Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц

Лекция № 15 § 24. Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц Рассмотрим свойства систем, состоящих из одинаковых частиц. В классической механике одинаковые частицы, несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют всѐ же своей «индивидуальности»: можно в некоторый момент времени мысленно «пронумеровать» каждую из частиц, входящих в состав данной системы, и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории. Тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать. В квантовой механике в силу принципа неопределѐнности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент времени его координаты вообще не имеют никакого определѐнного значения. Поэтому локализовав электроны и переномеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьѐмся для целей их идентифицирования в дальнейшие моменты времени. Локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем указать, какой именно из электронов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Одинаковость частиц по их физических свойствам имеет здесь более глубокий характер – она приводит к полной неразличимости частиц. Будем считать, что квантовая система состоит из N взаимодействующих одинаковых частиц, движущимися с относительными скоростями значительно меньшими, чем скорость света. В этом случае оператор Гамильтона можно записать в виде ̂ ∑ ̂ ̂( ) ̂ ( ) где ̂ оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами как функция пространственных координат всех частиц; ̂ оператор, характеризующий спин – орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания взаимодействия. Если в гамильтониане ( 1) мы переставим местами координаты ( )и частицы ( ), то гамильтониан не изменится, т. е. ( ) ( ) – й частицы ( ) для всех пар ( ) частиц, образующих систему. Таким образом, гамильтониан системы одинаковых частиц инвариантен относительно перестановки координат любой пары частиц. Введѐм новый оператор – оператор перестановки частиц ̂ . Он указывает на то, что координаты – й и частиц должны быть переставлены. Если мы имеем функцию ( ), то ̂ ( ) ( ( ) ) Это оператор, очевидно, является линейным. С помощью оператора ̂ равенство (24.2) можно написать в виде ̂ ̂( ) ̂( )̂ ( ) , . Таким образом, оператор ̂ коммутирует с оператором Гамильтона системы одинаковых частиц. Это означает, что собственные значения оператора ̂ является интегралами движения. Для определения собственных функций и собственных значений оператора перестановки частиц, введѐм волновую функцию ( ), описывающую состояние систем из N одинаковых частиц и являющейся собственной функцией оператора Гамильтона. для всех пар Если мы обменяем состояниями – ю и частицы, то получим новое возможное состояние системы, описываемое волновой функцией ( ). Принцип тождественности частиц утверждает, что эта новое состояние неотличимо от прежнего. В то же время волновые функции, описывающие одно и то же физическое состояние, могут отличаться друг от друга только постоянным множителем. Отсюда следует, что ( ) ( ) ( ) где некоторый постоянный множитель. Это равенство с помощью оператора перестановки можно записать в виде ̂ ( ) Отсюда следует, что волновые функции , описывающие состояние системы, должны быть собственными функциями оператора ̂ . Применим ещѐ раз оператор перестановки ̂ ̂ ̂ ( ) Два раза применяемый оператор перестановки ̂ не меняет функцию ( ) Откуда ( 9) Отсюда собственными значениями оператора перестановки ̂ будут . Поэтому ( ) Собственная функция ( ), соответствующая собственному значению называется симметричной функцией и определяется уравнением ̂ ( ) ( ) ( ) Собственная функция ( ), соответствующая собственному значению называется антисимметричной функцией и определяется уравнением ̂ ( ) Как позывает опыт, в природе реализуются только симметричные или только антисимметричные состояния по отношению к перестановке каждой пары частиц и не могут быть состояния, которые в части частиц симметричны, а в другой антисимметричны. Причѐм, можно показать, что переходов между этими состояниями быть не может. Свойство симметрии волновых функций системы не может измениться и под влияниям внешних воздействий, т. к. вследствие одинаковости частиц внешнее воздействие всегда симметрично по отношению к перестановкам пар частиц. Таким образом, квантовая механика на основе принципа тождественности одинаковых частиц ведѐт к двум классам состояний, абсолютно не смешивающихся между собой. Поэтому выбор того или иного класса состояний для какой – либо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему, а не характером внешнего поля или каким – либо другим обстоятельством. Опытном путѐм установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам. При этом наблюдается следующее правило: частицы, обладающим спином, равным целому числу постоянных Планка описываются симметричными функциями . Такие частицы в литературе называют частицами Бозе или бозонами, а совокупность таких частиц – ансамблем Бозе – Эйнштейна. Напротив, частицы, имеющие спин, равный полуцелому числу постоянных Планка описываются антисимметричными функциями . Такие частицы называются частицами Ферми, или фермионами, а совокупность таких частиц ансамблем Ферми – Дирака. К бозонам относятся мезоны, мезоны, фотоны и т. д., к фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, гипероны, мезоны, нейтрино и их античастицы. Все частицы, существующие в природе, является либо фермионами, либо бозонами. В связи с принципом неразличимости одинаковых частиц возникает необходимость уточнения правила суперпозиции состояний. Возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями функций, которые не меняют свойств симметрии по отношению к перестановкам пар частиц. Например, для систем, состоящих из электронов, в линейную комбинацию могут входить только антисимметричные волновые функции. § 25. Симметричные и антисимметричные волновые функции. Схема Юнга Таким образом, из всех решений уравнений Шредингера для систем, состоящих из фермионов, надо взять только решения, соответствующие антисимметричным волновым функциями, а для систем бозонов – симметричные функции. Покажем, как можно получить решения с указанными свойствами симметрии. Пусть система состоит из двух частиц, и функция ( ) является одним из решений уравнения Шредингера. Тогда в силу одинаковости частиц, функция ( ) образованная из ( ) путѐм перестановки частиц 1 и 2, также будет решением уравнения Шредингера. Из этих двух решений легко составить функции, обладающие требуемой симметрией. С точностью до множителя нормировки симметричная и антисимметричная функции будут соответственно иметь вид , ( , ( ) ) ( ( ))- ( ) Этот процесс симметризации и антисимметризации волновых функций обобщается и на случай систем, состоящих их одинаковых частиц. В такой системе возможны различных перестановок частиц. Функция, соответствующая каждой перестановке может ( ) путѐм последовательной быть получена из первоначальной функции ( ) обозначает функцию, которая получается перестановки пар частиц. Пусть ) в результате из ( последовательных перестановок пар частиц. Тогда с точностью до множителя нормировки симметричная и антисимметричная функции будут получаться по правилу ( ∑ ) ( ∑( ) ( ) ) где суммирование проводится по всем функциям, соответствующим различным возможным перестановкам частиц системы. Обычно при решение задачи многих частиц используется метод последовательных приближений, в котором в нулевом приближении частицы считаются независимыми, а в высших приближениях взаимодействие учитывается на основе теории возмущений. Итак, в нулевом приближении оператор Гамильтона системы частиц равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц ̂ ∑ ̂( ) ( ) В этом случае собственная функция оператора представится в виде произведения или линейной комбинации произведений собственных функций операторов ̂ ( ) отдельных частиц, а собственное значение ̂ будет равно сумме собственных значений операторов ̂ ( ). Пусть функция ( ) удовлетворяет уравнению [̂ ( ) ] () ( ) где совокупность квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние . Тогда собственные функции оператора ̂ , соответствующие собственному ∑ ( ) ( ) ( ). значению , будут линейными комбинациями функций Для системы бозонов волновая функция должны иметь ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) где – множитель нормировки. Для систем фермионов функция ( 2) представится в виде √ Вместо записи ( виде детерминанта ) ∑( ( ) ( ) ( ) в соответствии с ( ) 6) можно антисимметричную волновую функцию изобразить в √ | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) Из ( 7) следует так называемый принцип Паули. Согласно принципу Паули, система одинаковых фермионов не может находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями ( 7), содержащих хотя бы два одинаковых одночастичных состояния. В самом деле, если среди одночастичных состояний два одинаковые, то детерминант тождественно обращается в нуль. имеется хотя бы Принцип Паули в другой форме звучит так: в системе фермионов в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона. В нерелятивистком приближении (и в отсутствии внешнего магнитного поля) оператор Гамильтона системы одинаковых частиц ̂ ( ∑̂ ) ( ) не содержит оператор спина частиц. Поэтому волновая функция системы может быть записана в виде произведения функции , зависящей только от пространственных координат (координатная функция), на функцию , зависящую только от спиновых переменных (спиновая функция) ( ) ( ) ( ) ( ) или в виде линейной комбинации. Рассмотренные выше требования симметрии волновых функций по отношению к перестановкам частиц относились к полной функции, т. к. перестановке частиц соответствует перестановка как пространственных, так и спиновых переменных. Если функция представляется в виде ( 9), то требуемая симметрия функции ( 9) может быть обеспечена несколькими парами функций и , обладающих симметрией некоторых типов относительно перестановки соответствующих координат. Для выяснения таких возможностей удобно использовать схемы Юнга. Схема Юнга для координатной волновой функции от переменных определяется разбиением числа всеми возможными способами на сумму слагаемых . Такое разбиение наглядно изображается расположением клеток, строками в каждой из которых содержатся в порядке убывания числа Например, число можно представить пятью способами Следовательно, при имеется 5 схем Юнга ( 10) Для краткого обозначения схем Юнга иногда используются квадратные скобки, внутри которых указываются числа клеток в каждой строке схемы Юнга. Так, приведѐнные выше схемы Юнга для изображаются соответственно , - , - , - , - , - ( ) Волновые функции, относящиеся к определѐнной схеме Юнга, получаются путѐм симметризации по переменным, входящим в состав каждой строки, и антисимметризации по переменным, входящим в состав каждого столбца, начиная с первого. Схема Юнга , - соответствует полностью симметричной функции. Схема Юнга , - соответствует полностью антисимметричной функции. Остальные схемы Юнга изображают волновые функции смешанной симметрии. Так как переменные спиновой функции два значения ⁄ , то функции частиц со спином ⁄ пробегают только может быть антисимметризована не более, чем по двум переменным. Другими словами, функция могут соответствовать только схемам Юнга, содержащим не более двух строк. Например, для системы из четырѐх частиц спиновые волновые функции могут соответствовать только схемам Юнга ( Можно показать, что для систем, состоящих из частиц спина ⁄ 12) волновые функции, соответствующие каждой схеме Юнга, изображают состояния с определѐнным значением полного спина системы, значение которого в единицах будет в дальнейшем обозначаться буквой s. Например, спиновые функции, соответствующие схеме Юнга ( 12), изображают, соответственно состояния с полным спином 2,1 и 0. Схемы Юнга для спиновых волновых функций системы, состоящей их трѐх частиц спина ⁄ , изображают соответственно два возможных состояния со спинами ⁄ и ⁄ . Схемы Юнга системы двух частиц со спином ⁄ изображают состояния со спином 1 и 0. Схемы Юнга для спиновых функций характеризуют только полный спин системы. Поэтому каждая схема Юнга, соответствующая полному спину , изображает различных состояний, которые отличаются друг от друга проекциями полного спина. Если обозначить волновые функции возможных спиновых состояний частицы спина ⁄ соответственно через Юнга и , то спиновая функция, соответствующая схеме (суммарный спин равен 0), будем иметь вид ( К схеме Юнга ) √ * ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) (суммарный спин равен 1) относятся три спиновые функции ( ) √ * ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Каждому спиновому состоянию системы частиц, т. е. каждой схеме Юнга для спиновой волновой функции , можно найти такую схему Юнга для координатной функции , чтобы полная функция была антисимметрична относительно одновременной перестановки координатных и спиновых переменных любых двух частиц. Например, если в системе четырѐх частиц спиновая функция соответствует схеме Юнга , -, то эту функцию надо умножить на координатную функцию, соответствующего схеме Юнга , -. В общем случае можно показать, что полная волновая функция будет антисимметричной, если спиновая волновая функция, соответствующая некоторой возможной схеме Юнга, умножается на координатную функцию, соответствующую транспонированной схеме Юнга. Например, для системы четырѐх частиц возможны три антисимметричные функции (индексы у функции указывают значение полного спина состояния) Если система состоит из частиц полуцелого спина ⁄ , то спиновая функция будет содержать не больше, чем ( ) строк. В этом случае, вообще говоря, полный спин системы, состоящей более чем из двух частиц, не определяет однозначно схему Юнга спиновой функций. Волновые функции систем частиц, обладающих целым спином, должны быть симметричны, поэтому они изображают произведениями координатной и спиновой функций, относящихся к одной и той же схеме Юнга, или линейными комбинациями таких произведений.