Методика изучения функциональной линии

Лекция 3. Методика изучения функциональной линии Методика изучения функциональной линии Основным понятием функциональной линии и всего курса начал анализа является понятие функции – одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем отражены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Ф. Клейн считал понятие функции центральным понятием всей математики. Понятие функции развивалось в процессе развития математики. Долгое время функция отождествлялась с формулой; так. Л. Эйлер в середине XVIII в. под функцией переменного понимал всякое аналитическое выражение, составленное из этого переменного и постоянных. С развитием науки такое определение стало не только искусственно ограничивать объем понятия функции (отождествляя ее только с одним из способов ее задания), но и приводить к противоречиям. Например, на основе этого определения не имели права на существование функции, заданные кусочно, таблицей, графиком. Со времен Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось новое представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой, при чем совершенно не важно, каким способом она установлена. Но и оно оказалось несвободным от недостатков, т. к. определялось через никак не разъясняемые понятия величины, изменения и зависимости. В современной математике (математике XX в.) существует несколько вариантов определения понятия функции: 1) функция – первичное (неопределяемое) понятие математического анализа; 2) функция – отображение одного X числового множества на другое - У (где понятие отображения первичное); 3) функция как особое отношение, установленное между элементами множеств X и У; 4) функция как некоторое соответствие между элементами множеств X и У. Наиболее распространенное обозначение: f: Х ® У, где f обозначает функцию (закон соответствия), множество X называется областью определения D(f), а множество У – областью значений (или областью изменения) Е (f) функции f. Обратим внимание на то, что в этом определении, подчеркивающем соответствие между элементами любой природы, исключен не только термин "величина", но и термин "переменная", не упоминается о взаимной изменяемости двух величин, находящихся в функциональной зависимости, которая фигурирует во всех определениях функции от возникновения этого понятия до начала XX в. Соответствие дано как бы в готовом, застывшем виде, и это статическое определение не случайно. Его цель исключить из формулировки неявно присутствующее в динамических определениях (говорящих о переменных величинах и их изменяемости) понятие времени, привнесенное в математику из механики. 1 В то же время это самое общее определение функции в математическом анализе почт не находит применения, т. к. весь классический анализ был построен без него. Таким образом, для первоначально изучения в нем нет необходимости, тем более что оно трудно для понимания учащихся. Проф. А. Я. Хинчин считал полезным сохранить идею переменной величины в определении функции даже для первою курса физико-математических факультетов. Чаще всего рассматриваются функции, область значений которых – числовое множество (числовые функции); в противном случае это обычно отмечается в названии (вектор-функция, или функция, принимающая матричные значения и т. п.). Для нечисловых функций употребляют термины оператор, функционал и т. д. Функция может быть задана одним или несколькими аналитическими выражениями, словесным определением (вербально), таблицей, графиком, графом (стрелочное задание функции) и т. д., лишь бы был задан закон однозначного соответствия: х ® у = f(х). Если функция f ставит в соответствие элементу х элемент у, а функция q – элементу y элемент z, то говорят, что функция z = h(х) есть сложная функция (функция от функции), составленная из функций q и f и пишут h(х)= q(f(x)). Уже к XVII в. были достаточно хорошо изучены так называемые элементарные функции – класс функций, включающий в себя многочлены и рациональные (алгебраические) функции, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические (трансцендентные) функции, а также функции, получаемые из перечисленных с помощью четырех арифметических действий и процедуры образования сложной функции, примененных конечное число раз. Проф. А. Я. Хинчин называл понятие функции не только основным, но и стержневым понятием школьного курса математики, на которое должно нанизываться все школьное преподавания; так же считал Ф. Клейн. Изучение материала функциональной линии имеет основной учебной целью осознание учащимися на том или ином уровне понятия функции как одной из основных математических