Математическая экономика

Лекция 1 Курс математическая экономика рассматривает методы решения и анализ для получения конечных результатов различных финансовых операций, в которых главным аргументом является время. К финансовым результатам относятся: • движение денег на банковском депозите; • различные виды ссуд или займов; • инвестиционные проекты. К конечным результатам относятся: • наращенная сумма; • приведенная стоимость; • доходность; • срок окупаемости; Главный принцип математической экономики состоит в том, что сравнивать конечные результаты, полученные при анализе различных финансовых операций, можно только в том случае, если они приведены к одному и тому же моменту времени. Простые проценты Процент – абсолютная величина дохода, полученная в результате некоторой финансовой операции. Процентная ставка – относительная величина дохода за определенный отрезок времени. Период начисления – определенный промежуток времени, к которому приурочено начисление процентов. Капитализация процентов – присоединение начисленных процентов к базовой, или первоначальной, сумме в конце операции. Капитализация с постоянной базой, когда начисление процентов не зависит от суммы, называется операциями с простыми процентами. Наращение: В банк положили сумму Р по ставке i% годовых. S1  P  P i S2  P  P i  P i P (1.1) S  P  (1  n i) где n – целое число периодов начисления 0 i 1 i 2 Р – базовая, или приведенная, стоимость S – наращенная сумма Рис. 1.1 i – процентная ставка за год при начислении процентов один раз в год В случае, если продолжительность операции не является целым числом, используют следующую формулу: t S  P  (n   i ) (1.2) T где t – продолжительность операции в днях T – продолжительность календарного года В случае, если процентная ставка меняется в разных периодах начисления: S  P  (1  n1i1  n2 i2  n3i3  ...  nk ik ) P i1 i2 n1 i3 n1+n2 n1+n2+n3 K S  P  (1   nk ik ) (1.3) k 1 Рис. 1.2 1 Наряду с прямыми задачами наращения суммы часто в финансовых операциях необходимо решать и обратную задачу: как по желаемому будущему результату в конце операции найти приведенную стоимость сегодня, необходимую для получения заданного конечного результата. S  P  (1  n i)  S (1.4) P 1 ni Операция, описываемая уравнением (1.4) называется приведением или дисконтированием. Из формул (1.1) и (1.4) можно, зная числовые значения трех любых параметров, найти четвертый. SP n P i SP i Pn Сложные проценты S1  P  (1  i) S 2  P  (1  i)  (1  i)  P  (1  i) 2 S 3  S 2  (1  i)  P  (1  i) 3 S3 S2 S1 P i i 1 S  P  (1  i) n i 2 3 Рис. 1.3 n  n  n , где n - целая часть n - дробная часть n>1 года S  P  (1  i) n   (1  ni) Универсальная формула: (1.5) В случае, если период выражается нецелым числом лет в финансовых операциях используют смешанный, или комбинированный, способ начисления процентов. (1.6) t T (1.7) S  P  (1  i) В краткосрочных операциях до 1 года обычно используют простые проценты, а в средне и долгосрочных используют формулы (1.6) или (1.7), так как при n<1 простые проценты растут быстрее сложных. В случае, если сложные проценты начисляются по изменяющейся ставке, необходимо использовать следующую формулу: S  P  (1  i1 ) n1  (1  i2 ) n2  (1  i3 ) n3  ... K S  P  (1  ik ) nk (1.8) k 1 S (1.9) (1  i) n Формула (1.9) выражает процесс приведения к начальному моменту времени (дисконтирование) по сложным процентам. 1 1 P  S , где   n - множитель наращения дисконтирования. n (1  i) (1  i) n В случае если сложные проценты начисляются m раз в году, формула (1.5) приобретает другой вид: P 2 nm j  (1.10) S  P  1    m где j – номинальная ставка процента n – целое число лет При одинаковых условиях начисления наращенная сумма S увеличивается с ростом числа m. S (1.11) P mn j   1    m Формулы (1.10) и (1.11) позволяют вычислять другие параметры финансовых операций: nm S  j  1   P  m j S  ln    m  n  ln 1   P  m S ln   P (1.12) n j  m  ln 1    m В финансовых вычислениях используется понятие эффективной ставки. Эффективная ставка показывает реальную годовую доходность финансовой операции, в случае если проценты начисляются m раз в году. Задача Существует три вида вкладов: 1) m=1, i=10% 2) m=4, i=9% 3) m=12, i=8% Какой из них выбрать? Решение: j  P  (1  iэ )  P  1    m mn n m j  iэ  1    1  m  0.1  1. iэ1  1    1  0.1  10% 1   (1.13) 4  0.09  2. iэ2  1    1  0.093  9.3% 4   12  0.08  3. iэ3  1    1  0.083  8.3% 12   Очевидно, что выгоднее будет выбрать первый вариант вклада. 