Кручение. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при кручении

КРУЧЕНИЕ Если в поперечных сечениях бруса под действием внешних нагрузок из шести возможных внутренних силовых факторов возникает только крутящий момент, то такое напряженно-деформированное состояние бруса называют кручением. В брусе с прямой осью кручение создается только при действии на него моментов (пар сил), плоскости действия которых перпендикулярны оси бруса (Рисунок 1). Рисунок 1 В этом легко убедиться, рассматривая условия равновесия отсеченных частей бруса. Внешние моменты, вызывающие кручение, в отличие от крутящего момента называют скручивающими моментами. На рисунке 1 при изображении фронтальных проекций пар сил, соответствующих этим моментам, принято, что сила, показанная знаком , направлена на нас, а знаком - от нас (рисунок 2). Знаками • и + показано направление погонного скручивающего момента с интенсивностью т(х). (Подобные обозначения употребляются в электротехнике для указания направлений токов, перпендикулярных плоскости чертежа.) Рисунок 2 Для крутящих моментов принято следующее правило знаков: крутящий момент положителен, если со стороны внешней нормали к сечению видно, что он поворачивает отсеченную часть против часовой стрелки. Это правило проиллюстрировано на рисунок 3, как в изометрическом изображении, так и в проекции бруса на плоскость рисунка. Рисунок 3 Перейдем теперь к анализу напряженно-деформированного состояния бруса при кручении. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при кручении Рассмотрим сначала равновесие показанного на рисунке 4 элемента, выделенного из бруса сечениями х и x+dx. На него действует погонный момент, интенсивность которого в виду малости dx можно принять постоянной по длине элемента и равной т(х). Тогда равнодействующая этого распределенного момента равна т(х)dx. Отброшенные левая и правая отсеченные части бруса действуют на элемент крутящими моментами Мk(х) и Мk(х+dx)≈Мk(х)+dMk. Рисунок 4 Составляя условие равновесия элемента как равенство нулю суммы действующих на него моментов относительно оси бруса ж, получаем Отсюда сразу следует 5.1 Это и есть статическая дифференциальная зависимость при кручении. Она аналогична зависимости dN/dx=-q при растяжении-сжатии, а значки «→» и «•» подчеркивают положительные направления оси х и интенсивности m(x), принятые при ее выводе. Рассмотрим элемент, выделенный двумя сечениями, близкими к сечению, где приложен внешний момент М (рисунок 5). Рисунок 5 Из условий его равновесия получаем 5.2 Это соотношение показывает, что в окрестности сечения, где приложен сосредоточенный скручивающий момент М, крутящий момент Мk меняется скачком. Вид эпюры Мk вблизи таких сечений показан на рисунке 6. Рисунок 6 Рассмотрим теперь равновесие конечной части бруса, выделенной из него сечениями х1 и х2 (рисунок 7). Из условия ее равновесия ΣМх = 0 получаем 5.3 Второе слагаемое в правой части этого соотношения является равнодействующим моментом распределенного момента m(x), приложенного к рассматриваемой отсеченной части. А третье слагаемое составляет сумму сосредоточенных моментов на отсеченной части. Выражение (5.3) является общим решением дифференциального уравнения (5.1) с учетом скачков, определенных соотношениями вида (5.2). Рисунок 7 Геометрические дифференциальные и интегральные соотношения Рассмотрим деформацию прямого бруса при кручении. Для нее характерно, что сечения бруса поворачиваются относительно некоторой продольной оси, а сама эта ось остается прямолинейной. Обозначим угол поворота сечения с координатой х через φ(х). Будем считать, что он положителен, если на боковой проекции бруса верхняя часть сечения перемещается на нас. Тогда для бруса, левый конец которого закреплен, положительный угол поворота появляется при возникновении в брусе положительного крутящего момента (рисунок 8). Рисунок 8 По аналогии с относительным удлинением бруса ε введем относительный угол закручивания θ как угол закручивания на единицу длины бруса. Если брус постоянного сечения и длины l нагрузить скручивающими моментами, приложенными по концам бруса (рисунок 9), то его напряженно-деформированное состояние будет постоянно (однородно) по длине. Для такого бруса θ = φ/l, где φ — угол закручивания бруса, т.