Кристаллография и минералогия

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина В. В. Сергеева КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ Учебно-методическое пособие под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Ф. Л. Капустина Рекомендовано учебно-методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 12.03.02; 18.03.01; 22.03.01; 22.03.02; 29.03.04; 18.05.02 специальностей. Екатеринбург УрФУ 2016 г. 1. Симметрия в кристаллах Кристаллическое состояние ‒ наиболее распространенное состояние вещества на Земле и в Космосе. Кристаллическим называется такое состояние вещества, в строении которого наблюдается закономерное расположение частиц ‒ молекул, атомов, ионов, образующих ряды, плоские сетки, пространственную решетку. В веществе, находящемся в аморфном состоянии, закономерного расположения частиц в полной мере не обнаруживается. Другими словами, в строении вещества, находящегося в кристаллическом состоянии, обнаруживается ближний и дальний порядок. Вещество в аморфном состоянии имеет в строении только ближний порядок и не имеет дальнего порядка. Кристаллическое строение имеют горные породы, минералы, техничес-кие камни (цемент, огнеупоры, металлы). В аморфном состоянии находятся стекла: природные (обсидиан) и технические ‒ смолы, гудрон, парафин, воск, стекло. Кристалл ‒ это физическое тело, частицы которого образуют крис-таллическую решетку, имеют определенную геометрическую форму. В идеальном кристалле вершина соответствует узлу (атому, молекуле, иону), ребро ‒ ряду узлов, грань ‒ плоской сетке. В реальных кристаллах при большом увеличении можно увидеть, что вершина состоит из многих узлов (частиц), ребро ‒ из многих рядов, грань ‒ из многих плоских сеток, расположенных параллельно. 2. Элементы симметрии Закономерное расположение частиц обуславливает внутреннюю и внешнюю симметрию. Греческое слово «симметрия» в переводе на русский язык означает «соразмерность». Симметричная фигура должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. Вспомогательные геометрические образы ‒ точки, прямые, плоскости, позволяющие установить симметрию кристалла, называются элементами симметрии. Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называется воображаемая плоскость, которая делит модель на две равные и зеркально симметричные части. Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, совмещается с другой, т. е. является ее зеркальным изображением. Для конечных многогранников плоскость симметрии обозначается латинской буквой P ‒ начальной от слова «plane». Коэффициент, стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. В различных кристаллах можно провести разное количество плоскостей симметрии. Например, в кубе имеется девять плоскостей симметрии, в гексагональной призме – семь плоскостей симметрии. Центром инверсии (симметрии) кристаллического многогранника называется мнимая точка, лежащая внутри кристалла, в диаметрально противоположных направлениях, от которой располагаются одинаковые расстояния. Для конечных многогранников центр инверсии обозначается буквой C латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой. В кристалле не может быть более одного центра симметрии, и любая линия, проходящая через центр симметрии, делится пополам. Осью симметрии называется прямая линия, при вращении вокруг которой кристалл (или кристаллический многогранник) совмещается столько раз, каков порядок оси. Наименьший угол поворота, при котором достигается совмещение, называется элементарным углом α. Количество совмещений при повороте на 360º называется порядком оси и обозначается значком «n». Порядок оси и элементарный угол связаны соотношением n = 360о/ α. Ось симметрии обозначается буквой Ln, где нижний индекс обозначает порядок оси: ‒ L1 ‒ ось первого порядка с элементарным углом 360º. Таким элементом симметрии обладают самые бесформенные тела, которые совмещаются при полном повороте на 360º. Это своеобразный ноль в кристаллографии, т. е. отсутствие симметрии; ‒ L2 ‒ ось второго порядка ‒ совмещение достигается при повороте на 180º; ‒ L3 ‒ ось третьего порядка ‒ совмещение достигается при повороте на 120º; ‒ L4 ‒ ось четвертого порядка ‒ совмещение достигается при повороте на 90º; ‒ L6 ‒ ось шестого порядка ‒ совмещение достигается при повороте через 60º. Осей пятого порядка и выше шестого в кристаллах не существует. Инверсионной осью симметрии называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и при последующем отражении в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения. Инверсионные оси симметрии обозначаются также буквой L с нижним индексом in. Существуют инверсионные оси следующих порядков: первого Li1, второго Li2, третьего Li3, четвертого Li4, шестого Li6. На практике приходится иметь дело лишь с инверсионными осями четвертого и шестого порядков. 3. Виды симметрии, сингонии, категории В кристаллических многогранниках присутствуют неповторяющиеся направления, которые называются единичными. Повторяющиеся в кристалле направления, связанные элементами симметрии, называются симметрично-равными. Присутствие единичных и симметрично-равных направлений определяется совокупностью элементов симметрии. В кристаллах элементы симметрии находятся во взаимосвязи. Благодаря зависимости одних элементов симметрии от других, взаимные сочетания их ограничены. Установлено, что возможны только 32 комбинации различных элементов симметрии, или 32 кристаллографических класса, или вида симметрии (табл. 1). Виды симметрии, в которых имеются только главные оси, названы примитивными. Если в видах симметрии присутствует и центр симметрии, они называются центральными. При наличии плоскости говорят о планальном виде симметрии (греч. «планум» ‒ плоскость), если имеются только оси – аксиальный вид симметрии (греч. «аксон» ‒ ось). Максимальное количество возможных осей и плоскостей дает наименование планаксиального вида симметрии. В случае присутствия инверсионных осей говорят об инверсионно-примитивном или инверсионно-планаль-ном видах симметрии. При определении кристаллов или их моделей следует иметь в виду, что найденная комбинация элементов симметрии должна соответствовать определенному виду симметрии из приводимых 32 классов (табл. 1). Данные 32 вида симметрии были выведены русским акад. А. В. Гадолиным в 1867 году. Точечные группы, обладающие сходными элементами симметрии, составляют сингонии, которые по числу единичных направлений объединены в категории. Кристаллографические классы или виды симметрии объединяются в более крупные группировки, называемые системами или сингониями. Таких сингоний семь: кубическая ‒ высшая категория, гексагональная, тетрагональная, тригональная – средняя категория, ромбическая, моноклинная, триклинная – низшая категория. В каждую сингонию входят кристаллы, у которых отмечается одинаковое расположение кристаллографических осей и одинаковые элементы симметрии. Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими одинаковыми элементами симметрии и имеющих одинаковое расположение кристаллографических осей. Охарактеризуем каждую сингонию. Высшая категория. В кубической сингонии кристаллизуются наиболее симметричные кристаллы. В кубической сингонии присутствует более одной оси симметрии выше Таблица 1 Тридцать два вида симметрии кристаллов (А. В. Гадолин; 1867 г.) Категории Сингонии Виды симметрии примитив-ный централь-ный планаль-ный аксиаль-ный планаксиаль-ный инверсионно-примитивный инверсионно-планальный Низшая Триклинная 1 - 2 С Моноклинная 3 Р 4 L2 5 L2РС Ромбическая 6 L22Р 7 3L2 8 3L23РС Средняя Тригональная 9 L3 10 L3С 11 L33Р 12 L33L2 13 L33L23РС Тетрагональная 14 L4 15 L4РС 16 L44Р 17 L44L2 18 L44L25РС 19 Li4 (=L2) 20 Li4 (=L2)2L22Р Гексагональная 21 L6 22 L6РС 23 L66Р 24 L66L2 25 L66L27РС 26 Li6 =L3Р 27 Li63L23Р = L33L24Р Высшая Кубическая 28 4L33L2 29 4L33L23РС 30 4L33L26Р 31 3L44L36L2 32 3L44L36L29РС второго порядка, т.е. L3 или L4. Кристаллы кубической сингонии обязательно должны иметь четыре оси третьего порядка 4L3 и либо три взаимно перпендикулярные оси четвертого порядка 3L4 , либо три оси второго порядка 3L2. Максимальное количество элементов симметрии в кубической сингонии может быть выражено формулой 3L4 4L3 6L2 9PC. В кубической сингонии кристаллизуются следующие минералы: каменная соль (галит), пирит, галенит, флюорит и др. Сингонии средней категории Данная группа объединяет кристаллы, обладающие только одной осью симметрии порядка выше второго. К средней категории относятся гексагональная, тетрагональная и тригональная сингонии. Гексагональная сингония характеризуется наличием одной оси симметрии шестого порядка L6. Максимальное количество элементов симметрии может быть следующим: L66L27РС. Кристаллы гексагональной сингонии образуют призмы, пирамиды, дипирамиды и др. В гексагональной сингонии кристаллизуются апатит, нефелин, берилл и другие минералы. Тетрагональная сингония имеет одну ось четвертого порядка L4. Максимальная симметрия для этой сингонии характеризуется формулой L44L25РС. К тетрагональной сингонии относятся касситерит (оловянный камень), халькопирит (медный колчедан), циркон и другие минералы. Тригональная сингония характеризуется одной осью третьего порядка L3. Наибольшее количество элементов симметрии выражается формулой L33L23РС. В данной сингонии кристаллизуются кварц, кальцит, корунд и др. Сингонии низшей категории Кристаллы, в которых совсем отсутствуют оси симметрии высшего наименования и могут присутствовать только оси второго порядка L2, относятся к сингониям низшей категории. К ним относятся ромбическая, моноклинная и триклинная сингонии. Ромбическая сингония имеет несколько осей второго порядка L2 или несколько плоскостей симметрии Р. Максимальная формула 3L23РС. В ромбической сингонии кристаллизуются барит, топаз, марказит, антимонит и др. Моноклинная сингония. Кристаллы моноклинной сингонии характеризуются наличием одной оси второго порядка L2 или одной плоскостью симметрии Р, либо максимально: L2РС. Характерные минералы моноклинной сингонии: ортоклаз, слюды, гипс, роговая обманка, пироксены и др. минералы. Триклинная сингония. К триклинной сингонии относятся наиболее несимметричные кристаллы, лишенные совсем элементов симметрии или имеющие лишь центр симметрии С. В триклинной сингонии кристаллизуются плагиоклазы, кианит (дистен), медный купорос и другие минералы. 4. Простые формы кристаллов Природные многогранники – кристаллы – могут образовывать простые формы либо их комбинации. Простой формой кристалла называется совокупность тождественных граней, связанных элементами симметрии. Грани такой простой формы должны быть одинаковыми по своим физическим и химическим свойствам, а в идеально развитых многогранниках и по своим очертаниям и величине. Если кристалл образован несколькими видами граней, то это комбинация нескольких простых форм. Комбинацией называется сочетание двух или нескольких простых форм, объединенных элементами симметрии. Насчитывается 47 простых форм кристаллов. Простые формы образуют великое множество комбинаций. Различаются несколько типов простых форм: Открытые формы ‒ такие формы, грани которых не полностью огра-ничивают пространство. Примерами таких форм являются моноэдр, диэдр, пинакоид, призмы и пирамиды. Закрытые формы ‒ такие формы, грани которых полностью ограничи- вают пространство. Примерами таких форм являются дипирамиды, трапецоэд- ры, скаленоэдры, тетраэдры, все простые формы кубической сингонии. Конгруэнтные формы – это совместимые формы. Примеры: гексаэдр, октаэдр, призмы, пирамиды. Энантиоморфные формы – зеркально совместимые формы правые и левые. Примеры: ромбический тетраэдр, трапецоэдры, пентагонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр. Постоянными формами – называются такие формы, грани которых образуют постоянные углы и постоянные символы. Пример: гексаэдр, октаэдр, кубический тетраэдр. Переменными формами – называются формы, грани которых образуют переменные углы и переменные символы. Примерами могут быть пирамиды, ромбоэдр, тетраэдр. Открытые формы могут существовать в кристалле только в сочетании с другими простыми формами, образуя комбинации простых форм. Например, кристалл в форме тригональной пирамиды представляет сочетание двух простых форм – пирамиды и одной грани – моноэдра. 