Координатные системы. Категории. Сингонии. Простые формы низшей и средней категории

ЛЕКЦИЯ 5 Координатные системы. Категории. Сингонии. Простые формы низшей и средней категории Работая с кристаллами, исследователи обратили внимание на то, что элементы симметрии располагаются в них не случайно, а закономерным образом. Напомним, что полный набор элементов симметрии строго определенным образом располагающихся по отношению друг к другу называется классом симметрии. Число классов симметрии бесконечно, но в кристаллах, где могут существовать только оси определенных целочисленных порядков, число классов закономерно сокращается до тридцати двух. 4 важные вехи в открытии 32 классов 1) В 1826 г. немецкий кристаллограф М. Л. Франкенгейм(1801-1869 гг.) вывел 32 класса симметрии . Мориц Людвиг Франкенгейм (1801-1869) 2) И. Ф. Х. Гессель (1796-1872 гг.) в 1830 г. вывел 32 класса симметрии Иоганн Фридрих Христиан Гессель (1796-1872) Однако их работы были недопоняты и забыты. 4 важные вехи в открытии 32 классов 3) В 1867 г. Аксель Вильгельмович Гадолин дал строгий математический вывод 32 групп симметрии. (Петербургская АН в 1868 присудила ему за это Ломоносовскую премию). 4) 6 марта 2019 года мы повторили вывод 32 групп симметрии Необходимость фиксировать то или иное направление в кристалле, ту или иную плоскость симметрии (или грань кристалла) заставляет вводить в кристаллах координатную систему. Какую? В кристаллографии пользоваться наиболее распространенной в геометрии декартовой системой неудобно, так как прямоугольная система координат с одинаковыми масштабами по осям часто не соответствует реальной симметрии кристалла. неудобно Используется такая система координат, в которой координатные оси совмещены с особыми направлениями в кристалле, т.е. осями симметрии и(или) нормалями к плоскостям симметрии При отсутствии или недостаточном их количестве (т.е. меньше трех) координатные оси выбираются по действительным или возможным ребрам кристалла. Координатные системы в кристаллографии Основные характеристики: масштабные отрезки a, b, c угловые величины (углы между координатными осями) , ,  Полная характеристика координатной системы предполагает не только знание угловых характеристик, но и знание степени эквивалентности тех особых направлений, вдоль которых выбраны координатные оси. Условно эквивалентность координатных направлений можно показать в виде единичных векторов – масштабов a, b, c – по соответствующим координатным осям X, Y, Z. В результате на основе степени эквивалентности координатных направлений все 32 класса симметрии можно разделить на три группы – три категории кристаллов: 1) низшая категория a  b  c полная неэквивалентность координатных направлений (которая объясняется отсутствием в них осей высшего порядка (>2)). 2) средняя категория a = b  с частичная эквивалентность (присутствие в их группах симметрии одной оси высшего порядка) 3) высшая категория a = b = c полная эквивалентность (несколько осей высшего порядка, в т.ч. четыре оси 3его порядка) Категория – объединение классов симметрии по принципу соотношения масштабных отрезков abc a=bc a = b =c а - кристалл низшей категории: все координатные направления различны, нет осей порядка больше чем два; б - кристалл средней категории – есть одна (вертикальная) ось порядка больше 2-х; в - кристалл высшей категории – несколько осей порядка больше 2-х Семейство классов симметрии с единой координатной системой называется сингонией Низшая категория a  b  c 1)  =  =  = 90, a  b  c Ромбическая сингония 2) a  b  c,  =  = 90 и углом моноклинности   90 Моноклинная сингония 3) a  b  c,     . Триклинная сингония Средняя категория a = b  c 1) Тетрагональная сингония a = b  c,  =  =  = 90 2) Гексагональная сингония a = b  c,  =  = 90,  = 120 Средняя категория a = b  c 2) Гексагональная сингония a = b  c,  =  = 90,  = 120 Подчеркнем, что эта система координат обслуживает кристаллы, имеющие главную ось, как третьего, так и шестого порядка. Поэтому внутри гексагональной сингонии выделяют две подсингонии: 2а) собственно гексагональную подсингонию (если порядок главной оси равен 6) 2б) тригональную подсингонию (если порядок главной оси равен 3). Средняя категория a = b  c Из условия эквивалентности двух горизонтальных координатных направлений (а = b) следует, что симметрия кристаллов средней категории описывается группами с единственной осью высшего порядка. С этой осью совмещают координатное направление Z, ориентируя его вертикально. Две другие оси – X и Y – выбирают в плоскости, перпендикулярной главной оси, по осям 2-го порядка или нормалям к плоскостям. Если же горизонтальных особых направлений в кристалле нет, то координатные оси выбирают по ребрам. Угол  между осями Х и Y определяется порядком главной оси и равен 90 в случае присутствия оси 4-го порядка и 120, если присутствуют оси 3-го и 6-го порядков. Средняя категория a = b  c Обратим внимание, что в координатной системе в гексагональной сингонии появляется еще одна ось (u) в горизонтальной плоскости, перпендикулярная оси z. C осями х и y эта ось u образует угол в 120˚. На первый взгляд это глупость: пространство однозначно описывается тремя различными координатными направлениями. Но как выяснится на следующем занятии, введение этой дополнительной оси СИЛЬНО облегчает дальнейшую жизнь в кристаллографии и ее введение просто необходимо. Высшая категория a = b = c 1) Кубическая сингония: a = b = c,  =  =  = 90 Равенство координатных осей приводит к тому, что равнонаклонно к координатным направлениям возникает наклонная ось третьего порядка, Если размножить ее элементами симметрии, находящимися в координатных осях, то получится 4 наклонные оси третьего порядка, равноудаленных от различных выходов координатных направлений. На трафарете, эти позиции осей третьего порядка отмечены красными треугольниками. Ее сферические координаты вы уже умеете находить! Распределение классов по сингониям Триклинная – 2 Моноклинная – 3 Ромбическая – 3 Тетрагональная - 7 Гексагональная - 12 (7+5) Кубическая - 5 Слова, вызывающие справедливую ярость у российских кристаллографов 1. Тригональная сингония 2. Орторомбическая сингония ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ НИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ Семейство граней, взаимосвязанных всеми симметрическими операциями точечной группы (класса) симметрии называют простой формой кристалла. Грани, принадлежащие одной простой форме, равны не только внешне геометрически (увы, в основном, в идеальных, но не реальных условиях роста), но также по своим физическим и химическим свойствам • Грань частного положения фиксирована какими-либо элементами симметрии – либо перпендикулярна особому направлению, либо параллельна ему, либо равнонаклонна к эквивалентным особым направлениям; все остальные положения граней– общие, т. е. не зафиксированные относительно особых направлений в кристалле. Отсюда простые формы, образованные гранями первого типа, называют частными, второго − общими. • В любом классе симметрии частные простые формы могут иметь несколько названий, а общая форма – только одно, то каждый класс симметрии по предложению Е. С. Федорова определяется названием присущей ему общей простой формы. Шубников Алексей Васильевич (1887—1970) советский кристаллограф, кристаллофизик. Академик АН СССР. Герой Социалистического Труда. Внёс значительный вклад в физику твёрдого тела. Основные труды посвящены теории симметрии и теории роста кристаллов. Развив учение об антисимметрии, вывел 58 точечных кристаллографических групп антисимметрии (шубниковские группы). Его имя носит Институт кристаллографии РАН Грань частного положения: Перпендикулярна особому направлению