Математические методы в экономике

Математические методы в экономике. Конспект лекций Литература 1. Башарин Г.П., Начала финансовой математики. – М.: 1997, 2. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М.: 1985, 3. Дегтярёв Ю.И., Исследование операций. – М.: 1986, 4. Светуньков С.Г., Светуньков И.С., Методы социально-экономического прогнозирования. Том I. – СПб.: 2009, 5. Светуньков С.Г., Светуньков И.С., Методы социально-экономического прогнозирования. Том II. – СПб.: 2010, 6. Давнис В.В., Тинякова В.И., Адаптивные модели: анализ и прогноз в экономических системах. – Воронеж: Воронежский государственный университет, 2006. 7. Чернов В.П., Математические методы финансового анализа. – СПб.: 2005, 8. Четыркин Е.М., Финансовая математика. – М.: 2000, 9. Эконометрика, под ред. Елисеевой И.И. - Спб, 2008. План курса № п/п Наименование темы 1. Введение в ЭММ 2. Методы социально-экономического прогнозирования 3. Краткосрочное прогнозирование обратимых процессов 4. Среднесрочное прогнозирование обратимых процессов 5. Краткосрочное прогнозирование необратимых процессов 6. Среднесрочное прогнозирование необратимых процессов 7. Финансовая математика. Время в финансовых операциях 8. Простые и сложные проценты. Непрерывные проценты. Математическое дисконтирование и банковский учёт 9. Соотношения между простыми и сложными процентными и учётными ставками. Конверсия валют, учёт инфляции 10. Финансовая эквивалентность, консолидация и замена платежей по формулам простых и сложных процентов 11. Характеристики потоков платежей. Оценка эффективности инвестиционных проектов 1 Оглавление Литература......................................................................................................................................1 План курса......................................................................................................................................1 Тема 1. Математические методы в экономике.......................................................................4 1.1. Введение.........................................................................................................................4 1.2. Модели математической экономики. Производственные функции.........................8 1.3. Эконометрические модели.........................................................................................13 Тема 2. Методы прогнозирования обратимых процессов...................................................25 2.1. Краткосрочное прогнозирование обратимых процессов........................................25 Средняя величина..........................................................................................................25 Авторегрессия................................................................................................................26 2.2. Среднесрочное прогнозирование обратимых процессов........................................28 Парная регрессия и метод наименьших квадратов....................................................28 Множественная регрессия и эффект мультиколлинеарности...................................32 Тема 3. Методы прогнозирования необратимых процессов...............................................37 3.1. Краткосрочное прогнозирование. Модель Брауна...................................................37 3.2. Среднесрочное прогнозирование...............................................................................43 МНК с дисконтированием............................................................................................43 Модификации метода Брауна.......................................................................................45 Метод стохастической аппроксимации (МСА)..........................................................53 Тема 4. Финансовая математика............................................................................................58 4.1. Основные термины и принципы финансовой математики.....................................58 4.2. Модели расчетов с простыми и сложными ставками..............................................62 Простые проценты.........................................................................................................62 Плавающие ставки по простым процентам................................................................63 Учёт нецелых периодов наращения в банковском секторе.......................................65 Простые учётные ставки...............................................................................................66 Сложные проценты........................................................................................................70 2 Плавающие ставки по сложным процентам...............................................................72 Связь между простыми и сложными процентами......................................................74 Смешанная формула расчёта процентов.....................................................................77 Сложные учётные ставки..............................................................................................77 Связь между простыми и сложными учётными ставками.........................................78 Уравновешенные и относительные ставки.................................................................80 Непрерывные проценты................................................................................................81 Учёт инфляции...............................................................................................................83 4.3. Операции с платежами................................................................................................85 Финансовая эквивалентность.......................................................................................85 Консолидация платежей по формуле простых процентов........................................87 Замена платежей по формуле простых процентов.....................................................90 Консолидация и замена платежей по формуле сложных процентов........................91 Консолидация платежей по формулам банковского учёта.......................................92 Разъединение платежей по формулам простых и сложных процентов...................93 4.4. Потоки платежей.........................................................................................................96 Общие понятия и приведённая стоимость потока платежей....................................96 Оценка эффективности инвестиционного проекта....................................................99 Приведённая стоимость потока инвестиций (расходов) K.................................100 Приведённая стоимость потока доходов D..........................................................100 Чистая приведённая стоимость (NPV)..................................................................100 Внутренняя норма доходности проекта (IRR).....................................................102 Индекс доходности проекта (PI)...........................................................................104 Срок окупаемости проекта (DPP)..........................................................................104 Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR (Modified IRR)......104 Приведённая стоимость финансовой ренты.............................................................106 4.5 Конверсия валют........................................................................................................108 3 Тема 1. Математические методы в экономике 1.1. Введение В отечественной литературе существует множество различных определений того, что такое «Математические методы в экономике» (далее – «ЭММ»). Также существует огромное количество различных классификаций ЭММ. Так, например, одни учёные относят к матметодам: 1. Методы математической статистики; 2. Эконометрические методы, включающие в себя производственные функции и методы «затраты – выпуск»; 3. Методы математического программирования; 4. Методы исследования операций; 5. Методы экономической кибернетики (теория систем, системный анализ, имитационное моделирование). Другие учёные относят к ЭММ эконометрию и математическую экономику. Вообще в этом вопросе (как и в других вопросах, касающихся классификаций экономических дисциплин), на данный момент имеется серьёзная неразбериха. И чтобы расставить все точки над «i», нужно вначале определиться с тем, чему повещена дисциплина и что изучает. ЭММ — дисциплина, посвященная исследованию экономических систем с помощью математических моделей. Важным в этом определении словом является «система». Система — это совокупность элементов, объединённых некоторым образом в единое целое. Пример: человек — это система. Если взять руки, ноги, сердце, головной мозг и пр. части тела человека, то в своей совокупности они нам человека не дадут. У нас получится человек, только, если объединить их в единое целое каким-то определённым образом. В частности, человек от животных отличается наличием разума и умением задавать различные вопросы... Однако отдельно мозг или ноги разумом не обладают. Как видим, сумма свойств элементов (рук, ног, сердца) не сводится к свойству системы в целом. Это важное свойство, отличающее систему от простой совокупности элементов называется «эмерджентность». Эмерджентность — наличие у какой-либо системы особых свойств, не присущих сумме её элементов. Соответственно, зная определение «системы», можно дать определение и «экономической системе» — это совокупность всех экономических процессов, совершающихся в обществе на основе сложившихся в нём отношений собственности и хозяйственного механизма, связанных друг с другом определённым образом. 4 Теперь, зная, что такое экономическая система, введённое ранее определение ЭММ становится более понятным. Вопрос остаётся в том, каким образом происходит исследование экономических систем. Понятно, с помощью чего, но не ясно, как. А для этого нам надо обратиться к методам познания мира человеком. Удивительно, но в основе познания мира лежит модель! Существует множество различных методов классификации моделей, и одним из самых простых и чётких является метод классификации «по уровню сложности модели». Рассмотрим ситуацию: к вам на улице подходит турист и просит объяснить, как дойти до Исаакиевского собора. Вы ему рассказываете: идёшь так, потом так... В результате описания маршрута вы получаете словесную (или текстовую) модель. 1. Словесная модель; Турист плохо понимает по-русски, поэтому вы берёте листок бумаги, ручку и зарисовываете, как пройти до Исаакиевского собора. В результате вы уже получаете графическую модель. 2. Графическая модель; Однако турист боится, что где-нибудь пропустит поворот, поэтому просит объяснить подробней. Приходится усложнять модель: вы сообщаете ему, что надо пройти столько-то шагов на запад, после чего — повернуть на 90 градусов направо и продолжать двигаться со скоростью 10 км/ч в течение ещё 5 минут... В результате вы получаете математическую модель. 3. Математическая модель; Ну, и, если даже такое объяснение его не устраивает, можно попытаться сделать из папье-маше или пластилина уменьшенную копию района города (своеобразный аналог города), и показать на ней, как дойти до Исаакиевского собора. 4. Аналоговая модель; В принципе, понятие «модели» интуитивно понятно. Модель — это некоторый материальный или мысленно представляемый объект или явление, замещающий оригинальный объект или явление, сохраняя только некоторые важные его свойства. Теперь, понимая, чему посвящены ЭММ можно выделить различные направления ЭММ. Опять же, существует множество различных методов классификаций. Мне нравится по критерию «цель применения математического аппарата». В этой классификации можно выделить 3 раздела: 1. Математическая экономия; 2. Эконометрия (ака Эконометрика); 3. Исследование операций. Рассмотрим, что же представляет из себя каждое из этих направлений. 5 Математическая экономия — «совокупность научных направлений, развивающих экономическую теорию на основе аксиоматического метода: постулаты формализуются в виде математических соотношений, а получаемые модельные конструкции и их обобщения изучаются экономическими средствами». Пример: спрос и предложение. Делается предположение о том, что с ростом цены на товар, спрос на него падает. В результате строится функция, соответствующая этому предположению и на основе неё делаются различные выводы. Эта научная дисциплина включает в себя: • Теорию циклов; • Производственные функции; • Модели экономического равновесия; • Модели экономического роста; • И прочие модели, базирующиеся на экономических постулатах. Из всех определений эконометрии мне больше всего понравилось определение Василия Сергеевича Немчинов (одного из основателей ЭММ): эконометрия — это научная дисциплина, занимающаяся «изучением количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа». Пример: дана статистика по фондовому рынку. На основе этой статистики строятся модели, по которым затем делаются выводы и прогнозы. К эконометрическим методам в таком случае относятся: • Методы анализа (корреляционный, регрессионный, дисперсионный анализы); • Методы прогнозирования. Исследование операций – это теория применения количественных методов анализа в процессе принятия решений во всех областях целенаправленной деятельности [Горелик, Ушаков, 8]. Пример: имеются данные по поставкам ресурсов для создании продукции на предприятии. По этим данным строится математическая модель, позволяющая выработать рекомендации для оптимизации работы предприятия. ИО включает в себя: • Методы математического программирования; • Управление запасами; • Теорию игр; • Теорию массового обслуживания; 6 • Теорию расписания; • Финансовую математику. Стоит заметить, что между эконометрией и математической экономией достаточно тонкая грань. Если модели строятся на статистических данных, то это эконометрические модели. Если же модели строятся на каких-то экономических постулатах и аксиомах без использования статистических данных, то это модели математической экономии. Так вся экономическая теория базируется на моделях математической экономии. При этом некоторые из этих моделей могут быть построены на конкретных статистических данных с использованием эконометрических методов и, таким образом, отнесены к эконометрическим моделям. Так, например, теорию производственных функций и теорию циклов часто относят именно к «эконометрии». Вообще в экономической теории, как вы уже знаете, принято вначале выдвигать предположения о протекающем процессе, и только потом, на основе этих предположений, строить математические модели. Однако, как вы понимаете, такой подход на практике даёт не самые хорошие результаты в исследовании экономических систем (предположить можно всё, что угодно, в реальности всё совсем по-другому). Поэтому более перспективным является подход, в котором не выдвигается никаких априорных предположений о процессе, а вначале сам процесс изучается, после чего строится модель, и затем построенная модель адаптируется к новой поступающей информации. Как бы то ни было в работе с любыми моделями надо быть осторожным, потому что, как говорил Немчинов В.С., экономисты «во многих случаях подменяют социальноэкономический анализ чисто математическими методами исследования, и в результате «материя исчезает», остаются одни уравнения». Наш курс разделён на две составляющие, которые вам, как будущим финансистам и аналитикам, будут не только полезны, но и необходимы: 1. Прогнозирование, 2. Финансовая математика. В первой части мы рассмотрим с вами модели, использующиеся на практике для прогнозирования различных процессов, протекающих в экономике. Во второй части мы изучим математический аппарат, использующийся не только в банковской сфере (для расчёта процентов, построения график выплаты по кредитам и т.п.), но и в любой организации финансовыми аналитиками для определения инвестиционной привлекательности проектов. 7 1.2. Модели математической экономики. Производственные функции Как мы уже с вами выяснили математическая экономика занимается разработкой моделей на основе предположений и аксиом. Такими моделями, например, являются функции спроса и предложения, которые были выведены Маршаллом ещё в 1890 году. Собственно говоря, вся микроэкономика и макроэкономика строятся на основе таких моделей. Мы в нашем курсе не будем подробно останавливаться на этих моделях и рассмотрим только одну, которая обладает высокой практической ценностью. Это модель производственной функции (ПФ). Вообще существует много определений ПФ, но все они сводятся к одному: ПФ – это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства. То есть математически ПФ — это функция, описывающая зависимость вида: Q= f  x 1 , x 2 , ... , x n (1.2.1) Обычно в модели участвуют самые существенные факторы производства: труд, капитал, иногда земля. В качестве результата может выступать как количество товара в штуках, так и количество, измеренное в денежных единицах, т. е., фактически, доход предприятия. Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций: 1. По наличию условия оптимальности: • Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными». Суть модели сводится к объяснению того, каким мог бы быть выпуск продукции, если бы производственный процесс на предприятии был бы отлажен идеально; • Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными». Их суть сводится к описанию того, что же происходит на производстве на самом деле; Дескриптивные производственные функции строятся, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные — для анализа производственных процессов. 2. По учёту неопределённости: • Стохастические (учитывают условие неопределённости); • Детерминированные (не учитывают условие неопределённости); 3. По типу ресурсов: • Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами; 8 • Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами. 4. По виду используемой математической функции: • Аддитивная, • Мультипликативная. «Процесс построения производственной функции включает этапы экономикоматематического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров при помощи корреляционного и регрессионного анализа». Существует ряд популярных производственных функций, которые изучаются в экономике: 1. Линейная производственная функция, 2. Производственная функция Кобба-Дугласа, 3. Производственная функция Леонтьева, 4. Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CESфункция). Пример линейной ПФ: Q=aK bLс , (1.2.2) здесь Q – объём выпуска продукции, L – затраты труда, K – затраты производственных фондов или «капитала», a и b — веса соответствующих ресурсов в объёме выпуска, c – некоторая константа. Как видно, в такой функции, если содержание одного из ресурсов равно нулю, то производственный результат всё равно будет положительным. Получается, что например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какойто производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу (по крайней мере на данном этапе развития нашего общества). Поэтому большее распространение получили мультипликативные ПФ, в частности — однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция y= f  X  называется однородной n-й степени, если выполняется следующее соотношение: n f  λX =λ f  X  (1.2.3) Это означает, что с ростом затрат производства в λ раз результат производства вырастет в раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат. λn Теоретически возможны три случая: 1. Эффективность остаётся постоянной (n=1); 9 2. Эффективность падает (n<1); 3. Эффективность растёт (n>1). Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы. Примером однородной мультипликативной ПФ может выступать любимая многими экономистами степенная ПФ (ака Кобба-Дугласа): α Q=aL K β . (1.2.4) Причём она однородная в степени  : f  L , K =a  Lα  K  β= α  β a Lα K β= α β a Lα K β , откуда: n= . В 1924 г. Поль Дуглас, изучая данные по объему промышленного выпуска США за разные годы и количества используемых труда и капитала в это время, случайно обнаружил зависимость, которая впоследствии с помощью его друга-математика Кобба была выражена функцией, имеющей вид: α Q=aL K 1 – α , (1.2.5) При этом обязательным условием существования функции является: 0<α<1. Функция достаточно точно отражала зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала. Сеё помощью моделируется процесс производства на любом уровне – предприятия, региона или страны в целом, поэтому она выступает важным элементом, отражающим одну сторону экономики – преобразования ресурсов в результат. Функцию Кобба-Дугласа стали активно использовать в моделировании на макроуровне, а её свойства стали не менее активно изучать. На данный момент все степенные ПФ называются Кобба-Дугласа. То есть необязательно, чтобы сумма показателей была равна 1. Но чаще всего всё-таки это ограничение вводят. У ПФ Кобба-Дугласа есть несколько преимуществ, благодаря которым она становится очень удобной для построения более сложных моделей. Во-первых, будучи мультипликативной, ПФ Кобба-Дугласа не допускает ситуаций, в которых затраты какого-либо ресурса были бы равны нулю, а выпуск при этом всё равно оставался бы положительным. Во-вторых, функция базируется на идеи о том, что в производстве продукции должны быть задействованы ресурсы с определёнными «долями»: доля L определяется величиной α, доля капитала — величиной β. Получается, что результат как бы разделяется на части. 10 Ну, и в-третьих, как вы знаете, показатели эластичности выпуска по ресурсам для ПФ Кобба-Дугласа равны соответствующим показателям степени: EL = α; EK = β. (1.2.6) Как вы помните из курса ОЭТ показатель эластичности выпуска по соответствующему ресурсу показывает, насколько изменится результат производства при изменении ресурса на 1%. То есть получается, что показатели ПФ имеют достаточно простую трактовку. Однако всё это важно лишь для построения более сложных моделей, таких, например, как модели экономической динамики, модели экономического роста и т. д. Если мы используем производственную функцию как инструмент для прогнозирования, то нам не важно, будет ли объём выпуска нулевым, если мы не будем привлекать рабочую силу (она у нас в любом случае будет использоваться), нам не важно однородная она первой степени или 135-й, нам не важно, действительно ли показатели степени показывают эластичность выпуска по ресурсам или нет. Всё, что нам важно при прогнозировании — это чтобы построенная функция хорошо моделировала зависимости между результатом и затратами. В качестве лирического отступления можно заметить, что в микроэкономике частенько встречаются задачки, в которых труд, например, измеряется в человекочасах, капитал — в рублях, а объём продукции в штуках, и просят что-нибудь сделать с производственной функцией для того, чтобы получить какие-то выводы. В такой формулировки имеется нарушение логики экономико-математического моделирования. Чтобы показать его запишем величины в их размерности в формулу ПФ Кобба-Дугласа:  штуки=a⋅человекочасы ⋅рубли  Предположим, что α = 0,25, β = 0,75. Чтобы сохранялась размерность надо, чтобы наш показатель a имел странную размерность: a= штуки 0,25 0,75 . человекочасы ⋅рубли Но обычно он не имеет никакой размерности, в результате чего и происходит нарушение логики моделирования. Для того, чтобы избегать таких небольших казусов, следует все показатели приводить к единой размерности. ПФ Леонтьева, о которой было упомянуто чуть ранее, имеет следующий вид: L K Q=min ; . (1.2.7) a b   В этой функции показатели a и b характеризуют пропорции, в которых должны использоваться капитал и труд для получения требуемой величины выпуска. Эта функция используется в случае со взаимодополняющими ресурсами (когда имеется пропорция, которой надо придерживаться для получения результата. Например, в кулинарии). Функция достаточно часто используется в микроэкономике при решении различных задач, но при прогнозировании используется крайне редко. CES-функция выглядит следующим образом: 11 r 1 r r Q= F⋅a⋅K 1−a⋅L  , (1.2.8) F – это некоторый фактор производства, a – показатель, характеризующий распределение «долей» между капиталом и трудом, r=  s – 1 , s – эластичность замены ресурсов. s Эта функция используется ещё реже функции Леонтьева, так как требует значительно больших вычислений, нежели остальные функции. В итоге чаще всего в моделировании используют мультипликативные степенные производственные функции (Кобба-Дугласа), на данный момент практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) – это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась мультипликативная производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом: Q=aLα K 1 – α e jt (1.2.9) где j – параметр НТП, а t – время. При этом складывается такое ощущение, что появление этой модификации в большей степени вызвано ошибкой в вычислениях при расчёте коэффициентов ПФ Кобба-Дугласа с помощью метода наименьших квадратов (из-за линеаризации модели). Однако этого вопроса мы коснёмся подробней в теме «среднесрочное прогнозирование обратимых процессов». Из новейших направлений в области теории производственных функций можно выделить ПФ с использованием комплексных переменных (КП). Преимущество таких функций заключается в том, что за счёт более сложного математического аппарата — комплексных переменных, выводятся более сложные зависимости: не одной переменной от нескольких, как в классических ПФ, а двух от нескольких: GiC= f  K , L , M , N ,... (1.2.10) Здесь G и C – результаты производства (в частности, например, прибыль и суммарные затраты), i — мнимая единица (число, удовлетворяющее равенству: i 2=−1 ). Не вдаваясь в детали, приведём пример одной из таких функций — степенную ПФКП: GiC=a  KiLb (1.12.11) Коэффициенты этой функции могут быть найдены на каждом наблюдении, в результате чего по ним можно судить об эффективности функционирования предприятия. В случае с ПФ К-Д делать этого нельзя, так как её коэффициенты, находящиеся МНК по нескольким наблюдениям, выступают не показателями состояния на предприятии, а просто усреднёнными значениями, при которых функция лежит ближе всего к данным точкам. 