Классическая модель для поляритонов

Лекция N 2 Объемные поляритоны - I 1.Классическая модель для поляритонов. Рассмотрим оптические колебания (оптические фононы) в ионных кристаллах, содержащих по два иона в элементарной ячейке (например, NaCl, CsCl, ZnS и др.). Эти колебания возникают благодаря смещению положительных ионов относительно отрицательных под воздействием электромагнитного поля. Для вектора относительного смещения ⃗= ⃗ − ⃗ справедливо уравнение динамики: ⃗ Здесь + ⃗= ⃗ есть частота поперечных оптических фононов, μ - приведенная масса элементарной ячейки кристалла, e - эффективный заряд ионов в ячейке, приводящих к возникновению дипольного момента ячейки под действием поля. Если последнее имеет временную зависимость с частотой ω, то вынужденное решение этого уравнения имеет вид (Д.З. N 1): 1 − ⃗= ⃗ В результате такого смещения, ячейка приобретает дипольный момент, равный: ⃗= ⃗ Тогда вклад оптических фононов в электрический дипольный момент единицы объема, т.е. поляризация вещества, будет равна: ⃗= ⃗= 1 − ⃗ Здесь N - число элементарных ячеек в единице объема. Если обозначить через диэлектрическую проницаемость, связанную с другими движениями (например, межзонные электронные переходы), то для индукции ⃗ мы получим выражение ⃗= ( )⃗= ⃗+4 ⃗= + 4 1 − ⃗ Следовательно, диэлектрическая проницаемость кристалла ( ) будет равна ( )= + 4 1 − = + Ω − Здесь введено обозначение Ω для плазменной частоты: Ω = 4 Мы видим, что выражение для диэлектрической проницаемости имеет резонансную структуру в области частот вблизи частоты поперечных оптических фононов . Как мы увидим в дальнейшем, наличие резонанса значительно влияет на характер электромагнитной волны в среде – поле носит сложный характер – по шутливому названию исследователей в этой области – это фотоны в «шубе», а именно возбуждения, являющиеся смесью чисто электромагнитного поля и механических колебаний решетки – фононов. ∎Такие смешанные возбуждения называются поляритонами. 2.Дисперсионное уравнение Рассмотрим процесс распространения электромагнитной волны в среде, диэлектрическая проницаемость которой приведена выше. Поле имеет вид плоской гармонической электромагнитной волны: ( ⃗⃗ − ⃗( ⃗, ) = ⃗ ) Рассмотрим резонансный случай, когда частота волны находится в области резонанса среды: ~ Электромагнитное поле в среде описывается уравнениями Максвелла ⃗=− ⃗= ⃗ 1 ⃗ 1 Рассмотрим вначале случай немагнитных сред μ = 1, которые будут изучены в дальнейшем. Совершим далее стандартные преобразования для получения волнового уравнения (Д.З. N 2): ⃗=− ⃗ 1 =− ⃗ 1 Расписывая ⃗= ⃗−∆⃗ для случая изотропной однородной среды ( ⃗ = 0), получим волновое уравнение: ∆⃗− 1 ⃗ =0 Это уравнение для гармонических полей с учетом (Д.З. N 3): ∆⃗=− ⃗, ⃗ =− ⃗, сводится к виду: ⃗=0 ( ) − Откуда получаем дисперсионное уравнение: ( ) = Подставляя сюда полученное ранее выражение для диэлектрической проницаемости среды, получим дисперсионное уравнение в виде = ∎Решения Ω − + = этого уравнения ( ) или = ( ) называются дисперсионными характеристиками, а их графические изображения – дисперсионными кривыми. Введем важные для дальнейшего понимания характеристики. ∎Статической диэлектрической проницаемостью называется значение = ( ∎Продольной частотой = 0) = + Ω назовем такую частоту проницаемость на которой обращается в ноль: ( )=0 Получим выражение для такой частоты: + Откуда легко получаем (Д.З. N 3): Ω − =0 , диэлектрическая = + Ω Из полученной формулы следует, что > Получим еще одну полезную формулу для диэлектрической проницаемости с учетом введенной продольной частоты. Имеем, ( )= = Ω − + +Ω ⁄ − − = = 1+ Ω ⁄ − − − = = − − Следовательно, мы получили формулу − − ( )= Из этой формулы отчетливо видно, что диэлектрическая проницаемость среды может изменять знак при вариации частоты, при этом (Д.З. N 4): ( )>0 при условиях > , < Если же частота находится в промежутке < < то диэлектрическая проницаемость такого кристалла отрицательна (Д.З. N 5): ( )<0 ⟹ Следовательно, если частота воздействующей электромагнитной волны находится в промежутке между продольной и поперечной частотами ионного кристалла, то диэлектрическая проницаемость кристалла будет отрицательной величиной. Такое обстоятельство еще недавно вызывало вопросы у специалистов по классической электродинамике – как это может быть? Как мы увидим в дальнейшем, такой вывод имеет далеко идущие следствия и находит важные применения в наноплазмонике. В частности, в этой частотной области, как мы увидим в дальнейшем, возможно возбуждение поверхностных поляритонов, которые нашли широкое применение в современных наноустройствах.