Линейная алгебра

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Конспект лекционного материала для направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» Мурманск 2014 1. Составитель: канд. пед. наук, доцент ОЕН Чиркова О.И. (должность) (кафедра) (подпись) (ФИО) 2. УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры Общественных и естественных наук (наименование кафедры) 05.09.2014 г. протокол № 1 (дата) Зав. кафедрой Голов А.Г. (подпись) (ФИО) ПЕРЕУТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры Общественных и естественных наук (наименование кафедры) протокол № (дата) Зав. кафедрой (подпись) (ФИО) 3. СОГЛАСОВАНО с учебно-методическим управлением Начальник учебно-методического управления Долматова Е.В. (подпись) (ФИО) (дата) 4. Внесены изменения и дополнения на заседании кафедры ОЕН Протокол № Дата Зав. кафедрой (подпись) (ФИО) © Мурманская академия экономики и управления, 2014 СОДЕРЖАНИЕ Матрицы, основные действия над матрицами 4 Определители. Ранг матрицы. 6 Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. 9 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера 12 Вектор. Действия над векторами. 16 Линейная зависимость и независимость векторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. 16 Уравнение прямой на плоскости. Прямая в пространстве. 19 Квадратичные формы 21 Матрицы, основные действия над матрицами Определение. Таблица вида называется mn матрицей или, сокращенно, A=(aij), где i=1,…,m - номер строки, j=1,…,n-номер столбца, аij-элементы матрицы А. Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Пример 1.1 - единичная матрица третьего порядка, Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Пример 1.2 Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается . В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике. Определение. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором-столбцом или вектором-строкой соответственно. Пример 1.3 - вектор-столбец, - вектор-строка. Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается . Пример 1.4 Дано:. Найти . Решение. . Действия над матрицами 1. Операция сложения матриц Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Определение. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что ()=+(), где i=1,…,m; j=1,…,n. Пример 1.5. Произвести сложение матриц A=и B= Решение. +=. 2. Операция разности матриц Аналогично определяется разность матриц. 3. Операция произведения матриц Операция произведения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что =, где i=1,…,m; k=1,…,p, т. е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Пример 1.6 Произвести умножение матриц и . Решение. 4. Произведение матрицы на число Произведение матрицы на число k называется матрица такая, что bij= kаij (i=1,…,m; j=1,…,n). Пример 1.7 Произвести умножение матрицына число k=2. Решение. 5. Возведение матрицы в натуральную степень Возведение в натуральную степень квадратной матрицы А происходит по правилу: , причем по определению 1) ,2). Пример 1.8 Вычислить:. Решение. === Определение. Матрица -А=(-1)А называется противоположной. Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся: 1. перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; 2. умножение всех элементов рада матрицы на число, отличное от нуля; 3. прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. Определители. Ранг матрицы. Определение. Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и обозначается, например определитель матрицы А, следующим образом: или , или detA. Пример 2.1 Найти определитель матрицы В, если: 1. В=, тогда определитель 2. В=, тогда определитель Таким образом, получаем формулу для нахождения определителя второго порядка: Если А=, то = Определение. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученного из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Пример 2.2 Дано: А= Найти все миноры матрицы А. Решение. Вычеркиваем первую строку и первый столбец:==12-4=8 Вычеркиваем первую строку и второй столбец:==0-2= -2 Вычеркиваем первую строку и третий столбец:== 0-3= -3 Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:== 4-4=0 Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:== 12-2=10 Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:== 6-1=5 Вычеркиваем третью строку и первый столбец:== 2-6= -4 Вычеркиваем третью строку и второй столбец:== 6-0=6 Вычеркиваем третью строку и третий столбец:== 9-0=9. Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j, т. е. =(-1)i+j. Пример 2.3 Дано: А= Найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А. Решение. Вычеркиваем первую строку и первый столбец:= (-1)1+1 =12-4=8 Вычеркиваем первую строку и второй столбец:= (-1)1+2 = -(0-2)= 2 Вычеркиваем первую строку и третий столбец:= (-1)1+3 = 0-3= -3 Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:= (-1)2+1 = -(4-4)=0 Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:= (-1)2+2 = 12-2=10 Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:= (-1)2+3 = -(6-1)= -5 Вычеркиваем третью строку и первый столбец:= (-1)3+1= 2-6= -4 Вычеркиваем третью строку и второй столбец:= (-1)3+2 = -(6-0)= -6 Вычеркиваем третью строку и третий столбец:= (-1)3+3 = 9-0=9. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение: =. Пример 2.4 Дано: А= Вычислить определитель третьего порядка. Решение. Вычислим определитель матрицы А, разложив, например, первый столбец: =3(-1)1+1 +0(-1)2+1 +1(-1)3+1=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Основные свойства определителей 1. определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. 2. при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. 3. определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю 4. общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. 5. определитель с нулевым рядом равен нулю. 6. если к какому-либо ряду определителя прибавить другой ряд, умноженный на скаляр, то определитель не изменится. 7. определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Ранг матрицы Определение. Рангом треугольной матрицы называют число её ненулевых строк. Чтобы найти ранг матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований привести её к треугольному виду. Элементарные преобразования матрицы, сохраняющие ранг матрицы: 1. отбрасывание нулевого ряда 2. умножение всех элементов ряда матрицы на число, неравное нулю. 3. изменение порядка ряда матрицы 4. прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов другого ряда, умноженных на число. 5. транспонирование матрицы. Рассмотрим пример. Пример 2.5 Дана матрица А= Найти ранг матрицы. Решение. Приведём данную матрицу к треугольному виду. выбираем ведущую строку и главный элемент, для этого поменяем местами первую и третью строку Теперь должны получить нули под главным элементом, т.е. под единицей. Первый нуль во второй строке уже есть, поэтому переписываем первую строку, как ведущую, и вторую строку без изменения. Осталось получить нуль вместо первого элемента третьей строки, т.е. вместо тройки. Для этого каждый элемент ведущей строки, умноженный на минус три, складываем со соответствующими элементами третьей строки.Выбираем вторую строку за ведущую, и первый ненулевой элемент этой строки берем за главный. Получим нуль под главным элементом. Для этого к каждому элементу ведущей строки (второй строки), умноженному на пять, прибавляем соответствующий элемент третьей строки, умноженный на три. . В результате получаем r(A)=2. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Определение. Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие: А А-1= А-1А=Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А-1 матрица имеет ту же размерность, что и матрица А. Определение. Квадратная матрица А= называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной. Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Определение. Присоединенной матрицей к матрице А называется матрица вида: =, где Аij-алгебраическое дополнение элемента аij. Находят обратную матрицу по формуле: А-1=. Пример 3.1 Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы. А= Решение. 1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы: =3(-1)1+1 +0(-1)2+1 +1(-1)3+1=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную. 2. Найдем транспонированную матрицу. АТ= 3. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы. = (-1)1+1 =12-4=8 = (-1)1+2 = -(4-4)= 0 = (-1)1+3 = 2-6= -4 = (-1)2+1 = -(0-2)=2 = (-1)2+2 = 12-2=10 = (-1)2+3 = -(6-0)= -6 = (-1)3+1= 0-3= -3 = (-1)3+2 = -(6-1)= -5 = (-1)3+3 = 9-0=9. = 4. Воспользуемся формулой: А-1=. А-1==. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме: AX=BX=A-1B- решение системы (1). Пример 3.2 Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы. Решение. Формула, по которой будем находить решение системы: X=A-1B. Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=. Найдем определитель =3(-1)1+1 +0(-1)2+1 +1(-1)3+1=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную. Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1): А-1=. Подставим в формулу X=A-1B, получим: X=== Ответ: =, ,. Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных: X=и вектор-столбец свободных членов: B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме: AX=B. Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы А, j- определитель матрицы, получаемой из А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система имеет единственное решение: , (1jn). Пример 4.1 Решить систему линейных уравнений: методом Крамера. Решение. Основная матрица системы А= и вектор-столбец свободных членов: B=. Найдем определитель ==3(-1)1+1 +0(-1)2+1 +1(-1)3+1=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к. 0, следовательно, можно применить формулы Крамера. Найдем определители , , , полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов: ==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4; ==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4; ==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14. Тогда, по формуле Крамера: == -=; =; =. Ответ: =, ,. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ). Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A) 0 (L(, х2, ..., хn) < 0). Так, например, квадратичная форма явля­ется положительно определенной, а форма- отрицательно определенной. Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и доста­точно, чтобы все собственные значения, матрицы А были поло­жительны (отрицательны). В ряде случаев для установления знакоопределенности квадра­тичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра. Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положи­тельно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все глав­ные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. >0, > 0,..., >0, где = Следует отметить, что для отрицательно определенных квадра­тичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка. Пример 8.4 Доказать, что квадратичная форма L = является положительно определенной. Решение. Матрица А квадратичной формы имеет вид А = . Для матрицы А характеристическое уравнение или . Решая уравнение, найдем = 14, = 4. Так как корни ха­рактеристического уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма L - поло­жительно определенная.