4.1. Простые формы кристаллов низшей категории В низшей категории насчитывается 7 простых форм: из них 5 открытых и 2 замкнутые ‒ тетраэдр и дипирамида ромбическая (табл. 2, рис. 1). Таблица 2 Определение простых форм низшей категории Кол-во граней Взаимное расположение граней Названия простых форм 1 - моноэдр 2 Параллельны пинакоид 2 Пересекаются диэдр 4 Пересекаются в параллельных ребрах, в сечении ромб призма ромбическая 4 Пересекаются в одной точке, в сечении ромб пирамида ромбическая 4 Пересекаются в 4-х точках по три, грань‒косоугольный треугольник тетраэдр ромбический 8 Пересекаются в 2-х точках с общим ромбическим сечением дипирамида ромбическая Рис. 1. Простые формы кристаллов низшей категории: 1 ‒ моноэдр; 2 ‒ пинакоид; 3 ‒ диэдр; 4 ‒ ромбическая призма; 5 ‒ ромбический тетраэдр; 6 ‒ ромбическая пирамида; 7 ‒ ромбическая дипирамида 4.2. Простые формы кристаллов средней категории Из низшей категории в среднюю категорию переходят две простые формы: моноэдр и пинакоид. Они переходят как частные формы, т. е. перпендикулярные главной оси. Другие формы ‒ шесть призм, шесть пирамид, шесть дипирамид, три трапецоэдра, два скаленоэдра, тетраэдр, ромбоэдр. В средней категории своих форм 25 и две – переходящие из низшей категории (табл. 3, рис. 2). К открытым формам относятся призмы и пирамиды, чтобы образовать из них замкнутые многогранники, требуется моноэдр или пинакоид. Остальные формы ‒ трапецоэдры, скаленоэдры, тетраэдр и ромбоэдр ‒ являются замкнутыми и переменными. Таблица 3 Определение простых форм средней категории Пересечение с главной осью Расположение граней относительно главной оси Название простых форм Кол-во граней Не пересекают главную ось Параллельные главной оси Тригональная Тетрагональная Гексагональная Дитригональная Дитетрагональная Дигексагональная 3 4 6 6 8 12 Пересекают главную ось Пересекают главную ось Моноэдр Пинакоид 1 2 Пересекают главную ось в одной точке Тригональная Тетрагональная Гексагональная Дитригональная Дитетрагональная Дигексагональная 3 4 6 6 8 12 Пересекают главную ось в двух точках А. Нижние грани точно под верхними Тригональная Тетрагональная Гексагональная Дитригональная Дитетрагональная Дигексагональная 6 8 12 12 16 24 Б. Нижние грани несимметричны верхним Тригональный Тетрагональный Гексагональный 6 8 12 В. Нижняя грань симметрична двум верхним Тетраэдр Ромбоэдр 4 6 Г. Нижняя пара граней симметрична двум парам верхних Тетрагональный Дитригональный 8 12 Рис. 2. Простые формы кристаллов средней категории: 1-6 пирамиды: 1 – тригональная; 2 – дитригональная; 3 – тетрагональная; 4 – дитетрагональная; 5 – гексагональная; 6 – дигексагональная; 7-12 дипирамиды: 7 – тригональная; 8 – дитригональная; 9 – тетрагональная; 10 – дитетрагональная; 11 – гексагональная; 12 – дигексагональная; 13-25 призмы: 13 – тригональная; 14 – дитригональная; 15 – тетрагональная; 16 – дитетрагональная; 17 – гексагональная; 18 – дигексагональная; 19 – тригональный трапецоэдр; 20 – тетраэдр; 21 – тетрагональный трапецоэдр; 22 – ромбоэдр; 23 – гексагональный трапецоэдр; 24 – тетрагональный скаленоэдр; 25 – тригональный скаленоэдр 4.3. Простые формы кристаллов высшей категории В высшей категории ‒ кубической сингонии насчитывается 15 простых форм (табл. 4, рис. 3). Ни одна простая форма из низшей и средней категорий не переходит в высшую. Некоторое исключение составляет тетраэдр. В низшей Таблица 4 Определение простых замкнутых форм высшей категории № п/п Названия простых форм Количество граней Форма граней 1 Тетраэдр 4 2 Тригонтритетраэдр 12 3 Тетрагонтритетраэдр 12 4 Пентагонтритетраэдр 12 5 Тригонгексатетраэдр 24 6 Гексаэдр 6 7 Тригонтетрагексаэдр 24 8 Октаэдр 8 9 Тригонтриоктаэдр 24 10 Тетрагонтриоктаэдр 24 11 Пентагонтриоктаэдр 24 12 Тригонгексаоктаэдр 48 13 Ромбододекаэдр 12 14 Пентагондодекаэдр 12 15 Дидодекаэдр 24 категории его грани косоугольные треугольники, в средней категории ‒ равно-бедренные треугольники, в высшей категории ‒ равносторонние треугольники. Рис. 3. Простые формы кристаллов высшей категории: 1 – тетраэдр; 2 – тригонтритетраэдр; 3 – тетрагонтритетраэдр; 4 – пентагонтритетраэдр; 5 – гексатетраэдр; 6 – октаэдр; 7 – тригонтриоктаэдр; 8 – тетрагонтриоктаэдр; 9 – пентагонтриоктаэдр; 10 – гексагоноктаэдр; 11 – гексаэдр; 12 – тетрагексаэдр; 13 – ромбододекаэдр; 14 – пентагондодекаэдр; 15 – дидодекаэдр 5. Установка кристаллов Установка кристалла ‒ это выбор координатных или кристаллографических осей. В отличие от кристаллофизической системы координат, которая является прямоугольной, кристаллографическая система в общем виде является косоугольной, а в тригональной и гексагональной сингонии принята даже четырехосная система (табл. 5). Таблица 5 Схемы установки кристаллов в различных сингониях Сингония Кристаллографические оси Единичная грань Константы кристалли- ческих решеток 1 2 3 4 Триклинная Оси параллельны действительным или возможным ребрам кристалла, Z - параллельна оси наиболее развитого пояса. Отсекает на осях неравные отрезки α β, γ; a : 1 : с Моноклинная У - совмещается с L2 или к Р. Х и Z в плоскости У,параллельно ребрам кристалла. Z – вертикальна Отсекает на осях неравные отрезки β; a : 1 : с Ромбическая Оси совмещаются с единичными направлениями - с L2 или с L2 и перпендикуляром к 2Р Отсекает на осях неравные отрезки. а : 1 : с Тетрагональная Z - вертикальна и совмещается с L4 или Li4.X и У Z или по двойным осям, или их к плоскостям симметрии, ‌‌ребрам На осях Х и У - равные отрезки и неравные им по оси Z 1 : 1 : с Тригональная, гексагональная Гексагональная установка: IVось совмещается с L3 или L6 , I, II, III по двойным осям, Р, ‌‌‌ребрам IV На двух осях равные отрезки, наодной неравный 1 : 1 : 1 : с Кубическая Оси совмещаются с 3L4 или 3Li4 или 3L2 Отсекает равные отрезки. 1 : 1 : 1 Существует две теоремы: - первая – оси симметрии L2, L3, L4, L6, Li4, Li6 совпадают с рядами пространственной решетки и, следовательно, являются действительными или возможными рёбрами кристалла. Следствие из первой теоремы: кристаллографические оси можно совмещать с осями симметрии, так как они являются действительными или возможными ребрами кристалла. Ребро многогранника ‒ это ряд пространственной решетки; - вторая – нормали к плоскостям симметрии совпадают с рядами пространственной решетки и, следовательно, являются действительными или возможными ребрами кристалла. Следствие из второй теоремы: кристаллографические оси можно совмещать с нормалями к плоскостям симметрии, так как они являются действительными или возможными рёбрами кристалла. При установке кристаллов следует руководствоваться следующими условиями: 1. координатные оси можно совмещать с осями симметрии L2, L3, L4, L6, Li4, Li6; 2. координатные оси можно совмещать, когда нет или мало осей симметрии, с нормалями к плоскостям симметрии; 3. координатные оси при отсутствии элементов симметрии или их недостаточном количестве, а это характерно для триклинной и моноклинной сингоний, можно совмещать с осями наиболее развитых зон или, что то же самое, параллельно ребрам кристаллов. 