Математические основы информатики

Уважаемые слушатели! Обратите внимание на дополнения к материалам курса. § 2 лекции 5, раздел «Вопросы и задания» Задание 6. Выясните, какие из следующих формул являются тавтологиями: А) ( x → x) → x Б) x ∨ y → x В) x & y → x Решение. Это задание достаточно просто решить, зная, как можно выразить импликацию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание: x → y = x ∨ y . Это тождество можно доказать двумя способами. 1-й способ 1) Построим таблицу истинности для импликации: x 1 1 y x→y 1 1 1 1 1 2) По таблице построим СДНФ (совершенную дизъюнктивную нормальную форму). Для этого отметим те строки, на которых функция принимает значение 1. Для каждой отмеченной строки построим элементарную конъюнкцию. При этом если переменная на данном наборе равна 0, то в элементарную конъюнкцию она войдет с отрицанием. Все элементарные конъюнкции объединим знаком «∨»: x& y∨ x& y∨ x& y 3) Преобразуем это выражение (вместо знака «&» будем ставить знак «⋅»): x & y ∨ x & y ∨ x & y = x ⋅ y ∨ x ⋅ y ∨ x ⋅ y = ( x ⋅ y ∨ x ⋅ y ) ∨ ( x ⋅ y ∨ x ⋅ y ) = x( y ∨ y ) ∨ y ( x ∨ x) = = x∨ y По закону идемпотентности мы можем к исходному логическому выражению добавлять любые слагаемые, которые уже встречаются в нашей формуле. Во вторую скобку было добавлено слагаемое x ⋅ y . Далее, каждая скобка есть ИСТИНА по закону исключенного третьего (см. с. 12 лекции 5). 2-й способ По таблице построим СКНФ (совершенную конъюнктивную нормальную форму). Она будет равна x ∨ y . Так как импликация принимает 0 только на одном наборе, то сразу же строить СКНФ предпочтительнее. Теперь, используя доказанное тождество, решим наше задание, выполняя элементарные тождественные преобразования. А) ( x → x) → x = x ∨ x → x = ( x ∨ x) → x = x ∨ x = x . Здесь скобки использованы исключительно для наглядности. Операция «∨» имеет приоритет выполнения выше операции «→». Следовательно, данное выражение не является тавтологией. Б) x ∨ y → x = ( x ∨ y ) → x = ( x ∨ y ) ∨ x = x & y ∨ y = x ∨ y . Тавтологией не является. В) x & y → x = x & y ∨ y = x ∨ y ∨ x = 1 ∨ y = 1 . Данное выражение тождественно при любых значениях переменных, т.е. является тавтологией. Задание 7. Выразите высказывание x через высказывания a и b, если имеет место равенство ( x ∨ a) ∨ ( x ∨ a) = b . Решение. Данную задачу можно сформулировать следующим образом: найдите значение корня x. Для решения этой задачи надо выполнить тождественные преобразования. В первую очередь надо «опустить» знак отрицания на знаки переменных. Для этого надо воспользоваться одним из законов де Моргана. ( x ∨ a) ∨ ( x ∨ a) = ( x ⋅ a ) ∨ ( x ⋅ a ) = x(a ∨ a) = x = b . Следовательно, x = b . À.Ã. ÃÅÉÍ Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè Ëåêöèè 5–8 Ìîñêâà Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» 2008 Àëåêñàíäð Ãåîðãèåâè÷ Ãåéí Ìàòåðèàëû êóðñà «Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè» : ëåêöèè 5–8. – Ì. : Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2008. — 116 ñ. Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå Ðåäàêòîð È.Í. Ôàëèíà Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Ä.Â. Êàðäàíîâñêàÿ Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 14.05.2008 Ôîðìàò 60×90 /16. Ãàðíèòóðà «Lazurski», «Baltica». Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Ïå÷. ë. 7,25 Òèðàæ ýêç. Çàêàç ¹ Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», óë. Êèåâñêàÿ, ä. 24, Ìîñêâà, 121165 http://edu.1september.ru  À.Ã. Ãåéí, 2008  Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2008 Ó÷åáíûé ïëàí ¹ áðîøþðû Íàçâàíèå ëåêöèè 1 Ëåêöèÿ 1. ×òî òàêîå “ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè”. Ïî÷åìó èíôîðìàòèêó íåðåäêî ñ÷èòàþò áëèçêîé ðîäñòâåííèöåé ìàòåìàòèêè? Âåðíî ëè ýòî? Âîçìîæíà ëè èíôîðìàòèêà áåç ìàòåìàòèêè? Èíôîðìàöèÿ è åå êîäèðîâàíèå. Ìàòåìàòèêà êîäîâ. Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè. Ýêîíîìíîå êîäèðîâàíèå. Êîäèðîâàíèå öâåòîâîé èíôîðìàöèè. Íåîáðàòèìûå àëãîðèòìû ñæàòèÿ. 1 Ëåêöèÿ 2. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ôîðìàëüíûõ èñïîëíèòåëåé. ×òî òàêîå ôîðìàëüíàÿ îáðàáîòêà èíôîðìàöèè? Êîíå÷íûå àâòîìàòû. Óíèâåðñàëüíûå èñïîëíèòåëè. Ìàøèíà Òüþðèíãà. ×òî ïåðâè÷íî: ÿçûê èëè èñïîëíèòåëü? Ãðàììàòèêà ÿçûêà. Ðàñïîçíàâàåìûå ÿçûêè. 1 Ëåêöèÿ 3. Àëãîðèòì è åãî ñâîéñòâà. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1. 1 Ëåêöèÿ 4. Ãðàôû. Ãðàôû è îðãðàôû.  êàêèõ çàäà÷àõ îíè âîçíèêàþò? Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ãðàôîâ. Ïðåäñòàâëåíèå ãðàôîâ. Îñíîâíûå àëãîðèòìû íà ãðàôàõ. 2 2 2 2 Ëåêöèÿ 5. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé. Áóëåâû ôóíêöèè. Íîðìàëüíûå ôîðìû. Ïîëíûå êëàññû áóëåâûõ ôóíêöèé. Êîíòàêòíûå ñõåìû. Âåíòèëè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñóììàòîðà. Ïðåäèêàòû è îòíîøåíèÿ. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ðåëÿöèîííûõ ÑÓÁÄ. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2. Ëåêöèÿ 6. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå). Ðåëÿöèîííûå ìîäåëè. Ïðåäèêàòû è îòíîøåíèÿ. Ëîãèêà ÑÓÁÄ Access. Ëåêöèÿ 7. Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ. Çà÷åì íóæíà òåîðèÿ ÷èñåë â êîìïüþòåðíûõ íàóêàõ? Ãîíêà çà ïðîñòûìè ÷èñëàìè. ×åì îòëè÷àåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ îò âû÷èñëèòåëüíîé? Ïî÷åìó ãëàäêî íà áóìàãå, íî êîðÿâî íà êîìïüþòåðå? Îñíîâíûå ïðàâèëà è àëãîðèòìû âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè. Ëåêöèÿ 8. Çàùèòà èíôîðìàöèè. Çàùèòà ñèìâîëüíîé èíôîðìàöèè. ×òî íóæíî çàùèùàòü? Êðèïòîñèñòåìû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì. Çàùèòà ãðàôè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ìàòåìàòèêà ýëåêòðîííûõ âîäÿíûõ çíàêîâ. Íåêòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè. Èòîãîâàÿ ðàáîòà (ñì. ñ. 115) Ëåêöèÿ 5 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå Óæå ìíîãî ñêàçàíî î âîçìîæíîñòÿõ êîìïüþòåðîâ è ïðèìåíÿåìûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ÷òîáû êàæäûé ïîíÿë, êàêóþ íåîöåíèìóþ ïîìîùü ìîæåò îêàçûâàòü êîìïüþòåð â ïðåäîñòàâëåíèè è îáðàáîòêå èíôîðìàöèè. Îäíàêî çà ÷åëîâåêîì îñòàåòñÿ ïðàâî (è îáÿçàííîñòü) äåëàòü âûâîäû íà îñíîâå ïðåäîñòàâëÿåìîé èíôîðìàöèè è ïðèíèìàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ. Êîíå÷íî, èíîãäà ìû ãîâîðèì, ÷òî ðåøåíèå ïðèíèìàåò êîìïüþòåð. Íàïðèìåð, åñëè êîìïüþòåð, óïðàâëÿÿ êàêèì-ëèáî àâòîìàòîì, ïîëó÷àåò îò äàò÷èêîâ ýòîãî àâòîìàòà èíôîðìàöèþ îá îïàñíîñòè åãî ðàçðóøåíèÿ â òåõ óñëîâèÿõ, â êîòîðûõ îí îêàçàëñÿ, òî êîìïüþòåð ìîæåò “ïðèíÿòü ðåøåíèå” îá ýâàêóàöèè àâòîìàòà èç ýòîé îáñòàíîâêè. Íî êàæäîìó ÿñíî, ÷òî íà ñàìîì äåëå ýòî ðåøåíèå áûëî çàðàíåå çàïðîãðàììèðîâàíî ÷åëîâåêîì è êîìïüþòåð, êàê îáû÷íî, áåçîãîâîðî÷íî ñëåäóåò èíñòðóêöèè. Ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ — ýòî â êîíå÷íîì ñ÷åòå âñåãäà ïðåðîãàòèâà ÷åëîâåêà. Âî-ïåðâûõ, ïîòîìó ÷òî ëþáàÿ èíôîðìàöèÿ â êîìïüþòåðå ëèøü ìîäåëüíî îòðàæàåò ðåàëüíóþ äåéñòâèòåëüíîñòü, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíèìàåìîå êîìïüþòåðîì ðåøåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íåàäåêâàòíûì ñëîæèâøåéñÿ ñèòóàöèè.  âûøåïðèâåäåííîì ïðèìåðå âïîëíå âåðîÿòíà ñèòóàöèÿ, ÷òî àâòîìàò äîëæåí ïîãèáíóòü, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü áîëüøåå íåñ÷àñòüå. Âî-âòîðûõ, ïåðåäàòü êîìïüþòåðó ïðàâî ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ — çíà÷èò ââåðèòü ñóäüáó ÷åëîâå÷åñòâà ýëåêòðîíèêå. È õîòÿ ñåãîäíÿ áóíò ðîáîòî⠗ ýòî âñå åùå óäåë ôàíòàñòè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé, â èõ îñíîâå ëåæèò èìåííî ïðåäïîëîæåíèå î ïðåäîñòàâëåíèè êîìïüþòåðó ïðàâà ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ íàðàâíå ñ ÷åëîâåêîì. Òåì íå ìåíåå ïîìîùü êîìïüþòåðà â ðåøåíèè ÷åëîâåêîì èíôîðìàöèîííûõ çàäà÷ íàìíîãî áû âûðîñëà, åñëè áû êîìïüþòåð “íàó÷èëñÿ” ïðåäëàãàòü ÷åëîâåêó íà âûáîð îáîñíîâàííûå âàðèàíòû âîçìîæíûõ ðåøåíèé. Íî äëÿ ýòîãî íàäî íàó÷èòü êîìïüþòåð äåëàòü âûâîäû èç èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè. Èíûìè ñëîâàìè, íàäî â êîìïüþòåðå ñìîäåëèðîâàòü ïðîöåññ ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ïðîâîäèò ÷åëîâåê. Î òåõ ïîäõîäàõ ê ðåøåíèþ äàííîé ïðîáëåìû, êîòîðûå ñåãîäíÿ ðàçðàáàòûâàþòñÿ â èíôîðìàòèêå, è ïîéäåò ðå÷ü â ýòîé ëåêöèè. Ïåðâûì, êòî ïðåäïðèíÿë óäà÷íóþ ïîïûòêó ïîñòðîèòü ìîäåëü ÷åëîâå÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, áûë, ïî ìíåíèþ èñòîðèêîâ íàóêè, äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé Àðèñòîòåëü. Èìåííî îí ñôîðìóëèðîâàë ïåðâûå çàêîíû ðàññóæäåíèé, çàëîæèâ îñíîâû íîâîé íàóêè, íàçâàííîé èì ëîãèêîé.  äàëüíåéøåì âêëàä â ýòó íàóêó âíîñèëè ïñèõîëîãè è ôèëîñîôû, ëèíãâèñòû è ìàòåìàòèêè. Ó ýòîé íàóêè ïîÿâèëèñü ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâà- Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 5 íèé, îíà ðàçäåëèëàñü íà ðÿä îáëàñòåé, îäíà èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ôîðìàëüíîé, èëè ìàòåìàòè÷åñêîé, ëîãèêîé. Áîëåå òîãî, ïðîèñõîäèëà íå òîëüêî ñïåöèàëèçàöèÿ èññëåäîâàíèé âíóòðè ëîãèêè, íî è ðàñøèðåíèå ñôåðû èññëåäîâàíèé íà âñþ èíòåëëåêòóàëüíóþ äåÿòåëüíîñòü ÷åëîâåêà. Êàê ÷åëîâåê ðàñïîçíàåò ïðåäìåòû è ÿâëåíèÿ, êàê ïðîèñõîäèò îáó÷åíèå è ñàìîîáó÷åíèå, êàê âûðàáàòûâàþòñÿ ñòðàòåãèè â ðåàëüíîé æèçíè èëè èãðàõ, êàêîâû ìåõàíèçìû ñòèõîñëîæåíèÿ è ñî÷èíåíèÿ ìóçûêè — âñå ýòî ñòàëî ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèé ó÷åíûõ. À ìîäåëè, ñîçäàâàåìûå â ðåçóëüòàòå òàêèõ èññëåäîâàíèé, ñòàëè íàçûâàòü ìîäåëÿìè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. §1. Ýëåìåíòû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé Ïñèõîëîãè äàâíî óñòàíîâèëè, ÷òî ìûñëèòåëüíàÿ äåÿòåëüíîñòü ÷åëîâåêà âñåãäà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì êàêîãî-ëèáî ÿçûêà. Èñïîëüçîâàíèå ÿçûêà ïðèäàåò ìûñëèòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè ôîðìó ðàññóæäåíèé. ×òî òàêîå ðàññóæäåíèå? Îòâåòèòü ìîæíî òàê: ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîïðîñîâ, çàäàâàåìûõ ñàìîìó ñåáå èëè ñîáåñåäíèêó, è îòâåòîâ íà íèõ. Âîïðîñû ìîãóò áûòü ðàçíîãî òèïà. Ìîæíî ñïðîñèòü: “Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïðîñòûõ ÷èñåë?” Îòâåòîì ñëóæèò óòâåðæäåíèå: “Ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî”. Ìîæíî ñïðîñèòü: “Êàê íàéòè òûñÿ÷íîå ïðîñòîå ÷èñëî?” Îòâåòîì áóäåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé âû÷èñëèòü òðåáóåìîå ïðîñòîå ÷èñëî. Èíôîðìàöèþ, ñîäåðæàùóþñÿ â îòâåòå íà ïåðâûé âîïðîñ, îáû÷íî îòíîñÿò ê äåêëàðàòèâíîìó òèïó, à èíôîðìàöèþ, ñîäåðæàùóþñÿ â îòâåòå íà âòîðîé âîïðîñ, — ê ïðîöåäóðíîìó. Íàïîìíèì, ÷òî ñðåäè ñâîéñòâ àëãîðèòìîâ, îáñóæäàâøèõñÿ íàìè â ëåêöèè 3, åñòü, íàïðèìåð, ðåçóëüòàòèâíîñòü è ïðàâèëüíîñòü. À âîò èíôîðìàöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ äåêëàðàòèâíî, ìîæíî, ïîæàëóé, îöåíèòü òîëüêî ñ îäíîé ïîçèöèè — èñòèííà îíà èëè ëîæíà. Ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, â îòíîøåíèè êîòîðîãî èìååò ñìûñë ãîâîðèòü î åãî èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèåì. Òàêîå îïðåäåëåíèå âûñêàçûâàíèþ äàë Àðèñòîòåëü, êîòîðûé, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ñ÷èòàåòñÿ îñíîâîïîëîæíèêîì ëîãèêè êàê íàóêè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ. 1. ×èñëî 2 èððàöèîíàëüíî. 2. ×èñëî 2 ðàöèîíàëüíî. 3. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî õ ðàöèîíàëüíî. 4. Ëþáîå ÷èñëî õ ðàöèîíàëüíî. 5. Ñóùåñòâóåò ÷èñëî õ, êîòîðîå èððàöèîíàëüíî. 6. ×èñëî õ ðàöèîíàëüíî. 7. Åñëè ÷èñëî õ èððàöèîíàëüíî, òî ÷èñëî õ + 1 òîæå èððàöèîíàëüíî. 6 Ëåêöèÿ 5 8. ×èñëî íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè îíî ðàâíî îòíîøåíèþ öåëîãî ÷èñëà ê íàòóðàëüíîìó. 9. Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëî 2 èððàöèîíàëüíî? 10. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 2 èððàöèîíàëüíî. Ïåðâûå ïÿòü ïðåäëîæåíèé, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè, ïðè÷åì ïåðâîå, òðåòüå è ïÿòîå èñòèííû, à âòîðîå è ÷åòâåðòîå ëîæíû. Äâà ïîñëåäíèõ ïðåäëîæåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè, ïîñêîëüêó îíè âîâñå íå ïîâåñòâîâàòåëüíûå: îäíî èç íèõ âîïðîñèòåëüíîå, à äðóãîå — ïîáóäèòåëüíîå. Ïðåäëîæåíèå 8 íå ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì, ïîñêîëüêó îá åãî èñòèííîñòè ãîâîðèòü áåññìûñëåííî — îíî ëèøü îïðåäåëÿåò íîâîå ïîíÿòèå ÷åðåç ðàíåå ââåäåííûå.  ïîâåñòâîâàòåëüíîì ïðåäëîæåíèè 6 èñòèííîñòü çàêëþ÷åííîé â íåì èíôîðìàöèè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ: ïðè îäíèõ åå çíà÷åíèÿõ óòâåðæäåíèå îêàæåòñÿ èñòèííûì, ïðè äðóãèõ — ëîæíûì. Òàê ÷òî ýòî ïðåäëîæåíèå íåëüçÿ îòíåñòè ê âûñêàçûâàíèÿì (ìû ðàññìîòðèì ïîäîáíûå óòâåðæäåíèÿ íåñêîëüêî ïîçæå). Òî÷íî òàêîé æå âûâîä ìîæíî ñäåëàòü è î ïðåäëîæåíèè 7, ïîýòîìó è åãî íå ñëåäóåò îòíîñèòü ê âûñêàçûâàíèÿì. Íî åñëè çàäóìàòüñÿ î ñìûñëå ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ, òî ñòàíåò ÿñíî, ÷òî îíî èñòèííî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ. Ïðèìåð ïðåäëîæåíèÿ 7 ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííîå Àðèñòîòåëåì îáúÿñíåíèå, ÷òî òàêîå âûñêàçûâàíèå, íå ÿâëÿåòñÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ, îïðåäåëåíèåì. Áîëåå òîãî, îíî ôàêòè÷åñêè ïåðåêëàäûâàåò íà ïëå÷è äðóãèõ íàó÷íûõ äèñöèïëèí — ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, õèìèè, áèîëîãèè, èñòîðèè (ñïèñîê âû ëåãêî ïðîäîëæèòå ñàìè) — ñàìó ïðîáëåìó ïîëó÷åíèÿ îòâåòà íà âîïðîñ, áóäåò ëè èñòèííûì òî èëè èíîå óòâåðæäåíèå. È âîò åñëè îòâåò íà òàêîé âîïðîñ áóäåò ïîëó÷åí, òî ýòî óòâåðæäåíèå ïîëó÷èò ïðàâî íàçûâàòüñÿ âûñêàçûâàíèåì. Âïðî÷åì, äëÿ íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé îòâåò îá èõ èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè íåëüçÿ ïîëó÷èòü íèêàêèìè ñðåäñòâàìè. Âîò îäíî èç òàêèõ óòâåðæäåíèé: “Ýòî ïðåäëîæåíèå ëîæíî”. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñàìî ýòî óòâåðæäåíèå èñòèííî, òî îíî îáÿçàíî áûòü ëîæíûì. Åñëè æå ñ÷èòàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå ëîæíî, òî îíî îáÿçàíî áûòü èñòèííûì. Âûÿâëåíèå è íåäîïóùåíèå â ðàññóæäåíèÿõ ïîäîáíûõ âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûõ óòâåðæäåíèé — òîæå îäíà èç çàäà÷ ëîãèêè. Îñòàâëÿÿ äðóãèì íàóêàì îòâå÷àòü íà âîïðîñ îá èñòèííîñòè êîíêðåòíîãî óòâåðæäåíèÿ, ëîãèêà èíòåðåñóåòñÿ, êàê èç íàáîðà èñòèííûõ óòâåðæäåíèé ìîæíî ïîëó÷àòü íîâûå èñòèííûå óòâåðæäåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëîãèêà èçó÷àåò òàêèå îïåðàöèè íàä âûñêàçûâàíèÿìè, â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ êîòîðûõ ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ âûñêàçûâàíèå. Ïðè ýòîì âîâñå íå òðåáóåòñÿ âíèêàòü â ñìûñë âûñêàçûâàíèé, íàä êîòîðûìè ïðîèçâîäÿòñÿ îïåðàöèè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ïðåäëàãàåò ôîðìàëèçîâàííûé ÿçûê ↔, ⇔, ≡, ∼ Ðàâíîñèëüíîñòü, ðàâíîçíà÷íîñòü, ýêâèâàëåíöèÿ Îáîðîòû òîãäà è òîëüêî òîãäà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî →, ⇒ Èìïëèêàöèÿ, ñëåäîâàíèå Îáîðîò åñëè , òî , èëè òîëüêî Îáîðîò èëè òîëüêî ⊕, ∆ Îòðèöàíèå, èíâåðñèÿ Ðàçäåëèòåëüíàÿ äèçúþíêöèÿ, èñêëþ÷àþùåå èëè, ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2 ×àñòèöà íå Ñîþç èëè ∨, + _ ,¬ Äèçúþíêöèÿ, ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå Ñîþçû è, à, íî &, ⋅·, ∧ Êîíúþíêöèÿ, ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå Ñìûñë â îáû÷íîì ÿçûêå Îáîçíà÷åíèå Ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ýòèõ îïåðàöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ôîðìàëüíóþ ìîäåëü ÷åëîâå÷åñêèõ ðàññóæäåíèé. Ñ íåêîòîðûìè ëîãè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè âû íàâåðíÿêà çíàêîìû åùå ïî áàçîâîìó êóðñó èíôîðìàòèêè. Ýòî ïðåæäå âñåãî îïåðàöèÿ êîíúþíêöèè (ïî-äðóãîìó, îïåðàöèÿ è), äèçúþíêöèè (ïî-äðóãîìó, îïåðàöèÿ èëè) è îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ (ïî-äðóãîìó, îïåðàöèÿ íå). Íî åñòü è äðóãèå îïåðàöèè, îíè ïåðå÷èñëåíû â òàáë. 1.  íàçâàíèÿõ è îáîçíà÷åíèÿõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïðèâåäåííûõ â òàáë. 1, íà ïåðâîì ìåñòå óêàçàíû òå, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ íàìè.  äðóãîé ëèòåðàòóðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå óïîòðåáëÿþòñÿ è äðóãèå èç óêàçàííûõ íàçâàíèé è îáîçíà÷åíèé. Âî âñåõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ, êðîìå îïåðàöèè îòðèöàíèÿ, ó÷àñòâóþò äâà àðãóìåíòà. Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå, íàïðèìåð, êîíúþíêöèè ê âûñêàçûâàíèÿì X è Y îáû÷íî çàïèñûâàþò êàê X & Y, à ïðèìåíåíèå èìïëèêàöèè ê òåì æå âûñêàçûâàíèÿì êàê X → Y. Îòðèöàíèå âûñêàçûâàíèÿ X çàïèñûâàþò â âèäå X . Çíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ òàáëèö èñòèííîñòè.  íèõ äëÿ âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàöèé çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ çàïèñûâàåòñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè. Äëÿ âñåõ îïåðàöèé îäíîâðå- 7 Òàáëèöà 1 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 8 Ëåêöèÿ 5 ìåííî ýòè òàáëèöû ñîáðàíû â òàáë. 2; â íåé çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ è ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè îáîçíà÷åíû áóêâàìè È (èñòèíà) è Ë (ëîæü). Òàáëèöà 2 X Y X&Y X∨Y X X⊕Y X→Y X↔Y È È È È Ë Ë È È È Ë Ë È Ë È Ë Ë Ë È Ë È È È È Ë Ë Ë Ë Ë È Ë È È Êàê âèäíî èç òàáëèöû, èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ, ïîëó÷åííîãî ïðèìåíåíèåì äèçúþíêöèè, èìååò ìåñòî, êîãäà èñòèííî ëèáî îäíî âûñêàçûâàíèå, ëèáî äðóãîå, ëèáî îáà îäíîâðåìåííî. Ê ïðèìåðó, èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ “Èäåò äîæäü èëè äóåò âåòåð” îçíà÷àåò, ÷òî íà óëèöå èìååò ìåñòî îäíà èç òðåõ ñèòóàöèé: èäåò äîæäü è íåò âåòðà; íåò äîæäÿ, íî äóåò âåòåð; îäíîâðåìåííî èäåò äîæäü è äóåò âåòåð. Ïîýòîìó, çàïèñûâàÿ äàííóþ ôðàçó ñðåäñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, åñòåñòâåííî ïðåäñòàâèòü åå â âèäå X ∨ Y, ãäå X — ýòî âûñêàçûâàíèå “Èäåò äîæäü”, à Y — âûñêàçûâàíèå “Äóåò âåòåð”. À âîò âûñêàçûâàíèå “Ïåòÿ ñèäèò íà óðîêå ôèçèêè èëè Ïåòÿ ñèäèò íà óðîêå èñòîðèè”, êîãäà îáà âûñêàçûâàíèÿ, èç êîòîðûõ îíî ñîñòàâëåíî, èñòèííû, ñëåäóåò ïðèçíàòü ëîæíûì — íå ìîæåò Ïåòÿ îäíîâðåìåííî áûòü è íà óðîêå ôèçèêè, è íà óðîêå èñòîðèè. Çäåñü ïî ñìûñëó ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ èñêëþ÷àþùåãî ÈËÈ. Ïîýòîìó, ïåðåâîäÿ ýòó ôðàçó íà ÿçûê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, åñòåñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàöèåé “⊕” è, ñîîòâåòñòâåííî, çàïèñàòü X ⊕ Y, ãäå X — ýòî âûñêàçûâàíèå “Ïåòÿ ñèäèò íà óðîêå ôèçèêè”, à Y — âûñêàçûâàíèå “Ïåòÿ ñèäèò íà óðîêå èñòîðèè”. Âîçìîæíî, âàñ óäèâèëà òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ îïåðàöèè ñëåäîâàíèÿ. Ìíîãèì êàæåòñÿ, ÷òî óòâåðæäåíèå “Åñëè X, òî Y” èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà X è Y îäíîâðåìåííî èñòèííû, ò.å. ñîâïàäàåò ñ êîíúþíêöèåé ýòèõ âûñêàçûâàíèé. Íî äàâàéòå ïîäóìàåì, êîãäà ëîæíî êàæäîå èç âûñêàçûâàíèé X & Y è X → Y. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî êîíúþíêöèÿ X è Y ëîæíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëîæíî õîòÿ áû îäíî èç âûñêàçûâàíèé X èëè Y. À ëîæíîñòü âûñêàçûâàíèÿ “Åñëè X, òî Y” îçíà÷àåò, ÷òî õîòÿ âûñêàçûâàíèå Õ èñòèííî, âûñêàçûâàíèå Y ëîæíî. Îòñþäà è âûòåêàåò òî ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå èìïëèêàöèè, êîòîðîå ïðèâåäåíî â òàáë. 2.  ÷àñòíîñòè, âûñêàçûâàíèå “Åñëè 2 × 2 = 5, òî 2 × 2 = 4” èñòèííî. Êàê, âïðî÷åì, èñòèííî è âûñêàçûâàíèå “Åñëè 2 × 2 = 5, òî 2 × 2 = 3”. Íåðåäêî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî èìïëèêàöèè ôîðìóëèðóþò òàê: èç èñòèíû ñëåäóåò èñòèíà, à èç ëæè — ÷òî óãîäíî. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 9 Îáû÷íî ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ñòàðàþòñÿ ñâåñòè ëþáîå âûñêàçûâàíèå ê êîìïîçèöèè òàêèõ âûñêàçûâàíèé, â êîòîðûõ óæå íåëüçÿ âûäåëèòü äðóãèå âûñêàçûâàíèÿ. Òàêèå âûñêàçûâàíèÿ, íèêàêàÿ ÷àñòü êîòîðûõ âûñêàçûâàíèåì íå ÿâëÿåòñÿ, íàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Èç ïðèâåäåííûõ íèæå ïðåäëîæåíèé âûáåðèòå âûñêàçûâàíèÿ è îáîñíóéòå ñâîé âûáîð. à) Âûõîæó îäèí ÿ íà äîðîãó. á) ß ñïðîñèë ó ÿñåíÿ: “Ãäå ìîÿ ëþáèìàÿ?” â) Çà÷åì âû, äåâóøêè, êðàñèâûõ ëþáèòå? ã) Åñëè ó âàñ íåò ñîáàêè, åå íå îòðàâèò ñîñåä. ä) Äàâàéòå âîñêëèöàòü, äðóã äðóãîì âîñõèùàòüñÿ. å) Íå ïîé, êðàñàâèöà, ïðè ìíå òû ïåñåí Ãðóçèè ïå÷àëüíîé. æ) Âîò êòî-òî ñ ãîðî÷êè ñïóñòèëñÿ. ç) Íè÷åãî íà ñâåòå ëó÷øå íåòó, ÷åì áðîäèòü äðóçüÿì ïî áåëó ñâåòó. è) Óìîì Ðîññèþ íå ïîíÿòü. ê) Íî êòî-òî êàìåíü ïîëîæèë åìó â ïðîòÿíóòóþ ðóêó. 2. Äëÿ ïðèâåäåííûõ íèæå âûñêàçûâàíèé óêàæèòå, êàêèå èç íèõ èñòèííû è êàêèå ëîæíû. à) ×èñëî 3 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ëþáîãî ÷èñëà, ó êîòîðîãî ñóììà öèôð ðàâíà 6. á) Íåêîòîðûå ìëåêîïèòàþùèå íå æèâóò íà ñóøå. â) Íèêòî íå ìîæåò îáúÿòü íåîáúÿòíîå. ã) Äåìîñôåí óòâåðæäàë: “ îäíó ðåêó íåëüçÿ âîéòè äâàæäû”. ä) Êàæäûé ãîä åñòü ìåñÿö, â êîòîðîì 13-å ÷èñëî ïðèõîäèòñÿ íà ïÿòíèöó. 3. Äëÿ ïðèâåäåííûõ íèæå âûñêàçûâàíèé ïîïûòàéòåñü óêàçàòü, êàêèå èç íèõ èñòèííû è êàêèå ëîæíû. à) Íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî. á) Åñëè äèàãîíàëü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàçáèâàåò åãî íà äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê ïàðàëëåëîãðàìì. â) Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó — ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ äàííîãî îòðåçêà. ã)  äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà π âñòðå÷àåòñÿ 100 ðàç ïîäðÿä öèôðà 9. ä)  çàïèñè ÷èñëà 1/7 â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè íå âñòðå÷àåòñÿ öèôðà 9. å) Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ëèáî ïðîñòîå, ëèáî ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ÷èñåë. 1 ≤ 1. æ) Äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé õ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 1 + x2 10 Ëåêöèÿ 5 1 ç) Äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé õ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ≤ 1. 1+x è) Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ñóììà öèôð ðàâíà 2, íå äåëèòñÿ íà 7. Äëÿ âñåõ ëè âûñêàçûâàíèé âàì óäàëîñü âûïîëíèòü çàäàíèå? Ïî÷åìó òåì íå ìåíåå ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå â ïóíêòàõ à) — è) ïðåäëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè? 4.  ïðèâåäåííûõ íèæå âûñêàçûâàíèÿõ âûäåëèòå äâà ïðîñòûõ, îáîçíà÷üòå èõ áóêâàìè è çàïèøèòå âñå âûñêàçûâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ýòèõ îáîçíà÷åíèé è ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. à) Ïåòÿ è Êîëÿ èäóò ãóëÿòü. á) Ïåòÿ èäåò ãóëÿòü, à Êîëÿ ãóëÿòü íå èäåò. â) Åñëè Êîëÿ èäåò ãóëÿòü, òî Ïåòÿ ãóëÿòü íå èäåò. 5. Óêàæèòå, êàêóþ, íà âàø âçãëÿä, äèçúþíêöèþ — îáû÷íóþ èëè ðàçäåëèòåëüíóþ — íàäî óïîòðåáèòü ïðè çàïèñè ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé íà ÿçûêå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. à) Íà äåðåâüÿõ ðàñïóñòèëèñü ëèñòüÿ èëè ðàñêðûëèñü áóòîíû. á) Íà óëèöå çàìåðç ðòóòíûé ãðàäóñíèê èëè îò æàðû ïåðåñîõëà ðå÷êà. â) Íà íåáå ñâåòèò Ñîëíöå èëè âèäíà Ëóíà. 6. Îïðåäåëèòå, êàêèå èç ïðèâåäåííûõ íèæå èìïëèêàöèé èñòèííû. à) Åñëè ÷èñëî 1357 íå÷åòíî, òî îíî äåëèòñÿ íà 3. á) Åñëè ÷èñëî 1357 ÷åòíî, òî îíî äåëèòñÿ íà 3. â) Åñëè ÷èñëî 1357 íå÷åòíî, òî îíî íå äåëèòñÿ íà 3. ã) Åñëè ÷èñëî 1357 äåëèòñÿ íà 3, òî îíî íå÷åòíî. ä) Åñëè ÷èñëî 1357 íå äåëèòñÿ íà 3, òî îíî íå÷åòíî. å) Åñëè ÷èñëî 1357 íå äåëèòñÿ íà 3, òî îíî ÷åòíî. 7. Ñîñòàâüòå òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ âûñêàçûâàíèé à) Y → X ; á) X → (Y → X); â) X ∨ Y → (X & Y); ã) X & Z → (Y ∨ Z → X). §2. Çàêîíû àëãåáðû âûñêàçûâàíèé  ìàòåìàòèêå àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ äèñöèïëèíà, èçó÷àþùàÿ ñâîéñòâà îïåðàöèé íà ìíîæåñòâàõ. Øêîëüíàÿ àëãåáðà èçó÷àåò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, êîòîðûå íàä ýòèìè ÷èñëàìè ìîæíî âûïîëíÿòü. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïåðàöèé èçâåñòíû âñåì åùå ïî íà÷àëüíîé øêîëå, íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ: îò ïåðåìåíû ìåñò ñëàãàåìûõ ñóììà íå ìåíÿåòñÿ. Ñïðàâåäëèâ àíàëîãè÷íûé çàêîí è äëÿ óìíîæåíèÿ ÷èñåë. Îäíî èç âàæíûõ èçîáðåòåíèé ÷åëîâåêà, êîòîðîå ëåãëî â îñíîâó àëãåáðû, — ýòî ââåäåíèå áóêâåííîé ñèìâîëèêè äëÿ çàïèñè ñâîéñòâ îïå- Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 11 ðàöèé. Ê ïðèìåðó, òîò æå ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ áóêâ ñîâñåì ïðîñòî: a + b = b + a. Òàêèå ðàâåíñòâà, êîòîðûå âåðíû ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ áóêâ, íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâàìè. Ïî ìåðå èçó÷åíèÿ àëãåáðû òîæäåñòâ ïîÿâëÿëîñü âñå áîëüøå è áîëüøå, ñêàæåì, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (ab) n = anbn è ò.ä. Ïðåëåñòü òîæäåñòâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ïîäñòàâëÿÿ îäíè òîæäåñòâà â äðóãèå, ìîæíî ïîëó÷àòü íîâûå òîæäåñòâà. Òàêóþ ïðîöåäóðó íàçûâàþò òîæäåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, à òî÷íåå, òîò ðàçäåë, î êîòîðîì ìû ñåé÷àñ ðàññêàçûâàåì, èìååò äåëî ñ ìíîæåñòâîì âûñêàçûâàíèé.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû ââåëè íåñêîëüêî îïåðàöèé íàä âûñêàçûâàíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò àëãåáðà âûñêàçûâàíèé — ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, èçó÷àþùèé ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä âûñêàçûâàíèÿìè. Íàñ ïðåæäå âñåãî áóäóò èíòåðåñîâàòü òå ñâîéñòâà, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ êàê òîæäåñòâà. Òîëüêî â íàøåì ñëó÷àå áóêâû áóäóò îáîçíà÷àòü ïðîèçâîëüíûå âûñêàçûâàíèÿ, à çíàê ðàâåíñòâà áóäåò ïî-ïðåæíåìó âûðàæàòü òîò ôàêò, ÷òî çíà÷åíèå ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, êàêèå áû âûñêàçûâàíèÿ ìû â íèõ íå ïîäñòàâëÿëè (ðàçóìååòñÿ, âìåñòî îäèíàêîâûõ áóêâ ìû äîëæíû ïîäñòàâëÿòü îäíî è òî æå âûñêàçûâàíèå, õîòÿ âîâñå íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû ðàçíûå áóêâû çàìåíÿëèñü ðàçíûìè âûñêàçûâàíèÿìè).  ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå òàêèå òîæäåñòâåííî ðàâíûå âûñêàçûâàíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàâíîñèëüíûìè. Ñàìè âûñêàçûâàíèÿ, â êîòîðûõ ôèãóðèðóþò áóêâû, îáîçíà÷àþùèå ïðîèçâîëüíûå âûñêàçûâàíèÿ è ñîåäèíåííûå çíàêàìè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè. Áóêâû, âõîäÿùèå â òàêèå ôîðìóëû, íàçûâàþò ëîãè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè. Ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè èëè ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðàâíîñèëüíû ïðåäñòàâëåííûå èìè âûñêàçûâàíèÿ.  àëãåáðå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ïîä÷àñ ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî òðóäíûì äåëîì, òðåáóþùèì îïðåäåëåííîé èçîáðåòàòåëüíîñòè.  àëãåáðå âûñêàçûâàíèé äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâà — ïðîöåññ íåñëîæíûé, õîòÿ è ìîæåò îêàçàòüñÿ âåñüìà òðóäîåìêèì. Ïðè÷èíà çäåñü â òîì, ÷òî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî è âñå íå ïåðåïðîáóåøü, ïîäñòàâëÿÿ èõ âìåñòî ïåðåìåííûõ. ×òî êàñàåòñÿ àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, òî, êàê âû çíàåòå, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ, ñîñòàâëåííîãî ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé èç äðóãèõ âûñêàçûâàíèé, çàâèñèò òîëüêî îò èñòèííîñòè è ëîæíîñòè âõîäÿùèõ â åãî ñîñòàâ âûñêàçûâàíèé. Ïîýòîìó, ñîñòàâèâ òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ äâóõ òàêèõ âûñêàçûâàíèé, ìû ìîæåì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ðàâíîñèëüíû îíè èëè íåò. Óáåäèìñÿ, ê ïðèìåðó, â ðàâíîñèëüíîñòè âûñêàçûâàíèé X → Y è X ∨Y. Âñåì âèäíî (ñì. òàáë. 3), ÷òî ñòîëáöû äëÿ X → Y è X ∨ Y ñîâïàëè. Çíà÷èò, ìîæíî çàïèñàòü X → Y = X ∨ Y. 12 Ëåêöèÿ 5 Òàáëèöà 3 X Y X X→Y X ∨Y È È Ë È È È Ë Ë Ë Ë Ë È È È È Ë Ë È È È Ïðèâåäåì ñïèñîê îñíîâíûõ òîæäåñòâ àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Êîììóòàòèâíîñòü, èëè ïåðåìåñòèòåëüíûå çàêîíû 1. X & Y = Y & X; 2. X ∨ Y = Y ∨ X; Àññîöèàòèâíîñòü, èëè ñî÷åòàòåëüíûå çàêîíû 3. (X & Y) & Z = X & (Y & Z); 4. (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨ (Y ∨ Z); Äèñòðèáóòèâíîñòü, èëè ðàñïðåäåëèòåëüíûå çàêîíû 5. (X & Y) ∨ Z = (X ∨ Z) & (Y ∨ Z); 6. (X ∨ Y) & Z = (X & Z) ∨ (Y & Z); Èäåìïîòåíòíîñòü 7. X & X = X; 8. X ∨ X = X; 9. X & Ë = Ë; 10. X ∨ È = È; 11. X & È = X; 12. X ∨ Ë = X; Çàêîíû èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî 13. X & X = Ë; 14. X ∨ X = È; Çàêîíû äå Ìîðãàíà 15. X & Y = X ∨ Y ; 16. X ∨ Y = X & Y ; Çàêîíû ïîãëîùåíèÿ 17. (X & Y) ∨ Y = Y; 18. (X ∨ Y) & Y = Y; Çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ 19. X = X; 20. X → Y = X ∨ Y; 21. X ↔ Y =( X ∨ Y) & (X ∨ Y ) = (X & Y) ∨ (X & Y ); 22. X ⊕ Y = (X & Y ) ∨ ( X & Y). Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 13 Ìû âûøå ïðîâåðèëè ðàâåíñòâî ïîä íîìåðîì 20. Îñòàëüíûå ðàâåíñòâà ìîæíî ïðîâåðèòü òåì æå ñïîñîáîì — ñîñòàâèòü òàáëèöû èñòèííîñòè. Ìû îñòàâëÿåì ýòî ÷èòàòåëþ. Ïðèâåäåííûå âûøå çàêîíû àëãåáðû ëîãèêè îáû÷íî èñïîëüçóþò äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ îäíèõ ôîðìóë â äðóãèå, èì ðàâíîñèëüíûå. Âîò ïðèìåð (â êðóæî÷êàõ íàä ðàâåíñòâàìè óêàçàíû ïðèìåíÿåìûå çàêîíû): 21 X ↔ Y & (X ∨ Y ) = (X & Y ) ∨ (X & Y ) & (X ∨ Y ) = 16 15 = (X & Y ) & (X & Y ) & (X ∨ Y ) = ( X ∨ Y ) & ( X ∨ Y ) & (X ∨ Y ) = 3 ; 6 19 = ( X ∨ Y ) & (X ∨ Y) & (X ∨ Y ) = ( X ∨ Y ) & (X & (Y ∨ Y )) = 14 6 11 = ( X ∨ Y ) & (X & È) = ( X ∨ Y ) & X = ( X & X) ∨ ( Y & X) = 13 12 = Ë ∨ ( Y & X) = Y & X. Ïðèâåäåííûå 22 òîæäåñòâà âîâñå íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà — ìîæíî îäíè èç íèõ ïîëó÷àòü, èñïîëüçóÿ äðóãèå òîæäåñòâà òîãî æå ñïèñêà. Âîò êàê, íàïðèìåð, âûâîäèòñÿ çàêîí ïîãëîùåíèÿ (òîæäåñòâî 17) èç òîæäåñòâ 11, 1, 6 è 10: (X & Y) ∨ Y = (X & Y) ∨ (Y & È) = (X & Y) ∨ ∨ (È & Y) = (X ∨ È) & Y = È & Y = Y. Çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ îïåðàöèè êîíúþíêöèè ïîçâîëÿåò íå ïèñàòü ñêîáêè, åñëè ýòà îïåðàöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ ïîäðÿä ê íåñêîëüêèì ïåðåìåííûì. Íàïðèìåð, âìåñòî (X & Y) & ((Z & U) & V) ìîæíî ïèñàòü ïðîñòî X & Y & Z & U & V. Èìåííî òàê ìû è áóäåì äåëàòü. Àíàëîãè÷íî áóäåì çàïèñûâàòü âûðàæåíèÿ ñ îïåðàöèåé “∨”. Åñëè æå â çàïèñè âûñêàçûâàíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ðàçíûå îïåðàöèè — îòðèöàíèå, êîíúþíêöèÿ, äèçúþíêöèÿ, èìïëèêàöèÿ, — òî äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ïðèîðèòåò èõ âûïîëíåíèÿ äàåòñÿ â óêàçàííîì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà âûïîëíÿåòñÿ îòðèöàíèå, çàòåì êîíúþíêöèÿ, çàòåì äèçúþíêöèÿ, à óæå çàòåì èìïëèêàöèÿ. Åñëè æå ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé íàäî èçìåíèòü, òî ïðèìåíÿþò ñêîáêè. Ïîýòîìó âûðàæåíèÿ (X & Y) ∨ (Z & U) è X & Y ∨ Z & U ñîâïàäàþò, íî îòëè÷àþòñÿ îò X & (Y ∨ Z) & U. Îïåðàöèè “↔” è “⊕” èìåþò ñàìûé íèçêèé ïðèîðèòåò. Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, èëè òàâòîëîãèåé, åñëè îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå èñòèíà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåå ïåðåìåííûõ. Ïðèìåðîì ïðîñòåéøåé òàâòîëîãèè ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà X → X. Èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè “↔” ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëû F1 è F2 ðàâíîñèëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà F1 ↔ F2 ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ëèøü ìîäåëèðóåò ëîãèêó ÷åëîâå÷åñêîãî ðàññóæäåíèÿ. Ê ïðèìåðó, âûñêàçûâàíèÿ X & Y è Y & X ìàòåìàòè÷å- 14 Ëåêöèÿ 5 ñêàÿ ëîãèêà ïðèçíàåò ðàâíîñèëüíûìè. È äåéñòâèòåëüíî, âûñêàçûâàíèÿ “èäåò äîæäü è äóåò âåòåð” è “äóåò âåòåð è èäåò äîæäü” â ñìûñëîâîì ñîäåðæàíèè èäåíòè÷íû äðóã äðóãó. Íî ñðàâíèòå âûñêàçûâàíèÿ: “Îíà âîøëà â çàë, è çàèãðàëà ìóçûêà”, è “Çàèãðàëà ìóçûêà, è îíà âîøëà â çàë”, — è âû ïî÷óâñòâóåòå òîíêóþ, íî âïîëíå óëîâèìóþ ðàçíèöó, èäóùóþ îò ÷åëîâå÷åñêîãî âîñïðèÿòèÿ ñîþçà “è” êàê íåêîé óïîðÿäî÷åííîñòè ñîáûòèé ïî âðåìåíè. Âïðî÷åì, â íåêîòîðûõ òðàíñëÿòîðàõ ñ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ îïåðàöèè äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè òàêæå íå êîììóòàòèâíû (íàïðèìåð, â íåêîòîðûõ âåðñèÿõ ÿçûêà Ïðîëîã). Êàêèì áû íè áûëî ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå, äëÿ íåãî âñåãäà ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó èñòèííîñòè. À åñëè äàíà íåêîòîðàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè, òî âñåãäà ëè ìîæíî çàïèñàòü ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå, ó êîòîðîãî áûëà áû èìåííî òàêàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëåí. Ìû ïîêàæåì íà ïðèìåðå, êàê ñòðîèòü ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå ïî òàáëèöå èñòèííîñòè, à ïîòîì ñôîðìóëèðóåì îáùåå ïðàâèëî. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, òàáëèöà èñòèííîñòè âûãëÿäèò òàê: Òàáëèöà 4  À Â Ñ Èñêîìîå âûñêàçûâàíèå èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü èñòèíà Âûáåðåì ñòðîêè, â êîòîðûõ äëÿ èñêîìîãî âûñêàçûâàíèÿ ñòîèò çíà÷åíèå èñòèíà. Äëÿ êàæäîé òàêîé ñòðîêè âìåñòî çíà÷åíèÿ èñòèíà â ñòîëáöå ïðîñòîãî âûñêàçûâàíèÿ íàïèøåì ñàìî âûñêàçûâàíèå, à âìåñòî çíà÷åíèÿ ëîæü íàïèøåì åãî îòðèöàíèå. Ïîëó÷èòñÿ òàê: Òàáëèöà 5 À Â Ñ Èñêîìîå âûñêàçûâàíèå À À B Â Ñ C èñòèíà èñòèíà A Â Ñ èñòèíà A B C èñòèíà Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 15 Òåïåðü â êàæäîé ñòðîêå ñîåäèíèì ïîëó÷èâøèåñÿ âûñêàçûâàíèÿ êîíúþíêöèåé, à ïîëó÷åííûå òàêèì ñïîñîáîì ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ — äèçúþíêöèåé. Ó íàñ ïîëó÷èòñÿ ñëåäóþùåå âûñêàçûâàíèå: À & B & Ñ ∨ À &  &C ∨ A &  & Ñ ∨ A & B & C . Êîíå÷íî, ýòî âûñêàçûâàíèå ìîæíî òåïåðü ïðåîáðàçîâûâàòü ïî óêàçàííûì ðàíåå çàêîíàì.  îáùåì ñëó÷àå íàäî ïîñòóïàòü òî÷íî òàê æå: — îñòàâèòü â òàáëèöå òå ñòðîêè, â êîòîðûõ çíà÷åíèå èñêîìîãî âûðàæåíèÿ — èñòèíà; — â êàæäîé êëåòêå ýòèõ ñòðîê çàïèñàòü âìåñòî ñëîâà èñòèíà ñàìî âûñêàçûâàíèå èç çàãîëîâêà ñòîëáöà, à âìåñòî ñëîâà ëîæü çàïèñàòü åãî îòðèöàíèå; — ñîåäèíèòü êîíúþíêöèåé âûñêàçûâàíèÿ, ñòîÿùèå â îäíîé ñòðîêå, à çàòåì ñîåäèíèòü äèçúþíêöèåé ïîëó÷èâøèåñÿ âûñêàçûâàíèÿ äëÿ âñåõ îòîáðàííûõ ñòðîê. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïî ýòîìó àëãîðèòìó âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî îïåðàöèè îòðèöàíèÿ, êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè, ïðè÷åì òàê, ÷òî îòðèöàíèå ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê ïåðåìåííûì, êîíúþíêöèåé ñîåäèíåíû ïåðåìåííûå èëè èõ îòðèöàíèÿ, ïðè÷åì êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ â òàêîì êîíúþíêòèâíîì âûðàæåíèè ôèãóðèðóåò ðîâíî îäèí ðàç, è, íàêîíåö, äèçúþíêöèè ñîåäèíÿþò ïîëó÷èâøèåñÿ êîíúþíêòèâíûå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå, çàïèñàííîå â òàêîì âèäå, íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ñîêðàùåííî ÑÄÍÔ).  ñèëó äîãîâîðåííîñòåé î ïîðÿäêå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé â ÑÄÍÔ ñêîáêè íå òðåáóþòñÿ. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Êàêèå âûñêàçûâàíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííûå, îáîçíà÷àþùèå âûñêàçûâàíèÿ, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè? 2. Ñîñòàâüòå òàáëèöû èñòèííîñòè è âûÿñíèòå, ðàâíîñèëüíû ëè ñëåäóþùèå âûñêàçûâàíèÿ. à) X → Y è Y → X ; á) X → Y è X & Z → Y & Z; â) (X ⊕ Y) & Z è X & Z ⊕ Y & Z; ã) X → (Y → Z) è (X → Y) → Z. 3. à) Ñîñòàâèâ òàáëèöû èñòèííîñòè, ïðîâåðüòå ðàâåíñòâà 1 — 6, ïðèâåäåííûå â îáúÿñíèòåëüíîì òåêñòå ïàðàãðàôà. á) Ïðîâåðüòå çàêîíû äå Ìîðãàíà, ñîñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå òàáëèöû èñòèííîñòè. 4. à) Âûâåäèòå òîæäåñòâî 18 èç òîæäåñòâ ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè. á) Ïîêàæèòå, ÷òî çàêîíû äå Ìîðãàíà âûâîäÿòñÿ äðóã èç äðóãà ñ ïîìîùüþ çàêîíà äâîéíîãî îòðèöàíèÿ. 16 Ëåêöèÿ 5 5. Ïðîâåðüòå, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè. à) X → X; á) X → (Y → X). 