Математическое описание сигналов

1 Лекция 6. «Математическое описание сигналов» Понятие сигнал. Математическое описание сигналов. Способы представления сигналов. Спектральное представление сигналов. Классификация сигналов. Преобразование Фурье. Классификация случайных сигналов Понятие «сигнал» В 18 веке в теорию математики вошло понятие функции, как определенной зависимости какой-либо величины y от другой величины – независимой переменной х, с математической записью такой зависимости в виде у(х). Особое значение функциональная математика приобрела в технике связи, где временные функции вида s(t), v(f) и т.п., используемые для передачи информации, стали называть сигналами. В технических отраслях знаний термин "сигнал" (signal, от латинского signum – знак) используется в широком смысловом диапазоне. Под ним понимают и техническое средство для передачи, обращения и использования информации - электрический, магнитный, оптический сигнал; и физический процесс, отображающий информационное сообщение - изменение какоголибо параметра носителя информации (электромагнитных колебаний, светового потока и т.п.) во времени, в пространстве или в зависимости от изменения значений каких-либо других аргументов (независимых переменных); и смысловое содержание определенного физического состояния или процесса, как, например, сигналы светофора, звуковые предупреждающие сигналы и т.п. Термин “сигнал” часто отождествляют с понятиями “данные” (data) и “информация” (information). Действительно, эти понятия взаимосвязаны, но относятся к разным категориям. Понятие информации имеет много определений, от наиболее широкого (информация есть формализованное отражение реального мира) до практического (сведения, являющиеся объектом хранения, передачи, преобразования, восприятия и управления). Найдем связь между сигналом и информацией. С этой целью приведен рисунок 6.1, показывающий связь между сигналом и информацией. На рис.6.1 сделана попытка отобразить суть понятия «сигнал». Как правило, нас интересует состояние некоторой материальной системы, например, тяговой подстанции. 2 ПАРАМЕТРЫ Сигнал физическая величина Событие реализация Дезигнат Явление Об оз Процесс Отр а Состояние материальной системы на Сообщение че н ие Денотат Слово Знак Символ жен ие Данные Алфавит Концепт Сведения Буква л ыс См информация Набор понятий Рисунок 6.1. Сигнал как отображение состояния материальной системы Мы производим выбор параметров, по значению которых судим о состоянии подстанции. Пусть это будут напряжения на шинах подстанции, токи питающих линий, мощность, потребляемая подстанцией по вводам и отдаваемая по отходящим линиям. Для описания параметров мы вводим обозначения, в качестве которых используются знаки из конечного набора, называемого алфавитом. В нашем случае удобно использовать знаки десятичных цифр. Знаки должны каким-то образом записываться. Когда-то это делали дежурные по подстанции, фиксировали показания приборов в специальные журналы, передавали по телефону, записанные показатели энергодиспетчеру. В настоящее время такие записи может выполнять автоматическая аппаратура, и она же обеспечивает их хранение в электронной памяти. С математической точки зрения сигнал представляет собой функцию, т.е. зависимость одной величины от другой, независимой переменной, рис. 6.2. Рис. 6.2 Сигнал Наиболее распространенное представление сигналов - в электрической форме в виде зависимости напряжения от времени U(t). Под "анализом" сигналов имеется в виду не только их чисто математические преобразования, но и получение на основе этих преобразований выводов о специфических особенностях соответствующих процессов и объектов. С понятием сигнала неразрывно связан термин регистрации сигналов, использование которого также широко и неоднозначно, как и самого термина сигнал. В 3 наиболее общем смысле под этим термином можно понимать операцию выделения сигнала и его преобразования в форму, удобную для дальнейшего использования. Термин регистрации сигналов используют и для процессов выделения уже сформированных сигналов, несущих определенную информацию, из суммы других сигналов (радиосвязь, телеметрия и пр.), и для процессов фиксирования сигналов на носителях долговременной памяти, и для многих других процессов, связанных с обработкой сигналов. Процесс получения информации при помощи технических средств, обеспечивающих преобразование физических величин в сигналы, удобные для обработки и восприятия называют детектирования. При детектировании сигналов, несущих целевую для данного вида измерений информацию, в сумме с основным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различной природы, рис. 6.3. Рис. 6.3 Сигнал с помехами. Шумы, как правило, имеют случайный (стохастический) характер. К помехам относят искажения полезных сигналов при влиянии на процессы измерений различных эксплуатационных факторов (электромагнитное влияние, вибрация, и т.