Математические методы исследования в электромеханике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения» Кафедра “Технической физики, электромеханики и робототехники” Конспект лекций по курсу «Математические методы исследования в электромеханике» (для студентов специальности 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротехника») Преподаватель: доц. к.т.н. Соленая О.Я. 2015 Санкт-Петербург СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 4 1.1. Математическое моделирование 4 1.2. Модели объектов и процессов 6 1.3. Особенности построения математической модели 7 1.4. Способы описания математических моделей 9 1.5. Детерминированные модели 9 1.6. Стохастические модели 10 1.7. Метод Монте-Карло 10 1.8. Основные типы задач при математическом моделировании в электромеханике 11 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с учетом особенностей электротехнических задач 12 2.1. Постановка задачи для СЛАУ. 12 2.2. Методы решения СЛАУ 13 2.3. Метод Жордана 13 2.4. Метод Гаусса или метод главного элемента 16 2.4.1. Прямой ход метода Гаусса 17 2.4.2. Обратный ход метода Гаусса 18 2.4.3. Расчет примера по методу Гаусса 19 2.5. Метод обращения матриц 20 2.5.1. Метод обращения матриц путем перестановки элементов столбцов b и x 20 2.6. Оценка сравнительной вычислительной эффективности метода обращения матрицы при многократном решении СЛАУ 23 2.7. Метод треугольной факторизации матрицы коэффициентов 23 2.8. Особенности решения СЛАУ электрических систем 27 2.9. Учет симметричности матрицы узловых проводимостей 27 2.10. Учёт слабой наполненности матрицы узловых проводимостей 30 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СНАУ) 32 3.1 Метод простой итерации 34 3.2. Метод Зейделя 35 3.3. Метод полной релаксации 36 3.4. Решение на основе метода Гаусса 37 3.5. Сравнительная оценка скорости сходимости метода Гаусса-Зейделя, метода Зейделя 38 3.6. Метод Ньютона 39 3.7. Ход итерационного процесса метода Ньютона 40 3.7.1 Ход итерационного процесса модернизированного метода Ньютона на основе уравнений баланса мощности 42 3.8. Метод градиентов (скорейшего спуска) 42 3.9. Метод скорейшего спуска (метод градиентов) для нелинейных уравнений 43 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 43 4.1. Метод Эйлера 44 4.2. Метод Эйлера-Коши 45 4.3. Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка 45 5. Численное интегрирование. Классификация методов интегрирования 46 5.1. Метод прямоугольников 46 5.2. Метод трапеций 47 5.3. Метод Симпсона 47 5.4. Оценка погрешностей методов Ньютона-Котеса. Рекомендации по выбору шага интегрирования 48 6. Интерполяция зависимостей 49 6.1. Постановка задачи интерполяции 49 6.2. Интерполяционная формула Лагранжа 51 6.3. Интерполяционная формула Ньютона 52 6.4. Гармонический анализ и синтез периодических функций 53 6.5. Поиск экстремальных значений методом «Золотого сечения» 54 Список литературы 55 1. Введение Цель курса – связать абстрактное математическое описание с конкретной электротехнической задачей для ее решения. Объектом приложения математической модели служат реальные объекты (например, схема электромеханического устройства, электроснабжения предприятия и т.д.) Сам процесс решения перечисленных выше задач называется математическим моделированием. 1.1. Математическое моделирование Математическое моделирование процессов и явлений в различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых знаний и технологических решений. Для осуществления математического моделирования исследователь независимо от его специальности должен знать определенный минимальный набор методов вычислительной математики, а также владеть способами и программной реализацией на ЭВМ. Эти знания и навыки необходимы также при использовании готовых пакетов программ, иначе будет затруднено планирование вычислительного эксперимента и интерпретация его результатов. Цель моделирования – получение и обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой, а Модель (упрощенное представление о реальности) выступает как средство показания свойств и закономерностей поведения объекта. Иерархия понятий: Реальность -> Физическая модель -> Математическая модель -> Численная схема -> программная структура -> Программная модель -> Модель архитектуры компьютера Модель представляет собой проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда в зависимости от целей можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного. Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего или создаваемого объекта является его математическая модель, количественный анализ которой позволяет получить новые знания об этом объекте. Удобства, предоставляемые современными ППП для ЭВМ их пользователям часто приводят к стремлению обратиться при количественном анализе модели к существующим и постоянно совершенствуемым универсальным пакетам типа MathCAD, MathLAB и др. Более того, универсальность ММ позволяют создавать программные комплексы типа NASTRAN или ANSYS, в которые исходная информация вводится даже не в виде ММ, а в виде расчетной схемы технического объекта. Однако метод, который годится для решения многих стандартных задач, часто не является наилучшим при решении конкретной задачи, особенно нестандартной, а нередко и вообще не применим. Но в инженерной практике решать приходится в основном нестандартные задачи, потому что стандартные все решены или могут быть решены без особых творческих усилий. При решении новых и сложных задач, не имеющих близких аналогов, путь формального обращения к универсальным пакетам и программным комплексам может привести к получению результатов, которые не удается интерпретировать применительно к рассматриваемому техническом объекту. В таких случаях анализ ММ нужно строить на умелом сочетании качественных оценок, аналитических методов и применения ЭВМ, помня, что цель расчетов – не числа, а понимание. Все это говорит о том, что ЭВМ, освобождая нас от многих забот и обязанностей, не освобождает во всяком случае от двух из них – от необходимости владеть математикой и творчески мыслить. Пример расчета теплового реле 1. Ш– образный магнитопровод. 2. Обмотка электромагнита. 3. Пружина. 4. Якорь. 5. Коммутируемые контакты. В расчет электромагнитного реле входит: 1. Расчет электромагнита (ток, рабочее напряжение и т.д.). 2. Расчет магнитной системы (размеры, материал). 3. Расчет контактной системы (величина, материал). 4. Тепловой расчет (режим работы реле). Одним из видов тепловых расчетов является метод «Эквивалентных тепловых схем замещения», основанный на аналогии тепловых и электрических процессов. В результате строится электрическая схема замещения теплового процесса. Аналогия: тепловому сопротивлению ставится . Тепловое Электрическое qi I I1-I2 U Ст Cэл. Разобьем реле на две части как показано на рисунке 2. (1) Уравнение (1) – теплового баланса – матрица тепловых мощностей; – время; – температура; – матрица проводимости веществ (расчет производится по закону Кирхгофа). – матрица приращения температуры. Задачи решения по данному уравнению могут быть двух видов: 1. Решение задачи в динамике (уравнение (1) используется в целом). 2. Стационарный режим (уравнение (1) принимает вид G*T = P). Математической моделью теплового процесса является система уравнений в матричном виде, приведенная к виду Стационарные задачи Линейные (не учитывают изменение параметров при решении) Нелинейные (учитывают изменение параметров в процессе решения) Теория моделирования является разделом науки, изучающим способы исследования свойств объектов оригиналов на основе замещения их другим объектом (моделью). Многие явления и процессы разной природы описываются аналогичными соотношениями (пример выше), поэтому для анализа, решения и расчета математической модели необходимо владеть развитым математическим аппаратом, охватывающим все виды типовых задач по прикладной математике. Априорные сведения – сведения, известные до опыта. Регрессионный анализ – – анализ на реальные данные; корреляционный анализ – зависимость связанности двух процессов. 1.2. Модели объектов и процессов Модель – упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении. Моделирование – построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов или явлений. Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по кото­рым классифицируют модели: • область использования; • учет в модели временного фактора (динамики); • отрасль знаний; • способ представления моделей. По области использования модели можно классифицировать следующим образом: • учебные модели – наглядные пособия, различные тренаже­ры, обучающие программы; • научно-технические модели – создают для исследования про­цессов и явлений; • игровые модели – военные, экономические, спортив­ные, деловые игры; • имитационные модели – не просто отражают реальность, а имитируют ее. Эксперимент либо многократно повторяет­ся, либо проводится одновременно со многими другими похожими объектами, но поставленными в разные условия. Модели делят на две большие группы: материальные и ин­формационные. Рис. 1.3. Классификация моделей Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение. В основе информационного метода моделирования лежит информационный подход к изучению окружающей действитель­ности. Информационная модель — совокупность информации, харак­теризующая свойства и состояние объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Информационные модели в свою очередь подразделяются на знаковые и вербальные. Вербальная модель — информационная модель в мысленной или разговорной форме. (К таким моделям можно отнести и идею, возникшую у изобретателя, и музыкальную тему, и рифму, прозвучавшую пока еще в сознании автора.) Знаковая модель — информационная модель, выраженная спе­циальными знаками, т. е. средствами любого формального языка (это рисунки, тексты, графики, схемы). По форме представления можно выделить следующие виды информационных моделей: • геометрические — графические формы и объемные конст­рукции; • словесные — устные и письменные описания с использова­нием иллюстраций; • математические — математические формулы, отображаю­щие связь различных параметров объекта или процесса; • структурные — схемы, графики, таблицы и т. п.; • логические — модели, в которых представлены различные варианты выбора действий на основе умозаключений и анализа условий; • специальные — ноты, химические формулы и т. п.; • компьютерные и некомпьютерные модели. 