6. Âûÿñíèòå, êàêèå èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè. á) X ∨ Y → X; â) X & Y → X. à) (X → X ) → X; 7. Âûðàçèòå âûñêàçûâàíèå X ÷åðåç âûñêàçûâàíèÿ À è Â, åñëè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (X ∨ A) ∨ (X ∨ A) = Â. 8. Âûÿñíèòå, ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ ôîðìóëà F, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé â ñëåäóþùóþ ôîðìóëó ýòà ôîðìóëà ñòàíîâèòñÿ òàâòîëîãèåé. à) X & Y → F & Z; á) F & X ∨ F & X & Y . 9. à) Çàïèøèòå ÷åðåç À,  è Ñ âûñêàçûâàíèÿ Õ, Y è Z, çàäàííûå ñëåäóþùåé òàáëèöåé èñòèííîñòè. á) Çàïèøèòå âûðàæåíèÿ X ∨ Y, Y ∨ Z , X ∨ Z è ïðåîáðàçóéòå èõ â ðàâíîñèëüíûå âûðàæåíèÿ, íå ñîäåðæàùèå ñêîáîê. Òàáëèöà 6 À Â Ñ X Y Z èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà ëîæü èñòèíà ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü 10. à) Èçâåñòíî, ÷òî âûñêàçûâàíèå F, çàâèñÿùåå îò òðåõ âûñêàçûâàíèé À,  è Ñ, ïðèíèìàåò òî çíà÷åíèå äëÿ êàæäîãî äàííîãî íàáîðà çíà÷åíèé À,  è Ñ, êîòîðîå ïðèíèìàåò áîëüøèíñòâî èç ýòèõ òðåõ âûñêàçûâàíèé. Ôóíêöèþ F ïîýòîìó íàçûâàþò ôóíêöèåé ãîëîñîâàíèÿ. Ñîñòàâüòå äëÿ F ëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó. á) Ñîñòàâüòå ëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèè ãîëîñîâàíèÿ îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 17 §3. Êîíòàêòíûå ñõåìû Êîíòàêòîì (èëè ïåðåêëþ÷àòåëåì) íàçûâàåòñÿ óñòðîéñòâî, êîòîðîå â ïðîöåññå ðàáîòû ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé: çàìêíóòîì èëè ðàçîìêíóòîì. Êîíòàêò Õ íà ÷åðòåæå áóäåì èçîáðàæàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: : Ðèñ. 1. Èçîáðàæåíèå êîíòàêòà Äâà êîíòàêòà X è Y ìîæíî ñîåäèíèòü ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Âîò äâà èç íèõ: : ; : ; Ðèñ. 2. Ïàðàëëåëüíîå è ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèÿ êîíòàêòîâ Ïåðâîå ñîåäèíåíèå íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì, âòîðîå — ïîñëåäîâàòåëüíûì. Êîíòàêòû, ñîåäèíåííûå ìåæäó ñîáîé, íàçûâàþò êîíòàêòíîé ñõåìîé. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü íàëè÷èå ó ñõåìû äâóõ âûäåëåííûõ òî÷åê — âõîäà è âûõîäà. Ñõåìó íàçîâåì çàìêíóòîé, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíóòûõ êîíòàêòîâ Õ1, Õ2 , ..., Õ n òàêàÿ, ÷òî Xi ñîåäèíåí ñ Õi+1, X1 ñîåäèíåí ñ âõîäîì, Õn — ñ âûõîäîì. Ñõåìó, íå ÿâëÿþùóþñÿ çàìêíóòîé, íàçîâåì ðàçîìêíóòîé. Êàæäîìó êîíòàêòó ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå âûñêàçûâàíèå, êîòîðîå èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîíòàêò çàìêíóò. Âûñêàçûâàíèå è êîíòàêò áóäåì îáîçíà÷àòü îäíîé áóêâîé. Ïóñòü ñõåìà S ïîñòðîåíà èç êîíòàêòîâ Õ 1, Õ2 , ..., Õn ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî è ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèé. Òîãäà ïî ñõåìå S ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó ëîãèêè âûñêàçûâàíèé F S òàê, ÷òî ïàðàëëåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò äèçúþíêöèÿ, ïîñëåäîâàòåëüíîìó — êîíúþíêöèÿ. Êðîìå òîãî, äåéñòâèÿ íåêîòîðûõ êîíòàêòîâ ìîãóò áûòü ñîãëàñîâàííûìè ìåæäó ñîáîé. Åñëè, ê ïðèìåðó, êîíòàêò Y çàìêíóò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà çàìêíóò êîíòàêò X, òî åñòåñòâåííî òàêèå êîíòàêòû îáîçíà÷èòü îäíîé è òîé æå áóêâîé, ñêàæåì, X. Åñëè æå, íàîáîðîò, êîíòàêò Y çàìêíóò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîíòàêò X ðàçîìêíóò, òî êîíòàêò Y áóäåì îáîçíà÷àòü X . Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíà íåêîòîðàÿ ñõåìà S 0 , äëÿ êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà âûãëÿäèò òàê: F S0 = (X & (Z ∨ Y )) ∨ ( X & Z) ∨ ((X ∨ Y ) & Z ) 18 Ëåêöèÿ 5 Z X Õ YY X X Z X Õ Z Z Y Y Ðèñ. 3. Êîíòàêòíàÿ ñõåìà Ôîðìóëà FS “ïðåäñòàâëÿåò” ñõåìó S â ñëåäóþùåì ñìûñëå: ñõåìà S çàìêíóòà â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè FS ïðèíèìàåò çíà÷åíèå èñòèíà. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïî âñÿêîé òàêîé ôîðìóëå F ìîæíî âîññòàíîâèòü ñõåìó, êîòîðóþ ôîðìóëà F ïðåäñòàâëÿåò. Ïóñòü ñõåìàì S è T ñîîòâåòñòâóþò ôîðìóëû FS è FT â îïèñàííîì âûøå ñìûñëå. Òîãäà åñëè ñõåìû S è T ýêâèâàëåíòíû (ò.å. çàìêíóòû è ðàçîìêíóòû îäíîâðåìåííî), òî FS è FT ðàâíîñèëüíû, è îáðàòíî. Ýòîò ôàêò èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè êîíòàêòíûõ ñõåì, êîòîðàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî äàííîé ñõåìå S íàéòè ñõåìó Ò, ýêâèâàëåíòíóþ S è ñîäåðæàùóþ ìåíüøå êîíòàêòîâ. Îäèí èç ïóòåé ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñîñòîèò â ïåðåõîäå ê ôîðìóëå FS è â îòûñêàíèè ôîðìóëû G, ðàâíîñèëüíîé FS è ñîäåðæàùåé ìåíüøå âõîæäåíèé àòîìàðíûõ ôîðìóë (ðàçóìååòñÿ, G _ ïîñòðîåíà òîëüêî ñ ïîìîùüþ “&”, “∨” è “ ”, ïðè÷åì îòðèöàíèå ïðèìåíÿåòñÿ ëèøü ê ïåðåìåííûì). Òàê, íàïðèìåð, ôîðìóëà FS ðàâíîñèëüíà ôîðìóëå Õ ∨ ( X & Z) ∨ ( Y & Z ). Ñëåäîâàòåëüíî, ñõåìà, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 3, ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé ñõåìå (ñì. ðèñ. 4), â êîòîðîé íà òðè êîíòàêòà ìåíüøå. X X Z Y Z Ðèñ. 4 Ñêàæåì îòêðîâåííî: ñåãîäíÿ åùå íå ïðèäóìàí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ãàðàíòèðîâàííî ñòðîèòü ñõåìó ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì êîíòàêòîâ, õîòÿ Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 19 åñòü íåêîòîðûå ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå îïòèìèçèðîâàòü íåêîòîðûå ñõåìû. Áîëüøîé âêëàä â ñîçäàíèå òàêèõ ìåòîäîâ âíåñëè ðîññèéñêèå ó÷åíûå Þ.È. Æóðàâëåâ, Ñ.Â. ßáëîíñêèé è äð. Âïðî÷åì, îòñóòñòâèå òàêîãî àëãîðèòìà ÷àñòè÷íî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñóùåñòâóþò êîíòàêòíûå ñõåìû, â êîòîðûõ ïàðàëëåëüíûå è ïîñëåäîâàòåëüíûå ñîåäèíåíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ íå ñòîëü ïðÿìîëèíåéíî. Ðàññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, òàêóþ ñõåìó (ðèñ. 5): X Õ X ZZ Y Y Y Ðèñ. 5. Ìîñòîâàÿ ñõåìà Êàê â ýòîé ñõåìå êîíòàêò Z ñîåäèíåí ñ êîíòàêòîì X? Ïîñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî? Îäíîçíà÷íîãî îòâåòà òóò íå äàòü. Ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè âåòêàìè ïåðåáðîøåí ìîñòèê. Ïîýòîìó è ñõåìó òàêóþ íàçûâàþò ìîñòîâîé. Òåì íå ìåíåå äëÿ íåå íåòðóäíî ñîñòàâèòü òàáëèöó “èñòèííîñòè” (ñì. òàáë. 7). Òàáëèöà 7 X Y Z F èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü èñòèíà ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü èñòèíà èñòèíà èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü èñòèíà ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü ëîæü Ïî ýòîé òàáëèöå óæå íåòðóäíî çàïèñàòü ôîðìóëó äëÿ F, à çàòåì ïîñòðîèòü ðåàëèçóþùóþ åå ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíóþ ñõåìó: F = X & Y & Z ∨ X & Y & Z. Çäåñü óæå ïîòðåáóåòñÿ 6 êîíòàêòîâ. Âïðî÷åì, âîñïîëüçîâàâøèñü äèñòðèáóòèâíûì çàêîíîì, ôîðìóëó F ìîæíî ïðèâåñòè ê áîëåå ýêîíîìíîìó âèäó: 20 Ëåêöèÿ 5 F = (X & Y ∨ X & Y) & Z. À ñõåìà äëÿ íåå âûãëÿäèò òàê: Õ X Y Z Z Y Y XX Ðèñ. 6. Ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíàÿ ñõåìà, ýêâèâàëåíòíàÿ ìîñòîâîé  äàííîì ñëó÷àå îáå ñõåìû ïîëó÷èëèñü ñîäåðæàùèìè îäèí è òîò æå íàáîð êîíòàêòîâ. Íî ìîñòîâûå ñõåìû, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàþòñÿ ýêîíîìíåå ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûõ. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Äëÿ ñëåäóþùèõ öåïåé ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíûå èì áîëåå ïðîñòûå öåïè: à) XX Y á) ZZ Z Y Y YY Z XX XÕ Z Z YY ZZ Z Z ÕX ZZ Y Y â) X Õ X Õ Z ZZ Z Z XX Z ZZ YY Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 21 2. Äëÿ êàæäîé ìîñòîâîé ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 8, ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíóþ åé ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíóþ ñõåìó. ÕX XX Z Z X Õ Y Y XX Z YY Z Z ÕX Y Y ZZ X ZZ Y ZZ á) à) Ðèñ. 8 3. Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû âêëþ÷åíèå ñâåòà â êîìíàòå îñóùåñòâëÿëîñü ñ ïîìîùüþ òðåõ ðàçëè÷íûõ ïåðåêëþ÷àòåëåé òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàæàòèå íà ëþáîé èç íèõ ïðèâîäèëî ê âêëþ÷åíèþ ñâåòà, åñëè ñâåòà íå áûëî, è âûêëþ÷åíèþ ñâåòà, åñëè òîò ãîðåë. Ïîñòðîèòü ïî âîçìîæíîñòè íàèáîëåå ïðîñòóþ ïåðåêëþ÷àòåëüíóþ ñõåìó, óäîâëåòâîðÿþùóþ ýòîìó òðåáîâàíèþ. §4. Ñóììàòîð  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû îòîæäåñòâèëè êàæäûé êîíòàêò ñ íåêîòîðîé ïåðåìåííîé. Ïóñòü X è Y — äâà êîíòàêòà, èëè, ïî-äðóãîìó, äâå ïåðåìåííûå, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñïîñîáíà ïðèíèìàòü ðîâíî äâà çíà÷åíèÿ: 1 èëè 0. Òîãäà èõ ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ñîîòâåòñòâóåò äèçúþíêöèè ýòèõ ïåðåìåííûõ (ïî-äðóãîìó, îïåðàöèè ÈËÈ), à ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå — èõ êîíúþíêöèè (îïåðàöèè È).  òàáë. 8 ìû óæå â ñèìâîëàõ 1 è 0 (à íå èñòèíû è ëæè) åùå ðàç îïèñàëè ýòè îïåðàöèè. Òàáëèöà 8 X Y X∨Y X Y X&Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ó íàñ èìåþòñÿ äâà óñòðîéñòâà, êîòîðûå âûïîëíÿþò óêàçàííûå îïåðàöèè. Êðîìå òîãî, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ó íàñ åñòü åùå îïåðàöèÿ èíâåðñèè — ëîãè÷åñêîå îòðèöàíèå. Äëÿ ýòèõ îïåðàöèé èìåþòñÿ äàæå ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ (ÃÎÑÒ 2.745.91): 22 Ëåêöèÿ 5 & & à) Êîíúþíêöèÿ (È) 1 1 á) Äèçúþíêöèÿ (ÈËÈ) â) Èíâåðñèÿ (ÍÅ) Ðèñ. 9 Ïðèíÿòî óêàçàííûå îïåðàöèè íàçûâàòü âåíòèëÿìè: âåíòèëü È, âåíòèëü ÈËÈ, âåíòèëü ÍÅ. À òåïåðü èç âåíòèëåé ñîáåðåì ñõåìó, óêàçàííóþ íà ðèñ. 10. X Y 1 & &  û õîä 2  û õîä 1 Ðèñ. 10 ×òîáû ïîíÿòü, êàê ïðåîáðàçóåò âõîäíûå ñèãíàëû X è Y ïðåäëîæåííàÿ ñõåìà, ñîñòàâèì òàáëèöó ðåçóëüòàòîâ (ñì. òàáë. 9). Òàáëèöà 9 X Y Âûõîä 1 Âûõîä 2 1 1 1 1 1 1 1 Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷èâøóþñÿ òàáëèöó ñ òàáëèöåé ñëîæåíèÿ îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî íàøå Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 23 óñòðîéñòâî íà âûõîäàõ äàåò äâà ñèãíàëà, êîòîðûå ïîðàçðÿäíî êîäèðóþò ñóììó äâóõ îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. À ïîñêîëüêó äåéñòâèÿ íàä ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â ïîçèöèîííîé ñèñòåìå, âûïîëíÿþòñÿ ïîðàçðÿäíî, òî ÿñíî, ÷òî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîñòðîèòü ýëåêòðîííûå ñõåìû äëÿ ñëîæåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëåííûõ â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Ýëåêòðîííóþ ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 10, íàçûâàþò ïîëóñóììàòîðîì.  äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè ïîëóñóììàòîð áóäåì èçîáðàæàòü îäíèì áëîêîì (ñì. ðèñ. 11).  íåì áóêâîé S îáîçíà÷åí ìëàäøèé ðàçðÿä ñóììû, à áóêâîé Ð — ñòàðøèé ðàçðÿä èëè, ïî-äðóãîìó, ïåðåíîñ åäèíèöû â ñëåäóþùèé ðàçðÿä ñóììû. õ y S P ÏÑ Ðèñ. 11. Ïîëóñóììàòîð Ïðè ñëîæåíèè ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë â ñòàðøèõ ðàçðÿäàõ ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü ïîÿâëåíèå òàê íàçûâàåìîé “åäèíèöû ïåðåíîñà”. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ýòèõ ðàçðÿäàõ ñêëàäûâàþòñÿ íå äâà îäíîçíà÷íûõ ÷èñëà, à òðè. Èñïîëüçóÿ ïîëóñóììàòîð êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé áëîê, ñõåìó ñóììàòîðà äëÿ ñëîæåíèÿ ÷èñåë â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ìîæíî èçîáðàçèòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12. Çäåñü x è y — åäèíèöû ðàçðÿäîâ ñëàãàåìûõ, à z — ïåðåíîñ èç ñóììû ïðåäûäóùèõ ðàçðÿäîâ; âûõîäû S è Ð èìåþò òîò æå ñìûñë, ÷òî è äëÿ ïîëóñóììàòîðà. z y→ Ï x→ Ñ S P ÏÑ S P 1 P à) z→ y→ Ñ x→ S P P á) Ðèñ. 12. Ñõåìà ñóììàòîðà (à) è åãî îáîçíà÷åíèå â âèäå áëîêà (á) 24 Ëåêöèÿ 5 ×òîáû ñëîæèòü äâà ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñëà, íóæíî âûñòðîèòü áàòàðåþ ñóììàòîðîâ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 13. Ðèñ. 13. Áàòàðåÿ ñóììàòîðîâ äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ n-ðàçðÿäíûõ ÷èñåë xnxn–1x3x2x1 è ynyn–1y3y2y1  ñîâðåìåííîì êîìïüþòåðå íèêòî, êîíå÷íî, íå âûñòðàèâàåò ïîäîáíûõ áàòàðåé. Îíè âõîäÿò ñîñòàâíîé ÷àñòüþ â òó èëè èíóþ ìèêðîñõåìó, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå íå òîëüêî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, íî è öåëîãî êîìïëåêñà îïåðàöèé ïî îáðàáîòêå äâîè÷íî çàêîäèðîâàííîé èíôîðìàöèè. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Èç âåíòèëåé È, ÈËÈ, ÍÅ ïîñòðîéòå ñõåìó ïî çàäàííîìó ëîãè÷åñêîìó âûðàæåíèþ. à) X → Y ∨ (( X ∨Y) & X); á) Z → Y & ( X ∨Y) & Z; â) Z & Y ∨ X &(Y∨ Z ). 2. à) Ñîñòàâüòå òàáëèöó çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè, ðåàëèçîâàííîé ñõåìîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14. á) Ñîñòàâüòå ôîðìóëó, îïèñûâàþùóþ ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 14, è ïîïûòàéòåñü åå óïðîñòèòü. Ðèñ. 14 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 25 §5. Áóëåâû è äðóãèå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè  ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ìû çàòðîíóëè òîëüêî ñàìûå íà÷àëà î÷åíü áîëüøîé è èíòåðåñíîé îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé – ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. È òàê æå, êàê ïî øêîëüíîé àëãåáðå íè â êîåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñîñòàâèòü îáðàç ñîâðåìåííîé àëãåáðû, êîòîðóþ ìîæíî óïîäîáèòü âåëè÷àéøåìó çäàíèþ ôàíòàñòè÷åñêîé àðõèòåêòóðû, î ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå íåëüçÿ ñóäèòü ïî òîìó âåñüìà ñêðîìíîìó èçëîæåíèþ, êîòîðîå áûëî ïðåäñòàâëåíî âûøå. Íî áåç ýòîãî ôóíäàìåíòà íå ïîñòðîèòü óõîäÿùåãî â âûñü çäàíèÿ. Ïîýòîìó ìû êðàòêî ïîâòîðèì îïîðíûå ïîíÿòèÿ. Íà÷íåì ìû, îäíàêî, ñî øêîëüíûõ âîñïîìèíàíèé îá àðèôìåòèêå è àëãåáðå. Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè íà÷èíàåòñÿ çíàêîìñòâîì ñ ïîíÿòèåì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Îñâàèâàÿ ýòî ïîíÿòèå â äàëåêîì óæå ïåðâîì êëàññå, âû âðÿä ëè çàäóìûâàëèñü íàä òåì, à, ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ÷òî òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. È ñåãîäíÿ, åñëè ñïðîñèòü îá ýòîì ëþáîãî ÷åëîâåêà, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ïðîôåññèîíàëüíûì ìàòåìàòèêîì, îí ñêîðåå âñåãî ðàñòåðÿííî ïîæìåò ïëå÷àìè. Îïåðàöèÿì íàä ÷èñëàìè óæå óäåëåíî ãîðàçäî áîëüøåå âíèìàíèå. Øêîëüíèê íå òîëüêî ó÷èòñÿ ÷èñëà ñêëàäûâàòü, óìíîæàòü, âû÷èòàòü è äåëèòü, íî è ðàññìàòðèâàåò ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé, íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ. Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ íåêîòîðûõ îïåðàöèé — â ïåðâóþ î÷åðåäü âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ — íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåäîñòàòî÷íî. Ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü íîâûå ÷èñëà — îòðèöàòåëüíûå è äðîáíûå. Îïåðàöèÿ èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ òðåáóåò ââåäåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. È ñíîâà èçó÷àòü ñâîéñòâà òåõ èëè èíûõ îïåðàöèé. Ïîòîì ïðèõîäèò ïîíèìàíèå, ÷òî îïåðàöèè — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ôóíêöèé îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ôóíêöèè íàäî êàê-òî çàïèñûâàòü, âîçíèêàåò ÿçûê ôîðìàëüíûõ âûðàæåíèé. È óæå íåðåäêî çàáûâàåòñÿ, ÷òî âñå íà÷èíàëîñü ñ ÷èñåë, êîòîðûå áûëè ñîäåðæàòåëüíî ñâÿçàíû ñ îêðóæàþùèì ìèðîì. Èçó÷àþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ (èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, èëè ëîãàðèôìè÷åñêèõ) âûðàæåíèé, ïðè ýòîì óæå íå âàæíî, êàêîâà ÷èñëîâàÿ ïðèðîäà òåõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå â ýòèõ âûðàæåíèÿõ ôèãóðèðóþò. Âûðàæàÿñü òåðìèíàìè §6, ìû èìååì äåëî ñ ôîðìàëüíûì ÿçûêîì, â êîòîðîì ñîãëàñíî ïðèíÿòîé ãðàììàòèêå ÿçûêà îñóùåñòâëÿåòñÿ âûâîä îäíèõ âûðàæåíèé èç äðóãèõ1. 1 Íåðåäêî, ê ñîæàëåíèþ, ýòîò ôîðìàëèçì çàíèìàåò â øêîëüíîé ìàòåìàòèêå âåäóùåå ïîëîæåíèå: ó÷àùèåñÿ òîëüêî è äåëàþò, ÷òî ïðèâîäÿò ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ðàçëè÷íûå àëãåáðàè÷åñêèå äðîáè, ãîëîâîëîìíî ïðåîáðàçóþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, æîíãëèðóþò ëîãàðèôìàìè. À òåïåðü åùå è âû÷èñëÿþò ïðîèçâîäíûå îò íàêðó÷åííûõ ôóíêöèé. Ïðè ýòîì èì ãîâîðÿò, ÷òî ýòî è åñòü ìàòåìàòèêà. Åñòü, íàâåðíî, òàêèå øêîëüíèêè, êîìó ýòî ïî âêóñó, íî áîëüøèíñòâî èñïûòûâàåò ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíóþ ðåàêöèþ. Íà ñàìîì äåëå ýòî íå ìàòåìàòèêà, à âñåãî ëèøü íåêîòîðûé ôîðìàëèçì åå ÿçûêà. Ïðåïîäàâàòü åãî íóæíî, íî â ðàçóìíûõ ïðåäåëàõ, ïîìíÿ, ÷òî â æèçíè (äåëàÿ ïîêóïêè â ìàãàçèíå, óïðàâëÿÿ àâòîìîáèëåì, óõàæèâàÿ çà äåâóøêîé èëè ñîáèðàÿñü çàìóæ) âåñüìà ðåäêî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü äàæå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ, íå ãîâîðÿ óæå î ÷åì-òî áîëåå ñëîæíîì. 26 Ëåêöèÿ 5 Òàê âîò, â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ âàì áûëè ïðåäñòàâëåíû ïåðâûå ïåðñîíàæè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè — âûñêàçûâàíèÿ — è ïðîñòåéøèå îïåðàöèè íàä íèìè. Ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé. Ñëåäóÿ èçëîæåííîé âûøå ëîãèêå èçó÷åíèÿ ïîíÿòèé, ïîðà ïåðåõîäèòü ê èçó÷åíèþ ôóíêöèé îò îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ïðèíèìàþùèõ òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ýòè çíà÷åíèÿ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü êàê Èñòèíà è Ëîæü. Âïðî÷åì, íåðåäêî èñòèíó îáîçíà÷àþò ÷èñëîì 1, à ëîæü — ÷èñëîì 0. Ýòî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ óäîáíåå, ïîñêîëüêó òîãäà ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òàêèõ ñèìâîëîâ ìîæíî êîäèðîâàòü ðàçíîîáðàçíóþ èíôîðìàöèþ. À ôóíêöèè òåì ñàìûì âûñòóïàþò ñðåäñòâîì ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ îáðàáîòêè òàêîé èíôîðìàöèè. Ïîýòîìó, â ÷àñòíîñòè, â êîíöå ëåêöèè 5, êîãäà ðå÷ü ïîøëà î ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ðàáîòû ñóììàòîðà, ìû ïåðåøëè èìåííî íà òàêîå îáîçíà÷åíèå çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ ðàññìàòðèâàâøèõñÿ òàì ôóíêöèé. Åñòåñòâåííî, ÷òî ñàìè ôóíêöèè òîæå ìîãóò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ — òå æå ñàìûå 0 è 1. Âîò î òàêèõ ôóíêöèÿõ è ïîéäåò ðå÷ü â äâóõ áëèæàéøèõ ïàðàãðàôàõ. §6. Àëãåáðà áóëåâûõ ôóíêöèé Ôóíêöèè, àðãóìåíòû êîòîðûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ òîëüêî 0 è 1 è êîòîðûå ñàìè ïðèíèìàþò òîëüêî òàêèå æå çíà÷åíèÿ, íàçûâàþòñÿ áóëåâûìè (â ÷åñòü Äæ. Áóëÿ, çàëîæèâøåãî îñíîâû ôîðìàëüíîé ëîãèêè)2. Ïðîñòåéøèå êîìáèíàòîðíûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé n ïåðåìåííûõ, ïðèíèìàþùèõ òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ, ñóùåñòâóåò ðîâíî 2n. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîé áóëåâîé ôóíêöèè ìîæíî ñîñòàâèòü ïîëíóþ òàáëèöó âñåõ åå çíà÷åíèé. Âîò ïðèìåðû òàáëèö äëÿ äâóõ òàêèõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y. Òàáëèöà 8 x 1 1 y 1 1 f(x, y) 1 g(x, y) 1 1 1 Ôóíêöèþ f(x, y), ïðåäñòàâëåííóþ â òàáë. 8, çàïèñûâàþò îáû÷íî êàê x & y è íàçûâàþò êîíúþíêöèåé ïåðåìåííûõ x è y. Äðóãîå íàçâàíèå äëÿ íåå — ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ È. Èìåííî òàêîé áóäåò ýòà îïåðàöèÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî èñòèííîå âûñêàçûâàíèå êîäèðóåòñÿ åäèíèöåé, à ëîæ2 Êðàòêóþ áèîãðàôè÷åñêóþ èíôîðìàöèþ î Äæ. Áóëå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â áðîøþðå “Èíôîðìàòèêà â ëèöàõ” èç Áèáëèîòå÷êè “Ïåðâîãî ñåíòÿáðÿ”, ñåðèÿ “Èíôîðìàòèêà”, ¹ 5/2006. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 27 íîå — íóëåì. Ôóíêöèþ g(x, y) çàïèñûâàþò îáû÷íî êàê x ∨ y è íàçûâàþò äèçúþíêöèåé ïåðåìåííûõ x è y. Äðóãîå íàçâàíèå äëÿ íåå — ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ ÈËÈ.  òàáë. 9 ïðåäñòàâëåíû âñå 4 ôóíêöèè îò îäíîé ïåðåìåíîé õ. Òàáëèöà 9 x λ ε(x) ν(x) o 1 1 1 1 1 Ïåðâàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííîé åäèíèöåé, âòîðàÿ — ïðîñòî òîæäåñòâåííîé, òðåòüÿ — îòðèöàíèåì, èëè ëîãè÷åñêîé ôóíêöèåé ÍÅ, ÷åòâåðòàÿ — òîæäåñòâåííûì íóëåì.  äàëüíåéøåì ìû ôóíêöèþ λ áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî 1, ôóíêöèþ ε(x) îáîçíà÷àòü êàê õ, ôóíêöèþ ν(x) — êàê x è ôóíêöèþ ο — êàê 0. Ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ óæå 16. Äåéñòâèòåëüíî, äâóõñèìâîëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç 0 è 1, èìååòñÿ 4 (âñå îíè çàïèñàíû â ïåðâîì ñòîëáöå òàáë. 1). Êàæäîé òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå 0 èëè 1. Äâå ôóíêöèè íà äâóõñèìâîëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ò.å. îò äâóõ àðãóìåíòîâ, ðàçëè÷àþòñÿ, åñëè îíè ïðèíèìàþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ õîòÿ áû íà îäíîé òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âñåãî æå ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ñîïîñòàâèòü ÷åòûðåì ýëåìåíòàì îäèí èç äâóõ ñèìâîëîâ èìååòñÿ 24, ò.å. 16.  òàáëèöå 10 äëÿ âñåõ 16 áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ àðãóìåíòîâ; â íèõ äàíû òàêæå óïîòðåáèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé âìåñòî áåçëèêîé áóêâû f è, êðîìå òîãî, äëÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ çíàê ôóíêöèè îáû÷íî ïèøóò íå ñëåâà îò àðãóìåíòîâ, à ìåæäó íèìè: ìû âåäü èçäàâíà ïèøåì x + y, à íå +(x, y)3. Ïðèâåäåì îáùåïðèíÿòûå íàçâàíèÿ íåêîòîðûõ èç ýòèõ ôóíêöèé (íå ïîâòîðÿÿ òåõ, êîòîðûå íàçâàíû ðàíåå). Ôóíêöèÿ x → y íàçûâàåòñÿ èìïëèêàöèåé. Ôóíêöèÿ x ↔ y íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíöèåé. Ôóíêöèÿ x ⊕ y íàçûâàåòñÿ ñëîæåíèåì ïî ìîäóëþ 2. Ôóíêöèÿ x | y íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé Øåôôåðà (èëè øòðèõîì Øåôôåðà). Ôóíêöèÿ x ↑ y íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé Ïèðñà (èëè ñòðåëêîé Ïèðñà). Îáñóäèì òåïåðü, ÷òî ìîæíî äåëàòü ñ ôóíêöèÿìè, êðîìå òîãî, ÷òî âû÷èñëÿòü èõ çíà÷åíèå ïî çàäàííûì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòîâ. Íà ñàìîì äåëå â òàêîé çàïèñè, êîòîðóþ îáû÷íî íàçûâàþò ïðåôèêñíîé, ñêîáêè âîîáùå íå íóæíû; ìîæíî ïðîñòî ïèñàòü +x,y. È äàæå åñëè íàïèñàòü áîëåå äëèííîå âûðàæåíèå, ñêàæåì, :+x,y,z, òî îíî îäíîçíà÷íî ðàñøèôðîâûâàåòñÿ êàê (x+y):z. Âûðàæåíèþ æå x+y:z áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü çàïèñü +x,:y,z. Ìîæíî, êîíå÷íî, èçáðàòü è äðóãîé âàðèàíò — çàïèñûâàòü çíàê îïåðàöèè ïîñëå àðãóìåíòîâ. Òàêóþ çàïèñü, êàê ïðàâèëî, íàçûâàþò îáðàòíîé ïîëüñêîé çàïèñüþ. Îíà îñîáåííî óäîáíà äëÿ àíàëèçà è îïòèìèçàöèè ïðîöåññîâ âû÷èñëåíèé. 3 y 1 1 y 1 1 x 1 1 x 1 1 1 1 x↔y 1 1 1 1 λ 1 1 1 x y 1 1 1 1 y→x 1 1 1 x∨y 1 x&y 1 1 1 x→y 1 x→y 1 1 1 x|y 1 y→x 1 1 ε(x) 1 x↑y 1 1 ε(y) ο 1 1 x⊕y Òàáëèöà 10 28 Ëåêöèÿ 5 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 29 Êàæäóþ ôóíêöèþ (ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî áóëåâó) ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê íåêîå óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ â çíà÷åíèå ôóíêöèè. Êàê èìåííî ðàáîòàåò äàííîå óñòðîéñòâî, íàñ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå èíòåðåñóåò. Ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàçèòü, íàïðèìåð, òàê: x1 f f(x1, x2) x2 Ðèñ. 15. Ôóíêöèÿ êàê óñòðîéñòâî ïî îáðàáîòêå äàííûõ Àðãóìåíòû â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò âõîäàìè äàííîãî óñòðîéñòâà, à çíà÷åíèå ôóíêöèè ïîäàåòñÿ íà åãî âûõîä. ßñíî, ÷òî òàêèå óñòðîéñòâà ìîæíî êîìáèíèðîâàòü, ïîäàâàÿ íà âõîäû îäíîé ôóíêöèè òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü íà âûõîäàõ äðóãèõ ôóíêöèé. Âîò ïðèìåð òàêîé êîìáèíàöèè: x1 f1 x2 f2 x3 Ðèñ. 16. Êîìïîçèöèÿ f2(f1(x1, x2), x3) ôóíêöèé f1 è f2 Ïîëó÷èâøååñÿ óñòðîéñòâî åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ òðåõ ïåðåìåííûõ x1, x2, x3. Ýòó ôóíêöèþ çàïèñûâàþò êàê f2(f1(x1, x2), x3). Ïîäñòàíîâêó îäíîé ôóíêöèè â äðóãóþ âìåñòî àðãóìåíòà íàçûâàþò êîìïîçèöèåé äàííûõ ôóíêöèé. Êîíå÷íî, åñëè â ôóíêöèþ îò îäíîé ïåðåìåííîé ïîäñòàâèòü ñíîâà ôóíêöèþ îò îäíîé ïåðåìåííîé, òî ïîëó÷èòñÿ ôóíêöèÿ îò îäíîé ïåðåìåííîé. Åñëè æå åñòü õîòÿ áû îäíà ôóíêöèÿ îò äâóõ ïåðåìåííûõ, òî, êàê ïîêàçàíî âûøå, ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèþ ñ òðåìÿ è âîîáùå ñ ëþáûì ÷èñëîì ïåðåìåííûõ. ßñíî, ÷òî ðåçóëüòàò êîìïîçèöèè äâóõ ôóíêöèé, êàê ïðàâèëî, çàâèñèò îò òîãî, âìåñòî êàêîãî àðãóìåíòà äåëàåòñÿ ïîäñòàíîâêà: íàðÿäó ñ êîìïîçèöèåé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 16, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êîìïîçèöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 17. x1 x2 f1 f2 x3 Ðèñ. 17. Êîìïîçèöèÿ f2(x1, f1(x2, x3)) ôóíêöèé f1 è f2 30 Ëåêöèÿ 5 Äàæå êîãäà f1 è f2 — ýòî îäíà è òà æå ôóíêöèÿ, ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà àðãóìåíòà. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, íàïðèìåð, ÷òî (x1 → x2) → x3 è x1 → (x2 → x3) — ðàçëè÷íûå ôóíêöèè: îíè ïðèíèìàþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ äëÿ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0. À âîò åñëè f1 è f2 — ýòî êîíúþíêöèè, òî ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè íå çàâèñèò îò âûáîðà àðãóìåíòà: ïîëó÷àþùèåñÿ ôóíêöèè (x1 & x2) & x3 è x1 & (x2 & x3) ñîâïàäàþò, â ÷åì òîæå íåñëîæíî óáåäèòüñÿ. Àíàëîãè÷íî ìîæíî óáåäèòüñÿ â ñîâïàäåíèè ôóíêöèé (x1 ∨ x2) ∨ x3 è x1 ∨ (x2 ∨ x3). Ýòî ïîçâîëÿåò íå ïèñàòü ñêîáêè â âûðàæåíèÿõ x1 & x2 & x3 è x1 ∨ x2 ∨ x3 âîîáùå, ïîñêîëüêó ëþáàÿ èõ ðàññòàíîâêà äàåò îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò. Èìåííî òàê ìû è áóäåì ïîñòóïàòü â äàëüíåéøåì. Ôàêòè÷åñêè ìû äîêàçàëè ðàâåíñòâî äâóõ ôóíêöèé: f(x1, x2, x3) = (x1 & x2) & x3 è g(x1, x2, x3) = x1 & (x2 & x3). Ðàâåíñòâî ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ â ñàìîì îáû÷íîì ñìûñëå — ôóíêöèè ðàâíû, åñëè îíè ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ íà ëþáûõ îäèíàêîâûõ íàáîðàõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ðàâåíñòâî ôóíêöèé ïðèíÿòî íàçûâàòü òîæäåñòâîì. Ïðèâåäåì ñïèñîê îñíîâíûõ òîæäåñòâ àëãåáðû áóëåâûõ ôóíêöèé. Êîììóòàòèâíîñòü, èëè ïåðåìåñòèòåëüíûå çàêîíû 1. x & y = y & x; 2. x ∨ y = y ∨ x; Àññîöèàòèâíîñòü, èëè ñî÷åòàòåëüíûå çàêîíû 3. (x & y) & z = x & (y & z); 4. (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z); Äèñòðèáóòèâíîñòü, èëè ðàñïðåäåëèòåëüíûå çàêîíû 5. (x & y) ∨ z = (x ∨ z) & (y ∨ z); 6. (x ∨ y) & z = (x & z) ∨ (y & z); Èäåìïîòåíòíîñòü 7. x & x = x; 8. x ∨ x = x; Çàêîíû äå Ìîðãàíà 9. x & y = x ∨ y ; 10. x ∨ y = x & y ; Çàêîíû ïîãëîùåíèÿ 11. (x & y) ∨ y = y; 12. (x ∨ y) & y = y; Çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ 13. x = x; 14. x & 0 = 0; 15. x ∨ 1 = 1; 16. x & 1 = x; 17. x ∨ 0 = x; Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 31 Çàêîíû èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî 18. x & x = 0; 19. x ∨ x = 1; 20. x → y = x ∨ y; 21. x ↔ y = ( x ∨ y) & (x ∨ y ) = (x & y) ∨ ( x & y ); 22. x ⊕ y = (x & y ) ∨ ( x & y); 23. x | y = x ∨ y ; 24. x ↑ y = x & y ; 25. x → y = x & y (→ – îòðèöàíèå èìïëèêàöèè). Íàøå âíèìàíèå ïîêà áûëî ñîñðåäîòî÷åíî â îñíîâíîì íà ôóíêöèÿõ îò îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ. Ìû äàæå ïîäñ÷èòàëè èõ êîëè÷åñòâî. Âïðî÷åì, íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé è îò n ïåðåìåííûõ. Îíî ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì ðàçëè÷íûõ òàáëèö çíà÷åíèé.  êàæäîé òàêîé òàáëèöå ôèãóðèðóåò 2n íàáîðîâ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ. À äëÿ êàæäîãî íàáîðà åñòü äâå âîçìîæíîñòè äëÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè — ëèáî 0, ëèáî 1. n Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëè÷íûõ òàáëèö ìîæíî ñîñòàâèòü 2(2 ). Èìåííî ñòîëüêî èìååòñÿ áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ. Äëÿ êàæäîé èç 16 áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ áûëî ââåäåíî ñâîå îáîçíà÷åíèå (ñì. òàáë. 10). Ïåðñïåêòèâà çàó÷èòü 256 îáîçíà÷åíèé äëÿ ôóíêöèé îò òðåõ ïåðåìåííûõ óæàñíåò, íàâåðíîå, êàæäîãî. Ïî ñ÷àñòüþ, ìû óæå îáîçíà÷èëè íåêîòîðûé âûõîä èç ýòîé ñèòóàöèè — âûøå ìû îáñóäèëè, ÷òî ôóíêöèè îò òðåõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîëó÷àòü êàê êîìïîçèöèþ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Âîïðîñ òåì ñàìûì ñâîäèòñÿ ê òîìó, õâàòèò ëè íàì ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ, ÷òîáû ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè êîìïîçèöèè (ïðèìåíåííîé, áûòü ìîæåò, íåñêîëüêî ðàç) ïîëó÷èòü ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìû äàäèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. À ñåé÷àñ ðàññìîòðèì íåêèé îñîáûé àñïåêò ýòîãî âîïðîñà. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî âûïîëíåíèå êîìïîçèöèè îäíîé ôóíêöèè, çàäàííîé íåêîòîðîé ôîðìóëîé, ñîñòîÿùåé èç ïåðåìåííûõ è îïåðàöèé, ñ äðóãîé ôîðìóëüíî çàäàííîé ôóíêöèåé ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íîâîé ôîðìóëû, êîòîðàÿ è îïðåäåëÿåò ðåçóëüòàò âûïîëíåíèÿ êîìïîçèöèè. ßñíî, ÷òî îäíà è òà æå ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ðàçíûìè ôîðìóëàìè. Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ëþáîå èç íàïèñàííûõ âûøå òîæäåñòâ èìåííî îá ýòîì è ñâèäåòåëüñòâóåò. Íàçîâåì äâå ôîðìóëû ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè çàäàþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. 32 Ëåêöèÿ 5 Ôîðìóëó, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òîëüêî îïåðàöèè êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, ïðè÷åì îòðèöàíèå ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê ïåðåìåííûì, íàçûâàþò ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêòîì. Âîò ïðèìåðû: x & y & z, x — ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêòû, à ôîðìóëû x ∨ y & z, x & y & z ýëåìåíòàðíûìè êîíúþíêòàìè íå ÿâëÿþòñÿ. Åñëè ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ äèçúþíêöèåé íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêòîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà èìååò äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó. Îòäåëüíûé ýëåìåíòàðíûé êîíúþíêò òàêæå ñ÷èòàåòñÿ èìåþùèì äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó. Íàïðèìåð, ôîðìóëû x ∨ y & z, x & y & z èìåþò äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó, à ôîðìóëû x ∨ x ⊕ y, ( x ∨ y) & (x ∨ y ) òàêîé ôîðìû íå èìåþò. Äâîéñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ ýëåìåíòàðíîãî äèçúþíêòà è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû. Ôîðìóëó, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òîëüêî îïåðàöèè äèçúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, ïðè÷åì îòðèöàíèå ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê ïåðåìåííûì, íàçûâàþò ýëåìåíòàðíûì äèçúþíêòîì. Åñëè ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ êîíúþíêöèåé íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêòîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà èìååò êîíúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó. Òåîðåìà 1. Ëþáàÿ ôîðìóëà ðàâíîñèëüíà íåêîòîðîé ôîðìóëå â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå è íåêîòîðîé ôîðìóëå â êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó îïåðàöèé â ôîðìóëå. Áàçà èíäóêöèè. Åñëè â ôîðìóëå âñåãî ëèøü îäíà îïåðàöèÿ, òî ôîðìóëà èìååò âèä ëèáî x , ëèáî x & y, ëèáî x ∨ y, ëèáî x → y, ëèáî x ↔ y, ëèáî x ⊕ y, ëèáî x | y, ëèáî x ↑ y, ëèáî x → y.  ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿõ çàêîíû 20– 25 îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå òåîðåìû. Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî, êîãäà â ôîðìóëå ìåíåå, ÷åì n îïåðàöèé. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó F, ñîäåðæàùóþ â òî÷íîñòè n îïåðàöèé. Âûäåëèì îïåðàöèþ, êîòîðàÿ ïðèìåíÿëàñü ïîñëåäíåé. Òîãäà F áóäåò ïðåäñòàâëåíà â îäíîì èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: 1) F = 2) F = 3) F = 4) F = 5) F = 6) F = 7) F = 8) F = 9) F = ãäå G è H G; G & H; G ∨ H; G → H; G ↔ H; G ⊕ H; G | H; G ↑ H; G → H, — ôîðìóëû, ñîäåðæàùèå ìåíåå, ÷åì n îïåðàöèé. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 33  ñëó÷àå 1) ìû íàéäåì ôîðìóëû G1 è G2, ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëå G è çàïèñàííûå â äèçúþíêòèâíîé è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðìàõ ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåíåíèå çàêîíîâ äå Ìîðãàíà è çàêîíà äâîéíîãî îòðèöàíèÿ íåìåäëåííî ïîêàçûâàåò íàì, ÷òî F ìîæíî ïðåäñòàâèòü â êîíúþíêòèâíîé è äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðìàõ.  ñëó÷àå 2) ìû ñíà÷àëà íàéäåì ôîðìóëû G1 è Í1, ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëàì G è H ñîîòâåòñòâåííî è çàïèñàííûå â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè ïîçâîëÿåò òîãäà çàïèñàòü äëÿ F ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå4. Ïîëó÷èòü äëÿ F êîíúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó åùå ïðîùå: íàäî äëÿ G è H ïðîñòî çàïèñàòü ýêâèâàëåíòíûå èì ôîðìóëû â êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Ñëó÷àé 3) ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñëó÷àè 4)–9) ñâîäÿòñÿ ê ñëó÷àÿì 2) è 3) ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ 20–25. Òåîðåìà äîêàçàíà. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. à) Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå çàêîíîâ äå Ìîðãàíà. á) Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå òîæäåñòâ 20–25. 2. Äîêàæèòå òîæäåñòâà: à) x = 1 ⊕ õ; á) õ ⊕ õ = 0; â) x ∨ y = x ⊕ y ⊕ (x & y); ã) (x ⊕ y) & z = (x ⊕ z) & (y ⊕ z). 3. à) Ïðåîáðàçóéòå â äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó âûðàæåíèå x & y & ((x ⊕ y) ∨ (x ↔ y)). á) Ïðåîáðàçóéòå òî æå âûðàæåíèå â êîíúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó. Çàêîí èäåìïîòåíòíîñòè (âìåñòå ñ êîììóòàòèâíîñòüþ) ïîçâîëÿåò â êàæäîì êîíúþíêòå, ïîëó÷èâøåìñÿ ïîñëå ïðèìåíåíèÿ çàêîíà äèñòðèáóòèâíîñòè, óáðàòü ïîâòîðåíèå îäíîé è òîé æå ïåðåìåííîé. Ïîÿâëåíèå â êîíúþíêòå îäíîâðåìåííî ïåðåìåííûõ õ è x ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñîãëàñíî çàêîíàì 18, 14 è 17 ýòîò êîíúþíêò ìîæíî èç ôîðìóëû ïðîñòî âû÷åðêíóòü. Îäíàêî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, ãäå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè, íî äëÿ íèõ íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ çàêîí 18, òàêîå ïðîäåëàòü óæå íåëüçÿ.  ýòîì ñëó÷àå â êàæäîì êîíúþíêòå ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü êàê õ, òàê è x . 4 34 Ëåêöèÿ 5 §8. Çàìêíóòûå è ïîëíûå ìíîæåñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé Âåðíåìñÿ òåïåðü ê îáñóæäåíèþ âîïðîñà, ëþáàÿ ëè áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êîìïîçèöèåé ôóíêöèé îò äâóõ è îäíîé ïåðåìåííîé. Îòâåò íà íåãî ïîëîæèòåëüíûé. À â ñèëó òåîðåìû 1 âñÿêàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ôîðìóëîé â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Èìåííî ýòî óòâåðæäåíèå ìû ñåé÷àñ è äîêàæåì. Òåîðåìà 2. Ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà ôîðìóëîé â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f(x1, x2, , xn) — êàêàÿ-ëèáî áóëåâà ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x1 , x2, , xn. Ìû ïîñòðîèì íóæíîå âûðàæåíèå â òðè øàãà. Øàã ïåðâûé. Ïîñòðîèì òàáëèöó çíà÷åíèé äàííîé ôóíêöèè äëÿ âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (â òàáë. 11, ÷òîáû íå ðèñîâàòü äëÿ êàæäîé ïåðåìåííîé ñâîé ñòîëáåö, ìû çàïèñàëè íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â âèäå îäíîé ñòðîêè): Òàáëèöà 11 x1x2 xn f(x1, x2, , xn) 00 0 00 1 ... 11 0 11 1 Øàã âòîðîé. Âûáåðåì â ýòîé òàáëèöå òå ñòðîêè, â êîòîðûõ çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî 1. Äëÿ êàæäîé âûáðàííîé ñòðîêè çàïèñûâàåì êîíúþíêöèþ, ñîñòàâëåííóþ èç òîæäåñòâåííûõ ôóíêöèé è îòðèöàíèÿ, ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: åñëè çíà÷åíèå xk ðàâíî 1, òî ïèøåì xk, åñëè çíà÷åíèå xk ðàâíî 0, òî ïèøåì xk . Íàïðèìåð, äëÿ íàáîðà çíà÷åíèé 100101 ïèøåòñÿ òàêîå âûðàæåíèå: x1 & x 2 & x3 & x4 & x 5 & x6. Åñëè íà ýòîì øàãå ïîëó÷èëîñü áîëåå îäíîãî âûðàæåíèÿ, òî êàæäîå âûðàæåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â ñêîáêè, ïîñëå ÷åãî ïåðåõîäèì ê òðåòüåìó øàãó. Åñëè æå áûëà âûáðàíà òîëüêî îäíà ñòðîêà, òî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå è åñòü íóæíîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f(x1, x2, , xn). Øàã òðåòèé. Âñå âûðàæåíèÿ, ñîñòàâëåííûå íà âòîðîì øàãå, ñîåäèíÿþòñÿ çíàêîì äèçúþíêöèè. