Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства и структура решений

БСБО-01-18−БСБО-04-18 Дифференциальные уравнения. Лекция 5 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Свойства и структура решений Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами §1. Основные понятия. Свойства решений. Def. 1.1. Уравнение вида: (1) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  f x , где a1 x , a2 x , f x  – непрерывные для x  a, b функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка относительно искомой функции yx  и её производных y' ( x), y' ' ( x). Если в уравнении (1) f x   0, для x  a, b , то получается уравнение вида: (2) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  0, которое называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка. Если в уравнении (1) f x   0, для x  a, b , то получается уравнение (1), которое называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка. Рассматриваемое уравнение имеет следующие свойства: Свойство 1.Пусть a1 x , a2 x , f x  определены и непрерывны на a, b . Тогда (1) и (2) имеют единственные решения, удовлетворяющие начальным условиям задачи Коши, т.е. условиям yx0   y0 , y' x0   y1 , для x0  a, b , где x0 , y0 , y1  сonst , x0 , y0 , y1  R. Свойство 2. Функция y  0 является решением ЛОДУ (2). Свойство 3. Пусть y1 x  – решение ЛОДУ линейного однородного дифференциального уравнения (2), c  const , c  R . Тогда функция c  y1 x  также является решением уравнения (2). Для примера приведем доказательство этого свойства. Доказательство. Так как y1 x  – решение уравнения (2), то для x  a,b. y1 ' 'ax   y1 'bx   y1  0 Подставив функцию c  y1 x  в левую часть формулы (2), получим цепочку равенств: y' 'ax y'bx y  c  y1 x ' 'ax   c  y1 x 'bx   c  y1 x   1 БСБО-01-18−БСБО-04-18  c   y1 ' ' x   ax   y1 ' x   bx   y1 x   c  0  0 для x  a,b. Свойство доказано. Свойство 4. Пусть y1 x , y2 x  – решения ЛОДУ (2). Тогда функция y1 x   y2 x  также является решением уравнения (2). Свойство 5 (принцип суперпозиции). Пусть y1 x , y2 x  – решения уравнения (2), c1 , c2 – некоторые числа. Тогда функция c1 y1 x   c2 y2 x  также является решением ЛОДУ (2). Свойство 6. Разность любых двух решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) есть решение линейного однородного дифференциального уравнения (2). Приведем для примера доказательство этого свойства. Доказательство. Предположим, что 1 x , 2 x  – решения ЛНДУ (1), т.е. i ' ' x   ax   i ' x   bx   i x   f x  для x  a, b, i  1,2. Тогда, подставив в левую часть формулы (2) функцию y  1 x   2 x , получим цепочку равенств: 1 x  2 x' 'ax  1 x  2 x'bx  1 x  2 x  1 ' ' x  ax  1 ' x  bx  2 x  2 ' ' x  ax  2 ' x  bx  2 x   f x   f x   0 для x  a,b. Свойство доказано. Свойство 7. Всякое решение yoн (x) ЛНДУ (1) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  f x , есть сумма частного решения уравнения  (x) этого и некоторого общего решения yoo (x) ЛОДУ (2), т.е. yoн ( x)  yoн ( x)   ( x). § 2. Линейная независимость функций. Определитель Вронского. 1. Линейная независимость функций. Def 2.1. Функции y1 x ,..., yn x  являются линейно зависимыми на промежутке x  a, b , если существуют числа 1 ,...n , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю для всех значений x из заданного интервала, т.е. справедливо тождество (3) 1 y1 x   ...  n yn x   0 , для x  a,b. Если (3) выполняется только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. при 1  2  ...  n  0, то функции y1 x ,..., yn x  – линейно независимые. 