Методика обучения построению графика квадратичной функции.

Методика обучения построению графика квадратичной функции. В учебнике 9 класса предложена следующая последовательность построения графика квадратичной функции. ; Можно выбрать два подхода к изучению данной последовательности построения графика квадратичной функции. Первый подход заключается в том, что постепенно рассматриваются графики данных частных видов квадратичной функции, а затем ставится вопрос о том, почему рассматривались именно эти виды. При таком подходе может возникнуть риск того, что учащиеся, выполняя достаточно кропотливую работу по построению графиков частных видов квадратичных функций, не увидят общей цели – получить метод (алгоритм) построения графика квадратичной функции . Это может привести к тому, что новый метод построения графика не станет для них когнитивной схемой соответствующей деятельности. Второй подход предполагает, что учащиеся сами придут к учебной задаче: «Получить метод построения графика квадратичной функции» и составить план её решения. Опишем особенности работы при таком подходе. У учащихся уже имеется опыт построения графика функции по точкам на основе определения понятия «график функции». Выбранные точки помогали увидеть свойства графика функции и определить его вид. Такая работа давала возможность получить способ построения графика линейной функции и обосновать его. Позже, обратив внимание на взаимное расположение графиков функций , учащиеся пришли к выводу, что график функции можно получить из графика функции путем параллельного переноса на единиц вдоль оси ОУ. Как построить график квадратичной функции, например, ? Поможет ли предыдущий опыт? Отвечая на это вопрос, учащиеся, по всей вероятности, начнут составление таблицы значений функции и нанесут соответствующие точки на координатную плоскость. Затем они попытаются соединить построенные точки плавной линией. Если учитель будет терпелив и даст учащимся достаточно самостоятельности при выполнении данного задания, то окажется, что графики у учащихся получились различными, и появляется необходимость доказать, что полученная линия является графиком именно данной функции. В итоге обнаруживается, что таблица значений не дает возможность установить вид данной функции. И неясно, сколько и каких точек нужно взять, чтобы представить график данной функции. Вернее всего, нужно искать другой путь построения графика этой функции. Предлагается обратиться к иным способам построениям графика квадратичной функции. Учащиеся уже знают, что любую квадратичную функцию можно представить в виде , где Напомним доказательство этого факта. Теорема. Любую квадратичную функцию можно представить в виде , где С этой точки зрения посмотрим на функцию . Её можно представить в виде Это позволит учащимся раскрыть некоторые свойства графика этой функции и построить его. Однако остается нерешенной задача: «Каким же способом построить график любой квадратичной функции?». В итоге намечается путь знакомства с графиком данной функции, с её частными видами: и т.д. Построение графиков частных видов функций в учебнике описано достаточно подробно (См. Приложение 1). Остановимся на методическом назначении параграфов. Рассмотрим основные характеристики работы на каждом из этапов изучения графика квадратичной функции. График функции . Учащиеся знакомятся с графиком функции Сначала предлагается высказать предположение об особенностях графика на основе анализа аналитического задания этой функции. Такая работа развивает умения анализировать; обосновывать свои выводы; переводить информацию с аналитического языка её представления на графический. Затем учащиеся вместе с учителем должны тщательно поработать над построением графика. В этом же параграфе вводится понятия «ось симметрии параболы»; «вершина параболы»; «ветви параболы». Итогом работы является сравнение свойств графиков и (см. приложение 1, стр. 98-100). В параграфе дается ссылка на беседу «Эта многоликая парабола». Дадим краткую характеристику этой беседы. Тема «Квадратичная функция»- одна из тех учебных тем в курсе алгебры средней школы, когда в распоряжении учителя есть почти все инструменты и теоретические конструкции, позволяющие легко, без особой «натяжки», осуществить переход от наглядных представлений формируемого понятия к его аналитическому заданию, т.