1.3. Особенности построения математической модели Математическое моделирование можно рассматривать как средство изучения реальной энергетической системы путем ее замены более удобной моделью, сохраняющей существенные черты оригинала. Модель называется изоморфной, одинаковой по форме, если между нею и реальной системой существует полное поэлементное соответствия. Модель называется гомоморфной, если существуют соответствия лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели. Математическое моделирование включает в себя следующие этапы: 1) постановка задачи; 2) построение модели; 3) разработка алгоритма; 4) проверка правильности алгоритма т.е. проверка адекватности моделей и объекта; 1) реализация, т. е. программирование алгоритма; 2) анализ алгоритма и его сложности; 3) проверка (отладка) программы; 4) составление документации (отчет по л/р или к/р). 5) использование модели. Исследование объекта моделирования и составление его математического описания заключается в установлении связи между параметрами процесса. Выявление его начальных и граничных условий, формализация процесса в виде системы математических соотношений. Математическое описание составляется на основе фундаментальных уравнений различных наук, которые характеризуют динамику и статику процессов в исследуемых объектов. Наиболее распространенные: Детерминированные1) модели (включают в себя различные уравнения – дифференциальные и др.). Стохостическое2) моделирование (учитывает случайный характер процессов, а также методы теории вероятностей и математической статистики). Если априорных3) сведений об объекте не достаточно, то вид математической модели уточняется с помощью методов многомерной статистики, а именно: регрессионного, корреляционного и других видов анализа, а также проведения инженерного эксперимента. Регрессионный анализ (например, зависимость , получаем таблицу значений и производим математический анализ). Корреляционный анализ (показывает зависимость на сколько связаны между собой два процесса. коэффициент корреляции, если -прямая зависимость, – обратная зависимость. Принцип построения модели Аналитическая (позволяет получить функциональные зависимости искомых величин. Самые точные модели, точность которых определяется исходными данными) Имитационная (имитирует поведение объекта) Однако по мере усложнения объекта моделирования построение математической модели превращается в трудноразрешимую проблему, поскольку аналитические модели разработаны только для тела классической конфигурации, т.е. состоящих из одного материала. Но поскольку инженерные модели или электротехнические объекты не укладываются в эти рамки, аналитическое моделирование практически не применимо в инженерных расчетах. Само понятие инженерного расчета предполагает определенную погрешность. В тоже время широкое распространение получили имитационные модели, которые рассматриваются как проводимые на ЭВМ эксперименты с математической моделью, имитирующей поведение реальных объектов. Особенности функционирования объектов моделирования и вид используемого математического описания, определяется непрерывный или дискретный характер модели, а цели проектирования – детерминированный или стохастический подход к построению математической модели. Методы математического моделирования позволяют: • исключить необходимость изготовления громоздких физических объектов (моделей), связанную с материальными затратами; • сократить время на определения характеристик (особенно при расчете математической модели на ЭВМ); • изучить поведение объектов моделирования при различных значениях параметров, проанализировать применимость различных элементов, получить характеристики показателей, которые можно снять экспериментально. Детерминированные – предопределенные; Стохастическое моделирование – вероятностное; Априорные сведения – данные, известные до эксперимента. Два основных преимущества перед физическим моделированием на объекте: • скорость проведения экспериментов с использованием ЭВМ; • встроенный анализ любых ситуаций математической модели в любых режимах, не доступных для физической модели. 1.4. Способы описания математической модели Математическая модель устройства системы или процессов в общем виде представляется в виде системы функционалов где x, y – векторы входных и выходных координат; z – векторы внешних воздействий; t – координат времени. Способ представления функционала зависит от цели моделирования, назначения объекта объема известной информации и характера исходных данных. 1. Системы дифференциальных уравнений, описывают динамические системы, а именно переходные процессы в системах электроснабжения (включение и выключение оборудования, режим коротких замыканий и т.д.) Традиционная задача определения величины и времени действия короткого замыкания К.З (переходной режим). 2. Алгебраические уравнения описывают установившиеся режимы работы оборудования. Типовая задача - нахождение токов в линиях для выбора сечений, токов подвода. 3. Нелинейные уравнения или система нелинейных уравнений могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными (отличие от предыдущих лишь в том, что при их решении учитываются изменяющиеся параметры самой энергосистемы, а именно: нелинейные сопротивления, насыщение магнитопроводов трансформаторов и др. оборудования, что позволяет найти точное значение параметров оборудования). 1.5. Детерминированные модели (предопределенные) Поведение большинства технических систем можно охарактеризовать при помощи так называемых фазовых переменных, а именно физических величин типа: – магнитного потока, – потенциала. При этом целесообразно выделить в объектах моделирования достаточно крупные элементы, рассматриваемые как неделимые единицы. Законы функционирования системы задаются компоновочными уравнениями, связывающими разнородные фазовые переменные. Общность описания процессов, происходящих в различных технических системах, позволяет выделить несколько типов элементов, а именно: – элемент рассеивания энергии; – элементы накопления энергии. При сочетании этих простейших элементов получают эквивалентную схему технической системы любой сложности, а также ее математическую модель. В приведенной ниже таблице 1.1 выражен конкретный смысл фазовых переменных в разных видах подсистем. Таблица 1.1 Подсистема Фазовые переменные Элементы Тип потока Потенциал R C L Электрическая Ток (I) Напряжение (U) R активное сопр. C емкость L индуктивность Тепловая Тепловой поток T – температура Тепловое сопротивление Ст теплоемкость нет Механическая поступательная Сила V – скорость F – сила трения F – сила упругости масса Гидравлическая Расход P – давление Гидравлическое сопротивление Гидравлическая емкость Гидравлическая индуктивность Механическая вращательная Момент Угловая скорость Нет Вращательная гибкость Момент инерции Детерминированная математическая модель – аналитическая для технического объекта, в общем случае является системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В матричном типе тепловой модели реле (рис. 1.1) уравнение теплового баланса для схемы замещения записывается в виде: . Подобную систему при большом количестве уравнений можно решать только численными методами, заменяя непрерывную независимую переменную ее дискретными аналогами. Совокупность значений фазовых переменных на (к)-том шаге интегрирование получается путем решения системы алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных) с неизвестными Существуют переопределенные и недоопределенные системы. Решение таких систем возможно как прямыми, так и итерационными методами. Система уравнений представляет собой объединение компонентных топологических и разностных уравнений в одной системе. Топологическими уравнениями задаётся связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам системы. Такие уравнения в большинстве физических систем базируются на уравнениях равновесия и непрерывности (пример: на базе I и II законов Кирхгофа). 1.6. Стохастические модели При описании объектов электротехники и автоматики можно выделить следующие виды стохастического (вероятностного) моделирования: 1. Стохастическое моделирование на основе метода Монте-Карло имеет приложения помимо задач математического моделирования к решению ряда частных задач численных методов, например, взятие интегралов, решение дифференциальных уравнений и т. д. 2. Аналитическое вероятностное моделирование, которое имеет приложение к построению моделей, оперирующих не с конкретными случайными числовыми последовательностями, а непосредственно с их вероятностными (законы распределения вероятности) и спектральными (спектр плотности или корреляционные функции) характеристиками. Корреляция выражает меру связи двух процессов. В общем случае построение таких моделей представляет собой сложную вычислительную задачу, что не позволяет в полной мере использовать такие их преимущества, как возможность точного аналитического задания характеристик случайных процессов, отсутствие необходимости генерации и обработки больших выборов случайных чисел и приспособленность к оперативной оптимизации. 1.7. Метод Монте-Карло В математике существует целое направление, связанное с методом Монте-Карло. Оно занимается использованием случайных чисел для решения различных математических задач: интерполяции, вычисления интегралов, решения дифференциальных и интегральных уравнений, решения систем линейных уравнений, поиска экстремума, моделирования процессов и т.д. Преимущества недетерминированных методов особенно ярко проявляются при решении задач большой размерности, когда применение традиционных детерминированных методов затруднительно или совсем невозможно. Границы между простым и трудным, возможным и невозможным с развитием вычислительной техники сдвигаются вдаль, но существуют всегда. Основной недостаток недетерминированных методов – их медленная сходимость, что вынуждает искать компромисс между невысокой точностью результатов и большим расходом времени. Вначале для получения случайных чисел использовались заранее составленные таблицы и физические датчики. Очевидным недостатком таблиц является их ограниченный объем, а использование физических датчиков наталкивается на сложность реализации, медлительность датчиков, их капризность и невоспроизводимость полученных результатов. Поэтому вместо чисто случайных чисел стали использовать псевдослучайные числа, генерируемые с помощью той или иной программы. Случайность при таком подходе заменяется непредсказуемостью для неосведомленного пользователя: наблюдая некоторое время «хорошую» последовательность псевдослучайных чисел, он не в состоянии предсказать, каким будет следующий член этой последовательности, хотя на самом деле все они вычисляются по довольно простой формуле. Прежде чем использовать для решения задач тот или иной датчик случайных чисел (табличный, физический или программный), его подвергают разнообразным тестам: на равномерность (или согласие с другим предписанным законом распределения), на независимость и т. д. Одно из преимуществ метода Монте-Карло заключается в его своеобразной «локальности» – этим методом можно, например, искать одну составляющую решения системы линейных уравнений, не интересуясь другими компонентами, или искать значение функции, являющейся решением дифференциального уравнения, в одной точке и т.