3 Непрерывные проценты Для долгосрочных операций для m из формулы (1.10) можно записать m   , тогда: nm   j  lim S  lim  P  1    m m   m   m 1  2-ой замечательный предел lim 1    e , где е – число Эйлера m  m В данном случае: nm j  lim S  lim P  lim 1     lim S  P  e jn замена m m m m  m переменных Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом “δ”, в отличие от ставки дискретных процентов “j”. F  P  e n 4 Лекция 2 Потоки платежей Поток платежей – последовательность распределенная во времени. Примеры:  инвестиционный проект  обслуживание долгов и займов  потребительский кредит поступления финансовых средств, Отдельный платеж в потоке платежей называется D Пi элементом потока. Для классификации потоков платежей важны два его параметра: 1) Пi – размер и направление платежа t 2) ti - период потока – промежуток времени i-1 i i+1 между двумя последовательными платежами K ti  ti  ti1 Рис.2.1 По характеру этих параметров все потоки делятся на две большие группы: 1. Регулярные потоки Пi >0  Пi < 0, ti = const 2. Нерегулярные потоки ti ≠ const Если у регулярного потока платежи таковы, что наблюдается П i >0  Пi < 0 и ti = const, то этот поток называется рента. Основные параметры рент:  размер платежа ренты Ri в год  период ренты t  срок ренты T - промежуток времени между пришествием последнего платежа и первого T  t n  t1  процентная ставка i, j ,   количество начислений процентов в год m  количество платежей в год p По величине этих параметров ренты можно разделить на следущие классы: 1. По величине Ri  0 : a) Ri = const – постоянная рента (аннуитет) b) Ri  f (t ) – переменная рента 2. По сроку ренты T : a) T конечно – ограниченная рента b) T   – вечная рента 3. По характеру начисления процентов m : a) m  1 - разовая (годовая) рента b) m  1 - m-разовая рента c) m   непрерывная рента 4. По количеству платежей в год p : a) p  1 p-разовая рента 5 b) p  1 р-срочная рента 5. По моменту поступления платежей Ri : a) в конце периода начисления – рента с обязательными платежами постнумерандо b) в начале периода начисления – пренумерандо c) с выплатами в середине периода 6. По моменту начала операции относительно точки приведения a) немедленная рента b) отложенная рента D1 D3 Dn 3 n 2 1 t D2 Регулярные потоки платежей Приведенная стоимость Dn D D2 (2.1) P(m  1, p  1)  1   ...  2 1  i (1  i) (1  i) n Конечные результаты финансовых операций с потоками платежей, т.е. наращенная сумма и приведенная стоимость, вычисляются как совокупность конечных результатов от каждого платежа в потоке, считая что элементы потока независимы. S (m  1, p  1)  D1  (1  i) n1  D2  (1  i) n2  ... Рис.2.2 Нерегулярные потоки платежей D1 D2 Dn d1 d2 D1 P(m, p)  d3 dn t (1  i) d1  d 0 T  D2 (1  i) d 2 d0 T Dn  ...  (1  i) (2.2) d n d0 T D3 Рис.2.3 Вычисление основных параметров постоянных рент постнумерандо 1. Ежегодная рента m=p=1 S (1,1)  R  (1  i) n1  R  (1  i) n2  R  (1  i) n3  ...  R   R  (1  (1  i)  (1  i) 2  (1  i) 3  ...  (1  i) n1 ) геометрическая прогрессия bk 1  a   геом. прогрессии 1 b  1 Тогда, a1  1 (1  i) n  1 S (1,1)  b  1  i  R  (1  i)  1 kn S (1,1)  R  (1  i) n  1 i R 1 2 3 n t Рис.2.4 (2.3) 6 P(1,1)   1 R R R 1 1     ...   R     ...  2 n 2 (1  i ) (1  i) (1  i ) (1  i) n   (1  i) (1  i ) 1 1 1 i 1 1 1 (1  i) n 1 (1  i)  n  1  b  R   R  1 1 i 1 i 1 i 11 i 1 kn 1 i 1 i a1  P(1,1)  R  1  (1  i)  n i (2.4) S (1,1)  (1  i) n P(1,1) (2.5) S (1,1)  P(1,1)  (1  i) n Формула (2.5) демонстрирует, что с экономической точки зрения начальный и конечный результаты постоянной ренты связаны между собой обычным начислением по сложным процентам. В целях сокращения записей в формулах для S(1,1) и Р(1,1) пользуются обозначением множителя наращения и множителя дисконтирования: (1  i) n  1 S (1,1)  R   R  q n ,i i 1  (1  i)  n P(1,1)  R   R  n,i i 2. Годовая рента m-разового начисления процентов m > 1, p = 1 j  S (m,1)  R  R  1    m a1  1 j  S (m,1)  b  1    m kn mn m m1 j   R  1    m m2 j   R  1    m j m n ) 1 m  R j (1  ) m  1 m m3 j   ...  R  1    m m( n 1) (1  (2.6) m j j   (1  i)  1    i  1    1  m  m Формула (2.6) может быть получена из формулы (2.3) с помощью эквивалентной замены, которая следует из принципа финансовой эквивалентности конечных результатов. j 1  (1  ) mn S (m,1) m (2.7) P(m,1)   R j mn j m (1  ) (1  )  1 m m n 7 3. Годовая р-срочная рента m = 1, p > 1 R R R R 1  i  p  1 1/ p 1/ p S (1, p)    1  i    1  i   ...   