Кручение. Эпюры крутящих моментов. Напряжения и перемещения при кручении. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Кручение. Эпюры крутящих моментов. Напряжения и перемещения при кручении. Расчеты на прочность и жесткость при кручении. Кручение – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый Мzили Мк. Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать М. На рис.5.1,а изображен брус, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. Это условное изображение моментов применено взамен показанного на рис.5.1,б, где дано нагружение этого же бруса парами сил. Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т.е. брус находится в равновесии. На рис.5.2 изображен тот же брус в ортогональной проекции. Применяя метод сечений и рассматривая равновесие оставленной части (рис.5.2,в,г) приходим к выводу, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент (крутящий момент), уравновешивающий внешние моменты, приложенные к оставленной части. Итак, крутящий момент, возникающий в произвольном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к оставленной части. При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Для расчета на прочность, так же как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящий момент максимален. График, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине бруса, называется эпюрой крутящих моментов. Построение этих эпюр аналогично построению эпюр продольных сил (рис.5.2, д). Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное сечение, он представляется направленным по часовой стрелке. Методами сопротивления материалов задачи при кручении может быть решена только для бруса круглого сечения (например, при расчете валов). Если пренебречь влиянием изгиба расчетная схема вала будет иметь вид, представленный на рис.5.5. При равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему вращающих моментов равна нулю. Из теоретической механики вращающие моменты действующие на каждый из шкивов: , где М – момент, Нм; Р – мощность, Вт; ω – угловая скорость, рад/с. Вращающий момент может быть выражен также и через силы натяжения ветвей ремня F, например, для шкива I (рис. 5.4): , где D1- диаметр шкива,мм. Напряжения и перемещения при кручении бруса круглого сечения Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях: • поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации (гипотеза Бернули); • поперечное сечение остается круглым, радиусы не меняют своей длины и не искривляются; • материал бруса при деформации следует закону Гука. Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом М (рис.5.7). При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. В сечении Iна расстоянии zугол поворота равен φ, для сечения IIφ+dφ.dφ- угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной dz. Применяя метод сечений, легко убедиться, что крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса одинаков:Мz=M. Выразим его через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, которые направлены перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку (рис.5.8). Каждая точка поперечного сечения перемещается по дуге окружности, концентричной контуру сечения. Элементарная касательная сила, приходящая на площадку dAсоздает элементарный момент: . Суммируя эти моменты получим выражение для крутящего момента . (1) Выделим элемент бруса между сечения Iи II (см.рис.5.7) и защимим его в сечении I (рис.5.9), что допустимо так как мы рассматриваем его деформацию, а не его перемещение в пространстве как твердого тела. Точка В, взятая на контуре сечения II, в результате его поворота на угол dφперейдет в положение В1. Деформация сдвига элемента бруса характеризуется углом сдвига γmax. Из прямоугольного треугольника АВВ1, учитывая, что ВВ1=rdφи в силу малости деформаций получаем Выделяя мысленно из рассмотренной части бруса цилиндр произвольного радиуса получим аналогично . Применяя закон Гука для сдвига, получим выражение для касательных напряжений (2) Подставляя полученное выражение в уравнение (1) получаем (3) При интегрировании по площади поперечного сечения величины ипостоянны и поэтому могут быть вынесены за знак интеграла Интеграл, входящий в последнее выражение представляет собой величину геометрического характера, называемую полярным моментом инерции поперечного сечения и обозначаемую Полярный момент инерции представляет собой взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до начала координат (центра тяжести сечения). Размерность- полярного момента инерции[м4]. Площадь поперечного сечения бруса является геометрической характеристикой его прочности и жесткости лишь при равномерном распределении по поперечному сечению. При неравномерном распределении напряжений, имеющем место при работе бруса на кручение, его прочность и жесткость зависят от полярного момента инерции. Из выражений (2) и (3) получим формулу для расчета касательных напряжений в любой точке поперечного сечения: Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис.5.10 Наибольшие касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения Введя обозначение , получим следующее выражение для определения максимального касательного напряжения: Величину , равную отношению полярного момента инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом сопротивления сечения. Его размерность [м3]. Полярный момент сопротивления сечения является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении. В частном случае, если диаметр бруса постоянен и крутящий момент имеет во всех сечениях одинаковое значение, угол закручиванияизмеряется в радианах и равен: – жесткость сечения круглого бруса при кручении, Пам3 l – длина участка, м – крутящий момент, нм – угол закручивания, рад Полярный момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса. Полярный момент инерциидля кольцевого сечения: = , для круглого сечения:= . Полярный момент сопротивления сечениядля кольцевого сечения: = для круглого сечения:= . Расчеты на прочность и жесткость при кручении Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых Незначительное (не более 5%) превышение расчетного над допускаемым не опасно. Условие прочности – формула для проверочного расчета При проектном расчете находят , при определении допускаемой нагрузки находят - []. Расчет ведется для опасного поперечного сечения, для бруса постоянного диаметра опасным является сечение, в котором возникает наибольший крутящий момент. Допускаемое напряжение для пластичных материалов назначают в зависимости от их предела текучести при кручении (при сдвиге): . Для хрупких материалов – в зависимости от предела прочности . Зависимость между касательным напряжением и углом сдвига для пластичных материалов представлена на рис.5.12. Площадка текучести на этой диаграмме отсутствует, в качестве предела текучести принимают принимают напряжение при котором остаточный угол сдвига равен 0,003 рад. Учитывая, что по экспериментальным данным, предел текучести при кручении связан с пределом текучести при растяжении зависимостью , принимают для стали для чугуна. Указанные значения допускаемых напряжений принимают только для случая чистого кручения, без учета изгиба, что приводит к уменьшению фактического коэффициента запаса прочности. Для компенсации этой ошибки допускаемое напряжение при кручении принимают пониженным, для конструкционной углеродистой стали обычно 20..35 МПа. Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении (для резьб при деформации может измениться их шаг). За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания на единицу длины вала . Допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала, наиболее распространенное значение: Условие жесткости при кручении имеет вид: В результате проверочного расчета определяется требуемое значение и по формуле = находится диаметр вала. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость в качестве окончательного выбирается наибольшее значение. При равных площадях поперечного сечения кольцевое сечение вала обладает большим полярными моментами инерции и сопротивления чем сплошное, т.е. такой вал более жесткий и прочный.