п. Если, например, трудоемкость прямых методов вычисления определенных интегралов с ростом размерности пространства переменных возрастает как кп (к – число шагов, на ко­торое разбивается интервал интегрирования по каждой оси), то трудоем­кость алгоритма Монте-Карло возрастает как kn/2. Основной недостаток метода Монте-Карло – сравнительно медленная сходимость, для получения более или менее надежных результатов требуется большое число повторений. Процессы в системе могут протекать по-разному в зависимо­сти от условий, в которых находится система. Следить за поведе­нием реальной системы при различных условиях и исследовать всевозможные варианты бывает трудно, а иногда и невозможно. В таких случаях выручают модели. Построив модель, можно многократно возвращаться к начальному состоянию и наблю­дать за поведением модели. Такой метод исследования систем называется имитационным моделированием. Имитационное моде­лирование применяют в тех случаях, когда необходимо учесть возможно большее разнообразие исходных данных, изучить про­текание процессов в различных условиях. Само название метода «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игор­ными домами. Дело в том, что одним из механических приборов для получения случайных величин является рулетка, используе­мая в игорных домах. 1.8. Основные типы задач при математическом моделировании в электромеханике 1. Идентификация (уточнение модели) динамических характеристик линейных звеньев при использовании различных описаний сигналов на их входе и выходе. 2. Использование метода наименьших квадратов для описания передаточной характеристики по массивам данных на входе и выходе системы. 3. Исследование устойчивости линейных динамических систем на основе использования различных критериев (именных). 4. Анализ качества линейных систем автоматического управления. Определение оптимальных управляющих воздействий. 5. Исследование нелинейных автоматических и электроэнергетических систем на основе приближенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. 6. Статическое имитационное моделирование измерительных устройств и систем на ЭВМ (построение гистограммы, корреляционных функций и т. д.). 7. Аналитическое вероятностное моделирование измерительных информационных систем на основе взаимосвязанных вероятностных (закон распределения вероятности) и энергетических (спектральные плотности) мощностей модели. 8. Решение задачи определения значений измеряемой величины: скоростей, потока, звуковой волны или температур в замкнутой области. 9. Исследование устройств автоматики методом планирования эксперимента. 10. Анализ спектров распределения сигналов, с использованием преобразований Фурье в задачах распознавания образов и цифровой обработки сигналов. (OCR –программы). 11. Анализ и оценка погрешностей измерительных устройств и систем на основе методов интервального анализа (интервальный анализ – исходные данные берутся не как конкретные значения, а как интервал данных, задаются max и min значений электрических параметров). 12. Решение задач автоматизации проектированием (САПР – системы автоматического проектирования). 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В задачах расчета процессов и режимов энергетических систем в электромеханике часто требуется решать СЛАУ, причем либо это полностью решает поставленную задачу, либо составляет ее значительную часть в вычислительном отношении. Поскольку порядок системы уравнений обычно высок и может потребовать ее многократного решения при изменяющихся правых частях, то очень важно применять наиболее эффективные методы решения с максимальным использованием специфики электроэнергетических задач. 2.1. Общая постановка для всех методов решения задач В общем случае задача формируется следующим образом: нужно найти значения , удовлетворяющие системе из уравнений. где – пассивные элементы цепи . – активные элементы ; – неизвестный элемент; Необходимым и достаточным условием существования решения является неравенство нулю определителя: . 2.2. Методы решения СЛАУ Методы решения СЛАУ: • прямые – позволяют получить точное решение (к ним относятся методы определителей Крамера, Гаусса, прогонки, схемы Жордана, метод обращения матрицы, метод треугольной факторизации матрицы коэффициентов). • итерационные (последовательного приближения) – основаны на получении и уточнении последовательных приближений к точному решению; эффективны в случае, когда много нулевых элементов (говорят, что матрица разреженная) или высок порядок системы. 1. Метод Гаусса - эффективен до порядка . 2. Итерационные методы - до порядка . 3. Метод Крамера менее эффективен для использования при решении задач на ЭВМ, поскольку требует максимального числа арифметических операций. 4. Метод Гаусса – Хотеллинга дополнительных шагов. К итерационным методам решения СЛАУ относят: метод простых итераций, метод Зейделя, метод градиента (скорейшего спуска), метод Хоттелинг. В результате эквивалентных преобразований получаем: 2.3. Метод Жордана Этот метод очень близок к методу Гаусса, поэтому его иногда называют методом Гаусса-Жордана, однако он компактнее из-за однотипных шагов матричных коэффициентов системы уравнений. В результате значения неизвестных могут быть равны значениям правых частей соответствующих уравнений. = Первый шаг метода Жордана полностью совпадает с методом Гаусса. (1) Первое уравнение делим на (правую и левую часть). Получаем элементы с индексом 1: В результате выполнения первого шага первый столбец матрицы коэффициентов приводится к нужному виду (первый столбец единичной матрицы) На втором шаге, полученная после первого шага система преобразуется таким образом, чтобы и второй столбец матрицы коэффициентов принял вид второго столбца единичной матрицы. Вычисления для всех N шагов однотипны и для произвольного шага k могут быть записаны следующим образом. Здесь, также как и в методе Гаусса, вычисления возможны при условии, что ведущий элемент (диагональный , где ) отличен от нуля, что для неособенной матрицы коэффициентов всегда можно выполнить путем перестановки строк и столбцов. Результирующий вид системы будет следующий Этот метод отличает компактная схема вычисления, однако, это сопровождается увеличением объема вычислений. Применение метода затруднительно, если какой-нибудь из ведущих элементов равен 0. Трудности этой можно избежать, если изменить порядок уравнений системы, а это всегда возможно для неособенной матрицы коэффициентов. Максимальная точность достигается в случае, когда ведущий элемент имеет наибольшее значение. Строку с нулевым или малым ведущим элементом необходимо заменить из стоящих под ней строк на ту, в которой в том же столбце стоит элемент, имеющий наибольшее значение. Ниже приведен конкретный пример решения системы уравнений. Сравнение трудоемкости метода Жордана с методом Гаусса Оценку выполним по количеству операций умножения и деления, которое требуется для решения системы N линейных алгебраических уравнений. Жордана (Мж) Гаусса (Мг) Сведем в таблицу оценку трудоемкости Таблица 2.1 N 2 3 4 5 10 25 100 Мж 6 18 40 75 550 8125 505’ 000 Мг 6 17 36 65 430 5825 343’ 000 1 4 10 120 2300 162’ 000 Как следует из полученного выражения и приведенной таблицы, при использовании метода Жордана, несмотря на его большую компактность, организация вычислений требует большего объема вычислений, чем при методе Гаусса. Причем эта разница становится более ощутимой по мере роста порядка системы уравнений. Поскольку в реальных электроэнергетических расчетах приходится иметь дело с системами из сотен уравнений, то применение метода Жордана явно нецелесообразно. 2.4. Метод Гаусса или метод главного элемента Постановка задачи аналогична схеме Жордана. Требуется решить систему , где А – квадратная матрица, определитель которой неравен нулю (); – векторы соответственно правых частей и неизвестных. Решение по методу Гаусса состоит из 3-х этапов: 1. Найти в каждом столбце коэффициент матрицы А и переставить строки так, чтобы этот максимальный элемент находился на главной диагонали матрицы А (элемент с индексом ii), поскольку на элементы, стоящие в главной диагонали, будет происходить деление. При этом, чем больше данный элемент по модулю, тем меньше погрешность вычислений. В этом и состоит «выбор главного элемента». 2. Сведение полученной после пункта 1 системы уравнений к равносильной системе, матрица коэффициентов которой является верхней треугольной с единичными элементами на главной диагонали. Этот пункт называется прямым ходом метода Гаусса. 3. Вычислим по полученной системе уравнений значения неизвестных в обратной последовательности. Отсюда название – обратный ход метода Гаусса. 2.4.1. Прямой ход На первом шаге отличий от метода Жордана нет: Общая формула для k-ого шага ; ; 2.4.2. Обратный ход При вычислении обратного хода полученная после прямого хода система уравнений легко решается относительно неизвестных. Суммарное количество операций умножения и деления, необходимое для решения системы их N уравнений, будет состоять из прямого и обратного хода. Таблица 2.2 ­ Сравнения по методу Гаусса с системами уравнений разных порядков 3 4 5 10 25 100 14 30 55 385 5’525 338’350 3 6 10 45 300 4’950 17 36 65 430 5’825 343’300 2.4.3. Расчет примера по методу Гаусса 2.5. Метод обращения матриц Данный метод формально наиболее очевидный для решения систем СЛАУ. В этом случае система вида приводится к виду , т.