не только большое практическое значение, но и большой познавательный интерес. Экспериментальные исследования, проведенные в ряде школ показали, что многие вопросы так называемой современной математики (в объеме своих начальных понятий) вполне доступны и весьма интересны для изучения их учащимися, даже начиная с 5 класса. На это справедливо указывал Н. Я. Виленкин, предлагая на внеклассных занятиях по математике знакомить учащихся с элементами вычислительной математики, производной и интегралом, основными понятиями математической логики, современной алгебры, комбинаторики, теории информации и т. д. Н. Я. Виленкин рекомендует обращать внимание и на практическую направленность внеклассных занятий и ее занимательность, которые можно реализовать рассмотрением соответствующих задач. Отметим, что многие из этих вопросов уже нашли свое отражение в программе факультативных занятий по математике; вместе с тем некоторые из них могут быть интересными и доступными для учащихся IV-VI классов. Можно рекомендовать следующие формы проведения внеклассной работы с учащимися, особо интересующимися математикой: математические кружки; математические викторины, конкурсы и олимпиады; математические вечера; математические экскурсии; внеклассное чтение математической литературы; 76 математические рефераты и сочинения; школьная математическая печать. Говоря об олимпиаде, следует отметить, что до сих пор эта форма внеклассной работы с учащимися являлась своеобразным итогом проделанной работы (чаще всего кружковой). Олимпиада соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся в смысле их математического образования, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость желание не отстать от тех, которые успешно справляются с олимпиадным заданием; часто именно участие в олимпиаде и подготовка к ней побуждает учащихся самостоятельной работе, вырабатывает умение работать с научно-популярной литературой и т. д. Математические олимпиады проводятся на различных уровнях: школьные, районные, городские, областные, республиканские, общесоюзные и международные. В проведении областных и республиканских олимпиад активно участвуют педагогические институты и университеты; общесоюзная олимпиада проводится под эгидой Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Олимпиады также оказывают положительное влияние и на общий уровень преподавания математики, во многом позволяют выявить качество математических знаний учащихся и, кроме того, в какой-то степени ориентируют учителя, характеризуя уровень той математической подготовки, которая считается высокой. Однако следует обратить внимание на то немаловажное обстоятельство, что олимпиады не являются серьезным источником новой, интересующей учащихся информации и потому не могут считаться основной формой углубленной математической подготовки молодежи. В последнее время все большую популярность среди учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности, завоевывают такие формы углубленной специальной математической подготовки, примыкающие к внеклассной работе, как юношеские математические школы (ЮМШ), заочные математические школы (ЗМШ), школы и классы с математическим уклоном специально для подготовки программистов-вычислителей. 77 Вопросы для самопроверки 1.Какова роль внеклассной работы в обучении математике? Какие существуют направления во внеклассной работе в процессе обучения школьников математике? 2.Объясните смысл понятия «внеклассная работа». 3.Охарактеризуйте цели внеклассной работы по каждому направлению и опишите их. Приведите примеры внеклассных мероприятий разных видов. 4.Назовите и охарактеризуйте основные формы внеклассной работы. 5. Разработайте план работы математического кружка в 5-6 классах. 6.Выберите любую форму проведения и разработайте внеклассное занятие по математике. 7. Как организовать проведение математической олимпиады? 8. Разработайте эскиз математического уголка? 78 Тема 2. Основополагающие особенности личностноориентированной технологии обучения Основная и очень ответственная задача школы – раскрыть индивидуальность ребенка, помочь ей проявиться, развиться, устояться, обрести избирательность и устойчивость к социальным воздействиям. Раскрытие индивидуальности каждого ребенка в процессе обучения обеспечивает построение личностноориентированного образования в современной школе. Цель такого обучения состоит в создании системы психолого-педагогических условий, позволяющих в едином классном коллективе работать с ориентацией не на "усредненного" ученика, а с каждым в отдельности с учетом индивидуальных познавательных возможностей, потребностей и интересов. Личностно-ориентированная образовательная технология - это результат создания (проектирования) адекватной потребностям и возможностям личности и общества системы социализации, профессионального развития человека в образовательном учреждении, состоящей из специальным образом сконструированных под заданную цель методологических, дидактических, психологических, интеллектуальных, информационных и практических действий, операций, приемов участников образовательного процесса и гарантирующей достижение поставленных образовательных целей. Приведем основные принципы личностно ориентированного обучения математике. 1.Принцип гармонизации отношений. Задача учителя – гармонизация своих отношений с ребенком и обучение его способам гармонизации отношений с миром природы, общества и собственным миром. Здесь важно все: уметь выслушать ребенка, не высказывать категоричное мнение, не давить на ребенка. 2.Принцип согласованности целей. С одной стороны, общеизвестно, что образование каждого происходит на основе его личных учебных целей. Именно наличие личных целей обеспечивает продуктивную образовательную деятельность и самореализацию обучающегося. С другой стороны, у каждого учителя есть свое видение и общих целей обучения предмету, и частных конкретных целей каждого урока. Учитель должен научиться согласовывать свои цели обучения с целями обучения ученика, помогая ученику осознать, 79 сформулировать и достичь поставленных целей. 3.