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò èñõîäíóþ ôóíêöèþ f(x1, x2, , xn). Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 35 Èç çàïèñè âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè f(x1, x2, , xn) âèäíî, ÷òî îíà ïîëó÷àåòñÿ êîìïîçèöèåé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òîæäåñòâåííûõ ôóíêöèé, îòðèöàíèé, êîíúþíêöèé è äèçúþíêöèé. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïîëó÷àåòñÿ òàê, ÷òî ïðîìûøëåííîñòè äîñòàòî÷íî îñâîèòü âûïóñê âñåãî òðåõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòî⠗ ýëåìåíòà ÍÅ, ýëåìåíòà È, ýëåìåíòà ÈËÈ — è óæå èç íèõ ìîæíî ñîáèðàòü ñõåìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè. Âïðî÷åì, áëàãîäàðÿ çàêîíàì äå Ìîðãàíà ìîæíî îáõîäèòüñÿ âñåãî äâóìÿ ýëåìåíòàìè, íàïðèìåð, ïàðîé È è ÍÅ. À ìîæíî âçÿòü ïàðó ÈËÈ è ÍÅ. À âîò ïàðà È è ÈËÈ äëÿ ýòèõ öåëåé íå ãîäèòñÿ. Êàê óçíàòü, áóäåò ëè òîò èëè èíîé íàáîð ôóíêöèé äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû ñ åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèòü ëþáóþ äðóãóþ áóëåâó ôóíêöèþ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïîëó÷åí è íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû Ïo4ñòà. Íî ïðåæäå ÷åì åå ñôîðìóëèðîâàòü, íàì ïðèäåòñÿ äàòü ðÿä îïðåäåëåíèé. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà ôóíêöèé èç ýòîãî ìíîæåñòâà èõ êîìïîçèöèÿ ïðèíàäëåæèò òîìó æå ìíîæåñòâó. Ôóíêöèÿ f(x1, x2, , xn) íàçûâàåòñÿ ñîõðàíÿþùåé 0, åñëè f(0, 0, , 0) = 0. ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 0, òàêæå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Ýòîìó ìíîæåñòâó ïðèíàäëåæàò ôóíêöèè &, ∨, ⊕ è 0, íî íå ïðèíàäëåæèò —. Ýòî ìíîæåñòâî ìû áóäåì îáîçíà÷àòü Ì0. Ôóíêöèÿ f(x1, x2, , xn) íàçûâàåòñÿ ñîõðàíÿþùåé 1, åñëè f(1, 1, , 1) = 1. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 1, ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Ýòîìó ìíîæåñòâó ïðèíàäëåæàò ôóíêöèè &, ∨ è 1, íî íå ïðèíàäëåæèò –. Ýòî ìíîæåñòâî ìû áóäåì îáîçíà÷àòü Ì1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð ÷èñåë (a1, a2, , an) ≤ (b1, b2, , bn), åñëè íåðàâåíñòâî ai ≤ bi âûïîëíåíî äëÿ âñåõ i. Ôóíêöèÿ f(x1, x2, , xn) íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè èç âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (a1, a2, , an) ≤ (b1, b2, , bn) ñëåäóåò, ÷òî f(a1, a2, , an) ≤ f(b1, b2, , bn). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Ìîíîòîííûìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè &, ∨, 0 è 1. Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ÷åðåç Ì2. Ôóíêöèÿ g(x1, x2, , xn) íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê ôóíêöèè f(x1, x2, , xn), åñëè g(x1, x2, , xn) = f (x 1, x 2 , ..., x n ) . Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé, åñëè îíà äâîéñòâåííà ñàìà ê ñåáå. Ôóíêöèÿ ñàìîäâîéñòâåííà, à ôóíêöèè & è ∨ òàêîâûìè íå ÿâëÿþòñÿ. Ìíîæåñòâî ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Îáîçíà÷èì åãî êàê Ì3. ×òîáû ââåñòè åùå îäèí âàæíûé çàìêíóòûé êëàññ áóëåâûõ ôóíêöèé, íàì ïîòðåáóåòñÿ åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå áóëåâîé ôóíêöèè, îòëè÷íîå îò äèçúþíêòèâíîé èëè êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðì. 36 Ëåêöèÿ 5  ïóíêòàõ à) è â) çàäàíèÿ 2 ê §6 ôàêòè÷åñêè ïîêàçàíî, ÷òî îòðèöàíèå è äèçúþíêöèþ ìîæíî çàìåíèòü íà ôóíêöèè ⊕ è 1. Êðîìå òîãî, îïåðàöèþ & íåðåäêî çàïèñûâàþò êàê óìíîæåíèå. Äà ïî ñóòè îíà âåäü è åñòü óìíîæåíèå ÷èñåë 0 è 1. Òîãäà â ôîðìóëå, çàïèñàííîé â äèçúþíêòèâíîé (èëè êîíúþíêòèâíîé) íîðìàëüíîé ôîðìå, ìîæíî îïåðàöèè îòðèöàíèÿ è äèçúþíêöèè çàìåíèòü íà ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ äâà (îïåðàöèþ ⊕) ñ 1, à êîíúþíêöèþ çàïèñàòü çíàêîì óìíîæåíèÿ, êîòîðûé ê òîìó æå ÷àñòî îïóñêàþò. Íàïðèìåð, ôîðìóëà x & (ó ∨ õ) ïðåîáðàçóåòñÿ â âûðàæåíèå (1 ⊕ õ) ⋅(ó ⊕ õ ⊕ óõ). Òîæäåñòâî, çàïèñàííîå â ïóíêòå ã) çàäàíèÿ 2 ê §6, ïîêàçûâàåò, ÷òî èìååò ìåñòî äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, ò.å. ìîæíî ðàñêðûâàòü ñêîáêè. Òîãäà âûðàæåíèå (1 ⊕ õ) ⋅(ó ⊕ õ ⊕ óõ) ïðåîáðàçóåòñÿ â ó ⊕ õ ⊕ óõ ⊕ õó ⊕ õ2 ⊕ õóõ. Çàêîíû êîììóòàòèâíîñòè è èäåìïîòåíòíîñòè äëÿ îïåðàöèè êîíúþíêöèè ïîêàçûâàþò, ÷òî óõ = õó, à õ2 = õ. Êðîìå òîãî, ïóíêò á) çàäàíèÿ 2 ê §6 ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóììà äâóõ îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ ðàâíà 0. Òåì ñàìûì, èñõîäíàÿ ôîðìóëà x & (ó ∨ õ) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ó ⊕ õó. Ïî ôîðìå çàïèñè òàêàÿ ôîðìóëà ïîõîæà íà îáû÷íûé ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ â äàííîì ñëó÷àå x è y. ßñíî, ÷òî è ëþáóþ ôîðìóëó ìîæíî ïåðåðàáîòàòü â ìíîãî÷ëåí ïîäîáíîãî âèäà. Ìíîãî÷ëåíû îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè Æåãàëêèíà. Ôàêòè÷åñêè ñåé÷àñ ìû îáúÿñíèëè, ÷òî ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ôîðìóëîé â âèäå ìíîãî÷ëåíà Æåãàëêèíà.  çàäàíèè 4 ê ýòîìó ïàðàãðàôó ñôîðìóëèðîâàíî óòâåðæäåíèå î åäèíñòâåííîñòè òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: áóëåâà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, åñëè ïðåäñòàâëÿþùèé åå ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà íå ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèé ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ôóíêöèè 1 ⊕ õ è x ⊕ y ⊕ z ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè, à ôóíêöèÿ 1 ⊕ õ ⊕ ó ⊕ õó ëèíåéíîé íå ÿâëÿåòñÿ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êîìïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ñíîâà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ ôóíêöèé çàìêíóòî. Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì Ì4. Êàæäîå èç ïîñòðîåííûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ íå ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé — âåäü äëÿ êàæäîãî èç íèõ ìû ïðèâåëè ïðèìåð áóëåâîé ôóíêöèè, íå ïðèíàäëåæàùåé åìó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, áåðÿ ôóíêöèè òîëüêî èç îäíîãî êàêîãî-òî ìíîæåñòâà Ì 0 –Ì 4 , ìû íå ìîæåì ñêîíñòðóèðîâàòü ëþáóþ íàïåðåä çàäàííóþ áóëåâó ôóíêöèþ.  ÷àñòíîñòè, ìû äîêàçàëè, ÷òî, èñïîëüçóÿ òîëüêî êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè, íåëüçÿ ñêîíñòðóèðîâàòü ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 37 Ìíîæåñòâî ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè, ïðèìåíÿÿ íåñêîëüêî ðàç êîìïîçèöèþ ôóíêöèé, ìîæíî èç ôóíêöèé äàííîãî ìíîæåñòâà ïîñòðîèòü ëþáóþ ôóíêöèþ. Ê ïðèìåðó, òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Ïîçæå ìû óáåäèëèñü, ÷òî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíúþíêöèè, ñëîæåíèÿ ïî ìîäóëþ 2 è êîíñòàíòíîé ôóíêöèè 1, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. À íèêàêîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, îòëè÷íîå îò ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèé, ïîëíûì íå ÿâëÿåòñÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ïîñòà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ôóíêöèé ñêàçàòü, ÿâëÿåòñÿ îíî ïîëíûì èëè íåò. Òåîðåìà 3 (Ïîñò). Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîæåñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé áûëî ïîëíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ýòîì ìíîæåñòâå îáÿçàòåëüíî ïðèñóòñòâîâàëà ôóíêöèÿ, íå ñîõðàíÿþùàÿ 0, ôóíêöèÿ, íå ñîõðàíÿþùàÿ 1, íåìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ è íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Êîíå÷íî, ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî âñåìè ñâîéñòâàìè ñ ïðèñòàâêîé íå- îáëàäàåò êàêàÿ-íèáóäü îäíà ôóíêöèÿ. Íàïðèìåð, òàêîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ Ïèðñà.  çàäàíèè 5 ìû ïðåäëàãàåì ýòî ïðîâåðèòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç îäíîé òîëüêî îïåðàöèè Ïèðñà. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî âûïóñêàòü òîëüêî îäèí êàêîé-òî ëîãè÷åñêèé ýëåìåíò è èç íåãî êîíñòðóèðîâàòü âñå âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà. Íî íà ñàìîì äåëå óìåíüøåíèå ðàçíîîáðàçèÿ âûïóñêàåìûõ ýëåìåíòîâ âîâñå íå òàê ýêîíîìè÷íî, êàê ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Äåëî â òîì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ íóæíîé ñõåìû ñ èñïîëüçîâàíèåì îäíîãî óíèâåðñàëüíîãî ýëåìåíòà ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ ãîðàçäî áîëüøå ýëåìåíòîâ, ÷åì ïðè ïðèìåíåíèè ýëåìåíòîâ íåñêîëüêèõ âèäîâ. Ãîðàçäî ýôôåêòèâíåå îêàçûâàåòñÿ èìåòü ãîòîâûå ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû (ìèêðîñõåìû) ðàçíûõ âèäîâ è óæå èç íèõ ñîáèðàòü ñëîæíûå ñõåìû. Êðîìå òîãî, îäíà è òà æå ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ðàçíûìè âûðàæåíèÿìè è, çíà÷èò, ðàçíûìè ñõåìàìè. Îáùåé òåîðèè ïîñòðîåíèÿ ñõåì ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü, îäíàêî, íå ñóùåñòâóåò, õîòÿ è åñòü îòäåëüíûå àëãîðèòìû, ïîçâîëÿþùèå óïðîùàòü ñõåìû. Áîëüøîé âêëàä â ñîçäàíèå òàêèõ àëãîðèòìîâ âíåñëè ðîññèéñêèå ó÷åíûå Þ.È. Æóðàâëåâ, Ñ.Â. ßáëîíñêèé è äð. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Ñôîðìóëèðóéòå àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû äëÿ ôóíêöèè, çàäàííîé åå òàáëèöåé çíà÷åíèé. 2. Ôóíêöèÿ f(x, y, z) èìååò ñëåäóþùóþ òàáëèöó çíà÷åíèé. 38 Ëåêöèÿ 5 x y z f(x, y, z) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Çàïèøèòå äëÿ ýòîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû â äèçúþíêòèâíîé è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðìàõ. 3. à) Ïðîâåðüòå, ÷òî ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé çàìêíóòî. á) Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé çàìêíóòî. 4. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà åäèíñòâåííî. 5. à) Ïðîâåðüòå, ÷òî îïåðàöèÿ Ïèðñà íå ïðèíàäëåæèò íè îäíîìó èç êëàññîâ Ì0–Ì4. á) Âûðàçèòå îòðèöàíèå, êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ ÷åðåç îïåðàöèþ Ïèðñà. 6. à) Ïðîâåðüòå, ÷òî îïåðàöèÿ Øåôôåðà íå ïðèíàäëåæèò íè îäíîìó èç êëàññîâ Ì0–Ì4. á) Âûðàçèòå îòðèöàíèå, êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ ÷åðåç îïåðàöèþ Øåôôåðà. §9. ×òî ñêàçàòü, êîãäà ñêàçàòü íå÷åãî  äâóçíà÷íîé ëîãèêå âåñü ìèð ÷åòêî ðàñêðàøåí â äâà öâåòà — öâåò èñòèíû è öâåò ëæè.  æèçíè ýòî äàëåêî íå âñåãäà òàê. Ðå÷ü èäåò, êîíå÷íî, íå î êàêèõ-òî èíòðèãàõ èëè áîðüáå ðàçâåäêè ñ êîíòððàçâåäêîé. Ïðîñòî íåðåäêî îêàçûâàåòñÿ òàê, ÷òî çíà÷åíèå òîé èëè èíîé ëîãè÷åñêîé ïåðåìåííîé (ïðåäèêàòà) îêàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Âîò ïðèìåð òàêîãî ñëó÷àÿ. Ïóñòü â áàçå äàííûõ èìååòñÿ òàáëèöà, ñîäåðæàùàÿ ñâåäåíèÿ î íåêîòîðûõ ãðàæäàíàõ: Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå Ôàìèëèÿ Èìÿ 39 Îò÷åñòâî Òåëåôîí Ïåòðîâ È â àí Ñèäîðîâè÷ 9222348965 Ñàâåëüåâ Ñåìåí Ïåòðîâè÷ 9041242378 Ðîìàíîâ Íèêîëàé Àëåêñàíäðîâè÷ 9041235686 Òîêàðåâ Âàñèëèé Ñîêîëîâ Íèêîëàé Âëàäèìèðîâè÷ 9062345656 9222536783 Óñòèíîâ Ôîìèí … 9042631745 Íèêîëàé … 9222124256 … … Íà÷àëüíèê ïîïðîñèë âàñ ïî ýòîé áàçå äàííûõ óçíàòü òåëåôîí Íèêîëàÿ Àëåêñàíäðîâè÷à, ôàìèëèþ êîòîðîãî îí, ê ñîæàëåíèþ, âàì íå íàçâàë. Åñòåñòâåííî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèé çàïðîñ: Èìÿ = Íèêîëàé È Îò÷åñòâî = Àëåêñàíäðîâè÷. ÑÓÁÄ âûäàñò îäíîçíà÷íûé îòâåò — òåëåôîí ãðàæäàíèíà Ðîìàíîâà. Íî ó âàñ ìîæåò îñòàòüñÿ íåóäîâëåòâîðåííîñòü — âäðóã ó Ôîìèíà îò÷åñòâî òîæå Àëåêñàíäðîâè÷, è èìåííî î íåì âàñ ñïðàøèâàëè. Ïðîñòî åãî îò÷åñòâî âàì ïî êàêèì-òî ïðè÷èíàì íåèçâåñòíî. Êîíå÷íî, ìîæíî ñîñòàâèòü çàïðîñ, â êîòîðîì áóäåò ôèãóðèðîâàòü òîëüêî èìÿ. Òîãäà âû ïîëó÷èòå òåëåôîíû òðîèõ: Ðîìàíîâà, Ñîêîëîâà è Ôîìèíà. Åñëè çàïèñåé â áàçå äàííûõ íå î÷åíü ìíîãî, òî äàëüøå ìîæíî “âðó÷íóþ” îòîáðàòü òå, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ ïîëåçíûìè. Âïðî÷åì, åñëè çàïèñåé ïîëòîðà äåñÿòêà, òî ñ áàçîé äàííûõ è âîîáùå ñâÿçûâàòüñÿ íå ñòîèò. Âîò êîãäà ñ÷åò èäåò íà ñîòíè Íàäî îòäàòü äîëæíîå ðàçðàáîò÷èêàì ñîâðåìåííûõ áàç äàííûõ (äîâîëüíî òèïè÷íûì ïðåäñòàâèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÁÄ Access) — îíè ïîñòàðàëèñü ïðåäîñòàâèòü ïîëüçîâàòåëþ ñðåäñòâà, ïîçâîëÿþùèå ðàçðóëèâàòü ïîäîáíûå ñèòóàöèè. Äëÿ ýòîãî ïîëþ òàáëèöû (ò.å. íà ñàìîì äåëå ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ ýòî ïîëå ïðåäñòàâëÿåò) ðàçðåøàåòñÿ ïðèíèìàòü îñîáîå çíà÷åíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ “íåîïðåäåëåííîñòü”.  ÁÄ Access ýòî çíà÷åíèå îáîçíà÷àåòñÿ êàê Null. Âïðî÷åì, ýòî ìû â íàøåì ÷åëîâå÷åñêîì âîñïðèÿòèè èíòåðïðåòèðóåì äàííîå çíà÷åíèå êàê íåêóþ íåîïðåäåëåííîñòü, êîòîðàÿ â ïðèíöèïå ïîäðàçóìåâàåò íåêîå òî÷íîå çíà÷åíèå (êàæäîìó ÿñíî, ÷òî ó Ôîìèíà êàêîåòî îò÷åñòâî, êîíå÷íî, åñòü), íî óêàçàòü åãî ìû íå ìîæåì. Äëÿ êîìïüþòåðà çíà÷åíèå “íåîïðåäåëåííîñòü” ïî áîëüøîìó ñ÷åòó íè÷åì íå ëó÷- 40 Ëåêöèÿ 5 øå (íî è íå õóæå) çíà÷åíèé Èñòèíà è Ëîæü. Ïðîñòî âìåñòî äâóçíà÷íîé ëîãèêè ïîÿâèëàñü ëîãèêà òðåõçíà÷íàÿ. È ñîîòâåòñòâóþùèå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè áóäóò íå áóëåâûìè (ò.å. äâóçíà÷íûìè), à òðåõçíà÷íûìè. Ýòî íîâîå òðåòüå çíà÷åíèå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé U (îò àíãë. undefined). È êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ òîæå áóäåò ïðèíèìàòü òðè çíà÷åíèÿ: 0, 1 è U. Êàê æå âûãëÿäÿò îïåðàöèè â òðåõçíà÷íîé ëîãèêå? ßñíî, ÷òî íà çíà÷åíèÿõ 0 è 1 äëÿ ëþáûõ ïåðåìåííûõ îíè äîëæíû ïðèíèìàòü òå æå çíà÷åíèÿ, ÷òî è â áóëåâîì ñëó÷àå. Äîâîëüíî åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü îïåðàöèþ îòðèöàíèÿ — äëÿ íîâîãî çíà÷åíèÿ U åãî îòðèöàíèå êîíå÷íî æå ñíîâà ÿâëÿåòñÿ U. Êðîìå òîãî, òàêîå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò äëÿ îïåðàöèè îòðèöàíèÿ ñîõðàíèòü òîæäåñòâî 13 (çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ)5. Äëÿ êîíúþíêöèè, åñëè îäèí èç îïåðàíäîâ ðàâåí 0 (ò.å. ëîæåí), òî è ðåçóëüòàò ðàâåí 0 âíå çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ âòîðîãî îïåðàíäà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ëîãè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ýòî âïîëíå åñòåñòâåííî: äàæå åñëè êîãäà-òî îêàæåòñÿ, ÷òî âòîðîé îïåðàíä — èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, âñå ðàâíî ðåçóëüòàòîì áóäåò Ëîæü. Êîíúþíêöèþ 1 è U, à òàêæå U è U åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü íåîïðåäåëåííîñòüþ, ò.å. U. Àíàëîãè÷íàÿ ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äèçúþíêöèè ïðèâîäèò ê âûâîäàì, êîòîðûå çàôèêñèðîâàíû â 3-ì è 4-ì ñòîëáöàõ òàáë. 126. Ìû íå ñëó÷àéíî çàãîâîðèëè î ñîõðàíåíèè îñíîâíûõ òîæäåñòâ ïðè ðàñøèðåíèè ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Íà ñàìîì äåëå ñèòóàöèÿ çäåñü ñíîâà òàêàÿ æå, êàê â ÷èñëîâîé àëãåáðå. Ïðè ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñëà ðåøàþùóþ ðîëü èãðàåò òî, ÷òî äëÿ íîâîé, áîëüøåé ÷èñëîâîé îáëàñòè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè íà íåå îïåðàöèé ñîõðàíÿþòñÿ âñå îñíîâíûå òîæäåñòâà. Óâû, íà ýòî î÷åíü âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî âíèìàíèå øêîëüíèêîâ íå îáðàùàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íè â îäíîì øêîëüíîì ó÷åáíèêå ìàòåìàòèêè. ×óòü ïîçæå ìû óâèäèì, ÷òî ïîñòðîåííîå ðàñøèðåíèå äâóçíà÷íîé ëîãèêè äî òðåõçíà÷íîé óñëîâèþ ñîõðàíåíèÿ òîæäåñòâ íå óäîâëåòâîðÿåò — íàðóøàþòñÿ çàêîíû èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî. È ýòî, íà íàø âçãëÿä, îäíà èç ïðè÷èí íå âïîëíå êîððåêòíîé ðàáîòû ÑÓÁÄ Access ïðè èñïîëüçîâàíèè Null-çíà÷åíèÿ. Ìàòåìàòèêè åùå â 50-å ãîäû ïðîøëîãî âåêà äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ âñåõ ëîãè÷åñêèõ çàêîíîâ íåîáõîäèìî (è äîñòàòî÷íî), ÷òîáû ðàñøèðåíèå ñîäåðæàëî 2 n ýëåìåíòîâ. Òàê ÷òî ðàçóìíàÿ ëîãèêà, áëèæàéøàÿ ê áóëåâîé, ÷åòûðåõçíà÷íà. 6 Îòìåòèì åùå îäèí ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ òàáëèöû çíà÷åíèé òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé. Åñëè ýòè çíà÷åíèÿ èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü èñòèííîñòè òîãî èëè èíîãî âûñêàçûâàíèÿ, òî äëÿ èñòèííûõ âûñêàçûâàíèé ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 1, äëÿ ëîæíûõ ðàâíà 0, à äëÿ íåîïðåäåëåííûõ åå åñòåñòâåííî âçÿòü ðàâíîé 0,5, ñëåäóÿ ïîãîâîðêå “Áàáóøêà íàäâîå ñêàçàëà”.  òàêîì ÷èñëîâîì âàðèàíòå ôóíêöèÿ x & y = min(x, y), à ôóíêöèÿ x ∨ y = max(x, y). Òàêîé âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä íåðåäêî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ëîãèê è ñ áo4ëüøèì êîëè÷åñòâîì ëîãè÷åñêèõ çíà÷åíèé, ðàçëè÷àÿ ýòè çíà÷åíèÿ ïî “ñòåïåíè ïðàâäèâîñòè”. 5 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 41 Òàáëèöà 12 x&y x∨y x→y x↔y õ=y x y 1 1 1 U U 1 U 1 1 1 U U U U U U U U U U 1 U 1 U 1 1 U 1 1 1 U U 1 U U 1 1 1 1 1 1 1 Îïåðàöèè → è ↔ ìû îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç òîæäåñòâ 20 è 217. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òàáëèöà çíà÷åíèé äëÿ íèõ âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî â 5-ì è 6-ì ñòîëáöàõ òàáë. 12. Çàòî ôóíêöèÿ = â ñèëó äàííîãî íàìè îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà ôóíêöèé èìååò òàáëèöó çíà÷åíèé, ïðåäñòàâëåííóþ ñåäüìûì ñòîëáöîì â òîé æå òàáë. 12. Êàê âèäèòå, çäåñü ðàâåíñòâî ôóíêöèé è ëîãè÷åñêàÿ ðàâíîñèëüíîñòü óæå íå ñîâïàäàþò. Ñîâåðøåííî òàê æå, êàê äëÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî n (3 ) êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé îò n àðãóìåíòîâ ðàâíî 3 . Ñêàæåì, ôóíêöèé îò äâóõ àðãóìåíòîâ áóäåò óæå íå 16, à 39 = 19 683.  òàáë. 9 ìû ïðèâåëè ïðèìåðû ôóíêöèé x && y è x || y, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ ôóíêöèÿìè x & y è x ∨ y, êîãäà ïåðåìåííûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 1, íî íå ñîâïàäàþò ñ íèìè, êîãäà çíà÷åíèå ïåðåìåííîé x ðàâíî U. Êàê íàçûâàþòñÿ ýòè ôóíêöèè è êàêîâà èõ ðîëü, ìû ïîãîâîðèì íåñêîëüêî ïîçæå. Äëÿ îïåðàöèé &, ∨ è – â òðåõçíà÷íîé ëîãèêå ñïðàâåäëèâû çàêîíû 1– 17. À âîò çàêîíîâ èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî òåïåðü íåò, ïîñêîëüêó U & U = = U ∨ U =U. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì, ÷òîáû äîêàçàòü ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: x && y = (x & y) ∨ (x & x ). Åñëè x íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå U, òî âûðàæåíèå x & x èìååò çíà÷åíèå 0. À â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíî x && y = x & y. Åñëè æå x = U, òî x & x = U, è ýòî îáåñïå÷èâàåò óêàçàííîå ðàâåíñòâî, êàêèì áû íè áûëî çíà÷åíèå ïåðåìåííîé y. 7 Ïåðå÷èòàéòå íà÷àëî ñíîñêè ïîä íîìåðîì 5. 42 Ëåêöèÿ 5 Êàê è äëÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ëþáàÿ ëè òðåõçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ôîðìóëîé, èñïîëüçóþùåé îïåðàöèè &, ∨ è –? Ãëÿäÿ íà ïîëó÷åííóþ âûøå ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé îò n àðãóìåíòîâ, âðÿä ëè ïîâåðèøü â ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ. È âñå æå Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ëåãêî ïåðåíîñèòñÿ è íà ñëó÷àé òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé. Íàäî òîëüêî ó÷åñòü ñêàçàííîå â ñíîñêå: íåëüçÿ èãíîðèðîâàòü âûðàæåíèÿ òèïà x & x è x ∨ x . Èíûìè ñëîâàìè, â êàæäîì êîíúþíêòå äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íå îäèí ðàç, à äâàæäû — îäèí ðàç ñàìà ïî ñåáå, äðóãîé ðàç ñ îòðèöàíèåì. Ïåðå÷èñëèì âîçìîæíûå äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû äëÿ ôîðìóë ñ îäíîé ïåðåìåííîé x. 1) F1 = x; 2) F2 = x ; 3) F3 = x ∨ x ; 4) F4 = x & x ; 5) F5 = U & x; 6) F6 = U & x ; 7) F7 = U ∨ x; 8) F8 = U ∨ x ; 9) F9 = x ∨ (x & x ); 10) F10 = x ∨ (x & x ). Îäíàêî çàêîíû ïîãëîùåíèÿ (èõ íîìåðà 11 è 12) ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèÿ F7 ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé F1, à ôóíêöèÿ F8 — ñ ôóíêöèåé F2, ò.å. ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé çäåñü ïðåäñòàâëåíî âñåãî ëèøü 8. À ôóíêöèé îò îäíîé ïåðåìåííîé 27 øòóê. Ïðàâäà, ñðåäè íèõ òðè êîíñòàíòû: 0, U è 18. Íî âñå ðàâíî îñòàåòñÿ åùå 16 ôóíêöèé, êîòîðûå ôîðìóëàìè íå îïèñàòü. ×òîáû ïîíÿòü, êàêèå èìåííî, ñîñòàâèì äëÿ óêàçàííûõ âûøå âîñüìè íåêîíñòàíòíûõ ôóíêöèé òàáëèöû èõ çíà÷åíèé. Èç òàáë. 13 ÿñíî âèäíî, ÷òî íå õâàòàåò ôóíêöèé, êîòîðûå ïðè íåîïðåäåëåííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà x äàâàëè áû çíà÷åíèå 0 èëè 1. Ìåæäó ïðî÷èì, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî è äëÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, åñëè ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìóë èñïîëüçîâàòü òîëüêî &, ∨ è −, òî ñíîâà ïîëó÷àòñÿ òîëüêî òàêèå íåêîíñòàíòíûå ôóíêöèè, êîòîðûå ïðè íåîïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ îáÿçàòåëüíî ïðèíèìàþò íåîïðåäåëåííîå çíà÷åíèå. 8 Ôîðìàëüíî è ýòè òðè êîíñòàíòíûå ôóíêöèè ìû ìîæåì çàïèñàòü ôîðìóëàìè, ñîäåðæàùèìè ïåðåìåííóþ õ. Íàïðèìåð, òàê: 0 & x; U ∨ (x & x ), 1 ∨ x. Ðàçðàáîò÷èêè ÑÓÁÄ Access âìåñòî ôóíêöèè x´ âñòðîèëè ôóíêöèþ x ′ . Íà ñóòè äåëà ýòî, êîíå÷íî, íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ — ñèñòåìà ôóíêöèé îñòàåòñÿ ïîëíîé. 9 U 1 U U 1 1 U U U U U 1 U U U ∨ x (F7) U U Ýòó ôóíêöèþ åñòåñòâåííî íàçâàòü “ðàñïîçíàâàòåëåì íåîïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé”. Íåòðóäíî äîêàçàòü òåîðåìó, ÷òî êëàññ, ñîäåðæàùèé &, ∨, − è ´, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, ò.å. ëþáàÿ òðåõçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ôîðìóëîé, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ýòè îïåðàöèè. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ðåàëèçàöèè ëþáîé òðåõçíà÷íîé ôóíêöèè íàì äîñòàòî÷íî èìåòü òîëüêî òàêèå ÷åòûðå ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòà9. Âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ íàøåé ìàëåíüêîé áàçû äàííûõ.  òðåõçíà÷íîé ëîãèêå ëåãêî ïîñòðîèòü òðåáóåìûé çàïðîñ: Èìÿ = Íèêîëàé È (Îò÷åñòâî = Àëåêñàíäðîâè÷ ÈËÈ Îò÷åñòâî = U). Ýòî, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî â áàçå äàííûõ âñå ïóñòûå ïîëÿ íà ñàìîì äåëå çàïîëíåíû çíà÷åíèåì U. À ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èì ïî çàïðîñó Èìÿ = Íèêîëàé È (Îò÷åñòâî = ÍÅ Àëåêñàíäðîâè÷)? 1 1 1 1 U & x (F6) õ´ U & x (F5) 1 x & x (F4) U x ∨ x (F3) x (F2) õ õ (F1) Ïîëüçóÿñü òåðìèíîëîãèåé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòî ôóíêöèè, ñîõðàíÿþùèå çíà÷åíèå U. Ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé, î÷åâèäíî, çàìêíóòî. Òàê ÷òî ôóíêöèþ õ = y íèêàê íå óäàñòñÿ âûðàçèòü ÷åðåç êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè è îòðèöàíèÿ. Òåîðåìà Ïîñòà ïîäñêàçûâàåò âûõîä èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ — ÷òîáû ðàçðóøèòü çàìêíóòîñòü êëàññà, íàäî äîáàâèòü ôóíêöèþ, íå ñîõðàíÿþùóþ çíà÷åíèå U. Âîò âîçìîæíàÿ ôóíêöèÿ îò îäíîãî àðãóìåíòà (ìû îáîçíà÷èëè åå x´): U ∨ x (F8) 43 Òàáëèöà 13 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 44 Ëåêöèÿ 5 Âûñêàçûâàíèå Îò÷åñòâî = ÍÅ Àëåêñàíäðîâè÷ èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà âûñêàçûâàíèå Îò÷åñòâî = Àëåêñàíäðîâè÷ ëîæíî. Îäíàêî îáà âûñêàçûâàíèÿ Îò÷åñòâî = ÍÅ U è Îò÷åñòâî = U èìåþò çíà÷åíèå U, òàê ÷òî â îòâåò íà íàø íîâûé çàïðîñ ìû ïîëó÷èì íîìåð òåëåôîíà ãðàæäàíèíà Ñîêîëîâà (è åùå âñåõ òåõ, ó êîãî îò÷åñòâî èçâåñòíî, íî îíî íå Àëåêñàíäðîâè÷), íî íå ïîëó÷èì íîìåð òåëåôîíà ãðàæäàíèíà Ôîìèíà. Ñ ýòèì åùå ìîæíî ñìèðèòüñÿ: õîðîøî ïîäóìàâ â òðåõçíà÷íîé ëîãèêå, íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî çàïðîñ íàäî áûëî ñîñòàâèòü òàê: Èìÿ = Íèêîëàé È (Îò÷åñòâî = ÍÅ Àëåêñàíäðîâè÷ ÈËÈ Îò÷åñòâî = U). Îäíàêî çàïðîñ Èìÿ = Íèêîëàé È (Îò÷åñòâî = ÍÅ U) âûäàñò íîìåð òåëåôîíà, ïðèíàäëåæàùåãî Ôîìèíó, — âåäü ÍÅ U ýòî ñíîâà U. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò çäðàâîìó ñìûñëó òàêîãî çàïðîñà — ÿñíî, ÷òî æåëàíèå áûëî ïîëó÷èòü íîìåðà òåëåôîíîâ òåõ, ÷üå îò÷åñòâî èçâåñòíî (íó íå õî÷åò âàø íà÷àëüíèê îáðàùàòüñÿ ê ÷åëîâåêó áåç îò÷åñòâà, äàæå åñëè îí ðèñêóåò ïîïàñòü íå íà òîãî, êòî åìó íóæåí). Èìåííî çäåñü ìû ñòîëêíóëèñü ñ òîé íåïðèÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ ïîðîæäåíà îòñóòñòâèåì â òðåõçíà÷íîé ëîãèêå çàêîíà èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî. À êàê îáñòîèò äåëî â êàêîé-íèáóäü ðåàëüíîé ÑÓÁÄ? Íàïðèìåð, â Access. Òàì íà òàêîé çàïðîñ îòâåòîì áóäåò íîìåð òåëåôîíà, ïðèíàäëåæàùåãî Ñîêîëîâó. Õîòÿ íà çàïðîñ Èìÿ = Íèêîëàé È Îò÷åñòâî = U îòâåòîì áóäåò òåëåôîí Ôîìèíà10. Çíà÷èò, òàì êàêàÿ-òî äðóãàÿ ëîãèêà Òî÷íåå, ôóíêöèè òàì ñòðîÿòñÿ èíà÷å — îíè èñïîëüçóþò ôóíêöèþ x′ (ñì. ñíîñêó 9). Ê ñîæàëåíèþ, íè â îäíîì ðóêîâîäñòâå ïîëüçîâàòåëþ, íè â äðóãèõ êíèæêàõ ïî ÑÓÁÄ Access, ðàññ÷èòàííûõ íà øèðîêèé êðóã ÷èòàòåëåé, îá ýòîé ôóíêöèè äàæå íå óïîìèíàåòñÿ. Áîëåå òîãî, âî âñåõ ðóêîâîäñòâàõ ïî Access è SQL ãîâîðèòñÿ, ÷òî êàê òîëüêî â àðãóìåíòå (íà ÿçûêå áàç äàííûõ — àòðèáóòå) ïîÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå Null, çíà÷åíèå ôóíêöèè òàêæå ðàâíî Null. ×òî, êàê òåïåðü âèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëîæíûì óòâåðæäåíèåì. Òðåõçíà÷íàÿ ëîãèêà îêàçàëàñü ïðèâëåêàòåëüíîé íå òîëüêî äëÿ ðàçðàáîò÷èêîâ ÑÓÁÄ. Òàêàÿ ëîãèêà çàëîæåíà è â ÿçûêå ïðîãðàììèðîâàíèÿ Java. Îíà ïîçâîëÿåò óñêîðèòü èñïîëíåíèå àëãîðèòìîâ, à â ðÿäå ñëó÷àåâ ñäåëàòü è áîëåå ëåãêîé ñàìî íàïèñàíèå àëãîðèòìà. Ïðàâäà, êàê è ðàçðàáîò÷èêè 10 Ìû ñîâåòóåì ÷èòàòåëþ ñàìîìó óáåäèòüñÿ â ýòîì, ïîýêñïåðèìåíòèðîâàâ ñ çàïðîñàìè â ÑÓÁÄ Access. Íàäî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî ïðè ôîðìèðîâàíèè çàïðîñà â ïîëå áëàíêà QBE âìåñòî = Null èëè ïðîñòî Null íàäî ïèñàòü is Null, à äëÿ îòðèöàíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè — ïèñàòü Not is Null. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå 45 ÑÓÁÄ Access, àâòîðû ýòîãî ÿçûêà óòâåðæäàþò, ÷òî âñå ñòàíäàðòíûå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè ýòîãî ÿçûêà ïðèíèìàþò çíà÷åíèå U, êàê òîëüêî çíà÷åíèå õîòÿ áû îäíîãî àðãóìåíòà ðàâíî U 11. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè & è ∨ èìåþò òàáëèöû çíà÷åíèé ñîâñåì íå òàêèå, êàê ýòî óêàçàíî â òàáë. 12. À ëó÷øå ñêàçàòü òàê — ýòî ñîâñåì äðóãèå òðåõçíà÷íûå ôóíêöèè, íåæåëè ðàññìàòðèâàâøèåñÿ íàìè. Êîíå÷íî, êàêèå ôóíêöèè êàê îáîçíà÷àòü — äåëî àâòîðîâ; äëÿ òðåõçíà÷íîé ëîãèêè ïîêà íåò íà ýòîò ñ÷åò ñòàíäàðòà. Íî íàäî èìåòü äàííîå îáñòîÿòåëüñòâî â âèäó, êîãäà îáñóæäàþòñÿ âûðàçèòåëüíûå âîçìîæíîñòè îäèíàêîâî îáîçíà÷àåìûõ ðàçíûõ ôóíêöèé. Ïðèâåäåì òàáëèöû çíà÷åíèé îïåðàöèé & è ∨ â ÿçûêå Java. Íàðÿäó ñ ýòèìè ôóíêöèÿìè â ýòîì ÿçûêå èìåþòñÿ ôóíêöèè && è ||, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ Óñëîâíûì È è Óñëîâíûì ÈËÈ ñîîòâåòñòâåííî. Òàáëèöà 14 x y x&y x∨y U U U 1 1 U U U U U U U U 1 U U 1 1 1 U U U 1 1 1 1 Îòëè÷èÿ îò îáû÷íûõ & è ∨ ïðîÿâëÿþòñÿ, êàê âèäíî èç òàáë. 12 è 14, íà íåîïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ âî âòîðîé è ïðåäïîñëåäíåé ñòðîêàõ òàáëèöû. Âîò èëëþñòðèðóþùèé ïðèìåð, ê ÷åìó ýòî ïðèâîäèò. Ðàññìîòðèì äâà ïðåäèêàòà12: Ð = (õ > 0) & (õ /(ó – 3) = 0) è Q = (õ > 0) && (õ /(ó – 3) = 0). Ïóñòü ïåðåìåííûå õ è ó ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 3 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðåäèêàò Ð ïðèìåò çíà÷åíèå U, â òî âðåìÿ êàê ïðåäèêàò Q ïðèìåò çíà÷åíèå 0 (ò.å. Ëîæü). Ïîýòîìó åñëè â ïðîãðàììå íà ÿçûêå Java âñòðåòèòñÿ îïåðàòîð 11 Ñì., íàïðèìåð: Ðîãàíîâ Å.À. Îñíîâû èíôîðìàòèêè è ïðîãðàììèðîâàíèÿ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: ÌÃÈÓ, 2001, 315 ñ. 12 Ïîíÿòèå ïðåäèêàòà ïîäðîáíî ðàññìîòðåíî â §3 Ëåêöèè 6. 46 Ëåêöèÿ 5 If ((õ > 0) & (õ / (ó – 3) == 0)) x = y; 13 òî ïðè õ = 0 è ó = 3 áóäåò âûäàíî ñîîáùåíèå îá îòêàçå â ñâÿçè ñ äåëåíèåì íà 0. Åñëè æå âìåñòî ýòîãî îïåðàòîðà áóäåò íàïèñàí îïåðàòîð If ((õ > 0) && (õ / (ó – 3)) == 0) x = y; òî îí ñðàáîòàåò áåç âñÿêèõ íàðåêàíèé. Âîò åùå îäèí ïðèìåð.  ïðîãðàììå, ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ a|x| = b14, ñëåäóþùèé îïåðàòîð íà Java çàìåíÿåò ñðàçó íåñêîëüêî âåòâëåíèé: If (((a == 0) && (b != 0))) || (b/a < 0)) System.out.println (“Ðåøåíèé íåò”); Ïðè à = 0 çíà÷åíèå âòîðîãî îïåðàíäà â óñëîâèè íå îïðåäåëåíî. Îáû÷íîå ÈËÈ (ò.å. îïåðàöèÿ ∨) äàâàëî áû âûðàæåíèþ îáùåå çíà÷åíèå U, è, òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷èëè áû ñîîáùåíèå îá îøèáêå. À ïî ïðàâèëàì Óñëîâíîãî ÈËÈ áóäåò âûäàíî óêàçàííîå ñîîáùåíèå. Îòìåòèì åùå îäíî îáñòîÿòåëüñòâî. Åñëè à ≠ 0, òî óñëîâèå b ≠ 0 â îïåðàòîðå óñëîâíîãî È óæå ïðîâåðÿòüñÿ íå áóäåò.  îáû÷íîì È íà ýòó ïðîâåðêó áûëî áû ïîòðà÷åíî âðåìÿ. Êîãäà òàêèõ ïðîâåðîê ìíîãî, ýêîíîìèÿ âðåìåíè è äðóãèõ ðåñóðñîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííîé. Íà ýòîé ðàäîñòíîé íîòå ìû çàêîí÷èì îáñóæäåíèå ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé. Âîïðîñû è çàäàíèÿ  ïðåäëàãàåìûõ çàäàíèÿõ ôóíêöèè & è ∨ îïðåäåëåíû òàáë. 12. 1. Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè (èõ íîìåðà 5 è 6) è çàêîíîâ äå Ìîðãàíà (èõ íîìåðà 9 è 10) äëÿ òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé. 2. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà 23 è 24, ïîñòðîéòå òàáëèöû çíà÷åíèé äëÿ òðåõçíà÷íûõ îïåðàöèé Øåôôåðà è Ïèðñà. 3. Äîêàæèòå, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé &, ∨, – è ´ ïîëíà (ò.å. ëþáàÿ òðåõçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ôîðìóëîé, â êîòîðîé ôèãóðèðóþò òîëüêî ýòè ôóíêöèè). 4. ßâëÿåòñÿ ëè ïîëíîé (â êëàññå âñåõ òðåõçíà÷íûõ ôóíêöèé) ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ôóíêöèé — îïåðàöèè Øåôôåðà (ñì. çàäàíèå 2) è îïåðàöèè ´? 5. Ñóùåñòâóåò ëè îäíà òðåõçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ÷åðåç êîòîðóþ ìîæíî âûðàçèòü ëþáóþ òðåõçíà÷íóþ ôóíêöèþ? 13  ÿçûêå Java çíàê = èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðèñâàèâàíèÿ, à äëÿ ñðàâíåíèÿ çíà÷åíèé èñïîëüçóåòñÿ çíàê = =. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ≠ èñïîëüçóåòñÿ !=. 14 Èìåííî ýòà ïðîãðàììà (ðàçóìååòñÿ, íå íà Java) îáñóæäàåòñÿ â äåìîíñòðàöèîííîì âàðèàíòå ÅÃÝ ïî èíôîðìàòèêå 2008 ãîäà â çàäàíèè Ñ1. Ôîðìàëüíî ó÷àùèìñÿ íå çàïðåùàåòñÿ íà ÅÃÝ ïèñàòü ïðîãðàììû íà Java. À âîò êàê áóäåò îáñòîÿòü äåëî ñ ïðîâåðêîé òàêèõ ðàáîò? Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 47 Ëåêöèÿ 6 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) §1. Ðåëÿöèîííûå ìîäåëè Äëÿ ìíîãèõ ñèñòåì èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà âàæíîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ÿâëÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ î òåõ îáúåêòàõ, ïðîöåññàõ è ÿâëåíèÿõ, ñ êîòîðûìè ïðåäñòîèò èìåòü äåëî ïîëüçîâàòåëþ äàííîé ñèñòåìû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Êàæäûé îáúåêò ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ çíà÷åíèÿìè íåêîòîðîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ. Íåðåäêî òàêîå îïèñàíèå óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå òàáëèöû. Âîò îáùèé âèä òàêîé òàáëèöû (ñì. òàáë. 1). Òàêîå îïèñàíèå, çàäàííîå â âèäå òàáëèöû, íàçûâàþò ôàêòîãðàôè÷åñêîé ìîäåëüþ. Êîíå÷íî, òàêèõ òàáëèö äëÿ äàííîãî íàáîðà îáúåêòîâ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî — â êàæäîé èç íèõ ôèãóðèðóåò ñâîé íàáîð ïàðàìåòðîâ. Áîëåå òîãî, ïî ìåðå íàêîïëåíèÿ çíàíèé îá èçó÷àåìûõ îáúåêòàõ ìîãóò ñîñòàâëÿòüñÿ íîâûå òàáëèöû — ñîâñåì íåîáÿçàòåëüíî íîâóþ èíôîðìàöèþ çàïèñûâàòü â óæå èìåþùóþñÿ òàáëèöó, óâåëè÷èâàÿ â íåé íàáîð ñòîëáöîâ. Ñîâîêóïíîñòü òàáëèö, â êîòîðûõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñîâîêóïíîñòè îáúåêòîâ ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ýòè îáúåêòû, íàçûâàåòñÿ ðåëÿöèîííîé ìîäåëüþ äàííîé ñèñòåìû îáúåêòîâ. Òàáëèöà 1 Ïàðàìåòðû Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ îáúåêòà ¹ 1 Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ îáúåêòà ¹ 2 … Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ îáúåêòà ¹ … Èìÿ ïàðàìåòðà ¹ 1 Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ 1 äëÿ îáúåêòà ¹ 1 Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ 1 äëÿ îáúåêòà ¹ 2 … Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ 1 äëÿ îáúåêòà ¹ … … Èìÿ ïàðàìåòðà ¹ k … Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ k äëÿ îáúåêòà ¹ 1 Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ k äëÿ îáúåêòà ¹ 2 … … … Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ¹ k äëÿ îáúåêòà ¹ … Èäåÿ ðåëÿöèîííîé ìîäåëè áûëà ïðåäëîæåíà àìåðèêàíñêèì ó÷åíûì Å.Ô. Êîääîì â íà÷àëå 1970-õ ãã. Ñàìî ñëîâî “ðåëÿöèîííàÿ” ïðîèñõîäèò îò àíãë. relation — îòíîøåíèå, ñâÿçü. Èíûìè ñëîâàìè, ñóòü ðåëÿöèîííîãî ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îáúåêòàõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îòíîøåíèé, ò.å. ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé õàðàêòåðèñòèê èçó÷àåìûõ îáúåêòîâ. À ñåé÷àñ îáñóäèì, êàê ñ ïîìîùüþ òàêîé ìîäåëè ìîæíî ïîëó÷àòü íóæíóþ èíôîðìàöèþ. Ïðèâåäåííûé íèæå ïðèìåð õîòÿ è íåñêîëüêî äàëåê îò íàóêè, íî ÿðêî ïîêàçûâàåò ïîëåçíîñòü òàêèõ ìîäåëåé â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Ëåêöèÿ 6 48 Ïðåäñòàâèì ñåáå äåÿòåëüíîñòü ìåæäóãîðîäíåé òåëåôîííîé êîìïàíèè, íàïðèìåð, â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Îíà ïðåäîñòàâëÿåò ñâîèì àáîíåíòàì ñâÿçü ñ äðóãèìè ãîðîäàìè. Èíôîðìàöèþ î ïðåäîñòàâëåííûõ óñëóãàõ ñâÿçè óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü òàáëèöåé (ñì. òàáë. 2). Òàáëèöà 2 Ðàçãîâîðû Íîìåð Äàòà 111-22-33 01.01.2002 Ãîðîä Ìîñêâà 111-22-33 02.01.2002 Ïðîäîëæèòåëüíîñòü 7 Ïàðèæ 9 122-33-44 01.01.2002 Æåíåâà 20 122-33-44 02.01.2002 Öþðèõ 17 122-33-44 02.01.2002 Ìîñêâà 7 123-34-45 01.01.2002 Ïàðèæ 11 … … … … Êàæäûé íîâûé çâîíîê äîáàâëÿåò ñòðîêó â ýòó òàáëèöó. Íî òåëåôîííàÿ êîìïàíèÿ õðàíèò, ðàçóìååòñÿ, è èíôîðìàöèþ î âëàäåëüöàõ òåëåôîíîâ. Òàêàÿ òàáëèöà ìîæåò áûòü óñòðîåíà, íàïðèìåð, êàê òàáë. 3 (àäðåñà è ôàìèëèè âçÿòû íàìè, êîíå÷íî, óñëîâíî). Òåëåôîíû Òàáëèöà 3 Íîìåð Âëàäåëåö Àäðåñ 111-22-33 Èâàíîâ Íåâñêèé, 17 122-33-44 Ïåòðîâ Ôîíòàíêà, 4 123-34-45 Ñèäîðîâ Ëèãîâñêèé, 7 … … … Ïóñòü íàñ èíòåðåñóåò, ñ êàêèìè ãîðîäàìè è êîãäà ðàçãîâàðèâàë Ïåòðîâ. ×òîáû âû÷èñëèòü îòâåò, íóæíî ïðîäåëàòü ñëåäóþùåå: — ïî çàäàííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà Âëàäåëåö â òàáëèöå Òåëåôîíû ðàçûñêèâàåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Íîìåð; — ïî íàéäåííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà Íîìåð â òàáëèöå Ðàçãîâîðû ðàçûñêèâàåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ Äàòà è Ãîðîä; — ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåì íîâîé òàáëèöåé (ñì. òàáë. 4). Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 49 Òàáëèöà 4 Ðàçãîâîðû Ïåòðîâà Äàòà 01.01.02 Ãîðîä Æåíåâà 02.01.02 Öþðèõ 02.01.02 Ìîñêâà Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü íóæíóþ èíôîðìàöèþ, ìåæäó òàáëèöàìè íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñâÿçü, óêàçàâ, êàêèå ïàðàìåòðû äëÿ íèõ ÿâëÿþòñÿ îáùèìè.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå òàêèì ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòð Íîìåð. Âïðî÷åì, â ñàìîé èäåå ðåëÿöèîííîñòè êàê ðàç íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî. Îïèñûâàÿ îêðóæàþùèé ìèð, ìû âñåãäà íå ïðîñòî ïåðå÷èñëÿåì åãî îáúåêòû, à îáÿçàòåëüíî íàçûâàåì îòíîøåíèÿ, êîòîðûìè ýòè îáúåêòû ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì. Ðàññìîòðèòå äëÿ ïðèìåðà íåñêîëüêî ôðàç: Äðîçä — ýòî ïòèöà; Ïåòð — îòåö Ïàâëà; Âàñå íðàâèòñÿ Àíÿ; Ïðÿìûå a, b è c ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå; Ìàøà âçÿëà ó Àëåøè êíèãó “Ñêàçêè 1001 íî÷è”.  êàæäîé èç ýòèõ ôðàç ôèêñèðóåòñÿ òî èëè èíîå îòíîøåíèå ìåæäó îáúåêòàìè. Ïåðâàÿ ôðàçà äàåò ïðèìåð îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè: äðîçä ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó ïòèö. Âòîðàÿ è òðåòüÿ óñòàíàâëèâàþò îòíîøåíèÿ áûòü îòöîì ìåæäó Ïåòðîì è Ïàâëîì è íðàâèòñÿ ìåæäó Âàñåé è Àíåé. ×åòâåðòàÿ ôðàçà óêàçûâàåò íà îòíîøåíèå ìåæäó òðåìÿ îáúåêòàìè. Íàêîíåö, ïÿòàÿ ôðàçà îïèñûâàåò îòíîøåíèå ìåæäó Ìàøåé, Àëåøåé è êîíêðåòíîé êíèãîé. Ðàçóìååòñÿ, â îäíîì è òîì æå îòíîøåíèè ìîãóò íàõîäèòüñÿ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå îáúåêòû. Íàïðèìåð, â îòíîøåíèè áûòü îòöîì íàõîäÿòñÿ, êîíå÷íî, íå òîëüêî Ïåòð è Ïàâåë, íî è ìíîãèå äðóãèå ïàðû ëþäåé.  