Математика. Из истории геометрии. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

НВУЗ АНО «РЕГИОНАЛЬНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МАТЕМАТИКА (Вторая лекция) _______________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………….3 РАЗДЕЛ 1. ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ ........................................ 4 Глава 1.1. Математика в Древней Греции.................................... 4 Глава 1.2. Зарождение математики в России............................. 11 РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ............................................... 14 Глава 2.1. Причины возникновения аналитической геометрии....................................................................................... 14 Глава 2.2. Элементы векторной алгебры ................................... 16 Глава 2.3. Что изучает аналитическая геометрия?.................... 38 Глава 2.4. Замечательные кривые ............................................... 62 Глава 2.5. Лобачевский и его геометрия .................................... 65 Глава 2.6. Точка, точка, запятая….............................................. 73 2 ВВЕДЕНИЕ В предыдущей лекции мы неоднократно подчеркивали, что математика имеет определенное мировоззренческое значение, но для экономистов и специалистов по управлению – менеджеров – математика является в большей степени инструментом анализа, организации, управления. Экономика всеобъемлюща, многообразна и сложна. Так, в условиях рынка, когда развивается предприимчивость, повышается конкуренция и риск, когда складываются новые формы хозяйствования на микро- и макроуровнях, а также новые взаимоотношения субъектов рынка, необходимо постоянно совершенствовать свои знания. Эффективное управление экономикой невозможно без математического описания реальных ситуаций. А потому экономист и менеджер должны уметь описывать экономические явления математическим языком. Возможности математики безграничны. Все богатство и разнообразие математических методов, в частности, аналитической геометрии и векторной алгебры, можно поставить на службу экономике и менеджменту. Об этом пойдет речь в этой лекции, но начнем разговор об аналитической геометрии, как и в предыдущей лекции, с рассмотрения исторических фактов, связанных с зарождением геометрии. 3 РАЗДЕЛ 1. ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ Геометрия есть познание всего сущего Платон Глава 1.1. Математика в Древней Греции Согласно преданию, родоначальником математики, а точнее первым математиком, считается милетский купец Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон и Египет. Его же называют и отцом греческой математики. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это – образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Почему греки занимались математикой? На этот вопрос мы часто слышим ответ: из практической потребности. Но многие находки археологов и исследователей все больше убеждают нас в том, что первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель – понять, какое место занимает во вселенной человек. А это уже не просто подсчет пойманной рыбы или добытой дичи. Это уже движение в сторону науки, философии. Несомненно, что греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая свои торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро обнаружили это. Почему в равнобедренных треугольниках два угла равны? Почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах? Такие вопросы естественно возникали у людей, ставивших сходные вопросы и в других науках. Все, что мы знаем о зарождении математики – это заслуга археологов, историков и филологов. И благодаря этим находкам ученым удалось получить надежные издания Евклида, Архимеда, (о них мы уже говорили в первом разделе) и других великих математиков античности. Благодаря этому мы узнали, что в Древней Греции геометрия развилась в самостоятельную науку. Ведь геометрия в переводе с греческого означает «землемерие». Именно в Древней Греции впервые звучат ответы на вопросы: зачем и почему? 4 Первым из древних греков, кто научился отвечать на них, был Фалес Милетский. Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и, вообще, первым по всем наукам в Греции. Он был то же для Греции, что Ломоносов для России. Фалесу Милетскому приписывают простой способ определения высоты пирамиды. В солнечный день он поставил свой посох там, где оканчивалась тень от пирамиды. Затем он показал, что как длина одной тени относится к длине другой тени, так и высота пирамиды относится к высоте посоха. Рисунок 1.1. Фалес (около 625 - около 547 до н.э.) Фалес родился и вырос в древнейшем греческом центре Милете в Малой Азии. Поэтому его и называют Фалесом Милетским. На собственном корабле, груженном греческими товарами, Фалес плавал по Средиземному морю. Особенно удачно он торговал маслом, чем и нажил себе состояние. Бывал Фалес в Египте, Вавилоне, где познакомился с математикой и астрономией. Фалес посвящал этим наукам свое свободное время, и его считают первым из семи великих мудрецов древности – основателей греческой культуры и науки. В истории математики существуют «Каноны семи мудрецов» Греции, так вот канон Фалеса Милетского гласит: «Ни за кого не ручайся!» Именно Фалес в 585 г. до н.э. предсказал солнечное затмение. В это время шла война, и когда предсказание сбылось («день превратился в ночь»), воины в страхе побросали оружие и разбежались. Но Фалеса больше интересовала математика, а не астрономия. Он первый, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения и теоремы. Каждый из нас помнит знаменитую теорему Фалеса: если на одной из сторон угла отложить равные отрезки, а затем через 5 концы этих отрезков провести параллельные прямые, то и на второй стороне угла образуются равные отрезки. Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, он же доказал и признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Да, именно Фалес превратил древнюю и священную ученость в предмет споров и доказательств. С легкой руки Фалеса геометрия оказалась первой такой игрой. Вскоре она стала почетным занятием, как бы национальным видом спорта – наравне с политикой или Олимпийскими играми. В геометрии появились мастера, которые превзошли Фалеса и вводили такие математические истины, которые даже не снились их предшественникам. Следующим великим математиком Древней Греции был знаменитый Пифагор, мы уже говорили о нем в первом разделе, когда вели речь об открытии иррациональных чисел. Этого крепкого юношу с упрямой шеей и коротким носом, настоящего драчуна, судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к соревнованиям, укоряли маленьким ростом. Он пробился и победил всех противников. Случись такое каких-нибудь несколько лет спустя, и газеты всего мира вышли бы с аншлагами: «Никому не известный Пифагор (Греция) завоевал золотую медаль в кулачных боях». Впрочем, в нынешних олимпийских программах нет кулачного боя. А тогда не было газет и медалей. А если бы и были – они не дожили бы до наших дней. Газеты и медали не живут тысячелетия. Только легенды выживают… Вся жизнь его – легенда. Даже не легенда, а наслоения многих легенд. Чего только не рассказывали о нем! Говорили, например, что у него бедро из золота, что он обладает чудесной способностью одновременно находиться в разных местах. Наверное, среди самых удивительных и противоречивых домыслов есть крупицы истины, но огромная тяжесть ушедшего времени вдавила, растворила их в этом фантастическом окружении, сделала невидимыми для нас. 6 Рисунок 1.2. Пифагор (VI в. до н.э.) Пифагор первым заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия – это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. То же относится к числу 5 и пяти пальцам на руке или к геометрической плоскости и к поверхности воды в спокойном озере. Идеальные объекты встречаются только в математическом рассуждении. И только для них верны строгие научные выводы. Поэтому математика является как бы «вторым зрением» человека: она открывает разуму идеальные объекты, тогда как обычные чувства говорят нам о свойствах природных тел. Если говорить о жизни Пифагора, то родился он на острове Самос в VI в. до н.э. В молодости побывал в Египте, учился у жрецов. Говорят, что он был допущен в сокровенные святилища Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов. Около 530 г. до н.э. Пифагор переехал в Кротон – греческую колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз. Этот союз занимался научными исследованиями, политической деятельностью. Члены союза вели суровый образ жизни, они жили вместе, и даже свои открытия они считали общим достоянием. Деятельность этого союза была окружена тайной, но все открытия, по традиции, они приписывали Пифагору. Знаменитая теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (верно и обратное утверждение), которая представлена в наши дни в общем виде, а не в виде частного случая ( 32 + 42 = 52 – для «египетского треугольника»), по утверждениям 7 исследователей истории математики, принадлежит именно Пифагору. Интересен тот факт, что со времен Пифагора появилось несколько сотен доказательств этой теоремы, так что она попала даже в Книгу рекордов Гиннеса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного. Поэтому наиболее часто говорят о четырех методах доказательства этой теоремы. Пифагорейцы заложили аксиомы планиметрии – геометрии плоскости. Но заслуга пифагорейцев есть и в стереометрии – геометрии пространства. Пять известных тел правильных многогранников – тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр – открыты были пифагорейцами. Хотя некоторые современные исследователи считают, что Пифагору были известны только – куб (гексаэдр), тетраэдр и додекаэдр. А октаэдр и икосаэдр открыл талантливый ученик пифагорейца Платона – Теэтет Афинский. Поэтому часто в математической литературе эти все пять тел называют телами Платона. Приведем заповеди пифагорейцев: Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать… Не пренебрегай здоровьем своего тела… Приучайся жить просто и без роскоши. Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день. Через тысячи лет великий ученый Альберт Эйнштейн писал: «Удивительным, необычайным казался самый факт, что человек способен достигнуть такой степени надежности и чистоты в отвлеченном мышлении, какую нам впервые показали греки в геометрии!» Следующий великий геометр древности – Евклид, о котором мы говорили ранее в связи с наиболее знаменитым и наиболее выдающимся его произведением – тринадцатью книгами «Начала», и алгоритмом, им предложенным. В дополнение к уже ранее сказанному «Начала», – первые математические труды, которые дошли до нас от древних греков полностью. В истории Западного мира «Начала», после Библии, вероятно, наибольшее число раз изданная и более всего 8 изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована, часто буквально, из первых шести книг «Начал», и традиция Евклида до сих пор тяготеет над нашим элементарным обучением. Для профессионального математика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а их логическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем какое бы то ни было другое произведение. Какую цель ставил себе Евклид, когда писал свои «Начала»? Мы можем с известной уверенностью полагать, что он хотел совместно изложить в одном труде три великих открытия недавнего прошлого: • теорию отношений (в которой сознательно отвергались численные выражения для отрезков прямой и, таким образом, несоизмеримые рассматривались только геометрически: «числами» считались только целые числа или рациональные дроби); • теорию иррациональных чисел; • теорию пяти правильных тел (тела Платона). То были три типично «греческих» достижения. Другим выдающимся ученым этой эпохи был Архимед, о жизни которого сложилось множество легенд, о чем мы уже говорили в первом разделе. Если делать акцент на вклад Архимеда в геометрию, то это доказательство им теоремы о медианах треугольника, которые пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины. Эта теорема носит его имя. Но не только эта теорема, а и целый ряд открытий в области математического анализа, о которых мы будем вести речь позднее, принадлежат Архимеду. При жизни Архимед очень гордился своим открытием, связанным с соотношением объемов цилиндра и вписанного в цилиндр шара. Они относятся как 3 : 2 . И на его могильной плите изображен цилиндр и вписанный в него шар. Говоря об Архимеде, следует сказать еще об одном математике того времени, который точно описал лунное затмение 62 г. 9 Рисунок 1.3. Герон Александрийский Это Герон Александрийский (около I века), он был энциклопедистом, писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения – любопытная смесь греческого и восточного. В своей «Метрике» он выводит « формулу Герона» для площади треугольника, которой мы пользуемся до сих пор S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) . (1.1) Более того, он выводит ее чисто геометрическим образом; сам результат приписывается Архимеду. С Героном мы сталкиваемся в школьном курсе стереометрии при рассмотрении объема усеченной пирамиды. Формула получена Героном. Как вы уже успели заметить, при рассмотрении предыдущей лекции мы ни разу не упомянули женщинматематиков. Попытаемся исправить допущенную ошибку. Наибольшую известность среди женщин-математиков приобрела Гипатия из Александрии. По описанию историков, она была женщиной необыкновенной красоты и большого ума. Ее отец – Теон Александрийский, крупный ученый-математик, написавший толкования к астрономическому