Принцип координации собственного жизненного опыта ученика с социальным опытом предшествующих поколений. Учитель является носителем социокультурного опыта поколений и в зависимости от уровня развития, профессионализма и прочего имеет свою картину мира, свое знание предмета или материала, с которым он приходит на урок, свое отношение к нему. 4. Принцип продуктивности обучения. Главным ориентиром обучения является личное образовательное приращение представлений ученика, которое складывается из его внутренних и внешних образовательных результатов учебной деятельности. В процессе получения внешних результатов учения (например, выполнения самостоятельной работы, теста, построения схемы, выполнения рисунка, составления плана или алгоритма деятельности), которые отражают уровень знаний учеников, происходит развитие личностных качеств ребенка (мышления, памяти, воображения, способностей, воли и др.) – внутренних результатов. Внешние результаты планируются на каждый урок в виде познавательных целей, внутренние – в виде творческих, коммуникативных, оргдеятельностных и других целей. К познавательной продукции урока относятся сформированные представления и знания о математике, к творческой – умения создавать собственный продукт деятельности (составлять задачи и выражения, формулировать определения, делать маленькие математические "открытия"), к оргдеятельностным – умения ставить цели деятельности, составлять план, подводить итог, оценивать результат, к коммуникативным – умения общаться, в том числе и на математическом языке, к развивающим – развитие мышления, внимания, воображения, воли и других психических качеств личности. 5.Принцип образовательной рефлексии. Образовательный процесс сопровождается осознанием учениками и учителем способов деятельности и образовательных приращений. В конце каждого урока подводится итог, где обсуждается, что нового на уроке узнали, чему научились, что было самым трудным, что было самым интересным, кто каких успехов достиг, что еще не получается, что нужно повторить и др. 6.Принцип целеполагания и мотивации. Важное значение на уроке в реализации данного принципа приобретают организация и управление деятельностью учащихся по целеполаганию, мотивации и определению темы занятия, которое реализуется на практике различными путями: 80 -на одних уроках ученики совместно с учителем формулируют проблемный вопрос; -на других - учащиеся выходят на постановку целей, анализируя домашнее задание; -на третьих - учителем на доске записываются только ключевые и вопросительные слова типа: а) Что? Как? Зачем? Почему? От чего зависит? Как влияет? Что общего? б) Определить, вывести, выявить закономерность, доказать и т. д., а учащиеся на основе данного клише составляют целостную картину целей на занятие. 7. Принцип открытости, понимаемый как возможность дополнять, видоизменять информацию, формы организации учебнопознавательной деятельности, реализуется на основе обработки результатов диагностики с мониторинговым подходом. Контрольная диагностика позволяет учителю объективно определять количество учеников, работающих на разных уровнях, корректировать педагогические воздействия. На занятиях главный акцент делается на самостоятельную работу с индивидуальным темпом в сочетании с приемами взаимообучения и взаимопроверки. 8.Принцип вариативности реализуется путем использования на уроках нескольких альтернативных учебников, справочников, таблиц, что позволяет рассмотреть многие вопросы с различных позиций и выработать свой подход к их решению. 9. Принцип направленности обучения на развитие личности ученика осуществляется через создание условий для каждого школьника по формированию индивидуального стиля деятельности, а именно через самостоятельную и контрольную работы с разноуровневыми заданиями; выбор ролей в деятельности групп; возможность выбора уровня домашнего задания. 10.Принцип успешности обучения означает собственный успех каждого школьника, использование стимулирующего поощрения его активной деятельности при работе оценочной системы (поощрение с помощью накопления баллов, жетонов). Это позволяет увеличить интенсивность урока за счет повышения активности учащихся и возможности оценить каждого, создает высокий эмоциональный подъем и настрой на весь урок, условие для повышения интереса к предмету, увеличения количества учеников, вовлекаемых в активную учебно-познавательную деятельность. 11.Принцип индивидуализации обучения опирается на составление индивидуальных программ по усвоению учебного материала для каждого ученика на основе результатов мониторинга по определению зоны ближайшего развития. 81 На основе данных принципов разработаны правила личностноориентированного образования: 1.Подвергать ревизии традиционные методы, формы, средства воспитания, так как они разрабатывались для других целей и в других социально-экономических условиях. 2.Исключить методы наказания, унижающие личность. 3.Формы организации воспитательного процесса не должны наносить ущерба здоровью детей. 4.Поощрять стремление честно относиться к своим обязанностям. 5.Принципиально, но доброжелательно обсуждать плохие поступки. 6.Помогать обнаруживать ошибки. 7.Поддерживать эмоциональное благополучие ребёнка. 8.Формировать положительную самооценку ребёнка. 9.Постоянно наращивать требования, закреплять достигнутые результаты. 10.Искать возможность вызвать активную деятельность личности в нужном направлении, а не пассивно ждать появления негативного поступка. 11.Безусловно понимать, принимать, любить ребёнка доброй, но требовательной любовью. 12.Жиь интересами, переживаниями детей. 13.Хорошо понимать с6ебя, свои сильные и слабые стороны. 14.Искренне радоваться каждому успеху ребёнка. 15.Предоставлять ребёнку возможность для самоутверждения. 16.Учитывать состояние и настроение ребёнка. 17.Крепко удерживать воспитательный процесс под контролем в рамках выбранной стратегии. 18.Направшлять и развивать гуманистические тенденции в семье ребёнка. Ни в коем случае не настраивать его против родителей. 19.Осуждать поступок, но уважать личность. Вопросы для самопроверки 1. Каково назначение личностно-ориентированной технологии обучения? Охарактеризуйте данную технологию. 82 2. Охарактеризуйте главные цели личностно-ориентированной технологии. 3. Какие принципы личностно-ориентированной технологии вам известны? 4. Каковы способы определения понятий? Приведите примеры: а) через ближайший род и видовое отличие; б) генетический; в) индуктивный; г) абстрактный. 5. Охарактеризуйте правила личностно-ориентированной технологии. Объясните смысл правил со своей точки зрения. 6. Спланируйте учебное занятие по математике на основе изученной технологии. 83 Тема 3. Понятие индивидуализации обучения 1. Индивидуализация обучения предполагает собой дифференциацию учебного материала, разработку систем заданий различного уровня трудности и объёма, разработку системы мероприятий по организации процесса обучения в конкретных учебных группах; учитывающей индивидуальные особенности каждого учащегося, а, следовательно, понятия «внутренняя дифференциация» и «индивидуализация» по существу тождественны 2. Использование дифференциации в процессе обучения создаёт возможности для развития творческой целенаправленной личности, осознающей конечную цель и задачи обучения; для повышения активности и усиления мотивации учения; формируют прогрессивные педагогические мышления. 