Математика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чайковский государственный институт физической культуры» (ФГБОУ ВО «ЧГИФК») Кафедра Спортивной медицины и комплексного контроля С.Н. Трегубова МАТЕМАТИКА Конспекты лекций для обучающихся по направлению подготовки 49.03.01 Физическая культура (профили «Спортивный менеджмент» «Физкультурное образование» «Спортивно-оздоровительный туризм» «Физкультурно-оздоровительные технологии» «Спортивная тренировка (лыжные гонки и биатлон)» «Спортивная тренировка (сложно-координационные зимние виды спорта)» «Спортивная тренировка (борьба)» «Спортивная тренировка (ударные единоборства)») Чайковский, 2017г. Трегубова, С.Н. Математика: конспекты лекций для обучающихся по направлению подготовки 49.03.01 Физическая культура / С.Н. Трегубова – г. Чайковский, ФГБОУ ВО «ЧГИФК», 2017.– 117 с. Обсуждены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры Спортивной медицины и комплексного контроля, протокол № 29 от «16»­­­­­­­ мая 2017г. Конспекты лекций составлены в соответствии с учебным планом и рабочей программой по дисциплине «Математика», отвечающей требованиям ФГОС ВО по направлению подготовки 49.03.01 Физическая культура (профили «Спортивный менеджмент», «Физкультурное образование», «Спортивно-оздоровительный туризм», «Физкультурно-оздоровительные технологии», «Спортивная тренировка (лыжные гонки и биатлон)», «Спортивная тренировка (сложно-координационные зимние виды спорта)», «Спортивная тренировка (борьба)», «Спортивная тренировка (ударные единоборства)»). В конспектах лекций изложены теоретические вопросы по всем темам в соответствии с рабочей программой дисциплины и приведены примеры использования основных теоретических сведений. Представлен список основной литературы по предлагаемым темам. Конспекты лекций предназначены для обучающихся по направлению подготовки 49.03.01 Физическая культура. Рецензент: к.п.н., доцент Фендель Т.В. © Трегубова С.Н., 2017 © Чайковский государственный институт физической культуры, 2017 Лекция 1 . Понятие матрицы, виды матриц, действия над матрицами. Определители второго, третьего порядка и их свойства. Определители n-го порядка. 1. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов: . Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается или det A. Матрица Е с элементами называется единичной матрицей n-го порядка. Матрица называется обратной к матрице (), если (1.1) Элементы обратной матрицы вычисляются по формулам (1.2) где - алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы. Действия с матрицами. 1. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, причем , , . 2. Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица А, причем . 3.Произведением матриц А и В (размеров и соответственно) называется матрица С размера , такая, что (1.3) (поэлементное умножение i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В). 4. Транспонированной к матрице называется матрица такая, что , , . 2. Матрица называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Например, . Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований: 1) перестановки столбцов (строк); 2) умножения элементов столбца (строки) на число, отличное от нуля; 3) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число. Матрицы, получаемые в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~. Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо: 1. Найти какой-нибудь минор М1 первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг r(A) = 0. 2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1), до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д. … k. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть хотя бы один минор , то и процесс вычисления продолжается. При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его необходимо только среди миноров, содержащих минор Пример 1.1. Найти ранг матрицы . Решение. Приведем матрицу А к каноническому виду путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим А~. Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно: А~~ . Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1: А~~. Таким образом, ранг матрицы А равен 2. Пример 1.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. . Решение. Рассмотрим минор первого порядка , следовательно, ранг матрицы . Далее рассмотрим минор второго порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то . Найдем значение минора третьего порядка: , следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. . 3. Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует. 2. Найти матрицу , транспонированную к матрице А. 3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , , и составить из них присоединенную матрицу : , , . 4. Вычислить обратную матрицу по формуле: . 5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: . Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: 1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности; 2) путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице; 3) в результате вычислительного процесса на месте приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица . Схематично процесс нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: (А | E) (E |). Пример1.3. Найти обратную матрицу методом Гаусса для . Решение. 1.Составим расширенную матрицу . 2. Элементы первой строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу . 3. Итак, обратная матрица имеет вид . 4. Определителем (или детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n-го порядка: . Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на . Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Определитель n-го порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам i-й строки (или j-го столбца): (разложение определителя по элементам i-й строки), (разложение определителя по элементам j-го столбца). Определителем второго порядка называется число, равное . Определителем третьего порядка называется число, равное . Свойства определителей п-го порядка: 10. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами. 20. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. 30. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю. 40. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ. 50. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 60. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 70. Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из названных слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Лекция 2. Основные понятия о векторах. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы. Проекция вектора на ось и её свойства. Правила действий над векторам, заданными в координатной форме. 1. Вектором называется направленный отрезок. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (или модулем) и обозначается или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора . Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположно направлены. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Два коллинеарных вектора и называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. 2. Разложение вектора по базису. Если - орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами x, y, z, т.е. . Коэффициенты x, y, z линейной комбинации называются координатами вектора в базисе . Пусть система векторов , , является базисом, вектор – их линейная комбинация. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным. Значит, . Пример 2.1. Найти координаты вектора в базисе , ,, если , , . Решение. Используя формулу , составим систему уравнений для нахождения координат вектора в базисе , ,. или Пример 2.2. Показать, что векторы , , образуют базис. Решение. Составим определитель третьего порядка из координат данных векторов и найдем его. , следовательно, векторы линейно независимы, значит, они образуют базис. 3. Длина вектора определяется по формуле: . Пусть вектор образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы α, β, γ соответственно. Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: , , . Направляющие косинусы связаны соотношением . Пусть даны два вектора и . Тогда: 1) векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты; 2) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. . При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – соответственно умножаются на это число: , . 4. Проекция вектора на заданное направление. Проекцией вектора на ось и называется число, равное длине вектора(рис.2.1), взятой со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае. Рис.2.1 Точки А1, В1 – это точки пересечения оси и с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки А и В. Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле, если и : т.е. . 5. Линейное пространство. Совокупность векторов одной размерности называют системой векторов и обозначают: (2.1) Система ненулевых векторов (2.1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: (2.2) Если равенство (2.2) для данной системы векторов (1) возможно лишь при , то такая система векторов называется линейно независимой. Максимально независимой подсистемой системы векторов (2.1) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий условиям: 1) векторы этого набора независимы; 2) любой вектор системы (2.1) линейно выражается через векторы этого набора. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством. Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам: 1°. х+у=у+х – коммутативное (переместительное) свойство сложения. 2°. (х+у)+z=x+(y+z) – ассоциативное (сочетательное) свойство сложения. 3°. α(βх)=(αβ)х – ассоциативное свойство относительно числового множителя. 4°. α(х+у)=αх+αу – дистрибутивное (распределительное) свойство относительно суммы векторов. 