Математика. О комбинаторике и теории вероятностей.

НВУЗ АНО «РЕГИОНАЛЬНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МАТЕМАТИКА (Четвертая лекция) _______________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………….3 РАЗДЕЛ 1. О КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ............................................................................... 4 Глава 1.1. Основные понятия комбинаторики ............................ 4 Глава 1.2. Размещения.................................................................... 9 Глава 1.3. Размещения с повторениями ..................................... 10 Глава 1.4. Сочетания и их свойства.......................................... 122 Глава 1.5. Сочетания с повторениями ........................................ 14 Глава 1.6. Понятие вероятности события ................................ 155 Глава 1.7. Аксиомы теории вероятностей................................ 222 Глава 1.8. Основные теоремы теории вероятностей............... 266 Глава 1.9. Формула полной вероятности ................................. 301 Глава 1.10. Биномиальное распределение ............................... 322 Глава 1.11. Случайные величины и их числовые характеристики ........................................................................... 344 РАЗДЕЛ 2. ВЫСШИЕ НАГРАДЫ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ.............................................................................. 444 2 ВВЕДЕНИЕ Вы приступаете к рассмотрению последней лекции курса математики. В ней вам предстоит познакомиться с комбинаторикой и элементами теории вероятностей. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания, техники, и в частности, в экономике. Это направление науки служит для обоснования математической статистики, которая используется при планировании и организации производства, предупредительном контроле качества продукции и для многих других целей. В последние годы в связи с широким распространением информационных технологий теория вероятностей и математическая статистика все шире и глубже проникают в различные области науки, техники, производства – в подтверждение мысли о математике – бензине двигателя под названием «Разум». 3 РАЗДЕЛ 1. О КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1.1. Основные понятия комбинаторики Раздел, к рассмотрению которого мы приступаем, выделился в отдельную предметную область, но для студентов нематематических специальностей он рассматривается в общем курсе математики, что мы сейчас и пытаемся сделать, но с углублением в историю этого раздела. Вначале выясним, что такое комбинаторика. Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina» — сочетать, соединять. Основными понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Познакомимся с основными понятиями комбинаторики через рассмотрение задач. В знаменитой басне Крылова «Квартет» «проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент — они исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты. Зададимся вопросом: сколько существует способов, чтобы рассадить, например, в один ряд, четырех музыкантов? Другой случай. Воспетый Маяковским «мо-лоткастый, серпастый» советский паспорт имел серию и номер, состоящие в общей сложности из трех частей: • некоторое число, записанное римскими цифрами; • две русские буквы; 4 • шесть арабских цифр. Например, IХ-РГ № 062993. Разумеется, все паспорта должны иметь разные номера. Сколько может быть различных паспортов? Третья ситуация. Нас приглашают сыграть в «Лотомиллион». Суть игры в том, что нужно из 49 номеров угадать 6, которые выпадут во время тиража. Для участия в игре следует приобрести специальную карточку и вычеркнуть в ней 6 любых квадратов, пронумерованных числами от 1 до 49. Чтобы выиграть наверняка, можно было бы запастись таким количеством карточек, какое необходимо для вычеркивания 6 номеров всеми возможными способами. Сколько этих способов? Общее у всех трех задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. «Особая примета» комбинаторных задач — вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами…». Пусть имеется несколько объектов, неважно каких, лишь бы все они различались между собой: книги, детские кубики или музыканты крыловского «Квартета». Мысленно расставим их в ряд и такое упорядоченное расположение объектов назовем перестановкой. Попытаемся ответить на вопрос: сколько всего возможно перестановок из n предметов? Число перестановок обозначают Pn подчеркивая тем самым, что оно зависит от количества предметов n . Попытаемся найти Pn сначала для небольших n . Если n = 1 , т. е. имеется один-единственный предмет, то существует и одинединственный способ его расстановки. Поэтому P1 = 1 . Возьмем n = 2 . Сразу понятно, что P2 = 2 , поскольку два предмета (назовем их А и Б) можно расставить двумя различными способами: АБ и БА. Попробуем рассуждать несколько иначе: первый предмет (А) установим неподвижно, а второй (Б) будем «прилаживать» к нему. Безусловно, объект Б можно поставить либо спереди, либо сзади от А, следовательно, число перестановок P2 вдвое больше, чем P1 , т.е. P2 = P1 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 = 2 . Добавим теперь третий предмет В. К каждой из перестановок двух объектов А и Б можно пристроить третий предмет тремя различными способами: поставить его спереди, между ними либо сзади. Перестановка АБ, таким образом, порождает три перестановки: ВАБ, АВБ и АБВ, 5 перестановка БА — также три: ВБА, БВА и БАВ, и все получившиеся шесть перестановок — разные. Отсюда P3 = P2 ⋅ 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 . Вообще, из каждой перестановки n − 1 предметов можно получить n дополнительных перестановок, добавляя n -й предмет либо спереди, либо сзади, либо между имеющимися предметами n −1 предметами существует n−2 (между промежутка; 1 + 1 + n − 2 — вот и выходит ровно n ). Стало быть, при переходе от n − 1 к n предметам количество перестановок увеличивается в n раз. Поэтому общая формула будет такой: Pn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n! . (1.1) Восклицательным знаком (в математике он называется факториалом) принято обозначать произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Мы не просто вывели формулу, но одновременно указали способ, как получить все возможные перестановки. Надо отметить, что он далеко не единственный. Например, все перестановки можно получить из начальной, поочередно меняя местами соседние объекты. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств лишь в XIX в. В частности, знак факториала (!) был введен в 1808 г. в одном французском учебнике Хр. Крампа. Термин же «факториал» был образован от слова «фактор» (множитель) происходящего от латинского factor — производящий. А теперь вернемся к решению задачи о квартете. Четыре горе-музыканта из басни Крылова долго пересаживались с места на место. В ходе этого «творческого поиска» Осел внес предложение: «Мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем». Попробовали — не помогло. Но в ряд-то можно сесть поразному! Давайте определим число возможных перестановок. Здесь n = 4 , поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется P4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24. Добавим, что для решения некоторых задач приходится применять идею перестановок не в «чистом» виде, а с поправками. Допустим, главный фактор, влияющий на качество игры, — это соседи каждого музыканта, и не важно, кто из них справа, а кто слева. При таком условии перестановка «Мартышка, Осел, Козел, Мишка» эквивалентна зеркально-симметричной: 6 «Мишка, Козел, Осел, Мартышка». Понятно, что в этом случае все P4 вариантов разбиваются на пары равнозначных перестановок. И если из каждой пары оставить по одной перестановке, то общее число различающихся вариантов будет P4 24 = = 12 . 2 2 Теперь представим, что музыканты сели не в ряд, а по кругу. В этом случае можно рассуждать так: в каждом из вариантов пронумеруем всех участников по часовой стрелке, начиная, скажем, с Осла. В различных перестановках каждый музыкант, конечно, должен иметь разные номера. Только у одного из них — Осла — будет постоянный номер 1. Значит, осталось пронумеровать различными способами только троих. Поэтому здесь число возможных перестановок — P3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6. Есть особый (и очень важный!) вид перестановок — перестановки с повторениями. В них среди прочих участвуют предметы, неразличимые между собой, — «близнецы». Замена одного «близнеца» другим не приводит к новой расстановке. Предположим, что, отчаявшись, наши музыканты решили создать вместо квартета симфонический оркестр. Для этого Мартышка привела с собой еще 15 мартышек, Осел — еще 20 ослов, Козел — 10 козлов, лишь Мишка поленился и остался в одиночестве. Выясним, сколькими способами можно рассадить их в ряд. Возьмем любую произвольную расстановку всех 49 музыкантов. Если бы «близнецов» в их числе не оказалось, то перестановок было бы 49! Но вот среди них появилось 16 одинаковых Мартышек. Не трогая остальных зверей, а меняя местами лишь Мартышек всеми возможными способами (а их будет 16!), получим вроде бы новые перестановки, но теперь уже неразличимые. То есть каждые 16! старых перестановок преобразуются в одну новую и общее число перестановок уменьшается в 16! раз. Очевидно, та же история и с ослами, и с козлами (лишь медведь по-прежнему один). В итоге количество перестановок окажется равным: 49! . 16!⋅21!