сочинению Птолемея и на знаменитые геометрические «Начала» Евклида, о которых мы уже говорили. Образование Гипатия получила под руководством своего отца – ученого Александрийской школы. Помимо математики Гипатия занималась философией и астрономией. Ее сочинения до нас не дошли. Но хорошо известно, что Гипатия написала обстоятельные комментарии по теории конических сечений Аполлония Пергского и на алгебраические сочинения Диофанта Александрийского. Кроме того, ею составлен ряд работ по философии и астрономии. Утверждают, что Гипатие принадлежит часть изобретения ареометра – прибора для 10 определения плотности жидкости, астролябии – прибора для определения широт и долгот в астрономии. Ей же принадлежит и изобретение планисферы – прибора для изображения небесной сферы на плоскости, по которому можно вычислять восход и заход небесных светил. Около 400 года Гипатия была приглашена читать лекции в знаменитую Александрийскую школу. Она возглавила кафедру философии, одну из ведущих кафедр школы. Лекции она читала при большом стечении слушателей. Слава о ней разнеслась далеко за пределы Александрии. Свои лекции Гипатия обычно начинала с изложения избранных вопросов математики, затем переходила к ее приложениям и другим наукам, совокупность которых составляла древнюю философию. На поклон к женщине-философу и математику со всех концов империи стекались ученые, чтобы приобщиться к источнику красоты и ума. Эта растущая в народе популярность язычницы Гипатии не нравилась архиепископу Кириллу, и он решил уничтожить ее. Кирилл натравил на Гипатию монахов и те, подкараулив ее у дома, набросились на Гипатию и поволокли ее в церковь. Там, под сенью распятого Христа, изодрав в клочья всю одежду, несчастную изуродовали обломками черепиц и битых сосудов. Затем тело мученицы волочили по улицам Александрии. Когда порыв бешенства толпы немного утих, тело Гипатии было разрублено на куски и сожжено на костре. С гибелью Гипатии Александрийской, по утверждению историков, фактически закатилось солнце древнегреческой математики. Гипатия была ее последней представительницей. «После этих последних вспышек пламя греческой математики погасло, как догоревшая свеча», – писал Ван дер Варден в книге «Пробуждающаяся наука». Судьба Гипатии сделала ее героиней романа Чарльза Кингсли. Много интересных исторических фактов известны и о развитии математики в России, и чувство патриотизма не позволяет нам уйти от рассмотрения этого вопроса. Глава 1.2. Зарождение математики в России Следы занятий русских геометрией были обнаружены археологами в рукописях по землемерию XVI века. Российская математика этого периода шла ложным путем, считая площади 11 фигур равными, если равны их периметры. И все это применялось для определения площадей земельных участков. В дальнейшем движении математических знаний больше внимания было обращено на арифметику, из геометрии же заимствовались только немногие сведения, нужные для землемерия. К землемерию присоединялись еще и некоторые другие вопросы практической геометрии (расстояние между двумя местами, расстояние от места до наблюдателя, высота предмета, определение численности войска по занимаемому им месту) и практической стереометрии (объем житниц и вместимость бочек). Способы их решения далеки от научной геометрии. История указывает на тот факт, что до начала XVIII века занятия русских математическими науками происходили без всякого вмешательства государства и вполне согласовались с особенностями национального умственного склада. Но в 1701 году в Москве была учреждена Школа математических и навигационных наук, в которой должны были заниматься геометрией в не меньших размерах, чем и арифметикой. Эта школа была первым в мире учебным заведением реального образования, и открыта она была14 января 1701 года по указу Петра I. В 2001 г. в России очень широко отмечалось 300-летие первого образовательного учреждения, занимающегося подготовкой специалистов. Перед этим заведением была поставлена задача готовить специалистов военного и морского дела. Часть выпускников этой школы назначались учителями математики. Реальное образование развивалось параллельно и в противоборстве с классическим (теоретическим). Этот период развития математики в России – это период царствования Петра I. В 1703 г. Леонтием Магницким была написана «Арифметика, сиречь наука числительная», а в 1708 г. появляется «Геометрия славянского землемерия» или «Приемы циркуля и линейки…», учебник был предназначен для изучения практической геометрии. Большинство считает «Арифметику» Магницкого своего рода энциклопедией по математике того времени. Так как в книге содержатся материалы по технике, использованы зарубежные источники. Здесь представлены пропорции руд, способы определения количества металлов в сплавах, расчеты передач и их узлов, техника металлургии, кораблестроения, кораблевождения, металлообработки и т.д. Более того, именно в 12 этой «Арифметике» впервые появились термины: «делимое», «делитель», «частное». Другие считают, метод изложения в ней такой, что требовал только заучивания наизусть правил и схем их приложений к частным примерам. И это не способствовало развитию науки. Но история представляет нам и другие факты, когда, благодаря обучению по этому учебнику, из Школы математических и навигационных наук выходили хорошо подготовленные геодезисты и гидрографы. Наблюдения и измерения, произведенные вышедшими из школы геодезистами и гидрографами, доставили материалы для издания в 1726–1734 гг. первой «Гениальной карты» всей России и первого атласа, озаглавленного как «Атлас Российской Империи», состоящий из 14 карт. Атлас остался неоконченным «по истощении денежных средств» у предпринявшего его издание частного лица Ивана Кириллова. Итак, еще раз напомним, что становление математического образования в России приходится на эпоху царствования Петра I и связано с его именем. У поэта Евгения Винокурова есть такие строки: «О, Петр, ведь, ты построил город Не для умерших – для живых?... Тяжелый дождь бежит за ворот Окаменевших часовых. Недвижимы аллеи парков. Прямы проспекты, как стрела. Сильней божественных монархов Здесь геометрия была. Был нежен в башнях цитадели И кроток лепет голубиц… И, страшные, на мир глядели В окно глаза цареубийц. Гуляют каменные финны. Курятся трубки из бород. Вот и построили Афины Средь топей северных болот! Налево львы. И львы направо. А у заставы инвалид. Штык держит вертикально прямо, Как геометрия велит». 13 РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Глава 2.1. Причины возникновения аналитической геометрии В предыдущем разделе мы рассмотрели историю возникновения геометрии – науки, изучающей поведение и свойства фигур на плоскости и в пространстве. Но в курсе вузовской математики существует еще и другая геометрия – аналитическая. Эта геометрия устанавливает свойства линий и кривых и описывает эти кривые и их свойства с помощью формул, т. е. аналитически. Возникает вопрос: «Когда возникла аналитическая геометрия?» Возникла она в первой половине XVII века. Коль мы сказали о формулах, задающих кривые и линии, то тем самым указали на связь между алгеброй и геометрией. Т. е. аналитическая геометрия – раздел, позволяющий изучать геометрические объекты методами алгебры. Что послужило причиной развития математики в этом направлении? Дело в том, что идеи Архимеда и других корифеев математики нельзя было развивать дальше без расширения понятия числа, без введения символики, идеи переменных величин и движения. Но такое революционное преобразование в математике требовало не только длительного времени, но и, главным образом, внешних факторов. История убеждает нас в том, что первоочередной причиной в этом направлении явилось открытие Америки в 1492 г. и морского пути в Индию в 1498 г. Эти события повлекли бурное развитие производства, торговли, мореплавания и поставили задачи составления географических карт, определения места корабля в море и др. После падения Константинополя в 1453 г., когда Византийская империя перестала существовать, многие ученые греки переселились в города Запада. Возрос интерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот интерес. Профессора университетов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые 14 мастера счета не оставались в стороне и старались понять эту новую науку на свой манер. Это тот период, когда закончился перевод с греческого языка книги Архимеда «О различных треугольниках». Развитию аналитической геометрии предшествовали идеи Галилея и открытия Коперником законов движения планет. Т. е. разработка новой механики, в которой нуждалось, впрочем, и военное дело, в частности, баллистика, исследующая законы движения пуль и снарядов. Все эти вопросы науки и техники поставили перед математикой ряд новых задач, неразрешимых старыми средствами и методами. Более мощный импульс в развитии аналитической геометрии дала работа Рене Декарта «Геометрия», которая была опубликована им в 1637 г. Рене Декарт (1596 –1650 гг.) был родом из Турени – местечко во Франции. Рисунок 2.1. Рене Декарт (1596 –1650 гг.) Он писал о себе: «Я родился от матери, которая умерла вскоре после моего рождения от болезни легких, причиненной некоторыми огорчениями. Я наследовал от нее сухой кашель, бледный цвет кожи, какие и имел до двадцатилетнего возраста, так что врачи предсказывали мне раннюю смерть». Спасла его кормилица-нормандка, которую он нежно любил и, став взрослым, положил ей пожизненную пенсию. Потом в одной из лучших коллегий, основанных еще Генрихом IV, его воспитанием занялись иезуиты. Парадоксально, но именно иезуиты, его будущие заклятые враги, стали его учителями. Строгими, справедливыми, умными, даже чуткими. Они разрешали хилому, болезненному мальчику вставать позднее других учеников. Он усвоил эту привычку на всю жизнь и считал утренние часы в постели самыми плодотворными для размышлений. Рене не любил учиться, и в 17 лет его увлекали лишь верховая езда и 15 фехтование. Затем с камердинером и лакеями он приезжает в Париж. Там он вел жизнь дворянина, некоторое время служил в армии, затем в течение многих лет жил в Голландии. Он уже отмечен неожиданным и гениальным прозрением. «10 ноября 1619 года, – пишет он в своем дневнике, – я начал понимать основания чудесного открытия». Речь идет об основах аналитической геометрии – нового, рожденного им раздела математики. Исследователи жизни Декарта пишут, что он был неприятный человек, капризный, завистливый. Не терпел, когда хвалили других. О Галилее писал: «…люди, знающие меня, скорее допустят, что он заимствовал от меня, чем обратное». Недолюбливал Торричелли, Паскаля, писал оскорбительные письма Ферма, Если упоминал работы других ученых, никогда на них не ссылался. Кажется, одного Гарвея признавал. Правда, предсказал Гюйгенсу блестящее будущее, но это не в счет, это – в частном письме. Сам же наслаждался, когда его называли «единственным Архимедом нашего века», «Атласом вселенной», «могущественным Геркулесом». И все-таки часто тайно мучился сомнениями в своих силах, в своем призвании. Его «Геометрия» включила в алгебру всю область классической геометрии. И согласно общепринятой точке зрения, заслуга книги Декарта состоит, главным образом, в создании аналитической геометрии, но рассмотрение ею мы начнем после изучения элементов векторной алгебры. Глава 2.2. Элементы векторной алгебры Вектор – относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» (от лат. vector – «несущий») впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805–1865)гг. в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа, о которых мы говорили в первой лекции. Гамильтону принадлежат уже известные вам из курса элементарной математики термины «скаляр», «скалярное произведение». Именно Гамильтон ввел пока для вас неизвестный термин «векторное произведение». Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. С подобными объектами можно встретиться в 16 самых разных областях математики и физики. Но приступив к изучению курса высшей математики, Вам предстоит столкнуться с объектами, представляющими собой списки, имеющие другой определенный смысл. В экономике таковы, например, прейскуранты цен, т. е. списки цен различных товаров; объемы продукции различных видов, выпущенных предприятием за квартал и тому подобное. Математическим образом списка такого типа является вектор. Векторы широко используются во всех областях науки, в том числе экономической. Дело в том, что многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности. Вспомните разговор о матрицах (первая лекция, глава 1.4), там мы говорили о векторстолбце и вектор-строке. В элементарной математике вектор – направленный отрезок. На плоскости вектор характеризуется двумя координатами, в пространстве тремя, которые соответственно → → записываются в виде: a (a1 , a 2 ) ; или a (a1 , a 2 , a3 ) . Поэтому понятие «вектор» может обозначать упорядоченный набор не только чисел, но и любых объектов, т. е. когда 1-ая компонента вектора обозначает (или есть) элемент некоторого множества A , 2-ая компонента – элемент некоторого множества B и т. д. Пример 1. Пусть завод производит продукцию видов: M – мужские велосипеды; L – женские велосипеды; D – детские велосипеды. Тогда, обозначив за V – объем его производства за 2010 год, можно составить вектор объема производства V = (M; L; D). Аналогично можно определить n – мерный вектор как любую последовательность из n - действительных чисел и → записывать его в виде: a = (a1 , a 2 ,..., a n ) , где a1 , a 2 ,..., a n - координаты вектора, число n – размерность вектора. Геометрический смысл имеют только одномерные, двухмерные, трехмерные арифметические векторы. Первые изображаются отрезками на числовой прямой, вторые – на координатной плоскости, третьи – в координатном пространстве. Аналогично векторам пространства и плоскости над nмерными векторами можно производить действия. Рассмотрим их. 17 → → Два вектора a и b с одним и тем же числом координат считают равными, если равны их соответствующие координаты. Суммой (разностью) двух векторов с одинаковым числом координат называют вектор, координаты которого равны сумме (разности) координат соответствующих векторов: → a = (a 1 , a 2 ,..., a → n ); → b = (b1 , b 2 ,..., b n ) , → a + b = (a1 + b1 , a 2 + b 2 , + ...