Линейная алгебра

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА § 1. Определители Определителем второго порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной таблицы a11 a12 a 21 a 22 и задаётся равенством: a11 a12 a 21 a 22  a11 a 22  a12 a 21 , где a ij — элементы определителя; индекс i обозначает номер строки, а индекс j — номер столбца, в котором находится элемент a ij . Пример 1.1. Вычислите определитель второго порядка 1 2 3 4 1 2 3 4 .  1  4  2   3  4   6  4  6  2 . Минором элемента a ik определителя называется определитель, обозначаемый символом M ik , который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a ik . Алгебраическим дополнением элемента a ik определителя, обозначаемым Aik , называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a ik чётная, и со знаком минус в противном случае, т.е. Aik   1 ik M ik . Пример 1.2. А) Найдите минор и алгебраическое дополнение элемента a 23 Элемент a 23 Тогда A23   1 23 2 1 1 определителя  7 1  6 . 6 0 5 2 1 1  6 . Вычеркнем вторую строку и третий столбец:  7 1  6 . 6 0 5 минор M 23  2 1 6 0  2  0  1 6  0  6  6 . Алгебраическое дополнение M 23  1  6  6 . Б) Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента a 21 определителя Элемент a 21  1 . Вычеркнем вторую строку и первый столбец: 2 2 1 4 Тогда минор M 21   2  2 . Алгебраическое дополнение A21   1 2 2 1 4 . . 21 M 21  1   2  2 . В примере 1.2 был найден определитель первого порядка. Определителем первого порядка называется величина, которая записывается в виде a11 и которая равна значению a11 . Определителем третьего порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной a11 a12 a13 таблицы a 21 a 22 a 23 и задаётся равенством («разложение по элементам первой строки»): a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23  a11  a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a 33  a12  a 21 a 23 a 31 a 33  a13  a 21 a 22 a 31 a 32 т.е. Замечание. В a11 a12 a13 a 21 a 22 a31 a32 a 23  a11  A11  a12  A12  a13  A13   a1k  A1k  . k 1 a33 дальнейшем мы 3 будем встречаться с кратким обозначением суммы: n  1   2  ...   n    i . i 1 Пример 1.3. 5 3 2 Вычислите определитель третьего порядка  1 2 4 . 7 3 6 5 3 2 2 4 1 4 1 2 1 2 4  5   3  2   5  0  3   34  2(17)  68 . 3 6 7 6 7 3 7 3 6 Определителем n-го порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной таблицы a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n a n1 an2 ... a nn и задаётся равенством («разложение по элементам некоторой строки или столбца»): определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n a n1 an2 ... a nn a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n разложение n j 1 an2 ... a nn  — по элементам k -той строки разложение   a im  Aim  n i 1 a n1    a kj  Akj — по элементам m -го столбца Пример 1.4. Вычислите определитель четвёртого порядка наиболее удобным способом: 1  1 2 3 3 2 5 2 . 3 4 Разложим определитель по 4-ой строке: 1  1 2 3 3 2 5 1 0 3 1 0 3 2 4 4  0  0  0  4   1 0 0 3  4  0 0 3  3 1 2 2 1 2 2 4 разложим 1 0  23 1 0     4   3   12  2  0  24 . определитель III порядка  4   0  0  3   1  1 2 1 2  по II строке Свойства определителей. 1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы — соответствующими строками. 2. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя. 3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю. 4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. 5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Пример 1.5. Вычислите определитель    1 1 3 5 1 1 3 5 2 3 3. 5 2 3  1  1  1 2  1  3  2  1 . 3 3 5 1 3 15 15 5 § 2. Матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов a ik некоторого множества:  a11  a A   21  a  m1 a12 a 22 am2 ... a1n   a11  a ... a 2 n   21  или A     ... a mn  a m1 a12 a 22 am2 ... a1n  ... a 2 n     ... a mn  Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых стоит выбранный элемент. Матрица имеет размерность m n , если у неё m строк и n столбцов. Для обозначения матриц употребляются символы: Anm , B k l , aik  , aik  , bim  , bim  , aik mn и т.д. m  n. Квадратными порядка n называются матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, т.е. В частности, матрица порядка 1 отождествляется с её элементом, т.е. любое число — частный случай матрицы. Главную диагональ квадратной матрицы составляют её элементы a11 , a 22 ,…, a nn . Диагональной называется квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю ( aij  0 при i  j ). Например, 1 0 0     0 2 0   diag (1, 2, 3) — диагональная квадратная матрица размерности 3 с 0 0 3   элементами 1, 2, 3 по главной диагонали. Ступенчатой называется матрица:  a11 a12   0 a 22  0    0     0 aii  0 i  1,2,..., r , aik  0 при i  r . 4 1 2  1 Например, A   0 0 0 1 1  4 1 2  B  0 1 1 0 0  a13 ... a1r a 23 ... a 2 r a 33 ... a 3r ... a rr ... ... a1n   ... a 2 n  ... a 3n    , где ... a rn    ... 0  7  0  — не ступенчатая, 3  7    3  — ступенчатая. 0  Единичной называется диагональная матрица, все элементы которой равны единице; единичная матрица обозначается E или E n , где n — порядок матрицы. 1 1 0   1 0 E1  1 , E 2    , E 3   0 1 0   diag (1, 1, 1) . 0 1 0 0 1   Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали равны нулю.  a11 a12 ... a1n     0 a 22 ... a 2 n    — верхняя треугольная матрица;    0  ... a  nn  0 ... 0   a11    a 21 a 22 ... 0    — нижняя треугольная матрица.   a   n1 a n 2 ... a nn  1 0 0    1 2 2 3 Например,  — верхняя треугольная матрица,   — нижняя треугольная матрица.  0 3   1 2 1   Нулевой матрицей размерности n m , обозначаемой 0 nm , называется матрица, все элементы которой равны нулю. Равными, называются матрицы   A  aij и k l   B  bij mn , если они имеют одинаковые размерности, т.е. m  k , n  l и элементы этих матриц, занимающие одну и ту же позицию, равны, т.е. a ij  bij .  1 2  1 2   , то A  B .  , B    1 3  1 3  Например, если A   § 3. Основные операции над матрицами  и Сложение матриц. Суммой двух матриц A  aij     B  bij одной и той же размерности m n называется матрица C  cij той же размерности такая, что cij  aij  bij . Итак, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы. Пример 1.6.  3 2  3  2     0 . Найдите сумму матриц A    1 0  и B   1  1 1   1  1     3  3 2  2         C  A  B    1  1 0  0    0 0  — нуль-матрица размерности 3 2 .  1 1 1 1   0 0      Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено: а) коммутативному закону A  B  B  A ; б) ассоциативному закону A  B  C   A  B  C  A  B  C  ; в) Amn  0 mn  Amn — закон поглощения нуля.   Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A  aij на число  (или  на матрицу   A ) называется матрица B  bij , где bij  aij , т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число. Пример 1.7. 3 0  6 0     . 1 4   2 8  2   Свойства операции умножения матрицы на число: а)  A   A (ассоциативность); б)    A  A  A (дистрибутивность относительно сложения чисел); в)  ( A  B)  A  B (дистрибутивность относительно сложения матриц); г) 1 A  A . Пример 1.8. 1 2 3   2 3  , B    0 1  1  2 1 1 2 3    2 3 0 2 A  3B  2     3      0 1  1  2 1 1  2 4 6    6 9 0  2  6 4  9          0 2  2  6 3 3  0  6 2  3   4 13 6     .  6 5 1 Найдите 2 A  3B , где A   0 . 1  60    2  3    размерности n m на матрицу B  b  размерности такая, что C  c  n p Умножение матриц. Произведением матрицы A  aij размерности m p называется матрица ij ij m cij  a i1  b1 j  a i 2  b2 j  ...  a im  bmj   a ik bkj , i  1,2,..., n , j  1,2,..., p . k 1 Умножать матрицы A и B можно лишь в том случае, когда число столбцов первого сомножителя A (число элементов в каждой строке матрицы A ) совпадает с числом строк второго сомножителя B (число элементов в каждом столбце B ). В частности для квадратных матриц одинакового порядка определены оба произведения AB и BA , и матрицы произведения являются матрицами того же порядка 3 4 5    1 2 3  Пример 1.9. Пусть A    , B   6 0  2  . Найдите произведения AB и BA (если это 1 0  1 7 1 8    возможно). 3 4 5   1 2 3   AB      6 0  2   1 0  1   7 1 8  выделяются 1 - я строка матрицы А     и первый столбец матрицы B,    соответствующие элементы перемножаются,   а произведения складывают ся   1  4  2  0  3 1 1 5  2   2  3  8   1 3  2  6  3  7     1 3  0  6   1  7 1 4  0  0   1 1 1 5  0   2   1  8   36 7 25     .   4 3  3 Произведение BA не существует, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A 3  2 . 1    Пример 1.10. Пусть A  3 2  1 , B   1  . Найдите произведения AB и BA (если это  2   возможно). AB  3  1  2 1  1  2  3  2  2  3 . 1    1  3  1  2  1   1   3      BA   1   3 2  1   1  3 1  2 1   1    3  2  2  3 2  2 2   1   6      2 1  2 1 . 