Механика

• 1. Механика ◦ 1.1 Кинематика ◦ 1.2 Динамика ◦ 1.3 Динамика вращательного движения ◦ 1.4 Энергия 1.1 Кинематика Механика изучает закономерности наиболее простых форм движения тел и причины, вызывающие эти движения. В зависимости от характера изучаемых объектов механика подразделяется на механику материальной точки, механику твердого тела и механику сплошной среды. Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Одно и то же тело в одних случаях можно считать материальной точкой, а в других случаях нужно рассматривать как тело конечных размеров. Например, исследуя движение Земли вокруг Солнца, можно считать Землю материальной точкой (отношение расстояния от Земли до Солнца к диаметру Земли равно примерно 12 000). Изучая же движение искусственного спутника, Землю надо рассматривать как протяженное тело. Всякое тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени деформируется, т. е. изменяет свои размеры, или форму, или и то и другое. В механике под абсолютно твердым телом подразумеваюттело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Механическая система  совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Если линейные размеры тел малы по сравнению с расстояниями между ними, а вращением тел вокруг осей, проходящих через них, можно пренебречь, то такую систему можно считать состоящей из материальных точек. Число степеней свободы механической системы - это количество независимых скалярных величин, однозначно определяющих положение системы в пространстве в данный момент времени. Так как наше пространство трехмерно, число степеней свободы материальной точки равно трем. Для системы из N материальных точек, между которыми нет жестких связей, число степеней свободы равно, естественно, 3N. При наличии жестких связей между точками число степеней свободы уменьшается. Так, для задания положения абсолютно твердого тела нам надо задать  три координаты, фиксирующие положение какой-то точки этого тела в пространстве;  два угла для определения направления оси, проходящей через выделенную точку тела;  угол поворота тела относительно этой оси. Таким образом, число степеней свободы для абсолютно твердого тела равняется шести. Для каждой степени свободы системы должно быть написано свое уравнение движения, то есть количество скалярных уравнений движения системы должно совпадать с числом ее степеней свободы. Механика сплошной среды изучает движение и равновесие газов, жидкостей и деформируемых тел. Она рассматривает вещество как непрерывную сплошную среду, отвлекаясь от его прерывистого молекулярного строения Классическая (неквантовая) механика подразделяется на ньютоновскую (нерелятивистскую) механику и релятивистскую механику. В основе ньютоновском механики лежат законы Ньютона. Эта механика справедлива лишь для макроскопических тел, движущихся со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Под макроскопическим телом подразумевается тело, образованное очень большим количеством атомов; масса такого тела во много раз превосходит массу отдельного атома. Релятивистской называется механика, учитывающая требования специальной теории относительности (СТО). Она справедлива и при скоростях, сравнимых со скоростью света. Заметим, что согласно СТО скорости тел не могут быть больше скорости света в вакууме. Механику подразделяют на кинематику, статику и динамику. Кинематика описывает движение тел, не интересуясь причинами, обусловившими это движение; статика рассматривает условия равновесия тел; динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. Законы статики являются частным случаем законов динамики. По этой причине в курсах физики статика обычно отдельно не изучается. Типичная задача механики: зная состояние системы (координаты и скорости) в некоторый начальный момент времени t0, а также законы, управляющие движением, определить состояние системы во все последующие моменты времени t. Для этого используются уравнения движения  уравнения, позволяющие определить положение материальной точки (системы) в пространстве в любой момент времени по известным начальным условиям. Опыт показывает, что знания начальных скоростей и координат системы достаточно для прослеживания ее дальнейшей судьбы. С математической точки зрения это означает, что уравнения движения не содержат более высоких производных по времени, нежели вторая (как говорят, это уравнения второго порядка). Из определения механического движения как изменения взаимного расположения тел в пространстве следует, что, приступая к изучению движения какого-либо тела, нужно указать, по отношению к какому телу (или телам) мы рассматриваем движение данного тела. Кроме того, для измерения времени необходимо иметь часы. Роль часов может выполнять любое устройство, совершающее многократно один и тот же процесс. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов называется системой отсчета. Для того чтоб иметь возможность описывать движение количественно с телами, образующими систему отсчета, связывают какую-либо, например декартову, систему координат. Тогда положение частицы можно определить, задав ее координаты х, у, z. Кинематика оперирует с такими величинами, как перемещение, путь, скорость, ускорение. Непрерывная линия, которую описывает точка при своем движении выбранной системе отсчета, называется траекторией. Понятие траектории является существенно классическим и теряет привычный смысл в квантовой механике. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности и другие виды криволинейного движения. Положение материальной точки М в пространстве задается радиус-вектором . Поскольку мы рассматриваем движение точки в декартовых координатах, радиус-вектор зависит от времени: (1.1.1) Если в какой-то момент времени t1 положение материальной точки в пространстве было , а в момент времени t2 стало , то говорят о перемещении материальной точки из точки 1 в точку 2 (см. рис. 1.1.1). Рис. 1.1.1   Перемещение - это вектор  проведенный из положения точки в начальный момент времени t1 в ее положение в последующий момент t2. Из рис. 1.1.1 очевидно, что От перемещения следует отличать пройденный материальной точкой путь. Путь - скалярная физическая величина, равная длине участка траектории, пройденного точкой за рассматриваемый промежуток времени. Путь  неотрицательная, неубывающая функция времени. Может случиться так, что перемещение равно нулю, а путь достигает значительной величины. Рис. 1.1.2 иллюстрирует разницу между путем и перемещением.   Рис. 1.1.2   Для характеристики движения материальной точки (тела) вводится векторная величина – скорость. Пусть тело движется поступательно по криволинейной траектории, тогда вектор скорости совпадает с касательной к траектории в каждой точке (рис.1.1.3). Рис.1.1.3   В течение малого промежутка времени материальная точка пройдет некоторый путь. Средняя скорость движения запишется следующим образом: (1.1.2) Вектор средней скорости направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории движения материальной точки, т.е. направление вектора средней скорости совпадает с направлением перемещения материальной точки. Так как Δr ≤ ΔS, то vср ≤ ΔS/Δt Знак равенства в соотношении для средней скорости соответствует движению материальной точки вдоль прямолинейной траектории в одном направлении. Если промежуток времени неограниченно уменьшить, то средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью: (1.1.3) В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а точкой над буквой, обозначающей данную величину. Поэтому определение (1.1.3) можно написать в виде (1.1.4) Продифференцируем по времени выражение (1.1.1) для радиус-вектора, учтя, что x, y, z — постоянные векторы. В результате получим для скорости выражение (1.1.5) Вместе с тем скорость можно представить в виде , (1.1.6) где vx, vy, vz — компоненты скорости, т. е. проекции вектора на координатные оси. Сравнение выражений (1.1.5) и (1.1.6) приводит к соотношениям (1.1.7) Таким образом, компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени. При равномерном движении скорость постоянна: В случае неравномерного движения скорость зависит от времени: Скорость частицы может изменяться со временем, как по величине, так и по направлению. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Как и быстрота изменения любой функции времени, ускорение определяется производной вектора  пo времени t, то есть второй производной радиус-вектора : (1.1.8) Продифференцировав по времени соотношение (1.1.6), получим для ускорения выражение (1.1.9) Вместе с тем ускорение, как и любой другой вектор, можно выразить через его компоненты по координатным осям: Сопоставление этого выражения с (1.1.7) дает, что (1.1.10) Таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени. Представим себе материальную точку, движущуюся по некоторой криволинейной траектории (t). Запишем скорость в виде и заметим, что вектор  это единичный вектор, касательный к траектории и совпадающий по направлению с вектором скорости. Продифференцируем вектор скорости, записанный в данном представлении, и получим (1.1.11) Мы представили ускорение в виде двух слагаемых. Заметим прежде всего, что слагаемые ортогональны друг другу. Действительно, поскольку вектор  единичный, то Дифференцируя это скалярное произведение, получаем то есть по свойству скалярного произведения. Таким образом, мы разложили ускорение на сумму двух взаимно ортогональных составляющих (1.1.12) Вектор  это тангенциальноеускорение, которое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Эта часть полного ускорения направлена параллельно скорости. Слагаемое ортогонально вектору скорости. Оно называется нормальным ускорением и связано с радиусом кривизны траектории. Радиус кривизны является обобщением обычного радиуса окружности на произвольные криволинейные траектории. Идея обобщения состоит в том, чтобы заменить бесконечно малый кусочек траектории в данной точке на окружность, которая почти слилась бы с траекторией. Тогда радиус окружности можно назвать радиусом кривизны траектории, а центр окружности  центром кривизны. Для произвольной траектории (в отличие от окружностей) радиус кривизны и положение центра кривизны могут меняться от точки к точке (рис. 1.1.4). Рис. 1.1.4.   Итак, в общем случае ускорение имеет две составляющие тангенциальную (1.1.13) направленную вдоль вектора и изменяющую модуль скорости, и нормальную (1.3.14) направленную перпендикулярно скорости и изменяющую направление скорости (см. рис. 1.1.5). Рис. 1.1.5   Полное ускорение определяется по правилу параллелограмма. Модуль полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора равен (1.1.15) При вращении тела вокруг какой-либо оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее, можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют иные (по сравнению с материальной точкой) кинематические характеристики движения  вектор угла поворота , угловую скорость , угловое ускорение . Роль перемещения  при вращательном движении играет вектор угла поворота  , вокруг оси вращения 00' (см. рис. 1.1.6). Он будет одинаков для любой точки абсолютно твердого тела (например, точек 1, 2, 3), в чем, в сущности, и заключается используемая абстракция. Рис. 1.1.6.   Модуль вектора поворота равен величине угла поворота  (угол измеряется в радианах). Направление вращения задается по правого винта: если смотреть вслед вектору  , вращение представляется происходящим по часовой стрелке. Поскольку направление вектора угла поворота определяется условно,  - является псевдовектором. Векторная величина (1.1.16) называется угловой скоростью вращения. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с). При вращении вокруг неподвижной оси угловая скорость не меняет своего направления. При равномерном вращении остается постоянной и ее величина ( =const). В этом случае вращение можно охарактеризовать его периодом Т: Период вращения  это время, за которое тело совершает один оборот (поворот на угол 2) вокруг оси вращения. Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной , (1.1.17) которая называется угловым ускорением. Как и вектор угла поворота, угловые скорость и ускорение являются псевдовекторами. При возрастании угловой скорости угловое ускорение совпадает с ней по направлению, при убывании  направлено в противоположную сторону. Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Каждая из точек вращающегося тела движется с определенной линейной скоростью , направленной по касательной к соответствующей окружности (см. рис. 3.1.1). Пусть материальная точка вращается вокруг оси 00' по окружности радиусом R. За малый промежуток времени t она пройдет путь s, соответствующий углу поворота . Тогда и скорость материальной точки определяется соотношениями то есть (1.1.18) Рис. 1.1.7   Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора г, проведенного из точки О, лежащей на оси вращения. На рис. 1.1.7 видно, что R = г sin β. Подстановка этого значения в (1.1.17) дает Это равенство и показанные на рис. 1.1.7 взаимные направления векторов , и дают основание представить в виде векторного произведения на : (1.1.19) Так как нормальное ускорение равно то с учетом соотношения для угловой и линейной скорости получаем (1.1.20) Дифференцируя по времени выражение (1.1.18), находим , (1.1.21)   где а — тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R. Таким образом, как тангенциальное, так и нормальное ускорения растут линейно с ростом радиуса R расстояния от оси вращения 1.2 Динамика Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, то есть изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. Мы уже отмечали, что относительно разных систем отсчета движение имеет неодинаковый характер. Например, относительно вагона точка на ободе колеса движется по окружности, в то время как относительно Земли она движется по сложной кривой, называемой циклоидой. Среди всевозможных систем отсчета существуют такие, относительно которых движение тел оказывается особенно простым. В частности, тела, не подверженные воздействию других тел, движутся относительно таких систем без ускорения, т. е. прямолинейно и равномерно. Эти особенные системы отсчета называются инерциальными. Существование инерциальных систем установлено из опыта и представляет собой закон природы. Инерциальных систем существует бесчисленное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно с постоянной скоростью, является также инерциальной. Опытным путем установлено, что инерциальной является система отсчета, начало которой совмещено с центром Солнца, а оси направлены на неподвижные звезды. Эта система называется гелиоцентрической (гелиос — по-гречески солнце). Земля движется относительно Солнца по криволинейной траектории; кроме того, она вращается вокруг своей оси. Поэтому система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна. Однако ускорение, с которым движется Земля, настолько мало, что при решении многих задач систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной. Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета Ньютон сформулировал в виде закона инерции, который называют также первым законом Ньютона. Однако основоположником принципа инерции считается Г.Галилей. Среди прочих научных достижений, в механике им были введены два основополагающих принципа: принцип инерции и принцип относительности. Принцип инерции Галилея был повторен И. Ньютоном (1643-1727) в качестве первого закона механики. Первый закон Ньютона гласит: Всякая материальная точка будет находиться в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока это состояние не будет изменено воздействием со стороны других тел.   Свойство тела сохранять состояние покоя или прямолинейного равномерного движения называется инерцией.   Принцип инерции Галилея (или первый закон Ньютона)  далеко не столь очевиден. До Галилея думали, что для движения нужна какая-то причина, движущая сила. Дело в том, что в природе действительно никогда не наблюдаются тела, вечно сохраняющие состояние покоя или прямолинейного равномерного движения. Нужно было проявить ту самую способность строить модели, отбрасывать несущественное, абстрагироваться, чтобы открыть принцип инерции. Изучая основные законы механики, мы идеализируем систему: пренебрегаем силами трения, считаем, что поблизости нет других тел и т.д. И тогда принцип инерции проявляет себя во всей своей красе и силе:   Для движения не нужно двигателя, движущая сила нужна для изменения состояния движения тела.   Для того чтобы сформулировать второй закон Ньютона, нужны понятия силы и массы.   Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел.   Модуль этой величины определяет «интенсивность» воздействия, а направление совпадает с направлением ускорения, сообщаемого телу данным воздействием. Модуль силы можно, например, определять по растяжению эталонной пружины, вызываемому действием рассматриваемой силы.   Масса есть мера инертности тела.   Под инертностью понимают неподатливость тела действию силы, т. е. свойство тела противиться изменению скорости под воздействием силы. Чтобы выразить массу данного тела числом, нужно сравнить ее с массой эталонного тела, принятой за единицу. Произведение массы тела на его скорость Ньютон назвал количеством движения тела. Это название устарело и теперь величину (1.2.1) называют импульсом тела. Выражение (1.2.1) определяет импульс материальных точек (частиц) и протяженных тел, движущихся поступательно (напомним, что при таком движении скорость всех точек тела одна и та же).   Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе : (1.2.2)   (Напомним, что под частицей подразумевается материальная точка.) Соотношение (1.2.2) называется уравнением движения частицы. Подставив в формулу (1.2.2) выражение для импульса, получим, что . Наконец, приняв во внимание, что m = const, a -ускорение частицы, придем к соотношению . (1.2.3) Мы получили вторую формулировку второго закона Ньютона:   произведение массы частицы на ее ускорение равно силе, действующей на частицу.   Уравнение (1.2.3) справедливо и для протяженных тел в том случае, когда они движутся поступательно. Если на тело действуют несколько сил, то под в формулах (1.2.2) и (1.2.3) подразумевается их результирующая (т. е, векторная сумма сил). Надо иметь в виду, что второй закон Ньютона (равно как и два других) возник в результате обобщения данных большого числа опытов и наблюдений и, следовательно, является экспериментальным законом. Из (1.2.3) вытекает, что при = 0 (т. е. в отсутствие воздействий на данное тело других тел) ускорение равно нулю, т. е. тело движется прямолинейно и равномерно. Таким образом, первый закон Ньютона, казалось бы, входит во второй закон как его частный случай. Несмотря на это, первый закон формулируется независимо от второго, поскольку в нем содержится утверждение о существовании в природе инерциальных систем отсчета. Спроектируем векторы, фигурирующие в формуле (1.2.3), на координатные оси х, у, z и учтем соотношение (1.1.9). В результате получим три скалярных уравнения: (1.2.4) которые эквивалентны векторному уравнению (1.2.3). Спроектировав векторы и на произвольное направление, заданное осью, которую мы обозначим, скажем, буквой l, получим уравнение . (1.2.5) При числовых расчетах используются уравнения движения в виде (1.2.4) или (1.2.5). Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой F12, то и тело 1 действует на тело 2 с силой F21. Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. (1.2.6)   Таким образом, силы всегда возникают попарно. Подчеркнем, что силы, фигурирующие в соотношении (1.2.6), приложены к разным телам; поэтому они не могут уравновесить друг друга. Уже из формулировки ясно, что уровень фундаментальности этого закона совсем не тот, как у двух предыдущих. Здесь мы не имеем дело со свойствами пространства, а лишь с условиями прямого контакта двух тел. Например, обе силы должны измеряться в один и тот же момент времени. Поскольку для передачи взаимодействия всегда требуется какое-то конечное время, этот закон заведомо не может быть справедливым в электродинамике, где взаимодействие переносится электромагнитными волнами. Отступления от третьего закона наблюдаются в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Однако эти отступления мы не будем рассматривать. Третий закон Ньютона, как и первые два, справедлив лишь в инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета этот закон оказывается несправедливым. В рамках ньютоновской механики в инерциальных системах отсчета третий закон Ньютона всегда справедлив. Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними — силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой (или изолированной).   Рассмотрим систему N материальных точек m1, m2, …, mN, положения которых задаются радиус-векторами 1, 2, …, N, а их импульсы равны 1, 2,..., N, соответственно (см. рис. 1.2.1).    