+, a n + b n ) . Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Для двух → → → → коллинеарных векторов a и b выполняется условие a = k ⋅ b → → или b = k ⋅ a . Практически распознать коллинеарность совсем просто: координаты одного вектора должны быть пропорциональны координатам второго вектора. Например, заданы векторы: → → → a ( 4 ; 9 , − 2 ) , b (12 ; 27 ; − 6 ) и c ( 8 ; 18 ; 0 ) . Выяснить, какие из них коллинеарны. → Так как пропорциональны координаты только векторов a и → b, т. е. 4 9 −2 = = , 12 27 − 6 то только эти векторы будут коллинеарными. Для других пар векторов пропорциональность векторов не соблюдается, значит, они не коллинеарны. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Следует отметить, что коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Что же касается выяснения вопроса компланарности векторов, то так просто, как с коллинеарностью, здесь не получится. Ниже мы выясним, как по координатам векторов определить, будут ли они компланарными. Для этого мы познакомимся с новым видом произведения векторов, и из свойств этого произведения узнаем, как по координатам будет выясняться вопрос компланарности векторов. На помощь нам придут определители третьего порядка и способы их вычисления, о которых мы говорили в главе 1.6 первой лекции. 18 Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули (длины). Длину вектора, заданного своими координатами, вычисляют по формуле: → a = a12 + a 22 + ... + a 2n . (2.1) Значит, векторы, имеющие одинаковые длины, но противоположно направленные, не будут равными! Произведением вектора → a = (a1 , a 2 ,..., a n ) на число k ≠ 0 → называют вектор k a = (ka1 , ka 2 ,..., ka n ) . Множество всех n – мерных арифметических векторов, в котором введены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим n – мерным векторным пространством и обозначается R n . Еще раз подчеркнем, что при n > 3 пространство является чисто математическим объектом, удобным для описания реальных процессов. Рассмотрим, какие действия над векторами можно производить. Теорема. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов: → → → a = k1 ⋅ a 1 + k 2 ⋅ a 2 . Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом пространства называют любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Теорема. Любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов и причем единственно: → → → → a = k1 ⋅ a 1 + k 2 ⋅ a 2 + k 3 ⋅ a 3 , k i ∈ R , i = 1,2,3. Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой-либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки – начала отсчета (начала 19 координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М (рис. 2.2). Рисунок 2.2 → Вектор OM назовем радиус-вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиусвектора. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат, и не лежащие в одной плоскости, называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось аппликат Вероятно, нет необходимости напоминать, что систему называют в честь Р. Декарта. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки A( x1 , y1 , z1 ) и B(x 2 , y 2 , z 2 ) , то → AB = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ). Базис называется ортонормированным (при n = 2, 3 , если его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны), и их модули равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. 20 Если заданы две точки в пространстве A( x1 , y1 , z1 ) и B( x 2 , y 2 , z 2 ) , то длина вектора определяется по формуле: AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .(2.2) Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Если точка M( x, y, z) делит отрезок AB (рис. 2.3) в соотношении µ / λ , то координаты этой точки определяются формулами: x= µx1 + λx 2 µy + λy 2 µz + λz 2 ;y= 1 ;z = 1 . (2.3) µ+λ µ+λ µ+λ Рисунок 2.3 В частном случае, если точка M( x, y, z) – середина отрезка AB , то координаты середины отрезка находятся как: x= x1 + x 2 y + y2 z + z2 ;y= 1 ;z = 1 . (2.4) 2 2 2 Из школьного курса вам известны действия над векторами, заданными своими координатами. Напомним правила, по которым эти действия выполняются. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат → → a (a1 , a 2 , a 3 ), b (b1 , b 2 , b 3 ), тогда → → → a + b = c (a1 + b1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b3 ) . (2.5) Т. е., при сложении векторов с заданными координатами их соответствующие координаты складываются. Пусть k ≠ 0 , тогда → k ⋅ a = (k ⋅ a1; k ⋅ a 2 ; k ⋅ a 3 ) . (2.6) Т. е., при умножении вектора на число не равное нулю, каждая его координата умножается на это число. Пример 2. Объем выпуска велосипедов первого завода соответственно мужских, женских и детских в 2009 г. составил V1 = (1000;800;600) , аналогичная продукция, выпущенная вторым 21 заводом, в этом же году составила V2 = (1230;870;500) , тогда объем продукции, выпущенной двумя заводами, составит V = V1 + V2 = (2230;1670;1100) . Реализовать эту задачу средствами пакета MS Excel – означает ввести данные векторов V1 и V2 в ячейки, как например, на рис. 2.4. Для подсчета суммы векторов в ячейке В3 необходимо, выделив ячейку В3, кликнуть на значок (сумма) панели инструментов. По умолчанию будет предложен к суммированию диапазон В1:В2. Нажатием клавиши Return (Enter) на клавиатуре подтвердить диапазон. Рисунок 2.4 Итогом будет 2230 – содержимое ячейки В3. Чтобы скопировать формулу для других слагаемых, достаточно «протянуть» маркер Автозаполнения (он всегда расположен в правом нижнем углу рамки выделения ячейки) на нужное число клеток (в нашем случае включая ячейку D3), рис. 2.5. Рисунок 2.5 → → Пример 3. Если векторы a и b являются записями объемов n видов продукции, выпущенной предприятием соответственно в → → первом и втором кварталах, то вектор a + b представляет собой запись объемов выпуска предприятием этих видов продукции за → → полугодие, а вектор b − a показывает рост объемов выпуска продукции во втором квартале по сравнению с первым. 22 Пример 4. Если по условию примера 2 в 2010 году первый завод удвоил выпуск объемов продукции, то это означает, что вектор V2010 = (2000;1600;1200) . Для реализации этой задачи в Excel необходимо прописать формулу, например, в ячейке В2. Мы уже говорили ранее, что ввод формулы начинается вводом знака равно, т. е. =В1*2, рис. 2.6. Нажав на клавишу Return (Enter) на клавиатуре, подтверждаем действие и скопируем формулу для других ячеек, рис. 2.7. Рисунок 2.6 Рисунок 2.7 Пример 5. Известны векторы заработной платы семи работников за январь 2010 г. → a = ( 500 ; 190 ; 160 ; 210 ; 300 ; 270 ; 310 ) и за февраль → b = (380 ; 190 ; 170 ; 150 ; 230 ; 250 ; 300 ) . В марте 2010 г. этим работникам предоставили отпуск, заплатив им по среднему заработку за январь и февраль. Найти → вектор c – вектор заработной платы этих работников за март. Введем заработные платы работников в ячейки как на рис. 2.8. Рисунок 2.8 Для подсчета среднего значения воспользуемся функцией СРЗНАЧ категории Статистические, рис. 2.9. 23 Рисунок 2.9 Применив формулу для ячейки С2, скопируем ее для других ячеек. Результат представлен на рис. 2.10. Рисунок 2.10 → → Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов. Такое определение скалярного произведения векторов вам известно из школьного курса геометрии. По аналогии определяется скалярное произведение n мерных векторов. Пусть два вектора заданы своими координатами: → → a (a1 , a 2 , ..., a n ) и b (b1 , b 2 , ..., b n ) . Тогда по определению скалярного произведения: → → a o b = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b2 + ... + a n ⋅ bn . (2.7) Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. → → → → a o b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ . (2.8) 24 Для векторов пространства в декартовой прямоугольной системе координат из равенств (2.7) и (2.8) получаем формулу для вычисления косинуса угла между векторами: cos ϕ = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 a12 + a 22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32 . (2.9) Скалярное произведение векторов имеет экономический смысл. Рассмотрим его, руководствуясь мыслью И.Ньютона о том, что при изучении наук примеры полезнее правил. Пример 6. Пусть имеется n различных товаров. Количество i -ого товара обозначим x i , тогда некоторый набор товаров обозначается X = (x1 , x 2 ,...x n ) , т. е. является n –мерным вектором. Тогда множество всех товаров назовем пространством товаров C . Это множество является пространством, потому что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Предполагая, что каждый товар имеет цену и она строго положительна, обозначив за pi – цену i -ого товара, можно составить вектор цен P = (p1 , p 2 , ..., p n ) . Тогда скалярное произведение векторов Po X = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 +...+ pn ⋅ xn будет числом, называемым ценой набора, или его стоимостью. Значит, если торговый центр продал за месяц соответственно заданное число кофеварок разных фирм, что определено вектором X = (8;11;43;79) , со стоимостью единицы товара каждой из фирм, определяемой вектором P = (4200;3450;2700;3100 ) . Тогда стоимость проданных торговым центром кофеварок за месяц может быть найдена как скалярное произведение данных векторов. Для реализации этой задачи расположим данные объемов продаж и стоимости единицы объема как на рис. 2.11. Рисунок 2.11 25 Для вычисления скалярного произведения в ячейке В3, воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ категории Математические, рис. 2.12. Указав в открывшемся диалоговом окне ввода аргументов диапазоны В1:Е1 и В2:Е2, рис. 2.13, нажав на ОК в диалоговом окне, получим результат., который будет отображаться в ячейке В3. Рисунок 2.12 Рисунок 2.13 → → Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Это утверждение называют признаком перпендикулярности векторов. 26 Оно играет большую роль для выяснения вопроса о перпендикулярности векторов, заданных своими координатами. → → → → Например, векторы a и b имеют координаты: a (−3; 4; 1) , b (2; 1,5; 0) . Проверим, будут ли они ортогональными. Для этого вычислим скалярное произведение этих векторов, как сумму произведений соответствующих координат: → → a o b = (−3) ⋅ 2 + 4 ⋅ 1,5 + 1 ⋅ 0 = 0 . Следовательно, векторы будут перпендикулярными. В курсе математики мы постоянно проводим мысль о том, что математика в вузе носит прикладной характер, она помощница в освоении других курсов. Так, в курсе «Статистика» Вы столкнетесь с ситуацией определения индекса цены, инфляции. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из 300 видов товаров и услуг, получаемых городскими (или сельскими) потребителями. Рассмотрим пример. Пример 7. В таблице 2.1 приведены данные по отдельным видам товаров и их расходам в двух соседних месяцах. Вид товара Количество Яйца Хлеб Обувь Общие расходы 3 10 2 - Цена ед. товара в текущем месяце 4000 2000 4000 - Расходы в текущем месяце 12000 20000 8000 40000 Таблица 2.1 Цена ед. Расходы в товара в предыдущем предыдущем месяце месяце 3500 10500 1800 18000 4500 9000 37500 Рассмотрим, как можно вычислить индекс цен для определенного месяца по отношению к предыдущему месяцу. Для этого мы должны найти отношение расходов в текущем месяце к расходам предыдущего месяца и выразить это отношение в процентах, т. е. 40000 ⋅ 100% = 106,7% . 37500 27 Таким образом, индекс инфляции составил 6,7% . Если → обозначить через q (3; 10; 2) – вектор количества потребляемых → товаров; c (4000; 2000; 4000) – вектор цен в текущем месяце; → c пр (3500; 1800; 4500) – вектор цен в предыдущем месяце. Тогда индекс цен вычисляется по формуле: → p= → co q → → ⋅ 100%. c пр o q Индекс инфляции рассчитывается по формуле → i = p − 100% = → co q → → ⋅ 100% − 100%. c пр o q Решите эту же задачу, пользуясь возможностями пакета MS Excel. Итак, скалярное произведение векторов – хороший помощник в решении экономических задач. Но настало время познакомиться с еще одним произведением векторов – векторным. Для введения векторного произведения векторов необходимо также определить понятие упорядоченной тройки векторов. Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым, какой – → → третьим. Например, в записи ( a , b → → → c ) вектор a считается → первым, вектор b – вторым, вектор c – третьим. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (они не лежат в одной плоскости или не лежат в параллельных плоскостях) называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка некомпланарных векторов называется левой. → → Векторным произведением векторов a и b называется → вектор c (рис. 3.13), удовлетворяющий следующим условиям: → → → →∧→ 1. c = a ⋅ b ⋅ sin( a ; b ) (2.10) → → → 2. вектор c перпендикулярен (ортогонален) векторам a и b ; 28 → → → 3. векторы a , b и c образуют правую тройку векторов, если → смотреть с конца вектора c (рис. 2.14). → → → Векторное произведение обозначается так: c = a × b , или → → →  c = a ; b .   