Критерии принятия решений в условиях неопределенности.

Лекция 9. Критерии принятия решений в условиях неопределенности. Рассмотрим различные критерии для принятия решений. Критерий, основанный на известных вероятностях условий. Наиболее просто решается задача о выборе решения в условиях неопределенности, когда известны вероятности состояний природы: Q j  P(п j ), j  1...n, Q j  1. j В этом случае в качестве показателя эффективности (стремление к максимуму) естественно взять математическое ожидание выигрыша: n ai   Q j aij j 1 (6.17) В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать А*=Аi, для которой величина ai обращается в максимум. Принятое решение оказывается оптимальным не для каждого случая, а в среднем. Пример 2. Планируется операция в заранее неизвестных метеорологических условиях; варианты этих условий: П1, П2, П3, П4. Согласно материалам метеосводок за много лет частоты (вероятности) этих вариантов равны соответственно: Q1=0.1, Q2=0.2, Q3=0.5, Q4=0.2. Возможные варианты организации операции в различных метеоусловиях приносят различную выгоду. Значение “дохода” для каждого решения в разных условиях приведены в таблице: aij П1 П2 П3 П4 aiср 4 5 9 5.2 A1 1 8 4 3 4.5 A2 3 6 6 2 5.0 A3 4 Qj 0.1 0.2 0.5 0.2 В последней строке даны вероятности условий. Средние выигрыши aiср приведены в последнем столбце. Из него видно, что оптимальной стратегией игрока является его стратегия A* = A1, дающая средний выигрыш aiср=5.2. В такой постановке при выборе решения задачи можно пользоваться не средним выигрышем, а средним риском n ri   Q j rij  min. j 1 (6.18) Стратегия, максимизирующая средний выигрыш ai , совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск (можно это показать, найдя величину ai  ri ). В случае когда известны вероятности состояний природы Q1, Q2, …, Qn, при решении игры с природой всегда можно обойтись только чистыми стратегиями. Действительно, если мы будем применять какую-то смешанную стратегию SA=(p1, p2, …, pm), то наш средний выигрыш будет a  p1a1  p2 a2 ... pm am . Так как любое среднее не может превосходить максимум из осредняемых величин: a  max ai , i то применять смешанную стратегию SA не может быть выгоднее, чем А*. Вероятности условий (состояний природы) Q1, Q2, …, Qn могут быть определены из статистических данных, связанных с многократным выполнением подобных операций или просто с проведением наблюдений над состояниями природы. Например, если железной дороге за данный промежуток времени предстоит выполнить не вполне известный объем перевозок, то данные о распределении условий могут быть взяты из опыта прошлых лет. Если, как в предыдущем примере, успех операции зависит от метеоусловий, данные о них могут быть взяты из статистики метеосводок. Однако часто встречаются случаи, когда, приступая к выполнению операции, мы не имеем представления о вероятностях состояний природы; все наши сведения сводятся к перечню вариантов состояний, а оценить их вероятности мы не можем. Так, например, вряд ли нам удастся разумно оценить вероятность того, что в течение ближайших k лет будет предложено и реализовано крупное техническое изобретение. В подобных случаях вероятности условий (состояний природы) могут быть оценены субъективно: некоторые из них представляются нам более, а другие – менее правдоподобными. Для того, чтобы наши субъективные представления о большей или меньшей “правдоподобности” той или иной гипотезы превратить в численные оценки, могут применяться различные приемы. Например, если мы не можем отдать предпочтение ни одной гипотезе, ни одному из состояний, то естественно положить их вероятности равными друг другу: Q1=Q2=…=Qn=1/n. Это — так называемый “принцип недостаточного основания” Лапласа. Другой часто встречающийся случай – когда мы имеем представление о том, какие условия более вероятны, какие менее, т.е. можем расположить гипотезы в порядке убывания их правдоподобности: самая правдоподобная первая гипотеза (П1), затем вторая (П2) и т.д.; менее всего правдоподобна n-ая гипотеза (Пn). Вероятности состояний в этом случае назначаются в зависимости от степени правдоподобия гипотез (состояний природы). Например, можно положить вероятности гипотез пропорциональными членам убывающей геометрической прогрессии: Q1:Q2:…:Qn=n:(n-1):…:1, или, учитывая, что Q1+Q2+…+Qn=1, Qi  2( n  i  1 ) i  1, n. n( n  1 ) Иногда удается, исходя из опыта и здравого смысла, оценить и более тонкие различия между степенями правдоподобия гипотез. Кроме таких подходов существуют и другие критерии выбора оптимального решения в условиях неопределенности. Рассмотрим некоторые из них. Максиминный критерий Вальда. Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока А, при которой минимальный выигрыш максимален, т. е. стратегия гарантирующая при любых условиях выигрыш не меньше,чем максимин: (6.19)   max min aij . j i Если руководствоваться этим критерием, нода всегда ориентироваться на худшие условия и выбирать ту стратегию, для которой в худших условиях выигрыш максимален. Пользуясь таким критерием в играх с природой, мы как бы ставим взамен нее активного и злонамеренного противника. Критерий крайнего пессимизма. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Этот критерий рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален): S  min max rij . (6.20) i j Сущность этого критерия в том, чтобы любыми путями избежать большого риска пи принятии решения. Как и критерий Вальда это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь понимается не как минимальный выигрыш, а как максимальная потеря выигрыша по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях (максимальный риск). Критерий максимакс. Критерий максимакс имеет следующий вид: M  max max aij i j (6.21) То есть в матрице игры с природой определяется наибольший элемент, оценивается наиболее благоприятная для нас ситуация. Это критерий крайнего оптимизма. Он может быть полезен для оценки того, насколько рассматриваемая ситуация принятия решения благоприятна для нас в целом, стоит ли вообще предпринимать какие-либо действия или отказаться от данного мероприятия. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Критерий Гурвица имеет вид:   H  max  min aij  (1   ) max aij , i j j (6.22) где  — коэффициент от 0 до 1. При   1 критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда; при   0 — в критерий ‘‘крайнего оптимизма’’ (в наилучших условиях максимальный выигрыш). При 0    1 получается нечто среднее между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом.  — ‘‘мера пессимизма’’ исследователя (чем опаснее ситуация, тем ближе  к 1). Пример 3. Рассматривается игра с природой 43 с четырьмя стратегиями игрока А1, А2, А3, А4 и тремя вариантами условий (состояний природы) П1, П2, П3. Матрица выигрышей задана таблицей aij A1 A2 A*3 A4 П1 0.2 0.75 0.25 0.85 П2 0.3 0.2 0.8 0.05 П3 0.15 0.35 0.25 0.45 Найти оптимальное решение (стратегию), пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа и критерием Гурвица при =0.6. Решение: 1. Критерий Вальда. В каждой строке матрицы берем наименьший выигрыш: aij П1 П2 П3 i A1 0.2 0.3 0.15 0.15 A2 0.75 0.2 0.35 0.2 A3 0.25 0.8 0.25 0.25* A4 0.85 0.05 0.45 0.05 Из величин i максимальная равна 0.25, следовательно, по критерию Вальда оптимальной является стратегия A3. 2. Критерий Сэвиджа. Строим матрицу рисков и помещаем в правом добавочном столбце максимальный риск в каждой строке i: rij П1 П2 П3 i A1 0.65 0.5 0.3 0.65 A*2 0.1 0.6 0.1 0.6* A*3 0.6 0 0.2 0.6* A4 0 0.75 0 0.75 Минимальным из значений i является 0.6, следовательно, по критерию Сэвиджа оптимальной является любая из стратегий A2, A3. 3. Критерий максимакс. В столбце справа выписываем максимальные значения в каждой строке. Максимум из них достигается в четвертой строке – 0,85. То есть по критерию максимакса наилучшей является стратегия A4. 4. Критерий Гурвица (=0.6). Записываем в правых трех столбцах матрицы “пессимистическую” оценку выигрыша i, “оптимистическую” i и их среднее взвешенное по формуле (6.22): hi=0.6i + 0.4i. aij A1 A2 A3 A4 П1 0.2 0.75 0.25 0.85 П2 0.3 0.2 0.8 0.05 П3 hi i i 0.15 0.15 0.3 0.21 0.35 0.2 0.75 0.42 0.25 0.25 0.8 0.47* 0.45 0.05 0.85 0.37 M 0,3 0,75 0,8 0,85* Максимальное значение hi соответствует стратегии A3. Следовательно по критерию Гурвица с легким перевесом в сторону пессимизма ( =0.6) оптимальной стратегией является A3, которую мы имеем все основания выбрать. Анализ матрицы игры с природой под углом зрения разных критериев часто дает лучшее представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения, чем непосредственное рассмотрение матрицы, особенно, когда ее размеры велики. Аналогичным образом каждый из критериев может быть сформулирован для смешанных стратегий. Решение будет найдено как решение задачи линейного программирования. Основное содержание теории статистических решений — это планирование получения и использования дополнительной информации о состояниях природы, которую можно добыть путем эксперимента. Исследования показывают, что в типичных случаях, когда речь идет о получении сколько-нибудь значительного количества дополнительной информации, критерии, не пользующиеся вероятностями состояний (Вальда и другие), становятся практически равносильными критерию, основанному на вероятностях состояний. А для последних, мы знаем, использование смешанных стратегий не имеет смысла. Т. е., если мы можем получить сколько-нибудь дополнительной информации, применение смешанных стратегий теряет смысл (каким бы из критериев выбора решения мы не пользовались).