п.). Выделение полезных составляющих из общей суммы сигналов или максимальное подавление шумов и помех в информационном сигнале при сохранении его полезных составляющих является одной из основных задач первичной обработки результатов наблюдений. Математическое описание сигналов Сигналы могут быть объектами теоретических исследований и практического анализа только в том случае, если указан способ их математического описания. Большинство сигналов, встречающихся на практике, представлены во временной области функциями времени. При отображении сигналов на графике одной из координат (независимой) является ось времени, а другой координатой (зависимой) – ось амплитуд. Тем самым мы получаем амплитудно-временное представление сигнала. В общем случае описание сигнала задается функциональной зависимостью определенного информационного параметра сигнала от независимой переменной (аргумента) – s(х), y(t) и т.п. 4 Такая форма описания и графического представления сигналов называется динамической. Функции математического описания сигналов могут быть как вещественными, так и комплексными. Выбор математического аппарата описания определяется простотой и удобством его использования при анализе и обработке сигналов. Отметим двойственность применения описания сигналов функциями типа s(t) и т.п. С одной стороны, s(t) – это величина, равная значению функции в момент времени t. С другой стороны, мы обозначаем через s(t) и саму функцию, т.е. то правило, по которому каждому значению t ставится в соответствие определенная величина s. В большинстве аналитических выражений это не вызывает недоразумений и при однозначном соответствии значений сигналов их аналитическим выражениям принимается по умолчанию. В теоретических работах по анализу сигналов конкретные значения величины сигнала (отсчеты значений по аргументу) часто именуют координатами сигнала. Способы представления сигналов Для отображения сигналов используются различные способы, см. рис.6.4. Рисунок 6.4 Способы отображения сигналов Один из наиболее наглядных и используемых способов представления сигналов – это спектральные диаграммы. 5 Спектральное представление сигналов Впервые опыт по разложению света на спектральные составляющие был поставлен профессором Пражского университета Яном Маркусом Марци в 1848 году. Кроме динамического представления сигналов и функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов используется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал, не имеющий разрывов второго рода (бесконечных значений на интервале своего задания), можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, что выполняется при помощи преобразования Фурье. Соответственно, математически разложение сигнала на гармонические составляющие описывается функциями значений амплитуд и начальных фаз колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте изменения функций на определенных интервалах аргументов их динамического представления. Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Линейные системы преобразования сигналов описываются дифференциальными уравнениями, причем для них справедлив принцип суперпозиции (вспоминаем курс ТОЭ). Это позволяет при известной реакции системы на гармоническое колебание с определенной частотой определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд гармоник частотного спектра сигнала. Широкое использование гармонических функций при анализе сигналов объясняется тем, что они являются достаточно простыми ортогональными функциями и определены при всех значениях непрерывных переменных, а также являются собственными функциями времени, сохраняющими свою форму при прохождении колебаний через любые линейные системы и системы обработки данных с постоянными параметрами (изменяются только амплитуда и фаза колебаний). Кроме того для гармонических функций и их анализа разработан математический аппарат. Знание математических моделей сигналов дает возможность классифицировать их по различным признакам, характерным для того или иного типа моделей. Таким образом сигналы разделяются на неслучайные и случайные в зависимости от возможности точного предсказания их значений в любые моменты времени. Сигнал является неслучайным и называется детерминированным, если 6 математическая модель позволяет осуществлять такое предсказание. Детерминированный сигнал задается, как правило, математической функцией или вычислительным алгоритмом, а математическая модель сигнала может быть представлена в виде s = F(t, z, ,…; A, B, C,…), где s – информативный параметр сигнала; t, z, w, … – независимые аргументы (время, пространственная координата, частота и др.); A, B, C… – параметры сигналов. При анализе физических данных используются два основных подхода к созданию математических моделей сигналов. Первый подход оперирует с детерминированными сигналами, значения которых в любой момент времени или в произвольной точке пространства (а равно и в зависимости от любых других аргументов) являются априорно известными или могут быть определены (вычислены) с определенной степенью точности. Второй подход предполагает случайный характер сигналов, закон изменения которых во времени (или в пространстве) носит случайный характер, и которые принимают конкретные значения с некоторой вероятностью. Модель такого сигнала представляет собой описание статистических характеристик случайного процесса путем задания закона распределения вероятностей, корреляционной функции, спектральной плотности энергии и др. Классификация сигналов Все сигналы разделяют на две крупных группы: детерминированные и случайные. Классификация сигналов внутри групп приведена на рис. 6.5 Рис. 6.5. Классификация сигналов. Детерминированные сигналы разделяют на: периодические и непериодические. К множеству периодических относят гармонические и полигармонические сигналы. Гармонические сигналы (синусоидальные), описываются следующими формулами, см. памятку из курса ТОЭ, рис. 6.6: 7 s(t) = Asin (2fоt+φ) = Asin (оt+φ), или s(t) = Acos(оt+φ), (6.1) где А, fo, o,  - постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных параметров сигнала: А - амплитуда сигнала, fо - циклическая частота в герцах, о= 2fо - угловая частота в радианах,  и - начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/fо = 2/o. При  = -/2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал. Частотный спектр сигнала представлен амплитудным и начальным фазовым значением частоты fо (при t = 0). Рис. 6.6 Гармонический сигнал и спектр его амплитуд. Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний: N N n 0 n 0 s(t) =  An sin (2fnt+n) ≡  An sin (2Bnfpt+n), Bn ∈ I, (6.2) или непосредственно функцией s(t) = y(t  kTp), k = 1,2,3,..., где Тр - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение fp =1/Tp называют фундаментальной частотой колебаний. Рис. 6.7 а) Модель сигнала. б) Спектр сигнала. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (fо=0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд An и фаз n, с частотами, кратными несущей (фундаментальной) частоте fp. Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем 8 второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье). На рис. 6.7а приведен отрезок периодической сигнальной функции, которая получена суммированием постоянной составляющей и трех гармонических колебаний с разными значениями частоты и начальной фазы колебаний. Математическое описание сигнала задается формулой: 3 s(t) =  Akcos(2fkt+k), k0 где: Ak = {5, 3, 4, 7} - амплитуда гармоник; fk = {0, 40, 80, 120} - частота в герцах; k = {0, -0.4, -0.6, -0.8} - начальный фазовый угол колебаний в радианах; k = 0, 1, 2, 3. Несущая частота сигнала 40 Гц. Частотное представление данного сигнала (спектр сигнала) приведено на рис. 6.7б. Частотное представление периодического сигнала s(t), ограниченного по числу гармоник спектра, составляет всего восемь отсчетов и весьма компактно по сравнению с временным представлением. Периодический сигнал любой произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными частоте колебаний fр= 1/Тр. Для этого достаточно разложить один период сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям синуса и косинуса с шагом по частоте, равным фундаментальной частоте колебаний f = fp: K s(t) =  (ak cos 2kft + bk sin 2kft), (6.3) k 0 ao = (1/T)  0 s(t) dt, ak = (2/T)  0 s(t) cos 2kft dt, T T bk = (2/T)  0 s(t) sin 2kft dt. T (6.4) (6.5) Количество членов ряда Фурье K = kmax обычно ограничивается максимальными частотами fmax гармонических составляющих в сигналах так, чтобы fmax < K·fp. Однако для сигналов с разрывами и скачками имеет место fmax   , при этом количество членов ряда ограничивается по допустимой погрешности аппроксимации функции s(t). Одночастотные косинусные и синусные гармоники можно представить в виде: K s(t) =  Sk cos (2kft-k), (6.6) k 0 2 2 Sk = ak  bk , k = argtg (bk/ak). (6.7) 9 Рис. 6.8. Прямоугольный периодический сигнал (меандр). Пример представления прямоугольного периодического сигнала (меандра) в виде амплитудного ряда Фурье в частотной области приведен на рис. 6.8. Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов, но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик. Рис. 6.9. Почти периодический сигнал и спектр его амплитуд Так, например, сумма двух гармоник с частотами 2fи 3.5f дает периодический сигнал (2/3.5 – рациональное число) с фундаментальной частотой 0.5f, на одном периоде которой будут укладываться 4 периода первой гармоники и 7 периодов второй. Но если значение частоты второй гармоники заменить значением 12 f, то сигнал перейдет в разряд непериодических, поскольку отношение 2/ 12 не относится к числу рациональных чисел. Как правило, почти периодические сигналы порождаются физическими процессами, не связанными между собой. Математическое отображение сигналов тождественно полигармоническим сигналам (сумма гармоник), а частотный спектр также дискретен. 