Рисунок 2.14 Отметим, что в случае скалярного произведения векторов, сомножители можно переставлять местами и результат не меняется. Для векторного произведения векторов перестановка местами сомножителей приведет к смене знака векторного произведения. Отметим и другие свойства векторного произведения векторов: → → → → → → 1. a× b = − b× a ; → → → → 2. a× b = 0 , если a коллинеарен b или a = 0 или b = 0 . (Т. о., равенство нулю векторного произведения векторов является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов); → → → → → → 3.  m ⋅ a  × b = a×  m ⋅ b  = m ⋅  a× b ;  →  →  → → →  →   →   a ×  b + c  = a× b + a × c ;   → → 4. Если заданы векторы a (a 1 , a 2 , a 3 ) и b (b1 , b 2 , b3 ) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами r b → → → i , j , k , то 29 → → → i j k a× b = a1 b1 a2 b2 → → a3 . b3 5. Геометрический смысл векторного произведения векторов → заключается в том, что длина вектора c , являющегося векторным произведением векторов, равна площади параллелограмма, → → построенного на этих векторах a → → и b , т. е. (по рис. 2.14) → c = a x b = S парал. Далее мы будем рассматривать ряд задач, связанных с нахождением векторного произведения векторов, в которых предстоит находить произведение базисных векторов. Рассмотрим, как это делать. Согласно определению векторного произведения и → → → свойствам 1 и 2 векторов, для базисных векторов i , j , k получаем следующие равенства: → → → → → → → → → → → → → → i × i = 0; i × j = k ; i × k = − j ; → → → → → → → j× i = − k ; j× j = 0; j × k = i ; → → → k× i = j ; k× j = − i ; k× k = 0. Пример → 8. Найти векторное произведение векторов → a = (2; 5; 1) и b = (1; 2; − 3). Для решения задачи воспользуемся свойством 5 этой главы и правилами вычисления определителей. Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки. → → → i j k → → →5 1 →2 1 →2 5 a× b = 2 5 1 = i −j +k = 2 −3 1 −3 1 2 1 2 −3 → → → = −17 ⋅ i + 7 ⋅ j − k . Из решения видно, что векторным произведением векторов → → → a = (2; 5; 1) и b = (1; 2; − 3) стал вектор c = (−17; 7; − 1). Пример 9. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(2; 2; 2) , B(4; 0; 3) , C(0; 1; 0). 30 Для решения найдем координаты векторов (из координат конца вычитаем координаты начала вектора): → → AC = (0 − 2; 1 − 2; 0 − 2) = (− 2; − 1; − 2) ; AB = (4 − 2; 0 − 2; 3 − 2) = (2; − 2; 1). Вычислим векторное произведение найденных векторов, воспользовавшись свойством 5 этой главы. → → i → → AC× AB = − 2 2 → − j⋅ → → j k → −1 −2 −1 − 2 = i ⋅ − −2 1 −2 1 − 2 − 2 → − 2 −1 → +k⋅ = i ⋅ (−1 − 4) − 2 1 2 −2 → → → → − j ⋅(−2 + 4) + k ⋅(4 + 2) = −5 i − 2 j + 6 k . И снова, как и в примере 8, получили, что векторным → произведением векторов является вектор c = (−5; − 2; 6) . Найдем длину вектора, являющегося векторным произведением векторов, воспользовавшись формулой (2.1), тогда → → AC× AB = (−5) 2 + ( −2) 2 + 62 = 25 + 4 + 36 = 65 Итак, определив длину вектора, являющегося векторным → → произведением векторов AC× AB , по свойству 6, мы определили → → площадь параллелограмма, построенного на векторах AC и AB . Она равна 65 . Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине площади параллелограмма. А, значит, S∆ = 65 (кв.ед.) 2 Пример 10. Фирма продает изделия по ценам, которые → характеризуются вектором p = (10; 21; 15; 17) , а объемы продаж по → регионам определяются вектором q = (300; 150; 100; 180) . Найти прибыль, если издержки на реализацию составляют 1000 ден. ед. Вы уже сообразили, что суммарная выручка от продаж → → фирмы определяется скалярным произведением векторов p и q , находим ее: 31 → → p o q = 10 ⋅ 300 + 21 ⋅ 150 + 15 ⋅ 100 + 17 ⋅ 180 = = 10710 ден.ед. Прибыль фирмы равна разности между выручкой от продаж и издержками на реализацию: суммарной P = 10710 − 1000 = 9710 ден.ед. Предлагаем вам решить эту задачу в Excel. Пример 11. Коммерческий банк, участвующий в строительстве автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20; 40 и 40 млрд. руб. под годовую процентную ставку 40; 25 и 30%. Какую сумму должен уплатить управляющий коммерческим банком по истечении года за взятые кредиты у трех банков? Речь идет о двух векторах. Трехмерном векторе кредитов → m (20; 40; 40) и трехмерном векторе процентных ставок → p (40; 25; 30) . Используя простой расчет, управляющий может определить, что по истечении года ему придется платить за кредиты сумму, определяемую скалярным произведением векторов: S = 20 ⋅ 1,4 + 40 ⋅ 1,25 + 40 ⋅ 1,3 = 130 млрд. руб. Надеемся, что Вы помните, понятие процента как одной сотой части числа. Итак, Вы вспомнили известное из школьного курса понятие скалярного произведения векторов. Выяснили, что оно имеет экономический смысл. Вспомнили, что в математике, а также и в экономике результатом скалярного произведения векторов будет число. Сейчас Вы узнали о существовании векторного произведения векторов. Но результатом векторного произведения векторов является вектор, и Вы убеждались в этом на практических задачах. Далее, рассмотрев геометрический смысл векторного произведения векторов, узнали, что длина (модуль) вектора, являющегося результатом векторного произведения векторов, численно равна площади параллелограмма, 32 построенного на этих векторах. Далее Вы познакомитесь с еще одним видом умножения трех векторов – смешанным произведением векторов. → →→ Смешанным произведением векторов a , b, c называется → число, равное скалярному произведению вектора a на векторное → → произведение векторов b и c . → → → Смешанное произведение векторов обозначается a ⋅ b⋅ c или → → →  a ; b; c .   Следовательно, из предыдущего определения и формулы (2.8) получим: → → → → → →  a; b ; c  = a ⋅ b× c ⋅ cos ψ , (2.11)   → → → где ψ - угол между векторами ( a× b ) и c . Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения векторов. Теорема. Смешанное произведение векторов → → → a o ( b× c ) → →→ равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b, c , → →→ взятому со знаком (+), если тройка a , b, c – правая, со знаком (-), → →→ → →→ если тройка a , b, c – левая. Если же векторы a , b, c компланарны, то смешанное произведение векторов равно нулю. Из теоремы легко выводится тождество → → → → → → a o ( b× c ) =  a × b  o c .   (2.12) Из формулы (2.12) видно, что если смешанное произведение векторов не равно нулю, то его знак совпадает со знаком cos ψ . Поэтому можно говорить, что смешанное → произведение векторов положительно, если вектор c направлен → → → → в ту же сторону от плоскости векторов a , b , что и вектор a × b , → →→ т. е. тройка векторов a , b, c – правая. Смешанное произведение векторов отрицательно, когда → вектор c → → и вектор ( a× b ) направлены в противоположные 33 → → стороны от плоскости векторов a , b , т. е., когда тройка векторов → →→ a , b, c – левая. → →→ По трем векторам a , b, c , исходящим из одной точки, построим параллелепипед, рис. 2.15. c a×b b a Рисунок 2.15 Рассмотрим свойства смешанного произведения векторов. 1. Смешанное произведение векторов равно нулю, если: а) хотя бы один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны (если векторы лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях). 2. При циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, т. е. → → → → → → → → →  a; b ; c  =  b ; c ; a  =  c ; a; b      .  3. При перестановке двух соседних сомножителей знак смешанного произведения меняется на противоположный, т. е. → → → → → → → → → (a; b; c)=(b; c; a )=(c; a; b)= → → → → → → → → → = − ( b ; a ; c ) = − ( c ; b ; a ) = − ( a ; c ; b ). → → →   →  → → →  → → → λ ⋅ a + µ ⋅ a ; b ; c = λ ⋅ a ; b ; c + µ ⋅ 1 2 1      a2 ; b; c    .    4. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами → → → равен одной шестой построенного на этих векторах. a ; b; c 34 объема параллелепипеда, Vпирамиды = 1 → → → ⋅  a ; b; c  . 6   (2.13) 5. Если заданы векторы → → → a (a1 , a 2 , a 3 ) , b (b1 , b 2 , b3 ) , c (c1 , c 2 , c3 ) , то r b a1 → → →  a ; b ; c  = b1   c1 a2 b2 a3 b3 . c2 c3 (2.14) Итак, свойство 6 смешанного произведения векторов снова позволит нам привлечь возможности электронных таблиц MS Excel или Calc, т. к. смешанное произведение трех векторов – это число, равное определителю третьего порядка, составленное из координат этих векторов. Пример 12. Найти объем параллелепипеда, построенного на → → → векторах a (1; − 1; 1) , b (1; 1; 1) , c (2; 3; 4). По теореме, объем параллелепипеда, построенного на → →→ → →→ векторах a , b, c , равен смешанному произведению векторов a , b, c . Для определения смешанного произведения воспользуемся формулой (2.14) и пакетом MS Excel, рис. 2.16. Функция МОПРЕД позволила найти объем параллелепипеда, он равен 4 куб. ед. Рисунок 2.16 Кроме того, по знаку числа, получившегося в смешанном произведении векторов, можно делать вывод, что тройка векторов правая, т. к. число получилось положительное. 35 Пример 13. Доказать, что точки A(5; 7; - 2) , B(3; 1; - 1) , C (9; 4; - 4) , D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Для доказательства того, что четыре точки лежат в одной плоскости, докажем, что три вектора компланарны (свойство 1 смешанного произведения векторов). Значит, задача сводится к определению смешанного произведения векторов. Если оно будет равно нулю, то векторы будут компланарны, и четыре точки лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов (из координат конца вектора необходимо вычесть координаты начала вектора): → → → AB (− 2; − 6; 1), AC (4; − 3; − 2 ), AD (− 4; − 2; 2 ) . Вычислим смешанное произведение полученных векторов, воспользовавшись формулой (2.14): → → −2 −6 → 1 −2 −6 ( AB; AC; AD ) = 4 − 3 − 2 = 0 −4 −2 2 1 − 15 0 = 10 0 0 −6 1 = 0 − 15 0 = 0. 10 В этом случае не было необходимости прибегать к вычислению определителя средствами электронных таблиц. Мы умножили третий столбец на 2 и прибавили его к первому столбцу. В результате получили, что первый столбец нулевой, а тогда по свойству определителя, имеющего нулевой ряд, он будет равен нулю (см. главу 1.6 первой лекции). Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A , B , C и D лежат в одной плоскости. Пример14. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1) , B(2; 3; 5) , C(6; 2; 3) , D(3; 7; 2) . Для решения задачи воспользуемся свойством 5 смешанного произведения векторов. А потому, чтобы найти смешанное произведение векторов, вычислим координаты трех векторов (исходящих из какой-либо из четырех вершин), например, точки B . Тогда → → → BA (− 2;−3;−4 ), BD (1;4;−3), BC ( 4;−1;−2). 36 По свойству 5 смешанного произведения векторов, объем пирамиды равен одной шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах. Вычислим объем параллелепипеда с помощью функции МОПРЕД, (рис. 2.17) он будет равен 120. Тогда объем пирамиды будет равен 20 куб ед. Рисунок 2.17 В случае решения этой задачи вручную для вычисления определителя разложим его по элементам первой строки. −2 −3 −4 1 1 V= ⋅ 1 4 − 3 = (( −2) ⋅ (−1) 1+1 ⋅ (−8 − 3) − 6 6 4 −1 − 2 − 3 ⋅ ( −1)1+ 2 ⋅ ( −2 + 12 ) − 4 ⋅ ( −1)1+ 3 ⋅ ( −1 − 16 )) = = 1 ( 22 + 30 + 68) = 20 (ед.3 ). 6 Итак, мы вычислили объем пирамиды, воспользовавшись смешанным произведением векторов и его свойствами, но из школьного курса геометрии вам известна формула объема пирамиды: V= Sосн. ⋅ h . 3 Так как объем пирамиды мы уже определили, то для нахождения длины высоты h пирамиды, проведенной к грани BCD, найдем площадь этой грани. И снова нам в этом может помочь произведение векторов, но уже векторное. Итак, воспользовавшись свойствами 6 и 5 векторного произведения векторов, получим 37 → → → → i j k → → → → BD×BC= 1 4 − 3 = i (−8 − 3) − j (−2 +12) + k(−1−16) = 4 −1 − 2 → → → = −11i −10 j −17k. Так как длина получившегося вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (свойство 6 векторного произведения векторов), то найдем длину этого вектора, воспользовавшись формулой (2.1). → → BD × BC = = ( − 11 ) 2 + ( − 10 ) 2 + ( − 17 ) 2 = 121 + 100 + 289 = 510 . Sпарал. = 510. Но площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т. е. S ∆BCD = S ∆BCD = Из формулы V = h= S парал 2 . 510 (ед.2 ) 2 Sосн. ⋅ h находим, что 3 3V 3 ⋅ 20 ⋅ 2 120 4 = = = ⋅ 510. (ед.) Sосн 510 510 17 Задача решена: вычислен объем пирамиды, найдена высота к грани. Итак, из всего рассмотренного в этой главе и главе 1.5 первой лекции курса можно делать вывод о том, что векторы можно рассматривать как частный случай матриц. Над любыми векторами и матрицами одинаковой размерности можно производить сложение и вычитание. Можно выполнять по особому правилу умножение матриц, что же касается векторов, то перемножать их можно скалярно – результатом произведения будет число, результатом векторного произведения векторов будет вектор, результатом смешанного произведения векторов будет число. 