⋅11! Медведя мы не учитывали, но, дабы не нарушать единообразия, добавим и его, т. е. поделим указанное выражение еще на 1!= 1 , что ничего не меняет. А записывать это принято так: 7 − P16 , 21,11,1 = 49! . 16!⋅21!⋅11!⋅1! Обратите внимание на горизонтальную черту над буквой Р: с ее помощью отличают случай с повторениями от обычных перестановок. Нетрудно получить и общую формулу для случая, когда имеется n групп «близнецов», состоящих соответственно из k1 , k2 ,..., k n неразличимых предметов: − P k1 , k 2 ,..., k n = (k1 + k2 + ... + k n )! . (1.2) k1!⋅k2!⋅... ⋅ kn! Множество факториалов в этой формуле кого-то может смутить. Но в комбинаторике факториал — частый гость, даже хозяин. При его вычислении необходимо находить произведение последовательных натуральных чисел, что при большом значении числа n не является простой задачей. Поэтому на помощь приходит либо инженерный калькулятор (что уже становится редкостью), либо встроенный в компьютер калькулятор. На калькуляторе функция «факториал» обычно обозначается символом n! , поэтому при практических расчетах вызывают вначале число, а затем нажимают на клавишу n! . Воспользоваться калькулятором в компьютере можно с помощью команд меню «Пуск». Выбрав в главном меню пункт «Программы» → «Стандартные» → «Калькулятор» → «Вид» и установите флажок на команду «Инженерный». Факториал числа можно вычислить и с помощью уже известного вам программного продукта MS Excel. Для этого обратившись к Мастеру функций входят в категорию «Математические» и в ней выбирают функцию «ФАКТР», далее в диалоговое окно вводят нужное число. На рис. 1.1. вычислено значение 6! в программе MS Excel. Рисунок 1.1 8 Глава 1.2. Размещения Иногда бывает нужно из n имеющихся различных объектов отобрать произвольные m штук ( m ≤ n ) и расположить их в некотором порядке. Каждое такое упорядоченное расположение называется размещением. Сколько существует размещений при заданных n и m ? Оказывается, ответ можно дать, основываясь на знании перестановок. Обозначим искомое число Anm . Сначала возьмем любую перестановку всех n объектов и рассмотрим первые m из них. Они образуют размещение m объектов из n имеющихся, тогда как последние n − m объектов совершенно не влияют на это размещение, как их ни переставляй. Но эти n − m «хвостовых» объектов могут быть переставлены Pn − m способами. Значит, каждому размещению можно «пришить» Pn − m различных «хвостов», что порождает столько же перестановок всех n объектов. Общее число перестановок всех объектов Pn в таком случае равно произведению искомого Anm числа и Pn − m : Pn = Anm ⋅ Pn − m . Отсюда: Anm = Pn n! . (1.3) = Pn − m (n − m)! Общее число размещений можно рассчитывать и пользуясь теоремой, которая сводится к формуле: A mn = n (n − 1)(n − 2)...(n − (m − 1)). (1.4) Согласно записанной теоремы число размещений равно произведению m сомножителей, начиная от n и заканчивая (n − m + 1). Предположим, что проходит некий конкурс с 8 участниками. Одновременно проводится викторина: нужно угадать, кто займет в конкурсе 1, 2 и 3-е места. Сколько всего существует вариантов ответов? Очевидно, что искомое количество равно числу размещений из 8 по 3, а это будет равно (по предыдущей теореме): A 83 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 . Т. е. будет три сомножителя, начиная от 8 и последовательно уменьшая на единицу. Этот же результат 9 получим, если воспользуемся формулой 1.3. Поэтому в зависимости от ситуации вы пользуетесь теоремой или формулой для определения числа размещений. Мы уже говорили, что 1!= 1 , а как быть с числом нуль? Как вы думаете, сколькими способами можно выбрать 0 объектов из n имеющихся, или, другими словами, сколькими способами можно не выбрать ни одного объекта? Вопрос, конечно, странный, но формально получается: An0 = n! n! = = 1. (n − 0)! n! Пожалуй, это логично: есть единственный способ не выбрать ни одного объекта из n имеющихся — ничего не делать. Второй вопрос: сколькими способами можно сделать упорядоченный выбор из n объектов... всех n ? Поступаем так: выбираем любой объект, рядом с ним размещаем второй, потом третий и т. д. Получается обыкновенная перестановка всех n объектов, и число таких перестановок Pn = n! . С другой стороны, согласно найденной формуле, это же число равняется: Ann = n! n! = . (n − n)! 0! Появилось новое выражение 0! (факториал мы определяли только для натуральных чисел). Предположим, что 0! — это какое-то неизвестное число, и найдем его из равенства Ann = Pn . Тогда n! = n! , откуда 0!= 1 , т. е. факториал нуля равен 0! единице (хотя казалось, что это непременно должен быть нуль). Факториал нуля возникает в самых разных комбинаторных задачах, но везде и всегда его принимают равным единице. Глава 1.3. Размещения с повторениями Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями (точно так же, как перестановки). Пусть имеется n различных объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмем любой, но не будем устанавливать его в какой-то ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же объект после этого вернем к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был только что изъят), запишем его 10 название, пометив номером 2, и снова вернем объект обратно. И так далее, пока не получим m названий. Размещения с −m повторениями обозначаются An . Определить это число несложно. На первом месте в списке может находиться любой из n объектов, на втором — тоже любой, и на третьем и на четвертом... в общем, на каждом. Поэтому число размещений с повторениями выражается формулой −m An = n m . (1.5) Заметим, что здесь допустим случай, когда m f n , т. е. выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Это неудивительно: каждый объект после «использования» возвращается обратно и может быть «использован» повторно. Вернемся к решению задачи о паспортах. Определим, сколько может быть паспортов советского образца с различными сериями и номерами, если зафиксировать римские цифры серии. Остаются две русские буквы и шесть арабских цифр. Рассмотрим буквы и цифры отдельно. В русском алфавите 33 буквы. Нам нужно выбрать любые две, при этом они могут оказаться и одинаковыми. Следовательно, имеет место размещение с повторениями, где n = 33 и m = 2 , и, воспользовавшись предыдущей формулой, −2 получим: A33 = 332 = 1089. Что касается цифр, то здесь выбирается (и опять с повторениями) m = 6 цифр из n = 10 возможных. Для этого есть −6 A10 = 106 способов. Поскольку каждую пару букв можно соединить с любой шестеркой цифр, то возможно −2 −6 существование A33 ⋅ A10 = 332 ⋅ 106 = 1089000000 паспортов, имеющих одни и те же римские цифры серии, — больше миллиарда! Ну а если потребовать, чтобы в каждом номере и буквы, и цифры были различными, — сколько тогда получится паспортов? Здесь вместо размещений с повторениями нужно использовать обычные размещения. Поэтому ответ таков: 2 6 A 33 ⋅ A10 = 33 ⋅ 32 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 159667200. Сравните полученный результат с предыдущим. Число значительно уменьшилось, не правда ли? 11 Глава 1.4. Сочетания и их свойства Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые мы обозначаем через Cnm , т. е. сочетания из n элементов, взятых по m . Однако как научная дисциплина комбинаторика сформировалась лишь в XVII в. В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения элементов в той или иной совокупности. Важно лишь то, какие именно элементы ее составляют. К примеру, представим себе фирму, состоящую из n сотрудников. И в предмайские дни необходимо направить несколько ( m ) человек на уборку прилегающей территории. Это означает, что из этого n – элементного множества необходимо выбрать всевозможные m – элементные подмножества. Число таких подмножеств (в нашем случае бригад для уборки территории) равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. В этой выборке порядок неважен (в отличие от размещений). Неважно, кто это будет (Петров, Иванов, Сидоров) или (Сидоров, Петров, Иванов). Главное, что это будут бригады по заданному числу элементов (в нашем случае по определенному количеству человек), попробуем найти это число. Будем основываться на том, что нам известно: на размещениях и перестановках. Сначала из n элементов выделим какие-либо m элементов с учетом очередности выбора. Это — размещение, и число таких размещений Anm . Очевидно, что различные размещения, в которые входят те же объекты, но в ином порядке, будут соответствовать одному сочетанию (ведь в сочетании порядок роли не играет). Другими словами, любая перестановка выбранных m элементов порождает то же самое сочетание. Но таких перестановок Pm . Поэтому число сочетаний из n элементов по m в Pm раз меньше числа размещений, т. е. n! A n! (n − m)! Cnm = = = . (1.6) Pm m! m!(n − m)! m n Если вернуться к теореме о числе размещений, рассмотренной в предыдущей главе, то и число сочетаний можно вычислять следующим образом: 12 A mn n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − (m − 1)) C = . (1.7) = Pm m! m n Возвращаясь к задаче с фирмой, конкретизируем данные. Пусть n = 16 , m = 3 , тогда число всевозможных бригад, которые можно создать для уборки территории в соответствии с равенством 1.8 будет равно: 3 = C16 16 ⋅ 15 ⋅ 14 16 ⋅ 15 ⋅ 14 = = 560. 3! 