4  2  Из приведенных выше примеров ясно, что в общем случае АВ  ВА. . Коммутирующими называют матрицы A и B , если для них выполнено условие AB  BA . Свойства операции умножения матриц: а) ассоциативность: если определено одно из произведений  AB C или ABC  , то определено также и второе произведение, и имеет место выше приведённое равенство  AB C  ABC   A  B  C ; б) дистрибутивность: если C — такая матрица, что определено произведение AC , то определены произведения BC и  A  B C и верно равенство  A  B C  AC  BC ( A и B — матрицы одинаковых размеров); в) дистрибутивность: если A — такая матрица, что определено произведение AB , то определены произведения AC и AB  C  и верно равенство AB  C   AB  AC ( B и C — матрицы одинаковых размеров); г) Amn  E n  E m  Amn  Amn . § 4. Транспонированная матрица Транспонированием матрицы называется такое её преобразование, при котором строки этой матрицы становятся её столбцами с теми же номерами. Amn  a11  a   21  a  m1 ... a1n   a11   ... a 2 n  T  a12 A  ,  nm    a ... a mn   1n ... a m1   ... a m 2  .  a m2 a 2 n ... a mn  Транспонированная матрица обозначается A или AT . a12 a 22 a 21 a 22 Свойства операции транспонирования: 1. B T AT   AB  ; T A  T T 2.  A. Если AT  A , т.е. a ij  a ji , то матрица называется симметрической.  1 2 3  .  4 5 6 Пример1.11. Транспонируйте матрицу A   1 4   A   2 5 .  3 6   T § 5. Обратная матрица Матрица A 1 называется обратной для квадратной матрицы A , если A  A1  A1  A  E , где E — единичная матрица. Любой квадратной матрице A можно поставить в соответствие определитель, который обозначается det A . Невырожденной называется матрица A , если det A  0 . Если матрица невырожденная, то существует единственная обратная ей матрица A 1 , причем, A 1   A11 A21  A22 A где П   12  A  1n A2 n a ij матрицы A . П det A , ... An1   ... An 2   — присоединенная матрица, Aij — алгебраическое дополнение элемента  ... Ann  Для составления матрицы П следует заменить элементы матрицы соответствующими алгебраическими дополнениями и A транспонировать полученную матрицу. Свойства обратной матрицы: 1 1.  A  B   B 1  A1 . 2. A  1 1  A. 3. A  T 1    A 1 T  1 2   .  1 3 Пример 1.12. Найдите матрицу, обратную к данной A   Выполним следующие шаги: 1) Найдём det A : det A  1 2 1 3   1  3  2 1  3  2  5  0 . Так как det A  0 , то матрица A 1 существует. 2) Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A : A11   1 11  3  3 ; A12   11 2  1  1;  2  2 ; A22   12 2   1  1 . 3) Запишем матрицу П : A21   1 21 T  3  1  3  2 П       .   2  1  1 1  4) Найдём матрицу A 1 : 1  3  2    3 5 2 5  . A 1    1   5   1  1   1  5 5 1 1 Легко проверить, что A  A  A  A  E. § 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы  a11  a Рассмотрим матрицу A   21  a  m1 Выделим в матрице k строк и чисел m и n . a12 a 22 am2 ... a1n   ... a 2 n  .  ... a mn  k столбцов, где k — число меньшее или равное наименьшему из Определителем, порожденным матрицей A называется определитель порядка k , составленный из элементов, стоящих на пересечении k строк и k столбцов. 2 1  1 3   3 2 3 5 0  2  . Тогда Например, пусть k  2 , A   3 5 , — определители второго 1  3 2 1 2 1 3 1    порядка, порожденные матрицей A . 1 3 1 5  2 — определитель третьего порядка, порожденный данной матрицей. 2 1 1 Пусть k  3 . Тогда 3 Рангом матрицы называется наибольший из порядков определителей, отличных от нуля, порожденных данной матрицей. Обозначается r (A) или rang (A) . Ясно, что если равны нулю все определители порядка k , порожденные данной матрицей, то ранг матрицы меньше k . Действительно, по определению, каждый из определителей k  1 -го порядка выражается линейно через определители k -го порядка. Значит, все определители k  1 -го порядка равны нулю. Аналогично доказывается, что равны нулю все определители k  2 -го и более высоких порядков. Отсюда следует, что ранг матрицы меньше k . Теорема. Ранг матрицы не изменится, если: а) все строки заменить столбцами; б) поменять местами две строки (два столбца); в) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля; г) прибавить к элементам одной строки (столбца) соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на один и тот же множитель. Преобразования а) — г) называются элементарными. Эквивалентными называются матрицы A и B , если одна из другой получаются с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц A и B обозначают следующим образом: A ~ B . 1  1 5 4    Пример 1.13. Определите ранг матрицы A : A   2  2 4 3  . 3  3 3 2   Приведём матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: 4  4  1  1 5 4   1 1 5  1 1 5       A   2  2 4 3  II  2  I ~  0 0  6  5  ~ ~  0 0  6  5 ,  3  3 3 2  III  3  I  0 0  12  10  III  2  II 0 0 0       5 4  25   24  25  24  1  0 , т.е. rang ( A)  2 . 6 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 1. Теорема Кронекера-Капелли Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными x1 , x 2 ,..., x n :  a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,  a x  a x  ...  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2   a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm , (1) где числа a ij называются коэффициентами системы, а числа b1 ,..., bm — свободными членами.   Решением системы (1) называется такой набор чисел c1 , c 2 ,..., c n , что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных ( c1 вместо x1 ,…, c n вместо x n ) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Совместной называется система, которая имеет хотя бы одно решение. Несовместной называется система, которая не имеет ни одно го решения. Определённой называется система, которая имеет единственное решение. Неопределённой называется система, которая имеет более одного решения. Однородной называется система, если b1  b2  ...  bm  0 . В противном случае система называется неоднородной. Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов системы:  a11  a A   21  a  m1 a12 a 22 am2 Расширенной матрицей системы называется матрица ... a1n   ... a 2 n  .  ... a mn   a11  a A | B   21  a  m1 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n am2 ... a mn b1   b2  .  bm  Теорема Кронекера-Капелли. Cистема линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: rang A  rang A | B Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определённа она или нет. При этом возможны три варианта: 1) Если rang A  rang A | B  , то система несовместна. (*) 2) Если rang A  rang A | B   n , где n — число неизвестных, то система совместна и определённа. (**) 3) Если то система совместна и неопределённа. rang A  rang A | B  n , (***) § 2. Решение систем линейных уравнений Метод Крамера Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме:  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  AX  B , где A    — матрица системы,   a  a ... a  n1 n2 nn   x1   b1       x2  b  X    — столбец неизвестных, B   2  — столбец свободных членов.       b  x   n  n Пусть  — определитель матрицы A и пусть   0 , т.е.  a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n a n1 an2 ... a nn 0 Правило Крамера. Если определитель системы (1)   0 , то эта система совместна и определённа, т.е. имеет единственное решение, получаемое по формулам: xk  k  , k  1,2,..., n, где  k — определитель, получаемый из определителя  заменой k -го столбца на столбец свободных членов. Пример 2.1. Решите систему уравнений по формулам Крамера:  x  y  1,  2 x  y  7. 1 1  11   1  2  3 . Найдём определитель матрицы системы:   2 1 Т.к.   0 , то решение системы существует и единственно. 1 Найдём определитель  1 . В определитель  вместо первого столбца   подставим столбец свободных  2   1  : 7 1 1 1    1 1   1  7  6 . 7 1 членов    1  вместо второго столбца 7 Определитель  2 получается из  подстановкой столбца свободных членов    1   : 1 2  1 1 2 7  1 7   1  2  9 . Отсюда получим решение системы уравнений:  6 9  2 ; y  2   3.  3  3  x  2, Ответ:   y  3. x 1  Матричный метод Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме: AX  B , Тогда, если определитель   0 , то система совместна и определённа, её решение задаётся формулой: X  A 1  B  x  y  1, . 2 x  y  7. Пример 2.2. Решите систему уравнений примера 2.1 с помощью обратной матрицы:  1) Т.к. det A    3  0 , то решение системы существует и единственно. 2) Найдём алгебраические дополнения к элементам матрицы A21   1  1 , A22  1 . T 1  2   1 1     . 3) Найдём присоединённую матрицу: П   1 1    2 1 1  1  1 1  13 3. 4) Найдём матрицу A 1 : A 1       2 1 3   2 1   3 3 5) Найдём решение системы уравнений:  1  x    X  A 1  B   3  2  y  3 x  2 . y  3 Ответ:  1   1 1    1    1   7   2  3   . 3     3  3 1 1   7   2 3     1   7     3 3   1  1 A    : A11  1 , A12  2 , 2 1  Пример 2.3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной 2 x  4 y  z  3,  матрицы:  x  5 y  3 z  1,  x  y  z  1.  I способ, метод Крамера. 2 4 1 5 3 1 3 1 5   1 5 3  2   4   1  1 1 1 1 1 1 1 1 1  2   5  3  4  1  3  1 1  5  4  8  4  8  0 . 3 4 1 5 3 1 3 1  5 1   1  5 3  3    4   1  1 1 1 1 1 1 1 1 1  3   5  3  4  1  3  1 1  5  6 16  6  16 . 