Комплексные числа и операции над ними

Комплексны е числа и операции над ними. В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся объектов. Например, операция сложения. Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целые числа. Обратная операция – деление -приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа. Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного корня – приводит к иррациональным числам ( , например, не является рациональным числом). Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел (например, = ± 3). А как быть с ? Комплексное число. i= которое называется мнимой единицей. Считается, что это ≪число≫ обладает всеми свойствами обычных чисел и имеет всего одно единственное новое свойство = - 1, так что, например, = ± 3i. Числа, содержащие i, называются комплексными числами. Алгебраическая форма комплексных чисел Пусть x и y – обычные числа. Число вида z=x+iy называется комплексным числом в алгебраической форме. x называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают так: x = Re (z); y называют мнимой частью числа z и обозначают y = Im (z). Число называют = х – iy комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: ≪чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на –i ≫. Сложение и вычитание. Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно z1 ± z2 = (x1 ± x2) ± i (y1 ± y2) , то есть надо сложить (или вычесть) отдельно вещественные и мнимые части чисел. Умножение. Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что = - 1 : z1 *z2 = (x1*x2+y1*y2) + i (x1*y2 +x2* y1) Деление. Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю. Тогда легко получить, что Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Пусть имеется комплексное число z=x+iy. Возьмем на плоскости декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие точку на этой плоскости с координатами (x, y) (рис.). Таким образом, геометрически комплексные числа – это точки на плоскости (вспомните, что вещественные числа – это точки на числовой оси). Саму плоскость называют комплексной переменной z. плоскостью Тригонометрическая форма комплексного числа. Соединим точку (x, y) с началом координат отрезком прямой. Длина этого отрезка r называется модулем комплексного числа z и обозначается | z | или mod(z). Угол, который этот отрезок образует с осью ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg(z). Из рисунка ясно, что имеют место соотношения Смешанное и векторное произведение векторов. Мат рицы и операции над ними. Матричное исчисление. Алгебра матриц. Плоское преобразование, понятие оператора. Сумма и произведение двух операторов. Сложение и произведение двух матриц. Представление вектора посредством матрицы. Единичная и нулевая матрица. Порядок, ранг матрицы. Транспонированная матрица. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений. Матричное исчисление – это теория определителей, выраженная в табличной форме. АЛГЕБРА МАТРИЦ — раздел алгебры, в котором изучаются матрицы и различные операции над ними.