2 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Замечание. Для двух функций понятие их зависимости или y x  независимости связано с исследованием отношения 1 . y2  x  Def 2.2. Две функции y1 x  и y2 x  называются линейно зависимыми при x  a, b , если их отношение равно постоянному числу, y1 x   const для x  a, b (4) y2  x  В противном случае функции, т.е. если функции y1 x , y2 x  линейно независимые. Пример № 1. Проверить линейную 1) y1  2 x; y2  6 x. y1 2 x 1   . Следовательно, функции y2 6 x 3 y1 x   const при x  a,b, y2  x  независимость линейно функций: зависимые. б) y1  e 2 x ; y2  2e 3 x . y1 e2 x 1  3 x  e  x  const. Следовательно, функции линейно независимые. y2 2e 2 2. Определитель Вронского. Def 2.3. Если y1 x ,..., yn x  – функции, непрерывные вместе со своими производными до n  1 -го порядка включительно в промежутке a, b  , то определитель y1  x  ... yn  x  y '  x  ... yn '  x  Wy ,...,y  x   1 ... ... ...  n1  n1 y1  x  ... yn  x  1 n называется определителем Вронского или вронскианом данных функций. Сформулируем теорему, позволяющую определить линейную независимость y1 x ,..., yn x  при x  a, b . Теорема 1. (Достаточное условие линейной независимости) Если функции y1 x ,..., yn x  линейно независимые на промежутке x  a,b, то их определитель Вронского отличен от нуля для x  a,b , т.е. y1  x  ... yn  x  y '  x  ... yn '  x  Wy ,...,y  x   1 0 (5) ... ... ... y1 n1  x  ... yn n1  x  1 n 3 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Следствие. Необходимое условие линейной зависимости функций y1 x ,..., yn x  на промежутке x  a, b : y1 x  y ' x  Wy1 ,..., y n x   1 ... n 1 y1 x  ... yn  x  ... yn ' x  0 ... ... ... ynn 1 x  для x  a,b. Def 2.4. Уравнение вида y n   a1 x   y n1  a2 x   y n2   ...  an1 x   y'an x   y  f x  ,   (6) (7) где ai x  i  1, n и f x  – заданы и непрерывны для x  a,b, называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка. Если f x   0 , то получается уравнение (8) y n   a1 x   y n1  a2 x   y n2   ...  an1 x   y'an x   y  0 (8) – ЛОДУ n -го порядка. Для уравнения (8) (т.е. если f x   0 ) справедлива следующая теорема. Теорема 2. Если линейно-независимые функции y1 x ,..., yn x  являются решениями уравнения (8) на промежутке x  a, b , то (9) Wy ,...,y x   0 для x  a, b . 1 n § 3. Общие решения ЛДУ второго порядка Выясним , как выглядят общие решения уравнения (1) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  f x , для случаев : 1. f x   0, для x  a, b (Это ЛОДУ второго порядка); 2. f x   0, для x  a, b (Это ЛНДУ второго порядка). Случай I Это ЛОДУ (2) y' ' x   a1 x   y'a2 x   y  0 , в котором a1 x , a2 x  – непрерывные функции на промежутке x  a,b. Приведем без доказательства теорему, которая позволяет найти общее решение такого уравнения. Теорема 3. (О структуре общего решения ЛОДУ 2-го порядка) Пусть y1 x  и y2 x  линейно независимые на промежутке x  a, b решения ЛОДУ (2). Тогда общее решение этого уравнения задаётся формулой (10): (10) y x   c1  y1 x   c2  y2 x , где c1 и c2 – const, c1 , c2  R. OO 4 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Поясним обозначение общего решения: y x  – ОБЩЕЕ решение линейного ОДНОРОДНОГО дифференциального уравнения. Следствие. Максимальное число линейно-независимых решений ЛОДУ 2-го порядка равно 2 (равно его порядку). Теорему 3 можно сформулировать, используя понятие фундаментальной системы решений ЛОДУ 2-го порядка. Def 3.1. Любые два линейно независимые решения ЛОДУ (2) y' ' x   a1 x   y'a2 x   y  0 называются его фундаментальной системой решений (ФСР). Используя понятие ФСР, получаем следующую формулировку теоремы 3: Пусть функции y1 x  и y2 x  образуют ФСР ЛОДУ (2) на OO промежутке x  a, b . Тогда общее решение этого уравнения задаётся формулой (10). Закрепим понимание теоремы 3 на следующем примере. Пример №2. Проверить, что образуют y1  e3 x , y2  xe3 x фундаментальную систему решений уравнения y' '6 y'9 y  0. В случае положительного результата написать общее решение этого уравнения. Решение. 