Рис. 1.2.1   Среди сил, действующих на эти материальные точки, есть внутренние силы между телами, входящими в систему, и внешние силы, действующие на систему со стороны тел, в нее не включенных. Внутренние силы будем обозначать как fij, где индексы показывают, что данная сила действует на тело с номером i со стороны тела с номером j. Кроме того, на тело с номером действует какая-то внешняя сила Fi. Напишем уравнение второго закона Ньютона (скорость изменения импульса тела равна сумме всех действующих на тело сил) для всех N материальных точек системы. Сложим вместе эти N уравнений. Сумма всех внутренних сил в правой части получится равной нулю. Действительно, она состоит из парных слагаемых типа По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух материальных точек i и j равны по величине и противоположно направлены (действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки): Поэтому в правой части у нас останется только сумма всех внешних сил: Сумма импульсов частиц, образующих механическую систему, называется импульсом системы.   Импульс системы удовлетворяет уравнению (1.2.7) При отсутствии внешних сил откуда   Суммарный импульс замкнутой системы постоянен.   В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте. Возможны ситуации, когда внешние силы не равны нулю, но равна нулю проекция их равнодействующей на какое-то направление. Тогда, как следует из векторного соотношения второго закона Ньютона для системы частиц, будет сохраняться проекция импульса системы на это же направление. Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус- вектор C по следующему правилу: (1.2.8) где i радиус-вектор i-той материальной точки системы, а mi ее масса. Радиус-вектор C определяет положение в пространстве центра масс системы. Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Спроектировав на координатные оси, получим декартовы координаты центра масс:   (1.2.9) Продифференцировав по времени, найдем скорость центра масс:   (1.2.10) ( - скорость, - импульс i-й частицы, - импульс системы). Согласно (4.2.4) суммарный импульс системы можно представить в виде произведения массы системы на скорость центра масс:     (1.2.11) Подставив это выражение в формулу (1.2.7), получим уравнение движения центра масс:   , (1.2.12) где — ускорение центра масс. Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится. Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.   Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю.   Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе. В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку r в нашем теле небольшим объемом dV. Масса, заключенная в этом объеме, равна dm(r)=(r)dV, где  плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему V тела, так что для положения центра масс тела получается выражение.   Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид   (1.2.13) где V объем тела. И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение,   что центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу внешних сил. Законы фундаментальных сил просты и выражаются точными формулами. Для примера приведем формулу, определяющую модуль силы гравитационного взаимодействия двух материальных точек:   (1.2.14) Здесь r — расстояние между точками, m1 и m2-их массы, G — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Другое фундаментальное взаимодействие  электромагнитное, то есть взаимодействие между электрическими зарядами и токами, лежит в основе сил, связанных с деформацией тел. Это, прежде всего силы упругости, а также силы трения, возникающие за счет деформации при соприкосновении шероховатых поверхностей. При деформации нарушается равновесное распределение зарядов внутри атомов и молекул, из которых состоят тела, что приводит к появлению электрических сил между этими зарядами. Для этих сил можно получить лишь приближенные эмпирические (т. е. основанные на опыте) формулы. При соприкосновении поверхностей твердых тел между ними возникают силы, называемые силами сухого трения. Их характерная черта: эти силы не обращаются в нуль даже при отсутствии относительного движения соприкасающихся тел. Трение, которое может существовать между телами, не движущимися друг относительно друга, называется трением покоя. Имеет место следующее утверждение относительно силы трения покоя:   Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней силе, которая в отсутствие трения должна была бы вызвать относительное скольжение тел.   Однако сила трения покоя не может превосходить некоторой максимальной величины F0. Пока внешняя сила меньше F0, относительное скольжение тел не возникает, так как сила трения покоя "автоматически" принимает значение, компенсирующее действие внешней силы. Для максимального значения силы трения покоя экспериментально установлено соотношение  закон Амонтона-Кулона(закон сухого трения):   Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления, прижимающего соприкасающиеся тела   F0=μ0N (1.2.15) где 0 коэффициент трения покоя, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей. Силы сухого трения между объектами, движущимися друг относительно друга, называются силами трения скольжения. Для силы трения скольжения имеется зависимость, аналогичная (1.2.15):   Fтр=μN. (1.2.16) Коэффициент трения скольжения μ довольно сложным образом зависят от скорости относительного движения, но для широкого класса явлений и соприкасающихся пар материалов его можно считать постоянным и равным μ0. Трение качения возникает между шарообразным, или цилиндрическим телом и поверхностью, по которой оно катится. Сила трения качения также подчиняется закону (1.2.16), но коэффициент трения в этом случае бывает значительно меньшим, чем при скольжении. На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действует сила, тормозящая его движение. Эта сила слагается из силы вязкого трения и силы сопротивления среды. Слои среды, непосредственно соприкасающиеся с телом, движутся вместе с телом как одно целое. Сила вязкого трения возникает между этими и внешними относительно них слоями среды. Давление на различные участки движущегося тела оказывается неодинаковым. Результирующая сил давления имеет составляющую, направленную противоположно скорости. Эта составляющая и есть сила сопротивления среды. При больших скоростях сила сопротивления среды может во много раз превосходить силу вязкого трения. Суммарную силу, обусловленную вязким трением и сопротивлением среды, принято условно называть силой трения. Для определенной таким образом силы трения характерно то, что она обращается в нуль вместе со скоростью. При небольших скоростях сила растет пропорционально скорости:   (1.2.17) Знак минус указывает на то, что сила направлена противоположно скорости. Коэффициент k1 зависит от формы и размеров тела, характера его поверхности, а также от свойства среды, называемого вязкостью. При увеличении скорости тела линейная зависимость (1.2.17) постепенно переходит в квадратичную:   (1.2.18) — орт скорости. Границы области, в которой происходит переход от закона (1.2.17) к закону (1.2.18), зависят от тех же факторов, от которых зависит коэффициент k1. 1.3 Динамика вращательного движения Повседневный опыт показывает, что при вращении какого-либо тела с помощью рычага (например, при затягивании болта гаечным ключом существенным оказывается не только модуль силы, но и длина рычага. В соответствии с этим вводится понятие момента силы. Рис.1.3.1   Моментом силы относительно точки О называется вектор , модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо l:   (1.3.1) (рис. 1.3.1). Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и точка О, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора М образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или шурупа с правой нарезкой в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора ). Поскольку его направление определяется условно, является псевдовектором. На рис. 1.3.1 вектор изображен в виде кружка с крестиком внутри. Так мы будем в дальнейшем обозначать векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «от нас». Векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «на нас», мы будем обозначать кружком с точкой внутри него (рис. 1.3.2). Рис. 1.3.2   Момент силы можно представить в виде векторного произведения радиус-вектора точки приложения силы на силу :   (1.3.2) Здесь — радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки, относительно которой определяется момент. Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением вращающего момента. Проекция вектора на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси:   (1.3.3) По аналогии с моментом силы, моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина   , (1.3.4) где — радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а = m — импульс частицы. Модуль этой величины, равный rpsinα, можно представить в виде произведения плеча l импульса на модуль вектора :   L = lp (1.3.5) Рис. 1.3.3   Частица обладает моментом импульса, независимо от формы траектории, по которой она движется. Проекция вектора на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси:   (1.3.6) Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (1.3.4) по времени:  . Согласно второму закону Ньютона  — результирующей сил, действующих на частицу; по определению . Поэтому можно написать, что Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса . Следовательно, мы приходим к соотношению     (1.3.7)   согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу. Спроецировав векторы, фигурирующие в уравнении (1.3.7), на произвольную ось z, проходящую через точку О, получим соотношение     (1.3.8)   Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту сил, действующих на частицу, относительно той же оси. Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса отдельных частиц:   (1.3.9) Можно доказать, что производная по времени от вектора момента импульса равна сумме моментов внешних сил, действующих на данную систему материальных точек, т.е.   (1.3.10) В проекциях на произвольную ось выражение (3.4.7) запишется: (1.3.11) Разобьем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , на элементарные массы Δmi (рис. 1.3.3). Согласно формуле (1.3.4) момент импульса i-й элементарной массы относительно точки О, лежащей на оси вращения, равен   (1.3.12) Здесь - — радиус-вектор, определяющий положение массы Δmi относительно точки О, vi— скорость i-й элементарной массы. Рис. 1.3.4   Момент импульса тела равен сумме моментов импульса элементарных масс:   (1.3.13) Для твердого тела, как и для системы материальных точек, справедливо соотношение (1.3.10). Найдем момент импульса твердого тела относительно оси вращения z. На рис. 1.3.3 видно, что . Поскольку угол между векторами ri и vi прямой, Li = Δmirivi. Следовательно, , где Ri — расстояние массы Δmi от оси вращения (см. рис. 1.3.3). Согласно формуле (1.1.17) vi = ωRi. С учетом этого . Проекция момента импульса тела Lz равна сумме проекций Lzi:   (1.3.14) Полученное выражение не зависит от положения на оси вращения точки О, относительно которой определяется момент импульса тела .   Величина   (1.3.15) равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Мы пришли к понятию момента инерции, рассматривая вращение твердого тела. Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое. В случае непрерывного распределения массы с плотностью  сумма заменится на интеграл по всему объему тела:   (1.3.16) Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и  можно вынести из-под знака интеграла. Воспользовавшись понятием момента инерции, представим выражение (1.3.14) для момента импульса относительно оси z в виде   (1.3.17) В этой формуле I есть момент инерции тела относительно оси вращения z. Для момента импульса относительно оси справедлива формула (1.3.10). Следовательно, Приняв во внимание, что I = const, а - проекции углового ускорения на ось z, придем к уравнению   (1.3.18) Это уравнение называют уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона . Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение и, наконец, роль результирующей силы - суммарный момент внешних сил. Из (1.3.17) следует, что в случае, когда суммарный момент внешних сил положителен, αz также положительно (по определению I> 0). Это означает, что направления векторов и совпадают ( направлена по оси z) и вращение будет ускоренным. В случае же, когда суммарный момент внешних сил отрицателен, также отрицательно. Это означает, что направления векторов и противоположны и вращение будет замедленным. При изменении направления оси z на обратное у обеих частей уравнения (1.3.17) изменяется знак. Если вращение тела происходит вокруг произвольной оси, которая параллельна оси симметрии тела, проходящей через его центр масс, то момент инерции согласно теореме Штейнера равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.   В таблице 1.3.4 приведены моменты инерции основных геометрических тел. Таблица 1.3.4 Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции Однородный тонкий стержень массой m и длиной l Проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стрежню Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R массой m, маховик радиусом R и массой m, распределенной по ободу Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Однородный шар массой m и радиусом R проходит через центр шара   Сохранение момента импульса вытекает из уравнения (1.3.10). Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), правая часть этого равенства равна нулю и, следовательно, вектор не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.   Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.   Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.   Согласно (1.3.8) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю. В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен. 1.4 Энергия Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения:   (1.4.1) где F - модуль силы, ds - путь, пройденный точкой приложения силы, α - угол между векторами силы и перемещения . Работа  алгебраическая величина, ее знак зависит от знака cos. Положительная работа совершается силой, если ее направление составляет острый угол  с направлением движения тела. Отрицательная работа совершается силой, направление которой составляет тупой угол  с направлением движения, при этом сила тормозит это движение. Величина  это проекция силы F на направление перемещения. Следовательно,   (1.4.2) Полная работа силы находится как сумма (интеграл) элементарных работ по всей траектории L точки:   (1.4.3) Графически работу можно представить как площадь под кривой Fs(s) (рис. 1.4.1), причем площади под осью абсцисс следует приписывать отрицательное значение.   Рис. 1.4.1.   Если перемещение ортогонально силе, то cos=0 и работа равна нулю: Если на тело действует несколько сил, то то есть работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности. Рассмотрим для примера работу, совершаемую внешней силой по сжатию и растяжению пружины с жесткостью . Направим ось 0x вдоль пружины, причем за начало координат 0 выберем положение свободного конца пружины, находящейся в ненагруженном состоянии. Процесс сжатия/растяжения представляем как последовательность равновесных состояний: в каждый момент времени прилагаем внешнюю силу, равную по величине силе упругости со стороны пружины. Тогда согласно третьему закону Ньютона и закону Гука где x удлинение пружины. При положительных x (растяжение пружины) внешняя cила направлена направо, при отрицательных (сжатие) — налево (см. рис. 1.4.2). Рис. 1.4.2   Скалярное произведение для элементарной работы внешней силы имеет в этом случае вид так что для полной работы упругой деформации пружины получаем   (1.4.4) Заметим, что A не зависит от знака x: и при растяжении, и при сжатии пружины внешняя сила совершает одну и ту же положительную работу.   Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность Р определяется соотношением   (1.4.5) где dA — работа, совершаемая за время dt. Подставив вместо dA выражение (1.4.1) и приняв во внимание, что ds/dt есть скорость v, получим (1.4.6) Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы. Единицей работы служит работа, совершаемая на пути в один метр силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж). Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л. с.) и равная 736 Вт. Если внешняя сила действует на покоящееся тело, последнее приобретает некоторую скорость и способно само совершить работу. Запишем уравнение движения материальной точки: где  результирующая сила. Умножим уравнение движения скалярно на d = dt: В правой части уравнения мы получили элементарную работу dA, в левой  выражение, которое можно преобразовать к виду полного дифференциала: В результате имеем   (1.4.7) то есть элементарная работа, совершенная силой при перемещении d материальной точки массой m равна приращению величины mv2/2+ const кинетической энергии, определяемой с точностью до произвольной постоянной. Получается, что сила совершает некоторую работу, и на такое же количество возрастает кинетическая энергия тела (обычное обозначение К). При отрицательной работе силы кинетическая энергия тела убывает: энергия движения расходуется на преодоление противодействующей ему силы. Обычно считают, что покоящееся тело кинетической энергией не обладает, так что произвольную постоянную полагают равной нулю:   (1.4.8) Кинетическую энергию материальной точки можно также выразить через ее импульс =m :   (1.4.9) Если (система замкнута), то работа сил равна нулю, следовательно, равно нулю приращение кинетической энергии. Иными словами, кинетическая энергия в этом случае сохраняется: К=const. Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Примерами могут служить взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и поднятым над ее поверхностью телом, взаимодействие между наэлектризованными телами. Подобные взаимодействия осуществляются посредством физических полей, которые представляют собой особую форму материи. Каждое поле создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем.   Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, называются консервативными.   Легко показать, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, поле называется однородным. Если, кроме того, поле не изменяется со временем, оно называется стационарным. В случае однородного стационарного поля = const. Можно доказать, что силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны. Примером однородного стационарного поля может служить поле силы тяжести в ограниченной области вблизи поверхности Земли. Согласно (1.4.10) работа, совершаемая над частицей силой тяжести, независимо от формы траектории, равна   (1.4.10) где h1 - h2 есть проекция перемещения s12 на направление силы, т. е. на направление вниз по вертикали. Следовательно, сила тяжести Fт = mg консервативна. Поле, в любой точке которого направление силы, действующей на частицу, проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от расстояния r до этого центра, называется центральным. Направлена сила либо от центра (как на рис. 1.4.3), либо к силовому центру. Найдем работу, совершаемую над частицей в центральном стационарном, т. е. не изменяющемся со временем, силовом поле. В таком поле модуль силы определяется функцией F(r). Представим элементарную работу в виде , где F(r) — модуль силы, adsF — проекция перемещения на направление силы. Из рис. 1.4.3, выполненного для силы, направленной от центра (т. е. для случая отталкивания частицы от силового центра), следует, что dsF можно положить равной dr. Очевидно, что для силы, направленной к центру (т. е. для случая притяжения частицы к центру), dsF будет равна -dr (приращению r, взятому с обратным знаком). Соответственно dAравна F(r)dr в случае отталкивания и -F(r)dr в случае притяжения. Рис.1.4.3   Работу на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, взяв интеграл от dA, В результате получим выражение   (1.4.11)   (1.4.12) Оба интеграла зависят только от вида функции F(r) и от пределов интегрирования r1 и r2; от формы траектории они никак не зависят. Отсюда заключаем, что силы центрального стационарного поля являются консервативными. Сопоставим каждой точке поля консервативных сил значение некоторой функции координат П(x,y,z), которую определим следующим образом. Произвольно выбранной точке О припишем значение функции П0, взятое также произвольно. Значение функции в любой другой точке В положим равным сумме П0 и работы Аво, совершаемой силами поля при перемещении частицы из точки В в точку О:   ПВ=П0+АВ0 (1.4.13) Поскольку работа Аво не зависит от пути, значения функции П во всех точках поля определяются однозначно. Функция (1.4.13) имеет, как и кинетическая энергия К, размерность работы и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле. Рис. 1.4.4   Посчитаем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (рис. 1.4.4). Согласно формуле (1.4.13) (мы воспользовались тем, что A20 =-А02). Правая часть полученного соотношения дает работу, совершаемую над частицей силами поля на пути из точки 1 в точку 2, проходящем через точку О. Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А12 совершается на любом другом пути. Следовательно, мы приходим к выводу, работа консервативных сил равна разности значений функции П в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии:   (1.4.14) Из (1.4.13) следует, что потенциальная энергия определяется с точностью до неизвестной аддитивной постоянной П0. Однако это не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии в двух точках, либо производная функции П по координатам. Ранее мы нашли, что работа силы тяжести равна   (1.4.15) Сопоставление формул (1.4.14.) и (1.4.15) дает, что потенциальная энергия частицы массы m в поле сил тяжести определяется выражением   (1.4.16) где h отсчитывается от произвольного уровня. В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа (1.4.14). Эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение П1 - П2 = К2 – К1, из которого следует, что   (1.4.17) Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (1.4.17) означает, что Е1 = Е2, т. е. что полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы. В случае поля сил тяжести полная энергия определяется выражением   (1.4.18) Кинетическая и потенциальная энергии могут превращаться друг в друга. Однако, если на частицу не действуют никакие силы, кроме обусловивших потенциальную энергию консервативных сил, полная энергия остается постоянной. Пусть частица свободно падает с высоты h. Первоначально ее кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна mgh. Формулы кинематики дают для скорости в конце падения значение . Следовательно, в конце падения кинетическая энергия частицы равна . Потенциальная же энергия в конце падения равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия превратилась в эквивалентное количество кинетической энергии. Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Силы, с которыми частицы действуют друг на друга, будем предполагать направленными вдоль проходящей через обе частицы прямой и зависящими только от расстояния между частицами. Эти силы для данной системы являются внутренними. Отметим, что указанными свойствами обладают гравитационные и электрические кулоновские (т. е. подчиняющиеся закону Кулона) силы. Найдем работу внутренних сил, совершаемую при перемещении первой частицы на d 1 а второй частицы на (напомним, что перемещение частицы равно приращению ее радиус-вектора). Из рис. 1.4.5 вытекает, что эту работу можно представить в виде  . Согласно третьему закону Ньютона , так что . Поэтому выражение для работы внутренних сил упрощается следующим образом:   (1.4.19) Рис. 1.4.5   Такая же работа была бы совершена, если бы первая частица была неподвижна и находилась в начале координат, а вторая частица получила перемещение , равное приращению ее радиус-вектора . Отсюда следует, что работу, совершаемую внутренними силами при движении обеих частиц, можно вычислять, считая одну из частиц неподвижной, а вторую движущейся в центральном поле сил, создаваемом первой частицей. Ранее было выяснено, что центральные силы консервативны, вследствие чего их работу можно вычислять как убыль потенциальной энергии. В рассмотренном случае эта энергия обусловлена взаимодействием частиц, входящих в систему; поэтому ее называют потенциальной энергией взаимодействия или взаимной потенциальной энергией. Когда первая частица неподвижна и находится в начале координат, в выражении (1.4.19) можно опустить индексы и написать его в виде   (1.4.20) Здесь — центральная сила, действующая на вторую частицу, - радиус-вектор этой частицы. Если частица притягивается к силовому центру, работа на произвольном пути от точки 1 до точки 2 определяется выражением (1.4.12). Приравняв эту работу убыли потенциальной энергии (см. (1.4.14)), получим   (1.4.21) В случае гравитационного притяжения частиц . Следовательно,   (1.4.22) Сопоставление соотношений (1.4.21) и (1.4.22) дает для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух частиц выражение   (1.4.23) Потенциальная энергия взаимодействия, как и потенциальная энергия во внешнем силовом поле, определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Действительно, прибавление к выражению (1.4.23) произвольной константы не изменяет значения работы, вычисленного по формуле (1.4.22). Обычно эту константу принимают равной нулю, тем самым полагая, что при бесконечно большом расстоянии между частицами (т. е. когда они не взаимодействуют) потенциальная энергия обращается в нуль. При такой нормировке потенциальная энергия оказывается отрицательной. Это согласуется с тем, что при сближении частиц сила притяжения между ними совершает положительную работу и соответственно убыль потенциальной энергии также должна быть положительной. Выражение, аналогичное (1.4.23), получается и для взаимной энергии двух точечных зарядов q1 и q2, модуль силы взаимодействия между которыми изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния: . Нетрудно убедиться в том, что в этом случае   (1.4.24) Можно показать, что взаимная потенциальная энергия системы, состоящей из N частиц, силы взаимодействия между которыми консервативны, слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно. Например, в случае трех частиц , где П12 — энергия взаимодействия первой и второй частиц и т. д. Это выражение можно представить в виде   (1.4.25) где индексы i и k принимают, независимо друг от друга, значения 1, 2, 3; случай i = k исключается. В этом выражении содержится 3·2 = 6 слагаемых. Множитель 1/2 появился вследствие того, что энергия взаимодействия, скажем, первой и второй частиц содержится в сумме два раза в виде П12 и П21. В случае любого N   (1.4.26) В этой сумме имеется N(N-1) слагаемых (каждая из N частиц взаимодействует с N-1 частицей). Взаимная энергия системы частиц зависит только от их взаимного расположения (от конфигурации системы). Если при движении частиц конфигурация системы не изменяется, то потенциальная энергия остается неизменной и внутренние силы работы не совершают. Потенциальной энергией обладают не только системы обособленных взаимодействующих частиц, но и сплошные деформированные тела (например, растянутая или сжатая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между витками пружины). Как для растяжения, так и для сжатия пружины на величину х нужно совершить работу А = kx2/2. Эта работа идет на приращение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид   (1.4.27) (мы предположили потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю). Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающемся изменением конфигурации системы. Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы П' во внешнем силовом поле: А12, внеш., консерв.= П1´-П2´ где П' определяется формулой (1.4.14). Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц: А12, внутр.= П1´´-П2´´   где П´´ определяется формулой (1.4.26). Работу неконсервативных сил обозначим . Суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы К, которая равна сумме кинетических энергий частиц:   (1.4.28) Следовательно, (П1´-П2´) + (П1´´-П2´´) + А*12 = К2-К1 Перегруппируем члены этого соотношения следующим образом: (К2 + П2´ + П2´´) – (К1 + П1´ + П1´´) = А*12 Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы Е:   Е = К + П´ + П´´ (1.4.29) Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:   Е2 – Е1= А*12 (1.4.30) Из (1.4.30) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:   Е = К + П´ + П´´ (1.4.31) Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных, точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.   Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит лишь два слагаемых: Е = К + П (П— взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т. е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t1 моментом времени t2 без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента t2, будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t1. При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется (см. формулу (1.4.30)). Неконсервативными, в частности, являются силы трения и силы сопротивления среды. Работа этих сил, как правило, отрицательна. Поэтому при наличии сил трения и сил сопротивления среды полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называется диссипацией энергии (латинское слово «диссипация» означает «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными. Отметим, что неконсервативные силы не обязательно являются диссипативными. Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неучтожимости материи и ее движения. • 2. Электричество и магнетизм ◦ 2.1 Электростатика ◦ 2.2 Постоянный электрический ток ◦ 2.3 Магнитостатика • 2.1 Электростатика • Все тела в природе образованы из атомов или молекул, которые, в свою очередь, состоят из ядер и электронов, обладающих электрическим зарядом. Существуют два типа электрических зарядов, условно называемых отрицательными и положительными. Между заряженными телами возникают особые силы взаимодействия, называемые электрическими силами. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные  притягиваются. • Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц. Заряд всех элементарных частиц (если он не равен нулю) одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом. Положительный элементарный заряд мы будем обозначать буквой е. • К числу элементарных частиц принадлежат, в частности, электрон (несущий отрицательный заряд - е), протон (несущий положительный заряд +е) и нейтрон (заряд которого равен нулю). Из этих частиц построены атомы и молекулы любого вещества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел. Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна нулю, и каждый такой объем (и тело в целом) будет нейтральным. • Наименьший по величине электрический заряд, экспериментально обнаруженный в природе, называемый элементарным равен: •     e = 1.6021892·10-19 Кл (2.1.1) •   • Прилагая некоторые усилия, можно оторвать электроны от одних тел, которые становятся при этом положительно заряженными, и передать их другим телам, которые заряжаются отрицательно. Такие тела являются макроскопически заряженными. Электрический заряд любого тела кратен элементарному заряду e, то есть изменяется: •     q = ±Ne (2.1.2) •   • где N целое число. • Факт, выражаемый формулой (2.1.2), означает, что электрический заряд квантуется. • Многочисленные эксперименты доказали, что имеет место закон сохранения электрического заряда, который утверждает, что •   • суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. •   • Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают два элементарных заряда противоположных знаков. Например, электрон и позитрон (положительный электрон) при встрече аннигилируют, т. е. превращаются в нейтральные гамма-фотоны. При этом исчезают заряды -е и +е. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-фотон, попадая в поле атомного ядра, превращается в пару частиц — электрон и позитрон. При этом возникают заряды -е и +е. • Отметим, что закон сохранения электрического заряда тесно связан с релятивистской инвариантностью заряда. Действительно, если бы величина заряда зависела от его скорости, то, приведя в движение заряды одного какого-то знака, мы изменили бы суммарный заряд изолированной системы. • Электрон  самая легкая из заряженных частиц, и благодаря закону сохранения заряда ему просто не на что распадаться. Поэтому электрон стабилен, и это есть необходимая предпосылка стабильности атомов, молекул, вещества и нас с вами. • Пусть имеются два заряженных макроскопических тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. В этом случае каждое тело можно считать материальной точкой или точечным зарядом. • Французский физик Ш. Кулон (1736-1806) экспериментально установил закон, носящий его имя (закон Кулона): •   • Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в пустоте пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти заряды   (2.1.3) • На рис. 2.1.1 показаны электрические силы отталкивания, возникающие между двумя одноименными точечными зарядами. • • Рис. 2.1.1. •   • Коэффициент пропорциональности в законе Кулона записывается в виде: •     (2.1.4) •   • Величина 0 называют электрической постоянной. Численное значение электрической постоянной следующее: • ε0 = 8,85·10-12 Ф/м. • Вокруг отдельного электрического заряда всегда существует электрическое поле. •   • Электрическое поле, созданное неподвижным зарядом (или системой неподвижных зарядов), называется электростатическим. •   • Посредством электростатического поля осуществляется взаимодействие между зарядами. Если в некоторую точку пространства на расстоянии r от заряда q внести другой заряд qпр (назовем его «пробным» зарядом), то на него будет действовать электростатическая сила Кулона со стороны заряда q, обусловленная взаимодействием зарядов q и qпр: •     (2.1.5) •   • Силы, действующие на один и тот же пробный заряд, в различных точках пространства, будут отличаться и по величине и по направлению (рис. 2.1.2). • • Рис. 2.1.2. •   • Легко видеть, что электрическое поле будет полностью охарактеризовано по величине и по направлению, если найти в каждой точке поля силу, действующую на единичный положительный пробный заряд qпр. •   • Напряженностью электрического поля в какой-либо точке пространства называется вектор , который численно равен и совпадает по направлению с силой , действующей со стороны поля на помещенный в рассматриваемую точку единичный положительный заряд.   •   (2.1.6) • В соответствии с определением напряженность электрического поля точечного заряда q равна:   , (2.1.7) • где  радиус-вектор, проведенный из точки местонахождения заряда q, создающего электрическое поле, в точку наблюдения. • К понятию о напряженности электрического поля мы пришли, исследуя поле неподвижного точечного заряда. Однако определение (2.1.6) распространяется и на случай поля, создаваемого любой совокупностью неподвижных зарядов. В этом случае, впрочем, необходимо следующее уточнение. Может случиться, что расположение зарядов, обусловливающих исследуемое поле, изменяется под воздействием пробного заряда. Это произойдет, например, когда заряды, создающие поле, расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах. Поэтому, чтобы не внести заметных изменений в исследуемое поле, величину пробного заряда нужно брать достаточно малой. • В СИ единица напряженности электрического поля имеет название вольт на метр и обозначается В/м. • Сила, действующая со стороны поля на произвольный точечный заряд qпр, равна •     (2.1.8) •   • Сила, с которой данная система зарядов действует на некоторый точечный заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на него каждый из зарядов системы. Отсюда следует, что электрическое поле системы зарядов определяется векторной суммой напряженности полей, создаваемых отдельными зарядами системы. Имеет место так называемый принцип суперпозиции (независимого наложения) электрических полей •   • Напряженность поля, созданного системой неподвижных заряженных тел, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым телом в отдельности: • • На рис. 2.1.3 иллюстрируется принцип суперпозиции полей на примере поля, создаваемого двумя точечными зарядами. • • Рис. 2.1.3. •   • Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора напряженности электрического поля . Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии (или векторные линии напряженности). •   • Линией напряженности электрического поля (силовой линией) называется такая линия, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля •   • На рис. 2.1.4 показана силовая линия электрического поля. Векторы напряженности электрического поля направлены по касательной к силовой линии. • • Рис. 1.2.4. •   • Число линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к силовым линиям, характеризует численное значение величины Е в данной области пространства. Конфигурация силовых линий позволяет судить об изменении направления и величины вектора Е в пространстве. • Отметим некоторые важные свойства силовых линий: •                         силовые линии начинаются на положительных зарядах (или на бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или на бесконечности); •                         силовые линии нигде не пересекаются (в противном случае, напряженность E была бы неоднозначной величиной).; •                         через любую точку пространства можно провести силовую линию. • На рис. 2.1.5 приведена картина силовых линий поля уединенного точечного заряда. • • Рис. 2.1.5 •   • В первом случае силовые линии начинаются на точечном заряде и уходят в бесконечность, во втором случае силовые линии приходят из бесконечности и заканчиваются на точечном заряде. • Силовые линии электрического поля, образованного двумя равными по модулю точечными одноименными зарядами, представлены на рис. 2.1.6. • • Рис. 2.1.6 •   • Картина силовых линий электрического поля, образованного двумя равными по модулю точечными разноименными зарядами, приведена на рис. 2.1.7. • • Рис. 2.1.7 •   • Электрическое поле, напряженность которого одинакова по модулю и направлению во всех точках пространства, называется однородным электрическим полем. •   • Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. В любой точке этого поля на точечный заряд q' действует сила •     (2.1.9) •   • Здесь F (r) — модуль силы , r— орт радиуса-вектора , определяющего положение заряда q' относительно заряда q. • Сила (2.1.9) является центральной. Центральное поле сил консервативно. Следовательно, работа, которая совершается силами поля над зарядом q' при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути. Эта работа равна •     (2.1.10) •   • где d — элементарное перемещение заряда q'. Из рис. 2.1.8 видно, что скалярное произведение равно приращению модуля радиуса-вектора , т. е. d . Поэтому формулу (2.1.10) можно представить в виде • • Подстановка выражения для (r) дает: •     (2.1.11) •   • • Рис. 2.1.8 •   • Работа сил консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии: •     (2.1.12) •   • Сопоставление формул (2.1.11) и (2.1.12) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q: • • Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при r = ∞) потенциальная энергия обращалась в нуль. • При этом условии получается, что •     (2.1.13) •   • Воспользуемся зарядом q' в качестве пробного заряда для исследования поля. Согласно (2.1.13) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q', но и от величин q и r, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд. • Разные пробные заряды q'np, q"пр и т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией W'p, W"p и т. д. Однако отношение Wp/qпр будет для всех зарядов одним и тем же (см. формулу (2.1.13)). • Величина •     (2.1.14) •   • называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля , для описания электрических полей. • Потенциал и напряженность электростатического поля связаны между собой соотношением , где - градиент функции φ. с помощью этого соотношения можно доказать, что: •     (2.1.15) •   • Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил электростатического поля не зависит от пути. • Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной (поверхностью равного потенциала). Ее уравнение имеет вид •     (2.1.16) •   • Из (2.1.14) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставив в (2.1.14) значение потенциальной энергии (2.1.13), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение: •     (2.1.17) •   • Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q1, q2,…, qN. Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим r1, r2,. , rN. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q', будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности: • . • Согласно (2.1.11) каждая из работ Ai равна • • где ri1- расстояние от заряда qi до начального положения заряда q', ri2- расстояние от qi до конечного положения заряда q'. Следовательно, • . •   • Сопоставив это выражение с соотношением (2.1.12), получим для потенциальной энергии заряда q' в поле системы зарядов выражение • ,  • из которого следует, что   (2.1.18) • Сопоставление полученной формулы с выражением (2.1.17) приводит к выводу, что • потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. •   • В то время как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностеи электрического поля. • Из формулы (2.1.14) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом φ, обладает потенциальной энергией •     (2.1.19) •   • Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов: •     (2.1.20) •   • Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках (т. е. на убыль потенциала). • Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна •     (2.1.21) •   • Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу нужно совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля. • Формулу (2.1.21) можно использовать для установления единиц потенциала. За единицу потенциала принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, в СИ за единицу потенциала, называемую вольтом (сокращенное обозначение - В), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного одному кулону, нужно совершить работу в один джоуль: 1 Дж=1 Кл·1 В, отсюда . • Выражение (2.1.13) можно рассматривать как взаимную потенциальную энергию зарядов q и q'. Обозначив заряды через q1 и q2 получим для их энергии взаимодействия формулу   (2.1.22) •   • Расстояние между зарядами мы обозначили символом r12. Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов q1, q2,…, qN. Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов, взятых попарно:   (2.1.23) • В формуле (2.1.23) суммирование производится по индексам i и k. Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, все значения от 1 до N. Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса к, не принимаются во внимание. Придадим формуле (1.3.16) следующий вид:   (2.1.24) • Выражение (2.1.24) представляет собой формулу энергии взаимодействия системы зарядов. • Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Такое распределение является единственным. Поэтому, если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить еще заряд такой же величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно таким же образом, как и первый, в противном случае он создаст в проводнике поле, отличное от нуля. Следует оговорить, что это справедливо лишь для удаленного от других тел (уединенного) проводника. Если вблизи данного проводника находятся другие тела, сообщение проводнику новой порции заряда вызовет изменение поляризации этих тел либо изменение индуцированных зарядов на этих телах. В результате подобие в распределении различных порций заряда будет нарушено. • Итак, различные по величине заряды распределяются на уединенном проводнике подобным образом (отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одним и тем же). Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Соответственно в такое же число раз возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т. е. потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника   q = cφ. (2.1.25) • Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроемкостью (сокращенно просто емкостью) проводника. Из (2.1.25) следует, что   (2.1.26) • В соответствии с (2.1.26) емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. • За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица емкости называется фарадом (Ф). • Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе («конденсировали») заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды. Заряды, противоположные по знаку заряду проводника q, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q, и, следовательно, оказывают большее влияние на его потенциал. Поэтому при поднесении к заряженному проводнику какого-либо тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине. Согласно формуле (2.1.26) это означает увеличение емкости проводника. • Конденсаторы делают в виде двух проводников, помещенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку. • Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:   (2.1.27) • Разность потенциалов называют напряжением между соответствующими точками. Мы будем обозначать напряжение буквой U. • Воспользовавшись этим обозначением, можно придать формуле (2.1.27) вид •     (2.1.27) •   • Здесь U — напряжение между обкладками. • Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость уединенных проводников. • Величина емкости определяется геометрией конденсатора (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. • Емкость плоского конденсатора:   , (2.1.28) • где S — площадь обкладки, d — величина зазора между обкладками, ε - диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор. • Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов qi. Согласно выражению для энергии взаимодействия системы зарядов (см. формулу (2.1.24):   (2.1.29) •   • Здесь φi- потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме qi в той точке, где помещается заряд qi. • Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды qi одинаковы и равны потенциалу φ проводника. Воспользовавшись формулой (2.1.29), получим для энергии заряженного проводника выражение •     (2.1.30) •   • Приняв во внимание соотношение (2.1.26), можно написать   (2.1.31) •   • Любое из этих выражений дает энергию заряженного проводника. • Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q, равен φ1 а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q, равен φ2. Тогда каждый из элементарных зарядов qi, на которые можно разделить заряд +q, находится в точке с потенциалом φ1 а каждый из зарядов, на которые можно разделить заряд -q,— в точке с потенциалом φ2. Согласно формуле (2.1.29) энергия такой системы зарядов равна • • . • Воспользовавшись соотношением (2.1.27), можно написать три выражения для энергии заряженного конденсатора:   (2.1.32) 2.2 Постоянный электрический ток Если через некоторую воображаемую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, говорят, что через эту поверхность течет электрический ток. Ток может течь в твердых телах (металлы, полупроводники), в жидкостях (электролитах) и в газах. Для протекания тока необходимо наличие в данном теле (или в данной среде) заряженных частиц, которые могут перемещаться в пределах всего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могут быть электроны, либо ионы, либо, наконец, макроскопические частицы, несущие на себе избыточный заряд (например, заряженные пылинки и капельки). Носители тока находятся в беспорядочном тепловом движении. Через воображаемую площадку переносится в обоих направлениях одинаковый заряд и ток отсутствует.при наличии электрического поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение носителей – возникает ток. Таким образом, можно сказать, что   ток - это упорядоченное движение электрических зарядов.   Количественной характеристикой электрического тока служит величина заряда, переносимого через рассматриваемую поверхность в единицу времени. Ее называют силой тока. Если за время dt через поверхность переносится заряд dq, то сила тока равна     (2.2.1)   За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители. Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей тока приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника исчезнет и ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (носители тока предполагаются положительными) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить (рис. 2.2.1). Иными словами, необходимо осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Рис. 2.2.1   В замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные носители движутся в сторону убывания потенциала φ, должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания φ, т. е. против сил электростатического поля (см. изображенную пунктиром часть цепи на рис. 2.2.1). Перемещение носителей на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами. Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде или через границу двух разнородных веществ, электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями и т. д. Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Величина, равная работе сторонних сил над единичным положительным зарядом, называется электродвижущей силой, действующей в замкнутой цепи или на ее участке. Следовательно, если работа сторонних сил над зарядом q равна А, то     (2.2.2)   Размерность э.д.с. совпадает с размерностью потенциала. Поэтому ℰ измеряется в тех же единицах, что и φ. Стороннюю силу CT, действующую на заряд q, можно представить в виде Векторную величину называют напряженностью поля сторонних сил. Работа сторонних сил над зарядом q на участке цепи 1-2 равна Разделив эту работу на q, получим э. д. с, действующую на данном участке:   (2.2.3) Аналогичный интеграл, вычисленный для замкнутой цепи, даст ЭДС, действующую в этой цепи.   (2.2.4) Кроме сторонних сил, на заряд действуют силы электростатического поля . Следовательно, результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2, определяется выражением   (2.2.5) Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи. В соответствии с формулой (2.2.5)   (2.2.6) Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным. Для однородного участка цепи   (2.2.7) т. е. напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах участка. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U=2-1>0. Перемещаясь из точки 2 с большим потенциалом в точку 1, где потенциал меньше, положительный заряд q теряет энергию По определению для постоянного тока тогда и теряемая энергия (или работа сил электрического поля) равна Куда же девается эта энергия? Она не переходит в кинетическую энергию заряда, так как при постоянном токе дрейфовая скорость зарядов неизменна. Вспомним, что заряд не ускоряется из-за столкновений с атомами кристаллической решетки проводника. Значит, если в проводнике течет ток и проводник неподвижен, то работа сил электрического поля расходуется на нагревание проводника. Сталкиваясь с частицами проводника, носитель заряда передает им свою энергию, которую получает от поля. Поэтому работа поля над зарядами переходит, в конечном счете, в энергию теплового (хаотического) движения атомов проводника, то есть происходит нагревание проводника. Таким образом, работаА, произведенная за время t, выделяется в проводнике в виде теплоты Q   (2.2.8) Данная формула носит название закона Джоуля-Ленца. Закон установлен Дж. Джоулем в 1841 г. и независимо от него русским физиком Э. X. Ленцем в 1842 г. В начале двадцатого столетия был экспериментально доказан тот факт, что носителями тока в металлах являются свободные электроны. Исходя из этих представлений, немецкий физик Друде создал (1900 г.) классическую электронную теорию проводимости металлов, усовершенствованную затем другими физиками. Внутренняя структура металлов характеризуется кристаллической решеткой (рис. 2.2.2).     Рис. 2.2.2.   В узлах решетки расположены положительные ионы, представляющие собой атомы металла, лишенные одного или нескольких валентных электронов и поэтому заряженные положительно. Эти положительные ионы способны совершать лишь небольшие тепловые колебания около своих положений равновесия в узлах кристаллической решетки. В пространстве между ионами практически свободно движутся оторвавшиеся от атомов и «обобществленные» кристаллом валентные электроны, образуя так называемый электронный газ. Согласно теории Друде, электроны в кристаллической решетке ведут себя во многом подобно идеальному газу, поэтому можно использовать для описания их поведения известные формулы кинетической теории газов. В отсутствие внешнего поля любые направления скорости электронов, находящихся в хаотическом тепловом движении, равновероятны, следовательно, средняя плотность тока равна нулю, и можно сказать, что электронный газ в целом покоится по отношению к положительным ионам решетки. Согласно классической термодинамике, средняя энергия поступательного теплового движения молекул любого газа зависит лишь от температуры T, но не от химической природы и молекулярного веса газа и равна   (2.2.9) Отсюда находим среднеквадратичную скорость хаотического движения частиц   (2.2.10) Для комнатных температур vТ=105 м/с. При наличии внешнего электрического поля электроны в металле будут также обладать некоторой средней (дрейфовой) скоростью v направленного движения против внешнего поля Е. Согласно данным выше оценкам, скорость v на много порядков меньше скорости vТ. Если рассматривать электронный газ в металле как идеальный газ, то тепловое движение электронов в кристаллической решетке можно охарактеризовать средней длиной свободного пробега , то есть средним расстоянием, проходимым свободно движущимися электронами в металле между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки. Среднее время между двумя столкновениями будет Так как v<0 и, следовательно, противится изменениям тока (убыванию положительного либо возрастанию по модулю отрицательного тока). Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.3.5. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Рис. 2.3.5   Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна (2.3.22) Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то d𝛹=L dI и выражение (4.3.1) принимает вид dA = -LIdI. (2.3.23) Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля, (2.3.24) Работа (2.3.24) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (2.3.24). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией (2.3.25) • 3. Колебания и волны. Оптика ◦ 3.1 Гармонические колебания ◦ 3.2 Волны ◦ 3.3 Интерференция волн ◦ 3.4. Дифракция волн 3.1 Гармонические колебания Колебания это физические процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости.   В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) и вынужденные колебания. Уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами. Пружинный маятникэто система, состоящая из груза массой m, подвешенного на пружине жесткостью k. Рис. 3.1.1   В положении равновесия (рис. 3.1.1) сила тяжести mg уравновешивается упругой силой kl0: откуда   (3.1.1) где l0 – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x=0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия. Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным l0+x. По закону Гука результирующая сила будет тогда равна   (3.1.2)   Учитывая, что получим   (3.1.3) Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины. Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона: Его можно также представить в виде:   (3.1.4)   Математический маятникэто идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело, размерами которого можно пренебречь. Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом ,который образует нить с вертикалью (рис. 3.1.2). Рис. 3.1.2.   При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Их равнодействующая направлена по касательной к окружности радиусом l и равна Скорость материальной точки тоже направлена по касательной и равна   так что тангенциальное ускорение будет   Записываем теперь уравнение движения   (3.1.5) (знак минус соответствует тому, что сила F стремится уменьшить угол ). При небольших отклонениях маятника Получаем тогда:       (3.1.6) Физический маятникэто колеблющееся тело, закрепленное на оси, которое невозможно представить как материальную точку.   Пример физического маятника приведен на рис. 3.1.3. Рис. 3.1.3.   При отклонении маятника от положения равновесия на угол  возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен   (3.1.7) где m– масса маятника, а l– расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника. Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков M и  можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:     (3.1.8) Ограничимся рассмотрением малых колебаний:   В этом случае уравнение колебаний принимает вид:     (3.1.9) В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции которой равен   мы приходим к уравнению (5.1.6) движения математического маятника. Мы рассмотрели несколько совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме   (3.1.10) Разница между физическими системами заключена в определении величины 0 и в физическом смысле переменной x: это может быть координата, угол, заряд, ток и т.д. Уравнение (3.1.10) описывает так называемые гармонические колебания.   Гармонические колебания это такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.   Общее решение уравнения гармонических колебаний можно представить в виде:   (3.1.11) Величина A называется амплитудой колебания, а  – начальной фазой. Аргумент тригонометрической функции 0t+ называется фазой колебания. Проекция на ось x силы , которая действует на тело, совершающее гармонические колебания, может быть определена из второго закона Ньютона: . Воспользовавшись соотношением (3.1.10), получим: , (3.1.12) где (3.1.13) Силы вида (3.1.12) независимо от их природы называются квазиупругими. Квазиупругая сила обусловливает наличие у тела потенциальной энергии (3.1.14) Кинетическая энергия тела (3.1.15) Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия W состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения . (3.1.16) При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения (3.1.17) Можно показать, что Wk и Wp изменяются с частотой 2ω0, т.е. с частотой, в два раза превышающей частоту гармонического колебания. 3.2 Волны Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.   Процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени называется волной.   Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер. Рис. 3.2.1   Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат у и z), колеблются в одинаковой фазе. На рис. 3.2.1 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными х в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции ξ (х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что , (3.2.1) где v — скорость волны, Т — период колебаний. Длину волны λ можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 3.2.1). Заменив в соотношении (3.2.1) Т через 1/ν (ν - частота колебаний), получим (3.2.2) Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t: ξ=ξ (х, у, z; t) (3.2.3) (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, у, z. Периодичность по времени вытекает из того, что ξ описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние λ, колеблются одинаковым образом. Рис. 3.2.2   Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t: ξ = ξ (х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 (рис. 3.2.2), имеют вид . Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время τ = х/v (v — скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е. будут иметь вид . Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом: (3.2.4) Величина A представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начал отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы α была равной нулю. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (3.2.4), положив . (3.2.5) Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (3.2.5), получим , откуда Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (3.2.4) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. Согласно (6.2.4) dx/dt>0. Следовательно, уравнение (3.2.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением (3.2.5) Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину , (3.2.7) которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель выражения (3.2.7) на частоту ν, можно представить волновое число в виде (3.2.8) Раскрыв в (3.2.4) круглые скобки и приняв во внимание (3.2.8), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х: (3.2.9) Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (3.2.9) только знаком при члене kx. 3.3 Интерференция волн При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных световых волн в разных точках пространства происходит перераспределение светового потока, в результате этого в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности света. Это явление называется интерференцией света. Для световых волн, так же как и для любых других волн, справедлив принцип суперпозиции. При сложении плоских когерентных волн амплитуда результирующего колебания определяется по формуле:   (3.3.1) где (1 – 2) – разность фаз световых волн. Анализируя полученное выражение, получим следующие выводы:   1.                если (φ1-φ2) = 0, 2π, 4π,…,2kπ, то cos(φ1-φ2) = 1 и A = A1 + A2, наблюдается интерференционный максимум; 2.                если (φ1-φ2) = π, 3π,…,(2k-1)π, то cos(φ1-φ2) = -1 и A = A1 - A2, наблюдается интерференционный минимум, здесь k = 0, 1, 2, 3,… (3.3.2) Параметр k определяет порядок интерференционных максимума или минимума. Если интерферирующие когерентные волны имеют равные амплитуды, то амплитуда результирующей волны будет равна:   в интерференционном максимуме Amax = 2A, в интерференционном максимуме Amin = 0. (3.3.3) Усредненная во времени плотность энергии светового потока, или интенсивность света, и, следовательно, интенсивность света в интерференционном максимуме в 4 раза выше, чем для любой из волн.    IA2 (3.3.4)       Если же накладываются некогерентные волны, то происходит простое сложение интенсивностей волн. Это наблюдается для большинства обычных световых источников. К ним относятся солнце, нагретые тела и др. Эти источники являются некогерентными. Обычно условия максимума и минимума формулируются не через разность фаз, а через разность хода световых волн. Различают геометрическую и оптическую разности хода лучей. Пусть одна из интерферирующих волн проходит оптический путь x1 со скоростью в среде с показателем преломления n1 , а другая – оптический путь x2 со скоростью  в среде с показателем преломления n2. При наложении волн разность фаз равна:     (3.3.5) где  – частота колебаний. Учитывая, что длина волны и абсолютные показатели преломления сред соответственно равны:     (3.3.6) получим для разности фаз:       где T – период колебаний, c – скорость света в вакууме, L1, L2 – оптические длины пути лучей.    = L1 – L2 – оптическая разность хода. (3.3.7)       Если оба луча проходят оптические пути в одной среде, то используется понятие геометрической разности хода. Тогда:    = x1 – x2. (3.3.8) При наложении световых волн колебания усиливают друг друга в тех точках, для которых оптическая разность хода равна четному числу полуволн:      (3.3.9) и ослабляют, если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:      (3.3.10) Для наблюдения интерференции света необходимо получить когерентные световые пучки. Методом, позволяющим получить когерентные световые пучки, является метод первоначального разделения и последующего наложения световых лучей, идущих от одного и того же источника. На практике разделение луча осуществляется с помощью щелей, зеркал и преломляющих тел. Щели Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие симметрично расположенные щели S1 и S2. Таким образом, щели S1 и S2 играют роль когерентных источников. Действительно, естественный луч разделяется на два когерентных луча, которые проходят разные оптические пути и, достигая экрана, соединяются и интерферируют в области перекрывания когерентных световых пучков (заштрихованная область).   Рис. 3.3.1   Рассмотрим идеализированный случай, когда источники S1 и S2 строго монохроматические. В интересующую нас точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинаковой амплитудой:   A1 = A2 = A.   Общая схема наблюдения интерференции показана на рис. 3.3.2.  Рис. 3.3.2.   Монохроматическая волна, идущая от источников S1 и S2, описывается уравнениями гармонических колебаний:   1 = A cos(t – kl1 + 1), 2 = A cos(t – kl2 + 2), (3.3.11) где 1 и 2 – смещение от положения равновесия в момент времени t, A – амплитуда колебаний,  – круговая или циклическая частота колебаний источника, k = 2/ – волновое число ( – длина волны), l – расстояние от источника до точки наблюдения, 1 и 2 – начальные фазы колебаний. В результате сложения волн имеем:       (3.3.12) Положим разность начальных фаз, равной нулю:    1 – 2 = 0,   тогда амплитуда результирующей волны в точке Р экрана:    (3.3.13) В том случае, когда волны от источников S1 и S2 распространяются в средах с различными показателями преломления n1 и n2, выражение (3.3.13) принимает вид:    (3.3.14) где  = n1l1 – n2l2,  – оптическая разность хода.  Из рисунка 3.3.2 видно:     (3.3.15) Вычтя из первого уравнения второе в (3.3.15), получим выражение для геометрической разности хода лучей:    (3.3.16) Интерференция наблюдается при условии    d<n0 (n0 – показатель преломления среды вне пластинки), то потеря полуволны произойдет в точкеО и, следовательно, в вышеприведенном выражении будет знак минус. Из рисунка видно, что      Из закона преломления для данного случая следует, что    sin i = n cos r.   Тогда      Окончательно имеем:    (3.3.21) В точке Р будет наблюдаться интерференционный максимум, если    (3.3.22) Соответственно, условие минимума:   (3.3.23) В естественных условиях на пленку падает белый полихроматический свет, поэтому возникающие интерференционные полосы радужно окрашены. Однако в некоторых случаях наблюдателю пленка представляется окрашенной в какой-либо один цвет. Из выражения (3.3.3) следует, что это обусловлено при постоянстве толщины пленки только углом падения i. При изменении угла падения условие максимума может выполняться для той или иной длины волны, что и определяет различную окраску интерференционных полос.   Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.   Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну. Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях: Преобразовав сумму этих выражений по формуле для суммы косинусов, придем к уравнению стоячей волны: (3.3.24) Чтобы упростить уравнение, выберем начало отсчета x так, чтобы разность α2 – α1 стала равной нулю, а начало отсчета так, чтобы оказалась равной нулю сумма α2 + α1. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение стоячей волны примет вид (3.3.25) Из уравнения (3.3.25) видно, что в каждой точке стоячей волны совершаются гармонические колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от x: амплитуда = В точках, координаты которых удовлетворяют условию (3.3.26) амплитуда колебаний максимальна. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей: xпучн = ±nλ/2 (3.3.27) В точках, координаты которых удовлетворяют условию (3.3.28) амплитуда равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов xузл = ±(n+1/2)λ/2 (3.3.29) Узел, как и пучность, представляет собой не точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой либо (3.3.27), либо (3.3.29). Из формул (3.3.27) и (3.3.29) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно λ/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны. Множитель 2А cos 2πx/λ при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). 3.4. Дифракция волн Из геометрической оптики известно, что волна распространяется в пространстве прямолинейно. Если на пути волны встречается препятствие, то за препятствием должна образовываться область геометрической тени, Однако в ряде случаев волны могут попадать в область геометрической тени. Это противоречит законам геометрической оптики. Любое отклонение от законов геометрической оптики при распространении волн называют дифракцией. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через малые отверстия и т.д.  Рис. 3.4.1   Явление дифракции волн объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка фронта волны служит источником вторичных волн. Если на пути плоской волны имеется преграда с отверстием, то каждая точка отверстия становится источником вторичных волн (рис. 3.4.1), а огибающая этих волн является фронтом волны, прошедшей через отверстие. Этот фронт является плоским только в средней части, у границ происходит его искривление и загибание в область геометрической тени. Принцип Гюйгенса, являясь чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей, решает задачу лишь о направлении распространения волнового фронта, но не дает сведений об амплитуде и, следовательно, об интенсивности волн, распространяющихся в разных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн. Таким образом, согласно принципу Гюйгенса-Френеля: - все точки фронта световой волны являются источниками вторичных волн и испускают вторичные волны, - вторичные волны когерентны и поэтому они при наложении друг на друга интерферируют. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае вычислить амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т.е. определить закономерности распространения света. В рамках волновой теории из принципа Гюйгенса должен вытекать закон о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, применив специальный прием, получивший название метода зон Френеля. Найдем в произвольной точке Р амплитуду сферической волны, распространяющейся в однородной среде от точечного источника монохроматического света S. В некоторый момент времени фронт этой волны занимает положение Ф. Благодаря волновой природе света в точку наблюдения Р приходят волны как от точки М0, лежащей на луче SM0P, так и от остальных точек фронта Ф, но в различных фазах.     Рис. 3.4.2   Френель разделил волновую поверхность на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличались на полволны (λ/2). Колебания, приходящие на экран в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, находятся в противофазе и ослабляют друг друга. Амплитуда результирующей волны в точке Р равна:     Ap = A1 – A2 + A3 – A4 + ...  Am, (3.4.1) где A1, A2, ...Am – амплитуды колебаний, возбуждаемых первой, второй, третьей, ...m-той зонами. Амплитуда сферической волны     и, следовательно,    A1>A2>A3>A4> ...   Несложный расчет показывает, что при небольшом количестве зон (небольшом значении m) площади всех зон примерно одинаковы, и можно допустить, что амплитуда Аm от m-ой зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.    (3.4.2) Представим (3.4.1) в виде    (3.4.3) Из (3.4.2) следует, что все слагаемые в скобках в выражении (3.3.23) равны нулю, амплитуду m-зоны можно считать ничтожно малой и тогда    (3.4.4) Таким образом, суммарная амплитуда от воздействия всего фронта волны в точке наблюдения Р эквивалентна половине воздействия только одной центральной зоны. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке Р увеличивается до А1 и интенсивность света будет в 4 раза больше, чем при отсутствии преград между источником S и точкой на экране (Р). Внешний радиус m-ой зоны Френеля находится из выражения для сферической волны:    (3.4.5) для плоской волны    (3.4.6) где a – растояние от источника до фронта волны (для плоской волны a= ), b – растояние от вершины фронта волны до точки наблюдения P. Оценим радиус первой зоны Френеля. Пусть, a = b = 1 м, l = 0,5 мкм, тогда r1 = 0,5 мм. Следовательно, распространение света от источника S к точке Р происходит как в узком канале, т.е. прямолинейно. Метод зон Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде. Этот метод дает также объяснение явления дифракции. Дифракция на круглом отверстии. Дифракцию сферических волн называют обычно дифракцией Френеля. Пусть сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути препятствие в виде непрозрачного экрана с круглым отверстием. Рис. 3.4.3   Радиус этого отверстия мал так, что r0<Q), то приращение внутренней энергии отрицательно и, следовательно, конечное значение внутренней энергии будет меньше начального (U2Q′; соответственно А и Q отрицательны, причем |А|>|Q|). При вычислении работы и теплоты обычно приходится разбивать рассматриваемый процесс на ряд элементарных процессов, соответствующих очень малому (в пределе – бесконечно малому) изменению параметров системы. Уравнение первого начала для элементарного процесса имеет вид ∆′Q = ∆U+∆′А, (5.1.5) где ∆′Q – элементарное количество теплоты, ∆′А – элементарная работа и ∆U – приращение внутренней энергии системы в ходе данного элементарного процесса. В то время как ∆U есть приращение внутренней энергии, ∆′Q и ∆′А не являются приращениями величин Q и А. Внутренняя энергия представляет собой функцию состояния системы. Поэтому ее приращение при переходе системы из одного состояния в другое не зависит от пути, по которому совершался переход, и можно говорить о запасе внутренней энергии, которым обладает система в различных состояниях. Из рис. 5.1.3 вытекает, что совершенная телом работа зависит от пути, по которому совершался переход из одного состояния в другое (площадь, охватываемая различными кривыми, неодинакова). То же самое относится и к количеству теплоты. Следовательно, ни А, ни Q не являются функциями состояния – нельзя говорить о запасе работы или теплоты, которым обладает тело в различных состояниях. Символ ∆U обозначает приращение внутренней энергии, символы же ∆′Q и ∆′А обозначают не приращение, а элементарное количество работы и теплоты. Если перейти к дифференциалам, уравнение (5.1.5) примет вид d′Q = dU + d′A. (5.1.6) Согласно принятой в математике терминологии dU есть полный дифференциал, в то время как d′Q и d′A не являются полными дифференциалами. Соответственно интеграл   (5.1.7) не зависит от пути, по которому осуществляется интегрирование, и равен разности значений функции U в состояниях 2 и 1. Интегралы же и (5.1.8) зависят от пути, по которому производится интегрирование (они являются функциями процесса), и не могут быть представлены в виде А2-А1 и Q2-Q1, поскольку о запасе работы и теплоты говорить нельзя – эти величины не являются функциями состояния. В выражениях (5.1.8) А12 – работа, совершаемая телом в ходе процесса 1-2, а Q12 – количество теплоты, полученной телом в ходе того же процесса. Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин. Аналитически это записывается следующим образом: , (5.1.9) где d′Q – количество теплоты, сообщение которого повышает температуру тела на dT. Теплоемкость тела измеряется в Дж/К. Теплоемкостью единицы массы вещества, называемую удельной теплоемкостью, является отношение теплоемкости тела к его массе. Она измеряется в Дж/(кг∙К). Молярная теплоемкость, которая представляет собой теплоемкость одного моля вещества, измеряется в Дж/(моль∙К). Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением с=С/М, (5.1.10) где М – молярная масса. Теплоемкость зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляют случаи, когда нагревание производится при постоянном объеме (теплоемкость обозначается Сv) или при постоянном давлении (теплоемкость обозначается Cp). Если нагревание производится при постоянном объеме, то тело не совершает работы над внешними телами и, следовательно, вся теплота идет на приращение внутренней энергии тела: d′QV=dU. отсюда следует, что молярная теплоемкость любого вещества при постоянном объеме равна (V=const) (5.1.11) Теплоемкость при постоянном давлении Ср бывает больше, чем СV, потому что при постоянном давлении нагреваемое тело расширяется, и часть подводимой теплоты расходуется на совершение работы над внешними телами. Опытным путем установлено, что у газов, близким по своим свойствам к идеальному газу, теплоемкость при постоянном объеме в широких температурных интервалах практически не зависит от температуры. Согласно формуле (5.1.11) dUM=CVdT. Проинтегрировав это соотношение, получим выражение для внутренней энергии моля идеального газа . Внутренняя энергия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, поэтому в выражении для UM можно отбросить. В результате получается формула UM=CVT. Внутренняя энергия – величина аддитивная. Следовательно, внутренняя энергия массы газа m будет равна (5.1.12) Напишем уравнение (5.1.6) для моля газа, заменив в нем d′A через pdVM и предположив, что теплота сообщается газу при постоянном давлении: d′Qp = dUM+pdV (VM –молярный объем; Qp –теплота, сообщаемая при постоянном давлении). Разделив, это выражение на приращение dT, которое получает температура газа при сообщении ему теплоты d′Qp, придем к формуле для молярной теплоемкости газа при постоянном давлении: Согласно формуле (5.1.11) слагаемое равно молярной теплоемкости при постоянном объеме. Учтя это, придем к соотношению (5.1.13) Мы не делали никаких предположений о свойствах газа, поэтому формула (5.1.13) справедлива для любых газов. Теперь предположим, что газ идеальный. В соответствии с уравнением состояния объем моля газа VM= RT/p. Продифференцировав это выражение по Т в предположении, что р = const, получим, что . (5.1.14) Подстановка этого значения производной в (5.1.13) приводит к соотношению . (5.1.15) Это выражение называется уравнением Майера и показывает, что работа, совершаемая молем идеального газа при повышении его температуры на один кельвин при постоянном давлении, равна газовой постоянной R. Отношение теплоемкостей (5.1.16) представляет собой характерную для каждого газа величину. Она называется показателем адиабаты и определяется числом и характером степеней свободы молекул. Учитывая уравнения (5.1.12), (5.1.15) и уравнение Менделеева-Клапейрона получим выражение для внутренней энергии произвольной массы идеального газа . (5.1.17) В ходе любого обратимого процесса газ подчиняется своему уравнению состояния. Для идеального газа это уравнение Менделеева-Клапейрона. Бывают процессы, в ходе которых газ, кроме уравнения состояния, подчиняется некоторому дополнительному условию, определяющему характер процесса. Дополнительное условие может заключаться в том, что один из параметров состояния остается постоянным. Если постоянно давление газа, процесс называют изобарным. В этом случае дополнительное условие имеет вид p=const. Если остается неизменным объем газа (V=const), процесс называется изохорным. Наконец, если в ходе процесса остается неизменной температура (T=const), процесс называется изотермическим. Из уравнения Менделеева - Клапейрона следует, что в случае идеального газа при изотермическом процессе давление и объем связаны соотношением pV = const, (5.1.18) которое называется уравнением изотермы идеального газа, а кривая, определяемая этим уравнением, называется изотермой. Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим. Чтобы найти уравнение адиабаты идеального газа, воспользуемся уравнением первого начала термодинамики, подставив в него выражение (5.1.12) для U и написав элементарную работу d′А в виде рdV: . (5.1.19) В отсутствии теплообмена с внешней средой d′Q = 0. Поэтому для адиабатического процесса уравнение (5.1.18) упрощается следующим образом: (5.1.20) Взяв дифференциал от обеих частей уравнения Менделеева-Клапейрона, придем к равенству . (5.1.21) Умножим уравнение (5.1.19) на отношение R/CV сложим его с уравнением (5.1.21). В результате получим , (5.1.22) где γ=1+R/CV = Cp/CV. Разделим (5.1.22) на произведение pV: . (5.1.23) Левую часть этого уравнения можно представить в виде , откуда следует, что pVγ=const. (5.1.24) Мы получили уравнение адиабаты идеального газа в переменных p и V. Его называют уравнением Пуассона. Вычислим производную для изотермы и адиабаты в одной и той же точке (p,V). Продифференцировав уравнение изотермы (5.1.18), получим, что ,откуда (для изотермы). Дифференцирование уравнения адиабаты (5.1.24) дает, что , откуда (для адиабаты). Таким образом, тангенс угла наклона касательной у адиабаты в γ раз больше, чем у изотермы – адиабата идет круче, чем изотерма (рис.5.1.4). Рис. 5.1.4   При выводе формул подразумевалось, что рассматриваемые процессы являются обратимыми (иначе параметры состояния не имели бы определенных значений и формулы утрачивали смысл). Мы знаем, что обратимыми могут быть только процессы, протекающие бесконечно медленно. Однако осуществить не только бесконечно медленный, но даже просто очень медленный адиабатический процесс невозможно, поскольку совершенно не проводящих теплоту материалов для изготовления адиабатической оболочки не существует. Вместе с тем количество теплоты, которым обменивается тело с внешней средой, будет тем меньше, чем быстрее протекает процесс. Следовательно, близкими к адиабатическим могут быть только быстро протекающие процессы. Скорость процесса должна быть, с одной стороны, настолько большой, чтобы теплообменом с внешней средой можно было пренебречь, а с другой стороны, достаточно малой для того, чтобы процесс можно было считать практически обратимым. Такие условия выполняются, в частности, в пределах небольших объемов газа, в котором распространяется звуковая волна. Поэтому поведение газа при прохождении звуковой волны в пределах каждого достаточно малого объема хорошо описывается уравнением адиабаты. Если известна для некоторого обратимого процесса зависимость давления газа от объема, т.е. функция p = f(V)то работа, совершаемая в ходе этого процесса, вычисляется путем интегрирования: . (5.1.25) Здесь V1 и V2- объем газа в начальном и конечном состояниях. При изохорном процессе dV = 0 вследствие чего работа равна нулю. Это справедливо не только для идеального газа, но и вообще для всякого тела. Для изобарного процесса в формуле (5.1.25) давление можно вынести за знак интеграла (т.к. оно постоянно). В результате получается (5.1.26) Эта формула справедлива также для любого тела. Из уравнения Менделеева-Клапейрона вытекает, что для идеального газа p = (mRT)/(MV). Подставив эту функцию в (5.1.25) и приняв во внимание, что при изотермическом процессе T=const, получим . Таким образом, работа, совершаемая идеальным газом при изотермическом процессе, определяется формулой . (5.1.27) Работу, совершаемую при адиабатическом процессе, можно определить из первого начала термодинамики при условии, что d'Q=0. Тогда d'A=-dU (5.1.28) Интегрирование уравнения (5.1.28) дает, что . Подставив выражение (5.1.17) для U, найдем для работы идеального газа при адиабатическом процессе формулу . С учетом уравнения Пуассона получим окончательно (5.1.29) Казалось бы, что в изолированной термодинамической системе возможны любые процессы, в ходе которых сохраняется внутренняя энергия системы. Дело в том, что различные состояния, отвечающие одной и той же энергии, обладают разной вероятностью. Естественно, что изолированная система будет самопроизвольно переходить из менее вероятных в более вероятные состояния либо пребывать преимущественно в состоянии, вероятность которого максимальна. Пусть, например, изолированная система состоит из двух тел, температура которых в начальный момент времени неодинакова. В такой системе будет протекать процесс теплопередачи, приводящий к выравниванию температуры. После того как температура обоих тел станет одинаковой, система будет оставаться в таком состоянии неограниченно долго. В изолированной системе невозможен процесс, в результате которого температура одного из одинаково нагретых тел стала бы больше или меньше другого. Рассмотрим еще один пример. Предположим, что одна половина сосуда заполнена газом, а в другой половине – вакуум. Если перегородку убрать, то газ распространится на весь сосуд. Обратный процесс, в результате которого газ самопроизвольно собрался бы в одной из половин сосуда, невозможен. Это обусловлено тем, что вероятность состояния, при котором молекулы газа распределены поровну между обеими половинами сосуда, очень велика, а вероятность состояния, при котором все молекулы газа находились бы в одной из половин не разделенного перегородкой сосуда, практически равна нулю. В литре воздуха при нормальных условиях содержится примерно 3·1022 молекул. Вероятность того, что они распределены между половинами сосуда поровну, в 1022 раз превышает вероятность того, что все молекулы соберутся в одной из половин сосуда. Заметим, что оба процесса – переход теплоты от горячего тела к холодному и распространение газа на весь объем – являются необратимыми. Следовательно, природа необратимости состоит в том, что необратимым является процесс, обратный которому крайне маловероятен. Из сказанного выше следует, что для того, чтобы определить, какие процессы могут протекать в изолированной термодинамической системе, нужно знать вероятность различных состояний этой системы. Величина, которая служит для характеристики вероятности состояний, получила название энтропии. Эта величина является, подобно внутренней энергии, функцией состояния системы. Чтобы дать определение энтропии, нужно ввести понятие микро- и макросостояний термодинамической системы. Микросостояние системы считается определенным, если заданы положения и скорости каждой частицы. Макросостояние определено, если заданы макроскопические параметры системы, а именно температура, давление, объем и т.