Математические модели безотказности.

Лекция 3. Математические модели безотказности 1. Статистические показатели безотказности 2. Основные математические модели безотказности. Распределение Вейбулла. 3. Основные математические модели безотказности. Экспоненциальное распределение наработки до отказа. 4. Основные математические модели безотказности. Нормальное распределение наработки до отказа. Вопрос 1. Статистические показатели безотказности Основное допущение теории надежности: отказ - есть случайное, повторное событие, то есть время появления отказа- величина случайная. Наблюдения за временем появления отказов могут быть организованы как в рамках испытаний на надежность, так и в процессе эксплуатации изделий. Под невосстанавливаемым изделием будем понимать такие изделия, которые после отказа не могут восстанавливаться до работоспособного состояния или их ремонт по каким-то причинам нецелесообразен. Поэтому в зависимости от условий и режимов эксплуатации одно и тоже изделие может быть восстанавливаемым или невосстанавливаемым. При рассмотрении статистических показателей безотказности невосстанавливаемых изделий будем рассматривать следующую схему испытаний или эксплуатации. Обычно предполагается, что на начало испытаний (эксплуатации) все объекты работоспособны. Испытания могут останавливаться либо после отказа всех испытуемых элементов, или при отказе заданного числа объектов или по истечению заданного времени. В последних двух случаях такие испытания называют цензурированными (по объему или по времени). Испытания могут проводиться как в нормальных условиях и режимах или в условиях, ускоряющих естественный ход деградационных процессов, приводящих к отказу объектов. В последнем случае испытания называются ускоренными. С ростом числа испытываемых изделий статистические показатели безотказности будут стремиться (по вероятности) к соответствующим вероятностным, теоретическим показателям. В случае использования статистических оценок следует указывать доверительные границы при оценке средней наработки до отказа. Обычно при анализе данных эксплуатации используют предположение, что оценка средней наработки до отказа в виде среднего арифметического имеет хи-квадрат распределение с 2n+2 степенями свободы, где n – число отказов за период наблюдения Т. Тогда консервативная оценка средней наработки до отказа определяется нижней доверительной границей , Где  - доверительная вероятность (70, 85, 90, 95%). Пример 1: n = 0 ¸10 T = 10 (лет) N =10 g = 70% ; 90%. n 70% 90% 83.06 43.43 1 41.00 25.71 2 27.66 18.79 3 21.00 14.97 4 16.98 12.51 5 14.27 10.78 6 12.33 9.49 7 10.86 8.50 8 9.71 7.70 9 8.78 7.04 10 8.02 6.49 Рассмотрим пример натурных испытаний изделий в нормальных (неускоренных) условиях. Обозначим: N0=N(t=0) - число работоспособных объектов на начало испытаний (N=7); N1=N(t=t1) - число работоспособных объектов на первое контрольное время t= t1 (N1=6); N2=N(t=t2) - число работоспособных объектов на второе контрольное время t= t2 (N2=3); t = t2 - t1 – некоторый контролируемый интервал испытаний на надежность. Временные диаграммы, поясняющие процесс испытания, приведены на рис.1. Рисунок 1 – Временная диаграмма результатов испытаний изделий на надежность Статистические оценки показателей надежности объектов испытаний: 1. Вероятность безотказной работы изделия в интервале времени (0, t1) и (0, t2): = ; =. 2. Вероятность отказа изделия в интервале времени (0, t1) и (0, t2): =, =, где n1 – число отказов изделий на интервале (0, t1); n2 – число отказов изделий на интервале (0, t2). 3. Вероятность безотказной работы изделия в интервале времени (t1, t2) : . 4. Вероятность отказа изделия в интервале времени (t1, t2) : =. где n(t1, t2).– число отказов изделий на интервале (t1, t2). 5. Плотность вероятности отказа изделия на момент времени (t1) : = (1/ч). 