моделей, позволяющей описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, и овладение простейшими методами исследования функций. Функциональный материал дает возможность ставить цели развития всех познавательные процессов, в частности, диалектического мышления, функционального стиля мышления, мировоззрения (диалектика), раскрывать общенаучную и общекультурную роль математики, осуществлять эстетическое, экологическое воспитание, профессиональную ориентацию учащихся. Можно выделить следующие этапы в изучении функциональной линии: пропедевтический (начальная школа и курс математики 5-6 классо)в: примеры зависимостей величин и результатов действий от изменений компонентов. Таблицы. В теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Изображение натуральных чисел на прямой, числовой луч. В теме 3. Угол. Треугольник. Прямоугольник. – Формулы. Вычисления по формулам. В теме 4. Деление обыкновенных дробей. Пропорция – Понятие о прямой и обратной пропорциональности величин. Формулы длины окружности и площади 2 круга. Круговая диаграмма. В теме 5. Положительные и отрицательные числа. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Примеры графиков. Основной - изучение понятия функции и функций элементарными средствами (курс алгебры 7-9 классов основной школы). Функция. Понятие функции, способы задания функции график функции. Функция y=kx+b, и ее график. Функция у=kx и ее график. В теме 3. Степень с натуральным показателем – Функции у = х2 и у = х3, их графики. В теме 6. Системы линейных уравнений - график уравнения ах+ by = с. В теме 1. Рациональные дроби – Функция у = к/х и ее график. Квадратичная функция – Возрастание и убывание функции. Четные и нечетные функции. Квадратичная функция, ее свойства и график. Простейшие преобразования графиков. В теме 2. Уравнения и системы уравнений – Уравнение окружности. В теме 3. Прогрессии – понятие о числовой последовательности. Завершающий - исследование функций с помощью производной (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов старшей школы). Тригонометрические функции (числового аргумента). Периодические функции. Свойства и графики тригонометрических функции. Систематизация сведений о функциях и графиках, введение новых понятий, связанных с исследованием функций (экстремумы, периодичность), и общая схема исследования функций. Производная функции, правила. Производная степенной функции с целым показателем, синуса и косинуса. Производная сложной функции. Применение производной - к исследованию функций и решению задач. Первообразная и интеграл. Показательная, логарифмическая и степенная функции. Их производные. Производная обратной функции. Функциональная пропедевтика. Чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями. В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт, естественно, будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей. Так, например, в V классе при изучении изменения результатов действий при изменении компонентов в области дробных чисел в качестве упражнений для учеников полезно составлять таблицы сумм, разностей, произведений двух чисел, когда один из компонентов остается неизменным, а другой меняется. Рассматривая эти таблицы, легко установить 3 зависимость результатов от величины компонентов действий и характер изменения этих результатов. Разобрав подобным образом несколько примеров, ученики заметят, что при увеличении вычитаемого на некоторое число разность уменьшается на то же число. (Раньше, до знакомства с дробными числами, говорилось, что увеличение вычитаемого на несколько единиц влечет уменьшение разности на столько же единиц.) Таким образом, проверяется, что зависимость между компонентами действий, установленная для целых чисел, распространяется и на дробные числа. В V классе при повторении и изучении геометрического материала появляется возможность углубить понятие о переменной величине. Так, например, периметр прямоугольника при выбранной длине основания будет меняться в зависимости от высоты прямоугольника. Длина периметра при длине основания, равной 4 лин. единицам, и меняющейся высоте будет выражаться P=8+2x. Полезно составить таблицу изменения длины периметра. Многократные упражнения подобного характера создадут у учащихся нужное представление о графическом выражении рассматриваемой зависимости. Программы по математике VI класса предусматривают выполнение учениками графиков изменения температуры и графиков движения и умение читать эти графики. Весь полученный графический материал с успехом может быть использован при изучении прямой пропорциональности величин в VI классе, при изучении функций в VII классе