д. Если система находится в равновесии, то параметры будут постоянными, а макросостояние – не изменяющимся. Вместе с тем частицы, образующие систему, все время перемещаются и изменяют свой импульс в результате соударений. В соответствии с этим микросостояние системы все время меняется. Отсюда следует, что всякое макросостояние осуществляется различными способами, каждому из которых соответствует некоторое микросостояние системы. Число различных микросостояний, посредством которых осуществляется данное макросостояние, называется статистическим весом макросостояния (Ω). В основе статистической физики лежит гипотеза о том, что все микросостояния данной термодинамической системы равновероятны. Отсюда следует, что вероятность макросостояния пропорциональна его статистическому весу. В качестве характеристики вероятности макросостояния (или просто состояния) системы принимается величина σ=lnΩ, (5.1.30) называемая энтропией системы. Энтропия, как уже отмечалось, является функцией состояния термодинамической системы. Следовательно, она может быть представлена в виде функции параметров состояния, таких как p,V,T и т.п. Методами статистической физики можно доказать, что из определения (5.1.30) вытекает следующее соотношение . (5.1.31) Здесь dσ – приращение энтропии, обусловленное получением системой в ходе обратимого процесса количества теплоты d'Q, k = постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура системы. Чтобы избавиться в формуле (5.1.31) от постоянной Больцмана k, а заодно сделать числовые значения энтропии более удобными, в экспериментальной физике от величины σ переходят к величине S=kσ, которая также называется энтропией. В соответствии с (5.1.30) (5.1.32) Определенная таким образом энтропия измеряется в Джоулях на Кельвин (Дж/К). Соотношение (5.1.31) применительно к S имеет вид (обратимый процесс). (5.1.33) Это соотношение лежит в основе термодинамических применений энтропии. Из определения S как величины, характеризующей вероятность состояния термодинамической системы, вытекают следующие свойства энтропии: 1.                     В ходе необратимого процесса энтропия изолированной системы возрастает. 2.                     Энтропия изолированной системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна. Утверждение о том, что энтропия изолированной термодинамической системы может только возрастать либо по достижении максимального значения оставаться постоянной (иными словами, не может убывать), носит название закона возрастания энтропии или второго начала термодинамики. В случае изолированной системы d'Q=0. Из формулы (5.1.33), справедливой только для обратимых процессов, вытекает, что в этом случае dS= 0, а следовательно S=const. Таким образом, в ходе обратимого процесса, протекающего в изолированной системе, энтропия остается постоянной. Протекание в изолированной системе (т.е. при d'Q=0) необратимого процесса сопровождается ростом энтропии. Поэтому dS>0. (5.1.34) Если системе сообщается количество теплоты d'Q в ходе необратимого процесса, то энтропия получает, кроме приращения d'Q/Т (знак которого совпадает со знаком d'Q), положительное приращение, обусловленное необратимостью процесса. В итоге (необратимый процесс). (5.1.35) Под Т в этой формуле подразумевается температура теплового резервуара, от которого данная система получает количество теплоты d'Q. Температура системы при необратимом процессе может не иметь определенного значения, потому что состояния системы не являются равновесными. При d'Q=0 формула (5.1.35) переходит в неравенство (5.1.34). Из формулы (5.1.35) следует, что при протекании необратимого процесса в системе, отдающей теплоту внешней среде (при d'Q<0), энтропия может не только возрастать, но и убывать. Это будет иметь место том случае, когда больше той доли приращения энтропии, которая обусловлена необратимостью процесса. Формулы (5.1.33) и (5.1.35) можно объединить в одну формулу: , (5.1.36) в которой знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства – к необратимым процессам. Отметим, что при протекании обратимого процесса в неизолированной системе энтропия может как возрастать (если d'Q>0), так и убывать (если d'Q<0). Состояние, осуществляемое небольшим числом способов, называется упорядоченным. Состояние, осуществляемое многими способами, называется беспорядочным. Следовательно, энтропия является мерой степени беспорядка в системе. Это обстоятельство поясняет смысл соотношения (5.1.33). Сообщение системе теплоты приводит к усилению хаотического движения молекул и, следовательно, увеличивает степень беспорядка в системе. Чем выше температура, т.е. чем больше внутренняя энергия системы, тем меньшим оказывается относительное возрастание беспорядка, обусловленное сообщением системе данного количества теплоты d'Q (тем меньше dS, соответствующее данномуd'Q). При абсолютном нуле температуры всякое тело, как правило, находится в состоянии, статистический вес которого равен единице. Согласно формуле (5.1.32) энтропия в этом случае равна нулю. Отсюда следует, что энтропия любого тела стремится к нулю при стремлении к нулю температуры: . (5.1.37) Это утверждение называется теоремой Нерстна или третьим началом термодинамики. Кроме приведенной в предыдущем параграфе формулировки, заключающейся в том, что энтропия изолированной системы не может убывать, ΔS ≥ 0, (5.1.38) имеются и другие формулировки второго начала термодинамики. Все формулировки эквивалентны – любая из них может быть получена из других путем логических рассуждений. Клаузиус сформулировал второе начало термодинамики следующим образом: Невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход некоторого количества теплоты от тела менее нагретого к телу более нагретому.   Иными словами, теплота не может самопроизвольно переходить от холодных тел к горячим. Не следует представлять дело так, что второе начало вообще запрещает переход теплоты от тела менее нагретого к телу более нагретому. Например, в домашнем холодильнике как раз происходит такой переход. Однако этот переход не является единственным результатом процесса. Он сопровождается изменениями в окружающих телах, связанными с совершением компрессором работы над рабочей жидкостью холодильника. У. Томсону принадлежит еще одна формулировка второго начала: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых явилось бы отнятие от какого-то тела некоторого количества теплоты и превращение этой теплоты полностью в работу. На первый взгляд может показаться, что формулировке Томсона противоречит, например, процесс изотермического расширения идеального газа. Действительно, в ходе этого процесса все полученное идеальным газом от некоторого тела количество теплоты превращается полностью в работу. Однако получение теплоты и превращение ее в работу не является единственным конечным результатом процесса; кроме того происходит изменение объема газа. Утверждение, содержащееся в формулировке Томсона, логически вытекает из утверждения, высказанного в формулировке Клаузиуса. Действительно, работа может быть полностью превращена в теплоту, например при посредстве трения. Поэтому, превратив с помощью процесса, запрещенного формулировкой Томсона, теплоту, отнятую от какого-либо тела, полностью в работу, а затем превратив эту работу посредством трения в теплоту, сообщаемую другому телу с более высокой температурой, мы осуществили бы процесс, невозможный согласно формулировке Клаузиуса. Используя процессы, запрещаемые вторым началом термодинамики, можно было бы создать двигатель, совершающий работу за счет теплоты, получаемой от такого, например, практически неисчерпаемого источника энергии, как океан. По сути, такой двигатель был бы равнозначен вечному двигателю, Поэтому второе начало термодинамики иногда формулируют следующим образом: невозможен перпетууммобиле (вечный двигатель) второго рода, т. е. такой периодически действующий двигатель, который получал бы теплоту от одного резервуара и превращал ее полностью в работу. Термодинамика возникла как наука о превращении теплоты в работу. В задачу этой науки входило создание наиболее эффективных тепловых машин. Рис.5.1.5   Тепловой машиной называется периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне количества теплоты. На рис. 5.1.5 изображен цикл, в ходе которого рабочее тело (например, газ) сначала расширяется до объема , а затем снова сжимается до первоначального объема . Для того чтобы работа, совершаемая за цикл, была больше нуля, давление (а следовательно, и температура) при расширении должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему телу нужно в ходе расширения сообщать теплоту, а в ходе сжатия отнимать от него теплоту. Следовательно, должно быть два внешних тела, от одного из которых (мы будем называть его нагревателем) рабочее тело получает теплоту, а другому (назовем его холодильником) рабочее тело отдает теплоту. По завершении цикла рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поэтому изменение его внутренней энергии за цикл равно нулю. При расширении рабочему телу сообщается теплота , а при сжатии отнимается теплота , так что в итоге рабочее тело получает за цикл количество теплоты, равное — . Поскольку изменение внутренней энергии рабочего тела равно нулю, вся полученная теплота затрачивается на совершение телом работы: (5.1.39) Из высказанных выше соображений следует, что для того, чтобы машина работала повторными циклами, часть полученной от нагревателя теплоты должна быть отдана холодильнику. Это согласуется с требованием второго начала термодинамики, согласно которому невозможен периодически действующий двигатель, который превращал бы полученную от некоторого резервуара теплоту полностью в работу. Таким образом, теплота в формуле (5.1.39) в принципе не может равняться нулю и должен существовать отличный от нуля нижний предел возможных значений . Очевидно, что чем полнее превращает тепловая машина полученную ею теплоту в работу, тем эта машина выгоднее. Эффективность тепловой машины принято характеризовать коэффициентом полезного действия (сокращенно КПД), который определяется как отношение совершаемой за цикл работы А к получаемому от нагревателя за цикл количеству теплоты : η= (5.1.40)   С учетом соотношения 5.1.39) выражение для КПД можно написать в виде η= (5.1.41) Из определения КПД следует, что он не может быть больше единицы. Если обратить цикл, изображенный на рис. 5.1.5 (т. е. совершать его против часовой стрелки), получится цикл холодильной машины. Такая машина отбирает от тела с меньшей температурой количество теплоты и отдает телу с более высокой температурой количество теплоты , большее . Над машиной должна быть совершена за цикл работа А'. Эффективность холодильной машины характеризуется ее холодильным коэффициентом, который определяется как отношение отнятого от охлаждаемого тела количества теплоты к работе А', затрачиваемой на приведение машины в действие: холодильный коэффициент = = . Коэффициент полезного действия необратимой тепловой машины всегда меньше, чем обратимой машины, работающей в аналогичных условиях (т. е. с теми же нагревателем и холодильником). Это вытекает из следующих соображений. Допустим, что машина состоит (как это обычно бывает) из закрытого подвижным поршнем цилиндрического сосуда, в котором находится газ (рабочее тело). Получая теплоту от нагревателя, газ расширяется и, толкая поршень, совершает положительную работу А+. Затем газ сжимается, отдавая холодильнику теплоту и совершая отрицательную работу, модуль которой равен A-. Работа за цикл равна А= — . Для того чтобы процессы расширения и сжатия были обратимыми, они должны протекать бесконечно медленно (практически очень медленно). Кроме того, должно отсутствовать трение между поршнем и стенками сосуда, потому что трение является типичным необратимым процессом — оно всегда сопровождается превращением работы в теплоту, обратный процесс превращения за счет трения теплоты в работу невозможен. Пусть работа, совершаемая за цикл обратимой машиной, равна . Теперь осуществим тот же цикл быстро и при наличии трения. При быстром расширении газа давление, его в непосредственной близости к поршню будет меньше, чем при медленном расширении (создавшееся под поршнем разрежение не сразу распространяется на весь объем). Поэтому положительная работа газа при необратимом расширении будет меньше, чем при обратимом: < При быстром сжатии давление в непосредственной близости к поршню будет больше, чем при медленном сжатии (возникающая под поршнем область повышенного давления не сразу распространяется на весь объем). Поэтому модуль отрицательной работы газа при необратимом сжатии будет больше, чем при обратимом: > .В результате работа А= — , совершаемая за цикл рабочим телом (газом) необратимой машины за счет полученной от нагревателя теплоты будет меньше, чем работа, совершаемая за счет такого же количества теплоты рабочим телом обратимой машины: < . Трение, существующее в необратимой машине, приводит к превращению части совершенной рабочим телом работы в теплоту, что также снижает КПД машины. Таким образом, из физических соображений можно заключить, что КПД у необратимой тепловой машины меньше, чем у обратимой машины, работающей в тех же условиях. В следующем параграфе мы докажем это, основываясь на втором начале термодинамики. Рабочий цикл обратимой тепловой машины содержит участки, в ходе которых рабочее тело машины обменивается теплотой с нагревателем и холодильником. Выясним, при каких условиях процесс теплообмена будет обратимым. Предположим, что какое-то тело обменивается теплотой с другим телом, которое мы будем называть тепловым резервуаром. Пусть теплоемкость резервуара бесконечно велика. Это означает, что получение или отдача резервуаром конечного количества теплоты не изменяет его температуры. Процесс теплообмена тела с резервуаром может быть обратимым только при условии, что в ходе этого процесса температура тела будет равна температуре резервуара. Действительно, допустим, что тело получает теплоту от резервуара с температурой T, имея температуру, меньшую Т. При протекании того же процесса в обратном направлении тело сможет вернуть резервуару полученную от него теплоту только в том случае; если его температура будет во всяком случае не ниже, чем Т. Следовательно, при прямом и при обратном ходе процесса температура тела будет различной — тело проходит в обоих случаях через различные последовательности состояний, и процесс будет необратимым. Таким образом, процесс теплообмена может быть обратимым лишь в том случае, если, получая теплоту и возвращая ее при обратном ходе резервуару, тело имеет одну и, ту же температуру, равную температуре резервуара. Точнее, при, получении теплоты температура тела должна быть на бесконечно малую величину меньше температуры, резервуара (иначе: теплота не потечет от резервуара к телу), а при отдаче теплоты температура тела должна быть на бесконечно малую величину больше температуры резервуара. Итак, единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого остается неизменной, является изотермический процесс, протекающий при температуре резервуара. Для работы тепловой машины необходимо наличие двух тепловых резервуаров — нагревателя и холодильника. Допустим, что теплоемкость резервуаров бесконечно велика. Выясним, какой обратимый цикл может совершать рабочее тело машины в этих условиях. Этот цикл, очевидно, должен состоять как из процессов, в ходе которых тело обменивается теплотой с нагревателем и холодильником, так и из процессов, не сопровождающихся теплообменом с внешней средой, т. е. адиабатических процессов. Выше мы установили, что единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого остается неизменной, является изотермический процесс, протекающий при температуре резервуара. Таким образом, мы приходим к выводу, что обратимый цикл, совершаемый в тепловой машине рабочим телом, вступающим в теплообмен с двумя резервуарами бесконечно большой теплоемкости (нагревателем и холодильником), может состоять только из двух изотерм (при температурах резервуаров) и двух адиабат. Такой цикл был впервые введен в рассмотрение С. Карно и носит название цикла Карно. Отметим, что цикл Карно по определению обратимый. Поэтому встречающийся иногда термин «обратимый цикл Карно» неправомерен (необратимого цикла Карно не существует). Рис. 5.1.6   Рис.5.1.7   При адиабатическом процессе d'Q=0. Поэтому согласно (5.1.33) dS=0 и, следовательно, энтропия остается постоянной. В связи с этим обратимый адиабатный процесс называют изоэнтропийным. Мы установили, что цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (изоэнтроп). На рис. 5.1.6 показано, как выглядит цикл Карно на диаграмме р,V в случае, когда рабочим телом является идеальный газ. Предельно просто выглядит цикл Карно на диаграмме T, S (рис. 5.1.7), причем не только для идеального газа, но и для веществ с какими угодно свойствами. На участке 1-2 рабочее тело получает от нагревателя с температурой Т1 количество теплоты Q1. Для изотермического процесса это количество теплоты можно представить в виде Q1=T1(S2-S1). На участке 3-4 тело отдает холодильнику с температурой Т2 количество теплоты , что эквивалентно получению телом количества теплоты - . Это количество теплоты можно представить в виде . Подставив найденные значения Q1 и в формулу (5.1.41), придем к равенству , из которого следует, коэффициент полезного действия цикла Карно определяется формулой . (5.1.42) При выводе формулы (5.1.42) мы не делали никаких предположений о свойствах рабочего тела и устройстве тепловой машины. Следовательно, можно утверждать, что   КПД всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т.е. при одной и той же температуре нагревателя и холодильника), одинаков и определяется только температурами нагревателя и холодильника.   Это утверждение носит название теоремы Карно. Рис. 5.1.8   Предположим, что в машине, работавшей по циклу Карно, появилась необратимость на адиабатном участке 2-3 (рис.5.1.8; необратимые процессы условно изображаются на диаграммах штриховыми линиями). Состояния 2 и 3 будем считать равновесными. При необратимом адиабатном процессе энтропия возрастает, поэтому состояние 3 окажется на диаграмме правее состояния 3 на рис. 5.1.7. в результате обратимый изотермический процесс 3-4 станет «длиннее» и площадь прямоугольника, численно равная , увеличится. Таким образом, появление необратимости на участке 2-3 привело к увеличению количества теплоты, отдаваемого холодильнику, и, следовательно, к уменьшению КПД тепловой машины. В ходе рассуждений мы не делали никаких предположений о свойствах рабочего тела, характере необратимости и устройстве машины. Поэтому результат, к которому мы пришли, имеет общий характер: КПД любой необратимой машины всегда меньше, чем КПД обратимой машины, работающей в тех же условиях. Таким образом, КПД, определяемое формулой (5.1.42), является предельным, допустим вторым началом термодинамики. 5.2. Молекулярно-кинетические теория Теорию, объясняющую строение и свойства тел на основе закономерностей движения и взаимодействия молекул, из которых состоят тела, называют молекулярно-кинетической. Согласно молекулярно-кинетическим представлениям любое тело состоит из мельчайших обособленных частиц, называемых молекулами. Эти частицы находятся в беспорядочном, хаотическом движении, интенсивность которого зависит от температуры тела. Такое движение молекул называется тепловым. Молекулы взаимодействуют друг с другом. В зависимости от расстояния преобладает либо сила притяжения, либо сила отталкивания молекул. Существует такое расстояние между молекулами, на котором сила притяжения равна силе отталкивания, т.е. их результирующая сила равна нулю. С точки зрения молекулярно-кинетических представлений, состояние вещества зависит от результата противоборства двух тенденций: стремления сил притяжения связать молекулы в единое целое и стремления теплового движения разъединить молекулы. Количественными мерами этих тенденций являются потенциальная энергия притяжения молекул и суммарная кинетическая энергия теплового движения молекул, связанная с температурой вещества. Если суммарная кинетическая энергия атомов и молекул много больше суммарной потенциальной энергии их взаимного притяжения по абсолютному значению (потенциальная энергия притяжения отрицательна), то вещество находится в газообразном состоянии; если много меньше, - то в твердом. Жидкое состояние образуется при примерном равенстве этих энергий. Параметры состояния закономерно связаны друг с другом. Соотношение, определяющее связь между параметрами состояния какого-либо тела, называется уравнением состояния. В простейшем случае равновесное состояние тела определяется значениями трех параметров: давления, объема и температуры (масса тела предполагается известной). Связь между этими параметрами может быть выражена аналитически формулой (5.2.1) где - некоторая функция параметров. Уравнение (5.2.1) и есть уравнение состояния данного тела. Опытным путем установлено, что при обычных условиях (т.