3. Одной из важнейших основ индивидуализации и дифференциации в обучении является учёт психологических особенностей учащихся. 4. Основной целью индивидуализации и дифференциации является сохранение и дальнейшее развитие индивидуальности ребёнка, воспитание такого человека, который представлял бы собой неповторимую, уникальную личность 5. Реализуя индивидуализированный и дифференцированный подход в обучении, учитель должен опираться на типологию, отвечающую следующим требованиям: – быть единой для всех групп учащихся; – показывать динамику перехода ученика из одной группы в другую, т.е. учитель должен иметь возможность видеть рост ученика и учитывать его; – наглядно представлять возможности коллективной работы с различными группами учащихся; – представлять возможность выбрать систему работы с каждой из групп учащихся. Подводя итог, сказанному, можно сделать следующие выводы: 1) обучение применительно к каждому отдельному ученику может быть развивающим лишь в том случае, если оно будет соответствовать уровню развития каждого ученика (это возможно при внутренней дифференциации учебной работы); 2) объективное выявление исходного уровня развития у каждого ученика – необходимое условие работы; 3) развитие умственных способностей предполагает 84 специальные средства, развивающие знания, которые по содержанию должны быть оптимальной трудности и которые должны формировать рациональное умения умственного труда. Общепедагогические и психологические аспекты индивидуализации обучения освещены в трудах педагогов и психологов Л.С. Выготского, П.Л. Блонского, П.В. Каптерева, Н.К. Крупской, А.С. Макаренко, В.А. Сухомлинского и других. В методике обучения математике определенные стороны индивидуализации обучения рассмотрены в работах Н.Ф. Вапняр, В.М. Монахова, Г.В. Дорофеева, Г.И. Саранцева, С.Е. Царевой, М.И. Моро, Н.Ф. Вапняр рассматривают вопросы индивидуальной помощи учащимся при выполнении ими самостоятельных работ. Эта помощь, по замыслу Н.Ф. Вапняр, осуществляется путем нарастания подсказок. Ученик в этом случае сам должен был решать, необходима ли ему та или иная подсказка или нет. В.М. Монахов занимается вопросами технологизации процесса обучения математике в средних и старших классах, предусматривает задания освоения учебного материала на трех уровнях, низший из которых соответствует требованиям государственного стандарта. Разбивка учебных заданий по уровням осуществляется учителем, а выбор заданий - учащимися. Г.В. Дорофеев исследует общие проблемы образования, цели обучения, проблемы гуманизации. В этом аспекте косвенно затрагивает и вопросы индивидуализации учебного процесса. Г.И. Саранцев, занимаясь проблемой гуманизации, разработал требования к системе упражнений в математике и условия соответствия упражнений индивидуальным особенностям школьников. В подходе С.Е. Царевой к проблеме гуманизации процесса обучения математике одним из аспектов ее решения является индивидуализация обучения, в которой большое внимание отводится рассмотрению индивидуальных смыслов изучаемых понятий. В работах А.Ж. Жафярова вопросы индивидуализации обучения рассматриваются в двух аспектах. Он предложил осуществлять индивидуализированное обучение через профильное обучение учащихся и дистантное обучение студентов. Индивидуализация зачастую осуществляется посредством предъявления учащимся разных групп разных вариантов заданий. В таких случаях индивидуализация сводится к дифференциации учащихся на типологические группы. При дифференциации, осуществляемой учителем, учащимся отводится роль исполнителей, поэтому у них формируются, прежде всего, исполнительские качества, 85 тогда как современное общество нуждается в творчески мыслящих людях. Индивидуализация в соответствии с сегодняшними целями образования осуществляется тогда, когда ученик имеет право и возможность выбора и личного определения смысла изучаемого (С.Е. Царева). Индивидуализированное математике обучение школьников Индивидуализация и индивидуализированное обучение могут осуществляться в двух формах: а) при активном участии самих учащихся в определении и осуществлении своей индивидуальной траектории обучения; б) без такого участия. Индивидуализация во второй форме разрабатывалась и осуществлялась в Российской системе обучения вплоть до 90-х годов. И лишь в настоящее время стало востребованным индивидуализированное обучение при активном участии детей, в том числе и индивидуализированное обучение математике. Индивидуализация обучения зависит от учебнометодического обеспечения. В среднем звене сделано больше попыток разработки таких учебников, в частности математике. Индивидуализированное обучение по своей сути должно быть ориентировано на ребенка, на учет его склонностей, интересов, особенностей в учебном процессе. Мы в качестве рабочего приняли следующее уточненное определение индивидуализированного обучения. Индивидуализированное обучение – это обучение, направленное на проявление и сохранение индивидуальных способностей учащихся, содержание которого допускает и учитывает наряду с нормативным знанием индивидуальное видение и понимание каждым ребенком предмета обучения математике, а методы, средства и формы обучения позволяют учащимся активно участвовать в проектировании содержания и организации обучения и обеспечивают им возможность выбора уровня овладения учебным материалом. Из всего сказанного можно констатировать, что 1) современное общество нуждается в самостоятельных, творчески мыслящих людях, умеющих делать собственный выбор и нести ответственность за собственные действия и поступки, именно в период младшего школьного возраста происходит начальное образование перечисленных качеств личности, развитие которых в 86 процессе индивидуализированного обучения поможет подготовке кадров, способных изменить состояние дел в образовании; 2) в истории образования проблема индивидуализации определена давно и ее решение в каждый период осуществлялось посредством теоретических разработок и их реализации в тех организационных формах обучения и теми средствами, которые задавались целями обучения в соответствующий период, индивидуализированное обучение, соответствующее сегодняшним целям, только разворачивается;3) в практике современного обучения математике младших школьников основной упор в учебном процессе делается на выработку процессуальных умений школьников (умений выполнять мыслительные операции, умений вычислять, решать стандартные задачи