Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы

Лекция 4 Тема № 2 «КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ» 3.1. Свободные колебания нелинейных систем 3.1.1. Основные понятия Колебательная система называется нелинейной, если возникающие в ней силы сопротивления движению являются нелинейными функциями перемещений и (или) скоростей. Применительно к системам с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения можно записать в виде 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ + Ф(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡), (3.1) где m – обобщенная масса системы; q – обобщенная координата; Ф – обобщенная сила сопротивления движения; F – обобщенная возмущающая сила. Силы сопротивления движению часто можно представить в виде суммы двух величин, одна из которых Ф1 , зависит только от обобщенной скорости, а другая Ф2 – только от обобщенной координаты. В этом случае уравнение движения принимает вид 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ + Ф1 (𝑞𝑞̇ ) + Ф2 (𝑞𝑞) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡). (3.2) При Ф1 = 𝐹𝐹 = 0 получает уравнение свободных колебаний для систем без демпфирования: 𝑞𝑞̈ + 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 0, где 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = Ф2 (𝑞𝑞)/𝑚𝑚 – упругая характеристика системы. (3.3) Некоторые из возможных нелинейных характеристик и их расчетные схемы представлены на рис. 3.1. Производная 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 называется текущим коэффициентом жесткости системы. При 𝑑𝑑 2 𝜑𝜑/𝑑𝑑𝑞𝑞2 > 0 упругую характеристику называют жесткой, а при 𝑑𝑑2 𝜑𝜑/𝑑𝑑𝑞𝑞2 < 0 – мягкой. При 0 имеем линейную характеристику. 𝑑𝑑 2 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑞𝑞2 = Если функция 𝜑𝜑(𝑞𝑞) нечетная, то свободные колебания будут симметричными и периодическими. Для определения зависимости периода таких колебаний от амплитуды представим уравнение (3.3) в виде 𝑞𝑞̇ 𝑑𝑑𝑞𝑞̇ 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.4) + 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 0. Рис. 3.1 Так как 𝑞𝑞̇ = 0 амплитуда колебаний А максимальна, то из (3.4) получаем равенства: 𝑞𝑞̇ 𝑞𝑞 1 ∫0 𝑞𝑞̇ 𝑑𝑑𝑞𝑞̇ = − ∫𝐴𝐴 𝜑𝜑(𝑞𝑞)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑞𝑞̇ 2 = П(А) − П(𝑞𝑞), (3.5) где П(𝑞𝑞) – потенциальная энергия в системе при ее отклонении на величину q от положения равновесия. Из соотношения (3.5) находим скорость 𝑞𝑞̇ , период 𝑇𝑇0 и угловую частоту 𝜔𝜔0 собственных колебаний системы: 𝑞𝑞̇ = �2П(𝐴𝐴) − П(𝑞𝑞); 𝐴𝐴 𝑇𝑇0 = 4 ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 �2(П(𝐴𝐴)−П(𝑞𝑞)) ; (3.6) 𝜔𝜔0 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇0 . (3.7) Важно отметить, что период и частота колебаний нелинейных систем зависят от амплитуды колебаний. Графики функций 𝜔𝜔0 = 𝜔𝜔0 (𝐴𝐴) называются скелетными кривыми. Их вид полностью определяется упругой характеристикой системы. На рис. .32 представлены шесть скелетных кривых, соответствующих шести упругим характеристикам, показанным на рис. 3.1. Рис. 3.2 Для примера рассмотрим случай, когда 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 𝑎𝑎𝑞𝑞3 . Поставив это выражение в (3.6), после численного вычисления интеграла получим 𝜔𝜔0 ≈ 0,847𝐴𝐴√𝑎𝑎. Решение уравнения (3.4) при любых наперед заданных начальных условиях определяют в системе координат (𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) фазовую траекторию. В качестве примера, вначале рассмотрим уравнение Дуффинга, для которого упругая характеристика имеет вид (3.1, б). 