6 Выходит, что способов создания таких бригад — 560. Обратите внимание на своеобразную симметрию формулы 1.6: если заменить m на n − m , то получится то же самое, только факториалы в знаменателе поменяются местами. Отсюда следует замечательное свойство сочетаний: Cnm = Cnn − m . (1.8) Объясняется это просто: каждому сочетанию из m отобранных элементов всегда соответствует сочетание из n − m оставшихся. Так что можно с самого начала говорить не о выделении m объектов из n , а о разбиении множества исходных n элементов на две части по m и по n − m в каждой. Значит, для вычисления C118 по равенству 1.9 достаточно вычислить C113 = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 = 990 . И теперь, если вернуться к задаче о карточке «Лото– миллион», то количество карточек, которые нужно заполнить из 49 номеров по 6, чтобы в них оказались всевозможные комбинации, равно C 649 . Попытайтесь вычислить это число по формуле 5.6 и с помощью теоремы, т. е. равенства 1.7, оно составит почти 14 миллионов. Можно сделать вывод: для реализации этой задачи уже надо быть миллионером (чтобы приобрести такое количество карточек). Отметим еще одно свойство сочетаний, которое позволяет рационализировать вычисления. Это свойство запишем без вывода, хотя и доказывается оно очень просто с помощью формулы 1.6. Cnm + Cnm +1 = Cnm++11 . (1.9) В соответствии с этим свойством и свойством 1.8, вычислим сумму, например такого вида: 13 6 7 7 5 + C11 = C12 = C12 = C11 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 792 . 5! Глава 1.5. Сочетания с повторениями И перестановки, и размещения могут быть с повторениями. Имеет смысл говорить и о сочетаниях с повторениями. Из множества, содержащего n предметов, возьмем один произвольный, занесем его в список, после чего вернем обратно. Затем точно так же выберем еще один объект и т. д., пока в списке не окажется m наименований (среди них могут быть и одинако-вые). Принципиальное отличие от размещений с повторениями заключается в том, что в данном случае элементы списка не нумеруются. Например, списки «А, Б, А, Г» и «Б, Г, А, А» считаются одинаковыми. Попробуем найти число сочетаний с повторениями из n элементов по m . −m Cn Для этого придется проявить определенную изобретательность. Следите внимательно. Произвольно пронумеруем элементы исходного множества числами от 1 до n . Пусть в какое-то из полученных сочетаний вошло k1 , элементов под номером 1, k2 элементов под номером 2, ..., kn элементов под номером n . Что можно сказать обо всех этих числах ki ? Ясно, что сумма k1 + k2 + ... + kn = m (ведь в списке всего m объектов!). Теперь изобразим это сочетание в виде цепочки из нулей и единиц. Единица здесь будет обозначать каждый отдельный элемент сочетания, а нуль — символизировать границу между группами элементов, соответствующих соседним ki . Если некоторое ki = 0 , т. е. элементов с номером i в списке нет, то в соответствующем месте цепочки окажутся два «пограничных» нуля подряд. Итак, записываем: сначала k1 единиц, затем один нуль, после этого k2 единиц и снова нуль ..., kn −1 единиц и опять нуль, наконец, kn единиц – и все. Поскольку сумма всех ki равна m , в построенной цепочке содержится m единиц. Нулей же n − 1 . Так что вся цепочка состоит из n + m − 1 цифр. Подведем итог. Каждому возможному списку поставлена в соответствие некоторая цепочка из нулей и единиц длиной 14 n + m − 1 . При этом если два списка одинаковы, то и цепочки получатся одинаковыми. Верно и обратное — каждой цепочке соответствует определенный список. Например, цепочка 1111001010 говорит нам, что в списке — четыре элемента номер 1, ни одного элемента номер 2, по одному элементу номер 3 и 4 и ни одного элемента номер 5. Таким образом, задача свелась к поиску ответа на вопрос: сколько можно составить различных цепочек длиной n + m − 1 из m единиц и n − 1 нулей? А это не что иное, как число перестановок с повторениями из m нулей и n − 1 − единиц, т. е. P m,n −1 . Поэтому −m − C n = P m ,n −1 = (n + m − 1)! . m!(n − 1)! (1.10) Итак, формулы для перестановок, размещений и сочетаний (с повторениями и без) обнаруживают тесную связь между основными понятиями комбинаторики. Эти формулы составляют своего рода азбуку комбинаторики, поскольку на них основано решение не только большинства комбинаторных задач, но и задач по теории вероятностей, к рассмотрению которой мы приступаем. Глава 1.6. Понятие вероятности события Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики — какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности — они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями. Но прежде чем рассказать о закономерностях случайности, попытаемся ответить на вопрос: что такое азартная игра? Уверены, что большинство считают — это игра на деньги. Неверно. На деньги можно играть и в теннис, и в шахматы. Теннисисты и шахматисты получают большие гонорары за выигрыши в турнирах. А вот карты — азартная игра. Почему? Потому, что в ней главную роль играет случай — от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Правда, и в картежной игре умение игрока значит много. Но есть игры, в которых от игроков не требуется никакого умения. Например, «орлянка»: монету подбрасывают, и в зависимости от того, какой 15 стороной она упала, выигрывает первый или второй партнер. Или другая игра, где властвует случай, — игра в кости. Остановимся на ней подробнее: именно с нее математики начали изучать его величество Случай. Игральная кость, непременный атрибут многих настольных игр, — маленький кубик (гексаэдр), грани которого помечены цифрами или точками. Раньше такие кубики делали из кости, откуда и пошло их название — «игральные кости». Когда игральную кость бросают, то на ее верхней грани оказывается какое-то чисто от 1 до 6, по числу граней. Игр в кости великое множество. Простейшая из них такова: двое по очереди бросают кубик. Выигрывает тот из них, кто «выкинул» большее число. Выигрыш может равняться или заранее назначенной сумме, или разности числа очков, выпавших на кубике при бросаниях. Часто бросают не один, а два, три или четыре кубика. Естественно, всякий игрок желает, чтобы у него чаще выпадала шестерка, поэтому многие игры в кости основаны на появлении именно шестерки. Проследим, как выпадает шестерка при бросании кубика. Предположим, что кубик совершенно правильный — все его грани абсолютно одинаковы. Если подбрасывать кубик десять раз, то числа могут выпадать, например, в такой очередности: 1, 5, 2, 2, 3, 4, 1, 6, 3, 5 или в такой: 6, 5, 6, 3, 1, 1, 4, 2, 3, 6. В первом случае шестерка выпала один раз, а во втором — три раза. Может случиться, что шестерка не выпадет ни разу или все десять раз. А если подбрасывать кубик не десять, а десять тысяч раз? Тогда каждая из граней будет выпадать примерно одинаково часто. Что это значит? Пусть N k — количество выпадений грани при N бросаниях кубика, тогда отношение Nk , N которое называется частотой выпадения грани с цифрой k , будет приблизительно одинаково для всех граней кубика. Поскольку N1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = N , то все частоты будут близки к 1/6. Сама величина 1/6 называется вероятностью выпадения, как шестерки, так и пятерки, четверки и т. д. Итак, мы получили формулу частоты выпадения грани с цифрой k , которую часто обозначают буквой ν (ню): 16 ν= Nk . N (1.11) Если же подбрасывать монету, то вероятности выпадения и орла, и решки равны 1 . Чуть позже мы дадим более строгое 2 определение вероятности события. Слово «событие» в быту применяют к значительным явлениям, а в математике — ко всем возможным исходам рассматриваемой ситуации. Так, в случае бросания игральной кости событие — это выпадение той или иной грани. События будем обозначать большими латинскими буквами: например, появление 6 при бросании кости — через А, одного из чисел от 4 до 6 — через В, одного из чисел от 1 до 5 — через С. Вероятность произвольного события X будем обозначать через P( X ) . Впервые вероятности случайных событий в азартных играх вычислили в XVII в. французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма. Они подсчитывали число шансов (от фр. chance — «удача», «случай») события из общего возможного числа равновероятных исходов. Проследим за их рассуждениями. Исход какого-либо испытания, опыта или игры, выражающийся в событии A , назовем шансом события A (или благоприятствующим исходом события A ). Например, при бросании игральной кости возможны шесть равновероятных исходов A1 , A2 ,..., A6 — выпадение 1, 2,..., 6 очков. Пусть событие A означает выпадение четного числа очков, т. е. 2, 4 или 6. В этом 3 6 1 2 случае P( A) = = , т. е. вероятность P( A) равна отношению числа шансов (благоприятствующих исходов) события A к общему числу равновероятных исходов. Такое определение называется классическим определением вероятности. Итак, если при каких-либо условиях имеются n равновероятных исходов и m из них приводят к событию A , то вероятность P( A) события A равна отношению P( A) = m . n m , т. е. n (1.12) В простых случаях вычислить вероятности не составляет труда. Например, подбросив вверх монету, мы знаем, что выпадет или орел, или решка. Пусть событие А означает 17 появление орла. В подобных случаях будем впредь писать A = 1 2 [появление орла]. Понятно, что P( A) = . Хорошо перетасуем колоду из 36 карт и случайно вынем 1 карту. События A = [вынута карта червонной масти] и B = [вынут туз] из 36 исходов имеют соответственно 9 и 4 шансов. Поэтому P( A) = 9 1 4 1 = , P( B) = = . 36 4 36 9 Рассмотрим следующую задачу. Среди 100 подрамников имеются 5 с дефектами. Какова вероятность того, что выбранные менеджером на удачу три подрамника окажутся без дефектов? Рассуждаем следующим образом: из 100 подрамников три 3 можно выбрать C100 способами. Три без дефектов из общего числа 95 без дефектных можно выбрать C 395 способами. Тогда по равенству 1.11 получаем, что P(A) = m C 395 95 ⋅ 94 ⋅ 93 ⋅ 3! ≈ 0,86. = 3 = n C100 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 3! Таким образом, вычислить вероятность стало возможным благодаря тому, что вам известно, что такое сочетание. Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека. Как наука, теория вероятностей зародилась в XVII в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hasard буквально означающего «случай», «риск». Азартные игры практиковались в ту пору, главным образом, среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости, о чем мы говорили ранее. С чем связано такое определение вероятности наступления события, которое мы выразили формулой (1.12)? Оказывается, что это обозначение не случайно. Дело в том, что P — начальная буква французское слова Probabilite — вероятность, A — слова 18 Accident — случайность, происшествие. Вот почему мы и обозначаем вероятность наступления события таким видом: P( A) . Все происходящие события можно классифицировать на три группы: • которые не наступят ни при каких условиях, их называют невозможными; • события, которые обязательно наступят в результате данного испытания, их называют достоверными; • события, которые могут как наступить, так и не наступить в результате данного испытания, их называют случайными. Очевидно, что вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность достоверного события равна единице. А вероятность случайного события больше нуля, но меньше единицы, т.е. 0 < P(A) < 1 . (1.13) Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Как мы уже сказали, Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило, прежде всего, под влиянием развития страхового дела, но те частные вопросы, которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и в карты. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей». Этим светским человеком был кавалер де Мере, который обратился к Паскалю с вопросом по поводу так называемой «задачи об очках». Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этой задачи и родственных вопросов, и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятностей (1654 г.). Кавалер де Мере, один из французских придворных, был азартным игроком. Денежный выигрыш при игре в кости обычно зависит от комбинации выпавших чисел, на которую делается ставка. Одна их таких комбинаций — выпадение хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях игральной кости. Де Мере смог подсчитать число шансов этой комбинации. 19 Общее число исходов при четырех бросаниях игральной кости равно 64 = 1296 . Число шансов появления хотя бы одной шестерки составляет 1296 − 625 = 671 , так как шестерка не выпадает ни разу в 54 = 625 случаях. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях равна 671 ≈ 0,518 > 1 / 2 , поэтому при четырех бросаниях выгоднее 1296 делать ставку на то, что выпадет хотя бы одна шестерка, чем на то, что не выпадет ни одной. По-видимому, многие опытные игроки знали, что первая комбинация появляется чаше, чем вторая, и найти партнера на такую игру было трудно. Более сложные комбинации возникали, если бросали сразу две кости. Де Мере пытался определить, сколько раз надо бросать пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления двух шестерок была больше 1/2. Он подсчитал, что достаточно 24 бросаний. Однако опыт игрока заставил де Мере сомневаться в правильности своих вычислений. Тогда он обратился с этой задачей к математику Блезу Паскалю, который предложил правильное решение. Ученый определил, что при 24 бросаниях пары костей две шестерки появляются хотя бы раз с вероятностью, меньшей 1/2, а при 25 бросаниях — с вероятностью, большей 1/2. В самом деле, если бросить один раз пару костей, две шестерки выпадут с вероятностью 1 , а не выпадут — с 36 1 35 = . При n бросаниях пары костей число 36 36 шансов непоявления пары шестерок равно 35n , а общее число исходов составит 36n . вероятностью 1 − Обозначим события: An = [хотя бы раз выпадет пара шестерок], − An = [пара шестерок не выпадет ни разу]. − 35n 35n Тогда P( An ) = n , P( An ) = 1 − n , откуда 36 36 P(A 24 ) ≈ 0,491 < 1 / 2 , P(A 25 ) ≈ 0,505 > 1 / 2 . следует, что Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил 20 действия над ними. Но это не означает, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, и как мы уже говорили, в первую очередь, страховое дело, начатое в некоторых странах еще в XVI в. В XVI—XVII вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространилось во многих европейских странах. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. В развитии теории вероятностей велика и заслуга Пьера Симона Лапласа — ведущего математика восемнадцатого века В его главном труде «Аналитическая теория вероятностей» рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, теорема Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов, изобретенная Лежандром. С работами Лапласа связано немало анекдотов. Хорошо известен предполагаемый ответ Лапласа Наполеону, который попытался упрекнуть его, заявив, что в его книге нет упоминаний о боге: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». А Натаниел Воудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на английский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление «Итак, легко видеть...», я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это легко видеть». В середине XIX в. преподаватель Высшей реальной школы в городе Брюнне (ныне — город Брно в Чехии) Грегор Иоганн Мендель проводил свои ставшие впоследствии знаменитыми опыты с горохом, в результате которых были открыты законы наследственности. Мендель скрестил два сорта гороха с желтыми и зелеными семенами, после чего растения дали только желтые семена (первое поколение гибридов). После самоопыления растений, выращенных из этих семян (второе поколение гибридов), появился горох и с желтыми, и с зелеными семенами. Мендель подсчитал, что отношение числа растений с желтыми семенами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01 . 21 Впоследствии немецкий зоолог Август Вейсман и американский биолог Томас Хант Морган объяснили результаты опытов Менделя. Предположим, что два элементарных носителя наследственности — доминантный ген A и рецессивный ген a — отвечают в организме за некий признак. При этом данный признак задается парой генов AA , Aa , aA , или aa и особи с генами AA , Aa , aA имеют доминантный признак, а особи с генами aa — рецессивный. При скрещивании гороха AA с горохом aa гибрид получает от каждого родителя по 1 гену, поэтому все особи первого поколения имеют пару генов Aa или aA и у них обнаруживается доминантный признак: например, семена желтого цвета. От родителей с парами генов Aa или aA можно получить особь AA , Aa , aA или aa . Все эти сочетания одинаково возможны, значит, особь aa с рецессивным признаком появляется с вероятностью 1 , а особь 4 доминантным признаком — с вероятностью AA , Aa или aA с 3 . Если во втором 4 поколении было n = n( A) + n(a) особей, где n( A) — число особей с доминантным признаком и n(a) — число особей с рецессивным признаком, то при больших n n ( A ) 3 n (a ) 1 ≈ ; ≈ ; n 4 n 4 а отношение n( A) должно быть близким к 3. Это и установил n(a ) Грегор Иоганн Мендель. Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости. Поэтому можно сказать, что природа иногда «играет в кости». Глава 1.7. Аксиомы теории вероятностей Многие случайные события обладают свойством так называемой статистической устойчивости частот, о чем мы упоминали ранее. Выясним более подробно суть этого свойства. Пусть проводится n испытаний. В результате каждого из них может произойти или не произойти случайное событие A : например, выпадет шестерка при бросании игральной кости, выпадут два орла при бросании двух монет и т. п. Обозначим n( A) число испытаний, в которых произошло событие A . Если 22 при большом числе испытаний n частота n( A) колеблется около n некоторого числа P( A) , то говорят: имеет место статистическая устойчивость частот, а число P( A) называют вероятностью события A . Такая вероятность должна обладать свойствами, которые российский математик Андрей Николаевич Колмогоров сформулировал в виде трех аксиом. • Аксиома неотрицательности. Любая вероятность P( A) есть неотрицательное число: P( A) ≥ 0 . • Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события U равна 1: P(U ) = 1 . • Аксиома аддитивности. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей: P( A + B) = P( A) + P( B) . Колмогоров показал, что теорию вероятностей можно развивать на основе аксиом подобно обычной математической теории, как это делается, например, в геометрии. Чтобы в этом убедиться, введем основные понятия, относящиеся к событиям. Произведением AB событий A и B называют событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеют место оба события A и B . Например, событие A = [вынута карта червонной масти], событие B = [вынут туз], тогда произведением событий A и B будет событие C = [вынут червонный туз]. Суммой A + B событий A и B называют событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеют место либо событие A , либо событие B , либо оба вместе. События A и B называют несовместными, если они одновременно не могут наступить. − Событие A называют противоположным событию A , если оно происходит всегда, когда не происходит событие A . − Легко видеть, что события A и A несовместны и по аксиоме аддитивности получим: 23 − − P( A + A) = P( A) + P( A) = 1 . (1.14) В более сложных случаях нельзя представить случайное событие A в виде конечного множества шансов из конечного числа равновероятных исходов. Например, рождение мальчика и девочки — не равновероятные случайные события. Известно, что на мальчиков приходится примерно 51 % от общего количества родившихся детей. В этом случае за вероятность события A = [рождение мальчика] принимается число P( A) = 0,51. В дальнейшем рассмотрим несколько практических задач, а потому введем их нумерацию. Задача 1. В коробке находится 10 шаров: 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствии с формулой 1.12 получаем: P( A) = 3 2 5 ; P( B) = ; P(C ) = ; 10 10 10 Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: ν( A ) = 2 . 