2 3 1 1 3 1 3 1 1  2  1 1 3  2   3  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  1  3  3  1  3  1 1  1  8  6  2  0 . 2 4 3  5 1 1 1 1 5  3  1  5 1  2    4   3  1 1 1 1 1 1 1 1 1  2   5 1  4  1  1  3  1  5  12  8  12  8 .    16 8  2, y  2  0, z  3   1 .  8  8  8  x  2,  Ответ:  y  0,  z  1.  x 1  II способ, метод обратной матрицы. 1) det A    8  0 .  2  4 1   2) A   1  5 3   1 1 1   Алгебраические дополнения элементов матрицы A : A11  5 3 1 1 A21    2, 4 1 1 1  3, A12   A22  A31  3) Присоединенная матрица: 1 3 1 1 2 1 1 1 4 1 5 3  2,  1,  7, A13  A23   1 5 1 1  4, 2 4 1 A32   1 2 1 1 3  2,  5, A33  2 4 1 5  6. T 4  3  7  2 2  2     П  3 1  2   2 1 5 .   7  5  6  4 2 6     4) Обратная матрица: A 1 3  7   2 8  2   1  1  5    2  2 8 8    4 4  2  6    8 3 8 1  8 2 8 7  8 5 . 8 6  8 5) Решение системы: 3 7  3  2  6 3 7   2   8  8 8     8 8 8    1     0 . 5 6 5 2 1 1 X  A B     1     8 8    8 8 8    8 6   1    12  2  6    1 2  4  8 8 8  8 8 8  x  2,  Ответ:  y  0,  z  1.  Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система (1) приводится к одной из следующих систем: a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1n x n  a 22 x 2  a 23 x3  ...  a 2 n x n  a 33 x3  ...  a 3n x n     a nn x n  где a ii  0 , i  1,..., n .  b1 ,  b2 ,  b3 , (2)  bn ,  a11 x1  a12 x 2  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,  a 22 x 2  ...  a 2 k x k  ...  a 2 n x n  b2 ,      a kk x k  ...  a kn x n  bk , где k  n .  a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,    (4)   0  x n  bk , где k  n . (3) На втором этапе:  система (2) имеет единственное решение, значение x n находится из последнего уравнения, значение x n 1 — из предпоследнего,…,значение x1 — из первого;   система (3) имеет бесконечное множество решений; система (4) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению. Метод Гаусса. применим к любой (!) системе линейных уравнений. Опишем метод Гаусса подробнее на примере. Пример 2.4. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.1; и если она совместна, то  x  y  1, 2 x  y  7. найдите её решение:  I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:  1  1  1  1  1  1    . ~   2 1 7  II  2  I  0 3 9  Очевидно, что rang A  rang A | B   n  2 . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение. II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной  x  y  1, Имеем систему вида (2). Из второго уравнения y  3 . Подставляя это  3 y  9. значение в первое уравнение, получим: x  3  1  x  2 .  x  2, Ответ:   y  3. расширенной матрице:  Пример 2.5. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.3, и если она совместна, то 2 x  4 y  z  3,  найдите её решение:  x  5 y  3z  1,  x  y  z  1.  I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: 2  4 1 3  2  4 1 3      ~  1  5 3  1 II  2  I ~  0  6 5  5   1  1 1 1  III  2  I  0 2 1  1  III  3  II     2  4 1 3    ~  0  6 5  5 .  0 0 8  8   Очевидно, что rang A  rang A | B   n  3 . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение. II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной 2 x  4 y  z  3,  расширенной матрице:   6 y  5 z  5,  8 z  8.  Имеем систему вида (2). Из третьего уравнения z  1. Подставляя это значение во второе уравнение, получим:  6 y  5   1  5  6 y  0  y  0 . Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим: y, z 2x  4  0 1  3  2x  4  x  2 .  x  2,  Ответ:  y  0,  z  1.  Пример 2.6. Исследуйте систему линейных уравнений, и если она совместна, то найдите её  x1  x 2  5 x3  4 x 4  0,  решение: 2 x1  2 x 2  4 x3  3x 4  0,  3x  3x  3x  2 x  0.  1 2 3 4 I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: 4 0 4 0  1 1 5 4 0   1 1 5  1 1 5       ~~  0 0  6  5 0  .  2  2 4 3 0  II  2  I ~  0 0  6  5 0   3  3 3 2 0  III  3  I  0 0  12  10 0  III  2  II 0 0 0 0       Очевидно, что rang A  rang A | B   2  3  n . Значит, согласно (***) (см. §1), система совместна и неопределённа, т.е. имеет бесконечно много решений. II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:  x1  x 2  5 x3  4 x 4  0,   6 x3  5 x 4  0.  Имеем систему вида (3). Выразим x 3 из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение: 1 5 1  5 x 4  x1  x 2  5     x 4  4 x 4  0  x1  x 2  x 4  0   x1  x 2  x 4 . 6 6 6  6 5   x3   6 x 4 , Следовательно, исходная система имеет решение  где x 2 , x 4 могут принимать любые 1  x1  x 2  x 4 , 6  x3   действительные значения. 5   x3   6 x 4 , Ответ:  1  x1  x 2  x 4 . 6  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА § 1. Векторы. Операции над ними. Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и концом в точке   B обозначается символом AB (или одной буквой a , b , …).  Модулем (длиной) вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается AB , а .  Единичным называется вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор обозначают e .  Нулевым называется вектор, длина которого равна нулю. Нулевой вектор обозначается 0 .   Коллинеарными называются векторы a и b , если они лежат на одной прямой или на параллельных   прямых; записывают a || b . Компланарными называются три (и более) вектора, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.     Равными называются два коллинеарных вектора a и b ( a  b ), если они одинаково направлены и имеют равные длины. Сложение векторов.     Суммой двух векторов a и b называется вектор c , соединяющий начало вектора a с концом   вектора b , отложенного от конца вектора a .  b  a  b  a   ab Произведение вектора на число.   Произведением вектора a  0 на число   0 называется вектор, который имеет длину   a и  который имеет направление вектора a в случае   0 и противоположное направление в случае   0 .    1 b. 2 Пример 3.1. Даны векторы a и b .   Постройте векторы: 1) 4a  b ; 2) 2a   a  b 1)  b 2)    4a  b  4a  2a 1 b 2  1 2a  b 2 § 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора. Пусть вектор AB составляет угол  с осью l . Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное длине вектора A1 B1 (рис.3.1), взятой со знаком «плюс», если направление вектора A1 B1 совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае. B  Проекцию вектора a  AB на ось l можно вычислить по формуле:   прl а  а сos . A Декартовыми прямоугольными координатами x, y, z  вектора a называются его проекции на соответствующие координатные оси Ox, Oy, Oz .  Вектор a с координатами x, y, z записывают в виде         a  ( x; y; z ) или a  xi  yj  zk , где i , j , k — единичные векторы координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно. Длина  вектора a определяется по формуле:  A1 B1 пр l AB Рис.3.1 l  a  x2  y2  z2 .  Если вектор a  AB задан точками A( x1 ; y1 ; z1 ) и B( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то его координаты вычисляются по формулам:  a  AB  ( x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 ) . Пример 3.2. Даны две точки A1 (3;4;1) и A2 (4;6;3) . Найдите координаты и длину вектора  a  A1 A2 . По условию x1  3 , задачи z1  1 , y1  4 , x2  4 , y2  6 , z 2  3 . Значит,  a  A1 A2  (4  3;6  (4);3  1)  (1;10;4) .  a  A1 A2  12  10 2  (4) 2  1  100  16  117 .   Пример 3.3. Даны два вектора a  (2;1;4) и b  (0;1;2) . Найдите координаты и длину вектора    c  2a  3b .   2a  (4;2;8) ;  3b  (0;3;6) ;    c  2a  3b  (4  0;2  3;8  6)  (4;1;2) ;  c  4 2  12  2 2  16  1  4  21 .  Совместим параллельным переносом начало некоторого вектора u с началом координат прямоугольной системы координат Oxyz . Пусть  ,  ,  — углы, которые образует вектор   u  x, y, z  с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно (рис.3.2). Направление вектора u определяется с помощью направляющих косинусов cos  , cos  , cos  , для которых справедливы равенства: z y x z cos    ; cos    ; cos    , u u u 2    cos   cos   cos   1 . 2  u 2 y Рис.3.2 x § 3. Скалярное произведение векторов.   Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними (см. рис.3.3):     a  b  a  b  cos  .  b  b  a Рис.3.3     Из рис. 3.3 видно, что a cos   np  a, b cos   np a b . b   a         Поэтому a  b  a  пр a b или a  b  b  пр  a . b (*) Свойства скалярного произведения. 1. 2. 3. 4.     a  b  b  a — переместительный закон.       a (b  c )  ab  ac — распределительный закон.       Если a || b то a  b   a  b .          a  b  a  b  cos 90 0  0  a  b (или a  0, или b  0 ). В частности, скалярное произведение единичных векторов (ортов) удовлетворяет равенствам:   i  j  0,   j  k  0,   i  k  0,   i  i  1,   j  j  1,   k  k  1. z  k  0 i Рис.3.4 x 5.  j  y      Если векторы заданы координатами a  ( x1 ; y1 ; z1 ) , b  ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) или a  x1i  y1 j  z1 k ,     b  x 2 i  y 2 j  z 2 k , то   a  b  x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 .   6. Угол между векторами a и b определяется по формуле:   x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 a b сos     . 