p p p p 1  i 1 / p  1 1 n p R 1  i   1  p 1  i 1 / p  1 n S (1, p)  (2.8) R 1  1  i  P(1, p)   p 1  i 1 / p  1 n (2.9) 4. Постоянная m-разовая р-срочная рента m > 1, p > 1 mn j  1    1 R  m S (m, p)   m/ p p  j 1 1    m (2.10)  mn j  1  1   R m P(m, p)    m/ p p  j 1 1    m (2.11) Частный случай m = p, m > 1, p > 1 mn mn mn j j j    1    1 1    1 1    1 R R R m m m S (m  p)        m/ p m/m j p  m  m j j 1 1 1 1 1   1   m  m  m j  1   m S (m  p)  R   j mn 1 (2.12)  mn  mn j j j    1  1   1  1   1  1   R R m m m P(m, p)        R  m/ p m/m p  m  j j j 1 1 1   1    m  m  mn (2.13) 8 Лекция 3 5. Постоянная рента постнумерандо с непрерывным начислением процентов S (m  ,1) j mn    (1  m )  1 e n  1 (3.1) S (,1)  lim S (m,1)  lim  R   R   j m e  1 m  m    (1  )  1 m   j  1   lim m m   mn  e  n ,   ln (1  i) P(,1)  lim P(m,1)  R  m 1  e  n e  1 (3.2) 6. Ежегодная непрерывная рента постнумерандо S (1, p  )  R 1  i n  1  1 n S (1, )  lim S (1, p)  lim     R  (1  i )  1  lim 1/ p 1/ p  1 1 p  p   p 1  i  p  1  i    1 / p1p по правилу Лопиталя  1/ p 2 1    lim lim lim 1/ p 1 1/ p 2 1/ p  1 p 1  i   1p  ln (1  i )  (1 / p ) ln (1  i ) p  1  i  p  1  i  1/ p S (1, )  R  (1  i) n  1 ln (1  i) P(1, )  R  1  (1  i)  n ln (1  i) (3.3) (3.4) 7. Непрерывная рента постнумерандо с непрерывным начислением процентов   ln (1  i) S (, )  R  P(, )  R  e  n  1 (3.5)  1  e  n (3.6)  Вычисление размеров платежа, продолжительности потока и процентной ставки для ренты постнумерандо Размер платежа (1  i)  1  R  q n ,i i 1  (1  i)  n P(1,1)  R   R  n,i i S (1,1)  R  R n S (1,1) P(1,1)  q n ,i  n ,i (3.7) 9 Продолжительность потока S (1,1) i 1 R  S (1,1)  ln (1  i) n  ln   i  1  R  S ( 1 , 1 )    P(1,1)  ln   i  1 ln 1   i R R     (3.8) n  ln (1  i ) ln (1  i ) (3.9) R  P(1,1)  i R  P(1,1)  i R  P(1,1)  i Случай вечной ренты: P(1,1) 1 i  0 R При увеличении n настолько, что можно считать n   : 1  (1  i) n 1 Рис.3.1  ln i i n   n,i В случае, если размер платежа при обслуживании долга величиной Р(1,1) выбирается по формуле (3.9), продолжительность выплат становится неограниченной, т.е. n   , так как платежи R погашают только проценты по долгу, а основная его сумма Р(1,1) остается нетронутой. n (1  i) n  Рис.3.2 Вычисление ставки qn,i  a0  a1i  a2i 2  ...  an i n Для n  5 такие уравнения неразрешимы для действительных чисел. Используется алгоритм линейной интерполяции: S (1,1) (3.10) qn,i  q0  R i0  i1 q0  q1 q1  q0  q2 (3.11)  i2  i1 q2  q1 Формула линейной интерполяции: q q (3.12) i0  i1  0 1  (i2  i1 ) q2  q1 q q2 q q 1 i1 i0 i i 2 Рис.3.3 Для потоков платежей величину процентной ставки можно вычислить аналитически только для n  4 (в случае, если рента S(1,1)); для n  4 точное аналитическое решение найти невозможно и необходимо пользоваться приближенными методами, например, методом линейной интерполяции, когда часть неизвестной кривой заменяется частью известной прямой, проходящей через две заданные точки. Тогда по вычисленному значению q0 из формулы (3.10) выбираются два дополнительных значения q из (3.11), тогда приближенное значение i0 считается по формуле (3.12): чем меньше диапазон (3.11), тем точнее вычисления по формуле (3.12). 10 Постоянная рента пренумерандо Платежи производятся в начале периода S pre (1,1)  R  (1  i)  R  (1  i) 2  R  (1  i) 3  ...  R  (1  i) n S,P,R Spre(1,1) S (1,1)  R  (1  i)  1  (1  i) 2  (1  i) 3  ...  (1  i) n1  pre S pre (1,1)  R   (1  i) n  1 i S pre (1,1)  S pst (1,1)  (1  i) 1 2 3 n-1 Рис.3.4 n t Ppre (1,1)  R  R   (1  i) (3.13) 1 1 1 1  R  R  ...  R  2 3 1 i (1  i) (1  i) (1  i) n1 1  (1  i)  n  (1  i) i Ppre (1,1)  Ppst (1,1)  (1  i) Ренту пренумерандо можно рассматривать как ту же самую ренту постнумерандо, сдвинутую на один период назад, тогда конечный результат ренты пренумерандо равен конесному результату ренты постнумерандо с процентами за один период начисления. Ppre (1,1)  R  j  S pre (m,1)  S pst (m,1)  1    m j  Ppre (m,1)  Ppst (m,1)  1    m (3.14) -1 1 2 3 n-1 n t Рис.3.5 m m m j p  S pre (m, p)  S pst (m, p)  1    m m j p  Ppre (m, p)  Ppst (m, p)  1    m Постоянная рента с платежами в середине периода S 1 (1,1)  S pst (1,1)  1  i 2 1 2 R P1 (1,1)  Ppst (1,1)  1  i 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Рис.3.6 n 1 2 t j  S 1 (m,1)  S pst (m,1)  1    m 2 j  P1 (m,1)  Ppst (m,1)  1    m 2 m j 2p  S 1 (m, p)  S pst (m, p)  1    m 2 m m 1 2 1 2 m j 2p  P1 (m, p)  Ppst (m, p)  1    m 2 11 Лекция 4 Барьерные значения экономических показателей и их анализ Под барьерными значениями экономических показателей понимают такие их величины, повышение которых ведёт к положительному экономическому результату, а уменьшение – к отрицательному. В частности, точкой безубыточности производства называется такое состояние и соответствующий ему критический объём выпускаемой продукции, при котором текущие доходы в точности равны расходам. 