6. Построение стереографической проекции кристалла Графическое изображение кристалла на плоскости производится построением стереографической проекции. Кристалл помещают внутрь сферы, к его всем граням проводят нормали до пересечения со сферой. Для нанесения проекций граней верхней половины кристалла выбирается точка зрения на южном полюсе сферы. Точки пересечения нормалей верхней половины сферы соединяются с южным полюсом. Точки пересечения линий соединения концов нормалей с экваториальной плоскостью ‒ это проекции граней верхней половины кристаллов. Следует отметить, что горизонтальные грани, перпендикулярные оси Z, будут иметь нормали, пересекающие сферу на северном полюсе, и проекции в центре круга проекции. Вертикальные грани будут иметь нормали, лежащие в плоскости экватора, и их проекции будут лежать на круге проекций. Наклонные грани будут иметь проекции между центром и кругом проекции. Для нанесения проекции граней нижней половины кристалла точка зре-ния переносится с южного полюса на северный. Концы нормалей, пересекаю-щие сферу, соединяются с полюсом, и точки пересечения линий с плоскостью проекции будут проекцией граней нижней половины кристалла. В отличие от проекций граней верхней половины кристалла, которые отмечаются кружоч-ками, проекции нижней половины граней кристалла отмечаются на проекции крестиками. Это принцип построения стереографической проекции. Согласно закону постоянства двугранных углов характерными константами кристаллов являются их угловые величины. Поэтому из множества методов проектирования в кристаллографии преимущественно применяются те, которые дают точное понятие об углах на кристаллах. В этом отношении особенно удобны стереографические проекции. «Стереос» (греч.) ‒ пространственный. Примем некоторую точку О за центр проекций (рис. 4). Рис. 4. Стереографическая проекция а направления ОА Произвольным радиусом опишем вокруг О шар, называемый шаром проекций. Через ту же точку О проведем горизонтальную плоскость Q. Эта плоскость является плоскостью проекций. В результате пересечения сферической поверхности с Q имеем большой круг (линии пересечения поверхности шара с плоскостями, проходящими через его центр), отвечающий экватору шара проекций и представляющий круг проекций. Вертикальный диаметр шара NS, перпендикулярный к Q, называется осью проекций. Такая ось пересекает шар проекций в двух точках – N и S. Одна из этих точек (южный полюс шара проекций – S) является точкой зрения. Если требуется изобразить стереографическую проекцию какого-либо направления или плоскости, переносим их параллельно самим себе так, чтобы они прошли через центр О. Рассмотрим получение стереографической проекции некоторого направления ОА (рис. 4). Для этого продолжим данное направление до пересечения с поверхностью шара проекций. Пусть точка а1 представляет собой результат пересечения ОА с шаровой поверхностью. Соединим точку а1 с точкой зрения S лучом зрения S а1. Точка а ‒ точка пересечения S а1  с плоскостью Q – является стереографической проекцией направления ОА. Таким образом, стереографические проекции направлений изображаются точками. Перейдем к проектированию кристаллов методом стереографических проекций. Пусть задан некоторый кристаллический многогранник. Примем какую-либо точку О внутри него, например центр тяжести, за центр проекций (рис. 5). Из этой точки произвольным радиусом опишем сферическую поверхность – шар проекций. Через центр проведем горизонтальную плоскость проекций Q и условимся весь чертеж изображать на ней. Опустим из центра О на все грани кристалла перпендикуляры и продолжим их до пересечения с поверхностью сферы. В результате пересечений на сферической поверхности возникнет ряд точек. Например, на рис. 5, а нормаль к грани А дает на шаровой поверхности точку а1. Рис. 5. Проектирование кристалла методом стереографических проекций (а); изображение проекций граней А, В, С и D на плоскости Q (б) Все найденные точки следует перенести на горизонтальную плоскость проекций Q. С этой целью южный полюс шара S принимаем за точку зрения и соединяем с ней лучами зрения точки, расположенные на сфере. В результатепересечения лучей зрения с плоскостью чертежа получим новые точки, отвечающие стереографическим проекциям нормалей к граням. Таким образом, грани на данной проекции изображаются точками (точка а – стереографическая проекция нормали к грани А (рис. 5). Нормали к граням, пересекающие шар проекций в верхней полусфере, проектируются внутри круга проекций (например, нормаль ОА на рис. 5). Наоборот, нормали, пересекающие шар проекций в нижней полусфере, проектируются вне этого круга (например, нормаль ОВ на рис. 5). Неудобство последнего построения заставляет переносить для таких нормалей точку зрения S в северный полюс сферы N. В этом случае и проекции нижних граней окажутся внутри круга проекций. Чтобы отличить друг от друга проекции нормалей к верхним и нижним граням, первые обозначаются кружками, а вторые – крестиками. Необходимо запомнить следующее: - горизонтальные грани проектируются в центре круга проекций (например, грань С, на рис. 5); - вертикальные грани проектируются на самом круге проекций (например, грань D на рис. 5); - косые грани проектируются внутри круга проекций (например, грани А и В). Чем круче наклон грани (т. е. чем меньше угол между гранью и осью проекций), тем ближе проектирующая ее точка располагается к кругу проекций. И чем положе грань (чем больше указанный угол), тем ближе соответственная точка к центру круга. 