38 В следующей главе мы приступаем к рассмотрению аналитической геометрии. Глава 2.3. Что изучает аналитическая геометрия? «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать», – гласит известная мудрость. Действительно, умело изготовленные схемы, чертежи и рисунки способны заменить долгие разъяснения. Еще древние заменяли доказательства теоремы геометрическим чертежом, сопровождая его коротким словом: «Смотри!». Но это, видимо, тоже крайность. Не лучше ли использовать все возможности с максимальной выгодой? В этой главе мы приступаем к рассмотрению аналитической геометрии, которая изучает геометрические объекты средствами алгебры на основе метода координат. Данный метод позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие упорядоченную пару чисел, а каждой точке пространства – упорядоченную тройку чисел. Основным инструментом метода координат служит система координат. Мы будем рассматривать только прямоугольную, или декартову, систему координат. Надо сказать, что в трудах самого Декарта нет декартовых координат в современном смысле. Коль мы уже сказали, что аналитическая геометрия изучает геометрические объекты алгебраическими средствами, то простейшим таким объектом является прямая. Рассмотрим, как можно задать прямую на плоскости? Из элементарной математики известно, что всякую линию можно рассматривать как множество точек. Линию на координатной плоскости можно задать уравнением с двумя переменными: y = kx + b и y = kx (эти способы задания прямой вам известны из школьного курса математики). Оба отмеченных случая дают представление прямой с заданным угловым коэффициентом k . В аналитической геометрии известен еще ряд способов представления (задания) прямой. Это такие способы, как: 1. Через точку и заданный направляющий вектор; 2. Через две заданные точки; 3. Через точку и заданный нормальный вектор; 4. Через точку с заданным угловым коэффициентом (о котором мы вели речь). 39 Рассмотрим все перечисленные способы задания прямой, и получим аналитические выражения для каждого из предложенных способов. 2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором Чтобы получить аналитическое представление прямой, проходящей через точку и заданный направляющий вектор, введем ряд определений. → Любой не нулевой вектор a , параллельный прямой l , называют направляющим вектором этой прямой. l r a r b r c Рисунок 2.18 Из этого определения следует, что каждая прямая имеет сколько угодно направляющих векторов и все они коллинеарны (расположены на одной или параллельных прямых, глава 2.2) между собой (рис. 2.18). → → Любой ненулевой вектор n ≠ 0 , перпендикулярный прямой l , называют нормальным вектором этой прямой. r c r d l r b r a Рисунок 2.19 Из этого определения следует, что каждая прямая имеет сколько угодно нормальных векторов и все они коллинеарны между собой (рис. 2.19). Пусть прямая l задана точкой направляющим вектором → a (a 1 , a 2 ) . 40 M 0 (x 0 , y0 ) ) и некоторым По аксиоме стереометрии для любой прямой существуют точки на ней и вне этой прямой. Выберем в качестве такой точки произвольную точку M( x, y) , рис. 2.20 l y M M r a x O Рисунок 2.20 Соединив начало координат с точками M ( x , y) получим радиус-векторы этих точек. Обозначим Вектор точка → → → → и → OM = r M 0 (x 0 , y0 ) , , → → OM 0 = r 0 . параллелен прямой тогда и только тогда, когда M 0 M = r − r0 M ( x , y) лежит на этой прямой. В этом случае вектор → M 0M → коллинеарен вектору a . По признаку коллинеарности векторов их соответствующие координаты пропорциональны. Следовательно, → → M 0M = t a или → → → r − r0 = t a. (2.15) Переменная t в формуле (2.15), принимающая различные числовые значения, называется параметром, а уравнение (2.15) называют векторно-параметрическим уравнением прямой l . → Если подставить координаты точек и вектора a (a1 , a 2 ) в уравнение (2.15), то можно записать это уравнение в виде:  x = x 0 + a 1t ,  y = y0 + a 2 t Уравнения (2.16) уравнениями прямой. Исключим параметр → (2.16) называются t параметрическими из уравнения (2.16). Это возможно, → т. к. вектор a ≠ 0 , и потому хотя бы одна из его координат отлична от нуля. Пусть a1 ≠ 0 и тогда a2 ≠ 0 , t= x − x0 a1 , t= y − y0 a2 и, следовательно, приравнивая правые части двух последних равенств, получим 41 x − x 0 y − y0 = a1 a2 (2.17) Уравнение (2.17) называется каноническим уравнением → прямой с направляющим вектором a (a1 , a 2 ) . Если a 1 = 0 , a 2 ≠ 0 , то уравнения (2.16) примут вид x = x 0 , .   y = y 0 + a 2 t. Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку M 0 ( x 0 , y 0 ) . Каноническое уравнение такой прямой имеет вид x = x0. Если a1 ≠ 0 , a 2 = 0 , (2.18) то уравнения (2.16) примут вид x = x 0 + a 1t , .  y = y 0 Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку M 0 ( x 0 , y 0 ) . Каноническое уравнение такой прямой имеет вид y = y0 . (2.19) Рассмотрим, как можно реализовать теоретические сведения практически. Задача 1. Составить каноническое уравнение прямой, → проходящей через точку M 0 (−1;1) , параллельно вектору a (2;3) . Т. о., прямая описана на плоскости своим положением: она → проходит через точку M 0 (−1;1) и параллельна вектору a (2;3) . Необходимо установить формульную связь между этими данными – вот в чем задача аналитической геометрии в конкретной ситуации. Для решения задачи подставим координаты вектора точки M 0 в уравнение (2.17), получим x +1 y −1 = . 2 3 42 → a и Конечно, можно раскрыть пропорцию и представить прямую в более знакомом вам виде, т.е. 3 ⋅ (x + 1) = 2 ⋅ ( y − 1) , или y= 3 5 x+ . 2 2 Задача 2. Составить каноническое уравнение прямой, → проходящей через точку M 0 (3;−4) , параллельно вектору a (0;5) . Так как первая координата вектора нулевая, то он будет лежать на оси ординат, его длина равна 5. Тогда в соответствии с формулой (2.18) получим x = 3 – искомое уравнение прямой. Графически представить, полученные решения предлагаем Вам самостоятельно. Далее рассмотрим второй способ задания прямой. 2.3.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть даны две точки M1 (x1; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) . Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через эти точки, сведем эту ситуацию к предыдущему способу задания прямой. Раз нам → → заданы две точки, то примем вектор a = M1M 2 за направляющий вектор этой прямой. Каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 (x1; y1 ) и имеющей направляющий вектор (2.17) вид вектора → x − x 1 y − y1 = a1 a2 → → a (a 1 , a 2 ) , имеет в соответствии с формулой . Подставив в это уравнение координаты a = M1M 2 = ( x 2 − x1 ; y 2 − y1 ) , получим x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1 . (2.20) Это уравнение называют уравнением прямой, проходящей через две точки. Если в уравнении (2.20) один из знаменателей обращается в нуль, то для получения уравнения следует приравнять нулю соответствующий числитель. Например, если x 2 − x1 = 0 , то искомым уравнением будет x − x1 = 0 . В этом случае точки M1 и M 2 находятся на одинаковом расстоянии от оси Оу и прямая M1M 2 параллельна этой оси. Часто бывает нужно составить уравнение прямой, проходящей через две точки, одна из которых лежит на оси Ох, другая – на оси Оу. 43 Пусть на осях координат даны точки рис. 2.21. y A (a;0) и B(0; b) , B( 0;b) A(a;0 ) x O Рисунок 2.21 Подставив координаты этих точек в формулу (2.20), получим x−a y−0 . = 0−a b−0 Выполнив преобразования, получим x y + =1. a b (2.21) Это уравнение называют уравнением прямой в отрезках, т. к. числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат. Значит, если будет известно, например, что прямая проходит через точки A(3;0) и B(0;−7) , то уравнение этой прямой в соответствии с формулой (2.21) будет иметь вид: x y − = 1. 3 7 Задача 3. В прошлом году средняя цена данного товара была 30 д.е., а в настоящем году 36 д.е. Найдем зависимость цены товара от номера года, при условии, что тенденция роста цены сохранится, т.е. цена будет увеличиваться ежегодно на одну и ту же величину. Составим прогноз цены на 5 лет вперед. Составим уравнение, связывающее номер года x и цену товара y , как уравнение прямой, проходящей через две данные точки по формуле (2.20) при условии, что A(1;30) и B(2;36) : y − 30 x − 1 = 36 − 30 2 − 1 или 44 y = 6x + 24 . Так как номер прошлого года равен 1, а настоящего 2, то через 5 лет, т. е. при x = 7 цена товара составит y = 6 ⋅ 7 + 24 = 66 д.е. Перейдем к рассмотрению следующего способа задания прямой. 2.3.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть дана некоторая точка точку M0 прямую l l M0 и вектор перпендикулярно вектору → n. → n Проведем через (рис. 2.22). y M l r n M x O Рисунок 2.22 Пусть M - произвольная точка. Точка M лежит на прямой l → в том и только том случае, когда вектор M 0 M перпендикулярен → вектору n , а для этого необходимо и достаточно, чтобы → → скалярное произведение векторов n и M 0 M равнялось нулю (см. → → главу 2.2) n o M 0 M = 0 . Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем координаты точек и вектора. Пусть точки M 0 и M имеют соответственно координаты ( x 0 , y 0 ) и ( x; y) . Тогда для → нахождения координат вектора M 0 M из координат конца вычтем координаты начала, т. е. → M 0M = (x − x 0 ; y − y0 ) . координаты нормального вектора равенство можно записать так: → n A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) = 0 . через Обозначим (A; B) . Теперь (2.22) Уравнение (2.22) есть уравнение прямой l , проходящей через данную точку M 0 ( x 0 ; y 0 ) , перпендикулярно данному → вектору n (A; B) . 45 Задача 4. В треугольнике с вершинами в точках M1 (−5;2) , M 2 (5;6) , M 3 (1;−2) проведена медиана M 1 A 1 . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку A1 , перпендикулярно медиане M 1 A 1 . Т. к. искомая прямая перпендикулярна медиане, то за нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор → → n = M1A1 . Определим его координаты. Точка A1 – середина отрезка M 2 M 3 , поэтому, если (x 1 ; y1 ) – ее координаты, то по формуле (2.4) x1 = 5 +1 6−2 = 3 , y1 = = 2 . Тогда, найдя координаты 2 2 → вектора M 1 A1 (из координат конца вычитаем координаты начала), → → нормальный вектор n = M1A1 имеет координаты (8;0) . Следовательно, искомое уравнение прямой по формуле (2.22) имеет вид 8 ⋅ ( x − 3) + 0 ⋅ ( y − 2) = 0 или x = 3 . Задача 5. Дан треугольник с вершинами в точках A(−3;−1) , B(2;7) , C(5;4) . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину C перпендикулярно стороне AB . Так как прямая должна быть перпендикулярна стороне AB , то за нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор → → → n = AB . Найдем координаты вектора AB по уже известной → формуле n = (2 − (−3);7 − (−1)) = (5;8) . Далее, подставляя координаты → → точки C и координаты вектора n = AB в формулу, получим 5 ⋅ ( x − 5) + 8 ⋅ ( y − 4) = 0 , или, окончательно, 5x + 8y − 57 = 0 . Итак, рассмотрев уже три способа задания прямой, решив целый ряд задач, мы можем заметить, что все они приводят к уравнению прямой одного вида, т.е. вида Ax + By + C = 0 . Поэтому, уравнение вида Ax + By + C = 0 (2.23) называют уравнением прямой общего вида. Рассмотрим последний способ задания прямой. 2.3.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 46 Пусть в декартовой системе координат прямая через точку (рис. 2.23). M0 l проходит параллельно направляющему вектору y r a → a l M α O x N Рисунок 2.23 Если прямая l пересекает ось Ох в точке N , то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол − α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l (имеется в виду угол, меньший 180o ). Этот угол называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох, то угол наклона принимается равным нулю (рис. 2.24). y l α =0 x O Рисунок 2.24 Тангенс угла наклона прямой называют угловым коэффициентом прямой и обычно обозначают буквой k : tgα = k . (2.24) Если α = 0 , то и k = 0 ; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю. Если α = 90o , то k = tgα не имеет смысла; это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу), не имеет углового коэффициента. Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M1 (x1 ; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) и пусть, например, 0 < α < 90 o , а x 2 > x 1 , y 2 > y1 . (рис. 2.25). 47 y M (x ; y ) 2 2 l 2 O M 1 x α ( x1; y1 ) P Рисунок 2.25 Тогда из прямоугольного треугольника M1PM 2 находим k = tgα = M 2 P y 2 − y1 . = M1P x 2 − x1 Итак, k= y 2 − y1 . (2.25) x 2 − x1 Аналогично доказывается, что формула (2.25) верна и в случае 90 o < α < 180 o . Формула (2.25) теряет смысл, если x 2 − x1 = 0 , т. е. если прямая l параллельна оси Оу. Для таких прямых угловой коэффициент не существует. А теперь непосредственно перейдем к рассмотрению вопроса, обозначенного в этом пункте нашей главы. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку M1 (x1 ; y1 ) . По формуле (2.25) угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M1 задана, а в качестве второй точки можно взять любую точку M( x; y) искомой прямой. Если точка M лежит на прямой, которая проходит через точку M1 и имеет угловой коэффициент k , то в силу формулы (2.25) имеем k= y − y1 . (2.26) x − x1 Если же точка M не лежит на прямой, то последнее равенство не выполняется. Следовательно, равенство (2.26) и есть уравнение прямой, проходящей через точку M1 (x1 ; y1 ) с угловым коэффициентом k ; это уравнение обычно записывают в виде y − y1 = k ⋅ ( x − x1 ) . 48 (2.27) Если прямая l пересекает ось Оу в некоторой точке (o; b) , то уравнение (2.27) принимает вид y − b = k ⋅ ( x − 0) , т. е. y = kx + b . (2.28) Это уравнение называют уравнением прямой с угловым коэффициентом k и ординатой b . С этим уравнением Вы знакомы. По ординате b всегда можно определить, в какой точке прямая пересекает ось Оу, по угловому коэффициенту k можно определить тангенс угла наклона прямой с положительным направлением оси Ох. Задача 6. Предложение S и спрос D на муку выражены функциями: S = 0,8p + 0,5 ; D = −0,4p + 1,5 , где p – цена муки – измеряется в долларах, а S и D в центнерах. Найдем рыночную цену муки. (Рыночная цена товара – это цена, при которой его предложение на рынке и спрос на него совпадают). Рыночная цена определяется условием S = D , т. е. является решением уравнения 0,8p + 0,5 = −0,4p + 1,5 и равна p 0 = 0,83 доллара. y Q S D O P x Рисунок 2.26 На рис. 2.26 изображены графики функций S и D . Рыночная цена муки p 0 является абсциссой точки пересечения этих графиков. Заметим, что по оси абсцисс здесь откладывается цена товара p , а по оси ординат – количество товара Q . Задача 9. Фермер взял в банке ссуду в 5000 д.