5 Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное. 24 Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. К примеру, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т. д. Задача 2. В ящике имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно прочесть слово «спорт». Рассуждаем на основе классического определения вероятностей. Пусть событие A – полученное слово «спорт» из m , где m – число благоприятствующих n исходов (в нашем случае он будет один), n – общее число кубиков, тогда P( A) = исходов (в нашем случае оно будет равно числу перестановок из пяти букв, т. е. n = P5 = 5!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 ). Тогда искомая вероятность P(A) = 1 . 120 Благодаря системе аксиом теория вероятностей окончательно оформилась в качестве полноправной математической науки. Она использует результаты из других разделов математики и, в свою очередь, оказывает на них значительное влияние. В частности, благодаря и открытиям А.Н. Колмогорова в этой области, теорию вероятностей называют русской наукой. Познакомимся с жизнью этого великого ученого более подробно. Рисунок 1.2. А.Н. Колмогоров 25 Колмогоров Андрей Николаевич родился 12(25) апреля 1903 г. в Тамбове. Мать Колмогорова умерла рано и его усыновила сестра матери, с которой они жили в родовом имении родителей матери в Ярославской губернии. В 1910 году, после переезда в Москву, поступил в частную гимназию. Здесь совместно обучались мальчики и девочки по программе мужской гимназии – явление уникальное в то время. Колмогоров имел по математике отличные успехи, и это позволило будущему ученому заниматься по этому предмету на класс старше. Однако на время интерес к другим наукам взял верх, и первый научный доклад, который 17-летний Колмогоров сделал в МГУ, был посвящен вовсе не математике, а новгородским землевладениям. И уже здесь при анализе писцовых книг XV–XVI вв. им были использованы элементы математической теории вероятностей. Разработанные Колмогоровым аксиомы теории вероятностей послужили новым этапом в развитии этой науки. Следует отметить, что наш институт ежегодно проводит математическую олимпиаду им. А. Н. Колмогорова среди школьников города Курска, победители и призеры которой становятся нашими студентами. Так наш институт чтит память о величайшем математике прошлого века. Глава 1.8. Основные теоремы теории вероятностей Рассмотрим без доказательства ряд теорем теории вероятностей и выясним их применение к практическим ситуациям. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A + B) = P(A) + P(B) . (1.15) Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) .(1.16) Следствие. Сумма событий равна единице. вероятностей P ( A ) + P( A ) = 1 . 26 (1.17) противоположных Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В. PA (B) = P(AB) / P(A) . (1.18) Например, в барабане 10 шаров, из которых 5 белых и 5 красных. Проводится опыт по двукратному извлечению шара. После первого извлечения шара из барабана шар в барабан не возвращается. Определить вероятность извлечения красного шара во втором опыте. Если обозначить событие A1 – извлечение красного шара в первом опыте, то вероятность этого события равна P(A1 ) = 5 1 = . 10 2 Если обозначить событие A 2 – извлечение красного шара во втором опыте, то вероятность этого события будет носить условный характер, т.е. зависеть от того, что произошло в первом опыте. А значит, P (A 2 ) = − A1 красный шар, и PA (A 2 ) = 1 5 – в первом опыте извлечен был не 9 4 – в первом опыте извлечен красный 9 шар. Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB) = P(A)PA (B) = P(A)PA (B) . (1.19) Эту же теорему можно записать и в таком виде: P(AB) = P(A)PA (B) = P(B)PB (A). В связи с этим рассмотрим задачу. В читальном зале института 6 задачников по теории вероятностей, из которых три – в переплете. Библиотекарь наудачу взял два задачника. Найти вероятность того, что оба этих задачника окажутся в переплете. 27 Для решения снова введем обозначения событий. Пусть событие А – первый взятый задачник имеет переплет; событие В – второй взятый задачник имеет переплет. Вероятность того, 3 6 1 2 первый взятый задачник имеет переплет равна: P(A) = = . Вероятность того, что второй задачник имеет переплет, при условии, что первый взятый задачник был в переплете, т. е. 2 5 условная вероятность события В равна PA (B) = . Искомая вероятность того, что оба задачника имеют переплет будет найдена по теореме умножения вероятностей событий, т. е. по равенству 1.19 P(AB) = P(A)PA (B) = 1 2 ⋅ = 0,2 . 2 5 Эта теорема остается справедливой для случая нескольких зависимых событий. Например, для совместного наступления трех зависимых событий эта теорема будет иметь вид: P(ABC) = P(A) ⋅ PA (B) ⋅ PAB (C) . (1.19.1) Если события независимые, то PA (B) = P(B) , и теорема умножения вероятностей принимает вид: P(AB) = P(A)P(B) . (1.20) Например, пусть двое игроков бросают две игральные кости. Обозначим события: A = [на 1 -й кости выпадет шестерка], B = [на 2-й кости выпадет шестерка], тогда AB = [выпадут две шестерки]. Поскольку события A и B независимы, то P( AB) = P( A) ⋅ P( B) = 1 1 1 ⋅ = . 6 6 36 Эта теорема остается справедливой для случая нескольких независимых событий. Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. 28 Если в результате испытания может появиться n событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна P(A) = 1 − q1q 2 ...q n . (1.21) Здесь событие A обозначает наступление хотя бы одного из событий A i , а q i – вероятность противоположных событий A1 , A 2 ,..., A n , т.е. q i = 1 − p i . Задача 3. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб. Рассуждаем таким образом. В нашем случае элементарными событиями возможны следующие четыре события: событие A1 – появление герба при двух бросках; событие A 2 – появление герба при первом бросании; событие A 3 – появление герба при втором бросании; событие A 4 – герб не появился ни разу. Благоприятствовать событию A (появление герба хотя бы один раз) будут события A1 , A 2 , A 3 . Следовательно, P(A) = 3 . 4 Задача 4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие А , промах второго – событие В . Рассуждаем так, по условию задачи P(A) = 0,7; P(B) = 0,8. Тогда в силу равенства 1.17 получаем, что P( B) = 0,2 и P(A ) = 0,3. По теореме произведения событий вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна P(A)P( B) = 0,7 ⋅ 0,2 = 0,14 . Аналогично, вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна P( A)P(B) = 0,3 ⋅ 0,8 = 0,24 . 29 Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна P = 0,14 + 0,24 = 0,38 . Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны: P(A)P(B) = 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56; P( A)P( B) = 0,3 ⋅ 0,2 = 0,06. Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: P = 1 − 0,56 − 0,06 = 0,38. Задача 5. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется небракованными. Обозначим бракованную деталь – событие А, небракованную – событие А . P( A) = 0,2; P( A ) = 0,8; Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей. P = P(A)P( A)P( A) + P( A )P(A)P( A) + P( A )P( A )P(A). P = 3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = 0,384 . Глава 1.9. Формула полной вероятности Рассмотрение этого вопроса мы начнем с решения задачи. Задача. Имеется два набора деталей для офисной мебели. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие B2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, – P(B1) = l/2. 30 Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, – Р(B2) = 1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, – PB (A) = 0,8 . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, – PB (A) = 0,9 . Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная может быть вычислена по формуле 1.15 суммы несовместных событий, т. е. 1 2 P(A) = P(B1 ) ⋅ PB1 (A) + P(B 2 ) ⋅ PB2 (A) . Это равенство называют формулой полной вероятности. Подставив числовые значения вероятностей, получим: P(A) = 0,5 ⋅ 0,8 + 0,5 ⋅ 0,9 = 0,85. Если рассуждать более обще, то эта формула будет выглядеть так. Пусть некоторое событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий H 1 , H 2 ,..., H n , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий P(H1 ), P(H 2 ),..., P(H n ) и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi P(A / H1 ), P(A / H 2 ),..., P(A / H n ) . Тогда вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1 , H 2 ,..., H n , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А. P(A) = P(H 1 )P(A / H 1 ) + P(H 2 )P(A / H 2 ) + ... + P(H n )P(A / H n ) (1.22) Полученную вероятности. формулу называют 31 формулой полной Глава 1.10. Биномиальное распределение Наверное, каждый видел, как ловят рыбу спиннингом. Забрасывают подальше от берега в воду блесну — похожую на маленькую рыбку металлическую приманку с крючком, – а затем быстро сматывают на катушку леску, к которой она привязана. Чаще всего блесна возвращается обратно пустой, но иногда на крючке бьется хищная рыба — окунь, судак или щука, принявшая приманку за настоящую рыбку. Сколько раз придется забрасывать блесну, чтобы поймать 1 рыбку? Это зависит от времени года, времени суток, погоды. Рыболов может сказать, что в среднем необходимо десять забросов. Тогда вероятность p поймать рыбу за один заброс равна 0,1, а вероятность вытянуть пустой крючок q = 1 − p = 0,9. А какова вероятность за сто забросов не поймать ни одной рыбы? Или поймать 10 рыб? Похожая ситуация возникает, когда подбрасывают монету и считают, сколько раз выпадет орел. Ясно, что вероятность 1 2 появления орла при каждом бросании p = , как и вероятность 1 2 выпадения решки q = . А какова вероятность того, что при десяти бросаниях орел выпадет, например, пять раз? Или восемь раз? Такая процедура носит название схемы Бер-нулли — по имени уже известного нам швейцарского математика Якоба Бернулли, предложившего и изучившего ее. Давайте познакомимся с ней поближе. Пусть производится n независимых испытаний и в каждом из них удача имеет вероятность p , а неудача — вероятность q = 1 − p . Тогда количество успешных испытаний X из общего числа испытаний n есть случайная величина, которая может принимать n + 1 значение: 0,1,2..., n . Каково ее распределение? Другими словами, какова вероятность P(X = k ) того, что в k испытаниях нам будет сопутствовать удача, а в остальных n − k испытаниях постигнет неудача? Выберем какие-нибудь конкретные k испытаний. Пусть это испытания с номерами i1 , i2 ,..., ik . Вероятность того, что испытание i1 закончится успешно, равна p . Аналогично, вероятность того, что испытание i2 будет успешно, равна p и т. д. С другой 32 стороны, вероятность того, что испытание j окажется неудачным, равна q (здесь j ≠ i ни в каких случаях). Значит, вероятность того, что и испытание i1 и испытание i2 ,..., и испытание ik завершатся успехом, а все остальные испытания — неудачей, равна p k q n − k , так как вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Но мы рассмотрели лишь один вариант выбора k успешных испытаний из общего числа испытаний. Всего же таких вариантов, как учит комбинаторика, существует Cnk . Поэтому вероятность того, что успешными будут какие-то k испытаний, а все остальные испытания будут неудачны, равна Cnk p k q n − k . Таким образом, вероятность k успешных исходов n испытаний по схеме Бернулли можно выразить формулой, носящей имя Бернулли: Pn (k ) = Cnk p k q n − k . (1.23) Поэтому распределение вероятностей 1.23 носит название биномиального распределения. Теперь попробуем ответить на вопросы о монете и рыбках. В случае бросания монеты n = 10 , p = q = 0,5 , k = 5 или 8. Применяя формулу (1.24), получим: P10 (5) = C105 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55 ≈ 0,246 , и P10 (8) = C108 ⋅ 0,58 ⋅ 0,52 ≈ 0,044. В задаче с рыболовом n = 100 , p = 0,1 и q = 0,9 , а k = 0 или 10. Тогда, рассуждая аналогично предыдущему, получим: P100 (0) = C100 ⋅ 0,10 ⋅ 0,9−100 ≈ 0,0000266. Если рыболов не поймает ни одной рыбы, то совершенно очевидно, что он вероятность успеха ( p = 0,1 ) оценил неверно. B случае k = 10 получаем P100 (10) ≈ 0,13187. Схема Бернулли применима как для n последовательно, так и для n одновременно проводимых испытаний. Например, десятикратное подбрасывание 1 монеты можно заменить однократным подбрасыванием 10 монет. Используем это обстоятельство для решения одной жизненно важной задачи. 33 Предположим, вы решили полететь на самолете в Саратов и у вас есть выбор: лететь на двухмоторном или на четырехмоторном самолете. Моторы у самолетов одинаковы, и каждый с вероятностью p может отказать во время полета. От знакомых авиаторов вы знаете, что двухмоторный самолет способен долететь до Саратова и на одном моторе, а четырехмоторный — на трех или даже на двух моторах, а на одном уже не может. Какой самолет надежнее? Обозначим через p вероятность выхода мотора из строя за время полета, а через q — вероятность безотказной работы двигателя. Тогда вероятность катастрофы двухмоторного самолета равна P2 (2) = p 2 , а четырехмоторного — P4 (4) + P4 (3) = p 4 + 4 p 3q. Определим, при каких значениях p и q вероятность разбиться на двухмоторном самолете будет меньше, чем на четырехмоторном, т. е. когда p 2 < p 4 + 4p 3 q. Очевидно, что 0 < p < 1 . Сократив на p 2 и заменив q на 1 − p , получим, что вероятность разбиться на двухмоторном самолете будет меньше, если 3 p 2 − 4 p + 1 p 0. Это неравенство справедливо при 1 < p < 1. 3 Те же авиаторы вам сообщили, что для моторов, которые установлены на таких самолетах, p = 0,001 , что, конечно же, меньше 1 . А потому полет на четырехмоторном самолете 3 является более безопасным. Глава 1.11. Случайные величины и их числовые характеристики В теории вероятностей часто рассматривают случайные события, которые характеризуются числами: количество покупателей в супермаркете за промежуток времени, напряжение в сети, показания приборов в эксперименте и др. Такие события называются случайными величинами. А раз это числа, то их можно складывать, умножать на обычные числа и т. д. Да и другие случайные события иногда можно трактовать как числа. Например, выпадению той или иной грани игрального кубика соответствует число на этой грани. Выпадение орла при подбрасывании монеты можно обозначить через 1, а выпадение решки — через 0. Тогда сумма значений 34 такой случайной величины при n подбрасываниях монеты равна числу выпавших орлов. Вообще, если случайная величина X может принимать значения x1 , x2 ,..., xn , то значения pi = P( X = xi ) , где i = 1,2,..., n , называются распределением вероятностей случайной величины X , причем справедливо равенство p1 + p2 + ... + pn = 1. На практике распределение случайной величины задают в виде таблицы, у которой первой строкой идут значения случайной величины, а второй строкой – вероятности с которыми эти значения принимаются. Например, в случае с подбрасыванием игральной кости – закон распределения числа выпавших очков будет иметь вид таблицы 1.1. Таблица 1.1 xi 1 2 3 4 5 6 pi 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Во многих случаях важно знать «среднее значение» случайной величины. В теории вероятностей оно называется математическим ожиданием и определяется следующим образом. Пусть случайная величина X может принимать значения x1 , x2 ,..., xn с вероятностями p1 , p2 ,..., pn соответственно. Тогда число M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn (1.25) есть математическое ожидание случайной величины X . Если вычислить математическое ожидание числа очков, выпавших при подбрасывании игральной кости, представленное в таблице 1.1, то оно будет задано суммой произведений значений на соответствующие вероятности, т. е. 35 1 1 1 1 1 1 M(X) = x 1p1 + x 2 p 2 + ... + x 6 p 6 = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ = 6 6 6 6 6 6 21 1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3,5 6 6 Если изобразить закон распределения числа очков, выпавших при подбрасывании игральной кости графически, где по оси абсцисс отложить значения случайной величины, а по оси ординат им соответствующие вероятности, то график будет представлять собой прямую линию, параллельную оси абсцисс. Такое распределение называют равномерным. Математическое ожидание в этом случае будет представлено точкой с координатой 3,5 на оси абсцисс. Понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие в трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др., первым ввел Гюйгенс. Он писал, что математическим ожиданием игрока, имеющего вероятность P для выигрыша суммы S , является произведение P ⋅ S . Например, лотерейный розыгрыш некоторого ценного объекта стоимостью в 3 000 руб. при выпуске 1 000 билетов ценою в 3 руб. каждый является справедливым, так как вероятность выигрыша математическое ожидание каждого билета покупателя есть равно 1 , 1000 а 1 ⋅ 3000 = 3 1000 именно столько, сколько он уплатил за лотерейный билет. Если количество выпущенных билетов было бы больше 1 000, то при сохранении всех остальных условий игра уже не была бы справедливой. Тогда математическое ожидание выразилось бы формулой (1.25). Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X 1 + X 2 + ... + X n ) = M(X1 ) + M(X 2 ) + ... + M(X n ). (1.26) Если c — постоянная (т. е. c есть случайная величина, всегда принимающая одно и то же значение), то M (c) = c и M (cX ) = c ⋅ M ( X ) . (1.27) Понятие математического ожидания находит немало применений в разных других областях человеческой деятельности. Но вернемся снова к анализу азартных игр. Игра на деньги или жетоны называется безобидной, если математическое 36 ожидание выигрыша для каждого игрока равно 0. В противном случае она выгодна тому игроку, для которого математическое ожидание выигрыша положительно. Рассмотрим всем известную игру с подбрасыванием монеты. Один из игроков делает ставку на орла, а второй — на решку. Монету подбрасывают. Если она упадет орлом, то второй платит первому, например, рубль, а если решкой — первый платит второму рубль. Так как вероятности выпадения и орла, и решки равны 0,5, то математическое ожидание выигрыша любого игрока равно нулю, т. е.: 1 ⋅ 0,5 + (−1) ⋅ 0,5 = 0. Значит, игра безобидная. Игрок в рулетку, поставивший 1 жетон, например, на линию, выигрывает 5 жетонов с вероятностью 6/37 и проигрывает 1 жетон с вероятностью 31/37. Поэтому математическое ожидание его выигрыша равно: 5⋅ 6 31 1 + (−1) ⋅ =− . 