Механика.Динамика.Термодинамика

Оглавление 1. Физические законы классической механики 2 1.1. Кинематика точки 2 1.2. Скорость 3 1.3. Ускорение 4 Динамика. Основные понятия 6 1.4. Законы механики 7 1.5. Закон сохранения импульса 7 1.6. Работа 8 1.7. Энергия 9 1.8. Кинетическая и потенциальная энергии 10 1.9. Закон сохранения механической энергии 11 1.10. Удар абсолютно упругих и неупругих тел 11 2. Элементы специальной теории относительности 13 2.1. Постулаты Эйнштейна 13 2.2. Преобразования Лоренца 13 2.3. Замедление времени 14 2.4. Сокращение длин 14 2.5. Движение релятивистской частицы 15 3. Механические колебания и волны в упругих средах 17 3.1. Общие сведения о колебаниях 17 3.1. Гармонические колебания 18 3.2. Энергия гармонического колебания 20 3.3. Математический маятник 21 3.4. Физический маятник 22 3.5. Распространение волн в упругой среде 23 3.6. Волновое уравнение 25 3.7. Интерференция и дифракция волн 26 3.8. Эффект Допплера 31 4. Основы молекулярной физики и термодинамики 32 4.1. Основы молекулярно-кинетической теории 32 4.2. Массы и размеры молекул 32 4.3. Скорость движения молекул 33 4.4. Идеальный газ в МКТ 33 4.5. Температура 34 4.6. Уравнение состояния идеального газа 36 4.8. Работа в термодинамике 39 4.9. Количество теплоты 40 4.10. Законы термодинамики 41 Список используемой литературы 44 1. Физические законы классической механики Механика - раздел физики, который рассматривает простей­шую форму движения материи - механическое движение. Под механическим движением понимают изменение положения изучаемого тела в пространстве со временем относительно неко­торого гола или системы тел, условно считаемых неподвижными. Такую систему тел вместе с часами, в качестве которых может быть выбран любой периодический процесс, называют системой отсчета (С.О.). С.О. часто выбирают из соображений удобства. Для математического описания движения с С.О. связывают систе­му координат, часто прямоугольную. Простейшее тело в механике - материальная точка. Это те­ло, размерами которого в условиях денной задачи можно пренебречь. Всякое тело, размерами которого пренебречь нельзя, рассматривают как систему материальных точек. Механика подразделяется на кинематику, которая занимается геометрическим описанием движения, не изучая его причин, динамику, которая изучает законы движения тел под действием сил, и статику, которая изучает условия равновесия тел. 1.1. Кинематика точки Кинематика изучает пространственно-временное перемещение тел. Она оперирует такими понятиями, как перемещение , путь, время t, скорость движения , ускорение. Линию, которую описывает при своем движении материальная точка, называют траекторией. По форме траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные. Вектор , соединяющий начальную I и конечную 2 точки, называют перемещением (рис.1.1) Каждому моменту времени t соответствует свой радиус-вектор: Таким образом движение точки мо­жет быть описано векторной функ­цией (1.1) которая определяем векторный способ задания движения, или тре­мя скалярными функциями x=x(t); y=y(t); z=z(t) (1.2) которые называют кинематическими уравнениями. Они определяют задание движения координатным способом. Движение точки будет также определено, если для каждого момента времени будет установлено положение точки на траектории, т.е. зависимость S=f(t) (1.3) Она определяет задание движения естественным способом. Каждая из указанных формул представляет собой закон дви­жения точки. 1.2. Скорость Если моменту времени t1 соответствует радиус-вектор , а t2 - , то за промежуток Δt=t2-t1 тело получит перемещение  В этом случае средней скоростью < > за Δt назы­вают величину (1.4) которая по отношению к траектории представляет секущую, про­ходящую через точки I и 2. Скоростью в момент времени t назы­вают вектор (1.5) Из этого определения следует, что скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней. Из последней формулы следует, что проекции и модуль вектора скорости определятся выражениями: (1.6) Если задан закон движения (1.3), то модуль вектора скорости определится так: (1.7) Таким образом, зная закон движения (1.1), (1.2), (1.3), можно вычислить вектор и модуль доктора скорости и, наоборот, зная скорость из формул (1.6), (1.7), можно вычислять координаты и путь. 1.3. Ускорение При произвольном движении вектор скорости непрерывно ме­няется. Величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости, называется ускорением. Если в момент времени t1 скорость точки , а при t2 - , приращение скорости составит (рис.1.2) Среднее ускорение при этом а мгновенное ускорение Для проекции и модуля ускорений имеем: Если задан естественный способ движения, то ускорение можно определить и так. Скорость меняется по величине и по направлению, приращение скорости Δ раскладывают на две величины; - направленный вдоль (приращение скорости по величине) и - направленный перпендикулярно (приращение. скорости по направлению), т.