е. для определения вектора x нужно умножить матрицу правых частей на обратную матрицу коэффициентов. Классический метод состоит в следующем – исходная матрица транспонируется, находится союзная, каждый элемент которой равен минору транспонированной матрицы. Путем деления союзной матрицы на определитель исходной матрицы получаем искомую обратную матрицу. Расчет определителя порядка N (на основе суммы прямого хода метода Гаусса) требует Mdet= (N-1)(N2+N+3)/3 операций умножения и деления. Тогда число этих операций, необходимых для обращения матрицы составит: (N-1)(N2+N+3)/3 + N2(N-2)((N-1)2+N+2)/3 + N2 = (N-1)(N4-2N3+4N2+N+3)/3 то есть катастрафически велико по сравнению с методом Гаусса для систем уравнений относительно высоких порядков. Поэтому классический метод не применяется в расчетах, а используются другие методы на основе обращения матриц. 2.5.1. Метод обращения матриц путем перестановки элементов столбцов b и x Сущность: за N однотипно последовательно выполняемых шагов меняются местами элементы столбцов правых частей и неизвестных в системе уравнений Аx=b. В результате получаем систему Сb=x, следовательно, : и подставим во второе уравнение: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В полученной системе уравнений можно выделить три основных направления пересчета элементов по однотипным выражениям: 1) Диагональные коэффициенты. 2) Недиагональные элементы I-той строки. 3) Недиагональные элементы I-того столбца. 4) Все остальные элементы. Если преобразованную систему после 1-того шага представить в следующем виде, то получим - элемент строки; - элемент столбца; - все остальные элементы (i,j=2..,N). На втором шаге действия аналогичны (i,j=1..,N) . Для произвольного шага к: ; ; ; ; (k,i,j=1..,N) . После выполнения n шагов, слева получается обратная матрица, умноженная на столбец правых частей. В этом методе, как и в методе Гаусса требуется выполнение условия Для оценки вычислительной трудоемкости можно как и раньше определить число операций умножения и деления. Однако в данном случае это можно сделать без вычислений, воспользовавшись следующими рассуждениями: 1. Каждое из выражений для k содержит одну из операций умножения или деления. На каждом шагу пересчитываются все элементы матрицы А, т.е., вычисляется n шагов с этими элементами. Следовательно, вычисление обратной матрицы требует операций умножения и деления. Это существенно меньше, чем в классическом методе, так как там операций умножения и деления. 2. Решение СЛАУ порядка N, состоящее в обращении матрицы А и умножение ее на столбец правых частей состоит из операций. Расчет примера по методу обращения матриц. Берем тот же пример и ведем вычисления прямо по полученным формулам: 2.6. Оценка сравнительной вычислительной эффективности метода обращения матриц при многократном решении СЛАУ В электротехнических расчетах часто приходится решать СЛАУ, в которых матрица коэффициентов одинакова, а изменяется столбец правых частей. В этом случае метод обращения матрицы имеет то явное преимущество, что наиболее трудоемкая часть расчетов, а именно вычисление обратной матрицы выполняется только один раз и для каждого столбца правых частей выполняется только умножение матрицы на столбец. Поэтому если необходимо решить V таких уравнений, то метод обращения матрицы для этого случая определяется операций деления и умножения. Метод Гаусса в этом случае должен применяться в полном объеме для каждых операций левых частей и будет иметь операций деления и умножения. Из сопоставления этих выражений следует, что когда т.е. V>3, а . метод обращения матрицы требует меньшего объема вычислений, чем метод Гаусса. Однако, сделать окончательный вывод о рациональности метода обращения матрицы было бы преждевременным, до рассмотрения эффективных методов решения, основанных на факторизации элементов матрицы, т.е. представления ее в виде матрицы сомножителей специального вида. 2.7. Многократное решение СЛАУ. Метод треугольной факторизации матрицы коэффициентов Сущность указанного метода заключается в том, что матрица коэффициентов А СЛАУ вида представляется в виде произведения нижней и верхней -матрицы. Известно, что такое представление всегда возможно для неособенной матрицы А и при задании диагональных элементах одной из матриц сомножителей. Представим в виде , где L, H – соответственно, нижняя и верхняя треугольные матрицы. L=0 H= 0 При таком представлении эта система может быть представлена в виде двух систем , из которых первая решается прямой подстановкой относительно (y), а 2-ая относительно (x) – обратной подстановкой. Разбиение матрицы на матрицы L и H называется треугольной факторизацией. Для определения факторизованных матриц L и H, произведение которых равно А, воспользуемся матричной записью прямого хода метода Гаусса, в результате которого матрица А приводится в верхний треугольник. Пояснения существа преобразований будем вести на основе матрицы четвертого порядка, делая по мере необходимости обобщения на случай порядка N. На первом шаге исходная матрица коэффициентов приводится к виду ; . Это преобразование можно выполнить путем умножения матрицы А слева на матрицу: На втором шаге получаем матрицу На третьем шаге: , где На четвертом шаге: =T4A(3) Т.е. матрица А приведется к верхней треугольной матрице с единичными диагональными элементами: ; ; ; ; , где . Очевидно, что для системы порядка N: . Отсюда следует, что . Рассмотрим, что такое = L Если выполнить вычисления прямого хода метода Гаусса, т.е. расчеты по приведенным в начале лекции выражениям для N = 4 и K = 1, 2, 3, 4, то вместо матрицы А получим следующее: , то есть элементы матриц L и H, записанные без нулей и единиц (на диагонали матрицы Н). Итак, разложение получаем в результате выполнения прямого хода метода Гаусса по приведенным в начале темы выражениям. В литературе имеется доказательство того, что этот вывод справедлив для матрицы А любого порядка. После разложения матрицы А на L и H прямой подстановкой решаем систему , находя y и обратной подстановкой решаем уравнение . Решение системы N линейных уравнений по методу треугольной факторизации матрицы коэффициентов требует столько же операций умножения и деления, что и метод Гаусса. Однако представление матрицы коэффициентов в факторизованном виде делает этот метод более эффективным, чем метод Гаусса при решении V систем уравнений, отличающихся столбцами правых частей. Действительно, в этом случае факторизация матрицы коэффициентов выполняется N раз, а V раз повторяется вычисление только y, x. Объем вычислений здесь меньше, чем в методе обращения матрицы коэффициентов путем перестановки столбцов и строк. Таким образом, метод факторизации матрицы коэффициентов, основанный на вычислительной схеме прямого хода метода Гаусса, представляется наиболее предпочтительным для решения нескольких СЛАУ, отличающихся столбцами правой части. Это метод по объему вычислений не уступает методу Гаусса и при однократном решении СЛАУ. Однако здесь несколько меньшая компактность вычислительной схемы может привести к упрощению метода Гаусса. В общем случае для многократного решения СЛАУ с постоянной матрицей А и разными правыми частями (что часто бывает в электроэнергетических расчетах) наиболее предпочтителен метод треугольной факторизации. Пример. – после первого и второго шагов это система Ly=b. это H x = b 2.8. Особенности решения СЛАУ электрических систем Решение СЛАУ для электрических систем имеет следующие особенности: 1. Высокий порядок системы. 2. Симметричность матрицы коэффициентов. 3. Слабая наполненность этой матрицы. 4. Автоматически выполняет условие неравенства нулю диагонального элемента. Использование метода узловых потенциалов. где - матрица узловых проводимостей порядка ; - столбец напряжений (комплексных), узлов относительно базисного; - число узлов схемы замещения; - столбец размера , задающий токи узлов. Причинами широкого использовании указанных уравнений является простота формирования матрицы узловых проводимостей, простая вычислительная схема расчёта падений напряжений и токов ветвей при известных , а также использование 4 пункта, описанного выше. Матрица узловых проводимостей обладает такими свойствами как симметричность, слабая наполненность, учет которых позволяет значительно уменьшить объем вычислений при решении узловых уравнений. 2.9. Учет симметричности матрицы узловых проводимостей Это свойство матрицы узловых проводимостей нарушается только при учёте в схеме замещения электрической системы трансформаторов с комплексными коэффициентами трансформации. В большом числе исследований установившихся режимов трансформаторы учитываются в схеме замещения электрической системы либо элементами, включающими сопротивление и идеальные трансформаторы с вещественными коэффициентами трансформации, либо только сопротивлениями приведения схемы замещения к одной ступени напряжения. В этом случае матрица узловых проводимостей является симметричной. При решении СЛАУ симметричной матрицы (коэффициенты ) в процессе вычисления прямого хода метода Гаусса сохраняется симметричность прямого хода диагонального блока, расположенного правее и ниже ведущего элемента: . Это следует из расчётных выражений , . Если , после нескольких шагов это выражение приводится к виду . То есть если исходная матрица симметрична, то и соответствующий диагональный блок при будет симметричным на каждом шаге прямого хода метода Гаусса с шагом . Этот факт наглядно виден на примере метода Гаусса. Указанное свойство сохранения симметрии позволяет более рационально организовать вычислительный процесс прямого хода метода Гаусса. Например, можно оперировать только нижней -подматрицы (включая главную диагональ), заполняя в процессе вычисления верхнюю -подматрицу элементами ведущей строки для каждого шага при . Рассмотрим схему построение такого вычислительного процесса на примере системы 4-го порядка, вводя в расчет только нижнюю -подматрицу симметричной матрицы коэффициентов. Обозначим остальные неиспользуемые элементы в вычислениях x. В этом случае система уравнений примет следующий вид . На первом шаге пересчитывается диагональный блок нижней треугольной подматрицы для . . Пересчитываются по следующим выражениям . На втором шаге вычисления выполняются аналогично . На третьем шаге аналогично . На четвертом шаге: , . Вычисление обратного хода выполняется так же, как и ранее. (см. метод Гаусса). Вычислительная схема прямого хода метода Гаусса с учётом симметричности матрицы коэффициентов легко обращается на общий случай N уравнений. В этом случае от . Это представляется следующим образом . Программа реализации расчетных формул прямого хода метода Гаусса с учётом симметричности практически та же, что и в обычном методе Гаусса. Отличается только порядком следования индексов в выражениях для на k-ом шаге и конечным значением параметра цикла j. Очевидно, что в результате выполнения расчётов по приведенным формулам на месте элементов матрицы получим элементы матриц и факторизованной матрицы , записанных без нулей и единиц. Это позволяет записать алгоритм факторизации матрицы . . Существенная экономия в объёме вычислений при учёте симметричности матрицы коэффициентов достигается для относительно больших порядков систем уравнений. Последнее характерно для задач и расчётов сложных электрических схем и, следовательно, учёт симметрии при этом весьма важен. 