е. при комнатной температуре и атмосферном давлении) параметры состояний таких газов, как кислород и азот, довольно хорошо подчиняются уравнению , (5.2.2) где b – константа, пропорциональная массе газа. Оказалось также, что чем разреженнее газ (чем меньше его плотность), тем точнее выполняется это уравнение. У разреженных газов молекулы практически не взаимодействуют между собой. Они лишь иногда сталкиваются друг с другом. Однако эти столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы движутся свободно.   Газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь, был назван идеальным.   Такой газ строго подчиняется уравнению (5.2.2), которое, следовательно, является уравнением состояния идеального газа. Особенно близки по своим свойствам к идеальному газа гелий и водород. Для произвольной массы идеального газа уравнение состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона) имеет вид , (5.2.3) где R – универсальная газовая постоянная (R=8,31 Дж/(моль∙К)). При учете соотношений и получим , (5.2.4) где = 1,38∙10-23Дж/К – постоянная Больцмана. Уравнения (5.2.3) и (5.2.4) представляют собой различные формы записи уравнения состояния идеального газа. Уравнение, выражающее связь давления идеального газа со средними значениями характеристик молекул, называется основным уравнением МКТ идеального газа. Если сила приложена не к одной точке, а к некоторой поверхности, для описания распределения силы по поверхности вводится давление (механическое напряжение) , (5.2.5) где - сила давления, действующая перпендикулярно поверхности; - площадь поверхности, на которую действует . Кроме аэро- или гидростатического давления, обусловленного весом вышележащих слоев газов и жидкостей, на стенки сосуда газы и жидкости оказывают давление вследствие столкновений молекул со стенками. По второму закону Ньютона . (5.2.6) Здесь – импульс, полученный стенкой за время в направлении, перпендикулярном поверхности стенки. Тогда давление , (5.2.7) т.е. давление по величине равно импульсу, передаваемому единице площади поверхности сосуда за единицу времени. Вычисление давления газа на основе молекулярно-кинетических представлений приводит к основному уравнению МКТ идеального газа , (5.2.8) где n – концентрация молекул; mм – масса молекулы газа; vкв–средняя квадратичная скорость молекул газа. Мы предполагали массу всех молекул одинаковой. Поэтому в формуле (5.2.8) m можно внести под знак среднего и представить выражение для р в виде , (5.2.9) где - средняя энергия поступательного движения молекулы. Из сравнения выражений (5.2.4) и (5.2.9) следует, что . (5.2.10) Таким образом, термодинамическая температура есть величина, пропорциональная средней кинетической энергии молекул. Если учесть, что и выражение (5.2.10), то можно найти среднеквадратичную скорость молекул: . (5.2.11) Поступательно движутся лишь одноатомные молекулы. Многоатомные молекулы, кроме поступательного, могут совершать также вращательное и колебательное движения. Эти виды движения связаны с некоторым запасом энергии, вычислить который позволяет устанавливаемый классической статистической физикой закон равнораспределения энергии по степеням свободы молекул.   Числом степеней свободы механической системы называется наименьшее число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве.   При любом числе степеней свободы молекулы три их них поступательные, причем ни одна из них не имеет преимущества перед другими. Поэтому на каждую из поступательных степеней свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная . Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы поступательного, вращательного и колебательного движения в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная .   Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Колебательное движение связано с наличием у колеблющейся системы не только кинетической, но и потенциальной энергии. В учении о колебаниях доказывается, что средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора одинаковы. Отсюда следует, что колебательная степень свободы молекулы обладает, по сравнению с поступательной или вращательной, удвоенной энергетической емкостью – на каждую степень свободы приходится в среднем две половинки kT- одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии. Из закона равнораспределения кинетической энергии по степеням свободы вытекает, что средняя энергия молекулы определяется формулой , (5.2.12) где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: . Поскольку молекулы газа совершают хаотическое движение, то у одних молекул скорости по сравнению со средней скоростью меньше, а у других больше. В 1859 г. Дж. К. Максвелл получил формулу для наиболее вероятного распределения скоростей газа, состоящего из N молекул. Пусть имеется N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным. В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют. При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность. Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено Дж. Максвеллом с помощью методов теории вероятностей: (5.2.13) Функция f(v) называется функцией распределения скоростей Максвелла. Ее график представлен на рис. 5.2.1. Рис. 5.2.1   Величина f(v)dv представляет собой число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv.В этой формуле m – масса отдельной молекулы, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана. Выводы:   Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.   В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии). Наиболее вероятной будет скорость, отвечающая максимуму функции f(v): (5.2.14) Среднее (по молекулам) значение модуля скорости v и среднее значение квадрата v определяются выражениями: . При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям делалось предположение, что внешние силы не действуют на молекулы газа, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Сила тяжести, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят газ к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой уменьшается.   Рис. 5.2.2   Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 5.2.2), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой уменьшается). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м2: где ρ — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом интервале плотность газа можно считать постоянной). Значит, (5.2.14) Зная уравнение состояния идеального газа pV=(m/M) RT (m — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что Подставив это выражение в (5.2.14), получим или   С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2 (рис.5.2.2), т. е.   или (5.2.15) Выражение (5.2.15) называется барометрической формулой. Она позволяет вычислить атмосферное давление в зависимости от высоты или, измеряя давление, найти высоту: Так как высоты считаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (5.2.15) может быть представлено в виде (5.2.16) где р — давление на высоте h. Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на применении формулы (5.2.16). Из этой формулы следует, что чем тяжелее газ, тем давление с высотой убывает тем быстрее. Барометрическую формулу (5.2.16) можно преобразовать, если воспользоваться формулой p=nkT: где n – концентрация молекул на высоте h, n0 – то же, на высоте h=0. Так как M=m0NA (NA – постоянная Авогадро, m0 – масса одной молекулы), a R=kNA, то (5.2.17) где m0gh=P — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е. (5.2.18) Выражение (5.2.18) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него видно, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы находятся в состоянии хаотического теплового движения и имеют одинаковую массу и, то распределение Больцмана (5.2.18) применимо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести. 5.3 Элементы физической кинетики. До сих пор мы изучали равновесные состояния и обратимые процессы. Если нарушить равновесия в системе и предоставить ее самой себе, то возникает процесс релаксации, в результате которого система возвращается в равновесное состояние. Будем считать, что за счет воздействия извне неравновесное состояние системы сохраняется неизменным в течение неограниченного времени, вследствие чего возникшие в системе процессы будут стационарными. Кроме того, будем считать, что нарушения равновесия невелики. Нарушение равновесия приводит к переносу из одних мест среды в другие либо вещества, либо энергии, либо импульса и т.п. Интенсивность процесса переноса характеризуется потоком соответствующей величины.   Потоком физической величины (массы, энергии, импульса, электрического заряда) называется количество этой величины, проходящее в единицу времени через некоторую поверхность.   Поток – скалярная физическая величина, знак которой определяется выбором направления, вдоль которого поток считается положительным. Мы будем рассматривать потоки через плоские поверхности, перпендикулярные к оси z. Если поток данной величины направлен вдоль выбранной оси, мы будем считать его положительным, в противном случае – отрицательным.   Диффузией называется обусловленное тепловым движением выравнивание концентраций в смеси нескольких веществ.   Этот процесс наблюдается в газообразных, жидких и твердых средах. Мы ограничимся рассмотрением только двухкомпонентных смесей. Пусть в единице объема смеси находится n1 молекул одной компоненты и n2 молекул другой компоненты. Число молекул в единице объема будем называть концентрацией данной компоненты. Вследствие теплового движения возникает поток молекул каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Экспериментально установлено, что поток молекул i-той компоненты через перпендикулярную к оси z поверхность S определяется уравнением , (5.3.1) где D – коэффициент диффузии. Таким образом, поток молекул пропорционален градиенту концентрации. Знак минус в уравнении (5.3.1) обусловлен тем, что поток направлен в сторону убывания концентрации. Если ввести понятие диффузионного потока как плотности потока массы диффундирующего компонента, то закон диффузии (закон Фика) будет записан следующим образом , (5.3.2) где j – плотность потока массы, т.е. масса i- того компонента, прошедшего в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению градиента плотности ρi. Коэффициент диффузии в СИ измеряется в м2/с. Теплопроводность. Если в разных местах тела температура различна, то возникает поток тепла из мест более нагретых в места менее нагретые, продолжающийся до тех пор, пока температура во всем теле не выровняется. И здесь механизм процесса связан с хаотичным движением молекул: молекулы из более нагретых мест тела, сталкиваясь с молекулами соседних, менее нагретых участков, передают им часть своей энергии. Предположим, что температура среды меняется только вдоль направления x. Поток тепла q определим как количество теплоты, проходящего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x. Связь теплового потока с градиентом температуры выражается соотношением . (5.3.3) Здесь dT/dx – градиент температуры вдоль оси x, χ – коэффициент теплопроводности. Знак минус отражает тот факт, что теплота течет в направлении убывания температуры. Поскольку единицей теплового потока является Вт/м2, то χ измеряется в Вт/м·К. Уравнение (5.3.3) представляет собой аналитическое выражение закона Фурье. Внутреннее трение. Рассмотрим поток жидкости (или газа), скорость течения в котором различна в разных местах. Такое состояние жидкости не является равновесным, и в ней будут происходить процессы, стремящиеся выровнять скорость течения. Эти процессы называются внутренним трением или вязкостью. При внутреннем трении благодаря тепловому движению молекул происходит передача импульса от более быстрых участков потока к менее быстрым. Предположим, что жидкость течет везде в одном направлении, т.е. вектор скорости течения (обозначим ) имеет постоянное вдоль всего потока направление. Предположим также, что величина скорости u меняется только вдоль одного направления, перпендикулярного направлению скорости. Выберем это направление в качестве оси x. Введем понятие плотности потока импульса: это полный импульс, переносимый в 1 с в положительном направлении оси x через единичную площадку, перпендикулярную оси x; обозначим его буквой К. В полной аналогии с другими процессами можно утверждать, что плотность потока импульса пропорциональна градиенту скорости течения u: , (5.3.4) где η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) среды, который измеряется в кг/(м·с) или Па·с. Уравнение (5.3.4) называется уравнением Ньютона. Рассмотренные выше явления – диффузия, теплопроводность и вязкость – имеют аналогичный механизм. Во всех трех случаях происходит выравнивание свойств тела, если это свойство (состав, температура или скорость течения) было первоначально неодинаково в разных местах тела; тем самым происходит приближение к состоянию теплового равновесия. Во всех трех случаях это осуществляется молекулярным переносом некоторой величины из одной части тела в другую. В случае диффузии мы имеем дело с переносом числа частиц различных компонент смеси, в случае теплопроводности – с переносом энергии, а в случае внутреннего трения – с переносом импульса. Молекулы газа при своем движении сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул подразумевается процесс их взаимодействия, в результате которого изменяются направление движения и модуль скорости молекул. Изменение направления движения молекул вызывается силами их взаимодействия, которые становятся заметными лишь при малых расстояниях между ними. Именно с таким понятием столкновения связана величина, которой характеризуют размеры молекул.   Расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы.   Очевидно, что, чем выше температура (больше кинетическая энергия молекулы), тем меньше d. Другими словами, эффективный диаметр уменьшается с ростом температуры. Величина (5.3.5) называется эффективным сечением молекулы. Столкновения молекул в газе происходят совершенно беспорядочно, поэтому и путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным.   Введем понятие средней длины свободного пробега молекул как среднего расстояния , проходимого молекулой между двумя последовательными соударениями с другими молекулами.   Точно также различным может быть и число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, и следует говорить только среднем значении этой величины. Эти две связанные между собой величины – средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений в единицу времени  – являются главными характеристиками процесса столкновений молекул в газах. Среднее число столкновений молекулы в единицу времени можно рассчитать по формуле  , (5.3.6) где – средняя арифметическая скорость молекул, n – концентрация молекул. Разделив средний путь, проходимый молекулой за секунду, т.е. , на число столкновений ν, получим среднюю длину свободного пробега молекул:  . (5.3.7) Используя понятие о средней длине свободного пробега, можно выяснить характер зависимости коэффициентов диффузии, теплопроводности и внутреннего трения от состояния газа. Коэффициент диффузии. Рассмотрим смесь двух газов, общее давление которой везде одинаково, а состав меняется вдоль одного направления, которое выбираем в качестве оси x. Будем рассматривать один из газов в смеси, и пусть n1 – концентрация этого газа, которая является функцией координаты x. Диффузионный поток j представляет собой произведение массы одной молекулы на разность числа молекул, проходящих за единицу времени в положительном направлении оси x через перпендикулярную ей единичную площадку над числом молекул, проходящих через эту же площадку в отрицательном направлении. Число молекул, проходящих за 1 секунду через единичную площадку по порядку величины равно произведению . При этом можно считать, что число молекул, пересекающих эту площадку слева направо, определяется значением концентрации n1 в том месте, где молекулы испытали свое последнее столкновение, т.е. на расстоянии слева от площадки; для молекул же, проходящих справа налево, надо взять значение n1 на расстоянии справа от площадки. Если координата самой площадки есть x, то, следовательно, диффузионный поток дается разностью . (5.3.8) Поскольку длина пробега – малая величина, то разность можно заменить на . Таким образом, . (5.3.9) Сравнив это выражение с формулой (5.3.6), мы видим, что коэффициент диффузии в газе по порядку величины равен . (5.3.10) Более точный расчет дает для коэффициента диффузии выражение . (5.3.11) Определение коэффициента теплопроводности, по существу не требует новых вычислений, так как между процессами диффузии и теплопроводности существует аналогия: теплопроводность представляет собой «диффузию энергии». Следовательно, произведение нужно умножить на теплоемкость единицы объема газа. В итоге получим , (5.3.12) где ρ – плотность газа, сv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Величину коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) газов можно оценить, основываясь на том, что все три процесса осуществляются одним и тем же молекулярным механизмом. В данном случае величиной, аналогичной коэффициенту диффузии, является кинематическая вязкость , которая по порядку величины должна совпадать с коэффициентом диффузии, т.е. . Для динамической вязкости газов получаем выражение (5.3.13) Сравнение выражений (5.3.12) и (5.3.13) дает простую связь между динамической вязкостью и коэффициентом теплопроводности χ = ηсv (5.3.14) Если сравнить выражения (5.3.11) и (5.3.13), то легко видеть связь между коэффициентом диффузии и динамической вязкостью . (5.3.15) Как мы знаем величина , которая называется кинематической вязкостью, имеет смысл некоторого коэффициента диффузии. В самом деле, вязкость η есть некоторый поток импульса (отнесенный к единичному градиенту скорости). С другой стороны, произведение плотности газа ρ на скорость представляет собой импульс единицы объема. Поэтому отношение потока импульса η к плотности ρ представляет собой поток скорости. Это и дает нам право называть кинематическую вязкость коэффициентом диффузии скорости. Наконец, если сравнить выражения (5.3.11) и (5.3.12), то получим соотношение (5.3.16) Величина называется коэффициентом температуропроводности и имеет смысл коэффициента диффузии температуры. Действительно коэффициент теплопроводности χ определяет поток количества теплоты, переносимый газом. Величина же есть не что иное, как теплоемкость единицы объема газа. Изменение температуры газа, как известно, определяется отношением сообщенного количества теплоты к теплоемкости газа ( ). Поэтому отношение потока количества теплоты к теплоемкости, т.е. , представляет собою поток температуры при градиенте температуры, равном единице, т.е. коэффициент диффузии температуры. Из сказанного следует, что рассмотренные нами явления переноса можно трактовать как процессы диффузии: вещества, температуры и скорости соответственно. Этим и объясняются приведенные количественные соотношения между коэффициентами переноса D, χ и η, которые хорошо оправдываются на опыте. Любой из коэффициентов переноса, будучи измерен на опыте, позволяет оценить среднюю длину свободного пробега молекулы, а, следовательно, и размеры молекулы. Вычисленные значения сечений молекул данного газа из различных коэффициентов переноса близко совпадают и называются газокинетическими сечениями. 6.1 Элементы квантовой микрофизики. Атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Практически вся масса атома сосредоточена в ядре, тогда как размеры ядер значительно меньше размера атома. Линейные размеры ядра – около 10–14 - 10–15 м (размеры атома – примерно 10–10 м). Ядра состоят из протонов и нейтронов, общее название которых – нуклоны. Наличие протонов в ядрах атомов было установлено Э. Резерфордом в 1919 г., нейтрон был открыт Д. Чедвиком в 1932 г. В этом же году советский физик Д.Д. Иваненко (в тридцатых годах он работал в Томске) высказал идею протонно-нейтронного строения ядер, которая в последствие широко развивалась В. Гейзенбергом и др. Протон (р) имеет положительный заряд, равный по модулю заряду электрона:   e = +1,6*10–19 Кл.   Это минимальный, существующий в природе положительный заряд. Масса покоя протона равна:   mop = 1,6726*10–27 кг  1836 moe,   где mop – масса протона покоя. Нейтрон (n) – нейтральная частица. Масса покоя нейтрона равна:   mon = 1,6749*10–27 кг  1839 moe.   Обратим внимание, что масса покоя нейтрона несколько превышает массу покоя протона. Массу ядер принято выражать в условных единицах. За единицу массы принята величина, равная 1 / 12 массы атома углерода. Масса ядра, выраженная в этих единицах, является целым числом – массовое число А. Массовое числоА ядра определяется общим числом нуклонов в ядре. Для большинства элементов таблицы Д.