5°. (α+β)х=αх+βх – дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей. 6°. Существует нулевой вектор 0=(0;0;…0) такой, что х+0=х для любого вектора х. 7°. Для любого вектора х существует противоположный вектор (-х) такой, что х+(-х)=0. 8°. для любого вектора х. Отметим, что под х, у, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае множество элементов называется линейным пространством. 6. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством (2.3) где φ – угол между векторами и . Некоторые приложения скалярного произведения. 1.Угол между векторами. Определение угла между ненулевыми векторами и : т.е. Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и : 2.Работа постоянной силы. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (рис. 2). Рис. 2.2 Из курса физики известно, что работа силы при перемещении равна , т.е. . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Пример 2.3. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения в положение . Под каким углом к направлена сила ? Решение. Найдем . Следовательно, (ед. работы). Угол между и находим по формуле т. е. Евклидово пространство. Скалярное произведение имеет следующие свойства: 1°. ху=ух – коммутативное свойство. 2°. х(у+z)=xy+xz – дистрибутивное свойство. 3°. (αх)у=α(ху) – для любого действительного числа α. 4°. хх>0, если х – ненулевой вектор, хх=0, если х – нулевой вектор. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством. 7. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов и на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 2.3): (2.4) Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и : Рис. 2.3 Условие коллинеарности векторов: Если , то (и наоборот), т. е. Некоторые приложения векторного произведения. 1.Определение момента силы относительно точки. Пусть в точке приложена сила и пусть - некоторая точка про­странства (рис. 4). Из курса физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точ­ку и: 1) перпендикулярен плоскости, прохо­дящей через точки 2) численно равен произведению силы на плечо 3) образует правую тройку с векторами и . Значит, . Рис.2.4 2.Нахождение линейной скорости вращения. Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью во­круг неподвижной оси, определяется фор­мулой Эйлера , где , где — некоторая неподвижная точка оси (рис. 2.5). Рис.2.5 8. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное (2.5) Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Условие компланарности векторов. Векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешан­ное произведение равно нулю при условии, что : векторы компланарны. Пример 2.4. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды. Решение. 1) Найдем векторы и : . Найдем длины этих векторов, т.е. длины ребер и : . 2) Скалярное произведение векторов и найдем по формуле (2.3): , косинус угла между этими векторами – по формуле: . Следовательно, φ – тупой угол, равный рад с точностью до 0,01. Это есть искомый угол между ребрами и . 9. Вектор-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы А n-го порядка, соответствующим собственному значению λ, если он удовлетворяет матричному уравнению или . Здесь Е – единичная матрица n-го порядка, 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений λ: (2.6) Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений: (2.7) Собственный вектор определяется до постоянного множителя. Пример 2.5. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы . Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (2.6): или откуда следует, что матрица А имеет два собственных значения . Собственный вектор Х1, соответствующий , определяется из системы уравнений вида (2.7): или которая сводится к одному уравнению . Полагая , получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть . Второй собственный вектор Х2 , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений вида (2.7): Эта система уравнений также сводится к одному уравнению ; полагая , получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть . Таким образом, матрица А имеет два собственных различных значения и два собственных вектора, равных и . Лекция 3. Прямая на плоскости. Основные виды уравнений прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 1. Прямоугольные координаты (х; у) точки М и ее полярные координаты связаны соотношениями: (3.1) (3.2) где - полярный радиус, - полярный угол точки М (рис. 3.1). Рис.3.1 2. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными х и у, т.е. уравнение вида (3.3) (где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем ) определяет на плоскости прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Частные случаи общего уравнения прямой: 1) если , то уравнение приводится к виду , где (это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох); 2) если , то уравнение прямой приводится к виду , где (прямая параллельна оси Оу); 3) если , то уравнение приводится к виду (прямая проходит через начало координат). Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой , то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида , (3.4) где , . Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой , то, разделив все его части на (– С), получим уравнение вида , (3.5) где , . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Если прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k, то уравнение прямой имеет вид . (3.6) Данное уравнение с различными значениями коэффициента k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке . Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если прямая проходит через точки и , то уравнение прямой имеет вид , (3.7) где , . Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Если прямая проходит через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору , то уравнение прямой имеет вид . (3.8) Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Полярное уравнение прямой. Положение прямой в полярных координатах определено, если указано расстояние р. от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (рис.3.2). Рис.3.2 Для любой точки на данной прямой имеем . (3.9) Нормальное уравнение прямой. Если прямая определяется заданием p и α (рис. 3.3), то уравнение (3.9) прямой в прямоугольной системе координат имеет вид . (3.10) Уравнение (3.10) можно получить из общего уравнения прямой (3.3), умножив обе части данного уравнения на нормирующий множитель , (3.11) учитывая, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой. Рис.3.3 Пример 3.1. Привести уравнение к нормальному виду. Решение. Найдем нормирующий множитель . Умножая данное уравнение на λ, получим искомое нормальное уравнение прямой: . 3. Угол между прямыми. Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, то тангенс угла между этими прямыми можно вычислить по формуле . (3.12) Условие параллельности двух прямых. Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы . Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями и соответственно, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы . Условие перпендикулярности двух прямых. Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы . Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями и соответственно, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы . 4. Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением и точка не принадлежит данной прямой, то расстояние от точки до прямой находится по формуле . (3.13) Пример 3.2. Найти расстояние от точки до прямой . Решение. По формуле (13) получаем . Лекция 4. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. 1. Число А называется пределом функции при , если для найдется такое, что при выполняется неравенство . Число А называется пределом функции при , если для найдется такое, что . Число А1 называется пределом функции слева в точке а, если для найдется такое, что при выполняется неравенство . Аналогично определяется предел функции справа. Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Функция называется бесконечно малой при , если . Две бесконечно малые функции можно сравнивать с помощью их отношения. Пусть и есть бесконечно малые функции при . 1. Если (), то функции и называются бесконечно малыми одного порядка. 2. Если , то функции и называются эквивалентными. 3. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем . 4. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем . 5. Если не существует, то функции и называются несравнимыми бесконечно малыми. Важнейшие эквивалентности, используемые при вычислении пределов: 1. при . 6. при . 2. при . 7. при . 3. при . 8. при . 4. при . 9. при . 5. при . 10. при . 2. Приемы раскрытия неопределенностей: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (для отношения многочленов при ); 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших; 4) использование двух замечательных пределов; 5) умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное числителю (и/или знаменателю) при неопределенности вида , получающейся при . Первый замечательный предел: (4.1) Второй замечательный предел: (4.2) Свойства пределов функции в точке: Если существуют пределы и , то 1) ; 2) ; 3) . Пример 4.1. Найти . Решение. Подставляя вместо его предельное значение, равное 3, получим неопределенность вида . Поэтому . Пример 4.2. Найти . Решение. Подставляя вместо его предельное значение, равное ∞, получим неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень , т.е. на . Получим , так как при функции и являются бесконечно малыми. Пример 4.3. Найти . Решение. В данном случае получилась неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности используем метод замены бесконечно малых функций эквивалентными. При ̴ , ̴̴ , поэтому . Пример 4.4. Найти . Решение. При подстановке получим неопределенность вида . Выполним замену переменной: , тогда при условии, что . . Пример 4.5. Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме при . Решение. При оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными: , . Следовательно, функция эквивалента при второму слагаемому. 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е. . Классификация точек разрыва функции: 1) если существуют конечные пределы и , причем, не все три числа , , равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода; 1.1) если =, то а называется точкой устранимого разрыва; 1.2) если , то а называется точкой скачка; 2) если хотя бы один из пределов и не существует или равен ∞, то а называется точкой разрыва II рода. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка ξ, в которой данная функция обращается в ноль: . Пример 4.6. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции. Решение. Данная функция определена на всей числовой прямой. Точками разрыва могут быть точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. и . Вычислим односторонние пределы в этих точках. Для точки ; . Односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода. Для точки , . Односторонние пределы функции при равны между собой и равны значению функции , следовательно, точка является точкой непрерывности данной функции. График данной функции приведен на рис. 4.1. Рис. 4.1 4. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Пусть функция определена на некотором интервале . Выполним следующие операции: • аргументу дадим приращение • найдем соответствующее приращение функции: ; • составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ; • найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что называется производной функции в точке . . (4.3) Производная функции есть некоторая функция , произведен­ная из данной функции. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахо­ждения производной функции называется дифференцированием. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или Пример 4.7. Найти производную функции . Решение. • Значению даем приращение ; • находим приращение функции : ; • значит, • следовательно, т.е. Пример 4.8. Найти производную функции . Решение. • Аргументу даем приращение ; • находим : • составляем отношение • находим предел этого отношения: . Таким образом, Физический смысл производной состоит в следующем: если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . Если точка касания имеет координаты (рис. 4.2), то угловой коэффициент касательной к кривой есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касатель­ной, то ее угловой коэффициент Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ). Рис. 4.2 5. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в некоторой точке x. Следовательно, существует предел Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем где 0 при x0, то есть Переходя к пределу, при x0, получаем Это означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x. Рис. 4.3 Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция Изображенная на рисунке 18 функция непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, в точке x=0 имеем Отсюда следует, что не существует, т.е. функция y=|x| не имеет производной в точке x=0, график функции не имеет касательной в точке О(0; 0). Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции y=|x| в точке x=0: В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и . Если , то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции. 2. Производная непрерывной функции y = f (x) сама не обязательно является непрерывной. Если функция y = f (x) имеет непрерывную производную в некотором интервале (a; b), то функция называется гладкой. 6. Дифференциал функции. Основные теоремы о дифференциалах. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x0 называется главная линейная относительно x часть приращения функции в этой точке: dy = f (x0) x. (4.5) Так как дифференциал dx независимой переменной x является приращением x этой переменной, то соотношение (5) принимает вид dy = f (x0) dx (4.6) Из равенства (14) производную f (x) в любой точке x можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx: (4.7) Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференци­руемых функций определяются следующими формулами: Теорема. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента. Таблица дифференциалов 1. 2. в частности, 3. в частности, 4. , если 5. , если 6. 7. 8. в частности, 9. в частности, 10. 16. 11. 17. 12. 18. 13. 19. 14. 20. 15. 21. 7. Понятие производной n-го порядка. Производная f (x) функции f (x) является функцией аргумента x. Производная от первой производной некоторой функции y = f (x) называется второй производной, или производной второго порядка, этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Производная n–го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n – 1)–го порядка: y(n) = (y(n – 1)). Пример 4.9. Найти производную второго порядка от функции y = x3 + 2x. Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее: y = 3x2 + 2, y = 6x. Пример 4.10. Найти производную второго порядка от функции . Решение. Сначала находим первую производную сложной функции: . Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций: . Пример 4.11. Найти производную третьего порядка от функции y = x lnx. Решение. Последовательно находим: y = lnx + 1, y = 1/x, y= - 1/x2. Пример 4.12. Найти производную n–го порядка от функции y = e2x. Находим: y = 2e2x, y = 4e2x, т.е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функции сомножитель 2. Отсюда получаем: y(n) = 2n e2x. Пример 4.13. Найти производную 13-го порядка функции . Решение. ………………………………………………….. 8. Понятие дифференциала высшего порядка. Пусть дифференцируемая функция, а аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть функция от переменной х. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка, т.е. . Таким образом, . Дифференциал п-го порядка может быть представлен в виде . 9. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал: y  dy. f (x0 + x)  f (x0) + f’(x0)x. (16) Формула (16) является основной в приближенных вычислениях. Пример 4.14. Вычислить приближенное значение корня . Решение. Рассмотрим функцию f (x) = x0,5 в окрестности точки x0 = 1. Поскольку производная этой функции вычисляется по формуле , то, принимая x = 0,07, получаем из формулы (16): f (1+ 0,07) =  f (1) + f’ (1)0,07 = 1,0035. Лекция 5. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Методы интегрирования. 1. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для любого выполняется равенство или . Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных, которые могут быть представлены в виде , где С – это постоянная. Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех ее первообразных, т.е. . (5.1) Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Основные свойства неопределенных интегралов. 10. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: , . 20. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: . 30. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , . 40. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: . 50. Инвариантность формулы интегрирования. Если , то и , где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. 2. Непосредственное интегрирование функций. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используют следующие преобразования дифференциала: , а – число, , – число, , , , , , . Пример 5.1. Вычислить . Решение. . Пример 5.2. Вычислить . Решение. . Пример 5.3. Вычислить . Решение. . Пример 5.4. Вычислить . Решение. . Пример 5.5. Вычислить . Решение. Пример 5.6. Вычислить . Решение. . 3. Метод замены переменной (метод интегрирования подстановкой). Метод интегрирования заменой переменной заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную, тогда имеет место формула замены переменной в неопределенном интеграле . (5.2) Формула (2) также называется формулой интегрирования подстановкой. После нахождения правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t обратно к исходной переменной х. Пример 5.7. Вычислить . Решение. Пусть , тогда . Следовательно, . Пример 5.8. Вычислить . Решение. Пусть , тогда , . Следовательно, . Пример 5.9. Вычислить . Решение. Пусть , тогда ,. Следовательно, . Пример 5.10. Вычислить . Решение. Пусть , тогда ,. Следовательно, . 4. Метод интегрирования по частям. Пусть , – функции, имеющие непрерывные производные, тогда формула интегрирования по частям имеет вид . (5.3) Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-то образом в виде произведения двух множителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения dи и v, используется формула интегрирования по частям. Интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям: 1. Интегралы вида , , , где Р(х) – многочлен, k – число. Подстановка: и=Р(х), dv – остальные множители. 2. Интегралы вида , , , , . Подстановка: Р(х)dх= dv, и – остальные множители. 3. Интегралы вида , , где а и b – числа. Подстановка: , dv – остальные множители. Пример 5.11. Вычислить . Решение. Пусть , , (положим, что С=0). По формуле интегрирования по частям получим . Пример 5.12. Вычислить . Решение. Пусть , , . Следовательно, . Пример 5.13. Вычислить . Решение. Пусть , , . Следовательно, . Для вычисления интеграла снова используем формулу интегрирования по частям: , , . Значит, . Поэтому . Пример 5.14. Вычислить . Решение. Пусть , , . Следовательно, . 5. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. , где – многочлен степени т, – многочлен степени п. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (); иначе () рациональная дробь называется неправильной. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители , можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: (5.4) где А1, А2, …С1, С2, … – некоторые действительные коэффициенты. Методы нахождения неопределенных коэффициентов А1, А2, …С1, С2, … в равенстве (4): а) метод сравнения коэффициентов; б) метод отдельных значений аргумента. Алгоритм метода сравнения коэффициентов: 1. В правой части равенства (4) привести к общему знаменателю ; в результате получится тождество , где – многочлен с неопределенными коэффициентами. 2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е. . (5.5) 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (5), получим систему линейных уравнений, из которых определим коэффициенты А1, А2, …С1, С2, … Пример 5.15. Представить дробь в виде суммы простейших дробей. Решение. Представим исходную дробь по формуле (4) в виде суммы простейших дробей, получим: . Таким образом, . Отсюда следует . Приравнивая коэффициенты при х2, х1, х0, получаем Решив систему, находим, что А=-1, В=3, С=-2. Следовательно, . Метод отдельных значений аргумента заключается в следующем: после получения тождества (5.5) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена ). Пример 5.16. Представить дробь в виде суммы простейших дробей. Решение. Имеем . Следовательно, . Пусть , тогда ; пусть , тогда ; пусть , тогда . Следовательно, . 6. Интегрирование простейших рациональных дробей. 1. . 2. . 3. Для нахождения интеграла выделяем в знаменателе полный квадрат, т.е. , где , затем выполняют подстановку , после применения табличных интегралов и возвращения к исходной переменной, получаем . 4. Вычисление интеграла с помощью подстановки сводится к сумме двух интегралов: . Первое слагаемое равно . Вычислим второй интеграл: или . Пример 5.17. Найти . Решение. . Выполним подстановку . . Пример 5.18. Найти . Решение. Здесь . Так как то 7. Интегрирование рациональных дробей. Алгоритм интегрирования рациональных дробей: 1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. 2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей. 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. Пример 5.19. Найти . Решение. Так как под знаком интеграла представлена неправильная дробь, выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель: . Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: 8. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Функции с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sinx; cosx), где R – знак рациональной функции. Вычисление неопределенных интегралов типа R(sinx; cosx)dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции с помощью подстановки , которая называется универсальной. Причем, На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила: 1) если функция R(sinx; cosx) нечетная относительно sinx, т.е. R (- sinx; cosx) = =-R(sin x; cos x) , то применяется подстановка cosx=t; 2) если функция R(sinx; cosx) нечетная относительно cosx, т.е. R(sinx; -cos x)=R(sin x;cos x), то применяется подстановка sin x=t; 3) если функция R(sinx; cosx) четная относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx; cosx), то подстановка имеет вид tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид . Пример 5.20. Найти . Решение. Сделаем универсальную подстановку . Тогда Следовательно, Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов используются следующие постановки: 1) постановка , если п – целое, положительное, нечетное число; 2) постановка , если т – целое, положительное, нечетное число; 3) формулы понижения порядка степени: , , , если п и т – целые, неотрицательные, четные числа; 4) подстановка , если (т+п) – целое, четное, отрицательное число. Пример 5.21. Найти . Решение. Здесь т=4, п=5. Применяем подстановку , тогда , , . 9. Квадратичные иррациональности. Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции. Интегралы типа называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Данные интегралы можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат и сделать подстановку . При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов. Интегралы типа , где – многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой , (33.1) где - многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, - неопределенный коэффициент. Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства(33.1): , после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x. 10. Дробно-линейная подстановка. Интегралы типа, где - действительные числа, - целые числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки , где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей . Пример 5.22. Найти . Решение. Здесь , следовательно, k = 6. Применяем подстановку , тогда , . . Вернемся к исходной переменной. Т.к. , то . 11. Тригонометрическая подстановка. Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: для первого интеграла; для второго интеграла; для третьего интеграла. 12. Интегралы типа . Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т.е. к интегралам типа , .Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок. Замечание: Интеграл типа целесообразно находить с помощью подстановки . Лекция 6. Определенный интеграл. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. 1. Определенный интеграл, его основные свойства. Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на п произвольных отрезков точками . Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную точку , где , . Найдем сумму произведений , которую будем называть интегральной суммой для функции на отрезке . Обозначим через λ длину максимального частичного отрезка данного разбиения, т.е. . Конечный предел I интегральной суммы при , если он существует, называется определенным интегралом от функции на отрезке : . Определенный интеграл обозначается символом . Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке , числа а и b – соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Интегрируемыми на отрезке являются функции: 1) непрерывные на отрезке функции; 2) ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число точек разрыва; 3) монотонные на отрезке функции. Основные свойства определенных интегралов. 10. . 20. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство . 30. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: . 40. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: . 50. Если функция на отрезке , то . 60. Если на отрезке , то . 70. Если функция интегрируема на отрезке , то . 80. Если М и m – соответственно, максимум и минимум функции на отрезке , то . 2. Формула Ньютона-Лейбница: . Формула Ньютона-Лейбница дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной в пределах интегрирования. Пример6. 1. Найти . Решение. . Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной и интегрирование по частям. Теорема. Пусть: 1) непрерывная на отрезке ; 2) функция - дифференцируемая на , причем непрерывна на и множеством значений функции является отрезок ; 3) , . Тогда справедлива формула . Данная формула называется формулой замены переменной (или подстановки) в определенном интеграле. Замечание. 1. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной возвращаться к исходной переменной не надо. 2. При подстановке новой переменной необходимо найти новые пределы интегрирования и выполнить преобразования подынтегральной функции. Пример 6.2. Найти . Решение. Выполним подстановку . Тогда . Если х = 0, то ; если х = 1, то . Т.к. функция непрерывна на [1; 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, значит, для нее существует первообразная на этом отрезке. Получим: . Теорема. Пусть функции , имеют непрерывные производные на отрезке , тогда имеет место формула . Данная формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Пример 6.3. Найти . Решение. Здесь , . Тогда . 3. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, нахождение объема тела. 3.1. Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции на отрезке , отрезком оси Ох, вертикальными прямыми х = а, х = b . Эта фигура называется криволинейной трапецией. Лекция 7. Основные понятия. Геометрический и физический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем такое выражение далее: Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем: • это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка. Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения. Задача Коши (задача с начальным условием) Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; (начальное условие y(x0) = y0 часто записывают в форме ). Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи , y(x0) = y0. На самом деле для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения. Уравнения с разделяющимися переменными Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде . Такое уравнение можно представить также в виде: Перейдем к новым обозначениям Получаем: После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение. Пример 7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения . ; ; . Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям: ; Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения. Чтобы проверить правильность полученного ответа, продифференцируем его по переменной х. - верно. Пример 7.2. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1. ; ; ; ; ; при у(2) = 1 получаем Таким образом, или - частное решение; Проверка: , - верно. Замечание. Осуществление проверки правильности полученного решения не является обязательным. Пример 7.3. Решить уравнение ; ; ; - общий интеграл, - общее решение. Пример 7.4. Решить уравнение Пример 7.5. Решить уравнение при условии у(1) = 0. ; Интеграл, стоящий в левой части, будем брать по частям. Если у(1) = 0, то Частный интеграл: . Пример 7.6. Решить уравнение . Пример 7.7. Найти решение задачи Коши Решаем уравнение: Здесь постоянная интегрирования записана как . Далее, . Общий интеграл уравнения y2 = C(x2 – 1) + 1. Определим частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5. Подстановка значений x = 0, y = 5 в общий интеграл даёт С=−24, таким образом, y2 = -24(x2 – 1) + 1 и есть решение задачи Коши. Пример 7.8. Решить уравнение . ; ; ; ; . Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда: Получаем частное решение Однородные уравнения Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество: Пример 7.9. Является ли однородной функция Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка. Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем: Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е. Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: . Далее заменяем y = ux, . таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения. Пример 7.10. Решить уравнение . Введем вспомогательную функцию u. . Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее . Подставляем в исходное уравнение: Разделяем переменные: Интегрируя, получаем: Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: Уравнения, приводящиеся к однородным Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут быть приведены к однородным. Это уравнения вида . Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой где  и  - решения системы уравнений . Пример 7.11. Решить уравнение Получаем: Находим значение определителя . Решаем систему уравнений Применяем подстановку в исходное уравнение: Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем: Разделяем переменные: Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. Таким образом, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. В случае, если в исходном уравнении вида определитель то переменные могут быть разделены подстановкой Пример 7.12. Решить уравнение Получаем Находим значение определителя Применяем подстановку Подставляем это выражение в исходное уравнение: Разделяем переменные: Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х. Таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P(x) и Q(x) - функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида . Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей. ; Общее решение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном два метода: метод Бернулли или метод Лагранжа. Метод Бернулли Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . Очевидно, что . Подставляя в исходное уравнение, получаем: ; . Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, функция может быть представлена как и т.п. Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение . Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Интегрируя, можем найти функцию v: ; ; Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем: Окончательно получаем формулу: , С2 - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем. Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: . Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х): Интегрируя, получаем: Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: . Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл. Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений описанными методами. Пример 8.1. Решить уравнение Приведем данное уравнение к стандартному виду: Положим ; . Подставим в уравнение: ; . Положим =0, откуда получаем . Подставив полученное выражение в уравнение, получим: . Окончательно имеем: Пример 8.2. Решить уравнение Приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: ; ; Пример 8.3. Решить уравнение (x + y2) dy = ydx. Представим уравнение в виде . Очевидно, оно является линейным относительно функции x = x(y). Решим его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение: . Ищем решение данного уравнения в форме x=C(y)y. Тогда (постоянная C0 переобозначена как ). Уравнение Бернулли Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn. Применим подстановку, учтя, что . ; . Получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде: ; Пример 8.4. Решить уравнение Разделим уравнение на xy2: Полагаем . Полагаем Произведя обратную подстановку, получаем: Пример 8.5. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на Полагаем Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что: Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: Лекция 9.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n): Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши. Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка () в этой области, существует единственное решение уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям . Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x) Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием. ……………………………………………………………. Пример 9.1. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; Подставим начальные условия: Получаем частное решение (решение задачи Коши): . Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка (k – 1) включительно Рассмотрим уравнения вида В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: Тогда получаем: Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: Делая обратную подстановку, имеем: . Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: Пример 9.2. Найти общее решение уравнения . Применяем подстановку Произведя обратную замену, получаем: Общее решение исходного дифференциального уравнения: Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х, кроме значения х =0. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной Рассмотрим уравнения вида Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных и т.д. Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: Пример 9.3. Найти общее решение уравнения Замена переменной: 1) Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: С учетом того, что , получаем: Общий интеграл имеет вид: 2) Таким образом, получено два общих решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Решение линейного однородные дифференциального уравнения или, короче, будем искать в виде , где k = const. Т.к. то При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения. Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы т.е. Т.к. ekx  0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением. Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения. В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx; б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: и . г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений: 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример 9.4. Решить уравнение . Составим характеристическое уравнение: Общее решение имеет вид: Пример 9.5. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример 9.6. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример 9.7. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение вида С учетом обозначения можно записать: При этом будем полагать, что правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном). Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Таким образом, в соответствии с теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. В случае, если уравнение имеет правую часть специального вида, отыскание частного решения не представляет трудностей. Уравнения с правой частью специального вида Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде: Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример 9.8. Решить уравнение . Решим соответствующее однородное уравнение: Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. Частное решение ищем в виде: , где Т.е. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Частное решение: Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2. Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений и Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример 9.9. Решить уравнение Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: 1. Для функции f1(x) решение ищем в виде . Получаем: Т.е. тогда 2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: . Анализируя функцию f2(x), получаем: Таким образом, ; Т.е. искомое частное решение имеет вид: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: Пример 9.10. Решить уравнение Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: Общее решение однородного уравнения: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: ; Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставляя в исходное уравнение, получаем: Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: Пример 9.11. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: Частное решение неоднородного уравнения: . . Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: Лекция 10.Числовые ряды: основные понятия, необходимый признак сходимости, гармонический ряд, достаточные признаки сходимости. Числовой ряд. Общий член ряда Определение. Пусть дана бесконечная последовательность чисел , , ,..., то выражение вида (10.1) называется числовым рядом, числа , , ,...– членами (элементами) ряда, – общим членом ряда, если не зафиксировано. Пример10.1. Дан ряд , где общий член . Найти . Заменяя в общем члене на , получим . Сходящиеся и расходящиеся ряды Сумма первых n членов ряда (1) называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы – 1-ая частичная сумма; – 2-ая частичная сумма; – 3-ая частичная сумма;  – ………………………. – ая частичная сумма; ... – ………………………. образуют последовательность частичных сумм , , ..., , ... Определение Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при , то этот ряд называется расходящимся. Пример10.2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд) , . Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если , то геометрический ряд сходится и его сумма . Если же , то геометрический ряд расходится. Пример 10.3. Исследовать на сходимость ряд .Так как , то ая частичная сумма данного ряда Эта сумма при имеет предел . Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице. Основные свойства сходящихся рядов 1) Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов. 2) Пусть даны ряды , и . Если оба ряда и сходятся, а их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , причем его сумма равна . 3) Если ряд сходится и имеет сумму , то сходится и ряд , причем его сумма равна числу , где . 4) Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и суммы этих рядов одинаковы. К примеру, если сходится и его сумма равна , то ряд также сходится, и его сумма равна . Признаки сходимости числовых рядов На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда. Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. . Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. Отсюда вытекает достаточный признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится. Пример 10.4. Исследовать на сходимость ряд Для этого ряда общий член и . Следовательно, данный ряд расходится. Пример 10.5. Исследовать на сходимость ряд Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при , т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности. Знакоположительные числовые ряды Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным. Теорема (Критерий сходимости знакоположительного ряда). Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом. Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Ниже мы приведем другие признаки сходимости, имеющие большее практическое применение. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Теорема (Первый признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных ряда: (10.2) и (10.3) причем, начиная с некоторого номера , для любого выполняется неравенство Тогда: 1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ; 2) из расходимости ряда следует расходимость ряда . Схематическая запись первого признака сравнения: сход.сход. расх.расх. Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например: 1) - геометрический (он сходится при и расходится при ); 2) – гармонический (он расходится); 3) - ряд Дирихле (он сходится при и расходится при ). Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств: , , , Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения. Пример 10.6. Исследовать ряд на сходимость. Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то . (Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.) Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени . Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд. Пример 10.7. Исследовать ряд на сходимость. 1) Данный ряд знакоположительный, так как для 2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, так как 3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд. Теорема (Второй признак сравнения) Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно. Замечание. Если при (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что и – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при ). Следовательно, если дан ряд , где при , то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда. При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при : 1) ; 4) ; 2) ; 5) ; 3) ; 6) . Пример 10.8. Исследовать на сходимость ряд . Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится. Пример 10.9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения. Данный ряд знакоположительный, так как , и . Поскольку , то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд . Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится. Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд – расходится. Теорема (Признак Даламбера) Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при и расходится при . Замечания: 1) Если , признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости. 2) Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства , следует, что остаток ряда . 3) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал. Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера. Данный ряд знакоположительный и . (Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.) Так как то по признаку Даламбера данный ряд сходится. Пример 10.11. Исследовать на сходимость ряд . Данный ряд знакоположительный и . Поскольку , то данный ряд сходится. Теорема (Признак Коши) Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится. Замечания: 1) Если , признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости. 2) Если , то ряд расходится. Пример 10.12. Исследовать на сходимость ряд . Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Поскольку вычисление предела вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем. Так как , то по признаку Коши данный ряд расходится. Теорема (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши) Пусть дан ряд члены которого положительны и не возрастают: Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных , непрерывна, не возрастает и , , …, , … Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл . Пример 10.13. Исследовать на сходимость ряд Решение Члены ряда суть значения функции при Так как для эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд. Лекция 11. Случайные события. Классическая и статистическая вероятность события. Случайные события Основные понятия Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда. В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет. Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий. Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного. Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности. Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. . Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. . Пример11.1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. К примеру, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства). Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l /L. Основные формулы комбинаторики При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации. Определение. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп = п! Пример 11.2. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий? Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040. Определение. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Пример 11.3. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек? Решение. Определение. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний Пример 11.4. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3: Операции над событиями Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. Определение. Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk. Определение. Пересечением или произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak. Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В. Определение. Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит. Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В. Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. Также можно записать: Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид: В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились. Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий . Пример 11.5. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта. Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В. Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого. Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт. При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной, ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - . Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна . Тогда Пример 11.6. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна . Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна . Пример 11.7. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек. Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна , вероятность осечки - Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит от результата первого нажатия. Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок. Условная вероятность выстрела при второй попытке - если в первый раз был выстрел, - если в первый раз произошла осечка. Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел, - если в первый раз была осечка. Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В) или произойдет осечка (событие ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А) или осечка (событие ). - два выстрела подряд; - первая осечка, второй выстрел; - первый выстрел, вторая осечка; - две осечки подряд. Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице) Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - , Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз. Условная вероятность выстрела при второй попытке - если в первый раз был выстрел, - если в первый раз произошла осечка. Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел, - если была осечка. Тогда: - два выстрела подряд; - первая осечка, второй выстрел; - первый выстрел, вторая осечка; - две осечки подряд. В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев. Пример 11.8. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие . Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны: Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: Пример 11.9. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными. Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие . Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей. Пример 11.10. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках. а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках. . б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще. Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна Вероятность того, что нужной деталь нет ни в одном ящике, равна: Искомая вероятность равна Формула полной вероятности Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi . Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А. Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером. Пример 11.11. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза. Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна . Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны: - для первого стрелка: - для второго стрелка: - для третьего стрелка: Искомая вероятность равна: Формула Бейеса (формула гипотез) Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности . Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события А, т.е. условные вероятности . Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. Эта формула называется формулой Бейеса. Пример 11.12. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5. В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид: В этой формуле Н1, Н2, Н3 – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна . P(H1/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А). Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные до выстрелов, равны соответственно: Здесь q1 = 0,7; q2 = 0,6; q3 = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков. Подставим эти значения в формулу Бейеса: Повторение испытаний. Формула Бернулли Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз. Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие с вероятностью . Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле: . Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: . Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли: . Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей. Пример 11.13. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз. Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий. Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз. . В случае пяти попаданий из пяти возможных: . Четыре попадания из пяти выстрелов: . Три попадания из пяти: . Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов: . Лекция 12. Дискретные и непрерывные случайные величины. Основные законы распределения случайных величин. Случайные величины Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины. Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории. Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений. Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения. Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице. Биноминальное распределение Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p. Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х. Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности. Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз. Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли. Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным. Пример 12.1. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения. Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей: 1) Вообще нет нестандартных. 2) Одна нестандартная. 3) Две нестандартные детали. 4) Три нестандартные детали. 5) Четыре нестандартных детали. Построим многоугольник распределения. Распределение Пуассона Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение: Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным. По формуле Бернулли получаем: Найдем предел этой вероятности при п. Получаем формулу распределения Пуассона: Если известны числа  и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона. Числовые характеристики дискретных случайных величин Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин. 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин. Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании. Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания. Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Пример 12.2. Для рассмотренного выше примера закон распределения случайной величины имеет вид: X 1 2 p 0,0625 0,375 0,5625 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Математическое ожидание случайной величины равно: Возможные значения квадрата отклонения: Тогда [X-M(X)]2 2,25 0,25 0,25 p 0,0625 0,375 0,5625 Дисперсия равна: . Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ. Вычисление дисперсии Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания. Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М2(Х) – величины постоянные, можно записать: Применим эту формулу для рассмотренного выше примера: X 1 2 X2 1 4 p 0,0625 0,375 0,5625 Свойства дисперсии 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2. Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании. Среднее квадратическое отклонение Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии. Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин. Пример 12.3. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96. Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным. Пример 12.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9. Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то Пример 12.5. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63. По формуле дисперсии биноминального закона получаем: Пример 12.6. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов. Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем . 1) Не отказал ни один прибор. 2) Отказал один из приборов. 0,302. 3) Отказали два прибора. 4) Отказали три прибора. 5) Отказали все приборы. Получаем закон распределения: X 1 2 3 4 X2 1 4 9 16 P 0,084 0,302 0,38 0,198 0,036 Математическое ожидание: Дисперсия: Функция распределения Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов? Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин. Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x). Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х. Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид: Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi. Так для примера, рассмотренного выше, функция распределения будет иметь вид: Свойства функции распределения 1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]. 2) F(x) – неубывающая функция. при 3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале. 4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице. 5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач. Плотность распределения Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси Оx, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле: Свойства плотности распределения 1) Плотность распределения – неотрицательная функция. 2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице. Пример 12.7. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью: Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения. Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством . Построим график плотности распределения: Пример 12.8. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x). Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал . Найдем коэффициент А. Найдем функцию распределения: 1) На участке : 2) На участке 3) На участке Итого: Построим график плотности распределения: f(x) Построим график функции распределения: F(x) Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал . Ту же самую вероятность можно искать и другим способом: Числовые характеристики непрерывных случайных величин Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии. Равномерное распределение Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю. Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. f(x) 0 a b x Получаем . Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b]. F(x) 1 0 a b x Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны. Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал: Показательное распределение Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью где  - положительное число. Найдем закон распределения. Графики функции распределения и плотности распределения: f(x) F(x)  1 0 x 0 x Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению. Результат получен с использованием того факта, что Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х2). Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим: Тогда Итого: Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны. Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал. Показательное распределение широко используется в теории надежности. Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t0=0, а через какое– то время t происходит отказ устройства. Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства. Таким образом, функция распределения F(t) = P(Tt) = 1 – F(t). Определение. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению. Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать. Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения. Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна: Данное соотношение называют показательным законом надежности. Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t. Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов  и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом. Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет. Нормальный закон распределения Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Найдем функцию распределения F(x). График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами: 1) Функция определена на всей числовой оси. 2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения. 3) Ось Оx является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю. 4) Найдем экстремум функции. Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный . 5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате. 6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности. При x = m +  и x = m -  вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно . Построим график функции плотности распределения. Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения  = 1,  = 2 и  = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.. Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и  = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: Лекция 13. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическая обработка экспериментальных данных. Вариационные ряды. Выборочный метод Проведение экономических исследований связано с изучением свойств различных совокупностей однотипных объектов (людей, предприятий, товаров и т.п.). При этом каждый объект, входящий в состав совокупности, характеризуется некоторым числом — величиной изучаемого признака X. Для обозначения таких совокупностей вводится понятие генеральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимается вся совокупность однотипных объектов, которые изучаются в данном исследовании. Пример генеральной совокупности — данные о доходах всех жителей какой-либо страны; о результатах голосования населения по какому-либо вопросу и т.д. Однако на практике в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности. Выборка (выборочная совокупность) — это совокупность случайно отобранных объектов, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. В зависимости от способов отбора объектов из генеральной совокупности различают несколько типов выборок. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, x2 — n2 раз,..., хk — nk раз и — объем выборки. Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке — вариационным рядом. Числа наблюдений (ni) называют частотами, а их отношения к объему выборки — относительными частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi (причем сумма всех частот равна объему выборки, а сумма всех относительных частот равна 1). xi x1 x2 … xk ni n1 n2 … nk или xi x1 x2 … xk wi w1 w2 … wk Вариационный ряд, заданный в таком виде, называют дискретным. Геометрической характеристикой дискретного вариационного ряда является полигон частот. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1,n1), (х2,n2), …, (хk,nk), где хi — варианты выборки, а ni — соответствующие им частоты. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для непрерывно распределенного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят ni — сумму частот вариант попавших в i-й интервал. Такое распределение называют интервальным вариационным рядом. Геометрической характеристикой интервального вариационного ряда является гистограмма частот. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению . Пример 13.1. Из большой группы предприятий одной из отраслей промышленности случайным образом отобрано 30, по которым получены показатели основных фондов в млн руб.: 3; 4; 2; 3; 3; 6; 5; 2; 4; 7; 5; 5; 3; 4; 3; 2; 6; 7; 5; 4; 3; 4; 5; 7; 6; 2; 3; 6; 6; 4. Составить дискретное статистическое распределение выборки, записать распределение относительных частот, построить полигон частот. Различные значения признака запишем в порядке возрастания и под каждым из них запишем соответствующие частоты. Получим дискретное статистическое распределение выборки: xi 2 3 4 5 6 7 ni 4 7 6 5 5 3 Проверка: сумма всех частот должна быть равна объему выборки: n=4+7+6+5+5+3=30. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки ; ; ; ; ; . Напишем распределение относительных частот: xi 2 3 4 5 6 7 wi 0,13 0,23 0,2 0,17 0,17 0,1 Контроль: . Строим полигон частот. Для этого строим точки с координатами (xi;ni):(2;4), (3;7), (4;6), (5;5), (6;5), (7;3) и соединяем их последовательно отрезками. Пример 13.2. Выборочно обследовано 26 предприятий легкой промышленности по валовой продукции. Получены следующие результаты в млн руб.: 15,0; 16,4; 17,8; 18,0; 18,4; 19,2; 19,8; 20,2; 20,6; 20,6; 20,6; 21,3; 21,4; 21,7; 22,0; 22,2; 22,3; 22,7; 23,0; 24,2; 24,2; 25,1; 25,3; 26,0; 26,5; 27,1. Составить интервальное распределение выборки с началом х0=15 и длиной частичного интервала h=2,5. Построить гистограмму частот. Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=2,5. Во второй сроке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал). Частичный интервал 15-17,5 17,5-20 20-22,5 22,5-25 25-27,5 Частота интервала 2 5 10 4 5 Объем выборки: n=2+5+10+4+5=26. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы; на каждом из них строим прямоугольники высотой . Площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, на котором он построен. Сумма площадей этих прямоугольников равна объему выборки. Лекция 14. Числовые характеристики выборки. Точечные и интервальные оценки. Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Располагая лишь выборочными значениями признака, можно оценить, а не определить точно значения параметров; эти оценки будут случайными и меняться от выборки к выборке. Поэтому важно не только знать оценки параметров, определенные на основе выборочных данных, но и понимать меры их надежности. Цель любого оценивания — получить как можно более точное значение неизвестной характеристики генеральной совокупности по данным выборочного наблюдения. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. В зависимости от способа выражения оценки делятся на точечные оценки, выражаемые одним числом, и интервальные оценки, определяющие числовой интервал, внутри которого может находиться оцениваемый параметр генеральной совокупности. Генеральная совокупность характеризуется двумя сторонами: 1) видом распределения (например, равномерное, нормальное, Пуассоновское и т.д.); 2) параметрами распределения (например, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и т.п.). В связи с этим существует два класса оценок: оценки вида распределения и оценки параметров распределения. Оценка должна быть несмещенной, эффективной, состоятельной. Определения несмещенной, эффективной, состоятельной оценок рекомендуется изучить самостоятельно. Несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной средней (математического ожидания признака X генеральной совокупности) является выборочная средняя — среднее арифметическое значений признака в выборке: , (14.1) где n - объем выборки, xi — значение признака в выборке. Если результаты выборки представлены в виде дискретного распределения: xi x1 x2 …. xk ni n1 n2 …. nk то (14.2) Состоятельной, смещенной оценкой генеральной дисперсии (дисперсия признака X генеральной совокупности) является выборочная дисперсия: , (14.3) где , . Несмещенной, состоятельной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия . (14.4) Пример 14.1. При изучении производительности труда X тыс. руб. на одного работника было обследовано 10 предприятий и получены следующие значения: 4,2; 4,8; 4,7; 5,0; 4,9; 4,3; 3,9; 4,1; 4,3; 4,8. Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение. По формуле (14.1) находим выборочную среднюю при n=10: (тыс.руб) По формуле (3) найдем выборочную дисперсию. Для этого вычислим и . , . Исправленное среднее квадратическое отклонение: . Смысл полученных результатов заключается в следующем. Величина характеризует среднее значение признака X в пределах рассматриваемой выборки. Средняя производительность труда для изученных предприятий составила =4,5 тыс. руб. на одного работника. Исправленное среднее квадратическое отклонение S описывает абсолютный разброс значений показателя X и в данном случае составляет S=0,383 тыс. руб. Если дано интервальное распределение выборки, то надо перейти к дискретному, взяв за значения вариант середины частичных интервалов. Выборочные оценки являются приближенными. Чтобы с помощью статистических данных можно было сделать правильные выводы, нужно знать точность и надежность этих оценок. Пусть * — статистическая оценка неизвестного параметра . Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по * называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |-*| < . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве  берут число, близкое к единице. По надежности  ищут такое число , чтобы Р(|-*|<)=. (14.5) Число  называют точностью оценки, или предельной ошибкой. Из равенства (5) следует, что Р(*-  < Θ < * + ) = . (14.6) Интервал (*-,*+) называется доверительным интервалом; он называется интервальной оценкой неизвестного параметра . Интервальной оценкой с надежностью  математического ожидания М(Х)=а нормально распределенного признака X генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении этого признака служит доверительный интервал , (14.7) где n — объем выборки, — выборочная средняя, t — значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=, — точность оценки. Пример 14.2. В ходе обследования банковских счетов была проведена случайная выборка записей по вкладам. Из выборки n=100 оказалось, что средний размер вклада составляет 1 837 у.е.; среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 280 у.е. Найти с надежностью =0,95 доверительный интервал для среднего размера а вкладов по всем счетам, если известно, что размер вкладов распределен по нормальному закону. По условию =1837; n=100; =280; =0,95. По таблице значений функции находим t из условия Ф(t)=, получаем t=1,96. По формуле (7) находим доверительный интервал: , , . Это означает, что с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что средний размер вклада генеральной совокупности находится в пределах от 1 782,12 у.е. до 1 891,88 у.е. Интервал ±54,88 составляет примерно ±3% среднего размера вклада в выборке (1 837). Это не очень большое отклонение, поэтому среднее значение выборки можно считать надежной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Однако существует вероятность, равная 0,05 того, что можно получить значение вне доверительного интервала. Список основной литературы: 1. Баврин И.И. Основы высшей математики для ВУЗов/М.: Высшая школа 2004-520с. 2. Баврин И.И. Курс высшей математики, учебник для ВУЗов – 2-е изд. перераб. и дополн / М.: Владос 2004-560с. 3. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. Учебник для студентов высших учебных заведений М,: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2003-400с. 4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.и 1-2.- М.: Издат. ОНИКС 21 2003г.