и в VIII классе. Программа предусматривает введение функциональной терминологии только в VII классе, но из опыта передовых учителей следует, что начальное понятие о функции и соответствующая терминология не затрудняют учеников VII класса, а вместе с этим значительно облегчают изложение многих последующих вопросов курса. Можно познакомить учащихся с различными способами задания функциональной зависимости: аналитически, с помощью таблицы, графически. Табличный способ выражения функциональной зависимости не всегда удобен, так как в таблице нельзя поместить все возможные значения х однако таблицей иногда пользуются, например, в магазинах для быстрого подсчета стоимости проданного продукта применяются таблицы определения длины окружности в зависимости от диаметра и многие другие. Есть другой способ выражения функциональной зависимости— графический, с которым учащиеся познакомились в V классе. Графический способ требует знакомства с системой координат. Для ознакомления с системой координат целесообразно разобрать такую задачу: «С потолка надо снять на время ремонта розетку, а после ремонта поставить ее точно на прежнее место. Как или чем определяется ее положение на потолке?» Ответ получим незамедлительно: расстоянием ее от двух пересекающихся карнизов. Разобрав еще пару подобных примеров, можно сделать вывод: положение точки на плоскости вполне определяется расстоянием ее до двух произвольно взятых пересекающихся прямых (осей), то есть двумя числами, и, наоборот, положение точки на плоскости само определяет два числа, выражающих расстояния ее до осей. 4 Короче, два числа определяют положение определенной точки на плоскости, и, наоборот, точка плоскости определяет некоторые два числа. Такое соответствие называется взаимно однозначным соответствием. Надо, чтобы ученики поняли, в чем выражается взаимность и в чем однозначность. Из обыденной жизни в качестве примера можно привести взаимно однозначное соответствие между мотоциклами в городе и номерными знаками для них. Такое взаимно однозначное соответствие преимущественно рассматривается для математических объектов. Для дальнейших занятий следует начертить на бумаге (желательно миллиметровой) координатную сетку, которую использовать как постоянное классное пособие (за единицу длины удобно принять 5 см). Нужно ввести понятие осей координат, указать, что они делят плоскость на" четыре четверти; затем вводятся названия осей и координат точки, устанавливаются знаки координат точек в зависимости от четверти, в которой они расположены, и условные записи этих координат. Нужно упражнять учеников в пользовании системой координат для прямых и обратных задач: определить координаты выбранной точки плоскости и найти точку плоскости по заданным ее координатам. Особо надо остановить внимание учащихся на умении назвать координаты точек, расположенных на одной из координатных осей, в начале координат. Учащиеся должны практиковаться в этих упражнениях на координатных сетках, построенных в тетрадях. За единицу длины можно принять длину стороны клетки. Не следует долго упражнять учеников в построении отдельных точек по заданным их координатам и в определении координат построенных точек. Лучше предложить учащимся более сложные упражнения, которые могут заинтересовать их и в то же время помогут выявить свойства, применяемые в дальнейшем при построении графиков функций. Например, могут быть поставлены такие вопросы: 1. Задана точка A (2, 3); назвать координаты точки В (точки С), симметричной точке А относительно оси ординат (оси абсцисс); 2. Какому условию должны удовлетворять координаты точки, лежащей на биссектрисе I или III координатного угла (II или IV)? Эти вопросы могут предлагаться в порядке устных упражнений; они являются задачами на доказательство, так как ученики должны обосновать правильность своих ответов. При этом повторяются свойства осевой и центральной симметрии, пройденный ранее геометрический материал. Методика изучения линейной функции следующая. Рассматривается ряд задач, например: 1) зависимость стоимости телеграммы (в копейках) от числа слов; 5 2) расстояние поезда от некоторой станции (в километрах) в зависимости от времени движения (в часах) с данной постоянной скоростью, если в начале движения поезд находился на данном расстоянии от станции (в определенном направлении); 3) зависимость количества жидкости, остающейся в баке, от времени ее вытекания, если дана вместимость бака и скорость, с которой жидкость равномерно вытекает, при условии, что бак был полным; 4) зависимость длины одного основания трапеции от длины другого основания при заданной средней линии. В