6. Интенсивность отказов изделия на момент времени (t1) : = (1/ч). Для достоверной статистики необходимо, чтобы отрезок времени t был бы достаточно мал и n(t0, t) достаточно велико. 5. Средняя наработка до отказа В случае отказа всех испытываемых изделий средняя наработка на заданном интервале времени до отказа рассчитывается как арифметическое среднее наработок до отказа всех изделий, то есть как отношение суммарной наработки изделий к их общему количеству. Задача-пример . Компания Schnieder Electric считает, что «Среднее время между отказами (MTBF) значения для нашей продукции являются производными от фактической отгрузки и данных ремонта» В таблице представлены данные об отгрузке производителя микросхем (столбец «Product») и наработке отказавших изделий (столбец «day at risk»), рассчитанная на день поступления изделий в ремонт. Эта наработка делится на число отказавших элементов (столбец «Units returned»). PRODUCT DAYS AT RISK UNITS RETURNED MTBF YEARS 5000 SERIES MODULES 14290049 42 932 4000 SERIES TRANSMITTERS 7729302 116 183 SCADAPack 33X RTUs 4207213 145 79 SCADAPack 35X RTUs 8648194 147 161 Пример: 5000 series modules MTBF= 14290049 : 42 : 365 = 932 (years) Product Ts Tsy n Хи (70%) MTTF MTTF  5000 series 14 290 049 39150.8 42 92.4 932.2 847.7 4000 series 7 729302 21176.2 116 244.8 182.6 173.0 ScadaPack 33x 4 207 213 11526.6 145 304.2 79.5 75.8 ScadaPack 35x 8 648 194 23693.7 147 308.3 161.2 153.7 Неопределенность данной методики: 1. Нет данных о полном объеме партии модулей, а только о числе отказавших 2. Наработка на отказ отсчитывается с момента отгрузки партии, не учитывается реальная наработка модулей в изделиях. 3. Приведены данные по отгрузке на сентябрь 2009 года, но не указано время начала сбора статистических данных. 4. Не ясно, как учитывается наработка не отказавших модулей. Вопрос 2. Основные математические модели безотказности. Распределение Вейбулла. Двухпараметрическое распределение Вейбулла относится к распределениям минимального значения типа III и получается из значений независимых одинаково распределенных непрерывных случайных чисел при бесконечном увеличении выборочного значения. Физически это можно представить в виде наблюдений за временами отказов системы, состоящей из большого числа последовательно или параллельно соединенных элементов. При последовательном соединении элементов распределение времени отказа системы будет распределением минимального члена выборки, при параллельном - максимального члена выборки. Р.Барлоу и Ф.Прошан в своей работе «Статистическая теория надежности…» (1984) приводят следующий пример образования распределения экстремальных величин. Уровень загрязнения воздуха контролируется периодически и результаты записываются на носители информации. Степени загрязнения воздуха является величиной случайной, имеющей логнормальное распределение. Так как государственные стандарты на чистоту воздуха требует, чтобы максимальная степень загрязненности в течение, например, суток, не превысила заданной величины. Такая нормированная величина имеет распределение вида  = 1- . Двухпараметрическое распределение Вейбулла имеет вид: (1), где  - параметр масштаба распределения,  >0;  - параметр формы распределения,  >0. Функция плотности вероятности момента отказа может быть получена из (1.1) дифференцированием функции распределения (2). Распределение Вейбулла является распределением экстремальной величины, в данном случае – предельным распределением минимума независимых случайных величин. Определим основные показатели безотказности для модели Вейбулла: вероятность безотказной работы: (1.3), интенсивность отказов: (1.4), среднее время наработки на отказ: (1.5). Справка: введена Леонардом Эйлером, обозначение – Лежандр. Гамма-функция Г(х) = Г(1/2)=; Г(1)=1; Г(n+1)=n! Г(z+1)=z Г(z); Г(z) Г(-z)= -; Г(z) Г(1-z)=… Г(2)=1 . Функция интенсивности отказов распределения Вейбулла при  <1 – представляет класс УФИ – распределений, то