Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Лекция 8 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами - постоянные коэффициенты. – функция, непрерывная на отрезке Если правая часть уравнения равна нулю то уравнение называют однородным: 0. Если правая часть уравнения , то уравнение называют неоднородным. Уравнение порядка имеет вид . Уравнение затухающих колебаний Механические колебания – смещение - скорость – коэффициент упругости пружины – коэффициент трения Второй закон Ньютона: - коэффициент затухания частоты собственных колебаний = 0 Электрические колебания C L R Закон Кирхгофа: - коэффициент затухания квадрат частоты собственных колебаний Структура общего решения однородного уравнения 0. Совокупность линейно – независимых решений уравнения образуют фундаментальную систему решений (базис). Общее решение однородного уравнения записывается как линейная комбинация базисных решений Решения уравнения подбирают в виде C учетом того, что , ,…… и получают характеристическое уравнение для параметра λ: + …… + . Вид базисных решений определяется видом корней этого характеристического уравнения. Виды корней многочленов + +…… + . 1. Действительный корень кратности , если , Пример: 2. Действительный корень кратности , если , Пример: λ = кратности 3. Комплексные корни кратности Вводим мнимую единицу ; (= 0 = Oбозначим Пример: = ; =1 Общее решение однородного уравнения. Примеры Уравнению порядка соответствует характеристическое уравнение = 0 : Вид корней Базисны е решения D ; D ; D Общее решение Пример + ) cos Структура решения неоднородного уравнения Общее решение неоднородного уравнения определяется суммой общего решения соответствующего однородного уравнения ) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения . Одним из способов нахождения частного решение неоднородного уравнения является подбор по виду правой части специального вида. При этом частное решение в общих чертах повторяет вид правой части. Кроме того, в каждом случае требуется следить за контрольным числом. Если это контрольное число является корнем характеристического уравнения кратности для соответствующего однородного уравнения, то частное решение умножают на Вид правой част и Многочлен - число Конт рольное число Общий вид частного решения уравнения кратности уравнения ….+ (x) равнения кратности уравнения (x) не является корнем равнения ( кратности уравнения ) λ равнения ) ( Подбор частного решения по правой части специального вида. Пример. Шаг 1. Записываем характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения и находим его корни: λ = 0 кратности и кратности . Шаг 2. По виду правой части подбираем частное решение: λ = 0 является корнем характ. уравнения λ = 2 не является корнем характ. уравнения λ = не является корнями характ. уравнения Шаг 3. Коэффициенты находим прямой подстановкой в исходное уравнение Шаг 4. Записываем решение. Например, для f(x) = sinx Шаг 5. По начальным условиям находим