Кинематика

Лекция 3. КИНЕМАТИКА 3.1. Введение. Задачи кинематики В статике введены условия, которым должны удовлетворять внешние силы, приложенные к материальному объекту, для того, чтобы этот объект находился в равновесии. Эти условия мы назвали уравнениями равновесия. Понятно, что если эти условия будут нарушены, то материальный объект выйдет из состояния равновесия, т.е. начнет совершать движение, отличное от прямолинейного равномерного. Кинематика изучает движение различных объектов с геометрической точки зрения, т.е. независимо от сил, его вызывающих. В кинематике нас будет интересовать лишь сам факт движения и его характер: траектории отдельных точек объекта, их перемещения в зависимости от времени, их скорости и ускорения, а также зависимости между параметрами движения. С этой точки зрения кинематика является геометрией четырех измерений, где четверым измерением является время. Статика и кинематика представляют независимые друг от друга разделы геометрической механики. В задачи кинематики входит: а) определение законов движения рассматриваемого объекта, б) определение кинематических параметров (скоростей, ускорений) точек этого объекта, в) определение кинематических параметров (угловой скорости, углового ускорения) твердого тела. Поскольку кинематика рассматривает лишь геометрические свойства движения, то в этом разделе мы будем изучать движение различных геометрических объектов, отвлекаясь от той материальной сущности, которая в них заключена. Простейшим геометрически объектом является геометрическая точка. Поэтому изучение кинематики мы начнем с исследования движения отдельно взятой геометрической точки, а затем уже перейдем к исследованию движения твердого тела. 3.2. Кинематика точки 3.2.1. Переменный вектор и его годограф Пусть некоторый вектор A с течением времени изменяет, в общем случае, как свою величину (модуль), так и направление. Такой вектор называется переменным. Говорят, что он является векторной функцией времени. Математически это записывается следующим образом: A = f (t) (3.1) Функция f (t) называется векторной функцией времени. В частных случаях вектор A может изменять только свою величину, только направление или сохранять неизменными как величину, так и направление. В последнем случае он называется постоянным вектором. Это записывается так: A = const (3.2) Пусть мы имеем переменный вектор A (рис. 3.1.), начало которого остается в неизменной точке О, а конец занимает в данный момент t некоторое положение B. Допустим, что в последовательные моменты времени t1, t2, t3, t4 , … этот вектор принимает значения А1, А2, А3, А4, …, а конец его занимает соответственно положения В1, В2, В3, В4, … Линия В В1В2В3В4…, описываемая концом переменного вектора при неизменном его начале О, называется годографом этого вектора. Понятно, что если вектор изменяет только свое направление, оставаясь в одной и той же плоскости, то его годографом является окружность. Если же вектор изменяет только величину, то его годограф представляет прямую, по которой он направлен. Теперь перейдем к изучению движения отдельно взятой геометрической точки. 3.2.2. Основные кинематические способы определения движения точки Определить движение точки значит установить закон, которому подчиняется ее движение и который позволил бы найти положение точки в пространстве относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Существует три основных кинематических способа определения движения точки: векторный, координатный, естественный. Рассмотрим эти способы. Векторный способ Пусть точка М (рис. 3.2.), движение которой подлежит определению, двигаясь в пространстве относительно некоторой системы отсчета Oxyz, описывает траекторию АВ. Из какой-нибудь точки, неизменно связанной с этой системой отсчета, например, из начала координат О, проведем в точку М радиус-вектор r. Понятно, что при движении точки М вектор r, в общем случае, непрерывно изменяет как свою величину (модуль), так и направление. Следовательно, он является векторной функцией времени t, т.