е. осуществить переход от образа к формуле. Такой подход и рассмотрение параболы как визуальной схемы (основного, главного образа квадратичной функции) интересен ещё и тем, что позволяет учителю выйти на вопросы и проекты по истории математики. Для этого в начале разговора с учащимися можно заметить, что исторически парабола возникла не аналитическим путем, т.е. первоначально она не описывалась никаким уравнением. Все ситуации, с которых начинается в учебнике беседа о параболе, можно показать с экрана компьютера. Подчеркнем, что первая лабораторная работа формирует представления о параболе как огибающей семейства прямых. Здесь парабола строится методом математического вышивания, поэтому рекомендуем учителю принести на урок готовую вышивку и, более того, предложить учащимся по желанию вышить дома параболу на листах плотной бумаги. Вторая лабораторная работа формирует представления о параболе как о множестве точек, обладающих заданным свойством, т.е. как точечном множестве. Это позволяет сразу сформулировать определение параболы. Третья и четвертая лабораторные работы позволяют учащимся понять, что предметно-практический опыт дает только представление о математическом объекте. Чтобы соединить в одном математическом объекте непрерывность следа карандаша и дискретность бусинок на нитке, требуется абстрагирование . Только тогда получим мысленный, идеальный образ- параболу. Заметим, что, если лабораторные работы 3 и 4 можно опустить из-за недостатка времени на уроке, то вывод уравнения параболы и разговор о получившемся задании функции формулой непременно следует рассмотреть с учащимися в классе. В этом заключается идея и итог данного подхода (см. приложение 1, стр. 120-128). Построение графика функции . Работа начинается с задания 1. Выполнение задания 1 может быть организовано в форме лабораторной работы. Задание 2 носит исследовательский характер и диагностический - с точки зрения сформированности умения работать с информацией. Поэтому работу над ним полезно организовать индивидуально или в парах с последующим обсуждением. Заполнив таблицу, учащиеся смогут сделать выводы о свойствах функции и ее графике. № Свойства Функция y = x2 y = ax2 a < 0 0 < a < 1 a > 1 1 Область определения функции – множество R всех действительных чисел + + + + 2 Функция чётная + + + + 3 y(0) = 0 + + + + 4 При всех значениях x, x ≠ 0,значения функции положительны + + + 5 При всех значениях x, x ≠ 0,значения функции отрицательны + 6 При x = 0 функция принимает наименьшее значение y = 0 + + + 7 При x = 0 функция принимает наибольшее значение y = 0 + 8 На промежутке (−∞; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +∞) – возрастает + + + 9 На промежутке (−∞; 0] функция возрастает, а на промежутке [0; +∞) – убывает + В качестве контрольных заданий могут быть следующие задания: Задание 4. Выберите из функций те, графики которых лежат в нижней полуплоскости. Постройте графики этих функций: Решение. Рассмотрим параболу l1. При х = 1, ах2 = 0,5. То есть а = 0,5, у = 0,5х2. График квадратичной функции . Изучение графика функции желательно провести в форме лабораторной работы. Учащимся предлагается в одной и той же системе координат построить графики функций , используя метод построения «по точкам», а затем сравнить их. Для анализа полученных графиков предлагаются вопросы, позволяющие выявить взаимное расположение графиков рассматриваемых функций. Вопросы построены так, чтобы учащиеся постепенно могли прийти к алгоритму построения графика функции Приведем содержание этой работы. В итоге формулируется первый алгоритм построения графика функции, отличный от построения «по точкам», - нужно совершить параллельный перенос параболы , указав координаты точки, в которую переходит вершина параболы при данном параллельном переносе, то есть указать координату вершины параболы . Учащимся предлагается для построения параболы воспользоваться шаблоном параболы Приведем пример разговора с учеником после выполнения задания. Однако данный алгоритм требует усовершенствования. Поэтому анализ выполненных учащимися предметных действий должен быть продолжен. С этой целью им предлагается провести дополнительные построения, ввести новую систему координат и посмотреть на полученный рисунок с другой точки зрения. Это позволит учащимся прийти к выводу, что переносы параболы и системы координат осуществлялись по одному закону (вдоль оси ОУ вверх на 3 единицы). Рассмотрим текст, который помогает учащимся придти к новому алгоритму построения параболы . Вернёмся к рис. 66 и посмотрим на него с другой точки зрения. Таким образом, алгоритм построения графика функции выглядит следующим образом. Построение графика функции у = ах2 + n. Построение графика функции y = 2x2 + 3. 