Математические основы теории управления

1 Краткие лекции дисциплины «Математические основы теории управления» 2 Основные определения и условные обозначения Вектор (в теории управления (ТУ) – это совокупность элементов, воздействий, объединенных одним или несколькими общими свойствами. На рисунке 1 представлена схема неуправляемого объекта исследования: V Y ОУ Рисунок 1 – Схема неуправляемого объекта управления V – входные воздействия; V = {V1, …, VM}; M – число входных воздействий; ОУ – объект управления. Вектор V состоит из двух принципиально отличающихся друг от друга векторов входных воздействий V = {W, U}, т.е. W ≠ U. С учетом такого разделения входных воздействий структура объекта будет иметь вид W U Y ОУ Рисунок 2 – Структура объекта с учетом разделения входных воздействий Y, V, X, Z – векторные воздействия, переменные, координаты; Y – векторные выходные воздействия; U – вектор управляющих воздействий, т.е. целенаправленных воздействий; W – вектор внешних воздействий. Если расчленили V на U и W и обозначили это на схеме, то это означает, что объект с входными воздействиями U и W является объектом управления, т.е. частью системы управления. Такой объект охвачен прямыми и/или обратными управляющими связями. Будем рассматривать, что каждое воздействие представляется в виде суммы опорного уровня и отклонений от этого уровня т.е. Y=Y0+y; V=V0+v; W = W0 + w; 3 U = U0 + u, где W, U, Y, V – общий уровень изменения входных и выходных воздействий; U0, W0, Y0, V0 – базовый (опорный) уровень изменения соответствующих воздействий; u, w, y, v – отклонения, соответствующих воздействию U, W, Y, V относительно их базовых уровней: U0, W0, Y0, V0. В дальнейшем будем считать, что параметрами являются только коэффициенты, а зависимые и независимые величины, характеризующие состояние объекта или СУ, а также взаимодействия его с окружающей средой, будем называть воздействиями, переменными, координатами. Следует помнить, что под внешними воздействиями мы понимаем их абсолютные значения Wk(t), а под внешними возмущениями – отклонения этих значений от базового уровня. Координатные возмущения – это вариации воздействий относительно их базовых опорных уровней. Параметрические возмущения – вариации свойств объекта во времени или в зависимости от условий его функционирования, отображенные через изменения параметров (коэффициентов) его математических моделей. Внешние воздействия делятся на два класса: Wк, WН. Wк – контролируемые внешние воздействия, данные об изменении которых поступают в систему управления; WН – неконтролируемые внешние воздействия, т.е. такие воздействия, которые имеют место на объекте исследования, влияют на изменение его состояния и выходных воздействий, но по каким-то причинам данные об их изменении отсутствуют. Аналогично будем использовать обозначения: wК и wН – соответственно контролируемые и неконтролируемые возмущения. Наличие неконтролируемых возмущений усложняет проблему управления объектом. Объекты с неконтролируемыми возмущениями составляют специальный класс объектов, функционирующих в условиях неопределенности. Будем через ε обозначать вектор различного рода шумов, ошибок, помех. Описать сам объект управления при этом можно с помощью его модели. Модели. Виды моделей Модель – упрощенная функциональная схема некоторой реальной системы, построенная путем отражения в ней наиболее существенных факторов исходной системы. Модель – вспомогательный объект, находящийся в определенном соответствии с изучаемым объектом–оригиналом и более удобный для решения задач конкретного исследования. 4 Модель – явление, техническое устройство, знаковое образование или иной условный образ, который находится в определенном соответствии, сходстве с изучаемым объектом и способный замещать оригинал, давая о нем достоверную информацию. Модель – любой образ, аналог (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.) какого-либо объекта, процесса или явления (оригинала данного объекта), используемый в качестве его заменителя, представителя. Во всех записанных определениях модели в явной или неявной форме содержатся следующие основные её свойства и особенности.  Модель отображает не все, а лишь основные, интересующие исследователя свойства оригинала. Это упрощение всегда связано с конечной целью использования модели, то есть зависит от конкретно поставленной задачи исследования. И именно эта цель (цели) и задачи исследования обуславливают учет тех или иных свойств и условий функционирования объекта–оригинала. Поскольку цели и задачи исследования одного и того же объекта–оригинала могут быть различными, то для одного и того же оригинала может быть построено множество моделей.  Между моделями и объектом–оригиналом должно быть поставлено определенное соответствие, например, связанное с точностью формирования данных, характеризующих необходимые свойства и условия функционирования оригинала. Другими словами, модель, которая является заменителем оригинала в конкретных исследованиях, должна поставлять такие данные, которые отличаются от соответствующих данных оригинала на малые величины, удовлетворяющие требованиям заданной точности.  