Линейная алгебра

КУРС ЛЕКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ 2. Сегодня воскресенье, 18 октября 2020 г. 18.10.2020 К. Вейерштрасс Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. ЛЕКЦИЯ 2. Определитель матрицы. План лекции 2. 2.1 Понятие определителя. 2.2 Свойства определителей. 2.3 Определители высших порядков. 2.1 Понятие определителя Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных, позволило заметить закономерность в формировании чисел, определяющих решение этих систем. С учётом этих закономерностей было введено понятие определителя, использование которого даёт возможность найти общий подход к решению систем линейных алгебраических уравнений любого порядка. Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716) — саксонский философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Понятие «определитель» принадлежит Г. Лейбницу (1678). Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:  a11 x  a12 y  b1 .   a21 x  a22 y  b2 Найдём решение этой системы. Для этого определим значение неизвестной величины y из первого уравнения: b1  a11x y a12 и подставим это значение во второе уравнение. В результате решения полученного уравнения относительно х имеем: a22b1  a12b2 x , a11a22  a21a12 тогда a11b2  a21b1 y . a11a22  a21a12 При условии, что выражение, стоящее в знаменателе, не равно нулю, найденные значения х и у будут являться решениями системы данных алгебраических уравнений. Числа, стоящие в числителе и в знаменателе х и у имеют общую закономерность их образования, а именно, все они получаются с помощью четырёх более простых чисел, попарно взятые произведения которых вычитаются. Числа такой структуры называются определителями второго порядка и записываются в виде квадратной таблицы, заключённой в прямые скобки: (2.1) a11a22  a21a12  a11 , a12 , a21 , a22 a11 a12 a21 a22 . называются элементами определителя. Эти элементы составляют в определителе две строки и два столбца, причём двойная нумерация элементов означает следующее: первая цифра указывает в какой строке, а вторая – в каком столбце расположен этот элемент. Числа Определитель (детерминант) – числовая характеристика квадратной матрицы. Обозначения определителя матрицы |A|, det A, . А: Невырожденная матрица • Квадратная матрица А называется невырожденной, если её определитель det А 0. • В противном случае det А = 0 матрица А называется вырожденной. Главная и побочная диагональ матрицы : Правило нахождения определителя 2-го порядка. Определитель 2-го порядка есть число, равное разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали этого определителя. = Побочная диагональ Главная диагональ Пример 2.1.1 . Вычислить определитель 2-го порядка: 3 2 1 5  (3)  5  1  2  15  2  17. Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом: 1. n = 1. А = (a1); det A = a1 2. n = 2. • Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: Введём понятие определителя 3-го порядка: a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 (2.2) Правило вычисления определителя 3-го порядка (правило треугольников, правило Саррюса): для вычисления определителя 3-го порядка надо из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали и вершинах треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали, вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и вершинах треугольников, у которых одна из сторон параллельна побочной диагонали. Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей. Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Саррюса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка. Правило треугольников (правило Саррюса) : Для вычислении определителя 3-го порядка используют правило треугольников (Саррюса). a11a12 a13 det A  a21a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a31a32 a33 a13a21a32  a31a22 a13  a32 a23a11  a33a21a12 Пример 2.1.2. Вычислить определитель 3-го порядка: 5 4 2 1 2 0  5  (2)  7  4  0  3  1  (5)  (2)  3 5 7 (2)  (2)  3  5  (5)  0  1  4  7   70  0  10  12  0  28  100 Пример. Вычислить определитель с помощью правила диагоналей 5 2 1 = 3 1 4 6 3 - - -+ + + =5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1–(6•1•1+ 0•(-4)•5+ +3•(2)•(-3)) = –15+48–(6+18)=33–24=9. Правило Саррюса Определитель произвольной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 2.2 Свойства определителей. Использование свойств определителей значительно упрощает их вычисление. Рассмотрим основные свойства определителей. Эти свойства будут сформулированы и доказаны для определителей 2-го порядка. Однако, приведённые ниже свойства присущи определителям любого порядка. Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять с соответствующими столбцами, т.е. транспонировать. a11 a21 a12 a22  a11 a12 a21 a22 (2.3) Доказательство: Вычислим определитель матрицы:  a11 a12 a21 a22  a11  a22  a21  a12 . Вычислим определитель транспонированной матрицы:   T Видно, что a11 a21 a12 a22  a11  a22  a12  a21.  , T что и требовалось доказать. Вывод: свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов определителей. Поэтому все остальные свойства справедливы как для строк, так и для столбцов. Свойство 2. При перестановке местами двух строк (или столбцов) величина определителя меняет знак на противоположный. a11 a12 a21 a22  a21 a22 a11 a12 (2.4) Доказательство: Действительно: a11 a12 a21 a22  a11  a22  a21  a12  (a21  a12  a11  a22 )   Равенство доказано. a21 a22 a11 a12 . Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю. Доказательство: Обозначим данный определитель через Δ. Пусть он имеет две одинаковые строки. Тогда, если поменять их местами, то определитель Δ не изменится. Однако, по рассмотренному выше свойству 2 он должен поменять знак. Следовательно,   , что возможно только в случае Что и требовалось доказать.   0. Свойство 4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.  a11 a12 a11 a12   a21 a22 a21 a22 (2.5) Доказательство:  a11 a12 a11 a12   a11  a22   a21  a12   (a11  a22  a21  a12 )   .  a21 a22 a21 a22 Что и требовалось доказать. Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. Доказательство: a21 a22  0  a22  a21  0  0. Что и требовалось доказать. Свойство 6. Если элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (или столбца), то определитель равен нулю. Доказательство: a11 a12  a11  a12  a11   a12   a11  a12  0. Что и требовалось доказать. Свойство 7. Если каждый элемент какой-либо строки (или столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей.   a11  a11   a21  a21 a12 a22  a11   a21 a12 a22  a11   a21 (2.6) a12 a22 Доказательство:   a11  a12 a11   a11  )  a22  (a21   a21  )  a12   (a11   a21  a22 a21   a22  a11   a22  a21   a12  a21   a12   a11   a22  a21   a12 )  (a11   a22  a21   a12 )   (a11  a12 a11  a12 a11   .  a22 a21  a22 a21 Что и требовалось доказать. Свойство 8. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Доказательство: a11   a12 a21   a22 a12  (a11   a12 )  a22  (a21   a22 )  a12  a22  a11  a22   a12  a22  a21  a12   a22  a12   a11  a22  a21  a12  . Что и требовалось доказать. 2.3 Определители высших порядков. Рассмотрим определитель n-го порядка: a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n ai1 ai 2 aij ain an1 an 2 anj ann Определение 1. (2.7) Минором M ij элемента aij определителя называется определитель, получаемый из данного путём вычеркивания i-ой строки и j- го столбца, на пересечении которых расположен элемент. Минор Мij элемента аi j 3 7 А  0 5  2 3 5 7 5 4 6 9 1 2 2  4 3 2 1 M23  0 5 2  60  20  0  250  0  42  13 5 7 4 a23=4 M31=5 M14=11 Определение 2. Алгебраическим дополнением некоторого элемента матрицы число, равное произведению Aij  (1) i j aij  M ij . Aij называется (2.8) Алгебраическое дополнение Aik • Алгебраическим дополнением элемента aik квадратной матрицы А называется число Аik : Для предыдущего примера: А23= –М23= –13 А31= М31= 5 А14= –М14= –11 Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с французский математик, механик, физик и астроном (1749 - 1827) Формула Лапласа Теорема 1. ( О разложении определителя по строке) Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ее ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.  