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 𝜔𝜔∗2 𝑞𝑞 + 𝑎𝑎𝑞𝑞3 . (3.8) Рис. 3.3 Положение равновесия системы определяется из уравнения 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 0. Для 𝑎𝑎 ≥ 0 имеем одно положение равновесия при q = 0. Соответствующие фазовые траектории показаны на рис. 3.3, которые представляют собой замкнутые кривые и соответствуют периодическим колебаниям относительно положения равновесия. При наличии в системе демпфирования фазовые траектории принимают вид спирали. По которой при 𝑡𝑡 → ∞ система переходит в положение статического равновесия. 3.1.2. Методы анализа свободных колебаний нелинейных систем Основная задача при анализе свободных колебаний нелинейных систем состоит в определении зависимости частоты колебаний от амплитуды. Хотя принципиальное решение этой задачи дается формулами (3.6) и (3.7), часто воспользоваться ими затруднительно из0за громоздкости вычислений. Рассмотрим некоторые приближенные методы решения этой задачи. Метод сравнения решений в момент максимального отклонения системы от положения равновесия Приближенное решение уравнения (3.3) ищем в виде 𝑞𝑞 = 𝐴𝐴 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡, (3.9) И требуем, чтобы точное и приближенное решение по максимальным значениям ускорений совпадали в момент максимального отклонения от положения равновесия. Так как в этом положении ускорение 𝑞𝑞̈ = −𝐴𝐴𝜔𝜔02 , то из (3.3) следует равенство 𝜑𝜑(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴𝜔𝜔02 . Отсюда получаем искомую зависимость 𝜔𝜔02 = 𝜑𝜑(𝐴𝐴)/𝐴𝐴. (3.10) Приведенное выше рассуждение можно видоизменить. Заменим нелинейную функцию 𝜑𝜑(𝑞𝑞) на линейную kq так, чтобы они приводили к одинаковым максимальным отклонениям (рис. 3.3). тогда имеем 𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝐴𝐴)/𝐴𝐴, а уравнение (3.10) будет линейным вида 𝑞𝑞̈ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0, где 𝑘𝑘 = 𝜔𝜔02 . При этом вновь получаем соотношение (3.10). При 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 𝜔𝜔∗2 𝑞𝑞 + 𝑎𝑎𝑞𝑞3 имеем 𝜔𝜔02 = 𝜔𝜔∗2 + 𝑎𝑎𝐴𝐴2 , (3.11) где 𝜔𝜔∗ - частота собственных колебаний, соответствующая линейной системе (при a = 0). Графики функции (3.11) при различных значениях a показаны на рис. 3.4. Рис. 3.3 Рис. 3.4 Метод прямой линеаризации При замене нелинейной характеристики 𝜑𝜑(𝑞𝑞) на линейную kq, где 𝑘𝑘 = можно воспользоваться различными критериями, определяющими их сопоставимость (рис. 3.5). В качестве такого критерия можно принять критерий минимума внешнего среднего квадратического их расхождения за период колебаний, выраженный соотношением: 𝜔𝜔02 , −𝐴𝐴 ∫𝐴𝐴 {𝜆𝜆(𝑞𝑞) ∙ [𝜑𝜑(𝑞𝑞) − 