2 ab x1  y1 2  z1 2  x 2 2  y 2 2  z 2 2   7. Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.: x y z   a || b  1  1  1 . x2 y 2 z 2   8. Условие перпендикулярности векторов a  0 и b  0 :   a  b  x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2  0 .     2 Пример 3.4. Векторы a и b образуют угол    . Зная, что a  10 и b  2 , вычислите 3     (a  2b )  (3a  b ) .        (a  2b )  (3a  b )  3a 2  5ab  2b 2  2 2    3 a  5 a  b cos   2 b  2  3  100  5  10  2 cos   2  4  300  50  8  242 . 3 Пример 3.5. Даны вершины треугольника A(2;1;3) , B(1;1;1) и C (0;0;5) . C Найдите: 1) внутренний угол при вершине C ; 2) прCA CB . A B Для нахождения угла C найдём векторы CB и CA . CB  (1  0;1  0;1  5)  (1;1;4) ; CA  (2  0;1  0;3  5)  (2;1;2) . Тогда cos C   CB  CA CB  CA 2 1 8 18  9  1  2  1  (1)  (4)  (2)  1  12  (4) 2  2 2  (1) 2  (2) 2 2 9 2 9 9  9 2 9  1 2 Т.е. C   4  . Согласно формуле (*) пр CA CB  CB  CA  9  9 CA 9  3. 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Определение и геометрическое изображение комплексного числа Попытки решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом привели к возникновению понятия комплексных чисел. Комплексным числом называется число вида z  x  iy , (1.1) где x, y – действительные числа, i   1 (i 2  1) – мнимая единица. В технической литературе используют обозначение j   1 . Число х называется действительной частью комплексного числа, а у – его мнимой частью и обозначают x  Re z , y  Im z . Запись z  x  iy называется алгебраической формой комплексного числа. Множество всех комплексных чисел обозначают С. При y  0 получим действительное число x  i  0  x , т.е. R C. При x  0 получим число вида 0  i  y  iy , которое называется чисто мнимым. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Числа z  x  iy и z  x  iy называются сопряженными. Если на плоскости введена прямоугольная декартова система координат xOy, то каждому комплексному числу соответствует точка М(х, у) плоскости y Z z  x  iy M x, y  y  x Рис. 1.1. x или вектор ОМ . И наоборот, каждая точка М(х, у) плоскости изображает комплексное число z  x  iy (рис. 1.1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью и обозначается Z , ось Ох – действительной осью, а ось Оу – мнимой осью. § 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Модулем комплексного числа z  x  iy называется число r | OM | x 2  y 2 и обозначается r | z | . Угол  , образованный вектором OM с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается   arc z . Аргумент  комплексного числа может быть найден из системы уравнений (см. рис. 8.1) x y cos  , sin   r r y  tg  . x Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого 2k , k  Z . Главное значение аргумента   arc z выбирается из условий: 0  arg z  2 .    arg z   или Подставим в алгебраическую форму комплексного числа z  x  iy формулы соотношения x  r cos , y  r sin  . Получим формулу z  x  iy  r cos  ir sin  , или z  r (cos  i sin  ) , (2.1) которая называется тригонометрической формой комплексного числа. Обозначив символом e i комплексное число e i  cos  i sin  , запишем комплексное число (2.1) в показательной форме z  re i . Таким образом, комплексное число имеет 3 формы записи: 1. z  x  iy – алгебраическая форма, 2. z  r (cos  i sin  ) – тригонометрическая форма, z  re i – показательная форма, 3. где r  x2  y2 tg   y , (     ) . x – модуль комплексного  числа, – аргумент комплексного числа, Формулы Эйлера Заменяя в формуле e i  cos  i sin  , (2.2)  на –  , получим e i  cos  i sin  . (2.3) Складывая и вычитая равенства (2.2) и (2.3), находим e i  e  i e i  e i . cos  , sin   2 2i Формулы (2.2) и (2.2) называются формулами Эйлера. Эти формулы связывают показательную и тригонометрические функции. Пример 2.1. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить точками и векторами на комплексной плоскости: а) z1  2  12i , б) z 2  4 . а) Действительная и мнимая части комплексного числа равны x  Re z1  2, y  Im z1   12 Найдем модуль и аргумент z1 : y -4 Z y  12 x 2 1 2 3 3    , sin         . r 4 2 r 4 4 2 3 Следовательно, представление комплексного числа тригонометрической и показательной формах имеет вид: cos   z2 r  x 2  y 2  2 2  ( 12) 2  4  12  16  4, 2  3 12 Рис. 2.1 x z1 z1  r (cos  i sin  )  4(cos б) z 2  4 . x  Re z 2  4,  3  i sin  3 ) и z1  re i  4e y  Im z 2  0, r  (4) 2  0 2  4, i  3 . z1 в y 0 x 4   1, sin     0    . Таким образом, z 2  4(cos   i sin )  4e i . Числа z1 и z 2 r 4 r 4 изображены на рис.2.1. cos   § 3. Действия над комплексными числами Если комплексные числа заданы в алгебраической форме z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 , то операции сложения, вычитания, умножения и деления этих чисел выполняются по следующим правилам: 1) z1  z 2  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) , 2) z1  z 2  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) , 3) z1  z 2  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  x1 x2  ix1 y 2  iy1 x2  i 2 y1 y 2   ( x1 x2  y1 y 2 )  i( x1 y 2  x2 y1 ) , z1 x1  iy1 ( x1  iy1 )(x 2  iy 2 ) x1 x 2  ix1 y 2  iy1 x 2  i 2 y1 y 2     z 2 x 2  iy 2 ( x 2  iy 2 )(x 2  iy 2 ) x 22  i 2 y 22 ( x x  y1 y 2 )  i( y1 x2  x1 y 2 ) x1 x 2  y1 y 2 x y  x1 y 2 ,при этом z 2  0 .  1 2   i 2 21 2 2 2 2 x2  y 2 x2  y 2 x 2  y 22 4) Пример 3.1. Даны комплексные числа: z1  5  i , z 2  2  3i , z3  2  i . Вычислить: 1) z1 z 2  z 33 ; z 2) z 32  1 ; 3) z12  z 2 z 3 . z2 1) Последовательно вычислим z1 z 2  z 33 : z1  z 2  (5  i)(2  3i)  10  2i  15i  3i 2  10  13i  3  13  13i ; z33  (2  i) 3  23  3  2 2 i  3  2i 2  i 3  8  12i  6  i  2  11i . Тогда z1 z 2  z33  13  13i  2  11i  11  2i . 2) Аналогично вычисляем z 32  z1 : z2 z32  (2  i) 2  4  4i  i 2  4  4i  1  3  4i. z1  7  17i 7 17 5i (5  i)(2  3i)  10  2i  15i  3i 2  7  17i    i;      2 2 13 13 13 z 2  2  3i (2  3i)(2  3i) 49 (2)  (3i) Тогда z 32  z1 7 17  7  39  17  52 32 69    i  3  4i   i  i. 13 13 z2 13 13 13 13 3) Вычисляем z12  z 2 z3 : z12  (5  i) 2  25  10i  i 2  24  10i; z 2 z3  (2  3i)(2  i)  4  2i  6i  3i 2  7  4i . Тогда z12  z 2 z3  24  10i  (7  4i)  24  10i  7  4i  31  14i . § 4. Применение комплексных чисел в электротехнике Рассмотрим синусоидальный ток, закон изменения которого во времени описывается формулой: i  I m sin(t  ) , где I m – амплитуда тока, характеризует максимальное значение тока,  – угловая частота, t   – фаза, характеризует состояние колебания в момент времени t ,  – начальная фаза. График тока дан на рис. 4.1. i +j . Im Im   t +1 Рис. 4.2 Рис.4.1 При расчете цепей синусоидального тока используется также понятие действующего значения тока I I m . 2 Для облегчения расчетов в электротехнике синусоидальный ток принято изображать вектором (или точкой) на комплексной плоскости (4.1) Im  I m  e j ( j   1) , который называется комплексной амплитудой (рис. 4.2). (обратите внимание на обозначения осей координат!). Модуль этого вектора равен амплитуде I m , а аргумент – начальной фазе  тока. Если комплексную амплитуду разделить на 2 , то получим комплексное действующее значения тока I I I  m  m e j . 2 2 Зная комплексную амплитуду или комплексное действующее значение синусоидальной величины, можно осуществить обратный переход и записать выражение для мгновенного значения этой величины. Пример 8.3. Ток меняется по закону i  10sin(t  1200 ) А. Найти +j комплексную амплитуду тока и изобразить ее на комплексной плоскости. . Из условия находим амплитуду I m и начальную фазу  тока: Im 8,66 I m  10,   1200 . По формуле (8.5) находим комплексную амплитуду: Im  I m  e  j  10  e120 j  10(cos1200  j sin 1200 )  10( 1  j 3 )  5  8,66 j A. 2 2 Комплексная амплитуда изображена на рис. 4.3. Пример 8.4. Задано комплексное действующее значение I  10  10 j А. Записать выражение для его мгновенного значения.   120 -5 0 +1 Рис. 4.3 тока Найдем действующее значение I тока как модуль комплексного действующего значения I тока: I | I | 102  (10) 2  10 2  14,14 А. Амплитуда I m тока вычисляется по формуле I m  I  2  10 2  2  20 А. 10 Определим начальную фазу  как аргумент комплексного числа I из уравнения tg    1 . 10  Поскольку число I  10  10 j расположено в четвертой четверти, то    45 . Записываем выражение для мгновенного значения синусоидального тока: i  I m sin(t  )  20 sin( t  450 ) А. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Теорема. Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости. Пример 4.1. Постройте прямую, заданную уравнением 2 x  y  4  0 . Для построения прямой достаточно знать координаты двух её произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, x  0 , получим y  4 . Имеем точку A(0;4) . Полагая x  1 , получим y  2 . Отсюда вторая точка B(1;2) . Результаты вычислений можно занести в таблицу: x y 1 x B 1 A y -4 -2 Осталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок). 