Математическое моделирование нелинейных динамических систем. Теория систем и анализ фазовых портретов

ЛЕКЦИЯ-7 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ И АНАЛИЗ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДС Динамическая система (ДС) – математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим и др. системам, эволюция во времени, которых на любом интервале времени однозначно определяется начальным состоянием. - Система автономных дифференциальных уравнений (ДУ) - Система разностных уравнений - Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. - ДУ решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение ДУ на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. - Фазовый анализ - качественное исследование ДУ Отображение– это функция, которая показывает зависимость последующих значений параметров системы от предыдущих значений. xn+1 = f(xn) Фазовый портрет системы (ФП) – совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных (фазовом пространстве, не путать с временным). ФП = интегральное многообразие. ФП рассматривают как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений (аналог определенного устойчивого состояния ДС). ОПАСНОСТЬ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ДУ Сравнение аналитического (красная линия) и численного (фиолетовая линия) решений 3 уравнения Дуффинга  x + x + ε= x 0,= x x(t ),  = x(0) x= x00 0 , x (0) Существенная зависимость от начальных данных – основная черта, присущая хаотической динамике. Её иногда называют эффектом бабочки. По аналитической формуле ( ) По итерационной формуле xnam = sin 2 2n arcsin x0 . = x it n 4 xnit−1 (1 – xnit−1 ), n > 0 Представление числа с плавающей запятой для хранения действительных чисел в битовой строке с некоторой конечной точностью приводит к усилению влияния ошибки округления на каждой итерации в силу нелинейности модели ОПРЕДЕЛЕНИЯ x(k) – вектор состояния или фазовых координат, u(k) -вектор внешних воздействий; z(k) - вектор измерений. Вектор-функции f(k, x, u) и g(k, x) - известные. Системы управления - стационарные, если функции f(t, x, u) и g(t, x) или f(k, x, u) и g(k, x) не зависят явно от времени t или номера шага k, в противном случае нестационарными. Стационарные значения можно найти из алгебраического уравнения f(x) = 0. Системы управления называются системами с полной информацией о состоянии ОУ, если по одному измерению z(t) или z(k) можно однозначно определить все составляющие вектора x(t) или x(k) (в частности, все координаты измеряются). Определение. Траектория x*(t) называется: 4 ДВУМЕРНАЯ ХАОТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Д. фон Нейман : "Я не верю, что можно найти общие закономерности в поведении сложных систем. Это то же самое, что построить теорию не слонов". Нелинейная динамика сейчас: можно говорить и о неких универсальных сценариях возникновения катастроф. Фазовое Временное Расходимость пространство пространство фазовых траекторий в системах с динамическим хаосом. Отклонение в результатах повторных вычислений (1963) Динамический хаос обусловлен тем, что соседние траектории удаляются от нее. Из-за этого малые причины могут иметь большие следствия. 1963 г. Р. Брэдбери. Рассказ в котором сформулировал идею динамического хаоса Расходимость со временем фазовых траекторий в метеорологической модели Лоренца ГАМИЛЬТОНОВЫ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ: ПРИЗНАКИ Фазовый объем сохраняется Фазовый объем сжимается Диссипативная система характеризуется спонтанным появлением сложной хаотичной структуры Это стационарная открытая система или неравновесная открытая система. Бифуркационный характер эволюции системы (X, Z – параметры системы, t – время, А и В – точки бифуркации) ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДС ФП определяет качественные свойства системы: - точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, - замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний, - устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них «фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» динамической системы, она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях» (А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний) ФП