е. (рис.1.3) Из (1.9) получаем: Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту изменения по величине (1.13) нормальное (центростремительное ускорение) характеризует быстроту изменения по направлению. Для вычисления an рассмотрим треугольники OMN и MPQ при условии малого перемещения точки по траек­тории. Из подобия этих треугольников находим PQ:MP=MN:OM : Полное ускорение в этом случае определится так: Динамика. Основные понятия Перемещение тел в пространстве - результат их механического взаимодействия между собой, в результате которого происходит изменение движения тел или их деформация. В качестве меры механического взаимодействия в динамике вводится величина – сила . Для данного тела сила - внешний фактор, а характер движения зависит и от свойства самого тела - податливости оказываемому на него внешнему воздействию или степени инерции тела. Мерой инерции тела является его масса т, зависящая от количества вещества тела. Таким образом, основными понятиями механики являются: движущаяся материя, пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инерции тел, сила как мера механического взаимодействия между телами. Соотношения между этими понятиями определяются законам движения, которые были сформулированы Ньютоном как обобщение и уточнение опытных фактов. 1.4. Законы механики 1-й закон. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равно­мерного прямолинейного движения, пока внешние воздействия не изменяют этого состояния. Первый закон заключает в себе закон инерции, а также определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела. Чтобы выразить его математически, Ньютон ввел понятие количества движения или импульса тела: Тогда , если 2-й закон. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной силе и происходит по направлению действия этой силы. Выбрав единицы измерения m и так, чтобы коэффициент пропорциональности был равен единице, получаем Если при движении m=const, то В этом случае 2-й закон формулируют так: сила равна произведению массы тела на его ускорение. Этот закон является основным законом динамики и позволяет по заданным силам я начальным условиям находить закон движения тел. 3-й закон. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и направлены в противоположные стороны, т.е. Законы Ньютона приобретают конкретный смысл после того, как указаны конкретные силы, действующие на тело. 1.5. Закон сохранения импульса Совокупность взаимодействующих тел называют механической системой. Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а со стороны тел, не включенных в данную систему - внешними. Если действием внешних тел на тела данной сис­темы можно пренебречь, то систему называют замкнутой или изо­лированной. В ней действуют лишь внутренние силы. В такой сис­теме описать движение тел можно без помощи 2-го закона Ньюто­на, т.к. в ней имеются величины, на меняющиеся со временем, т.е. сохраняющиеся. Одной их таких величин является полны им­пульс всех тел системы. Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек m1 и m2 составляющих замкнутую систему. Движение каждой из них описывается 2-й законом Ньютона: Т.к. по третьему закону Ньютона , то из последней формулы получаем: Этот результат и представляет закон сохранения импульса для замкнутой системы. Полный импульс всех тел замкнутой системы сохраняется (т.е. не меняется со временем). Нужно помнить, что импульсы отдельных тел при этом могут меняться. 1.6. Работа Количественной характеристикой процесса взаимодействия тел является работа, совершаемая силой А. Работа есть скалярная величина, равная произведению проекции силы (на направление перемещения) на величину перемещения точки приложения силы (рис.3.1) Если работа совершается переменной силой F=F(S) , во для элементарного перемещения , а для всего пути Вычислим для примера работу, совершаемую силой тяжести при движении тела по наклонной плоскости где h - высота наклонной плоскости. Как видно, работа силы тяжести не зависит от длины пути, а зависит от начального и конечного положений тела. Можно показать, что такой же результат получается для любой криволинейной траектории. Таким же свойством обладает и сила упругости. Силы, обладающие указанным свойством, называются консервативными или потенциальными. Для таких сил работа по любому замкнутому контуру равна нулю, или: Это и