1) Линейный способ производства p=const, p – цена V=p*Q – доходы за определенный период (4.1) c = const, c – удельные переменные расходы f = const, f – постоянные расходы d = const, d – норма амортизации W = Q*c + (f + d) – затраты за год (4.2) K L - расчет нормы амортизации линейным способом (4.3) d n Где К – общие инвестиции, приведенные к моменту начала производства L – остаточная стоимость к моменту окончания срока эксплуатации, равному n. π = W – V = (p - c)*Q – (f + d) (4.4) V V, W, π π = 0 в точке безубыточности W f+d + Qкрит π Q Рис 4.1 (p - c)*Qкр – (f + d) = 0 f d (4.5) Qкр  pc При Р↑ - точка безубыточности сдвигается влево, положительный результат, доходы скорее догонят расходы. При Р↓ - точка безубыточности сдвигается вправо. Как правило, реальное производство имеет нелинейную модель, поскольку все параметры (p, c, f, d) могут зависеть как от объёма выпускаемой продукции, так и от времени. Это объясняется рыночной конъюнктурой, когда Q и P зависят от спроса, и естественными причинами морального и физического старения оборудования, когда C зависит от Q, так как увеличиваются затраты на ремонт. V = f1(Q) W = f2(Q) 12 π(Q) = f1(Q) = f2(Q) Q = K, Mα, L1α V,W Q Рис 4.2 В случае, если параметры p, c, f, d изменяются со временем и есть таблица значений вида: V t p c f d Тогда можно рассмотреть динамический вариант определения критического объёма производства. В общем случае платежи, которые являются потоками доходов V и расходов W, являются потоками платежей, которые распределены непрерывно в течение n лет эксплуатации проекта. (1  i ) n  1 ~ S (1, )  R  S n ,i ln(1  i ) (4.6) (1  i ) n  1 i ~ S n ,i   i ln(1  i ) pst S n,I - множитель наращения. (4.7) S n1,/i2  (1  i)1 / 2  S npst ,i Формула 4.6 является множителем наращения для непрерывной ежегодной ренты. Формула 4.7 – множитель наращения для ежегодной ренты с платежами в середине периода. i 1 1 1)  1  i  i 2  ... ln(1  i ) 2 12 1 1 2) (1  i )1 / 2  1  i  i 2  ... 2 8 Поскольку функции 1) и 2) эквивалентны друг другу с точностью до бесконечно малой определенного порядка, в практических расчетах непрерывную постоянную ренту заменяют дискретной рентой с платежами в середине периода. 13 V,W v1 ½ w1 … v2 1 1½ 2 w2 V1=V2=…Vn=p*Q vn … n … wn t Рис 4.3 V  p  Q  an,i  (1  i )1/ 2 (4.8) 1  (1  i )  n i W1  W2  ...  Wn  с  Q  (f  d) a n ,i  W  (С  Q  f  d )  a n,i (1  i)1 / 2 f d V  W  Qкр  pc (4.9) (4.10) Сравнением формул 4.5 и 4.10 можно убедиться, что в динамическом варианте с постоянной рентой доходов и расходов, положение точки безубыточности не изменяется. Если потоки доходов и расходов являются нерегулярными (W1≠W2≠…≠Wn, V1≠V2≠…≠Vn), положение точки безубыточности определяется с помощью расчета приведенной стоимости нерегулярного потока W и V. n  V1  Vn V2 1 V    ...   Q  P ; к  1..n (4.11)   1/ 2 3/ 2 n 1 / 2 (1  i ) (1  i ) (1  i ) k 1 / 2 k 1  (1  i )  n W  Q  С  k 1 n 1 1  f  d   k 1 / 2 (1  i ) (1  i ) k 1 / 2 k 1 (4.12) Если параметры p, c, f, d - переменные, то в формулах 4.11 и 4.12 надо произвести замены: P→Pk, C→Ck, f→fk, d→dk, где к – момент времени t. Всё вышесказанное относится к бухгалтерскому способу расчета точки безубыточности. Существует и другой способ анализа барьерных значений – финансовый, в котором инвестиции до начала производства учитываются отдельно, как элемент потока платежей, а не через норму амортизации. 14 v1 ½ … v2 1 w1 1½ 2 w2 V1=V2=…Vn=V W1=W2=…=Wn=W V=p*Q W=c*Q+f vn … n … wn t Рис 4.4 К π = NPV = PQ∙an,i(1+i)1/2 – (CQ + f) ∙an,i(1+i)1/2 – K π=0 Qкр  1  К   p  с  a n,i (1  i)1 / 2 d фин  К a n,i (1  i)1 / 2  f  d фин f pc  d бухг  (4.13) (4.14) КL n 1  (1  i )  n i  d бухг i 0 a n ,i  d фин an,i n i Рис 4.5 dфин = dбухг только при i=0, поскольку предельное значение множителя an,I в формуле 4.4 равняется n. lim a n,i  n i 0 Таким образом, в реальной практике d фин  d бухг , поскольку отражает главный принцип эквивалентности при анализе распределенных во времени потоков платежей (v, w, k). 