Криволинейные и поверхностные интегралы

2. Криволинейные и поверхностные интегралы 2. 1 Криволинейный интеграл 1-го рода. Рассмотрим в пространстве некоторую спрямляемую кривую , не имеющую точек самопересечения. Пусть кривая не замкнута и ограничена точками и . Предположим, что функция определена и непрерывна вдоль кривой . Точками , , , …, разобьем кривую на частей. Тогда вся кривая разбивается на частичных дуг , , , …, . Через обозначим длину -й частичной дуги . Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку . Вычислим значение функции в точке . Составим интегральную сумму . (1) Определение 1. Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается символом (2) или . Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода заключается в том, что криволинейный интеграл (2) равен массе кривой , линейная плотность вдоль которой равна . Свойства криволинейного интеграла 1-го рода: 1) Длина кривой равна . 2) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации кривой: . 3) Если , где , пересекаются в одной точке, то . 4) Если функции и определены и непрерывны вдоль кривой , то . 2. 2 Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. 1) Пусть кривая задана уравнением (). Тогда . (3) 2) Пусть кривая задана параметрически , (). Тогда . (4) 3) Пусть кривая задана в полярных координатах (). Тогда . (5) 4) Пусть кривая задана параметрически , , (). Тогда . (6) ►Пример 1. а) Вычислить , где − отрезок прямой, соединяющий точки и . Отрезок является частью прямой , . Тогда по формуле (3) криволинейный интеграл 1-го рода равен . б) Вычислить , где − дуга кривой . Используя формулу (6), получаем в) Вычислить , где − окружность . Используя формулу (5), получаем ◄ 2. 3 Криволинейный интеграл 2-го рода. Рассмотрим в пространстве некоторую спрямляемую кривую , не имеющую точек самопересечения. Пусть кривая не замкнута и ограничена точками и . Предположим, что функции , и определены и непрерывны вдоль кривой . Точками , , , …, разобьем кривую на частей. Тогда вся кривая разбивается на частичных дуг , , , …, . Через обозначим длину -й частичной дуги . Пусть , и для -й частичной дуги . Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку . Вычислим значение функции в точке . Составим три интегральные суммы , (7) , (8) . (9) Определение 2. Если существует предел интегральной суммы (,) при стремлении к нулю максимальной из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции (,) по кривой и обозначается символом (10) . Также рассматривают сумму таких интегралов , (11) которую часто называют общим интегралом 2-го рода и используют обозначение . (12) Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода заключается в том, что криволинейный интеграл (2) равен работе силы по перемещению материальной точки вдоль кривой . Свойства криволинейного интеграла 2-го рода: 1) Криволинейный интеграл 2-го рода зависит от ориентации кривой: 2) Если , где , пересекаются в одной точке, то . 3) Линейность. 4) Формула Грина. Пусть в плоскости дана ограниченная замкнутым контуром область . Пусть в области заданы непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , (13) направление обхода контура совершается против часовой стрелки. 5) Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Пусть во всех точках некоторой области функции и , а также их частные производные непрерывны. Тогда следующие условия эквивалентны: а) ; б) , ; в) не зависит от пути интегрирования. 2. 4 Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. 1) Пусть кривая задана уравнением (). Тогда . (14) 2) Пусть кривая задана параметрически , (). Тогда . (15) 3) Пусть кривая задана параметрически , , (). Тогда (16) ►Пример 2. а) Вычислить , где − отрезок прямой, соединяющий точки и . Отрезок является частью прямой , . Тогда по формуле (14) криволинейный интеграл 2-го рода равен б) Вычислить , где − верхняя половина эллипса , , пробегаемая по часовой стрелке. Используя формулу (15), получаем ◄ 2. 5 Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь области , ограниченной замкнутым контуром , равна , (17) где направление обхода контура выбрано положительным. 2) Пусть пространственная кривая с линейной плотностью , тогда а) масса кривой равна ; (18) б) координаты центра тяжести кривой вычисляются по формулам , , ; (18) в) моменты инерции , , и соответственно относительно осей , , и начала координат равны , , , . (19) 3) Пусть есть переменная сила, совершающая работу вдоль пути , и функции непрерывны на кривой , тогда . (20) 2. 