12 1.3. Эконометрические модели Собственно говоря, эконометрия как самостоятельная дисциплина у вас была на третьем курсе, поэтому вдаваться в детальное объяснение, что это такое и чем она занимается, мы не будем. Напомним основные моменты. В эконометрии обычно используется два типа данных: 1. Пространственные данные, 2. Временные ряды. (1) — набор различных показателей в один и тот же момент времени в разных системах. Например, объём производства, количество работников, суммарные затраты и т.п. на нескольких похожих заводах. (2) — набор данных одного и того же типа за разные промежутки времени. Например, данные по индексам ММВБ за январь — август 2009. Отличительной чертой (2) является то, что они естественным образом упорядочены во времени. Кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимыми. Соответственно все модели эконометрии можно условно разделить на следующие виды (по критерию «тип используемых данных»): 1. Модели панельных данных: Пример: y= f  x1 , x 2 , ... , x n  , 2. Модели временных рядов, Пример: y t= f  x 1,t , x 2,t , ... , x n ,t  . Нас в курсе ЭММ больше всего интересует возможность прогнозирования тех или иных социально-экономических процессов. Очевидно, что ни один из прогнозов не обходится без данных о прошлом, то есть без временных рядов, поэтому давайте подробней рассмотрим, что собой представляют временные ряды. Часто учёные, не вдаваясь в суть временного ряда, определяют его формально, например: «временные ряды – это барометр; они наглядно отображают наиболее существенные тенденции развития» , или «одни ряды представляют собой последовательность чисел, отражающих величину того или иного показателя во времени. Это так называемые временные ряды или ряды динамики» , или «временным рядом... называют последовательность упорядоченных во времени наблюдений, обозначаемых, например, x1, x2, … , xt,…, xT». Или «Под временным рядом понимается последовательность наблюдений некоторого признака X в различные, чаще всего равноотстоящие, моменты времени». Все эти определения кажутся простыми, логичными и полными, но они носят отпечаток статистики, в которой считается, что каждое наблюдение носит случайный характер и является полномочным представитель некоторой генеральной совокупности. А раз так, то у данного экономического процесса есть некоторые статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия), которые становятся тем точнее, 13 чем большее число наблюдений имеется у исследователя. Этот подход, кажущийся динамическим на деле является абсолютно статичным. Практически все эконометрические модели отражают экономическую реальность в некоторой застывшей неизменности структуры, взаимосвязей и равновесия элементов. Для статики основной предпосылкой анализа экономического процесса является неизменяемость, тождественность происходящих процессов. Для динамики — непрерывность процессов изменения всех взаимосвязей и показателей. Практически все эконометристы определяют динамический ряд как некоторую последовательность значений показателя во времени. Таким образом, статистические данные о развитии экономических, технических и физических систем, упорядоченные во времени, в одинаковой степени можно назвать динамическими. Но из общности названия вовсе не следует, что это — ряды, обладающие одинаковыми свойствами, и их обработку необходимо производить одними и теми же статистическими методами. Здесь мы имеем тот случай, когда за видимой простотой скрывается достаточно сложная проблема. Дело в том, что технические, физические и другие не экономические системы могут развиваться, изменяясь во времени. Но этот процесс развития практически никогда не является эволюционным. Для динамических рядов, отражающих изменение таких систем, время является лишь индексом упорядочения этих данных. При этом практически неважно, какое численное значение приобретает индекс t. Равен ли он двум, двадцати или двум тысячам, важно лишь то, что в череде развития того или иного процесса показатель с этим индексом стоит на втором, двадцатом или двухтысячном месте (впрочем, в целом ряде случаев изучения технических систем и физических явлений и это неважно). Все остальные показатели также занимают свое место в соответствии с полученным индексом. Когда же дело касается органической природы, общества или экономики, время уже становится не только индексом, но и показателем эволюционного развития. Никто из экономистов никогда не скажет, что ему все равно, сколько ему лет — два, двадцать или сто двадцать! Так почему же показатели роста экономических систем, которые так же эволюционируют, как и организм человека, упорядочивая во времени, рассматривают только как отмасштабированные и систематизированные данные? Очевидно, что рост человека в пять и в пятьдесят лет отражает не только процесс развития организма, но и его качественно различные состояния. Точно также данные производства промышленностью в 1975 г. и 2005 г. отражают и процесс развития системы промышленности, и качественно различные её состояния. Ни один нормальный врач при осмотре семидесятилетнего пенсионера на медицинском приеме в поликлинике не поинтересуется ростом пациента в семимесячном возрасте, так как качественное состояние пациента в семимесячном возрасте отличается от качественного состояния его в момент приема, если не рассматривается случай врожденной патологии. Однако сторонники статичного подхода, исследуя отнюдь не патологические случаи экономического роста, при моделировании экономики стремятся собрать как можно больше статистической информации, считая, что чем больший временной период охватывают статистические данные, тем точнее окажется предсказание будущего! Если использовать динамический подход к временным рядам социальноэкономической динамики, то отношение к ним будет принципиально иным. Необходимо 14 отличать временной ряд {Yt}, где t – время, и упорядоченный ряд {Yi}, где i – порядковый номер (упорядочивание может происходить во времени, тогда i=t). Тогда можно определить временной ряд следующим образом: временным (динамическим) можно назвать упорядоченный во времени ряд наблюдений, в котором время наблюдения характеризует особенность состояния внешних и внутренних факторов поведения объекта наблюдения, в результате чего формирование ряда осуществляется неслучайным образом. Итак, мы пришли к корректному определению временного ряда, которое позволяет нам по новому взглянуть на прогнозирование экономических процессов. Временной ряд может формироваться в разных условиях, которые предопределяют его характеристики и свойства. В зависимости от того, с каким процессом мы сталкиваемся, мы получаем разные временные ряды. В наиболее общем случае процесс может быть обратимым или необратимым. 1. обратимый: • стационарный, • нестационарный, 2. необратимый: • эволюционный, • хаотический. Обратимый процесс характеризуется постоянством некоторых статистических характеристик, сохраняющихся вне зависимости от времени наблюдения. Например, если процесс описывается экспоненциальной функцией, то он описывается ею же вне зависимости от наблюдения, на котором он рассматривается: то есть меняется номер наблюдения, уровень ряда, но не коэффициенты и тип описывающей функции. Такие процессы прогнозируются с помощью моделей теории вероятности и математической статистики. У них ошибка аппроксимации чаще всего распределена в соответствии с нормальным законом распределения, легко находится математическое ожидание (описываемое какой-то функцией) и дисперсия. Такие процессы в экономике очень хорошо описываются и прогнозируются с использованием эконометрических методов. К ним можно отнести, например, процесс выпуска продукции на уровне предприятия в условиях стабильной экономико-политической системы — в таком случае на результат влияет не так много факторов, наиболее важные из которых стационарны, и их можно учесть в модели. Во втором случае тенденции процесса либо меняются во времени (процесс носит эволюционный характер), либо просто отсутствуют (хаотический характер). Такие процессы описать и спрогнозировать крайне сложно, и наилучший результат для процессов с изменяющейся тенденцией дают адаптивные модели: например, модель Брауна, модель Холта, метод стохастической аппроксимации и тому подобное. Необратимыми является большая часть происходящих в экономике процессов, начиная от динамики курсов валют на рынке Форекс, заканчивая динамикой ВВП. На такие процессы влияет большое число факторов, учесть которые просто не представляется возможным. 15 Влияние части из них с течением времени усиливается и прогнозируемая социальноэкономическая система меняет свои свойства качественно, а не только количественно, адаптируясь к этому внешнему влиянию. В таком случае и построенная модель должна так или иначе корректироваться в зависимости от поступающей информации, то есть быть адаптивной. Характерной чертой необратимых процессов является то, что увеличение числа наблюдений не улучшает характеристики модели. В случае, например, с ВВП России, если построить модель за 2000 — 2008 года, то результат прогноза по ней будет лучше, чем, если строить её по большему ряду данных (например, за 1990 — 2008 года). То есть увеличение числа наблюдений в данном случае только ухудшит прогнозные и аналитические свойства модели. Графически все 4 типа процессов могут быть представлены следующим образом: Yt t Рисунок 1: Стационарный процесс Стационарный обратимый процесс представляет собой некоторые случайные колебания вокруг некоего математического ожидания с определённой дисперсией. 16 Yt t Рисунок 2: Нестационарный процесс В нестационарном обратимом процессе математическое ожидание описывается некоторой математической функцией. Отклонения от этой функции носят случайный характер и подчинены нормальному закону распределения. Пример на графике представляет процесс, который может быть описан, например, экспоненциальной функцией. Yt t Рисунок 3: Эволюционный процесс В эволюционном необратимом процессе появляющиеся тенденции под воздействием каких-либо факторов с течением времени меняются: вначале имеется одно математическое ожидание и дисперсия, спустя некоторое время в системе происходят качественные изменения, в результате чего статистические характеристики меняются (например, математическое ожидание может описываться уже совершенно другой функцией). 17 Yt t Рисунок 4: Хаотический процесс В хаотическом необратимом процессе все характеристики всё время меняются, причём резко и непредсказуемо. Итак, что такое временной ряд, и какие они бывают, мы с вами только что выяснили, давайте теперь разберёмся с тем, что же такое «прогноз», прогнозирование, какие виды прогнозирования существуют и какими методами в прогнозировании пользуются. Несмотря на очевидную смысловую и логическую простоту термина «прогноз», его четкое научное определение — не самая легкая задача. Иногда в тех или иных модификациях встречается определение, сформулированное таким образом: «прогноз — это вероятностное суждение о состоянии какого-либо объекта (процесса или явления) в определенный момент времени в будущем и (или) альтернативных путях достижения каких-либо результатов». Или: «экономический прогноз — это некоторая гипотеза, некоторая вероятностная оценка протекания экономического процесса в будущем». Как видите, в таких определениях имеется вероятностная оценка прогноза. Однако построить вероятностную модель можно только тогда, когда можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и пр. показатели. В экономике же чаще приходится строить модели в условиях неопределённости и, более того, как мы только что выяснили, в случае с необратимыми процессами математическое ожидание и дисперсия всё время меняются во времени, из-за чего их вычисление не представляется возможным. Неопределённость объективно возникает при прогнозировании большинства случаев социально-экономической динамики, так как обычно все экономические явления имеют либо эволюционный, либо хаотический характер. Зачастую на практике удаётся дать лишь граничные значения прогнозируемого явления без указания каких-либо вероятностных характеристик. Методы математической статистики в таких условиях оказываются неуместными. Поэтому более правильным является следующее определение прогноза: Прогноз — научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления. 18 Очевидно, что в соответствии с данным определением не все суждения считаются прогнозами, а только научно обоснованные. Например, если в результате изучения кофейной гущи предсказывать, что студент X получит зачёт по математическим методам в экономике на халяву, то это будет не научно обоснованное суждение, а следовательно и не прогноз. Скорее это будет просто попытка предсказать состояние студента X в определённый момент времени. С прогнозом она никак не связана. Зная определение прогноза, легко можно дать определение и «прогнозированию» — это процесс разработки прогноза. В целом прогнозирование может быть представлено в качестве некоторой системы подходов и методов, используемых для достижения наиболее точного прогноза. Прогнозирование помимо всего прочего ещё и оперирует следующими определениями: Период упреждения прогноза — это тот промежуток времени, на который разрабатывается прогноз. Чаще всего в практике прогнозирования употребляют для обозначения периода упреждения другие словосочетания — время упреждения, период прогнозирования, срок прогнозирования, дальность прогноза и т.п. Период прогнозирования является одним из классификационных признаков, по которому можно осуществить группировку прогнозов. Любой прогноз основан на изучении некоторого прошлого множества наблюдений. Этот промежуток времени, на основании которого строится прогноз, получил название периода основания прогноза. Период основания Период упреждения Текущий момент t Рисунок 5: Период основания и период упреждения прогноза Любой прогноз обладает присущими ему характеристиками. Такими характеристиками являются: • точность прогноза — оценка доверительного интервала прогноза для определенной доверительной вероятности его осуществления (в том случае, когда прогноз имеет вероятностный характер), • достоверность прогноза — оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала (в том случае, когда прогноз имеет вероятностный характер), • ошибка прогноза — фактическая величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта прогнозирования. В том случае, когда вероятностные оценки прогноза не могут быть даны, точность прогноза и его достоверность определяются качественными, а не количественными 19 характеристиками или задаются границами без указания вероятности попадания прогнозируемой величины в эти границы. При выборе метода прогнозирования следует исходить из ряда обязательных принципов прогнозирования: • принцип системности, который предполагает комплексное изучение объекта с позиций единой системы взаимосвязей явлений и факторов, составляющих его прогнозный фон, • принцип природной специфичности, который требует тщательного изучения особенностей объекта прогнозирования, делающие его отличным от других объектов. Именно выявление этих особенностей позволяет избежать ошибки инструментария, когда используемый прогнозный аппарат оказывается непригодным для данного объекта из-за присущих ему специфичных свойств, • принцип оптимальности затрат, состоящий в естественном желании провести анализ, да и осуществить прогноз с минимальными затратами трудовых и материальных ресурсов. Особенности объектов прогнозирования таковы, что точность прогноза меняется не только в зависимости от природы объекта, но ещё и в большей степени от дальности прогноза. Так, если нужно сделать прогноз на ближайшее время, то в силу инерционности, объект прогноза не успевает значительно изменить свои характеристики, поэтому в большей степени оценивается не состояние объекта, а скорее то, как он может отклониться от своего значения. А вот, если прогноз делается на длительное время, то задача уже стоит несколько иная — рассчитать долговременную траекторию движения объекта, а любые отклонения от неё оцениваются уже как прогнозный фон. Это предопределяет различие в методах прогнозирования, поэтому один из самых распространённых методов классификации прогнозирования — это по критерию «по периоду упреждения»: 1. оперативные, 2. текущие, 3. краткосрочные, 4. среднесрочные, 5. долгосрочные, 6. дальнесрочные. Однако с точки зрения методов прогнозирования эту классификацию можно свести к 3м пунктам: 1. краткосрочные, 2. среднесрочные, 3. долгосрочные. 20 Прогнозы первой группы основаны на прогнозировании на очень короткий промежуток времени, в основном на учёт действия случайного фактора. Для временного ряда это означает прогнозирование на 1 — 2 шага вперёд. Ко второй группе прогнозов можно отнести методы, при которых осуществляется изучение, анализ и прогнозирование, как случайных факторов, так и тенденций развития основных, определяющих факторов на недалёкую перспективу. К третьей группе следует отнести методы долгосрочного и дальнесрочного прогнозирования, когда прогнозируются не только детерминированные и случайные, но и неопределённые факторы. В своё время экономисты пытались разделить прогнозы по жёстко фиксированным временным интервалам. Например, говорили, что «краткосрочный прогноз имеет период упреждения – от одного месяца до года, среднесрочный – от года до пяти лет, долгосрочный от пяти до пятнадцати лет, дальнесрочный – свыше этого периода». Однако это несколько не корректная точка зрения, так как, например, для фондового рынка период от одного месяца до года — это не краткосрочный прогноз, а долгосрочный. А для Мировой экономики прогноз на год — скорее краткосрочный. Поэтому говоря о сроках, надо учитывать период времени, в течение которого объект продолжает развиваться по инерции, то есть «период инерционности». Если период инерционности невелик, как в случае с фондовым рынком, то и краткосрочным прогноз будет на короткий временной промежуток. Таким образом можно более точно определить виды прогнозов: Краткосрочный прогноз – это прогноз на такой промежуток времени, который мал по отношению к периоду инерционности. Поэтому за этот период особых изменений в тенденциях развития объекта прогнозирования произойти не может. Среднесрочный прогноз выполняется на промежуток времени, соизмеримый с периодом инерционности объекта прогнозирования. Поэтому для таких видов прогноза важно правильно выявить и промоделировать динамику развития объекта – модель такой динамики и будет выступать в качестве прогнозной модели. Долгосрочный прогноз выполняется на период упреждения, значительно превышающий период инерционности. В этот период на динамику объекта прогнозирования могут оказать существенное влияние факторы, свойства которых в момент выполнения прогноза ещё не до конца известны, или даже сами факторы не известны. Здесь задача прогнозиста оценить многовариантные сценарии развития объекта прогнозирования, опираясь, конечно, на сложившиеся тенденции его развития. Среднесрочный прогноз Период инерционности Краткосрочный прогноз Долгосрочный прогноз t Рисунок 6: Виды прогнозов по периоду упреждения с учётом инерционности системы 21 Итак, ознакомившись с классификацией прогнозов и основными характеристиками временных рядов, перейдём к рассмотрению того, какие методы чаще всего используются в различных видах прогнозирования. Все наиболее популярные методы можно представить в таблице 1. Обратимые процессы Необратимые процессы Краткосрочное прогнозирование Метод средней, авторегрессия Метод Брауна (метод скользящей средней) Среднесрочное прогнозирование Метод регрессий Адаптивные методы Долгосрочное прогнозирование Метод регрессий + экспертные методы Имитационное моделирование + экспертные методы Таблица 1: Методы прогнозирования в зависимости от типа процесса и периоду упреждения прогноза Прежде чем приступить к непосредственному разбору и рассмотрению этих методов, нам стоит понять, каким образом мы можем выяснить, насколько хорошо наша модель описала ряд данных (помимо графического представления). А для этого часто используют несколько показателей оценки моделей. 1. Средние относительные ошибки аппроксимации: Обычно за базу для расчёта ошибки аппроксимации принимают либо сумма квадратов отклонений, либо модули отклонений: A first = 100 % Y  n ∑ Y t− Y t 2 t=1 , (1.3.1) T Y - среднее значение по исходному ряду данных. A second = ∣ ∣ n Y t− Y t 100 % ∑ T t =1 Y t (1.3.2) Они характеризуют то, насколько процентов наша модель отклоняется от фактических значений. И всем вроде бы хороши эти формулы, но у них есть ряд недостатков: В частности, значения коэффициентов очень сильно зависят от исходного ряда данных. В первом случае это выражается Y : если ряд данных колеблется вокруг нуля (например, прибыль на предприятии может быть как положительной, так и отрицательной или близкой к нулю), то коэффициент при любом значении модели получается огромным. Во втором случае, если в ряде данных имеются значения Y t близкие к нулю (та же самая прибыль), то ошибка также становится просто огромной. 2. Коэффициент детерминации: R2=r 2Y t ,Y t (1.3.3) 22 В эконометрике этот коэффициент считается по другой формуле и имеет несколько иной смысл, но мы будем его рассчитывать как квадрат коэффициента корреляции между фактическими и расчётными значениями, потому что нам нужна характеристика того, насколько фактические значения в среднем совпадают с расчётными. Для расчёта коэффициента корреляции в MS Excel имеется встроенная функция «=Коррел( Y t , Y t )». Здесь стоит напомнить смысл коэффициента корреляции, так как у многих исследователей по этому поводу имеется серьёзное недопонимание. Коэффициент корреляции показывает лишь близость связи между показателями к линейной. То есть, если коэффициент корреляции оказался близок к нулю, то это говорит не о том, что связь между показателями отсутствует, а о том, что между показателями нет линейной связи. Но вполне возможно, что в таком случае между показателями имеется какая-то сложная нелинейная связь. У коэффициента детерминации, рассчитанного по (1.3.3.) есть один недостаток: в случае, если прогнозная модель получилась с систематическим завышением или занижением, но при этом хорошо повторяет динамику исходного ряда, коэффициент окажется большим, что по идее соответствует ситуации, в которой модель очень хорошо описывает исходный ряд. 3. Коэффициент соответствия: Этих недостатков лишён коэффициент соответствия, с помощью которого также можно оценить адекватность модели. Он рассчитывается по несколько более сложной формуле: T ∑ st C= t=1 ⋅100 % n , (1.3.4) где: s t= Yt , если ∣Y t∣∣Y t∣ , Y t s t= Y t , если ∣Y t∣∣Y t∣ , Yt s t=−1 , если Y t =−Y t , s t=1 , если Y t =Y t . Однако у этого коэффициента также есть своя особенность, которая в некоторых случаях может быть достоинством, а в некоторых — недостатком: в формуле участвует не отклонение факта от расчёта, а соотношение между ними. Так, например, если Y t =1 , а Y t =0,5 , то у нас получится такое же значение, как и при Y t =1000 и Y t =500 : C=50 % . Коэффициент соответствия меняется в пределах от -100% до 100%. Он близок к нулю в случае, если модель плохо описала ряд данных. Чем большее значение принимает коэффициент соответствия, тем лучше модель описала имеющийся ряд данных. В случае, 23 если расчётные данные противоположны фактическим, коэффициент соответствия получается отрицательным. 4. Коэффициент сбалансированности: Существует ещё один коэффициент, по которому можно сделать выводы о качестве модели — коэффициент сбалансированности: n ∑ Y 2t −Y 2t B= t =1 n (1.3.5) ∑ Y Y 2t t =1 2 t Коэффициент может быть как действительным, так мнимым или комплексным числом, и по нему можно сказать, насколько точно модель описывает данные и насколько в среднем расчётные значения оказались выше либо ниже фактических. Чем сильнее модель совпадает с фактическими значениями, тем ближе коэффициент сбалансированности к нулю. В случае, если модель имеет некоторое систематическое завышение над фактическими данными, мнимая часть коэффициента сбалансированности по модулю становится больше действительной. В случае с систематическим занижением, действительная становится больше мнимой. На семинарских занятиях мы будем с вами пользоваться первыми тремя коэффициентами. Однако желающие могут рассчитать ещё и четвёртый коэффициент – его расчёт и трактовка будут давать дополнительные баллы. 