𝜔𝜔02 𝑞𝑞]}2 𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, (3.12) где 𝜆𝜆(𝑞𝑞) – функция веса (значимости) отклонения 𝜑𝜑(𝑞𝑞) от 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 при данном значении q. При 𝜆𝜆(𝑞𝑞) = 1 все отклонения равнозначны. При 𝜆𝜆(𝑞𝑞) = 𝑞𝑞 значимость отклонений линейно возрастает. Для этого случая из (3.12) находим 𝜔𝜔02 = 5 𝐴𝐴5 𝐴𝐴 ∫0 𝜑𝜑(𝑞𝑞)𝑞𝑞3 𝑑𝑑𝑑𝑑 . (3.13) Подставив (3.8) в (3.13), получим 5 𝜔𝜔02 = 𝜔𝜔∗2 + 𝑎𝑎𝐴𝐴2 . (3.14) 7 При 𝜔𝜔∗ = 0 имеем 𝜔𝜔0 ≈ 0,845𝐴𝐴√𝑎𝑎, что незначительно отличается от полученного ранее результата 𝜔𝜔0 = 0,847𝐴𝐴√𝑎𝑎. Рис. 3.5 Метод гармонического баланса Этот метод рассмотрим на примере уравнения 𝑞𝑞̈ + 𝜔𝜔∗2 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑞𝑞3 = 0, (3.15) приближенное решение которого ищем в виде (3.9). Подставив (3.9) в (3.15) и воспользовавшись приближенным равенством 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 ≈ cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡, 4 получим искомую зависимость частоты от амплитуды колебаний 3 𝜔𝜔02 = 𝜔𝜔∗2 + 𝑎𝑎𝐴𝐴2 . (3.16) 4 Решение можно уточнить, если его искать в виде тригонометрического ряда. При этом для симметричных упругих характеристик в решении будут только нечетные гармоники (3.17) 𝑞𝑞 = 𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴3 cos 3𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + ⋯. Учитывая в (3.17) два первых слагаемых и приняв 3 1 𝑞𝑞3 ≈ 𝐴𝐴13 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴13 � cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + cos 3𝜔𝜔0 𝑡𝑡�, 4 4 (3.18) После подстановки (3.17) и (3.18) в уравнение (3.16) получим равенство: 3 1 �𝐴𝐴1 𝜔𝜔∗2 − 𝐴𝐴1 𝜔𝜔02 + 𝑎𝑎𝐴𝐴13 � cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 − �9𝐴𝐴3 𝜔𝜔02 − 𝐴𝐴3 𝜔𝜔∗0 + 𝑎𝑎𝐴𝐴13 � cos 3𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 0 4 4 (3.19) Приравняв в (3.19) выражения при тригонометрических функциях нулю, получим соотношения для определения частоты первой гармоники и для амплитуды гармоники с частотой 3𝜔𝜔0 : 3 𝜔𝜔02 = 𝜔𝜔∗2 + 𝑎𝑎𝐴𝐴12 ; 𝐴𝐴3 = 4 𝑎𝑎𝐴𝐴31 36𝜔𝜔02 −4𝜔𝜔∗2 Отметим, что lim 𝐴𝐴3 𝜔𝜔0 →∞ 𝐴𝐴1 (3.20) . = 1 (3.21) , т.е. вклад высокочастотной составляющей в 27 общем решении незначителен. Метод припасовывания Для механических систем с кусочно-линейными упругими характеристиками эффективный метод (метод припасовывания) определения зависимости 𝜔𝜔0 = 𝑓𝑓(𝐴𝐴) состоит в следующем. Рис. 3.6 Пусть рассматривается система, показанная на рис. 3.6, а, б. Тогда при амплитудах 𝐴𝐴 ≤ 𝑎𝑎 колебания будут линейными и происходить с частотой 𝜔𝜔1 = �𝑐𝑐1 /𝑚𝑚. При 𝐴𝐴 > 𝑎𝑎 колебания будут описываться уравнением 𝑞𝑞̈ + 𝜔𝜔12 𝑞𝑞 + 𝜔𝜔22 (𝑞𝑞 − 𝑎𝑎) = 0; 𝑐𝑐 𝜔𝜔22 = 2, 𝑚𝑚 (3.22) которое при 𝑞𝑞 ∈ (𝐴𝐴 − 𝑎𝑎, 𝐴𝐴) и начальных условиях 𝑞𝑞0 = 𝐴𝐴, 𝑞𝑞̇ 0 = 0 имеет решение где 𝜔𝜔∗2 = 𝑞𝑞1 = 𝑐𝑐1 +𝑐𝑐2 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑐𝑐2 𝑐𝑐1 +𝑐𝑐2 . (1 − cos 𝜔𝜔∗ 𝑡𝑡) + 𝐴𝐴 cos 𝜔𝜔∗ 𝑡𝑡, (3.23) При 𝑞𝑞 ≤ 𝑎𝑎 в соответствии с (2.10) движение груза описывается уравнением 𝑞𝑞2 = 𝑎𝑎 cos 𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑞𝑞̇ 1 𝜔𝜔1 sin ω1 t, (3.24) где согласно (3.23) начальное значение скорости определится по формуле 𝑞𝑞̇ 1 = 𝜔𝜔∗ �(𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑐𝑐2 1 +𝑐𝑐2 )𝐴𝐴−𝑎𝑎𝑐𝑐2 �, (3.25) В которой момент времени 𝑡𝑡1 прекращения касания со второй пружиной определяется из условия 𝑞𝑞1 (𝑡𝑡1 ) = 𝑎𝑎. Из последнего равенства находим 𝑡𝑡1 = 1 𝜔𝜔∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐2 �. 