Математика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уральский государственный аграрный университет» ФГБОУ ВО Уральский ГАУ Учебное пособие по математике Кафедра «Математики и информационных технологий» Учебное пособие для студентов очного и заочного форм обучения Лекционные материалы по дисциплине «Математика» Екатеринбург, 2020 УДК.50 Авторы: ст. преподаватель ФГБОУ ВО Уральский ГАУ Н. А. Андрюшечкина, ст. преподаватель ФГБОУ ВО Уральский ГАУ A. A. Бaбкинa. Рецензент: Кандидат физ.мат.наук, доцент кафедры математики и информатики ФГБОУ ВО Уральский ГАУ. Н.Л.Змaтрaков Учебное пособие предназначено для подготовки к лекционным занятиям студентов очного и заочного форм обучения по дисциплине «Математика» - Екатеринбург, 2020 – 214с. Утверждено учебно – методической комиссией ФИТ ФГБОУ ВО Уральского ГАУ 2 Линейная алгебра. Матрицы и определители. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.  a11  a А =  21 ...  a  m1 a12 a 22 ... a m3 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn  Основные действия над матрицами. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. 1  Матрица вида:  ...  0  0 ... 0   1 ... 0  = E, называется единичной матрицей. ... ... ...  0 ... 1  Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример:  2 1 5    1 3 6  - симметрическая матрица  5 6 4    a11 0  0 a 22 Квадратная матрица вида  ... ...   0  матрицей. 3 0   0  называется диагональной ... 0   ... a nn  ... ... Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij  bij, т.е. С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.  a11   a A   21 ...   a  m1 a12 a 22 ... a m 2 ... a1n   ... a 2 n  , ... ...   ... a mn   (А+В) =А  В , А() = А  А Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: n сij   aik  bkj . AB = C; k 1 Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц: 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. 4 2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: (АВ)С=А(ВС). 3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС. 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:(AB) = (A)B = A(B). 5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается транспонированная матрица. 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB. Что такое det будет рассмотрено ниже. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.  а11  a А =  21 ...  a  m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n   ... a 2 n  ; ... ...   ... a mn   a11  Т  a12 В = А = ...  a  1n a 21 ... a m1   a 22 ... a m 2  ; ... ... ...   a 2 n ... a mn  другими словами, bji = aij. Определители ( детерминанты).  а11 a12  a a Определителем квадратной матрицы А=  21 22 ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  называется число, ... ...   ... a nn  которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: 5 n  (1) det A = k 1 k 1 a1k M 1k (1), где М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: n  (1) det A = k 1 k 1 a k1 M k1 (2) Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: n  (1) detA = k i k 1 Очевидно, что i = 1,2,…,n. aik M ik , различные матрицы могут (3) иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием iой строки и j-го столбца. Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det AT; Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B. 6 Свойство 3. det (AB) = detAdetB Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине. Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число. Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю. Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения. Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.) Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю. Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно: a b d e c a f  d1 b e1 c a f1  d 2 b e2 c f2 k m l m l m l k k  1 2 1   Пример. Вычислить определитель матрицы А =  0  2 3   3 1 1   1 2 1 2 3 0 3 0 2 0  2 3  1  2  1  (2  1  1  3)  2(0  1  3  3)  (0  1  3  2)  1 1 3 1 3 1 3 1 1 = -5 + 18 + 6 = 19. 7 Элементарные преобразования. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ). Миноры. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором. Алгебраические дополнения. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное. 8 Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения. Обратная матрица. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. При нахождении обратных матриц больших порядков применяют следующую формулу: xij  1i  j M ji det A , где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.  1 2 -1  , найти А .  3 4 Пример. Дана матрица А =  det A = 4 - 6 = -2. M11=4; x11= -2; Таким образом, M12= 3; x12= 1; M21= 2; x21= 3/2; M22=1 x22= -1/2 1   2 .  3 / 2 1 / 2 А-1=  Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц: 1.(A-1)-1 = A; 9 2. (AB)-1 = B-1A-1 Ранг матрицы. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы. Пример. Определить ранг матрицы. 1 0 0 0 5    1 0 0 0 5  1 5      ,  0 0 0 0 0     2 0 0 0 11  2 11  2 0 0 0 11   1 5  11  10  1  0  RgA = 2. 2 11 Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. 10 Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора. Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений: a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  .......... .......... .......... .......... .......  a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn  a11 a12  a a Составим матрицы: A =  21 22 ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  ; ... ...   ... a nn   b1    b B =  2  ; ...   b   n  x1    x X =  2  . ...   x   n Систему уравнений можно записать: AX = B. Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B, т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В 11 Х = А-1В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка. Пример. Решить систему уравнений: 5 x  y  z  0   x  2 y  3z  14 4 x  3 y  2 z  16   x   Х =  y , B = z   0   14  , A = 16     5  1  1   1 2 3  4 3 2    Найдем обратную матрицу А-1. 5 1 1  = det A = 1 2 3  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30. 4 3 2 1 1 = 1; 3 2 1 1 2 3 M11 = 2 3 = -5; 3 2 M12 = 1 3  10; 4 2 M22 = 5 1  14; 4 2 M32 = 5 1  16; 1 3 M13 = 1 2  5; 4 3 M23 = 5 1  19; 4 3 M33 = 5 1  11; 1 2 5 ; 30 10  ; 30 5  ; 30 1 a11  1 a 21 1 a31 M21 = 1 1 1 ; a13  ; 30 30 14 16 1 1 a 22  ; a 23  ; 30 30 19 11 1 1 a32  ; a33  ; 30 30 M31 = 1  1  30  6 1 7 -1 A =    3 15  1 19  30  6 1 a12  Cделаем проверку: 12 1   30  8  ; 15  11    30  = -1;  5   5  1  1 30   10 AA-1 =  1 2 3     4 3 2  30   5   30 1 30 14  30 19 30 1   30   25  10  5 5  14  19 5  16  11   16  1    5  20  15 1  28  57 1  32  33  =E. 30  30   11   20  30  10 4  42  38 4  48  22    30  Находим матрицу Х. 1  1  30  x  6   1 7 -1 Х =  y = А В =    3 15 z  1 19    30  6 1   30   0  8     14  = 15    11  16    30  14 16   1   0  30 30   1   6   1 0  98  128    2  .    3 15 15    1 266 176   3    0  30 30  6 Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Метод Крамера. Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.det A  0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. Теорема. (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными 13 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ............................................... a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/, где  = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. i = a11...a1i 1 a 21...a 2i i b1 b2 a1i 1 ...a1n a 2i 1 ...a 2 n ... a n1 ...a ni1 ... bn ... a ni1 ...a nn a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2 a x  a x  a x  b 32 2 33 3 3  31 1  a11 a12  A =  a 21 a 22 a  31 a32 x1 = 1/detA; a13  b1  a 23  ; 1= b2 a33  b3 a12 a 22 a32 x2 = 2/detA; a13 a11 b1 a 23 ; 2= a 21 b2 a33 a31 b3 a13 a11 a12 a 23 ; 3= a 21 a 22 a33 a31 a32 b1 b2 ; b3 x3 = 3/detA; 5 x  y  z  0 Пример. Найти решение системы уравнений:  x  2 y  3z  14 4 x  3 y  2 z  16  5 1 1 =1 2 4 3 3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; 2 0 1 1 1 = 14 2 3 = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. 16 3 2 x1 = 1/ = 1; 5 0 1 2 = 1 14 3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x2 = 2/ = 2; 4 16 2 14 5 1 0 3 = 1 2 14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x3 = 3/ = 3. 4 3 16 Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0. При  = 0 система имеет бесконечное множество решений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 ,  ............................................... a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица  a11  a А =  21 ...  a  m1  a11  *  a 21 А= ...  a  m1 ... am2 ... a1n   ... a 2 n  называется матрицей системы, а матрица ... ...   ... a mn  a12 a 22 ... a1n ... a 2 n ... am2 ... ... ... a mn a12 a 22 b1   b2  называется расширенной матрицей системы ...   bm  Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна. 15 К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х. Теорема Кронекера – Капелли. Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*. Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:  x1  3x 2  5 x3  7 x 4  9 x5  1   x1  2 x 2  3x3  4 x 4  5 x5  2 2 x  11x  12 x  25 x  22 x  4 2 3 4 5  1 9  1 3 5 7 9  1 3 5 7 9  1 3 5 7       A =  1  2 3  4 5  ~  3 9 15 21 27  ~  1 3 5 7 9  ~  2 11 12 25 22   2 11 12 25 22   2 11 12 25 22        1 3 5 7 9   .  2 11 12 25 22  1 3  1 6  5  0 2 11 ~  9 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7     A* =  1  2 3  4 5 2  ~  0 0 0 0 0 1   2 11 12 25 22 4   2 11 12 25 22 4      RgA = 2. RgA* = 3. Система несовместна. Метод Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений: 16 метода заключается в a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ............................................... a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:  x1  d12 x 2  ...  d1n x n  d1 d x  d x  ...  d x  d  22 2 23 3 2n n 2 , где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.  .......... .......... .......... .......... ......  d m 2 x 2  d m 3  ...  d mn x n  d m dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. 2 x1  x 2  x3  5   x1  2 x 2  3x3  3 7 x  x  x  10 2 3  1 Составим расширенную матрицу системы. 3  3  1  2 3  3   2 1  1 5   1  2 3  3  1  2         А* =  1  2 3  3  ~  2 1  1 5  ~  0 5  7 11  ~  0 5  7 11   7 1  1 10   7 1  1 10   0 15  22 31   0 0  1  2          Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:  x1  2 x 2  3x3  3  , откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1. 5 x 2  7 x3  11  x  2  3 17 Элементы векторной алгебры. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. АВ  а Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.    Суммой векторов является вектор c  a  b     Произведение b   a; b   a , при этом a коллинеарен b .     Вектор a сонаправлен с вектором b ( a  b ), если  > 0.     Вектор a противоположно направлен с вектором b ( a  b ), если  < 0. Свойства векторов.     1) a + b = b + a - коммутативность.       2) a + ( b + с ) = ( a + b )+ с    3) a + 0 = a    4) a +(-1) a = 0   5) () a = ( a ) – ассоциативность    6) (+) a =  a +  a - дистрибутивность     7) ( a + b ) =  a +  b 18   8) 1 a = a Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a   e1   e2   e3 , то числа ,   и  - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: - равные векторы имеют одинаковые координаты, - при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,  a   ( e1   e2   e3 ) = ( )e1  ( ) e2  ( ) e3 . - при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. b  1 e1   2 e2   3 e3 ; a  1 e1   2 e2   3 e3 ;   a + b = (1  1 )e1  ( 2   2 )e2  ( 3   3 )e3 . Линейная зависимость векторов. Векторы a1 ,..., an называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация 1 a1   2 a2  ...   n an  0 , при не равных нулю одновременно i , т.е. 12   22  ...   n2  0 . Если же только при i = 0 выполняется 1 a1   2 a2  ...   n an  0 , то векторы называются линейно независимыми. Свойство 1. Если среди векторов a i есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. 19 Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы. Система координат. Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какойлибо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат. Декартова система координат. Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор ОМ назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора. 20 Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то АВ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1). Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то AB  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 . Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой точки определяются как: x x1  x2 ;  y y1  y 2 z  z 2 ; z 1 .   В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2. Линейные операции над векторами в координатах. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат a( x A , y A , z A ); b( x B , y B , z B ), тогда a  b  c( x A  x B ; y A  y B ; z A  z B );   a  (x A ;y A ;z A ) 21 Скалярное произведение векторов.   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.     a  b =  a  b cos Свойства скалярного произведения:    1) a  a =  a 2;       2) a  b = 0, если a  b или a = 0 или b = 0.     3) a  b = b  a ;      4) a ( b + c ) = a  b + a  c ;       5) (m a ) b = a (m b ) = m( a  b ); Если рассматривать векторы a( xa , y a , z a ); b( xb , yb , zb ) в   прямоугольной системе координат, то a  b = xa xb + ya yb + za zb; декартовой Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: cos   x a xb  y a y b  z a z b   ab Примеры:         1. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если a  2, b  3, ab.         2 2   2 10 a  a - 5 a  b + 6 a  b - 3 b  b = 10 a  3 b  40  27  13 ,     2 т.к. a  a  a  4, b  b  b  9, a  b  0 .       2. Найти угол между векторами a и b , если a  i  2 j  3k ,     b  6i  4 j  2k .  b = (6, 4, -2)  Т.е. a = (1, 2, 3),   a  b = 6 + 8 – 6 = 8:  b  36  16  4  56 .  a  1  4  9  14; cos = 8 14 56  8 2 14 14  4 2  ; 14 7 2 7   arccos . 22     3. Найти скалярное произведение (3 a - 2 b )(5 a - 6 b ), если    b  6, а ^ b   / 3.   2 2          1 15 a  a - 18 a  b - 10 a  b + 12 b  b = 15 a  28 a b cos  12 b  15  16  28  4  6   3 2  a  4, + 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.     arccos 17 . 50     4. Найти угол между векторами a и b , если a  3i  4 j  5k ,     b  4i  5 j  3k .   Т.е. a = (3, 4, 5), b = (4, 5, -3)  a  b = 12 + 20 - 15 =17 :   a  9  16  25  50; b  16  25  9  50 . 17 cos = 50 50  17 ; 50        5. При каком m векторы a  mi  j и b  3i  3 j  4k перпендикулярны.   b = (3, -3, -4) a = (m, 1, 0);   a  b  3m  3  0;  m  1 . Векторное произведение векторов.    Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:      1) c  a  b sin  , где  - угол между векторами a и b , sin   0; 0        2) вектор c ортогонален векторам a и b    3) a , b и c образуют правую тройку векторов.       Обозначается: c  a  b или c  [a, b ] . Свойства векторного произведения векторов:     1) b  a  a  b ;       2) a  b  0 , если a  b или a = 0 или b = 0;       3) (m a ) b = a (m b ) = m( a  b );        4) a ( b + с ) = a  b + a  с ;   5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в декартовой    прямоугольной системе координат с единичными векторами i , j , k , то 23  i   a  b = xa  j ya  k za xb yb zb 6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является   площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b . Пример.         Найти векторное произведение векторов a  2i  5 j  k и b  i  2 j  3k .   a = (2, 5, 1); b = (1, 2, -3)    i j k 2 5 5 1 2 1      a b  2 5 1  i j k  17i  7 j  k . 2 3 1 3 1 2 1 2 3 Смешанное произведение векторов.    Смешанным произведением векторов a , b и c называется число,  равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному   произведению векторов b и c .       Обозначается a  b  c или ( a , b , c ).    Смешанное произведение a  b  c по модулю равно объему параллелепипеда,    построенного на векторах a , b и c . Свойства смешанного произведения: 1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю; б)два из векторов коллинеарны; в)векторы компланарны.       2) (a  b )  c  a  (b  c )                   3) (a, b , c )  (b , c , a)  (c , a, b )  (b , a, c )  (c , b , a)  (a, c , b )           4) (a1  a2 , b , c )   (a1 , b , c )   (a2 , b , c )    5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c , равен 24   1    a, b , c 6    6)Если a  ( x1, y1, z1 ) , b  ( x2 , y2 , z 2 ), c  ( x3 , y3 , z3 ) , то x1    (a , b , c )  x 2 y1 y2 z1 z2 x3 y3 z3 Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2). BA  (2;3;4) Найдем координаты векторов: BD  (1;4;3) BC  (4;1;2) 2 3 4 1 1 V   1 4  3  (2(8  3)  3(2  12)  4(1  16))  6 6 Объем пирамиды 4 1  2  1 (22  30  68)  20(ед 3 ) 6 Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.  i BD  BC  1 j 4  k        3  i (8  3)  j (2  12)  k (1  16)  11i  10 j  17k . 4 1  2 BD  BC  112  10 2  17 2  121  100  289  510 Sосн = 510 / 2 (ед2) Т.к. V = S осн  h ; 3 h 3V 120 4 510   . (ед) S осн 17 510 Уравнение поверхности в пространстве. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности. 25 Общее уравнение плоскости. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0,    где А, В, С – координаты вектора N  Ai  Bj  Ck -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи: А = 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. 26 Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1, М2 , М3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны. ( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M ) = 0 M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 } Таким образом, M 1 M 2  {x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 } M 1 M 3  {x3  x1 ; y 3  y1 ; z 3  z1 } Уравнение плоскости, проходящей через три точки: x  x1 x 2  x1 y  y1 y 2  y1 z  z1 z 2  z1  0 x3  x1 y3  y1 z 3  z1 Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.  Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор a  (a1 , a2 , a3 ) . Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М2 и  произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a . Векторы M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 }  M 1 M 2  {x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 } и вектор a  (a1 , a2 , a3 ) должны быть компланарны, т.е.  ( M 1M , M 1M 2 , a ) = 0 x  x1 Уравнение плоскости: x2  x1 a1 y  y1 y 2  y1 a2 z  z1 z 2  z1  0 a3 Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.   Пусть заданы два вектора a  (a1 , a2 , a3 ) и b  (b1 , b2 , b3 ) , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей   плоскости, векторы a, b , MM 1 должны быть компланарны. Уравнение плоскости: 27 x  x1 a1 y  y1 a2 b1 b2 z  z1 a3  0 b3 Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A, B, C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Уравнение плоскости в отрезках. Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D  заменив  A B C x  y  z 1  0 , D D D D D D  a,   b,   c , получим уравнение плоскости в отрезках: A B C x y z   1 a b c Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z. Уравнение плоскости в векторной форме.   r  n  p, где     r  xi  yj  zk - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),     n  i cos   j cos   k cos  - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. ,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0. Расстояние от точки до плоскости. 28 Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно: d Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n 2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то    i j k   3  5 1  5 1 3   n1  AB  n2  1 3  5  i j k  11i  7 j  2k . 1 2 1 2 1 1 1 1 2 Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнение линии на плоскости. Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию. Уравнение прямой на плоскости. 29 Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: - C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат - А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох - В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу - В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу - А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой по точке и вектору нормали. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2)  перпендикулярно вектору n (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: x  x1 y  y1 z  z1   x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. 30 На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: y  y1  y 2  y1 ( x  x1 ) x2  x1 если х1  х2 и х = х1, еслих1 = х2. Дробь y 2  y1 = k называется угловым коэффициентом прямой. x 2  x1 Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем: 42 ( x  1) 3 1 y  2  x 1 x  y 1  0 y2 Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. A B Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: y   x  и обозначить  C B A C  k ;   b; т.е. y  kx  b , то полученное уравнение B B называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каждый ненулевой вектор  а (1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.  Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2). Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (-1)B = 0, т.е. А = В. Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0. При х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0 Уравнение прямой в отрезках. 31 Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим:  А В x y х  у  1 или   1 , где С С a b a C C ; b A B Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу. Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. х 1 С = 1,   у  1, 1 а = -1, b = 1. Нормальное уравнение прямой. Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число  1 A  B2 2 , которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 –нормальное уравнение прямой. Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой. 12 5 х у 1 65 65 уравнение этой прямой в отрезках: х y  1 (65 / 12) (13) уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) y нормальное уравнение 12 65 12 x  x  13. 5 5 5  прямой: cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5. 32 1 12 2  (5) 2  1 13 12 5 х  у  5  0; 13 13 Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Угол между прямыми на плоскости. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как tg  k 2  k1 . 1  k1 k 2 Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2. Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к 1 k прямой у = kx + b представляется уравнением: y  y1   ( x  x1 ) Расстояние от точки до прямой. Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как d  Ax 0  By 0  C A2  B 2 . Кривые второго порядка. Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. 33 1) x2 y2   1 - уравнение эллипса. a2 b2 2) x2 y2   1 - уравнение “мнимого” эллипса. a2 b2 x2 y2 3) 2  2  1 - уравнение гиперболы. a b 4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5) y2 = 2px – уравнение параболы. 6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых. 7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых. 8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых. 9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности. Окружность. В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b). Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты: x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0 x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16 Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4. Эллипс. Эллипсом называется линия, заданная уравнением 34 x2 y2   1. a2 b2 Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина. у М F1 O х F2 F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0) с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a2 = b 2 + c2 . r1 + r2 = 2a. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. Е = с/a. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса. Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность. Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: x12 y12   1 , то она a2 b2 x12 y12   1 , то точка находится вне a2 b2 находится внутри эллипса, а если эллипса. 35 Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения: r1 = a – ex, r2 = a + ex. Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е. Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: x2 y2   1. 25 16 1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4. 2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки: x0 y4  ; 30 0 4 x y4  ; 3 4 4 x  3 y  12; 4 x  3 y  12  0 Гипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. y M(x, y) b r1 r2 x F1 F2 По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c. Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: 36 r1  ( x  c) 2  y 2 r2  ( x  c) 2  y 2 ( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a ( x  c) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2 4a ( x  c) 2  y 2  4a 2  4 xc a 2 ( x  c) 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2 a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2 a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  x 2c 2  0  x 2 (c 2  a 2 )  a 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  0 x 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 ) обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) a 2b 2  b 2 x 2  a 2 y 2 x2 y2  1 a2 b2 Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы. Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. b a Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y   x. Отношение e  c  1 называется эксцентриситетом гиперболы, где с – a половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что с2 – а2 = b2: c2 a2  b2 b2 e  2   2 a a2 a 2 b  e2 1 a 37 Если а = b, e = 2 , то гипербола называется равнобочной (равносторонней). Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, a e называются директрисами гиперболы. Их уравнения: x   . Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету. Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением x2 y2   1. 25 9 Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; 2 b = 16 – 4 = 12. x2 y2 Итого:   1 - искомое уравнение гиперболы. 4 12 Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус. Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Каноническое уравнение параболы.y2 = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2. Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. 38 r = x + p/2 = 4; следовательно: x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4). Системы координат. Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат. Полярная система координат. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью. Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол  называется полярным углом. М  r 39 r = ОМ Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: x = rcos; y = rsin; x2 + y2 = r2 Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: r 9 . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе 4  5 cos  координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую. Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат. x2  y2  4 9 5x x2  y2 4 x 2  y 2  5x  9 4 x 2  y 2  5x  9 16 x 2  16 y 2  81  90 x  25x 2 9 x 2  90 x  16 y 2  81  0 9( x 2  10 x  25  25)  16 y 2  81  0 9( x  5) 2  225  16 y 2  81  0 9( x  5) 2  16 y 2  144 40 ( x  5) 2 y 2  1 16 9 Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4. Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0). Построим график этой гиперболы. y 3 F1 -9 -5 -1 0 F2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. Уравнение линии в пространстве. Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению: F(x, y, z) = 0. Это уравнение называется уравнением линии в пространстве. 41 Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением. Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.  F ( x, y , z )  0 назовем Ф( x, y, z )  0 Тогда пару уравнений  уравнением линии в пространстве. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.  Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный  данной прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z). z  S r0 M0 M1  r x y   Обозначим радиус- векторы этих точек как r0 и r , очевидно, что r - r0 = М 0М .   Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = S t, где t – некоторый параметр.   Итого, можно записать: r = r0 + S t. 42 Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координатной  x  x0  mt форме:  y  y 0  nt  z  z  pt  Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве: x  x0 y  y 0 z  z 0 .   m n p Направляющими косинусами прямой называются направляющие  косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам: cos   m m n  p 2 2 2 ; cos   n m n  p 2 2 2 ; cos   p m  n2  p2 2 . Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.  Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 .   m n p Кроме того, для точки М1 можно записать: x  x1 y  y1 z  z1 .   m n p Решая совместно эти уравнения, получим: 43 x  x1 y  y1 z  z1 .   x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве. Общие уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:   N  r + D = 0, где   N - нормаль плоскости; r - радиус- вектор произвольной точки плоскости.   Пусть в пространстве заданы две плоскости: N 1  r + D1 = 0 и N 2  r + D2  = 0, векторы нормали имеют координаты: N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2); r (x, y, z).  N1  r  D1  0 Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:    N 2  r  D2  0  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0  A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 Общие уравнения прямой в координатной форме:  Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.  i  S  N1  N 2  A1  j B1 A2 B2  k B C1  i 1 B2 C2 C1 A j 1 C2 A2 A k 1 C2 A2 C1 B1 B2     i m  j n  k p. Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде: 2 x  y  3z  1  0  5 x  4 y  z  7  0 44 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.  y  3z  1  y  3z  1  y  3z  1  y  2 , т.е. А(0, 2, 1).     4 y  z  7  0 12 z  4  z  7  0  z  1 z  1 Находим компоненты направляющего вектора прямой. m B1 C1 B2 C2  1 3 4 1  11; n   A1 C1 A2 C2  2 3 5 1  17; p A1 B1 A2 B2  2 1 5 4  13. Тогда канонические уравнения прямой:  x y  2 z 1   . 11 17 13 Угол между плоскостями. N2 1  N1 Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1, т.е. cos = cos1. Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:  N1  r  D1  0 , где    N 2  r  D2  0 45 N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: cos  1  N1  N 2 N1 N 2 . Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле: cos    A1 A2  B1 B2  C1C 2 A  B12  C12 A22  B22  C 22 2 1 Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: A1 A2  B1 B2  C1C2  0 . Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N 1  N 2 .Это условие выполняется, если: A1 B1 C1   . A2 B2 C 2 Угол между прямыми в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:  l1: r  r1  S1t  l2: r  r2  S 2 t  r  ( x, y, z ); r1  ( x1 , y1 , z1 ); r2  ( x2 , y 2 , z 2 ); S1  (m1 , n1 , p1 ); S 2  (m2 , n2 , p2 ). 46 Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом: cos    S1  S 2 S1 S 2  m1 m2  n1 n2  p1 p 2 m  n12  p12 m22  n22  p 22 2 1 . Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны. m1 n1 p   1 m2 n 2 p 2 Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. m1m2  n1n2  p1 p2  0 Угол между прямой и плоскостью. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.     Пусть плоскость задана уравнением N  r  D  0 , а прямая - r  r0  St . Из геометрических соображений видно, что искомый угол  = 900 - , где    угол между векторами N и S . Этот угол может быть найден по формуле:   N S cos     N S   N S sin    cos      N S В координатной форме: sin    Am  Bn  Cp A2  B 2  C 2 m 2  n 2  p 2 47 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.     NS , N  S  0, sin   0, Am  Bn  Cp  0. Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.   N  S  0; A B C   m n p Поверхности второго порядка. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка. Цилиндрические поверхности. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой. Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих: 1) x2 y2   1 - эллиптический цилиндр. a2 b2 48 2) x2 y2   1 - гиперболический цилиндр. a2 b2 3) x2 = 2py – параболический цилиндр. Поверхности вращения. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz. Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу, 49 F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох. Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев: 1) x2  y2 z2  2  1 - эллипсоид вращения a2 c 2) x2  y2 z2  2  1 - однополостный гиперболоид вращения a2 c 3) x2  y2 z 2  2  1 - двуполостный гиперболоид вращения a2 c 4) x2  y2  2 z - параболоид вращения p Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу. Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже: Сфера: ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  r 2 50 Трехосный эллипсоид: В сечении x2 y2 z2   1 a2 b2 c2 эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям, получаются эллипсы с различными осями. Однополостный гиперболоид: Двуполостный гиперболоид: x2 y2 z2   1 a2 b2 c2 x2 y2 z 2    1 a2 b2 c2 51 координатным Эллиптический параболоид: x2 y2   2 z, г де p  0, q  0 p q 52 Гиперболический параболоид: Конус второго порядка: x2 y2   2z p q x2 y2 z 2   0 a2 b2 c2 53 Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор х  L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство: A х  х . При этом  число (характеристическим называется числом) собственным линейного значением преобразования А, соответствующего вектору х . Если линейное преобразование А в некотором базисе e1 , e2 ,…, en имеет матрицу А =  a11 a12   a 21 a 22  ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  , ... ...   ... a nn  то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения: a11   a 21 ... a n1 a12 ... a 22   ... ... an2 a1n a2n ... ... ... a nn   0 Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А. Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна преобразование А может быть задано формулами:  a11 a12   x1   x1         ;  a 21 a 22   x 2   x 2  54  x1  a11 x1  a12 x 2   x 2  a 21 x1  a 22 x 2  a11 a12    .  a 21 a 22  Тогда в некотором базисе e1 , e2 . Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А х  х .  x1  x1  a11 x1  a12 x2   x2  x2  a 21 x1  a 22 x2 или (a11   ) x1  a12 x2  0  a 21 x1  (a 22   ) x2  0 Т.к. собственный вектор x ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.  a11   a12 a 21 a 22  (a11   )(a 22   )  a12 a 21  2  (a11  a 22 )  (a11a 22  a12 a 21 ) Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А. Таким образом, можно найти собственный вектор х (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения . Понятно, действительных что если корней, характеристическое то линейное уравнение преобразование А не имеет не имеет собственных векторов. Следует отметить, что если х - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением . Действительно, A(kx )  kAx  kx   (kx ) . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую. 55 Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня 1 и 2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые. Если характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 = 2 = , то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при 0  х1  0  х 2  0 . Эта 0  х1  0  х 2  0 подстановке в систему она превращается в систему вида:  система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия. Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы  5 4  .  2 3 линейного преобразования с матрицей А =  Запишем линейное преобразование в виде: x1  x1  5 x1  4 x2 x 2  x2  2 x1  3x2 Составим характеристическое уравнение: 5 4  (5   )(3   )  8  15  3  5  2  8  0 2 3 2 - 8 + 7 = 0; Корни характеристического уравнения: 1 = 7; 2 = 1; (5  7) x1  4 x2  0  2 x1  4 x2  0  2 x1  (3  7) x2  0 2 x1  4 x2  0 Для корня 1 = 7:  Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр. (5  1) x1  4 x2  0 4 x1  4 x2  0  2 x1  (3  1) x2  0 2 x1  2 x2  0 Для корня 2 = 1:  56 Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр. Полученные собственные векторы можно записать в виде: u1  t (e1  0,5e2 ); u 2  t (e1  e2 ). Квадратичные формы. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 Ф(х1, х2) = а11 x12  2a12 x1 x2  a22 x22 не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1 и х2. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3 Ф( x1 , x2 , x3 )  a11x12  a22 x22  a33 x32  2a12 x1 x2  2a23 x2 x3  2a13 x1 x3 не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3. Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная а а  форма имеет симметрическую матрицу А =  11 12  . Определитель этой  а12 а 22  матрицы называется определителем квадратичной формы. Пусть на плоскости задан ортогональный базис е1 , е2 . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2. Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11 x12  2a12 x1 x2  a22 x22 , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей а А   11  а12 а12  . а 22  Это симметрическое преобразование можно записать в виде: 57 y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 где у1 и у2 – координаты вектора Ах в базисе е1 , е2 . Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2. Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение х  Ах  Ф . Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:  А   1 0 0 .  2  При переходе к новому базису от переменных х 1 и х2 мы переходим к переменным х1 и х 2 . Тогда: Ф  х1 у1  х 2 у 2  х1  а12  х 2 у1  а11  х1  а 22  х 2 у 2  а12 Тогда у1  1 х1 , у 2  2 х2 . Выражение Ф( х1 , х2 )  1 ( х1 ) 2  2 ( х2 ) 2 называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных. 58 Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка. Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27 х12  10 х1 х2  3х22 . Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3. Составим характеристическое уравнение: 27   5  0; 5 3 (27 - )(3 - ) – 25 = 0 2 - 30 + 56 = 0 1 = 2; 2 = 28; Ф( х1 , х2 )  2 х1 2  28х2 2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Числовая последовательность. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn} Общий элемент последовательности является функцией от n. xn = f(n) Таким образом последовательность может рассматриваться как функция. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; … {xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; … Для последовательностей можно определить следующие операции: 59 1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … 2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn}  {yn} = {xn  yn}. 3) Произведение последовательностей: {xn}{yn} = {xnyn}. 4) Частное последовательностей: xn   xn  при {yn}  0.  y n   y n  Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: xn  M т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M). Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn  M. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn  M Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: a  x n   . Это записывается: lim xn = a. В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n. Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. Пример. Доказать, что предел последовательности lim 60 (1) n  0. n Пусть при n > N верно 0  (1) n   , т.е. n образом, если за N взять целую часть от 1 1   . Это верно при n  , таким n  1 , то утверждение, приведенное  выше, выполняется. Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела. Теорема. Если xn  a, то xn  a . Теорема. Если xn  a, то последовательность {xn} ограничена. Например,  1 1  n , при четном n последовательность xn   не 2  1 , при нечетном n  n имеет предела, хотя xn  2. Монотонные последовательности. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая. 2) Если xn+1  xn для всех n, то последовательность неубывающая. 3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая. 4) Если xn+1  xn для всех n, то последовательность невозрастающая Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная {xn} = n – возрастающая и неограниченная. Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. 61 Предел функции в точке. y f(x) A+ A A- a- a a+ x Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + . f ( x)  A Запись предела функции в точке: lim x a f ( x)  A1 - называется Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то xlim a  0 пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а f ( x)  A2 называется пределом функции f(x) в точке только при x > a, то xlim a  0 х = а справа. 62 Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство A  f (x)   При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают: lim f ( x)  A. x  Аналогично можно определить пределы xlim f ( x)  A для любого х>M и  lim f ( x)  A для любого х0. Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и lim x a 63 Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0. Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и lim g ( x)  lim u( x)  A , то и lim  A . x a x a x a Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)0 существует такое число >0, что неравенство f(x)>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < x - a <  Записывается lim f ( x)   . x a Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим: lim f ( x)  , x a а если заменить на f(x)0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию x  x0   верно неравенство f ( x)  f ( x 0 )   . 69 Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной. f(x) = f(x0) + (x), где (х) – бесконечно малая при хх0. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х 0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0. 2) Частное двух непрерывных функций f ( x) – есть непрерывная g ( x) функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0. 3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция. Это свойство может быть записано следующим образом: Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке. Непрерывность некоторых элементарных функций. 1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения. 2) Рациональная функция f ( x)  a0 x n  a1 x n 1  ...  a n b0 x m  b1 x m1  ...  bm непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения. 3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения. Точки разрыва и их классификация. Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной. Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом. 70 Если односторонний предел (см. выше) lim f ( x)  f ( x0 ) , то функция x x 0 называется непрерывной справа. х0 Если односторонний предел (см. выше) xlim f ( x)  f ( x0 ) , то функция  x 0 называется непрерывной слева. х0 Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. lim f ( x)  lim f ( x) x  x0  0 x  x0 0 Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже. 71 Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. Пример. Функция f(x) = lim f ( x)  ; x 0 0 1 имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. х lim f ( x)   . x 00 7.5 5 2.5 -10 -5 5 10 -2.5 -5 -7.5 … Gr aphi cs … Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Свойство 1: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M. Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем m  f(x)  M Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx). 72 Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х1[a,b] и x2[a,b] таких, чтох2 – х1<  верно неравенство f(x2) – f(x1) <  Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. f ( x)  lim x 0 f ( x  x)  f ( x) x Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg  f  x тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. lim tg  lim x 0 x 0 f  f ( x0 )  tg , x где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке. Уравнение касательной к кривой: y  y0  f ( x0 )( x  x0 ) 73 Уравнение нормали к кривой: y  y0   1 ( x  x0 ) . f ( x0 ) Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Односторонние производные функции в точке. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения отношение существует. f  ( x0 )  lim x 0  f x f x при условии, что это f x 0  x f  ( x0 )  lim Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х 0, она может быть в ней не дифференцируема. Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной. Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Основные правила дифференцирования. Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. 1) (u  v) = u  v 2) (uv) = uv + uv 74   u  u v  v u 3)    , если v  0 v2 v Производные основных элементарных функций. 9) sin x   cos x 1)С = 0; 10) cos x    sin x 2)(xm) = mxm-1; 3)  x   2 1 x 11) tgx   1 cos 2 x  1 1 4)     2 x  x 12) ctgx     13) arcsin x   5) e x   e x  1 sin 2 x 1 1 x2 6) a x   a x ln a 14) arccos x    7) ln x   15) arctgx   1 x 8) log a x   1 x2 1 1 x2 16) arcctgx    1 x ln a 1 1 1 x2 Производная сложной функции. Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда y   f (u)  u  Логарифмическое дифференцирование. ln x, при x  0 . ln(  x), при x  0 Рассмотрим функцию y  ln x   Тогда (lnx)= 1 1 (  x)  1 , т.к. ln x   ; (ln( x))   . х x x x  Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)   Отношение f ( x) . f ( x) f ( x) называется логарифмической производной функции f(x). f ( x) 75 Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле f ( x)  (ln f ( x) )  f ( x) Производная показательно- степенной функции. Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной. Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0. Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим: lny = vlnu y u  v  ln u  v y u  u  y   u v  v  v  ln u   u  u   vu v u   u v v ln u v 1 Пример. Найти производную функции f ( x)  ( x 2  3x) x cos x . По полученной выше формуле получаем: u  x 2  3x; v  x cos x; Производные этих функций: u   2 x  3; v  cos x  x sin x; Окончательно: f ( x)  x cos x  ( x 2  3x) x cos x1  (2 x  3)  ( x 2  3x) x cos x (cos x  x sin x) ln( x 2  3x) Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: lim x 0 Тогда можно записать: y  f ( x) x y  f (x)   , где 0, при х0. x 76 Следовательно: y  f ( x)  x    x . Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx. Можно также записать: f ( x)  dy dx Свойства дифференциала. Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства: 1) d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv 2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv 3) d(Cu) = Cdu u vdu  udv 4) d    2 v v Дифференциал сложной функции.Инвариантная форма записи дифференциала. Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция. dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx. Тогда Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала. 77 Однако, если х- независимая переменная, то dx = x, но если х зависит от t, то х  dx. Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной. 1 2 Пример. Найти производную функции y  x cos x sin x  cos 2 x . 1 2 1 2 Сначала преобразуем данную функцию: y  sin 2 x  cos 2 x y  1 1 1 1 sin 2 x  x2 cos 2 x  2 cos x( sin x)  sin 2 x  x cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x. 2 2 2 2 2 x 2e x Пример. Найти производную функции y  2 . x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x 2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x y    ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2 2 2 xe x ( x 4  1  x 2 )  ( x 2  1) 2 Формула Тейлора. Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}. 2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х  а. Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула: f (a) f (a) f ( n ) (a) f ( n1) ( ) 2 n f ( x)  f ( a )  ( x  a)  ( x  a)  ...  ( x  a)  ( x  a) n1 1! 2! n! (n  1)! - это выражение называется формулой Тейлора, а выражение: f ( n 1) ( ) ( x  a) n 1  Rn1 ( x) (n  1)! называется остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения 78 различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д. При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора. Формула Маклорена. Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0: f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x)  f (0)  x x  ...  x  Rn ( x) 1! 2! n! Rn ( x)  f ( n 1) (x) n1 x ; (n  1)! 0  1 Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа. Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют. Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно. Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора. 79 Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е. Rn1 ( x)   ([ x  a]n ) . Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. К разряду соотношения: неопределенностей принято относить следующие 0  ; ;   0;  0 ; 1 ;    0  Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. lim x a Пример: Найти предел lim x 1 f ( x) f ( x)  lim x  a g ( x) g ( x) x 2  1  ln x . ex  e Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. f(x) = 2x + lim x 1 f ( x)  g ( x) 1 ; х g(x) = ex; 1 x  2 1  3 ; x e e e 2x  Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную 80 y   f ( x)  Если найти производную df ( x) dx функции f(x), получим вторую производную функции f(x). y   f ( x)  т.е. y = (y) или d 2 f ( x) dx 2 d 2 y d  dy    . dx 2 dx  dx  Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n. d n y d  d n 1 y  .   dx n dx  dx n 1  Общие правила нахождения высших производных. Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то 1) (Сu)(n) = Cu(n); 2) (u  v)(n) = u(n)  v(n); 3) (u  v) ( n)  vu( n)  nu ( n1) v  n(n  1) ( n2) n(n  1)...[n  (k  1)] ( nk ) ( k ) u v  ...  u v  ... 2! k! ...  uv ( n ) . Это выражение называется формулой Лейбница. Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0. 81 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b]. Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b]. Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Точки экстремума. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным). Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум. 82 Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю. Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум. На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: 1) Найти критические точки функции. 2) Найти значения функции в критических точках. 3) Найти значения функции на концах отрезка. 4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1. Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, 83 обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой. Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла). Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба. Асимптоты. При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на  x 3 приведенном ниже графике функции y  x  e sin x . Ее наклонная асимптота у = х. 84 10 5 - 10 -5 5 10 -5 - 10 - 15 - 20 Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если xlim f ( x)   a  0 или lim f ( x)   или lim f ( x)   , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x). x a  0 x a Например, для функции f ( x)  2 прямая х = 5 является вертикальной x5 асимптотой. Наклонные асимптоты. Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b. Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. В полученном выражении выносим за скобки х: b  f ( x) lim x  k   0 x  x  x  Т.к. х, то lim   k    0 , т.к. b = const, то lim  0; lim k  k . x  x x  x  x  x f ( x) Тогда lim x  b b f ( x)  k  0  0 , следовательно, x k  lim x  f ( x) . x Т.к. lim  f ( x)  kx  lim  f ( x)  (kx  b)  0 , то lim b  0 , следовательно, x  x  x  b  lim  f ( x)  kx x  85 Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0. Пример. Найти асимптоты и построить график функции y  1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: x 2  2x  1 . x y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. 2) Наклонные асимптоты: x 2  2x  1  2 1  k  lim  lim 1   2   1 2 x  x   x  x x   x 2  2x  1   x 2  2x  1  x 2  1  2x  1     lim  b  lim ( f ( x)  x)  lim   x   lim    lim  2    2 x  x  x   x   x   x x x  x       Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой. Построим график функции: 6 4 2 -3 -2 -1 1 2 3 -2 Пример. Найти асимптоты и построить график функции y  9x . 9  x2 Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой. Найдем наклонные асимптоты: k  lim x  9 0 9  x2 9 9x b  lim  lim x  0 x  9  x 2 x  9 1 x2 y = 0 – горизонтальная асимптота. 86 6 4 2 - 7. 5 -5 - 2. 5 2. 5 5 7. 5 -2 -4 -6 Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать: 1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции. 2) Точки разрыва. (Если они имеются). 3) Интервалы возрастания и убывания. 4) Точки максимума и минимума. 5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. 6) Области выпуклости и вогнутости. 7) Точки перегиба.(Если они имеются). 8) Асимптоты.(Если они имеются). 9) Построение графика. Применение этой схемы рассмотрим на примере. Пример. Исследовать функцию y  x3 и построить ее график. x2 1 Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). 87 В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Областью значений данной функции является интервал (-; ). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки. Найдем производную функции y  3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2   2 ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2 ( x  1) 2 Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x = 3 ; x = -1; x = 1. Найдем вторую производную функции y      (4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1)  ( x 2  1) 4 (4 x 3  6 x)( x 4  2 x 2  1)  ( x 4  3x 2 )(4 x 3  4 x)  ( x 2  1) 4 4 x 7  8 x 5  4 x 3  6 x 5  12 x 3  6 x  4 x 7  4 x 5  12 x 5  12 x 3  ( x 2  1) 4 2 x 5  4 x 3  6 x 2 x( x 4  2 x 2  3) 2 x( x 2  3)( x 2  1) 2 x( x 2  3) .    ( x 2  1) 4 ( x 2  1) 4 ( x 2  1) 4 ( x 2  1) 3 Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. - < x < - 3 , y < 0, кривая выпуклая - 3 < x < -1, y < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая 1 < x < 3, y > 0, кривая вогнутая 3 < x < , y > 0, кривая вогнутая Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. - < x < - 3 , y > 0, функция возрастает - 3 < x < -1, y < 0, функция убывает -1 < x < 0, y < 0, функция убывает 88 0 < x < 1, y < 0, функция убывает 1 < x < 3, y < 0, функция убывает 3 < x < , y > 0, функция возрастает Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 3 /2 и -3 3 /2. Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты. x2 k  lim 2  lim x  x  1 x  1 1 1 x2  1; 1  x3   x3  x3  x  x   lim 2 b  lim  2  x   lim   lim x  0 2 x  x  1 x  x   1 x  1 x     x 1  1 2 x Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x. Построим график функции: 4 3 2 1 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 89 2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. F1(x) = F2(x) + C. Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают:  f ( x)dx  F ( x)  C; Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства:  f ( x)dx  (F ( x)  C)  f ( x); 2. d  f ( x)dx   f ( x)dx; 1. 3.  dF ( x)  F ( x)  C; 4.  (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx; где u, v, w – некоторые функции от х. 1.  