24 Тема 2. Методы прогнозирования обратимых процессов 2.1. Краткосрочное прогнозирование обратимых процессов Средняя величина При краткосрочном прогнозировании стационарных процессов последовательность данных рассматривается как реализация случайных величин с фиксированным распределением, которые в большинстве случаев считается нормальным с некоторым математическим ожиданием и дисперсией. Прогнозирование в такой ситуации сводится к вычислению математического ожидания, расчёту дисперсии и доверительных интервалов. Лучшей оценкой математического ожидания для нормального распределения, как вы знаете, является средняя величина. Тогда прогноз на одно наблюдение вперёд будет равен: 1 Y T 1=Y = T T ∑Yt , (2.1.1) t=1 дисперсия в свою очередь считается по формуле: σ 2= 1 T T ∑ Y t −Y 2 . (2.1.2) t=1 Зная эти 2 значения легко выполнить краткосрочный прогноз для стационарного процесса. Однако с учётом того, что обычно среднее значение рассчитывается по какой-то выборке наблюдений, а не по всей совокупности, истинное математическое ожидание находится в некотором интервале, который можно определить по формуле: t ⋅σ t ⋅σ Y − α Y Y  α , T T (2.1.3) где t α — t-статистика Стьюдента при заданном уровне доверительной вероятности и числе наблюдений T. t-статистика Стьюдента используется тогда, когда число наблюдений не велико, не превышает несколько десятков. Учитывая то, что с увеличением числа наблюдений T значение t α уменьшается, а дисперсия стремится к своему фактическому значению, следовательно основной путь повышения прогноза — увеличение числа наблюдений. Рассмотрим пример. Студенты сдают экзамен и на выходе один из студентов собирает информацию для того, чтобы понять, что его может ждать. Выходит 5 человек со следующими оценками: Y t −Y Y t −Y  2 t Оценки (Yt) 1 3 -1 1 2 4 3 5 1 1 25 4 4,5 0,5 0,25 5 3,5 -0,5 0,25 sum 2,5 2 0,5 average 4 tα 12,92 σ Со статистикой Без статистики (t → 1000) -0,09 3,29 8,09 4,71 Похожий принцип с доверительными интервалами работает и в случае, когда мы сталкиваемся и с нестационарными процессами, а в качестве математического ожидания у нас выступает какая-то математическая функция. На семинарских занятиях мы будем рассчитывать доверительные интервалы по более простой, несколько некорректной с точки зрения эконометрии формуле: Y −σ Y Y σ . (2.1.4) Для наших целей этой формулы должно быть достаточно. Обращаем ваше внимание на то, что на семинарских занятиях мы будем строить модели, в которых расчётное значение определяется не через среднее значение, а через какую-либо математическую функцию. В таком случае и СКО надо считать как отклонение фактических значений от нашей модели, а не от среднего арифметического. Однако вернёмся к нашему случаю с нормальным распределением случайных величин. Если мы раскроем знак суммы в формуле (2.1.1), то получим: 1 1 1 Y T 1= Y T  Y T −1... Y 1 . T T T 1 - это вес у каждого наблюдения. В данном случае они все равны, но, если T мы имеем дело не с нормальным распределением случайных величин или хотим некоторым иным образом дать прогноз, то эти веса могут быть и разными. В таком случае можно использовать следующую формулу для расчёта прогнозного значения: Здесь Y T 1=ν T Y T ν T −1 Y T −1...ν 1 Y 1 , где ν T - вес соответствующего значения YT на наблюдении T. Авторегрессия Достаточно часто на практике встречаются стационарные процессы, каждое значение Yt которых определяется предыдущими значениями Yt-1, Yt-2. То есть имеет место авторегрессия, формально описываемая следующей формулой: Y t =a0 a 1 Y t – 1a 2 Y t – 2... (2.1.5) 26 Для того, чтобы определить, имеется ли в процессе такая зависимость и может ли он быть описан авторегрессионной моделью, осуществляется расчёт коэффициентов автокорреляции, для чего в формулу коэффициента корреляции подставляют попарно значения Y в момент t и те же, но сдвинутые на некоторый шаг τ. Вспомним, как рассчитывается коэффициент корреляции между двумя переменными — Xt и Yt: T ∑ Y t−Y  X t − X  rX t ,Y t = t =1T ∑ . T 2 Y t−Y  t =1 ∑  X t − X  (2.1.6) 2 t=1 Если мы теперь в формулу (2.1.6) вместо Xt подставим Yt-τ, а вместо получим формулу для расчёта автокорреляции для сдвига τ:  - Y  , то X T ∑ Y t −Y t Y t – τ−Y τ  r Y ,Y = t =1T t t−τ ∑ , T Y t −Y t  t =1 2 (2.1.7) ∑ Y t – τ−Y τ  2 t =1 T T–τ 1 1 Y t , Y τ = где Y t = ∑ ∑Y . T −τ t =τ1 T −τ t=1 t Если при некоем сдвиге τ коэффициент корреляции окажется по модулю не менее 0,8, то говорят о наличии линейной зависимости между значениями самого ряда и ряда, сдвинутого во времени (ряда с лагом). Обычно зависимость коэффициента корреляции от шага τ анализируют графически. Такой график называют коррелограммой (см. Рисунок 7). r Y ,Y t t−τ 1 0,87 τ -1 -0,91 Рисунок 7: Пример коррелограммы Если, например, оказалось, что коррелограмма имеет два по модулю наибольших значения (например, r 5=0,87 и r 7=−0,91 ), то исследователь имеет все основания для построения модели авторегрессии вида: Y t =a5 Y t – 5−a 7 Y t – 7 . 27 Для нахождения коэффициентов такой функции обычно пользуются методами математической статистики или численными методами. 2.2. Среднесрочное прогнозирование обратимых процессов Парная регрессия и метод наименьших квадратов Как мы уже говорили, в среднесрочном прогнозировании обратимых процессов обычно используют метод регрессии, который сводится фактически к изучению и построению той или иной зависимости между двумя или несколькими переменными. Примером таких моделей являются как раз ПФ, которые мы с вами рассмотрели чуть ранее. Обычно для нахождения коэффициентов функции в эконометрике, как вы знаете, используют метод наименьших квадратов. Преимущество метода — в его простоте и в том, что оценки, найденные с использованием МНК являются несмещенными. Вообще, давайте вспомним, какой смысл имеет МНК? Для этого обратимся к следующему рисунку (Рисунок 8). Yt Y t =ab x t * * * * * * * εt * * * xt Рисунок 8: Графическая интерпретация МНК В нашем распоряжении имеется некоторый ряд данных, и мы предполагаем (либо находим с помощью коэффициента корреляции), что этот ряд можно описать какой-то линейной функцией: Y t =ab x t . (2.2.1) Строим эту функцию и видим, что она проходит около фактических значений с какимто отклонением: ε t=Y t −Y t . На каждом наблюдении имеются такие отклонения. Для того, чтобы функция описала этот ряд данных наилучшим образом, надо подобрать такие коэффициенты a и b, чтобы все эти отклонения были минимальными. Однако, как видим, отклонения могут быть как положительными (когда фактическое значение лежит выше 28 расчётного), так и отрицательными (соответственно, ситуация наоборот). Если мы все эти отклонения просто сложим, то они сократятся и мы не получим реальную оценку ситуации — суммарное отклонение вполне может стать равным нулю. Для того, чтобы избежать этой ситуации и получить более адекватную оценку, все отклонения вначале возводят в квадрат, после чего суммируют и получают сумму квадратов отклонений: T T t =1 t=1 S=∑  ε2 =∑ Y t−Y t 2 - которую как раз и нужно минимизировать, подбирая различные значения коэффициентов a и b. Математически это означает требование: T T t =1 t=1 S=∑ Y t−Y t 2=∑ Y t −ab x t 2  min (2.2.2) Ну, а чтобы найти значения коэффициентов, при которых эта функция принимает минимальные значения, нужно взять производные S по a и по b и приравнять их нулю: ∂S ∂S =0 , =0 . ∂a ∂b (2.2.3) Решая полученные уравнения, мы вначале получаем следующую систему нормальных уравнений: { T T T ab ∑ xt =∑ Y t t =1 t =1 T T t =1 t=1 , T (2.2.4) a ∑ x tb ∑ x =∑ Y t x t 2 t t =1 из которой можно легко вывести формулы для нахождения коэффициентов функции: T T T t =1 t=1 t =1 2 T ∑ Y t x t −∑ Y t ∑ x t b= ∑  T T T∑x − 2 t t =1 T (2.2.5) xt t =1 T ∑ Y t−b ∑ x t a= t=1 , t =1 . (2.2.6) T В результате расчётов по формулам (2.2.5) и (2.2.6) мы найдём такие коэффициенты a и b линейной функции (2.2.1), для которых выполняется условие (2.2.2), то есть сумма квадратов отклонений фактических значений от расчётных минимальна. В случае, если мы строим тренд (зависимость какого-то показателя от времени), в формулы (2.2.5) и (2.2.6) вместо xt надо просто подставить номер наблюдения t — в результате будет построен линейный тренд с коэффициентами a и b. Стоит заметить, что когда мы строим регрессионные модели, переменными у нас фактически выступают коэффициенты, поэтому удобней регрессии представить несколько иначе. Так систему нормальных уравнений (2.2.4) можно представить ещё и через 29 уравнение в отрезках, разделив соответствующие левые и правые части уравнений на стоящие в правых частях суммы: { a T  b T =1 ∑Y t ∑ Yt t=1 t=1 T T ∑ xt t=1 a T  b T (2.2.7) =1 ∑ Y t xt ∑ Y t xt t=1 T t=1 T ∑ xt2 ∑ xt t =1 t =1 Такое представление позволяет построить на плоскости коэффициентов (в нашем случае по оси абсцисс будем откладывать a, по оси ординат — b) прямые, каждая из которых характеризует разное сочетание коэффициентов a и b, удовлетворяющее по отдельности каждому из уравнений (2.2.4). Точкой пересечения этих двух прямых будет пара коэффициентов a* и b*, являющаяся решением системы уравнений (2.2.4). Графически эта ситуация показана на рис. 9. b T ∑ Yt t =1 T ∑ xt t=1 (a*, b*) T ∑ Y t xt t =1 T ∑ x 2t t=1 T ∑ Yt t =1 T T (2) ∑ Y t xt (1) a t =1 T ∑ xt t=1 Рисунок 9: Задача нахождения оптимума на плоскости коэффициентов модели Такое представление позволяет несколько иначе взглянуть на задачу нахождения коэффициентов модели с помощью метода наименьших квадратов: она заключается в том, 30 что отдельно для каждого из уравнений системы (2.2.4) существует бесконечное множество решений, но в самой системе в общем случае оно только одно. Впрочем, нельзя отрицать, что теоретически возможна ситуация, в которой прямые (1) и (2) на рис. 9 не будут пересекаться, а, например, сольются. Тогда в результате решения системы (2.2.4) мы не получим точечной оценки — то есть найти истинное значение коэффициентов модели будет невозможно. Метод наименьших квадратов прекрасно работает в случае с линейными функциями, но очевидно, что не всегда линейная функция описывает ряд лучше всех остальных. В таких случаях появляется потребность найти коэффициенты других функций. Например, степенных, экспоненциальных, тригонометрических, обратных и др. функции. Для оценки таких моделей также можно применить МНК. В таких случаях имеющуюся модель нужно вначале привести к виду линейной, используя один из двух методов: 1. Метод линеаризации, 2. Метод подстановки. Метод линеаризации обычно применяется в случаях с экспоненциальными или степенными функциями — в тех случаях, когда его невозможно применить напрямую, и заключается в том, что в функции логарифмируется и левая, и правая части, после чего находятся коэффициенты, при которых достигается минимум суммы квадратов отклонений линеаризованных функций. Рассмотрим пример со степенной функцией: Y t =c x bt . (2.2.8) Линеаризуем функцию (2.2.8) используя натуральные логарифмы. Получим: ln Y t=ln cb ln x t . Проведя замену ln c=a , мы получим функцию практически идентичную (2.2.2): ln Y t=ab ln x t . (2.2.9) После этого МНК без проблем применяется уже к функции (2.2.9), а не (2.2.8). В итоге минимизируется следующая сумма квадратов отклонений: T T t =1 t =1 S=∑ ln Y t−ln Y t 2=∑ ln Y t −ab ln x t 2 . (2.2.10) Если теперь найти частные производные (2.2.10) по коэффициентам a и b, аналогично (2.2.3), то мы найдём коэффициенты, для которых сумма отклонений (2.2.10) минимальна. Однако стоит обратить внимание на то, что мы минимизируем эту самую линеаризованную функцию, а не изначальную. А в связи с тем, что всегда при расчёте коэффициентов есть небольшая ошибка, то после расчёта, по возвращении к нормальной, не линеаризованной форме, она возрастает экспоненциально. Причём, экспонирование приводит к тому, что ошибка становится положительной, и распределённой со смещением. В результате этого у модели появляется систематическое отклонение от 31 расчётных значений. Именно этим и вызвано появление модификации (1.2.9) производственной функции Кобба-Дугласа. Для того, чтобы решить эту проблему иногда меняют критерий МНК с (2.2.10) на следующий: T T t =1 t =1 S=∑ Y t ln Y t −Y t ln Y t 2=∑ Y t lnY t−Y t aY t b ln x t 2 . (2.2.11) Конечно, в такому случае, фактически немного меняется вид исходной функции с (2.2.8) на: Y Yt =c Y xtbY , t t t но свойства модели от этого существенно не меняются, зато оценки коэффициентов a и b становятся несмещёнными, и у модели пропадает систематическое отклонение. Метод подстановки заключается в следующем. Предположим, что мы видим, что текущий ряд данных может быть лучше описан обратной функцией вида: Y t = 1 . ab x t (2.2.12) Если попытаться оценить параметры a и b функции (2.2.12) с использованием МНК «в лоб», то у нас возникнет множество проблем. Куда проще ввести новую переменную: 1 zt = , Y t (2.2.13) тогда функция может быть легко преобразована к линейному виду: z t =ab x t . Найти коэффициенты этой функции уже никаких сложностей не представляет. Используя этот принцип можно очень многие функции привести к линейному виду. Например: 3 Y t =a x t b sin  x t c , при 3 z t =sin  x t  , получим Y t =a x t b z t c . Множественная регрессия и эффект мультиколлинеарности При построении многофакторных моделей иногда возникают ситуации, в которых факторы сильно коррелируют друг с другом. В таком случае говорят о наличии эффекта мультиколлинеарности, общая идея которого заключается в том, что оценки построенной модели становятся неустойчивыми. Например, после расчёта коэффициентов получается модель: Y t =14,13,2 x 1,t6,3 x 2,t , но после незначительного изменения исходных данных (например, после округления или после добавления ещё дополнительного наблюдения в ряд данных) оценки модели меняются радикально: Y t =1,1−7,1 x1, t60,7 x 2,t . Естественно, осуществлять адекватный прогноз в таких 32 условиях не представляется возможным, значит надо каким-то образом избавиться от эффекта мультиколлинеарности. В современной эконометрике существует два направления по решению этой проблемы: В первом направлении выделяются два подхода: исключают из совокупности факторов одну или несколько линейно связанных факторных переменных, чтобы вновь полученные элементы корреляционной матрицы были меньше порогового значения 0,8. • Однако никаких формальных обоснований того, как выбрать исключаемый фактор и почему надо выбрать именно этот фактор, не существует. Соответственно этот подход нельзя назвать удовлетворительным. преобразуют факторы в новые переменные, уменьшая тем самым количество переменных (факторный анализ). • В результате такого подхода модель строится на основе некоторых фиктивных переменных, не обладающих никаким экономическим смыслом. Такое решение тоже нельзя назвать удовлетворительным. Во втором направлении, совершенствовании математического аппарата оценивания коэффициентов модели используют методы регуляризации – раздел, называющийся «робастной статистикой», например, гребневой регрессии, стабилизированных оценок или «сжатых» оценок и т. п. Но это направление требует более обширных математических знаний и в результате использования этих методов также получаются переменные, не обладающие экономическим смыслом. Для того, чтобы понять суть эффекта мультиколлинеарности и выработать лучшее решение этой проблемы, рассмотрим, в чём по сути заключается проблема. Рассмотрим следующую модель: Y t =a0 a 1 x 1, ta 2 x 2, t , (2.2.14) здесь Y t – прогнозируемое значение показателя, x1,t, x2,t – значения факторов 1 и 2 в момент времени t, a0, a1, a2 – коэффициенты модели, которые нам нужно найти. Критерий МНК для этой модели будет выглядеть следующим образом: T S=∑ Y t−a0 −a 1 x1, t−a 2 x 2,t 2  min , t =1 или, если возвести в квадрат выражение в скобках: T S=∑  Y 2t −2 Y t a0 −2 Y t a1 x 1,t −2 Y t a 2 x 2,t a 202 a 0 a1 x 1,t 2 a 0 a 2 x 2,t  t =1 2 2 1 1, t a x 2 a 1 x 1,t a 2 x 2,ta 22 x 22,t  33 Рассчитывая частные производные S по коэффициентам, мы придём к следующей системе нормальных уравнений: { T T T T a 0a 1 ∑ x 1,t a 2 ∑ x 2,t =∑ Y t t=1 t =1 T T t =1 T t =1 T t =1 t =1 t=1 T T t =1 T t=1 T t=1 t =1 a 0 ∑ x 1,t a 1 ∑ x a 2 ∑ x 1,t x 2,t =∑ Y t x 1,t . 2 1,t (2.2.15) a 0 ∑ x 2,t a 1 ∑ x 1,t x 2, ta 2 ∑ x 22,t=∑ Y t x 2, t Если теперь эту систему уравнений представить в виде уравнений в отрезках по аналогии с (2.2.7), то получим: { a0 T a1  T ∑ Yt ∑Yt t=1 =1 T ∑Yt t =1 T T a2  t=1 T ∑ x 1,t ∑ x 2,t t =1 a0  T t=1 a1 T a2  T ∑ Y t x 1,t ∑ Y t x 1,t t =1 T t =1 T ∑ x 1,t ∑ x 21,t t =1 t =1 a0 a1  T T ∑ Y t x 1,t ∑ x 1,t x 2,t t =1  a2 T ∑ Y t x 2,t ∑ Y t x 2, t ∑ x 2,t ∑ x 1,t x 2,t ∑ x 22,t t =1 t =1 T t =1 (2.2.16) t =1 T ∑ Y t x 2,t t=1 T =1 =1 t =1 T t=1 Если в таком виде рассчитать координаты точек в пространстве коэффициентов (таких, T ∑ Y t x 1, t T как: ∑ Yt t =1 T , t =1 T и т. д.) для случая с эффектом мультиколлинеарности, то мы ∑ x 1,t t=1 увидим, что эти значения буду очень близки друг к другу, а это фактически означает, что мы сталкиваемся как раз с ситуацией, в которой прямые на плоскости коэффициентов, описываемые уравнениями из системы нормальных уравнений, пересекаются под очень острым углом (обозначим его через γ). В результате, если мы меняем любое значение фактора, то также сдвигается точка пересечения между прямыми, то есть оценки модели становятся очень неустойчивыми. На рисунке 10 показан такой пример для случая с двумя коэффициентами и двумя уравнениями из системы (2.2.16), но картина будет идентичной и для всех остальных коэффициентов и уравнений из системы (2.2.16). 34 a1 (2) T ∑ Y t x 1,t t =1 T T (a0*, a1*) ∑Y t ∑ x 21,t t =1 T t=1 ∑ x 1,t t =1 T ∑ Y t x 1,t t =1 T T ∑ Yt ∑ x 1,t a0 (1) t =1 T t=1 Рисунок 10: Эффект мультиколлинеарности на плоскости коэффициентов Очевидно, что для решения проблемы мультиколлинеарности нужно просто каким-то образом развести эти прямые и увеличить угол γ между ними. Для этого вначале вспомним формулу для нахождения косинуса угла между гиперплоскостями. Если гиперплоскости описываются уравнениями: D=AxByCz и D ' = A' xB ' yC ' z , то косинус угла между ними находится по формуле: cos = A A' B B ' C C ' ,  A B 2C 2  A ' 2B ' 2 C ' 2 (2.2.17) 2 Рассчитаем для начала косинус угла γ между первыми двумя уравнениями из системы нормальных уравнений (2.2.15). Имеем: A=T , T A ' =∑ x1, t , T T t =1 t=1 T T t=1 t =1 B=∑ x 1,t , C=∑ x 2,t , B '=∑ x1,2 t , C ' =∑ x 1,t x 2,t . t =1 Тогда косинус угла γ будет равен: T T T T T t =1 t=1 T ∑ x 1,t ∑ x 1,t ∑ x ∑ x 2,t ∑ x 1,t x 2,t cos = t =1  t=1 ∑  ∑   ∑   ∑   ∑  T 2 t=1 2 1, t T  2 T x 1,t  t=1 2 T x 2,t t =1 2 x1, t  t =1 2 T x t=1 2 1,t 2 T (2.2.18) x1, t x 2,t  t =1 35 Для того, чтобы максимально развести прямые коэффициентов, угол γ должен стать прямым. Тогда оценки коэффициентов модели (2.2.14) станут устойчивыми и не будут так радикально меняться. А так как косинус прямого угла равен нулю, в формуле (2.2.18) нужно каким-то образом преобразовать числитель для того, чтобы вся дробь обратилась в ноль. А для этого достаточно осуществить операцию центрирования исходных данных, которая осуществляется по формулам: { Y ' t =Y t −Y x ' 1,t= x 1,t −x 1 x ' 2,t =x 2,t −  x2 , ... x ' n , t= x n , t− x n (2.2.19) где Y , x 1 , x 2 ,..., x n - средние величины соответствующих факторов. Если операцию центрирования осуществить перед началом расчётов, то мы в итоге придём к формуле (2.2.18) с центрированными переменными. А так как сумма T центрированных переменных равна нулю, то есть в нашей дроби (2.2.18) ∑ x ' 1,t =0 и t =1 T ∑ x ' 2,t =0 , то и числитель всей дроби становится равным нулю. Таким образом угол γ t =1 становится прямым и, как следствие, оценки модели (2.2.14) становятся устойчивыми. Такой подход позволяет избавить от эффекта мультиколлинеарности без уничтожения экономического смысла переменных и без применения сложных математических расчётов. Мы показали, что для того, чтобы получить устойчивые оценки модели в условиях мультиколлинеарности достаточно осуществить предварительное центрирование исходных данных по формуле (2.2.19). 36 Тема 3. Методы прогнозирования необратимых процессов 3.1. Краткосрочное прогнозирование. Модель Брауна Ранее мы уже обсуждали идею задания разных весов в модели среднего каким-нибудь образом для получения лучшего прогноза. Эта идея становится очень актуальной в случае с необратимыми процессами, ведь, если нам в таких условиях нужно получить более адекватный прогноз, то последние данные для нас имеют большее значение, нежели старые данные. То есть в общем случае в модели: Y T 1=ν T Y T ν T −1 Y T −1...ν 1 Y 1 , (3.1.1) (где ν t - вес соответствующего значения Yt на наблюдении t) было бы логично задать веса следующим образом: ν T ν T−1...ν 1 . Веса можно задавать используя разные принципы, но одним и самых эффективных с точки зрения прогнозирования является принцип, основанный на экспоненциональном характере задания весов, впервые предложенные R.G. Brown'ом: 2 3 ν T =α ; ν T – 1=α 1−α  ; ν T – 2=α 1−α ; νT – 3=α 1−α  ... (3.1.2) Здесь α (носящий название постоянной сглаживания) — единственный параметр, варьируя который мы можем получать разные веса (3.1.2) для разных наблюдений. Ряд (3.1.2) представляет собой ряд членов геометрической прогрессии. Его сумма сходится к единице: ∞ αα 1−α α 1−α2α 1−α 3...=∑ α 1−α t−1=1 t =1 при выполнении условия: ∣1−∣1 (3.1.3) Очевидно, что условие (3.1.3) идентично условию: 02 . (3.1.4) Таким образом в модели Брауна постоянная сглаживания должна лежать в пределах (3.1.4). С помощью экспоненциально взвешенного ряда весов легко рассчитать взвешенное среднее показателя Y в момент времени T, которое будет являться прогнозной моделью процесса на следующий момент времени T+1. Подставив в формулу (3.1.1) ряд весов из (3.1.2) получим: 2 Y T 1=α Y T α 1 – α Y T – 1α 1−α  Y T – 2... (3.1.5) В правой части равенства (3.1.5) можно вынести за скобки 1− , тогда получим: 37 Y T 1=αY T 1 – α  α Y T – 1α1−α Y T – 2...  (3.1.6) Как видим, в (3.1.6) часть, вынесенная за скобки, представляет собой расчётное значение, вычисленный на предыдущем шаге. Тогда окончательно формулу (3.1.6) можно привести к следующему виду: Y T 1=α Y T 1 – α  Y T (3.1.7) В формуле (3.1.7) появляется соблазн дать постоянной сглаживания следующую экономическую интерпретацию: α представляет собой некоторую среднюю взвешенную, служащую для формирования прогнозного значения. То есть прогноз складывается из двух частей: из части фактического значения, полученного на наблюдении t и части, спрогнозированной на наблюдение t. В такой трактовке, очевидно, что α ∈ ( 0;1) , так как подразумевается наличие средней между двумя значениями, и именно этой трактовки модели придерживаются многие экономисты. Графически формирование прогнозного значения в соответствии с моделью (3.1.7) представлено на рисунке 11: точка III считается как средневзвешенная фактического значения I и прогнозного II, её значение как раз и становится прогнозом – точкой IV. Далее берётся средневзвешенная между точками IV и V, получается новая средняя (точка VI) и новый прогноз (точка VII) и так далее. Причём α в данной интерпретации регулирует распределение весов между фактом и прогнозом. Рисунок 11: Графическое представление механизма формирования прогноза в модели (3.1.7) Однако мы в данном случае сталкиваемся с ситуацией, в которой трактовка модели её только ограничивает. Покажем, каким образом это происходит. Если мы раскроем скобки в правой части (3.1.7): YˆT +1 = αYT + (1 − α )YˆT = αYT + YˆT − αYˆT , (3.1.8) после чего вынесем за скобки α, то получим формулу, математически абсолютно идентичную формуле (3.1.7), но имеющую уже другую трактовку: ( ) YˆT +1 = YˆT + α YT − YˆT . (3.1.9) Здесь прогнозное значение формируется на основе предыдущего спрогнозированного, а α выступает некоторым коэффициентом адаптации модели к новой поступающей информации (так как в скобках в (3.1.9) у нас представлено отклонение факта от 38 прогноза). В таком случае степень адаптации может быть, в общем-то, любой: модель может адаптироваться незначительно и отсеивать поступающие «шумы» (когда альфа мал, например, составляет 0,3) или достаточно быстро адаптироваться к поступающей информации в случае, когда в процессе происходят качественные изменения (когда альфа больше 1, например, составляет 1,7). Графическое представления этой трактовки дано на рисунке 12. Рисунок 12: Графическое представление механизма адаптации в модели (3.1.9) В этом случае расчётное значение II берётся за базу для прогноза на следующем наблюдении и переносится в точку III, которая затем корректируется на величину отклонения фактического значения I от расчётного II. В итоге прогнозное значение из точки III «переходит» в точку IV, которая в свою очередь становится базой для следующего прогноза (точка VI) и так далее. Постоянная сглаживания α в этой интерпретации выступает константой, регулирующей скорость адаптации, то есть то, на какую величину произойдёт корректировка модели (например, из точки III в точку IV). Для того чтобы закончить рассмотрение различных вариантов интерпретации одной и той же модели Брауна, введём коэффициент η, такой, что: α = 1+ η . (3.1.10) Если α ∈ ( 0;2) , то, естественно, что η ∈ ( − 1;1) . С учётом условия (3.1.10) мы можем модифицировать модель Брауна (3.1.9): ( ) YˆT +1 = YˆT + (1+ η ) YT − YˆT . (3.1.11) Раскрыв скобки в (3.1.11) и проведя элементарные преобразования, получим следующую модель: ( ) YˆT +1 = YT + η YT − YˆT . (3.1.12) Эта модель тождественна моделям (3.1.7) и (3.1.9), однако благодаря такому представлению, трактовать её можно несколько иначе. В ней прогнозное значение на шаге t+1 полностью учитывает фактическое значение на наблюдении t, и корректируется на величину отклонения пропорционально η. Графически этот механизм может быть представлен так, как это показано на рисунке 13. По своей логике этот механизм напоминает описанный для рисунка 12, однако у него есть некоторые отличия. Так модель 39 изначально формируется исходя из данного фактического значения (значение точки I переносится на следующее наблюдение