есть описывает этап приработки изделий, при  =1 – экспоненциальное распределение (этап нормальной эксплуатации), при  >1 – класс ВФИ- распределений, то есть описывает этап старения. Рисунок 5 – Графики функций риска распределения Вейбулла На рис.6 показаны графики вероятности безотказной работы элементов с одинаковым масштабным параметром (для наглядности =1), но с различными параметрами формы (=0.5; 1.0; 1.8) Рисунок 6 – Графики ВБР при различных значениях параметра формы Значения некоторых точек графиков, показанных на рис. 6 приведены в следующей таблице. t =0.5 =1.0 =1.8 0.5 0.493 0.607 0.750 1.0 0.368 0.368 0.368 1.5 0.294 0.223 0.126 На рисунке все графики ВБР пересекаются в одной точке с абсциссой =1 и ординатой 0.368. Как видно из рисунка при наработке t, которая меньше масштабного параметра , безотказность элемента с ВФИ имеет более высокие показатели безотказности, чем другие распределения. Этот эффект в теории надежности назван «старое лучше нового (использованного)». Генерирование случайных чисел, распределенных по закону Вейбулла осуществляется по формуле: , где r – случайное число с равномерным распределением в интервале [0,1]. Вопрос 3. Основные математические модели безотказности. Экспоненциальное распределение наработки до отказа. Основные определения. Вероятность безотказной работы при экспоненциальном распределении времени наработки на отказ может быть получена из математической модели распределения Вейбулла при параметре формы =1, то есть = exp (-t/). При этом интенсивность отказов =1/ , и среднее = То =. Обычно в теории надежности для экспоненциального распределения используют обозначения интенсивности отказов  и средней наработки до отказа То или Тср, которые связаны между собой простым соотношением Тср = 1/. Генерирование случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону осуществляется по формуле: = -Тср ln r, где r – случайное число с равномерным распределением в интервале [0,1]. Свойства экспоненциального закона распределения наработки до отказа. 1. Экспоненциальный закон распределения является единственным распределением, обладающим свойством отсутствия последействия, то есть остаточное время жизни проработавшего элемента не зависит от длительности предшествовавшей работы. Данное свойство строго сформулировано в следующей теореме: Теорема 1. Пусть Т имеет экспоненциальное распределение с функцией распределения F(t) = 1- e-t для t  0. Тогда условная вероятность безотказной работы R[T > t+x| T > t]=e-x. Это свойство имеет не только теоретическое, но и практическое значение. Например, если доказана справедливость экспоненциальной модели распределение времени до отказа элемента, то его характеристики в смысле надежности не отличаются от характеристик нового элемента и тогда нет смысла проводить профилактические замены (на новый), если известно, что элемент не отказал. 2. Экспоненциальное распределение является единственным распределением с постоянной функций интенсивности. По определению : интенсивность отказов. Если f(t) = exp(-t) и p(t)= exp(-t), тогда (t) = . 3. Теорема. Пусть Y – время безотказной работы последовательной системы, состоящей из n независимых элементов, а Yi - время безотказной работы i- го элемента, имеющего экспоненциальное распределение Fi(t)=1-exp(-it), i=1,2,…, n. Тогда Y имеет также экспоненциальное распределение F(t)=1-exp(-t), где . Доказательство. Так как система является последовательной, то есть отказ системы происходит при отказе хотя бы одного элемента, то для безотказной работы такой системы необходима работоспособность всех элементов, то есть R(Y>t) = . Вопрос 4. Основные математические модели безотказности. Нормальное распределение наработки до отказа. «Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. … Основное ограничение, налагаемое на суммирование – чтобы все случайные числа равномерно играли в общей сумме относительно малую роль..» Е.