е. под 12% простых годовых. (Простым процентом в банковской практике называют процентные деньги, начисляемые только на основной капитал по истечении каждого установленного договором промежутка времени). Вычислим величину долга фермера через 6 месяцев, через 2 года, через 5 лет. 49 Если на основной капитал B начисляются простые проценты из расчета R % годовых, то процентные деньги за 1 год RB R = rB , где r = . За t лет процентные деньги 100 100 составят rBt . Обозначив наращенную сумму за t лет буквой S , получим, что величина S есть линейная функция от времени t : составят S = rBt + B = B(1 + rt ) . В нашем примере B = 5000 д.е., r = 0,12 . Следовательно, S = 600 t + 5000 = 5000(1 + 0,12t ) . При t = 6 мес.=0,5 года, S = 5000(1 + 0,12 ⋅ 0,5) = 5300 д.е. При t = 2 года S = 5000(1 + 0,12 ⋅ 2) = 6200 д.е. При t = 5 лет S = 5000(1 + 0,12 ⋅ 5) = 8000 д.е. Рассматривая способы задания прямой, мы говорили о прямой на плоскости и четырех способах ее задания. Аналогично вводятся способы задания прямой в пространстве, только везде вводится третья координата точки или вектора, которая называется аппликатой. Например, уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) с → заданным направляющим вектором a (a 1 , a 2 , a 3 ) , по аналогии с формулой (2.17) будет иметь вид: x − x 0 y − y0 z − z0 = = . a1 a2 a3 Рассмотрите самостоятельно оставшиеся способы задания прямой в пространстве и их аналитическое представление. Продолжая рассмотрение аналитической геометрии, перейдем к выяснению вопроса о способах задания плоскости. 2.3.5. Плоскость в трехмерном пространстве Следующим геометрическим объектом, изучаемым аналитической геометрией, является плоскость. Геометрическое трехмерное пространство мы отождествляем с тремя взаимно перпендикулярными осями: Ох, Оу, Оz, пересекающимися в общей точке О. Всякую поверхность в этом пространстве можно рассматривать как некоторое множество точек пространства. Поверхность может быть задана уравнением с тремя переменными f ( x, y, z) = 0 , множество решений 50 которого является множеством координат точек данной поверхности. Иными словами, если некоторая точка M( x, y, z) принадлежит данной поверхности, то ее координаты (x, y, z) удовлетворяют уравнению f ( x, y, z) = 0 . Плоскость в пространстве, как и прямая, может быть задана различными способами, рассмотрим их. Рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Для того чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки M1 (x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , M 3 ( x 3 ; y3 ; z 3 ) в декартовой системе координат. Для того чтобы произвольная точка M(x; y; z) лежала в одной плоскости с точками M1 , M 2 , M 3 необходимо, чтобы три вектора ( x , y, z ) → → → были компланарны. А это означает равенство нулю смешанного произведения этих векторов (см. главу 2.2, свойство 1 смешанного произведения векторов). Найдем координаты этих трех векторов: M 1 M; M 1 M 2 ; M 1 M 3 → M 1 M = ( x − x 1 ; y − y1 ; z − z1 ); → M 1 M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z 1 ); → M 1 M 3 = ( x 3 − x 1 ; y 3 − y1 ; z 3 − z1 ). А так как смешанное произведение векторов задается определителем третьего порядка, составленным из координат векторов, то уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, будет иметь вид: x − x1 x 2 − x1 y − y1 y 2 − y1 z − z1 z 2 − z1 = 0 x 3 − x1 y 3 − y1 z 3 − z1 (2.29) Таким образом, мы снова пришли к определителю третьего порядка, а значит, необходимо вспомнить, как его можно вычислять (см. главу 1.6 первой лекции). Если же задать плоскость двумя точками M1 (x1 ; y1 ; z1 ) , → и вектором a (a 1 ; a 2 ; a 3 ), коллинеарным плоскости, то чтобы свести рассуждения к уже известному способу задания M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) 51 плоскости, необходимо ввести произвольную точку результате получим два вектора M ( x; y; z) . В → M1M = ( x − x1; y − y1; z − z1 ); → M1M 2 = ( x 2 − x1; y 2 − y1; z 2 − z1 ). → Коль вектор a (a 1 ; a 2 ; a 3 ) коллинеарен плоскости, то векторы → M1M = ( x − x1; y − y1; z − z1 ); → M1M 2 = ( x 2 − x1; y 2 − y1; z 2 − z1 ). → и вектор a (a1; a 2 ; a 3 ) должны быть компланарны. А, значит, их смешанное произведение равно нулю. Тогда уравнение плоскости будет иметь вид: x − x1 x 2 − x1 y − y1 y 2 − y1 a1 a2 z − z1 z 2 − z1 = 0 . (2.30) a3 Как и для случая задания прямых, плоскость также можно → задавать точкой M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) и вектором n ( A; B; C ) , перпендикулярным плоскости (на рис. 2.27, плоскость – это треугольник, пересекающий каждую из осей координат в некоторой точке, он проходит через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , при этом → вектор n ( A; B; C) перпендикулярен плоскости треугольника, а значит, и любой прямой (вектору), лежащей в этой плоскости). Но коль два вектора перпендикулярны, то по признаку перпендикулярности векторов (см. главу 2.2) их скалярное произведение равно нулю, т.е. A ⋅ ( x − x 0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0 . z M r n M O y x Рисунок 2.27 52 (2.31) Равенство (2.31) и будет уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярно заданному вектору. Сравните это уравнение с уравнением (2.22) – они отличаются только третьим слагаемым. Кроме уже рассмотренных способов задания плоскости, рассмотрим случай, когда плоскость задана точкой M 1 ( x 1; y1 ; z1 ) и → → двумя векторами a (a 1 ; a 2 ; a 3 ) и b (b1 ; b 2 ; b 3 ) , коллинеарными плоскости. Выберем произвольную точку M ( x; y; z ) , принадлежащую плоскости, тогда вектор → → M1M , принадлежащий → плоскости, и векторы a (a1; a 2 ; a 3 ) и b (b1; b 2 ; b3 ) будут компланарны, если их смешанное произведение будет равно нулю. Тогда уравнение плоскости будет иметь вид: x − x1 a1 y − y1 a2 b1 b2 z − z1 a3 = 0 . (2.32) b3 Если Вы внимательно просмотрите все рассмотренные способы задания плоскости, то они все приводят к определителю третьего порядка, за исключением одного способа – задания плоскости точкой и нормальным вектором. Раскрывая определители третьего порядка, или равенство (3.32), и приводя подобные, мы будем получать уравнение плоскости общего вида, т. е. вида: Ax + By + Cz + D = 0 . (2.33) Сравните это уравнение с уравнением прямой на плоскости общего вида (2.23) и Вы еще раз обнаружите, что в математике все логически взаимосвязано. Разобравшись со способами задания прямой на плоскости, Вы без особого труда составите уравнения прямой в пространстве, и затем легко получите различные представления плоскости. Как реализовать теорию на следующей практической задаче? Задача 10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки M1 (2;0;−1) и M 2 (1;−1;3) перпендикулярно плоскости 3x + 2 y − z + 5 = 0 . 53 Так как известно уравнение плоскости 3x + 2 y − z + 5 = 0 , то в соответствии с формулой (2.31) вектор нормали к плоскости → имеет координаты n (3;2;−1) . И этот вектор будет параллелен искомой плоскости. Тогда получаем, что искомая плоскость будет задаваться двумя точками и коллинеарным ей вектором, значит, следует воспользоваться равенством (2.30). Подставив в это равенство координаты двух точек и вектора получим: → n (3;2;−1) , x − 2 y − 0 z +1 x − 2 y z +1 1 − 2 −1 − 0 3 + 1 = 0 , −1 −1 4 = 0 . 3 −1 2 3 2 −1 Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки: (−1)1+1 ⋅ ( x − 2)(1 − 8) + (−1)1+ 2 ⋅ y ⋅ (1 − 12) + + (−1)1+3 ⋅ (z + 1)(−2 + 3) = 0; − 7( x − 2) + 11y + (z + 1) = 0; − 7 x + 14 + 11y + z + 1 = 0; − 7 x + 11y + z + 15 = 0. Итак, полученное уравнение плоскости после умножения обеих частей его на (-1) имеет вид: 7 x − 11y − z − 15 = 0. В результате снова получено уравнение плоскости общего вида. Рассматривая способы задания прямой на плоскости, мы говорили об уравнении прямой в отрезках (2.21), аналогичное уравнение плоскости в отрезках можно получить, если в общем уравнении, задаваемым равенством (2.23), поделить обе части на ( − D ≠ 0) . − A B C x − y − z −1 = 0 , D D D Далее, заменив − D D D = a , − = b, − = c , A B C получим уравнение плоскости в отрезках: x y z + + =1 a b c 54 (2.34) Числа a; b; c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями x; y; z . Рассмотрев различные способы задания таких геометрических объектов, как прямая и плоскость, снова вернемся к той мысли, которую мы обозначили в начале главы 2.3. Мысль заключалась в том, что задача аналитической геометрии с современной точки зрения состояла в нахождении зависимости между геометрическими объектами и их аналитическими (формульными) выражениями. Что же следует дальше после рассмотрения двух объектов? Какие геометрические объекты изучаются в аналитической геометрии? 2.3.6. Кривые второго порядка Мы уже говорили, что колыбелью европейской науки была Греция. Именно в ней была сосредоточена научная мысль. Так, ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.), решая задачу об удвоении куба задумался: «А что получится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей? Какие кривые предстанут нашему взору?» Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс – если угол при вершине конуса острый; параболу – если угол при вершине конуса прямой; гиперболу – если угол при вершине конуса тупой, см. рис. 2.28. Рисунок 2.28 Названия этих кривых придумал не Менехм, их предложил древнегреческий астроном и математик Аполлоний Пергский (около 260 – около 170 гг. до н.э.). 55 Юношей отправился он из Малой Азии в Александрию, где изучал математику у учеников Евклида. Он был не только математиком, но и астрономом. Самый известный его труд «Конические сечения» состоял из восьми книг. Он рассматривает все три вида кривых второго порядка как плоские сечения одного и того же произвольно взятого прямого или наклонного кругового конуса, полости которого простираются по обе стороны от вершины. Он получает эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от того, пересекает ли плоскость одну только полость конуса, обе его полости или она параллельна одной из образующих конуса. Описывая эллипс, параболу и гиперболу языком алгебры, математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид. Если направить ось абсцисс по оси симметрии конического сечения и поместить начало координат на саму кривую, рис. 2.29, то ее уравнение примет вид y 2 = 2px + λx 2 , (2.35) где p и λ некоторые постоянные, причем p ≠ 0 . Если λ = 0 , то уравнение описывает параболу, если λ p 0 – эллипс, если λ f 0 – гиперболу. Замечательные геометрические объекты – кривые линии – привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и рядом удивительных свойств, о которых мы скажем ниже. Рисунок 2.29 В древности применение конических сечений в науке было весьма ограничено. Они служили в качестве вспомогательных 56 линий при решении классических задач, а также для решения уравнений третьей и четвертой степени. В науке и технике кривые второго порядка стали играть важнейшую роль лишь после того, как Галилей установил, что свободно брошенное тело или снаряд, выпущенный из орудия, двигается по параболе, а Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым каждая из планет описывает эллипс, в фокусе которого находится Солнце. Позднее было установлено, что одни кометы движутся по эллипсам, другие по параболам и гиперболам. Гипербола и парабола стали применяться в строительном деле. У эллипса есть несколько замечательных свойств, каждое из которых можно принять за его определение. Начнем с того, что эллипс – это равномерно сжатая к своему диаметру окружность. Другими словами из окружности получается эллипс (рис. 2.30), если все ее точки приблизить к выбранному диаметру, сократив расстояние в одно и то же число раз NP N ' P ' N '' P '' = ' ' = '' '' . MP M P MP Рисунок 2.30 В переводе с греческого «эллепсис» – «выпадение», «опущение». Мы часто прибегаем к аналитической геометрии, когда необходимо оформить клумбу на даче или в саду. Вобьем два колышка на расстоянии друг от друга, которое обозначим 2c , и привяжем к каждому из них по концу веревки длиной 2a , причем a > c , рис. 2.31. 57 Рисунок 2.31 Если теперь палкой оттянуть веревку в сторону и провести этой палкой линию, то мы вычертим дугу эллипса. Теперь следует дать строгое определение эллипса. Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 постоянна. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса, рис. 2.32. Рисунок 2.32 В системе координат, где ось Ох совпадает с линией фокусов, а начало координат находится посередине между ними (рис. 2.31), это определение выражается уравнением ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a . Слагаемые правой части этого уравнения представляют собой формулу длины отрезка (длины вектора, см. равенство (2.1)). Возведя обе части равенства дважды в квадрат и введя обозначение a 2 − c 2 = b 2 , получим каноническое уравнение эллипса x 2 y2 + = 1, (2.36) a 2 b2 где b 2 = a 2 − c 2 . 