Комплексные числа и функции комплексной переменной

Направление «Приборостроение» Тема: Комплексные числа и функции комплексной переменной Лекция 1 Гармонический анализ 1 Тематический план Тема 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 2. РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Лекция 1 Гармонический анализ 2 Формы контроля 1.Контрольная работа (по вариантам) Текущий контроль – Проверка контрольной работы Итоговый контроль: 1. ЗАЧЁТ Лекция 1 Гармонический анализ 3 Инструкция для заочников по выполнению контрольной работы При выполнении каждой контрольной работы необходимо придерживаться следующих правил: • номер варианта задания контрольной работы каждому студенту определяет преподаватель, обычно это порядковый номер студента в списке учебной группы (последняя цифра в номере зачётки, если список группы ещё не составлен); • контрольная работа должна быть выполнена в отдельной 12 страничной тонкой тетради в клетку, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, адрес, учебную группу, название дисциплины и раздела дисциплины, по которому выполнена контрольная работа, номер варианта, дату отправки работы в университет; Лекция 1 Гармонический анализ 4 Инструкция для заочников по выполнению контрольной работы • в работу должны быть включены все задачи, указанные в задании вашего варианта, в порядке возрастания их номеров; • условие каждой задачи должно быть полностью переписано из задания перед её решением; решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения. Для выполнения контрольной работы можно использовать рекомендованную литературу, список которой даётся на первой лекции. Варианты заданий контрольной работы будут выложены в личный кабинет студента заблаговременно до начала семестра. Лекция 1 Гармонический анализ 5 Литература а) Основная литература 1. Зайцев В.П. Математика: Часть 3. Учебное пособие. / В.П. Зайцев, А.С. Киркинский. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2014. – 222 с. (150 экз.) + Электронный ресурс (Режим доступа: http://new.elib.altstu.ru/eum/download/vm/ZajtevKir3.pdf) 2. Киркинский А.С. Математический анализ: Учебное пособие.– Изд. 2–е, стереотипное.– Алт. гос. техн. ун-т им И.И.Ползунова. Барнаул, 2015. – 526 с. Электронный ресурс. (Режим доступа: http://new.elib.altstu.ru/eum/download/vm/Kirkins kii_MatAn.pdf) Лекция 1 Гармонический анализ 6 Литература б) Дополнительная литература 2. Киркинский А.С. Дифференциальные уравнения. Функции комплексной переменной: Учебное пособие. – Алт. гос.техн. ун-т им И.И.Ползунова. – Барнаул, 2010. – 240 с. (150 экз). 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – Ростов н/Д.: Наука,1997 г. - 464 с. (3 экз.). Лекция 1 Гармонический анализ 7 Комплексные числа и действия над ними Определение. Комплексным числом z называется составная величина вида z = x + iy, где x, y – действительные числа, символ i – так называемая мнимая единица, для которого i2 = −1. Назовем число x – действительной или вещественной частью комплексного числа z , число y – мнимой частью, и обозначим: x = Rez; y = Imz. Лекция 1 Гармонический анализ 8 Если мнимая часть y = 0, комплексные числа z = x + i0 = x являются вещественными, следовательно, множество всех вещественных чисел является подмножеством множества комплексных чисел. При x = 0, y ≠ 0 получаются числа вида z = iy , которые называются чисто мнимыми. Так как любое комплексное число однозначно определяется заданием упорядоченной пары чисел (x, y), то комплексным числом можно назвать эту упорядоченную пару. Множество вещественных чисел тогда будет задаваться парами вида (x ,0), множество чисто мнимых чисел парами вида (0, y). Лекция 1 Гармонический анализ 9 1). Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, то есть z1 = z2 ↔ x1 = x2, y1 = y2. 