и др.), при этом, как показывает практика, недостаточное внимание уделяется смысловой стороне изучаемых понятий, нахождению личных смыслов в изучаемом, что является необходимым признаком индивидуализированного обучения; 4) индивидуализация обучения математике в начальной школе в прежние периоды осуществлялась чаще всего через учительские задания разного содержания и уровня сложности, в выборе которых, равно как и в способах, их выполнения, учащиеся участия не принимали; 5) учебно-методическое обеспечение обучения математике в настоящее время недостаточно адаптировано реализации индивидуализированного обучения. В результате всего сказанного можно констатировать, что существует противоречие с одной стороны, между востребованностью индивидуализированного обучения математике, его возможностями и реальным состоянием разработки и внедрения индивидуализированного обучения. В самом общем смысле понятие индивидуализированного обучения обычно понимается как организация учебного процесса с учетом индивидуальных особенностей, который заключается в организации учебного процесса с разными учениками по-разному, реализуя при этом различные цели. Так для советской школы характерно было то, что учет индивидуальных особенностей присутствовал с целью обеспечения «одинаковости всех учащихся». При изучении, например, курса математики все учащиеся должны были иметь не только одинаковые знания, но и одинаково мыслить, одинаково понимать, одинаково поступать. Поэтому с помощью такой индивидуализации обучение не только не способствовало развитию индивидуальных особенностей, а наоборот, способствовало 87 сглаживанию индивидуальных различий. С современных позиций такое обучение нельзя считать в полной мере индивидуализированным. Сегодня признается, что индивидуальность, индивидуальное развитие являются теми ценностями, которые должны быть сохранены и развиты в процессе обучения. Начальное математическое образование призвано помочь школьникам увидеть индивидуальные смыслы математических понятий, понять себя, научиться жить в этом мире. Следовательно, индивидуализированным обучением математике можно назвать лишь такое обучение, которое учитывает индивидуальные особенности для сохранения индивидуального своеобразия личности [8, с.31]. В разные периоды индивидуализированное обучение отличалось целями, для достижения которых учитывались индивидуальные особенности. Основное отличие сегодняшней школы заключается в том, что сегодня целью обучения становится сохранение индивидуальности; сохранив это, школа выполнит свои задачи, В связи с этим в качестве рабочего мы приняли следующее уточненное определение индивидуализированного обучения. Индивидуализированное обучение – это обучение, направленное на проявление и сохранение индивидуальных способностей учащихся, содержание которого допускает и учитывает наряду с нормативным знанием индивидуальное видение и понимание каждым ребенком предмета обучения математике. А методы, средства и формы обучения позволяют учащимся активно участвовать в проектировании содержания и организации обучения и обеспечивают им возможность выбора уровня овладения учебным материалом. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. Охарактеризуйте индивидуализацию и дифференциацию обучения на современном этапе. Что представляет собой дифференцированное обучение математике? Каковы цели дифференциации обучения математике? из каких компонентов состоит содержание образования математике, какова сущность 88 4. 5. каждого из них? Охарактеризуйте особенности обучения в классах, имеющих профиль: а) естественно-математический; б) гуманитарный; в) физико-математический; г) экономический. Какие виды инновационных образовательных учреждений предусматривает дифференцированное обучение математике? 89 Тема 4. Технология модульного обучения Модуль – это логически выделенная в учебной информации часть, имеющая целостность и законченность какой-либо логике и сопровождаемая контролем усвоения. Каждый модуль представляет собой совокупность взаимосвязанных заданий, которые целесообразно проводить последовательно. Тот или иной модуль может быть изъят и использован отдельно в зависимости от уровня подготовленности и запроса обучающихся. Основой для формирования модулей служит рабочая программа дисциплины. Модуль часто совпадает с темой дисциплины или блоком взаимосвязанных тем. Однако, в отличие от темы, в модуле все измеряется, все оценивается: задание, работа, посещение студентами занятий, стартовый, промежуточный и итоговый уровень знаний студентов. В модуле четко определены цели обучения, задачи и уровни изучения данного модуля, названы навыки и умения, которыми должен овладеть обучаемый. В модульном обучении все заранее запрограммировано: последовательность изучения учебного материала, перечень основных понятий, навыков и умений, которыми необходимо овладеть, уровень усвоения и контроль качества усвоения. Число модулей зависит как от особенностей самого предмета, так и от желаемой частоты контроля обучения. Модуль позволяет обучаемому, включенному в общую деятельность, последовательно, по частям производить осознанное взаимодействие в зоне общих целей. Благодаря модулю ученик дозирует содержание, понимает, какая информация обсуждается, и с какой целью, осознает, что он “принимает” и зачет ему это нужно. Цели взаимодействующих субъектов могут центрироваться на двух моментах: либо на структуре темы (элементы, нормы связей, функции, свойства), либо на методе изучения (способы, алгоритмы, по которым работает система). Модуль служит инвариантным средством деятельностной организации содержания и осуществления информационного обмена. Он в высокой степени гарантирует удовлетворение потребности, имеющихся в данный момент у человека, определяет вектор нового, возникающего интереса. Но главное предназначение модуля – развивать мышление, сознание человека. 