Линейные электрические цепи переменного несинусоидального тока

1. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА. 1.1. Общие положения. Выше были рассмотрены методы анализа линейных электрическох цепей, в которых напряжения и токи изменялись периодически и по закону синуса (косинуса). На практике встечается класс задач, предполагающий анализ электрических цепей, в которых напряжения, ЭДС и токи также изменяются периодически, но по закону отличающегося от синусоидального. Причины возникновения периодических несинусоидальных величин могут быть следующие: 1) Наличие в линейных электрических цепях одного или нескольких источников периодически несинусоидально изменяющихся величин (напряжений, токов, ЭДС, …); 2) Наличие в электрических цепях с источниками электрической энергии, значения которых изменяются по синусоидальнму закону, одного или нескольких нелинейных элементов (например, наличие нелинейного резистора, катушки индуктивности с насыщающимися сердечниками, и т.п.); 3) Совместное действие факторов, описываемых в пунктах 1 и 2; 4) Наличие в электрических цепях одного или нескольких элементов, параметры которых изменяются с течением времени. В рамках данной главы настоящего учебного пособия рассматривается методика анализа цепей с периодически несинусоидально изменяющимися величинами, вызванными только первой из описанных выше причин. Для решения данной задачи широко применяется разложение периодической несинусоидально изменяющейся кривой в ряд Фурье. 1.2. Разложение периодической кривой в ряд Фурье. Как известно из курса высшей математики, любая периодическая фунция f(t), имеющая период T, удовлетворяющая теореме Дирехле, может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье: (4.2.1) более краткая форма записи которого имеет вид: (4.2.2) Условия теоремы Дирехле следующие: функция на рассматриваемом периоде T должна иметь конечное число экстремумов (максимумов и минимумов), и конечное число разрывов первого рода. Практически все функции, описывающие различного рода законы изменения физических величин в электротехнике удовлетворяют условиям теоремы Дирехле. В формулах (4.2.1) и (4.2.2): – постоянная составляющая или нулевая гармоника; (4.2.3) – первая или основная гармоника, имеющая номер . Гармоники, имеющие номер i больше единицы называются высшими гармониками (вторая гармоника, третья гармоника и т.д.). В последнем выражении (4.2.3) , и  соответственно амплитуда, начальная фаза и угловая частота первой гармоники. Угловая частота первой гармоники, связана с периодом изменения функции соотношением: . (4.2.4) На практике разложение функции f(t) в бесконечный гармонический ряд невозможно, поэтому её разложение производится на некоторое ограниченное количество гармоник N, в связи с этим выражение (4.2.2) должно быть переписано в виде: . (4.2.5) Кроме представленной формы ряда Фурье (4.2.2) находят применение также и другие формы его записи. Используя известное тригонометрическое тождество: перепишем (4.2.2) в виде: . (4.2.6) В последнем выражении вводим обозначения: , (4.2.7) , (4.2.8) при этом выражение (4.2.6) принимает вид: . (4.2.9) Коэффициенты и в выражении (4.2.9), как известно из курса высшей математики, могут быть определены следующим способом: (4.2.10) (4.2.11) Постоянная составляющая в выражениях (4.2.2), (4.2.5), (4.2.6) и (4.2.9) определяется как: . (4.2.12) В случае если известны параметры одной формы записи ряда Фурье существует возможность перехода к другой его форме записи. Например, если известны параметры и для каждой гармоники и ряд Фурье представлен в виде (4.2.2), тогда с помощью соотношений (4.2.7) – (4.2.8) существует возможность перехода к записи ряда Фурье в форме (4.2.9). В случае если известны коэффициенты и для каждой гармоники, и ряд Фурье записан в форме (4.2.9), используя известное тригонометрическое тождество: , где: , выражаем параметры и для каждой гармоники ряда Фурье, представленного в виде (4.2.2): , (4.2.13) . (4.2.14) Форма записи ряда Фурье, как правило, выбирается исходя из удобства практического применения. На рис. 4.2.1. приводится пример разложения периодической несинусоидальной функции в гармонический ряд Фурье. Разложение осуществлялось до 5-1 гармоники включительно. а) б) Рис. 4.2.1. Разложение периодической несинусоидальной функции в гармонический ряд Фурье: а) графики изменения функции и результат раздожения функции в гармонический ряд ; б) графики гармонических составляющих ряда Фурье. 