линейной ДС 2-го порядка Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t. АТТРАКТОР – ИНВАРИАНТ – ПРИТЯГИВАЮЩЕЕ МНОЖЕСТВО СОСТОЯНИЙ Аттрактор - асимптотический предел решений дифференциальных/разностных уравнений нелинейной диссипативной системы, причем начальные условия этих решений должны обязательно лежать в области притяжения. Аттрактор — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности Управление. Цель любого исследования: придать устойчивые свойства динамической системе, все траектории из некоторой начальной точки ФП привести в другую заданную точку. u(X(t)): Ψ(X)=0 Любая динамическая система определяет в фазовом пространстве траекторию. «Сгустки» траекторий – определенные состояния ДС. 8 ДИНАМИКА ВОЗНИКНОВЕНИЯ СТРАННЫХ АТТРАКТОРОВ Динамика колебательной системы под внешним воздействием η(x) Сценарий возникновения странных аттракторов в системе Арнеодо ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФП ДЛЯ ОЦЕНКИ (ТС) ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ДС ФП = совокупность областей притяжения фазового пространства как моделей возможных состояний ДС. 1. Полученный n –мерный вибросигнал обрабатывается (например, виброперемещение, виброускорение, виброскорость для обнаружения типа дефекта в изделиях). 2. Выбираются (численно или экспериментально) наиболее информативные подпространства для конкретных значащих ТС (напр., типов дефектов). 3. По изменениям картины пространства выносится суждение о качественном изменении состояния объекта диагностирования. 4. Определяют точки бифуркации, которые определяют границы между качественно различными состояниями объекта. 5. По скорости изменения количественных параметров и по скорости прохождения точек бифуркации осуществляют прогнозирование развития того или иного дефекта и состояние диагностируемой системы в целом. ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ особенно важна в ВИБРАЦИОННЫХ механизмах. Один из самых эффективных методов обнаружения разной степени износа. ИЗОБРАЖАЮЩАЯ (ИТ) ТОЧКА ДС И ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ Изображающая точка (M) - точка фазового пространства, соответствующая состоянию системы в момент времени t. Изменению состояния x(t) системы со временем будет соответствовать движение ИТ M(t) в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией. Переходный процесс — в теории систем представляет изменения во времени координат ДС x(t), до некоторого установившегося состояния; возникает под влиянием возмущающих воздействий, изменяющих состояние ДС или параметры. Каждому переходному процессу в реальной системе соответствует определенная фазовая траектория в фазовом пространстве и наоборот. Переходный процесс Временная область Фазовое пространство Характерные фазовые портреты распространенных неисправностей в задаче оценки технического состояния насосно-компрессорного оборудования Признаки состояний насосного агрегата: размерность ФП площадь ФП, позволяющие оценить техническое состояние объекта по шкале, принятой службой вибродиагностики. БД для СППР. Автоматизация определения состояний ДС International Scientific Journal “Internauka” http://www.inter-nauka.com/ АНАЛИЗ БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВ (ЭКГ) Эффективность диагностирования по ФП выше, чем по ФТ. Ишемическая болезнь сердца АНАЛИЗ БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВ (ЭКГ, ЭЭГ) Мерцательная аритмия Нормальный синусовый ритм Признаки: 1) длина фазовой Частая экстрасистолия траектории; 2) площадь портрета, ограниченная контуром; 3) длина контура; 4) угловой показатель. Вычисляется число линий фазовой траектории, расположенных под углом 100°170° к горизонтальной оси, задаваемой координатой x(i) БИФУРКАЦИОННАЯ ДИАГРАММА Бифуркация. (от лат. bifurcus «раздвоенный») — всевозможные качественные перестройки и/или увеличение множества возможных состояний ДС при изменении параметров, от которых они зависят. Параметры, от которых зависит неоднозначность состояний (перестройка) наз. управляющими. Существенная зависимость от начальных данных – основной черта, присущая хаотической динамике. Её иногда