C  f ( x)dx  C   f ( x)dx; 1 3 Пример:  ( x 2  2 sin x  1)dx   x 2 dx  2 sin xdx   dx  x 3  2 cos x  x  C; Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы 90 нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Интеграл 1  tgxdx 2  ctgxdx 3 a 4 a 2 x 2 5 6 x dx  x2 dx  a2 x a 7 x 8   dx x dx Значение 9 e ex + C 10  cos xdx sinx + C ax C ln a 11  sin xdx -cosx + C 1 x arctg  C a a 12  cos lnsinx+ C dx 2 Интеграл -lncosx+C dx  Значение 2 x dx 1 2 x 2 x dx tgx + C dx -ctgx + C 1 xa ln C 2a x  a 13 ln x  x 2  a 2  C 14 x  1  C ,   1  1 15  cos x dx 16  sin x dx ln x  C 1  sin  dx a x 2 2 1 1 arcsin x +C a  x  ln tg     C 2 4 ln tg x C 2 Методы интегрирования. Рассмотрим три основных метода интегрирования. 1. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой 91 этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Рассмотрим применение этого метода на примере: Требуется найти значение интеграла дифференцирования ln x    dx . На основе известной формулы x 1 можно сделать вывод, что искомый интеграл x равен ln x  C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны ln(  x)    (1)  . Таким образом, окончательно можно сделать 1 x 1 x вывод:  dx  ln x  C x Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже. 2. Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл  f ( x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:  f ( x)dx   f ((t ))(t )dt 92 Пример. Найти неопределенный интеграл  sin x cos xdx . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.  t dt   t 1 / 2 dt  2 3/ 2 2 t  C  sin 3 / 2 x  C. 3 3 3. Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = uv + vu где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем:  d (uv)   udv   vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv   udv   vdu  udv  uv   vdu ; или Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. u  x 2 ; dv  sin xdx;  2 Пример.  x sin xdx      x cos x   cos x  2 xdx  du  2 xdx; v   cos x 2   u  x; dv  cos xdx; 2 2     x cos x  2 x sin x   sin xdx   x cos x  2 x sin x  2 cos x  C. du  dx ; v  sin x   Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному. Интегрирование элементарных дробей. Элементарными называются дроби следующих четырех типов: I. II. 1 ; ax  b 1 ; (ax  b) m III. IV. Mx  N ; ax 2  bx  c Mx  N (ax  bx  c) n 2 m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b2 – 4ac <0. 93 Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. dx 1 dt 1 1  ln t  C  ln ax  b  C. t a a I.  ax  b  a  II.  (ax  b) dx m  1 dt 1 1  C    C; m m 1  a t a(m  1)t a(m  1)(ax  b) m1 Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде: A Ap   (2 x  p)   B   Ax  B A 2x  p Ap  dx 2 2    dx   2 dx   B    2 2  x 2  px  q dx   2 x  px  q 2  x  px  q x  px  q  A Ap  dx A 2 B  Ap   ln x 2  px  q   B   ln x 2  px  q    2 2 2 2    p  p  2 4q  p 2   x     q  2  4   2x  p  arctg C 4q  p 2 Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам. Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах. Примеры u  6 x  5; du  6dx; 7x  2 84 x  24 84 x  24     3x 2  5x  4 dx   36 x 2  60 x  48 dx   (6 x  5) 2  23 dx   x  u  5 ;   6 1 14u  70  24 7 udu 23 du 7 23 u   du   2   2  ln(u 2  23)  arctg C  2 6 3 u  23 3 u  23 6 u  23 3 23 23  7 23 6x  5 ln 36 x 2  60 x  48  arctg  C. 6 3 23 Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом. u  x  3; du  dx; 5x  3 5x  3 5u  15  3 udu dx  dx  du  5 2   2  x 2  6 x  40  ( x  3) 2  49  x  u  3; u  49 u  49   18 du 5 18 u  7 5 9 x4  ln u 2  49  ln  C  ln x 2  6 x  40  ln  C. 14 u  7 2 7 x  10 u  49 2 2 94  3x  4 7  x 2  6x  13 du 16  u 2 dx   u  x  3; du  dx; 3u  9  4 udu dx    du  3    x  u  3;  16  ( x  3) 2 16  u 2 16  u 2 3x  4  3 16  u 2  13 arcsin u x3  C  3 7  x 2  6 x  13 arcsin  C. 4 4 Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа. Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1. Тогда интеграл вида  (ax 2 dx можно путем выделения в знаменателе  bx  c) n полного квадрата представить в виде  (u 2 du . Сделаем следующее  s) n преобразование: du 1 s  u2  u2 1 du 1 u 2 du .  du    (u 2  s) n s  (u 2  s) n s  (u 2  s) n 1 s  (u 2  s) n Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям. udu   dv1  (u 2  s ) n ; u1  u; du1  du;   Обозначим:   udu 1 v    ; 1  (u 2  s) n 2(n  1)(u 2  s) n1    u 2 du u 1 du  (u 2  s) n   (2n  2)(u 2  s) n1  2n  2  (u 2  s) n1 ; Для исходного интеграла получаем:  (u 2  (u 2 du 1 du u 1 du   2   n n 1 2 n 1 2  s (u  s) s(2n  2) (u  s) n1  s) s(2n  2)(u  s) du u 2n  3 du   . n 2 n 1 2  s(2n  2) (u  s) n1  s) s(2n  2)(u  s) Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл u du . s 2 95 Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае. u  2ax  b; du  2adx;  Mx  N Mx  N   n  (ax 2  bx  c) n dx  (4a)  (2ax  b) 2  (4ac  b 2 ) n dx   x  u  b ; s  4ac  b 2 ;    2a M (u  b) N n ( 4a ) ( 4a ) n  M udu 2aN  Mb du  2 a  du     2  2 n n 2   2a 2a  2a (u  s ) 2a (u  s) (u  s) n    В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному dt t n , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула. Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ. Пример:  (x 2 u  x  2; du  dx; 3x  5 3x  5 3u  6  5 dx   dx   du   2 2 2 2  4 x  7) (( x  2)  3) (u  3) 2  x  u  2;  t  u 2  3;  3 dt  udu du u 1 du   3 2  11 2      2  11  2 2 2 2  (u  3) (u  3)  3  2(u  3) 3  2 u  3  dt  2udu; 2 t 3 11u 11 u 3 11( x  2) 11 x2    arctg C     arctg  C. 2 2 2 2t 6(u  3) 6 3 2( x  4 x  7) 6( x  4 x  7) 6 3 3 3 Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби. Теорема: Если R( x)  Q( x) P( x) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: 96 P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: B A A A2 B1 B2 M x  N1 Q( x)  1   ...   ...    ...   21  2  2  P( x) x  a ( x  a ) ( x  b) ( x  b) ( x  a) ( x  b) x  px  q R x  S  M  x  N M x  N2 R1 x  S1 R2 x  S 2  2 2  ...   ...    ...  ( x  px  q) 2 ( x 2  px  q)  x 2  rx  s ( x 2  rx  s) 2 ( x 2  rx  s)  где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере. Пример. 9 x 3  30 x 2  28 x  88  ( x 2  6 x  8)( x 2  4) dx Т.к. ( x 2  6 x  8)( x 2  4)  ( x  2)( x  4)( x 2  4) , то 9 x 3  30 x 2  28 x  88 A B Cx  D    2 2 ( x  2)( x  4)( x  4) x  2 x  4 x  4 Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем: A( x  4)( x 2  4)  B( x  2)( x 2  4)  (Cx  D)( x 2  6 x  8)  9 x 3  30 x 2  28x  88 ( A  B  C ) x 3  (4 A  2 B  6C  D) x 2  (4 A  4 B  8C  6 D) x  (16 A  8B  8D)   9 x 3  30 x 2  28 x  88. A  B  C  9  4 A  2 B  6C  D  30   4 A  4 B  8C  6 D  28  16 A  8B  8D  88 C  9  A  B  D  30  4 A  2 B  54  6 A  6 B   2 A  2 B  4C  3D  14 2 A  B  D  11 97 C  9  A  B  D  24  2 A  4 B   2 A  2 B  36  4 A  4 B  72  6 A  12 B  14 2 A  B  24  2 A  4 B  11 C  9  A  B  D  24  2 A  4 B   4 A  10 B  50 50  10 B  5B  35 C  9  A  B  D  24  2 A  4 B   4 A  10 B  50 4 A  5B  35 C  9  A  B  D  24  2 A  4 B   4 A  10 B  50  B  3 A  5 B  3   C  1  D  2 Итого: x2 x 2 dx  5 ln x  2  3 ln x  4   2 dx   2 dx  2 4 x 4 x 4 1 x  5 ln x  2  3 ln x  4  ln( x 2  4)  arctg  C. 2 2 5 3  x  2 dx   x  4 dx   x Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. x 2 Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t  tg . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную. 2tg x 2 x 2 2  1 t ; cos x  x 1 t2 1  tg 2 2 1  tg 2 2t , sin x   1 t2 2 x 1  tg 2 Тогда x  2arctgt ; dx  2dt ; 1 t 2  2t 1  t 2  2  , dt   r (t )dt. 2 2  2 1 t 1 t 1 t Таким образом:  R(sin x, cos x)dx   R 98 Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой. Пример. 2dt dx dt dt 1 t2   2  2 2  2 2 2  4 sin x  3 cos x  5  2t 1 t 8t  3  3t  5  5t 2t  8t  8 4 3 5 1 t2 1 t2 dt dt 1 1  2   C    C. 2 x t2 t  4t  4 (t  2) tg  2 2 Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил. Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx если функция R является нечетной относительно cosx. Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.  R(sin x, cos x)dx   Функция R(sin x, cos x) cos xdx cos x R(sin x, cos x) может содержать cosx только в четных степенях, а cos x следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.  R(sin x, cos x)dx   r (sin x) cos xdx   r (t )dt. Пример. 99 sin x  t cos 7 xdx   sin 4 x  dt  cos xdx cos 2 x  1  sin 2   (1  t 2 ) 3 1  3t 2  3t 4  t 6 dt dt  dt   dt   4  3 2   4 4 t t t t x  1 3 1 3 1 3 sin 3 x 2  3 dt   t dt   3   3t  t     3 sin x   C. t 3 3 3t 3 sin 3 x sin x Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx если функция R является нечетной относительно sinx. По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx. Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (cos x) sin xdx   r (t )dt. Пример.  (t  2) 2  4t  5  cos x  t  sin 3 x 1 t2 t 2  4t  4  4t  5 dx    dt  dt     dt   2  cos x  2t    t  2 t2 dt   sin xdx   2 4t 5  tdt dt t t    t  2   dt   tdt   2dt  4   5   2t  5 ln t  2  4  dt   t  2 t  2 t2 t2 2 t2  A  t  t  2  t  2  B   dt t2  A  Bt  2  t  t 2   4  dt   2t  5 ln t  2  8 ln t  2  4t     2t  5 ln t  2  8 t2 2  B  1, A  2  2  t  2  1   t  2 t  2  2 t cos 2 x   2t  3 ln t  2  C   2 cos x  3 ln(cos x  2)  C. 2 2 Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx если функция R четная относительно sinx и cosx. Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx. Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (t )dt 100 Пример. 1 tgx  t ;  2 dx   cos x  sin 2 x  6 sin x cos x  16 cos 2 x   tg 2 x  6tgx  16 dx   1 dx  d (tgx )  dt    cos 2 x   dt dt 1 tgx  3  5 1 tgx  2   ln  C  ln  C. 2 10 tgx  8 t  6t  16 (t  3)  25 10 tgx  3  5 2 Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов. В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул: 1 1  sin(m  n) x sin(m  n) x   mn m  n  1 1  cos(m  n) x cos(m  n) x   mn m  n  1 1  sin(m  n) sin(m  n)   mn m  n   cos mx cos nxdx   2 cos(m  n) x  cos(m  n) xdx  2   sin mx cos nxdx   2 sin(m  n) x  sin(m  n) xdx  2   sin mx sin nxdx   2  cos(m  n) x  cos(m  n) xdx  2  Пример. 1 1 1 1  sin 7 x sin 2 xdx  2  cos 5xdx  2  cos 9 xdx  10 sin 5x  18 sin 9 x  C. Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций. Пример.  sin 2 dx 4dx 2   dctg 2 x      2ctg 2 x  C 2 2 x cos x sin 2 x  dx sin 2 x  Иногда применяются некоторые нестандартные приемы. Пример. 1    p  cos u; dq  e u du;  u  ln x; du  dx; u cos(ln x ) dx   e cos udu   e u cos u  x      u  dp   sin udu; q  e ;  x  e u ; dx  e u du;     p  sin u; dq  e u du;    e sin udu    e u cos u  e u sin u   e u cos udu; u  dp  cos udu; q  e ; u Итого e u cos udu  e u (cos u  sin u)   e u cos udu 101 eu (cos u  sin u )  C 2 1 x  x cos(ln x) x dx  2 (cos(ln x)  sin(ln x))  C x    cos(ln x)dx  2 cos 4  ln x   C; u  e cos udu  Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда. Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.  ax  b  dx где n- натуральное число. Интеграл вида  R x, n  cx  d   С помощью подстановки ax  b  tn; cx  d n ax  b  t функция рационализируется. cx  d  tn b dx   n  a  ct tn b x ; a  ct n    dt ;     dt   r (t )dt.    t n  b  t n  b ax  b  dx   R Тогда  R x, n  a  ct n , t  a  ct n  cx  d     Пример.    2dx 4   1  2 x  t; dt  4 1  2x  1  2x  4 4 1  2x  dx   3   dx   2t 3 dt t 2 dt  ;    2   2  t 1  2t 3  t  t  t  t 1    2  2  t  dt  t 2  2 1  dt  2 tdt  2 dt  t  2t  2 ln t  1  C  t  1 t  1 t  1       1  2 x  24 1  2 x  2 ln 4 1  2 x  1  C. 102 Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Проиллюстрируем это на примере. Пример. 12 x  1  t ; x  1  t 12 ; (t 4  t 3 )12t 11dt t3  t2  12 2 dt    ( x  1) 1  6 x  1 dx  dx  12t 11dt; t 12 (1  t 2 ) t 1   3 x 1  4 x 1    t3    t2 t  1   tdt   12  2 dt   2 dt   12   t  2  12 dt  dt   1  2 dt   12 tdt  12 2 t 1  t 1  t  1    t 1  t 1 dt  12  6t 2  12t  6 ln(t 2  1)  12arctgt  C  66 x  1  1212 x  1  6 ln( 6 x  1  1)  2 1 t  12arctg 12 x  1  C. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа. Интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: 1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t   x , где  - общий знаменатель m и n. 2) Если m 1 - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой n t  s a  bx n , где s – знаменатель числа р. 3) Если a  bx n m 1 , где s  p - целое число, то используется подстановка t  s n xn – знаменатель числа р. 103 Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена. На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.   Интегралы вида  R x, ax 2  bx  c dx . Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ. Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:  u 2  m2 . Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов: 1)  R(u, m 2  u 2 )du; 2)  R(u, m 2  u 2 )du; 3)  R(u, u 2  m 2 )du; 1 способ. Тригонометрическая подстановка. Теорема 1: Интеграл вида  R(u, m 2  u 2 )du подстановкой u  m sin t или u  m cos t сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Пример:  x  a sin t ;  a2 2 2 2 2 2 2 2 a  x dx   a  a sin t a cos tdt  a cos t dt  (1  cos 2t )dt       2  dx  a cos tdt  a 2t a 2 a 2t a 2 a2 x x   sin 2t  C   sin t cos t  C  arcsin  a 2  x 2  C. 2 4 2 2 2 a 2 Теорема 2: Интеграл вида  R(u, m 2  u 2 )du подстановкой u  mtgt или u  mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost. Пример: 104 x 4  a   x  atgt ; dx  dt ; 2  dx a cos tdt cos 3 tdt 1  cos t      4  2 4 4 4 4  cos ta tg ta a sin t a a2  x2  a2  x2  a ;    cos t  1 1 a2   C  sin t  1    3a 4 sin 3 t a 4 sin t a2  x2  Теорема 3: Интеграл вида (1  sin 2 t )d sin t   sin 4 t  (a 2  x 2 ) 3 / 2 a2  x2    C.  3a 4 x 3 a4 x a 2  x 2  1 2 2  R(u, u  m )du подстановкой u  sin t или x 1 сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint cos t u или cost. Пример: 2 2 sin t   dt ; dx 2 sin t cos tdt 1  x  cos t ; dx  2 4 cos t    2 5 5  x( x 2  4) 5 / 2  2  ctg tdt  32 cos t  2  2 tg t  x  4  2tgt ;    1 1 1 1 1  1  1    ctg 2 t  2  1dt    ctg 2 td (ctgt )   ctg 2 tdt   ctg 3t    2  1dt   32 32 32 96 32  sin t   sin t   1 1 t ctg 3t  ctgt   C  ctgt  96 32 32  1 2  arccos  C. 32 x   1 1     2 3 / 2 12( x  4) x2  4  16 x 2  4 2 2 способ. Подстановки Эйлера. 1) Если а>0, то интеграл вида  R( x, ax 2  bx  c )dx рационализируется подстановкой ax 2  bx  c  t  x a . 2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида  R( x, ax 2  bx  c )dx рационализируется подстановкой ax 2  bx  c  tx  c . 3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида рационализируется подстановкой ax 2  bx  c  t ( x  x1 ) . 105  R( x, ax 2  bx  c )dx Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес. 3 способ. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим интегралы следующих трех типов: I . P( x)dx ax  bx  c 2 II .  P( x) ax 2  bx  c dx; ; III .  dx ( x  ) n ax 2  bx  c ; где P(x) – многочлен, n – натуральное число. Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа. Далее делается следующее преобразование:  P( x)dx ax  bx  c 2 Q( x) ax 2  bx  c    dx ax  bx  c 2 ; в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а  - некоторая постоянная величина. Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на ax 2  bx  c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют  и коэффициенты многочлена Q(x). Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения. Пример.  3x 3  7 x 2  1 x  2x  5 2 dx  ( Ax 2  Bx  C ) x 2  2 x  5    106 dx x  2x  5 2 . Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax 2  bx  c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х. 3x 3  7 x 2  1 x 2  2x  5  (2 Ax  B) x 2  2 x  5  Ax 2  Bx  C x 2  2x  5 ( x  1)   x 2  2x  5 (2 Ax  B)( x 2  2 x  5)  ( Ax 2  Bx  C )( x  1)   = 3x 3  7 x 2  1 2 Ax 3  4 Ax 2  10 Ax  Bx 2  2Bx  5B  Ax 3  Bx 2  Cx  Ax 2  Bx  C   = 3x 3  7 x 2  1 3 Ax 3  (5 A  2B) x 2  (10 A  3B  C ) x  5B  C    3x 3  7 x 2  1 A  1 5 A  2 B  7   10 A  3B  C  0 5B  C    1 Итого  3x 3  7 x 2  1 x 2  2x  5 A  1  B  1   C  13   7 dx  ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7  dx ( x  1) 2  4 = = ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7 ln( x  1  x 2  2 x  5)  C. Определенный интеграл. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M m a xi b x Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x 2 < … < xn Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn; 107 На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn. Составим суммы: S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn = n  m x i i 1 S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn = i n  M x i 1 i i Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S – верхней интегральной суммой. Т.к. mi  Mi, то S n  S n, а m(b – a)  S n  S n  M(b – a) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn = n  f ( )x i 1 i i Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi Следовательно, n n n i 1 i 1 i 1  mi xi   f ( i )xi   M i xi Sn  Sn  Sn Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. 108 n Если S n   f ( i )xi , то i 1 n lim max xi 0  f ( )x i i 1 i  S. Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и n произвольном выборе точек i интегральная сумма S n   f ( i )xi стремится i 1 к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : b  f ( x)dx. a а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. Если для функции f(x) существует предел n lim max xi 0  i 1 b f ( i )xi   f ( x)dx, то a функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Также верны утверждения: lim max xi 0 lim max xi 0 n b i 1 a n b i 1 a  mi xi   f ( x)dx  M i xi   f ( x)dx Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. 1) b b a a  Af ( x)dx  A f ( x)dx; b 2)  ( f ( x)  f 1 a 2 b b a a ( x))dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx a 3)  f ( x)dx  0 a b b a a 4) Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то  f ( x)dx   ( x)dx 109 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: b m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что b  f ( x)dx  (b  a) f () a 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: b c b a a c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. 8) b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что b  a b f ( x)( x)dx  f ()  ( x)dx a Вычисление определенного интеграла. Пусть в интеграле b  f ( x)dx нижний предел а = const, а верхний предел b a изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим x  f (t )dt = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по a переменному верхнему пределу х. x d f (t )dt  f ( x) dx a Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. 