90 Целевые ориентации технологии: - освобождение учителя от чисто информационной функции в пользу консультационно-коордилирующей; - создание условий для совместного выбора педагогом и учащимися оптимального пути обучения; - формирование умений самостоятельного учения, самообразования; - развитие рефлексивных способностей учащихся; - создание для обучающихся адаптивного развивающего образовательного пространства; - формирование критического мышления. Концептуальные положения: Алгоритмизация учебной деятельности. Принцип модульности – структуризация содержания образования на обособленные законченные части. Согласованность и завершенность всех этапов познания. Укрупнение блоков теоретического материала. Принцип дифференциации и индивидуализации. Деятельностный подход: реализация всей структуры деятельности (целеполагание, планирование, организация, рабочий процесс, контроль и оценивание результата). Самоорганизация и саморазвитие учащихся. Принцип сотрудничества учащихся и преподавателя. Дедуктивная логика подачи учебного материала в модуле: переход от всеобщего к общему и единичному. Опережающее изучение теоретического материала. Сжатие учебной информации (обобщение, укрупнение, систематизация). Подача информации одновременно на четырех кодах: рисуночном, числовом, символическом и словесном. Выбор индивидуального темпа продвижения по программе и саморегуляция своих учебных достижений. Принцип осознанной перспективы (мотивация). Особенности содержания и структуры. Блочные структуры. Блок учебного материала – это часть учебного материала, 91 выделенная по какому-либо признаку. Блочное обучение осуществляется на основе реконструирования учебного материала в блоки, обеспечивающие студентам возможность сознательно выполнять разнообразные интеллектуальные функции и использовать приобретаемые знания и умения при решении учебных задач. Выделяются следующие последовательные блоки такой обучающей программы: - информационный блок; - тестово-информационный блок (проверка усвоения информации); - коррекционно-информационный блок; - блок применения – решение задач, выполнение знаний на основе полученных знаний; - блок проверки и коррекции. Модульные структуры. Модульное обучение (как развитие блочного) – такая организация процесса обучения, при которой учащийся работает с учебной программой, составленной из модулей. Понятие базисного содержания дисциплины неразрывно связано с понятием учебного модуля, в котором базисные содержательные блоки логически связаны в систему. Обучающим модулем называют относительно автономную часть содержания учебного курса вместе с методическими материалами к нему. Модуль содержит познавательную и учебнопрофессиональную части и состоит из следующих компонентов: - точно сформулированная цель (целевая программа). - банк информации: собственно учебный материал в виде обучающих программ, тестов; - методическое руководство по изучению материала (достижению целей); - практические занятия по формированию необходимых умений; - комплекс оборудования, материалов; - диагностическое задание, которое строго соответствует целям, поставленным в данном модуле. Одним из главных элементов блочного и модульного обучения является система контроля и оценивания достижений учащихся. Это могут быть а) традиционные формы оценки; б) зачетная система; 92 в) рейтинговая система; Контроль по модулю может быть: содержательным, деятельностным либо содержательно-деятельностным. Итоги контроля по модулю характеризуют в разной мере и успешность учебной деятельности учащегося, и эффективность педагогической технологии, выбранной преподавателем. Несомненные преимущества рейтинговой формы контроля заключаются в следующем: - осуществляется предварительный, текущий и итоговый контроль; - текущий контроль является средством обучения и обратной связи; - развернутая процедура оценки результатов отдельных звеньев контроля обеспечивает его надежность; - контроль удовлетворяет требованиям содержательной и конструктивной валидности (соответствие форм и целей); - развернутый текущий контроль реализует мотивационную и воспитательную функции; - развернутая процедура контроля дает возможность развивать у студентов навыки самоконтроля и самооценки. Рейтинговая форма контроля проста в применении. С самого начала изучения дисциплины каждый студент получает памятку, ориентирующую его в работе по рейтингу. В этой памятке содержится перечень выполняемых заданий и шкала баллов по трем уровням исполнения. Учитываются также поощрительные и штрафные (за нарушение сроков) баллы. В памятке сообщается об установленном диапазоне рейтинга, в пределах которого учащийся получает зачет или обеспечивает себе “ 3” , “ 4” , “ 5” за экзамен по дисциплине. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. Что такое модульное обучение? Что является основной названного обучения в современной школе? Рассмотрите целевые ориентации блочномодульной технологии. Назовите и охарактеризуйте концептуальные положения технологии. 93 5. 6. 7. Охарактеризуйте особенности содержания модульного материала (общие, групповые, индивидуальные). От чего зависят структуры модулей? Перечислите формы контроля и расскажите о каждом из них. 94 Тема 5. Применение компьютерных технологий Информатизация современного общества оказывает влияние на все сферы общественной жизни, в том числе и на образование. Происходящее в настоящее время изменение образовательной парадигмы, направленное на обеспечение развития и саморазвития личности учащегося влечет не только появление новых предметов изучения, но и изменение подходов к изучению традиционных дисциплин. Целью обучения в таком случае становится как передача и усвоение знаний, так и выработка умений и навыков исследования информации, обмена ею и использования для получения новых знаний и создания образа окружающего мира. Основным техническим средством передачи и переработки информации в настоящее время является компьютер, выступающий в качестве инструмента построения знания. Практически во всех странах компьютер используется не только как предмет изучения, но и как средство обучения. Как показывают современные исследования, из всех технических средств обучения он наилучшим образом соответствует структуре учебного процесса. Считается, что он наиболее полно удовлетворяет дидактическим требованиям и позволяет управлять процессом обучения, максимально адаптировать его к индивидуальным особенностям обучаемого. Компьютер является средством, распространение которого связано с перестройкой основных видов человеческой активности, изменением системы социальных условий, требований к умственным и психическим особенностям человека. Применение компьютера в обучении, по существу, представляет формирующий эксперимент, направленный на изучение и развитие новых качеств личности. Как отмечается в работах Л. Е. Белкина, воздействие компьютера на человека универсально и не зависит от успеха компьютеризации. Важным для современного периода компьютеризации образования является осознание того факта, что использование компьютерных технологий позволит сделать процесс обучения более эффективным, если их применять как инструмент познания, а не передачи знаний. Особый практический интерес представляет роль компьютерных технологий в обучении геометрии в связи с тем, что их использование способно не только повысить эффективность обучения за счет наглядного представления