îòíîøåíèè êòî-òî ó êîãî-òî ÷òî-òî âçÿë íàõîäÿòñÿ òîæå íå òîëüêî Ìàøà, Àëåøà è “Ñêàçêè 1001 íî÷è”. Ïîýòîìó åñëè ñîñðåäîòî÷èòü âíèìàíèå íà ñàìîì îòíîøåíèè, òî îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ñ÷èòàòü, ÷òî îòíîøåíèå — ýòî íåêîå âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè: Îáúåêò x — ýòî îòåö îáúåêòó y; Îáúåêò x âçÿë ó îáúåêòà y îáúåêò z; è ò.ä. Îñòàëîñü ñäåëàòü åùå îäèí øàã: óíèôèöèðîâàòü çàïèñü îòíîøåíèé. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàê: áûòü_îòöîì(x, y); âçÿòü(x, y, z); è ò.ä. 50 Ëåêöèÿ 6 Òî, ÷òî ñòîèò ïåðåä ñêîáêàìè, — èìÿ îòíîøåíèÿ, â ñêîáêàõ ïåðå÷èñëåíû àðãóìåíòû îòíîøåíèÿ, êîëè÷åñòâî àðãóìåíòîâ îòíîøåíèÿ íàçûâàþò åãî àðíîñòüþ. Òàê ÷òî ïåðâîå èç çàïèñàííûõ â ñòàíäàðòíîé ôîðìå îòíîøåíèé áèíàðíîå (ïî-ðóññêè äâóõìåñòíîå), âòîðîå òðèíàðíîå (ïî-ðóññêè òðåõìåñòíîå). ×àñòî îòíîøåíèå ìåæäó îáúåêòàìè, îáîçíà÷åííûìè, ñêàæåì, áóêâàìè a, b, c, d è ò.ä., ñõåìàòè÷íî çàïèñûâàþò òàê: R(a,b,c,d,...), ãäå ÷åðåç R îáîçíà÷åíî èìÿ ðàññìàòðèâàåìîãî îòíîøåíèÿ (ïåðâàÿ áóêâà îò àíãë. relation — îòíîøåíèå). Âïðî÷åì, åñëè îòíîøåíèå ñâÿçûâàåò òîëüêî äâà îáúåêòà — a è b, òî íåðåäêî ïèøóò aRb. Íàïðèìåð, ìû ïèøåì a < b äëÿ ÷èñåë, a || b — äëÿ ïðÿìûõ, a ∈ A — äëÿ ýëåìåíòà a èç ìíîæåñòâà A è ò.ï. Ìû òîæå áóäåì òàê ïèñàòü äëÿ óæå óñòîÿâøèõñÿ îáîçíà÷åíèé îòíîøåíèé (ðàâåíñòâà, íåðàâåíñòâà, ïàðàëëåëüíîñòè, ïðèíàäëåæíîñòè è ò.ï.).  ïðåäëîæåííîì âàðèàíòå çàïèñè îòíîøåíèÿ ÷àñòü èíôîðìàöèè ìîæåò îêàçàòüñÿ óòåðÿííîé. Ñêàæåì, èç çàïèñè áûòü_îòöîì(x, y) óæå íå âèäíî: òî ëè x — îòåö äëÿ y, òî ëè íàîáîðîò. Âûõîä ïðîñòîé: äëÿ êàæäîãî àðãóìåíòà óêàçàòü, ÷òî îí îçíà÷àåò; ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû êàæäîìó àðãóìåíòó ïðèñâàèâàåì èìÿ, ôàêòè÷åñêè óêàçûâàþùåå, èç êàêîãî ìíîæåñòâà áóäóò áðàòüñÿ îáúåêòû äëÿ äàííîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð: áûòü_îòöîì(îòåö: x, ðåáåíîê: y); âçÿòü(êòî_âçÿë: x, ó_êîãî_âçÿë: y, ÷òî_âçÿë: z). Èìÿ àðãóìåíòà íåðåäêî íàçûâàþò àòðèáóòîì äàííîãî îòíîøåíèÿ. ßñíî, ÷òî âìåñòî àðãóìåíòîâ íåëüçÿ ïîäñòàâëÿòü ëþáûå îáúåêòû èç òåõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå îáîçíà÷åíû àòðèáóòàìè. Ñêàæåì, íåëüçÿ â îòíîøåíèè áûòü_îòöîì âìåñòî x ïîäñòàâëÿòü èìÿ ëþáîãî ìóæ÷èíû, à âìåñòî y — èìÿ ëþáîãî ðåáåíêà. Êàê æå òîãäà îïðåäåëÿòü, êàêîâû òå íàáîðû çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî äàííîå îòíîøåíèå? Èíîãäà ýòî íàñòîÿùàÿ äåòåêòèâíàÿ èñòîðèÿ, êîãäà, íàïðèìåð, ñëåäîâàòåëü ïûòàåòñÿ âûÿñíèòü, êòî æå áåç ñïðîñó âçÿë ó õîçÿèíà åãî áðèëëèàíòû. Âîîáùå ãîâîðÿ, îòíîøåíèÿ ìîãóò çàäàâàòüñÿ ïî-ðàçíîìó. Íåðåäêî áûâàåò òàê, ÷òî äëÿ êàæäîãî àðãóìåíòà ìíîæåñòâî åãî çíà÷åíèé êîíå÷íî.  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå ìîæíî çàäàòü ñïèñêîì âñåõ òåõ íàáîðîâ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â äàííîì îòíîøåíèè. À ñàì òàêîé ñïèñîê, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå òàáëèöû, ãäå êàæäàÿ ñòðîêà — ýòî íàáîð çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, íàõîäÿùèõñÿ â äàííîì îòíîøåíèè, à êàæäûé ñòîëáåö — ýòî ïåðå÷åíü çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùåãî àòðèáóòà. Ñàìè àòðèáóòû âûñòóïàþò ïðè ýòîì â ðîëè çàãîëîâêîâ ñòîëáöîâ. Âîò ïðèìåðû îòíîøåíèé è ïðåäñòàâëåíèå èõ òàáëèöàìè. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 51 Òàáëèöà 5 Ðîäñòâî Ìàìà Å âà Ïàïà Àäàì Ðåáåíîê Àâåëü Å âà Àäàì Kàèí … … … Ñëóæáà Òàáëèöà 6 Íà÷àëüíèê Èâàíîâ Ïîä÷èíåííûé Ïåòðîâ … … Ýòè îòíîøåíèÿ — “÷åëîâå÷åñêèå”. Íî îòíîøåíèÿ ìîãóò áûòü ìåæäó îáúåêòàìè ëþáîé ïðèðîäû. Âåäü êàæäàÿ òàáëèöà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîå îòíîøåíèå. Æåëåçíîäîðîæíîå ðàñïèñàíèå çàäàåò îòíîøåíèÿ ìåæäó ìàðøðóòàìè, ñòàíöèÿìè è ò.ï. Òàáëèöà óìíîæåíèÿ çàäàåò îòíîøåíèå ìåæäó ÷èñëàìè. Íàëè÷èå îòíîøåíèÿ ìåæäó õàðàêòåðèñòèêàìè ðàçíûõ îáúåêòîâ èëè äàæå îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà ñâèäåòåëüñòâóåò î çàâèñèìîñòè ýòèõ õàðàêòåðèñòèê äðóã îò äðóãà. Íàèáîëåå æåñòêî õàðàêòåðèñòèêè îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, åñëè ïî çíà÷åíèþ îäíîé èç íèõ ìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ, íàõîäÿùèõñÿ â äàííîì îòíîøåíèè. Òàêèå îòíîøåíèÿ ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â §2. Íî ñëåäóåò ïîíèìàòü, ÷òî äàæå åñëè íåò òàêîé æåñòêîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ïàðàìåòðàìè, âñå ðàâíî îòíîøåíèå, íå ñîâïàäàþùåå ñî âñåâîçìîæíûìè íàáîðàìè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, óêàçûâàåò íà íàëè÷èå íåêîòîðîé ñâÿçè ìåæäó íèìè. Èìåííî ïîýòîìó îòíîøåíèÿ ñòàëè âàæíûì èíñòðóìåíòîì ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé — âåäü îäíèì èç êîìïîíåíòîâ èíôîðìàöèîííîé ìîäåëè êàê ðàç ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñâÿçåé ìåæäó åå ïàðàìåòðàìè. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Êàêóþ ðîëü èãðàåò ïîíÿòèå îòíîøåíèÿ â èíôîðìàöèîííîì ìîäåëèðîâàíèè? 2. Êàê ìîæíî çàäàâàòü îòíîøåíèÿ? 3. Èç êóðñà ìàòåìàòèêè âû çíàåòå, ÷òî ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, èìåþùèõ êîîðäèíà- Ëåêöèÿ 6 52 òû (x, f(x)). Ìîæíî ëè ïîýòîìó ðàññìàòðèâàòü ãðàôèê ôóíêöèè êàê ñïîñîá çàäàíèÿ íåêîòîðîãî îòíîøåíèÿ? 4. Ïóñòü ìíîæåñòâî Ì ñîñòîèò èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5 è 6. Íà ýòîì ìíîæåñòâå çàäàíû ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ: à) R1(õ, ó): ÷èñëî õ äåëèòñÿ íà ÷èñëî ó; á) R2(õ, ó): ÷èñëà õ è ó òàêîâû, ÷òî | õ – ó | < 3; â) R3(õ, ó): ÷èñëî õ + ó ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì. Çàïèøèòå êàæäîå èç ýòèõ îòíîøåíèé â âèäå òàáëèöû. 5. Äàíû îòíîøåíèÿ íàãðóçêà_ó÷èòåëåé(ôàìèëèÿ:, êëàññ:, ïðåäìåò:) è ðàñïèñàíèå(êëàññ:, ïðåäìåò:, äåíü_íåäåëè:, íîìåð_óðîêà:). Âûáåðèòå 6–7 êëàññîâ âàøåé øêîëû è ñîñòàâüòå äëÿ íèõ òàáëèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå óêàçàííûì îòíîøåíèÿì. §2. Ôóíêöèîíàëüíûå îòíîøåíèÿ Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè — îäíî èç âåëè÷àéøèõ èçîáðåòåíèé ÷åëîâå÷åñêîé ìûñëè. È õîòÿ ñëîâî “ôóíêöèÿ” ó áîëüøèíñòâà ëþäåé àññîöèèðóåòñÿ ñ ìàòåìàòèêîé, íà ñàìîì äåëå ñ ôóíêöèÿìè ÷åëîâåê èìååò äåëî ïîâñåìåñòíî. Íî ïðåæäå, ÷åì ïðèâåñòè ïðèìåðû, ïîäòâåðæäàþùèå ýòî âûñêàçûâàíèå, íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå êàæäîìó ýëåìåíòó îäíîãî ìíîæåñòâà ðîâíî îäíîãî ýëåìåíòà èç äðóãîãî ìíîæåñòâà. Îòìåòèì, ÷òî ýòî “äðóãîå ìíîæåñòâî” ñîâñåì íå îáÿçàíî îòëè÷àòüñÿ îò èñõîäíîãî.  ìàòåìàòèêå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ÷èñëîâûå ôóíêöèè, ò.å. îáà ìíîæåñòâà — ýòî ìíîæåñòâà ÷èñåë. Íà ñàìîì äåëå ýòî ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî. Âîò ïðèìåðû ôóíêöèé: 1) êàæäîìó ÷åëîâåêó ñîïîñòàâëÿåòñÿ åãî ôàìèëèÿ (ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà ëþäåé â íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ñëîâ); 2) êàæäîìó ÷åëîâåêó ñîïîñòàâëÿåòñÿ åãî ðîñò (ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà ëþäåé â íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë); 3) êàæäîìó ãîðîäó Ðîññèè ñîïîñòàâëÿåòñÿ åãî ïî÷òîâûé èíäåêñ (ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà ãîðîäîâ Ðîññèè â ìíîæåñòâî øåñòèçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë); 4) êàæäîé òî÷êå íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîïîñòàâëÿþòñÿ åå ãåîãðàôè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà òî÷åê ïîâåðõíîñòè â íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ïàð, êàæäàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîé — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ñ óêàçàíèåì ñåâåðíîãî èëè þæíîãî, âîñòî÷íîãî èëè çàïàäíîãî ïîëóøàðèé); 5) êàæäîìó íàáîðó îòïå÷àòêîâ ïÿòè ïàëüöåâ ïðàâîé ðóêè, èìåþùèõñÿ â êàðòîòåêå ÌÂÄ, ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷åëîâåê ñ òàêèìè îòïå÷àòêàìè. Ïóñòü íàì äàíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f, ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîìó ýëåìåíòó x èç îäíîãî ìíîæåñòâà ýëåìåíò y äðóãîãî ìíîæåñòâà. Ïî- Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 53 ñêîëüêó y ïî x îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, òî îáû÷íî ïèøóò y = f(x). Îïðåäåëèì îòíîøåíèå R, îáúÿâèâ ïàðó (x, y) íàõîäÿùåéñÿ â îòíîøåíèè R â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè y = f(x). Âïðî÷åì, ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü îòíîøåíèå è äðóãèì îáðàçîì: ïàðà (y, x) íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R, åñëè y = f(x). Òåì ñàìûì, êàæäàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà êàê íåêîòîðîå îòíîøåíèå, è äàæå íå îäíî. Îáðàòíîå, îäíàêî, íåâåðíî — âåäü íå ó êàæäîãî îòíîøåíèÿ ìîæíî òàê âûáðàòü àòðèáóòû, ÷òîáû çíà÷åíèÿ îäíîãî èç íèõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿëè çíà÷åíèÿ äðóãîãî. Ðàññìîòðèì, ê ïðèìåðó, îòíîøåíèå “x ÿâëÿåòñÿ ðîäíûì áðàòîì äëÿ y”. Êîíå÷íî, åñëè â ñåìüå òîëüêî äâà áðàòà, òî äëÿ êàæäîãî x çíà÷åíèå y îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî. Îäíàêî åñòü ñåìüè ñ áîëüøèì ÷èñëîì áðàòüåâ. Ãîâîðÿ î ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèè â âèäå îòíîøåíèÿ, ìû èìåëè â âèäó ëèøü áèíàðíûå îòíîøåíèÿ. Îäíàêî äëÿ ôóíêöèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, êàê è çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, âîâñå íå îáÿçàíû ñîñòîÿòü èç çíà÷åíèé îäíîãî àòðèáóòà. Ñêàæåì, äëÿ ôóíêöèè, ñîïîñòàâëÿþùåé íàáîðó îòïå÷àòêîâ ïÿòè ïàëüöåâ èìÿ, îò÷åñòâî è ôàìèëèþ èõ âëàäåëüöà, àðãóìåíò ñîäåðæèò ïÿòü àòðèáóòîâ, à çíà÷åíèå ôóíêöèè — òðè. Çàïèñûâàÿ ýòó ôóíêöèþ êàê îòíîøåíèå, ìû ïîëó÷èì îòíîøåíèå ñ âîñåìüþ àòðèáóòàìè, ðàçäåëåííûìè íà äâå ãðóïïû: ïåðâàÿ ãðóïïà çàäàåò àðãóìåíò ôóíêöèè, âòîðàÿ — åå çíà÷åíèå. Áóäåì íàçûâàòü îòíîøåíèå ôóíêöèîíàëüíûì, åñëè åãî àòðèáóòû ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû çíà÷åíèÿ îäíîé ãðóïïû àòðèáóòîâ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿëè çíà÷åíèÿ âòîðîé ãðóïïû. Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâàÿ ãðóïïà àòðèáóòîâ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê àðãóìåíò íåêîòîðîé ôóíêöèè, à âòîðàÿ ãðóïïà îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè. Âîâñå íå îáÿçàòåëüíî ïðè ýòîì, ÷òîáû àòðèáóòû îäíîé ãðóïïû áûëè ñîñåäíèìè â çàïèñè îòíîøåíèÿ. Åñëè îòíîøåíèå ôóíêöèîíàëüíî, òî íàáîð àòðèáóòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê àðãóìåíòó ôóíêöèè, çàäàâàåìîé ýòèì îòíîøåíèåì, áóäåì íàçûâàòü êëþ÷åâûì. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà îòíîøåíèå, çàäàííîå óæå ðàññìàòðèâàâøåéñÿ òàáëèöåé Òåëåôîíû (ñì. òàáë. 3). ßñíî, ÷òî àòðèáóò Àäðåñ íå ìîæåò áûòü êëþ÷åâûì, ïîñêîëüêó â îäíîì äîìå îêàçàëîñü íåñêîëüêî òåëåôîíîâ. Åñëè ñðåäè âëàäåëüöåâ èìåþòñÿ îäíîôàìèëüöû, òî àòðèáóò Âëàäåëåö òàêæå íå ìîæåò áûòü êëþ÷åâûì. À âîò Íîìåð òåëåôîíà — ýòî êëþ÷åâîé àòðèáóò. Âïðî÷åì, ñêîðåå âñåãî êëþ÷åâûì áóäåò è íàáîð èç äâóõ àòðèáóòî⠗ Âëàäåëåö-Àäðåñ — ñëèøêîì ìàëà âåðîÿòíîñòü ïðîæèâàíèÿ â îäíîì äîìå îäíîôàìèëüöåâ èëè âëàäåëüöà äâóõ òåëåôîííûõ íîìåðîâ ñðàçó. Äëÿ îòíîøåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî òàáëèöåé, ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé òîãî, ÷òî äàííûé íàáîð àòðèáóòîâ ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì. À èìåííî, Ëåêöèÿ 6 54 íàáîð àòðèáóòîâ êëþ÷åâîé, åñëè â òàáëèöå íåò äâóõ ñòðîê ñ îäèíàêîâûì íàáîðîì çíà÷åíèé ýòèõ àòðèáóòîâ. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Êàêîå îòíîøåíèå íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ôóíêöèîíàëüíûõ îòíîøåíèé. 2.  §1 â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìàòðèâàëîñü îòíîøåíèå áûòü_îòöîì(îòåö: x, ðåáåíîê: y). ßâëÿåòñÿ ëè ýòî îòíîøåíèå ôóíêöèîíàëüíûì? Åñëè äà, òî êàêîé àòðèáóò ñëóæèò àðãóìåíòîì, à êàêîé — çíà÷åíèåì ôóíêöèè? 3. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ìóçûêàëüíîå_ïðîèçâåäåíèå (íàçâàíèå: x, àâòîð: y, õàðàêòåð ïðîèçâåäåíèÿ: z). Âîò ïðèìåðû çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ îòíîøåíèå èìååò ìåñòî: ìóçûêàëüíîå_ïðîèçâåäåíèå(íàçâàíèå: Ïèêîâàÿ äàìà, àâòîð: Ï.È. ×àéêîâñêèé, õàðàêòåð ïðîèçâåäåíèÿ: îïåðà); ìóçûêàëüíîå_ïðîèçâåäåíèå (íàçâàíèå: Ëåáåäèíîå îçåðî, àâòîð: Ï.È. ×àéêîâñêèé, õàðàêòåð ïðîèçâåäåíèÿ: áàëåò); ìóçûêàëüíîå_ïðîèçâåäåíèå (íàçâàíèå: Êàðìåí, àâòîð: Áèçå, õàðàêòåð ïðîèçâåäåíèÿ: îïåðà); ìóçûêàëüíîå_ïðîèçâåäåíèå(íàçâàíèå: ñèìôîíèÿ ¹ 8, àâòîð: Ë. âàí Áåòõîâåí, õàðàêòåð ïðîèçâåäåíèÿ: ñèìôîíèÿ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòî îòíîøåíèå ôóíêöèîíàëüíûì? Åñëè äà, òî êàêîé íàáîð àòðèáóòîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êëþ÷åâîé? 4. Ðàññìîòðèì íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îòíîøåíèå ñóììà(ñëàãàåìîå1: x, ñëàãàåìîå2: y, ðåçóëüòàò: z). Ýòî îòíîøåíèå èìååò ìåñòî äëÿ ÷èñåë x, y è z â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà z = x + y. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî îòíîøåíèå ôóíêöèîíàëüíûì? Åñëè äà, òî êàêîé íàáîð àòðèáóòîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êëþ÷åâîé? §3. Ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè è ëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ Ëîãè÷åñêîé ôóíêöèåé, èëè, ïî-äðóãîìó, ïðåäèêàòîì, íà ìíîæåñòâå M íàçûâàþò òàêóþ ôóíêöèþ îò íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, êîòîðàÿ ïðè ëþáîì íàáîðå çíà÷åíèé ýòèõ àðãóìåíòîâ èç ìíîæåñòâà M ïðèíèìàåò òîëüêî îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé. Îáû÷íî îäíî èç ýòèõ çíà÷åíèé íàçûâàþò Èñòèíà, äðóãîå — Ëîæü.  ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ àíãëèéñêèå ñëîâà òîãî æå ñìûñëà True è False (ðåæå Äà è Íåò èëè 1 è 0). Íåðåäêî ïðåäèêàò íàçûâàþò åùå âûñêàçûâàòåëüíîé ôîðìîé, ïîñêîëüêó ïîñëå ïîäñòàíîâêè âìåñòî ïåðåìåííûõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ïîëó÷àåòñÿ íåêîå óòâåðæäåíèå îá ýòîì íàáîðå ýëåìåíòîâ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì. Íàïðèìåð, ïðåäèêàò “ñóì- Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 55 ìà x è y ðàâíà z” îò òðåõ àðãóìåíòîâ x, y è z, ðàññìàòðèâàåìûé íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Èñòèíà ïðè x = 3, y = 4, z = 7 è çíà÷åíèå Ëîæü ïðè x = 2, y = 2, z = 5. Ïî àíàëîãèè ñ îáùèì îáîçíà÷åíèåì â ìàòåìàòèêå ôóíêöèè êàê f(x1 , x2 , , xn) â êà÷åñòâå îáùåãî îáîçíà÷åíèÿ ïðåäèêàòà ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü Ð(x1, x2, , xn). Âïðî÷åì, âìåñòî Ð ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ëþáàÿ áóêâà ëàòèíñêîãî àëôàâèòà.  ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ïåðåìåííûå x, y è z ñâîáîäíû â òîì ñìûñëå, ÷òî ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó äàííàÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èìååò òðè àðãóìåíòà. Íî íå âñåãäà ÷èñëî àðãóìåíòîâ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ôèãóðèðóþùèõ â åå îïèñàíèè ïåðåìåííûõ. Ðàññìîòðèì, ê ïðèìåðó, òàêîé ïðåäèêàò: “ñóùåñòâóåò x, äëÿ êîòîðîãî ñóììà x è y ðàâíà z”. Õîòÿ â îïèñàíèè ôèãóðèðóþò òðè ïåðåìåííûõ — õ, y è z, — ïîäñòàâëÿòü ÷èñëà ìîæíî òîëüêî âìåñòî äâóõ èç íèõ — y è z. Òàê ÷òî çäåñü òîëüêî äâà àðãóìåíòà: y è z.  òàáë. 7 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ äàííîé ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ íåêîòîðûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ y è z (è ýòîò ïðåäèêàò ìû ðàññìàòðèâàåì íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë). Òàáëèöà 7 y z Çíà÷åíèå ôóíêöèè 1 2 Èñòèíà 2 2 Ëîæü 3 5 Èñòèíà 5 3 Ëîæü Kîììåíòàðèé Ïîäõîäèò x = 1 Íå ñóùåñòâóåò ïîäõîäÿùåãî x Ïîäõîäèò x = 2 Íå ñóùåñòâóåò ïîäõîäÿùåãî x Ïåðåìåííàÿ x â òàêîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ñâÿçàííîé. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííàÿ x ñâÿçàíà êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ. Äëÿ íåãî åñòü ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå: ∃. Ïðîèñõîæäåíèå ýòîãî çíàêà ïðîñòîå: â àíãëèéñêîì ñëîâå Exist — “ñóùåñòâîâàòü” – âçÿòà ïåðâàÿ áóêâà è ñèììåòðè÷íî îòðàæåíà îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ñèìâîëà ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ïðåäèêàò çàïèñûâàåòñÿ òàê: ∃x (x + y = z). Âïðî÷åì, ïåðåìåííàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàííîé è ïî-äðóãîìó. Ðàññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, îïÿòü íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïðåäèêàò “äëÿ ëþáîãî y âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî x + y > z”. Çäåñü ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé ÿâëÿåòñÿ y. Âîò çíà÷åíèÿ ýòîãî ïðåäèêàòà äëÿ íåñêîëüêèõ íàáîðîâ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ x è z. Ëåêöèÿ 6 56 Òàáëèöà 8 x z Çíà÷åíèå ôóíêöèè 1 1 Èñòèíà 1 2 Ëîæü 3 5 Ëîæü 5 3 Èñòèíà Kîììåíòàðèé Ïðè ëþáîì y âåðíî 1+y>1 Íå ïîäõîäèò y = 1 Íå ïîäõîäèò, íàïðèìåð, y = 2 Ïðè ëþáîì y âåðíî 5+y>3  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííàÿ ñâÿçàíà êâàíòîðîì âñåîáùíîñòè. Åãî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì “∀”. Åãî ïðîèñõîæäåíèå àíàëîãè÷íî: îò ñëîâà All — “âñå” – âçÿòà ïåðâàÿ áóêâà è ñèììåòðè÷íî îòðàæåíà îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî êâàíòîðà äàííûé ïðåäèêàò çàïèøåòñÿ òàê: ∀y (x + y > z).  ïðåäèêàòå ìîãóò îêàçàòüñÿ ñâÿçàííûìè íå îäíà, à íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðåäèêàò ∀y ∃x (x + y = z). Èëè äðóãîé ïðåäèêàò: ∃x ∀y (x + y = z). Êàæäûé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèåé îò îäíîãî àðãóìåíòà z, íî ýòî ðàçíûå ôóíêöèè. Íàïðèìåð, íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë ïåðâàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà z ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Èñòèíà, â òî âðåìÿ êàê âòîðàÿ ôóíêöèÿ íà òîì æå ìíîæåñòâå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà z ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Ëîæü. Òàê ÷òî ïîðÿäîê, â êîòîðîì óïîòðåáëåíû êâàíòîðû, èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå. Îòìåòèì, ÷òî åñëè â ïðåäèêàòå âñå ïåðåìåííûå îêàçàëèñü ñâÿçàííûìè, òî òàêîé ïðåäèêàò ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì. Íàïðèìåð, ïðåäèêàò ∀z ∀y ∃x (x + y = z) — ýòî âûñêàçûâàíèå, óòâåðæäàþùåå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë z è y ñóùåñòâóåò èõ ðàçíîñòü (îíà îáîçíà÷åíà ïåðåìåííîé x). Ýòî âûñêàçûâàíèå èñòèííî íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë, íî ëîæíî íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó, îáñóæäàÿ ñâîéñòâà òîãî èëè èíîãî ïðåäèêàòà, íàäî âñåãäà óêàçûâàòü ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì îí ðàññìàòðèâàåòñÿ. Íàä ëîãè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ìîæíî âûïîëíÿòü âñå òå æå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè, êîòîðûå ðàññìàòðèâàëèñü íàìè äëÿ âûñêàçûâàíèé â §1 ëåêöèè 5. Âåäü äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷èñëèòü çíà÷åíèå òàêîé “ñîñòàâíîé” ôóíêöèè, äîñòàòî÷íî çíàòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé, èç êîòîðûõ îíà ñîñòàâëåíà. Íàïðèìåð, ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ P(x1, x 2 , K, x n ) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Èñòèíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ð(x1, x2, , xn) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Ëîæü. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 57 Ïðè ñëîâåñíîì îïèñàíèè ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ïîñòðîåíèå îòðèöàíèÿ ê êàêîìó-ëèáî óòâåðæäåíèþ ìîæíî âûïîëíèòü äîáàâëåíèåì ñëîâîñî÷åòàíèÿ “Íåâåðíî, ÷òî ”, ïîñëå ÷åãî ñëåäóåò èñõîäíîå óòâåðæäåíèå. Íàïðèìåð, îòðèöàíèå âûñêàçûâàíèÿ “ß ïîøåë â êèíî” ìîæíî âûðàçèòü òàê: “Íåâåðíî, ÷òî ÿ ïîøåë â êèíî”. Ïðàâäà, òàêèì îáðàçîì ñâîþ ìûñëü âûðàæàþò êðàéíå ðåäêî. Îáû÷íî ãîâîðÿò: “ß íå ïîøåë â êèíî”. Íî çàìåòüòå, ÷òî íè îäíà èç ôðàç “Íå ÿ ïîøåë êèíî” è “ß ïîøåë íå â êèíî” íå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèåì èñõîäíîãî âûñêàçûâàíèÿ. À òåïåðü ðàññìîòðèì, êàê ñòðîèòñÿ îòðèöàíèå âûñêàçûâàíèÿ, ïîëó÷åííîãî ñâÿçûâàíèåì ïåðåìåíîé ïðè ïîìîùè êâàíòîðà. Âîò ïðèìåð âûñêàçûâàíèÿ: “Âñå ó÷åíèêè íàøåãî êëàññà èìåþò äîìà êîìïüþòåð”. Êîíå÷íî, åãî îòðèöàíèåì ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèå “Íåâåðíî, ÷òî âñå ó÷åíèêè íàøåãî êëàññà èìåþò äîìà êîìïüþòåð”. Íî êàæäîìó ÿñíî, ÷òî ýòî âûñêàçûâàíèå ðàâíîñèëüíî òàêîìó: “Ñóùåñòâóåò ó÷åíèê íàøåãî êëàññà, ó êîòîðîãî äîìà íåò êîìïüþòåðà”. Êàê âèäèòå, ïðè ïîñòðîåíèè îòðèöàíèÿ êâàíòîð âñåîáùíîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ â êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Áîëåå òî÷íî, åñëè ÷åðåç Ð(õ) îáîçíà÷èòü ïðåäèêàò “ó÷åíèê õ èìååò äîìà êîìïüþòåð”, òî èñõîäíîå âûñêàçûâàíèå çàïèøåòñÿ òàê: ∀õ (Ð(õ)). À åãî îòðèöàíèå çàïèøåòñÿ êàê ∃x ( P(x) ). Àíàëîãè÷íî ìîæíî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ïðè ïîñòðîåíèè îòðèöàíèÿ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ çàìåíÿåòñÿ êâàíòîðîì âñåîáùíîñòè. Èòàê, äëÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé, èìåþùèõ âèä Q1x1 Q2x2 Qkxk (Ð(x1, x2, , xk, y1, y2, , yn)), ãäå Q1, Q2, , Qk — ñèìâîëû ∀ èëè ∃, x1, x2, , xk — ñâÿçàííûå ïåðåìåííûå, y1, y2, , yn — ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå ïðåäèêàòà Ð, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèÿ: ïîëó÷àåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, çàïèñàííàÿ â òàêîì æå âèäå, ãäå êàæäûé êâàíòîð âñåîáùíîñòè çàìåíÿåòñÿ êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ è íàîáîðîò, à ïðåäèêàò Ð çàìåíÿåòñÿ åãî îòðèöàíèåì. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Êàêóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ëîãè÷åñêîé? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé. 2. à) Äëÿ ïðåäèêàòà “ñóùåñòâóåò x, äëÿ êîòîðîãî ñóììà x è y ðàâíà z”, ðàññìàòðèâàåìîãî íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íàçîâèòå åùå îäíó ïàðó çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ ýòîò ïðåäèêàò èñòèíåí, è îäíó ïàðó, äëÿ êîòîðîé îí ëîæåí. á) Äëÿ òîãî æå ïðåäèêàòà, ðàññìàòðèâàåìîãî íà ìíîæåñòâå ñëîâ ðóññêîãî ÿçûêà (ñëîæåíèå çäåñü ïîíèìàåòñÿ êàê îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè), îïðåäåëèòå çíà÷åíèå ýòîãî ïðåäèêàòà, åñëè y = åëü, z = ãàçåëü; y = ãåëü, z = ãàçåëü; y = ãàçåëü, z = ãàçåëü. 58 Ëåêöèÿ 6 3. Äëÿ êàæäîãî èç ïðåäèêàòîâ, ïðèâåäåííûõ â ïóíêòàõ à) – â), óêàæèòå, ñêîëüêî àðãóìåíòîâ îí èìååò, è íàçîâèòå, êàêèå åãî ïåðåìåííûå ñâîáîäíû, à êàêèå ñâÿçàíû. à) “Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ìåòàëë x, êîòîðûé â ðÿäó àêòèâíîñòè ðàñïîëàãàåòñÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè y è z”; á) “Íåò òàêîãî æèâîòíîãî x, êîòîðîå â ðÿäó ýâîëþöèè ðàñïîëàãàëîñü áû ìåæäó æèâîòíûìè y è z”; â) “Äëÿ êàæäîãî õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà x ñóùåñòâóåò õèìè÷åñêèé ýëåìåíò y, ñ êîòîðûì x îáðàçóåò ñîåäèíåíèå”. 4. Ðàññìîòðèòå ïðåäèêàòû, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: à) “õ — íå÷åòíîå ÷èñëî è äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà ó âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî õ ≤ ó”, á) “õ — ïðîñòîå ÷èñëî è äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà ó âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî õ ≤ ó”. Äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ïðåäèêàòîâ óêàæèòå âñå òå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ, äëÿ êîòîðîãî äàííûé ïðåäèêàò èñòèíåí. 5. Ðàññìîòðèì ïðåäèêàò Ð(õ, ó): “ôèãóðà õ âïèñàíà â ôèãóðó ó”. à) Ïóñòü õ ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, à ó — ìíîæåñòâî âñåõ îêðóæíîñòåé íà òîé æå ïëîñêîñòè. Êàæäîå èç âûñêàçûâàíèé ∀õ ∀ó (Ð(õ, ó)), ∀õ ∃ó (Ð(õ, ó)), ∃ x ∀y (Ð(õ, ó)), ∃õ ∃ó (Ð(õ, ó)) çàïèøèòå ïðåäëîæåíèåì ðóññêîãî ÿçûêà. Îïðåäåëèòå, êàêèå èç íèõ èñòèííû, à êàêèå ëîæíû. á) Âûïîëíèòå òî æå çàäàíèå, ÷òî è â ïóíêòå à), åñëè õ ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ îêðóæíîñòåé, ðàñïîëîæåííûõ íà íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, à ó — ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ òîé æå ïëîñêîñòè. 6. Ðàññìîòðèì ïðåäèêàò Ð(õ, ó): “ôèãóðà õ âïèñàíà â ôèãóðó ó”. à) Ïóñòü õ ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ, à ó — ìíîæåñòâî âñåõ îêðóæíîñòåé. Óêàæèòå, äëÿ êàêèõ èç ÷åòûðåõ âàðèàíòîâ êâàíòîðíûõ ïðèñòàâîê ∀õ ∀ó, ∀õ ∃ó, ∃ x ∀y, ∃õ ∃ó ïîñëå ñâÿçûâàíèÿ èìè ïåðåìåííûõ â ïðåäèêàòå Ð(õ, ó) ïîëó÷àåòñÿ èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. á) Âûïîëíèòå òî æå çàäàíèå, ÷òî è â ïóíêòå à), åñëè õ ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ îêðóæíîñòåé, à ó — ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. 7.  îáúÿñíèòåëüíîì òåêñòå ïàðàãðàôà áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè ∀õ ∃ó (Ð(õ, ó, z)) è ∃ó ∀õ (Ð(õ, ó, z)), âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû. à) Ðàçëè÷íû ëè ôóíêöèè ∀õ ∀ó (Ð(õ, ó, z)) è ∀ó ∀õ (Ð(õ, ó, z)), ãäå Ð(õ, ó, z) — ïðîèçâîëüíûé ïðåäèêàò îò òðåõ ïåðåìåííûõ? À ôóíêöèè ∃õ ∃ó (Ð(õ, ó, z)) è ∃ó ∃õ (Ð(õ, ó, z))? á) Èçâåñòíî, ÷òî âûñêàçûâàíèå ∃ó ∀õ (Ð(õ, ó)) èñòèííî. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âûñêàçûâàíèå ∀õ ∃ó (Ð(õ, ó)) òîæå èñòèííî? Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 59 8. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë çàäàí ïðåäèêàò U(x, y, z) — ÷èñëî z ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë õ è ó. Èñïîëüçóÿ ýòîò ïðåäèêàò, çàïèøèòå ïîäõîäÿùåé ôîðìóëîé êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé: à) ÷èñëî õ — äåëèòåëü ÷èñëà ó; á) ÷èñëà õ è ó ðàâíû; â) ÷èñëî õ ðàâíî 1; ã) ÷èñëî õ ÷åòíî; ä) ÷èñëî õ ðàâíî 2; å) ÷èñëà õ è ó âçàèìíî ïðîñòû (ò.å. èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ðàâåí 1); æ) ÷èñëî õ ïðîñòîå; ç) ÷èñëî õ ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ïðîñòîãî ÷èñëà. 9. à) Íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë çàäàí ïðåäèêàò ∀õ (õ2ó – õ(ó – 3) + 1 > 0). Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé ó, äëÿ êîòîðûõ ýòîò ïðåäèêàò èñòèíåí. á) Âûïîëíèòå òî æå çàäàíèå, ÷òî è à), åñëè ïðåäèêàò çàäàí íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. §4. Ëîãèêà ÑÓÁÄ Access Ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàâøèåñÿ íàìè â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, áûëè äîâîëüíî ïðîñòûìè è ëåãêî çàïèñûâàëèñü íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå. Íî êîìïüþòåð, êàê âû çíàåòå, ïîíèìàåò òîëüêî ôîðìàëüíûé ÿçûê. È ëþáîé ôîðìàëüíûé èñïîëíèòåëü, êàêèì, â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ÑÓÁÄ Access, òîæå ïîíèìàåò òîëüêî ôîðìàëüíûé ÿçûê. Âîò îá ýòîì ÿçûêå è ïîéäåò ó íàñ ðå÷ü. Îñíîâó åãî ñîñòàâëÿþò ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè, î êîòîðûõ ìû ðàññêàçûâàëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. À òåïåðü âñïîìíèòå âàø îïûò îáðàùåíèÿ ñ îáû÷íûìè ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè. Èçîáðåòåíèå áóêâåííûõ îáîçíà÷åíèé ïåðåìåííûõ è ÿçûêà ôîðìóë äëÿ çàïèñè ñâÿçåé ìåæäó íèìè ñòàëî ðåâîëþöèîííûì øàãîì. Âîò è äëÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé åñòåñòâåííî ââåñòè íåêîòîðûé ÿçûê ôîðìóë, ïîçâîëÿþùèé îòíîñèòåëüíî ïðîñòî è äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíî çàïèñûâàòü èõ. Ñòðîÿòñÿ ýòè ôîðìóëû, êàê è ôîðìóëû â àëãåáðå, èç íåêîòîðûõ “êèðïè÷èêîâ”, ñîåäèíåííûõ çíàêàìè îïåðàöèé. Äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé “êèðïè÷èêàìè” âûñòóïàþò ÷èñëà è ïåðåìåííûå, â êà÷åñòâå îïåðàöèé âûñòóïàþò àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè — ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, âû÷èòàíèå è äåëåíèå, — à òàêæå íåêîòîðûå ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè (ïîêàçàòåëüíàÿ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ò.ï.). ×òî æå âûñòóïàåò â ðîëè “êèðïè÷èêî┠ëîãè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ? Ýòî íåêîòîðûå ñòàíäàðòíûå ïðåäèêàòû, îïðåäåëÿþùèå, èñòèííî èëè ëîæíî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ îíè íàõî- 60 Ëåêöèÿ 6 äÿòñÿ â çàäàííîì îòíîøåíèè.  êà÷åñòâå òàêèõ îòíîøåíèé îáû÷íî ôèãóðèðóþò îòíîøåíèÿ ñðàâíåíèÿ = (ðàâíî), <> (íå ðàâíî), < (ìåíüøå), > (áîëüøå) è ò.ï. Áîëåå òî÷íî ìîæíî ñêàçàòü òàê: àòîìàðíûì íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå âèäà À θ Â, ãäå À è  — îäíîòèïíûå âûðàæåíèÿ îò ïåðåìåííûõ, à θ — îäèí èç ñèìâîëîâ îòíîøåíèÿ ñðàâíåíèÿ. Îäíîòèïíîñòü âûðàæåíèé îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èõ çíà÷åíèé äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ìû ïîëó÷àåì çíà÷åíèÿ îäíîãî òèïà, íàïðèìåð, ÷èñëîâîãî, èëè ñèìâîëüíîãî, èëè åùå êàêîãî-ëèáî. Òåïåðü ìîæíî ôîðìàëüíî îïðåäåëèòü ëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü èõ áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. 1. Âñÿêîå àòîìàðíîå îòíîøåíèå åñòü ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå. 2. Èñòèíà è Ëîæü — ëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. 3. Åñëè À — ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå, òî âûðàæåíèå (À) — òîæå ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå. 4. Åñëè À è  — ëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, òî âûðàæåíèÿ À è Â, À èëè  è íå  òîæå ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìè. Âîò ïðèìåðû ëîãè÷åñêèõ âûðàæåíèé: íå (õ = “ÑËÎ͔), (õ = 2 + 2) è (ó > 2*(õ + 3)), Ïðàâèëà 1–4 îïðåäåëÿþò ôîðìàëüíóþ ãðàììàòèêó ÿçûêà ëîãè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè ëîãè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ìû èñïîëüçîâàëè íå âñå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè, íî ýòî íå ñêàçûâàåòñÿ íà âîçìîæíîñòÿõ äàííîãî ÿçûêà, ïîñêîëüêó, êàê âû çíàåòå, îïåðàöèè ñëåäîâàíèÿ, ðàâíîñèëüíîñòè, èñêëþ÷àþùåãî èëè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç óêàçàííûå òðè îïåðàöèè. Íî äåëî òóò íå â ýêîíîìèè èñïîëüçóåìûõ îïåðàöèé, à â òîì, ÷òî ÑÓÁÄ Access âîñïðèíèìàåò, êàê ìû ÷óòü ïîçæå óáåäèìñÿ, ÿçûê ëîãè÷åñêèõ âûðàæåíèé ñ îïåðàöèÿìè îòðèöàíèÿ, äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè. Âïðî÷åì, ñ ëîãè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè âû íàâåðíÿêà óæå âñòðå÷àëèñü, èçó÷àÿ ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ è íóæíû èìåííî äëÿ òîãî, ÷òîáû êîìïüþòåðó íà ïîíÿòíîì äëÿ íåãî ÿçûêå ñôîðìóëèðîâàòü, ñ êàêîé ëîãè÷åñêîé ôóíêöèåé åìó íàäëåæèò èìåòü äåëî, ÷òîáû ïîìî÷ü ïîëüçîâàòåëþ ðåøèòü çàäà÷ó. Ïóñòü òåïåðü íà ìíîæåñòâå M íàì äàíî íåêîòîðîå îòíîøåíèå ñ àòðèáóòàìè x1, x2, , xn. Ðàññìîòðèì ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ îò òåõ æå ïåðåìåííûõ (íå îáÿçàòåëüíî âñåõ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé àòðèáóòîâ, êîòîðûé ïðèíàäëåæèò äàííîìó îòíîøåíèþ. Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ âìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðèìåò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå. Âûáåðåì èç âñåõ íàáîðîâ çíà÷åíèé àòðèáóòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ äàííîìó îòíîøåíèþ, âñå òå, äëÿ êîòîðûõ äàííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Èñòèíà. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 61 Òàêóþ îïåðàöèþ íàä îòíîøåíèåì íàçûâàþò ôèëüòðàöèåé, à ñàìó ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ôèëüòðîì. Åñëè îòíîøåíèå çàäàíî òàáëèöåé, òî ôèëüòðàöèÿ ïðèâîäèò ê îòáîðó òåõ ñòðîê, â êîòîðûõ ñòîÿò çíà÷åíèÿ àòðèáóòîâ, äàþùèõ èñòèííîå çíà÷åíèå çàäàííîé ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè. Êàê âû ïîìíèòå, òàáëèöû — ýòî îñíîâíîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ èíôîðìàöèè â ðåëÿöèîííûõ áàçàõ äàííûõ. Îíè è ðåëÿöèîííûìè íàçûâàþòñÿ, ïîòîìó ÷òî òàáëèöàìè óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü îòíîøåíèÿ, à ïî-àíãëèéñêè îòíîøåíèå — ýòî relation. Òå, êòî çíàêîì ñ ÑÓÁÄ Access, íàâåðíÿêà ñòðîèëè ôèëüòð ñ ïîìîùüþ áëàíêà QBE (ýñêèç áëàíêà ïðåäñòàâëåí òàáë. 9). Òàáëèöà 9 Ïîëå Ñîðòèðîâêà Óñëîâèå îòáîðà èëè Âåñ Èìÿ > 90 <=50 Âàñÿ Ìàðèÿ Êàê âèäíî, áëàíê QBE íà÷èíàåòñÿ ñòðîêîé ÏÎËÅ.  íåé óêàçûâàþòñÿ àòðèáóòû, ïî êîòîðûì îñóùåñòâëÿåòñÿ ëèáî ôèëüòðàöèÿ, ëèáî ñîðòèðîâêà. Íèæå ðàñïîëàãàåòñÿ ñòðîêà ÑÎÐÒÈÐÎÂÊÀ, â êîòîðîé äëÿ íåêîòîðûõ àòðèáóòîâ óêàçûâàåòñÿ ïîðÿäîê ñîðòèðîâêè (ïî óáûâàíèþ èëè ïî âîçðàñòàíèþ). Åùå íèæå ðàñïîëàãàåòñÿ ñòðîêà ÓÑËÎÂÈÅ ÎÒÁÎÐÀ è íåñêîëüêî ñòðîê ÈËÈ (èç íèõ îáû÷íî âèäíà òîëüêî îäíà). Ôàêòè÷åñêè áëàíê QBE — ýòî ñíîâà òàáëèöà, â êëåòêàõ êîòîðîé äëÿ àòðèáóòà óêàçûâàþòñÿ îïåðàöèè ñðàâíåíèÿ è çíà÷åíèÿ, ñ êîòîðûìè ñðàâíèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ àòðèáóòà. Êàæäàÿ êëåòêà, òåì ñàìûì, ïðåäñòàâëÿåò ïðîñòåéøåå ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå èëè åãî îòðèöàíèå, òîëüêî èìÿ àòðèáóòà âûíåñåíî êàê çàãîëîâîê ñòîëáöà. Âûðàæåíèÿ èç êëåòîê, ñòîÿùèõ â îäíîé ñòðîêå, ñîåäèíÿþòñÿ îïåðàöèåé È, ò.å. êàæäàÿ ñòðîêà — ýòî íåêîòîðîå ñëîæíîå ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå. À âîò ìåæäó ñîáîé ýòè “ñòðîêîâûå” âûðàæåíèÿ ñîåäèíÿþòñÿ óæå îïåðàöèåé ÈËÈ, î ÷åì è íàïîìèíàåò ñëåâà îò ñòðîêè ñòîÿùåå ñëîâî. Òàêèì îáðàçîì, íà ïðèâåäåííîì â êà÷åñòâå ïðèìåðà áëàíêå QBE ïåðâàÿ ñòðîêà çàäàåò ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå (Âåñ > 90 È Èìÿ = Âàñÿ). Âû, êîíå÷íî, âïðàâå ñïðîñèòü, îòêóäà âçÿëñÿ çíàê “=”, ñâÿçûâàþùèé àòðèáóò Èìÿ ñî çíà÷åíèåì Âàñÿ. Îòâåò ïðîñò: ðàçðàáîò÷èêè Access äëÿ îáëåã÷åíèÿ æèçíè ïîëüçîâàòåëþ ðàçðåøèëè åãî íå ïèñàòü íà ýòîì áëàíêå (íî è íå çàïðåòèëè åãî ïèñàòü!). Äëÿ âòîðîé ñòðîêè ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå (Âåñ ≤ 3 È Èìÿ = Ìàðèÿ). Òåïåðü ýòè äâà âûðàæåíèÿ íàäî ñîåäèíèòü îïåðàöèåé ÈËÈ. 62 Ëåêöèÿ 6 Òåïåðü, ìû íàäååìñÿ, âàì ïîíÿòíî, ÷òî íà áëàíê QBE âû ñïåöèàëüíûì îáðàçîì çàïèñûâàëè íåêîòîðûé ïðåäèêàò (áåç êâàíòîðîâ!), â êîòîðîì èìåíà àòðèáóòî⠗ ýòî èìåíà ïåðåìåííûõ, ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè È â íåì ñîåäèíåíû àòîìàðíûå îòíîøåíèÿ, ñòîÿùèå â îäíîé ñòðîêå, à ïîëó÷èâøèåñÿ òàêèì îáðàçîì ñëîæíûå âûðàæåíèÿ ñîåäèíÿþòñÿ îïåðàöèåé ÈËÈ. Èòàê, íà áëàíêå QBE çàïèñûâàåòñÿ íå ÷òî èíîå, êàê ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå. È îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïðåäñòàâëåíî îíî â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, — ÷òîáû ýòî óâèäåòü, äîñòàòî÷íî “ñïèñàòü” åãî ñ áëàíêà QBE ïî óêàçàííûì ïðàâèëàì. Íàïîìíèì, ÷òî ëþáîå ñëîæíîå ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî ÷åðåç ïðîñòûå ñ ïîìîùüþ äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû. Òàê ÷òî ôèëüòð â ÑÓÁÄ Access — ýòî ôàêòè÷åñêè áåñêâàíòîðíîå ëîãè÷åñêîå âûðàæåíèå, çàïèñàííîå â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Ïðàâäà, äàëåêî íå ëþáîå. Ó íåãî â êàæäîì àòîìàðíîì ïðåäèêàòå ñëåâà ñòîèò îäíà ïåðåìåííàÿ (àòðèáóò), à ñïðàâà — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà èëè âûðàæåíèå áåç ïåðåìåííûõ. Íàâåðíîå, ó âàñ âîçíèê âîïðîñ — ïî÷åìó â ÿçûêå ëîãè÷åñêèõ âûðàæåíèé ÑÓÁÄ Access îòñóòñòâóþò êâàíòîðû? Îòâåò òàêîâ.  ëþáîé áàçå äàííûõ, ñîçäàííîé ñ ïîìîùüþ äàííîé ÑÓÁÄ, ïðèñóòñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé ëþáîãî àòðèáóòà. Ïðåäñòàâèì, ÷òî ó íåêîòîðîãî àòðèáóòà õ ìíîæåñòâî âñåõ åãî çíà÷åíèé — ýòî à1 , à2, , àn. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî òîãäà äëÿ ëþáîãî ïðåäèêàòà Ð(x, y1 , y2, , yn) âûðàæåíèå ∀õ (Ð(x, y1, y2, , yn)) ðàâíîñèëüíî êîíúþíêöèè Ð(à1, y1 , y2 , , yk) è Ð(à2, y1, y2, , yk) è è Ð(àn, y1, y2, , yk), à âûðàæåíèå ∃õ (Ð(x, y1, y2, , yn)) ðàâíîñèëüíî äèçúþíêöèè Ð(à1, y1 , y2, , yk) èëè Ð(à2, y1, y2, , yk) èëè èëè Ð(àn, y1, y2 , , yk). Òàê ÷òî â êâàíòîðàõ íóæäû íåò. Îäíàêî ýòî íå âñÿ ïðàâäà î ÑÓÁÄ Access. Îáðàòèìñÿ ê íàøåìó “òåëåôîííîìó” ïðèìåðó. Êàê ìû óæå îáñóæäàëè, â áàçå äàííûõ òåëåôîííîé ñòàíöèè, êîíå÷íî, èìååòñÿ òàáëèöà, â êîòîðîé óêàçàíî, êòî èìåííî ÿâëÿåòñÿ àáîíåíòîì äàííîãî òåëåôîííîãî íîìåðà (òàáë. 2). Îíà îáíîâëÿåòñÿ íå÷àñòî. Êðîìå òîãî, îáÿçàòåëüíî èìååòñÿ òàáëèöà ñîâåðøåííûõ òåëåôîííûõ çâîíêîâ (òàáë. 3), êîòîðàÿ ïîñòîÿííî îáíîâëÿåòñÿ. Èìåþòñÿ åùå òàáëèöû, ñîäåðæàùèå ñâåäåíèÿ îá îïëàòå òåëåôîííûõ ðàçãîâîðîâ èõ âëàäåëüöàìè, î âûñòàâëåíèè ñ÷åòîâ è ò.