1.3. Разложение периодической несинусоидальной функции полученной экспериментальным путём На практике часто приходится выполнять разложение периодической несинусоидальной функции, полученной экспериментальным путём (рис.4.3.1). В этом случае функция представляет собой дискретный сигнал, состоящий из набора точек, следующих друг за другом через равные промежутки времени : (4.3.1) где p – количество точек за период. Принимая, что , заменяя операцию взятия интеграла операцией суммирования, переписываем выражения (4.2.10) –(4.2.12) для i-й гармоники в следующем виде: , (4.3.2) , (4.3.3) . (4.3.4) После выполнения некоторых математических преобразований получаем: , (4.3.5) , (4.3.6) . (4.3.7) 1.4. Примеры разложения функций в ряд Фурье. Разложение функции, симметричной относительно оси абсцисс (рис. 4.4.1 а). В общем виде выражение для таких функций может быть записано как: (4.4.1) При разложении функции (4.4.1) в гармоническом ряду будет отсутствовать постоянная составляющая и чётные гармоники: (4.4.2) Подобный закон изменения имеют, например, ЭДС вырабатываемые в фазах трёхфазного генератора переменного напряжения при условии их симметричного устройства. Разложение функции, симметричной относительно оси ординат (рис. 4.4.1 б). В общем виде выражение для таких функций может быть записано как: (4.4.3) При разложении функции (4.4.3) в гармоническом ряду будет отсутствовать синусоидальные гармоники: (4.4.4) Данный характер изменения функции характерен для выпрямленного значения напряжения на выходе полупроводниковых выпрямителей. Разложение функции, симметричной относительно начала координат (рис. 4.4.1 в). В общем виде выражение для таких функций может быть записано как: (4.4.5) При разложении функции (4.4.5) в гармоническом ряду будет отсутствовать постоянная составляющая и косинусоидные гармоники: (4.4.6) а) б) в) Рис. 4.4.1. Примеры типовых функций: а) симмеричных отностиельно оси абсцисс; б) симмеричных отностиельно оси ординат; в) симмеричных отностиельно начала координат. 1.5. Несинусоидальные кривые с периодической огибающей (биения). Биения – сложение двух синусоидальных сигналов с близкими частотами и одинаковыми амплитудами: . (4.5.1) Предполагаем, что в последней формуле и . Выносим за скобки и преобразуем (4.5.1) с помощью известного тригонометрического тождества: . (4.5.2) Вводим обозначения: , (4.5.3) , (4.5.4) тогда (4.5.2) перепишется в виде . (4.5.5) График изменения закона (4.5.5) может быть представлен в виде синусоиды имеющей переменную амплитуду (рис. 4.5.1). При этом период изменения амплитуды (период биения) определяется как: , (4.5.6) и в обцем случае не совпадает с периодом изменения функции : . (4.5.7) Учитывая периодичность изменения гармонических функций выражение (4.5.5) можно также переписать в виде: . (4.5.8) В случае если: , (4.5.9) т. е. является целым нечётным числом, в этом случае период биения совпадает с периодом изменения функции . В остальных случаях значения и не равны друг другу. Модулирования колебаний. Как было сказано ранее, любая синусоидально изменяющаяся функция, представляемая законом: (4.5.10) определяется тремя параметрами: амплитудой , угловой частотой и начальной фазой . Значения данных параметров могут быть постоянными. В случае если их значения изменяются с течением времени, что иногда необходимо для передачи сигналов, то данный процесс называется модуляцией. Существует: амплитудная модуляция – в случае если по некоторому закону происходит изменение во времени амплитуды функци (4.5.10) ; частотная модуляция – в случае изменения по заданному закону частоты ; фазовая модуляция – когда по некоторому закону производится изменение начальной фазы функции . 