a11 a12 a13     a21 a22 a23  a  a a 32 33   31 Разложение по элементам первой строки: det A  a 11 A11  a 12  A12  a 13  A13. Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Доказательство: Доказательство проведём для определителя 3-го порядка, применяя правило Саррюса : a11 a12   a21 a22 a31 a32 a13 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12a21a33  a33 a13a22a31  a11 (a22a33  a23a32 )  a12 (a23a31  a21a33 )  a13 (a21a32  a22a31 )   a11 a22 a23 a32 a33  a12 a21 a23 a31 a33  a13 a21 a22 a31 a32 Что и требовалось доказать.  a11 A11  a12 A12  a13 A13 . Следствие: Для определителя n - го порядка справедливы формулы: n    (1) i j j 1  aij  M ij (2.9) n    aij  Aij j 1 (разложение определителя по i-ой строке). (2.10) Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или столбца) равна нулю. Доказательство: Докажем, например, что сумма произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов второй строки равна нулю, т.е. a11 A21  a12 A22  a13 A23  0. По определению алгебраического дополнения имеем: a11 A11  a12 A12  a13 A13  a11 (1)  a13 (1) 2 3  a11 a31 21  a12 a13 a32 a33  a12 (1) a11 a12 a12  a11 a12 a32 a31 a32 2 2  a11 a13 a31 a33  a13 a13  0. a33 Полученное равенство можно рассматривать как некий определитель, разложенный по элементам 2-й строки, которая совпадает с первой строкой. В полученном определителе две равные строки, поэтому он равен нулю. Следствие: Для определителя n-го порядка: ak1 Ai1  ak 2 Ai 2   akn Ain  0. (2.11) Пример 2.3.1. Вычислить заданный определитель 2 5 1 2 6 14 2 8 D . 5 9 2 7 4 6 1 2 Решение: Приведем данный определитель к верхнетреугольному виду, чтобы все элементы, стоящие под главной диагональю, стали равны нулю. Тогда для вычисления определителя останется лишь перемножить элементы его главной диагонали. Для этой цели выполним необходимые элементарные преобразования и применим свойства определителей. 2 5 2 5 1 2 2 5 1 2 1 2 (1) ( 2) ( 3) 6 14 2 8 3 7 1 4 1 2 0 6 D  2  2  5 9 2 7 5 9 2 7 5 9 2 7 4 6 1 2 4 6 1 2 4 6 1 2 1 2 0 6 ( 3) 2 5 1 2  (1)  2  5 9 2 7 4 6 1 2 1 1 2 0 6 1 2 0 6 (4 ) (5) (6 ) 0 1 1 14 0 1 1 14  2   2   1 2 37 0 0 3 51 0 2 1 26 0 0 3 54 2 0 6 (6 ) (7 ) 0 1 1 14  2   2  (1)  (1)  3  3  18. 0 0 3 51 0 0 0 3 (1): элементы 2-й строки разделили на 2, при этом значение определителя умножится на 2; (2): к элементам 2-й строки прибавили соответственные элементы 1-й строки; (3): переставили местами 1-ю и 2-ю строки, при этом знак определителя изменился; (4): к элементам 2-й строки прибавили соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 2; к элементам 3-й строки прибавили элементы 1-й строки, умноженные на (5): к элементам 4-й строки – элементы 1-й строки, умноженные на 4; (6): к элементам 3-й строки прибавили соответственные элементы 2-й строки; к элементам 4-й строки прибавили элементы 2-й строки, умноженные на 2; (7): из элементов 4-й строки вычли элементы 3-й строки; (8): все элементы под главной диагональю раны нулю; величина определителя равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Ответ: D= 18. 2 1 1 4 3 1 1 2 4 3  2 2  17 12 17 12 11 17 12 1 1 11  2(48  51)  2(12  17)  11(3  4)  4 3  6  10  11  5. 4 1 3 5 2 3 5 0 0 3 4 1 3 2 4  1 3 4 1   2 2 3 1  2  5 5  0 1 3 1 2 3   5 0 5 0 5  2(5 10  5(14))  2(50  70)  2 120  240 2.4 Вопросы для самопроверки 1. Какое число называется определителем второго порядка? 2. Сформулируйте правило нахождения определителя третьего порядка. 3. Перечислите известные вам свойства определителей. 4. Дайте понятие минора элемента определителя. 5. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? 6. Сформулируйте правило нахождения n-го порядка методом разложения по строке (столбцу). ЗА ВНИМАНИЕ ПРАВИЛО ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЙ • Сумма произведений элементов любого ряда кв. матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ее параллельного ряда равна нулю.