есть условие потенциального характера силы. Работа, совершаемая за единицу временя, называется мощностью: 1.7. Энергия В результате совершения работы в окружающих телах происходят определенные изменения - переход одних форм движения материи в другие. Общей количественной мерой различных форм движения материи является физическая величина, которую называют энергией Е. В физике соответственно различным физическим процессам и взаимодействиям различают механическую энергию; тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д. Энергия может, быть выражена через величины, характеризующие строение и состояние тела. Она является функцией его состояния. Изменение состояния тела, например, его движение, приводит к изменению его энергии, а сам процесс изменения есть результат работы, совершаемой силой, поэтому изменение энергии тела или системы тел определяется работой, совершенной приложенными к телу силами: Механическая энергия состоит из двух величин - кинетической энергии K - энергии движения и потенциальной энергии П - энергии взаимодействия между телами: Е=К+П 1.8. Кинетическая и потенциальная энергии Чтобы получить выражение для кинетической энергии подсчитаем работу силы, необходимую для изменения скорости тел от v1 до v2: Итак, совершенная силой работа равна приращению кинетической энергии тела: , где Потенциальная энергия обусловлена характером взаимодействия между телами, их взаимным расположением. Поэтому вид формулы для потенциальной энергии зависит от конкретного вида силы. Так, работа силы тяжести, необходимая дня изменения положения тела относительно Земли, равна: где h1 и h2 - начальная и конечная высота тела относительно Земли. Эта работа равна изменению потенциальной энергии тела: т.е. совершенная силой работа равна убыли потенциальной энергии тела. Так как Эта формула, связывающая между собой силу, перемещений тела и соответствующее этому изменение его потенциальной энергии, даёт возможность вычислить потенциальную энергию в отдельном случае. 1.9. Закон сохранения механической энергии В изолированной системе кроме полного импульса сохраняющейся величиной является и полная механическая энергия. Так, для двух взаимодействующих материальных точек уравнения движения будут Под действием сил точки совершают перемещения Умножив каждое из уравнений на соответствующее перемещение, получим: , сложив их, получим: (m1 т.к. То вместо сложения получим (dK1+dK2)+(dП1+dП2)=0 или dK+dП=0, где dK и dП – изменение кинетической и потенциальной энергии всех тел системы. Тогда Полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения энергии. 1.10. Удар абсолютно упругих и неупругих тел Под ударом понимают кратковременное столкновение соударяющихся тел. Прямая, проходящая через точку соприкосновения обоих тел, называется линией удара (Рис. 3.2). Если она проходит через центры масс тел, то удар центральный. Отношение относительных скоростей шаров после удара U к скорости их v до удара называют коэффициентом восстановления: Если то удар абсолютно неупругий, если , то удар абсолютно упругий. При абсолютно неупругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие формы энергии (например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения: Найдем изменение кинетической энергии шаров, т.е. ту её часть которая перешла во внутреннюю энергию: При абсолютно, упругом ударе потерь энергии нет, н в этом случае выполняются законы сохранения импульса и энергии: Решая эти уравнения, находим: Когда массы соударяющихся тел равны: m1=m2, то шары обмени­ваются скоростями: 2. Элементы специальной теории относительности 2.1. Постулаты Эйнштейна Постулат 1. Все тождественные физические явления в инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях протекают одинаково. Другими словами, среди ИСО не существует привилегированной системы и невозможно обнаружить состояние абсолютного движения. Постулат 2. Скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям и в любой области данной инерциальной системы отсчета и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. 2.2. Преобразования Лоренца В С.Т.О. преобразования координат, описывающие переход от одной И.С.О. к другой, заменяются новыми соотношениями, которые удовлетворяют постоянству скорости света - преобразованиями Лоренца. Для частного случая двух систем К и К’ , находящихся в относительном движении вдоль оси (Рис. 2.2), они имеют вид: Рис 2.2 (2.1) Где Из этих формул видно, что при малых скоростях для формулы (2.1) переходят в следовательно, законы классической физики входят в С.Т.О. как частный случай. Из преобразований Лоренца вытекают основные следствия. 