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором: Ax  x0   B y  y 0   0 ,  y  n  ( A, B) ( x0 ; y0 ) (1) где n   A, B  — нормальный вектор прямой, ( x0 ; y0 ) — координаты данной точки.   Заметим, что n  ( A, B) — нормальный вектор прямой ( n перпендикулярен прямой). 2. Общее уравнение прямой: x Ax  By  C  0 , (2) где A, B, C — постоянные коэффициенты, причём A и B одновременно не обращаются в нуль A2  B2  0 . Частные случаи этого уравнения: Ax  By  0 С  0 — прямая проходит через начало координат; Ax  C  0 B  0 — прямая параллельна оси Oy ; By  C  0  A  0 — прямая параллельна оси Ox ; Ax  0 B  C  0 — прямая совпадает с осью Oy ; By  0  A  C  0 — прямая совпадает с осью Ox . 3. Уравнение прямой в отрезках: y x y  1 , a b (3) где a и b — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно. b a x M1 (a;0) M 2 (0; b) Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор, параллельный этой прямой. 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором (каноническое уравнение прямой на плоскости): x  x0  y  y0 , (4) m n  где a  (m; n) — направляющий вектор прямой, ( x0 ; y0 ) — координаты данной y  a  (m; n) ( x0 ; y0 ) точки. 5. Параметрические уравнения прямой: x  x  x 0  mt,   y  y 0  nt ,  (5) где a  (m; n) — направляющий вектор прямой, ( x0 ; y0 ) — координаты точки, принадлежащей данной прямой. 6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом: y  y 0  k ( x  x0 ) , y ( x0 ; y0 ) k  tg  (6) где k — угловой коэффициент прямой, ( x0 ; y0 ) — координаты данной точки. x 7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y y  kx  b , (7) где k — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла  , который прямая образует с положительным направлением оси Ox ), b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy .  k  tg x b 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1 ( x1; y1 ) и y M 2 ( x2 ; y2 ) , где y1  y2 , x1  x2 имеет вид: M1( x1; y1) y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1 . (8) M 2 ( x2 ; y2 ) y y k 2 1 x2  x1 В случае x1  x2 уравнение прямой примет вид x  x1 . В случае y1  y2 уравнение прямой: y  y1 . x Пример 4.2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки: а) A(0;2) , B(3;7) ; б) A(2;1) , B(4;1) . а) Используем уравнение (8). Полагая в нём x1  0 , y1  2 , x2  3 , y2  7 , получим y2 x0 y2 x      3( y  2)  5 x  7  2 30 5 3   3 y  6  5x  5x  3 y  6  0 . x -3 Построим эту прямую. Составим таблицу: 5x  3 y  6  0 — уравнение прямой. y 2 7 y 7 B A x 3 0 1 б) Решаем аналогично: y 1  0  y 1 y 1 x  2 . Так как y1  y2 , то  11 4  2 y 1 A 1 2 B 4 y 1 x есть уравнение прямой (см.п.8 параграфа). Для наглядности построим точки и прямую в системе Oxy . y  1 — уравнение прямой. Пример 4.3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (2;3) параллельно прямой x  2 y  15  0 .  Из уравнения прямой x  2 y  15  0 выпишем координаты нормального вектора: n  (1;2) . Так как прямые параллельны, то в качестве нормального вектора для искомой прямой примем этот же вектор. Имеем,  n  (1;2) ( x0 ; y0 )  (2;3)  A  1; B  2 . Воспользуемся формулой (1): x0  2; y0  3 1 ( x  (2))  (2)( y  3)  0  x  2  2y  6  0   x  2 y  8  0 — уравнение искомой прямой. Ответ: x  2 y  8  0 — уравнение искомой прямой. § 2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y  k1x  b1 и y  k2 x  b2 , то  угол  между ними вычисляется с помощью формулы tg  k2  k1 1  k1k2 (8)  условие параллельности прямых l1 и l2 имеет вид k1  k2 (9)  условие перпендикулярности прямых l1 и l2 k1   Если прямые l1 имеет вид 1 k2 и (10) l2 заданы общими уравнениями A1x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 , то  угол  между ними вычисляется с помощью формулы cos   n1  n2 n1 n2   A1 A2  B1B2 A12  B12  A22  B22 , (11)  где n1 и n2 — нормальные векторы прямых l1 и l2 .  условие параллельности прямых l1 и l2 имеет вид A1 B1  A2 B2 (12)  Это условие вытекает из того, что если прямые l1 и l2 параллельны, то их нормальные векторы n1  и n2 коллинеарны, а это значит, что их соответствующие координаты пропорциональны.  условие перпендикулярности прямых l1 и l2 A1 A2  B1B2  0 имеет вид (13) Это условие вытекает из того, что если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то и их нормальные   векторы n1 и n2 тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю. Пример4.4. Вычислите угол между прямыми : а) у   и 5x  y  4  0 ; в) у  2 4 1 3 х  и у  х  ; б) 2 x  3 y  10  0 5 5 3 3 3 х  2 и 8x  6 y  5  0 . 4 а) Воспользуемся формулой (8). Подставляя в неё значения k1   1 2 и k2  , находим 3 5 2  1 2 1     3  5 3 5  13 : 13  1     . Ответ:    . tg   4 4  1  2 1  2 15 15 1    15  5 3 б) Подставим значения A1  2 , B1  3 , A2  5 , B2  1 в формулу (11): 2  5  (3)  (1) 10  3 13 13 13 1  cos          . 2 2 2 2 4  9  25  1 13  26 4 13  13  2 13  2 2 2  (3)  5  (1) Ответ:    4 . 3 8 5 , найдём k2 . 8 x  6 y  5  0  6 y  8 x  5  y   x   4 6 6 4 4 5  y   x  . Тогда k2   . 3 6 3 3  4 Так как k1  k2       1 , то данные прямые перпендикулярны. (По формуле (8) получаем: 4  3 4 3 25    3 4  12       ). Ответ:    . tg  3  4  11 2 2 1   4  3 Расстоянием d от точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax  By  C  0 называется длина в) Здесь k1  перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую и вычисляется по формуле: d Ax 0  By 0  C M0 (14) A2  B 2 d Пример 4.5. Найдите расстояние от точки M 0 (2;3) до прямой 4 x  3 y  5  0 . Подставляя в формулу (14) данные задачи, получим d 4  (2)  (3)  3  (5) 42  (3)2  895 16  9  22  4,4 . 5 Ответ: d  4,4 лин. ед. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Окружность Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки O этой же плоскости на одно и тоже расстояние R  0 . Точка O называется центром, а R — радиусом окружности. В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид y R b a ( x  a)2  ( y  b)2  R2 , x (1) где (a; b) — координаты её центра, R — радиус окружности. В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. a  0 , b  0 , то уравнение (1) примет вид: x2  y 2  R2 (2) Пример 5.1. Найдите координаты центра и радиус окружности 2 x 2  2 y 2  8x  5 y  4  0 . Разделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим x 2  4 x  y 2  Дополним выражения x 2  4 x и y 2  5 y 2. 2 5 y до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 , а ко 2 2 5 второму   (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел): 4 2 2 5 25 5 121 5  . y   24   x  22   y    2 16 4 16 4  5  5 По формуле (1) имеем a  2 , b  , т.е.  2;  — координаты центра окружности; 4  4 121 11 — радиус окружности. R2  R 16 4 x2  4 x  4  y 2  § 2.Эллипс Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса: x2 y 2   1, a 2 b2 (3) где a — большая полуось, b — малая полуось эллипса. y F1 M b F2 x c a  Если a  b , то: 1) координаты фокусов: F1 (c;0) , F2 (c;0) , где с — половина расстояния между фокусами (см. рис); 2) числа a , b и с связаны соотношением c 2  a 2  b2 ; (4) 3) расстояние между фокусами равно F1F2  2c ; Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом. Эксцентриситетом  эллипса называется отношение фокусного расстояния 2c (расстояния между фокусами) к большой оси 2a : 4)   с (   1 , т.к. c  a ); a (5) Директрисами эллипса называются прямые l1 и l2 параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном 5) x a  a ;  и x a  — уравнения директрис.  Если a  b , то уравнение (3) определяет окружность x 2  y 2  a 2 . Пример 5.2. Дано уравнение эллипса 24 x 2  49 y 2  1176 . Найдите длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса. Запишем уравнение эллипса в виде (3), разделив обе его части на 1176: x2 y 2   1. 49 24 Отсюда a 2  49  a  7 , b2  24  b  2 6 . Используя соотношение (4), находим c2  72  (2 6 )2  25 и c  5 . Следовательно, F1 (5;0) и F2 (5;0) . 5 По формуле (5) находим   . 7 § 3. Гипербола Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы: x2 y 2   1, (6) a 2 b2 где a — действительная, b — мнимая полуось гиперболы. Числа 2a и 2b — соответственно действительная и мнимая оси гиперболы. Для гиперболы (6): 1) координаты фокусов: F1 (c;0) , F2 (c;0) , где с — половина расстояния между фокусами (см. рис); 2) числа a , b и с связаны соотношением (7) c 2  a 2  b2 ; 3) расстояние между фокусами равно F1F2  2c ; 4) точки A и B называются вершинами гиперболы , точка O — центром гиперболы; y a l l 1 2  b F1 c B Эксцентриситетом  гиперболы называется число: M A a F2 c x 5)   c (   1 , т.к. c  a ). a (8) Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой O , а стороны равны и параллельны осям гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями 6) y   b x a (9) Две прямые l1 и l2 (см. рисунок), параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии, равном 7) x   a a , называются директрисами гиперболы; они определяются уравнениями  .  