6 Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть функция есть функция, непрерывная на некоторой гладкой поверхности . Разобьем эту поверхность на частичные ячейки , , …, . В каждой такой ячейке () выберем произвольную точку и умножим значение этой функции в этой точке на площадь ячейки . Сумма таких произведений по всем ячейкам (21) называется интегральной суммой. Обозначим через максимальный диметр ячеек . Определение 3. Поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности называется предел интегральных сумм (21) при , если такой предел существует. Поверхностный интеграл 1-го рода обозначается символом . (22) Поверхностный интеграл 1-го рода обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла 1-го рода. Если означает поверхностную плотность массы материальной поверхности , то интеграл (22) определяет массу поверхности; и по формулам, аналогичным формулам п. 1.6, вычисляются координаты центра тяжести и моменты инерции поверхности. Предположим, что поверхность однозначно проектируется на какую-нибудь координатную плоскость, например на плоскость , и область является проекцией этой поверхности. Тогда элемент поверхности определяется формулой , (23) где − угол нормали к поверхности с осью в ее текущей точке . Если поверхность задана уравнением , то , (24) и интеграл (22) вычисляется по формуле . (25) Замечание. В более сложных случаях, когда поверхность кусочно-гладкая или неоднозначно проектируется на координатные плоскости, ее разбивают на гладкие части, однозначно проектирующиеся на одну из координатных плоскостей, а интеграл (22) разобьется на сумму интегралов по этим частям. ►Пример 3. Вычислить площадь поверхности, являющейся объединением части конуса и части верхней полусферы , пересечением которых является окружность . Площадь поверхности равна , где − часть конуса и − часть полусферы, однозначно проектируемые на плоскость . Вычислим первый интеграл . Поверхность проектируется в область . Тогда по формуле (25) Вычислим второй интеграл . Поверхность также проектируется в область . Тогда Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам. Тогда Вычислим внутренний интеграл . Отсюда Следовательно, искомая площадь равна ◄ 2. 7 Поверхностный интеграл 2-го рода. Пусть в прямоугольной системе координат задана некоторая область . Пусть в области задана поверхность , ограниченная некоторой пространственной кривой . Относительно поверхности будем предполагать, что в каждой ее точке определяется положительное направление нормали единичным вектором , направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определен вектор , где − непрерывные функции координат. Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки . На каждой площадке возьмем произвольную точку и рассмотрим интегральную сумму , (26) где − значение векторной функции в точке площадки , − единичный вектор нормали в этой точке, − скалярное произведение этих векторов. Определение 4. Поверхностным интегралом 2-го рода от функции по поверхности называется предел интегральных сумм (26) при , если такой предел существует. Поверхностный интеграл 2-го рода обозначается символом . (27) Если есть скорость жидкости, протекающей через поверхность , то каждое произведение под знаком суммы в (26) равно количеству жидкости, протекающей через площадку за единицу времени в направлении вектора . Поверхностный интеграл (27) равен общему количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении. Таким образом, поверхностный интеграл второго рода (27) называется потоком векторного поля через поверхность . Выразим единичный вектор через направляющие косинусы , где − углы между вектором нормали и осями координат , , соответственно. Подставляя в формулу (27) координаты векторов и , получим: . (27.1) Произведения , и есть проекции площадки на координатные плоскости , и . Таким образом, , , и интеграл (27.1) можно переписать в виде . (27.2) Укажем способ вычисления интеграла . Пусть поверхность такова, что всякая прямая, параллельная оси , пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверхности можно написать в виде . Обозначим через проекцию поверхности на плоскость , получим . (28) Знак плюс перед двойным интегралом берется, если , и знак минус, если . Замечание. В более сложных случаях, когда поверхность кусочно-гладкая или неоднозначно проектируется на координатные плоскости, ее разбивают на гладкие части, однозначно проектирующиеся на одну из координатных плоскостей, а интеграл (27) разобьется на сумму интегралов по этим частям. Аналогично вычисляются интегралы , . ►Пример 4. а) Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода , где − внешняя сторона части сферы , лежащей в первом октанте. Вычислим интеграл, используя формулу (28). Представим интеграл в виде суммы двух интегралов . Вычислим первый интеграл . Из уравнения сферы следует, что , , где область . Тогда . Перейдем к полярным координатам , , при этом , . Тогда . Вычислим второй интеграл . Из уравнения сферы следует, что , , где область . Тогда . Перейдем к полярным координатам , , при этом , . Тогда . Отсюда искомый интеграл равен . б) Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода , где − внешняя сторона части сферы . Вычислим интеграл, используя формулу (28). Представим интеграл в виде суммы двух интегралов . Вычислим первый интеграл . Поверхность представим в виде объединения двух полусфер: , и , , где область , причем угол между вектором нормали к поверхности и осью является острым, а угол между вектором нормали к поверхности и осью − тупой. Тогда Вычислим второй интеграл . Поверхность представим в виде объединения двух полусфер: , и , , где область , причем угол между вектором нормали к поверхности и осью является острым, а угол между вектором нормали к поверхности и осью − тупой. Тогда . Отсюда искомый интеграл равен .◄