10 Рис. 6.10. Апериодический сигнал и модуль спектра. Апериодические сигналы составляют основную группу непериодических сигналов и задаются произвольными функциями времени. На рис. 6.10 показан пример апериодического сигнала, заданного формулой на интервале (0, ): s(t) = е-at= - exp(-bt), где a и b – константы, в данном случае a = 0.15, b = 0.17. Частотный спектр апериодических сигналов непрерывен и может содержать любые гармоники в частотном интервале [0, ]. Для его вычисления используется интегральное преобразование Фурье, которое можно получить переходом в формулах (6.3) от суммирования к интегрированию при f  0 и kf  f.   s(t) =  0 (a(f) cos 2ft + b(f) sin 2ft) df =  0 S(f) cos(2ft-(f)) df. a(f) =  0 s(t) cos 2 f t dt, T b(f) =  T s(t) sin 2 f t dt, S(f) = a(f) 2  b(f) 2 , (f) = arсtg (b(f)/a(f)). (6.7) (6.9) (6.10) Частотные функции a(f), b(f) и S(f) представляют собой не амплитудные значения соответствующих гармоник на определенных частотах, а распределения спектральной плотности амплитуд этих гармоник по частотной шкале. Формулы (6.9-6.10.) обычно называют формулами прямого преобразования Фурье (ППФ), формулу (6.7) – обратного преобразования Фурье (ОПФ). Если необходимо определить поведение сигнала за пределами области его задания [0, Т], то эта область может восприниматься, как один период периодического сигнала, т.е. значение Т принимается за фундаментальную частоту периодический колебаний, при этом для частотной модели сигнала может применяться разложение в ряды Фурье по области его задания (6.3-6.6). 11 К апериодическим сигналам относятся также импульсные сигналы, которые рассматривают в виде отдельного класса сигналов, рис. 6.11. Импульсы представляют собой сигналы определенной и достаточно простой формы, существующие в пределах конечных временных интервалов. Рис. 6.11. Импульсный сигнал и модуль спектра В классе импульсных сигналов выделяют подкласс радиосигналов. Пример радиосигнала приведен на рис. 6.12. Рис. 6.12. Радиосигнал и модуль его спектра. Уравнение радиосигнала s(t) = u(t) cos(2fot+o). где cos(2fot+o) – гармоническое колебание заполнения радиосигнала, u(t) – огибающая радиосигнала. 0=2fo называют несущей частотой. 12 Обычно предполагают, что огибающая u(t) и фазовая функция o(t) изменяются за время Т0=2/0 (период несущей частоты) незначительно. В отдельный класс выделяют сигналы конечной длительности, отличные от нуля только на ограниченном интервале аргументов (независимых переменных). Такие сигналы называют финитными, их еще называют видеосигналами. Термин «видео» не совсем подразумевает отношение в видеотехнике. Если огибающая - финитная функция, то радиосигнал называют радиоимпульсом, а огибающую u(t) - соответствующим ему видеоимпульсом, а 0– частотой заполнения радиоимпульса. Поясним на примере, рис. 6.13. Различие между видеоимпульсами и радиоимпульсами состоит в следующем: если uв(t) – видеоимпульс, то соответствующий ему радиоимпульс uр(t)= uв(t)cos(ot+o). При этом функция uв(t) называется огибающей радиоимпульса, а функция cos(ot+o) - его заполнением, см. рис. 6.13. Рис. 6.13. а) видеоимпульс, б) радиоимпульс С энергетических позиций сигналы разделяют на два типа: с ограниченной (конечной) энергией и с бесконечной энергией. Для множества сигналов с ограниченной энергией должно выполняться условие: L2 = {s;    |s(t)|2 dt < ∞}. Этому множеству могут соответствовать только сигналы, стремящиеся к нулю на бесконечности: lim s(t) → 0. |t|   Как правило, к этому типу сигналов относятся апериодические и импульсные сигналы, не имеющие разрывов 2-го рода при ограниченном количестве разрывов 1-го рода. Любые периодические, полигармонические и почти периодические сигналы, а также сигналы с разрывами и особыми точками 2-го рода, 13 уходящими в бесконечность, относятся к сигналам с бесконечной энергией. Для их анализа применяются специальные методы. С позиций временной динамики сигналы подразделяются на стационарные и нестационарные. Стационарными называются сигналы, частотный спектр которых не изменяется во времени и не зависит от интервала задания сигналов. К ним относятся периодические и почти периодические сигналы. Большинство сигналов являются нестационарными. Так, модулированные сигналы радио и телевидения относятся к числу нестационарных, но имеют стационарные несущие частоты. Классификация случайных сигналов Случайным сигналом называют функцию времени, значения которой заранее неизвестны, и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью. Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или физический процесс, причем, зарегистрированный в единичном наблюдении, сигнал не воспроизводится при повторных наблюдениях. В качестве основных статистических характеристик случайных сигналов принимают: а) закон распределения вероятности нахождения величины сигнала в определенном интервале значений; б) спектральное распределение мощности сигнала. ЛИТЕРАТУРА 1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая школа, 1988. 2. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.