Уравнение (10) y 2 x2 x2 y 2    1  1 или b2 a 2 a 2 b2 (11) также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси Oy длины 2b . Гипербола, задаваемая уравнением (11), называется сопряжённой гиперболе (6) Пример 5.3. Составьте уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси Ox и расстояние между ними равно 10, а длина мнимой оси равна 8. По условию, 2c  10  c  5 ; 2b  8  b  4 . Тогда по формуле (7) получим: 52  a2  42  25  a2  16  a2  9 . x2 y 2 Тогда уравнение гиперболы:   1. 9 16 Уравнения ( x  x0 )2 a2  ( y  y0 )2 b2  1, ( x  x0 )2 a2  ( y  y0 )2 b2  1 также задают гиперболу, координаты центра которой задаются точкой ( x0 ; y0 ) . § 4. Парабола Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы: y 2  2 px , (12) где число p  0 , равное расстоянию от фокуса F до директрисы l , называется параметром параболы, точка O(0;0) называется вершиной параболы, ось Ox — ось симметрии параболы, координаты фокуса p F ( ;0) . 2 Уравнение директрисы l параболы имеет вид x   p . 2 y l M p p 2 2 F x Уравнение x 2  2 py является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. Уравнения ( y  y0 )2  2 p( x  x0 ) , ( x  x0 )2  2 p( y  y0 ) (13) также задают параболу, вершина которой задаются точкой ( x0 ; y0 ) . Пример 5.4. Уравнение линии приведите к каноническому виду и постройте её:  2 x  y  8x  5  0 . 2 Преобразуем уравнение: y  2 x 2  8x  5 . Выделим в правой части полный квадрат (выделение полного квадрата подробно рассматривалось в примере 5.1): y  2( x2  4 x)  5 ; y  2( x2  2  2  x  4  4)  5 ; y  2( x2  2  2  x  4)  8  5 ; y  2( x  2)2  3 ; y  3  2( x  2)2 ; 1 ( x  2)2    ( y  3) .  2 1 1  p  . Прямая 2 4 7 1 7 x  2 является осью симметрии параболы. Координаты фокуса x  2 , y  3   2 , т.е. F  2;2  . 8 8 8  y F Получили уравнение параболы (см. (13)) с вершиной в точке (2;3); 2 p  x ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. § 1. Определение функции и способы её задания. Если каждому числу x из некоторого множества X соответствует одно и только одно число y , то говорят, что на множестве X задана функция. Переменная x при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная y — зависимой. Способ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: f , g , h,... . Т.е. то обстоятельство, что y есть функция аргумента x , кратко выражают записью: y  f (x) или y   (x) и т.п. Множество X называется областью определения функции и обозначается D( f ) , а множество всех чисел y , соответствующих различным числам x  X — областью значений этой функции и обозначается E( f ) . Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел. Различают следующие способы задания функции : табличный, графический, аналитический (с помощью формул). Пусть заданы прямоугольная система координат Oxy и функция y  f (x) . Графиком функции f (x) называют множество всех точек плоскости с координатами ( x; f ( x)) , где x  D( f ) . Для функции, заданной аналитически, т.е. уравнением y  f (x) , под графиком понимают множество точек M ( x; y) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y  f (x) . График функции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y  x 2 задаёт функцию, графиком которой является парабола. Функция, заданная аналитически уравнением y  f (x) , определена в точке x  x0 , если возможно вычислить y0  f ( x0 ) . Множество таких точек образует область определения функции. Пример 6.1. Найдите область определения функции: а) f ( x)  x7 ; б) f ( x)  5  3x ; в) f ( x)  lg( x 2  3x  2) . x3 x7 определена, если её знаменатель не равен нулю. Область определения данной x3 функции можно найти из условия x  3  0  x  3 . Таким образом, D( f )  (;3)  (3;) . а) Дробь f ( x)  5  3x определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 5 5 5  3x  0  3x  5  x  . Значит, D( f )  (; ] . 3 3 в) Логарифм определён, когда + + 1 2 x x 2  3x  2  0  ( x  1)  ( x  2)  0 . б) Функция Значит, D( y)  (;1)  (2;) . Основными (или простейшими) элементарными функциями называются: постоянная функция степенная функция показательная функция логарифмическая функция тригонометрические функции y  c; y  x ,   R ; y  ax , a  0 ; y  log a x , a  0 , a  1 ; y  sin x ; y  cos x ; y  tgx ; y  ctgx ; y  arcsin x ; y  arccos x ; y  arctgx ; y  arcctgx . обратные тригонометрические функции Функция, аргумент которой в свою очередь есть функция ( y  f (u) , где u   (x) ), называется сложной функцией (или композицией функций). Пример 6.2. Функция y  sin x — простейшая, y  sin 3x — сложная ( y  sin u , u  3x ). Пример 6.3. Функция y  lg 3 (2 x ) сложная, которая может быть представлена следующей цепью 3 основных элементарных функций: y  z 3 , z  lg u , u  2v , v  x3 . Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций ( ,,, ) и композиций (т.е. образования сложных функций). Все остальные функции называются неэлементарными. Пример 6.4. Примером неэлементарной функции может служить функция вида: y  1  x  x  ...  x  ... 2 n Формула y  f (x) определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции. Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида F ( x; y)  0 , неразрешенным относительно функции y . 1 2 x 2. 2 Пусть для любых различных значений x1 , x2  D( f ) справедливо, что f ( x1 )  f ( x2 ) . Тогда для любого y  E ( f ) найдётся только одно значение x  g ( y)  D( f ) , такое, что y  f (x) . Пример 6.5. Уравнение 2 y  x 2  4  0 задает неявно функцию y   Функция x  g ( y) , определённая на E ( f ) , называется обратной для функции f (x) . Пример 6.6. Найдите обратную функцию для данной: 2 ; в) y  2 x . x3 а) Для функции y  x  1 обратной функцией является функция x  y  1 , или в стандартной форме y  x  1. 2 2 2 б) Разрешим уравнение y  относительно x : x  3   x   3 . Обратной функцией x3 y y 2 является функция y   3 . x в) Для функции y  2 x обратной функцией является функция x  log 2 y , или в стандартной форме y  log 2 x . а) y  x  1 ; б) y  Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. § 3. Предел числовой последовательности. Предел функции. Число A называется пределом последовательности a1, a2 ,..., an ,... , если для любого   0 существует натуральное число N  N ( ) такое, что y A an  A   при n  N . y f (x) A В случае, если последовательность a1, a2 ,..., an ,... имеет своим A пределом число A , говорят также, что последовательность a1, a2 ,..., an ,... сходится (или стремится) к числу A , и обозначают этот факт так: lim an  A . n  Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится. Пример 6.14. Используя определение предела, докажите, что x 0  x 0 x0   x последовательность 1 5 7 2n  1 ,1, , ,..., ,... сходится к числу 2. 2 4 5 n 1 2n  1 Обозначив , выберем произвольное число Тогда   0. an  n 1 2n  1 2n  1  2n  2 3 и неравенство an  2   будет выполнено тогда, когда an  2  2   n 1 n 1 n 1 3 3 3    , т.е. n   1 . Положив N    1  1 (где [ ] означает целую часть  ), получим, что для n 1    всех n  N справедливо неравенство an  2   . В соответствии с определением предела это и означает, что lim an  2 . n  Число A называется пределом функции y  f (x) в точке x  x0 , если для любого   0 существует    ( )  0 такое, что при x  x0   выполняется неравенство f ( x)  A   . Это кратко записывается в виде lim f ( x)  A . x  x0 Если A есть предел f (x) в точке x0 , то на графике это иллюстрируется следующим образом. Так f ( x)  A   , то это значит, что для всех x , как из неравенства x  x0   следует неравенство отстоящих от x0 не далее чем  , точка M ( x; y) графика функции y  f (x) лежит внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми y  A   и y  A   . Очевидно, что с уменьшением  величина  также уменьшается. Односторонние пределы Предел lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0  0) называется пределом слева данной функции в точке lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0  0) называется пределом справа данной функции. x  x0 ( x  x0 ) x  x0  0 x  x0 . Предел x  x0 ( x  x0 ) x  x0  0 y Рис.1 f ( x0  0) y f (x) f ( x0  0) x0 x Число A называется пределом функции y  f (x) в точке x   , если для любого   0 существует число M  0 , что при всех x  M выполняется неравенство f ( x)  A   . y y f (x) A A A x M Функция y  f (x) называется ограниченной в области D , если существует постоянное число M  0 такое, что для всех x  D f ( x)  M . Пример 6.15. функция y  2 ограничена для всех x  R , так как в этой области f ( x)  2 . 1  x2 § 4. Теоремы о пределах. 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е. lim (u( x)  v( x))  lim u( x)  lim v( x) x  x0 x  x0 x  x0 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов, т.е. lim (u( x)  v( x))  lim u( x)  lim v( x) x  x0 x  x0 x  x0 Следствие. Если c  const , то lim cu ( x)  c  lim u ( x) . x  x0 x  x0 3. Предел частного равен частному пределов u ( x) u ( x) xlim   x0 , x  x0 v( x) lim v( x) lim x  x0 если предел знаменателя не равен нулю lim v( x)  0 . x  x0 Пример 6.16. Используя теоремы о пределах, найдите lim x2 lim x 2 3x  1 3 2 1 5    5. 