2.3. Замедление времени В направлении x часы, связанные с системой K, измеряют интервал времени: При наблюдении в движущейся системе этот интервал становится равным Для движущегося наблюдателя время идёт медленнее. 2.4. Сокращение длин Если в системе К находится отрезок , то это же расстояние для движущегося наблюдателя в системе K’ окажется равным: Так как наблюдатель видит в своей K системе оба конца одновременно то из формул обратного преобразования Лоренца получим откуда следует, что: Для движущегося наблюдателя длина отрезка кажется уменьшенной в направлении движения раз, т.е. движущемуся наблюдателю шар кажется сплющенным эллипсоидом. 2.5. Движение релятивистской частицы Найдем закон движения релятивистской частицы, движущейся под действием постоянной силы , которая в начальный момент t=0 покоилась. Находим откуда Где при малых, и как и в классической механике; при , и Путь, пройденный телом, будет равен вычисления дают: при малых t, используя формулу получаем: как в классической механике. 2.6. Кинетическая энергия. Энергия и импульс Кинетическая энергия К равна разности Е и : (2.3) При малых скоростях и из формулы (2.3) получаем т.е. получим выражение для кинетической энергии в классичес­кой механике. Исключивиз выражений и , находим соотноше­ние между импульсом и энергией: , откуда Для частицы с массой покоя m=0 (фотон) имеем: 3. Механические колебания и волны в упругих средах 3.1. Общие сведения о колебаниях Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. п. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т. д. В данной главе рассматриваются механические колебания. Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета — все это процессы, которые могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или во всяком случае воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров. Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника. В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания. Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером могут служить колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу. Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой — система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания. Простейшими являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний. 3.1. Гармонические колебания Рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине (рис. 3.1). В состоянии равновесия сила mg уравновешивается упругой силой k: mg = k (3.1) Рис.3.1 Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние, равное х (х — алгебраическая величина), то удлинение пружины станет равным + х и проекция результирующей силы на ось х (обозначим эту проекцию просто буквой f) примет значение f=mg-k(. Учитывая условие равновесия (3.1), получим, что f = — kx. (3.2) Знак «—» в формуле (3.2) отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления: если шарик смещен из положения равновесия вниз (х>0), сила направлена вверх (f < 0), при смещении шарика вверх (x: < 0)сила направлена вниз (f> 0). Таким образом, сила f обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия, 2) она всегда направлена к положению равновесия. В рассмотренном нами примере сила (3.2), в сущности, по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность, т. е. оказывается равной —kx, где k — постоянная положительная величина. Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими. Для того чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против квазиупругой силы работу A= Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы. Следовательно, система, в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положения равновесия на расстояние х обладает потенциальной энергией. Ep= (3.3) (потенциальную энергию в положении равновесия полагаем равной нулю). Обратимся снова к системе, изображенной на рис. 3.1. Сообщим шарику смещение х = а, после чего предоставим систему самой себе. Под действием силы f — —kx шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью v = x. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 3.2.), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия Eh = (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным —а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х = а до х = —а неограниченно долго. Рис. 3.2. 3.2. Энергия гармонического колебания Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия E состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ерmах: E=Epmax= (3.4) при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Ekmax E=Ekmax= (3.5) Выражения (3.4) и (3.5) равны друг другу 3.3. Математический маятник Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нитке. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом, образованным нитью с вертикалью (рис. 3.3). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin (m — масса, a l — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту M и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид M = — mgl sin . (3.6) Рис.3.3 Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через и учитывая, что момент инерции маятника равен ml2, получаем; ml2 = — mgl sin . Последнее уравнение можно привести к виду + sin = 0. (3.7) Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sin ~ . Период T= 2π 3.4. Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса маятника О, на одной с ней вертикали (рис. 3.4). При отклонении маятника от положения равновесия на угол ф возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M = — mgl sin ф, (3.8) Рис.3.4. Период T= 2π 3.5. Распространение волн в упругой среде Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. На рис. 3.5 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2, 3 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном 1/4 vT, т. е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый на схеме за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. Спустя еще четверть периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигает крайнего верхнего положения, а третья частица начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь vT, достигнет частицы 5. Рис 3.5. На рис. 3.6 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Как видно из рис. 3.6, при прохождении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (сгущения частиц отмечены на рисунке пунктиром), перемещающиеся с направлении распространения волны со скоростью V. Рис.3.6 Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рис. 3.5 и 3.6, различные частицы колеблются со сдвигом по фазе. Частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии vT), колеблются в одинаковой фазе (добавление к фазе 2п не оказывает на нее никакого влияния). Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом называется длиной волны (рис.3.7) Рис.3.7 3.6. Волновое уравнение Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Найдем общий вид волнового уравнения. Для этого продифференцируем дважды уравнение плоской волны по времени t и всем координатам: (3.6.1) (3.6.2) Сложим уравнения (3.6.2): (3.6.3) Подставим из (3.6.1) значение, и получим: Учтем, что , а окончательно получим для волнового уравнения (3.6.4) Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (3.6.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени есть фазовая скорость волны. Используя оператор Лапласа волновое уравнение можно записать в виде 3.7. Интерференция и дифракция волн Интерференция – это сложение колебаний. В результате интерференции в каких-то точках пространства происходит рост амплитуды колебаний, а в других – их уменьшение. Неизменная картина интерференции наблюдается только тогда, когда разность складываемых колебаний постоянна (они когерентны). Очевидно, что когерентными могут быть колебания одинаковой частоты. Поэтому чаще всего изучают интерференцию монохроматических колебаний. На фото ниже изображена интерференция волн на поверхности воды. Интерференцию световых волн можно наблюдать, если положить стеклянную линзу на стеклянную пластинку (см. рисунок ниже под а) и посмотреть на них сверху. Луч света (красные стрелки) падает сверху на линзу, преломляется, отражается от её нижней искривлённой поверхности и выходит из линзы (луч 2). Однако часть луча, упавшего на нижнюю поверхность линзы, выходит из неё, падает на стеклянную пластинку, отражается от неё, проходит через линзу и выходит из неё (луч 1). Лучи 1 и 2 когерентны, т.к. они возникли из одного луча. Если попав в глаз, фаза этих лучей будет отличаться на целое число периодов, то эти лучи будут усиливать друг друга и мы увидим яркое пятно. В тех случаях, когда их разность фаз составит нечётное число полупериодов (Т/2, 3Т/2, 5Т/2 и т.д.) лучи уничтожат друг друга, и мы увидим тёмное пятно. Очевидно, что разность фаз между лучами 1 и 2 зависит от толщины зазора между линзой и пластинкой. Поэтому, смотря сверху мы увидим чередующиеся тёмные и светлые кольца – кольца Ньютона(рис выше под б) На фото ниже показаны интерференционные полосы для синего света (левая), для красного света (средняя) и для белого света (правая). Дифракцией называют явления, связанные со свойством волн огибать препятствия, т.