Математика. Численные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – УЧЕБНО-НАУЧНОПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС» Г.А. Семенова, Т.В. Савостикова МАТЕМАТИКА ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Рекомендовано ФГБОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК» для использования в учебном процессе в качестве учебного пособия для высшего профессионального образования Орёл 2015 УДК 519.2 (075) ББК 22.17я7 Рецензенты: доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – учебно-научно-производственный комплекс» Владимир Александрович Гордон, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Алгебра и математические методы в экономике» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Орловский государственный университет» Ирина Ивановна Чернобровкина Семенова Г.А. С-17 Математика. Численные методы: учебное пособие для высшего профессионального образования / Г.А. Семенова, Т.В. Савостикова. – Орёл: ФГБОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК», 2015. – 56 с. Учебное пособие содержит теоретический материал и примеры решения задач по основам численных методов. Предназначено студентам укрупнённой группировки направлений «Информатика и вычислительная техника» подготовки бакалавров очной формы обучения, изучающим дисциплину «Математика». УДК 519.2 (075) ББК 22.17я7 © ФГБОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК», 2015 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 4 1. Приближённые числа и действия над ними ........................................ 5 1.1 Погрешность ...................................................................................... 5 1.2 Абсолютная и относительная погрешность ................................... 6 1.3 Десятичная запись приближенных чисел ....................................... 7 1.4. Действия над приближенными числами ....................................... 8 1.5. Строгий учёт погрешности по методу (способу) границ .......... 11 2. Классификация численных методов .............. Ошибка! Закладка не определена. 3. Аппроксимация функции .......... Ошибка! Закладка не определена. 3.1. Постановка задачи................ Ошибка! Закладка не определена. 3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. ....Ошибка! Закладка не определена. 3.3. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов ........ Ошибка! Закладка не определена. 3.4. Аппроксимация функции. Метод наименьших квадратов ....................................................... Ошибка! Закладка не определена. 3.5. Нелинейная аппроксимация Ошибка! Закладка не определена. 4.Решение нелинейных уравнений ..................... Ошибка! Закладка не определена. 4.1 Постановка задачи................. Ошибка! Закладка не определена. 1.2. Основные этапы отыскания решения ...... Ошибка! Закладка не определена. 1.3. Метод половинного деления (метод бисекции).............. Ошибка! Закладка не определена. 4.4 Метод касательных Ньютона ..................... Ошибка! Закладка не определена. 4.5. Метод секущих (метод хорд) .................... Ошибка! Закладка не определена. 5. Численное интегрирование функции одной переменной ... Ошибка! Закладка не определена. 5.1 Постановка задачи................. Ошибка! Закладка не определена. 5.2 Метод прямоугольников ...... Ошибка! Закладка не определена. 5.3. Метод трапеций .................... Ошибка! Закладка не определена. 5.4. Метод Симпсона (метод парабол) ............ Ошибка! Закладка не определена. 5.5. Правило Рунге практической оценки погрешности ....... Ошибка! Закладка не определена. 6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Ошибка! Закладка не определена. 6.1. Постановка задачи................ Ошибка! Закладка не определена. 6.2. Метод Эйлера ....................... Ошибка! Закладка не определена. 6.3. Метод Рунге-Кутта ............... Ошибка! Закладка не определена. ЛИТЕРАТУРА ................................ Ошибка! Закладка не определена. ВВЕДЕНИЕ Исследования различных явлений или процессов математическими методами осуществляются с помощью математических моделей. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Это может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определённый интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т.д. Построенная модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними. После того, как математическая модель составлена, переходят к постановке вычислительной задачи. При этом устанавливают, какие характеристики математической модели являются исходными (входящими) данными, какие – параметрами модели, а какие – выходными данными. Проводится анализ полученной задачи с точки зрения существования и единственности решения. На следующем этапе выбирается метод решения задачи. Во многих конкретных случаях найти решения задачи в явном виде не представляется возможным, так как оно не выражается через элементарные функции. Такие задачи можно решить лишь приближённо. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решения в виде конкретных числовых значений. Вычислительные методы, как правило, реализуется на ЭВМ. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи. Затем для реализации выбранного вычислительного метода составляется алгоритм и программа на ЭВМ. Результаты расчёта анализируются и интерпретируются. При необходимости корректируются параметры метода, а иногда математическая модель, и начинается новый цикл решения задачи. 1. Приближённые числа и действия над ними 1.1 Погрешность Численное решение любой задачи осуществляется приближенно, с различной точностью. Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью. Отклонение истинного решения от приближённого называется погрешностью. Полная погрешность вычисления состоит из двух составляющих: неустранимая и устранимая погрешности. Неустранимая погрешность обусловлена неточностью исходных данных и никоим образом не может быть уменьшена в процессе вычислений. Устранимая погрешность в свою очередь состоит из погрешности аппроксимации (метода) и погрешности вычислений. Существуют четыре источника погрешностей, возникающих в результате численного решения задачи. 1. Математическая модель. Погрешность математической модели связана с её приближенным описанием реального объекта. Погрешность математической модели неустранима. 2. Исходные данные. Исходные данные обычно содержат погрешности, так как они либо неточно измерены, либо являются решением некоторых вспомогательных задач. В среднем погрешность измерений составляет 1-10%. Погрешность исходных данных считается неустранимой. 3. Метод вычислений. Применяемые для решения задачи методы, как правило, являются приближёнными. Погрешность метода можно оценить и проконтролировать. Следует выбирать погрешность метода так, чтобы она была не более чем на порядок меньше неустранимой погрешности. 4. Округление в вычислениях. Погрешность округления возникает из-за того, что вычисления проводятся с конечным числом значащих цифр. При решении большѝх задач производятся миллиарды вычислений, но так как погрешности имеют разные знаки, то они частично взаимно компенсируются. 1.2 Абсолютная и относительная погрешность Пусть А – точное значение некоторой величины, а – её приближенное значение. Пишут А ≈ а. Например, A  2  1,41  a . Если а > A, то а называется приближением по избытку, если же а < A – приближением по недостатку. Абсолютной погрешностью приближения а называется число ∆ = |A – a|. Его достаточно знать для характеристики отличия приближённого значения от точного. Однако, часто такое точное значение исследуемой величины неизвестно, а значит, неизвестно и ∆. Поэтому целесообразно ввести оценку абсолютной погрешности. Предельной абсолютной погрешностью  a называется точная верхняя грань абсолютной погрешности ∆, то есть  a  sup{} . Отсюда,   A  a  a  a  a  A  a  a  A  a  a . При этом a   a оказывается приближением по недостатку, a   a – приближением по избытку. Пример. Рассмотрим число A    3,14  a . Известно, что 3,14    3,15 . Следовательно, абсолютная погрешность нашего приближения     a  0,01, в качестве предельной абсолютной