2 2x  4x  1 2  2  4  2  1 1 3x  1 . 2x  4x  1 2 2 x2  4 . x2 x2  5x  6 Пример 6.17. Используя теоремы о пределах, найдите lim x2  4 0    . Имеем неопределённость. «Раскроем» эту неопределённость (т.е. избавимся 2 x2 x  5x  6 0 от неё), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель x  2 : x2  4 ( x  2)( x  2) x2 4 0 lim 2     lim  lim   4 . x 2 x  5x  6 x  2 x  2 ( x  2)( x  3) x  3 1 0 lim x 8 3 . x 1 Пример 6.18. Используя теоремы о пределах, найдите lim x 1 lim x 1 x 8 3 0    . Имеем неопределённость. Домножим числитель и знаменатель дроби на x 1 0 выражение, сопряжённое к числителю: lim x 1 x 8 3 0     lim x 1  0  x 1    x8 3 x8 3  x  1 x  8  3     2 x  8  32 x89 x 1 1 1 1  lim  lim   lim  lim   . x 1  x  1 x 1  x  1 x  8  3 x 1 x  1 x  8  3 x  8  3 x 1 x  8  3 3  3 6       Замечательные пределы sin x 1 x 0 x lim (6.1) x  1 lim 1    e , x   x  (6.2) где e — иррациональное число, e  2,71828... . Пример 6.19. Найдите lim x 0 sin 5 x . sin 3x sin 5 x  0     . Имеем неопределённость. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком sin 3x  0  предела на x и воспользуемся первым замечательным пределом (формула (6.1)): sin 5 x sin 5 x 5 sin 5 x  0  1 5 5 x 5 x lim     lim  lim   . x 0 sin 3 x  0  x0 sin 3x x0 sin 3x  3 1  3 3 x 3x lim x 0 Пример 6.20. В п.3 §2 была приведена формула вычисления конечной величины начальной суммы k через n лет в случае, если удельная процентная ставка есть i , а проценты начисляются m раз в году. Вычислим сумму k n , если начисление процентов происходит непрерывно, т.е. m   . 1 m n i i )  kn  lim k (1  )mn  k lim (1  ) mn = k lim (1  m  m  m  m/i m m m/i  x m  k lim (1  m  m 1 1 i ni 1 i 1 )  (1  )  (1  ) x =  k lim (1  ) xni  (в силу (6.2)) = kn  keni . x  x m/i m/i x т.к. m  , то и x   § 3. Непрерывность функции. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x  x0 , если lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 Данное определение требует выполнения следующих условий:  Функция f (x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности;  Пределы слева и справа существуют и равны между собой lim f ( x)  lim f ( x) ; x  x0  0  x  x0  0 lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0  0 x  x0  0 Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то эта точка x0 называется точкой разрыва функции. В случае, когда f ( x0  0)  f ( x0  0) , но эти пределы конечные, то точку x0 называют точкой разрыва первого рода. (См., например, рис.1 §3). Если хотя бы один из пределов f ( x0  0) или f ( x0  0) не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода. Величина d  f ( x0  0)  f ( x0  0) называется скачком функции в точке разрыва x0 . Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b] , то она называется непрерывной на этом отрезке. Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы: Сумма конечного числа непрерывных функций в точке x0 непрерывна в этой точке. Произведение конечного числа непрерывных функций в точке x0 непрерывно в этой точке. Частное двух непрерывных функций непрерывно в тех точках x0 , в которых знаменатель отличен от нуля. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. § 1. Производная функции, её геометрический, механический и экономический смысл. Любое изменение независимой переменной x , равное разности x2  x1  x , называется приращением этой переменной. Разность f ( x2 )  f ( x1 )  y называется приращением функции на отрезке [ x1; x2 ] или y  f ( x1  x)  f ( x1 ) , где x2  x1  x . Производной функции y  f (x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. y f ( x   x)  f ( x) dy lim  lim  y  f ( x)  .  x0  x  x0 x dx Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Пример 7.1. Пользуясь определением, найдите производную функции y  x 2 . Придадим аргументу x приращение x . Тогда соответствующее приращение y функции будет иметь вид y  y( x  x)  y( x)  ( x  x)2  x2  x2  2 xx  (x)2  x2   2 xx  (x)2  x(2 x  x) . Отсюда находим предел отношения lim x  0 y в точке x при x  0 : x  y  0  x(2 x  x)     lim  lim (2 x  x)  2 x . Таким образом, y  x 2   2 x .  x   x  x  0  x Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке x  x0 , то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное утверждение вообще говоря не верно. Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например, y  x при x  0 . Геометрический смысл производной Производная функции в точке x кривой y  f (x) в точке с абсциссой x . равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к y  f (x) y касательная y0 нормаль y( x0 )  tg  kкасат.  x0 x Механический смысл производной Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t . v  st Физический смысл производной Обобщая, можно сказать, что если функция y  f (x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y есть скорость протекания этого процесса. § 2. Таблица производных. Приведём в таблице производные как простых, так и сложных функций, которые подробнее рассмотрим в следующем параграфе. Простая функция  Сложная функция  3. x   nx , n  R e   e a   a ln a u   nu  u , n  R e   e  u a   a ln a  u 4. ln x   1 ln u   1  u  log a x   1 x ln a  sin x   cos x cos x    sin x tgx   12 cos x ctgx    12 sin x arcsin x   1 2 1 x arccos x    1 2 1 x log a u   1. 2. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. n x x n 1 x x x n u u n 1 u u u 1  u u ln a sin u   cos u  u cos u    sin u  u tgu   1  u cos 2 u ctgu    12  u sin u arcsin u   1 2  u 1 u arccos u    1 2  u 1 u arctgx   1 1  x2 arcctgx    1 2 1 x 12. 13. arctgu   1  u 1  u2 arcctgu    1 2  u 1 u § 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Если функции u , v дифференцируемы, то c  0 , где c  const x  1 cu   cu u  v   u  v u  v  uv  uv   u  uv  vu , v0    v2 v 3 Пример 7.4. Найдите производную функции y  x  1 2 x  2x  4 . 5 Воспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.   1  1 2 1    3 y   x  x  2 x  4   x3  x 2  2x   0  3x 2   2 x  2 . 5 5 5       Пример 7.5. Найдите производную функции y  53 x 2  x2 7 6  2  3x  10 . 7 x x Преобразуем функцию с помощью следующих правил: Действия со степенями am  an  am n am  amn n a a  m n  a mn m am  a n 1 an  n a n Таким образом, имеем: 2 3 1  1 y  5 x  x 2  7 x  2  6 x 2  3x  10 . 7 Воспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.    1   23 1 2   23  1 2    12   2 2  2 y   5 x  x  7 x  6 x  3x  10    5 x   x   7x   6 x   3x   0  7       7  10  2 2 1 1  1   1  5  x 3   2 x  7   2x 3  6   x 2  3   x 3  x  14 x 3  3x 2  3 . 3 7 3 7  2 2 1 1 3 Производная сложной функции. Если y  f (u) , где u   (x) , т.е. y  f ( ( x)) — сложная функция, то yx  fu  ux или в других обозначениях dy dy du   . dx du dx Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций. Пример 7.6. Найдите производную функции y  sin(5x) .  Воспользуемся формулой 6 таблицы производных сложных функций: sin u   cos u  u  y  sin(5x)  cos(5x)  (5x)  cos(5x)  5  5 cos(5x) . Пример 7.7. Найдите производную функции y  ln(sin(5x3  7 x  1)) .  y  ln(sin(5x3  7 x  1))  формула 4  1   sin(5 x3  7 x  1)    1  3 ln u    u sin(5x  7 x  1) u формула 6  1    cos(5 x3  7 x  1)5 x3  7 x  1   3 sin u   cos u  u sin(5x  7 x  1)    1  cos(5x3  7 x  1)15x 2  7  . sin(5 x  7 x  1) 3 Производная обратной функции. Если для функции y  f (x) существует обратная функция x   ( y) , имеющая производную ( y)  0 , то справедлива формула f ( x)  1  ( y ) . § 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей. Теорема. Пусть функции y  f (x) и y   (x) на некотором отрезке [ x0 ; b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и в точке x  x0 одновременно обращаются в нуль или равны бесконечности. Тогда, если f ( x) , то выполняется равенство x  x0  ( x ) существует предел lim f ( x) f ( x)  lim x x0  ( x) x x0  ( x) lim Правило применимо и в случае, когда x0   . x3  x  10 Пример 7.8. Найдите предел lim 3 . x  2 x  3x  2 применим x3  x  10  x3  x  10  0  lim 3     правило  lim x  2 x  3x  2 x2 0 x3  3x  2 Лопиталя (7.1) 3x 2  1 3  4  1 13   . x  2 3x 2  3 3 4  3 9  lim sin 5 x . x  0 3x sin 5x   lim 5 cos 5x  5  cos 0  5  1  5 . sin 5 x  0  lim     lim x 0 3x x 0 3 3 3 3  0  x 0 3x  Пример 7.9. Найдите предел lim Пример 7.10. Найдите предел lim x  e2 x  1 . 