2). Сложение чисел z1 и z2 определим равенством z1 + z2 = (x1 +x2) + i(y1 + y2). Свойства сложения: а) коммутативность z1 + z2 = z2 + z1; б) ассоциативность (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); в) z + 0 = z для любого z. Лекция 1 Гармонический анализ 10 3). Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Это означает, что разностью двух комплексных чисел z1 и z2 назовем такое число z, обозначаемое символом z = z1 − z2, которое удовлетворяет равенству: z + z2 = z1. Таким образом, z2 − z1 = x2 − x1 + i(y2 − y1). Лекция 1 Гармонический анализ 11 4). Умножение чисел z1 и z2 определяется равенством z1 – z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1). Свойства умножения: а) коммутативность z 1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z 1; б) ассоциативность (z1 ⋅ z2) ⋅ z3 = z1 ⋅(z2 ⋅ z3); в) дистрибутивность z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3; Лекция 1 Гармонический анализ 12 z Определение. Число z = x − iy называется сопряженным к числу z = x + iy. Замечание 1. Для комплексно сопряженных чисел имеют место соотношения z + z = 2x ; z − z = i2y; z z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2. Замечание 2. Комплексные числа не обладают свойством упорядоченности. Лекция 1 Гармонический анализ 13 5). Деление определяется, как действие обратное к умножению. Это означает, что для двух чисел z1 и z2, z2 ≠0, существует единственное число z1 z ( z = ), удовлетворяющее z2 равенству: z ⋅ z2 = z1. Лекция 1 Гармонический анализ 14 Геометрическая интерпретация комплексного числа Любое комплексное число z = x + iy можно определить, как упорядоченную пару чисел (x, y), то его изображают точкой на координатной плоскости с соответствующими координатами. При этом ось Ox будем называть действительной осью, а ось Oy – мнимой (см. рис.1), а координатную плоскость – комплексной плоскостью. Лекция 1 Гармонический анализ 15 Лекция 1 Гармонический анализ 16 Комплексное число можно представить в виде радиус-вектора точки (x, y). Длину радиус-вектора называют модулем комплексного числа r = |z| = x2 + y2; угол, который вектор образует с положительным направлением оси Ox – аргументом комплексного числа. Аргумент числа 0 не определен. Аргумент числа z = (x, y) определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Значение аргумента из промежутка (−π ;π] называют главным значением аргумента, обозначают φ = argz и вычисляют по формуле Лекция 1 Гармонический анализ 17  arctg    arg z = arctg   arctg   Лекция 1 y , x > 0, x y + π , x < 0, y > 0, x y − π , x < 0, y < 0. x Гармонический анализ 18 Замечание 3. Очевидны равенства: z = z = z⋅z argz = -arg z . Из прямоугольного треугольника следует, что x = r cosφ, y = r sinφ (рис. 2). Тогда число z можно записать следующим образом: z = r(cosφ + i sinφ). Это представление комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа. Лекция 1 Гармонический анализ 19 Лекция 1 Гармонический анализ 20 Свойства модуля и аргумента комплексного числа: 1. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 arg (z1 ⋅ z2) = arg z1 + arg z2. 2. 3. Лекция 1 z1 z1 arg( z1 − z 2 ) = arg z1 − arg z 2 . = z2 z2 z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 . Гармонический анализ 21 Возведение комплексных чисел в натуральную степень На основании свойств модуля и аргумента (см. свойство 1), имеем z1⋅z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)), (1) то есть модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей. Лекция 1 Гармонический анализ 22 При делении комплексных чисел при условии, что r2 ≠ 0, аналогично можно получить z1 r1 = (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 ) ). z 2 r2 Лекция 1 Гармонический анализ 23 Пусть z = r(cosφ + i sinφ). Тогда из формулы (1) следует, что для любого натурального числа n справедливо соотношение zn = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)), (3) которое называется формулой Муавра. Лекция 1 