Классификация уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными

Лекция 2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Нашей целью является приведение к каноническому виду в области уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными линейного относительно старших производных. , (1) где коэффициенты являются функциями и . §1. Замена независимых переменных Перейдем от независимых переменных и к независимым переменным и . Пусть (2) дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан нигде в рассматриваемой области не обращается в нуль. Тогда систему (2) можно однозначно разрешить относительно и в некоторой области точек . Полученные функции и будут также дважды непрерывно дифференцируемыми функциями от и . С помощью преобразования (2) мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному (1). Естественно возникает задача: как выбрать и , чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму? Для решения этой задачи, преобразуем производные к новым переменным. Полагая , получаем , , , (3) . В новых переменных и уравнение (1), согласно формулам (3), записывается так: , (4) где , , , . Выберем переменные и так, чтобы коэффициент был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка . (5) Пусть какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить , то коэффициент , очевидно, будет равен нулю. Итак, задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5). §2. Уравнения характеристик Уравнение связано со следующим обыкновенным дифференциальным уравнением , (6) которое мы будем называть характеристическим, а его интегралы – характеристиками. Эта связь устанавливается в следующем предложении: Лемма. Если решение уравнения (5), то соотношение представляет собой интеграл уравнения (6). Обратно, если интеграл уравнения (6), то функция удовлетворяет уравнению (5). Доказательство. Пусть удовлетворяет уравнению (5). Соотношение задает функцию для которой . Следовательно, удовлетворяет уравнению (6), так как . Докажем вторую часть леммы. Пусть интеграл уравнения 6). Через произвольную точку проведем интегральную кривую уравнения (6), полагая и рассматривая кривую . Очевидно, . Для всех точек этой кривой имеем: . Полагая в последнем равенстве , получим: , что и требовалось доказать. Полагая , где есть интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если другой интеграл уравнения (6), независимый от , то, полагая , мы обратим в нуль также и коэффициент при . Уравнение (6) распадается на два уравнения: , (7) . (8) Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1). Это уравнение мы будем называть в точке уравнением гиперболического типа, если в точке , эллиптического типа, если и параболического типа, если . Нетрудно убедиться в правильности соотношения , из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, так как якобиан преобразования переменных отличен от нуля. §3. Канонические форму уравнения Рассмотрим область , во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Разберем каждый из этих типов в отдельности. 1. Для уравнения гиперболического типа и правые части уравнений (7) и (8) действительны и различны. Общие интегралы их и определяют действительные семейства характеристик. Полагая (9) приводим уравнение к виду , (10) где . Уравнение (10) называется канонической формой гиперболического уравнения (1). Часто пользуются другой канонической формой. Положим , т.е. , где и новые переменные. Тогда, полагая , будем иметь . В результате уравнение (10) примет вид . 2. Для уравнения параболического типа уравнения (7) и (8) совпадают, и мы получаем один общий интеграл уравнения (6): Положим в этом случае и , где любая функция, независимая от . При таком выборе переменных коэффициент , так как ; отсюда следует, что . Таким образом, мы получаем каноническую форму для уравнения параболического типа . 3. Для уравнения эллиптического типа и правые части уравнений и комплексны. Пусть комплексный интеграл уравнения . Тогда , где сопряженная к функция, будет представлять собой общий интеграл сопряженного уравнения (8). При этом уравнение эллиптического типа (1) приводится к (10) при замене переменных . Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные и равные , так, что . В этом случае, полагая , будем иметь . Следовательно, уравнение принимает вид . В заключении рассмотрим несколько примеров. Пример 1. . Здесь . Следовательно, в области уравнение гиперболично, в области эллиптично. а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид , а их общие интегралы. Производя замену независимых переменных получим каноническую форму преобразованного уравнения . б) В области эллиптичности производим замену переменных . Канонический вид уравнения . Пример 2. . Здесь . Следовательно, это уравнение всюду параболического типа. Оно имеет одно семейство характеристик, описываемых уравнением . Общий интеграл этого уравнения . Поэтому полагаем , можно положить равной любой функции независимой от . Полагаем, например . Тогда получаем следующий канонический вид уравнения . Задачи 1. Привести к каноническому виду уравнения: а) , б) , в) , г) . 2. Введя функцию и выбирая параметры и , упростить следующие уравнения: а) , б) , в) .