Модель должна быть удобнее для исследований, чем оригинал. Удобнее в смысле меньших затрат средств и времени. При определении модели необходимо учитывать все указанные выше её особенности. Под структурой модели будем понимать совокупность её элементов и взаимосвязей между ними. Структура модели будет тем сложнее, чем большее число элементов она включает и чем динамичнее взаимосвязи между этими элементами. Виды моделей Рассмотрим классификацию моделей по нескольким признакам 1. По признаку, связанному с физической природой модели. 1.1 Натурная модель Натурная модель – комплексы (природные, технические), особенности поведения которых во времени достаточно изучены для того, чтобы можно было установить их аналогию (подобие) с другими комплексами [3]. Натурная модель - реально изучаемые объекты или их части [4]. 5 Примером натурных моделей могут быть действующие агрегаты, процессы, протекающие в них, которые исследуются (проводятся эксперименты), в частности , чтобы проектировать аналогичный агрегат или процесс. При этом предполагается, что проектируемый объект будет функционировать в таких же или аналогичных условиях, тогда результаты, полученные на натурной модели, можно переносить на проектируемые объекты. Такие модели часто называют аналогами проектируемого объекта. Если условия оригинала несколько отличаются от условий натурной модели, то результаты, полученные в натурной модели, следует обязательно корректировать. 1.2 Физическая модель Физическая модель – установка, устройство или приспособление, позволяющее исследовать систему путем замещения изучаемого физического процесса подобным ему процессом той же или другой физической природы [4]. Физическая модель – модель, воспроизводящая главные процессы изучаемого явления с сохранением его природы и основных влияющих факторов [3]. Примером физической модели является уменьшенная или увеличенная геометрически подобная копия оригинала (макет квартала жилого массива, планетарная модель атома). Эти модели могут быть как статическими, так и динамическими. В последнем случае в них можно реализовать физические явления или процессы, подобные процессам оригинала. При этом процессы могут иметь одну и ту же физическую природу (макет русла реки и ГЭС), но могут иметь и другую физическую природу (физическая модель МНЛЗ). Как правило, подобие между физическими процессами устанавливается методами теории подобия, с помощью специальных критериев подобия. Сравнивая приведенные два определения физической модели, отметим, что первое определение источника [4] является более правильным, потому что физическая модель может быть построена на основе другой физической природы, чем у оригинала. При этом выбор другой, более простой физической природы модели, основывается на положениях специально разработанной для этого теории подобия. 1.3 Математическая модель Математическая модель – система математических соответствий, описывающих изучаемый процесс или явление [2]. Математическая модель – формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно точных правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта с некоторыми символами, отношениями и константами [5]. Математические модели в настоящее время наиболее широко используются для описания натурных объектов различной природы. Однако математические модели имеют свою ограниченную область применения, в частности, в настоящее время практически невозможно описать с помощью этих моделей поведение человека как элемента системы управления. Для многих сложных систем управления можно построить математическую модель, но зачастую она имеет сложную структуру и соответственно большое число неизвестных параметров (коэффициентов), значение которых необходимо определить. Это требует больших затрат средств и времени. Именно по этим двум причинам в последнее время все чаще используют комбинированные модели, которые оказываются более адекватными для таких объектов. Любое ли математическое выражение можно считать математической моделью? 6 Ответ в источнике [3]. Любое математическое выражение можно считать математической моделью, если оно удовлетворяет 3 условиям:  за этим выражением всегда стоит натурный объект, процесс, явление (оригинал). Это условие следует понимать так, что все переменные математического выражения должны быть проинтерпретированы в терминах оригинала;  между этим аналитическим выражением и оригиналом должно быть установлено соответствие. Модель, являясь заменителем оригинала, должна поставлять исследователю данные с требуемой точностью, то есть отклонение между натурными и расчетными данными должно быть, например, по модулю меньше заданного малого числа;  с моделью можно оперировать существенно легче и проще, чем с оригиналом. В самом общем виде математические модели можно представить с помощью следующих выражений Y = Ф1 {W, U, A, t}; (1) Y = Ф2 {V, A, t}; (2) Во втором выражении вместо W и U стоит символ V – вектор входных воздействий, без разделения его на управляющие и внешние. По этому отличию можно сразу же отметить, что первое выражение представляет собой математическую модель преобразующих каналов объектов управления, т.