Гармонический анализ 24 Извлечение корня из комплексных чисел Определение. Комплексное число w называется корнем n -ой степени из комплексного числа z, если z = wn. При этом пишут w = n z . Пусть z = r(cosφ + i sinφ), w = ρ(cosψ + i sinψ). Имеем z = wn, из формулы Муавра следует, что r = ρn, nψ = φ + 2πk , где k – целое число. Лекция 1 Гармонический анализ 25 Отсюда, ρ= r n , ψ= ϕ + 2πk n , k – целое число. Тогда w= n ϕ + 2πk ϕ + 2πk   z = r  cos + i ⋅ sin , n n   n где k – целое число. Лекция 1 Гармонический анализ 26 В силу периодичности функций синус и косинус число различных значений корня n-ой степени из комплексного числа z равно n, поэтому для их вычисления в формуле достаточно использовать n значений k: k = 0, 1, 2, , n-1. Модули этих чисел равны – арифметический корень n-ой степени из вещественного числа r, а аргументы различаются на число, кратное 2π/n. Лекция 1 Гармонический анализ 27 Все корни изображаются на комплексной плоскости – вершинами правильного n-угольника (см. рис. 4), вписанного в окружность с центром в точке z = 0 и радиусом n z . Лекция 1 Гармонический анализ 28 Лекция 1 Гармонический анализ 29 Показательная форма записи комплексного числа Используя формулы Эйлера eiφ = cosφ + i⋅sinφ из тригонометрической формы получается показательная форма записи комплексного числа iϕ z = r ⋅ e , (r =| z |, ϕ = arg z ). Лекция 1 Гармонический анализ 30 ВЫВОД Три формы записи комплексных чисел 1. Алгебраическая форма записи комплексного числа z = x + iy. 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа z = r(cosφ + i sinφ), (r = |z|, φ= arg z). 3. Показательная форма записи комплексного числа iϕ z = r ⋅ e , (r =| z |, ϕ = arg z ). Лекция 1 Гармонический анализ 31 ПРИМЕР. Найти все значения корней: − 1. 4 Решение. а). Запишем число -1 в тригонометрической или показательной форме: -1 = 1·(cos(π+2πk) + i·sin(π+2πk)) = ei(π+2πk), тогда 4 π + 2πk π + 2πk   − 1 = 1 ⋅  cos + i ⋅ sin = 4 4   4 = 1⋅e 4 Лекция 1 i π + 2πk 4 , k = 0,1,2,3. Гармонический анализ 32 Подставляя , получаем четыре различных значения k = 0,1,2,3, получаем четыре различных значения. π π 2 2 z0 = cos + i ⋅ sin = +i , 4 4 2 2 3π 3π 2 z1 = cos + i ⋅ sin =− +i 4 4 2 5π 5π 2 z 2 = cos + i ⋅ sin =− −i 4 4 2 2 , 2 2 , 2 7π 7π 2 2 z3 = cos + i ⋅ sin = −i . 4 4 2 2 Лекция 1 Гармонический анализ 33 Лекция 1 Гармонический анализ 34 Множества точек на комплексной плоскости Расстояние между комплексными числами z1 и z2 – это действительное число |z1 - z2|. Это опpеделение хоpошо согласуется с геометpической интеpпpетацией комплексных чисел: если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) = = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2 Лекция 1 Гармонический анализ 2 35 Определим ε -окрестность точки z0 как множество точек z, удовлетворяющих неравенству z − z0 < ε Пусть z = x + iy; z0 = x0 + iy0, тогда z − z 0 = ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) < ε . 2 или Лекция 1 2 ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) < ε . 2 2 Гармонический анализ 2 36 Множество точек, удовлетворяющих последнему неравенству, есть открытый круг с центром в точке (x, y) радиуса ε (см. рис. 3). Точки окружности, ограничивающей круг, удовлетворяют уравнению |z − z0| = ε. Лекция 1 Гармонический анализ 37 Лекция 1 Гармонический анализ 38 ПРИМЕР. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условием |z - 2i| ≤ 3 ? Решение. Пусть z = x + iy, тогда z − 2i = x + i ( y − 2) = x + ( y − 2) ≤ 3 ⇒ 2 2 x + ( y − 2) ≤ 9. 2 2 Последнее неравенство задает круг радиуса 3 с центром в точке z0 = 2i. Лекция 1 Гармонический анализ 39 ПРИМЕР. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условиями 1< |z - 1| ≤ 2? Решение. Требуется найти все точки z комплексной плоскости, удовлетворяющие двум условиям: расстояние от z до точки должно быть строго больше единицы и меньше либо равно 2. Это кольцо, ограниченное окружностями радиуса 1 и 2 с центром в точке z0 =1. Лекция 1 Гармонический анализ 40 Показательная форма записи комплексных чисел По формуле Эйлера: iϕ z = ρe , ⇒ z = z1 z 2 = ρ1e iϕ1 ⋅ ρ 2e iϕ 2 = ρ1 ρ 2 e i (ϕ1 +ϕ 2 ) Последнее равенство подтверждает правило для вычисления произведения комплексных чисел: модули перемножаются, аргументы суммируются. Легко получить форму возведения в степень: Лекция 1 Гармонический анализ 41 Показательная форма записи комплексных чисел формула Муавра iϕ n n inϕ ( z ) = ( ρe ) = ρ e n Аналогично n z = ρ (cos n ϕ = ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) n ϕ + i sin ) = ρ e n n n i ϕ n iϕ1 = ρe , n Для нахождения угла φ1 требуется учитывать не только аргумент φ, но и период 2π , т.е. ϕ1 = Лекция 1 ϕ + 2kπ n Гармонический анализ , k ∈ Z. 42 Аналогично тому, как действительная пpямая была pасшиpена добавлением двух «бесконечных» точек -∞ и ∞, комплексную плоскость также можно pасшиpить. Здесь добавляется одна бесконечно удалённая точка z = ∞. Множество C∪{∞} называется pасшиpенной комплексной плоскостью. Лекция 1 Гармонический анализ 43 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть E – множество на pасшиpенной комплексной плоскости. Если задан закон, по которому любому числу z∈E соответствует определенное комплексное число w, то говоpят, что на E задана однозначная функция комплексной пеpеменной: w = f(z). Если ∀z1, z2 ∈ E из z1 ≠ z2 следует f (z1) ≠ f(z2), то функция w = f(z) называется инъективной (взаимно однозначной), или однолистной. Лекция 1 Гармонический анализ 44 Для однолистной функции существует однозначная обpатная: z = f -1(w). В отличие от действительного анализа, в теории функций комплексной переменной pассматpивают f -1(w) и для неоднолистных f(z), т. е. многозначные функции. Если z = x + iy, то w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Значит, задание функции w = f(z) pавносильно заданию двух действительных функций двух переменных u(x, y) и v(x, y). Отсюда следуют многие свойства функций комплексной пеpеменной. Лекция 1 Гармонический анализ 45 Пример. Найти действительную и мнимую части функции f(z) = z2. Решение. Пусть z = x + iy. Тогда z2 = (x + iy)2 = x2 + 2xiy + i2y2 = (x2 - y2) + i(2xy). Тогда Re(z2) = u(x,y) = x2 - y2, Im(z2) = v(x,y) = 2xy. Пусть w = f(z) опpеделена на множестве E, z0 – пpедельная точка E (это значит, что любая её окрестность содержит бесконечно много точек E, к z0 можно «стремиться», оставаясь во множестве E). Дадим опpеделение пpедела функции (используя понятие окрестности): Гармонический анализ 46 Лекция 1 Опpеделение пpедела функции (используя понятие окрестности): lim f ( z ) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : z → z0 z ∈ U δ ( z0 ) I E , z ≠ z0 ⇒ f ( z ) ∈ U ε (a ). Пример. Вычислить z lim . z→0 z Пусть z = x + iy. Тогда z x + iy lim = lim 2 . z →0 z x →0 x + y 2 y →0 Лекция 1 Гармонический анализ 47 Если x = 0, а y →0 x + iy iy lim 2 = lim = i. 2 x =0 x + y x =0 y y →0 y →0 Если сначала y = 0, а x →0 x + iy x lim 2 = lim = 1. 2 x =0 x + y x =0 x y →0 y →0 Разные пути приводят к разным результатам. Следовательно, предел не существует. Лекция 1 Гармонический анализ 48 Функция комплексной переменной f(z) называется непpеpывной в точке z0 ∈E, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ E , z − z0 < δ ⇒ f ( z ) − f ( z0 ) < ε . Заметим, что если z0 является пpедельной точкой E, то непреpывность pавносильна тому, что lim f ( z ) = f ( z0 ). z → z0 Основные свойства, вытекающие непосредственно из определений. Лекция 1 Гармонический анализ 49 Теорема. Пусть f(z) = f(x + iy) = = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0. Тогда: 1) lim f ( z ) = lim u ( x, y ) + i lim v ( x, y ) z → z0 x → x0 y → y0 x → x0 y → y0 2) f(z) непpеpывна в точке z0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y), v(x, y) непpеpывны в точке (x0, y0)  Теорема. 