ä. Èìåòü âñå ýòè ñâåäåíèÿ â îäíîé òàáëèöå íå òîëüêî íåóäîáíî, íî è íåýôôåêòèâíî, ïîñêîëüêó åå îáúåì áóäåò îãðîìåí. Íî âîò íàñòóïàåò ìîìåíò, êîãäà íàäî âûïèñàòü àáîíåíòàì ñ÷åòà çà òåêóùèé ìåñÿö. Òåïåðü íàäî ïî òàáëèöå âûçîâîâ ÷åðåç íîìåð òåëåôîíà îïðåäåëèòü àáîíåíòà è çàïèñàòü â ñ÷åò âñå îòíîñÿùèåñÿ ê íåìó âûçîâû. Íà ÿçûêå îòíîøåíèé ýòî ìîæíî âûðàçèòü òàê. Ïóñòü S(x, y, z) — îòíîøåíèå, ïîêàçûâàþùåå, ÷òî ïî òåëåôîíó ñ íîìåðîì õ áûë ðàçãîâîð ñ ïóíêòîì ó ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ z ìèíóò, à À(õ, v) — îòíîøåíèå, ïîêàçûâàþùåå, ÷òî v ÿâëÿåòñÿ âëàäåëüöåì òåëåôîíà ñ íîìåðîì Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 63 õ. Íàì æå íóæíî îòíîøåíèå Ì(v, ó, z), ïîêàçûâàþùåå, ÷òî àáîíåíò v ðàçãîâàðèâàë ñ ïóíêòîì ó â òå÷åíèå z ìèíóò. Îòíîøåíèå Ì îïðåäåëÿåòñÿ òàê: èìååò ìåñòî îòíîøåíèå Ì(v, ó, z), åñëè ñóùåñòâóåò õ, äëÿ êîòîðîãî S(x, y, z) è À(õ, v).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî Ì(v, ó, z) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì îòíîøåíèé S(x, y, z) è À(õ, v). Êàê âèäèòå, ïîÿâèëñÿ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïîñêîëüêó Access — ìíîãîòàáëè÷íàÿ ÑÓÁÄ, òî â íåé ïðèõîäèòñÿ âûïîëíÿòü îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ îòíîøåíèé. Ïðàâäà, â äîêóìåíòàöèè ê ýòîé ÑÓÁÄ òàêàÿ îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ñîåäèíåíèåì òàáëèö. Ïîñêîëüêó Access èìååò ãðàôè÷åñêèé èíòåðôåéñ, òî óñòàíîâëåíèå ñîåäèíåíèÿ òàáëèö ïî íóæíûì àòðèáóòàì ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ìûøêè “ïðîòÿãèâàíèåì âåðåâî÷êè” ìåæäó ýòèìè àòðèáóòàìè. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíà òàêàÿ ñâÿçü ìåæäó àòðèáóòàìè à1 è á1 äâóõ òàáëèö (îäíà íàçâàíà íàìè À, äðóãàÿ Á). Åñëè îá àòðèáóòàõ íè÷åãî íå ñêàçàíî (êàê áûëî â íàøåì ñëó÷àå), òî ñâÿçü âûãëÿäèò èìåííî òàê. Åñëè æå êàêîé-ëèáî àòðèáóò îáúÿâëåí êëþ÷îì (ñì. §34), òî îêîëî íåãî ïîÿâëÿåòñÿ öèôðà 1, à íà äðóãîì êîíöå ïîÿâèòñÿ çíà÷îê “∞”. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ ñòðîêà òàáëèöû À ìîæåò îêàçàòüñÿ ñâÿçàííîé ñ íåñêîëüêèìè ñòðîêàìè òàáëèöû Á, íî êàæäàÿ ñòðîêà òàáëèöû Á ñâÿçàíà ðîâíî ñ îäíîé ñòðîêîé òàáëèöû À. Òàêóþ ñâÿçü òàáëèö íàçûâàþò ñâÿçüþ ïî òèïó “îäèí êî ìíîãèì”. Åñëè æå îáà àòðèáóòà îáúÿâëåíû êëþ÷åâûìè, òî íà îáîèõ êîíöàõ ïîÿâëÿþòñÿ 1, êîòîðûå îçíà÷àþò, ÷òî â îáåèõ òàáëèöàõ êàæäàÿ ñòðîêà ñâÿçàíà ðîâíî ñ îäíîé ñòðîêîé èç äðóãîé òàáëèöû. Òàêóþ ñâÿçü íàçûâàþò ñâÿçüþ ïî òèïó “îäèí ê îäíîìó”. Ðàçóìååòñÿ, ÷òîáû àòðèáóò ìîæíî áûëî îáúÿâèòü êëþ÷îì, íóæíî, ÷òîáû îí óäîâëåòâîðÿë òðåáîâàíèÿì, ñôîðìóëèðîâàííûì â §2. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó â ÿçûêå ëîãè÷åñêèõ âûðàæåíèé, íà êîòîðîì â ÑÓÁÄ Access çàïèñûâàþòñÿ çàïðîñû íà ôèëüòðàöèþ, íå íóæíû êâàíòîðû. 2. Äàíû îòíîøåíèÿ íàãðóçêà_ó÷èòåëåé(ôàìèëèÿ:, êëàññ_è_ïðåäìåò:) è ðàñïèñàíèå(êëàññ_è_ïðåäìåò:, äåíü_íåäåëè:, íîìåð_óðîêà:). Êàêóþ èíôîðìàöèþ íåñåò ïðîèçâåäåíèå ýòèõ îòíîøåíèé? 3. Ïóñòü ìíîæåñòâî Ì ñîñòîèò èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5 è 6. Íà ýòîì ìíîæåñòâå çàäàíû ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ: à) R1(õ, ó): ÷èñëî õ äåëèòñÿ íà ÷èñëî ó; Ëåêöèÿ 6 64 á) R2(y, z): ÷èñëà y è z òàêîâû, ÷òî | y – z | < 3. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå îòíîøåíèé R1 è R2. (Ñîâåò: âîñïîëüçóéòåñü òàáëèöàìè, ñîñòàâëåííûìè âàìè ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ 4 èç §1.) 4. Äëÿ êàêèõ öåëåé èñïîëüçóåòñÿ ñîåäèíåíèå òàáëèö â ÑÓÁÄ Access? 5. Êàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ñâÿçü àòðèáóòîâ ðàçíûõ òàáëèö, åñëè îáà àòðèáóòà ÿâëÿþòñÿ êëþ÷åâûìè? §3. Êîìïüþòåðíàÿ ãåîìåòðèÿ Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â êîìïüþòåðíîé ãåîìåòðèè öåëåñîîáðàçíî ðàçëè÷àòü äâà áîëüøèõ êëàññà çàäà÷. Ê îäíîìó èç íèõ îòíîñÿòñÿ çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ è êîíôèãóðàöèé ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Ê äðóãîìó — çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèé íà ýêðàíå êîìïüþòåðà. Ýòè çàäà÷è íåðåäêî íàçûâàþò çàäà÷àìè âèçóàëèçàöèè, êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè è ò.ï. Èìåÿ â îñíîâå ãåîìåòðè÷åñêóþ ïîäîïëåêó, îíè îïèðàþòñÿ íà ôèçè÷åñêèå è ôèçèîëîãè÷åñêèå çàêîíû âîñïðèÿòèÿ èçîáðàæåíèé. Ó÷åò ýòèõ çàêîíîâ òîæå, êîíå÷íî, òðåáóåò îïðåäåëåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, íåðåäêî âåñüìà èçîùðåííîãî, íî ìû îñòàâèì ýòè âîïðîñû â ñòîðîíå. À âîò ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïîäîïëåêà çäåñü òà æå, ÷òî è â çàäà÷àõ ïåðâîãî êëàññà, — èññëåäîâàíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ è êîíôèãóðàöèé. Ïîýòîìó íà ýòèõ çàäà÷àõ ìû è ñîñðåäîòî÷èì ñâîå âíèìàíèå. §4. Ãåîìåòðèÿ, ê êîòîðîé ìû ïðèâûêëè Âñå çíàþò, ÷òî ãåîìåòðèþ, êîòîðóþ êàæäûé èç íàñ èçó÷àë â øêîëå, íàçûâàþò åâêëèäîâîé. Êîíå÷íî, ýòî â ïåðâóþ î÷åðåäü äàíü òîìó, ÷òî èìåííî Åâêëèä ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæèë èçâåñòíûå ê åãî âðåìåíè ãåîìåòðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, ïðè÷åì ñäåëàë ýòî, ãîâîðÿ ñîâðåìåííûì ÿçûêîì, íà îñíîâå àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà è äåäóêòèâíîãî ïîäõîäà ê èõ îáîñíîâàíèþ. Îòêðûòèå íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ñîâåðøåííîå Ê.Ãàóññîì, Í.Ëîáà÷åâñêèì è ß.Áîéÿè, âîâñå íå ïðèâåëî ê èñ÷åçíîâåíèþ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè èç øêîëüíîãî êóðñà. È ýòî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî, êàê ïîçæå ïîêàçàë À.Ýéíøòåéí, çàêîíû åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ñïðàâåäëèâû òîëüêî â àáñîëþòíî ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. òàì, ãäå íàñ ñ âàìè íåò, íå áûëî è íèêîãäà íå áóäåò. Íèêîãî íå ñìóùàåò äàæå òîò ôàêò, ÷òî äîñëîâíî “ãåîìåòðèÿ” îçíà÷àåò “çåìëåìåðèå”, à òî, ÷òî Çåìëÿ — íå ïëîñêîñòü, òåïåðü çíàþò è äåòè â äåòñêîì ñàäó. Ðå÷ü, îäíàêî, ñåé÷àñ íå î òîì, â êàêîé ìåðå çàêîíû åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà îòðàæàþò ðåàëüíîñòü, — â êîíöå êîíöîâ ìû è òàê ïîíèìàåì, ÷òî ëþáàÿ ìîäåëü ëèøü äî îïðåäåëåííîé ñòåïåíè îòðàæàåò îêðóæàþùèé Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 65 ìèð1. Åâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ — âñåãî ëèøü îäíà èç ìîäåëåé, ïðè÷åì ëîêàëüíî (ò.å. â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè) îíà âåñüìà óñïåøíî ñïðàâëÿåòñÿ ñî ñâîåé çàäà÷åé. Âåäü ÷òîáû ñïðîåêòèðîâàòü è ïîñòðîèòü äîì, íàì âîâñå íå òðåáóåòñÿ ó÷èòûâàòü êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè Çåìëè êàê ïëàíåòû. Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ åùå îäíî îáñòîÿòåëüñòâî, ñîïðîâîæäàþùåå èçó÷åíèå ãåîìåòðèè “ïî Åâêëèäó”.  ñîçíàíèè êàæäîãî ó÷åíèêà, à â ñèëó âñåîáùíîñòè îáðàçîâàíèÿ — êàæäîãî ÷åëîâåêà, çàêðåïëÿþòñÿ âïîëíå êîíêðåòíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû: îáúåêòû è êîíôèãóðàöèè. Îòðåçîê, ïðÿìàÿ, ëó÷, òðåóãîëüíèê, ìíîãîóãîëüíèê, îêðóæíîñòü è ò.ï., èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå — âîò òîò ãåîìåòðè÷åñêèé ìèð, êîòîðûé îñâàèâàåòñÿ íàìè â ñòåíàõ îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû. È ñîâåðøåííî íåâàæíî, ÷òî â ðåàëüíîé æèçíè íèêòî èç íàñ íèêîãäà íå áóäåò äîêàçûâàòü ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ, ïîëüçóÿñü èçó÷åííûìè òðåìÿ ïðèçíàêàìè, âðÿä ëè êîìó-òî èç íàñ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ âïèñûâàòü îêðóæíîñòü â òðåóãîëüíèê, ñòðîÿ äëÿ ýòîãî òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ, è äåëàòü ìíîãîå äðóãîå, ÷òî äåëàþò ó÷åíèêè íà óðîêàõ ãåîìåòðèè (íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî äåëàþò èçáðàííûå èç íèõ íà ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàäàõ). Ìû ïðèó÷åíû ê äîèñòîðè÷åñêèì èíñòðóìåíòàì — öèðêóëþ è ëèíåéêå, è íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî âñÿ øêîëüíàÿ ãåîìåòðèÿ ïðèñïîñîáëåíà èìåííî ê ýòèì èíñòðóìåíòàì ñîçäàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ êîíôèãóðàöèé2. Ñëåïî ñëåäóÿ ýòèì ñòåðåîòèïàì, ñîçäàâàëèñü è ïåðâûå ãðàôè÷åñêèå ðåäàêòîðû — 1 Ýòî ïðèíöèïèàëüíî âàæíîå ïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç êðàåóãîëüíûõ êàìíåé èíôîðìàòèêè. Àêàäåìèê À.Ï. Åðøîâ, êîòîðîìó øêîëüíàÿ èíôîðìàòèêà îáÿçàíà ñâîèì ñóùåñòâîâàíèåì, ïèñàë (ñì. Î ïðåäìåòå èíôîðìàòèêè // Âåñòíèê ÀÍ ÑÑÑÐ, 1984, ¹ 2): “Êàê ñàìîñòîÿòåëüíàÿ íàóêà èíôîðìàòèêà âñòóïàåò â ïðàâà òîãäà, êîãäà â ðàìêàõ ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòíîé íàóêè ñòðîèòñÿ èíôîðìàöèîííàÿ ìîäåëü òîãî èëè èíîãî ôðàãìåíòà äåéñòâèòåëüíîñòè...  èíôîðìàòèêå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé è ìàíèïóëèðîâàíèÿ ñ íèìè”. Ïîíèìàíèå, ÷òî ðåøåíèå ÷åëîâåêîì ëþáîé æèçíåííîé çàäà÷è îïèðàåòñÿ íà ïîñòðîåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè è ÷òî êàæäàÿ ìîäåëü èìååò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü àäåêâàòíîñòè, — âîò òî, ÷òî çàêëàäûâàåò èíôîðìàòèêà â ìèðîâîççðåíèå ÷åëîâåêà. È â îòëè÷èå îò ôèëîñîôèè äåëàåò ýòî ñïîêîéíî è êîíñòðóêòèâíî, áåç ñïîðîâ äî õðèïîòû, ïîçíàâàåì íàø ìèð èëè íåò, ìîæíî ëè âîéòè â ðåêó òîëüêî îäèí ðàç èëè âîîáùå íè ðàçó. 2 Ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû, âïèòàííûå íàìè ñî øêîëüíîé ñêàìüè, äîìèíèðóþò â íàøåì ñîçíàíèè âñþ æèçíü. Îíè äèêòóþò ñòàíäàðòû ïðîìûøëåííûõ îáðàçöîâ. Ìû ñòðîèì ïðÿìîóãîëüíûå äîìà è èçãîòîâëÿåì öèëèíäðè÷åñêóþ ïîñóäó, õîòÿ â ïðèðîäå ñî÷ëåíåíèå ïîâåðõíîñòåé ïîä óãëîì âñòðå÷àåòñÿ ðàçâå ëèøü â ðåçóëüòàòå ïðèðîäíûõ êàòàêëèçìî⠗ îáâàëîâ ãîðíîé ïîðîäû, îïîëçíåé è ò.ï. À åñëè ìû è ïðîåêòèðóåì ñîïðÿæåíèå ëèíèé (íàïðèìåð, ïîâîðîò òðàìâàéíûõ ïóòåé), òî ïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîãî äóãîé îêðóæíîñòè. ×òî æå â ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ñ ïàññàæèðîì? Ïîêà òðàìâàé äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó, íà ïàññàæèðà â õóäøåì ñëó÷àå (ïðè òîðìîæåíèè è ðàçãîíå) äåéñòâóåò ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âäîëü äâèæåíèÿ. Íî âîò òðàìâàé ñòàë ïîâîðà÷èâàòü ïî îêðóæíîñòè. Ðàäèóñ êðèâèçíû èç áåñêîíå÷íîãî ìãíîâåííî ñòàë âåñüìà êîíå÷íûì, è òàêæå ìãíîâåííî íà ïàññàæèðà ñòàëà äåéñòâîâàòü öåíòðîáåæíàÿ ñèëà. Îí ïîëó÷àåò ìãíîâåííûé óäàð ïîïåðåê äâèæåíèÿ. Íî íèêîìó è â ãîëîâó íå ïðèäåò ïðèíåñòè øêîëüíûå ñòåðåîòèïû â æåðòâó êîìôîðòó ïàññàæèðà. 66 Ëåêöèÿ 6 âñå ïðîñòî ìëåëè îò òîãî, ÷òî òåïåðü íà ýêðàíå êîìïüþòåðà ìîæíî íàðèñîâàòü îòðåçîê ïðÿìîé èëè îêðóæíîñòü. Ïåðâîé àëüòåðíàòèâíîé ãåîìåòðèåé, ðåàëèçîâàííîé â êîìïüþòåðíîì âàðèàíòå, ñòàëà ãðàôèêà Ëîãî. ×åðåïàøêà, ñîçäàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, äîïóñêàåò âñåãî ëèøü äâà óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèÿ — ïåðåìåùåíèå íà îòðåçîê çàäàííîé äëèíû è ïîâîðîò íà çàäàííûé óãîë. Ôàêòè÷åñêè ×åðåïàøêà ðèñóåò ëîìàíóþ. Íî ïîïûòàéòåñü ñ ïîìîùüþ ×åðåïàøêè íàðèñîâàòü òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ñòîðîíû çàðàíåå çàäàííîé äëèíû, ñêàæåì, 2, 3 è 4. Âîîðóæèâøèñü öèðêóëåì è ëèíåéêîé, âû ýòî ñäåëàåòå â äâà ñ÷åòà: íà ðàç ïðîâåäåòå îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì â îäíîì êîíöå îòðåçêà äëèíû 4, íà äâà — îêðóæíîñòü ðàäèóñà 3 ñ öåíòðîì â äðóãîì êîíöå îòðåçêà äëèíû 4. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ è åñòü òðåòüÿ âåðøèíà òðåóãîëüíèêà. À äëÿ ×åðåïàøêè ïðèäåòñÿ ðàññ÷èòàòü, íà êàêîé óãîë ïîâåðíóòü â êîíöå íàðèñîâàííîãî åþ îòðåçêà äëèíû 4, ÷òîáû çàòåì íà ýòîì íàïðàâëåíèè ïðî÷åðòèòü îòðåçîê äëèíû 3. Ýòî çíà÷èò, ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé êîñèíóñîâ, à çàîäíî íàó÷èòü ×åðåïàøêó âû÷èñëÿòü îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè3. Äà ÷òî òðåóãîëüíèê! Ïîïðîáóéòå çàñòàâèòü ×åðåïàøêó íà÷åðòèòü îòðåçîê, çàäàâ äâå òî÷êè — åãî êîíöû. Ïðîáëåì åùå áîëüøå: íàäî è óãîë âû÷èñëèòü, íà êîòîðûé äîëæíà ïîâåðíóòüñÿ ×åðåïàøêà, è äëèíó îòðåçêà. À ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè íèêàêèõ ïðîáëåì. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî íà êàæäîì øàãå ïîâåäåíèå ×åðåïàøêè îïèñûâàåòñÿ äëèíîé îòðåçêà è åãî íàïðàâëåíèåì, ò.å. íàïðàâëåííûì îòðåçêîì.  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ íàïðàâëåííîãî îòðåçêà åñòü îáùåïðèíÿòîå íàçâàíèå — âåêòîð4 . Åâêëèäîâî èçëîæåíèå ãåîìåòðèè ñ âåêòîðàìè íèêàê ñâÿçàíî áûòü íå ìîãëî — ñàì ýòîò òåðìèí ïîÿâèëñÿ òîëüêî â 1845 ã. â ðàáîòàõ èðëàíäñêîãî ó÷åíîãî Ó.Ãàìèëüòîíà5 .  ñîâåòñêîì øêîëüíîì îáðàçîâàíèè âåêòîðû ïîÿâèëèñü áëàãîäàðÿ ðåôîðìå ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, çàòåÿííîé àêàäåìèêîì À.Í. Êîëìîãîðîâûì â íà÷àëå 70-õ ãîäîâ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ. Îòíîøåíèå ê ýòîé ðåôîðìå áûëî âåñüìà íåîäíîçíà÷íûì, è äàëåêî íå âñå ïðîãðåññèâíîå óäàëîñü 3 Ýòîò ïðîñòîé ïðèìåð ÿñíî ïîêàçûâàåò, ïî÷åìó Ëîãî-÷åðåïàøêó íåëüçÿ “ïðèñïîñîáèòü” äëÿ èçó÷åíèÿ øêîëüíîãî êóðñà ãåîìåòðèè. 4 Áîëåå òî÷íî, âåêòîð — ýòî ìíîæåñòâî ðàâíûõ ìåæäó ñîáîé íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì äâà íàïðàâëåííûõ îòðåçêà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ðàâíû èõ äëèíû, îíè ðàñïîëàãàþòñÿ íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (âîçìîæíî, íà îäíîé ïðÿìîé) è íàïðàâëåíû â r îäíó ñòîðîíó. Âàæíî, ÷òî åñëè íàì äàí íåêîòîðûé âåêòîð a , òî äëÿ ëþáîé òî÷êè À r ñóùåñòâóåò íàïðàâëåííûé îòðåçîê, ïðèíàäëåæàùèé a , íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ òî÷r êîé À.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð a îòëîæåí îò òî÷êè À. Ïîñêîëüêó êàæäûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî âñåõ ðàâíûõ åìó íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, òî íåðåäêî ñàì íàïðàâëåííûé îòðåçîê òîæå íàçûâàþò âåêòîðîì. Èìåííî òàê ìû è ïîñòóïèëè â îñíîâíîì òåêñòå äàííîé ëåêöèè. 5 Îí îáðàçîâàë ýòîò òåðìèí îò ëàòèíñêîãî ñëîâà vector, îçíà÷àþùåãî “íåñóùèé”. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 67 îòñòîÿòü6, íî âåêòîðíàÿ àëãåáðà âñå æå ñòàëà îáÿçàòåëüíûì êîìïîíåíòîì ãåîìåòðè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ñîâðåìåííûõ øêîëüíèêîâ. Ïðàâäà, è ñåãîäíÿ îíà âûãëÿäèò íåêèì ÷óæåðîäíûì ôðàãìåíòîì, ïîñêîëüêó ñ åå ïîìîùüþ ñîäåðæàòåëüíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé â øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè ïðàêòè÷åñêè íå äîêàçûâàåòñÿ è çàäà÷ íå ðåøàåòñÿ. Êîíå÷íî, ïðîáëåìû øêîëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ äîëæíû ðåøàòü ìàòåìàòèêè — ó÷åíûå è ìåòîäèñòû. Èì âèäíåå, êàêîé äîëæíà áûòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïîäãîòîâêà ó÷àùèõñÿ. Íî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðà â ðåøåíèè ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåêòîðíûé ïîäõîä íàèáîëåå ýôôåêòèâåí. Ñîáñòâåííî, óæå ïðèìåð ñ Ëîãî-÷åðåïàøêîé ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîðû êîìïüþòåðó “ìèëåå”, ÷åì òðàäèöèîííàÿ ãåîìåòðèÿ, ê êîòîðîé ìû òàê ïðèâûêëè. Âïðî÷åì, ÷åì äàëüøå ìû áóäåì âíèêàòü â êîìïüþòåðíóþ ãåîìåòðèþ, òåì ñèëüíåå ýòî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ. §5. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà êàê îñíîâà âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè Êàæäûé ïîíèìàåò, ÷òî êàêèì áû óìíûì è ðàçíîñòîðîííèì íè êàçàëñÿ êîìïüþòåð, ýòî âñåãî ëèøü ìàøèíà, áûñòðî âûïîëíÿþùàÿ âû÷èñëåíèÿ. Çíà÷èò, âñå ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷ äîëæíû áûòü ïåðåâåäåíû íà ÿçûê âû÷èñëåíèé. È íå âàæíî, èäåò ëè ðå÷ü î ïîñòðîåíèè ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó ïàðàëëåëüíî çàäàííîé ïðÿìîé, èëè, íàîáîðîò, èç ýòîé òî÷êè íàäî îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííóþ ïðÿìóþ, à ìîæåò áûòü, íàäî ïîñòðîèòü êàñàòåëüíóþ ê äàííîé îêðóæíîñòè Ðàçíîîáðàçèå ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ îãðîìíî, à ñïîñîá ïåðåâîäà íóæåí ïðèãîäíûé íà âñå ñëó÷àè æèçíè. Ïî ñ÷àñòüþ, òàêîé ñïîñîá óæå ïðèäóìàí Ð.Äåêàðòîì. Ïðàâäà, îí áûë ìàêñèìàëèñòîì (èëè îïòèìèñòîì — ÷òî íåðåäêî îêàçûâàåòñÿ îäíèì è òåì æå), ïðåäëàãàÿ óíèâåðñàëüíûé ìåòîä ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷. Âîò ýòîò ìåòîä: — ëþáàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å; — ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé çàäà÷å; — ëþáàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé; — ëþáàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ðàçðåøèìà (ò.å. ëèáî ìîæåò áûòü íàéäåíî ðåøåíèå, ëèáî äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèÿ íå ñóùåñòâóåò). Ê ñîæàëåíèþ, îêàçàëîñü, ÷òî íè îäíî èç ýòèõ ÷åòûðåõ óòâåðæäåíèé íå ÿâëÿåòñÿ âåðíûì. Íî! Äëÿ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ýòî îêàçàëîñü âåðíûì. Ðåíå Äåêàðò äåéñòâèòåëüíî ñäåëàë âåëè÷àéøåå ìàòåìàòè÷åñêîå èçîáðåòåíèå. Îí ïðèäóìàë, êàê ñ ïîìîùüþ ÷èñåë îïèñàòü ïðîñòåéøèé è ñà6 Îäíîé èç ïîòåðü ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîå èñêëþ÷åíèå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî ïîäõîäà. “Àíòèìíîæåñòâåííàÿ” êàìïàíèÿ áûëà íàñòîëüêî ñèëüíà, ÷òî îäíîãî óïîìèíàíèÿ ñëîâà “ìíîæåñòâî” â ó÷åáíèêå áûëî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû òàêîé ó÷åáíèê íå ïîëó÷èë ìåñòà íà ïîëêå øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ. Òîëüêî óæå â íîâîì âåêå â øêîëüíûõ ó÷åáíèêàõ ñíîâà ïîÿâëÿåòñÿ ýòî “ñòðàøíîå” ñëîâî. Ëåêöèÿ 6 68 ìûé ôóíäàìåíòàëüíûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò — òî÷êó. Îí ïðèäóìàë ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïîýòîìó è ìåòîä îïèñàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ïðèäóìàííûé Äåêàðòîì, ÷àñòî íàçûâàþò ìåòîäîì êîîðäèíàò. Íà ïðÿìîé ïîëîæåíèå òî÷êè îïèñûâàåòñÿ îäíèì ÷èñëîì, íà ïëîñêîñòè — ïàðîé ÷èñåë, â ïðîñòðàíñòâå — òðîéêîé ÷èñåë. Íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë, íåîáõîäèìîå (è äîñòàòî÷íîå) äëÿ îïèñàíèÿ ïîëîæåíèÿ òî÷êè, íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà. Åñëè òî÷êè ïëîñêîñòè âûñòðàèâàþòñÿ â ëèíèþ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó êîîðäèíàòàìè èìååòñÿ çàâèñèìîñòü. Çàâèñèìîñòü ìû ñòàðàåìñÿ âûðàçèòü ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ íåêîòîðûì óðàâíåíèåì, â êîòîðîì ïåðåìåííûìè âûñòóïàþò êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé ëèíèè. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðÿìûå è îêðóæíîñòè, ñîñòàâëÿþùèå îñíîâó âñåé øêîëüíîé ãåîìåòðèè, çàäàþòñÿ äîâîëüíî ïðîñòûìè óðàâíåíèÿìè: ïðÿìàÿ — óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè, à îêðóæíîñòü — óðàâíåíèåì âèäà (x – a)2 + (y – b)2 = r 2.  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ñìûñë ïàðàìåòðîâ a, b è r î÷åíü ïðîñò: a è b — êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè, à r — åå ðàäèóñ. Ïåðåñå÷åíèå äâóõ ëèíèé — ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîâðåìåííî îáåèì ëèíèÿì. Çíà÷èò, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ — ýòî â òî÷íîñòè òå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò êàæäîìó èç óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ïåðåñåêàåìûå ëèíèè. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèé ñëîâàðü ïåðåâîäà ñ ãåîìåòðè÷åñêîãî ÿçûêà (â ñëó÷àå ïëîñêîñòè) íà àëãåáðàè÷åñêèé ÿçûê: ¹ Ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò Àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò 1 Òî÷êà 2 Ëèíèÿ 3 Ïðÿìàÿ ëèíèÿ 4 Îêðóæíîñòü 5 Çàäàííàÿ òî÷êà ëåæèò íà ëèíèè, èëè ëèíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç äàííóþ òî÷êó 6 Ïåðåñå÷åíèå ëèíèé Ïàðà ÷èñåë (õ; ó) — êîîðäèíàòû òî÷êè Óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå êîîðäèíàòû òî÷åê Óðàâíåíèå âèäà ax + by + c = 0 Óðàâíåíèå âèäà (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Kîîðäèíàòû òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ëèíèè Ñèñòåìà óðàâíåíèé, çàäàþùèõ äàííûå ëèíèè 7 Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, çàäàþùèõ äàííûå ëèíèè Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 69 Êîíå÷íî, ýòîò “ñëîâàðü” âåñüìà íå ïîëîí. Íî ìû ïî÷òè íå áóäåì èì ïîëüçîâàòüñÿ. È âîò ïî÷åìó. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âàì äàíû òðè òî÷êè — À,  è Ñ íà ïëîñêîñòè è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ëåæàò ëè îíè íà îäíîé ïðÿìîé.  îáû÷íîé ãåîìåòðèè âû âûáèðàåòå äâå èç íèõ, íàïðèìåð, À è Â, ïðîâîäèòå ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè ïðÿìóþ è ñìîòðèòå, ïîïàëà ëè òî÷êà Ñ íà ýòó ïðÿìóþ. Ïåðåâåäåì òåïåðü, ïîëüçóÿñü ñëîâàðåì, íàøè äåéñòâèÿ íà àëãåáðàè÷åñêèé ÿçûê. Íàì äàíû êîîðäèíàòû òðåõ òî÷åê — À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Èùåì óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À è Â. Ñìîòðèì â ñòðîêó ¹ 3 â íàøåì ñëîâàðèêå: íàì òðåáóåòñÿ íàéòè êîýôôèöèåíòû a, b è c â óðàâíåíèè ax + by + c = 0. Îòêóäà èõ èñêàòü? Ñìîòðèì ñòðîêó ¹ 5 â ñëîâàðå: äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà am + bn + c = 0 è ap + bq + c = 0. Çíà÷èò, íàäî ðåøèòü ñèñòåìó ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè. Óæå âîçíèêàåò ðÿä âîïðîñîâ: âñåãäà ëè ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå? åñëè ðåøåíèé ìíîãî, òî ìîæíî ëè âçÿòü îäíî èç íèõ, à îñòàëüíûìè ïðåíåáðå÷ü? íå ìîæåò ëè ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî äëÿ îäíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è áóäåò ïîëîæèòåëüíûì, à äëÿ äðóãîãî — îòðèöàòåëüíûì? Êîíå÷íî, ïîëó÷èòü îòâåòû íà ýòè âîïðîñû íåñëîæíî, íî âîçíèêàåò ðàçáîð ñëó÷àåâ, ñâÿçàííûé, â ÷àñòíîñòè, ñ òåì, èìåþòñÿ ëè ñðåäè îäíîèìåííûõ êîîðäèíàò òî÷åê À è  ðàâíûå. Êðîìå òîãî, ïðè íàõîæäåíèè êîýôôèöèåíòîâ a, b è c âîçíèêàåò äåëåíèå íà m – p èëè n – q, ÷òî ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé, êàê èçâåñòíî, ÷ðåâàòî íåïðèÿòíîñòÿìè, åñëè êàêàÿ-ëèáî èç ýòèõ ðàçíîñòåé ìàëà.  îáùåì, êàê îáû÷íî: òî, ÷òî áûëî õîðîøî â òåîðèè íà áóìàãå, â êîìïüþòåðíîé ïðàêòèêå óæå íå òàê ãëàäêî. Áóäåì ñòðîèòü äðóãîé ñëîâàðü. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî âåêòîðû ìîæíî rñêëàäûâàòü è óìíîr æàòü íà ÷èñëî. ×òîáû ñëîæèòü äâà âåêòîðà a è b, âûáèðàþò òî÷êó, r îòêëàäûâàþò îò íåå âåêòîð a , îò êîíöà ïîëó÷èâøåãîñÿ íàïðàâëåííîãî r îòðåçêà îòêëàäûâàþò âåêòîð b è çàòåì ñòðîÿò íàïðàâëåííûé îòðåçîê, r r ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî âåêòîðà a ñ êîíöîì âåêòîðà b . Âåêòîð, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïîñòðîåííûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê, è íàçûâàåòñÿ ñóììîé r r âåêòîðîâ a è b (ñì. ðèñ. 1). a A B a+b Ðèñ. 1 b C 70 Ëåêöèÿ 6 Ìàòåìàòèêè äîêàçàëè, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò r îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè. Óìíîæåíèå âåêòîðà a íà ÷èñëî α — ýòî r ïðîñòî óâåëè÷åíèå äëèíû âåêòîðà a â |α| ðàç ñ ñîõðàíåíèåì íàïðàâëåíèÿ ïðè ïîëîæèòåëüíîì α è ñìåíîé íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå ïðè îòðèöàòåëüíîì α. Íàäî òîëüêî åùå ñêàçàòü, ÷òî äëèíîé âåêòîðà íàçûâàåòñÿ äëèíà ëþáîãî åãî íàïðàâëåííîãî îòðåçêà, à íóëü-âåêòîð — ýòî âåêòîð, ó êîòîðîãî íà÷àëî è êîíåö ñîâïàäàþò, èíûìè ñëîâàìè, ýòî âåêòîð íóëåâîé äëèíû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî ñïðàâåäëèâû âñå rîáû÷íûå çàêîíû, èçâåñòíûå äëÿ ýòèõ îïåðàöèé íàä ÷èñëàìè7: r r r 1) a + b = b + a — êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ; r r r r 2) ( a + b ) + cr = a + ( b + cr ) — àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ; r 3) ar + 0 = ar — ñâîéñòâî íóëÿ; r 4) α(β ar ) = (αβ) a — “àññîöèàòèâíîñòü” óìíîæåíèÿ; r r r r 5) α( a + b ) = α a + α b — äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ÷èñëà íà ñóììó âåêòîðîâ; r r r 6) (α + β) a = α a + β a — äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ñóììû ÷èñåë íà âåêòîð; r r 7) 1 ⋅ a = a — óíèòàðíîñòü óìíîæåíèÿ. r r Îïðåäåëè⠖ a = (–1) a , ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü âåêòîðû íå òîëür r r r êî ñêëàäûâàòü, íî è âû÷èòàòü: a – b = a + (– b ). Äâà âåêòîðà, äëÿ êîòîðûõ íàïðàâëåííûå îòðåçêè, îòëîæåííûå îò îäíîé òî÷êè, ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé, íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè ðåøåíèè âîïðîñà, êîëëèíåàðíû ëè äâà âåêòîðà, âûáîð òî÷êè ðîëè íå èãðàåò. Èç îïðåäåëåíèÿ òàêæå ñëåäóåò, ÷òî íóëåâîé âåêòîð êîëëèíåàðåí ëþáîìó âåêòîðó. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ñðàçó ïîäñêàçûâàåò íàì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ, ïàðàëëåëüíû ëè äâå ïðÿìûå, äîñòàòî÷íî íà êàæäîé èç íèõ âûáðàòü ïî íåíóëåâîìó âåêòîðó è ïðîâåðèòü, íå êîëëèíåàðíû ëè îíè.  ñâÿçè ñ ýòèì ïîíÿòíà ðîëü ñëåäóþùåé òåîðåìû. r Òåîðåìà 1. (Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè.) Âåêòîð a êîëëèíåàðåí r è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ÷èñëî íåíóëåâîìó âåêòîðó b òîãäà r r α, äëÿ êîòîðîãî a = α b . Ýòà òåîðåìà ñâîäèò ãåîìåòðè÷åñêèé âîïðîñ î ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ê ïðîñòîìó àëãåáðàè÷åñêîìó âîïðîñó — ïðîïîðöèîíàëüíû ëè äâà âåêòî7 Íè â ýòîì ìåñòå, íè â ïîñëåäóþùèõ ìû, ðàçóìååòñÿ, íå ïðèâîäèì íèêàêèõ äîêàçàòåëüñòâ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èñïîëüçóåìûå íàìè ìàòåìàòè÷åñêèå ôàêòû ëèáî èçâåñòíû ÷èòàòåëþ, ëèáî îí ïîâåðèò íàì íà ñëîâî, ëèáî (ïðè ïîëíîì íåäîâåðèè ê àâòîðó) ïðî÷èòàåò äîêàçàòåëüñòâà â ñîîòâåòñòâóþùåì ó÷åáíèêå. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 71 ðà? À âåäü ñêîëüêî õëîïîò äîñòàâëÿþò øêîëüíèêàì ïðåñëîâóòûå ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ! Êîíå÷íî, ïðîïîðöèîíàëüíîñòü äâóõ âåêòîðîâ òîæå íàäî åùå íàó÷èòüñÿ óñòàíàâëèâàòü. Âîò ñåé÷àñ îá ýòîì è ïîãîâîðèì. Ìû óæå ñëèøêîì ìíîãî âíèìàíèÿ óäåëèëè ðàçëè÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ôàêòàì è ôàêòèêàì èç øêîëüíîãî êóðñà âåêòîðíîé àëãåáðû è ìåòîäà êîîðäèíàò. Íî ñåé÷àñ íàì íóæíî ñîåäèíèòü äâà ýòèõ ìåòîäà (÷òî íà ñàìîì äåëå è ïðîäåëàë Ó.Ãàìèëüòîí, êðîìå òîãî, ÷òî ïðèäóìàë íàçâàíèå “âåêòîð”). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè òîæå ìîæíî îïèñàòü r ïàðîé ÷èñåë. Ïîëó÷àåòñÿ îíà òàê. Ïóñòü âåêòîð a çàäàåòñÿ íàïðàâëåííûì îòðåçêîì, íà÷àëî êîòîðîãî — ýòî òî÷êà À(m; n), à êîíåö — òî÷êà B(p; q). r Òîãäà âåêòîð a îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé ÷èñåë (m – p; n – q). Ýòà ïàðà ÷èñåë íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà, è îêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðà ñîâåðøåííî íå çàâèñÿò îò òîãî, êàêîé íàïðàâëåííûé îòðår çîê áûë âûáðàí êàê ïðåäñòàâèòåëü âåêòîðà a . Ôàêò ñîâåðøåííî ÷óäåñíûé. Íî “÷óäåñà” ýòèì íå îãðàíè÷èâàþòñÿ. Âîò åùå îäíà òåîðåìà. Òåîðåìà 2. Êîîðäèíàòû ñóììû âåêòîðîâ ðàâíû ñóììàì êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòû ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ðàâíû ïðîèçâåäåíèÿì êîîðäèíàò íà ýòî ÷èñëî. Èç ýòîé òåîðåìû íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðî⠗ ýòî ïðîïîðöèîíàëüíîñòü èõ êîîðäèíàò (÷èñëî α âûñòóïàåò êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè). Âîçâðàùàÿñü ê âîïðîñó î òîì, ëåæàò ëè òî÷êè À(m; n), B(p; q) è C(u; v) íà îäíîé ïðÿìîé, ëåãêî ïîëó÷àåì îòâåò. Äåéñòâèòåëüíî, ÷òîáû ýòè òî÷êè ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âåêòîðû, çàäàííûå íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À è ÀÑ, áûëè êîëëèíåàðíû. Çíà÷èò, äëÿ êîîðäèíàò ýòèõ âåêòîðîâ m − p m −u äîëæíà âûïîëíÿòüñÿ ïðîïîðöèÿ: = . Êîíå÷íî, ÷èòàòåëü â n −v n −q ýòîì ìåñòå ìîæåò ïîìîðùèòüñÿ — óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè òðåõ òî÷åê ïîëó÷èëîñü ëåãêî, íî âåäü äåëåíèÿ èçáåæàòü íå óäàëîñü. Íà ñàìîì äåëå ïðàâèëüíî ïðîâåðÿòü, ïðîïîðöèîíàëüíû ëè çíà÷åíèÿ äâóõ âåëè÷èí, øêîëüíèêîâ ó÷àò â 6-ì êëàññå (î ÷åì ê ìîìåíòó èçó÷åíèÿ èíôîðìàòèêè îíè îáû÷íî çàáûâàþò). Òàê íàçûâàåìîå “îñíîâíîå ñâîéñòâî ïðîïîðöèè” ãëàñèò: ïðîïîðöèÿ âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ åå ÷ëåíîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ñðåäíèõ ÷ëåíîâ. Åñëè íå âûðàæàòüñÿ òàê ïûøíî, òî ýòî ïðîñòî çíà÷èò, ÷òî äîëæíî èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî (m – p) (n – v) = (m – u) (n – q). È âñå! Ê ïîíèìàíèþ, ÷òî òàêîå ãåîìåòðèÿ, ìàòåìàòèêè øëè äîëãî. Ñîâðåìåííîå ïîíèìàíèå ñâÿçàíî ñ èìåíåì Ô.Êëåéíà, êîòîðûé îáîñíîâàë, ÷òî äàæå â ðàìêàõ øêîëüíîãî êóðñà íà ñàìîì äåëå èçó÷àþòñÿ òðè ðàçíîâèä- 72 Ëåêöèÿ 6 íîñòè ãåîìåòðèè. Òå âîïðîñû, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàëè âûøå, — ïðèíàäëåæíîñòü òî÷åê îäíîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ è äðóãèå ïîäîáíûå ñâîéñòâà, â êîòîðûõ íå ôèãóðèðóåò èçìåðåíèå äëèí è óãëîâ, ïðèíÿòî îòíîñèòü ê òàê íàçûâàåìîé “àôôèííîé ãåîìåòðèè”8 . Íî ÿñíî, ÷òî â øêîëüíîé ãåîìåòðèè èçó÷àþòñÿ ïîíÿòèå äëèíû îòðåçêà, èçìåðåíèå óãëîâ è ïëîùàäåé ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð. Âñå ýòî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîé “ìåòðè÷åñêîé ãåîìåòðèè”. ×òîáû ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ îïèñàòü ýòè ïîíÿòèÿ, íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè åùå äâå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Ïåðâàÿ èç íèõ òàêæå èçó÷àåòñÿ â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè è íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Íàïîìíèì, ÷òî óãëîì ìåæäó íåíóëåâûìè r âåêòîðàìè ar è b íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé óãîë ìåæäó íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè ýòèõ âåêòîðîâ, îòëîæåííûìè îò îäíîé òî÷êè. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñ÷èòàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì: îí ïîëîæèòåëåí, åñëè ïîâîðîò r îò r íàïðàâëåííîãî îòðåçêà âåêòîðà a ê íàïðàâëåííîìó îòðåçêó âåêòîðà b ñîâåðøàåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå óãîë ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. r rr Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ar è b áóäåì îáîçíà÷àòü ab . Ïîñêîëüêó êîñèíóñ — ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òî îðèåíòàöèÿ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà çíà÷åíèè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ çàäàírr rr íûõ âåêòîðîâ. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî ab = ba .  øêîëüíîì êóðñå îáû÷íî áåç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëèðóþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿr (êðîìå óæå òîëüêî ÷òî óïîìÿíóòîé êîììóòàòèâíîñòè): r r + r r — äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäå1) ( ar + b ) cr = ac bc íèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ; r r 2) (α ar ) b =α( ar b ) — “àññîöèàòèâíîñòü” óìíîæåíèÿ ÷èñëà íà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Íî ó êàæäîãî øêîëüíèêà äîëæíî âîçíèêíóòü çàêîííîå íåäîóìåíèå: ïî÷åìó êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè óäîñòîèëñÿ ÷åñòè ôèãóðèðîâàòü â îïðåäåëåíèè íåêîé îïåðàöèè, à ñèíóñ — íåò. Íà ñàìîì äåëå øêîëüíèêàì, êàê îáû÷íî, ïðîñòî íå ãîâîðÿò âñåé ïðàâäû. Åñòü îïåðàöèÿ, â êîòîðîé ôèãóðèðóåò ñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè: ïñåâäîñêàëÿðíûì ïðîèçâåäår íèåì âåêòîðà ar íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Ïñåâäîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà ar 8 Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ óäèâèòåëüíûì, ÷òî ïîíÿòèå ñåðåäèíû îòðåçêà îòíîñèòñÿ ê àôôèííîé ãåîìåòðèè. Íî åñëè ïîäóìàòü, òî ñòàíåò ÿñíî: åñëè óìåòü ïðîâåðÿòü ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ (à ýòî, êàê ñêàçàíî âûøå, êîìïåòåíöèÿ àôôèííîé ãåîìåòðèè), òî áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì ïàðàëëåëîãðàììà (äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì) àôôèííûì ÿâëÿåòñÿ è óìåíèå ñòðîèòü ñåðåäèíó îòðåçêà. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 73 r r íà âåêòîð b áóäåì îáîçíà÷àòü ar ∧ b 9. Åñòü îäíî î÷åíü âàæíîå îòëè÷èå ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îò ñêàëÿðíîãî: ïîñêîëüêó r ôóíêöèÿ ñèíóñ íå÷åòíà, à ïðè ïñåâäîñêàëÿðíîì óìíîæåíèè âåêòîðà b ríà âåêòîð ar óãîë r ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî b ∧ ar = – ar ∧ b . Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò àíòèêîììóòàòèâíîñòüþ. Çàòî äðóãèå äâà ñâîéñòâà, èìåþùèåñÿ ó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðèñóùè è ïñåâäîñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ: r r 1) ( ar + b ) ∧ cr = ar ∧ cr + b ∧ cr — äèñòðèáóòèâíîñòü ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ; r r 2) (α ar ) ∧ b =α( ar ∧ b ) — “àññîöèàòèâíîñòü” óìíîæåíèÿ ÷èñëà íà ïñåâäîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. b A B D C a Ðèñ. 2 Îòñóòñòâèå â øêîëüíîì êóðñå ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òåì áîëåå ñòðàííî, ÷òî îíî èìååò ñîâåðøåííî ïðîçðà÷íûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: åãî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,r ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ, èçîáðàæàþùèõ âåêòîðû ar è b (ñì. ðèñ. 2). ×òî êàñàåòñÿ îáû÷íîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî óñìîòðåòü â íåì êàêîé-ëèáî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äîâîëüíî ñëîæíî. Ïðîçðà÷íû çäåñü òîëüêî äâà ïðàêòè÷åñêè î÷åâèäíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ: r — íåíóëåâûå âåêòîðû ar è b ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 0; — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà íà ñåáÿ ðàâíî êâàäðàòó äëèíû ýòîãî âåêòîðà. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå êàê ðàç è ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê èçìåðåíèþ äëèí — âåäü äëèíà îòðåçêà êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ äëèíîé òîãî âåêòîðà, êîòîðîìó îòðåçîê 9 Òåðìèí “ïñåâäîñêàëÿðíîå” óïîòðåáëåí ⠓Ìàòåìàòè÷åñêîé ýíöèêëîïåäèè”, ò. 1, ñò. 635 (Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977).  êíèãå Å. Àíäðååâîé, Ë. Áîñîâîé, È. Ôàëèíîé. “Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè” (Ì.: Áèíîì, 2005) îòäàíî ïðåäïî÷òåíèå òåðìèíó “êîñîå ïðîèçâåäåíèå”. Ã.Ãðàññìàí â ðàáîòå 1844 ã. ðàññìàòðèâàë åãî ïîä íàçâàíèåì “âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå”, ïðàâäà, îáû÷íîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îí íàçûâàë “âíóòðåííèì”. Èñïîëüçóåìîå íàìè îáîçíà÷åíèå ýòîé îïåðàöèè âîñõîäèò ê òàê íàçûâàåìûì “ãðàññìàíîâûì àëãåáðàì”, õîòÿ ñàì Ã.Ãðàññìàí òàêèì îáîçíà÷åíèåì íå ïîëüçîâàëñÿ. Ëåêöèÿ 6 74 ïðèíàäëåæèò.  ñâîþ î÷åðåäü, ïñåâäîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ èçìåðåíèåì ïëîùàäåé. Îñòàëîñü, êàê è ðàíüøå, “óâÿçàòü” ýòè îïåðàöèè ñ êîîðäèíàòíûì ñïîñîáîì çàäàíèÿ âåêòîðîâ. Ìû â î÷åðåäíîé ðàç ïðèâåäåì ãîòîâûå ôîðìóëû, îòñûëàÿ ÷èòàòåëÿ ê ñòàíäàðòíûì øêîëüíûì ó÷åáíèêàì (â ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ) è ê óïîìÿíóòîé â ñíîñêå9 êíèãå «Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè»(â ñëó÷àå ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Âïðî÷åì, â çàäàíèè 3 ìû ïðåäëàãàåì ïîëó÷èòü ýòè ôîðìóëû ñàìîñòîÿòåëüíî. r Èòàê, ïóñòü ïàðà (õ; r ó) — êîîðäèíàòû âåêòîðà a , ïàðà (u; v) — êîîðäèíàòû âåêòîðà b . Òîãäà rr r r ab = xu + yv, a ∧ b = xv – yu. Èç îïðåäåëåíèÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî îíî ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïåðåìíîæàåìûå âåêòîðû êîëëèíåàðíû. Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ óæå ñîâñåì íåòðóäíî åùå ðàç ïîëó÷èòü óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè òðåõ òî÷åê îäíîé ïðÿìîé: òî÷êè À(m; n), B(p; q) è C(u; v) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (m – — p) (n – v) – (m – u) (n – q) = 0. Êîíå÷íî, íè÷åãî íîâîãî ìû íå óçíàëè, ïðîñòî åùå ðàç óáåäèëèñü â ïîëåçíîñòè ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Íî îñíîâíîå âíèìàíèå ïðèìåíåíèþ âåêòîðíîé àëãåáðû ê ðåøåíèþ çàäà÷ âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè áóäåò óäåëåíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Âîïðîñû è çàäàíèÿ r r rr 1. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî ( ab )2 + ( ar ∧ b )2 = ar 2 b 2. 2. à) Ïóñòü íà îñè àáñöèññ âûáðàí íàïðàâëåííûé îòðåçîê åäèíè÷íîé äëèíû, ñîâïàäàþùèé ïî íàïðàâëåíèþ ñ îñüþ. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþr ùèé ýòîìó îòðåçêó âåêòîð ÷åðåç i . Àíàëîãè÷íûé âåêòîð äëÿ îñè îðäèíàò r îáîçíà÷èì ÷åðåç j . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âåêòîð ar èìååò êîîðäèíàòû (õ; r r r ó), òî a = õ i + ó j . r r á) Ïðîâåðüòå, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ i è j èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òàáëèöû ñêàëÿðíîãî è ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. r r i j r i r j r i r j 1 1 r r i ∧j r i r j r i r j 1 –1 3. à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è çàäàíèå 2, äîêàæèòå êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 75 á) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è çàäàíèå 2, äîêàæèòå êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó äëÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 4. Ïóñòü ïàðà (õ; ó) — êîîðäèíàòû âåêòîðà ar . Ðàññìîòðèì âåêòîð ar ′, êîîðäèíàòû êîòîðîãî (–ó; õ). à) Ïðîâåðüòå, ÷òî âåêòîðû ar è ar ′ ïåðïåíäèêóëÿðíû è èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó. r á) Ïóíêò à) ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîð a ′ ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà ar ïîâîðîòîì íà 90°. Âûÿñíèòå, ïî èëè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ýòîò ïîâîðîò. r r r â) Äîêàæèòå, ÷òî a ∧ b = ar ′ b . (Ñîâåò: èñïîëüçóéòå ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ.) ã) Èñïîëüçóÿ êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ïóíêò â), âûâåäèòå êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó äëÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 5. Åùå îäèí ñïîñîá ïîëó÷èòü êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó äëÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èñõîäÿ èç ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, — èñïîëüçîâàòü ðàâåíñòâî, óêàçàííîå â çàäàíèè 1. Ðåàëèçóéòå ýòîò ñïîñîá. 6. Íàïîìíèì, ÷òî äâà ìíîãîóãîëüíèêà íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè ìîæíî òàê îäèíàêîâî îáîçíà÷èòü èõ âåðøèíû, ÷òî óãëû ïðè îäèíàêîâî îáîçíà÷åííûõ âåðøèíàõ ðàâíû, à îäèíàêîâî îáîçíà÷åííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû. Äëÿ òðåóãîëüíèêîâ â øêîëüíîì êóðñå äîêàçûâàþòñÿ íåñêîëüêî ïðèçíàêîâ ïîäîáèÿ. Îäèí èç íèõ çâó÷èò òàê: òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû, åñëè èõ ñòîðîíû ìîæíî ðàçáèòü íà ïàðû ñîîòâåòñòâåííûõ òàê, ÷òî îòíîøåíèÿ äëèí ñòîðîí â êàæäîé ïàðå ðàâíû. Ñàìî ýòî îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ. Ñîñòàâüòå àëãîðèòì, êîòîðûé ïî çàäàííûì äëèíàì òðåõ ñòîðîí îäíîãî òðåóãîëüíèêà è äëèíàì òðåõ ñòîðîí äðóãîãî òðåóãîëüíèêà îïðåäåëÿë áû, ïîäîáíû ëè ýòè òðåóãîëüíèêè, è ïðè ïîëîæèòåëüíîì îòâåòå âû÷èñëÿë áû êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ. Ïðîòåñòèðóéòå âàø àëãîðèòì íà êàëüêóëÿòîðå äëÿ ñëåäóþùèõ íàáîðîâ äàííûõ: à) (1,5; 2,5; 3,5) è (10,5; 7,5; 4,5); á) (1 493 035,2; 4 356 618; 5 702 887) è (2 692 538; 3 524 578; 922 746,5). §6. Çàäà÷è è èõ ðåøåíèÿ  àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, êîòîðàÿ ðîäèëàñü áëàãîäàðÿ êîîðäèíàòíîìó ìåòîäó Äåêàðòà è íûíå èçó÷àåòñÿ âñåìè ïåðâîêóðñíèêàìè òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, ïðÿìàÿ, êàê ïðàâèëî, çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà.  êîìïüþòåðíîé ãåîìåòðèè ýòî óðàâíåíèå, ìÿãêî ãîâîðÿ, íåêóäà çà- Ëåêöèÿ 6 76 ñóíóòü10. Ëþáóþ ïðÿìóþ åñòåñòâåííî õàðàêòåðèçîâàòü ïàðîé òî÷åê, ëåæàùèõ íà ýòîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó ìû ïðåèìóùåñòâåííî áóäåì ðàññìàòðèâàòü èìåííî òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ ïðÿìîé. Îêðóæíîñòü æå ìû áóäåì çàäàâàòü êîîðäèíàòàìè åå öåíòðà è âåëè÷èíîé ðàäèóñà. Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ýòîãî ïàðàãðàôà ñîñòàâëÿþò ðàçëè÷íûå çàäà÷è âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè è âàðèàíòû èõ ðåøåíèÿ. Èñõîäíûå äàííûå áóäóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ëèáî êîîðäèíàòû òî÷åê, çàäàþùèõ òó èëè èíóþ êîíôèãóðàöèþ, ëèáî íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â ýòèõ êîíôèãóðàöèÿõ. Ïðè ýòîì ìû íå âñåãäà â îòâåòå áóäåì âûïèñûâàòü îêîí÷àòåëüíóþ êîîðäèíàòíóþ ôîðìóëó, îñòàâëÿÿ ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî çàìåíèòü âñòðå÷àþùèåñÿ â íèõ ñêàëÿðíûå è ïñåâäîñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ11. Ñ D d  A Ðèñ. 3 Çàäà÷à 1. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ñ äî ïðÿìîé ÀÂ. Òî÷êè À,  è Ñ çàäàíû êîîðäèíàòàìè. r r Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Ðàññìîòðèì âåêòîðû a è b, çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè ÀÂ12 è ÀÑ. Òîãäà ðàññòîÿíèå d îò òî÷êè Ñ äî ïðÿìîé À — ýòî âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà îòðåçêàõ À è ÀÑ (ñì. ðèñ. 3). r r r Ñëåäîâàòåëüíî, d = S / |ÀÂ| = | a ∧ b | / a 2 . Çàäà÷à 2. Íàéòè îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè Ñ íà ïðÿìóþ ÀÂ. Òî÷êè À,  è Ñ çàäàíû êîîðäèíàòàìè. r r Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Ðàññìîòðèì âåêòîðû a è b, çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À è ÀÑ. Ïóñòü D — Íà ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàäàõ ïî ïðîãðàììèðîâàíèþ âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è, â êîòîðûõ èçíà÷àëüíî ïðÿìûå çàäàþòñÿ íàáîðàìè êîýôôèöèåíòîâ èõ óðàâíåíèé. Íî åñòåñòâåííîñòü ïîñòàíîâîê òàêèõ çàäà÷ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà íèçêîé. 11 Ìû íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóåì ÷èòàòåëþ êàæäûé ðàç ïðîäåëàòü òàêóþ ïîäñòàíîâêó — ïðè âñåé ðóòèííîñòè ýòîé ðàáîòû îíà äàåò íàâûê ìàíèïóëèðîâàíèÿ ôîðìóëàìè ñêàëÿðíîãî è ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. È òåì áîëåå òàêóþ ðàáîòó íàäî òðåáîâàòü îò ó÷àùèõñÿ, åñëè âû ðåøèòå èñïîëüçîâàòü ýòîò ìàòåðèàë â èõ îáó÷åíèè. 10 12 Çäåñü è â äàëüíåéøåì, îáîçíà÷àÿ íàïðàâëåííûé îòðåçîê äâóìÿ áóêâàìè, ìû âñåãäà íà ïåðâîì ìåñòå áóäåì ïèñàòü îáîçíà÷åíèå åãî íà÷àëà, à íà âòîðîì ìåñòå — îáîçíà÷åíèå êîíöà. Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 77 îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè Ñ íà ÀÂ. Ðàññìîòðèì r âåêòîð c , çàäàííûé íàïðàâëåííûì îòðåçêîì AD.r Ñ îäíîé ñòîðîíû, èç r r r òåîðåìû 1 c = α a . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåêòîð b – c , îïðåäåëåííûé r íàïðàâëåííûì îòðåçêîì CD, ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó a . Òåì ñàìûì, r r r rr r2 rr r a ( b – c ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ab –α a = 0, îòêóäà α = ab / a 2. Òåì rr ab r r r ñàìûì, c = r2 a . Âû÷èñëåíèå êîîðäèíàò âåêòîðà c òåïåðü íå ñîñòàâëÿåò a òðóäà. Ïóñòü îíè ðàâíû (s; t). Òîãäà êîîðäèíàòû òî÷êè D — ýòî ïàðà (m + s; n + t). Çàäà÷à 3. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ À,  è Ñ. Òî÷êè À,  è Ñ çàäàíû êîîðäèíàòàìè. r r Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Ðàññìîòðèì âåêòîðû a è b , çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À è ÀÑ. Ïëîùàäü ∆ ÀÂÑ — ýòî ïîëîâèíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî r íà r îòðåçêàõ À è ÀÑ. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà 0,5| a ∧ b |. Çàäà÷à 4. Íàéòè óãîë ìåæäó ïðÿìûìè À è ÑD. Òî÷êè À, Â, Ñ è D çàäàíû êîîðäèíàòàìè. Ðåøåíèå. r Ïóñòü À(m; n), B(p; q), C(u; v) è D(s; t). Ðàññìîòðèì âåêòîr ðû a è b , çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À è ÑD. Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ óãîë ìåæäó ïðÿìûìè À è ÑD. Òîãäà rr ab 1) cos γ = ; r r a 2b2 r r a ∧b 2) sin γ = ; r r a 2b 2 r r a ∧b 3) tg γ = r r . ab Óãîë γ òåïåðü íàéòè ëåãêî. Îáñóäèì èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ðåøåíèÿ. Ôóíêöèÿ Arctg ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííîé ïðàêòè÷åñêè â ëþáîé ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ÷åãî íèêàê íåëüçÿ ñêàçàòü î ôóíêöèÿõ Arccos è Arcsin. Òåì íå ìåíåå ñðàçó âû÷èñëÿòü r r a ∧b rr Arctg r r âðÿä ëè ïîëåçíî. Ëó÷øå ñíà÷àëà âû÷èñëèòü ab è óáåäèòüñÿ, ab ÷òî îíî íå ðàâíî 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû, è íè÷åãî áîëüøå íàõîäèòü íå òðåáóåòñÿ (òåì áîëåå, ÷òî íà 0 ëó÷øå íå Ëåêöèÿ 6 78 r r äåëèòü). Çàòåì ïîëåçíî âû÷èñëèòü a ∧ b . Åñëè ýòî ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 0, òî íàøè ïðÿìûå ëèáî ïàðàëëåëüíû, ëèáî ñîâïàäàþò. È òîëüêî åñëè îáà ïðîèçâåäåíèÿ îòëè÷íû îò íóëÿ, ìîæíî è òàíãåíñ ïîäñ÷èòàòü. Çàäà÷à 5. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ À è ÑD èëè óñòàíîâèòü, ÷òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû èëè ñîâïàäàþò. Òî÷êè À, Â, Ñ è D çàäàíû êîîðäèíàòàìè. Ðåøåíèå. r Ïóñòü À(m; n), B(p; q), C(u; v) è D(s; t). Ðàññìîòðèì âåêòîr ðû a è b ,r çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À è ÑD. r Åñëè a ∧ b = 0, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû èëè ñîâïàäàþò. ×òîáû âûÿñíèòü, êàêîé èç ýòèõ ñëó÷àåâ íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî, äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü, ëåæèò ëè íà ïðÿìîé À òî÷êà Ñ — êàê ýòî ñäåëàòü, ìû îáñóæäàëè r r âûøå. Ïóñòü a ∧ b ≠0. Ïóñòü K — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äàííûõ ïðÿìûõ. r Îáîçíà÷èì ÷åðåç c âåêòîð, çàäàííûé íàïðàâëåííûì îòðåçêîì ÀÑ. Ðàññìîòðèì ∆ ÀÑK. Îïðåäåëåíèå ñóììû âåêòîðîâ è òåîðåìà 1 ïîêàçûâàþò, r r r ÷òî äëÿ ïîäõîäÿùèõ α è β âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî c + α a = β b (ñì. r r r r r ðèñ. 4). Íî òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà a ∧ ( c + α a ) = a ∧ β b è r r r r r ( c + α a ) ∧ b = β b ∧ b . Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ïðîèçr r rïñåâäîñêàëÿðíîãî r r r r r âåäåíèÿ, ïîëó÷àåì a ∧ c = β( a ∧ ∧ b ) è c ∧ b + α a ∧ b = 0. Ñ D  A Ðèñ. 4 r r r r b ∧c a ∧c Ñëåäîâàòåëüíî, β = r r è α = r r . Âïðî÷åì, äëÿ ïîëó÷åíèÿ îòâåa ∧b a ∧b òà äîñòàòî÷íî çíàòü β. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè K — ýòî õ è ó. Òîãäà õ = u + β(s – u); y = v + β(t – v). Çàäà÷à 6. Îïðåäåëèòü, ëåæàò ëè òî÷êè Ñ è D ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé ÀÂ. Òî÷êè À, Â, Ñ è D çàäàíû êîîðäèíàòàìè. Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q), C(u; v) è D(s; t). Ðàññìîòðèì âåêòîðû r r r a , b è c , çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè ÀÂ, ÀÑ è ÀD. Èç îïðåäåëåíèÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íåìåäëåííî ñëåäóåò, Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) 79 ÷òî òî÷êè Ñr è D ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé À òîãäà è òîëüêî òîãäà, r r r r r êîãäà a ∧ b è a ∧ c îäíîãî çíàêà. Èíûìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå ( a ∧ b ) r r ( a ∧ c ) > 0. Çàäà÷à 7. Îïðåäåëèòü, ëåæèò ëè òî÷êà Ñ íà ëó÷å ÀÂ, ãäå À — âåðøèíà ëó÷à. Òî÷êè À,  è Ñ çàäàíû êîîðäèíàòàìè. r r Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Ðàññìîòðèì âåêòîðû a rè b , r çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè À èrÀÑ. Åñëè a ∧ b ≠ 0, r òî òî÷êà Ñ íå ëåæèò äàæå íà ïðÿìîé ÀÂ. Åñëè æå a ∧ b = 0, òî äëÿ òî÷êè, ëåæàùåé íà ëó÷å, êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè äîëæåí áûòü ðàâåír 1 (â r ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí ðàâåí –1), òàê ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ab > 0. Çàäà÷à 8. Îïðåäåëèòü, ëåæèò ëè òî÷êà Ñ íà îòðåçêå ÀÂ. Òî÷êè À,  è Ñ çàäàíû êîîðäèíàòàìè. Ðåøåíèå. Ïóñòü À(m; n), B(p; q) è C(u; v). Ôàêòè÷åñêè çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåé, ïîñêîëüêó òî÷êà ëåæèò íà äàííîì îòðåçêå â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíà îäíîâðåìåííî ëåæèò íà ëó÷àõ À è ÂÀ. Çàïèøèòå âîçíèêàþùèå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî. Ìû ïðîäîëæèì çíàêîìñòâî ñ âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèåé â ñëåäóþùåé ñòàòüå. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò âûáðàòü äâå èç íèõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìèíèìàëüíî. Ôîðìàò ââîäà.  ïåðâîé ñòðîêå ââîäèòñÿ n.  êàæäîé èç ïîñëåäóþùèõ n ñòðîê ââîäèòñÿ ïî äâà ÷èñëà, ÿâëÿþùèõñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìåðîì13. Âûâåñòè íîìåðà èñêîìûõ òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè èñêîìîãî òðåóãîëüíèêà. Åñëè ïàð òàêèõ òî÷åê îêàçàëîñü íåñêîëüêî, âûâåñòè âñå òàêèå ïàðû. 2. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò âûáðàòü òðè èç íèõ, êîòîðûå ñëóæàò âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà íàèìåíüøåé ïëîùàäè. Ôîðìàò ââîäà òàêîé æå, êàê â çàäàíèè 1. Âûâåñòè íîìåðà òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè èñêîìîãî òðåóãîëüíèêà. Åñëè òðåóãîëüíèêîâ îêàçàëîñü íåñêîëüêî, âûâåñòè âñå òàêèå òðîéêè. 13 Ïðè êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè ðåøåíèé çàäàíèé ê äàííîìó ïàðàãðàôó íàäî ó÷èòûâàòü, êàêîé òèï äàííûõ áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ êîîðäèíàò òî÷åê â èñõîäíûõ äàííûõ — öåëûé èëè âåùåñòâåííûé.  ÷àñòíîñòè, åñëè äëÿ èñõîäíûõ äàííûõ èñïîëüçóåòñÿ öåëûé òèï, òî ñðàâíèâàòü ïðåäïî÷òèòåëüíåå íå ñàìè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè, à êâàäðàòû ýòèõ ðàññòîÿíèé — îíè òîæå ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. 80 Ëåêöèÿ 6 3. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Êðîìå íèõ, çàäàíû äâå òî÷êè À è Â. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò âûáðàòü èç n çàäàííûõ òî÷åê òó, êîòîðàÿ íàèáîëåå óäàëåíà îò ïðÿìîé ÀÂ. Ôîðìàò ââîäà.  ïåðâîé ñòðîêå äâà ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè À, âî âòîðîé — äâà ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè Â, â òðåòüåé ñòðîêå ââîäèòñÿ n.  êàæäîé èç ïîñëåäóþùèõ n ñòðîê ââîäèòñÿ ïî äâà ÷èñëà, ÿâëÿþùèõñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìåðîì. Âûâåñòè íîìåð èñêîìîé òî÷êè. Åñëè òî÷åê îêàçàëîñü íåñêîëüêî, âûâåñòè íîìåðà âñåõ òàêèõ òî÷åê. 4. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò âûáðàòü èç n çàäàííûõ òî÷åê òàêóþ ÷åòâåðêó, êîòîðàÿ îáðàçóåò âåðøèíû òðàïåöèè, èëè ñîîáùèò, ÷òî òàêîé ÷åòâåðêè íåò. Ôîðìàò ââîäà.  ïåðâîé ñòðîêå ââîäèòñÿ n.  êàæäîé èç ïîñëåäóþùèõ n ñòðîê ââîäèòñÿ ïî äâà ÷èñëà, ÿâëÿþùèõñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìåðîì. Âûâåñòè íîìåðà òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè òðàïåöèè. Åñëè ÷åòâåðîê îêàçàëîñü íåñêîëüêî, âûâåñòè âñå òàêèå ÷åòâåðêè. 5. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ óêàçûâàåò, êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî òî÷åê èç ýòèõ n çàäàííûõ òî÷åê ëåæèò íà îäíîé ïðÿìîé. Ôîðìàò ââîäà òàêîé æå, êàê â çàäàíèè 4. Âûâåñòè îäíî ÷èñëî. 6. Äàíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ñîñòàâüòå ïðîãðàììó, êîòîðàÿ óêàçûâàåò, êàêîâî íàèìåíüøåå ÷èñëî ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò âñå çàäàííûå òî÷êè. Ôîðìàò ââîäà òàêîé æå, êàê â çàäàíèè 4. Âûâåñòè îäíî ÷èñëî14. 14 Ïðè îáñóæäåíèè ñ ó÷àùèìèñÿ çàäà÷è 6 ïîëåçíî ó íèõ ïîèíòåðåñîâàòüñÿ, íåëüçÿ ëè äëÿ åå ðåøåíèÿ èñïîëüçîâàòü ðåøåíèå çàäà÷è 5, ðåàëèçóÿ òàê íàçûâàåìûé “æàäíûé” àëãîðèòì: ñíà÷àëà âûáåðåì ïðÿìóþ, íà êîòîðîé ëåæèò íàèáîëüøåå ÷èñëî òî÷åê, çàòåì ýòè òî÷êè óáåðåì è äëÿ îñòàâøèõñÿ ñíîâà âûáåðåì ïðÿìóþ ñ ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ðàñïîëîæèâøèõñÿ íà íåé òî÷åê è ò.ä. (Âïðî÷åì, ñîâñåì íå èñêëþ÷åíî, ÷òî òàêîå “ðåøåíèå” áóäåò ïðåäëîæåíî êåì-ëèáî èç ó÷àùèõñÿ.) Íåòðóäíî ïîñòðîèòü ïðèìåð (èç 12 òî÷åê), äåìîíñòðèðóþùèé íåïðàâèëüíîñòü ýòîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 81 Ëåêöèÿ 7 Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ Òåîðèÿ ÷èñåë è ãåîìåòðèÿ Äâà ðàçäåëà ìàòåìàòèêè, êîòîðûå èçäðåâëå ïðèäàâàëè åé äóõ èãðû âûñîêîãî èíòåëëåêòà, â êîòîðîé öàðñòâîâàëà êðàñîòà ëîãè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé. Íà, êàçàëîñü áû, íåâèííûé è åñòåñòâåííûé âîïðîñ ó÷åíèêà “Êàêàÿ ïîëüçà îò ãåîìåòðèè?” Åâêëèä âåëåë ðàáó äàòü ó÷åíèêó ìîíåòó è ïðîãíàòü åãî. “Îí èùåò ïîëüçó â ãåîìåòðèè!” — ñ âîçìóùåíèåì îòâåòñòâîâàë Åâêëèä. Áåñïîëåçíîñòü äëÿ íàðîäíîãî õîçÿéñòâà òåîðèè ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåòñÿ åùå áîëåå î÷åâèäíîé. Íó êîìó, ñêàæèòå, ñòàëî ëåã÷å æèòü ïîñëå òîãî, êàê áûë ïîëó÷åí îòâåò íà âîïðîñ, èìååò ëè ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå xn + yn = zn, åñëè n > 2? À âåäü ýòîò âîïðîñ, èçâåñòíûé êàê Âåëèêàÿ ïðîáëåìà Ôåðìà, âîëíîâàë ìàòåìàòèêîâ áîëåå 300 ëåò. È äàæå äîêàçàííûé åùå Åâêëèäîì ôàêò, ÷òî ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî, âðÿä ëè ñïîñîáåí ïîìî÷ü óâåëè÷åíèþ íàöèîíàëüíîãî âàëîâîãî ïðîäóêòà. Äðóãîå äåëî êîìïüþòåð. Âåùü, áåç ñîìíåíèÿ, ïîëåçíàÿ. Ïðàâäà, îãðàíè÷åííàÿ. È êîëè÷åñòâî ÿ÷ååê ïàìÿòè, õîòü è áîëüøîå, íî êîíå÷íîå. È ðàçðÿäíîñòü êàæäîé ÿ÷åéêè òîæå êîíå÷íà. Òàê ÷òî ÷èñëà òèïà 2 èëè π â ñèëó ñâîåé èððàöèîíàëüíîñòè â êîìïüþòåð “íå ïîìåùàþòñÿ”. À êàê óâèäåòü íà ýêðàíå êîìïüþòåðà áåñêîíå÷íóþ ïðÿìóþ? À åñëè ïðÿìûõ äâå, è íà ãëàç îíè âûãëÿäÿò êàê ïàðàëëåëüíûå? À âäðóã òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âñåòàêè åñòü, íî ãäå-òî äàëåêî-äàëåêî? Êîíå÷íîå è áåñêîíå÷íîå, ðàöèîíàëüíîå è èððàöèîíàëüíîå — âîò ïðîòèâîïîëîæíîñòè, ïðåäñòàâëåííûå â ìàòåìàòèêå ÿðêî, ìîæíî ñêàçàòü, â îáíàæåííîì âèäå. Èððàöèîíàëüíîå è áåñêîíå÷íîå çàâîðàæèâàåò, êàê âçãëÿä â áåçäîííûå ãëóáèíû êîñìîñà èëè â îñíîâû ìèðîçäàíèÿ. Ýòî òî, ÷òî íåäîñòóïíî îùóùåíèþ, à ïîäâëàñòíî òîëüêî ðàçóìó. È ìàëåíüêèé îãðàíè÷åííûé êîìïüþòåð, êàêèì áû ìîùíûì îí íè áûë, êàæåòñÿ çäåñü áåñïîëåçíûì.  1742 ã. Ãîëüäáàõ â ïèñüìå ê Ýéëåðó âûñêàçàë ãèïîòåçó, ÷òî êàæäîå íå÷åòíîå ÷èñëî, íà÷èíàÿ ñ 7, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû òðåõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïî÷òè 200 ëåò ðåøåíèå ïðîáëåìû íå óäàâàëîñü ñäâèíóòü ñ ìåðòâîé òî÷êè.  1934 ã. àêàäåìèê È.Ì. Âèíîãðàäîâ äîêàçàë, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî N, òàêîå, ÷òî âñå íå÷åòíûå ÷èñëà, áîëüøèå ÷åì N, ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû òðåõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïðè÷åì ýòî ÷èñëî N áûëî âû÷èñëåíî (Ê.Áîðîçäêèí): N = åå16,038. Îíî èìååò âñåãî-íàâñåãî 4 008 659 öèôð. È íèêàêîé áåñêîíå÷íîñòè. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèå äëÿ âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ N, è ïðîáëåìà Ãîëüäáàõà áóäåò ðåøåíà. ×åëîâåêó òàêîå, êîíå÷íî, íå ïîä ñèëó. Íî, ê ñîæàëåíèþ, è êîìïüþòåðíûì ñèñ- 82 Ëåêöèÿ 7 òåìàì ïîêà ýòà çàäà÷à íå ïî çóáàì. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà íàêîïèëîñü íåìàëî òåîðåì òåîðèè ÷èñåë, êîòîðûå óòâåðæäàþò, ÷òî âñå õîðîøî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî N, ò.å. òàì, äàëåêî, ãäå íàñ íåò. È äîòÿíóòüñÿ äî ýòîé ãðàíèöû ïðîñòûì ïðèìåíåíèåì êîìïüþòåðà ìû, óâû, íå ìîæåì. Ïîëó÷èëîñü òàê, ÷òî òåîðèÿ ÷èñåë ñòàëà ïîñòàâùèêîì çàäà÷, ýêñòðåìàëüíûõ äëÿ êîìïüþòåðà ïî îáúåìàì ïàìÿòè, ïî áûñòðîäåéñòâèþ, ïî ýôôåêòèâíîñòè ðàçðàáàòûâàåìûõ àëãîðèòìîâ. Êðîìå òîãî, äëÿ ìàòåìàòèêîâ íåîáõîäèìî äîêàçàòåëüñòâî, ÷òî ñîçäàííàÿ êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà ðàáîòàåò ïðàâèëüíî. À âåäü âðó÷íóþ ðåçóëüòàòû íå ïåðåïðîâåðèøü. Ïîòðåáîâàëàñü ðàçðàáîòêà âåñüìà òîíêèõ ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà ïðàâèëüíîñòè àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì (çàìåòèì, ÷òî ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îäíî è òî æå). Î íåêîòîðûõ òàêèõ ìåòîäàõ ìû ðàññêàçûâàëè â ëåêöèè 3. Çäåñü æå ìû ðàññêàæåì, êàê ìàòåìàòèêè ïîìîãàþò îáóçäàòü áåñêîíå÷íîñòü è èððàöèîíàëüíîñòü. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòà ëåêöèÿ î ñîäðóæåñòâå ÷èñòîé ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíîé íàóêè. §1. Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà â òåîðåòèêî-÷èñëîâûõ èññëåäîâàíèÿõ Ïðèâåäåííûå âûøå îáùèå ðàññóæäåíèÿ î ïðèìåíåíèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé â äîêàçàòåëüñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé, íàâåðíî, äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íû. Òåì íå ìåíåå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì óâèäåòü, êàê ðåàëüíî îíè âîïëîùàþòñÿ. Ìû, êîíå÷íî, íå âîçüìåìñÿ ðåøàòü òó èëè èíóþ çíàìåíèòóþ òåîðåòèêî-÷èñëîâóþ ïðîáëåìó, à ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà íå î÷åíü ñëîæíîé çàäà÷å. Çàäà÷à 1. Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîé öèôðû N, îòëè÷íîé îò íóëÿ, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ íà öèôðó N è òàêîå, ÷òî åå ïåðåíîñ â íà÷àëî ÷èñëà ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ÷èñëà â N ðàç? Ïðè N = 1 ïîëîæèòåëüíûé îòâåò î÷åâèäåí: ãîäèòñÿ ëþáîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç áîëåå ÷åì îäíîé 1, íàïðèìåð, 11. À êàê îáñòîèò äåëî ñ äðóãèìè çíà÷åíèÿìè N? Íåíóëåâûõ öèôð ñîâñåì íåìíîãî, ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïîëó÷èòü îòâåò äëÿ êàæäîé èç íèõ. Íà÷íåì ñ N = 2. ×èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íà 2, è ïîñëå ïåðåíîñà ýòîé öèôðû â íà÷àëî äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ â 2 ðàçà áîëüøåå ÷èñëî, è ïîòîìó îíî îêàí÷èâàåòñÿ íà 4. Çíà÷èò, èñõîäíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íà 42. Òîãäà ïîñëå ïåðåíîñà öèôðû 2 â íà÷àëî äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ íà 84. Çíà÷èò, èñõîäíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íà 842. Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðåäøåñòâóþùàÿ öèôðà 6. Ïðîöåññ ïîøåë. Íî ãäå ãàðàíòèÿ, ÷òî îí çàêîí÷èòñÿ? Åñëè ó ÷èòàòåëÿ õâàòèò òåðïåíèÿ, òî îí óáåäèòñÿ, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå åãî æäåò ñ÷àñòëèâîå çàâåðøåíèå — íà ñåìíàäöàòîì øàãå ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 83 105 263 157 894 736 842, óäîâëåòâîðÿþùåå òðåáîâàíèÿì çàäà÷è. Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ íåòðóäíî çàïðîãðàììèðîâàòü, íî ñêîëüêî âðåìåíè æäàòü îòâåò? À âäðóã äëÿ íåêîòîðîãî N òàêîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò? Òîãäà ïðîãðàììà áóäåò ðàáîòàòü âå÷íî1. È ñíîâà íà ïîìîùü ïðèõîäèòñÿ ïðèçâàòü ìàòåìàòèêó. Âî-ïåðâûõ, èçìåíèì íåìíîãî óñëîâèå çàäà÷è, ïðåäëîæèâ ðàññìàòðèâàòü áîëåå îáùóþ ñèòóàöèþ2. Çàäà÷à 2. Èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî óâåëè÷èâàåòñÿ â K ðàç îò ïåðåñòàíîâêè ïîñëåäíåé öèôðû â íà÷àëî. Ïðè êàêèõ K ýòî ìîæåò ïðîèñõîäèòü? Äëÿ êàæäîãî òàêîãî K íàéòè íàèìåíüøåå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííîìó óñëîâèþ.  ýòîé çàäà÷å â îòëè÷èå îò çàäà÷è 1 íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ñàìî ÷èñëî òîæå íà÷èíàëîñü íà K; áîëåå òîãî, íàòóðàëüíîå ÷èñëî K íå îáÿçàíî áûòü öèôðîé. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A èñõîäíîå ÷èñëî, ÷åðåç B — ÷èñëî, ïîëó÷àþùååñÿ èç A ïåðåñòàíîâêîé ïîñëåäíåé öèôðû â íà÷àëî. Òîãäà K = B/A. Ñ ë ó ÷ à é K = 1 èíòåðåñà íå ïðåäñòàâëÿåò, ïîñêîëüêó òîãäà A = B è íàèìåíüøåå ÷èñëî, êàê ìû îòìå÷àëè, ðàâíî 11. (Çàìåòèì, ìåæäó ïðî÷èì, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå ïåðåñòàâëÿåìàÿ öèôðà ñîâïàäàåò ñ K.) Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî K ≥ 2. Ïðåæäå âñåãî ðàçáåðåìñÿ, ñêîëüêèçíà÷íûì ìîæåò áûòü K. Ïîñêîëüêó ÷èñëà B è A èìåþò îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî öèôð, îòíîøåíèå B ê A íå ïðåâîñõîäèò 9. Òàê ÷òî K ≤ 9 (ò.å. ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñàìî K âñåãäà ÿâëÿåòñÿ “öèôðîé”). Ïóñòü X — ïîñëåäíÿÿ öèôðà ÷èñëà A (îíà æå ïåðâàÿ öèôðà ÷èñëà B), à Y — ÷èñëî, îáðàçîâàííîå âñåìè öèôðàìè ÷èñëà A, êðîìå ïîñëåäíåé. Ïóñòü òàêæå n — êîëè÷åñòâî öèôð â ÷èñëå Y. Òîãäà A = 10⋅Y + X, à B = X⋅10n + Y. Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî: X⋅10n + Y = K(10⋅Y + X), îòêóäà 10 n − K Y = x. 10K − 1 Çíàìåíàòåëü 10K – 1 âñåãäà äâóçíà÷åí. Âîò êàêèå çíà÷åíèÿ îí ïðèíèìàåò: K 2 3 4 5 6 7 8 9 10K–1 19 29 39 49 59 69 79 89 8/19 7/29 2/13 5/49 4/59 1/23 2/79 1/89 (10–K)/ (10K–1) 1 Âå÷íî îíà, êîíå÷íî, ðàáîòàòü íå áóäåò — èëè ïðîèçîéäåò ïåðåïîëíåíèå ïàìÿòè êîìïüþòåðà â õîäå âû÷èñëåíèÿ âñå íîâûõ è íîâûõ öèôð, èëè “óïàäåò” íàïðÿæåíèå... 2 Ýòîò ïðèåì äîñòàòî÷íî õîðîøî èçâåñòåí ìàòåìàòèêàì, íî âåñüìà ðåäêî èñïîëüçóåòñÿ â ïðîãðàììèðîâàíèè. 84 Ëåêöèÿ 7  òðåòüåé ñòðîêå ýòîé òàáëèöû ïðèâåäåíî â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè çíà÷åíèå ìíîæèòåëÿ ïåðåä X ïðè n = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íè äëÿ êàêîé öèôðû X ïðè n = 1 çíà÷åíèå Y íå ïîëó÷àåòñÿ öåëûì. Çíà÷èò, n ≥ 2. Òîò ôàêò, ÷òî Y èìååò â çàïèñè n öèôð, îçíà÷àåò, ÷òî 10 n–1 ≤ Y < 10 n. Îòñþäà äëÿ X ïîëó÷àåì äâîéíîå íåðàâåíñòâî: 10 n −1(10 K − 1) 10 n(10 K − 1) . ≤ < X 10 n − K 10 n − K Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà ëåãêî ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó: K− 10 n −1 − K . 10 n − K Ïîñêîëüêó n ≥ 2 è K ≤ 9, äðîáü (10n–1 – K) : (10n – K) ïîëîæèòåëüíà è ìåíüøå 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî X – öåëîå ÷èñëî, ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà ìîæíî çàïèñàòü K ≤ X. Çàéìåìñÿ òåïåðü ïðàâîé ÷àñòüþ ýòîãî íåðàâåíñòâà. Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îíà ðàâíà 9K . 10 n − K Ïîñêîëüêó K ≤ 9 è n ≥ 2, äðîáü 9K / (10n – K) ïîëîæèòåëüíà è ìåíüøå 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî X — öåëîå ÷èñëî, ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà ìîæíî çàïèñàòü X ≤ 10K – 1. Âïðî÷åì, ýòî íåðàâåíñòâî íàì ìàëî ÷òî äàåò, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ X è òàê ìåíüøå 9. Èòàê, ìû âûÿñíèëè, ÷òî ïåðåìåùàåìàÿ öèôðà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì K. Òàê ÷òî â çàäà÷å 1 ïðîñòî âçÿòî íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïåðåìåùàåìîé öèôðû. Òåïåðü çàéìåìñÿ ãëàâíûì âîïðîñîì çàäà÷è 2: ïðè êàêèõ æå K íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî ÷èñëî Y îêàæåòñÿ öåëûì? Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ êàêèõ K ñóùåñòâóåò n, ïðè êîòîðîì 10n – K äåëèòñÿ íà 10K – 1? Çäåñü ìû âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé èäååé. Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé îáîçíà÷èì ÷èñëî 10K – 1 áóêâîé m. ßñíî, ÷òî ÷èñëî m íå èìååò ñ ÷èñëîì 10 îáùèõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò 1.  ÷àñòíîñòè, íèêàêàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 10 íå äåëèòñÿ íà m áåç îñòàòêà. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòåïåíåé ÷èñëà 10: 10K − 1 + 1 = 100; 101; 102; 103; ...; 10 m – 1, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ ýòèõ ÷èñåë íà m. Âñå ýòè îñòàòêè, êàê áûëî ñêàçàíî, îòëè÷íû îò íóëÿ. Îäíàêî ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà m âñåãî ëèøü m – 1. Çíà÷èò, â äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòåïåíåé íàéäóòñÿ äâà ÷èñëà ñ îäèíàêîâûìè îñòàòêàìè Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 85 ïðè äåëåíèè íà m. Ïóñòü ýòî 10a è 10b, ãäå 0 ≤ a < b ≤ m – 1. Òîãäà 10b – 10a äåëèòñÿ íà m. Íî 10b – 10a = 10a (10b–a – 1), à ÷èñëî m íå èìååò ñ ÷èñëîì 10 íååäèíè÷íûõ îáùèõ äåëèòåëåé. Ïîýòîìó íà m â ýòîì ïðîèçâåäåíèè äåëèòñÿ ÷èñëî 10b–a – 1. Îáîçíà÷èì b – a ÷åðåç t. Òàêèì îáðàçîì, íàìè äîêàçàíî, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîé ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè t ≤ m – 1, ÷òî 10t – 1 äåëèòñÿ íà m. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî t âûáðàíî íàèìåíüøèì ñ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî 10t – 1 äåëèòñÿ íà m. Èíûìè ñëîâàìè, ñðåäè ñòåïåíåé 101 ; 102 ; 103 ; ...; 10t –1 íè îäíà íå äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà m. À íà÷èíàÿ ñ 10t îñòàòêè áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåì ñàìûì, íèêàêèõ äðóãèõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà m ñòåïåíåé ÷èñëà 10, êðîìå òåõ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ðÿäó 1 = 100; 101; 102 ; 103 ; ...; 10t – 1, íåò. ×òîáû íà m äåëèëîñü ÷èñëî 10n – K, íóæíî K èìåòü îñòàòêîì ïðè äåëåíèè ïîäõîäÿùåé ñòåïåíè ÷èñëà 10 íà m. À âûÿñíèòü ýòî ìîæíî, ñîñòàâèâ íåñëîæíûé öèêëè÷åñêèé àëãîðèòì, ïîñêîëüêó èçâåñòíî, êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ñòåïåíåé ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü, ÷òîáû ïîíÿòü, âñòðåòèòñÿ ëè íóæíûé îñòàòîê: íå áîëåå ÷åì m – 1. Âîò ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì: àëã çàäà÷à_2 (àðã öåë K) äàíî 2 ≤ K ≤ 9 íàäî | íàïå÷àòàòü ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ÷èñëà 10, | äàþùåé â îñòàòêå K ïðè | äåëåíèè ýòîé ñòåïåíè íà 10K–1. íà÷ öåë X, N X := 1 N := 0 M := 10*K–1 íö ïîêà íå (X = K èëè N = M) X := mod(10*X, M) N := N + 1 êö åñëè X = K òî âûâîä N èíà÷å âûâîä "Òàêîé ñòåïåíè íåò" âñå êîí Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ýòîãî àëãîðèòìà ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå: K n 2 17 3 27 4 5 5 41 6 57 7 21 8 12 9 43 86 Ëåêöèÿ 7 Ïîñêîëüêó íè ïðè êàêîì äîïóñòèìîì çíà÷åíèè K àëãîðèòì íå âûäàë ñîîáùåíèå îá îòñóòñòâèè ïîäõîäÿùåé ñòåïåíè, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Òåîðåìà. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî K ≤ 9 ñóùåñòâóåò ÷èñëî, êîòîðîå óâåëè÷èâàåòñÿ â K ðàç îò ïåðåñòàíîâêè ïîñëåäíåé öèôðû â íà÷àëî. Îáðàòèòå âíèìàíèå, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå äàííîé òåîðåìû ïðèìåíÿëñÿ êîìïüþòåð. Âî-ïåðâûõ, ñíà÷àëà áûëà äîêàçàíà êîíå÷íîñòü ÷èñëà âàðèàíòîâ, ïîäëåæàùèõ ïåðåáîðó, âî-âòîðûõ, ñ ïîìîùüþ ñîñòàâëåííîãî àëãîðèòìà ìû èñêàëè íå ñàìî ÷èñëî, à ïðîâåðÿëè âûïîëíåíèå íåêîòîðîãî óñëîâèÿ, íåîáõîäèìîãî è äîñòàòî÷íîãî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÷èñëà ñ íóæíûì ñâîéñòâîì. Âïðî÷åì, ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííîé òàáëèöåé, ëåãêî óêàçàòü è ñàìè ÷èñëà ñ òðåáóåìûì ñâîéñòâîì — â êà÷åñòâå X íàäî âçÿòü K è âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé äëÿ Y, ÷òîáû íàéòè òðåáóåìîå òàì ÷èñëî A: K A 2 20 10 17 − 2 +2 19 K A 3 30 10 27 − 3 +3 29 6 60 10 57 −6 +6 59 4 40 10 5 − 4 +4 39 7 70 10 21 −7 +7 69 5 50 10 41 − 5 +5 49 8 80 10 12 −8 +8 79 9 90 10 43 −9 +9 89 Æåëàþùèå ìîãóò ïîëó÷èòü òåïåðü è çàïèñü ÷èñëà A öèôðàìè. Íàïðèìåð, ïðè K = 5 ÷èñëî À = 510 204 081 632 653 061 224 489 795 918 367 346 938 775; à ñàìîå äëèííîå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ ïðè K = 6 — îíî ñîäåðæèò 58 öèôð. Çàìåòèì, ÷òî íå âñå ïðèâåäåííûå îòâåòû ê çàäà÷å 1 ÿâëÿþòñÿ îòâåòàìè ê íàøåé çàäà÷å 2: ïðè K = 5 (è òîëüêî ïðè ýòîì çíà÷åíèè K) 3 íàéäåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ çàäà÷è. Ýòî ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè X âçÿòü ðàâíûì 7. Òîãäà íóæíî áóäåò ðàçûñêàòü ñòåïåíü ÷èñëà 10, äàþùóþ â îñòàòêå 5 ïðè äåëåíèè íå íà 49, à âñåãî ëèøü íà 7. Ïîêàçàòåëü òàêîé ñòåïåíè ðàâåí 5. Èñêîìîå ÷èñëî â ýòîì ñëó÷àå 10(105 – 5) / 7 + 7 = 142 857. Ýòî ÷èñëî ïðîñòî “ìàëþòêà” â ñðàâíåíèè ñ ïðèâåäåííûì âûøå 42-çíà÷íûì ÷èñëîì, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ êàê îòâåò ê çàäà÷å 1. 3 Ìåæäó ïðî÷èì, äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ — î òîì, ÷òî ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ K íåò ðåøåíèé çàäà÷è 2, íå ñîâïàäàþùèõ ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 1, — àâòîð ñòàòüè áåç êîìïüþòåðà ïîëó÷àòü íå óìååò. Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 87 Êîíå÷íî, ýòî âñåãî ëèøü äåìîíñòðàöèÿ òîãî, êàê êîìïüþòåð ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Íà ñàìîì äåëå åñëè ïîðàçìûøëÿòü åùå íåìíîãî, òî ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè 10 t – 1 äåëèòñÿ íà 10K – 1, òî 10t–1 ïðè äåëåíèè íà 10K – 1 îáÿçàòåëüíî äàåò îñòàòîê K. Òåì ñàìûì, â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ìîæíî áûëî îáîéòèñü è áåç êîìïüþòåðà. Îäíàêî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ñóùåñòâóåò öåëûé ðÿä ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðûõ áåç êîìïüþòåðà ïîêà ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ. Âîò òîëüêî îäèí ïðèìåð. Äàâíî èçâåñòíî (ñ XVII âåêà) è íåòðóäíî äîêàçàòü ñðåäñòâàìè øêîëüíîé àëãåáðû, ÷òî ÷èñëî 2n – 1 ìîæåò áûòü ïðîñòûì ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî ñàìî ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. ×èñëà âèäà 2n – 1 ïîëó÷èëè äàæå ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå — ÷èñëà Ìåðñåííà — ïî èìåíè ñðåäíåâåêîâîãî ìîíàõà, îáðàòèâøåãî âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ íà ýòè ÷èñëà4. Ê ñîæàëåíèþ, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: íå êàæäîå ÷èñëî âèäà 2n – 1 ïðè ïðîñòîì n ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Íàïðèìåð, ÷èñëî 211 – 1 = 2047 = 23 ⋅ 89 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì. È õîòÿ íåèçâåñòíî, áåñêîíå÷íî ëè ìíîãî ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà, îíè è ñåãîäíÿ ñëóæàò îäíèì èç èñòî÷íèêîâ áîëüøèõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Äî èçîáðåòåíèÿ êîìïüþòåðîâ ñàìûì áîëüøèì èçâåñòíûì ïðîñòûì ÷èñëîì Ìåðñåííà áûëî ÷èñëî 2127 – 1, èìåþùåå 39 öèôð. È ýòî áûëî âîîáùå ñàìîå áîëüøîå èçâåñòíîå â òî âðåìÿ ïðîñòîå ÷èñëî. Ïîÿâëåíèå êîìïüþòåðîâ ñðàçó óâåëè÷èëî íàøå çíàíèå ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà. Óæå â 1952 ãîäó áûëè îáíàðóæåíû ñðàçó 5 ïðîñòûõ ÷èñåë: 2521 – 1; 2607 – 1; 21279 – 1; 22203 – 1; 22281 – 1. Ïîñëåäíåå èç íèõ èìååò 687 öèôð; äàæå äëÿ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ ðàçëîæåíèå òàêîãî ÷èñëà íà ìíîæèòåëè — äåëî âåñüìà íàïðÿæåííîå. Âûõîä èç ýòîé ñëîæíîé ñèòóàöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîñòîòû ÷èñëà Ìåðñåííà èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìûé “êðèòåðèé Ëþêà”. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äëÿ âûáðàííîãî ïðîñòîãî ÷èñëà ð ðåêóððåíòíî ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2, S3, , Sn, ãäå s1 = 4, à Sk + 1 — ð îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà ÷èñëà Sk2 – 2 íà ð. Åñëè Sð – 1 = 0, òî ÷èñëî 2 – 1 ïðîñòîå. Òàê, äëÿ ð = 2281 ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ïðèõîäèòñÿ íå áîëåå ÷åì ñ ñåìèçíà÷íûìè ÷èñëàìè (èáî 22802 = 5 198 400), à ýòî ìîæíî ñäåëàòü â ñàìîé îáû÷íîé êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêå. Ñèòóàöèÿ âïîëíå àíàëîãè÷íàÿ òîé, êîòîðàÿ áûëà ó íàñ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 1, — âìåñòî òîãî, ÷òîáû èñêàòü 58-ðàçðÿäíîå ÷èñëî ïðè K = 6, ìû ïîäîáðàëè èíóþ ôîðìó çàïèñè òàêîãî ÷èñëà è îáîøëèñü âû÷èñëåíèÿìè íå áîëåå ÷åì ñ äâóçíà÷íûìè ÷èñëàìè. 4 Âïðî÷åì, èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè òàê æå èçîáèëóåò áåëûìè ïÿòíàìè, êàê è ëþáàÿ äðóãàÿ èñòîðèÿ. Íåêîòîðûå èññëåäîâàòåëè ñ÷èòàþò, ÷òî ïðîñòûìè ÷èñëàìè Ìåðñåííà èíòåðåñîâàëèñü óæå ïèôàãîðåéöû â ñâÿçè ñ òàê íàçûâàåìûìè “ñîâåðøåííûìè ÷èñëàìè”. 88 Ëåêöèÿ 7 §2. Ìàòåìàòèêà êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêè Óæå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû íåñêîëüêî ðàç óïîìÿíóëè î òðóäíîñòÿõ êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îãðàíè÷åííîñòüþ ðàçðÿäíîé ñåòêè. ×òî ñòîèò çà ýòèìè ñëîâàìè? Ôèçè÷åñêè ïàìÿòü êîìïüþòåðà — ýòî ïðîíóìåðîâàííàÿ ñîâîêóïíîñòü ÿ÷ååê.  ñâîþ î÷åðåäü, êàæäàÿ ÿ÷åéêà ñîñòîèò èç âîñüìè óñòðîéñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé. Îäíî èç ñîñòîÿíèé êîäèðóåòñÿ ñèìâîëîì 0, à äðóãîå — ñèìâîëîì 1. Òåì ñàìûì, â îäíîé ÿ÷åéêå ðàçìåùàåòñÿ 1 áàéò èíôîðìàöèè. Ñîäåðæèìîå êàæäîé ÿ÷åéêè, åñëè îòáðîñèòü âîçìîæíî ñòîÿùèå â íåé ïåðâûå íóëè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Ïðè ýòîì êîäó 00000000 ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷èñëî 0. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî òàêîå êîäèðîâàíèå ïîçâîëÿåò çàïèñàòü öåëûå ÷èñëà îò 0 äî 255 âêëþ÷èòåëüíî. Âåäü ñàìîå áîëüøîå ÷èñëî — ýòî 1111111112 = 28 – 1 = 255. Îäíàêî, êðîìå ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, ñóùåñòâóþò îòðèöàòåëüíûå. ×òîáû óêàçàòü çíàê ÷èñëà, íóæåí åùå îäèí áèò. Ïðè ýòîì äîãîâàðèâàþòñÿ, ÷òî åãî íóëåâîå çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóåò çíàêó “+”, à åäèíè÷íîå çíà÷åíèå — çíàêó “–”. Îáû÷íî ïîä çíàê âûäåëÿþò ñàìûé ëåâûé áèò ÿ÷åéêè. Òîãäà êîä íàèáîëüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â îäíîé ÿ÷åéêå, — ýòî 01111111. Åìó ñîîòâåòñòâóåò äåñÿòè÷íîå ÷èñëî +127. À êîä íàèìåíüøåãî îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà — ýòî 111111111; â äåñÿòè÷íîé çàïèñè åìó ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî –127. ×òîáû íàéòè ñóììó ÷èñåë 1012 è 10112, ñ èõ êîäàìè ìîæíî äåéñòâîâàòü ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ äâîè÷íûõ ÷èñåë: 00000101 + 00001011 = 00010000. Íî ïîïûòêà ïî òåì æå ïðàâèëàì ñëîæèòü êîäû ÷èñåë 10101012 è 1111012 ïðèâåäåò ê ñòðàííîìó ðåçóëüòàòó: 01010101 + 00111101 = 100100010. Ðåçóëüòàò îêàçàëñÿ îòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì! Êàæäîìó ÿñíî: îøèáêà âîçíèêëà èç-çà òîãî, ÷òî ðàçðÿäíàÿ ñåòêà ÿ÷åéêè ñîäåðæèò âñåãî ñåìü ìåñò. Âïðî÷åì, åñëè ÿ÷åéêà èìåëà áû è áîëüøå ðàçðÿäîâ, âñå ðàâíî òàêàÿ îøèáêà âîçíèêíåò êàæäûé ðàç, êàê ïîòðåáóåòñÿ íàéòè ñóììó äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ÷èñåë. Îïèñàííîå âûøå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì ïåðåïîëíåíèÿ. È î íåì ïðèõîäèòñÿ ïîìíèòü, êîãäà èìååøü äåëî ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè öåëûìè ÷èñëàìè. Ïîïûòàåìñÿ òåïåðü ñëîæèòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ñ îòðèöàòåëüíûì. Íàïðèìåð, ÷èñëî 10102 ñ ÷èñëîì –1012. Èõ êîäû, ñîîòâåòñòâåííî, òàêîâû: 00001010 è 10000101. À ðåçóëüòàòîì äîëæíî áûòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî 1012. Äàæå ñàì àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ êîäà ðåçóëüòàòà ñôîðìóëèðîâàòü íå òàê óæ ïðîñòî (ïîïûòàéòåñü, ðàäè èíòåðåñà, òàêîå ïðîäåëàòü), à òåì áîëåå ðåàëèçîâàòü ïðîñòîå óñòðîéñòâî, êîòîðîå áû ýòîò àëãîðèòì èñïîëíÿëî. À âåäü ñëîæå- Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 89 íèå êîìïüþòåðó ïðèõîäèòñÿ âûïîëíÿòü äîâîëüíî ÷àñòî, òàê ÷òî âñå äîëæíî áûòü êàê ìîæíî ïðîùå è áûñòðåå. Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíåíèå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ áûëî ïðîùå è íå çàâèñåëî îò çíàêà ñëàãàåìûõ, îòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà êîäèðóþò äðóãèì ñïîñîáîì. Íî ñíà÷àëà ïîãîâîðèì î íóëå. ×òî áóäåò, åñëè â âîñüìèðàçðÿäíóþ ÿ÷åéêó ïîïûòàòüñÿ çàïèñàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî 1000000002 ? Âñå âîñåìü ðàçðÿäîâ îêàæóòñÿ íóëÿìè. Çíà÷èò, êîìïüþòåð âîñïðèíèìàåò ýòî ÷èñëî êàê 0. Ýòèì-òî ìû è âîñïîëüçóåìñÿ. Âû÷òåì èç ÷èñëà 1000000002 ÷èñëî 1012. Ïîëó÷èòñÿ 111110112. Åñëè òåïåðü ýòî ÷èñëî ñëîæèòü ñ ÷èñëîì 1012, òî êîìïüþòåð âîñïðèìåò ðåçóëüòàò êàê 0. Ïîýòîìó ÷èñëî 111110112 åñòåñòâåííî îáúÿâèòü êîäîì îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà –1012. Åãî íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûì êîäîì äàííîãî îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Îá îäíîì êîäå ïîãîâîðèì îòäåëüíî. Ðàññìîòðèì êîä 10000000. Âîïåðâûõ, ýòî êîä îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, ïîñêîëüêó â ñàìîì ëåâîì ðàçðÿäå ñòîèò 1. Êîìïüþòåð âîñïðèíèìàåò åãî êàê äîïîëíèòåëüíûé êîä. Òîãäà ïðÿìîé êîä ïðîòèâîïîëîæíîãî åìó ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ñîâïàäàåò ñ ðàçíîñòüþ 1000000002 – 100000002. Îíà ðàâíà 10000000, ò.å. 12810. Òàêèì îáðàçîì, íàèìåíüøåå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â âîñüìèáèòîâóþ ÿ÷åéêó, — ýòî –128. Êîäîì ÷èñëà 0 ÿâëÿåòñÿ 00000000. À ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè çàïèñàòü äîïîëíèòåëüíûé êîä äëÿ ÷èñëà –0? Âû÷èòàåì èç 1000000002 ÷èñëî 02 è ïîëó÷àåì 1000000002. Ïðè çàïèñè â ÿ÷åéêó ñíîâà îêàæåòñÿ 00000000. Òàê ÷òî êîìïüþòåð, êàê è ìû ñ âàìè, íå ðàçëè÷àåò ÷èñëà +0 è –0. Êîíå÷íî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî êîäà îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà n ìîæíî êàæäûé ðàç âû÷èòàòü èç 1000000002 ìîäóëü ÷èñëà n. Íî åñòü è äðóãîé ñïîñîá. Âîò êàê ìîæíî ïîñòóïàòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûé êîä îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà: 1. Çàïèñàòü äâîè÷íûé êîä ìîäóëÿ ÷èñëà. 2.  ïîëó÷åííîé çàïèñè êàæäóþ öèôðó 1 çàìåíèòü öèôðîé 0, à êàæäóþ öèôðó 0 — öèôðîé 1. 3. Ê ïîëó÷åííîìó êîäó, ðàññìàòðèâàåìîìó êàê íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äâîè÷íîé ñèñòåìå, ïðèáàâèòü 1. Êàê âèäèòå, ïîñòðîåíèå äîïîëíèòåëüíîãî êîäà îñóùåñòâëÿåòñÿ ëåãêî. È ïîñêîëüêó âû÷èòàíèå ìîæíî çàìåíèòü ñëîæåíèåì ñ ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëîì, ïåðåõîä ê äîïîëíèòåëüíîìó êîäó ÷èñëà ïîçâîëÿåò âîîáùå îáîéòèñü áåç âû÷èòàíèÿ. Êîíå÷íî, äèàïàçîí îò –128 äî +127 âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìàëîâàò äëÿ ðåøåíèÿ âîçíèêàþùèõ çàäà÷. Íî âîâñå íå îáÿçàòåëüíî õðàíèòü öåëîå ÷èñëî ðîâíî â îäíîé âîñüìèáèòîâîé ÿ÷åéêå. Îáû÷íî äëÿ öåëûõ ÷èñåë îòâîäèòñÿ äâå ÿ÷åéêè — èìåííî òàê ïðîèñõîäèò, åñëè âû îáúÿâëÿåòå â 90 Ëåêöèÿ 7 Ïàñêàëå òèï ïåðåìåííîé Integer. Åñëè æå îáúÿâèòü òèï LongInt, òî ïîä öåëîå ÷èñëî áóäóò îòâåäåíû 4 âîñüìèáèòîâûå ÿ÷åéêè. À âîò îäíà ÿ÷åéêà îòâîäèòñÿ, åñëè îáúÿâëåí òèï ShortInt. Åñëè ïîä çàïèñü ÷èñëà îòâåäåíî äâå ÿ÷åéêè, òî îíè âîñïðèíèìàþòñÿ êàê åäèíîå öåëîå. Ïðèíöèï æå êîäèðîâàíèÿ òîò æå: ñàìûé ëåâûé ðàçðÿä îòâîäèòñÿ ïîä çíàê ÷èñëà, îñòàëüíûå ïÿòíàäöàòü ðàçðÿäî⠗ äëÿ êîäà àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ÷èñëà. Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóåòñÿ ïðÿìîé êîä, äëÿ îòðèöàòåëüíûõ — äîïîëíèòåëüíûé. Òåì ñàìûì, äèàïàçîí öåëûõ ÷èñåë òàêîâ: îò –32 768 äî +32 767 = 215 – 1. Âîîáùå, åñëè äëÿ çàïèñè öåëûõ ÷èñåë èñïîëüçóåòñÿ m-áèòíûé äâîè÷íûé êîä, òî äèàïàçîí êîäèðóåìûõ ÷èñåë îò –2m–1 äî 2m–1 – 1. ßñíî, ÷òî ïðè óìíîæåíèè öåëûõ ÷èñåë ýôôåêò ïåðåïîëíåíèÿ âîçíèêàåò åùå ÷àùå. À êàê íà ýòî ðåàãèðóåò êîìïüþòåð? Ïåðåïîëíåíèå ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèé ñ ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè ñ ôèêñèðîâàííîé çàïÿòîé, íå âûçûâàåò ïðåðûâàíèÿ ðàáîòû ïðîöåññîðà.  çàâèñèìîñòè îò èñïîëüçóåìîãî ÿçûêà äèàãíîñòèêà ìîæåò îòñóòñòâîâàòü (òàê, íàïðèìåð, ïðîèñõîäèò ïðè èñïîëüçîâàíèè áîëüøèíñòâà âåðñèé ÿçûêà Òóðáî Ïàñêàëü), ìîæåò ñîîáùàòü ïîëüçîâàòåëþ î äàííîì ñîáûòèè è æäàòü åãî ðåàêöèè, à ìîæåò ïðîñòî ïåðåõîäèòü ê çàïèñè ÷èñëà ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé (òàê áûâàåò â ðàçëè÷íûõ âåðñèÿõ ÿçûêà Áåéñèê). Êîíå÷íî, êðîìå öåëûõ ÷èñåë, ÷åëîâåê àêòèâíî ïîëüçóåòñÿ äðîáÿìè. È ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî ìîæåò áûòü çàïèñàíî êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ. Âïðî÷åì, òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íóæíî áûâàåò, êàê ïðàâèëî, ëèøü â òåîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèÿõ. À íà ïðàêòèêå... Íà ïðàêòèêå â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî èìåííî ñ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè âåëè÷èí. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ âîçíèêàþò ïðè èçìåðåíèÿõ, ïðè ïîäñ÷åòå áîëüøèõ âåëè÷èí, äà è âî ìíîãèõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ. Ïîýòîìó èññëåäîâàòåëü èëè èíæåíåð, ðåøàÿ òó èëè èíóþ çàäà÷ó, äîëæåí èçíà÷àëüíî îöåíèòü, ñêîëüêî çíà÷àùèõ öèôð ñëåäóåò èìåòü â õîäå ïðîâîäèìûõ èì âû÷èñëåíèé è ñêîëüêî îñòàâèòü â ðåçóëüòàòå. Íî îá ýòîì ðå÷ü îáû÷íî èäåò â êóðñå ìàòåìàòèêè. Ìû æå ñåé÷àñ õîòèì îáðàòèòü âàøå âíèìàíèå íà äðóãîå. Äîïóñòèì, ðåøåíî, ÷òî äîñòàòî÷íî òðåõ çíà÷àùèõ öèôð. Òîãäà â ÷èñëàõ, ñêàæåì, 37 200 000; –372; 3,72; 0,000372 íàì òðåáóåòñÿ çíàòü ëèøü ýòè òðè öèôðû è òî, íà÷èíàÿ ñ êàêîãî äåñÿòè÷íîãî ðàçðÿäà îíè çàïèñàíû. Èìåííî òàêóþ èíôîðìàöèþ è íàäî ñîîáùèòü êîìïüþòåðó. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì ÷èñëà åäèíîîáðàçíî: ïèøåì 0 (à ïåðåä íèì çíàê “–”, åñëè ÷èñëî îòðèöàòåëüíî), çàòåì çàïÿòóþ, ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé ïèøåì çíà÷àùèå öèôðû è ïîëó÷èâøóþñÿ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæàåì íà ïîäõîäÿùóþ ñòåïåíü ÷èñëà 10. Âîò ÷òî ïîëó÷èòñÿ äëÿ ÷åòûðåõ óêàçàííûõ âûøå Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 91 ÷èñåë: 37 200 000 = 0,372⋅108; –372 = –0,372⋅103; 3,72 = 0,372⋅101; 0,000372 = 0,372⋅10–3. ßñíî, ÷òî àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ëþáîãî ÷èñëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó 0,1 è 1, è ñòåïåíè ÷èñëà 10 ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì. Äðîáíàÿ ÷àñòü ïåðâîãî ìíîæèòåëÿ â òàêîì ïðåäñòàâëåíèè íàçûâàåòñÿ ìàíòèññîé ÷èñëà, à ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ÷èñëà 10 — ïîðÿäêîì ÷èñëà. Ñàìî ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà â âèäå òàêîãî ïðîèçâåäåíèÿ íàçûâàåòñÿ íîðìàëèçîâàííîé çàïèñüþ ÷èñëà. Ïî-äðóãîìó òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë íàçûâàþò çàïèñüþ ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé. Ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîå êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ â ìàíòèññå ÷èñëà îïðåäåëÿåò òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé äàííîå ÷èñëî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî.  êîìïüþòåðå ÷èñëà ïðåäñòàâëåíû â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Äëÿ äâîè÷íîé ñèñòåìû íîðìàëèçîâàííûé âèä ÷èñëà — ýòî ïðåäñòàâëåíèå åãî â âèäå ±m⋅2 p, ãäå 0,12 ≤ m < 1, à ð — öåëîå ÷èñëî. Íàïðèìåð, 0,110 = 0,0(0011)2 = 0,11(0011) ⋅ 2–3. ×èñëî ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé â ïàìÿòè êîìïüþòåðà ìîæåò çàíèìàòü ðàçíîå êîëè÷åñòâî áàéòîâ. Äëÿ çàïèñè ÷èñëà, êàê ãîâîðÿò, ñ îáû÷íîé òî÷íîñòüþ îòâîäèòñÿ 4 áàéòà, à ÷èñëà äâîéíîé òî÷íîñòè çàíèìàþò 8 áàéòîâ. Âïðî÷åì, â çàâèñèìîñòè îò êîíñòðóêöèè êîìïüþòåðà âñòðå÷àþòñÿ è äðóãèå âàðèàíòû, íàïðèìåð, êîãäà ïîä çàïèñü ÷èñëà îòâîäèòñÿ 10 áàéòîâ.  áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ òîãî, ÷òî íàçûâàþò îáû÷íîé òî÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, îêàçûâàåòñÿ âïîëíå äîñòàòî÷íî. Ïîýòîìó è ìû äàëüøå ðàññìîòðèì òîëüêî ýòîò ñëó÷àé.  íåì ïîä çíàê ÷èñëà è ïîðÿäîê îòâîäèòñÿ 1 áàéò, è ýòî ïåðâûå 8 ðàçðÿäîâ. Îñòàëüíûå 24 ðàçðÿäà îòâîäÿòñÿ ïîä ìàíòèññó. Ýòî, íàïðèìåð, îçíà÷àåò, ÷òî ìàíòèññà êîìïüþòåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà 0,110 áóäåò òàêîâà: 110011001100110011001101 Çíàê ÷èñëà êîäèðóåòñÿ îáû÷íûì îáðàçîì: “ïëþñ” êîäèðóåòñÿ ñèìâîëîì 0, “ìèíóñ” — ñèìâîëîì 1. ×òî êàñàåòñÿ ïîðÿäêà ÷èñëà, òî òàì çàïèñûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìûé ìàøèííûé ïîðÿäîê. Ïîä íåãî îòâåäåíî ñåìü ðàçðÿäîâ, è îí ðàâåí öåëîìó íåîòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó, äëÿ êîòîðîãî äàííûé êîä ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì äâîè÷íûì êîäîì. Íàïðèìåð, êîäó 0101011 ñîîòâåòñòâóåò ìàøèííûé ïîðÿäîê 43. Ìàøèííûé ïîðÿäîê ñâÿçàí ñ ïîðÿäêîì ÷èñëà ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîðÿäîê ÷èñëà = ìàøèííûé ïîðÿäîê – 26. Òåì ñàìûì, öåïî÷êà 0101011 ÿâëÿåòñÿ êîäîì ïîðÿäêà, ðàâíîãî –21. À ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0000000 êîäèðóåò ïîðÿäîê –64. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî 92 Ëåêöèÿ 7 íóëåâîé ïîðÿäîê êîäèðóåòñÿ êàê 1000000. Íàèáîëüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïîðÿäîê èìååò êîä 1111111 è ðàâåí 63. Âîò êàê âûãëÿäèò ïîëíûé êîìïüþòåðíûé êîä ÷èñëà 0,110: 0| 0111101 E55555F 110011001100110011001101 E5555555555555555555555F 5 çíàê ÷èñëà ìàøèííûé ïîðÿäîê ìàíòèññà Çàìåòèì åùå ðàç, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé â ïàìÿòè êîìïüþòåðà ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ âåñüìà ïî-ðàçíîìó — â çàâèñèìîñòè îò ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îñîáåííîñòåé àðõèòåêòóðû ÝÂÌ è ò.ä. Íàïðèìåð, â íåêîòîðûõ ÿçûêàõ ïîä ìàíòèññó îòâîäèòñÿ âñåãî ëèøü îäèí áàéò è çíàê ÷èñëà çàïèñûâàåòñÿ ïðè ìàíòèññå, à íå âûíîñèòñÿ â êðàéíèé ëåâûé ðàçðÿä. Ìû çäåñü ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ëèøü îñíîâíûå ïðèíöèïû ïðåäñòàâëåíèÿ òàêèõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëîæåíèå ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé. Åñëè ó ÷èñåë â íîðìàëèçîâàííîì âèäå ïîðÿäêè îäèíàêîâû, òî äîñòàòî÷íî ñëîæèòü ìàíòèññû ýòèõ ÷èñåë, à çàòåì íîðìàëèçîâàòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, åñëè ýòà ñóììà îêàæåòñÿ áîëüøå 1 èëè ìåíüøå 0,1. Íàïðèìåð, 0,101⋅2–3 + 0,1101⋅2–3 = 1,0111⋅2–3 = 0,10111⋅2–2; 0,101⋅2–3 + (–0,1101⋅2–3) = –0,0011⋅2–3 = –0,11⋅2–5. Õîòÿ ïðèìåðû ïðèâåäåíû â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ÿñíî, ÷òî âûñêàçàííîå ïðàâèëî äåéñòâóåò â ëþáîé ïîçèöèîííîé ñèñòåìå. Åñëè æå ïîðÿäêè íîðìàëèçîâàííûõ ÷èñåë ðàçëè÷íû, òî ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé ïðåäâàðèòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ îïåðàöèÿ âûðàâíèâàíèÿ ïîðÿäêîâ ñëàãàåìûõ. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà ÷èñëà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñäâèãå ìàíòèññû íà îäèí ðàçðÿä âïðàâî ñ îäíîâðåìåííûì óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà íà 1. Ïîýòîìó â òîì ñëàãàåìîì, ó êîòîðîãî ïîðÿäîê ìåíüøå, ïðîèçâîäèòñÿ ñäâèã ìàíòèññû âïðàâî íà ðàçíîñòü ìåæäó ïîðÿäêàìè, ïîñëå ÷åãî ìàíòèññû ñêëàäûâàþòñÿ, è ðåçóëüòàò ñíîâà íîðìàëèçóåòñÿ. Íàïðèìåð, 0,101⋅2–3 + 0,1101⋅2–4 = 0,101⋅2–3 + 0,01101⋅2–3 = = 1,00001⋅2–3 = 0,100001⋅2–2; 0,101⋅2–3 + (–0,1101⋅2–4) = = 0,101⋅2–3 + (–0,01101⋅2–3) = 0,00111⋅2–3 = = 0,111⋅2–5. Çíà÷èò, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé. ×òîáû ñëîæèòü äâà ÷èñëà â íîðìàëèçîâàííîì âèäå, èõ ïîðÿäêè âûðàâíèâàþò, ìàíòèññû ñêëàäûâàþò, ïîñëå ÷åãî ðåçóëüòàò, åñëè íåîáõîäèìî, íîðìàëèçóþò. Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 93 Íàìíîãî ïðîùå âûïîëíÿåòñÿ óìíîæåíèå è äåëåíèå ÷èñåë â íîðìàëèçîâàííîì âèäå. ×òîáû óìíîæèòü äâà ÷èñëà â íîðìàëèçîâàííîì âèäå, èõ ïîðÿäêè ñêëàäûâàþò, à ìàíòèññû ïåðåìíîæàþò, ïîñëå ÷åãî ðåçóëüòàò, åñëè íåîáõîäèìî, íîðìàëèçóþò. Íàïðèìåð, 0,101⋅2 – 3 ⋅0,1011⋅2 4 = (0,101⋅0,1011)⋅2 – 3 + 4 = 0,0110111⋅2 1 = = 0,110111⋅20. ×òîáû â íîðìàëèçîâàííîì âèäå ðàçäåëèòü îäíî ÷èñëî íà äðóãîå, èç ïîðÿäêà äåëèìîãî âû÷èòàþò ïîðÿäîê äåëèòåëÿ è ìàíòèññó äåëèìîãî äåëÿò íà ìàíòèññó äåëèòåëÿ, à çàòåì íîðìàëèçóþò, åñëè íåîáõîäèìî, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Íàïðèìåð, 0,1011⋅2–3 : 0,101⋅24 = (0,1011 : 0,101)⋅2–3–4 = 1,0001100110011... ⋅2–7 = = 0,10001100110011... ⋅2–6. Ïîñëåäíèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íà ïðàêòèêå äàæå ïðè îáû÷íûõ âû÷èñëåíèÿõ ìû áóäåì âûíóæäåíû äîâîëüñòâîâàòüñÿ ëèøü ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äðîáè.  êîìïüþòåðå îãðàíè÷åííîñòü ðàçðÿäíîé ñåòêè èãðàåò åùå áîëüøóþ ðîëü. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, ìû ñêëàäûâàåì ÷èñëà a = 0,1⋅213 è b = 0,1⋅2–12. Ïîñëå âûðàâíèâàíèÿ ïîðÿäêîâ ïîëó÷àåì: 0,1 0,00000000000000000000000001 0,10000000000000000000000001 Íî â ðàçðÿäíóþ ñåòêó äëÿ ìàíòèññû ïîìåùàåòñÿ ëèøü 24 öèôðû, à íå 26. Ïîýòîìó äâà ïîñëåäíèõ ðàçðÿäà áóäóò óòåðÿíû, è ðåçóëüòàò ñîâïàäåò ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ⠓êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêå” âïîëíå ìîæåò îêàçàòüñÿ a + b = a, õîòÿ b ≠ 0. È ýòî äàëåêî íå åäèíñòâåííàÿ îñîáåííîñòü êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêè.  çàäàíèè 15 ïðèâåäåí ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí äëÿ ñëîæåíèÿ. Ïðè óìíîæåíèè è äåëåíèè íîðìàëèçîâàííûõ ÷èñåë îäíèì èç âîçìîæíûõ ýôôåêòîâ ÿâëÿåòñÿ ïåðåïîëíåíèå ðàçðÿäíîé ñåòêè äëÿ ïîðÿäêà ÷èñëà. Âîò ïðèìåð: 0,1001⋅232⋅0,11⋅233 = 0,011011⋅265 = 0,11011⋅264. Íî íàèâûñøèé âîçìîæíûé ïîðÿäîê — ýòî 63. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ðåçóëüòàò íåïðåäñòàâèì â êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêå. Îáû÷íî îïåðàöèîííàÿ ñèñòåìà èëè êîìïèëÿòîð ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ â òàêîì ñëó÷àå äàåò 94 Ëåêöèÿ 7 äèàãíîñòèêó “ïåðåïîëíåíèå”. Âïðî÷åì, ïåðåïîëíåíèå äëÿ íîðìàëèçîâàííûõ ÷èñåë ìîæåò âîçíèêíóòü è ïðè ñëîæåíèè; â çàäàíèè 17 âàì ïðåäëàãàåòñÿ ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð. Êðîìå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ, êîãäà ïðè âû÷èñëåíèè íà êîìïüþòåðå ïîëó÷àåòñÿ íåâåðíûé ðåçóëüòàò èëè ðåçóëüòàò âîîáùå íå ïîëó÷àåòñÿ, íàäî èìåòü â âèäó ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ îêðóãëåíèåì ÷èñåë. Ýòè ýôôåêòû òàêæå îáóñëîâëåíû îãðàíè÷åííîñòüþ ðàçðÿäíîé ñåòêè. Îäíèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïîòåðÿ çíà÷àùèõ öèôð. Âîçüìåì, ê ïðèìåðó, ÷èñëà 1/1000 è 1/1004.  äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ â íîðìàëèçîâàííîì âèäå îíè ñ ó÷åòîì îêðóãëåíèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,100000110001001001101111⋅2– 9 è 0,100000101000110010110000 ⋅2 –9. Ïîñëå âû÷èòàíèÿ ïîëó÷èòñÿ 0,1000010110111111⋅2–17. Òî÷íîå çíà÷åíèå ðàçíîñòè ðàâíî 4/1004000. Ïðè çàïèñè â íîðìàëèçîâàííîì âèäå ñ 24-ðàçðÿäíîé ìàíòèññîé ïîëó÷àåì 0,100001011010111011101100 ⋅2–17. Êàê âèäèòå, òîëüêî ïåðâûå 11 öèôð ïîñëå çàïÿòîé îêàçàëèñü òî÷íûìè. Èòàê, êîìïüþòåðíàÿ àðèôìåòèêà ìîæåò äàâàòü ñëåäóþùèå ýôôåêòû: 1) îøèáêè îêðóãëåíèÿ, êîòîðûå âîçíèêàþò ïðè çàïèñè ÷èñåë ñ îêðóãëåíèåì è ìîãóò íàêàïëèâàòüñÿ ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèé; 2) ïåðåïîëíåíèå ðàçðÿäíîé ñåòêè ïîðÿäêà ÷èñåë ïðèâîäèò ê ïîëó÷åíèþ íåâîñïðîèçâîäèìîãî â êîìïüþòåðå ÷èñëà; 3) ïîòåðÿ çíà÷àùèõ öèôð ïðè âû÷èòàíèè áëèçêèõ ÷èñåë èëè ïðè ïåðåïîëíåíèè ðàçðÿäíîé ñåòêè ìàíòèññû; 4) èãíîðèðîâàíèå ñëàãàåìîãî ïðè áîëüøîé ðàçíèöå â ïîðÿäêàõ.  êà÷åñòâå ïðàêòè÷åñêîé ðåêîìåíäàöèè îòìåòèì, ÷òî äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â êîìïüþòåðå â íîðìàëèçîâàííîì âèäå, íå ñëåäóåò ñðàâíèâàòü èõ íà òî÷íîå ðàâåíñòâî; âìåñòî ýòîãî íàäî ñðàâíèâàòü àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó èõ ðàçíîñòè ñ ïîäõîäÿùèì ìàëåíüêèì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, ñîîòâåòñòâóþùèì ïîãðåøíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Êàêîâà îñíîâíàÿ ïðè÷èíà ðàçëè÷íûõ ýôôåêòîâ êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêè? 2. ×òî òàêîå äîïîëíèòåëüíûé êîä? Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî êîäà? 3. Êàêîâ äèàïàçîí öåëûõ ÷èñåë, äëÿ êîäèðîâàíèÿ êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ 4 ÿ÷åéêè? 4.  ÷åì ñîñòîèò ýôôåêò ïåðåïîëíåíèÿ? 5. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó ïðèâåäåííûé â îáúÿñíèòåëüíîì òåêñòå ïàðàãðàôà ñïîñîá äåéñòâèòåëüíî äàåò äîïîëíèòåëüíûé êîä îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ 95 6. à) Ñëåäóþùèå öåëûå ÷èñëà çàïèñàíû â ïðÿìîì âîñüìèáèòíîì êîäå: 01101010; 10111011; 10001001; 01010111; 11111111. Íàéäèòå ñðåäè íèõ îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà è çàïèøèòå èõ â äîïîëíèòåëüíîì êîäå. á) Ñëåäóþùèå ÷èñëà çàïèñàíû â ïðÿìîì øåñòíàäöàòèáèòíîì êîäå: 0110101010111011; 1011101110111011; 1011101110001001; 0101011110111011; 1111111111111111. Íàéäèòå ñðåäè íèõ îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà è çàïèøèòå èõ â äîïîëíèòåëüíîì êîäå. 7. à) Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë 10010 è 5010 â îäíîáàéòîâîì êîäå ïðåäñòàâëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë ñî çíàêîì. Êîäîì êàêîãî ÷èñëà (â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ) áóäåò ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò? (Ñîâåò: íå çàáóäüòå, ÷òî îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà ïðåäñòàâëÿþòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì êîäå.) á) Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë –8010 è –6410 â îäíîáàéòîâîì êîäå ïðåäñòàâëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë ñî çíàêîì. Êîäîì êàêîãî ÷èñëà (â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ) áóäåò ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò? 8. Ïî÷åìó ïðè êîìïüþòåðíîì ñëîæåíèè öåëûõ ÷èñåë ìîæåò íàðóøàòüñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí (a + b) + c = a + (b + c)? Äëÿ îáîñíîâàíèÿ îòâåòà ïðèâåäèòå ïîäõîäÿùèé ïðèìåð. 9. Êàêóþ çàïèñü ÷èñëà íàçûâàþò íîðìàëèçîâàííîé? ×òî òàêîå ìàíòèññà è ïîðÿäîê ÷èñëà? 10. Êàêèì áóäåò ïåðâûé ñèìâîë êîäà ìàøèííîãî ïîðÿäêà ÷èñëà, åñëè ïîðÿäîê ÷èñëà, ïðåäñòàâëåííîãî â äâîè÷íîì íîðìàëèçîâàííîì âèäå, íåîòðèöàòåëåí? 11.  îáúÿñíèòåëüíîì òåêñòå ïàðàãðàôà ïðèâåäåíà ÷åòûðåõáàéòîâàÿ çàïèñü ÷èñëà 0,110 â ïàìÿòè êîìïüþòåðà. à) Êàêîìó äåñÿòè÷íîìó ÷èñëó íà ñàìîì äåëå ñîîòâåòñòâóåò ýòà çàïèñü? á) Êàêîâû àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà 0,110? â) Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó ïîñëåäíåé öèôðîé ìàíòèññû îêàçàëàñü öèôðà 1. 12. Óêàæèòå, êàêèå èç íèæåïðèâåäåííûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ïàìÿòè êîìïüþòåðà ÷åòûðåõáàéòîâûì êîäîì ÷èñëà ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé, îïèñàííûì â îáúÿñíèòåëüíîì òåêñòå. à) 0,19⋅1018; â) 0,2⋅1019; 19 ã) –0,37⋅10–19; á) –0,18⋅10 ; –20 ä) 0,37⋅10 . 13. Âûïîëíèòå ñëîæåíèå äâîè÷íûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëåííûõ â íîðìàëèçîâàííîì âèäå. Ðåçóëüòàò íîðìàëèçóéòå. à) 0,101⋅23 + 0,1⋅23; á) 0,1011⋅22 + 0,1⋅2–1; â) –0,1011⋅2–1 + 0,1⋅2–2. 96 Ëåêöèÿ 7 14. Âûïîëíèòå óìíîæåíèå äâîè÷íûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëåííûõ â íîðìàëèçîâàííîì âèäå. Ðåçóëüòàò íîðìàëèçóéòå. à) 0,101⋅23⋅0,1⋅23; á) 0,1011⋅22 ⋅ 0,1⋅2–1; â) –0,1011⋅2–1 ⋅ 0,1⋅2–2. 15. Ïî ïðàâèëàì êîìïüþòåðíîé àðèôìåòèêè âû÷èñëèòå ñóììû (–0,111⋅211 + 0,1⋅213) + 0,11⋅2–12 è –0,111⋅211 + (0,1⋅213 + 0,11⋅2–12). Óáåäèòåñü, ÷òî äëÿ ýòèõ ÷èñåë íàðóøàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí. 16. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó ïðè óìíîæåíèè ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé ìîæåò íàðóøàòüñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí. Ïðèâåäèòå ïîäòâåðæäàþùèå ïðèìåðû. 17. Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóõ íîðìàëèçîâàííûõ äâîè÷íûõ ÷èñåë, ïðè ñëîæåíèè êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòè ïåðåïîëíåíèå. 18. Äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è Ïåòÿ ñîñòàâèë ñëåäóþùèé àëãîðèòì: àëã Ñóììà1 (àðã öåë N, ðåç âåù: S) íà÷ öåë: K ââîä N S := 0 íö äëÿ K îò 1 äî N S := S + 1/K êö âûâîä S êîí  ñâîþ î÷åðåäü, Êîëÿ äëÿ ðåøåíèÿ òîé æå çàäà÷è ñîñòàâèë òàêîé àëãîðèòì: àëã Ñóììà2 (àðã öåë N, ðåç âåù: S) íà÷ öåë: K ââîä N S := 0 íö äëÿ K îò N äî 1 ñ øàãîì –1 S := S + 1/K êö âûâîä S êîí à) Âåðíî ëè, ÷òî îáà àëãîðèòìà ðåøàþò îäíó è òó æå çàäà÷ó? á) Âåðíî ëè, ÷òî ïðè N = 1 000 000 000 ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùèå äàííûå àëãîðèòìû, äàäóò îäèíàêîâûé ðåçóëüòàò, åñëè èñïîëüçóåòñÿ ÷åòûðåõáàéòîâîå ïðåäñòàâëåíèå íîðìàëèçîâàííûõ ÷èñåë, îïèñàííîå â òåêñòå ïàðàãðàôà? Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 97 Ëåêöèÿ 8 Çàùèòà èíôîðìàöèè Êòî âëàäååò èíôîðìàöèåé, òîò âëàäååò ìèðîì. Ýòà ôðàçà äàâíî ñòàëà äåâèçîì âñåõ ðàçâåäîê. Ïîýòîìó èíôîðìàöèþ çàùèùàþò îò ÷óæèõ ãëàç è óøåé. À ÷óæèå ãëàçà ñòàíîâÿòñÿ âñå çîð÷å, óøè — âñå äëèííåå. Ðåøåíèå ïðîñòîå — ïóñòü âèäÿò è ñëûøàò, íî ïîíÿòü íå ñìîãóò óâèäåííîå è óñëûøàííîå. Ñîîáùåíèå, ñîäåðæàùåå èíôîðìàöèþ, øèôðóåòñÿ. Âîò îá ýòîì è ïîãîâîðèì. §1. Ìàòåìàòèêà è êðèïòîãðàôèÿ Ïóñòü èìååòñÿ ñîîáùåíèå S, çàïèñàííîå â íåêîòîðîì àëôàâèòå À. Îíî ïðåîáðàçóåòñÿ â äðóãîå ñîîáùåíèå Ò. Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî äðóãîå ñîîáùåíèå ìîæåò áûòü èñïîëíåíî â äðóãîì àëôàâèòå. Íàïðèìåð, ïëÿøóùèìè ÷åëîâå÷êàìè, êàê ó Êîíàí Äîéëà. Íî êàæäîìó ÿñíî, ÷òî ýòî, ñêîðåå, ïñèõîëîãè÷åñêîå âîçäåéñòâèå, íåæåëè ðåàëüíàÿ ïðåãðàäà äëÿ äåøèôðîâàíèÿ — âåäü íåò íèêàêîé ðàçíèöû, êàê èçîáðàæåíû ñèìâîëû àëôàâèòà, åñëè íàì âñå ðàâíî íåèçâåñòíî, êàêèì ñèìâîëàì èñõîäíîãî àëôàâèòà îíè ñîîòâåòñòâóþò. Êîíå÷íî, ìîæåò òàê ñëó÷èòüñÿ, ÷òî àëôàâèò ñîîáùåíèÿ Ò ñîäåðæèò áîëüøå ñèìâîëîâ, íåæåëè àëôàâèò À. Íó òàê íàäî ïðîñòî ðàñøèðèòü àëôàâèò À, âûïèñàâ âñå ñèìâîëû, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñîîáùåíèè Ò 1. Ôàêòè÷åñêè ìû óæå âûñêàçàëè îñíîâíóþ èäåþ êðèïòîãðàôèè — íàóêè î ñïîñîáàõ øèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèé ñ öåëüþ åå çàùèòû îò íåçàêîííûõ ïîëüçîâàòåëåé. Îíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôèêñèðóåòñÿ íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå f àëôàâèòà À, è â êàæäîì ñîîáùåíèè íàä àëôàâèòîì À êàæäàÿ âõîäÿùàÿ â íåãî áóêâà b çàìåíÿåòñÿ íà f(b)2. Êîíå÷íî, ôóíêöèè áûâàþò ðàçíûìè. Íà ðîëü f íàì ãîäèòñÿ ëèøü òàêàÿ, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé âû÷èñëèòü åå çíà÷åíèå. Òàêóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò âû÷èñëèìîé3. Ïîýòîìó íåðåäêî âìåñòî ôóíêöèè øèôðîâàíèÿ ãîâîðÿò îá 1 Ìû âñå âðåìÿ ãîâîðèì ïðî îäíî ñîîáùåíèå, õîòÿ íà ïðàêòèêå èìååòñÿ, êîíå÷íî, íåêîòîðûé ìàññèâ ñîîáùåíèé. Âïðî÷åì, èõ ìîæíî ñîåäèíèòü â îäíî “áîëüøîå” ñîîáùåíèå. 2 Èíîãäà ïðèìåíÿåòñÿ è äðóãàÿ ñõåìà, êîãäà ôóíêöèÿ f îòîáðàæàåò íå àëôàâèò â àëôàâèò, à îäíî ñîîáùåíèå öåëèêîì â äðóãîå. Íàïðèìåð, ôðàçà “Íàä âñåé Èñïàíèåé áåçîáëà÷íîå íåáî” øèôðîâàëà ïðèêàç ê íà÷àëó ôðàíêèñòñêîãî ìÿòåæà. Íåðåäêî îòñóòñòâèå òî÷êè â êîíöå ñîîáùåíèÿ àãåíòà (èëè, íàîáîðîò, åå íàëè÷èå) øèôðóåò ñîîáùåíèå î åãî ðàáîòå ïîä êîíòðîëåì ïðîòèâíèêà. Îäíàêî ýòà ñõåìà íå òåõíîëîãè÷íà — âåäü î òàêîì øèôðîâàíèè ìîæíî äîãîâîðèòüñÿ ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîîáùåíèé, à ïåðåäàâàòü çàðàíåå íåîãîâîðåííóþ èíôîðìàöèþ íåâîçìîæíî. 3 Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè àëãîðèòìà, ðåøàþùåãî çàäà÷ó ôîðìàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òåêñòà, îáñóæäàëñÿ íàìè â ëåêöèè 3. Òàì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íå ëþáàÿ òàêàÿ çàäà÷à àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà. Êðèïòîãðàôèÿ æå, ïî ñóùåñòâó, òîæå èçó÷àåò ôîðìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ òåêñòà, òàê ÷òî âîïðîñû àëãîðèòìè÷åñêîé ðàçðåøèìîñòè, à ãëàâíîå ìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ âîïðîñîâ, èãðàþò âàæíóþ ðîëü â êðèïòîãðàôèè. Íå ñëó÷àéíî À.Òüþðèíã, ðàçðàáîòàâøèé òåîðèþ âû÷èñëèìîñòè ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíîãî èñïîëíèòåëÿ, íîñÿùåãî åãî èìÿ, áûë ãëàâíûì äåéñòâóþùèì ëèöîì â ðàñøèôðîâêå íåìåöêîãî ìîðñêîãî âîåííîãî êîäà â ãîäû Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû. 98 Ëåêöèÿ 8 àëãîðèòìå øèôðîâàíèÿ. Âàæíî, êîíå÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà îáðàòèìîé, ò.å. ïî çíà÷åíèþ f(b) îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàëîñü ñàìî b. Ñàìûé ïðîñòîé âàðèàíò ôóíêöèè f ðåàëèçóåòñÿ â òàê íàçûâàåìîì “øèôðå çàìåíû”.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå àëôàâèòà À íà ñåáÿ. Ê ïðèìåðó, â øèôðå Öåçàðÿ êàæäàÿ áóêâà çàìåíÿåòñÿ íà áóêâó, ðàñïîëîæåííóþ â àëôàâèòå íà 3 ñèìâîëà ïðàâåå (ïîñëå ïîñëåäíåé áóêâû àëôàâèòà ñíîâà èäåò ïåðâàÿ, çà íåé âòîðàÿ è ò.ä.).  ðóññêîì âàðèàíòå ôðàçà “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå” ïðåâðàòèòñÿ ⠓à â ëæö, ûã¸ãá òñ Ïñôíåç”. Ïîëó÷èâ òàêóþ ôðàçó, âû, ìîæåò áûòü, è íå ñðàçó äîãàäàåòåñü, î ÷åì èäåò ðå÷ü, íî äëÿ îïûòíîãî êðèïòîàíàëèòèêà ðàñøèôðîâàòü åå òðóäà íå ñîñòàâèò. È äåëî äàæå íå â òîì, ÷òî ïåðåáðàòü âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû îáðàòíîé äëÿ f ôóíêöèè è âûáðàòü òîò èç íèõ, êîòîðûé äàåò îñìûñëåííóþ ôðàçó, äëÿ ñîâðåìåííîãî êîìïüþòåðà íå ñòîëü óæ òÿæåëàÿ çàäà÷à (òàêèõ âàðèàíòîâ ìåíåå 33!). Ïðîñòî ëþáîé åñòåñòâåííûé ÿçûê èìååò îïðåäåëåííûå ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðåçêî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî ïåðåáèðàåìûõ âàðèàíòîâ. Ïðîñòåéøàÿ èç òàêèõ çàêîíîìåðíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðóññêîì ÿçûêå íå òàê óæ ìíîãî ñëîâ, ñîñòîÿùèõ èç îäíîé áóêâû4. Åñëè èìåòü äîñòàòî÷íî äëèííûé òåêñò, òî íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ â íåì ñèìâîë ïðîñòî áóäåò ñîâïàäàòü ñ áóêâîé, îáëàäàþùåé íàèáîëüøåé ÷àñòîòîé â òåêñòàõ íà äàííîì ÿçûêå (íàïðèìåð, â ðóññêîì ÿçûêå òàêîé áóêâîé ÿâëÿåòñÿ “å”). Çíà÷èò, ñðàçó ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, êàêîé áóêâîé íàäî çàìåíÿòü ýòîò ñèìâîë. Òàê ïîñòåïåííî ìîæíî âûÿâèòü êëþ÷ øèôðîâàíèÿ è ïî íåìó ïîñòðîèòü äåøèôðóþùèé êëþ÷5. Åñòü äâå èäåè, êàê ñäåëàòü òàê, ÷òîáû æèçíü êðèïòîàíàëèòèêàì ìåäîì íå êàçàëàñü. Ïåðâàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò çàâèñåòü îò îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèå ïàðàìåòðû íàçûâàþò êëþ÷îì øèôðîâàíèÿ. Ê ïðèìåðó, òåêñò ìîæíî ðàçðåçàòü íà ïîðöèè îäíîé äëèíû è äëÿ êàæäîé ïîðöèè ïðèìåíèòü ñâîé àëãîðèòì çàìåíû. Äëÿ óæå óïîìèíàâøåéñÿ ôðàçû “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå” åå íàðåçêà íà ïîðöèè äëèíû 4 (ïðîáåë ó÷èòûâàåòñÿ êàê ñèìâîë, íî äëÿ ïðîñòîòû íàìè íå øèôðóåòñÿ) è øèôðîâàíèå êàæäîé íå÷åòíîé ïîðöèè ñäâèãîì íà 2, à íå÷åòíîé — ñäâèãîì íà 4 ïðèâåäåò ê òåêñòó “ á ìç÷, úâåäâ ñð Êðóìäæ”. Òåïåðü ðàñøèôðîâêà áóê⠓” è “á” â íà÷àëå òåêñòà íå î÷åíü-òî ïîìîãàåò ðàñøèôðîâàòü ñëîâî “úâåäâ”. È ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè ïîÿâëåíèÿ ñî÷åòàíèé áóêâ â ýòîì òåêñòå óæå ñîâñåì íå òå, ÷òî â èñõîäíîì. Îïûòíûé êðèïòîãðàô, ðàçóìååòñÿ, äîáàâèò ê îñíîâíîìó àëôàâèòó ñèìâîë “ïðîáåë” è åãî òîæå çàøèôðóåò. Âïðî÷åì, îïûòíûé êðèïòîãðàô íå áóäåò âîîáùå ïîëüçîâàòüñÿ øèôðîì ïðîñòîé çàìåíû. 5 Ïîäðîáíîå îáúÿñíåíèå íåäîñòàòêîâ øèôðà ïðîñòîé çàìåíû ñîäåðæèòñÿ â ðàññêàçå Ý.Ïî “Çîëîòîé æóê” è â óæå óïîìèíàâøåìñÿ ïðîèçâåäåíèè À. Êîíàí Äîéëà “Ïëÿøóùèå ÷åëîâå÷êè”. 4 Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 99  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå òðè ïàðàìåòðà øèôðîâàíèÿ: ÷èñëà 4, 2, 4, îïðåäåëÿþùèå èñïîëíåíèå àëãîðèòìà. Îíè è ñîñòàâëÿþò êëþ÷, êîòîðûé äîëæåí áûòü ñîîáùåí ïîëó÷àòåëþ ñîîáùåíèÿ, ÷òîáû òîò ìîã ïîðó÷èòü êîìïüþòåðó ìãíîâåííî äåøèôðîâàòü òåêñò. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðîñòîé àëãîðèòì çàìåíû òîæå îáëàäàåò êëþ÷îì — ÷èñëî 3. Íî, êàê ìû óæå îáñóæäàëè, òàêîé êëþ÷ ìîæíî è íå çíàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû óñïåøíî äåøèôðîâàòü òåêñò ñîîáùåíèÿ. Ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ñìåíà øèôðóþùåãî àëãîðèòìà íà êàæäîì ñèìâîëå ïåðåäàâàåìîãî ñîîáùåíèÿ. Åñëè øèôðóþùèì àëãîðèòìîì ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ àëãîðèòì çàìåíû, òî â êà÷åñòâå êëþ÷à âûñòóïàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî êàæäîå ÷èñëî íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ñèìâîëîâ â àëôàâèòå, ïîýòîìó êëþ÷ ñíîâà ìîæíî çàïèñàòü ñèìâîëàìè äàííîãî àëôàâèòà. Ýòî íå ïðèíöèïèàëüíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñóòè, íî îáëåã÷àåò çàïîìèíàíèå êëþ÷à — ôðàçó “Âåñíà èä¸ò” çàïîìíèòü ëåã÷å, ÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë 3, 6, 19, 15, 1, 0, 10, 5, 7, 20 (çäåñü ìû ïðîáåëó ïîñòàâèëè â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî 0). Íàøà èçáèòàÿ ôðàçà “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå” øèôðóåòñÿ òîãäà êàê “Ã å üòô, øéçëñ òô Àýòêëé”. Ïîñêîëüêó â êëþ÷å âñåãî ëèøü 10 ñèìâîëîâ, òî ïîñëå êîäèðîâàíèÿ ïåðâûõ 10 áóêâ ñîîáùåíèÿ ìû èñïîëüçóåì êëþ÷ ñ åãî íà÷àëà. Êîíå÷íî, âçëîìàòü òàêîé øèôð óæå íàìíîãî ñëîæíåå, íî åñëè ìàññèâ ñîîáùåíèé, çàøèôðîâàííûõ îäíèì è òåì æå êëþ÷îì, äîñòàòî÷íî âåëèê, òî è â íåì îáíàðóæèâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè. Èç ýòîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî êëþ÷ äîëæåí áûòü äîñòàòî÷íî äëèííûì, îïòèìàëüíî, ÷òîáû åãî äëèíà ñîâïàäàëà ñ äëèíîé ñîîáùåíèÿ è â íåì ñàìîì íå íàáëþäàëîñü áû êàêèõ-ëèáî ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé. Ýòî óòâåðæäåíèå, àðãóìåíòèðîâàííîå íàìè, ìîæíî ñêàçàòü, “íà ïàëüöàõ”, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç áàçîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðåì êðèïòîãðàôèè. Îíà áûëà äîêàçàíà Ê.Øåííîíîì â 1945 ã. è îïóáëèêîâàíà â äîêëàäå “Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êðèïòîãðàôèè”, ðàññåêðå÷åííîì ëèøü â 60-å ãîäû ïðîøëîãî âåêà. Âîò åå ôîðìóëèðîâêà: Òåîðåìà. Øèôð ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñòîéêèì (ò.å. íå ïîääàþùèìñÿ äåøèôðîâàíèþ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ øèôðîâàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíûé êëþ÷, äëèíà êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ äëèíîé ñîîáùåíèÿ. Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ ïðè ýòîì ìîæåò áûòü ñîâñåì ïðîñòûì — íàïðèìåð, ïîáèòîâîå ñëîæåíèå èñõîäíîãî ñîîáùåíèÿ ñ êëþ÷îì (îïåðàöèÿ XOR). Äåøèôðîâàíèå â ýòîì ñëó÷àå îñóùåñòâëÿåòñÿ òàêæå ïîáèòîâûì ñëîæåíèåì øèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ ñ òåì æå êëþ÷îì. Òàêàÿ ðåàëèçàöèÿ àáñîëþòíî ñòîéêîãî øèôðà ïðåäëîæåíà Âåðèàìîì è íîñèò åãî èìÿ. Ýòà òåîðåìà è îñîáåííî ðåàëèçàöèÿ àáñîëþòíî ñòîéêîãî øèôðà êàê áû ïîêàçûâàþò, ÷òî íàäåæíîñòü øèôðà îáåñïå÷èâàåòñÿ íå ñëîæ- 100 Ëåêöèÿ 8 íîñòüþ ñîáñòâåííî àëãîðèòìà øèôðîâàíèÿ, à êëþ÷îì. Ýòîò âûâîä íåëüçÿ íàçâàòü îïòèìèñòè÷íûì, ïîñêîëüêó ñîçäàíèå è ïåðåäà÷à, ïðè÷åì ñêðûòûì îò ïðîòèâíèêà ñïîñîáîì, ôàêòè÷åñêè îäíîðàçîâûõ êëþ÷åé — çàäà÷à, òðåáóþùàÿ îãðîìíûõ ôèíàíñîâûõ è âðåìåííûõ çàòðàò. Ïîýòîìó àáñîëþòíî ñòîéêèå øèôðû ïðèìåíÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ ïåðåäà÷è îñîáî âàæíîé ãîñóäàðñòâåííîé èíôîðìàöèè, ïðè÷åì íåáîëüøîãî îáúåìà. Âïðî÷åì, ìàòåìàòèêó — ìàòåìàòè÷åñêîå, à èíôîðìàòèêó — èíôîðìàòè÷åñêîå. Ìû óæå íåîäíîêðàòíî ïîâòîðÿëè ìûñëü, ÷òî êàê çàäà÷ó ñôîðìóëèðóåøü (ò.å. ïîñòðîèøü ìîäåëü), òàêîé îòâåò è ïîëó÷èøü. Åñëè â êà÷åñòâå ñóùåñòâåííîãî ôàêòîðà âûäâèãàåòñÿ àáñîëþòíàÿ ñòîéêîñòü øèôðà, òî è îòâåò ïîëó÷èòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé. À âñåãäà ëè íóæíà òàêàÿ ñòîéêîñòü? Âåäü íåðåäêî èíôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ åùå â÷åðà áûëà ñåêðåòíîé, ñåãîäíÿ ïóáëèêóåòñÿ â ñðåäñòâàõ ìàññîâîé èíôîðìàöèè. Íàïðèìåð, íàìåðåíèå êîìïàíèè ïðîäàòü ñâîè àêöèè èëè êóïèòü àêöèè äðóãîé êîìïàíèè îñòàåòñÿ ñåêðåòîì òîëüêî äî ìîìåíòà ñîâåðøåíèÿ ýòîé ñäåëêè, îäíàêî óêàçàíèÿ î íåé, äàâàåìûå êîìïàíèåé ñâîèì áèðæåâûì àãåíòàì, íå äîëæíû ñòàòü èçâåñòíûìè êîíêóðåíòàì ðàíåå îïðåäåëåííîãî ñðîêà. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à íå â òîì, ÷òîáû ïðîòèâíèê âîîáùå íèêîãäà íå ñìîã ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå, à â òîì, ÷òîáû îí íå óñïåë ýòî ñäåëàòü çà îïðåäåëåííîå âðåìÿ. À ýòî ñîâñåì äðóãàÿ ïîñòàíîâêà À ÿ çàäà÷è, è ïîòîìó ðåøåíèå ó íåå ñîâñåì äðóãîå. Îäíàêî, ïðåæäå ÷åì îáñóæäàòü òàêóþ “èñïðàâè ä ó , ëåííóþ” çàäà÷ó, ìû îáñóäèì âòîðóþ èäåþ ïîñòðîåø à ã íèÿ øèôðóþùåé ôóíêöèè f. Îíà ñîñòîèò â òîì, à þ ï ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ çàâèñåëà îò øèôðóåìîãî òåêñòà. î Ì î Âîò ïðèìåð. Çàïèøåì ñîîáùåíèå “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå” â íåñêîëüêî ñòðîê ïî 4 ñèìâîëà â êàæñ ê â å äîé ñòðîêå, äëÿ íàãëÿäíîñòè ìû ðàçìåñòèëè åãî íà Ðèñ. 1 êëåò÷àòîé áóìàãå ñì. ðèñ. 1. À òåïåðü çàïèøåì åãî, ÷èòàÿ ñèìâîëû ïî ñòîëáöàì. Ïîëó÷èòñÿ “Àè àîñ äøþ êÿóà Ìâ ,ãïîå”. Ïðèâåäåííûé íàìè ñïîñîá øèôðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ øèôðîì “Ñöèòàëà” è áûë èñïîëüçîâàí ñïàðòàíñêèì ïîëêîâîäöåì Ëèñàíäðîì6. Äðóãîé ðàçíîâèäíîñòüþ ÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå “ðåøåòî÷íûå øèôðû”. Äëÿ ýòîãî ñîçäàåòñÿ øàáëîí â âèäå êâàäðàòíîé ñåòêè ñ âûðåçàííûìè êëåòêàìè (ïðèìåð øàáëîíà ðàçìåðîì 6 × 6 ïðèâåäåí íà ðèñ. 2, âûðåçàííûå êëåòêè çàêðàøåíû). Êâàäðàò íàêëàäûâàåòñÿ íà ëèñò áóìàãè, â êëåòêè âïèñûâàþòñÿ áóêâû, çàòåì êâàäðàò ïîâîðà÷èâàþò íà 90°, ñíîâà â êëåòêè âïèñûâàþò áóêâû, 6 Ñâîå íàçâàíèå îí ïîëó÷èë îò ñïîñîáà ðåàëèçàöèè. Áðàëñÿ æåçë öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû — ñöèòàëà, íà íåãî íàìàòûâàëàñü ëåíòà, è âäîëü æåçëà ñòðîêà çà ñòðîêîé ïèñàëîñü ñîîáùåíèå. Çàòåì ëåíòà ðàçìàòûâàëàñü, è íà íåé îêàçûâàëñÿ çàøèôðîâàííûé òåêñò. Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 101 åùå ðàç ïîâîðà÷èâàþò íà 90°, ñíîâà â êëåòêè âïèñûâàþò áóêâû, åùå ðàç ïîâîðà÷èâàþò íà 90° è ñíîâà â êëåòêè âïèñûâàþò áóêâû. Ïîñëå ýòîãî ïîëó÷àåòñÿ ñïëîøíîé òåêñò. Íåäîñòàòêîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êîëè÷åñòâî ñèìâîëîâ â øèôðóåìîì ñîîáùåíèè äîëæíî áûòü êâàäðàòîì ÷åòíîãî ÷èñëà. Âïðî÷åì, ìîæíî â êîíöå ñîîáùåíèÿ âñåãäà äîáàâèòü ñêîëüêî-òî íåèíôîðìàòèâíûõ ñèìâîëîâ. Ñàìó ðåøåòêó òîæå ìîæíî õðàíèòü íå êàê ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, à îïèñàíèåì êîîðäèíàò âûðåçàííûõ êëåòîê. Íà ðèñ. 3 ïîêàçàí ðåçóëüòàò øèôðîâàíèÿ ôðàçû “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå” øàáëîíîì, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 2; â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî íåèíôîðìàòèâíîãî ñèìâîëà âûáðàíà áóêâà “ð”. Ì À ø ð à ð ñ ã ê Ðèñ. 2 î ð à ÿ ð ð â þ å ð ä ð ð ð ó ï ð î , ð ð Ðèñ. 3 Ïîëó÷èâøèéñÿ òåêñò ìîæíî ñíîâà âûïèñàòü â ñòðîêó, ïîëó÷èòñÿ “ÌÀøðîðàðñã àêÿð ðâ þåðäðððóïðî, ðð”.  øèôðàõ ýòîãî òèïà êëþ÷, êàê ìû âèäèì, îïèñûâàåò íå îòîáðàæåíèå àëôàâèòà â ñåáÿ, à íåêîòîðûå ïàðàìåòðû ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà. Ýòî, îäíàêî, íå ñíèìàåò ïðîáëåìû ïåðåäà÷è ñåêðåòíîãî êëþ÷à. Âîò åñëè áû êëþ÷ ìîæíî áûëî ñäåëàòü íå ñåêðåòíûì Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1.  òåêñòå ïàðàãðàôà ñêàçàíî, ÷òî â øèôðå Öåçàðÿ, êîòîðûì çàøèôðîâàíà ôðàçà “À ÿ èäó, øàãàþ ïî Ìîñêâå”, äëÿ äåøèôðîâàíèÿ ïîòðåáóåòñÿ ïåðåáðàòü íàìíîãî ìåíüøå âàðèàíòîâ, ÷åì 33!. Îöåíèòå, íàñêîëüêî ìåíüøå. Îòâåò âûðàçèòå â ïðîöåíòàõ îò ÷èñëà 33!. 2. à) Ñîñòàâüòå àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ øèôðîì Öåçàðÿ ñ çàïðàøèâàåìûì êëþ÷îì n. á) Äëÿ àëãîðèòìà, ñîñòàâëåííîãî âàìè â ïóíêòå à), ñîñòàâüòå àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ. 3. à) Ñîñòàâüòå àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ ñ êëþ÷åâîé ôðàçîé (ïî òèïó “Âåñíà èä¸ò”) ñ çàïðàøèâàåìîé ó ïîëüçîâàòåëÿ ôðàçîé. á) Äëÿ àëãîðèòìà, ñîñòàâëåííîãî âàìè â ïóíêòå à), ñîñòàâüòå àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ. 102 Ëåêöèÿ 8 4. Ñîñòàâüòå àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ øèôðîì “Ñöèòàëà” ñ çàïðàøèâàåìûì êëþ÷îì n. á) Äëÿ àëãîðèòìà, ñîñòàâëåííîãî âàìè â ïóíêòå à), ñîñòàâüòå àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ. 5. Äåøèôðóéòå ñîîáùåíèå “ðÄèâóèÿäã,î , àñí âìäîîèè ÿäé! àä ñí”, çàøèôðîâàííîå ðåøåòêîé, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 2. 6. à) Ê ôðàãìåíòó ñêàçêè À.Ñ. Ïóøêèíà áûë ïðèìåíåí øèôð ïðîñòîé çàìåíû, ò.å. êàæäàÿ áóêâà èñõîäíîãî òåêñòà çàìåíåíà òàê, ÷òî ðàçíûì áóêâàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå áóêâû, à îäèíàêîâûì — îäèíàêîâûå. Ïðîáåëû è çíàêè ïðåïèíàíèÿ ñîõðàíåíû. Ïîëó÷èëñÿ ñëåäóþùèé òåêñò. Ä÷å àåïåèü ðâóà ä ïòëòàû: Ó äçèçà õëð÷àòþà ëòàû, Ð ÷àçÿà ä ãëòîòá öòèÿ Àèðâöòàü àèð õçãòàûèÿ, Ä÷å êèò÷òäöû ìçëçâûå, Äåëðêòíû óâòëûå, Ä÷å èòäíû, êòê íò ïçâõçè, × íðìð âÿâüêò Ñåèíçìçè. Ïîïûòàéòåñü äåøèôðîâàòü òåêñò á) Âûïîëíèòå òàêîå æå çàäàíèå, êàê â à), äëÿ ñëåäóþùåãî øèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ. Áòñâáð åë èáâí àíæìñ, Ãâëú åë áòñâáðí òñáìñ Ò çàëñáãàëðûèì öíâêðëèì, Ò ñíâíèëèì úë òëúëèì. 7 7. Íà ñàéòå Âèêèïåäèè åñòü ñòàòüÿ ïðî øèôðìàøèíó “Ýíèãìà”. Âîò ôðàãìåíò ýòîé ñòàòüè. “Êàê è äðóãèå ðîòîðíûå ìàøèíû, “Ýíèãìà” ñîñòîÿëà èç êîìáèíàöèè ìåõàíè÷åñêèõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìåõàíè÷åñêàÿ ÷àñòü âêëþ÷àëà â ñåáÿ êëàâèàòóðó, íàáîð âðàùàþùèõñÿ äèñêîâ (ðîòîðîâ), êîòîðûå áûëè ðàñïîëîæåíû âäîëü âàëà è ïðèëåãàëè ê íåìó, è ñòóïåí÷àòîãî ìåõàíèçìà, äâèãàþùåãî îäèí èëè áîëåå ðîòîðîâ ïðè êàæäîì íàæàòèè êëàâèøè. Êîíêðåòíûé ìåõàíèçì ðàáîòû ìîã áûòü ðàçíûì, íî îáùèé ïðèíöèï áûë òàêîâ: ïðè êàæäîì íàæàòèè êëàâèøè ñàìûé ïðàâûé ðîòîð ñäâèãàåòñÿ íà îäíó ïîçèöèþ, à ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ñäâèãàþòñÿ è äðóãèå 7 Ýòî çàäàíèå âçÿòî íàìè ñ èíòåðíåò-îëèìïèàäû ïî êðèïòîãðàôèè, èíôîðìàòèêå è ìàòåìàòèêå “Âåð÷åíêî-100”. Çàèíòåðåñîâàâøèåñÿ ÷èòàòåëè ìîãóò âûéòè íà ñàéò ýòèõ îëèìïèàä, ãäå íàéäóò íåìàëî èíòåðåñíûõ ìàòåðèàëîâ. Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 103 ðîòîðû. Äâèæåíèå ðîòîðîâ ïðèâîäèò ê ðàçëè÷íûì êðèïòîãðàôè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ïðè êàæäîì ñëåäóþùåì íàæàòèè êëàâèøè íà êëàâèàòóðå. Ìåõàíè÷åñêèå ÷àñòè äâèãàëèñü, îáðàçóÿ ìåíÿþùèéñÿ ýëåêòðè÷åñêèé êîíòóð, òî åñòü ôàêòè÷åñêè øèôðîâàíèå áóêâ îñóùåñòâëÿëîñü ýëåêòðè÷åñêè. Ïðè íàæàòèè êëàâèø êîíòóð çàìûêàëñÿ, òîê ïðîõîäèë ÷åðåç ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû è â èòîãå âêëþ÷àë îäíó èç ìíîæåñòâà ëàìïî÷åê, îòîáðàæàâøóþ âûâîäèìóþ áóêâó. Íàïðèìåð, ïðè øèôðîâêå ñîîáùåíèÿ, íà÷èíàþùåãîñÿ ñ ASF..., îïåðàòîð âíà÷àëå íàæèìàë êíîïêó A, è çàãîðàëàñü ëàìïî÷êà D, òî åñòü D ñòàíîâèëàñü ïåðâîé áóêâîé êðèïòîãðàììû. Îïåðàòîð ïðîäîëæàë øèôðîâàíèå S òàêèì æå îáðàçîì, è òàê äàëåå. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ïðèíöèïà ðàáîòû “Ýíèãìû” ïðèâåäåí ðèñóíîê. Îí óïðîùåí, — íà ñàìîì äåëå ìåõàíèçì ñîñòîÿë èç 26 ëàìïî÷åê, êëàâèø, ðàçúåìîâ è ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì âíóòðè ðîòîðîâ. Òîê øåë èç áàòàðåè (1) ÷åðåç ïåðåêëþ÷àòåëü (2) â êîììóòàöèîííóþ ïàíåëü (3). Êîììóòàöèîííàÿ ïàíåëü ïîçâîëÿëà ïåðåêîììóòèðîâàòü ñîåäèíåíèÿ ìåæäó êëàâèàòóðîé (2) è íåïîäâèæíûì âõîäíûì êîëåñîì (4). Äàëåå òîê ïðîõîäèë ÷åðåç ðàçúåì (3), â äàííîì ïðèìåðå íåèñïîëüçóåìûé, âõîäíîå êîëåñî (4) è ñõåìó ñîåäèíåíèé òðåõ ðîòîðîâ (5) è âõîäèë â ðåôëåêòîð (6). Ðåôëåêòîð âîçâðàùàë òîê îáðàòíî, ÷åðåç ðîòîðû è âõîäíîå êîëåñî, íî óæå ïî äðóãîìó ïóòè, äàëåå ÷åðåç ðàçúåì S , ñîåäèíåííûé ñ ðàçúåìîì D, ÷åðåç äðóãîé ïåðåêëþ÷àòåëü (9), è çàæèãàëàñü ëàìïî÷êà. Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííîå èçìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ÷åðåç êîòîðóþ øåë òîê, âñëåäñòâèå âðàùåíèÿ ðîòîðîâ ïîçâîëÿëî ðåàëèçîâàòü ìíîãîàëôà- 104 Ëåêöèÿ 8 âèòíûé øèôð ïîäñòàíîâêè, ÷òî äàâàëî âûñîêóþ óñòîé÷èâîñòü øèôðà äëÿ òîãî âðåìåíè”. Äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñóíêå óïðîùåííîé âåðñèè “Ýíèãìû” íàéäèòå ðåçóëüòàò øèôðîâàíèÿ òåêñòà DDFFSDAAS, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðàâûé ðîòîð (5) ñäâèãàëñÿ íà îäèí øàã ïðè êàæäîì íàæàòèè êëàâèøè, à îñòàëüíûå ðîòîðû — íà îäèí øàã ïîñëå ïîëíîãî îáîðîòà ñîñåäíåãî ñïðàâà ðîòîðà. Ïðè ýòîì êîíòàêòû íà ðîòîðàõ ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî ïðè ñäâèãå ðîòîðà íà îäèí øàã íèæíèé ïî ñõåìå êîíòàêò ïåðåõîäèò íàâåðõ, à îñòàëüíûå ñäâèãàþòñÿ íà øàã âíèç. §2. Êðèïòîãðàôèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì Äåëî íå â òîì, ÷òîáû çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå, à â òîì, ÷òîáû ðàñøèôðîâàòü åãî ìîã òîëüêî òîò, êòî âëàäååò ñïîñîáîì ðàñøèôðîâêè, ò.å. âëàäåëåö ðàñøèôðîâûâàþùåãî êëþ÷à. Ïîýòîìó ãëàâíûå óñèëèÿ êðèïòîàíàëèòèêîâ (òàê íàçûâàþòñÿ òå, êòî ñïåöèàëèçèðóåòñÿ íà ðàñêðûòèè øèôðîâ) íàïðàâëåíû íà òî, ÷òîáû ïî îñîáåííîñòÿì, ïðèñóùèì ëþáîìó òåêñòó, ñêîíñòðóèðîâàòü ðàñøèôðîâûâàþùèé êëþ÷. Äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàëîñü, ÷òî çíàíèå øèôðóþùåãî êëþ÷à ïîçâîëÿåò ëåãêî ñòðîèòü äåøèôðóþùèé êëþ÷. Íàïðèìåð, â øèôðå Âåðèàìà îíè ïðîñòî ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó êëþ÷è øèôðîâêè è äåøèôðîâêè ñîñòàâëÿëè ãëàâíóþ òàéíó â òàêîì ñïîñîáå çàùèòû èíôîðìàöèè. Îäíàêî â 1976 ã. â ðàáîòå äâóõ àìåðèêàíñêèõ ìàòåìàòèêîâ Ó.Äèôôè è Ì.Ý. Õåëëìàíà áûëî îáîñíîâàíî, ÷òî ìåæäó êëþ÷îì øèôðîâàíèÿ è êëþ÷îì äåøèôðîâàíèÿ íåò ïðÿìîé ñâÿçè. Ìîæíî êëþ÷ øèôðîâàíèÿ ñîîáùèòü âñåì æåëàþùèì, íî òåì Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 105 íå ìåíåå êëþ÷ äåøèôðîâêè ïî íåìó ïîñòðîèòü íå óäàñòñÿ (çà ðàçóìíîå âðåìÿ). Ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îòêðûòèå ïðèâåëî ê òàê íàçûâàåìîìó øèôðîâàíèþ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì. ×òîáû ïîÿñíèòü ñõåìó äåéñòâèÿ ïðè øèôðîâàíèè ñ îòêðûòûì êëþ÷îì, íàïîìíèì, ÷òî êàæäîå øèôðîâàíèå — ýòî íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà ñèìâîëîâ, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ ñîçäàíî ñîîáùåíèå, íà òî æå ñàìîå èëè äðóãîå ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ. Äåøèôðîâàíèå — ýòî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Òåì ñàìûì, íàëèöî ïîëíîå ðàâíîïðàâèå àëãîðèòìîâ øèôðîâàíèÿ è äåøèôðîâàíèÿ, ïðè÷åì, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâàæíî, êàêîé èìåííî íàçûâàåòñÿ àëãîðèòìîì øèôðîâàíèÿ, à êàêîé — äåøèôðîâàíèÿ. Íå èñêëþ÷åíî, ïðàâäà, ÷òî ïî îäíîìó àëãîðèòìó ëåãêî ïîñòðîèòü îáðàòíûé, à ïî äðóãîìó íåò. Òîãäà òîò, äëÿ êîòîðîãî îáðàòíûé àëãîðèòì íå ñòðîèòñÿ çà ðàçóìíîå âðåìÿ, áóäåì íàçûâàòü àëãîðèòìîì øèôðîâàíèÿ. Îáîçíà÷èì áóêâîé À àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ. Ðåçóëüòàò åãî ïðèìåíåíèÿ ê òåêñòó Ò îáîçíà÷èì À(Ò). Àíàëîãè÷íî ÷åðåç Ä îáîçíà÷èì àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ, à ðåçóëüòàò åãî ïðèìåíåíèÿ ê Ò îáîçíà÷èì Ä(Ò). Òîãäà, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà: Ä(À(Ò)) = Ò è À(Ä(Ò)) = Ò. Àëãîðèòì À è âñå åãî ïàðàìåòðû (êëþ÷è) ñîîáùàåòñÿ âñåì (íàïðèìåð, ïóáëèêóåòñÿ â ãàçåòå). Åñëè òåïåðü êòî-òî õî÷åò îòïðàâèòü ñåêðåòíîå ñîîáùåíèå âëàäåëüöó À è Ä, òî îí ïðîñòî øèôðóåò åãî À. Öåëü çàùèòû ñîîáùåíèÿ îò ïîñòîðîííèõ ãëàç äîñòèãíóòà. Íî âëàäåëåö À è Ä íàâåðíÿêà õî÷åò áûòü óâåðåííûì, ÷òî îí ïîëó÷èë ñîîáùåíèå îò âåðíîãî åìó ÷åëîâåêà, à âåäü çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå ñ ïîìîùüþ À ìîã ëþáîé. Òîãäà ìîæíî ïîñòóïèòü òàê. Îòïðàâèòåëü ñîîáùåíèÿ èçãîòîâëÿåò ñîáñòâåííóþ ïàðó êëþ÷åé, îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå âåðñèè àëãîðèòìîâ À0 è Ä0. Êàê îáû÷íî, À0 ñîîáùàåòñÿ âñåì. Çàòåì îòïðàâèòåëü ïðîäåëûâàåò ñ òåêñòîì ñëåäóþùóþ ìàíèïóëÿöèþ: À(Ä0(Ò)). Ïîëó÷àòåëü ê ïîëó÷åííîìó ñîîáùåíèþ ñíà÷àëà ïðèìåíÿåò òîëüêî åìó èçâåñòíûé Ä è ïîëó÷àåò Ä0(Ò), à çàòåì îáùåäîñòóïíûé À0. Òåïåðü ó íåãî íà ðóêàõ ñîîáùåíèå Ò è ïîëíàÿ óâåðåííîñòü, ÷òî ýòî ïðèñëàë òîò, êòî íóæíî, — âåäü íèêòî äðóãîé íå ìîã çàøèôðîâàòü ýòîò òåêñò êëþ÷îì Ä0. Êàê ìû âèäèì, â äàííîì ñëó÷àå ðåøåíà çàäà÷à çàùèòû íå òîëüêî îò óòå÷êè, íî è îò âîçìîæíîñòè ïîääåëàòü èíôîðìàöèþ. Ãîâîðÿ îá àëãîðèòìàõ À è Ä, ìû îïðåäåëèëè èõ ðàçëè÷èå òóìàííîé ôðàçîé, ÷òî, õîòÿ îíè âçàèìíî îáðàòíû, ïî îäíîìó èç íèõ íåëüçÿ ïîñòðîèòü äðóãîé çà ðàçóìíîå âðåìÿ. ×òî îçíà÷àåò ýòà ôðàçà?  êîíöå ëåêöèè 2 ìû îáñóæäàëè âîçìîæíîñòü ñðàâíåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè àëãîðèòìîâ, íàïðèìåð, ÷åðåç ðåàëèçàöèþ èõ ñ ïîìîùüþ ìàøèíû Òüþðèíãà. Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé àëãîðèòìà âûñòóïàåò êîëè÷åñòâî äåéñòâèé, êîòîðîå 106 Ëåêöèÿ 8 ïîòðåáóåòñÿ ìàøèíå Òüþðèíãà, ÷òîáû âûïîëíèòü äàííûé àëãîðèòì íàä çàäàííûì îáúåìîì äàííûõ, ñêàæåì, ëåíòîé, íà êîòîðîé èìååòñÿ ñîîáùåíèå äëèíû n. ßñíî, ÷òî ñ ðîñòîì n áóäåò ðàñòè è ÷èñëî èñïîëíÿåìûõ äåéñòâèé, à çíà÷èò, è âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà. Ãîâîðÿò, ÷òî àëãîðèòì ïîëèíîìèàëåí ñòåïåíè k, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà Ñ, ÷òî êîëè÷åñòâî äåéñòâèé, âûïîëíÿåìûõ äàííûì àëãîðèòìîì äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ îáúåìà n, íå ïðåâîñõîäèò Cnk. Ïðè ýòîì k, åñòåñòâåííî, âûáèðàåòñÿ íàèìåíüøèì èç âñåõ âîçìîæíûõ. Òàê âîò, øèôðóþùàÿ ôóíêöèÿ f âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû àëãîðèòì äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ áûë ïîëèíîìèàëüíûì, à àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè óæå ïîëèíîìèàëüíûì íå áûë íè äëÿ êàêîãî k. Òàêóþ ôóíêöèþ â êðèïòîãðàôèè íàçûâàþò îäíîñòîðîííåé. Ñòðîãî ãîâîðÿ, íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íå èçâåñòíî íè îäíîé ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé áûëî áû äîêàçàíî, ÷òî îíà îäíîñòîðîííÿÿ. Íî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íà ðîëü îäíîñòîðîííåé ãîäèòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé èçâåñòåí ïîëèíîìèàëíûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ, íî íå èçâåñòåí ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè. Âîò íåñêîëüêî òàêèõ ôóíêöèé è ëåãëè â îñíîâó ïîñòðîåíèÿ èñïîëüçóåìûõ ñåãîäíÿ êðèïòîñèñòåì ñ îòêðûòûì êëþ÷îì. Êîíå÷íî, ñàìà ïî ñåáå îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ñëóæèòü àëãîðèòìîì øèôðîâàíèÿ — âåäü ïîëó÷àòåëþ ñîîáùåíèÿ äëÿ äåøèôðîâàíèÿ ïðèøëîñü áû ïîëüçîâàòüñÿ íåïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì. Íà ñàìîì äåëå øèôðóþùåé âûñòóïàåò òàê íàçûâàåìàÿ ôóíêöèÿ ñ ñåêðåòîì. Ñåêðåò — ýòî íåêèé ïàðàìåòð K, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè K ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè f; 2) ïðè íåèçâåñòíîì çíà÷åíèè K íå ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè, îáðàòíîé ê f; 3) ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè K ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè, îáðàòíîé ê f. Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ ñîîáùàåòñÿ âñåì, ìîæíî è â ãàçåòå íàïå÷àòàòü. Êëþ÷ K äëÿ øèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèé àãåíòó íå íóæåí, îí õðàíèòñÿ òîëüêî ó ïîëó÷àòåëÿ ñîîáùåíèé, ò.å. â ðàçâåäöåíòðå. Âïðî÷åì, òàêèå ñèñòåìû ðàçðàáàòûâàëèñü âîâñå íå äëÿ àãåíòóðíîé äåÿòåëüíîñòè. Ñêàæåì, êëèåíò áàíêà õî÷åò îòïðàâèòü ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå ïîðó÷åíèå áàíêó ïðîâåñòè êàêèå-òî äåíåæíûå îïåðàöèè ñî ñâîåãî ñ÷åòà. ßñíî, ÷òî òàêàÿ èíôîðìàöèÿ íå äîëæíà ñòàòü äîñòóïíîé íè äëÿ êîãî, êòî ìîã áû â ýòîé ñåòè ïîëó÷èòü íåñàíêöèîíèðîâàííûé äîñòóï ê ýòîìó ñîîáùåíèþ. Áàíêó â ýòîì ñëó÷àå óæå íå íàäî êàæäîãî êëèåíòà ñíàáæàòü ñîáñòâåííûì êëþ÷îì øèôðîâàíèÿ, àëãîðèòì åäèí äëÿ âñåõ è âñòðîåí â ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ êëèåíòîâ. Íó à êëþ÷ äåøèôðîâàíèÿ õðàíèòñÿ, åñòåñòâåííî, â ñëóæáå êîìïüþòåðíîé áåçîïàñíîñòè áàíêà. Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 107 Âîò ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè ñ ñåêðåòîì. 1. Âûáåðåì äâà ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñëà p è q. 2. Ïîëîæèì n = pq. 3. Âûáåðåì ÷èñëî d, âçàèìíî ïðîñòîå ñ ÷èñëîì (p – 1)(q – 1). 4. Íàéäåì òàêîå s, ÷òîáû sd mod (p – 1)(q – 1) = 1. Òàêîå s íåòðóäíî íàéòè, ïîëüçóÿñü àëãîðèòìîì Åâêëèäà. Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ øàãîâ. 1. Èñõîäíîå ñîîáùåíèå êîäèðóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ai, êàæäîå èç êîòîðûõ âçàèìíî ïðîñòî ñ n (íàïðèìåð, êàæäàÿ áóêâà àëôàâèòà çàìåíÿåòñÿ åå ïîðÿäêîâûì íîìåðîì ñ óêàçàííûì èñêëþ÷åíèåì). 2. Êàæäîå ai çàìåíÿåòñÿ íà bi ïî ïðàâèëó bi = (ai)s mod n. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü bi è ÿâëÿåòñÿ øèôðîâàííûì ñîîáùåíèåì. Êàê âèäíî, äëÿ øèôðîâàíèÿ íóæíî çíàòü òîëüêî ÷èñëà n è s. Èõ ìîæíî ñîîáùèòü âñåì, îíè ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûì êëþ÷îì øèôðîâàíèÿ. Ñåêðåòîì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî d. ×òîáû ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå, âû÷èñëèì xi = (bi)d mod n. ßñíî, ÷òî xi = (ai)sd mod n. Îäíàêî åùå Ë.Ýéëåð óñòàíîâèë, ÷òî äëÿ n = pq, ãäå p è q — ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ïðè ëþáîì öåëîì ñ, âçàèìíî ïðîñòîì ñ n, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî c(p – 1)(q – 1) = 1 (mod n). Òåì ñàìûì, (a i ) sd mod n = (a i ) (p – 1)(q – 1)m + 1 mod n = = (ai) (p – 1)(q – 1)m ai mod n = 1 ⋅ ai mod n. Ñëåäîâàòåëüíî, xi = ai, ò.å. òåêñò ðàñøèôðîâàí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî d, p è q íåèçâåñòíû. Êàê òîãäà ïîñòðîèòü ïî n è s àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ? Ñíà÷àëà íàäî ðàçëîæèòü n íà äâà ïðîñòûõ ìíîæèòåëÿ. Ïðîñòûå ÷èñëà p è q âûáèðàþòñÿ îáû÷íî äîâîëüíî áîëüøèìè, òàê ÷òî ïîëó÷åíèå èõ, èñõîäÿ èç èçâåñòíîãî n, óæå äîâîëüíî òðóäîåìêàÿ çàäà÷à. Äàëåå, ïî íàéäåííûì âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî (p – 1)(q – 1), ïîñëå ÷åãî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà ïî çíà÷åíèþ s îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå d. Èçëîæåííàÿ íàìè ñõåìà áûëà ïðåäëîæåíà â 1978 ã. Ð.Ðèâåðñòîì, À.Øàìèðîì è Ë.Àäëåìàíîì è ïîëó÷èëà íàçâàíèå RSA-ñõåìû — ïî ïåðâûì áóêâàì àíãëèéñêîãî íàïèñàíèÿ ôàìèëèé ýòèõ èçîáðåòàòåëåé. Äëÿ èëëþñòðàöèè ñâîåãî ìåòîäà àâòîðû çàøèôðîâàëè òàêèì ñïîñîáîì íåêîòîðóþ àíãëèéñêóþ ôðàçó, â êîòîðîé áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà áûëè çàêîäèðîâàíû äâóçíà÷íûìè ÷èñëàìè äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû (ïðîáåë→00, à→01, b→02 è ò.ä.). Áûëè ñîîáùåíû ÷èñëà n è s. Áîëåå òîãî, áûëî îáúÿâëåíî, ÷òî ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë, îäíî èç êîòîðûõ ñîäåðæèò 64 öèôðû, à äðóãîå — 65. Ïðàâäà, s áûëî íåâåëèêî, âñåãî ëèøü 9007. Òîìó, êòî ïåðâûé äåøèôðóåò ñîîáùåíèå, áûëà îáåùàíà íàãðàäà â 100$. Ðàñøèôðîâàíî ñîîáùåíèå áûëî ëèøü 17 ëåò ñïóñòÿ. Ïîñëå 220-äíåâíîé òåîðåòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè â ðàáîòå ïðèíÿëî ó÷àñòèå îêîëî 600 ÷åëî- 108 Ëåêöèÿ 8 âåê è îêîëî 1600 êîìïüþòåðîâ, îáúåäèíåííûõ ñ ïîìîùüþ ñåòè Èíòåðíåò. Âïðî÷åì, äàëåêî íå âñåãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñêðûâàòü ñîäåðæàíèå ñîîáùåíèÿ. Íåðåäêî âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü ëèøü â ïîäòâåðæäåíèè, ÷òî ïåðåäàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ íå ïîäâåðãëàñü èñêàæåíèþ è ïðèíàäëåæèò èìåííî òîìó, êòî åå íàïðàâèë.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîñòóïèòü èíà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âû íàìåðåíû ïîðó÷èòü áàíêó ïåðå÷èñëèòü äåíüãè ñ âàøåãî ñ÷åòà íà ñ÷åò äðóãîé îðãàíèçàöèè çà îêàçàííûå âàì óñëóãè. Âû íàïðàâëÿåòå â âàø áàíê ïîðó÷åíèå ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå: “ áàíê “Íàðîäíûé êðåäèò”. Ïðîøó ïåðå÷èñëèòü ñ ìîåãî ñ÷åòà ¹ 37845612 íà ñ÷åò ¹ 21384562 â áàíêå “Ñåâåðíîå ñèÿíèå” 15 000 (ïÿòíàäöàòü òûñÿ÷) ðóáëåé. Êëèåíò: Ïåòðîâ Èâàí Ñèäîðîâè÷. Êîä: 3XAZ43àâ47UTÃîðRPOP12”. Êàê âû âèäèòå, òåêñò ïîëíîñòüþ îòêðûò. È ïîëó÷èâøèé åãî ðàáîòíèê áàíêà äîëæåí áûòü óâåðåí, ÷òî â ýòîò òåêñò íå âíåñåíî èçìåíåíèé íè â ïåðå÷èñëÿåìóþ ñóììó, íè â íîìåðà ñ÷åòîâ, íè â êàêèå äðóãèå ðåêâèçèòû. Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî êàê ðàç è ñëóæèò êîä â êîíöå ñîîáùåíèÿ, êîòîðûé, êñòàòè, òîæå ïåðåäàåòñÿ ñîâåðøåííî îòêðûòî. À â ÷åì æå ñåêðåò? Ñåêðåòíûì ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ êîäà. Îòïðàâèòåëü ïîñòóïàåò òàê. Îí øèôðóåò òåêñò ñâîåãî ïîðó÷åíèÿ àëãîðèòìîì, êîòîðûé ïðåäîñòàâëåí áàíêîì. Ðàçóìååòñÿ, øèôðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ àâòîìàòè÷åñêè, è êëèåíò ýòîò àëãîðèòì, êàê ïðàâèëî, íå çíàåò; áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîãî êëèåíòà àëãîðèòì ìîæåò áûòü ñâîèì è ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè, íàïðèìåð, îò äàòû, êîãäà ïðîâîäèòñÿ øèôðîâàíèå. Ïîëó÷èâøååñÿ çàêîäèðîâàííîå ñîîáùåíèå îí è ïðèïèñûâàåò â êîíöå ê ñâîåìó ïîðó÷åíèþ ïîñëå ñëîâà “Êîä”. Ðàáîòíèê áàíêà ïðèìåíÿåò òîò æå àëãîðèòì ê ïîëó÷åííîìó ñîîáùåíèþ è ñðàâíèâàåò ïîëó÷èâøèéñÿ ó íåãî êîä ñ ïðèñëàííûì åìó ïîðó÷èòåëåì. Åñëè îíè ñîâïàëè, òî ìîæíî áûòü óâåðåííûì, ÷òî íèêàêèõ èçìåíåíèé â òåêñòå ïîðó÷åíèÿ íå ïðîèçâîäèëîñü è, çíà÷èò, ïîðó÷åíèå ìîæíî âûïîëíÿòü. Êàê âèäèòå, ñîâñåì íå âñåãäà òðåáóåòñÿ çíàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ — äîñòàòî÷íî èìåòü ñåêðåòíûé àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ. Îïèñàííûé ñïîñîá áîðüáû ñ ïðåäíàìåðåííûì èñêàæåíèåì èíôîðìàöèè áóäåì íàçûâàòü ìåòîäîì îäíîñòîðîííåãî øèôðîâàíèÿ. Âîïðîñû è çàäàíèÿ 1. Ïîñòðîéòå RSA-ñèñòåìó, âçÿâ â êà÷åñòâå p è q ÷èñëà 37 è 41. 2. Ñîñòàâüòå àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ ôðàç ðóññêîãî ÿçûêà íà îñíîâå RSAñèñòåìû, ïîñòðîåííîé âàìè ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ 1. 3. Ïðåäëîæèòå êàêîé-ëèáî àëãîðèòì äëÿ ïðîâåðêè îòñóòñòâèÿ èñêàæåíèé â ïåðåäàííîì ñîîáùåíèè íà îñíîâå ïðèïèñûâàåìîãî êîäà. Ïðîâåðüòå ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëîæåííîãî âàìè àëãîðèòìà íà êàêèõ-ëèáî ñîîáùåíèÿõ. Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè §3. Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû ñòåãàíîãðàôèè 109 Õîòÿ â ïðåàìáóëå äàííîé ëåêöèè ñ øèðîòîé äóøè ñêàçàíî “ïóñòü âèäÿò è ñëûøàò”, íà ñàìîì äåëå çíà÷èòåëüíûå óñèëèÿ âñåãäà ïðèëàãàëèñü ê òîìó, ÷òîáû ñêðûòü ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èíôîðìàöèè è/èëè åå ïåðåäà÷è. Íàóêà î ïåðåäà÷å èíôîðìàöèè, ïðè êîòîðîé ñîõðàíÿåòñÿ â òàéíå ñàì ôàêò òàêîé ïåðåäà÷è, íàçûâàåòñÿ ñòåãàíîãðàôèåé. Èñòîðèÿ ñòåãàíîãðàôèè òàêàÿ æå äðåâíÿÿ, êàê è êðèïòîãðàôèè. Ê ïåðâûì óïîìèíàíèÿì ñòåãàíîãðàôè÷åñêèõ ìåòîäîâ îòíîñèòñÿ ðàññêàç î òîì, êàê ðàáó áðèëè ãîëîâó, íà íåé ïèñàëè òåêñò, çàòåì âîëîñû âûðàñòàëè, ðàáà îòïðàâëÿëè ïî íàçíà÷åíèþ, òàì ñíîâà åãî áðèëè íàãîëî è ñ÷èòûâàëè òåêñò.  áîëåå ïîçäíèå âðåìåíà îñíîâó ñòåãàíîãðàôèè ñòàëè ñîñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå íåâèäèìûå, ïî-íàó÷íîìó — ñèìïàòè÷åñêèå ÷åðíèëà, êîòîðûå ïðîÿâëÿëèñü òîëüêî ïîñëå ñïåöèàëüíîé îáðàáîòêè íîñèòåëÿ, íà êîòîðîì òåêñò áûë èìè íàïèñàí. Îáû÷íî ïðè ýòîì ïðèñóòñòâèå ñåêðåòíîé èíôîðìàöèè ìàñêèðîâàëîñü êàêèì-ëèáî òåêñòîì èëè ðèñóíêîì, íàíåñåííûì ïîâåðõ ñåêðåòíîãî ñîîáùåíèÿ. Ñ ïîÿâëåíèåì ýëåêòðîííûõ äîêóìåíòîâ ñòåãàíîãðàôèÿ ïîëó÷èëà íîâûé èìïóëüñ â ñâîåì ðàçâèòèè. Ïðàêòè÷åñêè â êàæäûé òàêîé äîêóìåíò ìîæíî âêëþ÷èòü ñåêðåòíóþ èíôîðìàöèþ òàê, ÷òî áåç ñïåöèàëüíîé îáðàáîòêè äîêóìåíòà íåëüçÿ óñòàíîâèòü, áûëè ëè â íåãî âíåñåíû èçìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ îðèãèíàëîì. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè êîäèðîâàíèè çâóêà è ãðàôèêè ïîñëåäíèé áèò òàêîãî êîäà ñ÷èòàåòñÿ íåçíà÷àùèì è ïîäâåðæåííûì ñëó÷àéíûì èçìåíåíèÿì. Äåéñòâèòåëüíî, îí îáû÷íî îòâå÷àåò çà òàêîå íåçíà÷èòåëüíîå èçìåíåíèå öâåòà èëè çâóêà, ÷òî ÷åëîâåê ðàñïîçíàòü òàêîå ïîëó÷àþùååñÿ îòëè÷èå ôàêòè÷åñêè íå ìîæåò. Áîëåå òîãî, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíî, êàê íà ñàìîì äåëå äîëæåí áûë âûãëÿäåòü ýëåêòðîííûé âàðèàíò îðèãèíàëà. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äâîè÷íûõ ÷èñåë, îòîáðàæàþùèõ â öèôðîâîì êîäå êàêîé-òî çâóêîâîé îáðàç â ôîðìàòå ÌÐ3: 11011010 10011011 11100010 11011011 11011010 10011011 11100010 11011011 Ìû õîòèì “ñïðÿòàòü” â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñêàæåì, ðóññêóþ áóêâó “Ñ”.  êîäîâîé òàáëèöå ÑÐ-1251 ýòà áóêâà èìååò íîìåð 209, à åå äâîè÷íûé êîä ðàâåí 11010001. À òåïåðü â êàæäîì áàéòå èñõîäíîé 8-áàéòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäíèé áèò çàìåíÿåì, åñëè íóæíî, íà ñîîòâåòñòâóþùèé áèò êîäà áóêâû “Ñ”. Ïîëó÷àåì: 11011011 10011011 11100010 11011011 11011010 10011010 11100010 11011011 Ðåàëüíî òàêóþ ïîäìåíó íå óñëûøàòü.  ñëåäóþùèå âîñåìü áàéòîâ âñòðàèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ áóêâà ñîîáùåíèÿ, íàïðèìåð, “Δ. È òàê äàëåå. Ðàçóìååòñÿ, ðåàëüíûå ìåòîäû ýëåêòðîííîé ñòåãàíîãðàôèè íàìíîãî èçîùðåííåå, ÷åì òå, ÷òî îïèñàíû íàìè. Íî îáùàÿ èäåÿ, ìû äóìàåì, ïîíÿòíà. 110 Ëåêöèÿ 8 Êðîìå òîãî, ñòåãàíîãðàôèÿ îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ â ñîâîêóïíîñòè ñ êðèïòîãðàôèåé, ÷òî çíà÷èòåëüíî ïîâûøàåò íàäåæíîñòü çàùèòû èíôîðìàöèè. Êàê è â ñëó÷àå êðèïòîãðàôèè, çàäà÷åé ñòåãàíîãðàôèè ìîæåò ñëóæèòü íå òîëüêî ñêðûòàÿ ïåðåäà÷à ñåêðåòíîé èíôîðìàöèè, íî è çàùèòà îòêðûòîé èíôîðìàöèè îò ïîääåëêè èëè ìîäèôèêàöèè. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ýëåêòðîííûå âîäÿíûå çíàêè.  ãðàôè÷åñêèé ôàéë âñòðàèâàåòñÿ çàêîäèðîâàííàÿ èíôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ íå îòîáðàæàåòñÿ íà ìîíèòîðå, íî ïðè ïîïûòêå èçìåíèòü èçîáðàæåíèå (íàïðèìåð, âñòàâèòü èëè, íàîáîðîò, óäàëèòü êîìïðîìåòèðóþùóþ èíôîðìàöèþ) òàêàÿ çàêîäèðîâàííàÿ èíôîðìàöèÿ èñêàæàåòñÿ è ïðè äåøèôðîâêå óêàçûâàåò íà íàëè÷èå âìåøàòåëüñòâà. Òàê ÷òî êîìïüþòåðíûå ñðåäñòâà çàùèòû èíôîðìàöèè àêòèâíî ðàçâèâàþòñÿ â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Âìåñòî ýïèëîãà. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè Ïðåæäå ÷åì îáñóæäàòü âîïðîñû ìåòîäèêè, íàäî êàê ìîæíî òî÷íåå ïîíÿòü, ïî÷åìó òàêîé êóðñ ÷èòàåòñÿ, äëÿ êîãî îí ïðåäíàçíà÷åí, ÷åìó îí äîëæåí íàó÷èòü. Îòâåò íà âîïðîñ “ïî÷åìó?” íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ äîâîëüíî î÷åâèäíûì — â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè íå èçó÷àþòñÿ òå ñîâðåìåííûå ðàçäåëû ýòîé âåëèêîëåïíîé íàóêè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïîíÿòü âåñüìà òîíêèå ìåõàíèçìû êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé. È ýòîò îòâåò ïðàâèëüíûé. Íî íåïîëíûé. Òåì íå ìåíåå ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòü íà âòîðîé âîïðîñ: äëÿ êîãî òàêîé êóðñ ïðåäíàçíà÷åí? Äëÿ òåõ øêîëüíèêîâ, êîòîðûå õîòÿò ïîíÿòü íå òîëüêî, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü íà îñíîâå êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé, íî è òî, êàê ýòè òåõíîëîãèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè ñïðàâëÿþòñÿ, êàêîâû îãðàíè÷åíèÿ â èõ ïðèìåíåíèè. ×åìó äîëæåí íàó÷èòüñÿ øêîëüíèê, èçó÷àþùèé êóðñ “Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè”? Âî-ïåðâûõ, ó íåãî äîëæíî áûòü ÷åòêîå ïîíèìàíèå, ÷òî çà âñåìè óìíûìè øòó÷êàìè ñòîÿò êîíêðåòíûå àëãîðèòìû. Âîâòîðûõ, îí äîëæåí çíàòü, êàêîâû ýòè îñíîâíûå àëãîðèòìû. Â-òðåòüèõ, çíàòü, êàê óñòðîåíû ñòðóêòóðû äàííûõ äëÿ ýòèõ àëãîðèòìîâ. Â-÷åòâåðòûõ, çíàòü, êàêîâû îãðàíè÷åíèÿ íà ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ â êîìïüþòåðå, è ïîíèìàòü, êàê ýòè îãðàíè÷åíèÿ ñêàçûâàþòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ è ñàìîé âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ïðåäëàãàåìûõ àëãîðèòìîâ.  öåëîì ýòî îïðåäåëÿåò íå ïðîñòî óìåíèå ìûñëèòü àëãîðèòìè÷åñêè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåëåâûõ óñòàíîâîê áàçîâîãî êóðñà èíôîðìàòèêè, à ñèñòåìíóþ ïåðåñòðîéêó ìûøëåíèÿ ó÷àùèõñÿ íà êîíñòðóêòèâíûé ñòèëü. Øêîëüíàÿ ìàòåìàòèêà ýòîãî âîâñå íå ïðåäïîëàãàåò, ïîñêîëüêó, êàê ïðà- Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 111 âèëî, ïðåäëàãàåò îïåðèðîâàòü ñ àáñòðàêòíûìè îáúåêòàìè, íå èìåþùèìè îãðàíè÷åíèé íè â ïðîñòðàíñòâå, íè âî âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ãëàâíàÿ öåëü êóðñà “Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè” — ýòî ïåðåñòðîéêà ìûøëåíèÿ ó÷àùèõñÿ íà êîíñòðóêòèâíûé ñòèëü. Ïîýòîìó ó øêîëüíèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â òàêîé óãëóáëåííîé èíôîðìàòèêå, âîâñå íå îáÿçàòåëüíû âûñîêèå óñïåõè â ìàòåìàòèêå è, íàîáîðîò, âûñîêèå óñïåõè â ìàòåìàòèêå âîâñå íå ãàðàíòèÿ óñïåøíîñòè â èíôîðìàòèêå. Íàäî èìåòü ýòî â âèäó êàê ïðè îòáîðå ó÷àùèõñÿ â êëàññû ñ óãëóáëåííîé ïîäãîòîâêîé ïî èíôîðìàòèêå, òàê è â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ â òàêîì êëàññå. À òåïåðü íåñêîëüêî ñëîâ î ñîáñòâåííî ìåòîäèêå. Íàïîìíèì, ÷òî ìåòîäè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå èçó÷åíèÿ ëþáîé òåìû ïðåäóñìàòðèâàåò íåñêîëüêî êîíöåíòðîâ: ñîçäàíèå ìîòèâàöèè, âûäåëåíèå ñîäåðæàòåëüíîãî ÿäðà è åãî îñâîåíèå, ðàñøèðåíèå ÿäðà è óñòàíîâëåíèå ñâÿçåé ñ äðóãèìè ðàçäåëàìè êóðñà, à òàêæå äðóãèìè äèñöèïëèíàìè, êîíòðîëü óñâîåíèÿ. Ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà äâóõ ìîìåíòàõ — ìîòèâàöèîííîå ââåäåíèå è ðàñøèðåíèå ÿäðà. Ìîòèâàöèîííîå ââåäåíèå Ïðåæäå âñåãî ó ó÷àùåãîñÿ íåîáõîäèìî ñîçäàòü ìîòèâàöèþ ê èçó÷åíèþ ïðåäëàãàåìîé èõ âíèìàíèþ òåìû. Îíà, êîíå÷íî, íå äîëæíà áûòü ñëèøêîì ïðîäîëæèòåëüíîé ïî âðåìåíè, íî äîñòàòî÷íî ÿðêîé, áåðóùåé, òàê ñêàçàòü, çà äóøó. Íàïîìíèì îñíîâíûå ïðèåìû ñîçäàíèÿ ìîòèâàöèè. 1) àïåëëÿöèÿ ê æèçíåííîìó îïûòó ó÷àùèõñÿ; 2) ññûëêà íà òî, ÷òî ïðèîáðåòåííîå ñåãîäíÿ çíàíèå ïîíàäîáèòñÿ ïðè èçó÷åíèè êàêîãî-òî ïîñëåäóþùåãî ìàòåðèàëà, âàæíîñòü îâëàäåíèÿ êîòîðûì ñîìíåíèÿ íå âûçûâàåò; 3) ñîçäàíèå ïðîáëåìíîé ñèòóàöèè; 4) èñïîëüçîâàíèå çàíèìàòåëüíîãî ñþæåòà; 5) ðîëåâîé ïîäõîä; 6) äåëîâàÿ èãðà8. Âîò, ê ïðèìåðó, ñþæåòíûé âàðèàíò ñîçäàíèÿ ìîòèâàöèè ïðè èçó÷åíèè òåìû “Êîíå÷íûå àâòîìàòû”, êîòîðóþ ìû îáñóæäàëè â §19 ëåêöèè 2. Ó÷àùèìñÿ ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþùåå çàäàíèå. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî âû ïîëó÷èëè ïèñüìî, êîòîðîå ïðèâåäåíî íèæå3. Ïîïûòàéòåñü ïîìî÷ü àâòîðó ýòîãî ïèñüìà. 8 Ïðîáëåìàì ìîòèâàöèè â êóðñå èíôîðìàòèêè áûëà ïîñâÿùåíà ñïåöèàëüíàÿ ëåêöèÿ â ðàìêàõ êóðñà “Ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ ñîâðåìåííîãî êóðñà èíôîðìàòèêè” — Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò “Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ”, 2004. 9 Òåêñò “ïèñüìà” âçÿò èç êíèãè Ó.Ð. Ýøáè, îäíîãî èç îñíîâîïîëîæíèêîâ òåîðèè êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ. 112 Ëåêöèÿ 8 “Çàìîãèëüå” Äîì ñ ïðèâèäåíèÿìè Äîðîãîé äðóã! Íåêîòîðîå âðåìÿ íàçàä ÿ êóïèë ñòàðûé äîì, íî îáíàðóæèë, ÷òî îí ïîñåùàåòñÿ äâóìÿ ñòðàííûìè çâóêàìè: Ïåíèåì è Ñìåõîì.  ðåçóëüòàòå îí ìàëî ïîäõîäèò äëÿ æèëüÿ. Îäíàêî ÿ íå îò÷àèâàþñü, èáî ÿ óñòàíîâèë ïóòåì ïðàêòè÷åñêîé ïðîâåðêè, ÷òî èõ ïîâåäåíèå ïîä÷èíÿåòñÿ îïðåäåëåííûì çàêîíàì, íåïîíÿòíûì, íî íåïðåðåêàåìûì, è ÷òî ÿ ìîãó âîçäåéñòâîâàòü íà íèõ, èãðàÿ íà Îðãàíå èëè ñæèãàÿ Ëàäàí.  òå÷åíèå êàæäîé ìèíóòû êàæäûé èç ýòèõ çâóêîâ ëèáî çâó÷èò, ëèáî ìîë÷èò; íèêàêèõ ïåðåõîäîâ îíè íå îáíàðóæèâàþò. Ïîâåäåíèå æå èõ â ïîñëåäóþùóþ ìèíóòó çàâèñèò òîëüêî îò ñîáûòèé ïðåäûäóùåé ìèíóòû, è çàâèñèìîñòü ýòà òàêîâà. Ïåíèå â ïîñëåäóþùóþ ìèíóòó âåäåò ñåáÿ òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùóþ (çâó÷èò èëè ìîë÷èò), åñëè òîëüêî â ýòó ïðåäûäóùóþ ìèíóòó íå áûëî èãðû íà Îðãàíå ïðè ìîë÷àùåì Ñìåõå.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå îíî ìåíÿåò ñâîå ïîâåäåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå (çâó÷àíèå íà ìîë÷àíèå è íàîáîðîò). ×òî êàñàåòñÿ Ñìåõà, òî åñëè â ïðåäûäóùóþ ìèíóòó ãîðåë Ëàäàí, Ñìåõ áóäåò çâó÷àòü èëè ìîë÷àòü â çàâèñèìîñòè îò òîãî, çâó÷àëî èëè ìîë÷àëî Ïåíèå (òàê ÷òî Ñìåõ êîïèðóåò Ïåíèå ìèíóòîé ïîçæå). Åñëè, îäíàêî, Ëàäàí íå ãîðåë, Ñìåõ áóäåò äåëàòü ïðîòèâîïîëîæíîå òîìó, ÷òî äåëàëî Ïåíèå.  òó ìèíóòó, êîãäà ÿ ïèøó Âàì ýòî, Ñìåõ è Ïåíèå îáà çâó÷àò. Ïðîøó Âàñ ñîîáùèòü ìíå, êàêèå äåéñòâèÿ ñ Ëàäàíîì è Îðãàíîì äîëæåí ÿ ñîâåðøèòü, ÷òîáû óñòàíîâèòü è ïîääåðæèâàòü òèøèíó â äîìå? Îáñóæäàÿ òåêñò ïèñüìà, ó÷àùèåñÿ ïðèõîäÿò ê âûâîäó, ÷òî èìåþò äåëî ñ íåêîòîðûì óïðàâëÿåìûì ôîðìàëüíûì èñïîëíèòåëåì, èìåþùèì 4 ñîñòîÿíèÿ: Ñìåõ è Ïåíèå çâó÷àò; Ñìåõ ìîë÷èò, Ïåíèå çâó÷èò; Ñìåõ çâó÷èò, Ïåíèå ìîë÷èò; Ñìåõ è Ïåíèå ìîë÷àò. Ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýòîãî èñïîëíèòåëÿ ïðèâîäèò ó÷àùèõñÿ ê èçîáðàæåíèþ ýòîé ìîäåëè â âèäå ðàçìå÷åííîãî îðãðàôà ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà ïîñëåäóþùèìè ðàññìîòðåíèÿìè. Íåêîòîðûå èç ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïîäõîäîâ ê ñîçäàíèþ ìîòèâàöèè áûëè ïðîäåìîíñòðèðîâàíû íàìè â êàæäîé ëåêöèè â òîé ïðåàìáóëå, êîòîðàÿ ïðåäâàðÿëà òåêñòû ïàðàãðàôîâ. Ðàñøèðåíèå ÿäðà è óñòàíîâëåíèå ñâÿçåé ñ äðóãèìè ðàçäåëàìè êóðñà  §3 ëåêöèè 4 ìû îáñóæäàëè ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû îáõîäà ãðàôà. Êîíå÷íî, ãðàô — ýòî òà ñòðóêòóðà, äëÿ êîòîðîé çàäà÷à îá îáõîäå âûãëÿäèò àáñîëþòíî åñòåñòâåííî. Íî ó÷àùèåñÿ äîëæíû ïîíèìàòü, ÷òî îíè Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè 113 èìåþò äåëî ñ òåõíîëîãèåé ãðàìîòíîãî è ýôôåêòèâíîãî ïåðåáîðà âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. È ñîâñåì íåâàæíî, ïðèìåíÿåòñÿ ëè îíà ê íåêîòîðîìó ãðàôó èëè â êàêîé-òî èíîé ñèòóàöèè. ×òîáû äîáèòüñÿ òàêîãî ïîíèìàíèÿ, ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ òîò èëè èíîé àëãîðèòì, äîëæíà áûòü áîëåå øèðîêîé, ÷åì ãðàô. Âîò ïðèìåð òàêîé çàäà÷è. Äàíà ôèãóðà, ñîñòàâëåííàÿ èç íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ ïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíèêîâ.  êàæäîì øåñòèóãîëüíèêå íàðèñîâàíî íåñêîëüêî ñòðåëîê. Òðåáóåòñÿ, íà÷àâ ñ íèæíåãî øåñòèóãîëüíèêà (îí îòìå÷åí âíåøíåé “âõîäíîé” ñòðåëêîé), çàêîí÷èòü ñâîé ïóòü â âåðõíåì (îí îòìå÷åí âíåøíåé “âûõîäíîé” ñòðåëêîé), ïåðåìåùàÿñü èç îäíîãî øåñòèóãîëüíèêà â äðóãîé ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: èç êàæäîãî øåñòèóãîëüíèêà ìîæíî ñäåëàòü ïðûæîê â îäíîì èç äâóõ íàïðàâëåíèé, êóäà óêàçûâàþò ñòðåëêè, íàõîäÿùèåñÿ â ýòîì øåñòèóãîëüíèêå, ïðè÷åì íà ñòîëüêî øåñòèóãîëüíèêîâ, ñêîëüêî ñòðåëîê óêàçûâàþò íà ýòî íàïðàâëåíèå. Âûïîëíèòå ýòî çàäàíèå äëÿ ôèãóð, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 4 à)–â) íà ñ. 114, ïîñåòèâ ïðè ýòîì íàèìåíüøåå ÷èñëî øåñòèóãîëüíèêîâ. Ïðèìåð: Íà ëåâîì ðèñóíêå ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà èçîáðàæåíà èñõîäíàÿ ñèòóàöèÿ, íà ïðàâîì — èñêîìûé ïóòü. Ïðè ýòîì ïðèøëîñü ïîáûâàòü ëèøü â ÷åòûðåõ øåñòèóãîëüíèêàõ (ñ÷èòàÿ íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé øåñòèóãîëüíèêè). Íàðèñîâàòü ãðàô âñåâîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ïåðåìåùåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Òåì íå ìåíåå çäåñü ýôôåêòèâíî ðàáîòàåò “âîëíîâîé àëãîðèòì”, êîòîðûé îáñóæäàëñÿ íàìè â §3 ëåêöèè 4: íà÷àâ ñ íèæíåãî øåñòèóãîëüíèêà, íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî â êàæäîì øåñòèóãîëüíèêå íàïèñàòü êîëè÷åñòâî øàãîâ, çà êîòîðîå ýòîò øåñòèóãîëüíèê äîñòèãàåòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî çàäàíèå òàêîãî òèïà íàðÿäó ñ äåìîíñòðàöèåé ïðèìåíåíèÿ èçó÷àåìûõ àëãîðèòìîâ äëÿ òåõ ñèòóàöèé, êîãäà ãðàô íå ïðèñóòñòâóåò â ÿâíîì âèäå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåñüìà çàíèìàòåëüíóþ ãîëîâîëîìêó. Ôàêòè÷åñêè ìû ñíîâà èìååì äåëî ñ ÷åòâåðòûì ïîäõîäîì ê ñîçäàíèþ ìîòèâàöèè — èñïîëüçîâàíèå çàíèìàòåëüíîãî ñþæåòà. 114 Ëåêöèÿ 8 à) á) â) Ðèñ. 4 *** Êîíå÷íî, ìåòîäè÷åñêèå ïðèåìû, ñïîñîáñòâóþùèå îáó÷åíèþ øêîëüíèêîâ âåñüìà íåïðîñòîìó ìàòåðèàëó, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè, âåñüìà ðàçíîîáðàçíû. Çàêàí÷èâàÿ íàø ëåêöèîííûé êóðñ, õîòèì ïîæåëàòü óñïåõîâ âñåì, êòî âîçüìåòñÿ ðåàëèçîâàòü “Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàòèêè” äëÿ øêîëüíèêîâ. À ñåé÷àñ âàì ïðåäñòîèò â ñâîåé âûïóñêíîé ðàáîòå ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ñâîå ìåòîäè÷åñêîå óìåíèå äëÿ âûáðàííîé âàìè òåìû äàííîãî êóðñà. Åùå ðàç æåëàåì âñåì óñïåõîâ. Èòîãîâàÿ ðàáîòà Èòîãîâàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîäè÷åñêóþ ðàçðàáîòêó óðîêà (èëè íåñêîëüêèõ óðîêîâ), ïðàêòè÷åñêîãî çàíÿòèÿ èëè çàíÿòèÿ â êîìïüþòåðíîì êëàññå (èëè êîìïëåêñà çàíÿòèé) ïî îäíîé èç ñëåäóþùèõ òåì, îñâåùàâøèõñÿ â ëåêöèÿõ: 1. Ìåòîäû êîäèðîâàíèÿ, ïîâûøàþùèå ïîìåõîóñòîé÷èâîñòü ñèñòåì ñâÿçè. 2. Ïðåôèêñíûå êîäû. 3. Àëãîðèòìû ñæàòèÿ ñèìâîëüíîé èíôîðìàöèè. 4. Ôîðìàëüíûé èñïîëíèòåëü: ïðèíöèïû åãî çàäàíèÿ, ïðèìåðû, ïðèëîæåíèÿ. 5. Êîíå÷íûå àâòîìàòû è ðàñïîçíàâàåìûå ÿçûêè. 6. Êîíå÷íûå àâòîìàòû â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ. 7. Óíèâåðñàëüíûé èñïîëíèòåëü: ìàøèíà Òüþðèíãà. 8. Êîìïüþòåðíûé ïðàêòèêóì ïî ìàøèíå Òüþðèíãà (ñ èñïîëüçîâàíèåì ALGO2000). 9. Ñâîéñòâà àëãîðèòìîâ. 10. Ðîëü èíâàðèàíòà öèêëà â èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ àëãîðèòìà. 11. Ïðèìåíåíèå ëèìèòèðóþùåé ôóíêöèè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ àëãîðèòìà. 12. ×òî òàêîå àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå çàäà÷è. 13. Ãðàôû êàê èíñòðóìåíò ñèñòåìíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. 14. Ïîèñê íà ãðàôå â øèðèíó: àëãîðèòì è ïðèìåðû çàäà÷. 15. Ïîèñê íà ãðàôå â ãëóáèíó: àëãîðèòì è ïðèìåðû çàäà÷. 16. Âîëíîâîé àëãîðèòì: àëãîðèòì è ïðèìåðû çàäà÷. 17. Äåðåâüÿ è îñòîâ ãðàôà. 18. Àëãîðèòìû ïîèñêà îñòîâà ñ ìèíèìàëüíûì âåñîì. 19. Àëãåáðà ëîãèêè. 20. Ïðåäèêàòû. 21. Ìåòîäû çàùèòû èíôîðìàöèè ñ ñèììåòðè÷íûì êëþ÷îì. 22. Øèôðîâàíèå ñ îòêðûòûì êëþ÷îì: îñíîâíûå èäåè è ïðèìåíåíèÿ. 23. Çàùèòà ãðàôè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Íàïîìèíàåì òàêæå, óâàæàåìûå êîëëåãè, ÷òî èòîãîâàÿ ðàáîòà äîëæíà áûòü âûñëàíà ïî àäðåñó: óë. Êèåâñêàÿ, ä. 24, Ìîñêâà,121165 è â îáÿçàòåëüíîì ïîðÿäêå ñîïðîâîæäàòüñÿ àêòîì, çàâåðåííûì â âàøåì îáðàçîâàòåëüíîì ó÷ðåæäåíèè. Æåëàåì âàì óñïåõîâ! Ñîäåðæàíèå Ëåêöèÿ 5 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå ...............................................................4 Ëåêöèÿ 6 Ëîãè÷åñêèå ìîäåëè â èíôîðìàòèêå (ïðîäîëæåíèå) ............................... 47 Ëåêöèÿ 7 Êîìïüþòåðíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ .................... 81 Ëåêöèÿ 8 Çàùèòà èíôîðìàöèè. Íåêîòîðûå àñïåêòû ìåòîäèêè ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè ........................................................... 97 Èòîãîâàÿ ðàáîòà .......................................................................................... 115