37 37 37 Игра явно небезобидная и выгодна игорному дому, который с каждого поставленного жетона имеет выигрыш 1/37 жетона. Несколько более сложна игра «Попытай счастье», в которую играли в XIX в. на североамериканском Дальнем Западе. Бармен предлагал скучающему посетителю поставить доллар и назвать одно из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. «Теперь ты бросаешь три игральные кости, — продолжал он. — Если на одной из них выпадет названное тобой число, то забирай свой доллар и еще один мой в придачу. Если это число выпадет на двух костях, то я к твоему доллару доплачу еще два. А если на всех трех, то я даю три доллара». Безобидна ли эта игра, и если нет, то кому выгодна? Вероятность выпадения нужного числа при бросании одной 1 6 5 6 кости p = , а вероятность невыпадения q = 1 − p = . Расчеты показывают: вероятность того, что ни разу не выпадет названное число, равна: q3 = 125 . 216 Вероятность выпадения нужного числа ровно на 1 кости 37 3 pq 2 = 75 . 216 Вероятность выпадения этого числа ровно на двух костях будет найдена как 3 p 2q = 15 , 216 а вероятность тройного успеха p3 = 1 . 216 Тогда M(X) = (−1) ⋅ 125 75 15 1 − 17 + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ = . 216 216 216 216 216 Значит, посетителю игра не выгодна. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события A в каждом испытании мала (p ≤ 0,1) , то математическое ожидание числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события A в каждом испытании. M(X) = np . (1.28) Например, найти математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02 . Так как число изделий велико, а вероятность брака в каждом изделии мала, то в соответствии с формулой 1.28 получим: M(X) = 5000 ⋅ 0,02 = 100 . Если математическое ожидание является первой числовой характеристикой случайной величины, то разброс ее значений относительно математического ожидания — второй. Как оценить разброс? Из курса физики известно такое понятие дисперсии как – рассеивание света. В теории случайных величин мы сталкиваемся с аналогичным понятием. Пусть m = M ( X ) — математическое ожидание случайной величины X . Тогда Y = X − m есть случайная величина, выражающая отклонение случайной величины X от ее математического ожидания. Первое, что приходит в голову, — 38 вычислить математическое ожидание M (Y ) и принять полученный результат за характеристику разброса значений случайной величины X . Однако, согласно расчетам, M(Y) = M(X − m) = M(X) − M (m) = m − m = 0, т. е. математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Если подумать, здесь нет ничего удивительного. Случайная величина Y может принимать и положительные, и отрицательные значения, которые, в конце концов, уравновешивают друг друга. А что если рассмотреть квадрат отклонения случайной величины Y 2 = ( X − m) 2 ? Во-первых, эта величина всегда неотрицательна, а во-вторых, она характеризует именно абсолютную величину отклонения, не зависящую от знака. Тогда M ( X − m) 2 является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания. Оно называется дисперсией случайной величины X и обозначается D( X ). Для вычисления дисперсии пользуются утверждением, что она равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания, т. е. D(X) = M(X 2 ) − M 2 (X) (1.29) Предлагаем вычислить вам самостоятельно дисперсию числа выпавших очков при подбрасывании игральной кости по формуле 1.29. Приблизительно она будет равна 2,9 . Дисперсия всегда неотрицательна, т. е. D( X ) ≥ 0. Причем, равенство D( X ) = 0 возможно в том и только в том случае, когда X — постоянная (т. е. всегда принимает одно и то же значение). Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий (как и для математического ожидания): D(X1 + X 2 + ... + X n ) = D(X 1 ) + D(X 2 ) + ... + D(X n ). (1.30) Если c — постоянная величина, то D(cX ) = c 2 ⋅ D( X ) . (1.31) Следует отметить, что дисперсия имеет размерность, соответствующую квадрату размерности описываемой ею 39 случайной величины. Поэтому очень часто используют другую характеристику: σ ( X ) = D( X ) , (1.32) которую называют квадратичным отклонением случайной величины X . Размерность σ (сигма) та же, что и у X . Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события A в каждом испытании мала (p ≤ 0,1) , то дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события A в каждом испытании и на вероятность не появления события A , т. е. D(X) = n ⋅ p ⋅ (1 − p) = n ⋅ p ⋅ q . (1.33) Проиллюстрируем понятия математического ожидания и дисперсии рассказом о «шулерской кости» — игральной кости, в которую вставлен свинцовый шарик. Он так расположен внутри кости, что вероятность выпадения той или иной грани кубика пропорциональна числу очков на этой грани. Найдем вероятности выпадения различных граней кубика. Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда эти вероятности составляют: k ,2k ,3k ,4k ,5k ,6k . Их сумма должна быть равна 1, поэтому, k (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21k = 1, а значит, k = 1 . 21 Подсчитаем математическое ожидание числа выпадающих очков: M(X) = 1 ⋅ 1 2 3 4 5 6 13 + 2⋅ + 3⋅ + 4⋅ + 5⋅ + 6⋅ = . 21 21 21 21 21 21 3 Теперь вычислим квадрат математического ожидания, т. е. 2 169  13  . M (X) =   = 9 3 2 Далее найдем математическое значений случайной величины, т. е. ожидание квадратов 6 5 4 3 2 1 + 2 2 ⋅ + 32 ⋅ + 4 2 ⋅ + 52 ⋅ + 6 2 ⋅ = 21 21 21 21 21 21 441 1 = ⋅ (1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216) = . 21 21 M(X 2 ) = 12 ⋅ 40 В соответствии D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = с формулой 1.29, получим 441 169 − ≈ 2,2 . 21 9 Заметим, что для обычного кубика (мы вычисляли ранее математическое ожидание M(X) = 3,5 а дисперсию вы вычисляли самостоятельно и D(X) ≈ 2,9 ). Таким образом, у «шулерской кости» среднее число выпадающих очков ощутимо больше, а разброс меньше, чем у обычной игральной кости. Как мы уже упоминали, в числе других Бернулли, повлиявших на развитие математики, есть два сына Иоганна: Николай и, особенно, Даниил. Николай, как и Даниил, был приглашен в Петербург, незадолго до того основанный Петром Великим; там он пробыл недолго. Даниил вместе с Л. Эйлером трудились в Петербургской академии. Николай Бернулли предложил задачу по теории вероятностей, которая известна как Петербургская задача (или, более выразительно, Петербургский парадокс). Во многих книгах по теории вероятностей имеются таблицы распределения Пуассона – французского математика и механика. Симеон Дени Пуассон (1781–1840 гг.) считал, что жизнь прекрасна благодаря лишь двум вещам — изучению математики и преподаванию математики. Закон Пуассона действует всякий раз, когда имеется много независимых испытаний n , а вероятность p некоторого события A в каждом из них так мала, что среднее число событий A равное np , невелико. Появление события A при данном испытании обычно называют исходом, а общее число событий A при n испытаниях — числом исходов X . В таком случае можно считать, что число исходов X имеет распределение Пуассона с M = np . Примерами может служить число дорожно-транспортных происшествий или число пожаров, произошедших за сутки в большом городе. В самом деле, очень мала вероятность того, что за сутки данный автомобиль попадет в аварию или что в данном здании вспыхнет пожар. Однако n — число машин или зданий велико, а потому X — число неприятных происшествий в большом городе подчиняется закону Пуассона. Это позволяет достаточно точно рассчитывать число машин «скорой помощи» или пожарных машин, чтобы, с одной стороны, вовремя оказать помощь, а с 41 другой — не держать в резерве лишние машины. Конечно, в таких многомиллионных городах, как Москва, произведение np для мелких дорожно-транспортных происшествий без жертв или вызовов машин «скорой помощи», как правило, очень велико. В таком случае законом Пуассона целесообразно пользоваться при расчетах численности персонала и технической оснащенности служб помощи в отдельных районах города. Для того чтобы нормально работать и получать прибыль, страховые компании во всем мире также прибегают к закону Пуассона. Пусть, например, страховая компания за страховку строения от пожара берет плату, равную 1,5% от суммы, на которую оно застраховано. Предположим, что компания застраховала n = 1000 хозблоков на дачных участках на 8 тыс. рублей каждый. Собрав деньги за эту страховку в количестве 120 тыс. рублей, компания обязана выплатить за каждое сгоревшее в течение года строение 8 тыс. рублей. Если для хозблока вероятность сгореть в течение года равна p , то при небольших M = np случайная величина X — число сгоревших за год застрахованных хозблоков — подчиняется распределению Пуассона. Компания разорится, если X ≥ 15 , поскольку в таком случае она должна выплатить погорельцам не менее 120 тыс. рублей, не говоря уже о других затратах. Расчет показывает, что P( X ≥ 15) = 0,083 при p = 0,01 , P( X ≥ 15) = 0,017 при p = 0,008 , P( X ≥ 15) = 0,006 при p = 0,007 . Исходя из этих вероятностей компании, видимо, невыгодно работать при p = 0,01 и вполне допустимо при p = 0,008 и p = 0,007 . Подобными, но более сложными расчетами занимается страховая, или, как ее еще называют, актуарная, математика. Раздел, который нами рассмотрен, имеет большое значение во всех направлениях деятельности, в том числе и экономической. В завершении изучения этой лекции предлагаем выполнить оставшиеся задания 33-40 домашней контрольной работы. После тщательной проверки всех ответов 40 заданий контрольной работы внимательно и аккуратно заполните таблицу ответов домашней контрольной работы. 