е отклоняться от прямолинейного распространения. На рисунке ниже показано, как меняют направление звуковые волны после прохождения через отверстие в стене. Согласно принципа Гюйгенса области 1-5 становятся вторичными источниками сферических звуковых волн. Видно, что вторичные источники в областях 1 и 5 приводят к огибанию волнами препятствий. Любое препятствие искажает фронт распространения волн. Согласно принципу Гюйгенса границы препятствия становятся вторичными источниками волн, а их интерференция за препятствием приводит к возникновению устойчивой картины - чередования максимумов и минимумов интенсивности. Эти максимумы и минимумы называют дифракционными, т.к. они произошли в результате дифракции волн. Ниже показана дифракция волн, распространяющихся слева направо за шаром. Видно, что дифракция волн практически уничтожает тень от шара, а в её центре появляется область, где интенсивность волн очень велика. Ниже показано увеличенное фото тени верхнего края непрозрачной стены на экране. Видно, что переход из тёмной части тени в освещённую происходит не резко, а через последовательность чередующихся тёмных и ярких полос. Эти полосы являются результатом дифракции лучей света на краю препятствия и последующей их интерференции. Дифракционная решётка – это прозрачная пластинка, на которую через одинаковое расстояние d (период решётки) нанесены параллельные штрихи. Плоский фронт световой волны падает слева на дифракционную решётку (см. рисунок) и претерпевает дифракцию на её штрихах. После интерференции прошедших через решётку лучей появляются направления, вдоль которых наблюдаются дифракционные максимумы и минимумы интенсивности света. Угол n, под которым виден первый дифракционный максимум номер n, легко вычислить, если считать, что расстояние до экрана Р гораздо больше периода решётки d: 3.8. Эффект Допплера Известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем сигнал того же электропоезда, но неподвижного. Доплер Кристиан (1803–1853), австрийский физик и астроном, член Венской АН (1848 г.). Учился в Зальцбурге и Вене. С 1847 г. профессор Горной академии в Хемнице, с 1850 г. профессор Политехнического института и университета в Вене. Основные труды посвящены аберрации света, теории микроскопа и оптического дальномера, теории цветов и др. В 1842 г. теоретически обосновал зависимость частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения наблюдателя относительно источника колебаний. Эффектом Доплера называют изменение частоты волн, регистрируемых приемником, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника. Источник, двигаясь к приемнику, как бы сжимает пружину – волну (рис3.8) Рис 3.8. Данный эффект наблюдается при распространении звуковых волн (акустический эффект) и электромагнитных волн (оптический эффект). 4. Основы молекулярной физики и термодинамики Вещество может находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном. Молекулярная физика - раздел физики, в котором изучаются физические свойства тел в различных агрегатных состояниях на основе их молекулярного строения. Тепловое движение - беспорядочное (хаотическое) движение атомов или молекул вещества. 4.1. Основы молекулярно-кинетической теории Молекулярно-кинетическая теория - теория, объясняющая тепловые явления в макроскопических телах и свойства этих тел на основе их молекулярного строения. Основные положения молекулярно-кинетической теории: • вещество состоит из частиц - молекул и атомов, разделенных промежутками, • эти частицы хаотически движутся, • частицы взаимодействуют друг с другом. 4.2. Массы и размеры молекул Массы молекул и атомов очень малы. Например, масса одной молекулы водорода равна примерно 3,34*10 -27 кг, кислорода - 5,32*10 -26 кг. Масса одного атома углерода m0C=1,995*10 -26 кг Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества Mr называют отношение массы молекулы (или атома) данного вещества к 1/12 массы атома углерода:(атомная единица массы). Количество вещества - это отношение числа молекул N в данном теле к числу атомов в 0,012 кг углерода NA: Моль - количество вещества, содержащего столько молекул, сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода. Число молекул или атомов в 1 моле вещества называют постоянной Авогадро: Молярная масса - масса 1 моля вещества: Молярная и относительная молекулярная массы вещества связаны соотношением: М = Мr*10 -3 кг/моль. 4.3. Скорость движения молекул Несмотря на беспорядочный характер движения молекул, их распределение по скоростям носит характер определенной закономерности, которая называется распределением Максвелла. График, характеризующий это распределение, называют кривой распределения Максвелла. Она показывает, что в системе молекул при данной температуре есть очень быстрые и очень медленные, но большая часть молекул движется с определенной скоростью, которая называется наиболее вероятной. При повышении температуры эта наиболее вероятная скорость увеличивается. 