информации, оказывающего положительное влияние на формирование и развитие гибкого геометрического мышления (В. В. Гузеев, И. Ф. Шарыгин, С. Н. Поздняков, А. М. Савин и другие), но и создает представление о профессиональной 95 деятельности, связанной с проектированием, конструированием и другой обработкой визуальной информации. Практическая значимость данной работы состоит в возможности повышения эффективности уроков геометрии посредством использования программы «Живая геометрия», а также заключается в том, что применение компьютерных технологий в преподавании является важным аспектом современного образования, использование компьютерных технологий повышает интерес учащихся в изучении математики, это способствует развитию логического и пространственного мышления. Персональный компьютер – универсальное обучающее средство, которое может быть с успехом использовано на самых различных по содержанию и организации учебных и внеучебных занятиях. При этом он вписывается в рамки традиционного обучения с широким использованием всего арсенала средств обучения. ПК может способствовать активному включению учащегося в учебный процесс, поддерживать интерес, способствовать пониманию и запоминанию учебного материала. Задачи применения компьютера в обучении: 1. обеспечение обратной связи в процессе обучения; 2. обеспечение индивидуализации учебного процесса; 3. поиск информации из самых широких источников; 4. повышение наглядности учебного процесса; 5. моделирование изучаемых процессов или явлений; 6. организация коллективной и групповой работы. По целям и задачам обучающие компьютерные программы делятся на иллюстрирующие, консультирующие, программы – тренажеры, программы обучающего контроля, операционные среды. Одни из них предназначены для закрепления знания и умений, другие ориентированы на усвоение новых понятий. Есть обучающие программы, которые позволяют учащимся стать непосредственными участниками открытий, композиторами или художниками. Большими возможностями обладают программы, которые реализую проблемное обучение. Учителю в использовании компьютера отводится очень важная роль. Он подбирает игры к уроку, дидактический материал и индивидуальные задания, помогает ученикам в процессе работы за компьютером, оценивает их знания и развитие. Интегрирование обычного урока с компьютером позволяет ему переложить часть своей работы на компьютер, делая при этом процесс обучения более интересным и интенсивным. При этом компьютер не заменяет учителя, а только дополняет его. Подбор компьютерных заданий зависит, 96 прежде всего, от текущего учебного материала и уровня подготовки обучаемых. Здесь комплекс предоставляет полную свободу творчески работающему учителю и позволяет использовать его с различными учебными программами и методическими пособиями. Использование в образовании новых информационных технологий следует рассматривать не как самоцель, а как способ решения актуальных педагогических задач. Это требует ориентации электронных учебных материалов на современную образовательную парадигму, в соответствии с которой образовательный процесс должен максимально стимулировать духовное, нравственное и интеллектуальное развитие учащихся. В результате конструирования и применения банков учебнометодической информации должны создаваться условия для поэтапного перехода к качественно новому уровню образования на основе информационных технологий. В решении этой стратегической задачи существенную роль должны играть учебно-методические материалы нового поколения (учебники, сборники практических заданий, учебно-информационные комплексы и др.), которые входят в структуру БУМИ. В рамках модернизации образования, обновления его содержания, методов и форм организации учебного процесса на основе новых информационных технологий должны создаваться педагогические условия, способствующие снижению уровня проявления дидактогенных факторов. Вся деятельность в сфере информатизации образования должна быть ориентирована не только на оптимизацию и интенсификацию учебного труда, но и на внедрение здоровьесберегающих образовательных технологий, на нейтрализацию чисто технократического подхода в процессе информатизации обучения. Проектирование и использование электронных учебных материалов должно удовлетворять определённым санитарным нормам работы с компьютером, регламентирующим время его использования различными возрастными группами учащихся. В связи с этим создаваемые учебные материалы нового поколения должны иметь как традиционную печатную основу, так и программную компоненту, удовлетворяющую определённым нормам школьной гигиены. 97 Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Что такое компьютерная технология обучения? Что является основным средством обучения в данной технологии? Что такое ПК? Рассмотрите задачи применения компьютера в обучении с различных позиций. Каким должен быть современный урок математики? Составьте презентации к внеклассным занятиям по математике. Изучите возможности применения компьютерных программ по математике, имеющихся в колледже. Изучите возможности применения интерактивной доски на уроке математики. 98 Тема 6. Прикладная и практическая направленность обучения математике Усиление практической направленности преподавания математики — одна из основных задач, поставленных перед системой образования реформой общеобразовательной и профессиональной школы. Превращение науки в непосредственную производительную силу ведет к тому, что знания по предметам естественноматематического цикла становятся не только базой для овладения специальными знаниями: они выступают в качестве квалифицированного требования к рабочим многих современных профессий. В современной школе несколько нарушилась пропорция между теорией и практикой: учащиеся недостаточно владеют навыками работы с литературой, не умеют использовать полученные знания в нестандартных новых ситуациях, не могут привести примеры математических моделей и т.д. Все это свидетельствует об ослабленной практической направленности обучения математике, выполняющей две взаимосвязанные функции: мировоззренческую и социально-педагогическую. Мировоззренческая функция реализуется в процессе изучения элементов истории возникновения математических понятий, при установлении связей математики с другими дисциплинами, в процессе составления алгоритмов и т.д. Социально-педагогическая функция реализуется через решение задач профессиональной ориентации средствами математики, при осуществлении экономического воспитания, при решении задач оптимизации технологических процессов в современном производстве и т.