С. Вентцель (Теория вероятностей, 1969, с.116). То есть нормальное распределение как предельное распределение этим и отличается от распределения Вейбулла, которое относится к классу распределение экстремальных величин, например, минимумов или максимумов. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вида: f(t) = , (1) где mt – параметр положения;  > 0 - параметр масштаба. Первый центральный момент – математическое ожидание нормального закона = mt , второй момент – дисперсия = 2 . Параметр  называется средним квадратическим отклонением. Смысл параметров нормального распределения: mt, как параметр положения является центром симметрии, а также модой плотности вероятности. Параметр характеризует не положение, а самую форму кривой распределения. Чем больше значение среднеквадратического отклонения, тем более плоской будет график плотности вероятности (рис.7). Кроме того, точками перегиба кривой функции плотности являются точки mt   . Нормальное распределение с математическим ожиданием mt =0 и  =1 называется стандартным нормальным распределением. Рисунок 7 – Формы плотности нормального распределения Функция распределения для нормального закона имеет вид: F(t) = 0.5 + o(), где o(х) – функция Лапласа. Для оценки вероятности безотказной работы будем пользоваться табулированной функцией (х), то есть R(t) = 0.5+(), где , (-х) = - (х), х=. Рисунок 8 – Плотность вероятности и функция интенсивности отказов нормального распределения График функции интенсивности отказов совместно с графиком плотности вероятности для нормального закона приведен на рис.8. Как видно из рис.8, график интенсивности отказов (t) всегда выше (не ниже) графика плотности вероятности f(t), что следует из определения (t)= f(t)/(1-F(t)) при условии, что функция распределения F(t) имеет значения в диапазоне от 0 до 1. Основные свойства нормального распределения. 1. Линейная функция +b независимых случайных величин Xi (i=1,2,…, n), распределенных по нормальному закону с параметрами mti и i , подчиняется нормальному закону с параметрами mt=+ b и 2=ai2i2. 2. Сумма n независимых, одинаково распределенных нормальных случайных величин Xi(mt,) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием n mt и стандартным отклонением  n. Генерирование случайных чисел. Генерирование случайных чисел, распределенных по стандартному нормальному закону осуществляется по формуле: или при n=12 . Если требуется получение нормально распределенных случайных чисел с параметрами Xi(mt,), то . Примеры решения задач: Задача 1. ИС имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметрами Тср=1200 ч и = 250 ч. Определить значение вероятности безотказной работы для значений ti =700, 1200 и 1450 ч? Решение: Общая формула решения задачи: R(t) = 0.5+(), Рассчитаем значения аргументы интеграла вероятностей: 1. (1200 – 700)/250 = 2.0; 2. (1200 – 1200)/250 = 0; 3. (1200 – 1450)/250 = -1.0. По таблице интеграла вероятностей находим значения: 1. (2)=0.4772; 2. (0)=0; 3. (-1)= -(1)=-0.3413. Окончательно получаем ответы: 1. R(t=700) = 0.5+0.4772=0.9772; 2. R(t=1200) = 0.5+0=0.5; 3. R(t=1450) = 0.5-0.3413=0.1587. В среде Excell эта задача решается с помощью функции. НОРМСТРАСП, например, НОРМСТРАСП(2) = 0.9772, НОРМСТРАСП(-1) = 0.1587. Задача 2. ИС имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметрами Тср=1200 ч и = 250 ч. В течении какой наработки (0, t) ИС будет функционировать с вероятностью безотказной работы не менее, чем 0.95? Решение: Так как искомая наработка входит в состав аргумента функции , найдем выражение для обратной функции -1()=-1[R(t) – 0.5]. Тогда =-1[R(t) – 0.5], следовательно t = mt - -1[R(t) – 0.5] По (обратной) таблице интеграла вероятностей -1[0.95-0.5]= -1[0.45]1.65. Тогда t = 1200 - 2501.65  790 (ч). В среде Excell эта задача решается с помощью функции. НОРМСТОБР, например, НОРМСТОБР (0.95) = 1.6449.