в точку III), которое затем корректируется на величину отклонения факта (точка I) от прогноза (точка II) на предыдущем наблюдении. η в этой интерпретации выступает константой, не только регулирующей величину корректировки, но ещё и определяющей направление корректировки. То есть она характеризует то, на какую величину, и в какую сторону произойдёт корректировка модели (например, из точки VI вниз, в точку VII). Рисунок 13: Графическое представление механизма адаптации в модели (3.1.12) Как видим, вне зависимости от того, каким образом мы группируем переменные в модели, прогноз не меняется, модель Брауна даёт одни и те же результаты в любых формах её записи, однако меняется экономическая интерпретация её коэффициентов, в результате чего некоторые исследователи накладывают те или иные ограничения на модель. Это явление достаточно часто встречается в экономико-математическом моделировании: желание дать трактовку той или иной модели, тому или иному показателю, ограничивает саму модель, в результате чего она начинает работать хуже. Рассмотрим в качестве некоторого промежуточного итога, что же характеризует коэффициент α в модели (3.1.7): • если α = 0, то модель не учитывает текущие наблюдения (то есть становится не адаптивной), • если α = 1, то модель не учитывает прошлые наблюдения (то есть становится полностью адаптивной), • если α = 2, то модель не только учитывает текущие значения, но ещё и учитывает отклонения прогнозных значений от фактических на текущем наблюдении (то есть ещё и становится самообучающейся). Если в случае с моделями обратимых процессов было понятно, каким образом находятся коэффициенты моделей, то в случае с моделью Брауна имеются некоторые вопросы. Дело в том, что модель является рекуррентной (то есть зависит от предыдущих значений), поэтому применить МНК для нахождения α использовать его невозможно. Таким образом встаёт вопрос, каким же образом задавать постоянную сглаживания. В современной литературе существует множество различных предложений по этому поводу. Сам Браун рекомендовал брать α в пределах от 0,1 до 0,3. Однако эта 40 рекомендация имеет смысл лишь, когда мы имеем дело с эволюционным рядом с медленно меняющимися тенденциями и то для целей «сглаживания ряда». Этот принцип обычно применяется в многочисленных программах анализа рядов данных по фондовому рынку. Если же мы рассматриваем модель Брауна с позиции адаптивной модели, позволяющей давать прогнозы, то ограничивать постоянную сглаживания таким маленьким промежутком неразумно. Один из вариантов подбора постоянной сглаживания заключается в минимизации отклонений модели от фактических значений, используя численные методы. В экселе этот функционал фактически реализован функцией «Поиск решения». То есть, когда мы будем строить модель Брауна, для нахождения оптимального α можно пользоваться этой функцией и автоматизировать процесс нахождения оптимальной постоянной сглаживания. Если в процессе оптимизации постоянная сглаживания получилась лежащей в классических пределах – от нуля до единицы, то средняя взвешенная может использоваться для прогнозирования достаточно эффективно. Если же оптимальное значение постоянной сглаживания оказалось находящимся в запредельном множестве, то это диагностирует ситуацию, когда средняя взвешенная в принципе не может использоваться в качестве хорошей оценки прогнозного значения моделируемого процесса. В этом случае возможно два варианта действий прогнозиста. Первый. Процесс вышел за рамки простой динамики. У него появилась некоторая тенденция в развитии. Её математическое описание в наблюдаемый промежуток времени возможно с помощью одной из эконометрических моделей. Второй. Процесс находится на грани между эволюционной и хаотической динамикой и его математическое описание невозможно с помощью какой-либо модели. Поэтому такой процесс лучше всего прогнозировать с помощью модели Брауна, работающей в запредельном множестве. В случае если диагностируется первая причина, то модель, которая лучше всех описывает динамику прогнозируемого экономического процесса, берётся за основу и с её помощью применяется соответствующая модификация метода Брауна. Если динамика прогнозируемого процесса не может быть описана никакими сложными эконометрическими моделями, то альтернативы применению модели Брауна с этим запредельным значением постоянной сглаживания нет. Теперь следует указать на некоторую особенность метода Брауна, а именно – на необходимость задания начальных значений модели. Действительно, для того, чтобы «запустить» расчёт модели Брауна, то, опираясь на первое значение исходного ряда Y1, необходимо вычислить прогнозное значение модели на втором наблюдении: Yˆ2 = α Y1 + (1 − α )Yˆ1 Первое значение этой суммы при заданном α легко вычисляется, поскольку известно значение Y1, а вот для расчёта второго слагаемого необходимо знать расчётное значение показателя, определённое на предыдущем шаге, то есть - Y 1 , а его в распоряжении прогнозиста нет. Очевидно, что без знания первого расчётного значения показателя модель «запустить» не удастся. Следовательно, модель Брауна следует дополнить ещё и правилом задания этого первоначального значения. 41 Существует несколько методов задания первоначального значения: 1. Первое расчётное значение равно фактическому: Y 1=Y 1 , В этом варианте непонятно, почему расчётное значение должно быть равно фактическому. Кроме того ряд весов (3.1.2) для следующих значений в таком случае не сходится к 1. 2. Первое расчётное значение рассчитывается как среднее первых трёх Y Y 2 Y 3 фактических наблюдений: Y 1= 1 , 3 В этом случае неясно, почему надо брать именно такое количество наблюдений и 1 неясно, почему у всех наблюдений один и тот же вес — . 3 3. Модель начинает считаться с третьего значения, которое рассчитывается как средневзвешенное значение первых двух фактических через ту же постоянную сглаживания, которая используется для построения модели: Y 3 =Y 21−Y 1 , В таком случае ряд весов сходится к 1, но нет чёткого обоснования, почему именно одному фактическому значению задаётся вес α, а другому — (1-α). 4. Модель начинает строится с третьего значения, которое считается по α Y2 + α (1 − α )Y1 модифицированной формуле: Yˆ3 = . 2 1 − (1 − α ) В этой схеме веса сходятся к 1 и сохраняется принцип, заложенный Брауном в модель — экспоненциального сглаживания. На самом деле проблемы задания первого значения для больших рядов фактически не существует. Она актуальна только в случае с небольшим количеством наблюдений (например, 5 — 7) и только для ситуаций, в которых оптимальное значение постоянной сглаживания лежит в пределах ∈0 ; 0,3∪1,7 ; 2 . Во всех остальных случаях проблема не стоит так остро — первое значение достаточно быстро перестаёт играть какую бы то ни было роль в формировании прогноза. На рисунке 14 показано, какой получается модель Брауна при прогнозировании реальных процессов. В данном случае оптимальная постоянная сглаживания оказалась равной 1,002, а ошибки аппроксимации получились следующими: A f =9,62 % , A s=7,93 % , R2=0,65 , C=92,36 % , B=0,1570,097i . По всем этим показателям видно, что модель получилась не такой уж и плохой и неплохо описала исходный ряд данных, соответственно можно ожидать, что и прогноз по этой модели будет точным. На графике 14 большими квадратами показаны последние 7 наблюдений, на которые осуществлялся прогноз с помощью модели Брауна. Прогноз нельзя назвать очень хорошим, но он в любом случае лучше любого прогноза, осуществляемого стандартными эконометрическими методами. 42 Мировые продажи гибридных автомобилей Метод Брауна Факт Модель Брауна 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 янв.05 апр.05 июл.05 окт.05 янв.06 апр.06 июл.06 окт.06 янв.07 апр.07 июл.07 Рисунок 14: Прогнозирование продаж гибридных автомобилей с помощью модели Брауна 3.2. Среднесрочное прогнозирование МНК с дисконтированием Ранее мы рассмотрели случай среднесрочного прогнозирования обратимых процессов. Рассмотрим теперь прогнозирование необратимых процессов. Очевидно, что в таких случаях новая информация должна учитывать в большей степени, нежели старая. Первый вариант такой модели с разделением весов — это МНК с дисконтированием данных. Рассмотрим данный метод на примере простой линейной модели (2.2.1): Y t =ab x t . Идея метода сводится к тому, что при расчёте коэффициентов линейной функции отклонения модели от новых значений имеют большие веса, чем отклонения от старых данных. То есть условие МНК модифицируется так, что каждому отклонению задаётся некоторый вес v t : T S=∑ v t Y t −Y t 2  min . (3.2.1) t =1 43 Веса vt в модели могут быть заданы, например, используя алгоритм метода Брауна: T–t v t =α 1−α . Используя критерий (3.2.1), по аналогии с (2.2.4), прийдём к системе нормальных уравнений: { T T T ∑ Y t α 1−α   =a ∑  α 1−α  b ∑  x t α 1−αT – t  T –t t=1 T T –t t =1 t=1 T T (3.2.2) ∑  x t Y t α 1−α =a ∑  x t α 1−α b ∑  x T –t t=1 T–t t=1 t =1 2 t α 1−α  T –t  T Как мы помним, веса в методе Брауна сходятся к 1, значит сумма ∑  α 1−αT – t  в t =1 первом уравнении системы (3.2.2) будет равна 1. Значит итоговая система будет иметь вид: { T T t=1 T t =1 T ∑  Y t α 1−α T – t  =ab ∑  x t α 1−αT – t  T ∑  x t Y t α 1−α =a ∑  x t α 1−α b ∑  x 2t α 1−α T – t  T –t t=1 T–t t=1 t =1 Конечные формулы для нахождения коэффициентов линейной модели похожи на классические формулы (2.2.5) и (2.2.6), но в них помимо a и b также присутствует коэффициент α, который, как вы помните, лежит в пределах от 0 до 2: T T t =1 t =1 a=∑  Y t α 1−αT – t −b ∑  x t α 1−αT – t  T T (3.2.3) T ∑  x t Y t α 1−α T – t −∑  x t α 1−αT – t  ∑  Y t α 1−α T – t  b= t =1 t =1 T t =1  2 T ∑  x α 1−α  − ∑  x t α 1−α   2 t t =1 T –t T –t t =1  (3.2.4) В результате расчёта коэффициентов по формулам (3.2.3) и (3.2.4), варьируя значение α, мы будем получать разные модели. Задав тот или иной критерий (например, чтобы отклонение для последних трёх точек было минимальным), мы можем получить модель, описывающую прекрасно новые наблюдения, но при этом совсем не описывающую старые. Минусом этого метода является то, что при поступлении новой информации, мы вынуждены будем выбрать новое значение α и пересчитать коэффициенты модели. То есть получается, что модель учитывает новую информацию в большей степени, чем старую, но адаптивной названа быть не может, так как требует ручного пересчёта. Преимущества: 1. Модели строятся на основе наиболее важных данных, в результате чего отражают последние тенденции, а не «средние» по всему ряду; 44 2. На основе этого метода можно построить любые регрессионные модели (в том числе и многофакторные); Недостатки: 1. При поступлении новых данных коэффициенты модели должны быть пересчитаны вручную, Для ряда данных по мировым продажам гибридных автомобилей МНК с дисконтированием дал следующие результаты (см. рисунок 15) Мировые продажи гибридных автомобилей МНК с дисконтированием Факт МНК с дисконтированием 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 янв.05 -10,00 апр.05 июл.05 окт.05 янв.06 апр.06 июл.06 окт.06 янв.07 апр.07 июл.07 -20,00 -30,00 -40,00 Рисунок 15: Прогнозирование продаж гибридных автомобилей с помощью линейной функции, найденной через МНК с дисконтированием Очевидно, что сравнивать аппроксимационные свойства модели Брауна с этой моделью некорректно, а вот прогнозные свойства можно вполне сравнить. Если сравнить ошибки прогноза для первой и второй моделей, то мы увидим, что в этом нашем случае МНК с дисконтированием точнее прогнозирует значения, нежели модель Брауна. Модификации метода Брауна Метод Браун очень хорош и удобен при прогнозировании рядов без явных тенденций на короткий срок. Прогноз, получающийся по нему на несколько шагов вперёд фактически заключается в том, что на это время показатель не будет сильно меняться, будет сохраняться на уровне прогноза. Очевидно, что такая ситуация не всегда выполняется на практике. Существует ряд случаев, в которых метод Брауна явно даёт неудовлетворительные результаты. Обычно это случаи, когда в рядах данных имеются какие-то ярко выраженные тенденции, например, к возрастанию или снижению, которые 45 можно было бы прогнозировать с использованием различных математических функций. На рисунке 16 показан ряд данных, для которого модель Брауна даёт не очень хороший прогноз. Данные ветрогенерации 50 45 40 35 30 Факт 25 Модель Брауна Линейный тренд 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рисунок 16: Ряд данных, прогнозирование которого методом Брауна даёт не самые хорошие результаты Стоит заметить, что этот участок можно было бы спрогнозировать и простой линейной функцией — в таком случае был бы получен более точный прогноз. Однако если рассмотреть этот ряд данных далее, то мы поймём, что эта тенденция носит временный характер и затем меняется (рисунок 17). Очевидно, что мы имеем дело с эволюционным процессом и для его прогнозирования не корректно применять стандартный эконометрический инструментарий. Отсюда у прогнозистов и эконометристов и появилась идея: раз тенденции меняются во времени, то, используя принцип Брауна, можно адаптировать эти тенденции к фактическим данным. Так стали появляться различные модификации метода Брауна, которые предполагают наличие каких-либо тенденций в рядах данных. К ним относятся: • Модель Холта — модель с линейной функцией, • Модель Холта-Уинтерса — модель с линейной функцией и мультипликативной сезонной составляющей, • Модель Тейла-Вейджа — модель с линейной функцией и аддитивной сезонной составляющей, • Обобщённая модель Брауна — модель с любой выбранной прогнозистом тенденцией. 46 Данные ветрогенерации 50 45 40 35 30 25 Факт 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Рисунок 17: Ряд данных по ветрогенерации Общая идея всех этих моделей заключается в априорном задании функций, описывающих те или иные тенденции и последующей адаптации этих функций к рядам фактических данных. Однако мы уже как-то говорили о том, что априорное задание каких-либо предположений часто ограничивает модель. Этот принцип находит отражение и в этих моделях. Рассмотрим для начала модель Холта. Идея модели заключается в том, что в имеющемся ряде данных исследователь предполагает наличие тенденции к росту или снижению, которая может быть описана линейной функцией: Y T τ =aT τbT . (3.2.5) Прогноз, соответственно, можно сделать на τ шагов вперёд. Коэффициенты пересчитываются на каждом наблюдении по формулам: a T =α 1 Y T  1−α 1  a T −1 bT −1  , (3.2.6) bT =α 2  a T −a T −1   1−α 2  b T −1 , (3.2.7) В формуле (3.2.6) Y – фактическое значение, aT-1 и bT-1 – коэффициенты на предыдущих наблюдениях. α1 – первая постоянная сглаживания. Фактически в правой части (3.2.6) представлено расчётное значение с τ=1. В формуле (3.2.7) первая часть представляет собой фактически первую разность между «уровнями» модели, характеризующую пересчитанное значение коэффициента b. α2 – вторая постоянная сглаживания. В итоге модель Холта представляет собой систему трёх формул: 47 { Y T τ =a T τbT a T =α 1 Y T  1−α 1  aT −1b T−1  bT =α 2  a T −a T −1 1−α 2  bT −1 (3.2.8) Очевидно, что для того чтобы построить модель Холта и начать расчёты, требуется задать начальные значения a0 и b0. Совершенно естественно, что эти коэффициенты влияют на прогнозные свойства построенной модели. Однако никакого совершенного механизма оценки параметров для прогноза не существует. Коэффициенты модели можно рассчитать, используя метод наименьших квадратов, по всему ряду наблюдений, по какой-то его части, задать на основе экспертных суждений – вариантов много, никакого одного единственно верного принципа не существует. Таким образом, при построении модели Холта прогнозист вынужден подбирать не только оптимальные постоянные сглаживания, но ещё и выбирать принцип задания коэффициентов модели (3.2.5), благодаря которому можно было бы получить наиболее точный прогноз. В существующей теории и практике социально-экономического прогнозирования значения постоянных сглаживания ограничиваются пределами от 0 до 1. Если в модели Брауна, разработанной для прогнозирования некоторого изменяющегося во времени показателя ограничения на постоянную сглаживания логично следовали из предпосылок самой модели, поскольку она представляла собой среднюю взвешенную ряда, то в модели Холта (как и во многих других модификациях метода Брауна) такое ограничение не вытекает из свойств модели. Это возможно только в том случае, когда есть основания априорно предполагать, что коэффициенты линейного тренда меняются во времени относительно некоторого постоянного уровня, это – во-первых, и они не зависимы друг от друга, это – во-вторых. Весьма часто прогнозист может предполагать, что на определённом промежутке времени значения коэффициентов модели меняются относительно некоторого своего уровня. Но независимость коэффициентов a и b не выполняется никогда: в (3.2.8) при расчёте коэффициента a используется значение коэффициента b, а при вычислении коэффициента b напрямую используется коэффициент a. Поскольку каждый из коэффициентов вычисляется с помощью собственного значения постоянной сглаживания, получается, что постоянная сглаживания α1 влияет на постоянную сглаживания α2 и наоборот. Это говорит о том, что использование классических пределов на области изменения постоянных сглаживания в методе Холта является необоснованным. К сожалению, на данный момент нет ни одного чёткого обоснования границ, в которых должны лежать постоянные сглаживания в модели Холта, поэтому единственным разумным ограничением будет принадлежность коэффициентов к области действительных чисел: 1 , 2 ∈ℝ (3.2.9) В наше время решение задачи выбора постоянных сглаживания не представляет особой сложности, так как практически любой программный продукт (MS Excel, MathCad, Mathemathica) позволяет подобрать коэффициенты любой модели, используя численные методы с каким-либо условием (например, минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений от расчётных). 48 Эта особенность с ограничениями коэффициентов характерна не только для модели Холта, но и для всех других модификаций метода Брауна, в которых используется несколько постоянных сглаживания. Ещё одним существенным недостатком модели Холта является допущение о том, что ряд данных имеет некоторую тенденцию к линейному росту либо к линейному снижению, изменяющуюся во времени. На практике это допущение выполняется не часто – линейные тенденции роста показателя сменяются участками нелинейной динамики, которая вновь приобретает характер линейного тренда. В таких ситуациях модель Холта даёт посредственные прогнозы – нередко получается так, что прогноз, полученный по простой модели Брауна, оказывается более точным, нежели прогноз по модели Холта. Итак, у модели есть ряд преимуществ и недостатков. К преимуществам можно отнести: 1. Модель позволяет давать более точные прогнозы в случаях с ярко выраженными линейными тенденциями; 2. Модель позволяет делать прогнозы на несколько шагов вперёд; К недостаткам относятся: 1. Выбор двух постоянных сглаживания и первоначальных значений коэффициентов линейного тренда вызывают сложности; 2. В случае с рядами, не имеющими линейные тенденции, метод даёт результаты сопоставимые с методом Брауна, а иногда и хуже; На рисунке 18 показано, какой получается модель Холта при прогнозировании продаж гибридных автомобилей. Можно заметить, что поведение модели очень сильно напоминает модель Брауна, предположения, положенные в основу модели себя не оправдывают — в мире всё слишком динамично и подвержено изменениям. Оптимальные постоянные сглаживания для модели Холта получились 1=0,905 , 2=−0,04 . Ошибки аппроксимации и прогнозы оказались сопоставимыми с ошибками в модели Брауна: A f =9,30 % , A s=8,06 % , R2=0,73 , C=92,20 % , B=0,1640,088i однако для построения модели пришлось затратить больше времени. Следующая модель – модель Холта-Уинтерса. Дело в том, что идея с заданием тенденций и их адаптацией понравилась прогнозистам, но при этом не всегда давала хорошие результаты. В частности, как вы знаете, в экономике не редки процессы, повторяющиеся во времени. Например, сезонные продажи либо сезонные посещения Интернет-сайтов. Совершенно естественно, что в таких условиях появляется желание эту «циклическую» составляющую вычленить и использовать в прогнозировании. Уинтерс к модели Холта как раз и добавил эту составляющую. Фактически модель представляет собой известную нам с вами систему уравнений Холта, но с некоторыми модификациями. Рассмотрим их. 49 Факт Мировые продажи гибридных автомобилей Модель Холта Модель Холта 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 янв.05 апр.05 июл.05 окт.05 янв.06 апр.06 июл.06 окт.06 янв.07 апр.07 июл.07 Рисунок 18: Прогнозирование продаж гибридных автомобилей с помощью модели Холта (3.2.8) На периоде подготовки к «запуску» в модели рассчитываются сезонные составляющие. Как это сделать? Рассмотрим следующий пример (см. рисунок 19). В этом ряду прослеживается некоторая цикличность, которая лучше заметна, если по всему ряду построить линейный тренд. Но как же лучше эту цикличность учесть? Можно попытаться добавить к тренду синусоиду, однако это хлопотно и затратно. Проще рассчитать «сезонные коэффициенты», представляющие собой отклонения фактических значений от линейного тренда. Рассчитать их можно через разность либо через отношения. В случае с первым методом мы получаем модель Тейла-Вейджа — модель с аддитивной сезонной компонентой. Во втором случае мы имеем модель Холта-Уинтерса. Сезонные коэффициенты в таком случае рассчитываются по формуле: ct= Yt Y (3.2.10) t В результате этих расчётов у исследователя получается ряд данных по сезонным составляющим ct, которые далее и используются в прогнозировании. Прогнозируемое значение считается по формуле: Y T τ = a T τbT  cT − sτ , (3.2.11) здесь s – лаг цикличности. То есть, если мы выяснили, что в нашем ряде данных по месячным продажам гибридных автомобилей эта самая цикличность проявляется, например, каждый год, то s=12. Коэффициенты a и b рассчитываются по следующим формулам: 50 a T =α 1 YT  1−α1  aT −1bT −1  , c T− s  bT =α 2  a T −a T −1   1−α 2  b T −1 . 