каждой задаче лучше задавать числовые данные, тогда получаем примерно следующие формулы (при некоторых числовых данных): 1) y=3x+10; 2) y=200–2,5x или y= – 2,5+200; 3) , или y = –x+20. Для каждой формулы определяется область допустимых значений аргумента х, вытекающая из условия задачи. Так, например, для третьей задачи 00. Кривая графика будет вырисовываться более четко при большом количестве промежуточных значений х. Очень важно, чтобы ученики понимали, что графиком функции является совокупность обеих ветвей полученной кривой, которая называется гиперболой. Подробно рассматривать свойство гиперболы не удается из-за нехватки времени, но необходимо установить, что ветви гиперболы приближаются к осям координат как угодно близко, но у них нет общих точек с осями. Конечно, полезно установить осевую и центральную симметрии кривой, но это можно сделать только при наличии свободного времени. С понятием функции связана система функциональных понятий, используемых для изучения (исследования) различных свойств функций. В общем случае примерная схема исследования функций (изучения ее свойств) предусматривает решение следующих задач: 1) выявление в явном виде области определения и области значений функции, которые, как правило, заданы неявно тем или иным способом – задания функции; 2) построение, если нужно, графика функции (или др. наглядного вида); 3) исследование функции на четность – нечетность (сравнением f(-х) с f(х)); 7 4) исследование функции на периодичность (сравнением f(x) c f(x+l), l¹ 0); 5) отыскание нулей (корней) функции (решением уравнения f(x) = 0); 6) отыскание промежутков знакопостоянства функции (решением неравенств f(x) > 0 и f(х) < 0); 7) исследование функции на дифференцируемость (отыскание производной f(x), если она существует); 8) исследование функции на монотонность (определением знака разности f(x2) – f(x1) при х2 > х1 (х2 – x1 > 0); 9) исследование функции на экстремумы (с помощью производной) и ограниченность (доказательством неравенств |f(x)| £ М и |f(х)| ³ m); 10) исследование функции на непрерывность на основе определения и свойств непрерывных функций; 11) исследование функции на интегрируемость (отыскание первообразной, если она существует; 12) установление существования обратной функции х = f(y). Существует два основных метода исследования свойств функций: 1) элементарными средствами – а) с помощью графика или другого графического или наглядного способа задания; б) с помощью аналитической формулы на основе определения) и 2) средствами дифференциального исчисления –с помощью производной на основе связи ее свойств с некоторыми свойствами функции, выраженных соответствующими теоремами (см. учебники математического анализа). Например, для линейной функции у = kx + b можно по графику определить, что при к > 0 она возрастает, а при к < 0 убывает на всей области определения. Т. к. 1а) если двигать точку по ее графику слева направо, то эта точка при к>0 поднимается вверх, а при к<0 движется вниз; 1б) пусть х2>x1 (х2-х1> 0), составим разность f(x2) – f(x1) = kx2 + b – (кх1+b) = к (х2 – х1) и это произведение положительно при к > 0, что означает возрастание функции при любых х1 и х2 из области определения, а при к < 0 – убывание; 2) при f’(x) = k > 0 функция возрастает, при f’(х) = k < 0 – убывает. Эта же функция – непериодическая, т. к. а) на ее графике нет одинаковых ординат (никакие отрезки графика не повторяются); 6) f(x+l) =kx + b + l = kx + b = f(x) только при 1 = 0. В основной школе аналитическое исследование функции представляет слишком большие трудности для учащихся. Исходным, а часто и единственным способом должен служить график функции, построенный по точкам, и свойства функции разбирают при рассмотрении графика. Более того, в 9 классе многие свойства функции вовсе не рассматривают. 8 Следует подробно остановиться на линейной, функции у=ах+b и доказать, что график линейной функции есть прямая линия, а всякой прямой на плоскости соответствует линейная функция. Необходимо указать, что независимо от значений a и b область задания функции есть любое значение х. Полезно повторить все свойства линейной функции и снова заставить учащихся заполнить следующую таблицу: Наиболее трудным является случай, когда прямая параллельна оси OY. Соответствующее уравнение прямой будет х=т, где т может быть больше и меньше 0. Уравнение оси OY будет x = 0. Из рассмотрения графика линейной функции должны понять, что, когда а>0, функция возрастает, a<0, функция убывает, а=0, функция сохраняет постоянное значение. Линейная функция не имеет ни максимума, ни минимума. Затем следует рассмотреть функцию. График данной функции, как было указано ранее, ученики могут построить по точкам. Здесь следует провести исследование обратной пропорциональной зависимости. Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции, то есть с функции y = ax2 .В этом случае значение функции пропорционально квадрату значений независимой переменной. Сперва рассматривается частный случай, когда а=1. Легко устанавливается, что: 1) функция определена для любого значения аргумента, так как каждое число может быть возведено в квадрат; 2) функция может принимать только положительные значения и 0; 3) График функции, кроме точки (0; 0), расположен над осью ОА', и ось OY является осью симметрии графика функции (график данной функции называется параболой). 4) функция возрастает при изменении х от 0 до +∞, а при изменении x от –∞ до 0 убывает до 0; 5) при x=0 функция достигает минимума. После этого следует перейти к рассмотрению функции y = ax2 , где a≠1. На одном чертеже строятся графики функций для различных значений а>0. Ученики легко усваивают, что эти функции обладают теми же свойствами. Различие только в том, что при а > 1 графики функций быстрее поднимаются вверх, а при 0< а< 1 — медленнее. Необходимо установить общность и различие свойств = ax2 при а>0 и а<0. Изучение функции y = ax2 + c и построение ее графика не вызовет затруднений, если сравнить ее с функцией y = ax2 . Характер изменения функции y = ax2 + c остается тот же самый. Различие будет в том, что вершина параболы смещается вдоль функции y оси OY в зависимости от знака с. Полезно предложить учащимся начертить таблицу для различного расположения графиков. Далее следует перейти к рассмотрению квадратичной функции общего вида y = ax2 + bx + c. Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения. Сделаем несколько замечаний относительно квадратичной функции и ее графика. 9 1) Определение параболы не дается. На кружковых занятиях можно дать определение параболы как геометрического места точек и познакомить членов кружка с различными способами построения параболы. 2) Сделано допущение, что график всякой квадратичной функции есть парабола. Следует сказать ученикам, что это положение может быть доказано, но с этим они познакомятся в старших классах. Изучение функции у = х3 не представит труда. По точкам строятся график функции. Из небольшого исследования можно сделать следующие выводы: 1) Область задания функции от —∞ до +∞, ибо всякое число можно возвести в куб. 2) Область изменения функций будет —∞ … +∞. 3) Функция возрастающая, максимума и минимума не имеет. Сделаем несколько общих замечаний относительно изучения функции. 1) Необходимо придерживаться определенной терминологии и добиваться ясного понимания каждого термина. Иногда вместо «область изменения аргумента» говорят: «область допустимых значений функции» или «область задания функции». Необходимо разъяснить все термины, показать их равносильность и в дальнейшем пользоваться только одним из них. Нельзя допускать смешения терминов: учащиеся часто путают область изменения функции с областью задания функции. 2) Построение графиков, особенно на доске, отнимает много времени; чертежи часто получаются искаженными и нуждаются в исправлении. Чтобы избежать этого, необходимо иметь в классе доску, разграфленную в клеточку. В крайнем случае можно пользоваться большим листом бумаги с нанесенной координатной сеткой того же масштаба. Для выполнения чертежа на доске желательно использовать цветные мелки. 3)Ученики должны сами изготовить шаблоны различных кривых (парабола, гипербола), выполненные в масштабе 1 см или 0,5 см* и пользоваться ими при вычерчивании графиков. Желательно, чтобы все графики вычерчивались на миллиметровой бумаге. Необходимо добиваться, чтобы учащиеся умели тщательно и возможно точнее выполнять построение отдельных графиков, особенно при решении уравнений, нахождении приближенного значения квадратного и кубического корня и т. д. Для этого ученики должны уметь целесообразно изменять масштабы, помня, что привычный вид кривой при этом несколько изменяется. Итак, обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции. При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию, и схема изучения функции выглядит следующим образом: 1) Рассмотреть подводящую задачу; 2) Сформулировать определение функции; 3) Провести аналитическое исследование свойств функции; 4) Построить (на основе данных аналитического исследования) график функции; в целях более точного его построения составить таблицу " характерных" значений функции и построить соответствующие графики; 5) Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции. 10