2.10. Учёт слабой наполненности матрицы узловых проводимостей Как известно, матрица узловых проводимостей формируется следующим образом: каждый диагональный элемент равен сумме проводимостей ветвей, связанных с соответствующим узлом схемы замещения электрической системы, а каждый недиагональный элемент равен проводимостям ветвей, связывающей соответствующие узлы , , взятым с обратным знаком. Отсюда следует, что для матрицы узловых проводимостей, составленной для всех узлов схемы замещения, из общего числа элементов будет ненулевых, где - число ветвей. А остальные элементов будут нулевыми. Для схемы замещения сложных электрических систем обычно выполняется соотношение . Число нулевых элементов матрицы узловых проводимостей составляет примерно . Для больших матрица узловых проводимостей содержит большое количество нулей, то есть является слабо заполненной, и вычислительные алгоритмы с узловыми проводимостями целесообразно организовать так, чтобы оперировать только с ненулевыми элементами. При решении узловых уравнений методом Гаусса матрица узловых проводимостей пересчитывается в процессе прямого хода, в результате чего в ней появляются новые ненулевые элементы, то есть её наполненность возрастает. Очевидно, что степень такого возрастания на каждом шаге будет тем больше, чем больше ненулевых элементов в строке матрицы . Поскольку разные строки матрицы содержат в общем случае разное число элементов (к разным узлам подключено разное число ветвей), то выбор нумерации узлов, то есть порядка следования узловых напряжений, определяет изменение степени наполненности матрицы в процессе вычисления прямого хода метода Гаусса. Оптимальной здесь будет такая нумерация, которая приводит к минимальному увеличению степени наполненности матрицы . Определение оптимальной схемы нумерации является весьма сложной задачей, и на практике применяют простые методы, дающие решения, близкие к оптимальному. Метод узловых потенциалов более выгоден для составления квадратной матрицы коэффициентов: • слабая наполненность; • симметричность; • . Один из таких способов нумерации состоит в том, что узлы нумеруются в порядке возрастания числа связанных с ним ветвей. Таким образом, уравнения располагаются в порядке возрастания числа ненулевых элементов. При этом для сохранения симметричности матрицы перестановка уравнений должна сопровождаться соответствующей перестановкой неизвестных. Рассмотрим эффект такой нумерации на примере системы четырёх уравнений: 20 - 5 - 5 -5 = -5+10 = -5 +10 = -5 +5 = 20 В матрице коэффициентов этой системы 6 элементов из 16-ти равны нулю. Однако порядок следования этих уравнений крайне нерационален, поскольку первым идёт уравнение с максимальным числом ненулевых элементов (число связей первого узла равно трём), а далее следуют уравнения, каждое из которых содержит два ненулевых коэффициента. В результате этого после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса матрица третьего порядка, которая должна пересчитываться на следующем шаге, становится полностью заполненной, и, следовательно, экономии вычислений за счёт нулей исходной матрицы не будет (см. метод Гаусса). В соответствии с указанным выше способом нумерации для учёта слабой наполненности матрицы коэффициентов достаточно первое уравнение сделать последним и соответственно изменить порядок следования неизвестных, то есть записать исходную систему в следующем виде: Такой порядок вычислений потребовал 16 операций умножения и деления вместо 36-ти при исходной нумерации уравнений, то есть объём вычислений сократился более чем в 2 раза. Для узловых уравнений высокого порядка эффект ещё более значителен, поэтому алгоритмы и программы расчёта установившихся режимов электрических систем составляются с обязательным учётом слабой наполненности. Ещё раз отметим основные свойства матрицы узловых проводимостей: 1) диагональный элемент всегда не равен нулю, т. е. ; 2) - максимальный в данной строке; 3) матрица симметрична в большинстве расчётных случаев; 4) матрицы разреженные. 3. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ)установившихся режимов работы НЭ (тр-тр, ЛН, дуговые печи, магнитные элементы) Нелинейность уравнений установившегося режима обусловлена тем, что в качестве исходных данных задаются не токи, а мощности источников и потребителей электрической энергии. Обычно активные и реактивные мощности потребителей (нагрузок) и активные модули (напряжений) источников. Для простоты изложения ниже будем рассматривать частный случай, когда заданы активные и реактивные мощности как потребителей, так и источников электроэнергии. В этом случае для энергосистемы произвольной конфигурации, схема замещения которой содержит узлов, задача расчёта установившегося режима формулируется следующим образом: для заданных параметров схемы замещения моделируемой системы напряжение базисного узла (балансирующего) и мощность остальных узлов определить комплексные значения напряжений этих узлов. Уравнение установившегося режима обычно записывается для линейных (междуфазных) значений напряжений и имеет следующий вид: 1) уравнение мощностей независимых (то есть всех, кроме балансирующего) узлов: (1) 2) узловые уравнения: ; . (2) Здесь: – вектор размера комплексных значений заданных мощностей узлов; – диагональная матрица порядка комплексных значений напряжений узлов; – вектор напряжений узлов относительно балансирующего; – единичный столбец; – напряжение балансирующего узла, значение которого общепринято задавать вещественным числом; – квадратная матрица комплексных значений узловых проводимостей; – вектор комплексных значений задающих токов узлов; – комплексно-сопряжённое значение. Определим из уравнения (1) : (3) и подставим в уравнение (2); получим: , где – диагональная матрица напряжений узлов относительно балансирующего; – единичная матрица. Получим окончательное уравнение установившегося режима относительно самих переменных : , или в развёрнутой форме: . Полученная система нелинейных уравнений может быть решена только итерационными методами. Общая схема решения состоит в том, что задаётся некоторое начальное приближение , и по расчётным выражениям системы уравнений определяется следующее приближение . Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока на некотором приближении (итерации) не будет достигнута заданная точность решения, которая оценивается по расхождению значений двух последних итераций: , либо по вектору невязок : . Для рассмотрения различных итерационных методов расчёта различных электрических систем можно упростить задачу, полагая, что величины, входящие в уравнения системы, вещественны: . Такое уравнение соответствует рассмотрению цепи постоянного тока. Внесённые упрощения позволяют значительно уменьшить сложность вычислений и тем самым дают большую наглядность для оценки сравнительных достоинств и недостатков в различных методах, качественные характеристики которых при данных упрощениях не изменяются. Перейдём к более простым обозначениям, которые использовались при рассмотрении методов решения СЛАУ. При этом последнее уравнение перепишется в следующем виде: , , , где - значение мощности, - значение базисного узла. Конкретные расчёты будем выполнять для системы из четырёх уравнений, которая рассматривалась в предыдущем разделе с введением нелинейности, которая, согласно последней записи, будет иметь вид: . 3.1. Метод простой итерации Итерационный процесс решения описанной выше системы выполняется следующим образом: . Для конкретно рассматриваемой системы уравнений это отвечает расчётным выражениям: . Выполним расчёты по этим выражениям, выбрав в качестве начального приближения , что отвечает в практике расчётам установившихся режимов, в которых обычно принимают . Результаты вычислений для данной системы уравнений представим в виде таблицы. Вычисления прекращаются по условию , где – максимальное значение в столбце на разнице модулей левой части уравнения, то есть . 1 2 3 4 ... 14 ... 23 -0,96 -1,439 -1,423 -1,724 ... -1,991 ... -2 -2,76 -3,401 -3,396 -3,697 ... -3,99 ... -4 4,16 2,88 3,065 2,448 ... 2,015 ... 2 -0,96 -0,869 1,472 -1,428 ... 1,981 ... -2 - 4,16 1,28 0,603 0,617 ... 0,02 ... 0,000 Итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений сошёлся к решению с точностью за 23 итерации. При этом , что характерно для расчётов нормальных режимов электрических систем, то в правой части уравнений рассматриваемой системы в процессе расчёта изменились несущественно, что говорит о том, что нелинейность уравнений не проявилась сколько либо значительно. Это было подтверждено сравнительными расчётами, выполненными для СЛАУ, полученной для СЛАУ данной системы путём фиксации правых частей на значениях, соответствующих решениям системы. Результаты расчёта в виде зависимости числа итераций, необходимых для получения решения системы нелинейных уравнений, от заданной точности приведены в следующей таблице: 23 29 37 43 21 29 35 41 Результаты свидетельствуют о том, что нелинейность незначительно влияет на скорость сходимости итерационного процесса к решению. Объём вычислений в методе простой итерации, оцениваемый по числу операций умножения и деления, для приведенной системы уравнений вполне определяется следующими составляющими: 1. Приведение исходной системы уравнений к расчётному виду требует операций умножения и деления. 2. Расчёт последующего приближения на каждой итерации требует также операций умножения и деления. Таким образом, при достижении решения за итераций методом простых итераций будет выполнено . К достоинствам метода следует отнести практически абсолютную сходимость независимо от того, какие начальные приближения выбираются. К недостаткам можно отнести медленную по сравнению с другими методами сходимость. 