58 Величины a и b задают размеры полуосей эллипса (т. е. расстояние от центра эллипса до наиболее и наименее удаленных его точек). При a=b эллипс превращается в окружность. «Сплюснутость» эллипса принято также характеризовать c a отношением ε = , получившим название эксцентриситет. Пусть, например, уравнение эллипса задается формулой 2 x y2 + = 1, 16 9 и необходимо определить полуоси эллипса, координаты фокусов и эксцентриситет. В соответствии с формулой (2.36) a 2 = 16 , b 2 = 9 , тогда a = 4; b = 3 . Здесь под a и b мы понимаем расстояния (полуоси), а, значит, берем только положительные значения. Для определения фокусов воспользуемся соотношением b 2 = a 2 − c 2 , из которого находим c 2 = a 2 − b 2 = 16 − 9 = 7 . Тогда c = 7 – полуфокусное расстояние, а значит, фокусы эллипса имеют координаты F1 (− 7 ;0) и F2 ( 7 ;0) . Для определения эксцентриситета эллипса разделим полуфокусное расстояние на большую полуось (принято называть a – большей полуосью, b – меньшей), тогда ε= c 7 . = a 4 Слово focus в переводе с латинского означает «огонь», Происхождение этого названия объясняется «очаг». замечательными оптическими свойствами эллипса: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Если представить себе, что эллипс подобно зеркалу, может отражать световые лучи, и поместить в один из его фокусов источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы при создании поразительных эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков. Если зафиксировать на плоскости точку F и прямую l , которая не проходит через фокус (рис. 2.33), то множество точек плоскости, которые расположены на равном расстоянии от точки F и прямой l , называют параболой, рис. 2.33. 59 Рисунок 2.33 Если в фокус «зеркальной» параболы поместить источник света, то все исходящие из него световые лучи, после отражения пойдут по прямым, которые параллельны оси симметрии параболы. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси параболы, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке – ее фокусе, рис. 2.34. Рисунок 2.34 Исходя из определения параболы и рис. 2.33 можно получить каноническое уравнение параболы: y 2 = 2px (2.37) Точки, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) одна и та же по абсолютной величине, располагаются на гиперболе, рис. 2.35. Если лучи света испускаются из одного фокуса ( F2 ) гиперболы, то после отражения от кривой они идут так, будто вышли из другого ее фокуса (F1 ) , рис. 2.35. Рисунок 2.35 60 И в этом случае система координат выбрана так, что ось Ох проходит через фокусы, а начало координат лежит посередине между ними (рис. 2.35), тогда уравнение гиперболы в этой системе будет иметь вид x 2 y2 − = 1, (2.38) a 2 b2 где b 2 = c 2 − a 2 . Точки F1 (−c;0) и F2 (c;0) называют фокусами гиперболы. Из школьного курса вам известна равносторонняя гипербола, рис. 2.36, которая получается из уравнения (2.38) при условии a = b и повороте системы координат относительно ее начала на угол 45 o . Рисунок 2.36 Выполнив те преобразования, о которых мы только что сказали, получим гиперболу вида рис. 2.37. Рисунок 2.37 Подводя небольшой итог, заключаем, что в основе аналитической геометрии, созданной Пьером Ферма и Р. Декартом, лежат две идеи: • идея координат, приведшая к арифметизации плоскости, т. е. к тому, что каждой точке плоскости ставятся в соответствие два числа, взятые в определенном порядке и, наоборот; 61 • идея истолкования любого уравнения с двумя неизвестными как некоторой линии на плоскости и, наоборот, представления любой линии, определяемой как некоторое геометрическое место точек, соответствующим уравнением. Рассмотрим еще ряд кривых, с которыми мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. Глава 2.4. Замечательные кривые Что общего в словах «цирк», «циркуль», «мотоцикл»? Оказывается в них прячется одно и то же греческое слово «киклос» – «круг», «окружность». Слово «циклоида» также принадлежит этому ряду, и не случайно. Циклоидой называют кривую, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой (рис. 2.38). Рисунок 2.38 Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Если перевернуть циклоиду выпуклостью вниз и представить, что по ней скатывается тяжелая частица, то из какой бы точки частица ни начинала свое движение, она скатится вниз за одно и то же время. Это свойство изохронности (одинаковости во времени) циклоиды навело Христиана Гюйгенса в 1673 г. использовать его в маятниковых часах. Гюйгенс исследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию и установил, что циклоида – таутохронная кривая, т. е. период ее колебания не зависит от амплитуды. Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, французского математика XVII в. Кривая «улитка Паскаля» (рис. 2.39) названа в честь Этьена, впервые рассмотревшего его. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте открыл «теорему Паскаля» о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Через 62 несколько лет Паскаль изобрел счетную машину (вспомните историю развития средств вычислений в курсе информатики). Рисунок 2.39 Известен следующий факт, когда Паскаль сообщил Декарту о своих работах по гидростатике и о барометрических измерениях, основанных на экспериментах с торричеллиевой пустотой, Декарт презрительно выгнал молодого экспериментатора за незнание аксиомы Аристотеля («природа не терпит пустоты») и за нарушение двух своих первых (антиэкспериментальных) принципов. Он написал по этому поводу президенту Академии наук Гюйгенсу: «Лично я нигде в природе пустоты не вижу, разве в голове у Паскаля». Через полгода теория Паскаля стала общепринятой, и Декарт уже говорил, что Паскаль приходил к нему рассказывать ее, но сам ничего тогда не понимал; а теперь, когда он, Декарт, все ему объяснил, Паскаль рассказывает как свою, его, Декартову, теорию (это еще одна их характеристик Декарта, как человека). Ранее мы уже упоминали спираль Архимеда. Настало время более подробно поговорить об этой кривой. В действительности нас очень часто окружают кривые, имеющие форму спиралей. Это и безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой, и свирепый смерч, опустошающий все на своем пути, и вихрь туманностей и галактик. Если зафиксировать точку вдоль секундной стрелки часов и положить, что она будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу, то получим кривую, описываемую точкой при таком движении, называемую спиралью Архимеда, рис. 2.40. 63 Рисунок 2.40 Свойство спирали, связанное с пропорциональностью приращений радиальных расстояний и углов, используется в кулачковых механизмах, преобразующих равномерное вращение диска в равномерное движение поршня попеременно в одну и другую сторону. Конец осевого стержня поршня скользит по шайбе, края которой представляют собой две дуги спирали Архимеда. Архимед предложил использовать это свойство для решения одной из знаменитых задач древности – задачи о трисекции угла. Декарт в 1638 г. показал существование другой спирали – логарифмической, рис. 2.41. Эту кривую называют кривой с «твердым характером», т. к. она не меняет своей природы при многих преобразованиях, чего не скажешь о других кривых. Потери энергии движущейся воды будут минимальными, если трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции завернуть по логарифмической спирали. Увидеть логарифмическую спираль можно в витках раковины и др. Рисунок 2.41 64 Свойство логарифмической спирали так глубоко поразили швейцарского математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eadem mutate resurgo» – «Измененная, возрождаюсь прежней». Рассматривая лишь некоторые замечательные кривые, мы хотели напомнить вам о хорошо знакомой ситуации. Вы сели в поезд, и экспресс понес стрелой вас по железной дороге, отбивая ровный ритм походной мелодии на рельсовых стыках. Мы – пассажиры и не предполагаем, что комфорт нам обеспечили не только проводники и машинисты, но и математики, благодаря расчетам которых повороты поезда плавны и удобны. О поворотах мы узнаем, лишь наблюдая последние вагоны состава из окна своего купе. Это такие кривые, как спираль Корню, лемниската Бернулли и кубическая парабола плавно и мягко направляют путь нашего экспресса. Глава 2.5. Лобачевский и его геометрия В этой главе мы рассмотрим геометрию, о которой слышал любой грамотный человек, — геометрию Лобачевского. Она была создана нашим соотечественником — Николаем Ивановичем Лобачевским. Ее открытие и революционная идея о том, что возможны разные и равноправные геометрии, произвели переворот не только в математике, но и в представлениях людей об окружающем мире. А между тем одну из неевклидовых геометрий ко времени открытия Лобачевского давно знали и хорошо изучили. Речь идет о сферической геометрии, в которой рассматриваются фигуры на сфере и соотношения между ними. Поскольку сфера находится в обычном трехмерном евклидовом пространстве, теоремы сферической геометрии можно понимать как обыкновенные стереометрические. Поэтому в сферической геометрии не видели «другую планиметрию», и она не привела к ниспровержению устоявшихся взглядов подобно геометрии Лобачевского. Между тем, если присмотреться к сфере внимательнее — а для этого подойдет обыкновенный глобус, — легко обнаружить немало удивительного. Возьмите нить и натяните ее между двумя пунктами на глобусе. Она пройдет по кратчайшей линии на сфере, 65 соединяющей эти пункты, и укажет, в частности, наилучший маршрут для самолета. Если вы проложите такой маршрут из Москвы в Нью-Йорк, находящийся примерно на одной широте с Баку, то обнаружите, что путь лайнера проходит севернее, чем, возможно, вы ожидали, — через Скандинавию и близко от Гренландии. Что же это за линия? Ответ станет ясен, если взять точки на экваторе. Экватор является одной из больших окружностей сферы, т. е. окружностей наибольшего радиуса. Они образуются при пересечении сферы ее диаметральными, проходящими через центр, плоскостями. Из других линий на глобусе кроме экватора большие окружности образуют также меридианы. Именно большим окружностям и отводится роль прямых в сферической геометрии. Как правило, через две точки на сфере, как и на плоскости, можно провести только одну сферическую прямую. Исключение составляют диаметрально противоположные точки: например, через полюсы на глобусе проходит бесконечно много меридианов. Но в отличие от обычной геометрии любые две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках – на сфере отсутствует понятие параллельности. Другое существенное отличие прямой на сфере от прямой на плоскости заключается в том, что сферическая прямая замкнута: двигаясь по ней все время в одну сторону, мы снова вернемся в исходную точку, т. е. точка не разбивает сферическую прямую на два луча, как в планиметрии или стереометрии. Как быть с такой ситуацией? В главах 1.1 и 2.1 первой части курса мы уже говорили, что о жизни замечательного древнегреческого ученого Евклида известно немного. Евклид собрал воедино все то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры» (буквенными обозначениями и формулами тогда математики еще не владели). Но не только в этом его заслуга. Он творчески переработал собранное, внес много своего, нового, оригинального. Однако оставленный им труд «Начала» бесспорно является величественным памятником его деятельности.. «Начала» – своего рода математическая «Илиада» или «Одиссея». «Начала» прошли через тысячелетия. Мы уже упоминали о том, что в ряде стран Европы вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведенные и литературно 66 обработанные. Таким учебником в России был известный учебник геометрии А. П. Киселева. Однако не все написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Евклид уже в те времена пытался дать аксиоматическое изложение геометрии, т. е. сформулировать небольшое количество простых предложений (аксиом), из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Но одна из них, так называемый V постулат Евклида, вызывала особые нарекания математиков. Вот его содержание. Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние утлы α и β , сумма величин которых меньше двух прямых углов (т. е. меньше 180°; рис. 2.42), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе менее 180°). Рисунок 2.42 В древности обосновать это утверждение - доказать аксиому пытались многие математики, но все они потерпели неудачу. Однако, в ходе своих исследований получили некоторые очень интересные результаты. Гаусс (о нем мы говорили в первой лекции) был первым человеком, который считал постулат о параллельных независимой аксиомой. Откуда вытекало, что логически возможны другие геометрии, основанные на другом выборе аксиом. Гаусс никогда не публиковал своих соображений по этому вопросу, но по архивам, разобранным уже после его смерти, удалось обнаружить, что уже за 9 лет до сообщения, которое сделает Н. Лобачевский, Гаусс мыслил аналогично, но выступить с идеями открыто не решался. Он боялся, что математики не поймут его. Первыми, кто открыто бросил вызов авторитету двух тысячелетий, были русский Николай Иванович Лобачевский и 67 венгр Янош Бояи. Сначала обнародовал свои идеи Лобачевский, профессор Казанского университета. В 1826 г. он выступил с докладом об аксиоме параллельных Евклида. Его первая книга появилась в 1829/30 г. и была написана по-русски. Узнали о ней лишь немногие. Поддержки Лобачевский не получил, но им заинтересовался Гаусс. Гениальный Гаусс – «король математиков» – добился, чтобы Лобачевского избрали иностранным членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому как ученому. К тому времени Бояи тоже опубликовал свои мысли по этому вопросу. Янош (Иоганн) Бояи (1802–1860 гг.) был сыном учителя математики в провинциальном венгерском городе. Его отец, Фаркаш (Вольфганг) Бояи, учился в Геттингенском университете в те же годы, что и Гаусс. Он и Гаусс изредка обменивались письмами. Фаркаш затратил много времени на попытки доказать пятый постулат Евклида, но не пришел ни к каким определенным выводам. Его сын унаследовал его страсть и тоже начал работать над доказательством, несмотря на просьбы отца заниматься чемлибо другим. В письме от 1820 г. он писал: «Ты должен отвергнуть это подобно самой гнусной связи, это может лишить тебя всего твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на