Линейные электрические цепи постоянного тока

Занятие 1. Лекция. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА Индуктивный элемент. Двухполюсный элемент, характери­зуемый зависимостью (i) или i() (– потокосцепление), называют индуктивным элементом — индуктивностью. Зависимость (i) или i() называют вебер-амперной харак­теристикой такого элемента.. Эта характеристика может быть линейной или нелинейной. Обозначение такого элемента дано на рис.2.9. У линейной индуктивности потокосцепление линейно зависит от тока: , где L=const – индуктивность [Гн]. Напряжение на зажимах индуктивности возникает только при изменении потокосцепления: . (2.4) Ёмкостный элемент. Двухполюсный элемент, характери­зуемый зависимостью q(u) или u(q) (q– электрический заряд), называют емкостным элементом — ёмкостью. Зависимость q(u) или u(q) называют кулон-вольтной харак­теристикой такого элемента.. Эта характеристика так же может быть линейной или нелинейной. Обозначение такого элемента дано на рис.1.10. У линейной ёмкости заряд q пропорционален напряжению: , где С = const – ёмкость [Ф]. Ток через ёмкость протекает только при изменении заряда: . (2.5) Закон Ома для участка цепи Напряжение на участке цепи. Под напряжением на некотором участке электрической цепи по­нимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. На рис.2.1 изображен участок цепи, крайние точки которого обоз­начены буквами а и b. В соответствии с определением напряжения между точками а и b: (2.1) Положительное направление напряжения на каком-либо участке цепи (направление отсчёта этого напряжения), указываемое на рисунках стрел­кой, совпадает с положительным направлением отсчёта тока, протекающего по данному участку цепи (рис.2.1). Закон Ома для участка цепи, не содержащего э.д.с. Пусть ток (рис.2.1) I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки а выше потенциала точки b на величину, равную про­изведению тока I на сопротивление R: или (2.2) Закон Ома для участка цепи, содержащей э.д.с. Этот закон позволяет найти ток участка по известной разности потенциалов на его концах и имеющейся на этом участке э.д.с. (рис.2.2). Для рис.2.2,а запишем потенциал точки а, пройдя от точки с: , далее или , откуда ток: (2.3) Для рис.2.2,б поменяется знак при э.д.с. Е: . (2.3/) В общем виде можно записать: . (2.4) Уравнение (2.4) математически выражает закон Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.; знак «плюс» перед Е соответствует согласованному её направлению с током (рис.2.2, а), знак «минус» — встречному (рис.2.2, б). 2.2. Законы Кирхгофа Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко: 1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю; 2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекаю­щих от узла токов. На рис.2.3. показан узел схемы с входящими и выходящими из него токами. Будем считать выходящие токи со знаком «плюс», а входящие со знаком «минус» (возможно принять и наоборот). Тогда согласно первой формулировке: , согласно второй — . Очевидно, что эти два выражения не противоречат друг другу. Параллельное соединение сопротивлений. При параллельном соединении напряжение на всех сопротивлениях одинаково и равно U (рис.2.4). Ток в каждом из сопротивлений определяется по закону Ома: Ток в источнике по первому закону Кирхгофа равен сумме всех токов: или . Выражение в скобках представляет собой эквивалентную проводимость . (2.5) Второй закон Кирхгофа также можно сформулиро­вать двояко: 1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равняется алгебраической сумме э.д.с. вдоль того же контура: . В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком «плюс», если они совпадают с направлением обхода контура, и со зна­ком «минус», если они не совпадают с ним. Для левого контура схемы рис.2.5: . 2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю: . Так, для периферийного контура схемы рис.2.5: . Последовательное соединение сопротивлений. При последовательном соединении ток во всех сопротивлениях одинаков и равен I (рис.2.6). Напряжение на каждом из сопротивлений определяется по закону Ома: . Напряжение на источнике по второму закону Кирхгофа равно сумме падений напряжения или . Выражение в скобках представляет собой эквивалентное сопротивление . (2.6) Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Практическое занятие 1. Методы расчёта электрических цепей Метод уравнений Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения напряжений на участках цепи и токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через в, число ветвей, содержащих источники тока, — через вит и число узлов — через у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источ­никами тока известны, то число неизвестных токов равняется в–вит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо: а) произвольно выбрать положительные направления токов в вет­вях и обозначить их на схеме; б) выбрать положительные направления обхода контуров для со­ставления уравнений по второму закону Кирхгофа. С целью единообразия рекомендуется (это не обязательно) для всех контуров положи­тельные направления их обхода выбирать одинаковыми, например, все по часовой стрелке (или наоборот). Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, на единицу меньше, чем число узлов, т.е. у–1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в–вит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т.е. (в–вит) – ( у–1). Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа надо охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стре­мятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называют независимыми. Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, и потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры. Пример 1 (см. рис.2.5). E1 =80 [B]; E2 =64 [B]; R1=6 [Ом]; R2 =4 [Ом]; R3 =3 [Ом]; R4 =1 [Ом]. Определить I1, I2, I3. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях. В схеме в =3; вит =0; у =2. По первому закону Кирхгофа составляем ( у–1 = 2–1 = 1) одно уравнение: –I1 –I2 +I3 =0 (а). По второму закону Кирхгофа составляем [(в–вит) – ( у–1) = (3–0) – (2–1) = 2] два уравнения. Для контура R1E1R2E2 : I1R1 – I2R2 = E1+E2 (б); для контура E2R2R3R4 : I2R2 + I3 (R3+R4) = –E2 (в). Совместное решение уравнений (а), (б), (в) даёт: I1 = 14 [A], I2 = –15 [A], I3 = –1 [A]. Поскольку положительные направления токов выбирают произ­вольно, в результате расчёта какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I2 и I3 , что следует понимать так: направле­ния токов I2 и I3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис.2.5 за положительные, т.е. в действительности токи I2 и I3 текут в обратном направлении. Метод уравнений Кирхгофа является универсальным методом, однако, его применение ограничено возможностью вычислительных средств, доступных расчётчику, т.к. система уравнений содержит столько уравнений, сколько ветвей без источников тока содержится в схеме. В соответствие с вариантами выполнить расчет токов I1, I2, I3 со следующими параметрами элементов цепи (номер варианта соответствует номеру фамилии студента по списку, номеру 11 соответствует вариант 1; 12 – вариант 2; ….. 21 – вариант 1; и т.д.): Вариант E1 E2 R1 R2 R3 R4 1 100 80 6 4 6 1 2 80 64 3 2 3 3 60 42 4 2 6 4 60 4 1 1 4 5 40 28 2 4 1 6 50 1 5 4 7 10 3 3 4 8 48 10 2 6 4 9 120 6 10 2 2 10 56 30 4 2 3 5