3.2. Метод Зейделя Итерационный процесс решения систем нелинейных уравнений по методу Зейделя описывается с помощью следующей вычислительной схемы: . Для конкретно рассматриваемой системы это соответствует следующим расчётным выражениям: , где , , , найденные на -м шаге, подставляются в . Отличие метода простой итерации проявляется для определения расчётного выражения на -м шаге. Результаты расчётов по приведенной системе сведём в таблицу, приведенную ниже. 1 2 3 4 ... 10 ... 14 -0,96 -1,404 -1,696 -1,844 ... -1,997 ... -2 -2,76 -3,346 -3,666 -3,829 ... -3,997 ... -4 4,16 2,99 2,509 2,29 ... 2,005 ... 2 -0,85 -1,416 -1,701 -1,847 ... -1,997 ... -2 - 4,16 1,17 0,482 0,249 ... 0,004 ... 0,000 Скорость сходимости итерационного процесса метода Зейделя в данном случае заметно выше, чем в методе простой итерации (14 вместо 23 итераций). При этом, как и в методе простой итерации, нелинейность уравнений сказывается на ходе итерационного процесса незначительно, что видно из приведенной ниже таблицы. 14 16 20 23 12 16 19 22 Поскольку объём вычислений на итерации, определяемый количеством операций умножения и деления, в методе Зейделя и простой итерации одинаковы, то в расчётах установившихся режимах предпочтение отдаётся методу Зейделя, обеспечивающему обычно более быструю сходимость. Одним из путей дальнейшего повышения скорости сходимости является переход к более общей формулировке метода Зейделя, при которой порядок пересчёта и порядок пересчитываемых переменных в ходе итерационного процесса определяется не порядком записи уравнений, а следующим условием: каждый раз пересчитывается , для которого максимально. Такой метод называется методом полной релаксации. 3.3. Метод полной релаксации Результаты расчётов этим методом для системы уравнений, приведенной выше, приведём в таблице, где – порядок пересчёта на итерациях: 1 2 3 4 10 ... 14 -0,96 -1,852 -1,632 -1,863 -1,998 ... -2 -2,7 -3,346 -3,746 -3,854 -3,997 ... -4 4,16 2,94 2,378 2,23 2,004 ... 2 -0,85 -1,306 -1,575 -1,741 -1,995 ... -2 - 4,16 1,17 0,399 0,231 0,004 ... - 3214 3241 3421 4132 4321 ... 4321 Нелинейность исходных уравнений, как и ранее, практически не влияет на скорость сходимости, что видно из следующей таблицы: 13 16 20 23 12 16 19 22 Как следует из сопоставления результатов расчёта для исходной системы уравнений по методу Зейделя и методу полной релаксации скорость сходимости в обоих случаях практически одинакова. Метод полной релаксации рационально применять только в том случае, если он обеспечивает заметно более быструю сходимость, чем метод Зейделя. Действительно, хотя число операций умножения и деления при решении системы уравнений порядка по методу полной релаксации на шаге итерации, то есть при пересчёте переменных, будет для исходной системы той же, что и для метода Зейделя. И сама реализация последовательности по приводит к усложнению и соответственно замедлению действия алгоритма. Другим путём увеличения скорости сходимости метода Зейделя является введение коэффициента ускорения , в соответствии с которым в качестве следующего приближения принимается следующее значение : (переход к методу Зейделя). Расчёты для исходной системы при и разных значениях приведены в таблице: 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 13 10 7 8 10 11 12 9 7 7 11 11 Отсюда следует, что выбором коэффициента можно добиться заметного ускорения метода Зейделя ценой увеличения на числа операций умножения на каждой итерации, что лишь незначительно сказывается на объёме вычислений. Однако общих методов выбора целесообразного значения коэффициента не существует. Известно лишь, что для СЛАУ с положительно определённой матрицей коэффициентов находится в интервале от 0 до 2. Опыт расчётов показывает, что целесообразное значение может заметно отличаться от 1 в ту или другую сторону. Введение коэффициента ускорения считается целесообразным только при проведении массовых расчётов режимов заданной энергосистемы, для которой уравнения отличаются только правой частью и, возможно, незначительными изменениями значений. Тогда вариантными расчётами одного режима определяются значения , обеспечивающие наиболее быструю сходимость, и расчёты остальных режимов проводятся при этом значении . 3.4. Решение НАСУ на основе метода Гаусса Анализ решения нелинейных алгебраических систем уравнений (НАСУ) на основе метода простой итерации и на основе метода Зейделя показывает, что нелинейность уравнений незначительно сказывается на скорости сходимости итерационных процессов. Поэтому выбор итерационного метода решения, который при неучёте нелинейности трансформируется в прямой метод (или решает СЛАУ за одну итерацию), позволяет значительно ускорить сходимость по сравнению с методом Зейделя. Рассматриваемый метод является таким методом, сущность которого состоит в том, что накапливаются определяется путём решения прямого метода для СЛАУ, которая получается из исходной системы путём подстановки (значений столбца), которые вычисляются при на -м шаге, что, в свою очередь, соответствует итерационному процессу, описывается выражением: . Для решения на каждой итерации СЛАУ рационально использовать метод треугольной факторизации матрицы . Так как в процессе итерации эта матрица изменяется, то наиболее ёмкая в вычислительном отношении процедура факторизации выполняется один раз, а на каждой итерации прямой и обратной подстановкой решаются СЛАУ с треугольными и . Число операций умножения и деления в данном методе (назовём его условно методом Гаусса-Зейделя) можно определить следующим образом: , где - приведение к факторизованному виду; - выполнение на каждой итерации метода Зейделя. Сравнивая с количеством операций, требуемых в методе Зейделя, видим, что метод Гаусса-Зейделя более эффективен в отношении, если . Для оценки скорости сходимости метода Гаусса-Зейделя рассмотрим итерационный процесс решения системы из четырёх уравнений. Факторизованная матрица имеет вид: . Результаты расчётов по итерациям отображены в следующей таблице 1 2 3 4 5 -1,81 -1,991 -1,999 -2,000 -2 -3,61 -3,97 -3,997 -4,000 -4 2,46 1,974 2,004 2,000 2 -1,7 -1,991 -1,996 -2,000 -2 - 3,6 0,486 0,03 0,004 0,000 Как и следовало ожидать, скорость сходимости здесь значительно выше, чем в методе Зейделя, что наглядно следует из приведенных в таблице данных. 3.5. Сравнительная оценка скорости сходимости метода Гаусса-Зейделя, метода Зейделя 5 6 7 8 14 16 20 23 В соответствии с результатами, приведенными в таблице, можно сделать вывод, что метод Гаусса-Зейделя для рассмотренного примера гораздо эффективнее в вычислительном отношении, чем метод Зейделя ( 3 раза). 3.6. Метод Ньютона Самый эффективный, но и самый сложный в вычислительном отношении метод решения СНАУ – итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений вида , где - вектор искомых переменных, а – это вектор-функция. Для метода Ньютона имеет следующий вид: , . Величина – частная производная, матрица Якоби; - разница приближений. Для рассматриваемой системы компонентами являются: . При дифференцировании Якобиан будет следующим: . Для конкретно рассматриваемой системы исходная итерационная формула с учётом последней записи будет следующей: = Система уравнений решается относительно на приближении по методу Гаусса. Результаты расчёта по итерациям приведены в таблице. 3.7. Ход итерационного процесса метода Ньютона 1 2 3 -1,993 -2 -2 -3,974 -4 -4 2,005 2 2 -1,989 -2 -2 - -1,993 -0,007 - -3,974 -0,026 - 2,005 -0,005 - -1,989 -0,011 27,6 0,189 0,000 0,000 - 3,974 0,026 0,000 Итерационный процесс сошёлся за три итерации. Квадратичная сходимость метода Ньютона в малой окрестности точки решения обусловливает слабую зависимость числа итераций от точности . Это будет видно из следующей таблицы: 3 3 3 4 Удобной мерой точности решения может служить максимальное абсолютное значение . Условие окончания счёта снижает количество итераций на единицу при той же точности. Применение указанного условия в сочетании с самой процедурой метода Ньютона состоит из однотипных вычислительных операций, выполняемых на каждой итерации. Для исходной системы уравнений количество операций умножения и деления определяется: 1) расчётом правых частей операций умножения и деления; 2) расчётом диагональных элементов матрицы Якоби – операций умножения и деления; 3) решение СЛАУ по методу Гаусса: количество операций – . Следовательно, суммарное количество операций умножения и деления при решении системы уравнений по методу Ньютона будет следующим: , где - количество итераций. Сравнение расчётов по методу Ньютона и Гаусса-Зейделя показывает, что метод Ньютона более трудоёмок, поскольку требует решения СЛАУ на каждой итерации, в то время как в методе Гаусса-Зейделя наиболее трудоёмкая часть вычислений, а именно факторизация матриц, выполняется один раз. Критерием эффективности метода Гаусса-Зейделя будет неравенство: . Приведенное неравенство не в пользу метода Ньютона. Тем не менее, этот метод широко применяется для расчётов установившихся режимов установившихся систем в связи с быстрой и надёжной сходимостью, в связи с возможностью простого учёта различной формы задания исходных данных для генераторных и нагрузочных узлов. Кроме вышесказанного, метод Ньютона допускает снижение объёма вычислений на итерации, если перейти от исходной формулы к следующей. Таким образом, вычислять матрицу Якоби приходится один раз при . Последнее обстоятельство позволяет представить данную матрицу в факторизованном виде и на каждой итерации решать две системы уравнений с треугольными и , что было в принципе невозможно при классическом методе Ньютона, поскольку Якобиан считался на каждой итерации. Модернизированный метод Ньютона позволяет влиять только на условие сходимости; количество операций умножения и деления резко уменьшается, и такой модифицированный метод Ньютона будет в вычислительном отношении эффективнее метода Гаусса-Зейделя при условии ( - для модернизированного метода Ньютона). Это условие справедливо для больших , что характерно для реальных задач систем энергоснабжения. Если применить этот модернизированный метод для системы из четырёх уравнений, рассмотренной ранее, то расчёт потребует на одну итерацию больше, чем по классическому методу. Уравнение установившегося режима энергосистемы часто записывают в виде уравнения баланса мощности, которое представляет из себя следующее: , что позволяет одинаково просто оперировать исходными данными как в виде полных мощностей узлов, так и в виде модулей мощностей напряжений. Рассматриваемые в этом случае уравнения примут следующий вид: , . Либо в принятых обозначениях: , При решении этой системы уравнений по методу Ньютона . При этом Якобиан вычисляется только один раз и распадается на составляющие: Для конкретно рассматриваемой системы уравнений итерационная формула модернизированного метода Ньютона примет следующий вид: . Полученная система решается относительно . Результаты расчётов по итерациям сведём в таблицу. 