42 Следующим этапом работы над курсом математики будет компьютерный практикум и выполнение контрольного компьютерного практикума. Завершением изучения курса математики является контрольно-тестовый экзамен, состоящий из 100 тестовых заданий, на которые вам предстоит ответить. Но прежде мы считаем необходимым рассказать о тех наградах, которых удостаивают математиков за открытия. 43 РАЗДЕЛ 2. ВЫСШИЕ НАГРАДЫ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ Научное открытие само по себе — величайшее счастье. Открыв законы движения планет, Иоганн Кеплер писал: «Я предаюсь радости и не стесняюсь похвалиться перед смертными: я похитил золотые сосуды египтян, чтобы создать из них храм моему божеству вдали от пределов Египта... Прочтется ли эта книга моими современниками или потомством — не столь уж важно, — она найдет своего читателя. Разве Господь Бог не ждал шесть тысяч лет созерцателя Своего творения?». Труд ученого приносит величайшее удовлетворение, но в то же время человек, ищущий истину, нуждается в моральной, а часто и в материальной поддержке. Похвала и признание окрыляют, дают новые силы для работы, а потому и государственные структуры, и отдельные люди помогают ученым. Одна из форм такой поддержки — медали и премии за выдающиеся научные результаты. Кто и когда впервые стал награждать ученых, ответить трудно. Но в XIX в. вручали уже достаточно много медалей и премий, и сами факты таких присуждений становились предметом национальной гордости. Одной из самых больших почестей, которых удостоились русские математики в XIX столетии, была премия Бордена Парижской академии наук. В 1888 г. ее вручили Софье Васильевне Ковалевской. В настоящее время Российская Академия наук присуждает три медали и девять премий по математике: медали были учреждены в честь Л. Эйлера, П.Л. Чебышева и М.В. Келдыша; премии — имени И.М. Виноградова, С.В. Ковалевской, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Н.И. Лобачевского, A.M. Ляпунова, А.И. Мальцева, А.А. Маркова (старшего) и И.Г. Петровского. Интересна история премии Н.И. Лобачевского. Казанское физико-математическое общество поставило себе целью создать капитал для вручения международной премии имени Лобачевского. На приглашение общества стать почетными членами комитета по организации 100-летнего юбилея со дня рождения великого русского геометра откликнулись математики 44 Гельмгольц, Эрмит, Чебышев, Сильвестр, Клейн, Дарбу, Ли. Величайшие ученые того времени! В пожертвованиях и сборе денег приняли участие и Лондонское королевское общество, и члены Французского факультета наук, и средние учебные заведения городов России, и персональные пожертвователи. Собрали 9 071 рубль 86 копеек. На эти средства устроили юбилейные торжества, поставили памятник Лобачевскому в Казани, а 6 000 рублей были объявлены неприкосновенным капиталом международной премии имени Н. И. Лобачевского. Вот строки из «Положения о премии»: «Основной капитал премии остается неприкосновенным на вечные времена …». Именно так – на вечные времена! Первое присуждение состоялось в 1897 г. Премию (по отзыву Феликса Клейна) получил Софус Ли. Следующая премия (1900 г.) присуждена В. Киллингу. В 1903 г. премии удостоен Давид Гильберт. Отзыв на его работу писал Анри Пуанкаре. В 1906 г. премия вручена Б. Леви, а в 1909 г. – Л. Шлезингеру. В 1912 г. лауреатом стал Ф. Шур … и «вечные времена» закончились – разразилась Первая мировая война, а следом революция 1917 г. России. Но самое удивительное, что премия возобновилась. В 1927 г. ее получил Г. Вейль, а в 1937 г. Э. Картан и советский геометр В.В. Вагнер. И снова началась война, и снова перерыв. В 1950 г. премию Н.И. Лобачевского учредила Академия наук СССР. Ее удостоились А.Д. Александров, А.В. Погорелов, Л.С. Понтрягин, Х. Хопф, П.С. Александров, Б.Н. Делоне, С.П. Новиков, Г. Буземан, А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд и Г.А. Маргулис. Очень хочется верить в то, что этот список не прервется и будет продолжен именами новых математиков, действительно, на вечные времена! Пожалуй, самая известная из международных премий, которыми награждаются математики, — это премия Филдса. Ее учредитель Джон Чарлз Филдс родился в 1863 г. в Канаде, окончил университет в Торонто, потом долго жил в Европе, но вернулся в Торонто и работал там до конца жизни. Его научные работы связаны с теорией алгебраических функций и алгеброй. Однако больше всего Филдс был известен как общественный деятель. Именно благодаря его активности в 1924 г. состоялся Международный математический конгресс в Торонто. На этом 45 конгрессе обсуждалась идея Филдса — учредить международную премию и медаль по математике. Филдс писал: «Я особо подчеркиваю, что медаль должна быть интернациональна и объективна, насколько это возможно. ...Она ни под каким видом не должна включать упоминание о какой-либо стране, институте или личности». Впервые эта награда была вручена на международном конгрессе в Осло в 1936 г. С тех пор на каждом международном конгрессе ее присуждают самым выдающимся математикам. На медали выгравированы только фамилия лауреата и год присуждения премии. Там нет никакого упоминания о Филдсе. И тем не менее и премию, и медаль называют его именем. Часто медаль Филдса называют «математическим Нобелем». Филдс считал, что премия должна не только отмечать уже достигнутые успехи, но стимулировать творческую деятельность лауреата. Современники Филдса истолковали эту фразу как указание на то, что награждать следует относительно молодых ученых. Чуть позже установилась возрастная граница: лауреат должен быть не старше 40 лет. И число номинантов этой премии – 4 человека. В 2006 г. состоялось событие, всколыхнувшее не только весь научный математический мир, но и всю общественность Планеты. На состоявшемся в Мадриде Международном математическом конгрессе были объявлены имена номинантов премии Филдса. Победителями стали австралиец Теренс Тао, француз Венделин Вернер, а также россияне Андрей Окунков и Григорий Перельман. За все существование этой премии ее получили 44 математика, среди них 8 россиян. В связи с этим журнал Science назвал работу петербургского математика Григория Перельмана, доказавшего гипотезу Пуанкаре, главным научным прорывом в 2006 году. Перельман решил задачу, с которой не справились лучшие умы XX века. Гипотеза Пуанкаре является центральной проблемой топологии — науки о геометрических свойствах объектов, не меняющихся при малых деформациях. Математики в течение столетия бились над этой проблемой, пока Перельман не опубликовал ее решение в интернете. Григория Перельмана наградили за доказательство проблемы Пуанкаре, касающейся так называемых трехмерных 46 поверхностей. Проблема Пуанкаре была одной из «задач тысячелетия», за которую американский Институт Клея пообещал премию в размере $1 млн. Однако Григорий Перельман отказался от получения своего миллиона, не пояснив причины своего демарша. Так, по словам американского математика Джона Болла, Григорий Перельман не захотел приехать в Мадрид, поскольку не считает себя частью «международного математического сообщества». «Никакой враждебности по отношению к математикам у него нет и быть не может,— считают его бывшие коллеги по Математическому институту имени Стеклова, где до последнего времени работал господин Перельман.— Его просто не устраивают некоторые нормы жизни и существования науки, как и всех нас». Кто же он, наш современник, величайший математик века, отказавшийся от таких наград? Григорий Перельман слывет в научном мире бескорыстным человеком, лишенным всякого честолюбия. Ученый отклонил присуждение ему докторской диссертации, отказался от продвижения по работе. В 1996 году он не явился на церемонию вручения премии, присужденной Европейским конгрессом математиков. Перельман родился 13 июня 1966 года, и его удивительные способности стали основанием для раннего зачисления в физикоматематическую спецшколу Петербурга. В 16 лет он получил золотую медаль с высшими баллами на Международной математической олимпиаде 1982 года для одаренных школьников. Защитив диссертацию в Петербургском государственном университете, он работал в институте математики им. Стеклова, а в конце 1980-х приехал в США, где работал в разных университетах. Примерно 10 лет назад он вернулся в свой институт, чтобы работать над доказательством формы Вселенной. Математический мир заволновался еще в 2002 году, когда он впервые опубликовал свою новаторскую работу, посвященную задаче, сформулированной французским математиком, физиком и философом Жюлем Анри Пуанкаре в 1904 году. Гипотеза Пуанкаре, которую большинству нематематиков трудно даже понять, занимала величайшие умы XX века. 47 Еще раз подчеркнем, что она касается геометрии многомерных пространств и является ключом в сферу топологии. Перельман утверждает, что решил задачу в более общем виде, названном гипотезой геометризации Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре. Как видите для человека науки, увлеченного идеей, не важны награды. Ему не интересны деньги. Лучшая награда для него — это доказательство его теоремы, что не совсем понятно для многих из нас. Итак, мы рассмотрели 4 лекцию, завершающую курс математики. Но уже по сложившейся традиции вам необходимо выполнить самостоятельную работу №4, задания 33-40 домашней контрольной работы. Надеемся, что Вы уже выполнили компьютерный практикум, контрольный компьютерный практикум – настало время выполнять экзаменационное тестирование. Мы желаем вам успехов! Конец четвертой лекции Конец курса Все замечания и предложения отсылайте по адресу: feedback@rfei.ru. 48