е. r = f (t) (3.3) Это векторное равенство выражает закон движения точки М и называется векторным уравнением ее движения. Оно позволяет для любого момента времени построить вектор r (например, по его проекциям на координатные оси) и, следовательно, найти положение точки М относительно выбранной системы отсчета. Траектория точки М представляет собой годограф ее радиуса-вектора r. Функция (3.3) должна быть непрерывной, однозначной и, как это будет показано ниже, по крайней мере, дважды дифференцируемой. Координатный способ Известно, что положение точки в пространстве однозначно определяется тремя ее координатами x, y, z относительно выбранной системы координат xOyz (рис. 3.2.). При движении точки по траектории, в общем случае, непрерывно изменяются с течением времени все три ее координаты. Таким образом, движение точки описывается уравнениями: X = f1 (t), Y = f2 (t), (3.4) Z = f3 (t). Подставив в эти уравнения вместо t любое значение, можно найти положение точки в пространстве в соответствующий момент времени. Следовательно, уравнения (3.4) определяют движение точки относительно выбранной системы отсчета. Эти уравнения называются уравнениями движения точки в координатной форме. Функции (3.4) должны быть непрерывными, однозначными и, как это будет показано ниже, дифференцируемыми, по крайней мере, дважды. Если точка совершает плоское движение, т.е. движется в одной плоскости, то, совместив с плоскостью ее движения одну из координатных плоскостей, например, плоскость xOy, мы обратим в тождество третье уравнение системы (3.4). Таким образом, плоское движение точки определяется двумя уравнениями этой системы. Прямолинейное движение точки определяется одним из этих уравнений, т.к. направив одну из координатных осей вдоль траектории точки, можно обратить в тождества два уравнения системы (3.4). Естественный способ Пусть некоторая точка, совершая движение по траектории KL (рис. 3.3.) в момент t занимает положение М. Если точка М движется относительно выбранного тела отсчета, то траектория KL неизменно связана с этим телом. Будем считать, что траектория точки М нам задана. Возьмем на этой траектории неизменно связанную с ней точку А. Положение рассматриваемой точки М на ее траектории будет определено, если задана ее дуговая координата S, отсчитывается вдоль траектории от точки А, называемой началом дуговых координат. Дуговая координата является величиной алгебраической. Она может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, с какой стороны от точки А расположена точка М. Правило знаков для дуговой координаты должно быть выбрано предварительно. Не следует дуговую координату точки смешивать с длиной пройденного ей пути. Последний всегда положителен и при движении точки всегда возрастает, независимо от направления движения. Дуговая координата S при движении точки, в общем случае, непрерывно изменяется с течением времени. Она, как и декартовы координаты, является непрерывной, однозначной и дважды дифференцируемой функцией времени, т.е. S = f (t). (3.5) Уравнение такого вида определяет движение точки по ее траектории, т.к. подставив в него любое значение времени t, мы определим соответствующее алгебраическое значение дуговой координаты S и, таким образом, найдем положение точки на ее траектории в соответствующий момент времени. Уравнение (3.5) называется уравнением движения точки по ее траектории или уравнением ее движения в естественной форме. Заметим, что это уравнение определяет движение точки только в том случае, если задана ее траектория, выбрано начало дуговых координат и правило знаков для дуговой координаты. 3.3. Динамика поступательного и вращательного движения Изучение движения твердого тела мы начнем с рассмотрения простейших его случаев. Такими простейшими видами движения твердого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси. Под твердым телом в кинематике, как и в статике, понимается абсолютно твердое тело. Мы рассмотрим основные свойства и зависимости между кинематическими параметрами поступательного и вращательного движений твердого тела. Заметим, что поступательное или вращательное движение может совершать только твердое тело. Было бы неправильно, если бы говорили о поступательном или вращательном движении отдельно взятой точки. 