погрешности можно взять число  a  0,01. Если же учесть, что число   (3,140; 3,142) , то получим лучшую оценку  a  0,002 , а значит, можно записать   3,140  0,002 . Для характеристики качества измерения величины А одной абсолютной погрешности мало. Например, если измерить длину дачного участка и расстояние от Орла до Москвы с погрешностью 0,1 м, то ясно, что точность второго измерения будет выше. Относительная погрешность приближения а – это число    . Предельной относительной погрешностью приближения а a называется положительное число  a такое, что    a . Очевидно, что за предельную относительную погрешность можно принимать    а  a  a 100% . a a 0,002 100%  3,140  0,00064 100%  0,064%  0,01% – Приемлемая для инженеров точность. Упражнение. Найдите предельную относительную погрешность следующих приближений A1  34,8  0,2; A2  0,00464  0,00004; A3  4327  30 . Пример. A    3,140  a ,  a  0,002 =>  а  1.3 Десятичная запись приближенных чисел Форма записи A  a  a приближенных чисел не всегда удобна. Целесообразно иметь такую форму, способ записи которой бы позволял по десятичной иметь такую форму, способ записи которой бы позволял по десятичной записи числа установить абсолютную погрешность приближения. Цифра α в десятичной записи приближённого числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому принадлежит цифра α. Если же абсолютная погрешность приближения a не превосходит 1 2 единицы указанного разряда, то её (α) называют верной в узком смысле. Пример. Рассмотрим число A  7,158  0,0009 . Абсолютная погрешность  a  0,0009  0,001 (три цифры после запятой), следовательно, все цифры приближения a  7,158 верны в широком смысле. 1 С другой стороны,  a  0,0009   0,001  0,0005 , поэтому α = 8 (тре2 тья цифра после занятой) не является верной в узком смысле. Значащими цифрами называются все цифры числа, начиная от первой слева ненулевой цифры. Например, у числа 0,037 две значащие цифры, у числа 14,80 – четыре. Правила округления, обеспечивающие все верные знаки в узком смысле. 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то сохраняемые цифры остаются без изменения. 2. Если первая из отбрасываемых цифр равна пяти, а среди следующих за ней цифр есть отличные от нуля, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу. 3. Если первая из отбрасываемых цифр равна пяти, а все следующие за ней являются нулями, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу, когда она нечетная, и сохраняют неизменной, когда она чётная. 4. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу. Пример.   3,14159265...  3,1416 . Все пять цифр этого приближения верны и в узком, и в широком смысле. При записи приближённых чисел следует писать только верные значащие цифры, если погрешность не задана другим способом. Изменения формы записи числа, например, на число с плавающей запятой, не должно менять количество верных цифр. Любое число d в десятичной системе можно записать в форме с плавающей запятой, то есть в виде d   m 10 p , где m – мантисса, p – порядок. Способов такой записи много. Среди них выделяют нормальную и стандартную формы записи. Если m < 1 и первая цифра в m после запятой отлична от нуля, то это нормальная форма записи числа. Если же m  1; 10 , то форма записи называется стандартной. Например, 123,4  0,1234 103 – нормальная форма записи, 123,4  1,234 102 – стандартная форма. 1.4. Действия над приближенными числами Теорема. Пусть функция f ( x1 ,.., xn ) дифференцируема в области G  n , a её переменные вычислены с предельными абсолютными погрешностями  x k , k = 1,…,n. Тогда для предельной абсолютной погрешности  f значения функции f справедливо равенство f   xk ,  x k k 1 а для предельной относительной погрешности  f значения функции f справедливо равенство n f  n f   k 1 1 f    xk . f xk Здесь функция f и её частные производные M ( x1* ,..., xn * ) . f вычислены в точке xk Пример. Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле T  2  l g . Найдём погрешность вычисления периода, если   3,142 , l  1,2000 м, g  9,8132 м/с2. Решение. В соответствии с договорённостями все знаки считаются верными в узком смысле, то есть    0,00041, l  0,0005 ,  g  0,00005 . По предыдущей теореме l  l T  2     l  2 3  (3 / 2)   g  g g l g 1,2000 3,142  0,0005 1,2000  0,00041   2  3,142   0,00005 ; 9,8132 1,2000  9,8132 9,81323 T  0,00028675  0,0004578  0,00000559  0,0003  0,0005 ; 0,0001  T  0,0005 . Следовательно, вычислить значение периода Т колебаний в данных условиях можно только с тремя верными в узком смысле знака1,2000 ми, то есть T  2  3,142   2,197 (1/с). 9,8132 Таким образом, T  2,197  0,001. T  2 Следствие. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, то есть n  a1 ... an    ak . k 1 Следствие. Предельная абсолютная погрешность произведения двух функций удовлетворяет соотношению  u v   u  v   v  u . Следствие. Предельная относительная погрешность произведения функций равна сумме предельных относительных погрешностей множителей, то есть n  a1 a2 ...an    ak . n 1 Следствие. Предельная относительная погрешность частного двух функций равна сумма предельных относительных погрешностей, то есть  u v  u  v . Следствие. Предельная относительная погрешность степени  a  в  раз больше предельной относительной погрешности основания, то есть  a      В частности, извлечение корня n-ой степени уменьшает предельную относительную погрешность в n раз. Пример. Даны три числа a = 1,23; b = 3,45; c = 0,15, все знаки которых верны в широком смысле, то есть  a  0,01; b  0,01; c  0,01. а) Найдём сумму чисел S  a  b  c . Решение. Приближённое значение s  1,23  3,45  0,15  4,83 , его абсолютная погрешность  s   a  b  c   s  0,01  0,01  0,01  0,03  S  s   s  4,83  0,03  S [4,80; 4,86]  S  4,8  0,06 . б) Найдём произведение чисел P  a  b . Решение. Приближённое значение p  1,23  3,45  4,2435 . Относительная погрешность множителей 0,01 0,01 a   0,00813; b   0,00290 1,23 3,45 следовательно, относительная погрешность произведения ab  a  b  0,00813  0,01103   ab  p  ab  0,0468  0,05 , то есть у произведения всего один верный в узком смысле знак после запятой. Точное значение P  a  b   ab ; P  4,2435  0,04682  P  4,1967; 4,2903. С учётом вывода о количестве верных знаков P  4,2  0,1. в) Найдём частное чисел D  b c . Решение. Приближённое значение d  3,45 0,15  23 , его относительная погрешность 0,01 0,01  bc    0,0696 , 3,45 0,15 следовательно,  b c  d   b c  23  0,0696  1,61  2 . Отсюда, D  23  1,61  D  21,39; 24,61. С учётом вывода о количестве верных знаков D  23  2 . Упражнение. Оценить сверху относительную погрешность при 1 вычислении площади треугольника по формуле S  ab  sin  , в ко2 тором a = 27,3; b = 44,6;   6426  2 . 1.5. Строгий учёт погрешности по методу (способу) границ Если про некоторое число Х известно, что X  a; b, то а – нижняя, b – верхняя граница числа Х. Обозначим нижнюю границу числа Х – НГХ, а верхнюю границу – ВГХ. Вычисление со строгим учетом погрешностей по методу границ позволяют дать точную оценку погрешности полученного результата. В основе метода лежат ранее сформулированные следствия и теоремы, описанные ниже. Теорема 1 НГ X Y  НГ X  НГ Y , ВГ X Y  ВГ x  ВГ y . Теорема 2 НГ X Y  НГ X  НГ Y , ВГ X  y  ВГ x  ВГ y . Теорема 3 Если x, y>0, то НГ XY  НГ X  НГ Y , ВГ XY  ВГ x  ВГ y . Теорема 4 НГ X ВГ X Если x, y>0, то НГ X Y  , ВГ X Y  . НГ Y ВГ Y Замечание. На основании свойств неравенств очевидно, что нижнюю границу можно и нужно округлять по недостатку, а верхнюю – по избытку. Пример. Найдём верхнюю и нижнюю границы для числа B D  C , где B  b  3,45; C  c  0,15 . Решение. Абсолютные погрешности чисел В и С  B  0,01; C  0,01 , следовательно, B [3,44; 3,46], C [0,14; 0,16] . Отсюда НГ В 3,44 ВГ B 3,46 НГ B C    21,5; ВГ B C    24,72 ВГ С 0,16 НГ C 0,14  D [21,5; 24,72]. Замечание. Если для числа Х известны верхняя и нижняя границы, то за приближённое значение величины Х удобно брать их среднее арифметическое ВГ X  НГ X , 2 a в качестве предельной абсолютной погрешности – x ВГ X  НГ X . 2 В рассмотренном выше примере b 21,5  24,72 24,72  21,5 d   23,11,  B C   1,61  D  23,11  1,61 . c 2 2 x 