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Рисунок 19: Пример ряда с циклической составляющей Коэффициент c пересчитывается на каждом шаге по формуле: c T =3   YT 1− 3  cT −s . aT То есть в итоге мы приходим к системе, похожей на модель Холта с некоторыми добавлениями: { Y T τ =aT τbT c T −sτ Y a T =α 1 T  1−α1  aT −1b T −1  cT − s bT =α 2  a T −a T −1  1−α 2  b T −1 Y c T =3  T 1−3 c T −s aT (3.2.12) Для модели Холта-Уинтерса так же, как и для модели Холта любое ограничение коэффициентов не имеет никакого обоснования, поэтому действует единственное разумное: 1 , 2 , 3 ∈ℝ . Естественно, что модель Холта-Уинтерса обладает всеми теми же недостатками, что и модель Холта, но к ним ещё можно добавить то, что для построения модели вначале 51 нужно вычислить ряд с сезонными коэффициентами, а потом его «оттестировать» (нужен участок, на котором можно было бы подобрать третью постоянную сглаживания). То есть для модели требуется собрать больше данных: для прогноза одного участка, нужно как минимум ещё три не меньших по размерам. Преимущества модели Холта-Уинтерса: 1. Модель позволяет давать более точные прогнозы в случаях с ярко выраженными линейными и циклическими тенденциями; 2. Модель позволяет делать прогнозы на несколько шагов вперёд; Недостатки: 1. Большая «подготовительная работа», для которой требуется большой ряд данных. В частности, если постоянные сглаживания подбираются автоматически по какому-нибудь критерию (например, минимум СКО), то нужно 3 части ряда: по первой части строится линейная функция и вычисляются сезонные коэффициенты, по второй строится модель и пересчитываются сезонные коэффициенты и только по третьей части можно рассчитать постоянные сглаживания (из-за лага сезонности s адаптированные сезонные коэффициенты включаются в модель только на этом участке); 2. Выбор трёх постоянных сглаживания и первоначальных значений коэффициентов линейного тренда вызывают сложности; 3. Нет ничего более постоянного, чем перемены: циклические составляющие существенно меняются во времени; Для нашего ряда по продаже гибридных автомобилей модель Холта-Уинтерса даёт следующий прогноз (см. рисунок 20). Оптимальные постоянные сглаживания в нашем случае получились 1=0,181 , 2=0,183 , 3=1,168 . Ошибки аппроксимации и прогнозы оказались выше ошибок в предыдущих моделях: A f =12,35% , A s=10,14 % , R2=0,73 , C=90,14 % , B=0,1490,120i . Можно заметить, что хоть в целом модель формально оказалась хуже модели Брауна и Холта, но в нескольких случаях она лучше аппроксимировала исходный ряд данных, а прогноз дала всё-таки лучше, чем по моделям Брауна и Холта. Уже упомянутая выше модель Тейла-Вейджа математически выглядит следующим образом: { Y T τ =a T τbT c T −sτ a T =α 1 Y T −c T− s 1−α 1  a T −1bT −1 bT =α 2  a T −a T −1 1−α 2  bT −1 c T =3 Y T −aT 1−3 c T −s (3.2.13) Единственное отличие этой модели от модели Холта-Уинтерса заключается в том, как учитываются и рассчитываются сезонные коэффициенты: c T =Y T −Y T  (3.2.14) 52 Некоторые исследователи утверждают, что модель Тейла-Вейджа для некоторых рядов данных (в частности, для рядов, в которых не происходит резких изменений) даёт результаты лучше, чем модель Холта-Уинтерса. Однако эта информация не очень хорошо проверена и по результатам многочисленных построений модели на практике складывается ощущение о том, что модель по своим свойствам идентична модели ХолтаУинтерса и практически всегда даёт такой же прогноз. Мировые продажи гибридных автомобилей Модель Холта-Уинтерса Факт Модель Холта-Уинтерса 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 янв.05 апр.05 июл.05 окт.05 янв.06 апр.06 июл.06 окт.06 янв.07 апр.07 июл.07 Рисунок 20: Прогнозирование продаж гибридных автомобилей с помощью модели Холта-Уинтерса Стоит заметить, что в случаях, когда мы имеем дело с системами с большим периодом инерционности, предположения, положенные в основу модификаций модели Брауна, действительно могут выполняться, и тогда прогноз, получаемый по этим моделям оказывается более точным, нежели прогноз по любой другой модели. Метод стохастической аппроксимации (МСА) Очевидно, что в необратимых процессах имеются как незначительные отклонения от тех или иных тенденций, вызванные влиянием различным неучтённых факторов или просто ошибками, так и систематические отклонения, вызванные изменением самой структуры процесса. Совершенно естественно, что если модель будет относиться к ним одинаково, то прогнозные свойства её будут не идеальными. Именно это мы видели на примере различных модификаций метода Брауна: коэффициенты корректировались на каждом шаге под фактические данные, без учёта характера этих данных. Метод стохастической аппроксимации позволяет разрешить эту вопиющую несправедливость. Рассмотрим, как можно применять метод на примере линейной функции: Y t =abx t . (3.2.15) 53 Если перед исследователем стоит задача использования метода стохастической аппроксимации для нелинейных функций, то их надо вначале просто привести к линейному виду (путём линеаризации или подстановки), после чего уже применять метод. Предположим, что мы уже нашли коэффициенты модели, например, с помощью того же МНК либо по всему ряду данных, либо по какому-нибудь первому участку. В случае с МСА (в отличие от метода Брауна и его модификаций) особой разницы, каким образом были найдены коэффициенты нет. От полученной линейной функции имеются некоторые отклонения, часть из которых характеризует случайную (или неопределённую) составляющую, другая часть — систематические отклонения, вызванные структурными изменениями. Как их отделить друг от друга? В МСА заложен следующий механизм. Исследователь задаёт величину η, характеризующую границы, в которых должны лежать отклонения (своеобразный доверительный интервал): нижняя граница характеризуется величиной Yˆt − η , (3.2.16) верхняя — Ŷt + η . (3.2.17) Далее на каждом шаге оценивается, попало ли фактическое значение в этот интервал или нет. Если оно оказывается между (3.2.16) и (3.2.17), то модель не имеет смысл адаптировать. Если же она выходит за эти пределы, значит модель нужно каким-то образом адаптировать. Математически это можно формализовать следующим образом. На каждом шаге рассчитывается величина отклонения фактических значений от расчётных (ошибка): ε t=Y t −Y t . (3.2.18) На каждом же шаге полученная величина сравнивается с заданной исследователем η. Если оказывается, что |ε t | ≤ η , то пересчитывать модель нет смысла. Если же |ε t | > η , то мы модель должна адаптироваться. Однако для начала надо понять, как рассчитать значение ε t . Для этого, как мы уже заметили, нужно отнять от фактического значения Y расчётное значение. В случае с линейной моделью (3.2.15), имеем: ε t = Yt − Yˆt = Yt − bxt − a . (3.2.19) Выразим теперь значения коэффициентов a и b через остальные параметры модели: a=Y t −b x t , b= Y t −a . xt (3.2.20) (3.2.21) В случае, если в формулу (3.2.20) подставить фактические значения Y, то будем иметь следующую величину отклонения: Yt − bxt − a = ε t . (3.2.22) 54 Если в формулу (3.2.21) подставить фактические значения, то величина отклонения будет следующей: Y t −a Y −a−bx t ε t −b= t = . xt xt xt (3.2.23) То коэффициент a будет в себе содержать ошибку ε t , а коэффициент b — ошибку εt . Значит для того, чтобы адаптировать модель, нужно модифицировать её xt коэффициенты на соответствующие величины ошибок. Это можно сделать следующим образом: a t+1 =a t +γ t ε t , b t+1 =bt +γ t εt , xt (3.2.24) где γt - параметр демпфирования колебаний. В зависимости от того, каким образом мы задаём γt , модель у нас либо быстро, либо медленно адаптируется к новым условиям. То есть коэффициент демпфирования колебаний характеризует степень адаптации коэффициентов модели. Существуют разные варианты задания γt . Из самых простых можно выделить два: 1. γt можно задать постоянным для всего ряда (по аналогии с постоянной сглаживания в модели Брауна): γ t = Тогда модель всегда будет меняться на какую-то фиксированную величину; 2. γt можно рассчитать по формуле: γ t = ∣ ∣ 1 ∣ε t∣− , где m – количество m εt коэффициентов модели. В таком случае модель каждый раз будет подтягиваться своей крайней границей к фактическому значению; 3. γt можно рассчитать по смешанной формуле, учитывающей оба эти варианта: 1 ∣ε t∣− γ t = . Тогда модель будет подтягивать не границы к фактическим m εt ∣ ∣ значениям, а какие-то значения внутри интервала (например, сами точечные значения). Правда, в таком случае она становится более чувствительной к случайным отклонениям. Модель стохастической аппроксимации очень тяжело выразить системой уравнений в общем виде, но в частном случае (с линейной функцией с одним фактором и вторым принципом задания γt ) она может быть выражена следующим образом: Y t 1=a t bt x t , ε t=Y t −Y t 55 { a t =a t−1 , если ∣ε t∣ , b t=a t−1 и { at =a t −1γ t ε t γε bt =at −1 t t x t , если ∣ε t∣ . 1 ∣ε t∣− γt = m εt ∣ ∣ Преимущества модели Стохастической аппроксимации: 1. Модель позволяет описать любую тенденцию — для этого достаточно выбрать первоначальную функцию вместо (3.2.15) и вывести формулы для пересчёта коэффициентов модели; 2. Модель позволяет описывать многофакторные зависимости (а не только зависимость от времени, как модификации метода Брауна); 3. Модель даёт хорошие прогнозы в случае со среднесрочным прогнозированием, так как «отсеивает» шумы и адаптируется только к существенным изменениям тенденций. Недостатки: 1. Нет никакого алгоритма задания величины  — его значение выбирается полностью на основе экспертных оценок; 2. Модель громоздка. Причём, чем больше в ней факторов, тем больше она требует расчётов; 3. Нет никакого обоснования того, каким образом должны рассчитываться первоначальные значения коэффициентов; Рассмотрим на нашем примере, как будет выглядеть модель, построенная по МСА (рисунок 21). =9,84 , γt задан по смешанной формуле. 56 Факт МСА Мировые продажи гибридных автомобилей Метод стохастической аппроксимации ^Y-η ^Y+η 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 янв.05 апр.05 июл.05 окт.05 янв.06 апр.06 июл.06 окт.06 янв.07 апр.07 июл.07 Рисунок 21: Прогнозирование продаж гибридных автомобилей с помощью метода стохастической аппроксимации По рисунку 21 видно, как модель аппроксимирует ряд данных: важно не то, чтобы расчётные значения были как можно ближе к фактическим, а то, чтобы фактические попадали в заданный исследователем интервал. Из-за этого у модели в нескольких местах появляется систематическое завышение или занижение, однако, это и неважно в случае, если нас интересует интервальный прогноз. Вообще же в нашем примере точность прогноза по модели стохастической аппроксимации оказалась сопоставимой с точностью прогноза по модели Холта-Уинтерса. 57 Тема 4. Финансовая математика 4.1. Основные термины и принципы финансовой математики В нашем мире получение дохода является одной из важнейших целей любой осознанной деятельности. Люди работают для того, чтобы получать доходы, организации создают продукцию и предоставляют услуги для того, чтобы получать доходы – всё в мире крутится вокруг доходов. Совершенно естественно, что в таких условиях есть множество различных инструментов по использованию и приумножению полученных денег. Деньги могут быть направлены на выплату дивидендов собственникам предприятия или владельцам акций, могут пойти на инвестиции. Первая часть обеспечивает текущие потребности собственников, вторая же служит для больших доходов и обеспечивает отложенные потребности. Вообще как в случае юридического, так и физического лица, любой доход распределяется на потребление и сбережение. Деньгами, которые направлены на «сбережение» можно распорядиться по-разному. Например, их можно просто хранить в чулке, под подушкой, но тогда из-за инфляции и различных экономических факторов реальная стоимость денег будет всё время уменьшаться и от такого вида сбережения потребитель только проиграет. Другой вариант – положить деньги на счёт в банке. Тогда, при прочих равных условиях, реальная стоимость денег будет возрастать. Ещё один вариант – это вложение в ценные бумаги. Это более рискованный вариант, но и потенциально более выигрышный, нежели в случае с перечислением на счёт в банке. Ещё более рискованный и более потенциально выигрышный вариант – вложение в какой-либо проект с целью получить доход в будущем, когда проект уже будет осуществлён. В общем, вариантов вложений средств много и зачастую выбрать наилучший из возможных бывает крайне непросто. Но в любом случае все варианты вложения денег характеризуются тремя обстоятельствами, которые лежат в основе многих моделей финансовой математики: 1. Предполагается отказ от текущего в пользу будущего. Это означает, что момент вложения денежных средств и момент получения их назад разнесены во времени. Причём промежуток времени может измеряться как в днях или месяцах (например, в случае, если деньги даются в долг), так и в годах или даже десятилетиях (например, в случае с вложением средств в пенсионный фонд). В любом случае такой промежуток времени существует. 2. Отказ от текущего потребления во имя будущего должен окупаться. Другими словами подразумевается, что результаты вложений окажутся больше, чем сами вложения. Величина, на которую они отличаются как раз, и будет оценкой приносимой жертвы. Таким образом, поговорка «время – деньги» принимает достаточно конкретный смысл. Разные варианты вложений могут дать разную денежную оценку этому промежутку времени. 3. Всякое вложение связано с риском. Иногда этот риск весьма мал, иногда он достаточно велик. Например, в случае с вложением в государственные ценные бумаги риск не возврата крайне мал. Только серьёзный экономический или политический кризис может быть причиной не выплаты суммы денег. А в случае с акциями негосударственных предприятий риск значительно больше, так как цена 58 акций очень сильно зависит даже не от состояния компании, а от ожиданий участников торгов. 4. Риски должны окупаться. Чем больше риск, тем больше должен быть потенциальный выигрыш. Акции негосударственных компаний, например, являются более рискованным методом вложения денег, но и потенциальный выигрыш от вложения денег в них значительно больше, чем в случае с государственными ценными бумагами. Таким образом, расставаясь с некой частью своего дохода, предприятие или человек с определённой степенью уверенности рассчитывает вернуть вложенные средства через определённый промежуток времени вместе с определённым вознаграждением, зависящим от времени и рискованности вложения. В финансовых расчётах вознаграждение, получаемое в связи с вложением денежных средств, называется «процентами». Проценты – это прибыль от предоставления капитала в долг в какой-либо форме. Отношение этой прибыли к величине вложенных средств называется процентной ставкой. То есть процентная ставка – это отношение процентов, полученных за единичный период, к величине вложенных средств. В финансовых расчётах обычно используются две формы выражения процентной ставки. Одну и ту же величину, например, пятипроцентную, можно представить как 5% либо как 0,05. В финансовых вычислениях чаще используют вторую – форму десятичной дроби, однако первая форму в ряде случаев является более наглядной. В различных операциях, так или иначе связанных с процентами, выделяют два вида операций: 1. Наращение процентов – увеличение суммы процентов, подлежащих выплате; 2. Начисление процентов – перечисление наращенных процентов на счёт. Наращение и начисление процентов происходит, как правило, с некоторой периодичностью (раз в месяц, раз в квартал, раз в год). В таких случаях говорят о дискретных процентах. Иногда проценты начисляют каждый день, а в некоторых случаях даже чаще. Тогда говорят о непрерывных процентах. В большинстве случаев на практике используется экономический анализ с использованием дискретных процентов. Интервал времени, в течение которого увеличивается сумма процентов, называется периодом наращения. Процентная ставка используется не только как измеритель доходности непосредственного денежного вложения, но и как показатель эффективности различных финансовых, производственно-хозяйственных и коммерческих операций. Её применяют и тогда, когда непосредственного вложения денег в явном виде в операции не присутствует. Существуют различные методы начисления и выплаты процентов. Обычно проценты присоединяются к сумме вклада и выплачиваются по окончании периода начисления. В 59 некоторых случаях проценты выплачиваются регулярно до окончания срока вклада (например, вклад на год, а выплата процентов осуществляется каждый месяц). Иногда проценты начисляются и выплачиваются в начале операции. То есть вкладчик получает проценты не в конце срока, а в самом начале. По сути можно сказать, что он вкладывает не полную сумму, а только часть её, а к концу получает всю. В таких случаях процентную ставку называют учётной ставкой. Примером такого вклада может выступать дисконтный вексель. Ставка процентов, по которой осуществляется расчёт, может применяться к одной и той же сумме в течение всего срока. В таком случае она называется «простой процентной ставкой». Однако возможна и другая ситуация, когда ставка применяется не только к первоначальной сумме, но и к сумме процентов, то есть, когда проценты присоединяются к сумме вклада (происходит капитализация). В таком случае говорят о «сложной процентной ставке». Обычно ставка в течение действия договора не меняется, а меняется только сумма, на которую начисляются проценты. Однако в условиях договора могут использоваться и т.н. плавающие процентные ставки. Плавающая процентная ставка – процентная ставка по кредитам, размер которой периодически пересматривается через согласованные промежутки времени. Чем раньше вкладчик вернёт свои средства или хотя бы часть их, тем раньше он сможет воспользоваться ими, тем ему выгодней при прочих равных условиях. Отказываясь от своих средств на более длительное время, вкладчик приносит большую жертву. Заинтересовать вкладчика в более длительном сроке, нежели в коротком, сложнее. Поэтому процентная ставка при вкладах на длительный срок больше. При выплате процентов в конце ставка бывает выше, чем при периодических выплатах. Например, плавающие процентные ставки обычно используются в синдицированных кредитах (среднесрочный кредит, предоставляемый международным консорциумом банков). В финансовой математике обычно принимают следующие обозначения: P – начальная величина денежной суммы, S – конечная величина денежной суммы, i – процентная ставка, d – учётная ставка, t – срок вклада или ссуды. В каждой конкретной формуле ставка (i или d) и время t предполагаются соразмерными. Это означает, что, если ставка годовая, то и время t измеряется в годах, а если ставка месячная, то и t должно измеряться в месяцах. Отношения между S и P могут быть обозначены следующим образом. Величина S называется наращенной величиной суммы P. В свою очередь величина P также может называться современной (или приведённой) величиной суммы S. 60 Операция определения наращенной суммы S по начальной сумме P называют компаудингом. Обратную операцию, определение приведённой величины P по наращенной S, называют дисконтированием. В случае с компаудингом разница S – P = I называется процентами или процентными деньгами. В случае с дисконтированием разница S – P = D называется дисконтом. S называется коэффициентом роста и показывает во сколько раз P будущая сумма превышает первоначальную величину вклада. Отношение Стоит отметить, что наряду с этими обозначениями в финансовой литературе встречаются и другие обозначения: • величину денежной суммы P также обозначают двухбуквенным «PV» (Present Value), • конечную величину денежной суммы S обозначают «FV» (Future Value). 61 4.2. Модели расчетов с простыми и сложными ставками Простые проценты Рассмотрим следующую ситуацию: на банковский счёт по вкладу «для бедняков» положено 100 рублей на 3 года под 15% годовых. Это означает, что в конце первого года первоначальная сумма вырастет до величины: 100 + 100 * 0,15 = 115 рублей, в конце второго года сумма возрастёт до 115 + 100*0,15 = 130 рублей, в конце третьего – до 130 + 100*0,15 = 145 рублей. Прирост суммы за 3 года составляет 45 рублей. Такой рост суммы вклада, когда процентная ставка каждый год применяется к первоначальной величине вклада, соответствует, как мы уже разобрали ранее, использованию простой процентной ставки. Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть P — первоначальная сумма вклада, S — конечная сумма (вместе с начисленными процентами). Тогда разность I между S и Р, I =S – P , (4.2.1) определяет процент за весь срок вклада. Эта величина, как мы видели, складывается из одинаковых частей: каждая часть соответствует своему году. Пусть вклад вложен под i процентов на t лет. Тогда процентные деньги I являются суммой t одинаковых слагаемых, каждое из которых равно P⋅i, то есть I =P ⋅ i ⋅t (4.2.2) Таким образом, S=P I = PP ⋅ i⋅ t=P 1it  . (4.2.3) Формула (4.2.3) называется формулой простых процентов и позволяет вычислить конечную сумму денег через ее начальную сумму Р и процентную ставку i при любом числе лет t. Более того, эта же формула годится и для нецелого числа лет. Например, для определения конечной суммы с процентами через полтора года вместо t следует подставить 1,5. Для определения этой суммы через один месяц вместо t следует подставить 1/12. То есть вместо целочисленной величины можно использовать произвольное положительное действительное число t. Если представить зависимость суммы вклада по простым процентам от времени, то мы увидим, что она растет линейно (рисунок 22). Прямая, описываемая функцией (4.2.3) начинается в точке P на вертикальной оси. Угол наклона прямой, то есть крутизна роста, определяется произведением двух величин: начальной суммы вклада P и процентной ставкой i. Чем больше каждая из этих величин, тем больший прирост получает вклад за единицу времени (например, за один год). 62 S γ=arctg(Pi) P t Рисунок 22: Изменение суммы вклада во времени при фиксированной процентной ставке Плавающие ставки по простым процентам Ранее мы уже упомянули, что в договоре может быть прописано условие изменения процентной ставки меняется во времени. Рассмотрим эту ситуацию. Пусть на первом промежутке времени t1 ставка равна i1, на t2 — i2, на t3 — i3. Первый промежуток начинается в момент 0 и заканчивается в t1, второй — начинается в t1, заканчивается в t2, третий — начинается в t2, а заканчивается в t3. И так далее. График роста по такой переменной процентной ставке представляет собой уже не прямую, а ломанную линию (рисунок 23). S P t1 t1 + t2 t1 + t2 + t3 t Рисунок 23: Изменение суммы вклада во времени при простой плавающей процентной ставке Величина вклада к концу последнего промежутка в таком случае составит: 63 S= P 1i 1 t 1i 2 t 2...i n t n =P 1∑ i k t k  (4.2.4) k Естественно, если перед аналитиком имеется несколько вкладов с постоянными и плавающими процентными ставками, возникает вопрос, как их сравнить и сделать выводы о выгодности тех или иных вкладов. Для этого иногда пользуются средними процентными ставками. Обозначим через T общий срок вклада по переменной процентной ставке: T =∑ t k (4.2.5) k а через τk — долю соответствующего промежутка в общем сроке: τ k= tk T (4.2.6) Тогда средняя процентная ставка может быть найдена по формуле: i=∑ k ik tk =∑ i k τ k T k (4.2.7) Согласно формуле средняя процентная ставка i является средневзвешенной ставок ik, причем в качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада. Весовые коэффициенты удовлетворяют условиям: ∑ τ k =1 k , при всех τ k ∈0 ; 1 . Процентные ставки для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом. В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля 1 каждого из них равна , и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю n арифметическую: ∑ ik i= k n . Пример. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 — 1 год, промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада T соответственно равен 5 годам. Соответствующие годовые процентные ставки: i1 = 40%, i2 = 60%, i3 = 20%. Определим среднюю процентную ставку i. Найдем доли промежутков 64 времени: τ1 = 0,3, τ2 = 0,2, τ3 = 0,5. Тогда средняя ставка будет равна: i = τ1⋅i1 + τ2⋅i2 + τ3⋅i3 = 0,3⋅0,4 + 0,2⋅0,6 + 0,5⋅0,2 = 0,34. Мы получили, что средняя ставка в нашей задаче составляет 34% годовых. Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средняя ставка оказалась бы равна среднему арифметическому ставок, то есть 40% годовых. Учёт нецелых периодов наращения в банковском секторе Чаще всего при анализе проектов или вкладов пользуются годовыми процентными ставками. И, например, в банковском секторе при расчёте того, сколько процентов нужно выплатить или получить, частенько встаёт вопрос точности расчётов. Ведь, вклад может быть сделан не ровно на год, а на несколько месяцев или, например, на год и неделю. В таких случаях формула простых процентов должна быть модифицирована так, чтобы можно было учитывать эту долю года, на которую сделан вклад:  S= P 1i δ K  , (4.2.8) где δ — количество дней вклада, K — количество дней в году (временная база). В банковском секторе есть несколько методов расчёта доли года, в зависимости от временной базы. Так может считаться, что в году 360 дней (банковский год), тогда получают «обыкновенные» или «коммерческие» проценты. Если считают, что в году фактическое число дней (то есть 365 или 366), то получают «точные» проценты. В России внутри страны обычно используются точные проценты, а вот в международных отношениях — частенько коммерческие. В ряде случаев временная база берётся фиксированной в 365 дней, но такие сделки в российском банковском секторе встречаются нечасто. Рассмотрим на следующем примере разницу в расчёте процентов с разной временной базой. Пусть величина нашего первоначального вклада P составляет 100 у.е.. Процентная ставка — i = 15%, Временной промежуток — d = 180 дней, Рассчитаем проценты для двух случаев: 1. Коммерческих процентов, K = 360, 2. Точных процентов, K = 365, В первом случае имеем:  S 1=100 10,15 ⋅  180 =100 10,075=107,5 360 65 Во втором случае сумма получится иной:  S 2=100 10,15⋅  180 ≈100 10,0739=107,39 365 Разность в итоговых суммах составит S 1−S 2 =0,11 . В случае, если речь идёт о небольшом вкладе, эта разница не является существенной, ей можно пренебречь. Однако, если речь идёт о вкладах в размере 100 млн. рублей, то разница в 110 тыс. рублей уже становится ощутимой. Более того, этот разрыв увеличивается со сроком, на который сделан вклад. Однако самые сложные вычисления в банковском секторе связаны с расчётами точных процентов по вкладам на стыке високосного и не високосного годов, ведь в таком случае не понятно, что брать за базу: 365 или 366 дней. Так, например, в случае, когда t0 = 01.09.2007, а t1 = 01.03.2008, корректная формула расчёта точных процентов будет иметь вид:  S=100 10,15  31.12.2007 – 01.09.2007 01.03.2008 – 31.12.2007  365 366  . Кроме того, в банковских расчётах важную роль также играют условия вклада. Например, в условиях может быть оговорено, что в расчёте не должен участвовать первый либо последний день. В таком случае в формуле (4.2.8) в числителе к количеству дней может быть прибавлен или вычтен 1 день. В MS Excel есть функция для расчёта этой доли год. В русской версии она называется «=Долягода(t0, t1, a)». В английской версии - «=yearfrac(t0, t1, a)». Здесь t0 — дата начала вклада, t1 — дата окончания вклада, a — параметр, определяющий временную базу. Подробней о функции можно почитать в «Справке» к MS Excel. Функция, к сожалению, не учитывает разницу во временной базе при переходе от високосного года к не високосного, из-за чего итоговые значения точных процентов, рассчитанных по ней, оказываются некорректными. Простые учётные ставки Выше были приведены формулы, которые позволяют по начальной величине вклада P определить конечную сумму S. В финансовой практике часто возникает и обратная задача: по заданной конечной сумме S определить необходимую начальную величину Р. Такая задача возникает, например, при применении учетной ставки, когда проценты с суммы S удерживаются при выдаче кредита. Такая же задача возникает при получении платежных обязательств (например, векселей), расчет по которым будет производиться в будущем. Ранее мы уже упоминали о том, что такое дисконт D и операция дисконтирования. Стоит заметить, что дисконтирование используют не только в задачах, связанных с проведением той или иной конкретной финансовой операции (выдаче векселя, ссуды и т.п.). Оно имеет гораздо более широкий круг применения. Так дисконтирование фактически позволяет дать денежную оценку времени. В зависимости от целей дисконтирования используют две формулы расчета. Одна связана с математическим дисконтированием. Другая — с банковским учетом. При расчетах по математическому дисконтированию (при простой процентной ставке) исходят 66 из формулы (4.2.3). Эта формула выражает конечную сумму S через начальную величину Р, а значит из неё можно сразу получить выражение, определяющее начальную величину Р через конечную сумму S: P= S . 