называют эффектом бабочки. Точка бифуркации это состояние системы, когда очень незначительное воздействие приводит к глобальным изменениям: «взмах крыла бабочки привел к урагану в Калифорнии» ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ Бифуркация - качественные перестройки фазового портрета. Лоренц при создании набора компьютерных программ для предсказания долговременных погодных изменений не стал округлять тысячные доли метеорологических величин: Незначительные изменения данных полностью сила ветра, поменяли долгосрочный прогноз. влажность и атмосферное давление. Точки бифуркации в природе и технике • Надвигается ураган, вдруг сворачивается на и – солнечная погода. • Ситуации в аэрогидродинамике…. • Космический аппарат, летящий между Землей и Луной и не имеющий необходимой скорости, чтобы выйти из гравитационного поля одной или другой планеты Точки бифуркации в экономике и политике: • На фондовом или валютном рынке - уровни поддержки или сопротивления являются точками бифуркации. • Ценная бумага (валюта) в некоторый момент, уйдуд вниз или наверх в зависимости от очень незначительных факторов. • Плохая новость склонит к выбору конкурента…. • Неверный перевод текста (Япония) приведет к войне….. ДС: ХИЩНИК-ЖЕРТВА Б (*) * Уравнение Ван дер Поля и его модификация Модель «хищник – жертва» Модель Лоренца Возникновение хаоса по сценарию Ньюхауса – Рюэля – Такенса Сценарий Фейгенбаума Модель Колмогорова – Петровского – Пискунова С Дискретная форма ДС: ХИЩНИК-ЖЕРТВА Здесь 𝑥𝑥𝑡𝑡 , 𝑦𝑦𝑡𝑡 – численность жертв и хищников, параметр 𝑎𝑎 – коэффициент демографического роста, 𝑏𝑏, 𝑑𝑑 – параметры, определяющие взаимное влияние популяций друг на друга, 𝜀𝜀 – коэффициент, степень насыщения. Все параметры системы – положительные. a=3.5, b=1, ε=2 Модель Лоренца и малая городская система на ее основе Система ДУ, характеризующая динамику изменения экономического объекта «малой городской системы»  dX =  dt   dY  =  dt  dZ =  dt Классическая модель Лоренца (3)  dx = σ ( y − x),  (1) dt t * a a a a d 1 3 2 2 2  a1 (a2Y − a3 X ), =t = ,σ = ,r = ,b , (2)  dy c1c3 c1c3 a3c3 c1c3  = rx − y − xz, dt 1 1  c1 (c2 X − c3Y ) − c4 XZ ,  c4  2 d1 X  c4  2 d1a2Y c4a2 Z  dz = ,y  = ,z . = xy − bz. x =   d1  c1c3 d1  a3c1c3 a3c1c3  dt   d1 XY − d 2 Z , X’(t) – скорость увеличения количества продукции, производимой городской системой, Y’ (t) – скорость увеличения численности коренного населения, преобразования коэффициентов (4) a2 – спрос на городскую продукцию (5) a3 - уровень предложения продукции внутри города c2 – спрос на труд со стороны фабрик и фирм для производства единицы продукции c3 – отношение численности работающих жителей, к общему населению ДИНАМИКА ВОЗНИКНОВЕНИЯ СТРАННЫХ АТТРАКТОРОВ  dx σ ( y − x), = dt   dy  = rx − y − xz ,  dt  dz  dt= xy − bz.  Управляющий параметр, ответственный за возникновение изменений в фазовом пространстве 1. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. 3-е изд. М.: Издательство ЛКИ, 2008. 224 с. 2. Nonlinear biomedical signal processing / ed. by Metin Akay. Vol. 2. Dynamic analysis and modelling. New York: IEEE, 2001. 341 p. 3. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988. 240 с. 4. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. Изд. 3-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. 280 с. 5. Головко В. А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // Научная сессия МИФИ-2005: Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ. 2005. С. 43-91. 6. С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогноз. Настоящее и будущее. В сборнике “Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие”. М. –Наука, 2002, стр. 29 – 58. 7. Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. 8. Москва, "Мир", 1979. 9. Х.Хакен. Синергетика. Москва, "Мир", 1980. 10. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск.: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с. 11. Безручко Б. П. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях. М.: КомКнига, 2005. 304 с. 12. Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: КомКнига, 2005. 312 с. 13. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М: ЛЕНАНД, 2011. 320 с