6.1. Сферические координаты В результате гониометрического измерения кристалла для каждой его грани получаются две сферические координаты φ и ρ. При проектировании методом стереографических проекций все направления в кристалле (нормали к граням, ребра и др.) продолжаются до пересечения со сферой. В географии и астрономии расположение любой точки на глобусе фиксируется сферическими координатами – широтой и долготой. С этой целью поверхность глобуса покрывается сетью дуг ‒ меридианов и параллелей, с помощью которых можно сосчитать градусы, соответствующие широтам и долготам. Этот же прием применяется в кристаллографии. На поверхность шара проекций наносится сеть вспомогательных меридианов и параллелей. Пользуясь такой сетью, для каждой точки на сфере находим две координаты (рис. 6). Рис. 6. Определение сферических координат φ и ρ грани А Одна из них (φ) соответствует графической долготе. Для ее измерения один из меридианов на шаре принимается за нулевой. Долготу определяет угол между плоскостями нулевого меридиана и меридиана, проходящего через заданную точку. Отсчеты долгот φ берутся по вертикальному лимбу гониометра. Вторая координата (ρ), соответствует угловому расстоянию (числу градусов), заключенному между полюсом шара и заданной точкой. Эта координата отсчитывается по дуге большого круга (меридиану), проходящего через полюс, и упомянутую точку. На кристалле координата для некоторой грани является углом между характерным направлением, совмещенным с горизонтальной осью ρ гониометра, и нормалью к данной грани. Относительно географической широты полярное расстояние является дополнительным углом до 90о. Отсчёты полярных расстояний ρ берутся по горизонтальному лимбу гониометра. Найденные при помощи гониометра сферические координаты φ и ρ для каждой грани наносятся на специальные сетки. Поместив точку зрения на экваторе и проектируя дуги меридианов и параллелей на плоскость меридиана, перпендикулярную к прямой, соединяющей точку зрения с центром проекций, получим сетку Вульфа (приложение 1). На рис. 7. угол между вертикальной осью проекций NS и проектируемым направлением ОА соответствует полярному расстоянию ρ. Следовательно, угол ОSa = ρ/2 (а ‒ стереографическая проекция направления ОА на плоскости проекций Q). Отсюда, приняв радиус шара проекций за единицу, находим, что расстояние точки а от центра проекций О составляет: Оа = tgρ/2. Рис. 7. Стереографическая проекция направления ОА на плоскости проекций Q Вычерчиваем окружность радиусом 10 см и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра – горизонтальный и вертикальный (рис. 8). Далее делим внешний круг на равные части (на рисунке деления проведены через 30о; на подлинной сетке Вульфа – через 2о). Деление двух диаметров на необходимые интервалы может быть осуществлено путем следующего построения. Соединим прямыми нижнюю точку вертикального диаметра с точками внешнего круга 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 0о. Далее делим внешний круг на равные части (на рисунке деления проведены через 30о; на подлинной сетке Вульфа – через 2о). Деление двух диаметров на необходимые интервалы может быть осуществлено путем следующего построения. Соединим прямыми нижнюю точку вертикального диаметра с точками внешнего круга 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 0о. При этом горизонтальный диаметр в точках 90, 60, 30, 60 и 90о разделится проведенными прямыми на неравные части. Затем через оба конца вертикального диаметра – проводим точки 90 и 270о, которыми будут изображаться полюсы сетки Вульфа, и точки на горизонтальном диаметре 90, 60, 30, 0, 30, 60 и 90о- круговые дуги (построение окружностей по трем точкам). Рис. 8. Построение сетки Вульфа Найденные дуги и являются искомыми стереографическими проекциями меридианов сетки Вульфа. Таким же образом строятся и проекции параллелей. С этой целью точку 0о соединяем прямыми с точками внешнего круга 90, 120, 150, 180, 210, 240 и 270о. В результате вертикальный диаметр также разделится этими прямыми на неравные части. Круговые дуги, проведенные через найденные таким путем на вертикальном диаметре точки, и соответственные точки, лежащие на круге проекций, являются искомыми стереографическими проекциями параллелей (одна из них показана на рис. 8). Удачно выбранный размер сетки (радиус 10 см) и цена делений (2о) обеспечили ей широкое распространение во всем мире при решении кристаллографических задач. 6.2. Решение кристаллографических задач по сетке Вульфа Положим перед собой сетку Вульфа и будем иметь в виду, что никакие построения на самой сетке не производятся ‒ задачи целиком решаются на листке кальки, наложенном на сетку. Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку относительно сетки в одно и то же исходное положение, отмечаем на кальке центр сетки точкой с четырьмя черточками в виде креста, не доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца горизонтального диаметра сетки ставится небольшая черточка, проведённая вне круга проекций (рис. 9). Рис. 9. Построение на кальке по сетке Вульфа к задачам 1 и 2 Черточка справа будет служить нулевым индексом для долгот 0φ, а центральная точка рисунка – местом нуля для полярных расстояний 0ρ. Первая сферическая координата – долгота φ – отсчитывается по кругу проекций от нулевого индекса по часовой стрелке (на сетке каждое деление соответствует 2о, каждый десятый градус выделен жирной линией). Вторая сферическая координата – полярное расстояние ρ – отсчитывается от центра сетки.  Необходимо условиться, что в дальнейшем изображенные на сетке дуги меридианов и параллелей будут служить вспомогательными линиями. Истинный полюс сетки находится в ее центре 0ρ, истинный экватор совпадает с кру- гом проекций, а из истинных меридианов на сетке изображены только два – вертикальный и горизонтальный диаметры сетки. При работе с сеткой Вульфа необходимо мысленно представлять себе совмещенную с ней простейшую стереографическую сетку (рис. 9). Отсчет полярных расстояний ρ должен производиться при этом от центра сетки как от полюса. Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами ρ и φ. Дано некоторое направление А задано сферическими координатами φ=165о и ρ=68о: А (165о, 68о). Требуется найти стереографическую проекцию этого направления. Задача решается следующим образом: 1. Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а нулевую риску (0о φ) – с правым концом горизонтального диаметра сетки Вульфа. 