4.4. Идеальный газ в МКТ Идеальный газ - это упрощенная модель газа, в которой: 1. молекулы газа считаются материальными точками, 2. молекулы не взаимодействуют между собой, 3. молекулы, соударяясь с преградами, испытывают упругие взаимодействия. Иными словами, движение отдельных молекул идеального газа подчиняется законам механики. Реальные газы ведут себя подобно идеальным при достаточно больших разрежениях, когда расстояния между молекулами во много раз больше их размеров. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде: Скорость называют средней квадратичной скоростью. 4.5. Температура Любое макроскопическое тело или группа макроскопических тел называется термодинамической системой. Тепловое или термодинамическое равновесие - такое состояние термодинамической системы, при котором все ее макроскопические параметры остаются неизменными: не меняются объем, давление, не происходит теплообмен, отсутствуют переходы из одного агрегатного состояния в другое и т.д. При неизменных внешних условиях любая термодинамическая система самопроизвольно переходит в состояние теплового равновесия. Температура - физическая величина, характеризующая состояние теплового равновесия системы тел: все тела системы, находящиеся друг с другом в тепловом равновесии, имеют одну и ту же температуру. Абсолютный нуль температуры - предельная температура, при которой давление идеального газа при постоянном объеме должно быть равно нулю или должен быть равен нулю объем идеального газа при постоянном давлении. Термометр - прибор для измерения температуры. Обычно термометры градуируют по шкале Цельсия: температуре кристаллизации воды (таяния льда) соответствует 0°С, температуре ее кипения - 100°С. Кельвин ввел абсолютную шкалу температур, согласно которой нулевая температура соответствует абсолютному нулю, единица измерения температуры по шкале Кельвина равна градусу Цельсия: [Т] = 1 К (Кельвин). Связь температуры в энергетических единицах и температуры в градусах Кельвина: где k = 1,38*10 -23 Дж/К - постоянная Больцмана. Связь абсолютной шкалы и шкалы Цельсия: T = t + 273 где t - температура в градусах Цельсия. Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре: Средняя квадратичная скорость молекул Учитывая равенство (1), основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать так: p=nkT 4.6. Уравнение состояния идеального газа Пусть газ массой m занимает объем V при температуре Т и давлении р, а М- молярная масса газа. По определению, концентрация молекул газа: n = N/V, где N-число молекул. Подставим это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теории: Величину R называют универсальной газовой постоянной, а уравнение, записанное в виде называют уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева-Клапейрона. Нормальные условия - давление газа равно атмосферному ( р = 101,325 кПа) при температуре таяния льда ( Т = 273,15 К ). 1. Изотермический процесс Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим. Если Т =const, то Закон Бойля-Мариотта Для данной массы газа произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется: p1V1=p2V2 при Т = const График процесса, происходящего при постоянной температуре, называется изотермой. 2. Изобарный процесс Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным. Закон Гей-Люссака Объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре: Если газ, имея объем V0 находится при нормальных условиях: а затем при постоянном давлении переходит в состояние с температурой Т и объемом V, то можно записать Обозначив получим V=V0αT Коэффициент называют температурным коэффициентом объемного расширения газов. График процесса, происходящего при постоянном давлении, называется изобарой. 3. Изохорный процесс Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным. Ecли V = const , то Закон Шарля Давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре: Если газ, имея объем V0, находится при нормальных условиях: а затем, сохраняя объем, переходит в состояние с температурой Т и давлением р, то можно записать График процесса, происходящего при постоянном объеме, называется изохорой. 4.7. Внутренняя энергия Под внутренней энергией термодинамической системы понимают кинетическую энергию теплового движения ее молекул и потенциальную энергию их взаимодействия. Она зависит от параметров состояния V,T. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре: Для газов, состоящих из более сложных молекул, также U ~ Т , но коэффициент пропорциональности другой. Это объясняется тем, что такие молекулы не только движутся поступательно, но и вращаются. 4.8. Работа в термодинамике Если газ расширяется при постоянном давлении р, то сила, действующая со стороны газа на поршень: F = рS, гдеS - площадь поршня. При подъеме поршня на высоту газ совершает работу где ΔV - изменение объема газа. При медленном сжимании газа работа, совершаемая внешними телами над газом, будет отличаться только знаком: Работа, совершаемая термодинамической системой при постоянном давлении, равна 4.9. Количество теплоты Процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения работы называют теплообменом. Количество теплоты - это энергия, переданная телу в результате теплообмена. Теплоемкость С - количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m на 1 К. Удельная теплоемкость с - это количество теплоты, которое получает или отдает 1 кг вещества при изменении его температуры на 1 К: c=C/m Для изменения температуры вещества массой m от Т1 до Т2 ему необходимо сообщить количество теплоты Коэффициент с в этой формуле называют удельной теплоемкостью: [с]=1 Дж/(кг*К). При нагревании тела Q > 0, при охлаждении Q < 0. Для того, чтобы жидкость массы m полностью превратить в пар, ей необходимо передать количество теплоты Q=rm где r - удельная теплота парообразования: [r] = 1 Дж/кг . Удельная теплота парообразования - это количество теплоты, которое необходимо для превращения 1 кг жидкости в пар при постоянной температуре. Конденсация - процесс, обратный испарению. Для того, чтобы расплавить полностью тело массой m , ему необходимо сообщить количество теплоты Q= λm где - удельная теплота плавления: {λ} = 1 Дж/кг . Удельная теплота плавления - это количество теплоты, которое необходимо для плавления 1 кг кристаллического вещества при температуре плавления. Кристаллизация - процесс, обратный плавлению. Для замкнутой системы, состоящей из N тел, можно записать уравнение теплового баланса: Q1+...+Qn=0 где Q1, ... , QN - количества теплоты, полученные или отданные телами. 4.10. Законы термодинамики Закон сохранения энергии Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она только переходит из одной формы в другую. Закон сохранения энергии, распространенный на тепловые явления, называется первым законом термодинамики. Первый закон термодинамики Изменение внутренней энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе: Этот закон можно сформулировать иначе: Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами: В первой формулировке А - работа, совершаемая над системой (над газом), во второй А' - это работа, совершаемая системой (газом). Вечный двигатель первого рода - устройство, способное совершать неограниченное количество работы без подведения энергии извне. Из первого закона термодинамики следует невозможность создания вечного двигателя первого рода. Если к системе не поступает теплота, то Иными словами, работа совершается системой за счет уменьшения ее внутренней энергии. После того, как запас энергии будет исчерпан, двигатель перестанет работать. Процесс, протекающий в теплоизолированной системе, называют адиабатным. Абсолютно исключить теплопередачу невозможно, но иногда реальные процессы близки к адиабатным. Они протекают за очень малый промежуток времени, в течение которого не происходит существенного теплообмена между системой и внешними телами. 4.11. Тепловые двигатели Тепловые двигатели - устройства, превращающие внутреннюю энергию топлива в механическую энергию. Любой тепловой двигатель состоит из трех основных частей. Рабочее тело - газ, совершающий работу А' при расширении. Нагреватель - устройство, от которого рабочее тело получает количество теплоты Q 1 Холодильник - устройство, которому рабочее тело передает количество теплоты Q2 Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называют отношение работы, совершаемой двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя: Так как Q2 < Q1, то всегда < 1. Идеальная тепловая машина Карно - модель теплового двигателя, в котором рабочим телом является идеальный газ. КПД машины Карно где Т1 - температура нагревателя, T2 - температура холодильника. Реальная тепловая машина не может иметь КПД, превышающий КПД идеальной тепловой машины. Список используемой литературы 1. Иродов И.Е. Законы классической механики. М. Высшая школа. 1985 2. Угаров В.А. Специальная теория относительности. М. Наука. 1984 3. Савельев И.В. Курс общей физики. 1т. М. Наука. 1982, Санкт-Петербург, 1996 4. Тюрин Ю.И., Чернов И.П, Крючков Ю.Ю. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. М. Высшая школа. 2007