110 Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то b  f ( x)dx  F (b)  F (a) a это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. b Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) . a Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования. Замена переменных. Пусть задан интеграл b  f ( x)dx , где f(x) – непрерывная функция на a отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). Тогда если 1) () = а, () = b 111 2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ] 3) f((t)) определена на отрезке [, ], то b  a  Тогда   f ( x)dx   f [(t )](t )dt   f [(t )](t )dt  F [(t )]  F [()]  F [()]  F (b)  F (a)   Пример. 1   /2 /2  x  sin t ;  /2 1 2 2 1  x dx      1  sin t cos tdt   cos tdt   (1  cos 2t )dt  2 0   0;    / 2 0 2 1 1   /2  1  t  sin 2t    sin   . 2 2 4 4 4  0 При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. Пример.    dx  x   , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,    dx dx dt 0 dx  0 sin 2 x  cos 2 x  0 cos 2 x(1  tg 2 x)  tgx  t  0 1  t 2  0 Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий. 112 Интегрирование по частям. Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: b b b a a a  udv  uv   vdu. Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла. Несобственные интегралы. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b]. Если существует конечный предел b lim  f ( x)dx , b  то этот предел a называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ). b  a a f ( x)dx   f ( x)dx Обозначение: blim   Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида: b b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx a      c f ( x)dx    a  f ( x)dx   f ( x)dx c Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют. 113 Примеры.  b b  cos xdx  lim  cos xdx  lim sin x  lim (sin b  sin 0)  lim sin b - не существует. b  b  b  b  Несобственный интеграл расходится. 1 1 dx dx  1  1  1  lim  lim 1    1 - интеграл сходится  x 2 b b x 2 b x  b  blim   b Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие 0  f ( x)  ( x) и   a a интеграл  ( x)dx сходится, то  f ( x)dx   a a тоже сходится и  ( x)dx   f ( x)dx . Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие 0  ( x)  f ( x) и   a a интеграл  ( x)dx расходится, то Теорема: Если    f ( x)dx тоже расходится. f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл a   f ( x)dx . a В этом случае интеграл   f ( x)dx называется абсолютно сходящимся. a Интеграл от разрывной функции. Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то c  b f ( x)dx  lim b c  0 a Если интеграл b   f ( x)dx a f ( x)dx существует, то интеграл a интеграл b  f ( x)dx c  f ( x)dx - сходится, если a не существует, то a c  f ( x)dx - расходится. a Если в точке х = а функция терпит разрыв, то c  c f ( x)dx  lim a b a  0  f ( x)dx . b Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то с  a b c a b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Таких точек внутри отрезка может быть несколько. 114 Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. у + + 0 a - b x Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак ““, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. Для нахождения суммарной площади используется формула b S  f ( x)dx . a Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий. Нахождение площади криволинейного сектора.  = f()    О 115 Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид  = f(), где  - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а  - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле  S 1 f 2 ()d  2 Вычисление длины дуги кривой. y y = f(x) Si yi xi a b x Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как n S n   S i . i 1 n Тогда длина дуги равна S  lim  S i . max S 0 i i 1 Из геометрических соображений: S i  xi   yi  2 В то же время yi f ( xi )  f ( xi 1 )  xi xi Тогда можно показать, что b 2  dy  S i   1    dx  max xi 0  dx  i 1 a S  lim n 116 2  y  1   i  xi 2    xi  b Т.е. S   1   f ( x) 2 dx a Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем  S (t )2  (t )2 dt , где х = (t) и у = (t).  Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t),  то S   (t )2  (t )2  Z (t )2 dt  Если кривая задана в полярных координатах, то  S    2   2 d ,  = f().  Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2. 1 способ. Выразим из уравнения переменную у. y  r 2  x 2 Найдем производную y    r x r 2  x2 r 1 x2 r x Тогда S   1  2 2 dx   2 2 dx  r  arcsin 4 r r x r x r r  2 Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности. 2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция  = f() = r,   df ()  0 тогда d 2 S  2 0  r 2 d  r  d  2r Вычисление объемов тел. Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений. 117 Q(xi-1) Q(x a xi-1 xi b x Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi. Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1. Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно n  M i xi и i 1 n  m x i 1 i i . При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел: n n b i 1 a lim  M i xi  lim  mi xi   Q( x)dx  0 i 1  0 Таким образом, объем тела может быть найден по формуле: b V   Q( x)dx a 118 Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел. Пример: Найти объем шара радиуса R. y R -R y x R x В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле R 2  x 2 . Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = R 2  x 2 . Получаем объем шара:  3 R3   x3 R R 3  4R 3 3    V   ( R  x )dx  ( R x  )   R      R  3   3 . 3 3  R     R R 2 2 2 Объем тел вращения. Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения. y = f(x) x 119 Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса R  f (x) , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле: b V   f 2 ( x)dx a Площадь поверхности тела вращения. Мi B А х xi Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных. Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле: Pi  2 yi 1  yi S i 2 Здесь Si – длина каждой хорды.  y S i  x  y  1   i  xi 2 i 2 i 120 2   xi  Применяем теорему Лагранжа к отношению yi f ( xi )  f ( xi 1 )   f ( i ), xi xi  xi 1 Получаем: y i . x i xi 1    xi Тогда S i  1  f  2 ( i )xi Pi  2 yi 1  yi 1  f  2 ( i )xi 2 Площадь поверхности, описанной ломаной равна: n Pn    f ( xi 1 )  f ( xi )  1  f  2 ( i )xi i 1 Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что n n P  lim   f ( xi 1 )  f ( xi )  1  f  2 ( i )xi  lim  2 f ( i ) 1  f  2 ( i )xi max xi 0 max xi 0 i 1 i 1 b Тогда P  2 f ( x) 1  f  2 ( x)dx - формула вычисления площади поверхности a тела вращения. Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных. z = f(x, y) Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса 121 r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию x  x0 2   y  y0 2  r . Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие MM 0  r также верно и условие f ( x, y)  A   . Записывают: lim f ( x, y)  A x x y  y0 Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) x  x0 y  y0 (1) причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: 1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0). 2) Не существует предел lim f ( x, y) . x x y  y0 3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0). Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство f(x0, y0, …)  f(x, y, …) а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство 122 f(x01, y01, …)  f(x, y, …) тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего. Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = . Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль. Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство f ( x, y,...)  K . Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство f ( x1 , y1 )  f ( x2 , y 2 )   Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. 123 Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х. Можно записать Тогда lim x 0  x z f ( x  x, y)  f ( x, y)  . x x xz называется частной производной функции z = f(x, y) по х. x Обозначение: z f ( x, y) ; z x ; ; x x f x ( x, y). Аналогично определяется частная производная функции по у. z f ( x, y  y )  f ( x, y)  lim  y  y y Геометрическим смыслом частной производной (допустим z ) является x тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0. Полное приращение и полный дифференциал. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  f ( x, y  y)  f ( x, y  y)   f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)    f ( x, y  y)  f ( x, y) Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках. f ( x, y  y )  f ( x, y)  y f ( x, y ) y f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)  x здесь y  ( y, y  y); f ( x , y  y) x x  ( x, x  x) Тогда получаем z  x f ( x , y  y) f ( x, y )  y x y Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства: 124 lim x 0 y 0 f ( x , y  y ) f ( x, y )  x x lim x 0 y 0 Выражение z  f ( x, y ) f ( x, y )  y y f ( x, y) f ( x, y) x  y  1x   2 y называется полным x y приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у). dz  f x( x, y)dx  f y ( x, y)dy Для функции произвольного числа переменных: df ( x, y, z,..., t )  f f f dx  dy  ...  dt x y t 2 Пример. Найти полный дифференциал функции u  x y z . du  u u u dx  dy  dz x y z 2 2 2 u u u  y 2 zx y z 1 ;  x y z ln x  2 yz;  x y z ln x  y 2 ; x y z du  y 2 zx y 2 z 1 2 2 dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. нормаль N  N0 касательная плоскость 125 Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе. Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение: z  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) . Уравнение нормали к поверхности в этой точке: x  x0 y  y0 z  z0   f x ( x0 y 0 ) f y ( x0 , y 0 ) 1 Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у). Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной. Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z  x 2  2 xy  y 2  x  2 y в точке М(1, 1, 1). z z  2 x  2 y  1;  2 x  2 y  2 x y z x  1; M 126 z y  2; M Уравнение касательной плоскости: z  1  ( x  1)  2( y  1); x  2 y  z  0; Уравнение нормали: x 1 y 1 z 1   ; 1 2 1 Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции: z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y) f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  z Если подставить в эту формулу выражение z  dz  f f x  y x y то получим приближенную формулу: f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  f ( x, y) f ( x, y ) x  y x y Пример. Вычислить приближенно значение 1,041,99  ln 1,02 , исходя из значения функции u  x y  ln z при x = 1, y = 2, z = 1. Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02. Найдем значение функции u(x, y, z) = 12  ln 1  1 Находим частные производные: u y  x y 1 2 1   1 x 2 x y  ln z 2 1 u x y ln x  0 y 2 x y  ln z 1 u 1 z   y z 2 x  ln z 2 127 Полный дифференциал функции u равен: du  0,04  u u u 1  0,01   0,02   1  0,04  0  0,01   0,02  0,04  0,01  0,05 x y z 2 1,041,99  ln 1,02  u(1,2,1)  du  1  0,05  1,05 Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176. Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные f x( x, y) и f y ( x, y) тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка. Продолжая 2z  f xx ( x, y); x 2 2z  f yy ( x, y ); y 2 2z  f xy ( x, y ); xy 2z  f yx ( x, y ); yx дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Частные производные вида 2z 2z 3 z 3 z ; ; ; и т.д. называются xy yx xyx xyy смешанными производными. Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные f x, f y , f xy , f yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: 2 f 2 f  . xy yx Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования. 128 Аналогично определяются дифференциалы высших порядков. dz  f x( x, y)dx  f y ( x, y)   d 2 z  d f x( x, y)dx  f y ( x, y)dy  f x2 ( x, y)(dx) 2  2 f xy ( x, y)dxdy  f y2 ( x, y)(dy) 2 d 3 z  f x3 ( x, y)(dx) 3  3 f x2y ( x, y)(dx) 2 dy  3 f xy2 ( x, y)dx(dy) 2  f y3 ( x, y)(dy) 3 ………………… n    d z   dx  dy  f ( x, y ) y   x n Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения. Экстремум функции нескольких переменных. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y) то точка М0 называется точкой максимума. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y) то точка М0 называется точкой минимума. Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе f x( x0 , y0 )  0, ее частные производные первого порядка равны нулю f y ( x0 , y0 )  0 , либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой. Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: 129  D( x, y)  f x2 ( x, y)  f y2 ( x, y)  f xy ( x, y)  2 1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если f x2 ( x0 , y0 )  0 - максимум, если f x2 ( x0 , y0 )  0 - минимум. 2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя. Условный экстремум. Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда u = f(x, y(x)). du f f dy   dx x y dx В точках экстремума: du f f dy =0   dx x y dx (1) Кроме того:   dy  0 x y dx Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).  f f dy     dy         0   x  y dx  x  y dx        f   dy  f 0          x   y y  dx  x 130 (2) Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:   f  x   x  0    f 0   y  y ( x, y )  0   Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум. Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа. Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0 u  xy  (2 x  3 y  5) u  y  2; x u  x  3; y  y  2  0   x  3  0 2 x  3 y  5  0   5 ; 12 x 5 ; 4 5 y ; 6 5 5 Таким образом, функция имеет экстремум в точке  ;  . 4 6 Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума распространены на функции большего числа переменных. 131 могут быть Производная по направлению. Предел lim S 0 u S называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z). Поясним значение изложенных выше равенств на примере. Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора АВ . В (3, 0). Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ .   АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i  2 j . Далее определяем модуль этого вектора: AB = 8  2 2 Находим частные производные функции z в общем виде: z z  2x  y 2 ;  2 yx; x y Значения этих величин в точке А : z z  6;  4; x y Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования: S=  2  2   i cos   j cos   i j 2 2 2 2 AB AB За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ : cos = Окончательно получаем: 2 ; 2 cos = - z 2 2  6  4  2 s 2 2 заданной функции по направлению вектора АВ . 132 2 2 - значение производной Градиент. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке u u u , ; ; x y z то этот вектор называется градиентом функции u. gradu  u  u  u  i j k x dy z При этом говорят, что в области D задано поле градиентов. Связь градиента с производной по направлению. Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов gradu  Тогда производная u  u  u  i j k. x dy z u по направлению некоторого вектора S равняется s проекции вектора gradu на вектор S . Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции. С точки зрения геометрического перпендикулярен поверхности уровня функции. 133 представления градиент Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов. Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. y x Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область . С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной контуром. Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние хi, а по оси у – на уi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = xi  yi . 134 В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i, yi) и составим интегральную сумму i n  f (x , y )  S ; i 1 i i i где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю. Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы i n  f (x , y )  S i 1 i i i имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области . i n lim  f ( xi , yi ) S i   f ( x, y )dxdy n  i 1  С учетом того, что Si = xi  yi получаем: i n i n i n  f ( x , y )S   f ( x , y )y x i 1 i i i i i 1 i 1 i i i В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у. Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:  f ( x, y)dydx  lim   x 0 y 0 f ( x, y)yx  Условия существования двойного интеграла. Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл  f ( x, y)d существует.  135 Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл  f ( x, y)d существует.  Свойства двойного интеграла. 1)   f ( x, y)  f 1  2) 2 ( x, y)  f 3 ( x, y)dydx   f1 ( x, y)dydx   f 2 ( x, y)dydx   f 3 ( x, y)dydx     kf ( x, y)dydx  k  f ( x, y)dydx   3) Если  = 1 + 2, то  f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx  1 2 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.  f ( x, y)dydx  f ( x , y )S  5) Если f(x, y)  0 в области , то  f ( x, y)dydx  0 .  6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то  f ( x, y)dydx   f 1  7)  f ( x, y)dydx    2 ( x, y)dydx .  f ( x, y ) dydx .  Вычисление двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  непрерывные функции и   , тог 136 Пример. Вычислить интеграл  ( x  y)dxdy , если область  ограничена  линиями: y = 0, y = x2, x = 2. y  0   x2 2 x 2  x4 x5  2 y 2 yx x4 3 f ( x, y)dxdy   dx  ( x  y)dy   ( xy  )   ( x  )dx     = 2 2 y   4 10  0 2 2 2 = 4  3,2  0,8 Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то d ( y) c ( y)  f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx  Замена переменных в двойном интеграле. Расмотрим двойной интеграл вида  F ( x, y)dydx , где переменная х изменяется  в пределах от a до b, а переменная у – от 1(x) до 2(х). Положим х = f(u, v); y = (u, v) b  ( x) 2 f f   Тогда dx = du  dv ; dy = du  dv ;  F ( x, y )dydx   dx  F ( x, y )dy u v u v  a 1 ( x ) т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0. f v f f  dv du  dv  0 , т.е. du   u v f u 137 пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:  f  f     f v   v  u  u v  dv dy    dv  dv  f u f u v u f  f  f     u v u u v  u Выражение f v  i называется определителем Якоби  v или Якобианом функций f(u, v) и (u, v). Тогда b  F ( x, y)dydx   dx  a 2 ( x )  F ( f ( x, y), ( x, y))  1 ( x ) i f du dv Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид dx  f du ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv u = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение: V2 2 ( v ) V1 1 ( v )  F ( x, y)dydx   dv   F ( f (u, v), (u, v))  i  du Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. 