1it (4.2.9) 1 =m называется «дисконтный множитель». Формула (4.2.9) 1it называется формулой математического дисконтирования. Величина При расчётах по схеме банковского учёта используют другую формулу, выражающую начальную величину P через конечную сумму S: P=S 1−dt  (4.2.10) Здесь дисконтным множителем является величина m=1−dt , где d — учётная ставка. Стоит заметить, что величина t обычно представляет собой промежуток времени от момента вклада денег до момента их получения назад. Так, например, при расчёте реальной стоимости векселей t характеризует промежуток времени между моментом приобретения векселя и моментом его погашения. Чем ближе этот промежуток к нулю, тем ближе реальная стоимость векселя к его номинальной стоимости. Математическое дисконтирование точным и корректным образом связывает исходную и конечную величины, P и S. Зависимость дисконтного множителя от времени t при математическом дисконтировании графически представляется в виде ветви гиперболы, которая с увеличением t стремится к 0 (рисунок 24). Оно активно используется в теоретическом финансовом анализе, при оценке проектов, однако на практике, в коммерческих операциях, при покупке векселей и других платежных обязательств, используют схему банковского учета. Зависимость величины P в формуле (4.2.10) от времени имеет вид прямой линии, тангенс угла наклона которой равен Sd, то есть определяется учетной ставкой, взятой с противоположным знаком: чем больше ставка, тем больше угол наклона, тем быстрее будет погашено обязательство (рисунок 24). P S (4.2.10) (4.2.9) t Рисунок 24: Соотношение между математическим и банковским дисконтированием 67 Стоит заметить, что при расчёте реальной стоимости векселя по формуле (4.2.10) теоретически можно прийти к моменту времени, в котором его стоимость равна нулю, что в общем-то не имеет экономического смысла. Но на практике с такой ситуацией столкнуться невозможно, так как векселя имеют такие сроки погашения, для которых реальная сумма не может быть близка к нулю. Рассмотрим пример. Предположим, что нас интересует, какую сумму денег нужно вложить для того, чтобы через год получить 120 тыс. руб. при i = 20%. В таком случае получим по формулам (4.2.9) и (4.2.10): 1. математический учёт 2. банковский учёт - P= 120 120 = =100 , 10,2 1,2 P=120 1−0,2=120⋅0,8=96 . Фактически первая формула характеризует то, какую сумму мы должны положить на счёт, чтобы получить 120 тыс. руб., а вторая — какой вексель нам нужно купить: с номинальной стоимостью в 120 тыс. руб., реальною стоимостью в 96 тыс. руб., со ставкой 20%. Приведенные выше формулы позволяют определить срок вклада, величину процентной или учетной ставки через остальные характеристики условий вклада. Эти же формулы могут быть использованы и для других финансовых операций, в том числе и при заключении договоров о ссудах, кредитах. Для определения продолжительности кредита следует соответствующим образом преобразовать исходные формулы. Из формулы (4.2.3), определяющей характеристики кредита через процентную ставку i, получаем: t= S −P I = . iP iP (4.2.11) Фактически перед нами формула, числитель которой характеризует сумму процентов за весь срок сделки, а знаменатель — сумму процентов за один период. Их отношение как раз и даёт нам срок сделки. Из формулы (4.2.10), определяющей характеристики кредита через учетную ставку d, получаем: t= S −P D = . dS dS (4.2.12) В формуле (4.2.12) числитель аналогично формуле (4.2.11) характеризует сумму дисконта за весь срок сделки, а знаменатель — дисконт за один период. Их отношение также даёт срок действия сделки. В обеих расчетных схемах, и по процентной, и по учетной ставке, время кредита прямо пропорционально приращению средств (проценту или дисконту) и обратно пропорционально величине ставки (процентной или учетной). Аналогичным образом можно выразить величину ставки через остальные характеристики кредита. Для процентной ставки i получим: 68 i= S− P I = . tP tP (4.2.13) В формуле (4.2.13) в числителе представлена сумма процентов, наращенных за весь срок по некоторой ставке, а в знаменателе — фактически сумма процентов, которая могла бы быть наращена за этот же срок, если бы ставка i была равна 100%. Их отношение как раз даёт нам некоторую долю, соответствующую величине процентной ставки. А для учётной ставки d получим: d= S −P D = . tS tS (4.2.14) Толкование этой формулы может быть дано идентично толкованию формулы (4.2.13): в числителе представлен дисконт за весь срок по некоторой учётной ставке, а в знаменателе — фактически дисконт, который мог бы быть получен за этот же срок, если бы ставка d была равна 100%. Их отношение даёт нам долю, соответствующую величине учётной ставки ставки. Пример. Ссуда в размере 100 000 рублей выдана на условиях начисления простых процентов по годовой ставке 25%. Через какое время накопленная величина долга станет равна 150 000 рублей? Решение. По формуле (4.2.11) имеем: t= S −P 150000−100000 = =2 . iP 0,25⋅100000 Поскольку по условию задачи процентная ставка годовая, то и рассчитанное по формуле время выражено в годах. Таким образом ответ: через 2 года. Пример. По договору предусмотрено погашение кредита через 4 месяца в сумме 120 000 рублей. Первоначальная величина кредита составляет 100 000 рублей. Требуется определить величину годовой процентной ставки и величину годовой учетной ставки. Решение. Для начала надо перевести месячные периоды в годовые. 4 месяца составляют 1/3 года. По формулам (4.2.13) и (4.2.14) определяем: i= S− P 120000−100000 = =0,6=60 % , tP 1/3⋅100000 d= S −P 120000−100000 = =0,5=50 % . tS 1/3⋅120000 69 Таким образом, годовая процентная ставка i должна быть равна 60%, а годовая учетная ставка d — 50%. Другими словами, если кредит выдается на условиях его возврата с начисленными процентами, то исходные данные примера соответствуют 60%-й годовой ставке. Проверим правильность расчета. Действительно, за год по этой ставке к 100 000 рублей должны прибавиться 60 000, а за 4 месяца в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. Итоговая сумма составляет 120 000, что полностью соответствует исходным условиям примера. Если же кредит выводится на условиях удержания процентов в момент выдачи и возврата в конце срока самой суммы кредита без процентов, то исходные условия примера соответствуют 50%-й годовой учетной ставке. Проверим наш расчет. Действительно, по условиям примера сумма кредита в этом случае составляет 120 000 рублей. За годовой период с этой суммы по данной учетной ставке должно быть удержано 60 000, а за 4 месяца в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. В результате удержания этой суммы исходная величина кредита 120 000 рублей уменьшается до 100 000. Эту сумму и получает заемщик в полном соответствии с условиями примера. В приведённом примере процентная и учётная ставки, не совпадая по размеру, приводят к одному и тому же результату. Рассмотрим соотношение этих ставок в общем виде. К одному и тому же результату они приводят, когда выполняется равенство дисконтных множителей: m= 1 =1−dt , откуда следует: 1it d= i 1it или i= d . 1−dt (4.2.15) Как видим, расчёт ставок зависит от промежутка времени t. И ставки могут быть равны друг другу только в одном случае: когда t = 0. Никакого экономического смысла у такой ситуации нет (это означает, что кредит выдаётся и тут же возвращается обратно), поэтому обычно на практике простые процентная и учётная ставки не совпадают. Причём всегда выполняется соотношение: i > d. Сложные проценты В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после начисления, а присоединяются к сумме долга (такая операция называется капитализацией процентов), обычно вместо простых процентов пользуются сложными процентами. Обратимся к тому, как можно получить формулу для сложных процентов при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма вычисляется по той же формуле, что и для простых процентов с t=1: S 1=P 1i  . (4.2.16) 70 Однако к концу второго периода сумма уже будет несколько другой, так как происходит капитализация, в связи с чем проценты начисляются уже не на первоначальный вклад, а на наращенную за предыдущий год сумму: S 2=S 1 1i=P 1i1i= P 1i 2 . (4.2.17) В конце третьего периода, соответственно, будем иметь: S 3=S 2 1i=S 1 1i1i=P 1i1i1i=P 1i3 . (4.2.18) Мы видим, что по мере увеличения периода вклада, у нас увеличивается показатель степени, в который возводится первоначальный коэффициент роста  1i  . Тогда в общем виде формула для расчёта сложных процентов может быть записана: t S t =P 1i . (4.2.19) При этом так же, как и в случае с простыми процентами, если срок вклада представляет собой не целое число лет (а, например, 1,5 года), то вместо t подставляется соответствующее дробное число. Если при начислении по формуле сложных процентов в середине срока воспользоваться операцией реинвестирования, то есть снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает. Покажем это. Предположим, что вкладчик положил средства в размере 100 рублей на счет на условиях начисления сложных процентов по ставке в 15%. Через 2 года он снял деньги со счета и положил их вновь еще на 3 года. Тогда после первых 2 лет он получит сумму Q: Q=100 10,152=100⋅1,3225=132,25 . Затем эта сумма Q еще через 3 года превращается в новую сумму S: S=132,25 10,153=132,25⋅1,520875≈201,136 . Выражая конечную сумму S через первоначальную, получим: S=Q 1im= P 1ik 1im =P 1i km =10010,155≈100⋅2,01136=201,136 . Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р (в нашем случае — 100 рублей) на суммарное число периодов времени, равное k + m (2 + 3 = 5 лет). Аналогично тому, как мы выводили формулы для расчёта срока вклада и величины процентной ставки по простым процентам, мы можем из формулы (4.2.19) вывести формулу для расчёта этих величин. Для того, чтобы вычислить срок вклада по имеющимся первоначальной и конечной величине вклада, а также процентной ставки, нужно для начала линеаризовать выражение (4.2.19): ln S =ln P t ln 1i , откуда и получается формула для срока вклада: 71  S P . ln S −ln  P t= = ln 1i ln1i ln (4.2.20) Из (4.2.19) также легко выводится формула для вычисления процентной ставки: i=  t S −1 , P (4.2.21) Плавающие ставки по сложным процентам Ранее мы рассматривали ситуацию с плавающими процентными ставками для простых процентов, рассмотрим аналогичную ситуацию для сложных процентов. Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1, на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2 на третьем промежутке длиной t3 ставка равна i3, и так далее. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину. Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка тогда составит: n S= P 1i 1  1i 2 ...1i n  = P ∏ 1i k t . t1 t2 tn (4.2.22) k k =1 Графически эта ситуация может быть представлена кусочно гладкой функцией, составленной из показательных функций от времени (Рисунок 25). S P t1 t1 + t2 t1 + t2 + t3 t Рисунок 25: Изменение суммы вклада во времени при сложной плавающей процентной ставке Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке. Пусть, как и раньше, T - общий срок вклада по переменной ставке, T =∑ t k , k (4.2.23) 72 а τk — долю соответствующего промежутка в общем сроке: τ k= tk . T (4.2.24) Вообще, средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik, то результат расчета при этом не изменится. То есть: P 1i 1 t 1i 2 t ... 1i n t =P 1it 1it ... 1it = P 1i T . 1 2 n 1 2 n (4.2.25) Отсюда легко выводится формула для 1i — средней величины коэффициента роста за единицу времени: T t1 t2 P 1i =P 1i 1 1i 2  ...1i n tn , (4.2.26) 1iT =1i 1t 1i 2 t ...1i n t , 1 2 t1 n t1 T 1 tn T t2 t2 T 1i=1i 1 1i 2  ...1i n  =1i 1  1i 2  ...1i n τ1 τ2 τn τk 1i=1i 1  1i 2 ... 1i n  =∏ 1i k  k . tn T , (4.2.27) Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i будет находится по формуле: τk i=∏ 1i k  −1 . (4.2.28) k Согласно формуле (4.2.27) средний коэффициент роста 1i является средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли τk соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада. Так же, как и в случае с простыми процентами, коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом. В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля 1 каждого из них равна , и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю n геометрическую, n 1i =1i 11i 2 ...1i n  . Пример 3. Пусть по условиям договора первый год наращения суммы идет по ставке 15% годовых, затем еще полгода по ставке 14% годовых, а потом еще полгода по ставке 13% годовых. Тогда первоначальный вклад в размере 100 тыс. руб. через два года вырастет до величины S: S= P 1i 1 n 1i 2 n 1i 3n =100 00010,151 10,140,5 10,130,5≈130 523,73 1 2 3 73 Связь между простыми и сложными процентами Сравним теперь рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки. Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени t, начальная сумма составляет P. Переменной в данном случае выступает период времени t. Как мы выяснили ранее, для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных же процентов, как видно из формулы (4.2.19), она зависит от t по закону показательной функции. Графически это будет выглядеть так (Рисунок 26). По рисунку можно отметить следующие особенности: 1. Обе линии начинаются из точки, в которой t1 = 0: S 1=S 2=P 1i0=P 1i0=P . 2. На промежутке t 2 ∈0 ; 1 результат по простым процентам оказывается больше, нежели по сложным процентам, так как в случае со сложными процентами из коэффициента роста фактически вычисляется корень степени t2: t2 P 1i P 1i t 2  , 3. После этого следует точка t 3=1 , в которой, как мы заметили ранее, значения сумм совпадают: P 1it =P 1it =P 1i  , (4.2.19) S (4.2.3) P(1+i) P 1 t Рисунок 26: Сравнение роста конечный суммы вклада по простым и сложным процентам 4. Затем, на промежутке t 4 ∈1 ; ∞ сложные проценты дают больший рост суммы, чем простые: P 1it P 1it  . 74 На промежутке t4 график показательной функции лежит выше линейной функции, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения. В итоге, если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгодность возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами. Рассмотрим пример. Сделан вклад на сумму 100000 руб., под 15% годовых. Рассчитаем, какими будут значения наращенной суммы для разных промежутков времени в случае с простыми и сложными процентами. Возьмём 5 промежутков времени: t1 = 0, t2 = 0,5, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 10. 1. Для промежутка t1 имеем: S 1=P 1it=100000 10,15⋅0=100000 , t S 2= P 1i  =100000 10,15 =100000 . 2. Для промежутка t2: S 1=100000 10,15⋅0,5=100000 1,075=107500 , S 2=10000010,150,5≈1000001,072=107200 . 3. Для промежутка t3: S 1=100000 10,15⋅1=100000 1,15=115000 , 1 S 2=10000010,15 =100000 1,15=115000 . 4. Для промежутка t4: S 1=100000 10,15⋅2=1000001,30=130000 , S 2=10000010,152=100000 1,3225=132250 . 5. И, наконец, для промежутка t5: S 1=100000 10,15⋅10=100000 2,5=250000 , 10 S 2=10000010,15 ≈100000 4,0456=404560 . Рассмотрим ещё один пример. Filipp J. Fry в 1999 году имел на банковской карточке 93 цента. По условиям договора на его счёт начислялись небольшие проценты: 2,25%. После попадания в криогенную камеру и заморозки на 1000 лет, он обратился в свой банк для того, чтобы снять деньги. Сколько денег на счету Филиппа? Решение. Если предположить, что начисления происходили по простой процентной ставке, то имеем: S=0,9311000⋅0,0225=0,93⋅23,5=21,855 . 75 Но на самом деле начисления происходили по сложной процентной ставке, поэтому конечная сумма составит: S=0,9310,02251000=0,93⋅1,02251000≈4283508449,71 . Рассмотрим подробней связь между простыми и сложными процентами. Пусть iс — сложная процентная ставка, iп — простая процентная ставка. Тогда расчёты выполненные по этим ставкам будут давать одинаковый результат только в случае выполнения равенства соответствующих коэффициентов роста: 1i п t =1i с t , отсюда со всей очевидностью вытекает равенство: 1i с t−1 iп = t (4.2.29) или 1 i с =1i п t  t −1 . (4.2.30) Стоит заметить, что в формулах (4.2.29) и (4.2.30) участвует промежуток времени t. При изменении t, меняется и величина эквивалентной ставки. Можно выделить три ситуации: 1. Когда t = 1, ставки совпадают. 2. Когда t < 1, то простая ставка должна быть меньше сложной: iп < iс. 3. И, наконец, когда t > 1, для получения одинакового результата простая ставка должна быть больше сложной iп > iс. Рассмотрим следующий пример. Кредит предоставляется на условиях 20 сложных процентов. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года? Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой (4.2.29) для t1 = 1/12, t2 = 1/2, t3 = 1, t4 = 2, получаем: iп = 1i с t−1 10,2с 1 /12−1 = =0,1837=18,37 % < iс. t 1/12 iп = 10,2 с 1/ 2−1 =0,1909=19,09 % < iс. 1/2 10,2 с 1−1 iп = =0,2=20 % = iс. 1 10,2 с 2−1 iп = =0,22=22 % > iс. 2 Рассмотрим ещё один пример. 76 В 1626 году Петер Минёйт выкупил у индейцев за вещи, стоявшие тогда 24 доллара остров Манхэттен. На начало 21-го века оценка земель Манхэттена составляла ориентировочно 49 млрд. долларов. Определите величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост денежной суммы по формулам простой и сложной ставок. Решение. Известно: P = $24, S = $49 000 000 000, t = 2006 – 1626 = 380. Подставляя значения в формулы имеем: • Простая процентная ставка: 49000000000−24 48 999 999 976 i= = =537280702 % , 380⋅24 9 120 • Сложная процентная ставка: i=  380 49000000000 −1=5,8 % . 24 Смешанная формула расчёта процентов Ранее мы рассматривали ситуации, в которых период наращения процентов представлен был нецелым числом. Иногда для простоты расчётов, пользуются смешанной формулой, в которой целое число период рассчитывается по сложной ставке, а дробное — по простой: S=P 1it 1i k  , (4.2.31) где t – целое число, k – дробное. Например, при t = 1,15 вместо формулы S= P 1i1,15 =P 1i1⋅1i0,15 можно использовать: S= P 1i1⋅1i⋅0,15 . Конечно, результат расчёта по второй формуле будет больше, нежели по первой формуле, однако в некоторых ситуациях бывает проще использовать вторую формулу, нежели рассчитывать сумму вклада «в лоб» по формуле сложных процентов. Сложные учётные ставки Помимо рассмотренных нами ранее простых учётных ставок также иногда в финансовых расчётах используются и сложные. Аналогично простым выделяют математическую и банковскую формы учёта: Математическая форма выводится из (4.2.19): P= S =S 1i−t , t 1i (4.2.32) Банковская форма имеет вид: P=S 1−d t . (4.2.33) Рассмотрим в общем виде соотношение между процентной и учётной сложными ставками. Один и тот же результат будет получен только тогда, когда соответствующие дисконтные множители равны: 1i−t=1−d t . 77 Отсюда легко выводится формула для нахождения одной ставки через другую: 1 i d t /t =1−d  , d = , i= . 1i 1i 1−d (4.2.34) Как можно заметить, в расчёте ставок никакой промежуток времени не участвует, то есть они не зависят от t. Соответственно эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными вне зависимости от промежутка времени, на котором они действуют, в отличие от эквивалентных простых ставок. Если у нас имеются данные по сроку вклада, первоначальной и конечной суммами, мы можем определить величину сложной учётной ставки. Она может быть выведена из формулы (4.2.33): d =1−  t P . S (4.2.35) Похожим образом выводится формула для нахождения срока по известным значениям ставок, первоначальной и конечной сумм. Из (4.2.33) путём линеаризации получаем: ln S =ln P t ln 1−d  , откуда:  S P . t= ln1−d  ln (4.2.36) Связь между простыми и сложными учётными ставками Рассмотрим теперь, как будет выглядеть график функций для расчёта сумм P в зависимости от времени t в случаях с банковскими простыми и сложными учётными ставками (4.2.10) и (4.2.33) (Рисунок 27). P S (4.2.10) S(1-d) (4.2.33) 1 t Рисунок 27: Изменение первоначальной суммы вклада при использовании формул простого и сложного банковского учёта 78 По рисунку можно отметить следующие особенности: 1. Обе линии начинаются из точки, в которой t1 = 0: P 1=P 2=S 1−d 0=S 1−d⋅0=S . 2. На промежутке t 2 ∈0 ; 1 результат по простым учётным ставкам оказывается больше, нежели по сложным: t2 S 1−d  S 1−d t 2  , 3. После этого следует точка t 3=1 , в которой значения сумм совпадают: 1 S 1−d  =S 1−d⋅1=S 1−d  , 4. Затем на промежутке t 4 ∈1 ; ∞ сумма по сложным учётным ставкам стремится к нулю, по простым же процентам в какой-то момент времени сумма обращается в ноль. Стоит напомнить, что t в этих формулах характеризует величину промежутка от момента приобретения векселя до момента его погашения. Получается, что, если этот срок меньше 1, то эмитенту (организации, выпустившей вексель) выгодней рассчитывать реальную стоимость векселя по формуле (4.2.10). Если же срок больше 1, то выгодней рассчитывать реальную стоимость по формуле (4.2.33). Рассмотрим подробней, как связаны между собой простые и сложные учётные ставки. Пусть dс — сложная учётная ставка, dп — простая учётная ставка. Для получения одного и того же результата коэффициенты дисконтирования в (4.2.10) и (4.2.33) должны быть равны: 1−d п t =1−d с t Откуда следуют два равенства: d п= 1−1−d с  t t (4.2.37) и 1 d с=1−1−d п t  t . (4.2.38) Оценивая формулы (4.2.37) и (4.2.38) и рисунок 27, можно выделить три ситуации: 1. Если t = 1, ставки совпадают, 2. Когда t < 1, ставка по простому учёту должна быть меньше ставки по сложному: dп < dс, 3. Когда t > 1, ставка по простому учёту должна быть больше ставки по сложному: dп > dс. 79 Уравновешенные и относительные ставки Мы уже столкнулись с ситуациями, когда годовые процентные ставки нужно приводить к каким-либо другим промежуткам времени (например, месячным). Рассмотрим этот вопрос подробней. В случае с процентными ставками вывод формул расчёта одних ставок относительно других происходит из условия равенства коэффициентов роста. Для простых ставок в общем виде имеем: 1i 1 t 1 =1i 2 t 2 , (4.2.39) здесь t1 — промежуток времени первого типа, t2 — второго, i1 – ставка для промежутка первого типа, i2 – ставка для промежутка второго типа. Из формулы (4.2.39) легко вывести: i 1 t 1=1i 2 t 2−1 , i 1=i 2 t2 . t1 (4.2.40) Например, если t1 измеряется в месяцах, а t2 — в годах, то будем иметь: i мес=i год t год . t мес Так, если у нас период составляет 3 месяца, то ставка будет вычисляться по формуле: 3 12 1 . i мес =i год =i год 3 12 Ставка, приведённая по формуле (4.2.40) к другому периоду называется относительной ставкой. В случае с дисконтированием по простым учётным ставкам формулы имеют аналогичный вид. Из условия равенства коэффициентов дисконтирования имеем: 1−d 1⋅t 1 =1−d 2⋅t 2  , из чего со всей очевидностью получаем: t d 1=d 2⋅ 2 . t1 (4.2.41) А вот со сложными процентами ситуация получается несколько другой. Давайте предположим, что мы применяем формулу для расчёта сложных процентов, но в одном случае рассчитываем проценты за промежуток в месяцах, а в другом — в годах. Пусть у нас имеется ставка в 12% годовых, которая по формуле (4.2.40) будет эквивалентна месячной ставке в 1%. Попробуем рассчитать суммы процентов при условии, что P = 100, а вклад сделан на 2 года. По годовой ставке получим: 80 S=100 10,122=125,44 , По месячной: 24 S=100 10,01 ≈126,974 . Как видим, суммы в таком случае получаются разными. Чтобы результаты при разных временных ставках были одинаковыми нужно вывести ставки из условия равенства коэффициентов роста по сложным процентам: 1i 1 t =1i 2 t 1 2 Отсюда получим: 1i 1 =1i 2  t2 t1 , t2 t1 i 1=1i 2 −1 . (4.2.42) Для нашего примера месячная ставка будет в таком случае должна быть: 1 12 i мес =10,12 −1=0,00949=0,949 % . Ставка, найденная по такой формуле называется уравновешенной. Этот вид ставок также иногда называется «эффективной процентной ставкой». Эффективная ставка — это годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину вклада, что и реально применяемые способ начисления процентов. Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует годовой. Если же начисление происходит чаще, то эффективная и номинальная ставки могут различаться. В случае с дисконтированием формула получается похожей: t2 1−d 1 t =1−d 2 t , d =1−1−d  t 1 2 1 2 1 . (4.2.43) Непрерывные проценты В финансовых операциях иногда встречаются ситуации, когда начисление процентов происходит за очень маленькие промежутки времени, например раз в час. Причём для расчёта наращенной суммы используют формулы сложных процентов. Для таких сделок для облегчения расчётов можно пользоваться формулой непрерывных процентов. Например, если начисление процентов происходит каждый час, тогда в случае с годовой процентной ставкой её нужно для расчётов перевести в часовую: i час= i год i = год . 360⋅24 8640 Если годовая ставка составляет, например, 10%, то часовая будет: i час= 10 % =0,001157 % . 