е. угол, на который его правый конец повернется относительно левого. Рисунок 9 Чтобы связать θ и φ при неоднородном по длине кручении бруса, рассмотрим деформацию его элемента между сечениями х и x+dx. Его левое сечение повернется на угол φ(x), а правое - на угол φ(x+dx)≈φ(х)+dφ (рисунок 10). Рисунок 9 Угол поворота правого сечения относительно левого сечения, как нетрудно понять, равен dφ. A это и есть угол закручивания элемента бруса. Чтобы получить относительный угол закручивания θ, нужно отнести dφ к длине элемента dx. Таким образом, 5.4 Получим теперь угол закручивания φ2-1 элемента расположенного между сечениями х1 и х2. Вычислим его как х2 относительно сечения х1: бруса конечной длины, угол поворота сечения 5.5 В этом выражении угол закручивания по существу получен как сумма (интеграл) углов закручивания dφ = θdx бесконечно малых элементов dx, составляющих конечный элемент. Соотношение (5.5) является одной из возможных форм записи общего решения дифференциального уравнения (5.4), учитывающей, что по своему физическому содержанию угол поворота φ является непрерывной функцией. Ведь разрыв функции φ(x) соответствует конечному углу поворота двух бесконечно близких сечений, а это физически означает разрушение бруса (если, конечно, такой поворот не предусмотрен конструкцией). Следует отметить, что статические и геометрические соотношения при растяжении-сжатии и при кручении совершенно аналогичны и могут быть получены друг из друга заменой N, q, и, ε на Мk, m, φ, θ. Кручение бруса круглого и кольцевого сечений Рассмотрим кручение бруса, являющегося сплошным круговым цилиндром и нагруженного скручивающими моментами по концам (рисунок 11). При таком нагружении деформация бруса будет однородна по длине. Кроме того, брус и действующие на него моменты обладают симметрией вращения относительно оси цилиндра х. Поэтому деформированное состояние бруса должно обладать такой же симметрией. Следовательно, при кручении ось бруса останется прямолинейной, а деформированное состояние будет однородно в окружном направлении, т.е. не будет зависеть от угловой координаты полярной системы координат с полюсом в центре круга поперечного сечения. Имеется также симметрия бруса и обратная симметрия скручивающего момента относительно продольных сечений бруса плоскостями, содержащими ось х. Всем этим требованиям симметрии деформированного состояния удовлетворяет следующее предположение о характере деформации бруса. Рисунок 11 Ось круглого бруса при кручении остается прямолинейной, а поперечные сечения, оставаясь плоскими и нормальными к оси, ведут себя как жесткие диски, т.е. их радиусы поворачиваются, но не деформируются и углы между радиусами не меняются. Такое предположение о характере деформации бруса определяет форму гипотезы плоских сечений при кручении. Оно подтверждается и простыми экспериментами. В них на боковую поверхность цилиндра наносят прямоугольную сетку из продольных полос и поперечных линий, являющихся следами на боковой поверхности поперечных сечений. При кручении цилиндра эта сетка искажается, но так, что поперечные линии остаются окружностями, лежащими в плоскости поперечного сечения (рисунок 12). Рисунок 12 Рассмотрим теперь деформацию круглого бруса детальнее. Для этого двумя близкими сечениями выделим из бруса элемент dх (рисунок 13). Рисунок 13 Его правое сечение повернется относительно левого на угол dφ. Выбранная произвольно образующая поверхности цилиндра ab займет после деформации положение ab'. Введем в плоскости сечения полярную координату р как расстояние от центра окружности сечения. Двумя продольными цилиндрическими сечениями радиусов р и р + dp выделим из элемента dx кольцо толщиной dp и рассмотрим его деформацию (рисунок 14). Произвольная образующая cd поверхности кольца при деформации повернется и займет положение cd'. Поэтому прямой до деформации угол ecd уменьшится на угол γ который по существу является углом сдвига. Причем в силу гипотезы плоских сечений этот сдвиг однороден (постоянен) в окружном направлении. В треугольнике cdd' дуга dd' = γdx, а в секторе Odd' та же дуга dd' = pdφ. Поэтому γdx = pdφ. Следовательно, 5.6 Рисунок 14 Сопоставляя теперь деформацию кольца с деформацией чистого сдвига, приходим к выводу, что такая деформация кольца должна сопровождаться появлением в плоскости поперечного сечения касательных напряжений τ, направленных касательно к окружности поперечного сечения кольца (рисунок 15). Рисунок 15 Эти касательные напряжения так же, как и деформации γ, однородны в окружном направлении. При линейно-упругих деформациях сдвиг γ соответствующее ему касательное напряжение τ, как это следует из экспериментов на чистый сдвиг, подчиняются закону Гука: 5.7 Тогда, учитывая зависимость (5.6), получаем, что 5.8 Так как модуль при сдвиге G и относительный угол закручивания θ постоянны для сечения, то из этой формулы следует, что τ в сечении меняется пропорционально расстоянию р от центра сечения, как это показано на рисунке 16. Рисунок 16 Формулой (5.8) неудобно пользоваться для определения касательных напряжений. При решении задач мы обычно сначала методом сечений определяем внутренний силовой фактор, а потом уже по нему находим соответствующие напряжения. Поэтому необходимо иметь формулу, связывающую τ с крутящим моментом Mk. Для этого введем в сечение бруса полярные координаты р, α (рисунок 17). Рисунок 17 Иногда для подсчета Мk удобно использовать полярные координаты р и α. В этом случае составляющие касательных напряжений в соответствии с правилом их индексации