138 Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Пример. x 3 y   8 y  x  5  0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y )  0 . d2y dy x 2  xy  x 2  y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го dx dx порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y, y)  0 y2 z z  xy  0 - дифференциальное уравнение в частных производных x y первого порядка. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Свойства общего решения. 1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. 2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С0). Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения. Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную y   f ( x, y) , 139 то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение y  (x) уравнения y   f ( x, y) , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения. Интегралом уравнение, не дифференциального содержащее уравнения производных, для называется любое которого данное дифференциальное уравнение является следствием. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения xy   y  0 . Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом: dy y0 dx x xdy   ydx dy dx  y x  Теперь интегрируем: dy dx   y x ln y   ln x  C0 ln y  ln x  C0 ln xy  C0 xy  e C0  C y C - это общее решение исходного дифференциального уравнения. x Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем 2 С ; C  2; 1 140 При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши). y 2 x Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых. Особые решения не зависят от постоянной С. Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой. Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y   y  0. Найти особое решение, если оно существует. dy  y dx dy  dx y  dy    dx y ln y   x  C y  e  x  eC y  C1  e  x 141 Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC  0. Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальным соотношение, уравнением связывающее первого функцию, ее порядка первую называется производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: F ( x, y, y )  0 Если такое соотношение преобразовать к виду y   f ( x, y) то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем такое выражение далее: dy  f ( x, y); dy  f ( x, y)dx; dx f ( x, y)dx  dy  0; Функцию f(x,y) представим в виде: f ( x, y)   P( x, y ) , Q( x, y)  0; тогда при Q( x, y ) подстановке в полученное выше уравнение имеем: P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 - это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка. Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения. Уравнения вида y’ = f(x). Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале 142 a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как y   f ( x)dx  C . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение y   f ( x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде y   ( x)( y) . Такое уравнение можно представить также в виде: y   ( x)( y)  0; dy  ( x)( y)dx  0; dy  ( x)dx  0 при ( y)  0; ( y) Перейдем к новым обозначениям ( x)   X ( x); Получаем: 1  Y ( y); ( y ) X ( x)dx  Y ( y)dy  0;  X ( x)dx   Y ( y)dy  C После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy  y cos y  dy  2 x dx y cos ydy  2 xdx  y cos ydy  2 xdx Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям u  y; dv  cos ydy;   y sin y   sin ydy  y sin y  cos y v  sin y   y cos ydy  du  dy; y sin y  cos y   x 2  C 143  2x cos y y sin y  cos y  x 2  C  0 - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения. Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х. y  sin y  yy  cos y  y sin y  2 x  0 yy    2x - верно cos y Однородные уравнения. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество: f (tx, ty )  t n f ( x, y). Пример. Является ли однородной функция f ( x, y)  x 3  3x 2 y ? f (tx, ty )  (tx ) 3  3(tx ) 2 ty  t 3 x 3  3t 3 x 2 y  t 3 ( x 3  3x 2 y)  t 3 f ( x, y) Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка. Дифференциальное уравнение вида y   f ( x, y) называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. 144 Рассмотрим однородное уравнение y   f ( x, y). Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: f (tx, ty )  f ( x, y). 1 x Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t  . y Получаем: f ( x, y)  f 1,   x Правая часть полученного равенства зависит фактически только от y y одного аргумента u  , т.е. f ( x, y)     (u); x  x Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: y   (u) Далее заменяем y = ux, y   u x  ux . u x  ux  (u ); u x  u  (u ); u   (u )  u ; x таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. du dx  ; (u )  u x du  (u)  u   dx  C; x Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения. y y Пример. Решить уравнение y    ln  1 . x x  Введем вспомогательную функцию u. u y ; x y  ux; y   u x  u . Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, y x содержащее ln u  ln . Подставляем в исходное уравнение: 145 u x  u  u(ln u  1); u x  u  u ln u  u; u x  u ln u; Разделяем переменные: du dx  ; u ln u x du  u ln u   dx ; x Интегрируя, получаем: ln ln u  ln x  C; ln u  Cx; u  e Cx ; Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: y  xe Cx . Уравнения, приводящиеся к однородным. Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.  ax  by  c   . Это уравнения вида y   f   a1 x  b1 y  c1  Если определитель a b  0, a1 b1 то переменные могут быть разделены подстановкой x  u  ; y  v  ; ax  by  c  0 a1 x  b1 y  c1  0 где  и  - решения системы уравнений  Пример. Решить уравнение ( x  2 y  3)dy  (2x  y  1)dx  0. Получаем ( x  2 y  3) dy  2 x  y  1; dx Находим значение определителя dy  2 x  y  1  ; dx x  2y  3  2 1  4 1  5  0 . 1 2  2 x  y  1  0  y  1  2 x  x  1 / 5 ;  ;  ; x  2 y  3  x  2  4 x  3  y  7 / 5    Решаем систему уравнений  Применяем подстановку x  u  1 / 5; y  v  7 / 5; в исходное уравнение: 146 (u  1 / 5  2v  14 / 5  3)dv  (2u  2 / 5  v  7 / 5  1)du  0; (u  2v)dv  (2u  v)du  0; dv 2u  v 2  v / u   ; du 2v  u 2v / u  1 Заменяем переменную v  t; v  ut; v  t u  t; при подстановке в выражение, u записанное выше, имеем: t u  t  dt 2t 2  t  2t 2  t 2(1  t  t 2 ) u t   ; du 2t  1 2t  1 2t  1 Разделяем переменные: du 1 1  2t   dt; u 2 1 t  t 2  2t 2t  1 du 1 (1  2t )dt   ; u 2 1 t  t 2 1  ln 1  t  t 2  ln u  ln C1 2 ln 1  t  t 2  2 ln C1u ln 1  t  t 2  ln C2 C ; 1  t  t 2  22 ; 2 u u Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. t v y  7 / 5 5y  7   ; u  x  1 / 5; u x  1 / 5 5x  1 2 25C 2 5y  7  5y  7  1  ;   5x  1  5x  1  (5 x  1) 2 (5x  1) 2  (5 y  7)(5x  1)  (5 y  7) 2  25C2 25x 2  10 x  1  25xy  5 y  35x  7  25 y 2  70 y  49  25C2 25x 2  25x  25xy  75 y  25 y 2  25C2  49  1  7 x 2  x  xy  3 y  y 2  C 2  Итого, выражение x 2  x  xy  3 y  y 2  C исходного дифференциального уравнения. 147 55  C; 25 является общим интегралом В случае если в исходном уравнении вида определитель  ax  by  c   y   f   a1 x  b1 y  c1  a b  0, то переменные могут быть разделены подстановкой a1 b1 ax  by  t. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: y   P( x) y  Q( x), при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида y   P( x ) y  0 . Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей. dy   P( x)dx y ln y   P( x)dx  ln C ; ln Общее решение: y    P( x)dx; C  P ( x ) dx y  Ce  148 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y  uv . При этом очевидно, что y   u  dv du v dx dx - дифференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем: u dv du v  P( x)uv  Q( x) dx dx u dv  du   v  P( x)u   Q( x) dx  dx  Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, y  1 2x 2 ; функция может y  2x 2 быть представлена как y  2  x2 ; y  2 x  x; и т.п. Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение du  P( x)u  0 . dx Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: du   P( x)dx; u  du   P( x)dx; u ln u    P( x)dx;  P ( x ) dx u  Ce  ; C  1 / C1 ; ln C1  ln u   P( x)dx; 149 Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение u dv  du   v  P( x)u   Q( x) с dx  dx  учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.  P ( x ) dx dv Сe   Q( x); dx Cdv  Q( x)e  P ( x ) dx dx; Интегрируя, можем найти функцию v: Cv   Q( x)e  P ( x ) dx dx  C1 ; v P ( x ) dx 1 Q ( x )e  dx  C 2 ;  C Т.е. была получена вторая составляющая произведения y  uv , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем:  P ( x ) dx 1  P ( x ) dx y  uv  Ce     Q ( x )e  dx  C 2  C  Окончательно получаем формулу:  P ( x ) dx  P ( x ) dx ye     Q ( x )e  dx  C 2  ,   С2 - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа. Метод Лагранжа дифференциальных решения уравнений еще неоднородных называют методом линейных вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: y   P( x) y  Q( x) Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем. y   P( x) y  0 Далее находится решение дифференциального уравнения: 150 получившегося однородного  P ( x ) dx . y  C1e  Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С 1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: y   P ( x ) dx dy dC1 ( x)   P ( x ) dx  e  C1 ( x)e   ( P( x)); dx dx Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение  P ( x ) dx  P ( x ) dx dC1 ( x)   P ( x ) dx e C1 ( x) P( x)e   P( x)C1 ( x)e   Q( x ) dx dC1 ( x)   P ( x ) dx e  Q( x); dx Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х): dC1 ( x)  Q( x)e  P ( x ) dx dx; Интегрируя, получаем: C1   Q( x)e  P ( x ) dx dx  C; Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:  P ( x ) dx   P ( x ) dx dx  C  . ye    Q ( x )e    Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл. Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты. 1 Пример. Решить уравнение x 2 y   y  ax 2 e x . 151 Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: y   1 1 y  ae x . 2 x 1 1 Применим полученную выше формулу: P  2 ; Q  ae x ; x 1 1 1 dx   x 2 dx  x  x2  ye ae e dx  C      1 1 1 1    y  e x   ae x e x dx  C   e x    adx  C  1 x y  e (ax  C ). Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется уравнение вида y   Py  Q  y n , где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z  1 y n 1 , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn. y 1  P n 1  Q; n y y Применим подстановку, учтя, что z     (n  1) y n2 (n  1) y  .  y   2 n2 y yn z  Pz  Q n 1 z   (n  1) Pz  (n  1)Q Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:  Pdx P1dx z  e    Q1e  dx  C    Q1  (n  1)Q; P1  (n  1) P. Пример. Решить уравнение xy   y  xy 2 ln x. 152 y 1 1    ln x. y2 x y Разделим уравнение на xy2: 1 y Полагаем z  ; z    y . y2  z  1 z  ln x; x z  1 z   ln x . x 1 x Полагаем P   , Q   ln x. dx dx    x  z  e    ln xe x dx  C ;     dx   z  x   ln x   C ; x    z  e ln x   ln xe ln x dx  C ;  z  x   ln xd (ln x)  C ;  ln 2 x  z  x   C  2   Произведя обратную подстановку, получаем:  ln 2 x  1  x   C . y 2   Уравнения в полных дифференциалах (тотальные). Дифференциальное уравнение первого порядка вида: M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u  F ( x, y). Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du  0; u  C. Таким образом, для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; 2) как найти эту функцию. 153 Если дифференциальная форма M ( x, y)dx  N ( x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: du  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  u u dx  dy. x y  u  x  M ( x, y ) Т.е.  .  u   N ( x, y )  y Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:   2 u M ( x, y )   y  xy  2   u  N ( x, y )  xy x Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. M ( x, y ) N ( x, y )  y x Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство u  M ( x, y ) : x u   M ( x, y)dx  C ( y). Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. u   N ( x, y )  M ( x, y )dx  C ( y). y y  154 Откуда получаем: C ( y)  N ( x, y)   M ( x, y)dx. y  Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю. С ( y)x   N ( x, y)    N ( x, y )     M ( x, y )dx     M ( x, y )dx    x y x y  x  x N ( x, y ) M ( x, y )    0. x y Теперь определяем функцию С(у):    C ( y )    N ( x, y )   M ( x, y)dx  dy  C y   Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:    u   M ( x, y)dx    N ( x, y)  M ( x, y)dx dy  C. y   Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:     M ( x, y)dx    N ( x, y)  y M ( x, y)dxdy  C. Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена. Пример. Решить уравнение (3x 2  10 xy )dx  (5x 2  1)dy  0 Проверим условие тотальности: M ( x, y ) (3x 2 10 xy )   10 x; y y N ( x, y ) (5 x 2  1)   10 x. x x 155 Условие тотальности дифференциальное выполняется, уравнение следовательно, является уравнением исходное в полных дифференциалах. Определим функцию u. u   M ( x, y)dx  C ( y)   (3x 2  10 xy )dx  C ( y)  x 3  5x 2 y  C ( y); u  5 x 2  C ( y )  N ( x, y )  5 x 2  1; y C ( y)  1; C ( y)   (1)dy   y  C1 ; Итого, u  x 3  5x 2 y  y  C1 . Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: u  x 3  5x 2 y  y  C1  С2 ;. x 3  5x 2 y  y  C. Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’). Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции. y   p. Для уравнения первого типа получаем: y  f ( p); Делая замену, получаем: p  f ( p) В результате этих y   f ( p) dp . dx dp ; dx преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. dx  f ( p) dp; p x f ( p) dp  C. p Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений: f ( p)  dp  C x   p   y  f ( p)  156 Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме. Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:   y   pf ( p)dp  C    x  f ( p) Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’. P( y ) x  Q( y ) y  R( y )  0 Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’. y  xf ( p)  ( p), f ( p)   P( y ) R( y ) , ( p)   . Q( y ) Q( y ) Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy  pdx , получаем: pdx  f ( p)dx  xf ( p)dp  ( p)dp. Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x  F ( p, C ), то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:  x  F ( p, C )   y  xf ( p)  ( p)  F ( p, C ) f ( p)  ( p) Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида: y  xy   ( y ). Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены y   p , уравнение принимает вид: y  xp  ( p). 157 y  p  x dp dp  ( p) ; dx dx p  px dp dp  ( p) ; dx dx x  ( p) dp  0; dx Это уравнение имеет два возможных решения: dp  0 или x  ( p)  0. В первом случае: p  c; y  cx  (c) Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой  y  xp  ( p)  x  ( p)  0 уравнений:  Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением. Это решение будет являться особым интегралом. Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка. Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями. y  y  x  1; x y(1)  0. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение. y  y  0; x  y ; x y  dy dx  ; y x dy y  ; dx x dy dx  ; y x ln y  ln x  ln C; y  Cx; Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: y  C ( x) x; Дифференцируя, получаем: y  C ( x) x  C( x); 158 Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: C ( x) x  C ( x)  C ( x)  x  1 xC ( x)  x  1 1 C ( x)  1  ; x  1 C ( x)   1  dx  C; x  C ( x)  x  ln x  C; Итого, общее решение: y  x( x  ln x  C). C учетом начального условия y(1)  0 определяем постоянный коэффициент C. 0  1  ln 1  C; C  1. Окончательно получаем: y  x 2  x ln x  x. Для проверки подставим полученный дифференциальное уравнение: 2 x  ln x  x  результат в исходное 1  1  x  ln x  1  x  1; верно x Ниже показан график интегральной кривой уравнения. 1. 5 1 0. 5 0. 5 1 1. 5 2 - 0. 5 Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: F ( x, y, y ,..., y ( n) )  0 159 В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n): y ( n)  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ). Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Решение y  (x) удовлетворяет начальным условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) , если ( x0 )  y0 , ( x0 )  y0 , .... , ( n1) ( x0 )  y0( n1) . Нахождение решения уравнения F ( x, y, y ,..., y ( n) )  0 , удовлетворяющего начальным условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) , называется решением задачи Коши. Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида f ( x, y, y ,..., y ( n1) ) в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по y, y ,..., y ( n1) , то какова бы не была точка ( x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) ) в этой области, существует единственное решение y  (x) уравнения y ( n)  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ) , определенного в некотором интервале, содержащем точку х 0, удовлетворяющее начальным условиям x0 , y0 , y0 ,..., y0( n1) . Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. 160 Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием. y ( n1)   f ( x)dx  C1 ; y ( n2)    f ( x)dx  C dx  C   dx f ( x)dx  C x  C ; 1 2 1 2 ……………………………………………………………. y   dx  dx.... f ( x)dx  C1 x n1 x n2  C2  ...  C n ; (n  1)! (n  2)! Пример. Решить уравнение y   e 2 x с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; y0  1; y0  0. y    e 2 x dx  C1  1 2x e  C1 ; 2 1 1  y     e 2 x  C1 dx  e 2 x  C1 x  C 2 ; 4 2  1 1  1 y    e 2 x  C1 x  C 2   e 2 x  C1 x 2  C 2 x  C3 ; 2 4  8 Подставим начальные условия: 1 1 1 1  С3 ;  1   C 2 ; 0   C1 ; 8 4 2 1 5 7 C1   ; C 2   ; C3  ; 2 4 8 Получаем частное решение (решение задачи Коши): 1 1 5 7 y  e2x  x 2  x  . 8 4 4 8 Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения. 161 10 7. 5 5 2. 5 - 10 -8 -6 -4 -2 2 4 - 2. 5 -5 - 7. 5 Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно. Это уравнения вида: F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n) )  0. В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: y ( k )  z; y ( k 1)  z ; ... y ( n)  z ( nk ) . Тогда получаем: F ( x, z, z ,..., z ( nk ) )  0. Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: z  ( x, C1 , C2 ,..., Cnk ). Делая обратную подстановку, имеем: y ( k )  ( x, C1 , C2 ,..., Cnk ) Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: y  ( x, C1 , C2 ,..., Cn ). y  Пример. Найти общее решение уравнения y   . x 162 Применяем подстановку z  y; z   y; z  z ; x dz z  ; dx x dz dx  ; z x ln z  ln x  ln C1 ;  dz dx  ; z x z  C1 x; Произведя обратную замену, получаем: y    C1 xdx  y   C1 x; C1 2 x  C2 ; 2 C C  y    1 x 2  C 2 dx  1 x 3  C 2 x  C3 ; 6  2  Общее решение исходного дифференциального уравнения: y  Cx 3  C2 x  C3 ; Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида F ( y, y ,..., y ( n) )  0. Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных y   p. y   dy  dy  dy dp    p; dx dy dx dy  dp d  dy dy  dy  dy dy  y      p  dx dy dx dy dy  p  2 2  p  d p p 2   dp  p; и т.д.  dy  dy 2   Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:  dp d n 1 p   F1  y, p, ,..., n 1   0 dy dy   Если это уравнение проинтегрировать, и Ф( y, p, C1 , C2 ,..., Cn1 )  0 - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: 163 Ф( y, y , C1 , C2 ,..., Cn1 )  0. Пример. Найти общее решение уравнения yy   ( y ) 2  4 yy   0. Замена переменной: p  y ; yp 1) y y    dp  p y  p  4 y   0;  dy  dp  p 2  4 yp  0; dy dp  p  4 y  0; dy dp p; dy dp p  4 ; dy y Для решения полученного дифференциального уравнения произведем p y замену переменной: u  . du dy y  4  u; du  4 ; dy y u  4 ln y  4 ln C1 ; u  4 ln C1 y ; u  du  4 dy ; y p  4 y ln C1 y ; С учетом того, что p  dy , получаем: dx dy  4 y ln C1 y ; dx x dy  4 y ln C y   dx; 1 1 d (ln C1 y ) 1  ln ln C1 y  C 2 ; 4  ln C1 y 4 Общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y  4 x  C; 2) p  0; y   0; y  C; Таким образом, получили два общих решения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных y , y ,..., y ( n) вида: p0 y ( n)  p1 y ( n1)  p2 y ( n2)  ...  pn1 y   pn y  f ( x); 164 где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0  0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y). p0 y ( n)  p1 y ( n1)  p2 y ( n2)  ...  pn1 y   pn y  L( y); Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида p0 y ( n)  p1 y ( n1)  p2 y ( n2)  ...  pn1 y  pn y  0 Выражение p0 y ( n)  p1 y ( n1)  p2 y ( n2)  ...  pn1 y   pn y  L( y) называется линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный свойствами: 165 оператор обладает следующими 1) L(Cy)  CL( y); 2) L( y1  y2 )  L( y1 )  L( y2 ); Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением. Структура общего решения: Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Если из функций yi составить определитель n – го порядка W y1 y1 y2 y 2 ... ... yn y n ... ... y1( n 1) y 2( n 1) ... ... ( n 1) ... y n , то этот определитель называется определителем Вронского. Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения y1 , y 2 ,..., y n была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. 166 Теорема. Если y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений. y  C1 y1  C2 y 2  ...  Cn y n , где Ci –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Из линейного вышеизложенного однородного видно, что отыскание дифференциального общего уравнения решения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида y  p1 ( x) y  p2 ( x) y  0 и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле: y  C 2 y1  1   p1 ( x ) dx e dx  C1 y1 . y12 Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно. 167 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциального уравнения вида y ( n)  a1 y ( n1)  ...  an y  0 или, короче, L( y)  0 будем искать в виде y  e kx , где k = const. Т.к. y  kekx ; y   k 2 e kx ; ... y ( n)  k n e kx , то L(e kx )  e kx (k n  a1k n1  ...  an ). При этом многочлен называется F (k )  k n  a1k n1  ...  an характеристическим многочленом дифференциального уравнения. Для того, чтобы функция являлась решением исходного y  e kx дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы L(e kx )  0; т.е. e kx F (k )  0. ekx Т.к.  0, то F (k )  0 это - уравнение называется характеристическим уравнением. Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение k n  a1k n1  ...  an  0 характеристического имеет уравнения n ki корней. Каждому соответствует корню решение дифференциального уравнения. В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx; 168 б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: e kx ; xe kx ; ... x m1e kx . в) каждой паре комплексно – сопряженных корней   i характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: e x cos x и e x sin x . г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней   i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений: e x cos x, xe x cos x, ... x m1e x cos x, e x sin x, xe x sin x, ...x m1e x sin x. 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример. Решить уравнение y   y  0 . Составим характеристическое уравнение: k 3  1  0; (k  1)(k 2  k  1)  0; D  1  4  3; k1  1; 1 3 k2    i; 2 2  x 2  Общее решение имеет вид: y  C1e  e C 2 cos x  k 2  k  1  0; 1 3 k3    i; 2 2 3 3  x  C3 sin x . 2 2  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  f ( x). 169 С учетом обозначения y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  L( x) можно записать: L( x)  f ( x). При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном). Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  f ( x) в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение y  y  x  sin 2x. Решаем линейное однородное уравнение y   y  0. k 2  1  0; k1  i; k 2  i. y  e x ( A cos x  B sin x);   0;   1; y  A cos x  B sin x; Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y  A( x) cos x  B( x) sin x; Составляем систему уравнений:  A( x) cos x  B ( x) sin x  0   A( x) sin x  B ( x) cos x  x  sin 2 x Решим эту систему: cos x   B ( x)   A( x) sin x  2  A( x) sin x  A( x) cos x  x  sin 2 x  sin x   A( x)  x  sin 2 x   sin x  B ( x)  cos x( x  sin 2 x) Из соотношения A( x)  2 sin 2 x cos x  x sin x найдем функцию А(х).   A( x)   2 sin 2 x cos x  x sin x dx  2 sin 2 x cos xdx   x sin xdx  2 3 sin x   x sin xdx  3 u  x; dv  sin xdx;  2 3 2 3    sin x  x cos x   cos xdx  sin x  x cos x  sin x  C1 . 3 du  dx; v   cos x 3 Теперь находим В(х). 170 u  x; dv  cos xdx; 2 3 B( x)   x cos xdx  2 cos 2 x sin xdx     x sin x   sin xdx  cos x  du  dx ; v  sin x ; 3   2  cos 3 x  x sin x  cos x  C 2 . 3 Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения: y  2 3 2 sin x cos x  x cos 2 x  sin x cos x  C1 cos x  sin x cos 3 x  x sin 2 x  sin x cos x  C 2 sin x  3 3 2 sin x cos x(sin 2 x  cos 2 x)  x(sin 2 x  cos 2 x)  C1 cos x  C 2 sin x. 3 1 3 Окончательный ответ: y  sin 2 x  x  C1 cos x  C2 sin x; Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора. Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: f ( x)  P( x)e x , где P( x)  A0 x m  A1 x m1  ...  Am - многочлен степени m. 171 Тогда частное решение ищется в виде: y  x r e x Q(x) Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение y   4 y   x . Решим соответствующее однородное уравнение: y   4 y   0. k 3  4k  0; k (k 2  4)  0; k1  0; k 2  2; k3  2; y  C1  C2 e 2 x  C3 e 2 x ; Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. P( x)  x;   0. Частное решение ищем в виде: y  x r e x Q(x) , где r  1;   0; Q( x)  Ax  B. Т.е. y  Ax 2  Bx. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. y   2 Ax  B; y   2 A; 0  8 Ax  4 B  x;  8 A  1; Итого, частное решение: y   y   0; 1 A   ; B  0; 8 x2 . 8 Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: y x2  C1  C 2 e 2 x  C3 e 2 x . 8 172 II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: f ( x)  e x P1 ( x) cos x  P2 ( x) sin x Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y  x r e x Q1 ( x) cos x  Q2 ( x) sin x где число r показывает сколько раз число характеристического уравнения для   i является корнем соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2. Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: L( y)  f1 ( x)  f 2 ( x) , то частное решение этого уравнения будет y  y1  y 2 , где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений L( y)  f1 ( x) и L( y)  f 2 ( x) РЯДЫ. Основные определения. Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 , u 2 ,..., u n ,... называется числовым рядом.  u1  u2  ...  un  ...   un n 1 При этом числа u1 , u 2 ,... будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда. 173 n Суммы S n  u1  u 2  ...  u n   u k , n = 1, 2, … называются частными k 1 (частичными) суммами ряда. Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …  Ряд u1  u2  ...  un  ...   un называется сходящимся, если сходится n 1 последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.  S   un . lim S n  S , n 1 Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда Теорема. Если ряд  Cu n u u n  Cu и n , где С – постоянное число. n сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C  0) 3) Рассмотрим два ряда u  (u рядов будет называться ряд n n и v n . Суммой или разностью этих  vn ) , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. Теорема. Если ряды соответственно S и , то ряд u  (u n n и v n сходятся и их суммы равны  vn ) тоже сходится и его сумма равна S + .  (u n  vn )   u n   vn  S   Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. 174 О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда) Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: an p  an   . Сформулируем критерий Коши для ряда.  Для того, чтобы ряд u1  u2  ...  un  ...   un был сходящимся необходимо и n 1 достаточно, чтобы для любого   0 существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство u n1  u n 2  ...  u n p   . Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: 1) Если ряд u n сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд  n 1 является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю. Пример. Исследовать сходимость ряда 175 1 2 3 n    ...   ... 2 5 8 3n  1 1 n Найдем lim n  n 1 1  lim   0 - необходимый признак сходимости не n   1 3 3n  1 3 n выполняется, значит ряд расходится. 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным. Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что 0, при четных n Sn   1, при нечетных n Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. S n  2 при любом n. Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда u n с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда u n и v n при un, vn  0. Теорема. Если un  vn при любом n, то из сходимости ряда сходимость ряда ряда v n u n , а из расходимости ряда u n v 176 следует следует расходимость . Пример. Исследовать на сходимость ряд n 1 1 1   ...   ... ln 2 ln 3 ln n 1 1  , а гармонический ряд ln n n Т.к. 1 n расходится, то расходится и ряд 1  ln n . Также используется следующий признак сходимости: Теорема. Если u n  0, vn  0 и существует предел lim n  отличное от нуля, то ряды u n и v n un  h , где h – число, vn ведут одинаково в смысле сходимости. Признак Даламбера. Если для ряда u n с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство u n 1  q, un то ряд u n сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие u n 1  1, un то ряд u n расходится. Предельный признак Даламбера. Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера. Если существует предел lim n  u n 1   , то при  < 1 ряд сходится, а при  > un 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. Пример. Определить сходимость ряда  n 1 177 n 2 n . n n 1 u n  n ; u n 1  n 1 ; 2 2 u (n  1)2 n n  1 lim n 1  lim   n  u n  2n 2 n 1 n n 1 n  1 1 2 2 1 Вывод: ряд сходится. Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда u n с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство n то ряд u un  q , сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется n неравенство n то ряд u n u n  1, расходится. n u   , то при <1 ряд Следствие. Если существует предел lim n n  сходится, а при >1 ряд расходится. n  2n 2  1  Пример. Определить сходимость ряда   2  . n 1  3n  5   1 2n  1 n2  2  1 lim n u n  lim 2  lim n  n  3n  5 n  5 3 3 2 n 2 2 Вывод: ряд сходится. Интегральный признак Коши. Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд (1) + (2) + …+ (n) + … =   (n) n 1  несобственный интеграл  ( x)dx одинаковы в смысле сходимости. 1 178 и Пример. Ряд 1  1 1 1    ...    ... сходится при >1 и расходится 1  2 3 n т.к. соответствующий несобственный интеграл  dx x  сходится при >1 и 1  1 n расходится 1. Ряд n 1  называется общегармоническим рядом. Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] f ( x) и lim  h, h  0, то интегралы x a  0 ( x) b  f ( x)dx a b и  ( x)dx ведут себя одинаково в a смысле сходимости. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: u1  u 2  u3  u 4  ...  (1) n1 u n  ... где u n  0, n  1,2,3,... Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда u1  u 2  u3  u 4  ...  (1) n1 u n  ... абсолютные величины ui убывают u1  u 2  u3  ... и общий член стремится к нулю u n  0 , то ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).  u1  u 2  ...  u n  ...   u n (1) n 1 и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):  u1  u 2  ...  u n  ...   u n n 1 Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). 179 (2) u Ряд n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд u n . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Ряд u u n называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится. n Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть u n - знакопеременный ряд. Признак Даламбера. Если существует предел lim n  u n u n 1   , то при <1 ряд un будет абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда. Признак Коши. Если существует предел lim n u n   , то при <1 ряд n  u n будет абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда u n необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда. 3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. 180 Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. 5) Если ряды   un и n 1  v n 1 n сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и , то ряд, составленный из всех произведений вида ui vk , i, k  1,2,... взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд. Функциональные ряды. Частными (частичными) суммами функционального ряда  u n 1 n ( x) n называются функции S n ( x)   u k ( x), n  1,2,... k 1 Функциональный ряд  u n 1 n ( x) называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности {S n ( x0 )} называется суммой ряда  u n 1 Совокупность  u n 1 n всех значений х, для ( x) называется областью сходимости ряда. 181 n ( x) в точке х0. которых сходится ряд Ряд  u n 1 n ( x) называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда  u n 1 n ( x) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство u n1 ( x)  u n 2 ( x)  ...  u n p ( x)   выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) Ряд  u n 1 n ( x) сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами : M 1  M 2  ...  M n  ... т.е. имеет место неравенство: u n ( x)  M n . Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  u n 1 мажорируется числовым рядом   n 1 n . Пример. Исследовать на сходимость ряд Так как cos nx  1 всегда, то очевидно, что 182  cos nx . n3 n 1  cos nx 1  3 . 3 n n n ( x) При этом известно, что общегармонический ряд  1 n n 1  при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале. Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда  u n 1 n ( x) - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b]. 2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.      n 1 n 1    u n ( x)dx    u n ( x)dx; ,   [a, b] 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если члены ряда  u n 1 n ( x) сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных   u  ( x) сходится n 1 n на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.  du n ( x) d  u ( x )    n dx n 1 dx n 1 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое 183 применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...   a n x n . n 0 Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера. Пример. Исследовать на сходимость ряд x  x2 x3 xn   ...   ... 2 3 n Применяем признак Даламбера: u n 1 n  u n lim x n 1 xn x  lim n n 1  lim  lim  x. n  x n  n  1 n  1 1 n n Получаем, что этот ряд сходится при x  1 и расходится при x  1 . Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1. 1 2 1 3 1 4 При х = 1:  1     ... ряд сходится по признаку Лейбница При х = -1: 1 1 1 1   ...   ... ряд расходится (гармонический ряд). 2 3 n Теоремы Абеля. Теорема. Если степенной ряд  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...   a n x n n 0 сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех x  x1 . Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех x  x1 . Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что x  R ряд абсолютно 184 сходится, а при всех x  R ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, называется R) интервалом сходимости. Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле: a n 1 n  a n R  lim Пример. Найти область сходимости ряда x  Находим радиус сходимости R  lim n  a n 1 an x2 x3 xn   ...   ... 2! 3! n! 1 n! (n  1)!  lim  lim  lim n   . n  n  ( n  1)! n  1 n! Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю. xn lim  0. n  n! Теорема. Если степенной ряд a n x n сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри ( x1 ; x1 ) . Действия со степенными рядами. 1) Интегрирование степенных рядов.  Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: f ( x)   a n x n , n 0 то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:    n 0 n 0  a n n1 x C n 0 n  1 f ( x)dx    a n x n dx    a n x n dx   2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле: 185 f ( x)      d  d n n a x  a x  na n x n 1  n   n dx n 0 dx n 0 n 0 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:    n 0 n 0 n 0  an x n   bn x n   (an  bn ) x n Произведение двух степенных рядов выражается формулой:  a n 0 n   n 0 n 0 x n   bn x n   сn x n Коэффициенты сi находятся по формуле: cn  a0 bn  a1bn1  ...  an1b1  an b0 Деление двух степенных рядов выражается формулой:  a n 0  n xn b x n 0 Для определения    n 0 n 0 n 0    qn x n n 0 n n коэффициентов qn рассматриваем произведение  qn x n   bn x n   an x n , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений: a 0  q 0 b0 a  q b  q b 0 1 1 0  1 a 2  q 0 b2  q1b1  q 2 b0 ....................................  a n  q 0 bn  q1bn 1  ...  q n b0 Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, 186 интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции. Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей. Пример. Разложить в ряд функцию 1 . 1 x Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов: 1 1-x 1–x 1 + x + x2 + x3 + … x x – x2 x2 x2 – x3 x3 ………. Если применить к той же функции формулу Маклорена f ( x)  f (0)  то получаем: f ( x)  1 ; (1  x) 2 f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n x x  ...  