Параллельна особому направлению Равнонаклонна к эквивалентным особым направлениям Грань равнонаклонна к эквивалентным осям 2-ого порядка, следовательно, она находится в частном положении Грань общего положения подвергается действию всех операций симметрии данной группы. Поэтому число граней общей формы в данной группе максимально и равно числу операций симметрии, составляющих эту группу, т. е. равно ее порядку. Число граней частной простой формы может быть либо равно, либо меньше числа граней общей формы, так как элементы симметрии, перпендикулярные к грани, ее не размножают. Грань равнонаклонна к неэквивалентным осям 2-ого порядка, следовательно, она находится в общем! положении Если известен класс симметрии кристалла и собственная симметрия грани данной простой формы, легко вычислить общее количество граней (n) в этой простой форме: n = величина симметрии класса ( группы) : величина собственной симметрии грани А – собственная симметрия грани P, величина симметрии – 2, количество граней – 4 : 2 = 2 Б – собственная симметрия грани L2P`P``, величина симметрии – 4, количество граней – 4 : 4 = 1 В – собственная симметрия грани L1, величина симметрии – 1, количество граней – 4 : 1 = 4 Понятия «открытая» и «закрытая» простая форма. Если совокупность граней одной простой формы полностью замыкает заключенное между ними пространство, то она считается закрытой . Если совокупность граней одной простой формы не замыкает заключенное между ними пространство, то она считается открытой . Минимальное число граней для замыкания пространства – 4. Открытые формы встречаются в кристаллах низшей и средней категорий, но не возможны в кристаллах высшей категории Принципиально различные позиции граней а – с единственным особым направлением (3 – общее положение) б - с эквивалентными побочными направлениями (6 – частное, 7 – общего положения); в – с неэквивалентными побочными направлениями (6 и 7 – общее положение). В огранке кристалла могут участвовать грани либо одной простой формы (закрытой), либо нескольких, образуя комбинационные многогранники. В одном классе может быть несколько принципиально разных частных положений и только одно общее 44 3 3 1 2 3 4 Поэтому общая простая форма служит характеристикой данного класса симметрии, передавая ему свое название. Число простых форм кристаллов конечно и якобы «равно 47» (32+15). В основу названий простых форм положены греческие слова в НИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ 32 ПРОСТЫЕ ФОРМЫ (по названию) Классы с единственным особым направлением Ln Класс 1 2 Название по общей форме 3 1 L1 моноэдрический 2 L2 диэдрический осевой 3 L3 тригональнопирамидальный 4 L4 тетрагональнопирамидальный 5 L6 пинакоид диэдр (ос.) гексагональнопирамидальный моноэдр n-гональная n-гональная призма пирамида Пинакоид осевой и плоскостной диэдр Совет – нанимайте бригаду, которая умеет строить крыши типа «А» (симметризованный диэдр) Классы с единственным особым направлением Ln + горизонтальная плоскость Класс 1 2 L2PC пинакоид 3 Ромб. призма L3P ромбопризматический тригональнобипирамидальный призмы неизменны L4PC Название по общей форме тетрагональнобипирамидальный L6PC гексагональнобипирамидальный моноэдры станут пинакоидами n-гональная n-гональная призма бипирамида Классы с единственным особым направлением Ln + вертикальные плоскости Класс 1-3 4 5 6 7 P диэдр (пл.) диэдр (пл.) L2 2P L2 3P Название по общей форме диэдрический плоскостной ромбопирамидальный Повтор дитригональнопирамидальный L4 4P дитетрагональнопирамидальный L6 6P дигексагональнопирамидальный Ди-nгональная призма Ди-nгональная пирамида Классы Ln nL2 + плоскости Класс 1-3 4 5 6 7 Название по общей форме 3L2 3PC ромбобипирамидальный L3 3L2 4P дитригональнобипирамидальный L4 4L2 5PC дитетрагональнобипирамидальный L6 6L2 7PC дигексагональнобипирамидальный Ди-nгональная