15 Оценка влияния инфляции на величину барьерных значений Инфляция – обесценивание денежной покупательской способности. Iпс – индекс покупательской способности n ПСк P Р 1 1 К  I ПС   к  к 1   к  n Рк ПСк 1 Рк Iр Pк 1 Рк 1 единицы за счет уменьшения реальной (4.15) Рк  Рк 1 (4.16) Рк h- темп инфляции Темп инфляции отражает относительный прирост цен за период. Р h  к  1  I рк  1 Рк 1 h I рк  1  h  k Iр  Рп Р Р Р Р  п  п 1  п  2  ...  2 Р1 Рп 1 Рп  2 Рп 3 Р1 п п I р   I р   1  hk  к 1 к  п к 1 Пример: если темп инфляции составляет 5% в месяц, определить какая инфляция будет за год: I=(1+0,05)12 = 1,7958 16 Лекция 5 Анализ эффективности инвестиций Анализ эффективности инвестиций заключается в определении количественных значений некоторых параметров, которые характеризуют процесс вложения средств, т.е. инвестиций, и неразрывно связанный с ним процесс отдачи. Существует две группы параметров для оценки эффективности инвестиций: 1. финансовые показатели – рассчитывают конечные результаты инвестиционных проектов, в которых главным фактором является время:  NPV (Net Present Value) – чистая приведённая стоимость  IRR (Internal Rate of Return) – внутренняя норма доходности  PP (Payback Period) – срок окупаемости  PI (Profitability Index) – индекс доходности, рентабельности 2. бухгалтерские показатели – учитывают абсолютное значение вложений и отдачи от них без учета их распредленности во времени:  срок окупаемости  отдача от капитальных вложений  удельные капитальные затраты Наиболее часто используемым показателем первой группы является NPV. В этом случае инвестиционный проект представляет собой, как правило, нерегулярные потоки вложений (инвестиций) и доходов от них. Rt t → t Рис.5.1 К параметрам такого потока относятся: Размер элемента потока Rt  Vt  Wt  (Vt  Wt  N t )  g  K t где: g – налоговая ставка Nt – необлагаемая налогами часть прибыли Vt – текущие доходы в момент времени t Wt – текущие расходы Kt – инвестиции (5.1) n1 NPV (t  0)   Rt  t (5.2) t 1 Rt – размер платежа νt – множитель дисконтирования NPV – разница между дисконтированными на момент времени t=0 приведенными стоимостями текущих доходов и расходов. 17 NFV (Net Future Value) – приведенный будущий доход NFV = NPV(1 + i)n NFV D n1 n2 I Рис.5.2 Немедленная рента Ik Ds Отложенная рента n1 n2 Рис.5.3 NPV  n 2  n1 п1 s 1 к 1  Ds  n1 s   I к  к (5.3) m- число начислений p- число платежей j- ставка приведения m2, p2, j2 n1 I n2 m1, p1, j1 Рис.5.4 1  (1  п1 I к 1 к  к  I  j1  m1n1 ) m1 j (1  1 ) m1 / р1  1 m1 (5.4) 18 j2 m2 ( n2 n1 ) ) m2 1 n1 s Ds   D  (5.5)  j2 m2 / р2 j1 m1n1 s 1 (1  )  1 (1  ) m2 m1 Разница между формулами 5.5 и 5.4 даст NPV инвестиционного проекта (NPV=(5.5)-(5.4)). Для анализа инвестиций важно не столько абсолютное значение NPV, сколько его знак. Если NPV<0, то либо слишком большие расходы, либо в потоке доходов что-то не учтено. 1  (1  n 2 п1 Свойства : 1. влияние размеров элемента потоков доходов и расходов на NPV линейное Ds↑ → NPV↑ Ik↑ → NPV↓ NPV n1 NPV n2 ТБ NPV NPVT iT i Рис.5.5 NPV i I 0 I = IRR Размер ставки приведения, при которой инвестиции окупаются, но не приносят прибыль, называются внутренней нормой доходности. Для анализа инвестиций важно не столько значение IRR, сколько разница между текущей ставкой приведения некоторого проекта и его барьерным значением I. iT – I – запас по устойчивости (эффективности) инвестиционного проекта 19 n Rt NPV   Rt  t   (1  i) t t 1 n Rt  (1  I ) t 1 NPV  0 0 t n2 D k  n11 к п1  n1 к   I q  q  0;   q 0 1 1 i (6.1) Вычисление IRR с помощью линейной интерполяции. IRR аналитически представляет собой корень алгебраического уравнения (6.1), в котором неизвестным является ставка приведения. Поскольку такие уравнения для степени выше 4й в радикалах неразрешимы, для вычисления IRR пользуются приближенными методами. Самый простой из них – линейная интерполяция, которая заключается в замене участка кривой NPV=f(i), близкой к нулю, участком прямой. NPV1 β i' α i1 NPV2 i2 i Рис.6.1     tg  tg tg  NPV1 NPV 2  tg  J 'i1 i2  J ' NPV1 (i 2  J ' )  NPV 2 ( J 'i1 )  J '  NPV1  i 2  NPV 2  i1 NPV1  NPV 2 NPV ( J ' )  0 ? Если нет, то необходимо сузить интервал. Если iT0, проект приносит доход, если iT>J, то это плохо, NPV<0, проект явно убыточный. На практике важно не столько абсолютное значение IRR, сколько разница между ней и текущей ставкой приведения инвестиционного проекта. Задача Инвестиционный проект предполагается реализовать за 3 года. В начале 1го года единовременные затраты составили 1 млн 700 тыс, во втором году – равномерные инвестиции 1 млн, в конце 3го года единовременные инвестиции 300тыс. Отдачу планируют получать в течение 15 лет: первые 3 года – равномерный непрерывный поток с ежегодной величиной 200 тыс, следующие 10 лет – равномерный непрерывный поток 600тыс, в оставшиеся 2 года – равномерный поток 300 тыс ежегодно, i=10%. Определить доходность проекта с точки зрения IRR бухгалтерским и финансовым методами. 