x  Rn ( x) , 1! 2! n! f (0)  1; f ( x)  2 ; (1  x) 3 f (0)  2; f ( x)  23 ; (1  x) 4 f (0)  3!; ………………………………. 187 f ( n ) ( x)  n! ; (1  x) n 1 f ( n ) (0)  n!; Итого, получаем: f ( x)  1  x  x 2  ...  x n  ... Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования. С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной. Находим дифференциал функции df ( x)  f ( x)dx и интегрируем его в пределах от 0 до х. x x  df ( x)   f ( x)dx; x x f ( x)   f ( x)dx; x f ( x)  f (0)   f ( x)dx; Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  p2 ( x) y ( n2)  ...  pn ( x) y  f ( x) Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом: y  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  ... Для нахождения решения остается постоянные ci. 188 определить неизвестные Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci. Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения y   xy  0 c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. Решение уравнения будем искать в виде y  c0  c1 x  c2 x 2  ... y   c1  2c2 x  3c3 x 2  4c4 x 3  ... y   2c2  6c3 x  12c4 x 2  20c5 x 3  ... Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: (2c2  6c3 x  12c4 x 2  20c5 x 3  ...)  (c0 x  c1 x 2  c2 x 3  c3 x 4  ...)  0 2c2  x(6c3  c0 )  x 2 (12c4  c1 )  x 3 (20c5  c2 )  x 4 (30c6  c3 )  ...  0 Отсюда получаем: 2c2  0 6c3  c0  0 12c 4  c1  0 20c5  c 2  0 30c6  c3  0 ……………… Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: 189 c0  1 c1  0 Окончательно c6  1 c0  1; c1  0; c2  0; c3  ; c4  0; c5  0; 6 получим: 1 ; ... 180 x3 x6 Итого: y  1    ... 6 180 Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. y  y(0)  y (0) y (0) 2 y (0) 3 x x  x  ... 1! 2! 3! Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что y (0)  0. Далее запишем дифференциальное уравнение в виде y   xy и будем последовательно дифференцировать его по х. y   y  xy ; y (0)  y (0)  1; y IV  y   y   xy ; y IV (0)  0; y V  2 y   y   xy ; y VI  3 y   y   xy IV ; y V (0)  0; y VI (0)  4; .......................................................... После подстановки полученных значений получаем: y  1 x3 x6   ... 6 180 190 Ряды Фурье. Тригонометрический ряд. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: a0  (a1 cos x  b1 sin x)  (a2 cos 2 x  b2 sin 2 x)  ...  (an cos nx  bn sin nx)  ... 2 или, короче, a0    (a n cos nx  bn sin nx). 2 n1 Действительные числа a i, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: 0, m  n, m  0,1,2,.. m  n, m, n  1,2,...   cos mx cos nxdx  ,  0, m  n, m  n, m, n  1,2,...   sin mx sin nxdx  ,    cos mx sin nxdx 0, m  0,1,2,..., n  1,2,...  Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл    f ( x)dx  a0 2   dx       (a   n 1 n cos nx  bn sin nx)dx  a0 Такой результат получается в результате того, что     (a   n 1 191 n cos nx  bn sin nx)dx  0 . Получаем: a0   1 f ( x)dx   Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .  a0  f ( x) cos nxdx  2 Отсюда получаем: an      cos nxdx    (a   n 1  n cos 2 nx  bn cos nx sin nx)dx  a n  1 f ( x) cos nxdx; n  1,2,...   Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до .  1 Получаем: bn   f ( x) sin nxdx, n  1,2,...   Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an. Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты  1 a n   f ( x) cos nxdx; n  0,1,2,...    bn  1 f ( x) sin nxdx, n  1,2,...   существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке 192 [-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна f ( x  0)  f ( x  0) , т.е. среднему 2 арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна f ( x  0)  f ( x  0) . При этом 2 ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-;]. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: 0, f ( x)  нечетная 1)  f ( x)dx   a a 2 f ( x)dx, f ( x)  четная  0 a 2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. 193 Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:  an   1 2 f ( x) cos nxdx   f ( x) cos nxdx    0 (n  0,1,2,...)  bn  1 f ( x) sin nxdx  0;   (n  1,2,...) Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается: f ( x)  a0    a n cos nx 2 n 1  an  2 f ( x) cos nxdx  0 (n  0,1,2,...) Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:  f ( x)   bn sin nx; n 1  2 bn   f ( x) sin nxdx; 0 (n  1,2,...) Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f ( x)  x 3 с периодом T = 2 на отрезке [-;]. Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:  2 bn   f ( x) sin nxdx; 0 (n  1,2,...) u  x 3 ; dv  sin nxdx;    2 3   2  x 3 cos nx  3 2  bn   x sin nxdx      x cos nxdx  cos nx  2   0  n n du  3 x dx ; v   ;     n    194 u  x 2 ; dv  cos nxdx;   2 x sin nx     2   3 cos n 3  x 2 sin nx         sin nx 0 n dx   n n n ;   du  2 xdx; v   n   u  x; dv  sin nxdx;     2   3 cos n 6      2  x sin nxdx    cos nx    n n 0  du  dx; v   n ;     2   3 cos n 6   2   n n  x cos nx   cos nx     dx      n n   2   3 cos n 6 cos  6  sin nx    2 2 cos n 12 cos n 2 2  n  12            (  1 )     n3  n n n  n3 n 3  n 0   n3  Получаем:    12 2 2   sin nx . x 3   bn sin nx   (1) n  3  n  n 1 n 1 n Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда. 30 20 10 -3 -2 -1 1 - 10 - 20 - 30 195 2 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Комплексным числом z называется выражение z  a  ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: i 2  1; i   1. При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным. Числа z  a  ib и z  a  ib называются комплексно – сопряженными. Два комплексных числа z1  a1  ib1 и z 2  a2  ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: a1  a2 ; b1  b2 ; Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. a  b  0. Тригонометрическая форма числа. Из геометрических соображений видно, что a  r cos ; b  r sin  . Тогда комплексное число можно представить в виде: z  a  ib  r cos   ir sin   r (cos   i sin ) Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа. r  z ;   Arg z . Из геометрических соображений видно: b r  a  ib  a 2  b 2 ;   Arg z  arctg ; a 196 Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. z  z; Arg z   Arg z. Действия с комплексными числами. 1) Сложение и вычитание. z  z1  z 2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 ) z  (a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2 2) Умножение. z  z1 z 2  (a1  ib1 )(a2  ib2 )  a1a2  ia1b2  ib1a2  i 2b1b2 z  z1 z 2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  b1a2 ) В тригонометрической форме: z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ). z  z1 z 2  r1r2 (cos(1  2 )  i sin(1  2 )) Случай комплексно – сопряженных чисел: 2 2 zz  (a  ib)(a  ib)  a 2  b 2  z  z . 3) Деление. z  z1 a1  ib1   x  iy z 2 a 2  ib2 z (a1  ib1 )(a 2  ib2 ) (a1 a2  b1b2 )  i(a 2 b1  a1b2 )  (a 2  ib2 )(a 2  ib2 ) a 22  b22 z a1a 2  b1b2 a b  a1b2  i 2 21 2 2 a 2  b2 a 2  b22 В тригонометрической форме: z  z1 r1  (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) z 2 r2 4) Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что z 2  zz  r 2 (cos 2  i sin 2) В общем случае получим z n  r n (cos n  i sin n) ,где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. Пример. Найти формулы sin2 и cos2. Рассмотрим некоторое комплексное число z  r (cos   i sin ). Тогда с одной стороны z 2  r 2 (cos 2   2i cos  sin   sin 2 ) . 197 По формуле Муавра: z 2  r 2 (cos 2  i sin 2) Приравнивая, получим cos 2  i sin 2  cos 2   sin 2   2i cos  sin  Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то cos 2  cos 2   sin 2  , sin 2  2 sin  cos  5) Извлечение корня из комплексного числа. n z  n r (cos   i sin )  (cos   i sin ) Возводя в степень, получим:  n (cos n  i sin n)  r (cos   i sin ) Отсюда:   n r ; n    2k ; n k  Z.   2k   2k   z  n r (cos   i sin )  n r  cos  i sin  n n   Показательная форма комплексного числа. Рассмотрим показательную функцию w  e z ; Можно показать, что функция w может z  x  iy. быть записана в виде: w  e xiy  e x (cos y  i sin y) Данное равенство называется уравнением Эйлера. Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства: 1) e z  z  e z e z ; 1 2 2) e z  z  1 2 1 2 e z1 ; e z2 3) (e z ) m  e mz ; где m – целое число. Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем: e iy  cos y  i sin y Для комплексно – сопряженного числа получаем: e iy  cos y  i sin y  e iy  e  iy cos y  2 Из этих двух уравнений получаем:  iy iy sin y  e  e 2i  198 Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов. Если представить комплексное число в тригонометрической форме: z  r (cos   i sin ) и воспользуемся формулой Эйлера: e i  cos   i sin  z  rei Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа. Разложение многочлена на множители. Функция вида f(x)  A0 x n  A1 x n1  ...  An называется целой рациональной функцией от х. Теорема Безу.При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a). Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n. Теорема. Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный. Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn. Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого. Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид: f ( x)  A0 ( x  a1 ) k1 ( x  a2 ) k2 ...( x  am ) km . k1  k 2  ...  k m  n , ki - кратность соответствующего корня. Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). 199 7 2 Пример.Даны два комплексных числа z1  1  i; z 2  7  2i . Требуется 4 7    1 i  2  в алгебраической форме, а) найти значение выражения    7  2i      б) для числа z  2  2 3i найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения w3  z  0. a) Очевидно, справедливо следующее преобразование: 7    1 i  2     7  2i      4  2  7i      14  4i  4 4   14  4i    7  2i     16   2  7i   2  7i  4 Далее производим деление двух комплексных чисел:  7  2i (7  2i)(2  7i)  14  49i  4i  14  53i     i. 2  7i (2  7i)(2  7i) 4  49 53 Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16. б) Число z  2  2 3i представим в виде z  r (cos   i sin ) , где r  z  4  12  4;   arctg   b  arctg  3  60 0 a Тогда z  4(cos 60 0  i sin 60 0 ) . Для нахождения z 20 воспльзуемся формулой Муавра. z 20  4 20 (cos1200 0  i sin 1200 0 )  4 20 (cos(3  2  120 0 )  i sin(3  2  120 0 ))  1 3   4 20 (cos 120 0  i sin 120 0 )  4 20   i . 2 2   Если w3  z  0 , то w  3 z 3   2k   2k  3  z  3 r  cos  i sin  3 3     60 0  2k  60 0  2k  ; k  Z . 4  cos  i sin 3 3   ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества. а  М 200 Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается . Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В. Если А  В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А  В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А  В. Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения. A  A; A  A; A  B  B  C  A  C; A  B  B  C  A  C; Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением: A  B  A  B  B  A. Здесь знак  обозначает конъюнкцию (логическое “и”). Операции над множествами. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В. Обозначается С = А  В. А В 201 Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В. Обозначение С = А  В. А С В Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства: 1.А  А = А  А = А; 2. A  B = B  A; 3. A  B = B  A; 4.(A  B)  C = A  (B  C); 5. (A  B)  C = A  (B  C); 6.A  (B  C) = (A  B)  (A  C); 7.A  (B  C) = (A  B)  (A  C); 8.A  (A  B) = A; 9. A  (A  B) = A; 10. A   = А; A   = ; Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается С = А \ В. А В 202 Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В. Обозначается А  В. А  В = (A \ B)  (B \ A) A B СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А  Е и CЕ = Е \ A. A E Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения: 1.A \ B  A; A \ A = ; 2. A  B = B  A; A \ (A \ B) = A  B; A  B = (A  B) \ (A  B); 3.A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C); A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C); 4.(A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C); (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C); 5.A \ (B \ C) = (A \ B)  (A  C); (A \ B) \ C = A \ (B  C); 6.(A  B)  C = A  (B  C); 7.A  CEA = E; A  (B  C) = (A  B)  (A  C); A  CEA = ; 8.CE(A  B) = CEA  CEB; CEE = ; CE = E; CECEA = A; CE(A  B) = CEA  CEB; Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна. A \ B  A \ ( A  B) 203 Из записанных выше соотношений видно, что A \ ( A  B)  ( A \ A)  ( A \ B)    ( A \ B) = A \ В Что и требовалось доказать. Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна А В А В AB Отношения и функции Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}. Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение: (a, b)  (c, d )  a  c  b  d ; Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аА, bB. A  B  {(a, b) a  A; b  B} Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn. n – мерным отношением R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn)R, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным. Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2. Свойства бинарных отношений. Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество 204 ( x, y) z( z  A)  ( x, z)  R  ( z, y)  S Знак  называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию. Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством: R 1  ( x, y) ( y, x)  R Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва: ( R  S )  T  R  (S  T ); ( R  S ) 1  S 1  R 1 ; ( R  S )  T  ( R  T )  (S  T ); ( R  S ) 1  R 1  S 1 ; ( R  S )  T  ( R  T )  (S  T ); ( R  S ) 1  R 1  S 1 ; Элементы математической логики. Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно. В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л. Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”. Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата. Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями 1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно. Обозначается  Р или P . 205 Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид: P Р И Л Л И 2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P&Q или РQ. P Q P&Q И И И И Л Л Л И Л Л Л Л 3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается PQ. P Q PQ И И И И Л И Л И И Л Л Л 206 4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно. Обозначается PQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием. P Q PQ И И И И Л Л Л И И Л Л И 5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают. Обозначается РQ или РQ. P Q PQ И И И И Л Л Л И Л Л Л И С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул. Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы  и .   p  ( p  r)   p  (p  r) Составим таблицы истинности для каждой формулы: 207 p r p (pr) p  ( p  r) И И Л И И И Л Л Л И Л И И Л Л Л Л И Л Л p r p r (p  r) p  (p  r) И И Л Л Л И И Л Л И И И Л И И Л И И Л Л И И И И Данные формулы не являются эквивалентными. Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности: A & B  B & A; A & A  A; A & (B & C)  (A & B) & C; A  B  B  A; A  A  A; A  (B  C)  (A  B)  C; A  (B & C)  (A  B) & (A  C); A & (B  C)  (A & B)  (A & C); A & (A  B)  A; A  (A & B)  A; A  A; (A & B)  A  B; A  (A & B)  (A & B); A  (A  B) & (A  B); Конечные графы и сети. Основные определения. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом. 208 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами. В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар (v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. G = (V, X) Псевдограф без петель называется мультиграфом. Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом. Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом. Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины. Если х = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х. Если х = (v, w) – дуга орграфа, то вершина v – начало, а вершина w – конец дуги х. Вершины v, w графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w}X. Два ребра называются смежными, если они имеют общюю вершину. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю. 209 Графы G1(V1, X1) и G2(V2, X2) называются изоморфмными, если существует взаимно однозначное отображение : V1  V2, сохраняющее смежность. Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1. Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути). Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом. Матрицы графов. Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v1, …, vn}, X = {x1, … , xm}. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой  1, если (vi , v j )  X aij    0, если (vi , v j )  X Если вершина v является крнцом ребра х, то говорят, что v и х – инциндентны. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности пт B(D) = [bij], у которой 1, если вершина vi является концом дуг и x j  bij   1, если вершина vi является началом дуг и x j  0, , если вершина vi не инцидентна дуг е x j Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке. x1 210 v1 x4 v2 x2 x3 v3 Составим матрицу смежности: v1 v2 v3 v1 1 v2 1 1 v3 1  0 1 0   Т.е. A(D)   1 0 1  - матрица смежности. 1 0 0   Матрица инциндентности: x1 x2 x3 x4 v1 -1 1 1 v2 1 -1 -1 v3 1 -1  1 0 1 1    Т.е. B(D)   1  1 0  1  0 1 1 0    Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается aij=k, где k – кратность дуги (ребра). 211 С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ. Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G.  Нарисованть также орграф G( N , A) , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С. 1  1 Q  1  1 0 1  2 2 1 2 2 1  1 1 0  x4 x3 v2 x2 x5 x6 x1 v1 v3 x7 x8 x10 x11 x9 v4 Составим матрицу инциндентности: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 v1 1 1 1 v2 1 1 1 1 1 1 212 v3 1 1 1 1 1 v4 1 1 1 1  Итого: R    0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 1  1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1  Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности. x4 x5 v2 x2 x7 х3 x1 x6 х8 v1 v3 x10 x11 х9 х17 х15 x14 х13 x12 x16 v4 Составим матрицу инциндентности для ориетированного графа. Элемент матрицы равен 1, если точка является концом дуги, -1 – если началом дуги, если дуга является петлей, элемент матрицы запишем как 1. 213  1 1  0 C   0  1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1  0 0   1 Таким образом, операции с графами можно свести к операциям с их матрицами. 214