1. Строим систему координат xOy. 2. Строим новую систему координат xOy: а) строим начало новой системы координат  точку O(0; n)  вершину параболы у = ах2 + n; б) проводим прямую Ox, параллельную оси Ox; выбираем на этой прямой направление и единичный отрезок, такие же, как на оси Ox; в) в качестве прямой Oyберем прямую Oy; выбираем на ней направление и единичный отрезок, такие же, как на оси Oy. 3. Строим параболу y = a(x)2 в новой системе координат xOy. Это и есть парабола у = ах2 + n в системе координат xOy. Построение графика квадратичной функции . Для получения алгоритма построения графика функции учащимся предлагается провести работу, аналогичную той, которая привела к алгоритму построения графика функции . Поэтому его изучение можно также организовать в форме лабораторной работы. Отличие заключается в том, что у учащихся продолжается самостоятельная работа по получению алгоритма построения графика функции параллельным переносом системы координат. Необходимо обсудить, как они понимают задание 2: «Проанализируйте …аналогично…» и попросить их составить соответствующий учебный текст (приложение 1, стр. 108-109). Умение создавать учебный текст – одно из важнейших универсальных учебных действий. Учащиеся должны отметить общность в алгоритмах построения графиков функций. Данное задание направлено на формирование когнитивной схемы процедуры построения графика квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции Рассмотрим учебный текст, направленный на формирование умения строить график функции Учащиеся могут проявить свои умения комбинирования алгоритмов построения графиков частных видов квадратичной функции. Отвечая на вопрос: «Можно ли построить график функции одним параллельным переносом?», применяются знания о преобразовании «параллельный перенос». Деятельностный подход к разработке алгоритма построения графика функции осуществляется в ходе выполнения следующего задания. Как показывает практика, многие учащиеся могут предложить следующий алгоритм: привести квадратичную функцию к виду строить график по известному алгоритму. Это мнение нужно обсудить, организовав сравнение с алгоритмом, предложенным в учебнике (Приложение 1). Алгоритм построения графика квадратичной функции общего вида реализуется на примере функции , то есть той функции, с которой при проблемном изложении учебного материала началось обсуждение способов построения. Одним из важнейших шагов алгоритма построения графика квадратичной функции является нахождение координат вершины параболы. Этому посвящено задание 7. Учащимся предлагается обобщить опыт нахождения вершины параболы и составить рассказ о способах её нахождения. Данная учебная деятельность является важной с точки зрения требований ФГОС. Учащиеся должны уметь отвечать на вопросы: «Как выглядит график квадратичной функции? Как его построить?». Полезно провести эту работу в письменном виде с последующим обсуждением. К заданиям, формирующим понятие «Функция» относятся следующие: строить графики функций; описывать свойства квадратичной функции; осуществлять перевод информации с одного языка её представления на другой; устанавливать связи между понятиями «квадратное уравнение» и «квадратичная функция», «квадратичная функция» и «неравенство второй степени» (см. приложение 2). Одним из важный умений является умение осуществлять обратимый перевод информации со словесно-символического языка на язык графиков. Именно такая работа предполагается в задании 8. Все параболы на рисунке получены с помощью параллельного переноса. Для задания каждой из функций аналитически нужно указать координаты вершины параболы и учесть направление ветвей. Таким образом, при построении графика квадратичной функции используется метод построения, который называется «построение параллельным переносом системы координат». Задания для самопроверки Изучите материалы учебника и практикума и ответьте на следующие вопросы: 1. Сформулируйте алгоритм построения графика функции у = ах2 + bx + c. 2. Постройте график функции у = х2 - 8x + 12. 3. Как найти вершину параболы? Приведите примеры. 4. Выполните следующие задания из приложения 2: № 218(1); 219; 225; 230; 238; 257.