будут τxα и τxp. Подсчитывая Мk как интеграл по сечению от моментов элементарных касательных усилий, получаем 5.9 Воспользуемся этим выражением, чтобы связать τ = τха и Мk. Подставим (5.8) в (5.9). Учитывая, что G и θ не зависят от положения dF', получим 5.10 Входящий в это соотношение интеграл зависит только от геометрии сечения. Он называется полярным моментом инерции и обозначается как 5.11 и θ: С учетом этого обозначения из формулы (5.10) получаем соотношение, связывающее Мk 5.12 А теперь из (5.8) сразу следует, что 5.13 По этой формуле в круглом брусе при кручении можно найти касательные напряжения по известному крутящему моменту. А формула (5.12) связывает Мk с относительным углом закручивания. Вместе со статическими и геометрическими дифференциальными зависимости (5.1)—(5.3), (5.4), (5.5) формулы (5.12) и (5.13) позволяют получить полную информацию о напряженно-деформированном состоянии круглого бруса при кручении. Заметим, что для расчета на прочность нам нужно знать максимальную величину касательных напряжений в сечении, которую мы обозначим через τmах. Из формулы (5.13) сразу следует, что в круглом брусе Эту зависимость принято записывать в виде Величину Wk называют моментом сопротивления кручению. Для бруса круглого сплошного поперечного сечения 5.14 Полярный момент инерции Jp для круга вычислим как интеграл: 5.15 В полярных координатах dF можно подсчитать как площадь криволинейного прямоугольника, заштрихованного на рисунке 17. Пренебрегая малыми высшего порядка, получаем, что dF = dp·pdα. Поэтому двойной интеграл (5.15) можно записать в виде Подынтегральное выражение и пределы в этом двойном интеграле таковы, что можно разделить переменные и подсчитать его как произведение двух одинарных интегралов: В практических расчетах с достаточной степенью точности можно принять JP≈0,1D4. Тогда из (5.14) получаем, что D3 Wk = 16 0,2 D 3 . 5.16 Рассмотрим теперь кручение бруса в виде круглой цилиндрической трубы. Поперечное сечение такого бруса представляет собой кольцо, наружный диаметр которого обозначим через D, а внутренний — через d (рисунок 18). Рисунок 18 Брус кольцевого сечения обладает точно такими же свойствами симметрии, что и брус сплошного круглого сечения, показанный на рисунке 11. Поэтому и для него естественно принять гипотезы плоских сечений о характере его деформации. На основе этих гипотез, анализируя деформацию выделенного из бруса элементарного кольца, показанного на рисунке 13, приходим к выражению (5.6) и далее для линейно-упругих деформаций к формуле (5.8). Далее, с помощью интеграла (5.9) приходим к формулам: 5.17 В этих формулах, как и для сплошного круглого бруса, 5.18 Только в этом выражении F — площадь кольцевого поперечного сечения. В полярных координатах этот интеграл имеет вид 5.19 Для подсчета τmах из (5.17) с учетом полученного значения для Jp получаем 5.20 Распределение касательных напряжений по сечению, определяемое формулой (5.17), для кольцевого сечения показано на рисунке 19. Рисунок 19 Следует отметить, что появление касательных напряжений τха в поперечных сечениях бруса в соответствии со свойством парности обязательно сопровождается появлением равных им касательных напряжениях τах в продольных сечениях бруса (рисунок 20). Эти напряжения являются причиной появления продольных трещин при кручении бревен, так как дерево легко раскалывается вдоль волокон (рисунок 21). Рисунок 20 Рисунок 21 Образцы из хрупких материалов разрушаются, как правило, с образованием винтовых поверхностей. Такой характер разрушения легко объяснить, рассматривая элементы, выделенные из поверхностного слоя образца. Если элемент выделить продольным и поперечными сечениями, как это показано на рисунке 22а, то видно, что он находится в состоянии чистого сдвига. Если же выделить его винтовыми сечениями под углом 45° к оси (рисунок 22 б), то, чистый сдвиг для такого элемента будет реализован в виде двухосного растяжения-сжатия с равными по величине напряжениями. Рисунок 22 Тогда разрушение происходит по плоскостям, где растягивающие напряжения достигнут предельных для данного материала значений, что и происходит в образцах из хрупкого материала, который обычно хуже всего воспринимает растягивающие напряжения. Пример построения эпюр: Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М = ml и 2М=2 ml , и распределенными по длине m, рисунок 23. Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии. а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов Рисунок 22. Построение эпюры внутренних крутящих моментов: В исходных сечениях задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М1, М2, М3. Для первого участка (рисунок 22б): ΣMx=M1+M=0; M1=-M=-ml=const Для второго участка (рисунок 22в): Для третьего участка (рисунок 22г): Границы измерения параметра х3 в следующей системе координат: Тогда: Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рисунок 22 д).