1 +𝑐𝑐2 )𝐴𝐴−𝑎𝑎𝑐𝑐2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �(𝑐𝑐 (3.26) Время 𝑡𝑡2 , за которое груз переходит из положения 𝑞𝑞1 (𝑡𝑡1 ) в положение статического равновесия, определяется из уравнения 𝑞𝑞2 (𝑡𝑡2 ), которое в соответствии с (3.24) имеет решение 𝜔𝜔1 𝑡𝑡2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �− 𝑎𝑎𝜔𝜔1 𝑞𝑞̇ 1 (3.27) �. Из (3.26) и (3.27) определяем период и частоту колебаний: 𝑇𝑇0 = 4(𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 ), 𝜔𝜔0 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇0 . Зависимость 𝜔𝜔0 = 𝑓𝑓(𝐴𝐴) показана на рис. 3.6, в. При 𝐴𝐴 ≤ 𝑎𝑎 𝜔𝜔0 = 𝜔𝜔1 , при 𝐴𝐴 → ∞ 𝜔𝜔0 → 𝜔𝜔∗ . 3.2. Вынужденные колебания нелинейных систем Особенности вынужденных колебаний нелинейных систем рассмотрим на примере системы, описываемой уравнением 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 𝑓𝑓 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔. (3.28) Нелинейную функцию 𝜑𝜑(𝑞𝑞) в (3.28) заменим на линейную 𝜔𝜔02 (𝐴𝐴)𝑞𝑞, где 𝜔𝜔0 (𝐴𝐴) – собственная частота соответствующей линейной системы, которая зависит от амплитуды колебаний A и критерия, по которому эта частота определяется (см. формулы (3.10), (3.11), (3.13), (3.14), (3.16)). В соответствии с изложенной в п. 2.3 теорией линейных систем решение уравнения (3.28) можно найти в виде (3.29) 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛽𝛽), где амплитуда колебаний A и сдвиг по фазе воздействия и реакции на нее 𝛽𝛽 определяются по формулам: 𝐴𝐴 = 𝑓𝑓 2 ��𝜔𝜔02 (𝐴𝐴)−𝜔𝜔2 � +4𝑛𝑛2 𝜔𝜔2 𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑛𝑛𝑛𝑛 ; (3.30) . (3.31) 𝜔𝜔2 −𝜔𝜔02 (𝐴𝐴) Соотношение (3.30) представляет собой алгебраическое уравнение, решение которого 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴(𝜔𝜔) определяет амплитудно-частотную характеристику системы. Для случая, когда 𝜑𝜑(𝑞𝑞) = 𝜔𝜔∗2 𝑞𝑞 + 𝑎𝑎𝑞𝑞3 , 3 𝜔𝜔02 = 𝜔𝜔∗2 + 𝑎𝑎𝐴𝐴2 , 4 где 𝜔𝜔∗ и 𝑎𝑎 – параметры упругой характеристики системы, вид функции 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴(𝜔𝜔) показан на рис. 3.7. Из анализа этой нелинейных систем: функции выявляются следующие особенности – в диапазоне частот воздействий от 𝜔𝜔1 до 𝜔𝜔2 (где 𝜔𝜔1 и 𝜔𝜔2 являются решениями уравнения 𝑑𝑑𝑑𝑑⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0) имеем три режима, колебаний, из которых два являются устойчивыми (т. 1 и т. 3 на рис. 3.7) и один – неустойчивым (т. 2 на рис. 3.7); – режимы колебаний, соответствующие следовательно, нереализуемы; ветви BC неустойчивы и, – режимы разгона и остановки системы существенно различны. При разгоне (пунктирная кривая со стрелками вправо АВД) происходит «затягивание» в резонанс и внезапный его «срыв», при выбеге (по кривой ДСА) происходит внезапный скачок амплитуды колебаний. Рис. 3.7