к. здесь в явном виде выделены управляющие и внешние воздействия. Вторым выражением представлена математическая модель объекта исследования, который не является объектом управления, т.е. не является частью системы управления, т.к. в нем отсутствует разделение входных воздействий на внешнее и управляющее. В зависимости от подхода к построению моделей выделяют два класса математических моделей 1) математические модели внутреннего механизма процесса или математические модели «в большом»; 2) функциональные или кибернетические модели, которые иногда называют моделями «в малом». Будем в дальнейшем обозначать через Ф{∙} модели внутреннего механизма процесса, а через φ{∙} – функциональные (кибернетические) модели. Выражения (1) и (2) записаны с помощью заглавных символов, то есть речь идет о математической модели поведения объекта во всем большом диапазоне изменения входных и выходных воздействий. Такие модели называют математическими моделями «в большом» или математическими моделями внутреннего механизма процессов, происходящих в объекте. Как правило, такие модели детально отображают все стадии преобразования энергии или вещества в объекте. Функциональные модели представлены с помощью выражений (3)-(6): y = φ1 {w, u, a, t} (3) y = φ2 {v, a, t} (4) 7 y = φ3 {w, u, a} (5) y = φ4 {v, a} (6) 3, 4 – динамические; 5,6 – статические (отсутствует зависимость от времени t). Модели типа (3)-(6) называются кибернетическими или функциональными. Они отражают поведение объекта в малом диапазоне изменения входных и выходных воздействий. Эти модели отражают лишь внешнее соответствие, причинно-следственную связь между входными и выходными воздействиями и совершенно не затрагивают процессы преобразования энергии или вещества внутри объекта. Математические модели внутреннего механизма процессов объекта управления, которые отображают достаточно подробно все основные стадии преобразования энергии и вещества внутри объекта. Это достаточно сложные математические модели и естественно, что их сложность обусловлена сложностью процессов и явлений, протекающих внутри объектов управления. Например, агрегаты, в которых происходит нагрев металла перед прокаткой, содержат в себе только те процессы и явления, которые связаны с нагревом металла. Модели нагрева строят с помощью известных законов термодинамики и включают законы тепло- и массопередач, энергии и т.д. Это достаточно сложные модели, представленные в виде обычных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных. Плавильные агрегаты являются более сложными по виду протекаемых процессов, чем нагревательные печи, потому что дополнительно к процессам и явлениям нагрева здесь происходят процессы плавления, испарения, химические процессы и др. Соответственно и математические модели этих плавильных агрегатов сложнее, чем нагревательных печей. Функциональные (кибернетические модели) – более простые модели, отображающие только причинно-следственные связи внутри объекта. Другими словами, такие модели отображают реакцию объекта на изменение водных воздействий. Они, как правило, отражают работу объекта в малом (небольшом) диапазоне изменения входных и выходных воздействий, но в отличие от модели внутреннего механизма они приспособлены и, соответственно, могут быть использованы для тех данных, которые содержат ошибки измерения и передачи данных. Именно для таких моделей и используют отклонения, приращение сигналов относительно их опорных или базовых уровней. Таким образом, следует помнить, что модели в большом диапазоне изменения входных и выходных воздействий или математические модели внутренних механизмов объекта целесообразно использовать для данных, которые не содержат погрешности их измерения и передачи. Поэтому исходные данные должны быть предварительно обработаны с целью выделения, например, полезных составляющих сигналов измерительной информации. В свою очередь функциональные модели используются для преобразования данных содержащих эти ошибки, но они эффективны в малом диапазоне изменения входных и выходных воздействий. 8 По временному признаку классификации выделяют статические и динамические модели. Динамические модели в явном виде отражают динамику изменения состояния объекта. Примером таких математических моделей, записанных в общем виде, являются выражения (3)-(4), т.к. в этих моделях в качестве аргумента указано непрерывное время t. Модели, которые не учитывают изменение объекта во времени, называются статическими. В общем виде они представлены выражениями (5)-(6). Статические модели, так же как и динамические, могут быть представлены как моделями «в большом», так и моделями «в малом». Y = Ф3 {W, U, A}; (7) Y = Ф4 {V, A}. (8) Модели (7) и (8) отражают поведение объекта в статическом состоянии в установившиеся моменты времени, без учета времени. Они называются статическими и совершенно не отражают переходы объекта из одного состояния в другое. Применительно к объекту управления модели (3) и (4) являются моделями преобразующих каналов объекта. Примером статической модели, наиболее часто используемой на практике, является полиномиальная модель. Она имеет такую структуру M M M y  a0   aii   b   ...   