20 600 300 200 1 2 3 4 5 6 … 16 18 t 300 1000 1700 Рис.6.2 NPVбухг (отдача от капитальных вложений) считается как алгебраическая сумма всех возможных доходов и расходов инвестиционного проекта: NPVбухг  (1700  1000  300)  (3  200  10  600  2  300)  3000  7200  4200 NPVфин. Для рассчета NPVфин заменим равномерные непрерывные потоки платежей дискретными платежами, приложенными в середине каждого года каждого периода. 1000 300 1  (1  i ) 3 1 1  (1  i ) 10 1 NPVфин  (1700   )  ( 200   600   1, 5 3 2,5 i i (1  i ) (1  i ) (1  i) (1  i) 5,5 1  (1  i ) 2 1  300  )  100 i (1  i )15,5 дисконтируем 2 200 6 3 чтобы была рента постнумерандо 200 200 4 5 6 Рис.6.3 Срок окупаемости (РР) Срок окупаемости представляет собой такое значение продолжительности доходной части проекта, при которой доходы в точности равны расходам. РРфин : D n  РРфин п1 k  n11 q 0  Dк  n1к   I q  q 1  (1  i) i  ( n  PPфин )  (6.2) 1 1  (1  i)  n1  I i (1  i) п1 i=10% n Рис.6.4 21 РРбухг считается как отношение абсолютной суммы потока инвестиций к средневзвешенному значению платежа доходной части.  Iq РРбухг  Dк Задача Инвестиции к началу срока отдачи составили 4 млн, доход ожидается на уровне 0,7 млн в год и поступает непрерывно равномерными потоками в течение 10 лет. Найти сроки окупаемости бухгалтерским и финансовым методами. i=10% R=0,7 1 … 2 10 Рис.6.5 ∑I=4млн РРбухг  4  5,71 г ода 0,7 РРфин : R 1  (1  i ) i ln(1  РРфин   I  ( п  РРфин ) I R(1  i ) 0,5 ln(1  i )  (1  i ) 0,5   I  i)  8,26  i  1 - срок окупаемости не определяется, стремится к бесконечности. R(1  i ) 0,5 Бухгалтерский и финансовый способы определения срока окупаемости могут дать  I  i  1 - это вечная рента. По принципиально разные значения, например, если R(1  i ) 0,5 Если бухгалтерскому методу отношение быть и время. большой. Поэтому I даст вполне конкретный результат, хотя может R финансовый способ точнее, т.к. учитывает PPфин i R R I i I Рис.6.6 22 Индекс доходности (PI) Индекс доходности представляет собой отношение дисконтированных к нулю доходов к дисконтированным к нулю расходам. n2 PI  D k  n11 п1 к I q 0 q  n1 к  q Если PI>1, хороший проект. 23 Лекция 7 Многокритериальные задачи экономического анализа Критерий – количественное выражение системных изменений Задача 1 f1  p1  x1  p2  x2  ...  pn  xn  n p j  x j  max , j  1, n j 1 f 2  k1  x1  k 2  x2  ...  k n  xn  n k j  x j  min , j  1, n j 1 g1 ( x1 , x2 ,..., xn )  bi xj  0 Двухкритериальная модель задачи 1 является примером того, что на практике многокритериальные задачи гораздо точнее отражают поведение реального объекта исследования, чем задачи с одним критерием. В задаче 1 функция f1 выражает доход, полученный при выпуске и видов продукции, где рj – стоимость единицы, а хj – объем выпускаемого j-го вида продукции. Коэффициенты kj выражают процент выхода бракованных изделий в j-м виде продукции, а функция f 2 может служить количественным выражением обобщенного показателя качества. Ограничение задачи с экономической точки зрения выражает ограниченность используемых ресурсов (материальных, финансовых, трудовых). Задача 2 Коэффициент удельного выхода электроэнергии  a  x  max Коэффициент удельного выхода тепловой энергии  b  x  max Потери электрической энергии  c  x  min Потери тепловой энергии  d  x  min Стоимость покупки угля  p  x  min Ограничения  x  1 , 0  x  1 j j j j j j j j j j j j (7.1) (7.2) (7.3) (7.4) (7.5) (7.6) хj – доля объема поставки каждого поставщика Задача 2 отражает выбор поставщика для ТЭЦ с учетом вырабатываемой тепловой и электрической энергии, а также качества энергоносителей. Функции (7.1) и (7.2) отражают выработку тепловой и электроэнергии с учетом коэффициентов их удельной выработки aj и bj. Функции (7.3) и (7.4) определяют общие потери при использовании угля повышенной влажности и зольности с учетом удельных коэффициентов потерь cj и dj. Функция (7.5) отражает общую стоимость всех возможных закупаемых сортов угля по ценам pj у каждого производителя соответственно. Тогда хj это доля закупки у j-го производителя. 