2. От нулевой риски отсчитывают по часовой стрелке по кругу проекций 165о и отмечают вспомогательной черточкой риской (рис. 10). Рис. 10. Построение стереографической проекции направлений А с координатами: φ=165о и ρ=68о 3. Вращением кальки совмещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придерживают остро заточенным карандашом в совмещенном положении с центром сетки). 4. По данному диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черточки отсчитывают полярное расстояние – 68о и отмечают найденную точку кружком. 5. Возвращают кальку в исходное положение и обозначают кружок буквой а. Найденная точка  является искомой стереографической проекцией направления А. Такое построение используют при нанесении стереографической проекции нормали к грани, или гномостереографической проекции грани. Аналогичный метод применяется при построении ребра или оси симметрии кристалла. В случае если полярное расстояние какого-либо направления больше 90о, стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния, как отмечалось, будет производиться от центра проекций в направлении круга и обратно – от круга к центру. Такая проекция обозначается крестиком (рис.10, точка b с координатами φ = 205о и ρ = 124о). Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией. Решение: 1. Вращением кальки совмещают заданную точку (стереографическую проекцию направления) с ближайшим диаметром сетки. От центра сетки по данному диаметру отсчитывают в направлении точки сферическую координату ρ. Вспомогательной черточкой на круге проекций отмечают в данном положении конец диаметра, на котором лежит определяемая точка. 2. Возвращают кальку в исходное положение и по кругу проекций от нулевой риски до вспомогательной черточки отсчитывают долготу φ. Таким образом, для точки с определены сферические координаты: φ=309о и ρ=55о (рис. 10). Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений. Допустим, что требуется провести дугу большого круга через стереографические проекции а и с направлений А (165о, 68о) и С (309о, 55о). Решение: 1. Вращением кальки совмещают обе точки а и с с одним из вспомогательных меридианов сетки. 2. Простым карандашом обводят меридианальную дугу, соединяющую точки а и с, и возвращают кальку в исходное положение (рис. 11). В том случае если точки будут располагаться на разных полусферах (например, a и b на рис.10), вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру сетки меридиональные дуги и обводят их простым карандашом: через точку а – сплошной линией, через точку b – пунктирной. Рис. 11. Построение стереографических проекций к решению задач 3, 4, 5, 6 и 7 Найденная дуга большого круга может изображать гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух граней (в этом случае заданные точки являются гномостереографическими проекций этих граней), или стереографическую проекцию грани, если точки – стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани. Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и С (рис. 11). Решение: 1. Вращением кальки совмещаем данные точки а и с с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3). 2. Отсчитываем по этой меридиональной дуге количество градусов, заключённых между точками а и с (рис. 11). В результате получаем угол АС=113о. Измеренный угол может быть углом между нормалями к граням, если точки а и с представляют собой их гномостереографические проекции или углом между ребрами, или данные точки – стереографические проекции ребер. Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (под полюсом дуги принимают точку, равноотстоящую от всех точек дуги на 90о). Например, требуется найти полюс дуги а с. 1. Вращением кальки совмещаем заданную дугу а с с соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа. 2. Отсчитываем от точки пересечения заданной дуги с горизонтальным диаметром в направлении к центру сетки 90о по диаметру и отмечают кружком найденную точку. 3. Возвращают кальку в исходное положение и надписываем точку – Рас. Для найденного полюса можно найти сферические координаты: φ=62о и ρ=61о. (задача 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией этого ребра. Полюс может быть гномостереографической проекцией грани, если данная дуга – стереографическая проекция этой грани. Аналогичным способом находится полюс дуги сd. Его координаты: φ=194о и ρ=59о. Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору. Решение: 1. Вращением кальки приводим заданный полюс на горизонтальный диаметр сетки. 2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки 90о (перейдя за него) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой экваториальной дугой относительно заданного полюса. Если заданный полюс выражает гномостереографическую проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует стереографической проекции той же грани. Если заданный полюс представляет стереографическую проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической проекции. Обратите внимание на решение задач 5 и 6, так как они содержат механизм переходов от стереографической проекции к гномостереографической и обратно. Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов. Например, требуется измерить угол между дугами ас и аd (рис. 11). Решение: 1. Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг – а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. 2. Приняв эту вершину за полюс, приводим отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6). 3. Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги составит величину искомого угла. Если заданные дуги больших кругов являются стереографическими проекциями граней, то измеренный угол представляет собой угол между гранями при вершине а равен 65о, при вершине в – 75о и при вершине d – 116о. Измеренные углы представляют собой углы между соответствующими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов – стереографические проекции этих граней. Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние α (задача на построение малого круга). Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной на проекции точке, имеется множество направлений, отклонённых от первого на один и тот же угол α и образующих в совокупности конус с углом 2α. Пересечение этого конуса с поверхностью сферы даёт малый круг, в центре которого находится точка пересечения заданного направления со сферой. Стереографическая проекция исходного направления является только стереографическим, а не геометрическим центром (геометрический центр совпадает со стереографическим только в том частном случае, когда это направление совмещено с осью проекций). В этом основная трудность задачи (рис. 12). Пусть заданная точка лежит внутри круга проекций (например, точка в (309о, 55о). Требуется построить вокруг нее как стереографического центра малый круг заданного радиуса (на рис. 40 α = 30о). Для этого совмещаем заданную точку с какой-либо параллелью, изображенной на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое расстояние α и отмечаем по- Рис. 12. Построение вокруг стереографического центра. малого круга заданного радиуса к задаче 8 лученные при этом две точки. Вращением кальки приводим заданную точку на какую-либо другую параллель сетки и снова аналогичным путем получаем пару новых точек. Повторяем такой прием до тех пор, пока полученные точки не начнут совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта последняя может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных точек совмещается путём наложения с параллелью, приёмов вычерчивается требуемый малый круг. Решение задачи упрощается при наличии циркуля. Поворотом кальки приводим заданную точку на горизонтальный диаметр сетки и отсчитываем вправо и влево от нее требуемый угол α. Взяв геометрическую середину найденного отрезка, принимаем ее за центр и вычерчиваем требуемый круг. Если исходная точка лежит слишком близко к кругу проекций – задача решается по трем точкам, из которых две берутся по соответствующему меридиану сетки. В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем круге проекций (ρ =90о), достаточно привести ее поворотом кальки на один из полюсов, изображённых на сетке Вульфа, отсчитать в любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить соответствующую параллель сетки. В случае совпадения заданной точки с центром проекций отсчитываем по обоим диаметрам сетки угловые расстояния α и по четырём найденным точкам строим искомую окружность. Построение малых кругов широко используется при решении задач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю (задача 10). Задача 9. Даны измеренные на гониометре сферические координаты граней кристалла (табл. 6). Таблица 6 Сферические координаты граней кристалла Грани φ , град. ρ , град. 1 - 2 11 42 3 101 42 4 191 42 5 281 42 6 56 90 7 146 90 8 236 90 9 326 90 Требуется: - изобразить гномостереографические и стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6); - измерить углы между гранями (задачи 4 и 7); - изобразить гномостереогрфические и стереографические проекции ре-бер (задачи 3 и 5); - найти сферические координаты рёбер и измерить углы между ребрами (задачи 2, 4 и 7). Задача 10. Построить гномостереографическую проекцию кристалла по углам между нормалями к граням (именно такие углы, измеряются на отражательном гониометре). Они легко находятся посредством прикладного гониометра). Даны углы между нормалями к граням (рис. 13): В:С=83о  В:Р=42о  Р:С=72о   Р:Q=54о В /:О=58о  В:В/=180о  С:О=54о Рис. 13. Построение гномостереографической проекции кристалла по углам между нормалями к граням (к задаче 10) Для проектирования данного кристалла придаем ему такую пространственную ориентировку, при которой грани В, Р, Q и В/ становятся вертикальными и изобразятся на внешнем круге проекций. Проекцию одной из этих граней, например, грани В, совместим с нулевым индексом для φ. В соответствии с рисунком кристалла отсчитываем по часовой стрелке углы между нормалями к граням В:Р=42о, Р:Q=54о и В:В/=180о. Найденные на внешнем круге точки и будут проекциями этих вертикальных граней. Далее по углам В : С = 83о  и Р : С = 72о  находим точку С. Для этого приводим сначала точку В в один из полюсов сетки Вульфа, отсчитываем по кругу проекций в любую сторону 83о и прочерчиваем соответствующую параллель сетки. Затем совмещаем с полюсом сетки точку Р, отсчитываем 72о и снова прочерчиваем параллель сетки. На пересечении двух полученных параллелей и находится проекция грани С (задача 8). Для нахождения проекции грани О совмещаем точку В/ с одним из изображённых полюсов сетки, отсчитываем 58о и рисуем параллель. Далее принимаем за стереографический центр точку С и строим малый круг, радиусом и 54о (задача 8). Этот круг пересекает параллель, вычерченную вокруг В/ в двух точках. В соответствии с рисунком, принимаем за проекцию грани О, которая соответствует расположению грани на рисунке. Дополнительно необходимо: - определить сферические координаты граней В, Р, Q , В/ , С, О (задача 2); - измерить угол между нормалями к граням С и О (задача 4); - найти стереографические проекции ребер СВ и СР и определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2); - построить стереографическую проекцию грани О (задача 6). 7. Определение символов граней, ребер и простых форм Закон рациональных отношений Определение вида симметрии или даже наличие стереографической проекции кристалла не всегда дает нам однозначное представление о внешнем облике кристалла. Для более точной характеристики кристалла определяют взаимное расположение его граней в пространстве по отношению к определенным координатным осям и некоторой исходной грани. Для определения грани применяются кристаллографические символы. Понятие о кристаллографических символах вытекает из второго закона кристаллографии, открытого в 1784 г. французским исследователем Р. Ж. Гаюи. Этот закон называется законом рациональных отношений или законом параметров, именуемым также законом целых чисел. Закон рациональных отношений гласит: положение всякой грани может быть определено тремя целыми числами, если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла и за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла. Нередко дается и другая формулировка данного закона – «двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся его ребрах, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел» (Геологический словарь. Т 1. М., «Недра», 1973. 