земле это никогда не прояснится...». Янош Бояи стал рассматривать постулат Евклида как независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию, основанную на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую плоскости (Вы сразу же представили сферу). Это была та самая идея, которая уже возникала у Гаусса и Лобачевского. Бояи изложил свои соображения, и они были напечатаны в 1832 г. в виде приложения к книге его отца под названием «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве». Озабоченный отец написал Гауссу, прося совета относительно непонятных, на его взгляд, высказываний сына. Полученный из Геттингена ответ содержал восторженное одобрение работы младшего Бояи. Вдобавок к этому Гаусс заметил, что он не может хвалить Бояи, так как это было бы 68 самопохвалой, поскольку идеи «Приложения» являются его мыслями уже многие годы. Молодой Янош был глубоко разочарован этим одобрительным письмом, которое возводило его в ранг большого ученого, но лишало приоритета. Его разочарование усилилось, когда в дальнейшем он не встретил признания. Еще более он был потрясен тогда, когда книга Лобачевского была опубликована на немецком языке (1840 г.), и он больше никогда ничего не напечатал по математике. Рисунок 2.43. Н. Лобачевский В отличие от Бояи Лобачевский до конца боролся за признание своих идей и продолжал развивать свою новую геометрию. Родился Н. Лобачевский 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии. Нищее детство. Утонул любимый брат. Со студенческих лет Лобачевский ушел в науку. Изучал солнечную корону, вел наблюдения во время затмения. Увлекся температурными режимами почв, ставил опыты. Но все это не главное, разумеется. Главное – геометрия. Геометрия витала над всеми делами, над радостями и горестями бытия. Геометрия давала высшее счастье и самую острую боль. Далее еще трагедия. Умер любимый сын. Дом сгорел. Жена, влюбленная в картежную игру, истерики с требованием денег. Слепота, отнявшая все краски у заката его жизни. Но все это время он преподавал в Казанском университете, который был основан в 1805 г. Он стал ректором в 34 года и был ректором 19 лет. Перед ним прошла целая вереница поколений. Мог ли он запомнить, выделить хотя бы некоторые лица? В 1845 году к нему пришел некрасивый скуластый мальчик, просил перевести его с восточного факультета на юридический. Звали его Лев Толстой. В год смерти 69 Лобачевского поручик Толстой написал замечательный рассказ «Метель» и повесть «Два гусара», но Лобачевский прочесть их не мог: он был слеп. Но ведь была у него и веселая озорная молодость, хохот, скачка верхом на корове в городском саду. Выносили выговоры, записывали на черную доску, даже в карцер сажали – ему все нипочем. Была ранняя ревнивая страсть к науке и раннее признание таланта. Преданные взоры учеников. Спасение университета от холеры. Государем дарованный перстень. Он постоянно ощущал огромное нечеловеческое одиночество, недуг неизлечимого непонимания. А тут еще и мерзкий пасквиль в булгаринском журнале: «Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение… Для чего же писать, да еще и печатать такие нелепые фантазии?…» Такая слепота окружающих к его геометрии была для него во много раз страшнее слепоты собственной. Из Казани Лобачевский уезжал очень редко и неохотно, никогда не ездил за границу. Был лишь в Гельсингфорсе на торжествах университета. Гаусс отклонил приглашение работать в Петербурге. Встреча, самая необходимая, самая желанная в истории математики, так и не состоялась. Уже после смерти Гаусса ясно стало, что светлейшему уму его открылся смысл прозрений русского геометра, но столь дерзки были они, столь сокрушительны по новизне своей, что недостало даже у Гаусса смелости открыто признать их истинами. За попытки высказать свои мысли вслух по поводу V постулата Гаусс также пострадал. Евгений Дюринг, вошедший в историю только потому, что спорил с Энгельсом, прямо писал, что Гаусс страдает «Paranoia geometrica» – геометрическим помешательством. И Гаусс отступил. В письме к астроному Бесселю писал: «Вероятно, я еще не скоро смогу обработать мои обширные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это во всю мою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком». А как нужна была Лобачевскому решимость Гаусса! Как остро тосковал он по единомышленнику! Ведь такая однообразная жизнь окружала его. Университет, лекции, 70 заседания ученого совета. В 52 года истек срок его профессорства, требовалась пустая формальность – утверждение министерства, но дело отчего-то затянулось, поползла какая-то липкая интрига, слушки, и утверждения не последовало. Лобачевский умер 63 лет от паралича легких. Понимал, что умирает, сказал просто: «Человек родится, чтобы умереть». И умер так тихо, что даже доктор не поверил, все щупал пульс, капал на лицо свечной воск, следил, не дрогнут ли мускулы… В имении своем посадил Николай Иванович молоденькие кедры и потом часто говорил: «Ничего, доживем до кедровых шишек!» Первые шишки появились в год его смерти. Не дожил. А годы шли. И вот сын бедного провинциального священника, Бернгард Риман выстроил здание своей геометрии, «геометрии Лобачевского наоборот», такой же странной, строгой и логичной, как и у казанского геометра. Так был открыт путь геометрий разных пространств, идущий в четырехмерный мир теории относительности, в океан невероятных, непостижимых далей и глубин, на берег которого вышло человечество. Сохранившаяся запись лекций Лобачевского показывает, что первоначально Лобачевский стоял на традиционной точке зрения. И лишь к 1826 г. он пришел к определенной формулировке своей новой геометрической системы, которую назвал «воображаемой геометрией» в отличие от «употребительной», евклидовой. Спустя годы сочинения Лобачевского стали переводить на иностранные языки. В 1893 г., к столетию со дня рождения Лобачевского, ему воздвигается на собранные международной подпиской средства памятник в Казани и учреждается премия его имени за сочинения по неевклидовой геометрии. При жизни Лобачевского известность доставили ему труды по другим вопросам математики. Лобачевский был не только гениальным геометром, но и внес много ценного в теорию функций, в алгебре известен его метод приближенного вычисления корней уравнений любой степени. Поэты XX века посвящали Лобачевскому свои произведения, но, как и всегда случается, после смерти. В. Фирсов назвал свое произведение «Н.И. Лобачевскому». «Высокий лоб, нахмуренные брови. В холодной бронзе отраженный луч… Но, даже неподвижный и суровый, 71 Он, как живой, - спокоен и могуч. Когда-то здесь, на площади широкой, На этой вот казанской мостовой, Задумчивый, неторопливый, строгий, Он шел на лекции – великий и живой. Пусть новых линий не начертят руки, Он здесь стоит, взнесенный высоко, Как утверждение бессмертья своего, Как вечный символ торжества науки». Неевклидовой геометрией стали называть геометрию Лобачевского исходя из записок Гаусса. В течение нескольких десятилетий она оставалась заброшенной областью науки. Большинство математиков ее игнорировало. Но когда итальянский математик, профессор Римского университета Э. Бельтрами (1835–1900 гг.) нашел модель для неевклидовой геометрии – положение изменилось. Он утверждал, что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которых действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами, на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского. Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно этому псевдосфера образуется вращением линии, названной им трактрисой, вокруг ее оси. Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на которой выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой геометрии Лобачевского. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель – псевдосфера. Формулы новой геометрии нашли конкретное истолкование. Псевдосферу стали называть моделью Бельтрами. К этой же идее позднее пришел и немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925 гг.). Он строил модель геометрии Лобачевского в пространстве, принимая внутренность какоголибо шара за пространство. Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы и теоремы не могут быть противоречивыми, т.к. каждой из них соответствует факт евклидовой геометрии внутри круга или внутри шара. 72 Относительно красоты в доказательстве теорем геометрии существует много изречений не только великих математиков, но и поэтов. В частности, в критической статье, посвященной работе Кюхельбекера, Пушкин пишет: «Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии». Знаменательная фраза! В III в. н. э. неизвестный автор шутливо относил к геометрии слова Гомера: «Малой она родилась, но взрослея, росла с каждым часом. Ныне, идя по земле, сотрясает вокруг целый мир». Действительно, математики, начав с точки и линии, пришли к таким вещам, которые управляют небесным миром. Глава 2.6. Точка, точка, запятая… В подтверждение мысли К. Вейерштрасса о том, «что математик, который не есть отчасти поэт, не будет никогда подлинным математиком», посвящаем последнюю главу раздела, геометрическому объекту – точке. Она есть и символ, и знак, и геометрическая абстракция, и физическая реальность, и метафора и др. Составлено это посвящение увлеченным математикой и прозой инженером Б. Матушкиным. «Доказано: неприметная крапинка, попросту именуемая точкой, имеет изумительную родословную, геральдическому древу которой могут позавидовать и более важные персоны. Точка — один из любимейших знаков седой древности: писцы расчленяли им свои тексты. Точка — одно из уцелевших слов, которыми издревле пользовались славяне. Точка — родимая матерь латинского «пункта», от которого рукой подать до пунктира. Мир точек многолик и многообразен. И будь создан для них музей, то в нем предстали бы во всей красе и точкислова, и точки-знаки, и точки-вещи, и точки-меры. Никто не пытался классифицировать точки, а зря. Судите сами, как велики здесь возможности для любопытных открытий и обобщений. Ведь есть точка торговая и точка огневая, точка отправления и точка отправная, кипения и замерзания, точка роста и мертвая точка, есть точка росы и критическая точка пара, собственная точка зрения и точка зрения оппонента, есть точка материальная и точка мнимая, точка спрямления и точка перегиба. Но есть еще точки асимптотические, гиперболические, заостренные, изолированные, особые, правильные, предельные, рациональные, характеристические. У математиков любая точка 73 незрима и невесома, у механиков она уже имеет вес и массу, а триангуляционная — у геодезистов — обладает не только весом, но и видна за десятки километров. Без точки человеку было бы неудобно ни умножать, ни делить, без нее он не придумал бы ни двоеточия, ни многоточия, ни вопросительного, ни восклицательного знаков; без точки невозможно было бы создать азбуку Морзе и тем более модель Солнечной системы. А как изобрели бы без точки точечную сварку и точечный диод? Кто придумал бы без нее радиоточку и точечный метод в математике? Не будь точки, как существовали бы алгебраические задачники, в основе которых заложены неистощимые точки A, B, C , откуда бесконечно бегут, летят, едут, или передвигаются по-пластунски Точка — родоначальник множества прекрасных вещей и открытий. Именно с нее начинается тот простейший рисунок, при создании которого мы приговариваем: «Точка, точка, запятая, минус — рожица кривая». С точки начинались и атом, и электрон. С точечного заряда начинается все волшебство электротехники. Точка — всему начало и всему венец. С точки начинается запятая и ею заканчивается любой капитальный труд. Из точки, и только из нее отправляются и только в точку прибывают. Пусть точка не линия. Но, право, нужно быть невеждой, чтобы не знать, что линия состоит из точек. Даже лемниската и циклоида — эти симпатичные геометрические линии с поэтическими женскими именами — всего-навсего множества точек. Судьба человека соприкасается с необъятным роем точек. Мы можем ставить точки над «и» и можем, как говорится, доходить до точки. Мы можем бить в одну точку и не брезгуем при случае многоточием. Чьи-то мысли вдруг точка в точку похожи на наши, и чьи-то доводят нас до точки кипения. Любая точка на Земле имеет свою долготу и широту. Малозаметная на нотоносном стане, она повелевает длительностью звука. Простейшая мертвая точка властно требует от инженеров мощного маховика к механизму. Ею обозначают Солнце и атом. Вокруг нее кружится ножка циркуля, описывающего самую большую по площади фигуру с наименьшим периметром. Точка — составляющая оси, вокруг которой вращается Вселенная. И право, найди Архимед точку опоры, он перевернул бы весь мир! 74 Точкой в старину измеряли длину и время, ибо русский дюйм состоял из ста, а минута — из шестидесяти точек. Есть, конечно, и царственные точки, занявшие особое положение в своем мире. Они именуют себя то фокусом, то полюсом, то центром. Точка — такая универсальная вещь, которая, может заменить собой все на свете. Действительно, точка на карте — город или поселок, точка в небе — далекая звезда. Ею мы заменяем часть слова, хотя бы тогда, когда пишем «и т. д.», «и т. п.», «и др.», «и пр.». Вот и сейчас, пользуясь этим замечательным свойством, мы заканчиваем повествование о геометрии точкой. Но, для закрепления рассмотренной лекции желательно сразу же выполнить самостоятельную работу №2 и задания 9-15 домашней контрольной работы, не торопитесь только заполнять итоговую матрицу ответов, проверьте внимательно свое решение. Конец второй лекции Все замечания и предложения отсылайте по адресу: feedback@rfei.ru. 75