1.6. Алгоритм расчёта цепей с несинусоидально изменяющимися величинами. Для анализа процессов в цепях с несинусоидально изменяющимися величинами широко используется математический аппарат комплексных чисел, применение которого подробно описывалось в гл. 3 для анализа процессов в цепях с синусоидально изменяющимися величинами. Отличие анализа цепей с несинусоидально изменяющимися величинами заключается только в последовательности выполняемых математических операций, которые будут иметь следующий порядок: 1. Законы изменения источников энергии (ЭДС, токов…), имеющихся в рассматриваемой электрической цепи, и имеющих периодический несинусоидальных характер, с помощью преобразования Фурье представляются в виде гармонического ряда (4.2.2) с ограниченным количеством гармоник (см. п. 4.2); 2. Производится анализ процессов в электрической цепи от действия каждой гармонической составляющей в отдельности, применяется так называемый принцип наложения; 3. Выполняется суммирование результатов расчётов произведённых от действия каждой гармонической составляющей. При выполнении анализа процессов в цепях с несинусоидально изменяющимися величинами необходимо помнить следующее: 1. Реактивные сопротивления элементов, включённых в электрическую цепь, определяются частотой гармоники, действие которой в электрической цепи в данный момент рассматривается. Значения реактивных сопротивлений в этом случае будут равны: , (4.6.1) , (4.6.2) где: – частота основной гармоники; i – номер гармоники, действие которой в электрической цепи рассматривается в данный момент. 2. Вследствие наличия явления поверхностного эффекта активные сопротивления отдельных элементов электрической цепи также могут зависеть от частоты гармоник. 3. При определении значений токов, сформированных отдельными гармониками напряжения, допускается построение векторных диаграмм и составление баланса мощностей только для каждой гармоники в отдельности. 4. При протекании тока в электрической цепи, вызванного определённой гармоникой напряжения возможно появление в электрической цепи на данной гармонике резонанса. Явление резонанса также может наблюдаться в рассматриваемой электрической цепи на нескольких разных гармониках. 1.7. Среднее и действующие значения несинусоидально изменяющихся величин. Любая периодическая функция (тока, напряжения, ЭДС,…) изменяющая с течением времени по несинусоидальному закону характеризуется рядом величин, среди которых её действующее и среднее значения. Действующее (среднеквадратичное) значение некоторой величины i(t) определяется согласно (3.1.5): (4.7.1) После разложения закона изменения i(t) в ряд Фурье (4.2.2) получаем: . (4.7.2) Подставляем (4.7.2) в (4.7.1): . (4.7.3) Преобразуем выражение, стоящее под знаком корня в последней формуле к виду: (4.7.4) Интеграл от первого слагаемого выражения (4.7.4) может быть взят аналогично случаю, рассмотренному в п. 3.1 для каждой гармоники в отдельности, в результате взятия интеграла получаем: (4.7.5) Интеграл от второго слагаемого выражения (4.7.4) может быть взять после его преобразования с помощью тригонометрического тождества: , тогда: (4.7.6) Таким образом, под знаком корня в выражении (4.7.3) будет записано только выражение (4.7.5): . (4.7.7) Учитывая, что действующее значение синусоидально изменяющейся величины определяется с помощью соотношения (3.1.8), для каждой гармоники входящей в соотношение (4.7.7) записываем: . (4.7.8) Таким образом: , (4.7.9) действующее значение синусоидально изменяющейся величины определяется как квадратный корень из суммы квадратов действующих значений каждой гармоники в отдельности, входящей в состав разложения (4.7.2). Кроме действующего и среднего значений (4.7.9) несинусоидально изменяющаяся величина характеризуется также коэффициентом формы: (4.7.10) – отношение действующего значения функции к её среднему значению ; коэффициентом амплитуды: (4.7.11) – отношение