Математическое моделирование в теории управления и исследование операций

Глебова Наталья Владимировна Решение современных управленческих задач невозможно без использования математических моделей. Основной принцип эффективной деятельности – максимум эффективности при минимуме затрат ресурсов – подразумевает использование математических моделей для:  обработки баз данных,  оперативной оценки ситуации,  прогнозирования деятельности организации. При принятии решений в менеджменте используются:  модели технологических систем,  модели обеспечения качества продукции,  модели массового обслуживания,  модели управления запасами (модели логистики),  имитационные и эконометрические модели деятельности и др. В современных условиях очень важной для управленца становится профессиональная компетенция, связанная с умением рационально обосновать принятие решений. Чем сложнее организуемые мероприятия, чем больше вкладывается в него средств, тем менее допустимы интуитивные решения, не опирающиеся на научный расчет, и тем большее значение получает совокупность научных методов, позволяющих заранее оценить недопустимые варианты и рекомендовать те, которые наиболее удачные. Широкое использование информационных технологий среди различных категорий граждан России повышает интеллектуальный уровень управленческой деятельности, прежде всего за счет разработки и использования новых технологий, основанных на моделировании. "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание) Модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала Объект-оригинал Модель Математическая модель — это внутренне непротиворечивая замкнутая система математических соотношений, предназначенная для воспроизведения определенного качества (или группы определенных качеств) изучаемого реального объекта, явления или процесса Модели – это информационные образы реальной действительности, отражение знаний об окружающем мире. Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью исследование объекта, системы объектов, явлений и процессов и предсказание результатов будущих наблюдений путем построения и изучения моделей. Моделирование можно рассматривать как метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. Это особенно важно для управленческих процессов, потому что, достоверная информация о свойствах и закономерностях развития объектов управления, а также прогноз последствий воздействий на объект управления, повышает управляемость таких процессов.     определять и формально описывать наиболее существенные связи исследуемых объектов; из полученных модельных соотношений путем обработки исходной информации получать выводы, адекватные исследуемому объекту в пределах функциональной надежности модели; получать новые знания об объекте и зависимостях описывающих его формализованных параметров; разрабатывать стратегии управления и поведения объекта в современных условиях.      Построение модели Решение математической задачи, к которой приводит модель Интерпретация полученных результатов математической модели Проверка адекватности модели Модификация модели УПРАВЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА Управляющее воздействие Входная информация УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА Выходная информация Используются для определения управляющего воздействия на управляемую систему Объект моделирования может характеризоваться: - переменные состояния - параметры Среди перечня параметров выделяют те, на которые может влиять управляющая система  Объект изучения: экономическая система региона  Предмет изучения: односекторная модель Солоу Модель описывает динамику состояния экономической системы, определяемой переменными:  численность занятых (p);  капитал (K);  объем производства (V)    Численность занятых изменяется по закону Мальтуса с постоянным темпом ежегодного прироста независимо от объема потребления. Объем капитала изменяется за счет инвестиций – доли объема производства, получаемого внутри экономической системы. Объем производства определяется количеством занятых и объемом используемого в производстве капитала Численность занятых Капитал Внешняя среда Объем производства p – население; dp  bp dt dK  iV  K dt 1  2 V  Ap K K – капитал; V – объем производства; b – ежегодный темп прироста численности занятых; i – норма накопления (доля инвестиций в объеме производства); μ – темп амортизации капитала; A – коэффициент НТП; α1, α2 – коэффициенты эластичности объема производства по труду и капиталу. норма накопления i=0,2 норма накопления i=0,8 норма накопления i=0,5 Исследование операций Под операциями обычно понимают целенаправленные управляемые процессы Вентцель Е.С. Под исследованием операций понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности Основные понятия исследования операций При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций предполагает:  построение экономических и математических моделей для задач принятия решения;  изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия. Основные понятия исследования операций Пример задачи исследования операций: Для реализации определенной партии сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать параметры сети — число точек, их размещение, количество персонала — так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи. Основные понятия исследования операций В задачах исследования операций есть общие черты:  в каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель  в каждой задаче заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках которых следует принять решение – такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду  условиями проведения операции в каждой задаче оказываются средства, которыми мы располагаем – время, оборудование, технологии. Основные понятия исследования операций Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, то есть от выбора некоторых параметров Всякий определенный выбор называется решением Оптимальными считают предпочтительнее других те решения, которые Основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений Основные понятия исследования операций В задачах исследования операций оптимальным является решение, при котором некоторый критерий эффективности принимает максимальное или минимальное значение или значение показателей эффективности удовлетворяет некоторым условиям. Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции Модель операции — это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.) Составление модели операции требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата Основные понятия исследования операций Эффективность операции – это степень ее приспособленности к выполнению задачи Количественно эффективность выражается в виде целевой функции, а критерий эффективности – требование (минимума или максимума), предъявляемое к целевой функции Например критерием эффективности может быть требование максимума прибыли от реализации произведенной продукции Выбор критерия эффективности определяется целью решения задачи исследования операций Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:  постоянные факторы или условия проведения операции, на которые мы влиять не можем. Обозначим их через a1 , a2 ,...... зависимые факторы или элементы решения x1 , x2 ,...... которые в известных пределах можно выбирать по своему усмотрению.  Критерий эффективности, выражаемый функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевая функция может быть представлена в виде: V  f ( x1 , x2 ,......a1 , a2 ,.....) Все модели исследования операций могут быть классифицированными в зависимости от природы и свойств операция, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов. Это классификация аналогична классификации математических моделей. Критерий эффективности, выражаемый функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевая функция может быть представлена в виде: V  f ( x1 , x2 ,......a1 , a2 ,.....) Все модели исследования операций могут быть классифицированными в зависимости от природы и свойств операция, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов. Это классификация аналогична классификации математических моделей.  x1 , x2 ,...... В зависимости от вида и свойств целевой функции и функций ограничений для решения задач исследования операций можно применять классические методы оптимизации, методы математического программирования (линейного, целочисленного, нелинейного, выпуклого, динамического и т.п.) по степени формализации задач формальные По уровню неопределенности определенные Прямое отыскание экстремума •Дедукции •Индукции •Правдоподобных суждений •Проб и ошибок •Метод Дельфи И т.д. неопределенные Математическое программирование Линейное неформальные неопределенная система ценностей Нелинейное хаотическая неопределенность стохастическая неопределенность поведенческая неопределенность