бипирамида Классы Ln nL2 Класс 1 2 3 4 5 6 7 Название по общей форме 3L2 L3 3L2 L4 4L2 L6 6L2 Пи на ко иды n-го на ль ные При змы n-го на ль ные би пи ра ми ды ромботетраэдрический Ди -nго на ль ные при змы тригональнотрапецоэдрический Ромбоэдр тетрагональнотрапецоэдрический гексагональнотрапецоэдрический n-гональный трапецоэдр Правизна-левизна в минеральном мире В 1848 г Л. Пастер опубликовал работу в которой излагалась суть одного из крупнейших открытий - молекулярной диссимметрии Обычная (а), правая (б) и левая (в) формы кристалла кварца Классы с инверсионными осями Класс С = Ł1 Ł4 Ł3 = L3C 1 2 3 Название по общей форме пинакоидальный тетрагональнотетраэдрический ромбоэдрический Классы с инверсионными осями и вертикальными плоскостями Класс 7 Название по общей форме Ł4 2L2 2P тетрагональноскаленоэдрический Ł3 3L2 3P (или L3 3L2 3PC) тригональноскаленоэдрический Простые формы низшей категории http://biblio.mccme.ru/ node/2823/shop Простые формы средней категории ОБЛИК И ГАБИТУС Даже описав класс симметрии и те простые формы, которые встречены в огранке, мы не сможем донести до читателя однозначно его характеристические особенности: насколько он неодинаков по разным координатным направлениям, какие формы «главенствуют» в огранке и т.д. Четыре кристалла имеют одинаковый набор простых форм и одинаковый набор элементов симметрии (класс L33L23PC), однако различная степень развития простых форм, участвующих в огранке делает их совершенно не похожими друг на друга ОБЛИК Облик – Термин используется в минералогии и кристаллографии при описании внешнего вида кристаллов и характеризует размеры кристалла в различных направлениях. Например, кристаллы алмаза, пирита, гранатов и других минералов имеют изометричный облик, т. е. одинаковые размеры во всех направлениях. Неизометричные кристаллы таких минералов как эгирин, турмалин, берилл и др. могут быть игольчатого, столбчатого, нитевидного облика (т. е. вытянутыми в одном направлении), либо таблитчатыми, пластинчатыми, листоватыми – уплощенного облика (например, кристаллы гематита, биотита и др.). ОБЛИК «Степень изометричности кристалла» столбчатый изометричный пластинчатый Термин «габитус» используется для более детальной характеристики внешней формы кристаллов, отражая преобладание в их огранке тех или иных простых форм (например, призматический, бипирамидальный, кубический габитус и т. д.). При этом кристаллы минералов одного и того же облика (например, столбчатого) могут иметь различный габитус. Габитус кристаллов является важным диагностическим признаком минералов. ГАБИТУС «Описание степени развития простых форм, участвующих в огранке данного кристалла» Пинакодально гексагонально призматический Гексагонально призматически ромбоэдрический Тригонально скаленоэдрически ромбоэдрически призматический Разберем кристалл класса Ł42L22P удлиненного облика, относящегося к тетрагональной сингонии а - габитус тетрагональнопризматически-пинакоидально-скаленоэдрическитетраэдрический; б - габитус тетрагональноскаленоэдрически-тетраэдрически-призматическипинакоидальный; в - габитус тетрагональнотетраэдрически-призматически-скаленоэдрический; г - габитус тетрагональнотетраэдрически-скаленоэдрически-призматический; д - габитус тетрагональнопризматически-тетраэдрически-пинакоидальноскаленоэдрический; е - габитус тетрагональнопризматически-пинакоидально- скаленоэдрический. Для визуализации материала http://cryst.geol.msu.ru/courses/crgraf/form s/main.html Низшая категория http://cryst.geol.msu.ru/literature/kurs/hex _forms.ppsx http://cryst.geol.msu.ru/literature/kurs/tetr agonal.pps Простые формы классов тетрагональной сингонии ©Кудряшова.Л.Б 2011 Простые формы класса 4/mmm Возврат к списку классов 20 марта ? Что общего Самое длинное ругательное слово в мире Кубические простые формы Первомайская демонстрация 1937 года