максимального значения функции к её действующему значению ; коэффициентом искажения: (4.7.12) – отношение действующего значения основной гармоники функции к её действующему значению ; коэффициентом гармоник: . (4.7.13) – отношение корня квадратного из суммы квадратов действующих значений гармоник несинусоидальной функции к действующему значению первой гармоники. В случае если в рассматриваемой несинусоидальной функции отсутствует постоянная составляющая, в этом случае: . (4.7.14) 1.8. Мощность в цепях с несинусоидально изменяющимися величинами. Согласно определению значение мощности, действующей в электрической цепи переменного тока, определяется как: . (4.8.1) Учитывая, что напряжение и ток в электрической цепи изменяются периодически и по закону, отличающимся от синусоидального, законы их изменения могут быть представлены в виде гармонического ряда (4.2.2): , (4.8.2) . (4.8.3) Тогда (4.8.1) может быть записано следующим образом: . (4.8.4) В последнем выражении раскрываем скобки и переписываем его в виде: (4.8.5) Возьмём интеграл от второго слагаемого выражения (4.8.5), воспользовавшись известным тригонометрическим тождеством: (4.8.5а) (4.8.6) Третье слагаемое выражения (4.8.5): (4.8.6) после его преобразования с помощью тригонометрического тождества (4.8.5а) и взятия интеграла будет равно нулю (см. п. 4.7). Таким образом, мощность, действующая в цепи переменного несинусоидального тока будет определяться следующим образом: . (4.8.7) Выражение (4.7.7) называется активной мощностью, действующей в цепи переменного несинусоидального тока. Как следует из последнего выражения, активная мощность, действующая в электрических цепях переменного несинусоидального тока складывается из активных мощностей, сформированной каждой гармоникой в отдельности (включая и нулевую гармонику). Полная мощность в цепях несинусоидального тока определяется как произведение действующих значений напряжения и тока: . (4.8.8) В свою очередь действующие значения тока и напряжения в цепях несинусоидального тока определяются как: , (4.8.9) . (4.8.10) Тогда: . (4.8.11) По аналогии с цепями синусоидального тока, кроме активной и полной мощностей для цепей несинусоидального тока вводится также понятие реактивной мощности: . (4.8.12) Согласно выражению (4.7.12) реактивная мощность, действующая в электрической цепи несинусоидального тока, складывается из реактивных мощностей формируемых каждой гармоникой в отдельности. Особенность цепей переменного несинусоидального тока в том что в них не выполняется условие (3.8.8), характерное для цепей синусоидального тока: . (4.8.13) Для того, чтобы в выражении (4.7.13) можно было поставить знак равенства вводится понятие искажающёй мощности D, и выражение (4.7.13) преобразуется к виду: . (4.8.14) Кроме понятия искажающей мощности D, для электрических цепей несинусоидального тока вводится понятие коэффициента мощности , которому ставится в соответствие значение угла : . (4.8.15) 1.9 Высшие гармоники в трёхфазных цепях. Рассмотрим трёхфазную электрическую цепь, имеющую соединение «звезда» (рис. 4.9.1). Предположим, что напряжение в соседних фазах имеет одинаковый несинусоидальный закон изменения. Кривые изменения напряжений в соседних фазах сдвинуты по времени друг относительно друга на одну треть периода. Закон изменения k-й гармоники в фазе А будет иметь вид: . (4.9.1) Закон изменения k-й гармоники в фазе B: . (4.9.2) Закон изменения k-й гармоники в фазе С: . (4.9.3) Раскроем скобки в выражениях (4.9.2) – (4.9.3) и, учитывая что , перепишем их в виде: , (4.9.4) . (4.9.5) Согласно выражениям (4.9.1) и (4.9.4) – (4.9.5) в случаях: 1) если k=3n, где n=0, 1, 2, 3…, гармоники напряжений во всех трёх фазах будут иметь одинаковые значения в заданные моменты времени. Вектора гармоник напряжения в этом случае образуют систему нулевой последовательности (рис. 3.16.2 а); 2) если k=3n+1, где n=0, 1, 2, 3…, вектора гармоник напряжений образуют симметричную систему, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз основной гармоники напряжения; 3) если k=3n+2, где n=0, 1, 2, 3…, вектора гармоник напряжений образуют симметричную систему, последовательность которой будет противоположна последовательности фаз основной гармоники напряжения. На практике часто наблюдается случай, когда в соседних фазах трёхфазной системы (рис. 4.9.1) действуют периодические несинусоидальные напряжения, в спектре которых отсутствует постоянная составляющая и чётные гармоники (случай 1 в п. 4.4). Действующее значение таких фазных напряжений определится как: (4.9.6) Линейное напряжение, например напряжение между фазами A и B, определяется как разность соответствующих фазных напряжений. Мгновенное значение линейного напряжения равно: , (4.9.7) Если в спектре фазных напряжений будут присутствовать гармоники кратные трём, образующие систему нулевой последовательности, в этом случае их разность будет равна нулю, и в спектре линейного напряжения гармоники кратные трём будут отсутствовать. В этом случае действующее значение линейного напряжения определится следующи образом: (4.9.8) Как следует из последней формулы, в трёхфазных цепях несинусоидального напряжения имеющих соединение «звезда»: (4.9.8) при этом нарушается условие (3.13.4). Вольтметр V0 присутствующий в схеме будет показывать действующее значение напряжения, сформированное высшими гармониками напряжения с номерами кратными трём: . (4.9.9) В случае наличия в схеме нейтрального провода, ток в нём формируется высшими гармониками напряжения, номера которых будут кратными трём. Действующее значение тока в нейтрали в этом случае определится следующим образом: . (4.9.10) Как следует из последней формулы, ток в нулевом проводе равен утроенному значению действующего значения тока, образованного гармониками кратными трём. В случае наличия в схеме нейтрального провода гармоники тока с этими же номерами будут присутствовать и в спектре фазного тока. Гармоники напряжения, имеющие другие номера, и образующие системы прямой и обратной последовательности по отношению к последовательности основной гармоники, не будут формировать ток в нулевом проводе, поскольку их сумма будет равна нулю. Рассмотрим схему «открытый треугольник» (рис. 4.9.2). При действии в схеме несинусоидальных ЭДС сумма напряжений в фазах схемы не будет равна нулю. Вольтметр V0 присутствующий в схеме будет показывать утроенное значение действующего напряжения образованного гармониками с номерами кратными трём: , (4.9.11) В случае если из схемы «открытый треугольник» исключить вольтметр V0, замкнув соседние фазы, тогда внутри закрытого треугольника будет протекать внутренний ток, образованный напряжением , при этом данный ток в линейных проводах будет отсутствовать. Действующее значение фазного тока: (4.9.12) Линейный ток, например ток в линии A, определяется как разность соответствующих фазных токов. Мгновенное значение линейного тока равно: (4.9.13) Если в спектре фазных токов будут присутствовать гармоники кратные трём, образующие систему нулевой последовательности, в этом случае их разность будет равна нулю, и в спектре линейного тока гармоники кратные трём будут отсутствовать. В этом случае действующее значение линейного тока определится следующи образом: (4.9.14) Как следует из последней формулы, в трёхфазных цепях несинусоидального напряжения имеющих соединение «треугольник»: (4.9.15) при этом нарушается соотношение (3.13.17) справедливое для схемы «треугольник» в случае действия в трёхфазной схеме синусоидальной системы ЭДС. Высшие гармоники в трёхфазных цепях. Рассмотрим трёхфазную электрическую цепь, имеющую соединение «звезда» (рис. 4.9.1). Предположим, что напряжение в соседних фазах имеет одинаковый несинусоидальный закон изменения. Кривые изменения напряжений в соседних фазах сдвинуты по времени друг относительно друга на одну треть периода. Закон изменения k-й гармоники в фазе А будет иметь вид: . (4.9.1) Закон изменения k-й гармоники в фазе B: . (4.9.2) Закон изменения k-й гармоники в фазе С: . (4.9.3) Раскроем скобки в выражениях (4.9.2) – (4.9.3) и, учитывая что , перепишем их в виде: , (4.9.4) . (4.9.5) Согласно выражениям (4.9.1) и (4.9.4) – (4.9.5) в случаях: 1) если k=3n, где n=0, 1, 2, 3…, гармоники напряжений во всех трёх фазах будут иметь одинаковые значения в заданные моменты времени. Вектора гармоник напряжения в этом случае образуют систему нулевой последовательности (рис. 3.16.2 а); 2) если k=3n+1, где n=0, 1, 2, 3…, вектора гармоник напряжений образуют симметричную систему, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз основной гармоники напряжения; 3) если k=3n+2, где n=0, 1, 2, 3…, вектора гармоник напряжений образуют симметричную систему, последовательность которой будет противоположна последовательности фаз основной гармоники напряжения. На практике часто наблюдается случай, когда в соседних фазах трёхфазной системы (рис. 4.9.1) действуют периодические несинусоидальные напряжения, в спектре которых отсутствует постоянная составляющая и чётные гармоники (случай 1 в п. 4.4). Действующее значение таких фазных напряжений определится как: (4.9.6) Линейное напряжение, например напряжение между фазами A и B, определяется как разность соответствующих фазных напряжений. Мгновенное значение линейного напряжения равно: , (4.9.7) Если в спектре фазных напряжений будут присутствовать гармоники кратные трём, образующие систему нулевой последовательности, в этом случае их разность будет равна нулю, и в спектре линейного напряжения гармоники кратные трём будут отсутствовать. В этом случае действующее значение линейного напряжения определится следующи образом: (4.9.8) Как следует из последней формулы, в трёхфазных цепях несинусоидального напряжения имеющих соединение «звезда»: (4.9.8) при этом нарушается условие (3.13.4). Вольтметр V0 присутствующий в схеме будет показывать действующее значение напряжения, сформированное высшими гармониками напряжения с номерами кратными трём: . (4.9.9) В случае наличия в схеме нейтрального провода, ток в нём формируется высшими гармониками напряжения, номера которых будут кратными трём. Действующее значение тока в нейтрали в этом случае определится следующим образом: . (4.9.10) Как следует из последней формулы, ток в нулевом проводе равен утроенному значению действующего значения тока, образованного гармониками кратными трём. В случае наличия в схеме нейтрального провода гармоники тока с этими же номерами будут присутствовать и в спектре фазного тока. Гармоники напряжения, имеющие другие номера, и образующие системы прямой и обратной последовательности по отношению к последовательности основной гармоники, не будут формировать ток в нулевом проводе, поскольку их сумма будет равна нулю. Рассмотрим схему «открытый треугольник» (рис. 4.9.2). При действии в схеме несинусоидальных ЭДС сумма напряжений в фазах схемы не будет равна нулю. Вольтметр V0 присутствующий в схеме будет показывать утроенное значение действующего напряжения образованного гармониками с номерами кратными трём: , (4.9.11) В случае если из схемы «открытый треугольник» исключить вольтметр V0, замкнув соседние фазы, тогда внутри закрытого треугольника будет протекать внутренний ток, образованный напряжением , при этом данный ток в линейных проводах будет отсутствовать. Действующее значение фазного тока: (4.9.12) Линейный ток, например ток в линии A, определяется как разность соответствующих фазных токов. Мгновенное значение линейного тока равно: (4.9.13) Если в спектре фазных токов будут присутствовать гармоники кратные трём, образующие систему нулевой последовательности, в этом случае их разность будет равна нулю, и в спектре линейного тока гармоники кратные трём будут отсутствовать. В этом случае действующее значение линейного тока определится следующи образом: (4.9.14) Как следует из последней формулы, в трёхфазных цепях несинусоидального напряжения имеющих соединение «треугольник»: (4.9.15) при этом нарушается соотношение (3.13.17) справедливое для схемы «треугольник» в случае действия в трёхфазной схеме синусоидальной системы ЭДС.