24 Задача 3 Обобщенная задача оптимального портфеля Имеется n видов активов, в которые потенциальный инвестор может вкладывать долю своих вложений в объеме хj (j-ый вид актива). Доходность от вложения в j-ый вид актива Rj – величина случайная и значение может быть спрогнозировано по всем правилам математической статистики. Тогда задача оптимального портфеля сводится к поиску такого варианта вложений, при котором математическое ожидание дохода обеспечивается минимумом риска при его получении. Ожидаемая доходность по всем n-видам актива  x j  R j Максимум ожидаемого дохода определяется с помощью математического ожидания: f1  M  x j  R j   M R j  x j  max Риск выражается среднеквадратическим отклонением или дисперсией. f 2  D  x j  R j   DR j  x 2j  2 xi  x j  ri j   i   j ,       i x j  1, i  j j где rij – коэффициент корреляции между доходностью активов i и j, σi, σj – среднеквадратическое отклонение В случае, если каждый вид актива не зависит от другого, формула f2 преобразуется к следующему виду:  x f2  D j   DR  x  Rj  j 2 j Задача 4 Задача многокритериального выбора инвестиционного проекта Проект 1 2 3 (NPVij) i, j  1,3 Инвестор (РРij) i, j  1,3 1 1 (IRRij): IRRij –iij, 2 1 iij – ставка приведения доходной части проекта, i, j  1,3 3 1 (РIij) i, j  1,3 Задача состоит в том, чтобы выбрать проект, который был бы оптимален по всем четырем показателям эффективности одновременно. хij – переменная логического типа: 1, i  j, если i  ый инвестор выбирает j  ый проект xij   0, i  j, если i  ый инвестор не выбирает j  ый проект Тогда общий показатель эффективности по NPV будет складываться из: NPV  NPV11  x11  NPV12  x12  ...   NPV ij i PP  PP11  x11  PP12  x12  ...   PP  x ij i IRRij - iij( 2 )   (IRR - i ij i PI   PI i (2) ij )  xij  xij  max j ij  min j  max j ij  xij  max j Ограничения x ij 1 i 25 x 1 ij j Все четыре приведенные задачи показывают, что необходимо иметь алгоритм решения многокритериальной (векторной) задачи оптимизации, которая в общем виде выглядит следующим образом: Необходимо найти экстремальное значение векторной целевой функции: F ( X )  f k ( X ), k  1, l    max f k ( X ), k  1, l1 , extr F ( X )    min f k ( X ), k  l1  1, l если на вектор переменных задачи X  x1 , x2 ,..., xn  накладываются ограничения:   , где G X -матрица ограничений G g1 X , g 2 X ,..., g n X ,       G X   B          B  b1 , b2 ,...,bm    Оптимальность для многокритериальной задачи понимается в смысле оптимальности по Парето, т.к. невозможно на практике осуществить такую ситуацию, когда точка максимума одной (нескольких) функции являлась бы точкой минимума для другой (других). Вариант решения X * задачи векторной оптимизации называется оптимальным по * Парето, а значение локального (частного) k-го критерия эффективным f k ( X ) , если на множестве допустимых решений не существует варианта решения X 1* , для которого выполнялись бы неравенства: * * * * f k ( X 1 )  f k ( X ) для k  1, l1 f k ( X 1 )  f k ( X ) для k  l1  1, l и хотя бы одно из этих неравенств являлось бы строгим. Множество Парето-оптимальных решений образует Парето-оптимальное множество, или множество неулучшаемых оценок. Это означает, что значение по одному критерию можно улучшить только за счет ухудшения по другому. Методов решения векторных задач оптимизации существует достаточно много, но абсолютное большинство из них использует метод линейной свертки. f1 X   f X  2   G X B … fn X Линейная свертка: F X  1  f1 X   2  f 2 X  ...   n  f n X  max , где  j - коэффициенты веса (значимости) соответствующего критерия с точки зрения лица, принимающего решение.  j  1 , j  1, n , G X  B             j Преимущество этого метода в доказательстве оптимальности получаемого решения по Парето. Недостатки: 1)  j принимаются субъективно 26 2) f k (X ) могут иметь различные единицы измерения 3) решение получается неоднозначным Пусть   f X   x f1 X  x1 2 2 x1  x2  1   F X  1  x1   2  x2  max x1 1 1 2 ОДЗ 1 При 1   2 – линия уровня 1 1   2 – линия уровня 2 1   2 – линия уровня совпадает с областью допустимых решений – можно взять любую точку → неоднозначное решение x2 Рис.7.1 Многокритериальную задачу о назначениях инвесторов на проекты можно решать с помощью метода гарантированного результата при нормализации критерия (ГРНК). Нормализация критерия, т.е. приведение всех функций-критериев к безразмерному виду (к процентам).   f X   G X B X 0 Находим f max и f min . Строим относительный критерий: f   ff X  ff X  max f  min min (7.7) 0   1 λ f (X) max min Формула (7.7) выражает относительный уровень достижения критерием f своего локального максимума.   