3.3.1. Поступательное движение твердого тела Определение и классификация поступательного движения Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, неизменно связанная с телом, за все время его движения остается параллельной своему начальному положению. Поступательное движение совершает, например, вагон, движущийся по прямолинейному участку пути. В качестве второго примера поступательного движения можно привести движение спарника АВ (рис. 3.4.), соединенного шарнирно с концами двух равных по длине кривошипов О1А и О2В, вращающихся в одинаковых направлениях вокруг перпендикулярных к ним параллельных между собой осей О1 и О2, отстоящих друг от друга на расстоянии, равном длине спарника. Описанный механизм называется шарнирным параллелограммом. При любом положении этого механизма сохраняется параллельность между прямой, проходящей через центры шарниров А и В и неподвижной прямой О1О2. Таким образом, любая прямая CD, неизменно связанная со спарником, и, следовательно, образующая с прямой АВ постоянный угол α, образует такой же постоянный по величине угол и с параллельной ей неподвижной прямой О1О2. Отсюда следует, что за все время движения спарника упомянутая прямая остается параллельной своему начальному положению, т. е. спарник движется поступательно. Если при поступательном движении твердого тела все его точки движутся прямолинейно, то такое поступательное движение называется прямолинейным. В противном случае поступательное движение называется криволинейным. Например, прямолинейное поступательное движение совершает вагон, движущийся по прямолинейному участку пути или поршень, движущийся в цилиндре двигателя. Спарник АВ, показанный на рис. 3.4., совершает криволинейное поступательное движение, так как точки его описывают траектории, например, точки А и В движутся по окружностям одинакового радиуса с центрами в точках О1 и О 2. Если при поступательном движении твердого тела все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, то такое движение тела называется плоским поступательным. Плоское поступательное движение совершает, например, спарник, показанный на рис. 3.4., так как все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости, проведенной перпендикулярно к осям О1 и О2 вращения кривошипов. Траектории всех точек твердого тела, совершающего плоское поступательное движение, расположены в параллельных плоскостях и, следовательно, представляют собой плоские линии. Понятно, что прямолинейное поступательное движение твердого тела является частным случаем плоского поступательного движения. Если все точки поступательно движущегося твердого тела описывают пространственные кривые, то такое движение тела называется пространственным поступательным. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении Прежде чем сформулировать эту теорему, напомним о следующих определениях, известных из элементарного курса геометрии. Определение 1. Две фигуры называются конгруэнтными, если при наложении одной из них на другую они совмещаются всеми своими точками. Определение 2. Точки двух конгруэнтных фигур, совмещающиеся друг с другом при их наложении, называются соответствующими точками. Определение 3. Две конгруэнтные фигуры называются смещенными относительно друг друга параллельно, если их соответствующие точки смещены относительно друг друга по параллельным прямым на одинаковые расстояния. Теперь сформулируем следующую теорему. Теорема 1. Все точки поступательно движущегося твердого тела описывают конгруэнтные параллельно смещенные траектории и имеют в любой момент равные векторы скорости и равные векторы ускорения. Пусть некоторое твердое тело (рис. 2.6) совершает поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz. Возьмем две произвольные его точки А и В и докажем, что они движутся по конгруэнтным параллельно смещенным траекториям, имея в любой момент времени равные векторы скорости и и равные векторы ускорения , т. е. . Для доказательства проведем в точки А и В радиусы-векторы из начала координат О. Проведем также вектор . Этот вектор постоянен по величине так как рассматриваемое тело является абсолютно твердым и, следовательно, расстояние между точками А и В при его движении остается неизменным. Направление этого вектора также не изменяется, так как, согласно условию, тело движется поступательно, и, поэтому, прямая, проходящая через точки А и В, перемещается параллельно своему начальному положению. Таким образом, вектор постоянен, т. е. . (2.7) Следовательно, траекторию точки В можно совместить всеми ее точками с соответствующими точками траектории точки А путем параллельного переноса их в направлении вектора на одинаковые расстояния, равные длине отрезка АВ, чем и доказана первая часть сформулированной теоремы. Из векторного треугольника ОВА замечаем, что . (2.8) Продифференцировав почленно обе части этого векторного равенства по времени t, будем иметь: , где и, в силу (2.7) Таким образом, получаем: . (2.9) В результате повторного дифференцирования, приняв во внимание, что получим: , (2.10) что и требовалось доказать. Уравнения поступательного движения твердого тела Теперь мы