д. Эти две функции очень тесно связаны между собой. В школьном курсе математики особую ценность составляют задания, показывающие применение теоретических положений и выводов для практической жизни. Формирование способности и умений учащихся применять теоретические математические знания в конкретных ситуациях осуществляется в процессе целесообразного педагогического воздействия на протяжении длительного периода времени. Высокий уровень математической подготовки достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое раскрытие связей математики с окружающим миром, в конкретных производственных процессах. 99 Прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в будущей профессиональной деятельности, широкое использование в процессе обучения современной компьютерной техники. Одним из путей осуществления прикладной направленности обучения математике являются задачи с практическим содержанием (прикладные задачи), раскрывающие приложение математики в окружающей нас действительности (вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; построение графиков, диаграмм и т.д.). Задачи с практическим содержанием используются в процессе обучения для раскрытия многообразия применений математики в жизни. Проблема математического образования в школе сводится не только к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков по предмету математики. Не менее важной задачей является реализация возможностей предмета математики в развитии личности учащихся. Важно подбирать материал, содержание которого способствует воспитанию нравственности, чувства долга, ответственности, — через раскрытие роли ученых в развитии математической науки, ознакомление с их мировоззрением и общественной деятельностью, через использование текста условия задачи и подтекстуального содержания математических задач. Этимология математических терминов и объяснение их происхождения способствуют хорошему запоминанию, правильному произношению и усвоению этих терминов. Включение в объяснение нового материала отдельных элементов из истории развития математики активизирует учащихся на организацию и проведение различных форм внеклассной работы: историко-математические кружки, математические вечера, защита математических проектов и др. Математика обладает особыми возможностями для воспитания нравственных принципов. В процессе изучения математики у гуманитариев вырабатывается привычка к тому, что любая ошибка в вычислениях или неточность в рассуждениях не останется незамеченной. Математика формирует целенаправленность, системность, последовательность. Каждый ученик должен достаточно точно и объективно оценить объем своих знаний и степень вложения в работу усилий, т.е. дать самооценку, очень важную для формирования личности школьника. 100 РАЗВИТИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ Первая математическая дисциплина, изучаемая в школе, — арифметика имеет огромное теоретическое и практическое значение, так как объект ее изучения—число— охватывает широкий круг предметов и явлений. Задача учителя заключается, в первую очередь, в том, чтобы научить детей основам арифметики, ее теории и практики. Учитель приближает преподавание арифметики к разрешению жизненно важных вопросов и воспитывает у учащихся умения и навыки, которые должны найти непосредственное применение в различных видах практической деятельности. При выполнении операций над целыми и дробными числами проводятся: прикидка вычислений, проверка вычислений, вычисления на счетах, вычисления с помощью таблиц, процентные вычисления и т.д. При работе с приближенными вычислениями детям напоминается о том, что числа, с которыми мы встречаемся в газетах, справочниках, задачниках, на упаковочных материалах, почти все являются приближенными. Используется округление, деление с остатком, нахождение среднего арифметического, приближенного частного, абсолютной и относительной погрешности. В процессе изучения математики учащиеся должны знать единицы измерения величин, соотношения между ними и уметь выполнять действия над ними. Для овладения системой мер следует предлагать учащимся различные упражнения, например: найти вес различных жидкостей (керосин, масло, ртуть и т.д.) по данным объемам и удельным весам. Полезно ознакомить учащихся с действительными размерами известных им предметов, со средними скоростями пешехода, велосипедиста, автомобиля, поезда и т.д. Вычислительные и измерительные задания формируют у учащихся навыки, необходимые в их будущей трудовой деятельности. Такая работа осуществляется на практических занятиях по математике, на вычислительных практикумах, лабораторных работах по измерению геометрических величин, в процессе проведения приближенных вычислений, в ходе измерительной работы на местности и др. В учебном материале по математике описываются различные измерительные инструменты: астролябия, малка, рейсшина, штанген инструмент, микрометр и т.д. Это дает возможность активизировать 101 работу учащихся по формированию вычислительных навыков измерений и работы с единицами измерения. навыков, ПРАКТИЧЕСКАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ ГЕОМЕТРИИ Любой учебный материал по геометрии имеет практическую направленность. Теоремы о равенстве треугольников Признак равенства треугольников по трем сторонам является теоретической основой «жесткости» треугольника, что широко используется в технике при конструкции мостов, подъемных кранов и т.д. Параллеллые прямые Учителю целесообразно показать школьникам методы построения таких прямых при помощи чертежного треугольника, рейсшины, рейсмуса, а также построения на местности параллельных прямых с помощью эккера — проведением перпендикуляров к одной и той же прямой. Свойства параллелограмма Из всех плоских геометрических фигур самой распространенной является прямоугольник, так как он имеет две оси симметрии. Наиболее удобная форма сельскохозяйственных полей для обработки сельскохозяйственными орудиями есть форма прямоугольника. Свойства пирамиды При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, получается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния от ее вершины. Это обстоятельство служит теоретическим объяснением зависимости между силой освещения и расстоянием от источника света, находящегося в вершине пирамиды. При удалении площадки (основания) на расстояние, вдвое большее от вершины, площадь увеличится вчетверо, а количество световой энергии, приходящейся на единицу площади, станет вчетверо меньше. Таким образом, сила освещения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света. Пользуясь этим законом, современная астрономия определила расстояние до самых отдаленных объектов Вселенной, расстояния, которые луч света проходит за многие сотни тысячелетий. Поверхности и объемы тел При их вычислении следует обращать внимание учащихся на 102 тот факт, что при изменении линейных размеров тела поверхность его изменяется пропорционально квадрату, а объем — кубу этих размеров. Занятия по геометрии должны сопровождаться практическими работами с привлечением всех учащихся. Это могут быть все виды моделирования, различные землемерные работы, измерение поверхностей и объемов предметов техники, домашнего обихода, хозяйственных построек и т.д. МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ Проникновение математических знаний и методов в различные учебные предметы создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения учащихся. Учет внутрипредметных и межпредметных связей школьного курса математики при обучении способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них диалектикоматериалистического мировоззрения, навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности. Связь — взаимообусловленное существование явлений, разделенных в пространстве и во времени. Внутрипредметные связи — это взаимозависимость и взаимообусловленность математических понятий, которые разделены лишь временем их изучения. Внутрипредметные связи представляют собой объединение преемственных, рекурсивных связей и взаимосвязей между главными линиями и идеями развития науки математики. Межпредметные связи способствуют пониманию школьниками целостной картины мира, диалектических взаимосвязей явлений природы. Межпредметные связи с точки зрения комплексного подхода обеспечивают единый подход учителей разных школьных дисциплин к формированию основ научного мировоззрения школьников. Наличие межпредметных связей позволяет создать у учащихся ин-тегративные представления о системе математический понятий и универсальных законах развития, об общих теориях и комплексных глобальных проблемах человечества. Благодаря межпредметным связям наука для учащихся представляется не только как система знаний, но и как система методов. Рассматривая такие функциональные зависимости, как линейная, квадратичная функции и др., учитель должен вкладывать в 103 эти понятия элементы окружающей нас реальной действительности, законов природы, наблюдаемых вокруг нас закономерностей. Через практическую направленность математики учащиеся значительно глубже и сознательнее будут усваивать изучаемый материал. Смежные учебные предметы изучают некоторые смежные одноименные понятия, например «вектор», «график», «функция», «симметрия» и т.д. В преподавании математики должны обеспечиваться согласованность в формировании понятий, расширение их объема и углубление содержания. Физика — предмет, где наиболее полно раскрываются разнообразные приложения математики. В то же время физика является «поставщиком» математики, снабжая ее неограниченным практическим учебным материалом. Физика школьного обучения включает в себя два основных метода исследования — экспериментальный и теоретический. Первый широко используется для получения новых знаний, а также для проверки правильности теоретических положений. Причем в процессе обработки результатов широкое применение находят математические методы. Используется и математический язык, который нашел свое выражение в физических формулах и законах. Теоретический метод в физике тоже базируется на математике, как метод исследования и метод получения новых знаний. Физическая наука переводима лишь на математический язык. В основе изучения таких разделов физики, как механика, геометрическая оптика, теория электростатического и электромагнитного поля, лежит геометрия. Геометрия тесно связана с химией. Большое значение имеет стереохимия, в которой устанавливается связь между свойствами органических соединений и пространственным расположением атомов, образующих молекулу данного вещества. Глубокая прочная связь существует между геометрией и черчением, так как геометрия систематически пользуется чертежами для иллюстрации своих предложений и при решении различных задач. Черчение же, в свою очередь, пользуется законами геометрии для обоснования всевозможных построений. Наряду со школьными дисциплинами целесообразно показать связь математических дисциплин с другими науками и областями знаний человеческой деятельности. Существенную часть минералогии составляет кристаллография, которая изучает геометрические свойства кристаллов (многогранников). Тесна связь геометрии и с геодезией, задачей которой является 104 измерение поверхности Земли. Сама геометрия изначально рассматривалась как землемерие, откуда и получила свое название. Всякого рода землемерные работы опираются на законы геометрии. В современное время большое значение имеет геометрия недр — практическая наука об определении пространственных соотношений в условиях работы под землей (шахты, туннели, метро и др.). Не меньшую роль играет геометрия в строительном деле, при сооружении зданий, мостов, каналов, при прокладке дорог, постройке всевозможных гидротехнических сооружений. Геометрия связана также со станкостроением, архитектурой, производственными процессами и т.д. Вопрос о путях установления межпредметных связей является одним из важнейших в проблеме совершенствования методов обучения. Наличие глубоких межпредметных связей в школьном курсе математики активизирует педагогов разных школьных дисциплин к сотрудничеству, к поиску совместных творческих проектов и взаимосвязанных проблем межпредметного содержания. Конкретизация использования межпредметных связей в учебном процессе осуществляется с помощью поурочного планирования. Вопросы для самопроверки 1. В чем заключается воспитательное значение практической направленности математики? 2. Охарактеризуйте функции (мировоззренческую и социально-педагогическую) практической направленности математики. 3. В чем проявляются внутрипредметные, межпредметные связи математики? 4. Проанализируйте учебный материал курсов физики, химии, географии, черчения, биологии с целью выявления используемого ими математического аппарата. 5. Разработайте методику решения прикладной задачи: 1. Составление математической модели. 2. Решение модели. 3. Интерпретация, расшифровка решения. 6. Составьте задачи с практическим содержанием, раскройте методику их решения. 105 7. Рассмотрите задачи с экономическим содержанием, разработайте методику их решения. 8. Используя статистические данные, составьте задачи, использующие экономические категории: производительность труда, прибыль, себестоимость, затраты, эффективность производства и т д. 9. Охарактеризуйте пути формирования межпредметных связей при обучении математике. 106