cii , i 1 i 1 2 i i i 1 n (9) где  - входное воздействие (переменная); M – число учитываемых моделью входных воздействий; n – степень полинома. Введем новое понятие: «структура модели». В дальнейшем под этим будем понимать различную форму связи между зависимой переменной (функцией) и независимой переменной (аргументом). Структура модели (9) используется очень часто при построении функциональных моделей. Она является линейно-параметрической. Структура модели является линейно-параметрической, если она линейна по отношению к коэффициентам (параметрам) ai , bi , … ci , но может быть нелинейна по отношению к аргументам i . Примером динамической модели являются дифференциальные уравнения как обычные, так и в частных производных. При этом обычные дифференциальные уравнения используются для отображения свойств натурных объектов с сосредоточенными переменными, а уравнения в частных производных для отображения свойств объектов с распределенными переменными. Если речь идет о динамических моделях, то будем различать 2 класса таких моделей: - в непрерывном времени (t); - в дискретном времени (i). 9 В последнем случае дискретное время (i) представлено номером отсчета. Это справедливо при одинаковом шаге (интервале) дискретизации. Если записать в непрерывном времени дифференциальное уравнение, например, линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка с запаздывающим аргументом T0 dy (t )  y (t )  k (t   ) , dt то это уравнение в дискретном времени имеет вид: y(i) = c1 y (i - 1) + c2 v (i - l) - это рекуррентное дифференциально-разностное уравнение, где l – дискретное запаздывание l   t . Переход от непрерывного дифференциального уравнения к дифференциально-разностному осуществляется за счет замены производной ее приближенным выражением. Таких приближений может быть несколько. Наиболее простые из них: dy (t ) y(t )  y(t  t )  - левая разность; dt t dy (t ) y(t  t )  y (t )  - правая разность. dt t 10 Модель системы управления WDн UD WDк YD Объект управления (О.У.) Измерительная подсистема (И.П.) Исполнительный блок (И.Б.) Uy Управляющая система (У.С.) Q (цели, ограничения) Рисунок 3 – Структура системы управления Функции системы управления: 1. Измерение физических величин; 2. Контроль; 3. Регулирование; 4. Оптимизация. Объект управления всегда является составной частью системы управления. Поэтому его модель должна отражать взаимодействия объекта управления с другими частями системы, так и с окружающей средой. Поэтому модель объекта управления должна состоять из следующих основных составляющих: Модель преобразующих каналов объекта, отражающая влияние изменений всех входных (управляющих и внешних) воздействий на изменение выходных воздействий объекта (Рисунок 4): W U ОУ Y Рисунок 4 – Модель преобразующих каналов объекта Примером таких моделей, статических и динамических являются выражения (3) и (4). 11 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Советский энциклопедический словарь, гл. редактор академик Прохоров А.М. , Москва, издательство «Советская энциклопедия», 4-е издание, 1994г. 2. Энциклопедия кибернетики, Киев. Украинская советская энциклопедия, 1994г. 3. Веников В.А., Веников А.А. Теория подобия и моделирования. Учебник. Москва, 3-е издание, 1976г. 4. Основы моделирования сложны систем. Учебное пособие под ред. Кузьмина И.В. Киев. Высшая школа, 1978г. 5. Динамика моделирования и испытаний технических систем. Коллектив авторов под. ред. Кочубиевского И.Д., Москва, Энергия, 1978г. 6. Веников В.А. Теория подобия и моделирования. / В.А. Веников. – М.: Высшая школа, 1976. -479 с. 7. Мышляев Л.П. Применение физических моделей в схемах натурно-математического моделирования. / Л.П. Мышляев, В.Ф. Евтушенко, С.Р. Зельцер и др. // Известия вузов. Черная металлургия. – 2011. № 11. – С. 65-67. 8. Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. / В.Н. Пугачев. - М.: Сов. Радио, 1973. – 256 с. 9. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. / В.Я. Ротач. – М.: Энергия, 1973. – 439 с. 10. Барковский В.В. Методы синтеза систем управления. / В.В. Барковский, В.Н. Захаров, А.С. Шаталов.–М.: Машиностроение,1969. – 385 с. 12 Приложение 1. Пример Рассмотрим в качестве примера объекта управления гидравлический резервуар, изображенный на рисунке. Здесь приняты следующие обозначения: Q — объем воды, притекающей в резервуар; G — объем воды, вытекающей из резервуара; H — уровень воды в резервуаре; S — площадь поперечного сечения резервуара. Поведение исследуемого объекта может быть описано следующим дифференциальным уравнением: В качестве управляющей величины можно рассматривать Q, а в качестве возмущения — G. Состояние объекта характеризуется величиной H, которая и является управляемой величиной. Рассматриваемый объект является односвязным, так как у него одна управляющая и одна управляемая величина. При кратковременном изменении величины Q объект перейдет в новое устойчивое состояние, характеризуемое новым значением величины H.