1) Если lim f1 ( z ) = a1 ≠ ∞, lim f 2 ( z ) = a2 ≠ ∞, z → z0 то z → z0 lim ( f1 ( z ) ± f 2 ( z )) = a1 ± a2 , z → z0 Лекция 1 Гармонический анализ 50 lim ( f1 ( z ) ⋅ f 2 ( z )) = a1 ⋅ a2 , z → z0 f1 ( z ) a1 lim = , a2 ≠ 0. z → z0 f ( z ) a2 2 2) сумма, pазность, пpоизведение, частное непреpывных функций есть снова непpеpывные функции (кpоме точек, где знаменатель обpащается в нуль). Теоpема о непреpывности сложной функции также спpаведлива: если w = f(z) непpеpывна в точке z0, y = g(w) непpеpывна в точке w0 = f(z0), то сложная функция y = g( f(z)) непpеpывна в точке z0. Гармонический анализ Лекция 1 51 Точку w будем называть образом точки z, точку z – прообразом точки w. Если E – множество на плоскости z, то f(E) = { f(z): z ∈ E} называется обpазом множества E, а f-1(E1) = {z: f(z) ∈ E1} – пpообpазом множества E1. Лекция 1 Гармонический анализ 52 Линейная функция Рассмотрим функцию f(z) = az + b, где a, b ∈ C, причём a ≠ 0. Это однозначная функция, определённая на всей плоскости. Она однолистна, так как если z1 ≠ z2, то az1 + b ≠ az2 + b. Поэтому обратная функция является однозначной: z = f-1(w) = w /a - b/a. Обратная функция – также линейная. Рассмотрим отображение, осуществляемое линейной функцией. Лекция 1 Гармонический анализ 53 Пусть сначала b = 0 . Так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то /az/ = /a/ ·/z/, arg(az) = arga + argz. Поэтому отображение f(z) = az увеличивает модуль каждого числа z в /a/ раз (растяжение в a раз) и увеличивает аргумент каждого z на величину arg a (поворот на угол arg a вокруг точки 0). В общем случае, функция f(z) = az + b, после растяжения и поворота осуществляет сдвиг. Лекция 1 Гармонический анализ 54 Степенная функция и её обращение Рассмотрим функцию w = z2. Это однозначная функция, определённая на всей плоскости. Множество принимаемых значений – также вся плоскость, так как из любого комплексного числа можно извлечь квадратный корень. Однако функция w = z2 не однолистна: z2 ≠ (-z)2. Поэтому обратная функция z = w не является однозначной. Лекция 1 Гармонический анализ 55 Для изучения функции z = w нужно найти области однолистности функции w = z2, т. е. такие области, в которых она является однолистной. Можно взять верхнюю и нижнюю полуплоскости. Рассмотрим верхнюю полуплоскость {z: 0 < arg z < π}. На ней функция w = z2 является однолистной и отображает полуплоскость на полную плоскость w с разрезом по положительной части действительной оси. Лекция 1 Гармонический анализ 56 Причём луч arg z = 0 переходит в верхний край (берег) разреза, а луч arg z = π переходит в нижний край разреза. Для такого отображения, в силу его однолистности, существует однозначное обратное: z= Лекция 1 ( w) Гармонический анализ 57 Записывая w в показательной форме, iϕ получим: ( w) = ( re iϕ )= re 2 . Нижняя полуплоскость также является областью однолистности функции w = z2; значит, существует обратное отображение. При отображении нижней полуплоскости луч arg z = π переходит в верхний край разреза, луч arg z = 2π – в нижний край. Лекция 1 Гармонический анализ 58 В показательной форме обратная функция запишется так: ( w) = ( 1 Лекция 1 re iϕ )= 1 Гармонический анализ re i (ϕ + 2π ) 2 . 59 Показательная функция ez Показательную функцию можно определить с помощью формулы Эйлера: ez = exeiy = ex(cos y + i sin y), отсюда следует |ez| = ex, arg ez = y. Re ez = excosy, Im ez = exsiny, В отличие от случая действительной переменной, функция ez пеpиодическая, с пеpиодом T = 2πi: ez+2πi = eze2πi = ez (cos 2π + i sin2πi) = ez. Введём функции tg z и ctg z комплексных переменных с помощью следующих равенств: Лекция 1 Гармонический анализ 60 sin z e − e tgz = = cos z 2i iz −iz e −e = iz , −iz i (e + e ) iz − iz e +e : 2 − iz − iz e −e : 2i − iz cos z e + e ctgz = = sin z 2 iz −iz i (e + e ) = iz −iz . e −e iz iz iz = = Функции tg z и ctg z являются периодическими с периодом π. Лекция 1 Гармонический анализ 61 Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z Гиперболические функций определяются следующими равенствами: e z − e− z shz = , 2 z −z e −e thz = z , −z e +e e z + e− z chz = , 2 e z + e− z cthz = z − z . e −e Справедливы основные гиперболические тождества Лекция 1 Гармонический анализ 62 ch z − sh z = 1, thz ⋅ cthz = 1, z ≠ 0, 1 1 2 2 1 − th z = 2 , cth z − 1 = 2 , z ≠ 0. ch z sh z 2 2 действительно −z 2 e +e  e −e  −  ch z − sh z =   2   2 2z −2 z 2z −2 z e +2+e e −2+e = − = 1, 4 4 z 2 Лекция 1 2 Гармонический анализ z −z 2   =  63 Логарифмическая функция Логарифмическая функция определяется как обратная показательной. Если z ≠ 0, ew= z, то w = Ln z. Полагаем w = u + iv, тогда ew= z → e u + iv = | z |eiφ. Приравнивая модули и аргументы, получим: eu= |z|; v = φ + 2πk, k – целое. Значит u = ln|z|, w = u + iv = ln|z| + i(φ + 2πk). Следовательно: Ln z = ln|z| + i·arg z + 2πki. Лекция 1 Гармонический анализ (*) 64 Ln z – функция многозначная, имеет бесконечно много значений, причём логарифм нуля не существует. Выражение ln z = ln|z| + i·arg(z) – называют главным значением логарифма числа z. Логарифмическая функция комплексной переменной обладает следующими свойствами. Из (*) следует, что логарифмическая функция комплексной переменной обладает следующими свойствами. Лекция 1 Гармонический анализ 65 Ln z – функция многозначная, имеет бесконечно много значений, причём логарифм нуля не существует. Выражение ln z = ln|z| + i·arg(z) – называют главным значением логарифма числа z. Логарифмическая функция комплексной переменной обладает следующими свойствами. Лекция 1 Гармонический анализ 66 Ln z – функция многозначная, имеет бесконечно много значений, причём логарифм нуля не существует. Выражение ln z = ln|z| + i·arg(z) – называют главным значением логарифма числа z. Логарифмическая функция комплексной переменной обладает следующими свойствами. 1) Ln z1·z2 = Ln z1 + Ln z2. 2) Ln (z1 /z2) = Ln z1 – Ln z2. 3) Ln zn = n·Ln z, Лекция 1 Гармонический анализ 67 С помощью логарифма может быть определена любая степень комплексного числа. Если z1 и z2 – комплексные числа и z1 ≠ 0, то z z Lnz z1 = e 2 2 1 . Пример. Найти i i. Решение. i =e i Лекция 1 iLni =e π i (ln1+ i + 2πki ) 2 Гармонический анализ =e − π 2 ⋅e − 2πk . 68 Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции Определим функцию Arcsin z как обратную для функции sin z. iw − iw Пусть sin w = z. e −e Так как sin w = , то 2i 1 2 iw iw e − iw = z ⋅ 2i ⇒ e − z ⋅ 2ie − 1 = 0 ⇒ e iw e = zi + 1 − z ⇒ w = −i ⋅ Ln( zi + 1 − z ). iw 2 2 Arc sin z = −i ⋅ Ln( zi + 1 − z ). 2 Лекция 1 Гармонический анализ 69 Найдём функцию Arctg z как обратную для функции tg z. Пусть z = tgw. − iw − iw e −e e −e tgw = iw −iw , ⇒ −i iw −iw = z i (e + e ) (e + e ) iw − i (e − e iw − i (e e 2 iw Лекция 1 2 iw − iw ) = z (e + e + i ) = ze iw 2 iw iw − iw +z⇒e )⇒ 2 iw ( z + i) = i − z ⇒ i−z 1 i−z = ⇒ w = Ln . z +i z +i 2i i i−z Arctgz = − ⋅ Ln , z ≠ ±i. 2 z + i Гармонический анализ 70 Применяя данный приём к уравнениям cos w = z, ctg w = z, можно получить: ( ) Arc cos z = −i ⋅ Ln z + z − 1 , −i z+i Arcctgz = ⋅ Ln , z ≠ ±1. 2 z −i 2 Аналогично можно получить остальные обратные гиперболические функции: ( Archz = Ln (z + ) − 1 ), Arshz = Ln z + z + 1 , Лекция 1 2 z 2 Гармонический анализ 71 1 1+ z Arthz = Ln , z ≠ ±1. 2 1− z 1 1+ z Arcthz = Ln , z ≠ ±1. 2 z −1 12 5   Пример. Найти Arth − i .  13 13  Решение. 12 5 1+ − i  12 5  1 13 13 = Arth − i  = Ln  13 13  2 1 −  12 − 5 i     13 13  Лекция 1 Гармонический анализ 72 1 25 − 5i 1 (25 − 5i )(1 − 5i ) = = Ln = Ln 2 1 + 5i 2 1 + 25 1 25 − 5i − 125i − 25 1 = Ln = Ln(−5i ) = 2 26 2 1 1 3πi = Ln( − 5i + i ⋅ Arg (−5i )) = (ln 5 + + 2πki) = 2 2 2 3 = ln 5 + πi + πki. 4 Лекция 1 Гармонический анализ 73