1. Проверим, что y1 и y2 – решения заданного уравнения. Для y1 имеем: y1 '  3e3 x ; y1 ' '  9e3 x . Подставляя в исходное уравнение получаем: 9e3 x  6  3e3 x  9e3 x  0, т.е. 0  0 для x  R . y2 '  e3 x  3xe3 x ; y2 ' '  3e3 x  3e3 x  9 xe3 x  6e3 x  9 xe3 x . Для y2 имеем: Аналогично, подставляя в исходное уравнение имеем: 6e3 x  9 x  e3 x  6e3 x  18x  e3 x  9 x  e3 x  0, т.е. для x  R. 00 Следовательно, y1 и y2 – решения уравнения. 2. Используя определение линейно независимых функций, проверяем y линейную независимость функций y1 и y2 . Имеем: 2  x  const . y1 Следовательно, по определению ФСР, функции y1  e3 x и y2  xe3 x образуют фундаментальную систему решений уравнения y' '6 y'9 y  0. По теореме 3 находим общее решение исходного уравнения: y  c1  3 x  c2  x  3 x  3 x  (c1  c2 ). OO Ответ: y  c1  3 x  c2  x  3 x  3 x  (c1  c2 ). OO Это ЛНДУ Случай II y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  f x , (1) 5 БСБО-01-18−БСБО-04-18 в котором a1 x , a2 x , f x  – непрерывные функции на промежутке x  a,b. Приведем без доказательства теорему, которая позволяет найти общее решение такого уравнения. Теорема 4. (О структуре общего решения ЛНДУ 2-го порядка) Пусть y1 x  и y2 x  линейно независимые на промежутке x  a, b решения ЛОДУ (2) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  0, соответствующего ЛНДУ (1) y' 'a1 x   y' x   a2 x   y  f x . Тогда общее решение ЛНДУ 2-го порядка равно y x   y x    x  С учетом теоремы 3 получаем: (11) y x   y x    x   c1  y1 x   c2  y2 x    x  , где c1 , c2 – const, c1 , c2  R. Поясним обозначение общего решения ЛНДУ. y x  – ОБЩЕЕ решение линейного НЕОДНОРОДНОГО дифференциального уравнения. OH OH OO OO OН Покажем применение теоремы 4 на следующем примере. Пример № 3. Найти общее решение уравнения y' '6 y'9 y  9 x  6. Решение. 1. Проверим, что функция  x   x является частным решением заданного уравнения. Имеем  ' x   1 и  ' ' x   0. Подставляя в исходное уравнение получаем: 0  6  9 x  9 x  6 , т.е. 0  0 для x  R. 2. Воспользуемся результатом решения ЛОДУ примера №2 и сформулированной ранее теоремой 4. Получим: yx   c1e3 x  c2 xe3 x  x. Ответ: yx   c1e3 x  c2 xe3 x  x. § 4. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Dеf 4.1. Уравнение вида y  p  y  q  y  0, (12) где называется линейным однородным p, q  R , p, q  const , дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем использовать для решения таких уравнений метод Эйлера. 6 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Согласно этому методу частные решения уравнения (12) ищутся с  y   kx ,  помощью замены:  y  k kx , (*) 2 kx y  k  .  Подставляя в уравнение (12) выражения (*), получим: ekx k 2  pk  q   0, для x  R. Т.к. ekx  0 для x  R , то решение этого уравнения сводится к решению уравнения (13): (13) k 2  pk  q  0. Dеf4.2. Уравнение k 2  pk  q  0 (13) называется характеристическим для уравнения y  p  y  q  y  0 . Характеристическое уравнение является алгебраическим квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта 2 D  p  4q возможны три случая. 1. D  0. Тогда корни характеристического уравнения (13) действительные и различные, т.