X  Рис.7.2   f max  f X f max  f min (7.8) Формула (7.8) выражает относительное отклонение от достижения каждым критерием своего локального максимума. NPV   NPV ij i j max  xij   min Ограничения: x x ij 1 ij 1 i j 27 Лекция 8 Анализ финансовых результатов для стохастических потоков платежей В современных рыночных условиях значения параметров потоков платежей зависят от очень многих, часто трудно предсказуемых факторов (например, влияние погодных условий, колебания рыночных котировок, наступление страховых событий). Поэтому в общем случае параметры потоков платежей являются случайными величинами. Таким образом, в реальных финансовых операциях определенно можно говорить лишь об ожидаемых значениях этих величин, каждая из которых может появиться с определенной вероятностью. Потоки с такими параметрами называются стохастическими. R R1 t1 R2 t t2 Рис 8.1 Чтобы найти ожидаемое значение случайной величины, необходимо знать её функцию распределения. f(r) r Рис 8.2  R  rf (r )dr  М R  Чаще всего случайные величины (Гаусовскому) закону, тогда могут быть распределены по нормальному 28 п R  М R   r i i 1 п п DR    (r  R) 2 i i 1 п 1 ri = значение случайной величины R в i-ом опыте, всего опытов n. Тогда для приведенной стоимости стохастического потока платежей Т 1 Р   Rt t ;   (8.1) 1 i t 1 В формуле (8.1) Rt является случайной величиной, ν – не случайная, т.к. определяется точкой приложения случайной величины Rt.   Р  М  Rt  t    М Rt  t   М Rt   t   Rt  t t  t  t Фактически значение приведенной стоимости такого потока будет отличаться от Р тем больше, чем больше разброс значений случайной величины r относительно её среднего значения R .   D Р  D  Rt t    D Rt t   DRt   2t (8.2)  t  t Формула (8.2) справедлива только при условии, что если величины Rt независимы друг от друга, т.е. величина платежа в один момент t не зависит от того, какова будет величина платежа в другой момент t. DRt   const  D R      DР   D R   2t п  t 1 2t ( 2 ) п  1 1  (1  i )  2 п        ...      2 1 (1  i ) 2  1  2  D, 2 4 6 2  D  р  DР    R   2t t После определения математического ожидания и дисперсии приведенной стоимости стохастического потока, можно найти любое значение приведенной стоимости из выражения: Р(t  0)  Р  z р  Р  z R  2t (8.3) t Где z – аргумент функции Лапласа (интеграла вероятности) z  argF(z) 1 F(z)  2  е  t2 2 dt  F   F    Р (  z   ) Задача Пусть элементы некоторого потока платежей являются случайными величинами с нормальным распределением и параметрами: R  10,  R  0,3 . Считая, что стохастический 29 поток представляет собой ренту постнумерандо, найти её приведенную стоимость, если срок операции 5 лет, а ставка i=15%. Rt  const Р   Rt   t  Р R  1  (1  i )  п R R   ...  R   32,52 1  i (1  i ) 2 i  2t   R  t 1  (1  i )  2 п  0,3 2,334  0,458 (1  i ) 2  1 99,7% Р  Р  3 Р Рис 8.3 Для доверительной вероятности 0,9 (90%) по таблицам Лапласа z=1,65 Р=32,52±0,756 Из приведенного примера понятно, что в стохастических потоках платежей появляется элемент риска, т.е. возможные потери в случае, если фактическое значение случайной величины будет меньше ожидаемого. Для учета фактора риска в стохастических потоках используется две основные группы методов: 1) методы, связанные с надбавкой за риск 2) методы управления риском Одним из важнейших методов второй группы является метод диверсификации инвестиций – распределение активов по нескольким инвестиционным проектам. Метод диверсификации инвестиций основан на следующем положении: мМожно подобрать такую структуру оптимизационного портфеля, что суммарный риск от его использования будет ниже, чем риск вложения в отдельные виды активов этого портфеля. В этом случае за меру риска принимают дисперсию или среднеквадратическое отклонение случайной величины от ожидаемого. i  1, п - количество ценных бумаг. di – доходность в расчете на единицу ценной бумаги вида i. qi – доля ценных бумаг i вида в инвестиционном портфеле.  qi  1 М V   М  q d    q i i  М d i  i п DV    q i2 Dd i   2 q i q j rij  i  j , i  j i 1 i j rij – коэффициент корреляции, который показывает степень зависимости доходов бумаги типа i от доходов бумаги типа j. 30 rij  0  DV    q i2 Dd i  qi  1 п Dd i   const  Di п DV    q i2 Dd i   п  Di Di (8.4) п п i 1 Формула (8.4) показывает, что риск недополучения дохода по всему портфелю в целом уменьшается в n раз по сравнению с риском вложения в каждую ценную бумагу отдельно. 2  31