И. Менделеева число протонов и нейтронов примерно одинаково, то есть выполняется следующее соотношение:     Для тяжёлых элементов такое соотношение не выполняется. Для них:     то есть число нейтронов превышает число протонов в полтора раза в ядрах тяжёлых элементов. Заряд ядра зависит от количества протонов, входящих в состав ядра:   q = Z*e,   где e – заряд протона, Z – зарядовое число. Поскольку атом это нейтральная система, то зарядовое число Z определяет и число электронов в атоме. Зарядовое число Z совпадает с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева. В настоящее время известно 107 элементов, имеющих зарядовые числа Z от 1 до 107. Число нейтронов в ядре определяется по формуле:   N = A – Z.   Массовые числа А элементов находятся в пределах от 1 до 263. Элементы, у которых порядковый номер Z имеет значение от 93 до 107, получены искусственным путем. Ядро изображается тем же символом, что и нейтральный атом:      где: X – символ элемента, Z – зарядовое число, A – массовое число. Ядра, имеющие одинаковые Z и разные A, называются изотопами. Примером изотопов являются следующие элементы:     Ядра, имеющие одинаковые массовые числаА, называются изобарами. Это, например, элементы:     Изотонами называются ядра, имеющие одинаковое количество нейтронов:     Изомеры – радиоактивные ядра с одинаковымиА и Z, но различающиеся периодами полураспада. Например, имеется два изомера ядра . У одного из них период полураспада равен 18 минут, у другого – 4,4 часа. Размеры ядер зависят от количества нуклоновА, входящих в состав ядра. Считая ядро шаром, можно записать следующую формулу для радиуса ядра:     где R0 = (1,3 – 1,7)*10–15 м. Пропорциональность объема ядра числу нуклонов в ядре свидетельствует о том, что плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер и равна:   яд = 1017 кг / м3.   С помощью спектральных приборов с высоким разрешением обнаружили сверхтонкую структуру спектральных линий. Ёе существование Паули объяснил наличием у атомных ядер собственного момента импульса (спина) и магнитного момента. Спин ядра складывается из спинов, входящих в ядро нуклонов, и из орбитальных моментов, обусловленных движением нуклонов внутри ядра. Ядра с четным значением массового числаА имеют целые спины, с нечетным значением А – полуцелые спины. Единица измерения спина – Дж/с. Энергию связи ядер можно определить, зная дефект массы ядер. Рассмотрим, что представляет собой эта характеристика. Масса ядра – характеристика ядра, обусловленная числом протонов и нейтронов, входящих в его состав. Однако экспериментальные исследования показывают, что масса ядра mя всегда меньше суммы масс нуклонов, составляющих ядро.    mя – (Z*mop + N*mon) = m < 0,   где: mop – масса покоя протона, mon – масса покоя нейтрона, mя – масса ядра. Видно, что при образовании ядра из свободных нуклонов, масса уменьшается. Величина m носит название дефекта массы. Масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Следовательно, уменьшение массы при образовании ядра из нуклонов должно сопровождаться выделением энергии, а при разделении ядра на отдельные нуклоны необходимо наоборот затратить столько энергии, сколько идет на его образование. Таким образом, можно определить энергию связи ядра:   Eсв = m*c2.   Важной характеристикой ядра является удельная энергия связи. Онаравна:     где  – энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Удельная энергия связи характеризует прочность и устойчивость ядер. Чем больше величина удельной энергии связи, тем прочнее ядро. Удельная энергия связи зависит от массового числа А.   Рис. 6.1.1   Из графика видно, что удельная энергия связи с увеличением массового числаА изменяется следующим образом: - резко возрастает для легких элементов, то есть приА< 12 растёт до 6 - 7 МэВ/нуклон, претерпевая при этом некоторые скачки; - медленно возрастает до максимальной величины, равной 8,7 МэВ для элементов, имеющих значение массового числа в интервале от 50 до 60; - постепенно уменьшается для тяжелых элементов; так, у самого тяжелого природного элемента урана она равна 7,5 МэВ/нуклон. Уменьшение удельной энергии связи для тяжелых элементов объясняется увеличением числа протонов в ядрах, что приводит к увеличению энергии кулоновского отталкивания. Тяжелые ядра становятся менее прочными. Было обнаружено, что ядра, содержащие 8, 20, 28, 50, 82, 126 протонов или нейтронов, оказываются более устойчивыми, чем соседние по массовым числам. Эти числа получили название магических чисел. Наиболее стабильны ядра, содержащие магическое число и протонов, и нейтронов:     Из анализа графика на рисунке 6.1.1 следует, что наиболее устойчивые ядра находятся в середине таблицы Менделеева, а легкие и тяжелые ядра менее устойчивы. Такая зависимость удельной энергии связи  от массового числаА делает возможным два важных процесса: - слияние (синтез) легких ядер в более тяжелые ядра; - деление тяжелых ядер на более легкие ядра. Оба названных процесса происходят с выделением большого количества энергии, и в настоящее время реализованы практически. Это реакция синтеза, или термоядерная реакция и реакция деления тяжелых ядер. Нужно заметить, что энергия, выделяющаяся при ядерных процессах, существенно, в миллион раз, превышает энергию, выделяющуюся при сгорании равного количества топлива.   Взаимодействие между нуклонами, входящими в состав ядер, имеет особый характер, оно не сводится к другим известным взаимодействиям, существующим в природе, например, гравитационному и электромагнитному. Силы взаимодействия между нуклонами по интенсивности намного превышают силы кулоновского отталкивания между протонами в ядре. Силы взаимодействия между нуклонами в ядрах носят название ядерных сил, а взаимодействие, с которым они связаны, называется сильным (ядерным) взаимодействием. Ядерные силы обладают определенными свойствами. - Ядерные силы – короткодействующие, они действуют на расстояниях r ~ 10–15 м и меньше. Расстояние, на котором действуют ядерные силы, называются радиусом действия ядерных сил. - Ядерные силы являются силами притяжения. - Ядерные силы обладают зарядовой независимостью, они одинаковы для пар р-р, р-n, n-n, т.е. имеют неэлектрическую природу. - Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. Нейтрон и протон удерживаются вместе, образуя дейтрон, только в том случае, если их спины ориентированы параллельно друг другу. - Ядерные силы не являются центральными. Нецентральность ядерных сил проявляется в том, что они зависят от ориентации спинов нуклонов, а именно параллельны или антипараллельны спины нуклонов. - Ядерные силы обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон взаимодействует с ограниченным числом нуклонов. Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нуклонов в ядре при увеличении числа нуклонов не увеличивается, а остается приблизительно постоянной. - По современным представлениям источником ядерных сил является ядерное поле, которое создаётся нуклонами в ядре. Сильное взаимодействие обусловлено тем, что нуклоны виртуально обмениваются частицами, получившими название -мезонов. До настоящего времени отсутствует последовательная теория атомного ядра. Это связано со сложным характером ядерных сил, недостаточностью наших знаний об их природе, а также сложностью решения задачи о состоянии квантовой системы многих тел. Поэтому в ядерной физике в настоящее время имеются разные модели ядра, каждая из которых объясняет определенный ряд свойств ядра. Наиболее известны капельная (гидродинамическая), оболочечная и обобщенная модели ядра. Охарактеризуем их в кратких чертах. Капельная модель. Эта простейшая и исторически первая модель ядра была предложена в 1936 г. Н. Бором и независимо от него нашим соотечественником Я. Френкелем. В капельной модели считается, что атомное ядро аналогично капле несжимаемой заряженной жидкости с очень высокой плотностью. Сходство заключается в том, что силы взаимодействия между нуклонами ядра и молекулами жидкости – короткодействующие и обладают свойством насыщения. Плотность ядерного вещества внутри ядра и плотность жидкости в пределах капли неизменны. Достоинством этой модели оказалась возможность получить формулу для энергии связи нуклонов в ядре и дать качественное объяснение процессов деления тяжелых атомных ядер. Капельная модель не смогла объяснить особую устойчивость ряда ядер, которые называются "магическими". Это связано с главным недостатком капельной модели, который заключается в том, что отсутствует близкое сходство ядерного вещества и жидкости. Ядро является квантовой системой, содержащей не более 300 нуклонов, а капля жидкости – статистическая система, состоящая из миллиардов атомов и молекул. Оболочечная модель Эта модель предложена в 1949 г. американским ученым Марией Гёппер-Майер и независимо от нее в 1950 г. немецким физиком Хансом Йенсеном, за что в 1963 году они получили Нобелевскую премию. В оболочечной модели полагается, что каждый нуклон независимо движется в центрально-симметричном поле других нуклонов, образуя дискретные энергетические уровни – оболочки, которые заполняются в соответствии с принципом Паули. Каждая оболочка содержит определенное число нуклонов (протонов Z и нейтронов N).     Ядра, у которых оболочки полностью заполнены, представляют особо устойчивые образования. Ядра, содержащие 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 протонов и нейтронов, устойчивы. Приведенные числа, как уже указывалось выше, называются магическими. Если ядро имеет и Z, и N, относящееся к магическим числам, то оно называется дважды магическим. Дважды магических ядер пять:   Оболочечная модель предсказывает величины спинов и магнитных моментов ядер, периодичность изменения свойств и устойчивость ядер, находящихся в основном и возбужденном состояниях. Обобщенная модель. Она объединяет черты капельной и оболочечной моделей. Предполагается, что ядро состоит из внутренней, устойчивой части – остова, образованного нуклонами заполненных оболочек, вокруг движутся внешние нуклоны. Обобщенная модель позволяет определить энергию уровней, спин, рассчитать электрические и магнитные моменты ядер, и некоторые другие свойства. Явление радиоактивности впервые обнаружено в 1896 г. французским физиком А. Беккерелем при изучении люминесценции солей урана. Оказалось, что атомы урана самопроизвольно испускают невидимое излучение, обладающее большой проникающей способностью. Было обнаружено три типа излучения: -  – излучение, представляющее собой ядра атома гелия , -  – излучение – электроны , -  – излучение – электромагнитное излучение большой частоты (частоты порядка 1020 Гц). Дальнейшее исследование этого явления супругами Марией и Пьером Кюри показало, что радиоактивностью обладают, кроме урана, и другие элементы, такие как открытые этими учеными элементы полоний и радий . За открытие и исследование явления радиоактивности А. Беккерель и супруги Кюри в 1903 г. получили Нобелевскую премию по физике. Радиоактивность – это самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотопы другого химического элемента, сопровождающееся испусканием различных частиц. Ядра, испытывающие радиоактивное превращение, называются нуклидами. Радиоактивность бывает двух видов: - естественная, когда происходит самопроизвольное превращение существующих в природе неустойчивых ядер в другие, сопровождающееся испусканием элементарных частиц; - искусственная, которая происходит у ядер, полученных в результате ядерных реакций, то есть в искусственных условиях. Принципиально естественная и искусственная радиоактивности не различаются, оба типа превращения описываются одинаковыми законами. Закон радиоактивного превращения. Правило смещения. Радиоактивные ядра распадаются не сразу после своего образования. До определенного момента ядро не проявляет своей неустойчивости. Предсказать, в какой момент и какое ядро испытает превращение, нельзя. Невозможно повлиять на скорость превращения ядер, она не зависит от внешних факторов – температуры, давления. Ядра распадаются спонтанно (или самопроизвольно) и независимо друг от друга. Скорость же превращения является постоянной величиной и зависит только от сорта ядер. Пусть в данный момент существует N ядер. Тогда за малый промежуток времени dt распадается dN ядер, пропорциональное общему числу нераспавшихся ядер N и промежутку времени dt: dN = –·N·dt. Знак ( – ) свидетельствует об уменьшении числа ядер. Разделив переменные и интегрируя, получим:        N = N0·e–t,   где: N0 – число нераспавшихся ядер в начальный момент времени, N – число нераспавшихся ядер в момент времени t.   Полученное соотношение – закон радиоактивного превращения. Число нераспавшихся ядер уменьшается с течением времени, и чем больше , тем быстрее распадаются ядра. Число распавшихся ядер можно определить по формуле:   Nрасп = N0 – N = N0·(1 – e–t).   Величина Nрасп. возрастает с течением времени.   Рис. 6.1.2   На рисунке представлена зависимость числа нераспавшихся ядер N от времени. Видно, что их количество с течением времени уменьшается. С постоянной распада  связана величина  = 1/ – среднее время жизни ядра. Чем больше , тем меньше среднее время жизни ядра. На практике наряду с величинами  и  пользуются третьей величиной, называемой периодом полураспада Т1/2. Пусть       отсюда   ln2 = Т1/2 и Т1/2 = ln2/, Т1/2 = 0,693/ = 0,693.   В природе существуют нуклиды, у которых периоды полураспада измеряются миллионными долями секунды, у других периоды полураспада – многие миллиарды лет. Если за время, равное периоду полураспада, распадается половина ядер, то за время, равное двум периодам полураспада, распадается 3/4 ядер и остается 1/4 ядер. По истечении n периодов полураспада в образце остается (1/2)n первоначального числа ядер. Радиоактивный распад происходит в соответствии с так называемыми правилами смещения, позволяющими установить, какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра. Правила смещения:     где: распадающееся (материнское) ядро, Y – образовавшееся в результате распада (дочернее) ядро. Физическая природа этого правила будет ясна из последующего изложения. Радиоактивные процессы, встречающиеся в природе, классифицируют на пять типов: 1)  – распад, 2)  – распад, 3)  – излучение ядер, 4) спонтанное деление тяжелых ядер, 5) протонная радиоактивность. Альфа-распад.  – распадом называется ядерное превращение, при котором из ядра вылетает положительно заряженная частица, являющаяся ядром атома гелия . Превращение материнского ядра в дочернее Y осуществляется по следующей схеме:     Отсюда видно, что атомный номер дочернего ядра на две единицы меньше, чем у материнского, а массовое число на четыре единицы меньше исходного. Примером -распада служит типичное превращение:     Существует более двухсот -активных ядер, в основном тяжелых, у которыхА> 200 и Z> 82. Времена жизни -активных ядер изменяются в широких пределах. Например, ядро живет 1017 лет, а время жизни -активного ядра радона составляет около 10–6 с. Характерной чертой -распада является то, что -частицы, вылетающие из одних и тех же ядер, имеют одинаковый спектр энергий. Выделяются несколько групп -частиц, у которых в пределах группы одинаковая длина свободного пробега, что обусловлено одинаковой кинетической энергией испущенных -частиц. Этот факт связан с тем, что атомные ядра являются квантовыми системами и обладают дискретными энергетическими уровнями. Альфа-частицы не существуют в готовом виде внутри ядра, они формируются в момент превращения. Обособлению двух протонов и двух нейтронов, составляющих -частицу, способствует насыщение ядерных сил. Энергия сформированной в ядре -частицы меньше той энергии, которую необходимо иметь -частице, чтобы покинуть ядро. Однако на основании квантовых законов установлено, что есть отличная от нуля вероятность того, что -частица выйдет за пределы ядра. Такое явление в квантовой механике называется туннельным эффектом. Теория -распада, использующая представления о туннельном эффекте, дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Бета-распад. -распад включает в себя три типа превращения: электронное, позитронное и К-захват (или e-захват). В электронном или –-распаде – ядро самопроизвольно испускает электрон е– и легчайшую электрически нейтральную частицу – электронное антинейтрино e1. Это превращение происходит по схеме:     Образующееся дочернее ядро имеет то же по величине массовое число, зарядовое число возрастает на единицу. Процесс осуществляется превращением нейтрона в протон внутри ядра:      Примером –-распада служит превращение тория в протактиний :      –-распад является энергетически выгодным для ядра, поскольку масса покоя нейтрона больше массы покоя протона. Другим типом -распада является позитронный или +-распад, который происходит по схеме:      При +-превращении в результате распада возникает дочернее ядро, у которого зарядовое число на единицу меньше, чем у материнского ядра. Испускаются позитрон – е+ и электронное нейтрино – e. Это превращение было открыто Фредериком и Ирен Жолио Кюри в 1934 г. Позитронный распад наблюдается, например, при превращении в .     Процесс позитронного распада связан с превращением протона внутри ядра:     Необходимо отметить, что для свободного протона такое превращение невозможно (mop 1.   Поскольку не все образующиеся вторичные нейтроны вызывают последующее деление ядер, то это приводит к уменьшению коэффициента размножения. Причины уменьшения К связаны, во-первых, с конечными размерами активной зоны (пространства, где происходит цепная реакция) и большой проникающей способностью нейтронов, которые могут покинуть активную зону, не успев провзаимодействовать с ядром. Во-вторых, часть нейтронов захватывается ядрами неделящихся примесей, которые всегда присутствуют в материале, или просто неупруго рассеиваются на ядрах. Коэффициент размножения зависит от природы, состава делящегося вещества, а для данного изотопа – от его количества, размеров и формы активной зоны. Таким образом, для того чтобы происходила цепная реакция, необходимо, чтобы вещество имело минимальные размеры и минимальную массу, которые называются критическими размерами и критической массой, соответственно. Таким образом, если делящееся вещество имеет критические размеры и критическую массу, то коэффициент размножения К> 1. Если К> 1, идет развивающаяся цепная реакция, которая может закончиться взрывом. При К = 1 идет самоподдерживающаяся цепная реакция, при которой число нейтронов с течением времени не изменяется. Реакция идёт с постоянной скоростью. При К< 1 реакция деления тяжелых ядер затухает. Цепные реакции могут быть неуправляемые (К > 1) и управляемые (К = 1). Неуправляемая цепная реакция осуществляется в атомной бомбе. Чтобы атомная бомба при хранении не взорвалась, ее начинка, и , делится на два куска, массой меньше критической, удаленных друг от друга, и затем с помощью взрыва соединяются вместе. Если масса становится больше критической, возникает развивающаяся цепная реакция с быстрым выделением большого количества энергии – атомный взрыв. Управляемая цепная реакция (К = 1) осуществляется в атомных (ядерных) реакторах. Реакция термоядерного синтеза. Громадное количество энергии выделяется при синтезе легких ядер в тяжелые. Рассмотрим реакции синтеза легких ядер в тяжелые:     где: Q – энерговыделение. Реакция синтеза характерна тем, что в результате такой реакции в расчете на один нуклон выделяется энергии в 3-4 раза больше, чем при цепной реакции деления ядер. Для осуществления реакции синтеза необходимо легкие ядра сблизить на такие расстояния, чтобы преодолеть кулоновское отталкивание, т.е. сблизить на расстояние r ~ 2*10–15 м, что возможно при средней энергии теплового движения, соответствующей температуре Т~107 К. Реакции синтеза лёгких ядер в более тяжелые, происходящие при температуре 107 К и выше, называются термоядерными. Именно термоядерные реакции являются источниками энергии Солнца и звезд, компенсирующих их излучение. Наиболее выгодна реакция синтеза ядер дейтерия и трития:     В ней участвуют 5 нуклонов, а энерговыделениеQ = 17,6 МэВ, т.е. выделяется энергия ~ 3,5 МэВ на один нуклон. Кроме такой реакции, предложены другие варианты возможных термоядерных реакций на Солнце с выделением энергии. При низких температурах осуществляется протонно-протонный цикл, характеризующийся следующими превращениями:     Образовавшийся дейтрон реагирует с протоном, формируя ядро :     затем     При более высоких температурах более вероятен углеродно-азотный или углеродный цикл.     В результате такого цикла исчезают четыре протона, и появляется –частица. Количество углерода остается неизменным. Впервые термоядерная реакция была осуществлена в СССР (1953 г.), а затем в США, в виде взрыва водородной, или термоядерной бомбы. Реакция, происходящая в этом случае, оказывается неуправляемой. В качестве взрывчатого вещества применялась смесь дейтерия и трития. Запалом служила атомная бомба, дающая температуры, необходимые для начала термоядерного синтеза.