знаем, что все точки поступательно движущегося твердого тела совершают одинаковые движения: по конгруэнтным параллельно смещенным траекториям, с одинаковыми по величине и направлению скоростями и ускорениями. Одинаковые для всех точек тела траектории, скорости и ускорения называются соответственно траекторией, скоростью и ускорением твердого тела. Отсюда следует, что для исследования поступательного движения твердого тела достаточно исследовать движение какой-либо одной его точки, так как все остальные его точки совершают такие же движения. Эта точка называется полюсом. За полюс может быть принята любая точка данного тела. Например, все точки спарника АВ, показанного на рис. 2.5, движутся по окружности одинакового радиуса, равного длине кривошипов О1А и О2В, а их скорости и ускорения равны по величине скоростям и ускорениям точек А и В и одинаковы с ними по направлению. Таким образом, в этом примере за полюс принять точку А или В. Движение полюса может быть определено любым из способов, описанных в предыдущей теме: векторным, координатным или естественным. Например, если принять за полюс точку В (рис.2.6), то движение его можно определить следующим векторным уравнением: (2.11) Из векторной зависимости (2.8) замечаем, что векторное уравнение движения любой другой точки данного тела отличается от (2.11) на постоянный вектор. Например, для точки А имеем: (2.12) Таким образом, уравнение (2.11) определяет движение любой точки данного тела. В связи с этим это уравнение называется уравнением поступательного движения твердого тела в векторной форме. Движение полюса В можно определить и уравнениями его движения в координатной форме: (2.13) Уравнения движения любой другой точки данного тела отличаются от уравнений (2.13) постоянными членами. Например, для точки А будем иметь: (2.14) где - проекции на координатные оси постоянной вектора . Таким образом, уравнения (2.13) определяют движение любой точки данного тела и называются уравнениями поступательного движения твердого тела в координатной форме. Аналогично, движение полюса В можно определить естественным способом с помощью уравнения: . (2.15) Это уравнение называется уравнением поступательного движения твердого тела в естественной форме. Уравнение движения других точек данного тела отличаются от него лишь постоянными членами, которые не оказывают влияние на скорость и ускорение его точек. Перейдем к рассмотрению второго из простейших движений твердого тела. 3.3.2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Если две точки А и В (рис. 2.7а) твердого тела (или две точки, неизменно с ним связанные), закреплены неподвижно (такими точками могут быть подшипник и подпятник), то это тело сможет совершать только такое движение, при котором будут оставляться неподвижными все его точки, лежащие на прямой, проходящей через эти точки. Эта прямая называется осью вращения. Оси вращения z, как и всякой другой оси, приписываются определенное направление, считаемое положительным. Представим себе две полуплоскости P и Q (рис. 8. 3), ограниченные с одной стороны осью вращения z, первая из которых неизменно связана с некоторой системой отсчета и, следовательно, условно считается неподвижной, а вторая – с вращающимся твердым телом и, поэтому, вместе с ним вращается вокруг оси z. На рис. 2.7 ось z перпендикулярна к плоскости чертежа и, следовательно, на нем показаны лишь следы полуплоскостей P и Q на этой плоскости. Положение твердого тела однозначно определяется двуграным углом φ, образованными упомянутыми полуплоскостями, если считать его величиной алгебраической. Этот угол называется угловой координатной твердого тела. Его принято считать положительным, если, при взгляде с положительного направления оси вращения, подвижная полуплоскость повернута относительно неподвижной против хода стрелки часов, и отрицательным в противном случае. Не следует смешивать угловую координату твердого тела с углом его поворота. Последний, как и путь, пройденный точкой, всегда положителен и может только увеличиваться, независимо от направления вращения тела. Угловая координата, как правило, измеряется в радианах, т. е. является величиной безразмерной, и обозначается буквой φ. Иногда ее измеряют в полных оборотах тела и тогда обозначают буквой N. Поскольку один оборот содержит 2π радиан, то для перехода от одной единицы измерения угловой координаты к другой существует зависимость: . (2.16) При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси его угловая координата, в общем случае, непрерывно изменяется с течением времени, т. е. является однозначной и, как показано ниже, дважды дифференцируемой функцией времени t, т. е. . (2.17) Уравнение такого вида определяет вращательное движение твердого тела и называется уравнением его вращения вокруг неподвижной оси. 3.3.3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела Угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, характеризует быстроту его вращения вокруг этой оси. Пусть в момент t угловая координата тела равна φ, а в момент она равна Следовательно, в течение бесконечно малого промежутка времени Δt тело поворачивается на бесконечно малый угол Δφ. Величина называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени Δt. Предел средней угловой скорости при Δt →0 называется угловой скоростью твердого тела в момент t и обозначается ω, т. е. или, в силу (2. 17), . (2.18) Таким образом, угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна первой производной его угловой координаты по времени. Поскольку производная положительна при возрастании угловой координаты φ, и отрицательна в противном случае, то угловая скорость ω является величиной алгебраической. Она положительна, если тело вращается в сторону положительных угловых координат, т. е. против хода стрелки часов при взгляде с положительного направления оси вращения, и отрицательна, если тело вращается в противоположном направлении. Если угловую координату измерять в радианах, а время – в секундах, то, учтя, что радиан есть величина безразмерная, получим для угловой скорости ω размерность с-1. Иногда угловую скорость равномерного вращения твердого тела измеряют числом его оборотов в минуту. В этом случае ее обозначают n. Между угловой скоростью ω(с-1) и числом n (об/мин) существует зависимость: . (2.19) Число n оборотов тела в минуту часто называют частотой его вращения. Быстрота изменения угловой скорости характеризуется величиной его углового ускорения. Пусть в момент t угловая скорость тела равна ω, а в момент она равна . Тогда в течение бесконечно малого промежутка времени Δt угловая скорость тела изменяется на бесконечно малую величину Δω. Величина называется средним угловым ускорением тела за промежуток времени Δt, а ее предел при Δt →0 – угловым ускорением в момент t и обозначается ε, т. е. или, в силу (2.17) и (2. 18), . (2.20) Эта зависимость подтверждает высказанное выше предположение о том, что функция (2.17) должна быть дважды дифференцируемой. Таким образом, угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в момент t равно первой производной его угловой скорости по времени или второй производной по времени его угловой координаты. Угловое ускорение, также как и угловая скорость, является величиной алгебраической. Оно положительно, если угловая скорость увеличивается с течением времени и отрицательно в противном случае. Иными словами, тело совершает ускоренное вращение, если угловая скорость и угловое ускорение имеют одинаковые знаки, и замедленное – если их знаки различны. Измеряется угловое ускорение в с-2. 3.4. Плоское движение твердого тела 3.4.1.Основные понятия После ознакомления с кинематикой поступательного и вращательного движений твердого тела можно перейти к изучению кинематики более сложного его движения. Таким движением является плоское движение твердого тела. Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, называемой основной плоскостью. Плоское движение совершает, например, колесо, катящееся по прямолинейному рельсу, или шатун АВ (рис. 2.8) кривошипно-ползунного механизма, состоящего из кривошипа ОА, вращающегося вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, соединенного с ним шарнирно шатуна АВ и ползуна В, помещенного в горизонтальные направляющие и соединенного шарнирно с шатуном. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и плоское поступательное движение являются частными случаями плоского движения. Пусть некоторое твердое тело (рис.2.9) совершает плоское движение. Понятно, что в этом случае плоская фигура S, образованная в сечении тела основной плоскостью H ( или плоскостью, ей параллельной), за все время движения тела остается в этой плоскости. Прямая А1А2, проходящая через произвольную точку А и фигуры S, перпендикулярная к плоскости Н и неизменно связанная с рассматриваемым телом, за все время движения тела остается перпендикулярной к этой плоскости, т. е. совершает поступательное движение. Следовательно, все точки этой прямой совершают одинаковые движения. То же самое можно сказать про точки прямых, параллельных прямой А1А2, проходящих через все остальные точки фигуры S. Отсюда следует, что все сечения данного тела плоскостями, параллельными плоскости Н, совершают одинаковые движения, следовательно, движение фигуры S в ее плоскости определяет плоское движение рассматриваемого твердого тела. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения твердого тела мы будем исследовать движение плоской фигуры в ее плоскости. 3.4.2.Разложение движения плоской фигуры в ее плоскости на поступательное и вращательное. Уравнения движения Положение плоской фигуры S в ее плоскости Н (рис. 2.10) определяется положением двух ее точек А и В, т. е. положением отрезка АВ. Поэтому движение этого отрезка определяет движение всей фигуры в целом. Пусть положение некоторой плоской фигуры движущейся в своей плоскости, в момент t определяется отрезком АВ (рис. 2.11) рассматриваемая плоская фигура на рисунке не показана), который в момент занимает положение А1А2. Легко убедиться в том, что отрезок АВ, а вместе с ним и рассматриваемую плоскую фигуру, можно переместить из первого положения во второе поступательно вместе с некоторой точкой, называемой полюсом, например, с точкой А, и поворотом в плоскости фигуры вокруг полюса. В самом деле, если переместить фигуру в ее плоскости поступательно так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, то отрезок АВ займет положение // АВ . При этом любая точка фигуры получит бесконечно малое перемещение, равное вектору . После этого достаточно повернуть фигуру в ее плоскости вокруг полюса А1 на бесконечно малый угол в направлении, показанном стрелкой, чтобы она заняла положение, определяемое отрезком А1В1. Нетрудно понять, что такое фиктивное перемещение фигуры не тождественно действительному ее движению в ее плоскости, однако в моменты t и положения фигуры в ее действительном движении и при описанном фиктивном перемещении совпадают. Очевидно, чем меньше промежуток времени Δt, тем больше рассматриваемое фиктивное перемещение фигуры приближается к действительному ее движению и в пределе при они совпадают. В этом случае поступательное и вращательное перемещения фигуры происходят одновременно. Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как составное из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса в плоскости фигуры. Принимая за полюс различные точки фигуры, можно различным образом разложить ее движение на поступательное и вращательное. Положение отрезка АВ и, следовательно, неизменно связанной с ним плоской фигуры, относительно некоторой системы отсчета хОу (рис.2.11) определяется тремя параметрами: двумя декартовыми координатами хА, yA полюса А и угловой координатой φ. Все эти три параметра при движении фигуры, в общем случае, изменяются с течением времени, т. е. являются функциями времени t (2.26) Уравнения такого вида определяют движение плоской фигуры в ее плоскости, и называется уравнениями плоского движения твердого тела. Первые два из них определяют поступательную часть движения плоской фигуры, а третье – вращательную его часть. Функции (2.26) должны быть непрерывными, однозначными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми. Легко показать, что поступательная часть движения плоской фигуры зависит от положения полюса на этой фигуре, а вращательная часть – не зависит. В самом деле, если принять за полюс точку В (рис. 2.11), то при поступательном перемещении вместе с этим полюсом фигура займет положение, определяемое отрезком В1А // АВ. При этом любая точка фигуры получит бесконечно малое перемещение . Следовательно, при изменении положения полюса изменяется поступательная часть движения фигуры. Теперь для совмещения отрезка В1А с отрезком В1А1 его следует повернуть вокруг нового полюса В1 на угол в том же направлении, в котором надо было повернуть вокруг точки А1 отрезок А1В до совмещения его с тем же отрезком А1В1 , т. е. по ходу стрелки часов. Углы же Δφ и Δφ1 равны между собой как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Таким образом, вращательная часть движения плоской фигуры не зависит от положения полюса и, следовательно, третье уравнение системы (2.26) будет оставаться неизменным, если мы за полюс будем принимать различные точки фигуры. Отсюда следует, что первая и вторая производные угловой координаты φ, т. е. угловая скорость и угловое ускорение фигуры, также не зависит от положения полюса.