е. k1  k2 . Они дадут два линейно независимых решения: k x k x y1  e 1 и y2  e 2 . Следовательно, в этом случае по теореме 3 общее решение уравнения (14) можно записать в виде: k x k x y  с1e 1  с2e 2 . ( 14) Пример №4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение уравнения 3 y  2 y  y  0. Решение. Подставляя y  ekx , y  kekx , y  k 2ekx в заданное уравнение, получим: 3k 2ekx  2kekx  ekx  0 : ekx  0. Так как корни характеристического уравнения 3k 2  2k  1  0 действительные и различные, то фундаментальную систему решений этого  x 3. уравнения составят две линейно независимые функции: y1  e , y2  e С учетов теоремы об общем решении ЛОДУ данное уравнения можно записать в виде линейной комбинации: x y  c1e  c2e x Ответ: y1  e , y2  e x  x 3; y  x 3.  c1e  c2e x  x 3. 2. D  0. 7 БСБО-01-18−БСБО-04-18 В этом случае k1  k2 . Поэтому одним решением уравнения (12) будет y1  e k1 x . В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию y2  xe k1 x . (Непосредственной подстановкой можно убедиться, что k x y2  xe 1 является решением ЛОДУ(12)). Следовательно, в этом случае по теореме 3 общее решение уравнения (12) можно записать в виде: y  с1ek1x  с2 xek1x или y  e k1 x (с1  с2 x). (15) Пример №5. Решить уравнение 9 y  6 y  y  0. Решение. Характеристическое уравнение: 9k 2  6k  1  0 ; D  36  36  0. То есть корни этого уравнения будут действительными и равными: 60 1 k1  k2   . 18 3 Тогда фундаментальную систему решений ЛОДУ 9 y  6 y  y  0  x  x составят функции: y1  e 3 ; y 2  xe 3 . Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений: y  c1e   x 3  c2 xe  x 3  x 3  e (c1  c2 x). x 3 Ответ: y  e (c1  c2 x). 3. D  0. k1,2 В этом случае корни уравнения (12) комплексно-сопряженные:      i. Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции y1  ex  cos x и y2  ex  sin x. Следовательно, в этом случае по теореме 3 общее решение уравнения (12) можно записать в виде y  c1ex  cos x  c2ex  sin x или y  ex (c1  cos x  c2  sin x). Пример №6. Решить уравнение y  6 y  13 y  0. Решение. Характеристическое уравнение k 2  6k  13  0. Решим его: D  36  4 13  16  0. Следовательно корни этого уравнения  6  4i  3  2i, т.е   3 и   2. будут комплексно-сопряженными: k1, 2  2 Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции: y1  e 3 x  cos 2 x; y2  e 3 x  sin 2 x. Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций: 8 БСБО-01-18−БСБО-04-18 y  c1e3 x  cos 2 x  c2e3 x  sin 2 x  e3 x (c1  cos 2 x  c2  sin 2 x). Ответ: y  e 3 x (c1  cos 2 x  c2  sin 2 x). В заключение рассмотрим решение задачи Коши: Пример № 7. Решить задачу Коши:  y  2 y  y  0  y (0)  1; y(0)  3  Решение. Характеристическое уравнение: k 2  2k  1  0; . D=4-4=0. 20 То есть корни этого уравнения действительные и равные: k1  k 2   1. 2 Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции: y1  e x ; y2  x  e x . Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций: y  c1e x  c2 xe x . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1 и y(0)  3. y  (c1e x  c2 xe x )  c1e x  c2e x  c2 xe x . Сначала найдем: Составим систему из двух уравнений, подставляя в общее решение y  1, x  0, y  3. 1  c1e0  c2  0  e0 c1  1 ; Получим:  Следовательно,  . c  2 3  c e  c e  c   e  2  1 2 2 Подставим найденные значения c1  1 и c2  2 в общее решение: y  1  e x  2  x  e x . Получим, решение задачи Коши y  e x (1  2 x) . Ответ: y  e x (1  2 x). Литература. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов, том II. Глава XIII, §18. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под редакцией Б.П.Демидовича Глава IX, §§ 20,21. 3. Лекция 5 Антиповой Т.Н. для групп БСБО-01-18− БСБО-04-18. 9