8640 81 То есть для этого случая имеем (по формуле сложных процентов) на первый час сумму: S= P 10,000011571 . А за год:  S= P 1 10 % 8640 8640  =10,000011578640 . Предположим, что наш промежуток дробится на более мелкие части (например, начисление уже происходит не раз в час, а раз в минуту). Тогда процентная ставка для такого же промежутка станет ещё меньше, а сама частота начисления возрастёт. За год в таком случае мы получим:  10 % S= P 1 518400 518400  ≈ P 10,000000193518400 . В общем случае, формулу можно записать следующим образом:  i S= P 1 год m m  , (4.2.44) где m – количество промежутков начисления в году. Чем меньше у нас промежуток времени (то есть чем чаще происходят начисления), тем меньше относительная ставка. В пределе (когда m стремится к бесконечности) формулу (4.2.44) можно заменить следующей: S= P e αt . (4.2.45) α – сила роста или сила процента. Она равна скорости относительного прироста суммы P. Сила роста тесно связана с процентной ставкой: чем больше ставка, тем больше сила роста, но эта связь нелинейна. Эту зависимость можно выразить через соответствующие коэффициенты роста: t 1i =e αt , откуда можно вывести формулу для нахождения силы роста по известной годовой сложной процентной ставке: α=ln 1i (4.2.46) Как видим, ставки эквивалентны вне зависимости от времени их действия. Для малых значений процентной ставки сила роста получается практически такой же. Например, для i = 0,05, α = 0,049. Но по мере увеличения значения сложной процентной ставки, растёт и разрыв между ставкой и силой роста. Например, для i = 35%, α = 30%. Причём эти разные значения ставки и силы роста дают один и тот же результат для равных временных промежутков. 82 Пример: P = 100 тыс. руб., t = 1,5 года, i = 35%, α = 30%. По формуле сложных процентов имеем: S=100⋅10,351,5 =156,8 . Ту же сумму получим и по формуле непрерывных процентов: 0,3⋅1,5 0,45 S=100⋅e =100⋅e =156,8 . Учёт инфляции Для того, чтобы совершать полноценные оценки тех или иных вкладов стоит учитывать инфляцию в стране. Для начала рассмотрим вариант учёта инфляции в одном периоде. Коэффициент роста в таком случае при любой процентной ставки будет 1i . Пусть за этот же период в стране наблюдалась инфляция и она составила h процентов. Тогда конечная сумма должна быть уменьшена в 1h раз. То есть конечный коэффициент реального роста составит: 1r= 1i . 1h (4.2.47) Из формулы (4.3.1) можно легко вывести реальную процентную ставку r: r= 1i i−h −1= . 1h 1h (4.2.48) В таких случаях i называют номинальной процентной ставкой, а полученная формула (4.2.48) носит название формулы Фишера. Стоит отметить, что расчёт по другой формуле: r =i−h даёт некорректный результат, меньший настоящего в 1h раз. Если темпы инфляции в стране невелики, то, конечно, разница будет небольшой, однако с ростом темпа инфляции, возрастает и погрешность. Пример. Имеется процентная ставка по вкладу Сбербанка из предыдущего примера: i = 6%. По прогнозу ИК «UniCredit Securities» от 19.08.2010 средний уровень инфляции в стране за 2010 год составит 8,3%. Рассчитаем реальную процентную ставку на 2010 год по Сбербанковскому вкладу. r= 0,06−0,083 =−0,021=−2,1 % . 10,083 Если считать по простой формуле, то получим: r =0,06−0,083=−0,023=−2,3% . Выходит, что реальная стоимость денег, положенных на счёт в банке будет только уменьшаться. Пример приведён по вкладу Сбербанка с максимальной процентной ставкой. Как видим, зная темпы инфляции и имея информацию об условиях вкладов в различные банки, можно принять более обоснованное и взвешенное решение о том, куда вложить деньги, чтобы они со временем не потеряли свою ценность. Теперь рассмотрим другую ситуацию — с учётом инфляции в нескольких периодах. Здесь уже может быть два варианта — расчёт по простым и сложным процентам. 83 Для простой процентной ставки получим коэффициент реального роста: 1rt= 1it . 1h11h2 ... 1ht  Отсюда имеем формулу для расчёта реальной процентной ставки: r= 1it 1 − . t 1h1 1h2 ...1ht  t (4.2.49) По сложным процентам коэффициента роста будет: 1r t = 1it , 1h1 1h 2 ...1ht  отсюда реальная процентная ставка составит: 1i −1 . 1h1 1h 2 ...1ht  r= t (4.2.50) Стоит заметить, что в формуле (4.2.50) числитель соответствует коэффициенту роста за 1 период, а знаменатель — средней геометрической величине индекса инфляции. 84 4.3. Операции с платежами Финансовая эквивалентность Ценность денежной суммы меньшей по размеру, но выплаченной раньше, может оказаться выше ценности суммы большей, но выплаченной позже. Вообще суммы, разнесённые по времени, непосредственно не соизмеримы. Для того чтобы оценить эти суммы их нужно привести к одному моменту времени. Пересчёт или приведение разных сумм к одному моменту времени осуществляется на основе процентных или учётных ставок. Предположим, что получение суммы R1 приурочено к моменту времени t1, а сумма R2 должна быть получена в момент времени t2. Если эти моменты времени совпадают, то задача сравнения этих двух сумм не представляется сложной – суммы можно сравнить без каких бы то ни было преобразований. Если же моменты времени не совпадают, то для сравнения надо эти суммы привести к единому моменту времени, иначе одна из них могла потерять свою ценность по объективным причинам (например, из-за инфляции) или могла потерять свою альтернативную стоимость (её можно было бы положить, например, на депозит и увеличить). Пусть, для определённости, момент времени t1 наступает раньше, чем t2: t 1t 2 . Если первая сумма больше второй, то, очевидно, её ценность выше, так как она не только больше по размеру, но и будет получена раньше. Однако, если первая сумма не больше второй, то есть: R1 ≤R 2 , то результат сравнения уже не очевиден. Для того, чтобы эти суммы можно было сопоставить друг с другом представим себе, что сумма R1 положена в момент времени t1 на счёт в банке под некие проценты. Тогда к моменту времени t2 она превратится в некую сумму S, большую, чем R1. При этом при расчёте S в зависимости от имеющихся условий можно пользоваться либо формулами простых, либо сложных процентов, либо формулами учёта. Сравнение величин R1 и R2, отнесённых к разным моментам времени, сводится к сравнению величин S и R2, приведённых к одному моменту времени. Если S > R2, то R1 имеет большую ценность, чем R2 при выбранной нами схеме расчёта и процентной ставке. Если S < R2, то R1 имеет меньшую ценность, чем R2 при выбранной нами схеме расчёта и процентной ставке. В случае, если суммы равны: S = R2, то R1 и R2 имеют одинаковую ценность. Такие суммы называются финансово эквивалентными при данной процентной ставке. Финансовая эквивалентность может зависеть от процентной ставки и некоторых других обстоятельств (например, условия выплаты процентов и т.п.). Так при одной ставке суммы могут оказаться финансово эквивалентными, а при другой – нет. В любом случае, 85 общий принцип остаётся неизменным: для сравнения денежных величин, относящихся к разным моментам времени нужно привести их к одному и тому же моменту времени, используя модели простых или сложных ставок. Как вы понимаете, приведение сумм к одному моменту времени может происходить различными способами. Например, если нам нужно привести какие-либо суммы к первоначальному моменту времени, то можно использовать формулы для расчёта сумм по учётным ставкам. Если же суммы надо привести к будущему моменту времени, то имеет смысл воспользоваться формулами для расчёта по простым или сложным процентам. Рассмотрим несколько примеров. Пусть стипендия студентов в 2008 года составляла 1000 руб. В 2010 году она уже составляет 1100 руб. Нужно оценить, как соотносятся друг с другом эти две суммы. По условиям задачи имеем: R1 = 1000 руб., R2 = 1100 руб. Для оценки временных промежутков возьмём t1 = 01.01.2008 и t2 = 01.01.2010. Для того, чтобы сравнить эти суммы, нужно их привести к одному моменту времени. Воспользуемся в расчётах годовой процентной ставкой по депозиту в Сбербанке. Ранее мы рассматривали такую ставку, она составляет 6%. Для того, чтобы привести суммы к первоначальному моменту времени воспользуемся для примера формулой математического дисконтирования по простым ставкам и приведём суммы к моменту времени t1. Тогда промежуток наращения (между датами t1 и t2) t будет составлять 2 года: P= S 1100 = ≈982 . 1it 12⋅0,06 Сравнивая полученные суммы: R1 = 1000 руб. и P = 982 руб., видим, что вторая сумма меньше первой, а значит ценность новой суммы меньше ценности старой. Выходит, что стипендия за это время выросла только номинально. Реальная её величина только уменьшилась. Похожим образом можно сравнить суммы, используя и другие формулы. Например, если вместо годовой процентной ставки депозита взять темпы инфляции за 2008 и 2009 годы (которые соответственно составили h2008 = 12,6% и h2009 8,7%) и воспользоваться формулой банковского учёта, то сумма R2 преобразуется в следующую сумму: P=S 1−h 2008 1−h 2009 =11001−0,1261−0,087=11000,797962=877,7582 Пример 2: Староста группы задолжал студентам двухмесячную стипендию. В группе 26 человек, размер стипендии — 1000 руб. На вопросы «где деньги?» и «когда отдашь?» староста обещается погасить задолженность через полгода. Требуется оценить, насколько причитающаяся сумма будет ценна через полгода. Из условий задачи имеем: R1 = (26 — 1)*1000*2 = 50000 руб. Процентная ставка в ВТБ 24 для вкладов от 50000 до 100000 руб. на срок в 181 день составляет 3,5%. 86 Приводя нашу сумму по простой процентной ставке к периоду времени через полгода получим: S=50000⋅10,035⋅0,5=50000⋅1,0175=50875 Сумма явно больше первоначальной, но в расчёте на одного человека составит 2035 руб., что первоначальную задолженность превышает всего лишь на 35 руб. Если группа считает, что 35 руб. на человека являются достойной компенсацией ожидания своих денег и готова пойти на то, чтобы поделить 875 руб. между всеми студентами, то можно старосту «поставить на счётчик» и требовать с него рассчитанную сумму. Консолидация платежей по формуле простых процентов Теперь предположим, что староста задолжал больше — за 4 месяца, его поставили на проценты и с ним договорились о том, что через полгода он выплатит 52000 руб, ещё через квартал — 26500 и ещё через квартал — 27000 руб. Однако, время идёт, ситуация меняется и у старосты появились деньги, он готов погасить всю свою задолженность одной суммой. В такой ситуации требуется определить в какой срок нужно погасить задолженность. Данная задача является задачей консолидации нескольких платежей. Решение задачи консолидации нескольких платежей — это определение такого размера единого платежа и такого момента его выплаты, которые финансово эквивалентны всей заменяемой совокупности платежей. Рассмотрим, как можно решить эту задачу для случая простых процентных ставок в общем виде. У нас имеются платежи S1, S2,.. Sm, которые должны быть выплачены соответственно в моменты времени t1 < t2 < … < tm. Все эти выплаты нужно консолидировать и заменить суммой S в момент времени t. Предположим, что величина S у нас равна сумме всех платежей: m S=∑ S n . (4.3.1) n=1 Давайте попробуем оценить, когда может наступить срок консолидации t. Очевидно, что он не может наступить ранее t1, так как на это не пойдёт должник — получается, что ему нужно выплатить ту же сумму, которую он может выплатить позже, но в момент времени раньше первой выплаты. То есть эта сторона от такого переноса даты выплаты ничего не выигрывает. Одновременно с этим t не может наступить позже tm — на это уже не пойдёт другая сторона: в том, чтобы получить всю причитающуюся по праву сумму позже последнего срока выплаты, никакого выигрыша нет. Значит наш искомый момент времени t должен наступить где-то посередине. Все платежи, которые должны быть выплачены ранее t, мы будем называть ранними, все остальные — поздними (см. Рисунок 28). С точки зрения должника при консолидации он проиграет по поздним платежам (вынужден будет вернуть эту часть денег раньше, чем мог бы), но выиграет по ранним (не должен будет расставаться с деньгами раньше t). С точки зрения кредитора всё будет наоборот: выигрыш будет по поздним платежам, проигрыш по ранним. Для того, чтобы рассчитать время t нужно уравновесить выигрыши и проигрыши сторон. Причём достаточно сделать это для одной стороны, тогда равновесие будет автоматически определено и для второй. 87 Ранние платежи t1 t2 ... Поздние платежи tk tk+1 tk+2 ... tm время Момент консолидации t Рисунок 28: Ранние и поздние платежи при консолидации нескольких сумм Осуществить консолидацию можно по любой из формул простых и сложных ставок, рассмотренных в главе 4.2. Рассмотрим для начала, как будет проводиться консолидация по формуле простой процентной ставке. За промежуток времени от t1 до t на основе суммы S1 будет наращено L1 процентов: L1=S 1 i t−t 1  (4.3.2) Величина L определяет выигрыш должника, связанный с переносом суммы на более поздний срок. В общем виде для раннего платежа на момент времени tp имеем: L p=S p i t−t p  (4.3.3) Общий выигрыш L должника в таком случае составит: k k p=1 p=1 L=∑ L p =∑ S p i t−t p  . (4.3.4) Величина проигрыша Rq для позднего платежа на момент времени tq находится аналогичным образом, только, из-за того, что время их наступления больше t, промежуток наращения будет рассчитываться иначе: Rq =S q i t q−t  . (4.3.5) Соответственно величина суммарного проигрыша R по поздним платежам может быть найдена по формуле: m R= ∑ q=k1 m R q= ∑ q= k1 S q it q−t . (4.3.6) Если один из платежей оказался на границе t, то его можно безболезненно включить в любую сумму, так как при консолидации время для этого платежа не изменится. Условие финансовой эквивалентности будет выполняться, если выполняется равенство: k L=R , то есть ∑ S p it−t p = p =1 m ∑ q =k1 S q it q−t . (4.3.7) Обе части равенства можно сократить на i: 88 k m p =1 q=k1 ∑ S p t−t p = ∑ S q t q−t , (4.3.8) после чего можно правую часть перенести влево и поменять местами t и tq, вынеся минус за знак суммы: k ∑ S p t−t p  p =1 m ∑ q=k1 S q t −t q=0 . (4.3.9) Теперь можно легко объединить обе суммы в одну: m ∑ S n t−t n =0 , (4.3.10) n=1 раскрыть скобки под знаком суммы и разъединить её на две части: m m m m n=1 n=1 n =1 n=1 ∑ S n t−t n =∑  S n t−S n t n =∑ S n t−∑ S n t n , откуда получаем: m m n =1 n =1 t ∑ S n−∑ S n t n =0 . (4.3.11) По условию (4.3.1) сумма в левой части (4.3.11) равна S. Тогда дата консолидации t будет рассчитываться по формуле: m ∑ Sn tn t= n=1 S m =∑ n=1 Sn . ⋅t n S (4.3.12) Видим, что промежуток времени t определяется через средневзвешенную промежутков времени tn, взвешенных по соответствующим суммам платежей. Причём, в расчёте t процентная ставка вообще не участвует. Стоит заметить, что в формуле (4.3.12) tn и t представляют собой скорее не конкретные даты, а какой-то промежуток времени от некоторой заданной точки отсчёта. Такой точкой в расчётах может выступать любой день года. Посмотрим, как можно рассчитать момент времени t для нашего примера со старостой-должником. Для того, чтобы рассчитать промежутки времени tk, нам нужно выбрать точку отсчёта. Возьмём за точку отсчёта 01.01.2010. Тогда t1 = 181 день (01.07.10 — 01.01.10), t2 = 273 дня (01.10.10 — 01.01.10), t3 = 365 (01.01.11 — 01.01.10). По формуле (4.3.1) имеем: S=520002650027000=105500 . Тогда промежуток t будет рассчитан по следующей формуле: 89 t= 52000 26500 27000 ⋅181 ⋅273 ⋅365≈251 . 105500 105500 105500 Получается, что дата консолидации должна наступить на 251 день с момента, выбранного нами за точку отсчёта. Для нашего примера это будет означать, что выплатить всю сумму нужно 01.01.10 + 251 = 09.09.2010. Что характерно, наша дата консолидации никак не зависит от того, какую точку отсчёта мы выберем (можете убедиться в этом сами) — меняться будет только количество дней t, рассчитанное по формуле (4.3.12). В MS Excel благодаря формату хранения дат, для расчёта даты можно напрямую использовать формулу вида: t= 52000 26500 27000 ⋅01.07.10 ⋅01.10.10 ⋅01.01.11 . 105500 105500 105500 В таком случае мы получим в числовом формате 40430, что в формате даты соответствует 09.09.2010. Замена платежей по формуле простых процентов Рассмотрим теперь следующую ситуацию: староста оценил, что ему всю сумму нужно будет выплатить 09.09.2010, а он не сможет этого сделать. Тогда группа, готовая пойти на встречу, договаривается о том, что платёж будет совершён позже, в момент времени t', однако понятно, что в этот момент времени староста должен будет уже выплатить не S, а большую сумму – S'.  t=t ' −t . По некоторой процентной ставке, например соответствующей годовому темпу инфляции в стране в 8,3%, мы можем рассчитать, насколько у нас вырастет сумма до S' за t : S ' =S 1i  t  . (4.3.13) Предположим, что он просит отсрочки на 30 дней. Для нашего примера тогда имеем: t' = 09.10.09. Учитывая то, что ставка годовая, промежуток времени надо перевести в годовой (возьмём для простоты банковский год). Новая сумма тогда составит:  S ' =105500 1  0,083⋅30 ≈106230 . 360 (4.3.14) Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть староста готов заплатить не 105500, а меньшую сумму, 102000, но зато раньше. Как определить новый срок уплаты? Из формулы (4.3.13) имеем:  t= S ' −S . Si (4.3.15) Для нашего случая получим: 90  t= 102000−105500 −3500 = =−0,399 . 105500⋅0,083 8440 Учитывая то, что мы использовали годовую процентную ставку, получившееся число означает долю года. То есть, для того, чтобы получить количество дней и, соответственно, дату уплаты, полученное число надо умножить на 365 (или на 360 — в зависимости от принятой временной базы). Тогда будем иметь: 0,399⋅365≈146 день. Это означает, что выплата суммы в 102000 должна произойти 09.09.2010−146=16.04.2010 . Консолидация и замена платежей по формуле сложных процентов Очевидно, что консолидацию можно осуществить и по другим формулам. Рассмотрим, какими образом можно рассчитать консолидированную сумму по сложной процентной ставке. Общая сумма платежа S, приведённая к некоторому моменту времени t может быть найдена по формуле сложных процентов: m S=∑ S n 1it −t . (4.3.16) n n=1 Используя уравнение (4.3.16), можно определить срок выплаты. Для начала вынесем константы за знак суммы: m S=1it⋅∑ S n 1i−t , (4.3.17) n n=1 откуда следует, что: 1it= S m ∑ S n 1i−t n , (4.3.18) n=1 Линеаризуем теперь уравнение (4.3.18), используя натуральный логарифм. Получим: t ln 1i=ln  S m ∑ S n 1i−t n=1 n  , (4.3.19) Откуда следует, что срок выплаты находится по формуле: ∑ m ln S −ln t= n=1 S n 1i−t n  . (4.3.20) ln1i Как видим, в этой формуле t уже зависит от величины процентной ставки. В нашем примере при i = 8% получится t = 190 дней, что соответствует 10.07.2010, что, очевидно, раньше, чем срок, рассчитанный по формуле (4.3.12). 91 В MS Excel расчёты времени консолидации по сложным ставкам, к сожалению, не могут быть осуществлены так же, как и с простыми — тут обязательно нужно считать количество дней от какой-то точки отсчёта, так как идёт возведение в степень -tn. Число, возведённое в степень, например -40000 просто не поддаётся подсчёту. Кроме того, из-за того, что в формуле используется процентная ставка, промежуток tn обязательно должен рассчитываться в годах. Поэтому при использовании формулы (4.3.20) нужно предварительно рассчитать доли года от выбранной точки отсчёта до соответствующих дат платежей. По аналогии с формулами простых процентов, мы можем вывести сумму платежа при изменении срока выплаты. Для этого надо рассмотреть формулу сложных процентов (4.2.19) в виде : S ' =S 1i t . (4.3.23) Здесь вместо  t нужно подставить срок, на который сдвигается платёж, в той же размерности, что и используемая процентная ставка (если ставка годовая, то и срок в годах). Из той же формулы (4.2.19) можно найти срок выплаты суммы при изменении её величины: S ' =S 1i t , откуда выводится: 1it = S' . S (4.3.21) Прологарифмировав левую и правую части формулы (4.3.21), получим:  t ln 1i=ln   S' S , откуда легко выводится срок переноса платежей  t :  t= ln S ' −ln S  . ln1i (4.3.22) Консолидация платежей по формулам банковского учёта Консолидация может быть осуществлена не только по простой или сложной процентной ставке, но ещё и по учётной ставке. Встречается она, конечно, достаточно редко, как следует из идеи формул банковского учёта, может применяться при анализе векселей. Рассмотрим, каким образом можно найти консолидированную сумму S, зная суммы Sn, временные промежутки tn и величину учётной ставки d. Идея такой консолидации также исходит из принципа равенства выигрышей и проигрышей сторон. Для этого используется формула (4.2.10), в которой вместо первоначальной суммы рассматривается соответствующая сумма платежа: S n =S 1−dt n , (4.3.24) 92 Из формулы (4.3.24) следует, что конечная сумма S может быть найдена по формуле: S= Sn =S n 1−dt n −1 . 1−dt n (4.3.25) Общая сумма долга для всех n промежутков в таком случае составит: m S=∑ S n⋅1−dt n −1 . (4.3.26) n=1 Сумму в (4.3.26) можно представить двумя составляющими — выигрышем и проигрышем от консолидации: k S= ∑ S p⋅1−dt p   −1 p=1 m ∑ q=k 1 S q⋅1−dt q  . (4.3.27) В формуле (4.3.27) в правой части в первой сумме участвуют ранние платежи, а во второй — поздние. Для ранних платежей S – это сумма в случае продления уплаты, а для поздних — опережения уплаты. Рассмотрим пример. Пусть у студента на руках имеется два векселя со сроками 01.06.10 (200 тыс. руб.) и 01.09.10 (300 тыс. руб.). Эти векселя по согласию с банком нужно заменить на один вексель со сроком 01.07.2010 по годовой учётной ставке d = 10%. Учитывая то, что дата у нас переносится на срок между двумя датами, нужно использовать формулу: −1 S=S 1⋅1−dt 1  S 2⋅1−dt 2  . 01.07.09−01.06.09 30 62 = ≈0,082 , t 2= ≈0,169 , 365 365 365 Подставляя эти значения в формулу (4.3.28), получим: t 1= (4.3.28) S 1=200 , S 2=300 . −1 S=200⋅1−0,1⋅0,082 300⋅1−0,1⋅0,169≈496,56 . Сумма, как видим, получилась меньше, чем могла бы быть по обоим векселям. Это вызвано тем, что второй вексель будет погашен значительно раньше своего изначального срока. Разъединение платежей по формулам простых и сложных процентов Рассмотрим ещё одну ситуацию, встречающуюся в финансовых операциях. Предположим, что ФК «Зенит» взял у банка «Санкт-Петербург» кредит на покупку футболиста сборной России Александра Бухарова. Кредит был выдан в размере 10 млн. долларов под 12% годовых с условием разовой выплаты 01.04.2011. Однако спустя какоето время ФК «Зенит», оценив свои силы и потребности, решил попросить Банк «СанктПетербург» о том, чтобы погашение кредита произошло двумя частями, причём первую часть они готовы погасить в размере 4 млн. долларов. Соответственно перед нами, как перед аналитиками кредитного отдела, стоит задача: рассчитать, на какие даты должны приходиться выплаты. Эта задача является как раз задачей разъединения платежей и может быть решена следующим образом. 93 Обозначим всю сумму кредита через S = 10 млн. долл., первую часть — через S1 = 4 млн. долл., вторую — через S2 = 6 млн. долл. Очевидно, что S 2=S −S 1 . Соответственно выплаты этих сумм должны быть совершены в моменты времени t1, t2 и t. Рассмотрим для начала, как можно определить t2 используя формулу простых процентов. Согласно формуле (4.3.12) имеем: t= S1 S t 1 2 t 2 . Отсюда легко выводится формула для нахождения t2: S S S1 t S 1 t S −S 1 t 1 t S 1S 2 −S 1 t 1 S 1 = = = t−t 1 t . S2 S2 S2 S2 S t− t 2= (4.3.29) Предположим, что расчёт мы ведём от 01.01.2011. Тогда t = 90, t1 = 59. Подставляя все имеющиеся значения в формулу (4.3.29), получим: 4 t 2= 90−5990≈111 . 6 (4.3.30) Если прибавим к нашей отчётной дате 111, получим 22.04.2011. Получается, что Банк может пойти на встречу ФК «Зенит» и предложить такие условия погашения кредита. Если данные условия одну из сторон не устраивают, то можно ещё разъединить и вторую сумму либо перенести её на другой срок, используя формулы (4.3.15) и (4.3.22). Рассмотрим теперь в общем виде ситуацию с разъединением платежей по сложным процентам. Чтобы осуществлять замену одних платежей на другие, нужно чтобы ценность вторых была равна ценности первых: k m ∑ S j 1it−t =∑ S n 1it−t . j j=1 (4.3.31) n n=1 В этой формуле в отличие от предыдущей участвует процентная ставка, в результате чего величины новых платежей Sn зависят не столько от временного промежутка, сколько от выбранной ставки. В предыдущей задаче мы не использовали процентную ставку — для консолидации по простым процентам она не нужна. Здесь она нужна и, пусть, составляет 12%. Задача заключается в том, что полученные в предыдущей задаче платежи нужно заменить на другие: платёж на 01.06.10 в сумме 4 млн. руб. и на 01.09.10 в оставшейся сумме. Тогда по этим данным можно составить следующее уравнение, взяв за точку отсчёта 01.01.2010: 59 111 151 243 4 10,12 365 610,12365 =410,12 365  X 10,12 365 . Решая это уравнение, найдём искомую сумму: X= 4⋅0,98186⋅0,9661−4⋅0,9542 =6,37 0,9273 94 То есть в итоге ФК «Зенит» должен будет за такое существенное перенесение дат платежей по кредиту ещё и доплатить порядка 370 тыс. долл, что вполне логично и обосновано. Как видим, зная формулы простых и сложных ставок, можно проводить различные финансовые операции по консолидации, переносу, замене, разъединению платежей, обоснованные с научной точки зрения. 