2e 2 x  1  e2 x  1    e2 x  1 2e2 x 2 1 lim 2 x     lim  lim   . x   2e  1    x  2e2 x  1  x  4e2 x 4 2     Правило Лопиталя применяется и для раскрытия неопределенностей вида: 0   ;    ; 00 ; 1 ; 0 . Пример 7.11. Найдите предел lim x 2  e x . x  lim x 2e x  (  0)  lim x  x  x 2x 2      lim x  lim x  0 . x x   x   e e e  2 Неопределенности вида 00 ; 1 ;  0 можно раскрыть, предварительно вычислив предел от логарифма функции. Пример 7.12. Найдите предел lim x x . x 0 lim x  (0 ) . Обозначим y  x x . Тогда x x 0 1  x2   ln x  (ln x )   lim ln y  lim ln( x x )  lim x ln x  (0  )  lim     lim   lim x  lim      lim x  0 . x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 x 0 x     x 0  1   2   x x  x § 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций. Если для всех точек отрезка [a; b] при x1  x2 выполняется равенство f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция f (x) называется возрастающей на [a; b] . y y  f (x) f ( x2 ) f ( x1 ) x1 x2 x При выполнении условий x1  x2 , f ( x1 )  f ( x2 ) функция f (x) называется убывающей на [a; b] . y y  f (x) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1 x Интервалы, в которых функция f (x) только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции. Признак возрастания. Дифференцируемая функция f (x) возрастает на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда её производная f ( x)  0 . Признак убывания. Дифференцируемая функция f (x) убывает на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда её производная f ( x)  0 . В точках, отделяющих интервалы монотонности функции, производная функции обращается в нуль или не существует. Эти точки называются критическими. Для нахождения интервалов монотонности функции f (x) необходимо найти все её критические точки и установить знак производной в каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область существования функции. Пример 7.13. Найдите интервалы монотонности функции f ( x)  x3  6 x 2  5 . Функция определена на всей числовой оси. Найдём её производную.  f ( x)  x3  6 x 2  5  3x 2  12 x  3x( x  4) .   Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. 3x( x  4)  0  x  0, x  4 — критические. Результаты исследования занесём в таблицу: f f (;0) (0;4) 4 (4;) +  + 5  27 Таким образом, функция f (x) возрастает а интервалах (;0) и (4;) , а убывает на интервале (0;4) . § 6. Экстремум функции. Необходимый признак. Точка x1 называется точкой максимума (maximum) функции f (x) , если значение функции в этой точке больше её значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x1 , т.е. f ( x1  x)  f ( x1 ) для любого x ( x — мало по величине). Точка x2 называется точкой минимума (minimum) функции f (x) , если значение функции в этой точке меньше её значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x2 , т.е. f ( x2  x)  f ( x2 ) . Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремальными. y y  f (x) x1 x2 x3 x4 x5 x Функция, заданная кривой на рисунке выше, в точках x1 и x3 достигает максимума, в точках x2 и x5 — минимума, в точке x4 — экстремума нет. Очевидно, что функция имеет производную, равную нулю в критических точках. Касательная к кривой в этих точках параллельна оси Ox . Необходимый признак экстремума. Если дифференцируемая функция достигает в некоторой точке экстремума, то её производная в этой точке равна нулю или не существует. § 7. Достаточные признаки экстремума функции. Первый достаточный признак. Пусть функция f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может самой точки x0 ). Тогда, если: а) f ( x)  0 при x  x0 , f ( x)  0 при x  x0 , то в точке x0 функция f (x) достигает максимума; б) f ( x)  0 при x  x0 , f ( x)  0 при x  x0 , то в точке x0 функция f (x) достигает минимума. y  f (x) имеет в точке x0 производную f ( x0 )  0 и непрерывную вторую производную f (x) . Тогда, если f ( x0 )  0 в точке x0 будет максимум, а если f ( x0 )  0 в точке x0 будет минимум. Пример 7.14. В примере 7.13 точки x  0, x  4 являются точками экстремума. В точке x  0 функция достигает максимума, в точке x  4 функция достигает минимума. Второй достаточный признак экстремума. Пусть функция § 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Всякая функция может принимать на отрезке наибольшее и наименьшее значения в критических точках, лежащих внутри отрезка или на его концах. Пример 7.16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  x3  3x 2  9 x  6 на отрезке [2;2] . Находим критические точки данной функции.  y  x3  3x 2  9 x  6  3x 2  6 x  9 . y  0  3x2  6 x  9  0 ;   x2  2x  3  0 ; 2 D   2  4  1   3  4  12  16 ;   2  16  2   1 ; 2 1 2   2  16 6 x2   3 2 1 2 Отрезку [2;2] принадлежит только одна критическая точка x1  1 . Вычисляем значения x1  функции в этой точке и на концах отрезка: y(1)  (1)3  3(1)2  9(1)  6  1  3  9  6  11 ; y(2)  (2)3  3(2)2  9(2)  6  8  12  18  6  4 ; y(2)  23  3  22  9  2  6  8  12  18  6  16 . Сравнивая полученные значения, найдем, что y(1)  11 есть наибольшее значение функции, а y(2)  16 — наименьшее значение функции на отрезке [2;2] . § 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Кривая, определяемая данной функцией, называется выпуклой вверх или просто выпуклой на интервале (a; b) , если график расположен ниже любой каcательной, проведенной к графику функции в точках интервала (a; b) . Кривая называется выпуклой вниз или вогнутой на интервале (a; b) , если график расположен выше любой касательной, проведённой к графику функции в точках интервала (a; b) . Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. В точках перегиба вторая производная обращается в нуль или не существует. На рисунке M — точка перегиба. y M y  f (x) x Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба кривой, определяемой функцией y  f (x) находят все точки x , где f ( x)  0 или не существует и исследуют знак второй производной в интервалах, расположенных между этими точками. Точки перегиба будут в тех точках x , где f ( x)  0 , при переходе через которые вторая производная изменяет знак. § 10. Асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты. Если существует число a такое, что lim f ( x)   , то прямая x  a x a является вертикальной асимптотой кривой y  f (x) . y y  f (x) xa a x Наклонные асимптоты. Уравнение наклонных асимптот графика функции y  f (x) ищется в виде y  kx  b , где k  lim x   f ( x) , b  lim ( f ( x)  kx) . x   x Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая y  f (x) не имеет наклонных асимптот. Если k  0 ,то асимптота параллельна оси Ox . § 11. Общая схема исследования функции и построение её графика. С целью изучения процесса, описываемого заданной функцией, проводится её исследование по следующей схеме. 1. Находится область определения функции, точки пересечения с осями координат, точки разрыва функции. 2. Устанавливается чётность или нечётность функции, её периодичность. 3. Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции. 4. Находятся точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой. 5. Находятся асимптоты функций. 6. На координатную плоскость наносятся все найденные характерные точки, и по результатам исследования строится график функции. x3 и постройте её график. 2( x  1) 2 1. Функция определена для всех x  1 , т.е. область определения D( y)  (;1)  (1;) . В точке x  1 функция терпит разрыв второго рода, т.к. x3 x3 , lim   lim   . x  1 0 2( x  1) 2 x  1 0 2( x  1) 2 Если x  0 , то y  0 , значит, кривая проходит через начало координат. Пример 7.17. Исследуйте функцию y  2. y ( x)   x3 , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 2( x  1)2 Очевидно, что данная функция и непериодическая. 3. 3x 2 ( x  1) 2  2( x  1) x3 3x 2 ( x  1)  2 x3 x3  3x 2 .   2( x  1)4 2( x  1)3 2( x  1)3 y  0 при x  3 и x  0 . y  y y (;3) 3 (3;1) (1;0) (0;) +  + +  27 8 Поэтому функция возрастает в интервалах (;3) и (1;) , убывает в интервале (3;1) . Точка x  3 является точкой максимума и ymax  y (3)   4. y  (3x 2  6 x)( x  1)3  3( x  1) 2 ( x 3  3x 2 )  2( x  1)6 (3x 2  6 x)( x  1)  3( x 3  3x 2 ) 6x .  4 2( x  1) 2( x  1) 4 y  0 при x  0 .  27  3,4 . 8 (;1) (1;0) (0;)   + y y Точка (0;0) является точкой перегиба. 5. x  1 — вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде y  kx  b . применим f ( x) x2  k  lim  lim     правило  x   x   2( x  1) 2 x  Лопиталя применим 2x 2 1   lim     правило   . x   2  2( x  1) 4 2  Лопиталя  x3 1  b  lim ( f ( x)  kx)  lim   x   2 x x 2( x  1) 2   3 3 2 2 x  x  2x  x  2x  x  2  1/ x  lim  lim  lim  1 . 2 2 x   x   x   2( x  1) 2( x  1) 2(1  1/ x)2 1 Следовательно, прямая y  x  1 является асимптотой графика функции. 2 6. По результатам исследования строим график функции. y 1 x 2 Пример 7.18. Открытый чан имеет форму цилиндра. Объём чана равен V . Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы его поверхность была наименьшей? Площадь поверхности открытого цилиндрического чана S  r 2  2rh , где r — радиус основания, h — высота S  r 2  2r  цилиндра. Объём цилиндра V  r 2h , откуда V . r 2 Это значит, V 2V  r 2  . 2 r r Найдем значение радиуса r , при котором функция S  r 2  S   2r  h 2V 2V , S   0  2r  2  0 , 2 r r V r  2  0 , r 2V достигает минимума: r что r 3  V 0, r2 r 3 V  0 , V r3  Так как h S   2  V V 3 . 2 r  4V 0 r3 при r3 V  , то функция S (r ) достигает при r  3 V  минимума.