Математические модели технических систем на макроуровне

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ Лекция №3 Математ ические модели технических систем на макроуровне. Макроуровень Модели макроуровня получаются, когда происходит переход от распределенных параметров к сосредоточенным – выделяются крупные элементы объектов и их параметры сосредоточиваются в одной точке: масса балки оказывается сосредоточенной в центре тяжести, поле потенциалов характеризуется величиной одного напряжения, поток электронов моделируется электрическим током и т. п. Происходит дискретизация пространства, но время – по-прежнему непрерывная величина. Математическими моделями на макроуровне являются обыкновенные дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения. Поведение (состояние) моделируемых объектов, состоящих из физически однородных элементов, в которых описываются процессы определенной физической природы (механические, электрические, гидравлические, тепловые), можно характеризовать с помощью фазовых переменных двух типов – типа потенциала и типа потока. 2 Фазовые переменные для различных физических систем Система Фазовы е переменны е т ипа потенциала т ипа потока Электрическая Электрическое напряж ение Элект рический ток Механическая Скорост ь Сила Механическая вращательная Угловая скорост ь Вращательны й момент Тепловая Температ ура Тепловой поток Гидравлическая и пневмат ическая Давление Расход 3 Элементы технических систем В большинстве технических объектов можно выделить три типа пассивных простейших элементов: •типа R – элемент рассеивания (диссипации) энергии (как правило, преобразования энергии в тепловую и ее рассеивания); •типа C и типа L – элементы накопления потенциальной и кинетической энергии. Кроме пассивных элементов, существуют два активных элемента – источник напряжения и источник тока. 4 Уравнения технических систем Уравнения, описывающие свойства элементов объекта, называют компонент ны ми. В них входят переменные типа потенциала и типа потока. Способ связи элементов отражается с помощью других уравнений, которые называют топологическими. В них входят переменные одного типа: либо потенциала, либо потока. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия непрерывности, равновесия, баланса и т. п. Математические модели объектов топологических уравнений. есть совокупность компонентных и 5 Электрические системы Основными фазовыми переменными электрических систем являются напряжения и токи в различных элементах систем. Компонентные уравнения элементов имеют вид: где U – напряжение; I – ток; R – сопротивление; C – емкость; L – индуктивность. При соединении резисторов, емкостей, индуктивностей между собой образуется схема, соединение элементов в которой отражается топологическими уравнениями. Ими являются законы Кирхгофа: где уравнения токов записываются для узлов, а уравнения напряжений для контуров. В ЭС имеются достаточно сложные элементы, и при их моделировании применяют схемы замещения, состоящие из сопротивлений, емкостей и индуктивностей. 6 Механические системы Элементами механических поступательных систем являются: •элементы механического сопротивления, отражающие потери механической энергии на разные виды трения; •элементы масс, отражающие свойства инерционности; •элементы гибкости, отражающие свойства упругости. Роль фазовых переменных в механических системах выполняют либо силы и скорости, либо силы и перемещения. Компонентные уравнения имеют вид: где V – скорость; F – сила; R – коэффициент, учитывающий зависимость силы трения от скорости; m – масса-аналог электрической емкости; Lm – гибкость – параметр, являющийся аналогом электрической индуктивности. 7 Механические системы Первое выражение в указывает на связь скорости и силы через коэффициент вязкого трения Второе выражение является вторым законом Ньютона. Третье выражение в получено из уравнения перемещения пружины x под действием силы F = kx, где k – коэффициент жесткости пружины. 8 Механические системы Топологические уравнения механической системы выражают уравнение равновесия сил, являющееся аналогом первого закона Кирхгофа, и уравнение сложения скоростей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю (аналог второго закона Кирхгофа). 9 Механические вращательные системы Для механических вращательных систем наиболее просто выглядит аналогия с механическими поступательными системами. Поступательной скорости V соответствует угловая скорость Ω, силе F – вращательный момент M. Аналогиями параметров m, Lm и R будут соответственно: J – момент инерции относительно оси вращения со скоростью Ω; Lвр – вращательная гибкость; Rвр – сопротивление вращению. Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид Топологические уравнения механической вращательной системы выражают закон равенства суммы моментов сил и закон сложения скоростей вокруг оси вращения: 10 Гидравлические и пневматические системы Фазовыми переменными гидравлических систем являются поток жидкости (расход) q и давление p – аналоги электрического тока и напряжения соответственно. Компонентные уравнения участков трубопровода и резервуаров гидросистемы связывают фазовые переменные при ламинарном и турбулентном движении жидкости. Топологические уравнения гидравлической системы близки по своему смыслу и идентичны по форме топологическим уравнениям электрических систем, а именно сумма потоков в любом узле системы и сумма давлений вдоль любого контура системы равны нулю. Фазовые переменные пневматических систем – потоки газа и давления – аналогичны по смыслу фазовым переменным гидравлических систем. Также одинаковы в гидравлических и пневматических системах компонентные и топологические уравнения. 11 Тепловые системы Для этих систем основные фазовые переменные – температура T и тепловой поток gт. Одно компонентное уравнение тепловой системы связывает разность температур на участке элемента и тепловой поток через тепловое сопротивление Rт, которое определяется теплоотдачей посредством теплопроводности, конвекции и лучеиспускания. Другое уравнение через теплоемкость Cт связывает тепловой поток и температуру элемента системы. Уравнения с понятием «тепловой гибкости» в тепловых системах нет. Топологические уравнения для сумм тепловых потоков и разностей температур тепловых систем также аналогичны законам Кирхгофа в электрических системах. 12 Заключение модели макроуровня Топологические уравнения для любых из рассмотренных выше систем строго определены только для установившихся режимов. В тех случаях, когда время распределения возбуждений (изменений фазовых переменных) по ветвям системы соизмеримо с длительностью интервалов времени, на которых ведется исследование, или превышает их, применять такие уравнения в приведенной выше форме нельзя. Границы применимости топологических уравнений определяются скоростями распространения возбуждений, размерами компонентов системы и частотами изменения фазовых переменных. Например, для электрических систем скорость распространения возбуждений есть скорость света или электромагнитных волн в соответствующей среде, а для механических, гидравлических и пневматических – это скорость распространения звука в соответствующей среде. 13