95 4.4. Потоки платежей Общие понятия и приведённая стоимость потока платежей Операции с отдельными платежами лежат в основе более сложных операций — с потоками платежей. Поток платежей — последовательность денежных сумм, приуроченных к определённым моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами такой последовательности соответственно называются членами потока платежей. Потоки возникают при любой финансовой деятельности организации. Например, при выдаче кредита потоком платежей будет последовательность сумм кредита, а потом — траншей (транш — часть платежа по кредиту), которыми кредит гасится. Другой пример — разработка нового продукта на предприятии, для которого нужно выделить инвестиции и который начнёт приносить деньги лишь в будущем. Схематично любой поток платежей можно представить следующим образом (см. Рисунок 29). Член ренты Период ренты Срок ренты t Рисунок 29: Пример нерегулярного потока платежей. Стрелки вниз соответствуют расходам (например, инвестициям, то есть тем суммам, которые нам предстоит затратить), а стрелки вверх соответствуют доходам. Длина стрелки соответствует размеру платежа. Фактически любой поток можно разделить на две части (поток доходов и поток расходов). Анализу подвергаются оба потока. Доходам обычно приписывается знак «+», расходам — «-». Выделяют 2 тип потоков: 1. Нерегулярный поток платежей. В таком потоке временные интервалы имеют разную величину; 2. Регулярный поток платежей. В таком потоке временные промежутки между соседними членами имеют одинаковую длину, а члены потока имеют одинаковый знак (например, положительны). Такие потоки также называются финансовыми рентами (или просто «рентами») или «аннуитетами». Члены финансовой ренты могут быть либо одинаковыми (тогда говорят о постоянной ренте), либо различаться по размеру (переменная финансовая рента). Различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности или быть не систематическими. Любая финансовая рента имеет следующие основные характеристики: • член ренты — размер отдельного платежа; 96 • период ренты — длина промежутка времени между соседними платежами; • срок ренты — длина промежутка от самого первого платежа до самого последнего; • процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты. Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода: • рента постнумерандо (обыкновенная рента) — если платежи приурочены к концу периодов; • рента пренумерандо — если платежи приурочены к началу периодов. Два разных финансовых потока могут иметь различную продолжительность, разные величины членов потока, разное число. Их сопоставление обычно происходит на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести всё разнообразие потоков к ряду показателей. Один из базовых показателей, на основе которого рассчитываются практически все остальные — это «приведённая стоимость потока». Приведённая стоимость потока — сумма членов всего потока с процентами, приведённая (дисконтированная или наращенная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента выбирают либо момент начала первого периода либо момент окончания последнего. В первом случае говорят о современной стоимости потока, во втором — о наращенной стоимости потока. Иногда поток приводят и к другому моменту времени (например, к текущему дню, тогда говорят о текущей стоимости потока). Приведение к тому или иному моменту времени в принципе может осуществляться на основе любой модели простых или сложных ставок (из рассмотренных в параграфе 4.2). Но чаще всего приведение осуществляется по формулам сложных процентов, так как такая форма представляется наиболее удобной и логически непротиворечивой. Рассмотрим, как можно привести приведение потока к одному моменту времени в общем виде. Пусть поток платежей состоит из членов Rn , приуроченных к моментам времени t n . Рассмотрим стоимость потока при приведении каждого члена к моменту времени t. Если у нас момент времени, к которому осуществляется приведение, наступает позже даты платежа Rn (то есть tt n ), то при приведении члена Rn к моменту t нужно его увеличить, умножив на коэффициент роста, равный: 1it−t . (4.4.1) n То есть, если бы денежную сумму Rn положили на счёт в банке под процентную ставку i на срок t-tn, то эта сумма к моменту времени t выросла бы до величины: t −t n S n =Rn 1i . (4.4.2) 97 Показатель степени положительный, значит коэффициент роста (4.4.1) будет больше 1 и величина Rn увеличится, таким образом будет рассчитана наращенная стоимость потока Sn. Если же момент времени, к которому мы приводим данный платёж наступает раньше даты платежа (то есть tt n ), то коэффициент роста (4.4.1) будет меньше единицы, а значит платёж Rn уменьшится и результатом расчёта по формуле (4.4.2) будет современная стоимость платежа. Если же дата приведения совпадает с датой платежа (то есть t=t n ), то показатель степени будет равен нулю, значит коэффициент роста (4.4.1) будет равен единице, и текущий платёж будет учтён без приведения к какому бы то ни было моменту времени. Таким образом вне зависимости от расположения моментов времени при приведении потока Rn к моменту времени t нужно его умножить на коэффициент роста, рассчитанный по формуле (4.4.1). Тогда, для того, чтобы найти приведённую стоимость S всего потока на момент времени t в общем виде, нужно просто просуммировать все m приведённые стоимости платежей: m m S=∑ S n=∑ Rn 1it −t . (4.4.3) n n=1 n=1 Очевидно, что приведённая стоимость потока будет зависеть от выбранной процентной ставки и промежутки времени t−t n должны соответствовать типу выбранной процентной ставки (если ставка годовая, то и промежутки должны измеряться в годах). Формулу (4.4.3) иногда удобней представить в другом виде, поменяв местами t и tn в показатели степени: m S=∑ Rn 1i n=1 m =∑ −t n−t  n=1 Rn 1it −t n . (4.4.4) Но смысл формулы от этого, естественно, не меняется. Рассмотрим в качестве примера такой поток платежей, как зарплата старшего преподавателя Финэка на полную ставку за полгода. Вообще она сейчас составляет порядка 7000 рублей в месяц. Сравним этот поток платежей с потоком, например, за репетиторство по курсу «микроэкономика». В таблице ниже приведены эти два потока платежей. № месяца Поток по заработной плате Rn Поток по репетиторству Qn 1 7000 6000 2 7000 6000 3 7000 6000 4 7000 6500 5 7000 9000 6 7000 9500 98 Если просто рассчитать сумму платежей в первом и во втором потоке, без оценки времени, то в первом случае она составит: 6 R=∑ Rn=7000⋅6=42000 , n=1 а во втором: 6 Q=∑ Q n=600060006000650090009500=43000 . n=1 Сравнивая эти две суммы, можно прийти к выводу о том, что второй поток обладает большей ценностью, чем первый. Однако, давайте теперь рассчитаем приведённые стоимости этих двух потоков, например, по месячной процентной ставке в 10% к последнему моменту времени, к месяцу №6: 6 R=∑ Rn 10,1 5 6−t n 4 3 2 =7000⋅1,1 7000⋅1,1 7000⋅1,1 7000⋅1,1 + n=1 1 7000⋅1,1 7000⋅1,1 ≈54009,27 Второй же поток платежей составит: 6 Q=∑ Qn 10,16 −t =6500⋅1,157000⋅1,148000⋅1,13 6000⋅1,12 + n n=1 1 . 8500⋅1,1 8000⋅1,1 ≈53698,66 Как видим, при приведении потоков платежей по месячной процентной ставке в 10% оказывается, что второй поток имеет меньшую ценность, чем первый. Здесь стоит отметить несколько особенностей, связанных с расчётом приведённой стоимости потоков платежей. Во-первых, при разных значениях ставки, будут получаться разные приведённые стоимости, и, например, в нашем случае при ставке около 7,91% приведённые стоимости этих двух потоков будут равны, то есть можно будет сказать, что потоки платежей финансово эквивалентны. Во-вторых, в соответствии с основными принципами финансовой математики, платежи, полученные раньше, будут иметь большую ценность. Поэтому, при прочих равных условиях, если в одном потоке ранние платежи имеют больший размер, чем ранние платежи в другом потоке, то и приведённая стоимость первого потока будет, скорее всего, больше приведённой стоимости другого. Оценка эффективности инвестиционного проекта Оценка эффективности инвестиционного проекта является достаточно важной и обширной темой. Это одна из тех тем финансовой математики, которые активно используются практически в любой компании. Оценка эффективности инвестиционного проекта производится на основе потока платежей и естественно, что происходит она с использованием приведённой стоимости потока платежей. Обычно, когда поток приводится к первоначальной дате, то говорят о его текущей стоимости и обозначают её через PV (Present Value), а в случае с приведением к конечной говорят о будущей стоимости FV (Future Value). Рассмотрим основные показатели, по которым оцениваются инвестиционные проекты: 99 Приведённая стоимость потока инвестиций (расходов) K К этому потоку относятся все затраты, связанные с данным инвестиционным проектом. Формула расчёта приведённой стоимости потока инвестиций соответствует общей формуле приведения (4.4.4): – CF n CF =∑  t −t  , n 1i – n (4.4.5) где CF – – приведённая стоимость потока инвестиций, – CF n – член потока инвестиций с номером n, tn – момент возникновения члена n, t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение, i – процентная ставка, по которой осуществляется приведение. Приведённая стоимость потока доходов D В этом случае доходы рассматриваются «очищенными» от текущих затрат. Формула также соответствует общей формуле приведения потока: + CF k CF =∑  t −t  , k 1i + k (4.4.6) где CF + – приведённая стоимость потока, + CF k – член потока с номером k, tk – момент возникновения члена k, t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение, i – процентная ставка, по которой осуществляется приведение. На основе этих двух показателей можно вывести ещё несколько, которые будут нести больше информации и иметь большую ценность. Чистая приведённая стоимость (NPV) Данный показатель имеет и другие обозначения: «Чистый дисконтированный доход» и «Net Present Value» Этот показатель может быть рассчитан через приведённые стоимости потока доходов и расходов: + NPV =CF −CF – , (4.4.7) Или же непосредственно по общей формуле приведения: 100 m NPV =∑ n=0 CF n 1it −t  n , (4.4.8) где NPV – чистая приведённая стоимость потока, CFk (ака «Cash Flow») – член потока с номером k. Причём, отрицательный в случае с инвестициями и положительный в случае с доходами. tk – момент возникновения члена k, t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение, i – процентная ставка, по которой осуществляется приведение. Как следует из названия, NPV — это показатель, рассчитывающийся на основе стоимости приведённой к начальному моменту времени. В таком случае самый первый платёж в формуле (4.4.8) можно вынести за знак суммы (потому что для него время выплаты будет совпадать с временем приведения t n=t 0 ): m NPV =CF ∑ – n=1 CF n 1it −t  n . (4.4.9) В стандартном проекте, подразумевающем схему с начальными инвестициями и какимто сроком окупаемости проекта, первый член потока будет отрицательным (так как это затраты на запуск проекта). Обычно эту величину обозначают буквами IC («Invested Capital») и формулу (4.4.9) приводят к виду: m NPV =−IC ∑ n=1 CF n 1i  t −t  n , (4.4.10) Стоит заметить, что обычно, при запуске проекта аналитик не знает конкретных дат выплат, но знает, что члены потока, например, приходятся на каждый месяц. В таком случае вместо возведения в степень t n−t 0 можно использовать номера периодов. Тогда формула (4.4.10) примет вид: m NPV =−IC ∑ n=1 CF n 1in . (4.4.11) Итак, какой же смысл имеет NPV? По NPV определяют в целом успешность инвестиционного проекта. Чем больше величина NPV, тем, при прочих равных условиях, лучше анализируемый инвестиционный проект. Если NPV > 0, то проект окупается с учётом стоимостной оценки времени, выраженной с помощью дисконтирования по ставке i. Величина коэффициента определяет чистый доход от реализации проекта. Если NPV < 0, то проект не окупается, а величина коэффициента определяет величину убытков с учётом стоимости времени. 101 Если NPV = 0, дисконтированные доходы полностью покрывают дисконтированные расходы. В MS Excel существует две формулы для расчёта NPV: • «=ЧПС(i;CF0:CFn)». Формула включена в программе по умолчанию. В этой формуле, как видите, не учитываются временные промежутки. Считается, что выплаты происходят периодически через одинаковые промежутки времени. Ставка, задаваемая в формулу, подразумевается соответствующей промежуткам времени между платежами. Поэтому, если мы рассчитываем NPV по ежемесячному потоку платежей, то нужно использовать месячную процентную ставку. В английском офисе функция называется по-другому — «npv»; • «=ЧИСТНЗ(i;CF0:CFn;t0:tn)». Для включения формулы требуется подключить надстройку «Пакет анализа». Как видите, эта формула уже учитывает даты, в которые происходят платежи, в результате формула даёт более точный результат. Процентная ставка в этой формуле считается годовой. В английском офисе функция называется по-другому — «xnpv». Внутренняя норма доходности проекта (IRR) Данный показатель также носит названия «Внутренняя норма рентабельности», «Внутренняя ставка дисконтирования» и «Internal Rate of Return». Это та процентная ставка i, при которой NPV = 0. Находится она путём решения уравнения: m NPV =∑ n=0 CF n 1it −t  n или, из формулы (4.4.11): m NPV =−IC ∑ n=1 CF n 1i m =0 , n IC =∑ n=1 CF n 1in . (4.4.12) При расчёте различных вариантов вложения денег IRR позволяет принять решение о том, какой из проектов более выгоден. Однако принимать решение только на основе IRR некорректно. В частности это вызвано тем, как находится IRR. Очевидно, что вывести формулу для расчёта IRR путём решения уравнения (4.4.12) не представляется возможным. Более того, из-за того, что у нас 1IRR возводится в степень n, у уравнения может быть несколько решений (могут получиться не только положительные и отрицательные, но и комплексные числа). Например, если у нас поток платежей состоит из 3-х членов, то формула (4.4.12) примет вид: 2 IC =∑ n=1 CF n 1i n = CF 1 1i 1  CF 2 1i2 , откуда имеем квадратичное уравнение: IC 1i 2−CF 1 1i1−CF 2=0 , (4.4.13) 102 с двумя корнями, которые находятся по формуле (через дискриминант): −CF 1±  CF 1 24⋅IC⋅CF 2 . 1i= 2 IC Если же у нас в потоке больше трёх членов, то и количество корней увеличивается, и решить уравнение (4.4.12) становится либо крайне сложно, либо вообще невозможно. Поэтому во время расчётов IRR на практике пользуются численными методами. Чаще всего — методом последовательного приближения. Идея метода заключается в том, что в формулу подставляется предполагаемое значение IRR0, рассчитывается NPV. Если он оказывается меньше 0, то берётся значение IRR1, большее предыдущего на какую-то величину и снова рассчитывают NPV. Если он оказывается больше нуля, то берут ставку между первыми двумя. И так продолжают до тех пор, пока значение ∣NPV ∣ε . На практике NPV всегда либо чуть больше, либо чуть меньше 0, так как подобрать значение IRR, при котором NPV = 0 невозможно, да и слишком затратно по времени... При этом то, какую ставку взять на следующем шаге может быть определено, например, следующей формулой: IRR n1=IRRn −NPV n  IRRn−IRR n−1 NPV n−NPV n−1  . (4.4.14) На рисунке 30 изображена связь между NPV и IRR для стандартного потока платежей. Видно, что чем выше ставка IRR, тем меньше будет приведённая стоимость потока. Фактически получаемая величина IRR может быть трактована как та ставка, по которой можно взять кредит для того, чтобы наш проект окупился и стал безубыточным. В MS Excel существует две формулы для расчёта IRR: Рисунок 30: IRR и её связь с NPV 103 • «=ВСД(CF0:CFn;i)». Функция включена по умолчанию. Как видите, она не учитывает даты выплат, в формуле предполагается, что выплаты происходят с одной и той же периодичностью. i здесь — это предполагаемое значение ставки, которая нужна для облегчения процедуры расчёта IRR в случае расчётов больших потоков платежей. Получаемая по этой формуле ставка соответствует промежуткам времени, между членами потока. То есть, если у нас ежемесячные выплаты, то и IRR получится месячной. В английском офисе функция называется по-другому — «irr»; • «=ЧИСТВНДОХ(CF0:CFn;t0:tn;i)». Для включения формулы требуется подключить надстройку «Пакет анализа». i здесь — также предполагаемое значение ставки. В этой формуле уже учитываются даты и в результате расчётов получается более точная годовая ставка. В английском офисе функция называется «xirr»; Индекс доходности проекта (PI) PI (Profitability Index) – это индекс, который можно рассматривать как вариант оценки рентабельности проекта в дисконтированной форме. Этот индекс представляет собой отношение приведённых доходов к приведённым расходам: CF +k ∑ 1it −t  CF + k PI = ⋅100 %= ⋅100 % , – CF CF –n k (4.4.15) ∑ 1it −t  n n Индекс доходности выступает некоторым аналогом NPV. Так, если у нас приведённые доходы совпадают с приведёнными расходами, то индекс равен 100%. Индекс доходности больше 100% соответствует NPV > 0, а индекс меньший 100% — отрицательной величине NPV. Срок окупаемости проекта (DPP) Срок окупаемости (DPP, DPBP, DPB, PBP — «Discounted PayBack Period») определяется суммированием последовательных членов ряда доходов, дисконтированных по ставке i, до тех пор, пока не будет получена сумма, равная объёму первоначальных инвестиций. То есть, фактически, пока не будет получен NPV = 0. Показатель применим в случае, если наша инвестиционная схема подразумевает разовую первоначальную инвестицию с периодическими положительными членами потока после неё. В MS Excel данный показатель можно рассчитать через функцию «Поиск решения». Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR (Modified IRR) Чуть ранее, рассказывая про IRR мы заметили, что при непосредственном подборе его значения, всего может быть найдено m ставок (где m соответствует количеству периодов платежей). Кроме того, в IRR подразумевает, что поток инвестиций и поток доходов учитываются по одной и той же процентной ставке. Однако логично предполагать, что поток инвестиций должен быть реинвестирован по одной ставке, а поток доходов — по другой. Эти два недостатка были исправлены в модифицированной внутренней норме доходности. Расчёт её осуществляется следующим образом. 104 1. Все значения доходов, формируемые инвестициями, приводятся к концу проекта по некоторой процентной ставке (для этого обычно используется средневзвешенная стоимость капитала WACC — минимальная ставка, по которой, как ожидается, компания в среднем должна выплатить дивиденды акционерам, владельцам компании и пр. Иначе они будут инвестировать в какие-нибудь другие проекты1). 2. Все инвестиции и реинвестиции приводятся к началу проекта по ставке дисконтирования r. 3. После этого приведённая стоимость потока доходов дисконтируется по ставке MIRR к началу проекта и приравнивается к приведённой стоимости потока инвестиций. Таким образом MIRR определяется как норма доходности, при которой все ожидаемые доходы, приведённые к концу проекта, имеют стоимость, равную стоимости всех требуемых затрат на проект. Математически расчёт MIRR можно записать следующим образом: CF +n ∑ 1WACC  m−n  . m CF –n = ∑ 1r n n=1 1MIRRm n=1 m (4.4.16) Из формулы (4.4.16) следует, что MIRR может быть найдена по формуле: MIRR=  CF +n m ∑ 1WACC  m−n m n=1 m ∑ n=1 CF –n −1 . (4.4.17) 1r n Конечно, чисто математически результатом расчётов по формуле (4.4.17) будет опять же m-корней, но большая часть из них будет комплексными числами, которые в нашем случае не будут иметь смысла, и лишь одно, действительное число, будет тем самым, искомым MIRR. В MS Excel для расчёта MIRR есть формула: «=МВСД(CF0:CFn;r;WACC)». Однако формула не разделяет потоки платежей на две части и в ней подразумевается, что потоки доходов сменяют потоки инвестиций на какой-то регулярной основе. Результат расчётов по этой формуле даёт нам ставку, соответствующую промежуткам времени между членами потока платежей. В английской версии MS Excel формула носит название «mirr». N ∑ r n MV n 1 Для расчёта WACC в общем виде используют формулу: WACC = n=1N , где MVn («Market ∑ MV n n=1 Value») - рыночная стоимость всех значимых ценных бумаг n, N – количество источников капитала, rn – требуемая норма доходности для ценных бумаг. 105 По большому счёту все рассмотренные нами показатели дают скорее информацию не о том, будет ли прибыльным проект, а о том, какой проект лучше из имеющихся перед нами нескольких вариантов. Приведённая стоимость финансовой ренты Мы рассмотрели примеры применения формул для приведения нерегулярных потоков платежей. Однако на практике встречаются и регулярные потоки платежей или потоки, члены которых различаются незначительно. Примером может быть плата за телефон, за электричество, выплаты процентов по ипотеке. Логично, что в случае с такими финансовыми рентами для расчётов можно использовать упрощённые формулы. Рассмотрим обыкновенную финансовую ренту из n одинаковых платежей, каждый размером R. Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год. Первый платёж, соответственно, происходит в конце первого периода, последний — n-го. Конец общего срока совпадает с моментом последнего платежа. Определим наращенную стоимость такой ренты S. Последний член ренты останется без изменений, так как он выплачивается на дату приведения: S n =R , (4.4.18) Предпоследний нужно будет привести по формуле: S n−1=R 1i1 , (4.4.19) Пред-предпоследний: S n−2 =R1i 2 , (4.4.20) Продолжая рассуждения получим, что произвольный k-й член преобразуется по формуле: k S n− k =R 1i , (4.4.21) а самый первый член: n−1 . S 1=R 1i (4.4.22) Просуммировав и переписав ряд, получим: 1 n −2 S= RR1i ...R1i n −1 R1i  . (4.4.23) Из курса высшей математики мы знаем, что такой ряд представляет собой ряд геометрической прогрессии, сумму которого можно найти по формуле: S= R 1in−1 1in−1 =R . 1i−1 i (4.4.24) По формуле (4.4.24) как раз и можно рассчитать наращенную сумму n-членной обыкновенной финансовой ренты постнумерандо. 106 В случае с обыкновенной финансовой рентой пренумерандо нужно сосчитать не наращенную, а современную стоимость. Для этого можно пойти двумя путями: теми же рассуждениями, что и с рентой постнумерандо, только с наращением к другой дате, либо просто провести дисконтирование величины, найденной по формуле (4.4.24) к первоначальному сроку ренты: 1in−1⋅1i−n 1−1i−n P=S 1i =R =R . i i −n (4.4.25) Стоит отметить, что эти формулы не работают в случае, когда i=0, то есть, когда не учитывается рост суммы и не даётся никакая оценка времени. В случае, когда процентная ставка i=0, очевидно, что будущая и современная стоимости совпадают и должны находится по простой формуле: P=S =R n . (4.4.26) 107 4.5 Конверсия валют Как вы знаете, многие банки предоставляют услуги по вкладам в различных валютах. Обычно наряду с рублями ещё бывают вклады и в долларах и евро. Когда нужно принять решение о том, какой из вкладов сделать, в чём вложить деньги, в большей степени возникает вопрос не того, какие процентные ставки предлагает банк (хотя это тоже существенный параметр), но того, что будет с валютой вклада в будущем, то есть каким будет курс этой валюты по сравнению с родными рублями. Рассмотрим задачу принятия решения о вкладе в общем виде. Пусть P — сумма первоначального вклада в первой валюте (рублях); P' — сумма первоначального вклада во второй валюте (в долларах); i – процентная ставка для вклада в первой валюте; i' – процентная ставка для вклада во второй валюте; S — конечная сумма в первой валюте; S' — конечная сумма во второй валюте; K(0) – курс валюты 2 относительно валюты 1 на начальный момент времени. Рассмотрим ситуацию с простыми процентами. На момент времени t1 сумма вклада в первой валюте будет составлять: S=P 1it 1 . Для второй имеем нечто похожее: S ' =P ' 1i ' t 1  . При этом значения P' и P связаны курсом валюты на начальном моменте времени: P , другими словами вторая сумма может быть представлен в виде: K 0 P S '= 1i ' t 1  . K 0 P'= При этом к моменту времени 1 у нас курс валюты каким-то образом изменится и составит какую-то величину, которую мы обозначим через K(1). Сравнение первого и второго вариантов вложений в таком случае сводится к сравнению двух полученных сумм в одной валюте. То есть либо надо первую конечную сумму перевести во вторую валюту, либо вторую в первую. Сравним: S=P 1it 1 и S '= K 1 P 1i ' t 1  . K  0 108 Сравнение сводится к сравнению соответствующих коэффициентов роста: 1it 1  и K 1 1i ' t 1  . K 0  Для того, чтобы провести полноценное сравнение этих двух величин аналитику нужно узнать значение курса валюты на момент времени 1, так как всё остальное уже известно. А как это можно сделать в момент вклада? Только используя методы прогнозирования. Получается, что задач принятия решения о валюте вклада сводится к тому, чтобы спрогнозировать значение курса валюты на момент окончания сделки. В любом случае задача эта не тривиальная и результат прогноза не всегда получается адекватным. Если пользоваться чисто техническим анализом, то можно попытаться подобрать функцию, которая лучше опишет динамику курса валюты и использовать её для прогнозирования. Например, вот динамика курса доллара США с 15.11.2008 по 15.11.2009: Однако для полноценного серьёзного анализа нужно пользоваться помимо технического ещё и фундаментальным анализом. Например, курс доллара по отношению к рублю сильно зависит от экономико-политической ситуации в США и в России. Значит нужно попытаться проанализировать текущую ситуацию и предсказать, что нас ждёт через год... Как бы то ни было, решение нужно какое-то принимать и возможность спрогнозировать курс валюты и получить хоть какую-то информацию в любом случае лучше, чем вклад денег вслепую. Пример. Имеется сумма в 100 тыс. долл. Нужно принять решение о том, как вложить эти деньги, чтобы получить наибольший выигрыш через год. Решение. На 15.11.09 курс доллара составил 28,83 руб. за доллар. 109 То есть на 15.11.09: P = 288300 руб., P' = 100000 руб., В сбербанке России рублёвый вклад на срок от года на сумму P предлагается под i = 8,5%. На сумму P' на тот же срок i' = 3,5%. Для сравнения двух вариантов вклада нам не достаёт только курса валюты на 15.11.10. Для того, чтобы спрогнозировать это значение нужно изучить динамику курса валюты, выбрать наилучшую функцию и выполнить рассчёты. Если попытаться построить линейный тренд по ряду данных, то мы получим, что курс доллара на ноября будет меньше, чем в этом году и составит порядка 25 рублей за доллар. Сравним теперь результаты: 10,085=1,085 и 25 10,035≈0,898 . 28,83 То есть по нашим прогнозам коэффициент роста для суммы в долларах будет меньше, а значит и конечная сумма будет меньше, чем при рублёвом вкладе. 110