Метод составления системы уравнений. Метод составления определителя

№ Выходная переменная 1 1 2 1,-13 3 2 4 4 5 3,4,-12 6 5 7 6 8 7 9 8,11 10 9 11 6 12 8 13 7 Метод составления системы уравнений. САР, структурная схема которой представлена на рис.12, может быть охарактеризована следующей системой уравнений: Поставим задачу нахождения передаточной функции любого j-го сигнала схемы по любому i-му сигналу . Очевидно, что Таким образом, задачу нахождения ,, можно свести к нахождению , . Найдем сначала главную передаточную функцию системы . Для этого рассмотрим выражение , в левой части которого находится выходная переменная . Задача заключается в продвижении при подстановке в эту формулу остальных уравнений к переменным с меньшим номером (окончательно к x1). 1. В формулу подставим значение из формулы : . 2. В полученное выражение подставляем значения и из формул и соответственно: . Тогда 3. Берем из формулы : . 4. Значения и из формул и соответственно дают: , поэтому 5. Подставим в значение из формулы : . 6. Берем и из формул и соответственно: . 7. Значения и из формул и соответственно дают: . 8. Если при подстановке получается «зацикливание» (т.е. переменная выражается сама через себя), то процесс необходимо завершить и найти промежуточные передаточные функции. В данном случае значение необходимо подставить из формулы ,а значение - из формулы : Тогда. 9. В полученное выражение подставляем значение из формулы : Окончательно . Так как , то: 10. Нахождение . осуществляется аналогично вышеприведенному и с использованием промежуточных формул. Обозначим знаменатель выражения (15) через , тогда: . 10.1. Пользуясь формулой , находим : . Аналогично вычисляем все остальные передаточные функции. 10.2. С учетом . 10.3. Из формул , , находим : 10.4. С учетом , 10.5. Из формулы находим : . 10.6. С учетом , . 10.7. Из формул , находим : . 10.8. Используя и , получим : 10.9. Из формулы находим : 11. 12. 10.10. С учетом , и 13. 14. . 15. 10.11. Используя и находим : 16. . Метод составления определителя. Для удобства обозначений и решения задачи в общем виде представим сигналы системы в виде , где n – число сигналов системы; - передаточные функции, пронумерованные таким образом, что номер передаточной функции соответствует номеру выхода. Составление определителя: 1. Первоначально зануляются все элементы (нет связей между переменными). 2. Главная диагональ определителя заполняется «1» (фактически это означает, что каждая переменная присутствует на входе у самой себя). 3. Если уравнения приводить к нормальному виду, то они будут выглядеть следующим образом: или в общем виде: , где i – номер выхода. Тогда получим систему уравнений: Определитель матрицы (29) дает знаменатель главной передаточной функции САР, заданной уравнениями (17)-(28) [2]. Он представлен в таблице 1 (пустые клетки соответствуют нулевым значениям элементов). Для расчета определителя используем метод приведения его к треугольному виду [3]. 4. Он заключается в том, что необходимо искусственно занулить элементы либо под, либо над главной диагональю (в данном случае последнее является более предпочтительным). 5. Двигаемся по столбцам от большего к меньшему до тех пор, пока не будет получен определитель такого порядка, который можно легко рассчитать (например, 33). j= i= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 –1 1 1 3 –W3 1 4 –1 1 1 5 –W5 1 6 –1 1 1 7 –W7 1 8 –1 1 1 9 –W9 1 10 –W10 1 11 –W11 1 12 –W12 1 13 –W13 1 j= i= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 –1 1 W13 1 3 –W3 1 4 –1 1 W12 1 5 –W5 1 6 –1 1 W11 1 7 –W7 1 8 –1 1 W10 1 9 –W9 1 10 –W10 1 11 –W11 1 12 –W12 1 13 –W13 1 Отметим, что при вычислениях по восьмому столбцу домножение на К осуществлялось дважды (2 и 6 строки). В результате значение определителя выросло в К2 раз. В то же время элемент главной диагонали . Так как определитель после приведения его к треугольному виду находится, как произведение элементов главной диагонали, то оставшийся определитель размерностью 77 в раз больше искомого. Значит, при вычислении определителя необходимо учесть этот коэффициент, т.е. определитель должен быть уменьшен в K раз. 6.9. , домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 6, на коэффициент K : , . 6.10. , 6.11. , 6.12. . Принимаем это выражение за коэффициент M. Получаем матрицу 66 (таблица 4). . Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 2, на коэффициент M (, ). 6.13. , домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 4, на коэффициент M (, ). 6.14. Тогда при вычислении определителя он должен быть уменьшен в M раз. 6.15. . 6.16. . Принимаем это выражение за коэффициент N. 6.17. . Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 2, на коэффициент N (, ). Получив матрицу 33 (таблица 5), находим ее определитель по формуле: j= i= 1 2 3 1 1 2 –KMN KMN KMW5,7,13 3 –W3 1 , . При вычислении знаменателя необходимо определитель уменьшить в К·М раз: 6.18. Вычисляем числитель передаточной функции (таблица 6). Столбец, соответствующий номеру выхода зануляется, а единственная единица ставится в строку, соответствующему номеру входа (1) [2]. 6.19. Так для выхода 9, для того чтобы избавиться от нуля в главной диагонали (), суммируем к строке, соответствующей номеру выхода (9), строку, соответствующую номеру входа (1). Далее расчет определителя осуществляется аналогичным образом. Результат является числителем главной передаточной функции системы . 6.19.1. , 6.19.2. . 6.19.3. Из строки 6 вычитаем строку 11, получаем: , 6.19.4. Из строки 8 вычитаем строку 10, получаем: , 6.19.5. , 6.19.6. , 6.19.7. , 6.19.8. , 6.19.9. , 6.19.10. , 6.19.11. , 6.19.12. , 6.19.13. , 6.19.14. , 6.19.15. , 6.19.16. . Принимаем это выражение за коэффициент L. При вычислении числителя определитель должен быть уменьшен в L раз. j= i= 1 2 3 1 W5,7,9 2 –L L W5,7,13 3 –W3 1 6.19.17. , 6.19.18. , домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строках 1 и 2 на коэффициент L (, ). При вычислении числителя необходимо определитель уменьшить в L раз. 6.19.19. . 6.19.20. Передаточная функция .