249 с.). Возьмем три непараллельных ребра кристалла, пересекающихся в точке О, и обозначим их ОХ, ОY, ОZ. Выбранные три ребра примем за координатные оси (рис. 14). Покажем три грани кристалла, пересекающие координатные оси: k1m1n1, k2m2n3 и k3m3n2. Отрезки, отсекаемые этими гранями на осях, называются параметрами граней. Например, для грани k1m1n1 параметрами являются Оk1, Оm1 и Оn1. Примем параметры этой грани за единицы измерения по соответствующим осям (Оk1 – по оси Х, Оm1 – по оси Y, Оn1 – по оси Z). В этом случае параметры остальных граней кристалла будут рациональными числами. Выбранная грань называется единичной гранью, а ее параметры – осевыми единицами. Эти осевые единицы взяты за единицы измерения - единичные отрезки. Следует иметь в виду, что эти параметры могут быть не равны друг другу (например, на рис. 14 у грани k1m1n1 параметры Оk1 ≠ Оm1 ≠ Оn1). Положение данной грани обозначается символом (111). Символ обозначает, что грань отсекает по каждой оси по одной осевой единице. Рис. 14. Схема координатных осей, пересекаемых гранями кристалла В кристаллографии принято так располагать кристаллографические оси: Х – на себя – положительное значение, от себя – отрицательное; Y – вправо – положительное значение, налево – отрицательное, Z – вверх – положительное значение, вниз – отрицательное. Осевые единицы обозначают: по Х – а, по Y – b, по Z – с. Выбор единичной грани задаст масштаб по каждой оси. В нашем случае при выбранной единичной грани k1m1n1 ее параметрами будут а, b, с. Положение грани k2m2n3 определится параметрами 2а, 2b, 3с, для грани k3m3n2 .- 3а, 3b, 2с. Чтобы представить положение каждой грани в пространстве, следует знать (помимо направления осей), как параметры, задающие масштабы по разным осям, относятся друг к другу. В общей форме отношение параметров любой грани можно выразить как pa : gb: rc, где p, g и r – целые числа. Для каждого определяемого кристалла необходимо выбрать направление кристаллографических осей и одну из наклонных к ним граней в качестве единичной грани. Эту операцию называют установкой кристалла. Иногда при установке кристалла некоторые грани оказываются параллельными одной или двум координатным осям. В этом случае их параметры по данным осям будут равны бесконечности (∞). Разобранный способ обозначения граней при помощи параметров предложен немецким ученым Х. Вейссом (1818 г.). В 1839 г. английским ученым У. Миллером была рекомендована более удобная система обозначений. Вместо величин p, g и r он предложил брать обратные величины 1/ p, 1/ g , 1/ r . Отношение этих правильных дробей можно выразить и целыми числами 1/ p : 1/ g : 1/ r = gr : pr : pg. Эти три числа принято называть индексами грани и обозначать буквами латинского алфавита h, k, l. Заключенные в круглые скобки индексы составляют символ грани (h k l). В большинстве случаев индексы граней представлены числами меньше 10. Индексы в круглых скобках не разделяются знаками препинания. Исключение делается, когда один из индексов равен или больше 10. При этом индексы отделяются точками, например (10 ∙ 3 ∙ 2). Над индексами ставят знак ( – ) минус в том случае, если грань отсекает соответствующий отрезок по отрицательному направлению оси. Принято следующее расположение индексов: по оси Х – h, по оси Y – k, по оси Z – l. В таком порядке индексы пишутся в круглых скобках для обозначения символа грани. Как перейти от параметров к индексам? Для единичной грани k1m1n1 (рис. 14) индексы h, k, l равны единице, так как величины p, g , r равны единице (каждая). Следовательно, отношения 1/ p, 1/ g , 1/ r также составляют единицу. Таким образом, символ грани k1m1n1 будет (111). Для грани k2m2n3 (рис.14) параметры составляют 2, 2 и 3. Индексы грани k2m2n3 1/2 : 1/2 : 1/3 = 3 : 3 : 2. Отсюда символ этой грани (3 3 2). Грань k3m3n2 имеет индексы 1/3 : 1/3 : 1/2 = 2 : 2 : 3 и символ ее (2 2 3). Если грань параллельна какой-либо кристаллографической оси, то индекс ее по этой оси будет равен нулю, так как а / ∞ = 0. Если в кристалле у грани два индекса равны нулю, то третий всегда равен единице. Например, грань параллельна осям Х и Y, а по оси Z отсекает две осевые единицы. Следовательно, параметры грани ∞ : ∞ : 2, а индексы 1/∞ : 1/∞ : 1/2 = 0 : 0 : 2. Сократив на общий множитель (на 2), получим отношение индексов 0 : 0 : 1. Символ грани будет ( 0 0 1 ). При описании кристаллов и определении символов получают для каждой простой формы или комбинации простых форм совокупность символов многих граней. Например, для куба символы всех его шести граней: (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), ( 0 0), (0 0), (0 0 ). Принято для обозначения каждой простой формы брать символ одной из ее граней, для которой характерно наибольшее количество положительных индексов. Такие символы, условно относящиеся к той или иной простой форме, принято заключать в фигурные скобки. В нашем случае для куба, являющегося простой формой, вместо приведенных выше шести символов употребляют лишь один символ {1 0 0}. Для переменных форм: углы между гранями, которые мы не измеряли и пока не можем рассчитать. Обозначаются буквами. Для постоянных форм: углы между гранями постоянные, символы выглядят следующим образом: грань ромбододекаэдра ‒ {1 1 0}, грань кубического тетраэдра ‒ {1 1 1}. Для переменных форм: ромбическая призма - {h k 0}, ромбическая пирамида ‒ {h k}, ромбический тетраэдр ‒ {h k}. Символы ребер, в отличие от символов граней, определяются прямыми отношениями. Так, например, символ первой координатной оси или ребра, параллельного этой оси, определяется как [1 0 0]. Символ ребра, лежащего в плоскости первой и второй оси, но перпендикулярно третьей, ‒ [1 1 0]. Символ диагонали куба тогда определится как [1 1 1]. Символы ребер заключаются в квадратные скобки. Если по теореме косинусов Г. В. Вульфа рассчитаны символы граней, то можно при помощи определенных методов определить символы других граней и ребер. Согласно закону Гольдшмидта при наличии символов двух граней можно определить символ третьей грани, притупляющей ребро этих граней, принадлежащих одной зоне. Символы одной грани m n p – (1 0 2), другой грани – r s t – (3 0). По закону Гольдшмидта для того, чтобы определить символы неизвестной грани h k , требуется рассчитать алгебраическую сумму двух известных граней: m n p (1 0 2) m n p (102) + r s t h k + r s t + (30) (3 0) h k (4 2) Способ Х. Вейсса заключается в том, что если имеется символ двух граней, можно определить символ ребра: Данный способ Х. Вейсса применим и к обратному варианту задачи: если известно два ребра, и по их значениям можно определить символ граней, вмещающих эти ребра