3.7.1. Ход итерационного процесса модернизированного метода Ньютона на основе уравнений баланса мощности 1 2 3 4 -1,81 -1,999 -2 -2 -3,61 -3,997 -4 -4 2,46 2,003 2 2 -1,7 -1,998 -2 -2 - -1,81 -0,189 -0,001 - -3,61 -0,387 -0,003 - 2,46 -0,457 -0,003 - -1,7 -0,298 -0,002 - 3,61 0,457 0,003 1380 99,636 0,919 0,000 Как следует из результатов расчёта, получение результатов с той же точностью, что и для уравнений в форме баланса токов, требует на одну итерацию больше. Указанное, а также больший объём вычислений на итерации, говорит не в пользу уравнений в виде баланса мощностей. Однако, как уже отмечалось, такие уравнения широко применяются в расчётах установившихся режимов в связи с простотой задания исходных данных, мощностей как для нагрузочных , , так и для генераторных , узлов. 3.8. Метод градиентов (скорейшего спуска) для СЛАУ Указанный метод относится к методам сложной итерации, имеет большую сходимость, чем метод простой итерации. Исходное уравнение представляется в виде: При решении находится нулевой минимум функции, представляющий скалярное произведение исходной скалярной матрицы коэффициентов на транспонированную, а также вектор невязок. Решение имеет только нулевой минимум. Этапы вычислений по указанному методу следующие: 1) нахождение вектора невязок: ; 2) вычисление дополнительного вектора : ; 3) вычисление параметра итерации: ; 4) нахождение последующих приближений: . Рассмотрим пример для этого метода. 1) вектор невязок: 2) ; ; 3) ; 4) ; . 3.9. Метод скорейшего спуска (метод градиентов) для нелинейных уравнений Действия те же самые, что и в предыдущем случае, с тем различием, что матрица коэффициентов заменяется якобианом (матрица частных производных по каждому ). Схема процесса вычисления. 1. Находится вектор невязок: . 2. Вычисляется дополнительный вектор: . 3. Вычисляются параметры итерации: . 4. Последующие приближения: . 4. Численное решение линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений описывает переходные режимы работы электрооборудования реальных систем электроснабжения. Реальными задачами являются следующие: 1. Расчёт токов КЗ. 2. Расчёт времени включения оборудования, двигателей, электропечей, выключателей. 3. Расчёт параметров режима (времени , напряжения , тока ) при переходе из одного режима работы электрооборудования в другой режим. В данном разделе будут рассмотрены следующие методы: • Эйлера; • Эйлера-Коши; • Коши; • Рунге-Кутта (2,4,6)-порядка • Рунге-Кутта-Мерсона • Рунге-Кутта-Фельберга Последние два метода характеризуются автоматическим выбором шага и являются основными для решения СДУ. Все перечисленные методы базируются на методе Эйлера и являются той или иной его интерпретацией, при этом дающие различные погрешности расчёта. 4.1. Метод Эйлера Постановка задачи: имеется дифференциальное уравнение , а также заданы начальные условия : . Допускается, что функция непрерывно дифференцируема в начальной точке и на отрезке, где ищется решение. Поскольку правая часть уравнения – непрерывная функция, то её можно разложить в области в ряд Тейлора, при этом интервал интегрирования делим на равные части, - шаг интегрирования. , где Если взять только первый шаг ряда Тейлора, то Если , то приближённое равенство можно считать равенством: (разница ) Достоинствами метода являются: 1) простота использования; 2) достаточно высокая сходимость при достаточно малых значениях . Недостатки: 1) большая погрешность; 2) зависимость точностиот шага увеличивается скорость сходимости, однако, точность при этом падает. Недостатки обусловлены накапливанием ошибок от шага к шагу; ошибками 2-го рода, которые видны из следующего графика: В связи с выше сказанным, данный метод применяется для качественных расчётов и для нахождения начальных приближений. Для точных решений используются другие методы, обладающие большей точностью и скоростью сходимости, однако сильно зависящие от начальных приближений. В остальных методах, если начальное приближение задано неточно, то метод последовательных приближений может вообще не сойтись, в отличие от метода Эйлера, который сходится всегда. ; ; ; ; ; 4.2. Метод Эйлера-Коши Недостатки метода Эйлера частично решает метод Эйлера-Коши за счёт того, что решение ищется как среднее арифметическое от двух погрешностей в предыдущей и данной точках. Данный метод в 2 раза точнее, чем метод Эйлера. Достоинства и недостатки – такие же, как и в методе Эйлера. 4.3. Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка Это один из наиболее распространённых и эффективных методов решения дифференциальных уравнений. Существуют различные виды метода Рунге-Кутта (второго, четвёртого, восьмого и т. д. порядков). Оптимальным с точки зрения точности и количества операций на итерацию является метод Рунге-Кутта четвёртого порядка. , Функция непрерывно дифференцируема на заданном промежутке. Решения находятся по схеме: . Особенность метода: , где - весовые коэффициенты (по их количеству называется метод): Весовые коэффициенты (или весовые функции), стоящие перед приращениями, найдены, исходя из минимума ошибки на каждом шаге. Это наиболее точный метод из рассмотренных, в котором остаётся единственная проблема правильного выбора шага , поскольку, если достаточно мал, то решение сходится, но достаточно медленно; если же велик, то решение может вообще не сойтись. Решение этой проблемы дано в модернизированных методах (методах Рунге-Кутта-Мерсона и Рунге-Кутта-Фельберга). Суть этого метода заключается в следующем: сначала выбирается некоторый наперёд заданный шаг и делается несколько шагов с этим шагом. Анализируются эти шаги. Если решение сходится, то шаг увеличивается, и процедура повторяется до тех пор, пока шаг не становится таким, при котором система расходится. Тогда возвращаются на одну позицию назад, и данный шаг считают оптимальным. 5. Численное интегрирование. Классификация методов интегрирования В связи с тем, что реальные энергосистемы описываются сложными дифференциальными и интегральными уравнениями, аналитического решения для таких систем в подавляющем большинстве случаев не имеется. Решая эти же уравнения численными методами, решение можно найти для любого уравнения любой степени сложности. В этом основное достоинство численных методов и применения на компьютере. Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа описания подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространённых методов. 1. Группа Ньютона-Котеса Эти методы основаны на полиномиальной аппроксимации (условных приближениях) подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью использованного полинома, от которого зависит количество узлов, в которых вычисляется подынтегральная функция. Алгоритмы методов достаточно просты и легко поддаются программной реализации. 2. Сплайновые методы Данные методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. 3. Методы наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффера) Используют неравно отстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций. Методы различаются по способу выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе и для несобственных интегралов, хотя из-за необходимости хранения констант и стандартизации пределов интегрирования программы указанных методов требуют несколько большего объёма памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса. В этих методах узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел. Ответ носит вероятностный характер. 4. Класс специальных методов Это методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учёта известных подынтегральных функций, что позволяет существенно сохранить время и уменьшить погрешность вычисления интеграла. Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближённые значения интеграла и оценить его погрешность. Погрешность будет уменьшаться при увеличении числа разбиений интервала за счёт более точной аппроксимации подынтегральной функции. Однако при этом будет возрастать погрешность за счёт суммирования частных интегралов и погрешностей округления чисел машиной. Последняя погрешность значения становится преобладающей. - погрешность, - количество разбиений , . Указанное обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа (узлов разбиения) и привести к необходимости разработки способов оценки погрешности выбранного метода интегрирования. Постановка задачи - интеграл от непрерывной функции любой степени сложности. Все численные методы основаны на том, что интервал разбивают на участки, на каждом из которых кривая, описываемая подынтегральной функцией , заменяется некоторой другой кривой, для которой вычисления производятся по достаточно простым формулам, а затем все площади суммируются. 5.1. Метод прямоугольников - некоторая кривая , 5.2. Метод трапеций Точность данного метода гораздо выше, чем метода прямоугольника. , , 5.3. Метод Симпсона Отличием является то, что для повышения точности интегрирования аппроксимация функций осуществляется с помощью парабол: ; Выразим коэффициенты , , через координаты : . Решаем систему относительно , и и подставляем полученные значения в формулу интеграла. После приведения подобных получаем формулу Симпсона, которая для данного конкретного случая будет иметь вид: . Для общего случая формула Симпсона имеет вид: /3 5.4. Оценка погрешностей методов Ньютона-Котеса. Рекомендации по выбору шага интегрирования. Погрешность методов определяется величиной интеграла от остаточного члена полинома. В формулах для оценки погрешности – максимальное значение i-той производной , которая является максимальным значением -той производной на интервале : Для метода прямоугольника эта погрешность составляет: . Для метода трапеций: . Для метода Симпсона: . Для обеспечения заданной точности интегрирования часто используют алгоритмы с автоматическим выбором шага (АВШ), в которых используется следующий приём: вычисляют значение интеграла одним из рассмотренных методов с некоторым начальным шагом . Получают: . Затем повторяют эти вычисления с половинным шагом : . Если окажется, что , то вычислительный процесс прекращается. В противном же случае прибегают к дальнейшему дроблению шага. Полученное таким образом приближённое значение интеграла можно уточнить, используя экстраполяционный переход к пределу, предложенный Ричардсоном: , где 6. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени используется на вычисление функции. Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим, так и табличным способом, причем основным является второй, поскольку второй берется из практики (замеры реальных величин), т.е. в большинстве случаев речь идет о дискретных значениях аргумента. Возникает вопрос поиска значений аргумента между замерами и вне данного диапазона замеров. Поставленные проблемы решаются путём приближённой замены функции более простой функцией , которую нетрудно вычислить при любом значении аргумента в заданном интервале его изменения используется не только для приближения численных значений , но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели. Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от лат. approximo – приближать). Близость этих функций добивается путём введения в аппроксимирующую функцию свободных параметров …, и соответствующим им выбором Задачами ЭТ и энергетики широко используется аппроксимация функций для описания физических параметров объектов (параметров двигателей, ЛЭП, трансформаторов и другого энергооборудования), а также для задания характеристик активных и пассивных элементов цепи, источников генераторов, а также потребителей и т. д. В вычислительной математике аппроксимация функций является основой для разработки новых методов и алгоритмов. 6.1. Постановка задачи интерполяции Пусть функция задана таблицей значений, полученных из эксперимента. Например: ............... ............... В компьютерах обычно эти данные представляются в виде массивов, выбранные значения аргумента называются узлами таблицы. Считаем, что в общем случае узлы не являются равноотстоящими. Задачей интерполирования в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах , не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента расположено между узлами , то нахождение приближенного значения функции называется интерполяцией. Если же приближенную аппроксимированную функцию вычисляют вне интервала [,], то процесс называется экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами: inter- между, внутри: pole- узел; extra- вне диапазона. В общем случае задача относится к некорректно поставленным, т.е. имеет множество решений. Однако чуть ниже буде показано максимально точное ее решение. У Х Все кривые удовлетворяют этой таблице. К решению этой задачи с помощью компьютера традиционно имеется следующий подход. Разрабатывалась максимально большая база различных кривых, которые подставлялись в виде функции для того, чтобы максимально точно описать табличные данные. Однако, большой точности в этом подходе трудно найти. Решение для этой задачи наиболее точное, которое дает интерполяционная формула Лагранжа (для случая неравностоящих интервалов по ) и интерполяционная формула Ньютона для случая равностоящих интервалов по . Интерполяционная формула Ньютона является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и кроме этого она менее громоздка. Более в общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа, дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции . Введем аппроксимирующую функцию , которая будет равна в точках таблицы . Свободные члены определяются из системы исследуемых данных. Решение имеется в виде многочлена не выше n-ой степени, , который в точках принимает значения из таблицы, т.е. выполняется равенство при i=0,n. 6.2. Интерполяционная формула Лагранжа Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов приведенного выше многочлена. Решение ищется в виде системы уравнений, которое получается путем подстановки значений и табличных значений y в исходное уравнение. Подставив Неизвестно . Однако на практике, как правило, решение указанной системы связано с громоздкими вычислениями. Поэтому интерполяционный многочлен ищется в следующем виде Полагая, что , и, принимая во внимание исходные условия, получаем и подставим в формулу для Pn(x) откуда при имеем: . Подставив полученные коэффициенты в исходную формулу для Формула Лагранжа Пример. В результате эксперимента получены следующие замеры. Необходимо найти значение x 1 3 5 y 2 1 8 = x2 -9 x/2 +11/2. 6.3. Интерполяционная формула Ньютона Рассмотрим частный случай интерполяции, когда шаг h между соседними узлами величина постоянная. Введем следующее обозначение: - разность первого порядка. - разность второго порядка Введя такие обозначения найдем интерполяционный многочлен n-ой степени, который принимает в точках и последующих те же значения, что и соответствующие ...................... ..... Найдем многочлен первой степени, принимающий в точках x, соответствующие значения y. Подставляя эти значения в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим следующее выражение - многочлен первого порядка. Аналогично получаем многочлены более высоких порядков, например, 2-го: Для n-ого порядка интерполяционная формула Ньютона имеет вид Задача интерполяции в формулах Лагранжа и Ньютона имеет единственное решение. Поэтому формулы Лагранжа и Ньютона для одних и тех же значений и тождественны и отличаются лишь группировкой слагаемых. На практике формула Ньютона более удобна. Особенность ее заключается в том, что при добавлении новых (слагаемых) данных в таблицу в формуле Лагранжа необходимо пересчитывать все коэффициенты, а в формуле Ньютона просто добавляются новые слагаемые, а старые остаются без изменения. 6.4. Гармонический анализ и синтез периодических функций Указанный анализ проводится с целью определить гармонический состав периодических функций. Функция времени называется периодической, если для нее справедливо условие , m=1,2,3....n, T-период. Гармонический анализ периодических функций заключается в определении коэффициентов уравнения и : w – круговая частота первой гармоники; k – порядковый номер гармоники. . На практике ограничиваются в формуле не , а некоторым числом m гармоник и получают аппроксимирующий гармонический коэффициент . Коэффициенты Фурье определяются следующими выражениями . Используем для вычисления интегралов численные методы, например метод прямоугольников и при разбиении интервала интегрирования от[0,T] на n равных отрезков получим формулы для вычисления k=1,2,3, m Гармоническим синтезом называется получение периодической функции путем суммирования ее гармонических составляющих по приведенным выше формулам. 6.5. Поиск экстремальных значений методом «Золотого сечения» Достаточно отсечь от исходного единичного квадрата прямоугольник и на оставшейся части x его стороны построить другой квадрат, по площади равный полученному прямоугольнику: 1∙ (1 — x) = x 2. Отсюда легко получить: x = 0,618… И это оформлено в виде теоремы в «Началах» Евклида. Законы меры, гармонии, гармонии мер и меры гармонии — отношения золотого сечения 0,618, будоражат интеллектуальные силы человечества уже более трех с половиной тысяч лет. Большие пирамиды Гизы построены так, что соотношение их линейных размеров дает это число: 0,618. Фреска в одной из древнеегипетских гробниц изображает ваятеля, две мерные линейки в руке которого дают то же отношение длин. Благодаря Пифагору, подарившему просвещенному человечеству «два сокровища» (И.Кеплер) - названную его именем теорему и золотое сечение, получаемое делением отрезка в крайнем и среднем отношении, благодаря этому достоянию, культура европейской цивилизации значительно обогатилась. В последующем это инвариантное отношение успешно использовали архитекторы и скульпторы в создаваемых ими шедеврах. Определенный вклад в его разработку внес Леонардо да Винчи, проиллюстрировав написанную его другом и советчиком фра Лука Пачоли ди Борго книгу «Божественная пропорция» шестьюдесятью рисунками, выполненных им с собственноручно изготовленных макетов. Более подробно о золотом сечении в Интернет смотрите сайт музея золотого сечения: http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html Постановка задачи. 1. Целевая функция экстремум которой ищется и ограничения в диапазоне которых ищется решение. (ЦФ) (ОГР) Метод применяется для определения max и min значения функции на заданном интервале. Задача поиска экстремума встречается в задачах оптимизации, которые обязательно возникают в инженерной практике. Например: Найти оптимальное сечение кабеля ЛЭП. С – стоимость; П – потери; - сечение провода; - оптимальное сечение провода; - суммарный график. На сегодняшний день не существует теории оптимизации, однако, существуют методы оптимизации. И необходимо аргументировать почему применяется тот или иной метод. Метод «Золотого сечения». В нем ищется экстремум функции на интервале [a,b]. Для определения экстремума данный отрезок не должен содержать более одного max и min. «Золотым сечением» отрезка называется деление его на 2 части таким образом, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению большей части к меньшей. - величина золотого сечения. 0339 Точка является золотым сечением отрезка , а точка - отрезка . В соответствии с вышеуказанным, поиск экстремума на отрезке [а,в] может быть выполнен следующим образом: 1. Отрезок [а,в] делится точками ипо правилу золотого сечения. 2. Вычисляется значение функции в полученных точках и. 3. Если , то меняем левую границу интервала, делая , в противном случае . 4. Повторяем процесс с начала, учитывая новые границы отрезка [а,в]. 5. Итерации проводим до тех пор, пока интервал неопределенности [а,в] не станет меньше заданной погрешности . 6. После завершения итерации точку max или min можно уточнить, разделив отрезок [а, b] пополам. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. - Киев: Наукова думка, 1989. - 212 с. 2. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. - Томск: , 1991. - 272 с. 3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование, Москва, 1990. - 544 с. 4. Копченова Ю.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М: Наука, 1972. - 366 с. 5. Калиткин Н.Н. Численные методы. - Москва: Наука, 1978. - 512 с. 6. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – Москва, МВТУ им Н.Э.Баумана, 2001. – 496 с. 7. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование. – М.: Форум, 2008. – 336 с.